152

BAB X

VOLUME BANGUN RUANG

A. Volume Kubus dan Balok

Untuk menyatakan ukuran besarnya suatu bangun ruang kita gunakan volum.

Volum suatu bangun ruang kita tentukan dengan membandingkan terhadap satuan

pokok, misalnya cm3.

1 cm3 adalah volum kubus yang panjang rusuknya 1

cm. Volum kubus di samping adalah 1 cm3.

Hubungan antara satuan volum yang satu dengan satuan volum yang lain

dinyatakan dengan tangga satuan volum berikut ini.

1 liter = 1 dm3

1 ml = 1 cm3 = 1 cc

Balok Panjang Lebar Tinggi Banyak Kubus Volum

3 cm 2 cm 1 cm 6 = 3 x 2 x 1 6 cm3

3 cm 2 cm 2 cm 12 = 3 x 2 x 2 12 cm3

153

4 cm 2 cm 3 cm 24 = 4 x 2 x 3 24 cm3

p cm l cm t cm p x l x t plt cm3

Karena hasil kali panjang dan lebar merupakan luas alas, maka volum balok dapat

juga dinyatakan sebagai berikut.

Volum balok = luas alas x tinggi

Untuk bangun ruang yang berbentuk kubus, karena kubus merupakan balok

khusus yaitu balok yang panjang, lebar, dan tingginya sama, maka volum kubus

diperoleh sebagai berikut.

V = p x l x t

= s x s x s

V = s3

Contoh:

Panjang 2 dm 20

p = 20, 1 9 dan. t = 8

v=pxlxt

= 20 x 9 x 8 .v=1.440

Jadi, volum balok 1.440 cm3

1. Tentukanlah volum balok yang berukuran panjang = 2 dm, lebar = 9 cm, dan

tinggi = 8 cm!

Jawab:

Panjang = 2 dm = 20 cm

p = 20, 1 = 9 dan. t = 8

V = p x l x t

154

= 20 x 9 x 8 .

V = 1.440

Jadi, volum balok 1.440 cm3

2. Sebuah tangki air berbentuk balok volumnya 648 liter. Jika panjangnya 120

cm dan lebarnya 60 cm, berapa cm kah tinggi tangki?

Jawab:

Volume = 648 liter = 648 dm3 = 648.000 cm3

V = 648.000

p = 20

1 =60

V = p x l x t

643.000 = 120 x 60 x t

643.000 = 7200 t

t = 200.7

000.648

t = 90

Jadi, tinggi tangki = 90 cm.

B. Volume Prisma dan Tabung

1. Volume Prisma

Bila balok pada Gambar (i) dipotong tegak sepanjang salah satu

bidang diagonalnya, maka akan terbentuk dua prisma segitiga seperti Gambar

(ii). Kedua prisma segitiga pada Gambar (ii) dapat kita gabungkan sedemikian

rupa sehingga terbentuk sebuah prisma segitiga seperti Gambar (iii). Dengan

155

demikian, prisma pada Gambar (iii) dan balok pada Gambar (i) memiliki

volume yang sama, luas alas yang sama dan tinggi yang sama pula, sehingga

dapat dinyatakan bahwa:

Volum prisma segitiga = luas alas x tinggi atau V = Lt

Untuk menentukan volum prisma yang alasnya bukan segitiga, dapat

kita lakukan dengan cara membagi prisma tersebut menjadi beberapa prisma

segitiga seperti pada gambar berikut.

Gambar (i) adalah prisma segi enam beraturan. Untuk menentukan

volumnya, kita bagi prisma tersebut menjadi 6 buah prisma yang sama seperti

ditunjukkan pada Gambar (ii) dan (iii), sehingga:

Volum prisma segi enam = 6 x volum prisma segitiga

= 6 x luas segitiga x tinggi

= (6 x luas segitiga) x tinggi

= Luas segi enam x tinggi

= Luas alas x tinggi

Oleh karena setiap prisma segi banyak dapat dibagi menjadi beberapa

prisma segitiga, maka dapat kita simpulkan sebagai berikut.

Untuk setiap prisma berlaku rumus V = Lt

dengan V = volum, L = luas alas, dan t = tinggi

156

Contoh:

1. Alas sebuah prisma berbentuk belahketupat dengan panjang diagonal

masing-masing 12 cm dan 8 cm. Bila tinggi prisma 9 cm, hitunglah volum

prisma tersebut!

Jawab:

Oleh karena alas prisma berbentuk belahketupat, maka:

Luas alas = 2

DiagonalDiagonal

Sehingga

V = Lt

= 92

812

= 48 x 9

V = 432

Jadi volume prisma = 432 cm3

2. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi-

sisinya 6 cm. Hitunglah volum prisma tersebut bila tingginya 8 cm!

Jawab:

Terlebih dahulu kita hitung tinggi segitiga alas dan luas alas, yaitu:

t2 = 62 – 32

= 36 – 9

t2 = 27

t = 27

157

t = 5,20

Tinggi segitiga alas = 5,20 cm

L = 2

1 at

= 2

1 x 6 x 5,20

L = 15,6

Luas alas prisma = 15,6 cm2

Kemudian kita tentukan volum prisma, yaitu:

V = Lt

= 15,6 x 8

V = 124,8

Jadi, volum prisma = 124,8 cm3

3. Suatu kolam renang mempunyai ukuran panjang 20 m dan lebar 5 m.

Kedalaman air pada ujung yang dangkal 1 m dan terus melandai sampai 3

m pada ujung yang paling dalam. Berapa literkah volum air dalam kolam

itu?

Jawab:

Ternyata sketsa kolam renang di atas berbentuk prisma, karena dibatasi

oleh dua sisi berhadapan yang kongruen dan sejajar yang berbentuk

trapesium. Dengan demikian, alas prisma berbentuk trapesium dan sebagai

tinggi prisma adalah lebar kolam.

158

V = Lt

= 52

20)31(

+ ………→ L =

2

Tinggisejajar sisiJumlah

= 40 x 5

V = 20

Jadi, banyak air dalam kolam = 200 m3

= 200.000 dm3

= 200.000 liter

2. Volume Tabung

Gambar (i) adalah prisma dengan alas berbentuk segi enam beraturan.

Jika jumlah rusuk pada sisi alas dan sisi atas ditambah terus menerus, maka

akan diperoleh prisma seperti Gambar (ii) yang sisi alas maupun sisi atasnya

tidak berbeda dengan lingkaran.

Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan bahwa tabung adalah

prisma yang alasnya berbentuk lingkaran, sehingga volum tabung dapat

dinyatakan dengan cara berikut ini.

V = Lt

= r2 x t ……………….. → L = r2 (luas lingkaran)

V = r2t

Untuk setiap tabung (silinder) berlaku rumus

V = r2t

dengan V = volume, r = jari-jari alas, t = tinggi

dan nilai = 3,14 atau = 7

22

159

Contoh:

1. Hitunglah volum tabung yang berdiameter 7 cm, tinggi 4 cm, dan

pendekatan = 7

22

Jawab:

Diameter 7 cm, maka r = 3,5 cm

Tinggi 4 cm, maka t = 4 cm

V = r2t

= 7

22x 3,5 x 3,5 x 4

= 11 x 3,5 x 4

V = 154

Jadi, volum tabung 154 cm3.

Catatan:

Walaupun V = r2t adalah rumus volum tabung, tetapi dapat kita gunakan

untuk menentukan jari-jari alas maupun tinggi tabung.

2. Sebuah tabung berisi 770 cm3 zat cair. Jari-jari alas tabung 7 cm.

Hitunglah tinggi zat cair itu jika = 7

22

Jawab:

Volum = 770 cm3, maka V = 770

Jari-jari alas = 7 cm, maka r = 7

V = r2t

770 = 7

22 x 7 x 7 x t

770 = 22 x 7 x t

t = 722

770

= 22

110

160

T = 5

Jadi, tinggi zat cair = 5 cm.

C. Volum Limas

Rumus untuk volum limas dapat kita buktikan berdasarkan rumus volum

bangun ruang yang telah kita pelajari sebelumnya, yaitu volum kubus atau volum

prisma.

Gambar (i) menunjukkan suatu kubus yang panjang rusuknya sama

dengan keempat diagonal ruangnya saling berpotongan pada satu titik. Dalam

kubus tersebut ternyata terdapat enam buah limas yang sama. Masing-masing

limas tersebut beralaskan sisi kubus dan tingginya setengah panjang rusuk. kubus.

Salah satu limas tersebut ditunjukkan pada Gambar (ii).

Jika volum masing-masing limas pada Gambar (i) adalah V, maka volum

enam buah limas sama dengan volum kubus, sehingga diperoleh rumus berikut

ini.

Volum 6 limas = Volum kubus

6V = s x s x s

= (s x s) x s

= (s x s) x 2

1s x 2 ………….→ s x s = L dan

2

1s = t

= L x t x 2

6V = 2Lt

V = 6

Lt2

161

V = Lt3

1

Untuk setiap limas berlaku rumus V = 3

1Lt

dengan V = volum, L = luas alas dan t = tinggi

Contoh:

1. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-

masing 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Bila tinggi limas 9 cm, hitunglah volum limas

tersebut!

Jawab:

V = 3

1Lt

= 3

1 x (

2

1 x 6 x 8) x 9

= 3

1 x 24 x 9

= 8 x 9

V = 72

Jadi, volum limas = 72 cm3

2. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar

8 cm. Bila volumnya 336 cm3 tentukan tinggi limas!

Jawab:

V = 3

1L . t

336 = 3

1 x (12 x 8) x t

336 = 32t

162

t = 32

336

t = 10,5

Jadi, tinggi limas adala 10,5 cm

3. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm jika

tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 13 cm, hitunglah:

a. Tinggi limas

b. Volum limas

Jawab:

a. Perhatikan segitiga siku-siku yang

panjang sisi-sisinya 5 cm, t cm, dan 13

cm, maka:

t2 = 132 – 52

= 169 – 25

t2 = 144

t = 12

Jadi, tinggi limas = 12 cm.

b. V = 3

1Lt

= 3

1 x (10 x 10) x 12

= 100 x 4

V = 400

Jadi, volum limas = 400 cm3

Catatan:

1. Limas segi-n beraturan adalah limas yang alasnya berbentuk segi-n

beraturan dan sisi-sisi tegaknya merupakan segitiga-segitiga sama kaki

yang kongruen.

163

2. Alas limas yang berbentuk persegi atau persegi panjang, pada gambar

tampak sebagai jajargenjang. Tinggi limas dapat dibuat melalui titik

potong diagonal-diagonal jajargenjang.

3. Sisi pada bangun datar merupakan garis dan sisi pada bangun ruang

merupakan bidang.

D. Volum Kerucut

Oleh karena kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk

lingkaran, maka rumus volum limas berlaku untuk kerucut, sehingga:

V = 3

1Lt

= 3

1r2 x t ………….→ L = r2

V = 3

1r2t

Pada Gambar di atas, s disebut garis pelukis, yaitu garis yang menghubungkan

titik puncak kerucut dengan titik pada kelilling lingkaran.

Ternyata s, r, dan t merupakan sisi-sisi pada sebuah segitiga siku-siku, sehingga

diperoleh rumus s2 = r2 + t2.

Untuk setiap kerucut berlaku rumus berikut

V = 3

1 r2t dan s2 = r2 + t2

dengan V = volum, r = jari-jar, t = tinggi,

s = garis pelukis dan nilai t = 3,14 atau 7

22

Contoh:

1. Jari-jari alas sebuah kerucut = 3,5 cm dan tingginya = 15 cm. Jika = 7

22,

hitunglah volum kerucut itu!

Jawab:

164

Jari-jari alas 3,5 cm, maka r = 3,5

Tinggi = 15 cm, maka t = 15

V = 3

1 r2t

= 3

1 x

7

22x 3,5 x 3,5 x 15

= 11 x 3,5 x 5

V = 192,5

Jadi volume kerucut = 192,5 cm3

2. Hitunglah volum kerucut dengan jari-jar alas 6 cm, garis pelukis 10 cm, dan

= 3,14.

Jawab:

Jari-jari alas 6 cm, maka r = 6

Garis pelukis 10 cm, maka s = 10

Kita tentukan dulu tinggi kerucut, yaitu:

s2 = r2 + t2

102 = 62 + t2

100 = 36 + t2

t2 = 100 – 36

t2 = 64

t = 8

Atau

t2 = s2 – r2

= 102 – 62

= 100 – 36

t2 = 64

t = 8

Berikutnya kita tentukan volum kerucut:

V = 3

1 r2t

165

= 3

1 x 3,14 x 6 x 6 x 8

= 3,14 x 2 x 6 x 8

= 6,28 x 48

V = 301,44

Jadi, volum kerucut = 301,44 cm3

3. Volum suatu kerucut 462 cm3. Jika tinggi kerucut 9 cm dan = 7

22m

hitunglah panjang jari-jari alas kerucut tersebut!

Jawab:

Volum = 462 cm3, maka V = 462

Tinggi = 9 cm, maka t = 9

V = 3

1 r2t

462 = 3

1x

7

22 x r2 x 9

462 = 7

22 x r2 x 3

462 = 7

66 x r2

r2 = 462 : 7

66

r2 = 462 x 66

7

r2 = 49

r = 7

Jadi jari-jari alas kerucut = 7 cm

E. Volume Bola

Gambar (1) berikut merupakan setengah bola dengan panjang jari-jari r,

dan Gambar (ii) menunjukkan sebuah kerucut dengan panjang jari-jari r dan

166

tinggi r juga. Bila kerucut diisi penuh dengan tepung, kemudian tepung tersebut

kita tuangkan ke dalam setengah bola, ternyata setengah bola dapat memuat tepat

2 kali volum kerucut, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.

Volum bola = 4 x volum kerucut

= 4 x 3

1 r2t

= 4 x 3

1 r2 x r ………………… t = r

Volume bola = 3

4r3

Contoh:

1. Hitunglah volum bola dengan panjang jari-jari 10 cm dan = 3,14

Jawab:

V = 3

4r3

= 3

4x 3,14 x 10 x 10 x 10

= 3

4 x 3,140

V = 4.186,67 (dibulatkan sampai 2 desimal)

2. Apabila volum sebuah vola 1.4373

1, hitunglah panjang jari-jari bola tersebut

dengan = 7

22!

Jawab:

167

V = 3

4r3

1.4373

1 =

3

4 x

7

22 x r3

1.4373

1 =

21

88 x r3

r3 = 1.4373

1 :

21

88

= 88

21

3

312.4

= 49 x 7

r3 = 343

r = 3 343

r = 7

Atau

r3 = 72 x 7

r3 = 73

r = 7

Jadi panjang jari-jari bola adalah 7 cm.