BAB II KAJIAN PUSTAKA - Welcome to Lumbung Pustaka …eprints.uny.ac.id/17494/3/BAB II.pdf · besarnya standar deviasi atau varian dari nilai-nilai return aktiva tunggal. Dengan

7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

Berikut diberikan landasan teori mengenai Teori Portofolio, Turunan

Parsial, Supremum dan Infimum, Himpunan Konveks, Program Nonlinear,

Matriks Definit Positif dan Definit Negatif, Persyaratan Karush Kuhn Tucker,

Metode Kuadratik, Permasalahan Komplementaritas Linear, Langkah-langkah

Metode Kuadratik dan Program Linear.

A. Teori Portofolio

1. Pengertian Portofolio

Menurut Sunariyah (2004:194), portofolio adalah serangkaian

kombinasi beberapa sekuritas yang diinvestasi dan dipegang oleh

investor, baik perorangan maupun lembaga. Sekuritas dapat berupa

saham, surat berharga, obligasi, sertifikat dan lain-lain. Portofolio dapat

didefinisikan sebagai suatu kombinasi atau gabungan sekumpulan aset

dengan mengalokasikan dana pada aset-aset tersebut dengan tujuan

memperoleh keuntungan di masa yang akan datang. Portofolio efisien

adalah memaksimalkan expected return dengan tingkat resiko tertentu,

atau portofolio yang menawarkan risiko rendah dengan expected return

tertentu. Investor cenderung menghindari risiko dalam pembentukan

portofolio efisien yang artinya apabila portofolio tersebut dibandingkan

dengan portofolio lain mempunyai expected return terbesar dengan risiko

terkecil.

8

2. Return

Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi. Adanya

hubungan positif antara return dan risiko dalam berinvestasi yang dikenal

dengan high risk- high return, yang artinya semakin besar risiko yang

ditanggung, semakin besar pula return yang diperoleh. Hal ini

dimaksudkan sebagai harus ada pertambahan return sebagai kompensasi

dari pertambahan risiko yang akan ditanggung oleh investor. (Jogiyanto,

2014:19).

Return realisasi (realized return) merupakan return yang telah

terjadi. Return realisasi banyak digunakan sebagai data untuk investasi,

termasuk digunakan sebagai data analisis portofolio. Return realisasi

(realized return) dihitung dengan menggunakan data historis. Menurut

Jogiyanto (2003:109) return historis juga berguna sebagai dasar

penentuan return ekspektasi (expected return) dan risiko di masa

mendatang. Return ekspektasi (expected return) adalah return yang

diharapkan akan diperoleh oleh investor di masa mendatang. Berbeda

dengan return realisasi yang sifatnya sudah terjadi, return ekspektasi

sifatnya belum terjadi.

a) Return realisasi portofolio adalah rata-rata tertimbang dari return

realisasi setiap aset tunggal di dalam portofolio (Jogiyanto,

2014:94). Secara matematis untuk n aset, return realisasi portofolio

dapat ditulis:

(2.1)

9

Keterangan:

: return realisasian portofolio

: proporsi dana yang diinvestasikan pada saham i

: return realisasian dari aset ke-

: jumlah dari aset tunggal

b) Jika seseorang menginvestasikan dananya pada saham ke-i periode

dengan harga dan harga pada periode selanjutnya

adalah , maka return total pada periode sampai adalah

. Return total dapat digambarkan sebagai

pendapatan relatif atau tingkat keuntungan (profit rate).

Dengan demikian, return total dapat dinyatakan sebagai berikut

(Jogiyanto, 2003:206)

= (2.2)

Keterangan:

: return total realisasi portofolio

: Harga penutupan saham ke-i pada periode ke-

: Harga penutupan saham ke-i pada periode ke-

3. Expected Return

Menurut Jogiyanto (2014:24) return ekspekatasi (expected return)

merupakan return yang diharapkan dari investasi yang akan dilakukan.

Return ekpektasi merupakan return yang penting karena dapat digunakan

sebagai pengambilan keputusan investasi. Return ekspektasi yang

10

menggunakan data historis dapat dihitung berdasarkan beberapa cara

sebagai berikut:

1) Metode rata-rata (mean method)

2) Metode tren (trend method)

3) Metode jalan acak (random walk method)

Diantara ketiga metode yang paling banyak digunakan adalah metode

rata-rata (mean method) dibandingkan dengan metode rata-rata aritmatika

(arithmetic mean) dan rata-rata geometrik (geometric mean).

a. Expected return saham individual

= (2.3)

Keterangan:

: nilai ekspektasi

: return aset ke- pada periode ke-

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

b. Expected return Portofolio

Menurut Jogiyanto (2014:19) return ekspektasian

portofolio dapat dihitung dari rata-rata return ekspektasian masing-

masing aset tunggal di dalam portofolio. Untuk aset, return

ekspektasian portofolio dapat dinyatakan secara matematis sebagai

berikut:

= (2.4)

Keterangan:

: nilai harapan return portofolio

11

: proporsi dari aset ke-i terhadap seluruh aset di

portofolio

: nilai harapan return aktiva ke-i


4. Risiko

Menurut Abdul Halim (2003:42) risiko didefinisikan sebagai

besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan

(expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata

(realized return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar

pula tingkat risikonya. Apabila risiko dinyatakan sebagai seberapa jauh

hasil yang diperoleh dapat menyimpang dari hasil yang diharapkan, maka

digunakan ukuran penyebaran adalah varians atau deviasi standar.

Risiko dalam investasi dibedakan menjadi dua, yaitu:

a. Risiko saham individual

Risiko saham invidual dihitung dengan menggunakan rumus

sebagai berikut:

(2.5)

Keterangan:

σi2 : varians dari investasi pada saham i


: return aset ke-i pada periode ke-t


12

b. Risiko Portofolio

Menurut Jogiyanto (2014:59) salah satu pengukur risiko adalah

standar deviasi atau varian (variance) yang merupakan kuadrat dari

standar deviasi. Risiko portofolio dapat diukur dengan ukuran

besarnya standar deviasi atau varian dari nilai-nilai return aktiva

tunggal. Dengan demikian, varian return portofolio yang merupakan

risiko portofolio dapat ditulis sebagai berikut:

(2.6)

Dimana , sehingga persamaan (2.6)

menjadi:

(2.7)

13

Jika persamaan (2.7) ditulis dalam simbol-simbol diperoleh

persamaan sebagai berikut:

(2.8)

(2.9)

Keterangan:

σi2 : varians dari investasi pada saham i

: Risiko portofolio


: return aktiva ke-i pada periode ke-t


5. Model Mean Variance Markowitz

Model mean variance markowitz pertama kali diperkenalkan

tahun 1952 oleh Harry Markowitz dala paper berjudul portofolio

selection tentang pemilihan portofolio optimal secara kuantitatif.

Dalam paper tersebut, Harry Markowitz mengidentifikasi expected

return dan risiko menggunakan varians return, dimana varians tersebut

diminimalkan untuk tingkat ekspektasi tertentu.

Teori portofolio optimal menggunakan model Markowitz didasarkan

pada empat asumsi sebagai berikut (Jogiyanto, 2003:204):

1) Waktu yang digunakan hanya satu periode

2) Tidak ada biaya transaksi

14

3) Prefensi investor hanya didasarkan pada expected return dan risiko

dari portofolio

4) Tidak adanya pinjaman dan simpanan bebas risiko

Menurut Moehring (2013) portofolio optimal menggunakan model

mean-variance Markowitz berdasarkan prefensi investor adalah

sebagai berikut:

a. Meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu

Fungsi tujuan:

Meminimumkan (2.10)

dengan kendala:

(2.11)

artinya jumlah proporsi dana sama dengan satu (2.12)

(2.13)

b. Memaksimumkan return dengan tingkat risiko tertentu

Fungsi tujuan:

Memaksimumkan (2.14)

dengan kendala:

(2.15)

artinya jumlah proporsi dana sama dengan satu

15

B. Turunan Parsial

Definisi 2.1 (Purcell dan Varberg, 2001:141)

Jika terdefinisi dalam domain D dibidang , sedangkan turunan

pertama terhadap dan disetiap titik ada maka:

Turunan pertama di (selain dianggap konstan) adalah

Turunan pertama di (selain dianggap konstan) adalah

Dapat dinotasikan sebagai

1. Turunan parsial fungsi n variabel

Diberikan fungsi n variabel dari dengan persamaan

, maka turunan-turunan parsialnya yaitu:

, , ....,

Khusus untuk fungsi tiga variabel dari dengan persamaan

, maka turunan-turunan parsialnya yaitu:

, ,

2. Turunan Parsial Derajat Dua

Pengertian dan notasi turunan parsial derajat dua fungsi

dinyatakan dalam simbol-simbol berikut:

16

C. Supremum dan Infimum

Berikut ini diperkenalkan konsep tentang batas atas dan batas bawah dari

suatu himpunan bilangan real.

Definisi 2.2 (Robert G. Bartle, 1927:35)

Diberikan S subset tak kosong

(a) Himpunan S dikatakan terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat

suatu bilangan sedemikian hingga untuk semua . Setiap

bilangan u seperti ini disebut dengan batas atas (upper bound) dari S.

(b) Himpunan S dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika terdapat

suatu bilangan sedemikian hingga untuk semua . Setiap

bilangan w seperti ini disebut dengan batas bawah (lower bound) dari S.

(c) Suatu himpunan dikatakan terbatas (bounded) jika terbatas ke atas dan

terbatas ke bawah. Jika tidak, maka dikatakan tidak terbatas

(unbounded).

17

Definisi 2.3 (Robert G. Bartle, 1927:35)

Diberikan S subset tak kosong ℝ .

(a) Jika S terbatas ke atas, maka suatu bilangan u disebut supremum (batas

atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi berikut:

(1) u merupakan batas atas S, dan

(2) jika v adalah sebarang batas atas S, maka .

Ditulis u = sup S .

(b) Jika S terbatas ke bawah, maka suatu bilangan w disebut infimum (batas

bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi berikut:

(1) w merupakan batas bawah S, dan

(2) jika t adalah sebarang batas bawah S, maka .

Ditulis w = inf S

D. Himpunan Konveks

Menurut Mokhtar S Bazaraa (1979:34) konsep konveks sangat penting

dalam permasalahan optimasi. Konsep fungsi konveks berhubungan langsung

dengan himpunan konveks. Jika adalah fungsi konveks maka

kumpulan titik-titik yang terletak pada membentuk himpunan

konveks.

Definisi 2.4 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:34)

Himpunan S yang tidak kosong di merupakan konveks jika segment garis

menghubungkan dua titik yang berada dalam himpunan. Dengan kata lain,

jika S maka λ +(1-λ) juga anggota S untuk λ (0,1).

18

Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini:

1. Fungsi Konveks


Diketahui dimana S adalah himpunan konveks yang tidak

kosong di . Fungsi dikatakan fungsi konveks di S ketika

untuk setiap dan

untuk λ (0,1).

Fungsi dikatakan fungsi konveks ketat ketika tanda ≥ dapat

diganti dengan dan merupakan fungsi konkaf (fungsi konkaf ketat) jika

dapat diganti dengan . Untuk fungsi dengan satu variabel ketika

fungsi memiliki turunan kedua, maka bersifat konveks jika dan

hanya jika , untuk setiap nilai .

Dapat disimpulkan bahwa:

a. Fungsi konveks jika dan hanya jika , untuk setiap nilai

.................................. (2.16)

A

B

Konkaf

A

B

konveks

Gambar 1. Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf

19

b. Fungsi konveks ketat jika dan hanya jika , untuk setiap

nilai .

c. Fungsi konkaf jika dan hanya jika , untuk setiap nilai .

d. Fungsi konkaf ketat jika dan hanya jika , untuk setiap

nilai .

2. Fungsi konveks dan fungsi konkaf dengan banyak variabel

Turunan parsial kedua dapat digunakan untuk menguji konveks

atau konkafnya suatu fungsi dengan banyak variabel. Sebagai contoh

terdapat dua variabel maka untuk mengetahui fungsi konveks

atau konkaf seperti pada tabel dibawah ini:

Tabel 1 Fungsi Konveks dan Konkaf Dengan Variabel Banyak

Kuantitas Konveks Konveks

Ketat

Konkaf Konkaf

Ketat

20

3. Pseudoconvex


S bukan himpunan kosong di dan terdiferensial di S. Fungsi

dikatakan pseudoconvex ketika untuk setiap dengan

, maka . Ekuivalen dengan ketika

, maka . Fungsi dikatakan

pseduconcave jika adalah pseudoconvex.

Perbedaan pseudoconvex dan bukan pseudoconvex tampak pada Gambar

2 di bawah ini:

(i) Pseudoconvex (ii) bukan pseudoconvex

Gambar 2. Perbedaan Pseudoconvex

4. Quasiconvex


Terdapat dimana S himpunan konveks yang tidak kosong di

. Fungsi dikatakan quasiconvex ketika untuk setiap

memenuhi pertidaksamaan sebagai berikut:

21

, .

Fungsi dikatakan quasiconcave jika – adalah quasiconvex.

Dari definisi di atas, fungsi quasiconvex jika

dimana lebih besar atau sama dengan fungsi dari semua

kombinasi konveks dan . Fungsi dikatakan quasiconcave jika

dimana fungsi dari semua kombinasi konveks dan

lebih besar atau sama dengan .

Perbedaan quasiconvex, quasiconcave dan bukan keduanya tampak pada

Gambar 3 di bawah ini:

(i) Quasiconvex (ii) Quasiconcave (iii) Bukan keduanya

Gambar 3. Perbedaan Quasiconvex

5. Closure And Interior Of A Convex Set


Diketahui S himpunan di , titik dikatakan closure dari dinotasikan

dengan ketika untuk setiap . Ketika ,

dinamakan closed. dikatakan interior dari dinotasikan dengan

yaitu ketika untuk Ketika , dikatakan open.

22

Adapun teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi Konveks dan akan

berkaitan dengan syarat Karush Kuhn Tucker antara lain yaitu:

(i) Teorema 2.1 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:45)

Jika S himpunan konveks tertutup tak kosong di dan , maka ada

vektor taknol p dan skalar α sedemikian sehingga dan

untuk .

Bukti:

Karena S himpunan konveks tertutup tak kosong di dan , maka

ada titik minimum khusus sedemikian sehingga

untuk . Perhatikan bahwa

(a)

Karena untuk , maka persamaan (a)

menjadi untuk yang lain, dimana

. Terlihat bahwa untuk .

Diperoleh α=sup{ }.

(ii) Teorema 2.2 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:48)

Diketahui S himpunan konveks tak kosong di . Jika , maka ada

sebuah hyperplane yang mendukung S pada yaitu ada sebuah vektor

taknol p sedemikian sehingga untuk yang lain.

Bukti:

Karena , ada sebuah barisan yang bukan pada sedemikian

sehingga . Berdasarkan pada Teorema 2.1, berkorespondensi

untuk yang lain ada sedemikian sehingga untuk

23

yang lain. Karena adalah terbatas, sehingga memiliki sebuah

subbarisan yang konvergen dengan limit p dengan panjang adalah

sama dengan satu. Mempertimbangkan subbarisan ini memiliki

untuk yang lain. Menentukan dan memilih limit

seperti mendekati . Sehingga . Jadi ada hyperplane

yang mendukung S untuk .

(iii) Teorema 2.3 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:49)

Jika dan adalah himpunan konveks tak kosong sehingga

, maka ada hyperplane pemisah dan , dan juga ada vektor bukan

nol p di sedemikian sehingga inf{ sup{ .

Bukti:

Ada dan .

S= . Perhatikan bahwa S adalah konveks dan

karena akan mengakibatkan menjadi tidak kosong. Karena S

adalah himpunan konveks maka ada vektor p bukan nol dimana p

sedemikian sehingga untuk setiap . Ini berarti

untuk setiap dan

(iv) Epigraph (Epi)


Diketahui S himpunan tak kosong di dan . Epigraph dari

dinotasikan dengan epi , yang merupakan subset dari dan

didefinisikan oleh

24

(v) Teorema 2.4 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:85)

Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan jika

maka fungsi konveks jika dan hanya jika epi adalah himpunan

konveks.

Bukti:

Dengan mengasumsikan bahwa adalah konveks, dan jika ( dan

( epi , maka , dan . Untuk

λ berlaku

Dimana pertidaksamaan di atas mengikuti konvektivitas dan

. Demikian juga karena epi adalah konveks maka

epi . Bertentangan dengan

asumsi bahwa epi adalah konveks, dan jika maka

dan termasuk dalam epi . Dengan mengikuti konvektivitas

epi maka epi untuk

λ

Dengan kata lain, karena

untuk λ sehingga adalah konveks.

(vi) Teorema 2.5 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:87)

Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan jika

maka untuk ada sebuah vektor Ɛ sehingga hyperplane

didukung epi pada [ )]. Pada

25

bagian khusus untuk yang

lainnya,sehingga adalah sebuah subgradient dari untuk .

Bukti:

Berdasarkan pada Teorema 2.4, epi adalah konveks. Dilain sisi

[ )] menjadi batas dari epi . Dan berdasarkan Teorema 2.2 ada

vektor taknol sedemikian sehingga

untuk semua (a)

Perhatikan bahwa adalah tidak positif karena pertidaksamaan di atas

akan terjadi kontradiksi dengan memilih y yang cukup besar. Akan

diperlihatkan bahwa , dengan cara kontradiksi, dan didukung oleh

, maka untuk semua Karena , ada

sedemikian sehingga , dan karena

berimplikasi bahwa dan ( . Terjadi kontradiksi

dengan ( adalah sebuah vektor taknol. Walaupun begitu,

Menunjukkan oleh dan dengan membagi pertidaksamaan (a)

dengan , diperoleh untuk semua

epi (b)

Secara khusus, hyperplane

didukung epi pada [ )]. Dengan pada persamaan (b),

diperoleh untuk semua .

26

(vii) Lemma 2.1 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:90)

Diketahui S himpunan konveks tak kosong di , dan fungsi

konveks. Jika terdiferensial di maka ada subgradient untuk

adalah himpunan tunggal { }.

Bukti:

Karena terdiferensial di dan S himpunan konveks yang tak

kosong, maka subgradient untuk juga tidak kosong. Dimisalkan Ɛ

adalah subgradient untuk . Untuk beberapa vektor d dan λ diperoleh

(a)

(b)

Dengan mengurangi persamaan (a) dan (b) dari pertidaksamaan,

diperoleh

Jika membagi persamaan (c) dengan λ diperoleh

jika λ atau berdasarkan pada Definisi 2.2 nilai

maka . Untuk d= , sehingga

. Misal sehingga jelas

bahwa . Jadi sehingga .

E. Matriks Hessian

Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari

turunan parsial kedua dari suatu fungsi. Misalkan suatu fungsi dengan n

variabel, matriks Hessian dari yaitu:

27

(2.17)

F. Vektor Gradien


Terdapat S bukan himpunan kosong di dan . dikatakan

terdiferensial di jika ada vektor gradien )(xf yaitu:

xd

df

x

f

x

f

x

f

xf

n

.

.)( 2

1

(2.18)

Suatu fungsi sedemikian sehingga

dengan .

Contoh 2.1

686423)( 2121

2

2

2

1 xxxxxxxf

maka,

28

844

646)(

21

21

2

1

xx

xx

x

f

x

f

xf

Dengan memenuhi syarat perlu keoptimalan, yaitu

0xf .0646 21 xx

0844 21 xx

022 1x

11x 32x

Jadi 3

1*x adalah titik optimal dari xf .

G. Titik Kritis

Teorema 2.6 (Edwin J Purcell, 2010:248)

(Teorema Titik Kritis) andaikan fungsi didefinisikan pada selang I yang

memuat titik c. Jika adalah nilai ekstrem, maka haruslah berupa suatu

titik kritis, yakni berupa salah satu dari:

(i) Titik ujung dari I

(ii) Titik stasioner dari atau

(iii) Titik singular dari

29

Bukti:

Dengan berupa nilai maksimum pada I , maka untuk

semua dalam I, yaitu .

Jadi, jika sehingga , maka

(1)

Sedangkan jika , maka

(2)

Akan tetapi, ada karena c bukan titik singular. Akibatnya, apabila

dalam persamaan (1) dan dalam persamaan (2), maka

diperoleh dan . Sehingga dapat disimpulkan bahwa

.

Titik kritis untuk penyelesaian program nonlinear dapat digolongkan

sebagai maksimum atau minimum lokal. Maksimum atau minimum global

akan diperoleh dengan membandingkan minimum lokal dan maksimum lokal

dan kemudian menguji nilai dari fungsi tersebut.

Teorema 2.7 (Hillier, 2001:664)

Jika fungsi diketahui konveks maupun konkaf, maka titik kritis pasti

merupakan minimum global maupun maksimum global.

Bukti:

Perhatikan masalah optimisasi berikut

Min

dengan kendala xєS

30

Jika S adalah himpunan konveks, adalah fungsi konveks dan

adalah titik minimum lokal untuk masalah optimasi maka adalah titik

minimum global dari pada himpunan S.

Misalkan bukan titik minimum global atau titik minimum lokal,

maka terdapat yєS yang memenuhi . Sebut saja

yang merupakan kombinasi konveks dari dan y, untuk .

Hal ini mengakibatkan , untuk .

Karena adalah fungsi konveks maka berlaku

untuk setiap . Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa adalah

minimum lokal. Dengan demikian haruslah merupakan titik minimum

global.

H. Program Nonlinear

Untuk permasalahan-permasalahan optimasi tertentu, fungsi kendala

dan fungsi tujuan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Menurut

Mokhtar S.Bazaraa (1979:1) program nonlinear merupakan salah satu teknik

dari riset operasi untuk menyelesaikan permasalahan optimasi dengan fungsi

tujuan berbentuk nonlinear dan fungsi kendala dapat berbentuk nonlinear

atau linear. Pada umumnya permasalahan program nonlinear untuk

31

menentukan nilai yang merupakan variabel-variabel

keputusan dengan fungsi tujuan:

Maksimum / minimum (2.19)

Fungsi kendala: (2.20)

untuk i = 1, 2, ..., m dengan merupakan konstanta tak negatif. Menurut

Hillier (2001:664) terdapat 3 bentuk permasalahan program nonlinear, yaitu:

1. Program Nonlinear Tanpa Kendala

Program nonlinear tanpa kendala merupakan optimasi yang tidak

memiliki kendala dengan fungsi tujuan berbentuk nonlinear. Bentuk

model program nonlinear tanpa kendala untuk menentukan nilai

dengan

Fungsi tujuan: maksimum / minimum (2.21)

Untuk menyelesaikan permasalahan program nonlinear tanpa kendala

terdapat dua syarat keoptimalan, yaitu:

a. Syarat Perlu Keoptimalan

Syarat perlu keoptimalan digunakan untuk mencari titik-titik

optimal *x pada pendekatan analitis. Syarat perlu keoptimalan

mengatakan bahwa :

Bila *x adalah titik optimal dari )(xf maka :

0*xf (2.22)

Dengan )(xf merupakan vektor gradien. *x yang memenuhi

persamaan di atas merupakan titik optimal.

32

b. Syarat Cukup Keoptimalan

Syarat cukup keoptimalan digunakan untuk menentukan apakah

titik optimal yang didapatkan dari syarat perlu keoptimalan

merupakan titik minimum atau titik maksimum.

Syarat cukup keoptimalan yaitu :

Bila 0*xf dan *xH definit positif maka *x titik minimum

..............(2.23)

Bila 0*xf dan *xH definit negatif maka *x titik maksimum

..............(2.24)

Contoh 2.2

Suatu fungsi :

686423)( 2121

2

2

2

1 xxxxxxxf :

Pada contoh 2.1 telah didapatkan titik optimal3

1*x dan

didapatkan matrik Hessiannya adalah :

44

46)( *xH adalah definit positif

33

Jadi, 3

1*x adalah titik minimum dengan

3624612183*xf

2. Program Nonlinear Dengan Kendala Linear

Program nonlinear dengan kendala linear merupakan optimasi

dengan kendala berbentuk fungsi linear dan fungsi tujuan berupa fungsi

nonlinear. Untuk menentukan nilai dengan bentuk

umum adalah:

Maksimum / minimum : (2.25)

dengan kendala : (2.26)

untuk m=1,2,..., n.

3. Program Nonlinear Berkendala

Menurut Taha (2007:699) program nonlinear berkendala merupakan

masalah optimasi dengan fungsi tujuan nonlinear dan fungsi kendala

nonlinear. Program nonlinear berkendala dibedakan menjadi dua yaitu:

a. Untuk bentuk umum program nonlinear dengan

kendala kesamaan (equality) adalah

Fungsi tujuan : Maksimum / minimum : (2.27)

Fungsi kendala : (2.28)

dimana menunjukkan jumlah kendala dan menunjukkan jumlah

variabel dengan .

b. Bentuk umum program nonlinear dengan kendala pertidaksamaan

adalah

34

Maksimum / minimum : (2.29)

dengan kendala : 0 untuk i = 1, 2, ..., n (2.30)

I. Matriks Definit Positif dan Definit Negatif

Ada dua pendekatan/cara untuk menentukan apakah suatu matriks

persegi merupakan matriks definit positif atau matriks definit negatif atau

tidak definit. Pendekatan pertama lebih bersifat teoritis, seperti dijelaskan

berikut ini.

Definisi 2.11 (Howard Anton, 1995:320)

A matriks persegii (nxn), maka secara teoritis berlaku :

a. A disebut Definit Positif nRx

b. A disebut Definit Negatif nRx

c. A disebut Semi Definit Positif nRx

d. A disebut Semi Definit Negatif nRx

Pembuktian yang harus berlaku untuk semua x bilangan real tidak

mudah, maka para ahli matematika telah membuktikan cara/pendekatan yang

kedua.

35

Didefinisikan suatu matriks persegi A

Didefinisikan minor – minor utama dari matriks A adalah sebagai berikut :

111 aA

2221

1211

2aa

aaA

333231

232221

131211

3

aaa

aaa

aaa

A

Sehingga cara/pendekatan kedua untuk menentukan kedefinitan suatu matriks

adalah sebagai berikut :

a. A disebut Definit Positif det , i= 1, 2, ..., n (2.31)

b. A disebut Definit Negatif det , i= 1, 2, ..., n (2.32)

c. A disebut Semi Definit Positif det 0, i= 1, 2, ..., n (2.33)

d. A disebut Semi Definit Negatif det , i= 1, ..., n (2.34)

36

Contoh 2.3

Diketahui matriks 44

46H dan dan adalah minor-minor matriks

H. Determinan minor – minor matriks H adalah

det 661H > 0

det 8162444

462H > 0. Jadi, matriks H adalah Definit Positif

J. Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier)

Menurut Purcell dan Varberg (1987:303) fungsi lagrange digunakan

untuk menyelesaikan permasalahan optimasi (penentuan harga ekstrim),

dimana terdapat batasan-batasan (constrains) tertentu.

1. Satu Pengali Lagrange

Prinsip dari metode ini adalah mencari harga ekstrim (optimasi)

suatu fungsi objektif dengan batasan-batasan tertentu yang harus

dipenuhi, yaitu .

Cara: dibentuk Fungsi Lagrange

Dengan syarat ekstrim:

, dan

Parameter λ inilah yang disebut pengali Lagrange.

37

2. Lebih dari satu pengali Lagrange

Jika pengali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka

penggunaan parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi λ, μ atau

parameter yang lain.

Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrim dengan

kendala dan maka fungsi Lagrangenya adalah:

Cara penyelesaiannya adalah

, , dan

Metode ini dapat diperluas untuk n variabel

dengan k kendala

, ,...,

Sebagai Fungsi Lagrangenya adalah:

Dengan cara penyelesaiannya adalah:

,

Dengan adalah pengali Lagrange.

K. Persyaratan Karush Kuhn Tucker (KKT)

Pada tahun 1951 Kuhn Tucker mengemukakan suatu teknik optimasi

yang dapat digunakan untuk mencari titik optimum dari permasalahan

38

berkendala baik itu permasalahan linear ataupun nonlinear. Menurut Mokhtar

S Bazaraa (1979:123) untuk fungsi konveks, syarat perlu dan syarat cukup

untuk mencari titik optimum dapat menggunakan syarat Karush Kuhn Tucker.

Tetapi untuk fungsi nonkonveks, syarat Karush Kuhn Tucker merupakan

syarat perlu saja, akan tetapi belum cukup untuk mencapai nilai optimal. Jadi

untuk fungsi konveks, syarat Karush Kuhn Tucker menjadi syarat perlu dan

syarat cukup untuk mencapai nilai minimum \ maksimum global.

Adapun teorema-teorema dan definisi yang berkaitan dengan syarat Karush

Kuhn Tucker antara lain yaitu:

1) Definisi 2.12 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:124)

d adalah descent direction untuk apabila ada d yang memenuhi

dan ada dan λє(0, sedemikian sehingga

.

2) Definisi 2.13 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:127)

Jika S bukan himpunan kosong di En, dan єcl S. Cone of feasible

direction dari S untuk , dinotasikan dengan D, diberikan oleh

untuk setiap dan

Vektor bukan nol yang lainnya disebut feasible direction.

3) Teorema 2.8 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:128)

meminimumkan dengan kendala .

Diketahui dan S himpunan tak kosong di dan

terdiferensial di titik . Jika adalah solusi optimal lokal, maka

39

, dimana dan D adalah cone feasible

direction S untuk

Bukti:

Dengan cara kontradiksi, andai , ada d , berarti d

dan d .

Berdasarkan pada Definisi 2.12, maka ada , sehingga

untuk λє(0, (a)

Dan juga berdasarkan pada Definisi 2.13, maka ada sehingga

untuk λє(0, . (b)

Dari persamaan (a) dan (b) jelas ada dan

. Hal ini bertentangan dengan asumsi awal bahwa adalah solusi

optimum lokal. Jadi


Diketahui:

untuk , dan himpunan terbuka yang tidak

kosong di . Mempertimbangkan permasalahan meminimumkan

dengan kendala untuk , dan . adalah titik

yang mungkin, dan diketahui . Dengan dan untuk

terdiferensial di dan untuk adalah kontinu di .

Jika adalah solusi optimum lokal, maka ,

dimana

untuk

40

Bukti:

Dengan dan dimana adalah himpunan terbuka,

berdasarakan pada Definisi 2.13 maka ada sehingga

untuk λє(0, (a)

Karena dan adalah kontinu di untuk ada

sehingga

karena dan untuk

λє(0, dan (b)

Karena , <0 untuk dan dengan Definisi 2.2, ada

sehingga

untuk λє(0, dan (c)

Dari persamaan (a), (b), dan (c) diperoleh bahwa adalah

solusi yang mungkin dari permasalahan P untuk λє(0, , dimana =

minimum ( ). Jelas bahwa untuk sembarang

berimplikasi dengan , sehingga Berdasarkan pada Teorema

2.8, karena adalah solusi lokal untuk permasalahan P, dan .

Karena diketahui sehingga . Karena jelas bahwa

.


Diketahui X himpunan tak kosong di , , untuk

, dan untuk . Masalah P

dinyatakan dalam bentuk

Minimum :

41

Dengan kendala : , dengan

, dengan

solusi optimum lokal dari masalah P, . Diketahui

untuk kontinu di , dan , untuk terdiferensial di , dan

untuk terdiferensial kontinu di . Jika untuk

adalah bebas linear, maka

,

dimana

untuk

untuk

Bukti:

Dengan cara kontradiksi, andai , ada

sedemikian sehingga , untuk dan

dimana adalah sebuah matriks yang berukuran

yang mana kolom th tersebut adalah . Untuk ,

didefinisikan dengan mengikuti persamaan diferensial dan

syarat batas:

(a)

(b)

Dimana adalah matriks yang dibangun untuk beberapa vektor di

ruang null dari . Untuk yang cukup kecil persamaan (a)

adalah terdifinisi dengan baik dan dapat dipecahkan karena

42

mempunyai rank yang sempurna dan adalah terdiferensial secara

kontinu di , sehingga adalah kontinu di . Karena kontinu

maka integralnya juga kontinu seperti pada persamaan (b) sehingga

dan .

Untuk dan cukup kecil, adalah kemungkinan dan

dan dari persamaan (a), diperoleh:

(b)

Untuk yang lain. Pada khususnya, adalah ruang null di ,

sehingga untuk diperoleh . Oleh sebab itu dari

persamaan (b) dan diketahui bahwa , diperoleh:

(c)

Untuk yang lain. Hal ini berimplikasi dengan untuk

dan cukup kecil. Untuk , , dan adalah kontinu di

, dan untuk yang cukup kecil. adalah terbuka,

untuk yang cukup kecil. Karena sudah

terpenuhi, maka hanya perlu membuktikan bahwa . Dengan

teorema nilai rata-rata, diperoleh:

(d)

Untuk . Akan tetapi dengan rangkaian barisan yang terdiferensial

dan berdasarkan persamaan (b), diperoleh:

43

Dengan petunjuk, adal di ruang null dari dan dari

persamaan di atas, diperoleh . Subtitusikan ke persamaan

(d), dan mengikuti . Karena benar untuk yang lain, hal ini

mengikuti adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P untuk

yang cukup kecil. Sehingga persamaan (c) diperoleh:

Dan karena untuk dan cukup kecil. Hal ini

bertentangan dengan adalah solusi optimum lokal. Jadi


(The Fritz John Conditions) Diketahui himpunan tak kosong di ,

, untuk , dan untuk

. Masalah P dinyatakan dalam bentuk

Minimum :

Dengan kendala : , dengan

, dengan

solusi yang mungkin dari masalah P, . Diketahui

pula untuk kontinu di , dan , untuk terdiferensial di ,

dan untuk terdiferensial kontinu di .

Jika solusi lokal permasalahan P, maka ada untuk dan

untuk i=1, ..., l sehingga

44

untuk

Dengan adalah vektor yang komponennya ada untuk dan

. Selanjutnya, jika untuk yang terdiferensial di ,

maka Fritz John Condition dengan bentuk dan

dapat ditulis menjadi:

untuk

untuk

Bukti:

Ketika untuk adalah bergantung linear, maka ada

yang tidak nol, sedemikian sehingga .

Dimana untuk sama dengan nol, kondisi pada bagian pertama

trivial.

Ketika untuk adalah bebas linear. Jika adalah

sebuah matriks dimana baris matriksnya berupa dan

untuk . Dan adalah sebuah matriks dimana baris matriksnya berupa

untuk .Sehingga dari Teorema 2.10, solusi lokal dari

berimplikasi dengan

,

45

sehingga menjadi tidak konsisten karena tidak didefinisikan secara

jelas seperti pada Teorema 2.10.

Diberikan dua himpunan sebagai berikut:

Dimana dan adalah himpunan konveks tak kosong sehingga

, berdasarkan pada Teorema 2.3 maka ada vektor tak nol

dan sehingga

untuk dєEn dan ( .

Diketahui untuk . dimana dan maka dapat

dipilih angka negatif besar. Dan juga ( . Sehingga

diperoleh . Jika , hal ini

mengikuti , dan .

Ada vektor tak nol dengan sehingga

. Hal ini menunjukkan oleh dan , dan =μ. Bukti

selesai.


(Teorema Syarat Perlu Kuhn Tucker) Menurut Mokhtar S Bazaraa

(1979:146) jika x bukan himpunan kosong di dan ,

untuk i=1, ..., m dan dengan bentuk umum

minimum : (2.35)

46

dengan kendala : , dengan i=1,2,..., m (2.36)

, dengan i=1,2,..., l (2.37)

Dimana adalah variabel keputusan, adalah fungsi

tujuan dan , adalah fungsi kendala. Misalkan fungsi , ,

adalah fungsi kontinu dan terdiferensial. Diasumsikan

merupakan solusi yang mungkin, dimana dan

saling bebas linear. Maka terdapat skalar ,

sedemikian sehingga

(2.38)

untuk i= 1, ..., m (2.39)

Dengan kendala

untuk i=1,..., m (2.40)

untuk j=1, ..., p (2.41)

Dengan kata lain syarat perlu Kuhn Tucker yaitu nilai turunan pertama

dari fungsi objektif maupun fungsi kendala akan sama dengan nol.

Dari persamaan di atas dapat didefinisikan persamaan Lagrange sebagai

berikut:

(2.42)

Bukti:

Dengan Teorema 2.3 terdapat skalar , sedemikian sehingga

47

Perhatikan bahwa , karena jika maka akan terjadi

kontradiksi dengan asumsi bebas linear dan . Hasil pertama

lalu diikuti dengan nilai dan . Bentuknya sama dengan

kondisi perlu dengan nilai . Sehingga kondisi Kuhn Tucker dapat

dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut

8) Teorema 2.13 (Mokhtar S Bazaraa,1979:147)

(Teorema Syarat Cukup Kuhn Tucker) Menurut Mokhtar S Bazaraa

(1979:146) jika x bukan himpunan kosong di dan ,

untuk i=1, ..., m dengan permasalahan bentuk umum P

adalah

minimum : (2.43)

dengan kendala : , dengan i=1,2,..., m (2.44)

, dengan i=1,2,..., l (2.45)

Dimana adalah variabel keputusan, adalah fungsi

tujuan dan , adalah fungsi kendala.

Misalkan fungsi pseudoconvex, adalah quasiconvex

terdiferensial. Diasumsikan merupakan solusi yang mungkin dan

merupakan solusi optimum global, dimana ada yang merupakan skalar

nonnegative sedemikian sehingga

(2.46)

48

Dengan kata lain, jika , adalah konveks dan karena keduanya

pseudoconvex dan quasiconvex, maka kondisi Kuhn Tucker menjadi

cukup.

Bukti:

Misal x adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P. Untuk ,

karena dan . Dengan quasiconvexity

dari untuk dan mengikuti

Untuk setiap . Hal ini berimplikasi bahwa bukan penambahan

dengan mengganti dari sepanjang arah , sehingga

, untuk (a)

Dengan cara yang sama, karena adalah quasiconvex untuk dimana

dan adalah quasiconcave untuk dimana , sehingga

, untuk (b)

, untuk (c)

Dengan mengalikan persamaan (a), (b) dan (c), dan nilai , ,

dan penambahan, diperoleh

Dengan mengalikan persamaan (2.40) dengan dan tanpa ,

berimplikasi dengan

49

Dengan pseudoconvexity dari untuk , sehingga , dan

terbukti.

Definisi 2.14 Hillier (2001:680)

Diasumsikan merupakan fungsi tujuan dan

merupakan fungsi kendala yang dapat diturunkan maka

merupakan nilai optimal untuk permasalahan program

nonlinear hanya jika terdapat sejumlah m bilangan sehingga

semua syarat kondisi KKT (Karush Kuhn Tucker) terpenuhi:

(i) pada untuk j=1, 2, ..., n (2.47)

(ii) pada untuk j=1, 2, ..., n (2.48)

(iii) untuk i= 1, 2, .., m (2.49)

(iv) untuk i=1, 2, ..., m (2.50)

(v) untuk j=1, 2, ..., m (2.51)

(vi) untuk j=1, 2, ..., m (2.52)

Dari kondisi (ii) dan (iv) memerlukan hasil kali dua kuantitas sama

dengan nol. Oleh karena itu, setiap kondisi ini menyatakan bahwa

setidaknya salah satu dari kuantitas harus sama dengan nol. Hal ini

berakibat kondisi (iv) dapat dikombinasi dengan kondisi (iii), sehingga

dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai berikut:

atau (2.53)

jika =0 untuk i=1, 2, ..., m (2.54)

Demikian pula kondisi (ii) dapat digabung dengan kondisi (i) menjadi:

50

atau (2.55)

jika untuk j= 1, 2, ..., m (2.56)

Contoh 2.4:

Maksimum

dengan kendala , ,

Kondisi KKT untuk contoh di atas yaitu:

1. Untuk j=1,

Untuk j=2,

2. Untuk j=1,

Untuk j=2,

3.

4.

5. ,

6.

Langkah penyelesaian kondisi KKT untuk contoh di atas:

1. , dari kondisi 1 (j=2)

, dari kondisi 5.

2.

3. , dari kondisi 2 (j=1)

4. , berimpilkasi dari kondisi 4

5. Dari (3) dan (4) diperoleh nilai

51

6. , berimplikasi dari kondisi 2 (j=2)

7. Tidak ada kondisi yang dilanggar oleh

Sehingga diperoleh solusi atau x*=(0,3).

L. Metode Kuadratik

Menurut Mokhtar S Bazaraa (1979:447) metode kuadratik merupakan

bentuk khusus dari program nonlinear yang memiliki fungsi tujuan berbentuk

kuadratik dan kendala linear.

Bentuk umum dari model kuadratik yaitu:

Minimum (2.57)

dengan kendala (2.58)

Dimana:

: vektor kolom dari fungsi tujuan

: matriks kendala

: matriks kolom dari variabel keputusan

: vektor kolom dari kendala bagian kanan

: matriks Hessian

: transposisi matriks

52

Notasi dari perkalian vektor Lagrange dengan kendala dan

oleh dan . Notasi dari variabel slack yaitu , sehingga kondisi KKT dapat

dinyatakan sebagai:

(2.59)

(2.60)

(2.61)

diperoleh:

(2.62)

M. Permasalahan Komplementaritas Linear (The Linear Complementary

Problem)

Kondisi KKT dan model kuadratik dapat dinyatakan dalam

permasalahan komplementaritas, dengan algoritma ini dapat digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan nonlinear dengan metode kuadratik.

Definisi 2.15 (Mokhtar S Bazaraa,1979:438)

Jika M adalah sebuah matrik berukuran pxp, dan q merupakan vektor p.

Permasalahan komplementaritas linear untuk menentukan vektor w dan z

yaitu:

(2.63)

53

, untuk j= 1, 2, ..., p (2.64)

untuk j= 1, 2, ..., p (2.65)

Dimana:

( ) : variabel komplemen

q : vektor kolom

M : matriks pxp yang diketahui.

Algoritma yang efisien telah dikembangkan untuk memecahkan

permasalahan komplemen linear dengan asumsi pada matriks M. Algoritma

yang digunakan yaitu pemutaran (pivoting) dari satu solusi BF (Basic

Feasible) ke solusi selanjutnya, seperti pada metode simpleks dalam program

linear. Jika q bilangan nonnegative dengan dan , maka

penyelesaian dari (1), (2), (3) yaitu:

(2.66)

, , untuk j= 1, 2, ..., p (2.67)

untuk j= 1, 2, ..., p (2.68)

N. Langkah-langkah Penyelesaian Metode Kuadratik

Model kuadratik pada persamaan (2.57) dapat diselesaikan dengan metode

Kuadratik. Adapun langkah-langkah penyelesainnya sebagai berikut:

54

a. Menentukan turunan dari fungsi tujuan.

b. Menentukan matriks Hessian seperti pada persamaan (2.17).

c. Menentukan Persyaratan Karush Kuhn Tucker (KKT)

Berdasarkan pada Definisi 2.14 diperoleh persyaratan Karush Kuhn

Tucker sebagai berikut:

(i) pada untuk j=1, 2, ..., n

(ii) pada untuk j=1, 2, ..., n

(iii) untuk i= 1, 2, .., m

(iv) untuk i=1, 2, ..., m

(v) untuk j=1, 2, ..., n

(vi) untuk j=1, 2, ..., m

d. Menyatakan permasalahan dalam bentuk umum model kuadratik seperti

pada persamaan (2.57), dimana komponen-komponen pembentukan

model kuadratik seperti pada persamaan (2.60).

sehingga

55

sehingga

Model umum Kuadratik yaitu meminimumkan

Dengan kendala

e. Mengubah kondisi Karush Kuhn Tucker yang berbentuk pertidaksamaan

menjadi persamaan dengan menambah slack variabel.

Untuk mengubah pertidaksamaan pada persyaratan Karush Kuhn

Tucker kondisi (i) dan (iii) menjadi persamaan yaitu dengan

memindahkan konstanta ke sisi sebelah kanan dan menambahkan slack

variabel nonnegative yang dilambangkan dengan .

(i)

(iii)

56

f. Menentukan kendala komplementaritas.

Kendala komplementaritas diperoleh dengan mensubstitusikan hasil

perhitungan point e pada kondisi Karush Kuhn Tucker yang berbentuk

persamaan yaitu kondisi (ii) dan kondisi (iii).

(ii)

(iii) .

Setiap pasang , ..., dan merupakan variabel

komplementer karena hanya satu dari dua variabel tersebut yang dapat

bernilai nol. Kendala komplementer tersebut digabung menjadi satu

kendala yaitu:

g. Membentuk permasalahan komplementaritas dengan menambah variabel

artificial.

Permasalahan komplementaritas adalah meminimumkan nilai

variabel artificial pada Karush kuhn Tucker. Variabel artificial

ditambahkan pada persyaratan Karush Kuhn Tucker kondisi (i) yang

telah diubah menjadi persamaan yang terdapat pada point e. Variabel

semu yang ditambahkan yaitu .

57

Model kuadratik pada persamaan (2.57) telah ditransformasi menjadi

model linear, sehingga fungsi tujuan yang akan diselesaikan dengan

metode simpleks yaitu:

meminimumkan dimana

dengan semua kendalanya yaitu:

, , , ,

h. Menyatakan persamaan komplementer dalam bentuk matriks.

58

Meminimumkan

Dengan kendala:

i. Menyelesaikan model linear dengan metode simpleks.

Secara komputasi perhitungan dapat diselesaikan dengan bantuan QSB.

O. Program Linear

1. Pengertian Program Linear

Program linear merupakan salah satu model yang dapat digunakan

untuk memodelkan permasalahan optimasi. Untuk mendapatkan hasil yang

optimal, persyaratan yang harus dipenuhi adalah dengan menyelesaikan

59

persoalan secara matematis. Menurut Zulian Yamit (1991:1), syarat-syarat

yang harus dipenuhi agar suatu persoalan dapat dipecahkan dengan

program linear secara lengkap sebagai berikut:

a. Fungsi tujuan harus didefinisikan secara jelas dan dinyatakan sebagai

fungsi obyektif yang linear.

b. Fungsi tujuan dan fungsi kendala dinyatakan dalam hubungan linear.

c. Variabel keputusan harus positif.

d. Sumber-sumber dan aktifitas mempunyai sifat dapat dibagi, artinya

solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat).

e. Sumber-sumber dan aktifitas mempunyai jumlah yang terbatas.

f. Aktifitas harus proporsional terhadap sumber-sumber, artinya adanya

proposionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala.

g. Model programming deterministik , artinya sumber dan aktifitas

diketahui secara pasti.

2. Model Program Linear

Menurut Zulian Yamit (1991:2), untuk menyelesaikan

permasalahan optimasi dengan program linear, hal pertama yang dilakukan

adalah mengidentifikasi masalah kemudian membuat model matematis

dari masalah tersebut. Langkah-langkah yang dilakukan untuk

merumuskan model program linear adalah

a. Tentukan variabel keputusan yang akan dicari, dan beri notasi dalam

bentuk matematis.

60

b. Tentukan batasan dari variabel keputusan, dan nyatakan dalam

bentuk persamaan linear atau ketidaksamaan linear.

c. Tentukan tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan.

Menurut B. Susanta (1994: 6), model program linear secara umum adalah

Mencari dengan tujuan:

Memaksimumkan/meminimumkan:

(2.69)

dengan kendala :

. . .

. . .

. . .

, ,

Keterangan:

: fungsi tujuan

: variabel keputusan

: koefisien teknis (koefisien dalam kendala utama)

: suku tetap

: koefisien biaya (koefisien dalam fungsi tujuan)

: kendala tak negatif

61

Perumusan di atas dapat ditulis sebagai berikut:

mencari , j=1,2,...,n

mak/min (2.70)

dengan kendala , i=1,2,...,m

Fungsi tujuan pada rumusan program linear di atas yaitu

merupakan tujuan yang akan dicapai atau

dioptimalkan. Selanjutnya, persamaan atau pertidaksamaan yang

merepresentasikan keterbatasan atau kendala yang membatasi pencapaian

fungsi tujuan dinamakan fungsi kendala. Untuk m kendala pertama disebut

kendala utama. Syarat bahwa nilai variabel keputusan harus lebih dari atau

sama dengan nol ( ) dinamakan kendala-kendala tidak negatif.

Rumusan program linear di atas menunjukkan bahwa setiap kendala dapat

berbentuk kendala pertidaksamaan atau persamaan.

Menurut B. Susanta (1994: 81-82), terdapat tiga jenis bentuk

masalah program linear sebagai berikut:

a) Masalah program linear berbentuk kanonik yaitu masalah program

linear yang semua kendala utamanya berbentuk persamaan.

Mencari , j = 1, 2, ..., n dengan tujuan:

memaksimumkan (atau meminimumkan) (2.71)

dan memenuhi susunan kendala berikut: = , i=1,2,...,m

, x=1,2,...,n.

62

b) Masalah program linear berpola maksimum yaitu masalah program

linear yang memaksimumkan fungsi tujuan dengan model sebagai

berikut:

Mencari , j = 1, 2, ..., n

yang memaksimumkan (2.72)

dengan kendala ( ≥, ≤, =) , i=1,2,...,m

x=1,2,...,n.

Jika relasi setiap kendala utama pada masalah program linear berpola

maksimum adalah kurang dari atau sama dengan (≤), maka disebut

model berpola maksimum baku.

c) Masalah program linear berpola minimum yaitu masalah program

linear yang meminimumkan fungsi tujuan dengan model sebagai

berikut:

Mencari , j = 1, 2, ..., n

yang meminimumkan (2.73)

dengan kendala: ( ≥, ≤, =) , i=1,2,...,m

, x=1,2,...,n.

Jika relasi setiap kendala utama pada masalah program linear berpola

minimum adalah lebih dari atau sama dengan (≥), maka disebut model

masalah berpola minimum baku.

63

Contoh 2.5

Sebuah perusahaan sedang mencari alternatif kombinasi produksi dari

produk yang dihasilkan, agar memperoleh keuntungan yang maksimum. Pada

saat ini perusahaan memproduksi 3 jenis produk yang diberi merek AB, AC

dan AD. Ketiga produk tersebut dibuat dengan menggunakan sumber daya

berupa: bahan baku, mesin, tenaga kerja. Bagian penelitian dan

pengembangan hasil produksi memberikan informasi bahwa untuk membuat

ketiga jenis produk setiap unitnya memerlukan sumber daya seperti terlihat

dalam tabel berikut ini:

Tabel 2. Sumber daya produksi

Sumber Daya AB AC AD

Bahan Baku 2 Kg 3 Kg 4 Kg

Tenaga Kerja 5 Jam 2 Jam 4 Jam

Mesin 3 Jam 4 Jam 2 Jam

Setiap bulannya perusahaan mampu menyediakan paling banyak 200 Kg

bahan baku, 250 jam tenaga kerja dan 150 jam kerja mesin. Ketiga produk

tersebut memberikan sumbangan keuntungan masing-masing sebesar

Rp.50,00 untuk produk AB, Rp.30,00 untuk produk AC dan Rp.40,00 untuk

produk AD. Berapa banyak produk untuk tiap jenis agar diperoleh

keuntungan yang maksimum?

64

a. Menentukan variabel keputusan

Aktivitas yang diketahui adalah produksi bulanan dari ketiga jenis

produk.

Misalkan: x adalah banyak produksi bulanan dari jenis AB

y adalah banyak produksi bulanan dari jenis AC

z adalah banyak produksi bulanan dari jenis AD

b. Menentukan batasan/kendala

Untuk setiap unit produk jenis AB memerlukan 2 Kg bahan baku,

sehingga untuk x unit produk AB memerlukan bahan baku. Model

AC memerlukan dan model AD memerlukan . Dengan demikian

kebutuhan bahan baku secara total ketiga jenis produk tersebut adalah

yang tidak boleh melebihi 200 Kg. Demikian pula halnya

untuk sumber daya jam tenaga kerja dan jam kerja mesin. Apabila ketiga

batasan tersebut dibuat dalam satu set fungsi linear, akan berbentuk

sebaagai berikut:

bahan baku

tenaga kerja

jam mesin

c. Menentukan tujuan yang akan dicapai

Koefisien fungsi tujuan dibentuk dari sumbangan keuntungan setiap jenis

produk, yang akan dimaksimumkan. Apabila keuntungan maksimum

diberi notasi Z maka fungsi tujuan akan berbentuk sebagai berikut:

Maksimum

65

Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh model linearnya adalah

Maksimum

Dengan batasan / kendala

1)

2)

3)

untuk harga .

3. Operasi Elementer

Operasi elementer dibutuhkan untuk mengetahui langkah-langkah

penyelesaian pada metode simpleks.

Definisi 2.16 (Howard Anton, 1995: 5)

Operasi elementer adalah operasi yang dilakukan pada suatu matriks.

Langkah-langkah operasi elementer yaitu:

1) Mengalikan sebuah baris atau kolom dengan sebuah konstanta yang

tidak sama dengan nol.

2) Mempertukarkan dua baris atau kolom.

3) Mengalikan suatu baris atau kolom dengan sebuah konstanta yang

tidak nol, kemudian ditambahkan pada baris atau kolom yang lain.

Contoh 2.6

Diberikan contoh penerapan operasi elementer pada sebuah matriks.

Misal terdapat matriks A sebagai berikut:

A =

66

4. Metode Simpleks

Menurut B.Susanta (1994:68) masalah program linear dengan dua

perubah atau dengan tiga perubah yang disusutkan masih dapat

diselesaikan dengan metode grafik. Untuk masalah program linear yang

memuat tiga perubah atau lebih dan tidak dapat disusutkan menjadi

masalah dengan dua perubah dapat diselesaikan dengan metode simpleks.

Menurut B. Susanta (1994: 86-87) setiap iterasi pada metode simpleks

menggunakan alat bantu berupa tabel simpleks sebagai berikut:

67

Tabel 3. Tabel Simpleks

...

...

...

...

...

...

...

Keterangan:

: perubah-perubah lengkap

: koefisien teknis (koefisien dalam kendala utama)

: suku tetap (tak negatif)

: koefisien biaya (koefisien dalam fungsi tujuan)

: perubah yang menjadi basis dalam tablo yang ditinjau

: koefisien ongkos milik perubah basis

: (hasil kali dari dengan kolom )

: (hasil kali dari dengan )

: selisih zj dengan cj

: hanya untuk aik > 0

68

Berikut diberikan langkah-langkah penyelesaian model program

linear menggunakan metode simpleks menurut B. Susanta(1994: 87-

108):

1) Langkah Awal: Membuat Tabel Awal Simpleks

Langkah awal metode simpleks adalah mengubah bentuk

model masalah program linear yang ada ke bentuk kanonik,

kemudian memasukkan masalah tersebut pada tabel awal simpleks

yang disusun seperti Tabel Simpleks pada Tabel 3. Variabel slack

dan artificial menjadi variabel basis karena variabel-variabel ini

berada dalam matriks identitas dengan koefisien . Apabila ada

penambahan variabel slack, surplus, dan artificial pada suatu model

maka dibuat fungsi tujuan baru, yaitu fungsi tujuan yang memuat

variabel-variabel tersebut. Koefisien biaya variabel slack dan surplus

adalah nol, variabel artificial adalah –M untuk kasus

memaksimumkan dan +M untuk kasus meminimumkan fungsi

tujuan. M mewakili suatu bilangan yang sangat besar.

2) Langkah Kedua: Menguji Keoptimuman Penyelesaian

Langkah kedua ini bertujuan untuk memeriksa penyelesaian

yang diperoleh tabel simpleks pada suatu iterasi. Suatu penyelesaian

layak basis masalah program linear kasus memaksimumkan fungsi

tujuan dikatakan telah optimum apabila , sedangkan

untuk kasus meminimumkan penyelesaian layak basis telah optimum

jika , untuk setiap j, dengan j = 1, 2, ..., n. Apabila

69

penyelesaian yang diperoleh tabel pada suatu iterasi telah optimum,

maka langkah metode simpleks berhenti. Namun, apabila

penyelesaian yang diperoleh belum optimum, tabel simpleks perlu

diperbaiki untuk memperoleh penyelesaian yang lebih baik yaitu

penyelesaian yang lebih mengoptimumkan fungsi tujuan.

Memperbaiki tabel simpleks ini merupakan langkah ketiga dari

metode simpleks.

3) Langkah Ketiga: Memperbaiki tabel

Tahap ini bertujuan untuk membuat tabel simpleks baru yang

menghasilkan penyelesaian yang lebih baik dari tabel sebelumnya.

Hal tersebut dilakukan dengan cara memilih satu variabel non-basis

untuk dijadikan variabel basis baru pada tabel simpleks baru yang

akan dibuat dan pemilihan satu variabel basis yang keluar dari

basiskarena akan digantikan oleh variabel basis baru yang terpilih.

Setelah diperoleh tabel baru dilanjutkan menguji keoptimuman

penyelesaian. Apabila penyelesaiannya telah optimal maka iterasi

dihentikan, tetapi apabila penyelesaiannya belum optimal maka

dilanjutkan langkah ketiga yaitu tahap memperbaiki tabel. Variabel

non-basis yang menjadi variabel basis untuk kasus memaksimumkan

fungsi tujuan adalah variabel non-basis pada kolom ke-k yang

memiliki nilai paling kecil (j = 1, 2, ..., n). Pada kasus

meminimukan, variabel non-basis dari kolom ke-k yang memiliki

nilai paling besar (j = 1, 2, ..., n). Apabila ada beberapa

70

kolom yang memiliki nilai yang sama, maka dapat dipilih

salah satu diantaranya secara acak. Selanjutnya kolom yang terpilih

tersebut dinamakan kolom kunci.

Variabel basis yang harus keluar baik pada kasus

memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan adalah sama

yaitu variabel yang diperoleh dari baris yang terkecil. Nilai

diperoleh dari perhitungan berikut: dengan . Baris

yang terpilih dinamakan sebagai baris kunci. Unsur yang menjadi

perpotongan kolom dan baris kunci dinamakan unsur kunci, yang

digunakan untuk memperbaiki tabel. Nilai unsur kunci ini harus

dibuat sama dengan 1 dan nilai-nilai lainnya pada kolom yang sama

harus nol dengan melakukan beberapa kali operasi baris elementer.

5. Langkah-langkah pada QSB

QSB digunakan untuk membantu perhitungan permasalahan

portofolio optimal. Dimana fungsi dari QSB sama dengan metode

simpleks. Hanya saja perhitungan dengan QSB menggunakan program,

sedangkan untuk metode Simpleks secara manual. Langkah-langkah pada

QSB secara lengkap dapat dilihat pada Lampiran III.

a. Buka Program QSB .

b. Pilih Linear Programming .

c. Pilih enter new problem untuk menginput permasalahan baru .

d. Pemberian nama permasalahan.

71

e. Menginput hal-hal yang akan ditinjau seperti: fungsi tujuan,

banyaknya kendala, banyaknya variabel, dll.

f. Menginput variabel.

g. Menginput data permasalahan seperti fungsi tujuan dan fungsi

kendala.

h. Menentukan Solusi Permasalahan. Ada beberapa pilihan seperti

solusi per langkah, ataupun solusi akhirnya.

i. Solusi akhir dari permasalahan.

Berikut diberikan contoh penyelesaian persamaan nonlinear dengan metode

kuadratik.

Contoh 2.8 :

Diketahui fungsi tujuan:

Meminimumkan

Dengan kendala

Penyelesaian:

a. Menentukan turunan parsial dari fungsi tujuan.

72

b. Menentukan matriks Hessian seperti pada persamaan (2.17).

Det H

Jadi matriks H adalah definit positif

Nilai dari dan

Jadi fungsi merupakan fungsi konkaf.

c. Menentukan persyaratan Karush Kuhn Tucker

1. Untuk j=1,

Untuk j=2,

2. Untuk j=1,

Untuk j=2,

4.

5.

6. ,

7.

d. Menyatakan permasalahan dalam bentuk model kuadratik seperti pada

persamaan (2.57).

73

Dari soal diatas diperoleh

Sehingga model umumnya yaitu meminimumkan

Dengan kendala

e. Mengubah kondisi Karush Kuhn Tucker yang berbentuk pertidaksamaan

menjadi persamaan dengan menambah slack variabel.

Untuk mengubah pertidaksamaan pada kondisi KKT 1. untuk ,

dan kondisi 3 menjadi persamaan yaitu dengan memindahkan konstanta

ke sisi sebelah kanan dan menambahkan slack variabel nonnegative yang

dilambangkan dengan .

1. Untuk j=1,

74

Untuk j=2,

3.

f. Menentukan kendala komplementaritas.

Perhatikan kondisi 2 untuk j=1 dan dari point (e) untuk j=1, sehingga

Nilai yang memenuhi yaitu atau

Dengan cara yang sama, kondisi 1untuk j=2 dan dari point (e) untuk j=2,

sehingga


Dengan cara yang sama untuk kondisi 4 dapat dinyatakan sebagai berikut:


Setiap pasang , , dua variabel tersebut merupakan

variabel komplementer karena hanya satu dari dua variabel tersebut yang dapat

bernilai nol. Bentuk baru kondisi 2 untuk (j=1), kondisi 2 untuk (j=2) dan 4

dapat digabung menjadi satu kendala yaitu:

Persamaan ini disebut kendala komplementaritas.

75

Dengan mengalikan -1 pada kondisi 1 untuk (j=1) dan untuk (j=2) untuk

mendapatkan ruas kanan nonnegative, sehingga kondisi secara keseluruhan

yaitu:

, , , , ,

g. Membentuk permasalahan komplementaritas dengan menambah variabel

artificial.

Permasalahan komplementaritas adalah meminimumkan nilai variabel artificial

pada Karush Kuhn Tucker. Masalah program linear yang diselesaikan dengan

metode simpleks adalah

Meminimumkan

, , , , , , ,

h. Menyatakan permasalahan komplementaritas dalam bentuk matriks.

76

i. Menyelesaikan dengan metode simpleks

Tabel berikut menunjukkan hasil dari penerapan metode simpleks untuk

menyelesaikan masalah di atas.

Langkah awal:

0 0 0 0 0 0 1 1

B R

1 4 -4 1 -1 0 0 1 0 15 -

1 -4 8 2 0 -1 0 0 1 30

0 1 2 0 0 0 1 0 0 30 15

0 4 3 -1 -1 0 1 1 45

0 3 -1 -1 0 0 0

Iterasi pertama

OBE: ,

0 0 0 0 0 0 1 1

B R

1 2 0 1 -1 -1 0 1 1 30 15

0

1

0

0 0 -

4

77

0 2 0

0

1 0

2 0 2 -1 -1 0 1 1 30

0 2 -1 -1 0 0 0

Iterasi kedua

OBE: , ,

0 0 0 0 0 0 1 1

B R

1 0 0

-1

-1 1

0 0 1

0

0

75

0 1 0

0

0

-

0 0

-1

-1 1

0 0 -1

-1 0

Iterasi ketiga

OBE: , ,

0 0 0 0 0 0 1 1

b R

2

3

78

0 0 0 1

0 0 1

0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 -1 -1

Hasil optimal yang diperoleh adalah , , dan . Sehingga

diperoleh nilai fungsi minimumnya adalah

Documents

BAB II KAJIAN PUSTAKA - Welcome to Lumbung Pustaka …eprints.uny.ac.id/17494/3/BAB II.pdf · besarnya standar deviasi atau varian dari nilai-nilai return aktiva tunggal. Dengan