bab-iii-turunana2.pdf

8/16/2019 bab-iii-turunana2.pdf

1/9

D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS

TURUNAN /

DIFERENSIAL


TURUNAN

DEFINISI TURUNAN

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

TURUNAN TRIGONOMETRI

ATURAN RANTAI

TURUNAN TINGKAT TINGGI

DIFFERENSIAL TERDEFINISI

SOAL DAN PEMBAHASAN

LATIHAN SOAL


4.1 DEFINISI TURUNAN


D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS


2/9


Keterdiferensial Menunjukkan

Kekontinuan

Teorema A

Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c


Bukti

Kita perlu menunjukkan )()(lim0

c f x f h

),()()(

)()( c xc x

c f x f c f x f

c x


Karenanya

)()()(

)()( limlim c xc xc f x f

c f x f chc x

)()()(

)( limlimlim c xc x

c f x f c f

c xc xc x

)(

0).(')(

c f

c f c f


Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan

x

)x(f -)x+x(f

mil=)x('f x 0

ymil=

x 0 x

Karena y = f(x) maka persamaan itu dapat

pula dinyatakan dalam bentuk:D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS

mil=)x('f x 0

f

x

ymilx 0 x

milx 0

f x

Bentuk-bentuk serta

Lazim dinotosikan dengan yangdf

dx

disebut dengan notasi leibniz


3/9


Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) =

y dapat digunakan notasi-notasi berikut:

df dx

)x('f atau

df

dxNotasi dapat juga ditafsirkan sebagai:

df

dx

dy

dx)f (

xd d

)y(xd d

= dan =D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS

dimanaxd d

dy

dx

df

dx

menyatakan operasi turunan

terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y

terhadap x dan dibaca turunan f terhadap

x

Jadi apabila ada persamaan , maka

adalah 2X

1+2

x

dy

dx


4.2 Aturan Pencarian Turunan

Proses pencarian turunan suatu fungsi

langsung dari definisi turunan, yakni dengan

menyusun hasil bagi selisih dan menghitung

limitnya.

h

x f h x f )()(


Aturan dasar turunan sbb:


TEOREMA TENTANG ATURAN

TURUNAN


4/9


Teorema A

(Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuksembarang x, f’(x)=0

0)( k D


Bukti

00)()(

)(' limlimlim000

hhh h

k k

h

x f h x f x f


Teorema B

(Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1

1)( k D


Bukti

1)()(

)(' limlimlim000

h

h

h

xh x

h

x f h x f x f

hhh


Teorema C

(Aturan Pangkat)

, dengan n bilangan bulat positif,

maka

n x x f Jika )(.

1)('

nnx x f

1)( nn nx x D


Bukti

h

xh x

h

x f h x f x f

nn

hh

)()()()(' limlim

00

h

xhnxhh xnn

hnx x nnnnnn

h

1221

0

...2

)1(

lim

h

hnxhh xnn

hnxh nnnn

h

1221

0

...2

)1(

lim


5/9


Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang

pertama mempunyai h sebagai faktor,sehinggamasing-masing suku ini mempunyai limit nol bila

h mendekati nol, jadi

Ilustrasi Teorema C

1)(' nnx x f

23 3)( x x D D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS

Teorema D

(Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsiyang terdefinisikan, maka )('.)()'( x f k xkf

)(.)](.[ x Df k x f k D


Bukti

Andaikan maka x f k xF ),(.)(

h

x f k h x f k

h

xF h xF xF

hh

)(.)('.)()()( limlim

00

h

x f h x f k

h

x f h x f k

hh

)()(.

)()(limlim

00

)('. x f k


Teorema E

(Aturan Jumlah)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan,

maka )()()()'( xg x f xg f

)()()]()([ x Dg x Df xg x f D


Bukti

Andaikan maka xg x f xF ),(/)()(

h

xg x f h xgh x f

xF h

)]()([)()([

)( lim0

h

xgh xg

h

x f h x f

h

)()()()(lim

0

h

xgh xg

h

x f h x f

hh

)()()()(limlim

00

)(')(' xg x f D3 TEKNIK INFORMATIKA UNS

Teorema F

(Aturan Selisih)


maka )()()()'( xg x f xg f

)()()]()([ x Dg x Df xg x f D


6/9


Bukti

)]()1()([)]()([ xg x f D xg x f D )]()1[()( xg D x Df

)()1()( x Dg x Df

)()( x Dg x Df


Contoh

)6()7()5( 2 D x D x D

)6()75()675( 22 D x x D x x D

)6()(7)(5 2 D x D x D

01.72.5 x

710 x


Teorema G

(Aturan Perkalian)


maka )(')()()()()'*( x f xg xg x f xg f

)()()()()]()([ x Df xg x Dg x f xg x f D


Contoh

cari turunan dari )2)(53( 42 x x x

)53()2()2()53()]2)(53[( 244242 x D x x x x D x x x x D

)6)(2()18)(53( 432 x x x x x

25325 612540324 x x x x x

594036 235 x x x


Teorema H

(Aturan Hasilbagi)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan

dengan

Yaitu,

maka xg ,0)(

)(

)(')()(')()(

2

'

xg

xg x f x f xg x

g

f

)(

)()()()(

)(

)(2 xg

x Dg x f x Df xg

xg

x f D


Contoh 1

Cari turunan dari

22

2

)7(

)2)(53()3)(7(

x

x x x

)7(

)53(2

x

x

22

22

2)7(

)7()53()53()7(

)7(

)53(

x

x D x x D x

x

x D

22

2

)7(

21103

x

x x


7/9


Contoh 2

Buktikan aturan Pangkat berlaku untukpngkat integral negatif; yaitu

Penyelesaian

1)(

nn nx x D

1

2

1

2

1.10.1)(

n

n

n

n

nn

n

nnx

x

nx

x

nx x

x D x D


4.3 Turunan Sinus dan Kosinus

Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanya

dapat didiferensialkan.

x x D cos)(sin

x x D sin)(cos


Contoh

Cari

Penyelesaian

)cos2sin3( x x D

)(cos2)(sin3)cos2sin3( x D x D x x D

x x sin2cos3


Pembuktian Dua Pernyataan Limit

1sin

lim0

t

t

t

0cos1

lim0

t

t

t


Contoh

?.....sin

cos1lim

0

t

t

t

01

0

sin

cos1

sin

cos1limlim

00

t

t t

t

t

t

t t


4.4 Aturan Rantai

(Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x)

menentukan fungsi komposit

. Jika g terdiferen-

sialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x),

maka terdiferensia lkan di x dan

yakni,

g f

))(())(( xg f xg f y

)('))((')()'( xg xg f xg f

u yD D y D xu x


8/9


Contoh

JikaPenyelesaian : kita pikirkan ini sebagai

dan

Jadi,

y D xcari x x y ,)142( 602

60u y 142 2 x xu

u D y D y D xu x .

)44)(60( 59 xu

)44()142(60 592 x x x


4.5 Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan mengambil sebuah

fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsibaru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkan

menghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’

dan disebut turunan kedua dari f, dan

seterusnya.


Contoh

0)(""

12)('''

812)(''

786)('

:

8742)(

2

23

x f

x f

x x f

x x x f

maka

x x x x f


4.6 Diferensial Terdefinisi

Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan

andaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubah

bebas x, menyatakan pertambahan

sembarang dari x. Diferensil yang

bersesuaian dengan dy dari peubah tak

bebas y didefinisikan oleh :

dx x f dy )('


Aturan Pangkat

Andaikan r bilangan rasional sembarang,

maka

1)( r r x rx x D


Contoh

Cari dy jika 133 x x y

dx xdy )33( 2


9/9


Rumus turunan


RUMUS-RUMUS TURUNAN


TRIGONOMETRI


Documents

bab-iii-turunana2.pdf