Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB IVAPLIKASI INTEGRAL GANDA
4.1 Aplikasi Integral Ganda DuaIntegral ganda (rangkap) dua yang bentuk umumnya :
dapat diaplikasikan untuk beberapa persoalan, diantaranya adalah:
a. Luas suatu Luasan (Bidang)Luas bidang dapat dipandang sebagai integral ganda dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral ganda dua menjadi :
atau
Dalam koordinat polar, bentuk di atas dinyatakan dengan:
Contoh :1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + 4
Jawab :Sebelum ditentukan luasnya, daerah tersebut digambar terlebih
dahulu
.
.
2. Gunakan integral ganda dua untuk menentukan luas suatu luasan yang dibatasi oleh:
3x + 4y = 24, x = 0, y = 0 Jawab
Luas luasan di atas adalah
A(R) =
=
=
=
=
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 76
.
=
=
= 24 satuan luas
b. Pusat Luasan Misal R adalah suatu luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva,
maka luasan tersebut mempunyai pusat luasan dan dinyatakan dengan ( ) dengan hubungan
dan
dengan adalah luas dari luasan dimaksud.
Contoh1) Tentukan pusat luasan berikut dengan menggunakan integral
ganda dua.y = 2x, y = x, x = 0, dan x = 2
Pusat suatu luasan dinyatakan dengan , dengan
dan
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 77
.
Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:
dan
sehingga dan
diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh y = 2x, y = x, x = 0, dan x = 2
adalah
2) Tentukan pusat luasan dengan batasan pada kuadra I.
Pusat suatu luasan dinyatakan dengan , dengan
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 78
.
dan
Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:
dan
sehingga dan
diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh pada kuadra I.
adalah
c. Luas Permukaan Lengkung
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 79
.
Jika S adalah bagian dari permukaan R’ dengan persamaan z=f(x,y). R’ dapat diproyeksikan pada bidang koordinat yang cocok sehingga menghasilkan suatu daerah R pada bidang dalam ruang. Dengan demikian fungsinya terintegralkan pada R.
1. Jika R’ diproyeksikan pada XOY maka
2. Jika R’ diproyeksikan pada YOZ maka
3. Jika R’ diproyeksikan pada XOZ maka
tanda integrasi urutannya menyesuaikan dengan bidang proyeksi, Jika bidang proyeksinya X)Y maka dA berubah menjadi dxdy atau dx.
ContohCarilah luas permukaan silinder didalam silinder Jawab
Perpotongan kedua selinder menghasilkan bangun
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 80
.
dengan mengganggap bidang XOY sebagai bidang proyksi, maka
sehingga
d. Volume Bangun Ruang Volume bangun suatu ruang dapat dinyatakan dengan
menggunakan integral ganda dua dan dituliskan dengan
atau
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 81
.
Contoh
1. Cari volume irisan oleh bidang z = 0
Jawab
Gambar bangun yang pembatasnya adalah
`
`
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 82
.
Dengan metode substitusi x = 2 sin t didapat dx = 2 cos t dx
Untuk x = 2 maka t =
Untuk x = 0 maka t = 0Sehingga
Karena Maka
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 83
.
= 16 -16= 3 satuan isi
Volume bangun di atas dapat juga dilakukan dengan mengubah urutan tanda integrasi dxdy.
Dengan melakukan perubahan dA = dydx diperoleh
Dengan metode substitusi y = 3 sin t didapat dx = 3 cos t dx
Untuk x = 3 maka t =
Untuk x = 0 maka t = 0Sehingga
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 84
.
Karena Maka
= 3
2. Carilah volume persekutuan silinder dan Jawab Gambar silinder persekutuannya adalah:
`
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 85
.
Gambar di oktan I persekutuan silinder di atas adalah
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 86
.
= 8[(16.4- )-(16.0- ) = 8(128/3)
=
3. Dengan menggunakan integral ganda dua, tentukan volume bangun ruang yang dibatasi oleh bidang z = 0, x + y = 4 dan y + z = 4JawabBangun persekutuan bidang seperti gambar berikut
`
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 87
.
4. Tentukan volume bola menggunakan integral ganda dua.Jawab
Dengan integral ganda dua diperoleh
Dengan menggunakan substitusi fungsi trigonometri diperoleh
x = dan dx =
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 88
.
untuk x = 0 didapat t = dan untuk x = didapat t = , sehingga
5. Gambar kurva ruang
Jawab
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 89
.
4.2 Aplikasi Integral Ganda Tiga Integral ganda tiga sebagai perluasan integral ganda dua
dinyatakan dalam bentuk umum
Sebagaimana telah dinyatakan pada bab III, bahwa integral ganda tiga dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat Cartesius, koordinat silider, dan koordinat bola. Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Cartesius maka
atau
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 90
.
atau
Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Tabung maka
Jika dinyatakan dalam bentuk koordinat Bola maka
Selanjutnya integral ganda tiga dapat digunakan untuk menentukan volume (isi) bendan dan secara umum volume benda dengan menggunakan integal ganda tiga adalah
dengan menganggap bahwa f(x,y,z)=1Untuk perhitungan selanjutan dapat menggunakan koordinat Cartesius, koordinat tabung, atau koordinat bola. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.6. Dengan menggunakan integral ganda tiga tentukan Volume
bangun yang dibatasi oleh
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 91
.
Volume Limas =
= = 4 SI
Dengan integral ganda tiga didapat
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 92
.
4.3 Soal-soal 1. Dengan menggunakan integral ganda dua hitunglah luas suatu
luasan berikut ini:a. daerah yang dibatasi oleh 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0b. dibatasi oleh parabola dan c. daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh d. dibatasi oleh parabola-parabola dan e. dibatasi oleh x + y = 2, 2y = x+4, y = 0f. dibatasi oleh , g. dibatasi oleh kurva h. di kuadran I yang dibatasi oleh i. di kuadran I dibatasi oleh j. diluar r = 4 dan di dalam r = 8 cos θk. lingkaran berpusat di titik asal dengan jari-jari 4 satuan.l. di dalam lingkaran
2. Tentukan pusat luasan-luasan berikut dengan batas-batas yang diberikan
a. dibatasi oleh parabola dan garis b. dibatasi oleh parabola dan garis c. daerah yang dibatasi oleh 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0d. dibatasi oleh , , e. daerah di atas y = 0 yang dibatasi oleh , f. lingkaran
3. Carilah luas bagian bidang x + y + z = 6 dalam silinder 4. Carilah luas bagian bola dalam silinder 5. Tentukan volume benda pejal berikut ini dengan menggunakan
integral ganda tiga dalam koordinat Cartesius.a. dibatasi oleh dan zb. di dalam tabung di atas z = 0 dan dibawah x + z = 4
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 93
.
c. dibatasi oleh bidang-bidang koordinat 6x + 4y + 3z = 12d. di dalam di atas z = 0 dan di bawah e. dibatasi oleh
6. Tentukan volume berikut dengan menggunakan integral ganda tiga dalam koordinat tabung
a. bola dengan persamaan b. persekutuan silinder dan silinder c. benda pejal yang dibatasi oleh dan bidang z = 4d. benda pejal yang dibatasi oleh ,di bawah oleh z =
0 dan secara menyamping oleh 7. Tulislah integral ganda tiga untuk menentukan isi sebuah bola
yang berjari-jari 4 satuan pada tiap kasus dengan: a. koordinat Cartesiusb. koordinat tabung c. koordinat bola
Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo- 94