Bab1-Beberapa Konsep Matematika

5/14/2018 Bab1-Beberapa Konsep Matematika

1/70

M a t e m a t i k a E k o n o m i


2/70

1 8 e b e r a p a K o n s e p D a s a r M a t e m a t i k a

Setelah mempelajari bab ini Anda diharapkan dapat memahami beberapa konsep dasaryang melandasi pengertian "Fungsi".KEGIATAN1. Bacalah dengan seksama bahan tentang "Beberapa konsep dasar Matematika" yang

disajikan di bawah ini :BEBERAPA KONSEP DASAR MATEMATIKA1.1. KONSEP HIMPUNAN.

Himpunan adalah sekumpulan obyek atau benda dengan ciri-ciri tertentu. Obyek ataubenda yang tennasuk dalam himpunan ini disebut anggota, atau unsur, atau elemenhimpunan. Suatu himpunan dapat ditentukan dengan menyajikan daftar anggotanya, ataudengan menyebutkan ketentuan khusus yang menetapkan apakah sesuatu obyekatau bendatermasuk anggota himunan atau bukan. Ketentuan khusus ini dinamakan Relasi. Untukmenyatakan sesuatu himpunan dipergunakan tanda-kurung; baik anggota-anggotanya maupunrelasinya ditulis di antara tanda-kurung itu.ContohA = {a, b, c} Menyatakan bahwa himpunan A terdiri dari unsur-unsur a, b, dan c.B = {X: X adalah mahasiswa fakultas ekonomi} menyatakan bahwa himpunan B terdiri dari

mahasiswa fakultas ekonomi.Notasi XES menyatakan bahwa obyek atau benda x termasuk anggota himpunan S.

Sedang notasi x ~ S menyatakan bahwa obyek atau benda x tidak termasuk anggotahimpunan S.

Suatu relasi yang tak dapat dipenuhi oleh satu unsur pun mencarikan suatu himpunankosong, yang dinyatakan dengan 0.ContohS = {x : x adalah bilangan gasal berakhiran 2} =0

2


3/70

Jika setiap anggota himpunan S merupakan juga anggota himpunan T, maka S adalahhimpunan-cabang (subset) dari T. Jika sedikitnya satu anggota dari T bukan anggotadari S,maka S adalah himpunan-cabang mumi dari T. Notasi SeT menyatakan S sebagaihimpunan-cabang f, sedang notasi S 1 - T menunjukkan bahwa S bukan himpunan-cabang T.Ingat, bahwa himpunan kosong adalah himpunan-cabang setiap himpunan. Jika S CTdan TCS, maka S = T.

Gabungan atau uni dua himpunan A dan B, yang dilambangkan AuB, adalah suatuhimpunan yang terdiri dari anggota-anggota A dan/atau B.

Irisan atau interseksi dua himpunan A dan B, yang dilambangkan A IIB, adalah suatuhimpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota persekutuan dari A dan B.

Seluruh obyek atau benda yangditinjau atau dibahas dalam suatu pemasalahan dinamakanhimpunan universal dan dinyatakan dengan u.Komplemen himpunan A, yang merupakan himpunan-cabang dari himpunan uniservalu,yang dilambangkan A atau A', atau A atau N, ialah himpunan U yang bukan sekaligusmenjadi anggota himpunan A.

Himpunan-himpunan yang terbentuk oleh gabungan, irisan dan komplemen mudahdipahamijikadisajikan dalamdiagram Venn seperti berikutini. Daerahyangbergarisadalahhimpunan yang dinyatakan di bawah masing-masing diagram.

A B A B

~

A

A -B B - A

A uB

3

A B A B

A (l B A uB


4/70

u A B

C

A atauA' Ar.Br.C

Sejenis himpunan yang penting adalah himpunan-urut yang urutan anggotanya tertentu,di antaranya pasangan-urut yang urutan anggotanya tertentu,di antaranya pasangan-urut(x.y) yang akan dijumpai nanti pacta pembahasan relasi dan fungsi.1.2. VARIABEL

Didalam matematika konstanta adalah suatu kuantitas yang bemilai tetap dalam suatupersoalan khusus. Konstanta mutlak atau numerik bemilai tetap dalam semua persoalan;konstanta parametrik (atau dinamakan juga secara sinbgkat "parameter") bemilai tetapuntuk suatu soal khusus tertentu, akan tetapi akan bemilai lain untuk soal yang berlainan.Nilai mutlak adalah nilai yang dilepaskan dari tanda-aljabarnya (positif atau negatif) danditulis di antara dua garis tegak, seperti r 5 I.

Variabel adalah suatu kuantitas yang dapat bemilai bermacam-macam dalam suatu soalkhusus. Himpunan nilai-nilai yang mencerminkan suatu variabel adalahjangkauan ('range')dari variabel itu. Jika jarak antara nilai-nilai yang berturut dari variabel itu mendekati nol,maka variabel itu dikatakan bersinambungan atau kontinu. Akan tetapi jarak ini tertentu,betapa pun kecilnya, maka variabel itu diskrit.

Di dalam matematika mumi variabel biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf akhirdari abjad, seperti x, y atau z. Akan tetapi di dalam matematika ekonomi seringkat dipakaijuga huruf-huruf pertama dari nama obyek atau benda yang diwakilinya. Huruf p misalnya,menyatakan harga ('price'), huruf q menyatakan kuantitas ('quantity'), huruf c menyatakanbiaya ('cost') atau konsumsi ('consumption', dan seterusnya. Parameter biasanya dilambangkandengan huruf-huruf abjad, seperti a, b atau c.1.3. RELASI DAN FUNGSL

Dalam matematika lama fungsi didefinisikan sebagai berikut : "Variabel y dikatakanfungsi dari variabel x, bilamana nilai y bergantung pada nilai variabel x."

Dalam matematika modem fungsi didefinisikan sebagai suatu relasi khusus. Relasiadalah suatu himpunan pasangan-urut. Himpunan X dari unsur-unsur pertama x, daripasangan-urut relasi (x,y), dinamakan wilayah ('domain') dari relasi itu, sedang himpunan Ydari unsur-unsur kedua y dinamakan jangkauan ('range'), sehingga relasi itu dapatdirumuskan :

4


5/70

{(x,y) ; x (EX dan y (EY }

ContohS = {(I,2), (2,8), (2,3)} adalah relasi pasangan-urut dengan wilayah {I,2} danjangkauan{2,3,8}.

Jika suatu relasi itu sedemikian rupa sehingga setiap anggota dari wilayah relasi ituhanya berpadanan dengan satu anggota dari jangkauannya, maka relasi itu merupakan suatufungsi.

Contohx y x Y1 3 1 32 5 2 55 4 5 45 7 6 78 9 8 99 4 9 4

Relasi bukan fungsi Relasi = fungsiMaka definisi lengkap fungsi menjadi :

"Fungsi f ialah himpunan pasangan-urut dengan anggota-anggota himpunan A. yangdinamakan wilayah sebagai unsurpertama, dananggota-anggotahimpunan Y, yang dinamakanjangkauan, sebagai unsurpertama, dan anggota-anggota himpunan Y, yang dinamakanjangkauan, sebagai unsur kedua, yang dihubungkan menurut suatu kaidah sedemikian rupa,sebingga tidak ada dua pasasnagan-urut yang unsur pertamanya sarna."

Fungsi dapat ditulis dengan berbagai cara. Misalnya fungsi f, yang wilayah danjangkauannya adalah himpunan-cabang dari bilangan nyata (real) dan kaidahnya ditentukanoleh persamaan: y = x2 - 4, dapat ditulis dengan salah satu cara berikut ini :(1) y = x2 - 4(2) f(x) = x2 - 4 atau: g(x) = x2 - 4(3) f: X ~ Y ialah fungsi yang harganya diberikan oleh f(x) = x2 - 4.(4) f: (x,y) ialah fungsi pasangan-urutnya (x, x2 - 4)(5) {(x,y)}; y = x2 - 4}

5


6/70

Dalam fungsi y = f(x) , y merupakan variabel-gayut (dependent variable), karenanilainya bergaaumg pada n ilai x, yaitu variabel bebas (independent variable), Fungsi yangdinyatakan sebagai f(x,y) '" 0, dinamakanjungsi implisit; misalnya 1y2 - 2y - x - 6"" O.Didalam ilmu ekonomi sering kita jumpai fungsi implisit untuk menyatakan hubungan, yangsifatnya timbal-balik. Maka fungsi implisit dengan dua variabel dapat dijadikan duafullRsieksplisit, walaupun tidak selalu mudah.Contohf(x.y) = 2X2+ 3xy - 2y2 - 5y - 2 = 0 dapat dijadikan:y = g(x) = 2x - 2 atau y = G(x) = - 1 / 2 X - 1 1 2 danx = h(y) = y - 2 atau x = H(y) = -2y - 1

g(x) dan h(y) d is ebutjung si: fimgsi balikan (inverse functions), yang satu terhadap yanglain. Balikan dari fungsi T dilambangkan fl. Ingat bahwa notasi -1 bukanlah eksponen.Apabila sesuatu nilai dari x disubstitusikan ke dalam rumus sesuatu fungsi, maka

hasilnya adalah nilai fungsi yang berpadanan dengan nilai x tersebut.Contoh

Jika f(x) = x2 - X+ 2, makaf(z) = Z2 - Z + 2;f(2) = 22 - 2 + 2 = 4;f(-3) = (_3)2- (-3) + 2 = 14f(O) = Q 2 - 0 + 2 = 2

f(x + 2) = (x + 2)2 - (x + 2) + 2 + x2 + 3x + 4 -f(x + h) - f(x} = (x + h)2 - (x + h) + 2 - (x2 - X+ 2) = 2hx + h2 - h

1- xJika Y = f(x} = -- , maka tentukanlah x = f(y).I+xPemeeaban:

I-xy =-l+xy(I + x) = 1- x

Y + xy = 1- xx + xy = 1 - Yx(1 + y) = 1 - Y

1 - Yx =- =f(y)1+y

Jika f(x) = lOXdan g(x) = loglo", buktikan bahwa f(g(x)} - g(f(x)} = x.

6


7/70

Bukti :f{g(x)} = f(loglOx)= IOloglOx Xg{f(x)} = g(lOX)!oglOlOx=x.log1olO = x

Jika y = f(x) serta u = g g(y), dan jika u = g (g(x)} = hex), maka h disebut komposit g dari f.2. Setelahmempelajari bahan tersebut di muka, selesaikanlah seal-seal berikut

ini :2.1. Jika Usuatu himpunan universal, tentukan dari pemyataan-pemyataan berikut ini mana

yang salah, kemudian betulkan kesalahannya!(a) Bu0=B(c) Du0=0(e) D(")0=0(g) B (")B =0(i) (D')' =U(k) B (")(B-D)=BuN(m) (C - D), = C' - D'

Petunjuk:Manfaatkan diagram Venn.

Jawaban :(a) Benar/Salah, yang benar :

(b) C (")U = C(d) BuU=U(f) A (")A' = A(h) CuC=C(j) (A - C) u C = A -C(1 ) Jika A = B' maka B = A'(n) (A u D) - D = A -D

(b) Benar/Salah, yangbenar:

(c) Benar/Salah, yang benar: (d) Benar/Salah, yang benar:

(e) Benar/Salah, yang benar : (f) Benar/Salah, yang benar:

(g) Benar/Sa1ah, yang benar : (h) Benar/Salah, yang benar:

(i) Benar/Salah, yang benar : (j) Benar/Salah, yang benar:

(k) Benar/Salah, yang benar : (1 ) Benar/Salah, yang benar:

(m) Benar/Salah, yang benar : (n) Benar/Salah, yang benar:

7


8/70

2.2. Untukrelasi-relasi berikut ini sebutkan wilayah danjangkauannya masing-masing, sertaselidiki apakah relasi itu merupakan suatu fungsi, .

(a) s= {(l,~), (2,3).(2,4), (3,2), (4,1), (5,5)}(b) A = {(l,3), (2,3), (3,3), (4,3)}(c) T = {(x,y), (2,3), (3,3), (4,3)} jika 2 sx s3}(d) B = {(x,y) : s:> x, y adalah bilangan bulat dan {y I~ 8}Jawaban:(a) Wilayah .~ ~ ~ ~ . .. . . . . . . . . ~ . .

Jangkauan

Relasi ini merupakan suatu fungsi ?(b) Wilayah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

JangkauanRelasi ini merupakan suatu fungsi ?

(c) Wilayah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .JangkauanRelasi ini merupakan suatu fungsi ?

....................................... .1 .

(d) WilayahJangkauanRelasi ini merupakan suatu fungsi ?

x2 t2 + 42.3. Jika f(x) =3" - x dan g(t) =3t'entukanlah(a) f(7) - g(3) dan (b) f(3)

g(2) + 1.

8


9/70

Jawaban:(a) ..

(b) .

2.4. Jika H(x) = x3f2 dan Q(x) = (X2 + 1)'1, tentukan Q {h (x) }Jawaban:

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .

2.5. Jika h (x) = x3 + 3x + 6 dan g(y) _y - tentukan g{h(2)}l=yJawaban

2.6. Jika g(t) t2 + 3 dan Q(t) = r' tentukan Q{g(t)}Jawaban

3. Kerjakanlab tugas-tugas berikut ini :3.1. Hasil riset pemasaran yang diselenggarakan sebuah perusahaan konfeksi terhadap 100

orang penduduk kota S mengungkapkan informasi berikut ini:15 orang ingin membeli ce1ana panjang20 orang ingin membeli gaun30 orang ingin membeli kemeja10 orang ingin membeli celana panjang dan kemeja5 orang ingin membeli gaun dan kemeja

9


10/70

13 orang ingin membeli celana panjang dan gaun7 orang ingin membeli celana panjang dan gaunRumuskan dengan notasi himpunan, kemudian dengan memakai diagram Venn. untukmcnjawab pertanyataan-pertanyaan berikut ini :(a) Berapa orangkah yang ingin membeli celana panjang saja?(b) Berapa orangkah yang if'Pn membeli gaun saja?(c) Berapa orangkah yang ingin membeli kemeja saja?(d) Berapa orangkah yang tak berminat membeli celana panjang?(e) Berapa orangkah yang ta k berminat membeli gaun?(t) Berapa orangkah yang tak berminat membeli kemeja?

3.2. Jika fey) = -1 2Y dan g(y) =1 -y buktikan bahwa :+y -yfey) g(y) = f(-y2). x + 2 1 + x2 1 - x3.3. Jika f(x) =-2-'g(x) =-- m dan hex) =-1-.x- x +xmaka buktikan bahwa : f g(x) = _1_h (X)2

10


11/70

KUNCI JAWABAN KEGIATAN 2

2.1. (a) Benaro

Bu0=B

(c) Benar

AuA=u

(e) BenarD

Dn0=0

(b) Benar u

u=c(d) Benaru u

Buu=u

(t) Salah, yang benar :u

AnA=0

11


12/70

(g) Salah, yang benar :B

(h) Benar u" " ' ' ' ' ' ' ~

JL J\ VvB() B=B CuC=C

(i) Salah, yang benar : (j) Salah, yang benar :u

(D')' =D (A -C) u C = Au C

(k) Salah, yang benar :

B () (B -D) =B -D

12


13/70

(C - D), = C' u D

(n) Benar

A D - . . . \)(AuO) 0 = A-O

(l) Benar

Jika (m)Salah. yang benar :

u u

maka

u u

=

13


14/70

I I G r a f i k d a r i F u n g s i L in ie r

Setelah mempelajari bahan ini Anda diharapkan mampu :1. menyajikan persamaan tinier dalam bentuk grafik;2. "membaca'' makna dari suatu grafik garis-Iurus.KEGIATAN1. Pelajarilah dengan cermat bahan pokok tentang Grafik dari fungsi tinier yang disajikan

dibawahini :GRAFIK DARI FUNGSI LINIER1.1. Pendahuluan.

Karena jasa Rene Descartes (1596 - 1650), seorang ahli filsafat, maka kita kinimemiliki alat grafik yang sangat bermanfaat untuk mengungkapkan suatu persamaanaljabar dalam bentuk kurva geometrika, dan untuk mengobservasi hubungan antarapelbagai variabel. Di samping itu banyak teori kalkulus dapat disajikan secara geometrikdengan bantuan grafik.

Untuk menyajikan suatu persamaan aljabar dalam bentuk grafik dipergunakan sistimkoordinat, sehingga lokasi sebuah titik pada suatu bidang atau di dalam ruang dapatditentukan secara pasti. Di antara pelbagai sistim koordinat yang terbanyak dipakai adalahsistim koordinat segi-empat atau Cartesius.1.2. SISTIM KOORDINAT SEGI-EMPAT.

Dua buah garis lurus yang saling berpotongan secara tegak-lurus dipakai sebagai acuandalam menentukan lokasi .sesuatu ititik pada sebuah bidang. Untuk menentukan lokasisebuah titik di dalam ruang diperlukan tiga buah garis lurus yang saling berpotongan secarategak-lurus pada satu titik. Dalam pembahasan berikutnyakita membatasi diri pada penentuanlokasi titik pada sebuah bidang.

Kedua garis-acuan itu disebut sumbu koordinat. Sumbu mendatar disebut sumbu-xdan sumbu tegak dinamakan sumbu-y. Titik-potongkedua sumbu disebut titik-asalkoordinat.

14


15/70

L okasi sebuah titik ditentukan berdasarkan jarakny a tegak-lurus dari sum bu-y , y angdisebut absis, dan dari sum bu-x, y aitu y ang disebut ordinal. D i antara para ilm uw an telahd isep ak ati ba hw a titik -titik d isebela h k an an sumbu-y a bsisn ya p ositif d an d isebelah k irin yan eg atif. D em ik ia n p ula titik -titik y an g b era da d i a ta s sumbu - x mempu ny ai o rd in at p ositif, d any ang di baw ah sum bu- x negatif.

K ed ua sumbu k oord in at itu m emba gi bid an g k oord in at m en ja di 4 w ila yah , y an g d isebutkuadran. W ilay ah kanan-atas adalah kuadran I, w ilay ah kiri-atas kuadran II, w ilay ah kiri-bawah kuadran III, d an w ila ya h k an an -bawa h d isebut k ua dra n IV . T itik -titik y an g berlok asid ikuadran I m em punyai absis dan ord inat positif, yang berada di kuadran III absis dano rd in atn y an eg atif. Ad apun titik-titik y an g terleta k d i k uad ra n II m emp un ya i a bsis n ega tif d anord in at p ositif, sed an g seba lik ny a y an g terleta k d i k ua dran IV memp un yai a bsis p ositif danordinat negatif. K oordinat titik itu ditulis d i antara tanda kurung, dengan m enyebut dulua bsisn ya , d isusul d en gan ord in atn ya. T itik -titik y an g berim p it d en gan sumbu-y m emp un ya iabsis nol, sedang y ang berim pit dengan sum bu-x ordinatny a nol. B aik absis m aup un ordinattitik -a sa l a da la h nol.1.3. KEMIRINGAN ('SLOPE') GARIS-LURUSPerh atikan garis gl m elalui titik-asal 0 pada gam bar di baw ah in i.

D iukur pada sem barang titik p (xl, Y 1 )kem iringan garis gl sarna besam ya, y aiNsebesar sudut a, yang terbentuk darip erp oton ga n g. d en ga n sumb u-x.Menu ru t trig on ome trir ta ge ns dari sudutruncing suatu segitiga siku-siku,didefin isikan sebagai rasio (h asilbagi)antara sisi siku-siku yang berhadapand engan sisi sik u-s ik u di sebelah ny a. Jad i :

y

Y Itg.a=--X I

~~bar 2. . Sudut antara 00 h ingga 900 mempunyaiKem iringan gans. tangens positif, sebab baik X m aupun ykedua-duany a p ositif. Tetap i sudut antara 90 dan 180 m em puny ai tagens negatif, sebab x-nya negatif sedang y-nya positif. Perh atikan sudut ~ pada gam bar di atas.Tangens sudut 00adalah nol, sedang tan gens dari sudut 90 tak dap at ditentukan (tak terh ingga). D ari gam bardi m uka dap at disim pulkan bah wa garis y ang naik darik iri kekanan m em puny ai k em iringanp ositif, sedang aris y ang m enurun dari k iri ke kanan m em puny ai kem iringan negatif. G arism en da ta r k em irin ga ny a n ol, sed an g ga ris tega k k em irin ga nn ya tid ak terh in gga (00).

15


16/70

bPadagambar3 garis gmemotong sumbu-y seting-gi b. Sudut kemiringannya adalah adan tg.a = y - b . Jika nilai tangens ini kita lambangkanxm,maka:

y

y

x " ' "~+4,1-

P(x,y) y-b--=mxy-b=mx

y=mx+b .

. . - - o ~ - - - - - - - - ~ X - - - - - - - - ~ X Ini merupakan bentuk-umum fungsi-garis atautinier. Seringkali dipakai pula perumusan-umum:Ax+By+C=O

Oleh karena sebuah garis lurus ditentukan oleh 2 titik, maka untuk melukis kurva darisuatu fungsi-garis cukup menentukan lokasi 2 buah titik pada garis itu. Yang termudahialah kedua titik-potong garis itu dengan kedua sumbu koordinat,yaitu yang disebutinterseksi atau penggal. Penggal-x diperoleh dengan mensubstitusikan nilai nol ke dalamvariabel y pada persamaan di atas itu, sedang penggal-y dengan mensubstitusikan nilai nolke dalam variabel x.

ContohRelasi antara garis: 2x + 6y - 4= 0 (yang dapat juga ditulis dalam bentuk y = -1I3x + 'lJ

3) dengan garis-garis di bawah ini adalah seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan masing-masing.(a) 4x + 12y - 8 = 0

12y = -4x + 8y = -'hx+ 2 1 3

(b) -3 + Y - 4 = 0Y = 3x +4====> berimpit===> Saling tegak-lurus

16


17/70

(c) x + 3y - 9 =03y = -x + 9

Y = -lhx +3 =====> Sejajar(d) 2x=y-4 =0y =-2x +4 ===> Berpotongan

Relasi antara dua garis-Iurus di muka sejalan dengan ciri-ciri sepasang persam aanbervariasi-dua: Ax + B y + C = 0 dan A 'x + B 'y + C' = 0

1.4. PENERAPAN FUNGSI GARIS DALAM BISNIS DAN EKONOMIDalam dunia kenyataan kita hanya berhadapan dengan obyek-obyek yang nyata. O leh

karena itu pengungkapannya dalam bentuk grafikyang kita perhatikan dan y ang relevanhanyalah bagian yang b erada di kuadran I. '

M enurut pengelam an, dalam jangkauan tertentu fungsi-fungsi perm intaan dan penaw a-ran kurang-Iebih bersifat lin ier, w alaupun ada juga yang bersifat non-niliner. Y ang terakh irin i barn akan kita bahas dalam bab berikutnya.

Pada um um nya baik perm intaan m aupun penawaran m enghubungkan jum lah barang ataujasa yang akan dibeli atau akan ditaw arkan, dengan harganya. Hukum Perm intaan m enyatakanbah wajum lah baran g y ang ak an d ibeli cen derun g bertam bah , ap abilah argan ya turun ; sebalik oy ajum lah perm intaannya akan berkurang, apabila harganya naik. Sedang Hukum Penawaranm enyebutkan, bahwa jum lah barang atau jasa yang ditaw arkan akan cenderung bertam bah jikah arg an ya n aik ,d an akan cenderung berkurangjika h argany a turun . D engan lain perkataan: padaumum nya kurva perm intaan m enurun dan kurva penawaran naik .

B arang-barang yang langka sekali, seperti lukisan asli dari Raden Saleh m isalnya, kurvaperm intaan dan kurva penawarannya tegak lurus. Sebaliknya barang-barang yang m urah dantersedia dalam jum lah yang banyak sekali, kedua kurva itu mendekati m endatar.Contoh

Jika harganyaRp 8 ribu jum lah sepatu yang dikonsum si adalah 10 ribu pasang; jum lahkonsum si itu akan bertam bah m enjadi 20 ribu pasang bila harganya turun h ingga Rp 6 ribu.Tentukan kurva perm intaan dan persam aannya.

17


18/70

- - - " " ,..~. . ., . . " . ~ , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -..- -y

8

Dalam persamaan :y = f(x) =mx + b

berturut-turut kita substitusikan X I = lO'YI = 8,dan x2 = 20, Y 2 =6 sehingga diperoleh pasanganpersamaan :

8= 10m+ b6=20+bDengan penyelesaian secara simultan akan

.... -- ...... -- .... ---- 2x kita peroleh :o 10 20Jumlah Sepatu (x 1000pasang)

Gambar4Kurva Permintaan

a=-2danb=100sehingga persamaan permintaan yangbersangkutan adalah y = 100 - 2 x

Catatan:Berlainan dengan ilmu matematika mumi, di dalam ilmu ekonomi harga-harga biasanya

dipasang pada sumbu-y danjumlah-jumlah barang pada sumbu-x.Contoh

Dengan harga Rp 250,00 atau kurang tidak ada yang bersedia menawarkan beras dipasar; setiap kenaikan sebesar Rp 100,00 jumlah penawaran beras akan bertambah 20 ton.Tentukan kurva penawaran dan persamaannya.

y b=250 6.y 10meg. a=- =-=0,5.6.x 20

Gambar 5Kurva Penawaran

18

Jadi persamaannya:Y =0,5 x+ 250

Catatan :!l.x (baca : delta x) adalah lambang yangmenyatakan kenaikan dalam variabel x.Menurut Hukum Keseimbangan Ekonomi :dalam situasi persaingan mumi harga kese-imbangan akan dicapaijika jumlah permintaansarna dengan jumlah penawarannya.


19/70

Contoh

y

o - - - - - - - - - - ~ 4 - - - - - - - - - - ~ X

Jika fungsi permintaan sesuatu barang adalah y =19 - 2 x sedang fungsi penawarannya y = 2x + 3,maka tentukanlah hargadanjumlah keseimbanganpasar dalarn situasi persaingan murni.Pemevcahan secara simultan denganmemakaisubstitusi terhadap kedua persamaan itu akanmenghasilkan :x=4dany= 11.Catatan :Ketika menyusun gambar grafik satuan ukuranuntuk kedua sumbu tak perlu sarna, melainkandapat dipilih sendiri-sendiri agar visualisasi grafikdapat ditingkatkan.

Analisis Pendapatan Nasional merupakan suatu contoh yang menarik mengenai penerapanfungsi linier, sebuah fungsi konsumsi seringkali diasumsikan bersifat linier untuk jangka-waktu pendek. Dalam salah satu bentuknya yang sederhana analisis ini didasarkan atasasumsi-asumsi berikut ini :(i) Ada sejumlah kebutuhan konsumsi yang mutlak diperlukan untuk mempertahankantingkat kehidupan yang paling sederhana, sekalipun untuk itu tak tersedia pendapatan-

uang.(ii) Konsumsi berkaitan dengan pendapatan yang tersedia untuk dibelanjakan ('disposable

income'), C = f(yd).(iii) Bila pendapatan yang tersedia untuk dibelanjakan itu bertambah konsumsi pun akan

bertarnbah, tetapi dalarn jumlah yang lebih kecil; secara matematik dirumuskan sebagai:f).C0


20/70

ContohDalam suatu analisis pendapatan nasional diketahui keterangan-keterangan yang berikut:(1) Jika pendapatan nasional yang tersedia untuk konsumsi sebesar nol maka jumlah

konsumsi nasional adalah 5 (dalam trilyun rupaih).(2) Bagi kehidupan ekonomi nasional seluruh konsumsi berkaitan secara linear dengan

pendapatan nasional: Pada setiap tingkat pendapatan nasional jurnlah konsurnsi sarnadengan 5 ' (dalam trilyun rupiah) ditambah dengan 80% dari pendapatan nasional.Maka relasi terakhir ini dapat dirumuskan :

Kurva konsumsi yang bersangkutan terlukis pada gambar 7 berikut ini.

y

~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - 4 0 ~ - - - - ~ Xpendapatan (dalam trilyun: Rp)

Gambar7Fungsi Konsumsi

Contoh lain mengenai penerapan fungsi garis dalam bidang ekonomi dan bisnis adalahanalisis Peta Impas ('Breakeven chart'). Biaya produksi suatu barang terdiri atas biaya tetapFC (fixed cost) dan biaya variabel VC. Jumlahnya adalah biaya total TC. Jika biaya-biayaini dikaitkan dengan kuantitas q yang diproduksi, maka biaya tetap tidak terpengaruh olehbesarnya q;jadi kurvaFC sejajar dengan sumbu-x. Sebaliknya biaya variabel berubah-ubahsecara proporsional dan langsung dengan kuantitas q yang diproduksi; kurvanya berbentuksebagai sebuah garis lurus yang menanjak melalui titik-asal.Biaya total adalahjumlah biayatetap dan biaya variabel. Oleh karena ito kurvanya sejajar dengan kurva biaya variabeldengan penggal-y sebesar FC.

20


21/70

Penjualan hasil produksi memberikan pendapatan total TR, yang berbanding lurus(proporsional) dengan kuantitas q yang dijual. Jadi kurva TR merupakan sebuah garis lurusyang naik melalui titik-asal juga.

Besarnya laba perusahaan adalah selisih antara pendapatan total TR dan biaya total Te.Jika pendapatan total lebih rendah dari biaya total, maka selisibnya merupakan kerugian.Pada titik-petang antara kurva biaya total dan kurva pendapatan total, perusahaan itu tidakmemperoleh laba maupun menderita rugi. Titik ini disebut titik impas. Pada gambar 8 titikEadalah titik impas (breakeven point).

Gambar8PetaImpas

Penyajian pendapatantotal dan biaya total sebagai fungsi garis dalarn analisis ekonomidimungkinkan, apabila produksi dianggap berlangsung menurut 'constant returns to scale'.2. Setelah mempelajari bahan pokok tersebut el i muka, selesaikan1ah soaI-soaIberikut ini.2.1. (a) Di antara titik-titik berikut ini manakah yang terletak pada garis: 3x + 4y - 10 = O?

(i) P (1,2) (ii) Q (-2,4)(iii) R (10,-5) (iv) S (-3,5)(v) 0 (0,0) (vi) T (2'219, '213)(b) Lukislah grafik persamaan itu, dan cantumkan pula lokasi titik-titik tersebut itu pada

bidang koordinat yang sarna.

21


22/70

Jawaban :(a) (i) .

( 1 1 " ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . , .

(iii)

(iv)

(v) .

(vi)

(b) Grafik persamaan garis: 3x + 4y - 10 = 0, dan lokasi titik-titik P (1,2), Q (-2,4), R22 2(10,-5), S(-3,5), 0(0,0) dan T (-, -).9 3

22


23/70

2.2. Selidiki bagaimana hubungan antara garis-garis berikut ini masing-masing (sejajar,berimpit, berpotongan, ataukah berpotongan tegak-lurus) dengan garis: 3x + 4y - 2 =O.(a) 15x + 20y - 10 = 0 (b) 8x - 6y + 5 = 0(c) 9x + 12y + 7 = 0(e) 12x - 9y + 2 = O(t) (d) 3x + y - 4 = 02x+y-6=0

Jawaban:(a) .

...........................................................................................................................................(b) .

(c) ..

(d) .

(e) .

(f) ..

2.3. Menurut Henry Schulz taksiran permintaan dan penawaran gula di Amerika Serkatantara 1890 - 1915 adalah :

10 D = 16 - 5 P dan 10 S = 7 P + 4(d = demand/jumlah permintaan; S = supply/jumlah penawaran)(a) Tentukan harga danjumlah keseimbangan pasar.(b) Lukiskan kurva permintaan dan penawaran itu pada sebuah grafik, dan beri tanda

titik keseimbangan pasar terse but.Jawaban:(a) .

23


24/70

(b) ..

(c) " ", , ,.

(d) .

(e) .

(f) ..

(b) Kurva Pennintaan 10 D = 16 - 5 P dan Kurva Penawaran 10 S = 7 P + 4.

2.4. Seorang produsen menjual produknya seharga Rp. 500,- tiap satuan. Biaya tetapberjumlah Rp. 300.000,- sedang biaya variabel = 40% dari harga-jual.Tentukanlah :(a) Titik impas(b) Jumlah laba,jika terjuallO.OOO satuan(c) Titik impas barn, jika harga-jual dinaikkan menjadi Rp. 750,- tiap satuan(d) Jumlah laba dalam hal (c) bila terjual 8.000 satuan(e) Kuantitas penjualan yang diperlukan pada harga Rp. 750,- tiap satuan, agar

memperoleh laba yang sarna seperti pada (b)24


25/70

Jawaban :(a) Menentukan titik impas.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .(b) Jumlah laba jika teIjual10.000 satuan.

(c) Menentukan titik impas barn.

(d) Jumlah labajika teIjual8.000 satuan dengan harga Rp. 750,- tiap satuan .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(e) Kuantitas penjualan yang diperlukan pada harga Rp. 750,- tiap satuan untukmempertahankan jumlah laba pada (b).Periksalah jawaban Anda dengan menggunakan Kunci Jawabanyang tertera padahalaman 30

. '.i;~~F{tN,


26/70

3.2. Kurva pennintaan sesuatu barang adalah : q = 20 - 2 P sedang kurva penawarannya : q=3p.

Tentukanlah :a. Harga dan jumlah keseimbanganya.b. Harga danjumlah keseimbangan baru setelah untuk penjualan barang itu dipungut

pajak sebesar 5.c. Harga dan jumlah keseimbangan baru setelah untuk penjualan barang itu diberikan

subsidi sebesar 3113 tiap satuan.d. Jumlah pajak yang diterima pemerintah pada pertanyaan (b).e. Jumlah subsidi yang hams disediakan pemerintah pada pertanyaan (c).

KUNCI JAWABANKEGIATAN 22.1. (a) (i) P (1,2 disubstitusikan ke dalam sisi dari persamaan 3x + 4y - 10 = 0, ak.anmenghasilkan :3 (1) + 4 (2) - 10 = 1.Jadi titik P (1,2) tidak. terletak. pada garis tersebut.

(ii) Q (-2,4) disubstitusikan ke dalam sisi kiri persamaan 3x + 4y - 10 = 0, akanmenghasilkan :3 (-2) + 4 (4) - 10 = 0.Jadi titik Q (-2,4) terletak. pada garis tersebut.

(iii) R(10,-5)disubstitusikankedalamsisikiridaripersamaan3x+4y-l0=0,akanmenghasilkan3(10)+4(-5)-10=0Kesimpulan : Titik R (10,-5) terletak. pada garis tersebut.

(iv) S (-3,5) disubstitusikan ke dalam sisi kiri dari persamaan 3x + 4y - 10 = 0, akanmenghasilkan :3 (-3) + 4 (5) - 10 = 1.Kesimpulan: Titik S (-3, 5) tidak terletak. pada garis itu.

(v) 0(0,0) disubstitusikan ke dalam sisi kiri dari persamaan 3x + 4y - 10=0, ak.anmenghasilkan :3 (0) + 4 (0) - 10 = -10.Kesimpulan : Titik 0 (0,0) tidak terletak. pada garis tersebut.

22 2(vi) T (-, -) disubstitusikan ke dalam sisi kiri dari persamaan 3x + 4y - 10 = 0,9 3akan menghasilkan :

22 23 (9)+4("3)-IQ=0.Kesimpulan : Titik T (2~ ,~ ) terletak. pada garis terse but.

26


27/70

s y

2.2. (a) 3x + 4y - 2 =0 ===>15x+2Oy-1O=O =-->(b) 8x - 6y + 5 =0 =>(c) 9x + 12y+ 7 = 0 - >(d) 3x + Y- 4 = 0 = >(e) 12x- 9y + 2 = 0 = >(f) 2x + Y - 6= 0 ==-->

2.3. (a) Permintaan: 10 q= -5 P + 16Penawaran : 10q= 7 + 4

o =-12+1212 P = 12

p= 1danq = 1,1

y = 1/2 - 3/4 XY = 1/2 - 3/4 XY = 5/6 + 4 1 3 xY = -7 - 3/4XY = 4 - 3xY = 2/9 + 4 1 3 xy=6-2x

(Berimpit)(Tegak-lurus)(Sejajar)(Berpotongan)(Tegak-Iurus)(Berpotongan)

27


28/70

(b)

y

2.4. (a) Harga-jual tiap satuanBiaya variabel tiap satuan 40%-nyaUntuk menutup biaya tetap tiap satuan

300.000Jadi titik impas = x 1satuan = 1.000 satuan.300(b) Hasil penjualan 10.000 x Rp. 500 =

Biaya tetapBiaya var. 40% x Rp. 5.000.000 =

Jumlah laba(c) Harga-jual tiap satuan

Biaya variabel 40%-anyaUntuk menutup biaya tetap tiap satuan

300.000Jadi titik impas barn = 300 x 1 satuan = 666 2 1 3 satuan.

28

Rp.500,-Rp.200,-Rp.300,-

Rp. 5.000.000,-Rp. 300.000,-

Rp. 2.000.000,-Rp. 2.3000.000,-Rp.2.700.ooo,-

Rp.750,-Rp.300,-Rp.450,-


29/70

(d) Harga penjualan 8.000 x Rp. 750,- =Biaya tetapBiaya var. 40% x Rp. 6.000.000 =Jumlah laba baru

Rp. 6.000.000,-Rp. 300.000,-

Rp. 2.4000.000,-Rp.2.7oo.000,-Rp. 3.300.000,-

(e) Harga-jual x satuan =Biaya tetapbiaya variabe140% x 75x = 300x

750%Rp. 300.000,-

LabaPersamaan :

300x + 300.000,-450x - 300.000,-

450x - 300.000 = 2.700.000450x = 3.000.000

x = 6666 213Jadi untuk memperoleh laba Rp. 2.700.000,- dengan harga-jual diperlukan kuantitaspenjualan 666213 satuan.

29


30/70

I I I G r a f i k F u n g s i N o n - L i n i e a r

Setelah mempelajari bab berikut ini dan diharapkan :1. Menguasai beberapa tehnik melukis kurva fungsi non-liniear,2. mampu menganalisis penerapan grafik fungsi non-liniear dalam bidang bisnis dan

ekonomi.KEGIATAN1. Baea dan pelajarilah dengan eermat bahan pokok berikut ini mengenai Grafik Fungsi

Non-liniear.GRAFIK FUNGSI NON-LINIEAR.

Polinem atau Suku-banyak dalam variabel x, yang dilambangkan P(x), ialah bentukaljabar yang mengandung suku-suku Kx', di mana K menyatakan konstanta, r adalaheksponen berupa bilangan bulat. Derajat suatu polinem ditentukan oleh nilai r tertinggi.Dengan demikian bentuk-umum suatu polinem berderajat-n adalah :

Persamaan dalam bentuk f (x,y) = 0, di mana f (x,y) adalah suatu polinem dalam x dany, disebut bersamaan aljabar. Setiap persamaan dalam x dan y yang bukan perSamaan aljbarmerupakan persamaan transendental, seperti persamaan-persamaan trigonometrik, logaritmik,dan eksponensial.1.1. CARA MELUKIS KURVA NON-LINIEAR.

Berbeda dengan kurva liniear, melukis kurva non-liniear tidaklah mudah. Untuk yangterakhir ini diperlukan informasi lokasi titik-titik yang lebih banyak. Akan tetapi earademikian ini memerlukan waktu banyak. Selain dari itu juga kurang memberikan keteranganmengenai sifat-sifat penting dari kurva yang bersangkutan.

Berikut ini disajikan beberapa sifat kurva non-linear yang kiranya dapat membantudalam melukisnya.

30


31/70

Intersep atau PenggalSep erti p ad a k urv a lin ea r, p en gg al-x d an p en gg al-y d ap at d ite ntu ka n d en ga n rn ern be rk an

n ila i n ol, b ertu ru t-tu ru t u ntu k v aria be l y d an v aria be l x , k emu dia n p ersamaa nn ya d ip ec ah k an .SimetriS ebuah kurva rnernp uny ai :(a) sim etri terh adap sumbu-x, bila p ersam a an ny a tid ak berub ah p ad a p en gga ntia n y d en ga n

- y ;( b) sirn etri terh ad ap sumbu-y, b ila p ersamaa nn ya tid ak b eru ba h p ad a p en gg an tia n x dengan- x ;(c) sim etri terh adap titik-asal, b ila pe rs amaannya tidak b eru bah p ada p engg an tia n x dengan-x dan y dengan -yo

ContohKurva y an g rn en cerm in ka n p ersa rn aa n: 3 x2y + y + x3=0 bers irnet ri t erhadap titik-asal, tetapitidak terh adap kedua sum bu.

y

Garnbar9S irne tr i te rhadap tit ik 0

f (x,y) = -3x2 Y - Y + x 2; rnaka f (x.-y) = 0 tidaksarna dengan f (x,y) =0, sebingga f ( x,y ) tid ak.ber sime t ri d engan sumbu-x. Sedang f (-x,y) =3x2y + Y - x', sehingga f(-x3, s eb ingga f (-x,y )= 0 tid ak sa rn a f (x.y) = 0 tid ak b er sime trite rh ad ap su rn bu -y f (-x, -y) = -3xly - y - x3,sehingga f ( -x ,-y ) sa rn a d en ga n f ( x ,y ) ; jad i f( x,y ) b ers irn etr i d engan titik -a sa l.SebaranSebaran kurva d itentukan oleh w ilayah(dern ain) d an jangkauan (range), y ang h any abelah diwak ili oleh bilangannyata (real).W ila ya h k urva ia la h h irn pu na n d arip ad a un surp er ta rn a p a sang -u ru t (x.y) y ang m ernenuh ip ersa rn aan k urva . S ed an gja ngk aua nn ya ia lahh irn pun an d arip ad a un sur k ed ua p asa ng-urut( x,y ) y an g rn ern en uh i p ersa rn aa n k urv a.

ContohSelid ik i a pa ka h a da p ern ba ta sa n te rh ad ap seb ara n k urv ay an g rn en ce rm in ka n p ersa rn aa n:X2 +y 2= 9.D ari p ersa rn aa n tersebut d ip eroleh x = V 9 - y2 dan y = V 9 - x 2

31


32/70

Untuk 3 < x < -3, maka nilai y kbayal, jadi wilayahnya (demain) adalah :.-3 ~ x ~ 3.Demildanjuga untuk 3


33/70

Contoh

xy -1 = 0

xy -1 =0

Sisi kiri persamaan :x2y - Xi - X+ Y=0 dapat diuraikan menjadi :(xy - 1) (x - y) = 0 Gambar grafiknya terdiri daridua kurva: xy - 1 = 0 dan x - Y = 0Lokus (tempat kedudukan) nyata, lokustitik dan lokus khayal.Ada beberapa persamaan yang hanya dapatdipenuhi oleh koordinat sebuah titik atau lebih.Dan ada pula persamaan yang hanyadapatdipenuhioleh koordinat titik kbayal.

Gambar 11GrafIk : x2y - xy2 - X +y = 0

ContohPersamaan x2+i=0 hanya dapat dipenuhi oleh titik (0,0) jadi mempunyai lokus titik.Persamaan (x2- 4)2+ (y2- 4)2=0 hanya dapat dipenuhi oleh titik -titik (2,2), (2,-2), (-2,2),

dan (-2,-2). Jadi mempunyai empat titik sebagai empat titik sebagai lokus.Persamaan x2+ y2= -5 tak dapat dipenuhi oleh nilai-nilaix dan y yang real (nyata), jaditempat kedudukannya kbayal.Dati pembahasan di muka dapat disimpulkan bahwa untuk melukis grafik dati kurva

non-liniear sifat-sifat berikut ini sangat bennanfaat :(i) . Intersep atau penggal.(ii) Simetri.(iii) Sebaran.(iv) Asimtot.(v) Faktorisasi,(vi) Kurva nyata, lokus titik, atau lokus kbayal.

Walaupun dalam daftar di atas itu Faktorisasi disebut belakangan, namun seyogyanyasifat ini diselidiki terlebih dahulu. Sebab hasilnya mungkin meniadakan penelitian terhadapsifat-sifat yang lain.Contoh

Lukislah persamaan : y = (x + 2) (x - 3)2dalam grafik, Penggal : Jika y = 0, x = -2 dan3;jika y = 0, y = 18.

Simetri : Tidak bersimetri baik terhadap kedua sumbu maupun terhadap titik pangkal.Sebaran: Tidak tampak adanya pembatas.

33


34/70

Asimtot: Tidak ada (jika x=>+ , y => + 00 dan jikax=>- 00, y => - 00) Faktorisasi: Tidak dapat (Ingat,bahwa kemungkinan faktorisasi mengacu kepadapersamaan f (x,y) = (x + 2)(x - 3)2- Y = 0, dan bukan kepada sisi kanan dari y =f(x) = (x + 2)(x - 3)2, yang pada hakekatnya sudah terurai).-~~-"!!--~~---.xokus nyata ataukah kbayal: Kurva nyata.-2

y18

Gambar 12

1.2. PERSAMAAN KUADRA T.Persamaan dalam bentuk :

AX2+ Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0dimana A, B, C, D, E dan F adalah konstanta, sedang

sekurang-kurangnya satu di antara A, B dan C bukan nol, disebut persamaan berderajat duaatau persamaan kuadrat. Suatu persamaan dikatakan berderajat dua dalam suatu variabel,apabila variabel tersebut setinggi-tingginya berderajat dua di dalam persamaan itu.

Grafik persamaan kuadrat pada umumnya mencerminkan penampang irisan kerucutkembar, yaituyang berwujud: lingkaran, elips (bulat-telur), parabola atau hiperbola.

Ambillah misalnya kerucut kembar dua dengan sudut puncak = 2~ sepertiyang terterapada gambar 13 berikut ini. Kerucut diiris sebuah bidang-datar, yang membuat sudut adengan sumbu kerucut. Jika bidang-datar itu memotong kerucut tegak-lurus pada sumbunya(jadi jika a = 90). maka penampang irisannya akan berwujud sebagai lingkaran. Jikapenampang irisan itu miring sedikit (yaitu jika ~


35/70

Sejenis hiperbola khusus yang banyak dipakai dalam analisis ekonomi adalah hiperbolasama-sisi atau hiperbola siku-siku, dengan kedua sumbu koordinat sebagai asimtot.

Dari bentuk-umum persamaan kuadrat:AX2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0

dapat diidentifikasikan jenis kurvanya sebagai berikut :Jika B =0 danA =C, maka bentuknya sebagai lingkaranJika B2 - 4AC < 0, maka bentuknya sebagai elipsJika B2 - 4AC = 0, maka bentuknya sebagai parabolaJika B2 - 4AC > 0, maka bentuknya sebagai hiperbola.Dalam kasus yang khusus di mana B =0, sedang sedikitnya satu diantara A dan C bukan

nol, maka prosedur identifikasi di atas itu dapat disederhanakan sebagai berikut :Jika A = C, maka bentuknya sebagai lingkaranJika A:#:C, tetapi A dan C mempunyai tanda aljabar sarna, maka bentuknya sebagai elipsJika salah satu di antara A dan C bernilai 0, maka bentuknya sebagai parabolaJika A dan C mempunyai tanda aljabar yang berlawanan, maka bentuknya sebagaihiperbola.Di dalam geometrika lingkaran didefinsikan sebagai tempat kedudukan atau lokus titik-

titik:P (x.y) yang berjarak sarna r dari suatu titik M, yang dinamakan titik:pusat lingkaran.Pada gambar sebelah, berdasarkan DalilPythagoras, diperoleh persamaan.y

yk

~+- ~I __ ~ -..Xo h x

Gambar 14Grafik: (X_h)2+ (y-k)? = r2

(x - h)2 = (y - k)2= rlPersamaan ini dapat dijabarkan menjadi :

x2+ y 2 - 2hx - 2ky + (h2 + k2 - rl) = 0di mana h dan k mungkin positif mungkinnegatif.Perumusan terakhir ini dapat diubah ke dalambentuk-umum persamaan kuadrat di atasdengan catatan bahwa A = C dan B = O.

Elips (bulat telur) didefmisikan sebagaitempat kedudukan atau lokus dari titik-titikyang jumlah jaraknya dari dua titik tertentu,yaitu yang disebut titik-api atau fokus F dan F,adalah tetap. Untuk menyederhanakanpenjabaran persamaan elips, kita bertolak dari

35


36/70

. . J (e + X )2+ y2 = 2a - - . J (e _ X )2+ y2(c + X }2+ y2 = 4a2 + (e - X )2+ y 2 - 4a- . J (e - X )2 + y2

e2 + 2cx + x2+ y2 = 4a2 + e2 2ex + x2 + y2 - 4cx . . J (e _ X )2+ y24a - . J ( e - X }2+ y2 = 4a2 - 4cx

y

Gam bar 15Kurva p ersam aa n elip s

titik -p an gk al k oo rd in at seb ag ai p erten gah anF F, F F b erim p it d en ga n sumbu-x (lih at g amb ar15 d i baw ah ).M isalkan OF = OF' = e, PF + PF' = 2a danOB=b .M aka: B F + B F =AF + AF' =AF' +A 'F ' =AA '= PF + PF = 2a, atau: 2B F = 280seh in gga B F = aM enurut dali1 Phy tagoras: B P = OB2 + OP,atau a2 = b2 + e2; seh ingga : a2 - c2 = b2Dari PF + PF = 2a diperoleh PF' dan 2a - PF.PF ' = - . J (c + X )2+ y2 d anPF = . . J (e _ X )2+ s ' .Jadi:

Jik a titik ten gah elip s,y an g tad in ya berim p it d en ga n titik -asal 0 , k ita p in da hk an k e titikM (h .k) m aka diperoleh lah rum us um um elips :

Perh atik an , bah wa A A ' = 2a a da la h sumbu-mayor dan B B ' = 2 b ad ala h sumbu-m in orelip s, sed an g titik-p usatn ya ad alah M (h .k).36


37/70

Jika persamaan terakhir itu kita jabarkan, maka akan kita peroleh :(x - h)2 (y - k)2--+-- =1a2 b2

b2 (x - hf + a2 (y - k)2 = a2b2b2x1 _ 2b2xh + b2h2 + a2y2_2a2yk + a2k2 = a2b2

b2x2+ a2y2_2b2hx _2a2yk + (b2h2 + a2k2 - a2b2) = cAX2+ Cy2+ Dx + Ey + F = 0

Yang sarna bentuknya dengan bentuk-umum persamaan kuadrat dimuka kecuali bahwa B =o dan A serta C sarna tanda aljbamya.ContohSusunlah persarnaan berkut menjadi bentuk-baku bagi suatu elips dan tentukan titik-pusatdan sumbu-sumbu elips itu.

9x2+ 2y2 + 36x + 4y + 20 = 0Dari persarnaan tersebut kita bentuk kuadrat-kuadrat dalarn x dan dalam y sebagai

berikut:9x2 + 36x + 36 + 2y2+ 4y + 2 + 20 - 36 - 2 = 0

(9x2 + 36x + 360 + (2y2 + 4y+ 2) - 18 = 09 (x2 + 4x + 4) + 2 (y2 + 2 (y2 + 2y + 1) = 189(x+2)2+2(y+l)2 =18

(x + 2)2 (y+ 1)2 = 1-2-+-9-(x + 2 ? J Y + 1)2 = 1(2)2 33

Maka titik-pusat elips adalah M(-2,-1) dan sumbu-sumbunya adalah : 2(2) dan 2(3) atau22dan6.

Parabola didefinisikan sebagai ternpat kedudukan atau lokus titik-titik yang jaraknyadari suatu garis-lurus d (yang disebut direktriks) sarna dengan jaraknya (= 2p) dari suatu titik-api yang disebut fokus. Garis-lurus melalui fokus dan tegak-lurus pada direktriks adalahsumbu-simetri parabola.

Penjabaran persarnaan parabola akan menjadi lebih sederhana,jika titik-asal koordinatdipilih sebagai puncak dan sumbu-y sebagai sumbu-simetri parabola (lihat gambar dibawah).OF = ~Y' = Pdan PF = PG = Y + P.


38/70

y

y' GGambar 16

Persamaan Paiabolik

Maka:F1F +PH2= PF = PG2x2+ (y _p)2= (y + p)2X 2 + y2 _2yp + p2 = y2+ 2py + p 2x2=4ypX2 - 4yp = 0Jika puncak parabola dipindah ke titik M (x,y)sehingga sumbu-simetrinya sejajar dengansumbu-y, maka persamaan terakhir ini akanmenjadi :

(x - h)2 - rp (y - k) =0x2 - 2hx + h2 - 4py + 4 pk = 0

x2~2hx - 4 py + (h2 + 4 pk) = 0di mana h dan k mungkin positif mungkin pula negatif.

Persamaan terakhir ini dapat ditulis lebih sederhana :Ax2 + Dx + Ey + F= 0

yang merupakan bentuk-umum persamaan kuadrat terdahulu, kecuali bahwa B = 0 dan C =O. Sumbu-simetrinya sejajar dengan sumbu-y.Jika sumbu-simetri parabola itu sejajar dengan sumbu-y, maka persamaannya adalah:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0Bagi suatu parabola dengan sumbu-simetri sejajar dengan sumbu-y berlaku :Jika P 0, maka parabola terbuka ke atasBagi suatu parabola dengan sumbu-simetri sejajar dengan sumbu-x berlaku :Jika P < 0, maka parabola terbuka ke kiriJika p : > 0, maka parabola terbuka ke kanan

Pada gambar 17 tertulis 4 bentuk parabola dengan sumbu-simetri sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat.

38


39/70

y y

I 1 3 I4)1.5 I"'IillE l li i l l II

I::1 1 . 1 3.014)I." ' I ' "M(h,k)

,M(l\.k)

(a) (x-h)? = 4p (y-k), P >0y

(b) (x-hj' = 4p (y-k), P < 0Iy

(c) (y-k)2 = rp (x-h), p > 0 (d) (y-k)2 = 4p (x-h), p


40/70

ContobSusun persamaan di bawah ini menjadi bentuk-baku bagi parabola, kemudian selidiki

ciri-cirinya, tentukan puncak dan jarak titik api dari direktriks, dan lukislah grafiknya.y

~-"""",-~o.e-"..,... .......-- ... xM(2, -10)

Gambar 18Grafik dari x2 - 4x + Y + 14 = 0

Persamaan tersebut dapat dijabarkan sebagaiberikut:x2 - 4x 4 + Y+ 10 = 0(x - 2)2= -1 (y + 10)Maka puncak parabola adalah M (2,-10). Jaraktitik api dari direktriks adalah -1, sehingga sumbu-simetri parabola sejajar dengan sumbu-y danparabola terbuka ke bawah.Hiperbola didefinsikan sebagai tempatkedudukan atau lokus daripada titik-titik, yang

selisih jaraknya dari dua titik tertentu yang disebut fokus F dan F', adalah tetap.Juga di sini persamaan hiperbola akan menjadi lebih sederhana penjabarannya bila

sumbu-simetri FF dipakai sebagai sumbu-x koordinat dengan titik-asal 0 sebagai titik-tengah FF' (Lihat gambar 19).

y

Gambar.19

Dimisalkan OF = OF = c,PF - PF = 2a, maka :PF=2a+PFPF=" QF2 + P Q 2

= " (00 + OF)2 + PQ2= " (c + xf +y2PF = . . J Q F 2 + P Q 2

= " (OF - OQ)2 + PQ2= . . J (c - X)2 + y2

Maka:Persamaan Hiperbolik " (c + X)2 + y 2 =-2a ~" (c _X)2 + y2

c2 + 2cx + x2 + y2= 4a2 + c2 _ 2cx + x2 + y2+ 4a V (c _ X )2 + y24cx - 4a2 = 4a V (c - X )2 + y2..:...x - a = . . J (c - X)2 + y2a40


41/70

Jika hiperbola dipindahkan sejajar sehingga titik-tengah FF' bergeser ke titik M (h.k),maka persamaan terakhir ini akan berubah :(x - h)2_ (y - k)2= I

a2 b2Dan jika persamaan terakhir ini diuraikan kembali, maka :

b2 (x - h )2 - a2 (y _k)2 = a2b2b2x2 _2b2xh + b2h2 - a2y2+ 2aZyk _a~2 = a2b2b2x2_ a2y2- 2b2hx + 2a2ky + (b2b2- a~2 - a2b2)= 0di mana h dan k mungkin positif, mungkin pula negatif.

Jika rumusan terakhir ini ditulis secara lebih sederhana, maka perumusan-umum bagipersamaan kuadrat terdahulu akan muncul kembali, kecuali bahwa :B = 0, sedang A ,;:.Cdanberlawanan tandanya.

Ax2 - Cy2 + Ox + Ey + F = 0Catatan:

x-h y-kPersamaan asimtot hiperbola adalah : -- = - -a bContoh

Rumuskan kembali persamaan berikut ini hingga menjadi bentuk yang baku bagi suatuhiperbola, dan tentukan titik-pusat, sumbu-sumbu dan asimtotnya.6x2 - 12x - 4y2 - 16y - 34 = 0

41


42/70

Sisi kiri persamaan kita ubah untuk memperoleh bentuk kuadrat-kuadrat :6x2 - 12x + 6 - 4y2 - 16y - 16 = 34 + 6 - 166(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + y4 + 4) = 24

6(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 24(x - 1)2 (y + 2)2 = 1-4---6-(x - 1)2 (y + 2)2 = 1--v- ( : . . J 6 ) 2

Jadi: pusat hiperbola (1,-2), sumbu-sumbu a = 2, b ="b, sumbu transvera sejajar dengansumbu-x,Asimtot:x+l_+y+2-2 -- "';6

Apabila kedua sumbu a = b, maka asimtot hiperbola itu akan saling tegak-lurus, danhiperbola itu menjadi hiperbola bujur-sangkar, atau hiperbola siku-siku, atau hiperbo/aekulateral. Dalam analisis ekonomi hiperbola siku-siku itu sering kita dapati.1.3. PENERAPAN FUNGSI NON-LINIEAR DALAM BISNIS DAN EKONOMI

Bagian yang terletak di kuadran pertama dati pelbagai jenis parabola dan hiperbola siku-siku sering dipakai untuk mencerminkan fungsi-fungsi permintaan dan penawaran.

y y

- 1 1 " . ")(< ? lr

,/ ~, lr: . . n! "_ . . ~ I - _ - . o ; ; . . - - .o.:,,,, --~CY21-D : . t ' J I . ~

:;Ox ,.(\\\- - - o ~ - - - - - - - ~ : ~ ~ x,,- , -,-

"... . . . . . .

Gbr.20Fungsi-fungsi Permintaan Parabolik

42


43/70

y y

o o'.'._

...


44/70

F

ContobTentukan harga danjumlah keseimbangan bagi fungsi pennintaan dan fungsi penawaran

berikut ini. Lukiskan kedua fungsi dalam bentuk grafik (q menyatakan kuantitas dan pmenyatakan harga).

p

----~ln~~~o----~------~~Q... ,".

..........',---__ .. (9.5.-8.9). . . . . - . . ~--Gambar23

Harga & Jumlah Keseimbangan

Pennintaan: 2q + P - 10= 0Penawaran : p2 - 8q - 4 = 0Dari persamaan pertama diperoleh :2q= lO-patauq =5 - Ihp.Disubstitusikan ke dalam persamaan kedua :p2 _ 8 (5 - 1/ 2 P ) - 4 = 0p2+4p-44=OP =-243

= -26,928= 4,9 atau -8,9

q =623= 6 + 3,464= 2,5 atau 9,5

NMaka harga keseimbangan adalah 4,9 dan kuantitas keseimbangan adalah 2,5.

Gambar24Hukum Pareto: Penyebaran

Pendapatan

44

Contoh penerapan laindari fungsi non-linieardalamilmu ekonomi kita dapati pada Hukum Parete mengenaiPenyebaran Pendapatan. Seorang ahli ekonomi, VilfredeParete, menampilkan suatu persamaan yang meng-hubungkan jumlah penerima pendapatan dari suatupopulasi dengan besarnya pendapatan :

aN=-x bdi mana N menunjukkan jumlah penduduk yangmenerima pendapatan sebesar x atau , sedang b adalahparameter populasi yang diperkirakan kurang-lebih1,5, sedang a adalah luas populasi. Perhatikan padagambar di sam ping ini, bahwa perumusan di muka itutidak iain merupakan suatu penjabaran dari rumuspersamaan hiperbola siku-siku.


45/70

ContohHukum Parete mengenai penyebaran pendapatan untuk suatu kelompok masyarakat

tertentu adalah :216.1010N=--

Xlll2

(a) Berapa orang jutawankah dalam kelompok masyarakat itu?(b) Berapa orangkah berpenghasilan antara 3.600 dan 10.000?(c) Berapakah penghasilan terendah dari 80 orang golongan terkaya dalam kelompok itu?Pemecahan:

216.1010(a) N= (106)1112 21600rangjutawan(b) Jumlah anggota masyarakat yang berpenghasilan 3.600 atau lebih

216.1010N = = 10736001112Jumlah anggota masyarakat yang berpenghasilan sekurang-kurangnya 10.000 adalah:

216.1010N= = 216.104(104)1112Jadi jumlah anggota masyarakat yang berpenghasilan antara 3.600 dan 10.000 adalah107 - 216.104 = 7.840.000 orang.

(c) 80 =XlI!2 = 216.1010

80x = 9.000.000

2. Setelah mempelajari inti konsepsi bahwa di muka, selesaikanlah soaI-soalberikut ini :

2.1. Identifikasikan kurva-kurva yang mencerminkan persamaan-persamaan berikut ini;susun dalam bentuk-baku dan identifikasikan parameter-parametemya serta ciri-cirimasing-rnasing.

45


46/70

(a) x2 + y2 - 6x - 2y - 6 = 0Jawaban:Bentuk kurva : .B en tuk-baku p ersam aan ya :

C iri-eir i : .

Parameter: .

(b) xy - 4y =-4Jawaban :Bentuk kurva : .B en tuk-baku p er sam aa ny a :

C iri-eiri : .

Param eter: .

(e) x2+9y2-8x+7=OJawaban:Bentuk kurva : .Ben tuk -baku per samaanya:

C iri-eir i : .

46


47/70

Parameter : . 1

(d) Y = 3 + 2x - x2Jawaban:Bentuk kurva : ..Bentuk-baku persamaanya :

Ciri-ciri : .

Parameter: .

(e) y2 - 2y - 8x + 25 = 0Jawaban:Bentuk kurva : ..Bentuk-baku persamaanya:

Ciri-ciri : '" '" ..

Parameter : .

2.2. Direktur riset operasional suatu perusahaan beranggapan bahwa biaya produksi rata-ratadalam jangka-pendek dapat dicerminkan oleh persamaan

x2 - 16x - y + 68 = 0dimana x menyatakan jumlah satuan produk yang dihasilkan, dan y menyatakan biayarata-rata tiap satuan. Ia berpendapat bahwa biaya rata-rata terendah akan tercapai bila

47


48/70

dihasilkan g satuan produk. (a) Benarkah pendapatnya itu? (b) Bagaimanakah bentukkurva yang mencenninkan persamaan itu? (c) susun kembali rumusan di ants itu menjadibentuk yang baku.Jawaban:(a) Biaya rata-rata terendah akan tercapai bila di hasilkan 8 satuan produk. (Benar!

Salah)(b) Bentuk kurva : .(c) Bentuk-baku persamaannya: .

2.3. Jika fungsi pennintaan sesuatu barang : q = 130 - 4p. sedang fungsi penawarannya :2P = 10 + ~ + 1c i o ' maka tentukanlah titik keseimbangan yang barn, jika :

(a) dipungut pajak penjualan t = 5 tiap satuan yang terjual.(b) diberi subsidi s = 5 tiap satuan yang terjual.Jawaban :(a) Titik keseimbangan barn setelah dipungut pajak t = 5 tiap satuan yang terjual.

(b) Titik keseimbangan barn setelah diberi subsidi a = 5 tiap satuan yang terjua1.

2.4. Kurva permintaan suatu barang adalah D = 20 - 3p - p2 dan kurva penawarannyaS = 5p - 1.(a) Tentukan titik keseimbangannya.(b) Gambarkan kurvanya.Jawaban:(a) Titik keseimbangan.

(b) Kurvanya.

48


49/70

2.5. Fungsi permintaan suatu barang adalah :q = 250 - lO p +2p2 sedang fungsi penawarannya:q = 6p 2 + 5p.(a) Tentukan titik keseimbangannya.(b) Selidiki bentuk kurva fungsi masing-masing, dengan disertai bentuk-baku

persamaannya, nilai parameternya dan ciri-cirinya.Jawaban:(a) Titik keseimbangan .

(b) Bentuk kurva permintaan : 7........................Beutuk-baku persamaannya .Parametemya : .Ciri-ciri : '" ..Bentuk kurva penawaran : ..Bentuk-baku persamaannya : .Parametemya : .Ciri-ciri : '" .

PERIKSAUH JAWABAN ANDA DENGAN MENGGUNAKAN KUNCI JAWABAN

49


50/70

3. Kerjakanlah tugas-tugas berikut :3.1. Misalnya bahwa tingkat konsumsi dinyatakan sebagai berikut:

C = 60 + O,5Y + Adi mana Cmenyatakan tingkatkonsumsi, Y adalah pendapatan nasional, dan A simpananaktiva likuid rumah-rumah tangga, yang kesemuanya dalam rupiah, Dimisalkan pulabahwa investasi (penanaman) dalam jumlah trilyun rupiah merupakan fungsi daripadapendapatan nasional :

1= 10+ 10,lYSelanjutnya diandaikan bahwa simpanan aktiva likuid adalah sebesar Rp. 300 trilyun.(a) Tentukanlah tingkat keseimbangan pendapatan nasional.(b) Jika simpanan aktiva likuid bertambah hingga Rp. 400 trilyun, tentukanlah tingkat

keseimbangan baru.(c) Lukiskan kesemuanya itu pada sebuah gambar grafik.

3.2. Di dalam analisis pendapatan nasional relasi antarajumlah penawaran uang danjumlahpennintaan akan uang untuk ditahan sebagai persediaan, adalah penting sekali. Jumlahpermintaan akan uang untuk persediaan, yang disebut "hasrat likuiditas" (liquiditypreference, sebagaimana Keynes menyebutkanya), sering dianggap bergantung padatigba alasan : (1) alasan transaksi, (2) alasan berjaga-jaga (berhati-hati, dan (3) alasanspekulasi. Dalam permasalahan di bawah ini, (1) dan (2) dianggap tetap; (3) dipandangsebagai fungsi dari suku-bunga, yang dicerminkan oleh persamaan (x - 1) y =4, di manax adalah suku-bunga (%) dan y adalahjumlah permintaan akan uang, dinyatakan dalamtrilyun rupiah.(a) Tercermin dalam bentuk kurva bagaimanakah persamaan ini?(b) Ubahlah ke dalam bentuk-baku persamaan tersebut.(c) Lukislah kurva itu.

3.3. Pimpinan produksi suatu perusahaan beranggapan bahwa bagian pemasaran dapatmenjual126 satuan tiap hari, oleh karenanya ia bermaksud akan memproduksi sejumlahitu, oleh karenanya ia bermaksud akan memproduksi sejumlah itu. Jika semua faktor,kecualijumlah karyawan danjumlah produk, dianggap konstan (tetap) dalam kerangkaselurush produksi, maka fungsi produksi akan tercermin dalam persamaan :

2X2 +4 x - Y = 0di mana x menyatakan jumlah karyawan dan yjumlah produk yang dihasilkan. Menurutpimpinan produksi untuk memproduksi 126 satuan itu ia memerlukan 7 orang karyawan.(a) Jika persamaan di muka itu dianggap benar-benar mencerminkan situasi yang

sesungguhnya, beralaskan anggapan pimpinan produksi itu mengenai jumlahkaryawan yang dibutuhkan?

(b) Bagaimanakah bentuk kurva yang mencerminkan persamaan itu?(c) Lukislah kurva terse but.

50


51/70

KUNCI JAWABAN KEGIATAN 22.1. (a) Bentuk kurva : Lingkaran.

Bentuk-baku persamaannya : (x - 3)2+ (y - 1)2 = 42Ciri-ciriParameter Titik-pusat (3,1)

Jari-jari 4(b) Bentuk kurva: Hiperbola siku-siku

Bentuk-baku persamaannya: y (x - 4) =-4Ciri-ciri Jika asimtot dianggap sebagai suatu koordinat, maka hiperbola

tersebut terletak di kuadran ke-dua dan ke-empatTitik-pusat (4,0)Asistot x = 4 dan y = 0

(c) Bentuk kurva: Elips (X_4)2 (y_0)2Bentuk-baku persamaannya: 32 + 12 = 1

Parameter

Ciri-ciriParameter

Sumbu mayor sejajar dengan sumbu-xPusat (4,0)Sumbu mayor 6Sumbu mayor 2

(d) Bentuk kurva: ParabolaBentuk-baku persamaannya: (x - 1)2 = -(y - 4)Ciri-ciri sumbu simetri sejajar dengan sumbu-y;

parabola terbuka ke bawahParameter Puncak (1,4)

(e) Bentuk kurva: ParabolaBentuk-baku persamaannya : (y - 1)2 = 8 (x - 3)Ciri-ciri sumbu-simetri sejajar dengan sumbu-x;

parabola terbuka ke kanan.Parameter Puncak (3,1)

2.2. (a) Benar(b) Bentuk kurva: Parabola, dengan sumbu-simetri sejajar dengan sumbu- y; terbukake atas, puncak (8,4)

(c) Bentuk-baku persamaannya: (x - 8)2 = (y - 4)2.3. (a) Harga keseimbangan 26,26

Kuantitas keseimbangan 25(b) Harga keseimbangan 23,9

Kuantitas keseimbangan 34,62.4. (a) Harga keseimbangan 4,73Kuantitas keseimbangan 157,9

51


52/70

(b) Bentuk kurva pennintaan : ParabolaBentuk-baku persamaannya : (p - 2 1 1 2 ) 2 = I h ( q - 2 3 7 1 1 2 )Parameter Puncak ( 2 3 7 1 1 2 . 21h)Ciri-ciri : Sumbu-simetri sejajar dengan sumbu-qTerbuka ke kanan.Bentuk kurva penawaran : ParabolaBentuk-baku persamaannya : (p + 5 1 t 2 ) 2 = 1 / 6 ( q + 2 5 / 2 4 )Parameter Puncak (-2 5 1 2 4 , - S ! t 2 )Ciri-ciri Sumbu-simetri sejajar dengan sumbu-q

Terbuka ke kanan.

52


53/70

BAHAN PENGAYAANMELUKIS KURVA FUNGSI KUADRAT.

Untuk memahami ilmu ekonomi sering kali dihadapkan pada masalah, bagaimana caramelukis secara efisien dan efektif sesutau kurva yang berbentuk elips, parabola atauhiperbola, baik di atas secarik kertas, maupun pada papan tulis. Sudah barang tentu dapatsaja kita tentukan terlebih dahulu koordinat-koordinat dari beberapa titik yang memenuhipersamaan fungsi itu. Titik-titik itu kemudian kita hubungkan dengan garis kontinu. Makinbanyak titik yang kita libatkan makin sempurna pula bentuk kurva itu.

Cara lain untuk melukiskan kurva dari suatu fungsi kuadrat yang tidak memerlukanperhitungan-perhitungan terlebih dahulu akan disajikan berikut ini.

1. Melukis elipsElips dapat dilukis dengan gerak kotinu sebagai berikut :Pada kedua titik-apinya (fokusnya) masing-masing kita tusukkan sebuah paku payung.

Pada kedua paku payung itu dipasang seutas benar sepanjang sumbu-mayor elips (2a).Dengan ujung sebatang pensil benang itu ditegangkan, maka gerak ujung pensil itu akanmelukiskan sebuah elips (lihat gambar 25).

Titik-titik elips itu dapat juga ditentukan melalui konstruksi seperti yang tertera padagambar 26. Pertama-tama dilukis dua buah lingkaran konsentris (sepusat) yangjari-jarinyasarna dengan separuh dari sepanjang kedua sumbu e1ips. Kemudian ditarik sembaranggaris lurus melalui titik-pusat 0, yang memotong lingkarang kecil di Bdan lingkaran besardi A. maka titik-potong garis horisontal dari B dan garis vertikal dari A merupakan salahsatu titik elips.

B P

B'FB + FB = FP + FP = AA' = 2a

Gambar25FB + FB = FB = F'P = AA' = 2a

53


54/70

Garnbar26

2. Melukis parabolaParabola dapat dilukis dengan gerak kontinu sebagai berikut :Tarik dulu kedua sumbu koordinat dan direktriks parabola sejajar dengan sumbu-X.

Tentukan titik-api atau fokus F parabola dengan jarak dari titik-asal 0 sarna dengan jarakdari 0 ke direktriks. Persiapkan sebuah mistar, sebuah segitia siku-siku, sebuah pakupayung dan seutas benang. Mistar diletakkan sedemikian rupa sehingga tepinya berimpitdengan direktriks. Tancapkan paku payung itu pada fokus F dan ikat ujung benangpadanya. Lekatkan ujung benang yang satu lagi pada puncak segitiga siku-siku dengan pitaisolasi plastik. Panjang benang dibuat sedemikian rupa sehingga, kalau sisi siku-sikupanjang berimpit dengan sumbu-y dan sisi siku-siku pendek berimpit dengan direktriksdan benang ditegangkan dengan ujung sebuah pensil, maka ujung pensil ini tepat beradadi titik-asal O.

Sekarang geser segitiga siku-siku itu ke kiri dengan sisi siku-siku pendek tetapberimpit sepanjang direktriks dan benang tetap ditegangkan dengan ujung pensil. Makagerak ujung pensil ini akan melukis bagian kiri dari parabola. Bagian kanan paraboladilukis dengan cara yang sama, akan tetapi sisi miring segitia siku-siku itu menghadap kekanan dan segita digeser ke kanan.

Dapat juga parabola itu dilukis dengan cara konstruksi berikut ini:Tariklah beberapa garis tegak-lurus pada sumbu parabola. Dengan titik-api atau fokus

F sebagai pusat, dilukis beberapa lingkaran konsentriks (sepusat) yang jari-jarinya sarnadengan jarak antara tiap-tiap garis tersebut dari direktriks. Titik-potong garis denganmasing-masing lingkaran merupakan titik-titik parabola.

54


55/70

y

Gambar27

Hiperbola dapat dilukis dengan gerak kontinu sebagai berikut ini:Ujung seutas benang diikat pada sebuah paku-payung yang ditancapkan pada fokus F

hiperboladan ujung lainnyadiikatpada ujung sebuah rnistar. Ujung rnistar lainnya ditempatkanpada fokus F'. Panjang benang dibuat 2a kurang dari panjang mistar. Benang ditegangkandengan ujung sebuah pensil. Bila mistar ditekan sambil tetap menegangkan benang denganujung pensil itu, maka ujung pensil ini akan melukis salah satu hiperbola. Hiperbola yang lainyang merupakan bayangan cermin dari hiperbola yang pertama, dilukis dengan cara yangsama.

Gaambar 28

55


56/70

y

Garnbar29

Lukisan hiperbola ini didasarkan atas sifatnya, bahwa selisihjarak sebuah titiknya darikedua fokusnya tetap sarna, yaitu sarna dengan 2a.

Suatu eara lain untuk mengkonstruksi titik-titik hiperbola adalah dengan melukislingkaran berjari-jari r dan berpusat pada titik fokus F, serta sebuah lingkaran berjari-jari(r+2a) dengan Fsebagai pusat. Titik-titik potong kedua lingkaran itu merupakan titik-titikbiperbola, sebab selisihjaraknya dari kedua fokus F dan Fadalah tetap, yaitu sarna dengan2a. Hiperbola bayangannya diperoleh dengan mempertukarkan lingkaran dan fokus.

56


57/70

I V F u n g s i T r a n s e n t a l

Setelah mempelajari bahan pokok berikut ini Anda diharapkan: Mampu "membaca" danmenafsirkan kurva fungsi transendental dalam penerapannya dalam ilmu ekonomi.KEGIATAN1. Pelajarilah dengan seksama bahan tentang "Grafik Fungsi Transendental" berikut ini.GRAFIK FUNGSI TRANSENDENTAL.1.1. FUNGSI-FUNGSI EKSPONENTAL

Fungsi eksponental hams dibedakan dari fungsi berpangkat seperti : y = xa, di manavariabel x hanya terdapat sebagai bilangan pokok. Akan tetapi pada fungsi eksponentalvariabel x terdapat di dalam eksponen seperti : y = aX.Kurva yang mencerminkannyaseluruhnya terletak di kuadran pertama dan kedua, dan merupakan kurva menurun secaramonoton bila 0 < b < 1; jika b > 1maka kurva itu menanjak secara monoton. Dalam keduakasus kurva-kurva itu ber-asimtot terhadap sumbu-x dan mempunyai penggal-y (0,1).Parameter b merripengamhi bentuk kurva fungsi. Berikut ini terlukis beberapa model kurvafungsi-fungsi eksponental.

y

O


58/70

Y

y=aeD.+ca> 0, k > 0,C > 0e=:t:2,718Y

Y=aeD+ca>o,k>o,C.,..O,lcKa

Y

__________________1(_~~ _

Y=aeD+ca co.k s o, C>O, c> Ia I

58

Y

______~+__Y__ -C--~xoY'='aeb+c

a>o,kO

Y

Y=aeD+ca>o, ke o, C


59/70

Y Y

Y=aekx+ ca < 0, k> 0, cc Y = aekx+ ca < 0, k< 0, C '"

Gambar32Fungsi eksponental yang terbanyak dipakai ialah : y = eX;e adalah bilangan-pokok

logaritma natural, yang dinilainya kurang lebih 2,718. Definisi yang cermat mengenaibilangan-pokok ini akan dibahas lebih luas dalam pembicaraan berikutnya.1.2. FUNGSI-FUNGSI LOGARITMIK

Dalamtahun 1614JohnNaiperuntukpertamakalinyamenulissuatukaranganmengenailogaritma.

Menurut definisinya, logaritma dari suatu bilangan positif y terhadap suatu bilangan-pokok b * ' 1, adalah eksponen x, yang dapat memangkatkan bilangan-pokok itu menjadibilangan pertama :

y=b"Dalam notasi logaritma kalimat di atas itu dirumuskan :

x = log.,)'Jadi logaritma adalah kebalikan dari memangkatkan.

Sekalipun setiap bilangan positif yang bukan 1dapat berfungsi sebagai bilangan-pokok,namun dalam praktek yang biasanya dipakai adalah logaritma dengan bilangan 10 (logarimabiasa atau logaritma Briggs) dan dengan bilangan-pokok ""2,718 (logaritma aslilnatural ataulogaritma Napier).

Bilangan-pokok 10dipakai untuk keperluan perhitungan-perhitungan, sedang logaritmadengan bilangan-pokok e dipakai untuk keperluan pembahasan teoretika.

Bilangan e didefinisikan sebagai limit:e = limit (1 + 1 / ) nnn~oo

59


60/70

Sesuai dengan konvensi, log.x menyatakan logaritmabiasa dari x, sedang In.x menyatakan logaritma naturaldari x. Fungsi logaritmik yang paling sederhana ialab :

Kurvanya seluruhnya terletak di kuadran pertama dan ke-empat. Kurva temaik secara monoton bila b > 1, danmenurun secara monoton bila 0 < b < 1.Dalam kedua halkurva itu ber-asimtot terhadap sumbu-y dan mempunyaipanggal-x (1,0). Parameter bmempengaruhi bentukkurva.

Gambar 33 Seperti yang telab dikemukakan, y = bX dan y = logbx,merupakan fungsi-fungsi invers (berbalikan), yang satumerupakan bayangan-cermin lainnya terhadap garis y = x. Gambar di samping ini dengan

jelas menunjuk kepada sifat invers kedua fungsi itu.

Di bawab ini terlukis beberapa contoh kurva logaritmik.

Y Y,T : T. , :x: x,

x XY=Aln(I+X)+B Y=Aln(l+X)+BA>O.B>O AOYY, T:, ::'x : xx x

Y=Aln(I+X)+BA>O,B


61/70

1.3. KURVA-KURVA TRIGONOMETRIKFungsi-fungsi trigonometrik sebuahsudut a adalah sinus' a, kosinus atkosekans a, sekans a, tangens a danketangens a.Jika sudut a terletak dipusat suatu lingkaran yang berjari-jari r, dan diukur berlawanan arabdengan jarum jam, seperti padagambar 35, maka fungsi-fungsitrigonometrik sudut a dapat dide-finisikan dengan persamaan-per--+------~~...,.---_+_-__I~X samaan berikut ini.

y

Gambar 35

sin. a = a l rkosoa = b l rtg. a _ a l- bktg. a = b l akosek. a = r l asek. a _ r l- b

Untuk sudut-sudut negatif, yaitu sudut-sudut yang diukur searah dengan jarum jam,fungsi-fungsi trigonometrik didefinisikan seperti di atas itu.Sudut adapat diukur dalam derajat atau dalam radian; di dalam kalkulus ukuran radian

biasanya lebih sederhana. Oleh karena keliling lingkaran itu 2xr, sedang sudut satu lingkaranitu 360, maka: 360 = 2 nr, dan 180 = nr. Secara umum sudut aO = a x r180

Tabel berikut ini menyajikan ukuran radian dan nilai-nilai sinus, kosinus, dan tangensuntuk beberapa sudut yang sering dijumpai dalam pembahasan teoretika.

Grafik dari fungsi-fungsi sinus, kosinus dan tangens terlukis pactagambar 36 berikutini.Perhatikan, bahwa sin.x merupakan suatu fungsi periodik dengan periode 2x, sebab sin (x +2x) = sin.x; yaitu jika nilai x dinaikkan dengan satu periode, maka nilai y terulang. Demikian

61


62/70

ju ga ko s.x me ru pa ka n su atu fu ng si p erio dik d en ga n p erio de 21t . Te tap i f ung si tg .x takkon tinubagi semua n ilai x, sed em ik ia n rup a seh in gga x = (n + l /2)1t, d i m a nan merup ak an semba ra ngb ila ng an b ula t p ositif a ta u n eg atif; tg .a b erp erio de n.

Y

Y=-JY=SinX.

Y

Y=-l

Y=l

Y=KosX.

Y

Y=tg. x

Garnbar36S etia p fun gsi trigon ometrik d ari sud ut (k . rrJ2 a ) sarn a d en ga n () fungsi a y ang sarna

jika k genap dan sarna dengan () kefungsi a, jika k gasal, dengan tanda-aljabar y ang sarnasepe rti p ada fu ng si s ern ula ( k.7 tI2 a ). T anda -ta nd a a lja ba r f ungsi- f ungs i trig onome trik d i k e-em pat kuadran adalah sebagai berikut :62


63/70

In gatlah , b ah wa sin . (-a) = - sin. a, koso (-a) = + k oso a, tg. (-a) = -tg, a.ContobTentukan nilai fungs i- fungsi tr igonomet rik :koso 1200 ; sek. 135 ; tg. 33< r' ; ktg. 15 00P en yelesalan :koso 120 = koso (1 .n12 + 30) = sin . 30 = - 1 1 2set. 135 = sek. (1.1tI2 + 45 ) = kos, 45 = -2/2tg. 330 = tg. (3.1tI2 + 60) = ktg ..roo = tg .3 00 = -~313letg. 1 50 = ktg, (1 .n12 + 60) = tg.roo = - "3

K ad ang-kad ang lokasi sesuatu titik lebih baik kalau ditentukan dalam kerangka sistimkoo rd in at k utu b d arip ad a dalam k era ng ka sistim koo rd in at segi-empa t, Khusu sn ya dalamk alk ulus fun gsi-fun gv i trig on om etrik h am pir selalu d in yatak an d alam k oo rd in at k utu b.

Setiap titik (x,y ) d alam sistim k oord in at segi-em p at b erp ad an an d en gan titik (r koso a,r sin . a) dalam sistim koordinat kutub. Jika (x,y ) terletak pada bidangnyata, maka (x.y)terletak pada lingkaran y ang berp usat di titik-asal dengan jari-jari r = "Xl + y 2 ; denganperkataan la in, (x ,y ) m em enuh i p ersam aan lingkaran x2 + y2 = rl.xe kos, a tg.a=L xy=rsin.a

ysin . a = _ . .. ; ._ _"(x2 +y2)

xkos.a=---~(X2 + y2)

ContobT en tu kan k oord in at k utub titik -titik berik ut in i y an g d in yatak an dalam koo rd in at se gi-

empat:(a) (0, "2)(b) (1,1)

63


64/70

Pemecahan :(a) (x,y) = (0;../2)

r = - . J 2 + 2 = " - / 2(b) (x,y) = (1,1)

r={f+T:::: -v 2koso a = = 1/-v2 :: 112 "~!.sin.a :-.:1 1 - . } 2 = 1/2-v2a. = 1tI4

Koordinat kutub (r, a) = ( { 1tI4)sin.a 1a. = nl2

Koordinat kutub (r,u) = ({ 1tI2)Ingat, bahwa koordinat kutub suatu titik dapat dinyatakan dengan beberapa cara.Contoh

Tentukanlah persamaan dalam sistimkoordinat segi-empatdari kurva yang persamaannyadalam sistim koordinat kutub adalah4r=----1 +2 kos.a.

Penyelesaian :o J x2 +y2 = 4

=

1 = ..J(x2+ y2)""x2+ y2 =4 - 2xX2+y2= 16-16x+4x23x2_y2 -16x +16 = 0 (biperbola)

IA.PENERAPAN KURVA EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIK DALAMBISNIS DAN EKONOMI.Beberapa jenis fungsi-fungsi eksponensial dan logaritmik dapat mencerminkan kurva

permintaan dan penawaran dengan baik. Khususnya fungsi eksponensial banyak dipakaidalam bunga majemuk.

Jika M N menyatakan nilai modal setelab n-tabun, M e menyatakan nilai modal pada awaltahun, dan suku-bunga p% = i setahun, maka :

64


65/70

M =M ( 1 +i)nN c=M ( 1 + iIk)nke kli in=Me [ ( 1 + ilk) ]

min=M. [ ( 1 + 1/m~

M = M .e -inn e

Misalkan kll =m dan ilk = 11m

Fungsi pertumbuhan biologis pun biasanya diluksikan sebagai fungsi eksponensial :N=N .R!e

dimanaN menyatakanjumlah penduduk setelah t-tahun, Nemenyatakanjumlah penduduksemula dan R adalah tingkat pertumbuhan penduduk.

di mana N sekali lagi menyatakan jumlah penduduk t-tahun, R adalah tingkat pertumbuhannya, a adalah propersipertumbuhan awal, dan c adalah tingkat pertumbuhan-jenuh (growth at maturity), yaitu asimtot atas dari kurvaGompertz. Jika t = 0, maka N = ca, yang berpadanandengan Nt pada pertumbuhan biologis.

Seorang ahli matematik P.F. Verhulst dalam tahun 1845 mengintroduksi kurva logistikuntukstudi perkembangan penduduk. R. Pearl dan LJ.Reed mempergunakannya untuk maksud yang sarnadalam tahun 1924. Sesudah itukurva ini dipakai pulauntuk studi pelbagai pertumbuhan, seperti dalam N ::: Cproduksi tabung radio, ekspor rayon, pertumbuhan -------------- ._----------telepon, perkembangan cadangan minyak bumi dsb.

N

Gambar30

Pertumbuhan menurut versi Gempertz diwujudkandalarn persamaan

N=c.at

N

Rumus kurva logistik yang paling sederhana ialah:1 1Y= -- ; yang lebih umum ; y = ---1+ e-' 1+ cb'

Bentuk kurvanya sarna seperti pacta kurva Gornpertz.RtKurva Gompertz N :::ca

Gambar 38

65


66/70

Dalam studi gelombang ekonomi (business cycles), gelombang musiman (seasonalcycles) dan lain-lain macam gelombang biasanya dipergunakan fungsi-fungsi sinus ataukosinus.2. Seusai mempelajari inti konsepsi bahan ~i muka itu, selesalkanlah seal-seal

berikut ini :2.1. Berapa hams dimasukkan A sekarang dalam Bank untuk memperoleh kembaIi Rp. 15

juta setelah 10 tahun, apabila 4 1 / 2 % setahun suku-bunganya, dan bunga itu ditambahkan(a) seti-p triwulan(b) setir.p semester(c) setiap tahun(d) secara kontinuJawaban :(a) . bunga ditambahkan setiap triwulan

(b) Bunga ditambahkan setiap semester.

(c) Bunga ditambahkan setiap tabun.

(d) bunga ditambahkan secara kontinu.

2.2. KalaujumJah penduduk Indonesia pada tabun 196197juta dan pada tabun 1971120uta,maka hitunglah tingkat pertumbuhan penduduk tiap tabun.Jawaban :

2.3. Hitunglah berapa radian sudut-sudut berikut ini :(a) a=-240 (b) a=70(c) a = 120 (d) a = - 40(e) a=-I00 (f) a=315Jawaban :(a) - 240 = : = , (b) 70 - ..

l+ -


67/70

(c) 1200 = (d) -400= .(e) - 1000 = (f) 3150 = .

2.4 Hitunglah nilai fungsi-fungsi trigonometrik di bawah ini :(a) sin. 2100 (b) kosek.240(c) tg.225 (d) koso 3000Jaw aban :(a) sin. 2100 = (b) kosek.240 = .(c) tg.225 = (d) koso 300 = .

2.5. Tentukan koordinat kutub titik-titik berikut ini :(a) (1,1/3) (b) (-1,-1)(c) (3,3113) (d) (-1,0)Jaw aban :(a) (1,1/3)= ..

(b) (-1,-1) = ..

(c) (3,3..J3) = . .".................................................................................................................................

(d) (-1,0)= ..

2.6. Tentukan koordinat segi-empat untuk titik-titik berikut ini yang lokasinya dinyatakandalam koordinat kutub :(a) (4,7t l3)(b) (3.7t l6)

(b) (-2,11:)(d) (-I,7tl2)Jaw aban :

(a) (4.7t l3) = ..~.................................................................................................................................(b) (-2,7t) = ~ .

(c) (3, 1t/6) = .

67


68/70

(d) (-1, 7tl2) = .

2.7. Ubahlah persamaan dalam koordinat kutub berikut ini menjadi persamaan dalamkoordinat segi-empat :2(a)r=---2-kosa(c) r = a koso a

(b) rea sek. c

Jawaban:(a) .

(b) - .

(c) .

(d) .

3. Kerjakanlah tugas-tugas berikut in i :3.1. Jika biaya pemeliharaan y sebuah komputer tiap tahun bergantung pada jumlah

pemakaiannya x (dalam ratusanjam) rata-rata sebulan, berdasarkan persamaany = 35.000 - 25.000 eo . o x

maka berpakah biaya pemakaian setahun, jika pemakaian rata-rata tiap bulan 200 jam?3.2. Berdasarkan taksiran penjualan dan data dari perusahaan lain yang sejenis, direktur

kepegawaian suatu perusahaan industri memprediksi bahwa jumlah karyawan akantumbuh menurut persamaan

N = 200 (0,04)51di mana N adalahjumlah karyawansetelah t tahun. Jika prediksinya itu dapat dianggapberalasan, maka :

68


69/70

(a) Berapakahjumlah karyawan perusahaan industri tersebut setelah 3 tahun;(b) berapakah jumlah karyawan perusahaan industri tersebut semula;(c) berapakahjumlah karyawannya maksimum?

3.3. Biaya produksi (dalam jutaan rupiah) suatu perusahaan mengikuti pola persamaanC = 100 - 70 e-O.02 x

di mana x menyatakan jumlah produk yang dihasilkan.(a) Berpakah besamya biaya tetap perusahaan itu?(b) Jikajumlah produksinya 100 satuan, berapakah bagiankah dari biaya produksinya

itu berpa biaya tetap?KUNCI JAWABAN KEGIATAN 2.2.1. (a) Rp.9.588.482,00

(c) Rp. 9.658.913,702.2 2,15%2.3. (a) - 4 1 t 1 3

(c) 2 1 t 1 3(e) - 5 1 t 1 9

2.4. (a) -112(c) 1

2.5. (a) (2,1tI3)(c) (6,1tI32.6. (a) (2, 2.../3)

(c) ( 1 11 2 . . . / 3 , 1 11 2 )2.7. (a) 2 x2 + y2 - x - 2 = 0

(b) x = a(c) x2 + y2 - ax = 0(d) y = x tg (x2 + y2)

(b) Rp.9.612.247,05(d) Rp. 9.564.900,00(b) 7 1 t 1 1 8(c) -219(t) - 7 1 t 1 4(b) - 2 1 3 . . . / 3(d) 112.../3(b) (2. 5 1 t 1 4 )(d) (1,x)(b) (2,0)(d) (2,0)

69


70/70

70

Documents

Bab1-Beberapa Konsep Matematika