Upload
duonglien
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
B
D
S
s
S
b
BAB II
DASAR TE
Ga
Selembar kai
sebagaimana
System(KES)
berdasarkan:
• tensile(
• bend
• shear
• compre
EORI
ambar II.1 Berba
n seperti ditu
ditunjukan o
(Kawabata,
(stretch)
ession
agai macam jeni
Gambar II.2
unjukan oleh
oleh Gambar
Niwa, & Ka
is kain, dari kiri
2 Sulaman peny
Gambar II.1 d
II.2. Dengan
awai, 1973)
ke kanan: katun
yusun kain
disusun oleh
n menggunaka
selembar k
n, wol, dan sutra
sulaman ben
an Kawabata
kain dapat d
4
a
ang benang
a Evaluation
didefinisikan
G
m
• friction
G
Gambar II.3,
mendapatkan
Gambar II.3 Eva
Gambar II.4
Gambar II.5 Ev
Gambar II.4,
n nilai nilai te
luasi tensile dan
4 Evaluasi bendin
valuasi compres
dan Gambar
ersebut.
n shear dengan
ng dengan meng
ssion dengan me
r II.5 menunju
menggunakan m
ggunakan mesin
enggunakan me
ukan mesin e
mesin KES FB1
n KES FB2.
esin KES FB3.
evaluasi Kawa
5
abata untuk
6
Metode komputasi untuk menyimulasikan selembar kain mulai diusulkan oleh Weil
(Weil, 1986), namun aplikasi simulasi pertama dibuat oleh Terzopoulos(Terzopoulos,
Platt, Barr, & Fleischer, 1987) pada 1987 dengan menggunakan persamaan Lagrange.
Volino(Volino, Cordier, & Magnenat Thalmann) mendeskripsikan perkembangan
simulasi kain ini dari mulai simulasi statis hingga interaktif. Dari berbagai metode yang
ada, simulasi dengan metode sistem partikel yang diusulkan oleh Provot(Provot, 1995)
adalah metode yang paling cepat komputasinya sehingga banyak digunakan dalam
aplikasi simulasi maupun animasi interaktif. Simulasi selembar kain pada tugas akhir ini
dibuat berdasarkan metode sistem partikel ini.
Gambar II.6 Simulasi sistem partikel pada kain.
2.1 Sistem Partikel Selembar Kain
Menurut Provot(Provot, 1995), selembar kain dapat disederhanakan menjadi sebuah
sistem partikel nm dimana partikel bermassa saling terhubung satu sama lain dengan
pegas. Pegas menghubungkan masing masing partikel bermassa dengan tetangganya
melalui tiga cara (Dencker, 2006), yang disebut sebagai pegas:
7
• Struktural (Structural Springs), yaitu pegas yang menghubungkan partikel massa
],[ ji dengan ]1,[ ji , dan partikel bermassa ],[ ji dengan 1],[ ji ;
• Gunting (Shear Springs), yaitu pegas yang menghubungkan partikel massa ],[ ji
dengan 1]1,[ ji , dan partikel bermassa ]1,[ ji dengan 1],[ ji ;
• Lentur (Flexion Springs), yaitu pegas yang menghubungkan partikel massa ],[ ji
dengan ]2,[ ji , dan partikel bermassa ],[ ji dengan 2],[ ji .
Gambar II.7 Pegas pegas dalam sistem partikel Provot.
Pada kasus pengguntingan kain, hanya pegas pegas gunting yang mengalami tekanan
(stress). Sedangkan pada pelipatan kain, hanya pegas pegas lentur yang mengalami
tekanan. Untuk peregangan kain, hanya pegas pegas struktural yang mengalami
tekanan.
Dalam pemodelan kain ini menjadi sebuah mesh dalam grafik tiga dimensi, setiap
partikel dapat merupakan sebuah vektor posisi. Sehingga untuk membentuk sebuah kain
diperlukan ( nm ) buah vektor, atau ( 1)(2)( nm ) buah poligon. Lebih lanjut
tentang pemodelan ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
8
2.1.1 Dinamika Sistem Partikel
Dalam sistem nm partikel ini, posisi partikel bermassa pada waktu t adalah )(, tjiP
dimana mi ,1,2,= dan nj ,1,2,= . Berdasarkan dinamika Newtonian, gaya yang
bekerja pada setiap partikel adalah:
jiji ,, = aF (1)
dengan adalah massa partikel jiP , dan ji ,a adalah percepatan yang disebabkan oleh
gaya ji ,F .
Gaya gaya yang bekerja pada partikel jiP , (Nikolic) adalah:
• Gaya gaya internal, yaitu gaya gaya yang muncul ketika terjadi tekanan deformasi
pada kain (lenturan, lipatan, dan lainnya);
• Gaya gaya eksternal, seperti gaya oleh gravitasi, angin, dan hambatan angin.
Pada tugas akhir ini gaya gaya yang dilibatkan adalah gaya internal dan gaya oleh
percepatan gravitasi.
2.1.2 Gaya Internal
Gaya internal pada pegas didefinisikan berdasarkan hukum Hook untuk pegas teredam,
)(= vLF disCk , yang pada sistem ini adalah:
))(])[((=)( ,,,,
,,,0,,,,,,,,,
),(, jidis
lkji
lkjilkjilkjilkji
Rlkjiint ClKP v
ll
lF (2)
di mana:
• R adalah kelompok dalam ),( lk dimana partikel lkP , terhubung oleh
sebuah pegas dengan jiP , ,
• lkji ,,,l adalah vektor jarak antara jiP , dengan lkjilk PPP ,,, ,
9
• 0,,, lkjil adalah jarak normal antara ji ,P dengan lk ,P tanpa pengaruh gaya,
• lkjiK ,,, adalah koefisien pegas yang menghubungkan ji ,P dengan lk ,P ,
• disC adalah koefisien redaman pegas,
• ji,v adalah vektor kecepatan partikel ji ,P .
2.1.3 Gaya Eksternal
Gaya oleh percepatan gravitasi g yang merupakan berat partikel jiP , adalah:
gW =)( , jiP (3)
Sedangkan gaya oleh aliran fluida angin dengan kecepatan konstan,
jijifluidjivijivi CP ,,,, )]([=)( nvunF (4)
dengan ji,n adalah vektor normal pada permukaan di titik jiP , , viC adalah koefisien
fluida, dan fluidu adalah vektor kecepatan fluida.
2.1.4 Persamaan Gerak
Gaya pada persamaan (2), (3), dan (4) dapat digunakan untuk mendapatkan )(, tjiF ,
yaitu,
).()()(=)( ,,,, jivijijiintji PPPt FWFF (5)
2.2 Metode Verlet
Metode Verlet adalah metode integrasi numerik yang banyak dipakai untuk perhitungan
lintasan partikel dalam simulasi dinamika molekul (molecular dynamics). Integrasi Verlet
jauh lebih stabil jika dibandingkan dengan metode Euler yang lebih sederhana. Dan
memiliki ketelitian mendekati Runge Kutta Orde 4.
10
Algoritma verlet pada dasarnya adalah ekspansi Taylor untuk dan
sebagai berikut:
(6)
(7)
Dengan menambahkan persamaan (6) dan (7)didapat:
(8)
Persamaan inilah digunakan dalam metode Verlet. Untuk dibutuhkan
yang tidak mungkin didapat. Oleh karena itu untuk insialisasi digunakan:
(9)
Kecepatan didapat dengan menggunakan:
(10)
Sepertihalnya untuk mendapatkan , hanya bisa didapat jika ada untuk
dan . Untuk itu metode verlet ini dapat dioptimasi dengan
memasukan kecepatan, disebut juga metode verlet kecepatan (velocity verlet), yaitu:
(11)
(12)
Setelah gaya pada , maka percepatan didapat dengan
, sehingga
(13)
2.2.1 Perbandingan Metode
Untuk menunjukan perbandingan metode numerik yang akan digunakan dalam tugas
akhir ini, digunakan dua contoh kasus. Pertama, pegas sederhana seperti pada Gambar
II.8.
P
D
J
Persamaan ge
Dengan
Jika diketahu
eraknya berd
dan kondisi
i k = 0.04 dan
Gambar
dasarkan huku
i awal d
n m = 1 didap
r II.8 Pegas sede
um Newton a
dan
, dengan
at tabel berik
erhana
dalah:
didapat solu
n
kut:
usi khusus:
11
12
t
Euler Midpoint RK4 Verlet
v y v y v y v y
0 0 10 0 10 0 10 0 10
1 0,4 9,6 0,398 9,602 0,398338 9,60166 0,395 9,8
2 0,78 8,82 0,7762 8,8258 0,776842 8,82482 0,770299 9,21098
3 1,125 7,695 1,119743 7,70606 1,120633 7,70419 1,11112 8,26031
4 1,42155 6,27345 1,415303 6,29075 1,41636 6,28783 1,404208 6,98954
5 1,658273 4,61518 1,651593 4,63916 1,652724 4,6351 1,638344 5,45256
6 1,826297 2,78888 1,819798 2,81936 1,820899 2,8142 1,804774 3,71336
7 1,919589 0,86929 1,913902 0,90546 1,914866 0,89934 1,897534 1,84334
8 1,935165 1,065873 1,930896 1,025433 1,931621 1,032284 1,913657 0,081574
9 1,873178 2,939052 1,870871 2,896304 1,871265 2,903549 1,853265 1,984032
10 1,736884 4,675936 1,736983 4,633287 1,736971 4,64052 1,719529 3,788349
11 1,532478 6,208414 1,535295 6,168582 1,534824 6,175343 1,518518 5,423514
12 1,268817 7,477231 1,274509 7,443092 1,273552 7,448895 1,258924 6,825969
13 0,957039 8,434271 0,965593 8,408685 0,964151 8,413046 0,951688 7,942079
14 0,610098 9,044369 0,62132 9,030004 0,619426 9,032472 0,609544 8,730166
15 0,242222 9,286591 0,255743 9,285748 0,253459 9,285931 0,246492 9,162059
16 0,13166 9,154928 0,11637 9,169374 0,11896 9,166972 0,12277 9,224078
17 0,49654 8,658384 0,48016 8,689216 0,48293 8,684042 0,48346 8,917437
18 0,83791 7,82047 0,82121 7,868006 0,82404 7,860002 0,82125 8,258049
19 1,14235 6,678117 1,12619 6,74182 1,12893 6,731075 1,12291 7,275742
20 1,39805 5,280062 1,3833 5,358515 1,38581 5,345265 1,37675 6,012932Tabel II 1 Tabel perbandingan metode numerik untuk pegas sedehana
Dari Tabel II 1didapat plot grafik untuk kecepatan dan posisi yang didapat dari metode
metode tersebut sebagai berikut:
13
Gambar II.9 Plot kecepatan dan posisi masing masing metode
Contoh kasus kedua adalah pemecahan persamaan diferensial non linier:
Didapat tabel sebagai berikut:
t Euler Midpoint RK4 Verlet
1 1 1 1 11,025 1,063935 1,066817 1,066869 1,0668691,05 3,864942 1,141178 1,141332 1,1364191,075 5,747953 1,227026 1,227418 1,2094981,1 6,154987 1,333901 1,335079 1,287579
1,125 7,026081 1,502286 1,510449 1,3736631,15 8,944495 1,330172 1,559585 1,476041,175 9,423525 1,494791 2,140575 1,6482341,2 10,42227 1,272216 2,125942 1,924863
1,225 12,97113 1,397009 2,109932 2,206691Tabel II 2 Tabel perbandingan metode numerik untuk kasus persamaan diferensial non linier
15
10
5
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25
Euler
Midpoint
RK4
Verlet
14
Dari Tabel II 2 didapat plot grafik sebagai berikut:
Gambar II.10 Plot perbandingan berbagai metode pada kasus persamaan diferensial non linier
Pada Gambar II.10 terlihat ketidakstabilan metode Euler. Terlihat pula metode Verlet
dapat mendekati Runge Kutta orde 4.
2.3 Pemecahan Persamaan Gerak dengan Metode Verlet
Subtitusi persamaan (1) dan (5) dengan persamaan (11), (12), dan (13) didapat:
(14)
(15)
(16)
(17)
dengan,
).()()(=)( ,,,, jivijijiintji PPPt FWFF
Persamaan (14), (15), (16), dan (17) inilah yang akan digunakan dalam perhitungan
simulasi sistem partikel.
0
2
4
6
8
10
12
14
1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25
Euler
Midpoint
RK4
Verlet