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Im Zeitraum von Oktober 2009 bis Februar 2010 habe ich mich mit der Frage auseinandergesetzt, wie man Kindern die Welt der Geometrie anschaulich begreifbar machen kann. Der vorliegende schriftliche Teil meiner Arbeit dokumentiert alle für das Verständnis der Arbeit notwendigen Aspekte, von der Recherche bis zur Umsetzung.
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Geometrie: [griechisch, eigentlich »Feldmesskunst«] die, -/...’tri|en, Teilgebiet der Mathematik, das entstand aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen
und ebenen Gebilden und Berechnungen von Längen, Flächen und Inhalten von Figuren. Die Geometrie wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der
euklidischen Geometrie und der nichteuklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist die zuerst in dem Buch »Die Elemente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden
die Lehrsätze der Geometrie hergeleitet. Inhaltlich war diese Theorie schon recht vollständig; Lücken in der Argumentation, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen.
Begrifflich unterscheidet sich Euklids Darstellung von heutigen axiomatischen Theorien wesentlich dadurch, dass er auch noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige
inhaltliche Interpretation. In der Darstellung der ebenen euklidischen Geometrie durch D. Hilbert (1899, etwas abgewandelt) werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz
für Strecken verwendet. Die Axiome sind in fünf Gruppen zusammengefasst: Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz- und Stetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer
Bedeutung. Es besagt: Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf g liegt, so gibt es genau eine Gerade h, die durch P geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer
Satz wäre es dann im Axiomensystem überflüssig gewesen. Erst im 19. Jahrhundert entdeckte man, dass dieses Axiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewski, J. B. Bolyai, C. F. Gauß). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen
Geometrie, in der das Parallelenaxiom gilt, auch eine nichteuklidische Geometrie betrachten kann, in der die Negation des Parallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch
seine Negation gefordert sind.Nach dem Zugang zur Geometrie als mathematische Theorie unterscheidet man zwischen der synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei
der die geometrischen Objekte durch Koordinaten bestimmt werden. Als eine Art Fortsetzung der analytischen Geometrie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und
Integralrechnung zur analytischen Behandlung der Geometrie entstanden. Ähnliches gilt für die algebraische Geometrie, in der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin
gliedert man die Geometrie in folgende Gebiete: In der Elementargeometrie differenziert man zwischen Planimetrie (ebene Geometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer
Figuren und Messung von Längen, Winkeln, Flächen und Rauminhalten. Die Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie
und der Stereometrie ist die darstellende Geometrie, in der räumliche Gebilde (Körper) in der Ebene (Zeichenebene) gezeichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man
darauf achtet, welche Größen (Längen, Winkel, Streckenverhältnisse, Flächeninhalte u. a.) fest bleiben, also Invarianten der Abbildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie.
In der Ähnlichkeitsgeometrie spielen solche Größen eine Rolle, die bei Ähnlichkeitsabbildungen (Ähnlichkeit) fest bleiben. Entsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie
schließlich betrachtet diejenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die bei projektiven Abbildungen invariant sind. – Bei allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei
den topologischen Abbildungen (Homöomorphismus) nicht mehr der Fall; hier können z. B. Geraden in Parabeln übergehen. Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten
bildet aber eine Gruppe bezüglich der Verkettung. Daher kann man auch mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen. Geschichte: Darstellungen geometrischer Figuren und
geometrisierender Ornamente finden sich schon in sehr frühen Kulturen. Sie zeugen von einem Interesse an einfachen geometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis
vorliegen, und zum Teil von elementargeometrischen Kenntnissen. Auch das Bedürfnis nach einfachen Regeln für Vermessungsaufgaben könnte der Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gewesen sein. Bereits in der babylonischen und
in der ägyptischen Mathematik waren einfache Regeln für die Berechnung von Längen, Flächen- und Rauminhalten elementargeometrischer Figuren bekannt, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten
Chinesen war bereits die später als pythagoreischer Lehrsatz formulierte geometrische Gesetzmäßigkeit geläufig; sie wurde aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf.
Die älteste erhaltene Darstellung eines axiomatischen Aufbaus der Geometrie ist in Euklids »Die Elemente« enthalten. Die Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder
aufgenommen und später in Europa weitergeführt; schließlich entwickelte sich aus diesen Bemühungen im 18. und 19. Jahrhundert die nichteuklidische Geometrie. – Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie
hinaus führten die drei klassischen, in der Antike aufgeworfenen Probleme der Würfelverdopplung (delisches Problem), der Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der
Antike gaben sie Anlass zum Ersinnen von Näherungskonstruktionen und zur Beschäftigung mit höheren Kurven (u. a. die von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitte). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie
konnten diese Probleme zum Teil auf algebraische Fragen zurückgeführt und im 19. Jahrhundert mithilfe der Galois-Theorie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel
und Lineal konstruieren lassen, wurde im 18. Jahrhundert von C. F. Gauß auf algebraischem Wege gegeben (fermatsche Zahlen). Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert
entwickelten sich aus der Lehre von der Perspektive die Anfänge der projektiven Geometrie (G. Desargues, B. Pascal), die allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der
Infinitesimalrechnung ging durch Anwendung auf Kurven und Flächen im Raum die Differenzialgeometrie hervor. F. Klein stellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen
Geometrien durch die Invarianten der ihnen zugeordneten Transformationsgruppen und konnte somit die verschiedenen, bis dahin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung
der Geometrie griffen am Ende des 19. Jahrhunderts M. Pasch, D. Hilbert, G. Peano u. a. auf. Besonders Hilberts »Grundlagen der Geometrie« (1899,) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der
geometrischen Forschung aus. In den letzten Jahrzehnten wurden die Untersuchungen ausgedehnt auf Geometrien, deren algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen
Eigenschaften ihre Entsprechung in den geometrischen Sätzen.
Christina Schmid, WS 09 / 10, Bachelorthesis, Schriftlicher Teil
Bachelorthesis, Schriftlicher Teil
Studiengang Kommunikationsdesign
HTWG Konstanz
eingereicht bei Prof. Karin Kaiser und Prof. Andreas P. Bechtold
vorgelegt von Christina Schmid
Konstanz, Februar 2010
Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie
Vom Punkt zur Kugel
und zurück
Komm mit ...
1Punkt, Linie, Fläche, Körper, oben, unten, links, rechts, hinten,
vorne, Höhe, Breite, Tiefe, Ecke, Kante, Seite, Seitenfläche,
krumm, gerade, horizontal, waagrecht, vertikal, senkrecht,
diagonal, parallel, rechtwinklig, gleichschenklig, gleichseitig,
unregelmäßig, Dreieck, Viereck, Quadrat, Rechteck, Raute,
Trapez, Parallelogramm, Drachen, 5-, 6-, 8-, 12-Eck, Kreis, Kegel,
Zylinder, Prisma, Quader, Pyramide, Tetraeder, Würfel, Oktaeder,
Dodekaeder, Iksoaeder, Kugel, Symmetrie, Muster, Mosaik,
Zeichnen, Schneiden, Legen, Falten, Kleben, Stift, Schere, Kleber,
Spiegel, Geodreieck, Zirkel.
Im Zeitraum von Oktober 2009 bis Februar 2010 habe ich mich
mit der Frage auseinandergesetzt, wie man Kindern die Welt der
Geometrie anschaulich begreifbar machen kann.
Der vorliegende schriftliche Teil meiner Arbeit dokumentiert alle
für das Verständnis der Arbeit notwendigen Aspekte, von der
Recherche bis zur Umsetzung.
... auf eine Reise durch die
Welt der Geometrie
2
Inhalt
1 Einführung
Worum geht’s? Die Zusammenfassung
Für wen? Die Zielgruppe
2 Recherche
Mathe? Geometrie? Kinder? Ein Haufen Fragen
Antworten? Überlegungen zur Recherche
Wie sieht’s aus? Mathebücher und Arbeitshefte
Wie entsteht ein Mathebuch? Ein Interview
8:40 Uhr, Mathe, Klasse 3d Feldforschung
Was gefällt euch? Ein Gespräch mit 3 Mädchen
Raum und Ebene Didaktik der Geometrie
Geometrie in der Grundschule
Entwicklung des Geometrieunterrichts
Kernideen für den Geometrieunterricht
Geometrische Begriffe
Was gibt’s? Unterrichtsmaterial
Was gibt’s sonst? Geometrie in der Freizeit
Genug recherchiert Die Zusamenfassung
Und? Fazit aus der Recherche
Was wird’s? Medienwahl
3 Das Buch
Wie wird’s? Buchkonzept
Die Geometrie lebt
Struktur und Zusammenhänge
Begriffe
Informationsgehalt
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94
Mitmachen
Ästhetik
Interaktiv
Material
Materialtasche
Was ist drin? Buchinhalt
Vorlagen, Anregungen für die Inhalte
Der Punkt
Stil der Texte
Buchtitel
Inhaltsübersicht und Kapitelübergänge
Wie sieht’s aus? Gestaltung
Format und Raster
Schrift
Gestaltungselemente
Farben
Anmutung und Wirkung
Titelgestaltung
Vorsatzpapier
Buchrückseite
Papier
Bindung und Einband
4 Schluss
Das war’s. Und jetzt? Fazit und Ausblick
An euch: Danke
Quellen
Eidesstattliche Erklärung
Anhang (CD)
4
Einführung
6 Mit meiner Arbeit, einem Geometriebuch für den außerschulischen
Gebrauch, will ich Kindern im Grundschulalter die Geometrie
begreifbar machen.
Geometrie wird im Mathematikunterricht in der Grundschule
nicht ausreichend behandelt. Das Erlernen der Grundrechenarten
wird traditionsgemäß für wichtiger gehalten. Diese Gewichtung
ist auch in den Lehrbüchern spürbar. Für einen umfassenden
Geometrieunterricht fehlt es an Material. Für vielseitige Übungen
zu Formen und Körpern, Symmetrie und Muster, räumlicher
Orientierung und visueller Wahrnehmung fehlt die Zeit.
Die Relevanz von Geometrie ist unbestritten. Gerade rechen-
schwache Kinder haben beim handelnden Lösen geometrischer
Aufgaben besondere Erfolgserlebnisse. Geometrische Aufgaben-
stellungen fördern die Entwicklung besonderer Denkweisen, wie
das Aufsuchen von Regeln und Beziehungen, das Zerlegen in
leichter lösbare Teilprobleme oder das Wechselspiel zwischen
kreativem Probieren und systematischem Problemlösen. Die
Geometrie schult Kinder darin, in ihrer Umwelt Strukturen
wahrzunehmen und zu begreifen.
Worum geht’s?
Die Zusammenfassung
7Der Geometrie muss mehr Platz eingeräumt werden. Es müssen
neue Wege gefunden werden, Kindern geometrische Begriffe
und Zusammenhänge zu vermitteln. Spiele und Rätsel zur
Geometrie bereiten Kindern Spaß und können daher auch in der
Freizeit Platz finden.
Deshalb behandelt das Lernbuch »Vom Punkt zur Kugel und
zurück« die Elementargeometrie unter gestalterisch spannenden
Gesichtspunkten. Kinder bekommen einen Überblick über die
klaren Strukturen der Geometrie. Der kleine Punkt, die schnelle
Gerade, streitende Flächen und ungeduldige Körper erwecken
die Geometrie zum Leben. Auf einer Entdeckungsreise durch die
Dimensionen werden die jungen Leser auf eine neue, freundliche
Art animiert, die Welt der Geometrie aktiv wahrzunehmen und
selbst mitzugestalten. Sowohl das Begreifen von Begriffen, als
auch der künstlerisch-ästhetische Aspekt der Geometrie spielen
eine tragende Rolle.
In anschaulicher Weise erklärt das Buch alle relevanten Begriffe
und Zusammenhänge und bietet darüber hinaus Material für
kreative Spiele mit Geometrie. Kinder werden so durch und
durch für Geometrie motiviert, inspiriert und begeistert.
8 Dieses Projekt richtet sich an Kinder im Grundschulalter.
Verglichen mit den Leistungsniveaus der Bildungsstandards
entsprechen die Geometrie-Themen den Bildungsplänen der
dritten und vierten Klasse. Die Kinder im Alter von acht bis
zehn Jahren können bereits fließend längere Texte lesen und
selbstständig Aufgaben lösen. Die motorischen Fähigkeiten
der Kinder sind soweit ausgebildet, dass sie ohne Hilfe von
Erwachsenen diverse handwerkliche Basteleien bewältigen.
Kindern mit Matheablehnung soll ein neuer Zugang zur
Mathematik über die Geometrie gezeigt werden. Für Kindern
mit großem Interesse an Mathematik wird neues Material für die
Freizeit geboten.
Aber nicht allein Kinder sind Zielgruppe dieses Projekts, sondern
auch die Eltern und Lehrer.
Für wen?
Die Zielgruppe
vgl. Bildungsstandards
9
10
Recherche
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Mathe? Geometrie? Kinder?
Ein Haufen Fragen
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14
Antworten?
Überlegungen zur Recherche
Als Einstieg in die Thematik habe ich einen Stapel Mathebücher
und Arbeitshefte verschiedener Verlage analysiert.
Einen Einblick in die aktuellen Verlagsprogramme der ver-
schiedenen Schulbuchverlage bot die Frankfurter Buchmesse.
Dort kam über den Mildenberger Verlag der Kontakt zum
Mathebuch-Autor Thomas Laubis zustande. Ein Interview mit
ihm beantwortete viele Fragen, bestätigte Vermutungen und
warf neue Fragen auf.
Wie Matheunterricht heute aussieht, konnte ich mir während
einer Schulstunde in der 3d der Grundschule Sonnenhalde
anschauen.
Was Kindern gefällt, erzählten mir Julia, Lea und Marie in einem
Gespräch über ihr Mathebuch, Farben, Illustrationen, Schriften,
Schriftgrößen und lustige Texte.
Wissenswertes über die Didaktik der Geometrie ließ sich aus
Fachliteratur für Lehrer entnehmen.
Zwei Verlage stellten mit ihre umfangreichen Zusammen-
stellungen an Unterrichtsmaterial für den Geometrieunterricht
zur Ansicht zur Verfügung.
Wie sieht’s aus?Mathebücher und Arbeitshefte
Wie entsteht ein Mathebuch? Ein Interview
8:40 Uhr, Mathe, Klasse 3dFeldforschung)
Was gefällt euch?Ein Gespräch mit 3 Mädchen
Raum und EbeneDidaktik der Geometrie
Was gibt’s?Unterrichtsmaterial
15Geometriebücher für die Freizeit von Kindern im Grundschulalter
gibt es nicht. Das englischsprachige Buch »Shape« richtet sich
an Vorschulkinder, Kindern ab 10 ist das Buch »Zahlen, Spiralen
und Quadrate« zu empfehlen.
Die Zusammenfassung der Rechercheergebnisse findet sich am
Ende des Kapitels.
Was gibt’s sonst? Geometrie in der Freizeit
Genug recherchiertDie Zusammenfassung
16 »Die Gestaltung von Lernmaterial […] blieb bis heute ein
Stiefkind der Didaktik. Die Entwicklung und Gestaltung von
Lernumgebungen ist zu einem Teil Umsetzung wissenschaftlicher
Erkenntnisse, bleibt aber zu einem wichtigen Teil intuitive und
kreative Arbeit.«
Schulbücher müssen vielen Anforderungen gerecht werden. Sie
sollen günstig in der Produktion, robust für mehrere Schüler-
generationen und leicht im Schulranzen sein. Alle Themen
müssen, wie in den Bildungsplänen vorgeschrieben, anschaulich,
vielfältig und leistungsdifferenziert behandelt werden. Texte
und Aufgaben müssen leicht verständlich und alle Schriften gut
lesbar sein. Illustrationen sollen Mädchen gleichermaßen wie
Jungen ansprechen.
All dies führt bei Mathebüchern zum großen Standardformat A4
mit vollen Seiten, großer Erstleseschrift, bunten Illustrationen
und vielerlei Übungsaufgaben. Allen Mathebüchern gemeinsam
sind liebevoll illustrierte Lernbegleiter, wie Bären, Raben,
Mathetiger, oder auch Drachen, Einstern und Super M. Zusätzlich
sitzen illustrierte Kinder mit immer neuen Namen zwischen
den Rechenaufgaben. In manchen Mathebüchern werden auch
Fotografien verwendet, um den Bezug zwischen Mathematik
und Alltag zu unterstreichen. Symbole für die verschiedenen
Wie sieht’s aus?
Mathebücher und Arbeitshefte
Baellstaedt: Wissensvermittlung. Die Gestaltung von Lernmaterial (12)
Zusammenfassung der Analyse von:
- Einstern 2- multi Mathematik 2 bis 4- multi Mathematik 3 und 4, Arbeitsheft- Mathetiger 3- Nussknacker 4- Super M 4- Welt der Zahl 3- Welt der Zahl 3, Arbeitsheft
17
Aufgabenarten sind häufig nicht intuitiv deutbar und gehen
zwischen den vielen Seitenelementen unter.
Die inhaltliche Struktur der verschiedenen Mathebücher ist für
Laien auf den ersten Blick nicht ersichtlich. Dazu als Beispiel der
Kapitelaufbau des Mathebuchs Welt der Zahl, Klasse 3:
• Wiederholung und Vertiefung
• Aufbau des Tausenders
• Flächen
• Rechnen mit großen Zahlen
• Längen
• Schriftliches Addieren
• Gewicht
• Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren
• Zeit
• Körper
• Schriftliches Subtrahieren
• Räumliche Orientierung
• Mehr von Sachen und Zahlen
• Schriftliches Subtrahieren
• Wiederholung
Ergänzend zu den Mathebüchern gibt es Arbeitshefte zum
Reinschreiben. Hier geht es nicht um ausführliche Erklärungen
und vielseitige Herleitungen zu einem neuen Thema, sondern
um das Üben und Wiederholen. Verglichen mit den Büchern
wirken die Seiten der Übungshefte ruhiger. Zum Lösen der
Aufgaben wird den Kindern viel Platz geboten. Zum Großteil
sind die Arbeitshefte in schwarz-weiß gehalten.
vgl. S. 24Spiralcurriculum
vgl.Welt der Zahl 3
vgl.multi Mathematik 3 und 4, Arbeitsheft
Welt der Zahl 3, Arbeitsheft
18 Allgemein lässt sich eine Tendenz feststellen, weg vom Mathebuch
hin zum Lernen mit Themenheften. Anders als andere Lehrwerke
ist beispielsweise Einstern, das Mathematikwerk für offenes
Arbeiten von Cornelsen, als ein Paket von sechs Heften pro
Jahrgangsstufe aufgebaut. Sechs Themenhefte in der ersten
Klasse, in die die Kinder hineinschreiben können, sowie fünf
Themenhefte plus ein jährlich zu ergänzendes Schülerarbeitsheft
in der zweiten Klasse. So wird eine offene Unterrichtsformen
unterstützt und auf den individuellen Lernprozess der Kinder
eingegange – sie können innerhalb gegebener Auswahlmöglich-
keiten selbst aussuchen, welche Aufgaben sie bearbeiten
möchten und was sie sich schon zutrauen. Einstern ist so
gestaltet und strukturiert, dass Kinder alleine damit arbeiten
können.
vgl. Einstern 2vgl. www.cornelsen.de/einstern
19
20 Der Analyse von Mathebüchern und Arbeitsheften warf die
Frage auf, wie der Prozess von der Idee zum Mathebuch abläuft.
Einblick in den Entstehungsprozess eines Mathebuchs bekam ich
durch ein Interview mit dem Autor Thomas Laubis. Der Kontakt
kam auf der Frankfurter Buchmesse über den Mildenberger
Verlag zustande. Das Interview mit Thomas Laubis fand am
4. November 2009 in Erzingen statt. Der folgende Text fasst das
Interview im Wesentlichen zusammen.
Thomas Laubis ist Rektor an der Grundschule Weizen (Süd-
schwarzwald), Mitherausgeber des Mathematiklehrgangs
Mathetiger, erschienen bei Mildenberger, und Betreuer des
Internet-Forums MATHE IM NETZ.
Zum Mathebuchschreiben kam Thomas Laubis vor 20 Jahren.
Sein ehemaliger Grundschullehrer Peter Pfaff verfasste damals
zusammen mit Karl-Heinz Keller das Mathebuch Mathematik für
den Mildenberger Verlag.
»Herr Pfaff hatte meinen Werdegang verfolgt, wusste, dass ich
Mathematik studiert habe und dass ich Lehrer geworden bin.
Nachdem ich eine Stelle bekommen hatte, hat er mich angerufen
und gefragt:
Wie entsteht ein Mathebuch?
Ein Interview
Der Fragenkatalog zum Interview, sowie die Tonaufnahme des Interviewssind auf der CD im Anhang zu finden.
21
DidactaBildungsmesse in Hannover
Bildungsstandards im Anhang
›Hast du nicht Lust bei uns mitzumachen?‹
›Das kann ich ja gar nicht.‹
›Das weißt du doch gar nicht.‹ «
Neben seiner Tätigkeit als Lehrer arbeitete Thomas Laubis
zunächst als freier Mitarbeiter an der Überarbeitung der
bisherigen Mathebücher mit. Später kam der Verlag auf ihn und
zwei weitere Lehrer zu, um ein neues Mathebuch in Auftrag zu
geben. Die vier Bücher erforderten drei Jahre Entwicklungszeit.
Besonders wichtig war von Anfang an die Identifikationsfigur:
der Mathetiger soll die Grundschulkinder durch alle vier Jahre
begleiten. Mit Hilfe einer Handpuppe sollen die Kinder ihre
Scheu verlieren und zum Sprechen gebracht werden.
»Was für Englisch und Deutsch nicht verkehrt ist, kann für Mathe
auch nicht falsch sein.«
Die Handpuppe hat sich in den letzten sieben Jahren bewährt.
Mit einem zwei-Meter großen Mathetiger, der auf der alljährlichen
Didacta zum Einsatz kommt, wurde kürzlich sogar an mehreren
Schulen ein Film gedreht.
Der Mathematiklehrgang Mathetiger sollte bundesweit heraus-
gegeben werden und nicht in Regionalausgaben wie sein
Vorgänger. 16 verschiedene Bildungspläne mussten also gewälzt
werden. Nur so konnte das Buch von den einzelnen Kultusministerien
genehmigt werden. Die Unterschiede der Bildungspläne sind
in den letzten 20 Jahren immer kleiner geworden, denn die
Kultusministerkonferenz trifft eine gemeinsame Vereinbarung
aller Länder, was ein Kind bis zum Ende des zweiten und des
vierten Schuljahres erreicht haben soll: Die Bildungsstandards.
22
Die Themen des Mathematiklehrgangs werden zunächst auf die
Schuljahre verteilt.
»Die Strukturierung durch Farben hat sich ganz am Anfang
entwickelt. Wir haben die Farben festgelegt: Blau, gelb, grün, rot
für Klasse eins bis vier. Die passenden Cover wurden von unserem
Fotodesigner erstellt. Die Vorgabe war natürlich der Mathetiger
und man soll sehen, dass er ein bisschen erwachsener wird.«
Für die Anordnung der Themen innerhalb der einzelnen Bücher
haben die Autoren ein Konzept erstellt: Mathetiger soll ein
durchgängiger Lehrgang sein, der von vorne nach hinten
durchgearbeitet werden kann, aber auch ein Spiralcurriculum
berücksichtigt:
»Spiralcurriculum heißt, es schraubt sich hoch. Beispielsweise
Geometrie machen wir nicht als Block, sondern verteilen es
portionsweise im Buch. Nach ein paar anderen Themen greifen
wir nun weiter hinten im Buch das Thema Geometrie wieder
auf. So geht es spiralförmig durch das ganze Buch und so
schrauben wir uns immer weiter nach oben. Wir glauben, dass
das der methodische Weg ist, wie wir die Kinder auf einen
entsprechenden Level bringen.«
Mit der Entwicklung der Aufgaben geht der kreative Teil
los. Als Lehrer hatten die Autoren bereits vieles erprobt und
aufgeschrieben, wie man Kindern ein neues Thema spielerisch
und anschaulich näher bringen kann.
»Für uns ist ein ganz großes Thema das Mathematisieren der
Umwelt. Wir wollen die Mathematik in der Umwelt entdecken
oder wollen die Mathematik aus der Umwelt herausziehen. […]
Spiralcurriculum
23
Es muss natürlich die mathematische Struktur folgen. Da haben
wir keinen Spielraum. Das finden Sie in allen Mathebüchern.
Aber wie man zu einem Thema kommt, das unterscheidet sich.«
Sobald die Aufgaben festgelegt wurden, erstellen die Autoren
ein Manuskript. Darauf befinden sich die Anordnung der
Aufgaben, sowie Skizzen oder Beschreibungen der Motive für
die Zeichnerin.
»Das geben wir dann in den Satz. Die Layouterin setzt das erst
mal. Sie sagt Bescheid, falls man aus Platzgründen mehr oder
weniger Aufgaben unterbringen kann und legt fest, wie groß
das Kopfbild werden könnte. Wir bekommen das dann als PDF
zurück – mit Löchern, wo noch Platz ist. Dann überlegen wir uns,
was wir machen. So geht jede Seite hin und her.
Wenn wir dann sagen, okay, so könnte es sein, dann erst geht
es zu unserer Zeichnerin Judith Heusch. Die Illustratorin hat
gestalterische Freiheit und bringt oft eigene Ideen mit ein.
Im Satzbüro laufen dann die Fäden zusammen. Zum Schluss
werden alle Seiten darauf geprüft, dass sie schön, ansprechend
und nicht überladen sind.«
Zurzeit wird die Erstausgabe von Mathetiger überarbeitet. Die
Bücher für die erste und zweite Klasse wurden durch jeweils vier
Jahreszeitenhefte ersetzt. Auch Klasse drei und vier sollen bald
von den Vorteilen dieser Hefte profitieren: Sie sind leichter und
brauchen weniger Platz im Schulranzen, außerdem lässt sich die
Struktur der Themen leichter erkennen.
24
Für jedes Schuljahr gibt es zusätzlich Anregungen für spielerische
Aufgaben im Klassenzimmer:
»Das ist schwieriger, weil man es über das Lehrerhandbuch
transportieren muss. Leider haben wir einen großen Prozentsatz
Lehrer, die das einfach nicht lesen. Deren Unterrichtsvorbereitung
sieht so aus, dass sie nur ins Mathebuch schauen. Das ist
überhaupt nicht unser Ansatz von Mathematikunterricht. Unser
Ansatz sieht vor, dass es zunächst einen ganz großen handelnden
Teil geben muss, einen Teil in der Auseinandersetzung mit dem
Kind. Erst ganz zum Schluss kommt das Buch. Das ist ein relativ
aufwendiger Mathematikunterricht aber unseres Erachtens ein
erfolgreicher Weg.«
Vor dem Interview mit Thomas Laubis blätterte ich durch
mehrere Mathebücher verschiedener Verlage. Die Unterschiede
liegen auf den ersten Blick vor allem im Stil der Illustrationen.
»Die Unterschiede der Schulbücher erlebt man erst wenn man
damit arbeitet. Beim einen hüpft ein Tiger, bei anderen ein Bär
– beurteilen kann ein Lehrer das Buch erst, nachdem er ein
Jahr damit gearbeitet hat. […] Innovative Neuerungen, etwas
ganz anderes – das gibt es nicht, weil es nicht funktioniert.
Es funktioniert nicht für eine ganze Klasse. Da sitzt eine
heterogene Masse vor mir. Ich muss einem ganz schwachen
Kind gerecht werden und ich muss natürlich auch ein sehr gutes,
leistungsstarkes Kind fördern. Das ist meine Aufgabe als Lehrer
und auch unsere Aufgabe als Schulbuchautoren.«
25
Das Interview lenkt Thomas Laubis von sich aus immer wieder auf
die Geometrie. Er eröffnet mir, dass die leider oft vernachlässigt
würde:
»Häufig bekommen wir Rückmeldungen von Lehrern, dass
Geometrie zwar schön sei, aber aus Zeitgründen übersprungen
werden müsse. Mit der Begründung Kinder müssten ja rechnen
lernen. Das finden wir sehr sehr schade. Unsere Beobachtung
ist immer gewesen, dass leistungsschwache Kinder aus dem
arithmetischen Bereich gerade bei Geometrie riesige Erfolge
haben und endlich mal Licht am Ende des Tunnels sehen. […] Diese
Kinder haben Erfolge bei geometrischen Themen, weil es etwas
ganz abgekoppeltes ist. Das hat endlich mal nichts mit einer
Zahl zu tun und ich kann falten, basteln und zeichnen. Das
ist ein mathematisches Thema, das den Kindern viel Freude
breitet – wenn man es handlungsorientiert macht.«
Beim Thema Matheangst ist Thomas Laubis vorsichtig. Aber es
gibt Kinder, die sich schwer tun mit Zahlbegriffen und mit dem
Rechnen:
»Später bei Matheablehnung spielen viele Komponenten
zusammen. Eine Komponente ist das Elternhaus, die Umgebung.
Es ist ja so ein bisschen schick zu sagen ›in Mathe war ich
immer schlecht’. Es ist Quatsch so etwas laut zu sagen. Die
Leute reden dann vor allem von Sekundarstufe eins und zwei.
In der Grundschule haben wir in der Tat Kinder mit Dyskalkulie,
Rechenschwäche. Das ist ein ganz kleiner Prozentsatz. Kleiner,
als es manche Eltern gern hätten…«
26 Mein letzter Matheunterricht in der Grundschule liegt schon
eine Weile zurück. Wie Kinder heute unterrichtet werden,
durfte ich für eine Schulstunde an der Konstanzer Grundschule
Sonnenhalde selbst miterleben. Ein Erlebnisbericht:
Donnerstag, 8:40 Uhr, Mathe bei der Rektorin Frau Geissler in
der Klasse 3d:
»Gu-ten Mor-gen, Frau Geiss-ler.«
Die Unterrichtsstunde befasst sich mit dem Thema Uhrzeit,
Zeitpunkt und Dauer. Zu Beginn sollen die Kinder so lange wie
möglich die Luft anhalten. Mit Hilfe einer Stoppuhr wird die
Dauer von Frau Geissler gestoppt.
In der zweiten Übung sollen die Kinder zwei Minuten auf einem
Bein stehen.
Auf diesen praktischen Einstieg ins Thema folgt die Theorie.
Frau Geissler fragt nach der mathematischen Schreibweise von
Sekunde, Minute und Stunde. Mit den Antworten der Kinder
entsteht nach und nach ein fein säuberlicher Tafelaufschrieb.
Langsam und deutlich liest die Lehrerin das Geschriebene
laut vor. Anschließend stellt sie ein paar Rechenaufgaben zu
Uhrzeiten mit Beispielen, wie die Länge der großen Pause.
8:40 Uhr, Mathe, Klasse 3d
Feldforschung
27
»Das was an der Tafel steht schreibt ihr nun in absoluter
Schönschrift ab.«
Die Schüler der Klasse sind unterschiedlich schnell fertig mit
ihrem Heftaufschrieb. Manche Kinder sind unruhig und werden
von Frau Geissler ermahnt.
An den Wänden des Klassenzimmers hängen bunte Plakate
mit Verhaltensregeln, aber auch Fotografien und ein Regal mit
Instrumenten, Büchern und Kassetten.
Zur Vertiefung folgen nun schwierigere Rechenaufgaben.
»Am Samstagabend dürft ihr ab 20:15 Uhr einen Film anschauen.
Der geht eine Stunde und zwanzig Minuten. Wie spät ist es
dann?«
Die Begeisterung über die Länge des Films weicht schnell dem
Grübeln nach der richtigen Lösung.
Auf falsche Antworten erwidert die Lehrerin kein »Nein«,
sondern die Frage:
»Hat noch jemand eine andere Lösung gefunden?«.
Die Schulstunde neigt sich dem Ende zu.
Ein Schüler fragt:
»Können wir nochmal mit Luft anhalten machen?
Hat Spaß gemacht.«
Also dürfen die Kinder zum Abschluss der Stunde versuchen,
wie lange sie es schaffen nicht zu blinzeln.
28
Im Anschluss an die Schulstunde erzählt Frau Geissler von den
Unterschieden des Unterrichts heute verglichen mit früher:
»Heutzutage bringen Kinder mehr Vorwissen mit in die Schule,
jedoch ist alles unstrukturiert. Unsere Aufgabe ist es, das zu
ordnen. Die klare Struktur im Unterricht ist besonders wichtig
geworden.«
Im Unterricht bei Frau Geissler spielt das Mathebuch und das
Übungsheft keine große Rolle. Das sei eher zum Nachlesen
oder für die Hausaufgaben da. Die neuen Themenhefte für
offenes Arbeiten in Klasse 1 und 2 kämen ihrer Vorstellung von
Matheunterricht entgegen. Die Regeln würden in der Schule
erklärt und in Freiarbeit von den Schülern vertieft. Von den Eltern
werden diese Unterrichtsformen unterschiedlich aufgefasst,
denn es sei nicht eindeutig erkennbar, wie weit ihr Kind ist, wenn
es kein Mathebuch mit klarem Ablauf gibt.
Der ideale Unterricht für Frau Geissler ist das handelnde Lernen
mit Alltagsbeispielen, welche die Schüler beschäftigen und sie
zum Weiterdenken anregen:
»Das mit dem Luftanhalten werden die Kinder nie wieder
vergessen – das beschäft jeden!«
vgl S. 20Einstern 2
29
30 Um einen Eindruck von der Denkweise von Kindern zu bekomme,
erschien ein Gespräch mit ihnen sinnvoll. Julia und Lea aus der
Klasse 3d, sowie Julias ältere Schwester Marie (6. Klasse) stellten
sich dafür zur Verfügung.
Im Vorfeld entstand ein grober Fragebogen. Die Fragen bezogen
sich zunächst auf die Wirkung des ihnen bekannten Mathebuchs
Welt der Zahl und des dazugehörigen Arbeitshefts.
Zur Diskussion stand außerdem die Gestaltung des Buchs Zahlen,
Spiralen und Quadrate, sowie einige erste Entwurfsseiten zum
Thema Geometrie – in Farbe und schwarz-weiß.
Mögt ihr Mathe?
Gefällt euch euer Mathebuch?
Was gefällt euch?
Was gefällt euch nicht?
Wie gefällt euch diese Seite?
Zu voll? Zu leer? Zu viel weiß?
Welche Schriften findet ihr schön?
Was sind eure Lieblingsfarben?
Mögt ihr auch schwarz – weiß?
Mögt ihr Geometrie?
Warum?
Was gefällt euch?
Ein Gespräch mit 3 Mädchen
vgl.Welt der Zahl 3 + Arbeitsheft
vgl.S. xx Zahlen, Spralen und Quadrate
31Die Kinder sind sehr offen für die unterschiedlichen Gestaltungs-
ansätze. In ihrem Mathebuch gefallen ihnen die bunten Seiten
mit den großen Bildern am besten. Das Arbeitsheft mögen sie
lieber als das Buch, denn da darf man reinschreiben und muss
nicht immer alles in das Matheheft abschreiben.
Egal welche Schrift, welche Schriftgröße, sie lesen alles laut
vor und freuen sich am meisten über kleine lustige Sätze am
Seitenrand.
Bunt finden sie toll und schwarz weiß okay: »Das kann man ja
anmalen«. Grau stößt jedoch auf totale Ablehnung.
Zum Thema Geometrie haben sie schon länger nichts mehr
gemacht. Nur am Anfang des Schuljahres: »Das hat Spaß
gemacht.«
Kathrin, Lea, Julia und Marieschauen sich Entwürfe an
32 Geometrie in der Grundschule
Neben der Arithmetik ist die Geometrie ein wichtiger Teil des
Mathematikunterrichts in der Grundschule. Die Geometrie hat
eine besondere Bedeutung bei der Erschließung der Lebens-
wirklichkeit der Kinder. Im Rahmen des Geometrieunterrichts
lernen Kinder einerseits die wichtigsten Formen des
Alltags und ihre wesentlichen Eigenschaften, andererseits
die Lagebeziehungen als Mittel zur Strukturierung des sie
umgebenden Raumes kennen. Geometrische Anschauungen
bilden zudem die wesentlichen Darstellungsmöglichkeiten vieler
Sachverhalte aus der Arithmetik.
»Traditionell behandeln Lehrer algebraische Themen so
ausgiebig, dass kaum Zeit für die Geometrie bleibt. Gerade in der
Grundschule steckt häufig die Angst des Lehrers dahinter, den
Kindern zu wenig Grundlagen in den vier Grundrechenarten mit
auf den Weg in die weiterführenden Schulen zu geben. Zudem
bieten die Mathematikbücher zwar geometrische Themen an,
reduzieren aber die notwendigen Übungen auf weniger als ein
Minimum. Inhaltlich sind die Kinder damit unterfordert und es
müssen zusätzliche Arbeits- und Übungsblätter angeboten
werden. Das heißt für Lehrer, dass der Bereich Geometrie
arbeitsaufwändiger und umständlicher in der Vorbereitung ist.
Raum und Ebene
Didaktik der Geometrie
vgl.Mildenberger Verlag: Geometrie begreifen
Birgit Brandenburg:Geometrie: so geht’s (Vorwort)
33
»Dabei werden geometrische Themen heute noch vielfach
unterschätzt. Mit Geometrie können im Mathematikunterricht
wichtige Fähigkeiten trainiert werden: Strukturieren, Zusammen-
hänge erkennen, Analogien ziehen, systematisches Probieren,
logisches Schlussfolgern usw.«
»Eine weitere nicht zu unterschätzende Eigenschaft der
Geometrie in der Grundschule ist die Tatsache, dass auch Kinder
auf sie zugehen, die mit dem Rechnen nicht zurechtkommen.
Geometrische Unterrichtsinhalte machen den Kindern Spaß und
unterstützen eine positive Einstellung zur Mathematik.«
Entwicklung des Geometrieunterrichts
Bis in die 60er Jahre begann der Geometrieunterricht in den
meisten Bundesländern erst ab dem 5. Schuljahr. Allerdings fand
man Hinweise auf raumkundliche Erfahrungen in der Grundschule
in den Rahmenplänen und Richtlinien anderer Fächer.
»Wie kann man es denn verantworten, Fähigkeiten des Kindes
vier Jahre lang brach liegen zu lassen, die sich im Vorschulalter
schon entwickelten? Das Kind hat gebaut, gelegt, experimentiert
und auf diese Weise im Raum Erfahrungen gesammelt, die
fortgesetzt werden müssen.«
(H. Besuden 1973)
»Heute ist unumstritten, dass bereits in der Grundschule
Unterricht in Geometrie erfolgen muss. Namenhafte Didaktiker
haben sich seit der Aufnahme geometrischer Inhalte in
Rahmenpläne und Richtlinien der Grundschule in den 70er
Jahren dazu geäußert und überzeugende Argumente geliefert.
Mildenberger Verlag: Geometrie begreifen
Birgit Brandenburg:Geometrie: so geht’s
(Vorwort)
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie
vgl. (6)
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie (5)
Heinrich Besuden (1973)
34
Demnach können durch geometrische Aktivitäten in der
Grundschule…
... die intellektuellen Kompetenzen gefördert werden,
z.B. das Raumvorstellungsvermögen und grundlegende
geistige Fähigkeiten wie Ordnen und Klassifizieren,
... Begriffsbildungsprozesse nicht nur zu geometrischen
Begriffen, sondern auch zu arithmetischen Begriffen
unterstützt werden und nicht zuletzt
... Erfahrungen zur Umwelterschließung und zum praktischen
Nutzen von Geometrie im Alltag gewonnen werden sowie
... Freude an der Geometrie und am entdeckenden und
problemorientierten Arbeiten geweckt werden.«
35
Bildungspläne / Kernideen für den Geometrieunterricht
»Der Mathematikunterricht in der Grundschule orientiert sich
inhaltlich und methodisch an mathematischen Leitideen,
die deutlich machen, welche Kerngedanken der Mathematik
zugrunde liegen.
Inhaltlich sind die Leitideen miteinander vernetzt und verhindern
isolierten Wissenserwerb. Begrifflich sind sie auf das Profil des
Mathematikunterrichts der Grundschule abgestimmt.«
Die Leitideen im Überblick:
• Leitidee Zahl
• Leitidee Messen und Größen
• Leitidee Raum und Ebene
• Leitidee Muster und Strukturen
• Leitidee Daten und Sachsituationen
Die Konzeption für den Geometrieunterricht der Grundschule soll
kein enger Stoffplan sein, sondern nur Kernideen ausweisen, die
im Sinne eines Spiralcurriculums über alle vier Grundschulklassen
und darüber hinaus durch treffende Unterrichtsbeispiele
verwirklicht werden können.
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie (15 – 17)
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie (15 )
vgl.Kultusministerkonferenz:
Bildungsstandards
36
Die Kernideen sollen im Wesentlichen beinhalten:
Geometrische Formen
• Herstellen von Grundformen
• Herstellen von Objekten aus Grundformen
• Erkennen und Beschreiben von Grundformen
• Erschließen der Umwelt mit Hilfe von Grundformen
• erste Erfahrungen zu Maßen geometrischer Grundformen
(Längen, Flächeninhalt, …)
Operieren mit Formen
• Abbilden in der Ebene
• Projizieren vom Raum in die Ebene
• Verändern durch Zerlegen und Zusammensetzen oder
auch durch Verzerren, Vergrößern und Verkleinern
Beziehungen zwischen Formen
• Orientierung im Raum und in der Ebene
• Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und
in der Ebene
• Symmetrie
• Muster, Bandornamente und Parkette
Räumliches Vorstellungsvermögen
• sich orientieren und Anordnungen und Wege beschreiben.
• Kantenmodelle und Netze von Würfeln und Quadern
untersuchen
• mit Würfeln nach Vorlagen bauen und zu solchen Bauwerken
• Baupläne erstellen
• zweidimensionalen Darstellungen von Würfelbauwerken
• Bauwerke zu ordnen und die Anzahl der Würfel bestimmen
37
Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen
• Eigenschaften von Körpern und ebenen Figuren beschreiben
• Körper und ebene Figuren nach verschiedenen Eigenschaften
• sortieren und die entsprechenden Fachbegriffe zuordnen
• Körper und ebene Figuren in der Umwelt wiedererkennen
• Modelle von Körpern und ebenen Figuren herstellen (Bauen,
Legen, Zerlegen, Zusammenfügen, Ausschneiden, Falten …)
• Kantenmodelle und Netze von Würfeln und Quadern herstellen
• Zeichnungen mit Hilfsmitteln und Freihandzeichnungen
anfertigen
• die Begriffe ›Senkrecht zueinander‹, ›Parallel zueinander‹ und
›Rechter Winkel‹ kennen und nutzen
Einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen
und darstellen
• ebene Figuren in Gitternetzen abbilden
• achsensymmetrische Figuren erkennen und zeichnen
• symmetrische Muster erkennen, fortsetzen und selbst
entwickeln
Flächen und Rauminhalte vergleichen und messen
• die Flächeninhalte ebener Figuren durch Zerlegen vergleichen
• Flächeninhalte durch Auslegen mit Einheitsquadraten messen
• Umfang und Flächeninhalt von ebener Figuren untersuchen
• Rauminhalte durch die enthaltene Anzahl von Einheitswürfeln
bestimmen
Sachaufgaben mit geometrischen Mitteln lösen
• geometrische Sachverhalte aus Texten herausfinden
• Skizzen für die Lösung erstellen und nutzen
38
Geometrische Begriffe
Begriffe sind die Bausteine menschlichen Wissens. Auf-
genommene Informationen werden durch Begriffe zweck-
entsprechend verdichtet, Begriffe organisieren das Verhalten,
sind die Grundlage der sprachlichen Kommunikation,
beeinflussen die Leistungen des Gedächtnisses und das
Problemlösen. Deshalb ist der frühzeitige Erwerb von Wissen
neben der Verbesserung der Raumvorstellung eine wesentliche
Voraussetzung für weitere Leistungen im Geometrieunterricht.
Bereits Kindergartenkinder verfügen über eine Vielzahl von
Wörtern, mit denen sie die Erscheinungen in ihrer Umwelt
beschreiben. Jedoch ist nicht jedes Wort ein Begriff.
Mit einem Begriff werden Objekte hinsichtlich bestimmter
Eigenschaften zusammengefasst. Somit werden in dem Begriff
alle Eigenschaften, die die einzelnen Objekte gemeinsam haben,
aufgenommen. Nicht erfasst werden spezifische Eigenschaften
eines einzelnen Objekts.
Begriffe werden vorwiegend durch die Umgebung mit Objekten
in Verbindung mit der Sprache erworben. Durch Begriffswissen
wird eine Vielzahl von Einzelobjekten reduziert und unter
bestimmten Gesichtspunkten strukturiert. Beispielsweise
sortiert nach Form, nach Farbe, nach Größe, usw.
Für das Lernen und Behalten von Wissen ist es wichtig, dieses
unterschiedlich zu speichern, also handlungsmäßig, bildhaft
und verbal. Alltagswissen von Kindern ist im Unterricht
zu systematisieren und zu präzisieren, manchmal auch zu
korrigieren und in bestehendes Wissen sinnvoll einzuordnen.
Begriffsbildung bzw. Wissenserwerb ist ein langfristiger Prozess.
Marianne Franke: Didaktik der Geometrievgl. (96ff)
39
Es gibt drei Arten geometrischer Begriffe:
Objektbegriffe umfassen die ebenen und räumlichen Objekte,
die durch konkrete Gegenstände oder Modelle repräsentiert
werden. Jeder Objektbegriff steht für eine Klasse von Elementen,
die gemeinsame Eigenschaften besitzen.
Eigenschaftsbegriffe werden zum Definieren von weiteren
Begriffen – meist Unterbegriffen – benutzt, indem ein Oberbegriff
durch Festlegen von Eigenschaften wieder in Klassen unterteilt
wird. (…)
Relationsbegriffe beschreiben Beziehungen zwischen
geometrischen Objekten. Bei den in der Geometrie verwendeten
Relationsbegriffen handelt es sich um Beziehungen von
Figuren innerhalb der gleichen Klasse. So sind beispielsweise
zwei Strecken gleich lang, zwei Flächen deckungs- oder
zerlegungsgleich, zwei Geraden parallel zueinander usw.
SchaubildMarianne Franke:
Didaktik der Geometrie (101)
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie
vgl. (100)
40
Einige Begriffe wir Ecke, Kante, Fläche oder auch Linie, Gerade,
Strecke werden in der Grundschule nur als Eigenschaftsbegriffe
verwendet, nicht als Objektbegriffe.
Die Beziehungen zwischen räumlichen Objekten werden in
der Grundschule meist umgangssprachlich beschrieben. Dabei
werden solche Begriffe verwendet, die zur Orientierung im
Raum üblich sind, wie vor und hinter.
41
Begriffshierarchien
Je mehr Merkmale ein Begriff hat, desto weiter unten steht er.
Von unten nach oben wird jede Kategorie weniger spezifisch.
Es gibt Oberbegriffe, nebengeordnete Begriffe und Unterbegriffe.
Haus der Vierecke
Der Abbildung kann man u.a. entnehmen:
• Jedes Quadrat ist ein Rechteck und eine Raute.
• Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm und auch ein
gleichschenkliges Trapez
• Damit ist auch jedes Quadrat ein Rechteck, ein Parallelogramm
und ein gleichschenkliges Trapez
SchaubildMarianne Franke:
Didaktik der Geometrie (103)
42 Gemäß dem bereits erwähnten Spiralcurriculum werden
geometrische Themen in Schulbüchern in einzelne, kleine Lehr-
einheiten aufgeteilt. Umfassendes Material, das ausschließlich
Geometrie behandelt, ist selten. Von zwei Verlagen wird
zumindest zusätzliches Unterrichtsmaterial in Form von
Kopiervorlagen für Lehrer zum Thema Geometrie angeboten.
Was gibt’s?
Unterrichtsmaterial
43
Beim Mildenberger Verlag sind folgende Produkte zum Thema
Geometrie erhältlich:
Unter dem Titel Geostadt sind zwei Arbeitshefte (Klasse 1 / 2 und
Klasse 3 / 4) erschienen, die das entdeckende Lernen als Weg zu
erfolgreicher Wahrnehmungsförderung im Geometrieunterricht
sehen. Zusätzlich sind Straßen- und Formenkärtchen als vor-
gestanzte Kartonbeilage und Holzbausteine für die Gebäude
der Geostadt erhältlich.
Ein weiteres Arbeitsmittel für den Geometrieunterricht ist das
Geo-Brett mit passendem Arbeitsheft. Die Schüler spannen mit
Gummibändern Figuren. Erst nachdem die Lösung gefunden
wurde, wird diese in das Arbeitsheft übertragen. Ein mit Radieren
und Schmieren verbundenes Experimentieren auf dem Papier
wird dadurch vermieden.
Die Materialien für den Geometrieunterricht Klasse 1 bis 4
umfassen einen Ordner mit über 200 Kopiervorlagen zur
Grundschulgeometrie. Behandelt werden die Themenbereiche
Formen, Flächen, Symmetrie, Bandornamente und Parkettierung,
Körper, Geobrett, Lagebeziehungen, Maßstab, Geometrische
Zeichen, Wege und Netze und Pentominos.
Die Materialien sind leistungs- und jahrgangsdifferenziert
gestaltet, sodass starke und schwache Schüler angemessen
gefordert und gefördert werden. Die Arbeitsmaterialien eignen
sich als Freiarbeitsmaterial oder können als gezielte Ergänzung
zum Schulbuch Verwendung finden.
Zusammenfassungenvgl.
Mildenberger Verlag: Geometrie begreifen
Simon:Materialien für den
Geometrieunterricht
44
Beim Verlag an der Ruhr sind folgende Unterrichtsmaterialien
zum Thema Geometrie erschienen:
Geometrie: so geht’s. 1. bis 4. Schuljahr umfasst 69 Kopiervorlagen
für Arbeitsblätter. Ein Auszug aus dem Vorwort beschreibt das
kreative Potential von Geometrie:
»Die Kinder malen von sich aus gerne Muster, spielen gerne
mit Puzzleteilen und Legespielen. Diese Vorlieben werden
damit im Matheunterricht aufgegriffen und in mathematische
Bahnen gelenkt. Zu Beginn steht das Weiterführen von Mustern
in Form und Farbe nach bestimmten Regeln. Leider lassen es
die Mathematikbücher mit diesen Übungen bewenden. Der
künstlerische bzw. ästhetische Aspekt kommt zu kurz. Künstler
haben mit geometrischen Flächen Kunstwerke geschaffen. Die
Einbeziehung solcher Kunstwerke in den Mathematikunterricht
führt damit in den ästhetischen Aspekt des Themas. Eine
Fortführung im Kunstunterricht bietet sich an und fördert
Fantasie und Kreativität.«
Alles mit Formen, eine Werkstatt ist eine weitere Zusammen-
stellung von fächerübergreifendem Unterrichtsmaterial zu
Kunst und Mathematik. Hier gehen die Kinder gemeinsam mit
den Formenmännchen Tri und Quad in der Welt der Formen auf
Entdeckungsreise. »Mit Van Gogh erkunden und gestalten sie
ruhige und bewegte Linienführungen; sie erproben an Vasarelys
Op-Art , wie man Grundformen zum Flirren bringen kann; sie
erfinden Geschichten und Rätsel zu Formenbildern. Dabei lernen
sie spielerisch Grundregeln der Kunst kennen. Viele Angebote
oder Vergrößerungen, können fächerübergreifend in Kunst und
Mathematik eingesetzt werden.«
vgl.Birgit Brandenburg:Geometrie: so geht’s (Vorwort)
vgl.Verlag an der Ruhr: Verlagsprogramm
45Shape
Das englischsprachige Buch von David Goodman und Zoe Miller
gibt Kindern im Vorschulalter einen ersten Überblick über die
Formenwelt der Geometrie. Farbenfrohe, spielerische Foto-
grafien stellen Phänomene wie Mosaik, Muster und Symmetrie,
sowie die Formen der zweiten und dritten Dimension vor.
Zahlen Spiralen und Quadrate
In ihrem Buch Zahlen Spirale und Quadrate führt die schwe-
dische Autorin Kristin Kinder ab 10 Jahren durch die Welt der
Mathematik. Illustriert wurde das Buch vom Autor von »Petterson
und Findus«, Sven Nordqvist.
Das Buch weckt die Neugier an mathematischen Spielereien:
Von regelmäßigen Mustern über Geometrie, Fraktale, Primzahlen
bis hin zum Möbius-Band, zum Vierfarbenproblem und zu
harmonischen Körpern bietet das Buch einen Einstieg für vieles,
was in der Mathematik spannend ist. Zu jedem Thema gibt es
eine Rubrik ›Du bist dran‹, in denen leichte und anspruchsvolle
Experimente vorgestellt werden. So macht Mathematik Spaß.
Empfohlen wird das Buch Kindern ab 10 Jahren.
Was gibt’s sonst?
Geometrie in der Freizeit
vgl. Shape
vgl. Zahlen, Spiralen und Quadrate
46 Im Rahmen der Recherche konnten eine Reihe von Erkenntnissen
gewonnen werden:
Eine Analyse verschiedener Mathebücher ergab, dass die
vermeintlich kindgerechte Gestaltung aller Mathebücher visuell
nichts mit Mathematik zu tun hat. In der inhaltlichen Struktur
verursacht das Spiralcurriculum, dass die Zusammenhänge
zwischen den Themenbereichen nicht mehr nachvollziehbar
sind. Neue Tendenzen weg vom klassischen Mathematikbuch
hin zu klar strukturierten Themenheften sind bereits spürbar.
Diese Themenhefte sind so gestaltet und strukturiert, dass
Kinder alleine damit arbeiten können, was ein offenes Arbeiten
in Hinblick auf ihre individuellen Fähigkeiten ermöglicht.
Im Interview mit dem Mathebuchautor Thomas Laubis wurde
klar, dass bei der Konzeption eines Mathebuchs kein Gestalter
beteiligt ist. Die Autoren, ausnahmslos Lehrer, tragen den
Inhalt aus ihren im Unterricht erprobten Aufgabenstellungen
zusammen. Layouter, Fotodesigner und Illustrator kommen
erst zum Einsatz, wenn alle Entscheidungen bezüglich Struktur,
Inhalt und Seitenaufteilung bereits getroffen wurden.
Vorgaben für Mathebücher finden sich in den Bildungsplänen
der einzelnen Bundesländer.
Genug recherchiert!
Die Zusammenfassung
47
Eine Mathestunde in der Grundschule Sonnenhalde zeigte, wie
wichtig der Alltagsbezug für Kinder ist. Matheunterricht muss
handelnd sein. Im Vergleich zu früher ist eine klare Struktur
viel wichtiger geworden, da die Kinder immer mehr Vorwissen
mitbringen.
Im Gespräch mit den drei Mädchen im Grundschulalter zeigte
sich, dass Kinder offen sind für neues. Zu ihren Farbvorlieben
lässt sich sagen: bunt ist toll, schwarz weiß kann man anmalen,
grau geht gar nicht. Geometrie mögen sie gerne.
Trotz ihrer unumstrittenen Relevanz wird die Geometrie im
Mathematikunterricht der Grundschule oft vernachlässigt.
Dabei können wichtige Fähigkeiten durch Geometrie trainiert
werden. Zu den elementargeometrischen Inhalten gehören die
visuelle Wahrnehmung, das räumliche Vorstellungsvermögen,
Räumliche Objekte, Ebene Figuren, Symmetrie ebener Figuren,
das Messen geometrischer Objekte, Muster, Bandornamente,
Parkette und das Zeichnen. Das Erlernen geometrischer
Begriffe ist von großer Bedeutung. Auch das Üben motorischer
Fähigkeiten beim Schneiden, Legen, Falten und Kleben ist Teil
des Geometrieunterrichts.
In den Mathebüchern der Grundschule wird zumeist sehr wenig
Material zur Geometrie geboten. Bei manchen Verlagen sind
Zusammenstellungen von zusätzlichem Unterrichtsmaterial
erhältlich. Eine Besonderheit sind hierbei fächerübergreifende
Arbeitsblätter mit Bezug zum Kunstunterricht, die dem
künstlerisch-ästhetischen Aspekt der Geometrie gerecht werden
wollen. Gestalterisch sind diese Kopiervorlagen dennoch nicht
sonderlich ansprechend.
48
Dass die Geometrie Potential für die Freizeit der Kinder bietet,
stellen die Bücher Shape und Zahlen, Spiralen und Quadrate
unter Beweis. Ersteres ist für Kinder im Vorschulalter, das zweite
für Kinder ab 10 Jahren geeignet.
Für Kinder im Grundschulalter gibt es nichts Vergleichbares.
In dieser Produktnische besteht also durchaus Handlungsbedarf.
49
Und?
Fazit aus der Recherche
Die Recherchephase als Grundlage erster konzeptioneller
Überlegungen hat gezeigt, dass das Thema Geometrie ein
hohes Potential bietet. Da im Matheunterricht der Grundschule
offensichtlich zu wenig Zeit für die Geometrie bleibt, muss ein
neuer Weg gefunden werden, Geometrie zu betreiben. Kinder
haben Spaß an Geometrie, also kann sie auch in der Freizeit zum
Thema werden. Fernab von Bildungsplänen und Spiralprinzipien
kann auch dem künstlerisch - ästhetischen Aspekt der Geometrie
eine größere Rolle zugesprochen werden. Ein klar verständliches
Gesamtkonzept von Inhalt, Struktur und Form soll dem Ganzen
zu Grunde liegen.
50
Was wird’s?
Medienwahl
Die Entscheidung für ein Medium fiel aus mehreren Gründen auf
das Buch:
Das Projekt hat zum Ziel Kindern die Geometrie näher zu
bringen. Dabei spielen Begriffe und ihre Zusammenhänge, sowie
anschauliche Darstellungen eine tragende Rolle. Das Medium
Buch eignet sich als eine Art Nachschlagewerk zum Thema.
Desweiteren gehören zur Geometrie auch motorische
Fähigkeiten wie Zeichnen, Schneiden, Falten und Kleben. Die
Haptik spielt eine große Rolle beim Begreifen der Eigenschaften
dreidimensionaler Körper, aber auch von zweidimensionalen
Flächen. Das Legen von Figuren aus homogenen Formen oder
von Mosaiken aus verschiedenen Vielecken schult den Blick
für geometrische Zusammenhänge. Somit dient Papier als
Grundlage für vielseitige Aufgaben rund um die Geometrie.
Das Buch vereint die Information mit der Haptik und ist somit
der geeignete Träger für das Thema Geometrie.
51
52
Das Buch
54 Für die konzeptionellen Entscheidungen galt folgendes Prinzip:
Der Inhalt (Geometrie) bedingt seine Struktur (Reise durch die
Dimensionen der geometrischen Formenwelt) und seine Form
(Geometrische Formen).
Die Geometrie lebt
Um Kindern die Geometrie anschaulich zu vermitteln, sollen
die Inhalte in Form einer Geschichte erklärt werden. »Das
Erzählen ist eine Grundform menschlicher Kommunikation […].
Erzähltexte werden gewöhnlich schneller gelesen, da die
Adressaten alltägliches Vorwissen über Handlungsstrukturen
einbringen können.« Narrative Texte fördern die Aufmerksamkeit
und können eine motivierende Rahmenhandlung für Lerninhalte
bilden. »Geschichten treiben uns um, nicht Fakten. Geschichten
enthalten Fakten. Einzelheiten machen nur im Zusammenhang
Sinn. Und nur dann, wenn die Fakten in diesem Sinne interessant
sind, werden wir sie auch behalten.«
Die Lenrinhalte des Buchs sollten jedoch nicht in irgendeine
konstruierte Geschichte gequetscht werden. Vielmehr sollte sich
die Geschichte aus dem Inhalt ergeben. Auch auf zusätzliche
Begleitfiguren, wie sie in allen Mathebüchern zu finden sind,
Wie wird’s?
Buchkonzept
Baellstaedt: Wissensvermittlung. Die Gestaltung von Lernmaterialvgl. (22)
Manfred Spitzer: Lernenvgl. Vorwort
55soll verzichtet werden. Die geometrischen Formen haben von
sich aus Charakter: Freche Punkte, launische Stimmungslinien,
die zielstrebige Gerade, turnende Dreiecke, ein selbstbewusstes
Quadrat, ein siegessicherer Kreis, usw. Die Formenwelt erklärt
sich durch kleine, vergnügliche Geschichten: ein Wettrennen
zwischen verschieden geformten Linien, die Turnübungen der
sportlichen Gerade, ein Streit um die Spiegelachsen zwischen
Dreieck, Quadrat und Kreis, Mosaiktänze der Vielecke oder auch
betrügerische Würfelnetze.
Die Rahmenhandlung für die Begegnungen mit den verschie-
denen Formen ist die Reise des kleinen Punktes durch die
Dimensionen. Dazu mehr im folgenden Abschnitt.
Struktur und Zusammenhänge
»Tragendes Gerüst der elementargeometrischen Formenwelt
ist der dreidimensionale Raum, der von Formengebilden
unterschiedlicher Dimensionen bevölkert wird: Punkt, Linie,
Fläche und Körper.«
Die Zusammenhänge von Punkt, Linie, Fläche und Körper
beschreibt Christian Leborg in seinem Buch Bildsprache in
anschaulicher Weise:
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie
vgl. (12)
56
»Abstrakte Objekte sind Idealformen, die sich in der Realität
nicht erzeugen lassen. Wenn man z.B. versucht, einen Punkt zu
zeichnen, erhält man stattdessen eine Fläche. […] Eine Linie kann
man als eine Reihe aneinandergrenzender Punkte begreifen.
Sie kann endlos sein oder zwei Endpunkte haben. Die kürzeste
Strecke zwischen zwei Punkten ist eine Gerade. […] Eine Fläche
wird durch zwei sich schneidende oder parallele Linien oder
durch mindestens drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte
definiert. […] Ein Körper ist durch Flächen, Linien und Punkte
definierter leerer Raum.«
Christian Leborg richtet sich mit seinem Buch an Gestalter und
erklärt diese Zusammenhänge selbstverständlich zu abstrakt,
um von Kindern verstanden zu werden. »Die Begriffe ›Linie‹,
›Gerade‹, ›Strecke‹ und ›Punkt‹ bzw. dementsprechend ›Ecke‹
oder ›Eckpunkt‹ werden in der Grundschule oft nicht näher
erklärt.« Doch Kinder kennen Punkte und Linien. Warum wird
ihnen vorenthalten, wie und aus welchen Elementen sich die
Welt der Geometrie zusammensetzt?
Die Veranschaulichung der vier Dimensionen inspirierte mich zu
den vier Kapiteln meines Buchs:
1 Der kleine Punkt stellt sich vor.
2 Ein Punkt geht spazieren und wird zur Linie.
3 Linien legen sich nebeneinander und werden zur Fläche.
4 Flächen tun sich zusammen, stehen auf und werden
zum dreidimensionalen Körper.
Christian Leborg:Bildsprachevgl. (9 - 15)
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie vgl. (101)vgl. S. 40 Geometrische Begriffe
57
Begriffe
Wie in der Recherche ausführlich erläutert, spielen Begriffe beim
Begreifen von Geometrie eine tragende Rolle.
Das anschauliche Erklären von elementaren geometrischen
Begriffen steht im Fokus dieses Projekts. Viele Begriffe
dienen zur Beschreibung der direkten Umwelt der Kinder,
wie die Richtungsangaben ›oben‹, ›unten‹, ›links‹, ›rechts‹,
›vorne‹ und ›hinten‹ oder auch ›horizontal‹ / ›waagrecht‹,
›vertikal‹ / ›senkrecht‹, ›diagonal‹, ›parallel‹ usw.
Nach dem Erlernen eines neuen Begriffs wird er im Verlauf der
Geschichte immer wieder aufgegriffen und wird so in verschiedenen
Zusammenhängen gezeigt, angewendet und begriffen.
Informationsgehalt
Anders als die im Rahmen der Recherche analysierten
Mathebücher, geht es in diesem Buch nicht darum, möglichst
viele Erklärungen und vielseitige Übungsaufgaben auf einer
Seite unterzubringen. Vielmehr sollen sich die jungen Leser in
Ruhe auf einzelne Aspekte konzentrieren dürfen.
»Wir können uns Einzelnes besser merken als Allgemeines, weil
uns das Einzelne mehr berührt. So können allgemeine Prinzipien
anhand von Beispielen begriffen werden.«
Mitmachen
»Lernen ist kein passiver Vorgang. Je bunter, bewegter, lustiger,
spielähnlicher, interaktiver, leibhaftiger zu lernende Inhalte
aufbereitet werden, desto besser wird gelernt.«
Das Buch will seine jungen Leser dazu inspirieren, kreativ zu
werden. Es bietet großzügig Raum für eigene geometrische
vgl. S. 40 Geometrische Begriffe
vgl. S. 40 Mathebücher und Arbeitshefte
Manfred Spitzer: Lernenvgl. Vorwort
Manfred Spitzer: Lernenvgl. (2)
58
Experimente in Form von weißen oder gerasterten Doppelseiten.
Die Kinder haben so die Möglichkeit den Inhalt des Buchs durch
eigene Bilder zu ergänzen. So sollen beispielsweise Bilder
gemalt werden – aber nur aus Punkten oder nur aus Linien.
Beim Anmalen von Flächen, wird einem die Fläche bewusst.
Beim Legen mit geometrischen Formen entstehen Figuren.
Diese können wieder in Rastern festgehalten werden. Im Kapitel
Körper gibt es erste Übungen zum Erstellen von isometrischen
Darstellungen dreidimensionaler Würfelbauten. Dabei hilft ein
entsprechendes Punktraster. Die Körpernetze im Buch können
ausgeschnitten und zu dreidimensionalen Körpern gefaltet und
geklebt werden. usw.
»Viel können und wenig wissen: Fast alles was wir gelernt haben,
wissen wir nicht. Aber wir können es. Weil es Spaß macht.«
Ästhetik
Der künstlerisch – ästhetische Aspekt der Geometrie soll in dem
Buch nicht zu kurz kommen. Bei der Auswahl der Inhalte wurden
bewusst auch Themen aufgenommen, die Bezüge zum Umgang
mit Geometrie in der Kunst aufweisen. Beispielsweise werden
die Kinder auf die unterschiedliche Wirkung von horizontalen,
vertikalen und diagonalen Linien aufmerksam gemacht.
Anschließend dürfen sie auf einer der oben erwähnten freien
Doppelseite selbst kreativ werden.
Interaktiv
Das Buch wird als Gebrauchsgegenstand in einige Erklärungen
mit einbezogen. So muss es beispielsweise um 90 Grad gedreht
werden, um den Unterschied von horizontal und vertikal anhand
Manfred Spitzer: Lernenvgl. (59)
59
des Formats deutlich zu machen. Ein anderes Mal soll es
zugeklappt werden, um sich als Quadrat zu zeigen.
Material
Um Geometrie anschaulich zu erklären, ist der Umgang mit
konkretem Material erforderlich. Das Buch bietet Kindern eine
Reihe von Materialien für verschiedene spielerische Aufgaben.
Im Buch eingebunden sind Bastelbögen mit Vielecken als
Legeplättchen zum Ausschneiden. Die verschiedenen Formen
lassen sich zu Figuren und Mosaiken zusammen setzen.
Die im Buch behandelten Körper sind als Körpernetze zum
Ausschneiden in das Buch eingebunden.
Zusätzlich stehen den Kindern ein Geodreieck und zwei Spiegel
zur Verfügung. Das Geodreieck hilft den Kindern beim Messen,
sowie beim Prüfen von rechten Winkeln und Parallelen. Mit den
beiden Spiegeln lassen sich verschiedene Aufgaben im Buch
lösen: Spiegelachsen können überprüft, Bandornamente ins
Unendliche gespiegelt, oder ein verspiegelter dreidimensionaler
Raum gebildet werden. Außerdem dient ein Spiegel dazu, die
Lösung zu mancher Aufgaben zu entziffern: Lösungen sind
spiegelverkehrt gedruckt.
Materialtasche
Als Unterbringung für das Geodreieck und die beiden Spiegel
dient eine Tasche am Buchende. Nach dem Ausschneiden
können auch die Legeplättchen in dieser Tasche untergebracht
werden.
60 Vorlagen, Anregungen für die Inhalte
Als Anregung für die Zusammenstellung der Inhalte, Er-
klärungen, Aufgaben, Rätsel und Spiele dienten verschiedene
Quellen. Einige Anregungen stammen aus der Fachliteratur
für Lehrer über die Gestaltung des Geometrieunterrichts.
Die dort aufgeführten vielfältigen Aufgabenbeispiele für das
handelnde Erlernen geometrischer Themen konnten im Rahmen
meiner Arbeit nicht vollständig ausgeschöpft werden. Viele
der Aufgaben sind für den Unterricht konzipiert. Dort steht der
Lehrer mit den Schülern in direkter Kommunikation und kann
eingreifen und zu weiteren Versuchen anregen. Ein Buch für den
außerschulischen Gebrauch muss hingegen von sich aus Inhalte
anschaulich erklären, Aufgaben eindeutig formulieren, eventuell
Lösungen anbieten oder zum freien Experimentieren anregen.
Zusammenstellungen von ergänzendem Unterrichtsmaterial
lieferten die eine oder andere Aufgabenstellung für das Buch.
Diese Arbeitsblätter sind jedoch zumeist thematisch in sich
geschlossen und ließen sich schwer in die Dramaturgie des
Buchs integrieren.
Besonders hilfreich war das Buch Zahlen, Spiralen und Quadrate,
das für den außerschulischen Gebrauch konzipiert ist. Das Buch
Was ist drin?
Der Buchinhalt
Marianne Franke:Didaktik der Geometrie
Radatz / Rickmeyer: Handbuch für den Geometrieunterricht
Simon:Material für den Geometrieunterricht
Birgit BrandenburgAlles mit Formen
Zahlen Spiralen und Quadrate
61
enthält sachlich-informative wie kurzweilig-vergnügliche Texte
rund um die Mathematik. Zahlreiche geometrische Themen
werden aufgegriffen, auch um arithmetische Themen zu
veranschaulichen. Das Buch richtet sich jedoch an eine ältere
Zielgruppe: Kinder ab 10 Jahren. Trotzdem diente das Buch
inhaltlich als Inspirationsquelle für Möglichkeiten der kind-
gerechten Aufbereitung von Inhalten.
Zu den verschiedenen Themen ließ sich vereinzelt auch im
Internet passendes Material finden. Besonders die Webseite
www.mathematischebasteleien.de war hilfreich.
Der Punkt
Die Entscheidung für eine Begleitfigur, die durch das Buch führt,
fiel auf den kleinen Punkt. Anders als beispielsweise eine der
Flächen, die von sich aus Charaktereigenschaften mit sich bringt,
ist der Punkt flexibel und wirkt neutral gegenüber allen anderen
Elementen der Formenwelt. Formell mischt sich der Punk in
Form von Eckpunkten und Punktrastern in alle Dimensionen ein.
Als freundliche, freche, schlaue, verblüffte, vergnügte oder auch
bestimmte Identifikationsfigur kann er auf die jeweiligen Inhalte
reagieren. Die verschiedenen Emotionen werden durch die
beschreibenden Texte klar.
Stil der Texte
Die Texte im Buch sind durchgängig kurz, kurzweilig und
präzise gehalten. Viele Sachverhalte werden auf eine neue
Art erklärt. So gibt es ordentliche Punkte, freche Linien,
streitende Familienmitglieder der Vierecksfamilie, betrügerische
Würfelnetze usw. Im Buch gibt es sowohl erklärende Texte,
Weitere Weblinks sind im Quellenverzeichnis
aufgeführt.
62
als auch auffordernde Aufgabenstellungen und direkte Fragen
an den Leser. Die Erklärungen werden zumeist vom Punkt
eingeleitet.
Textbeispiele
Da drüben wartet ein
Würfelnetz schon ganz
ungeduldig darauf,
endlich dreidimensional
zu werden.
Hilfts du ihm dabei?
Wer
die
mei
sten
Spie
gelac
hsen
hat,
gewin
nt!
Eine besonders schlaue
Verbindungslinie hat entdeckt,
dass es 44 Möglichkeiten gibt!
Besuchen wir die Gerade mal bei ihren Turnübungen.
Was machst du, Gerade?
Kugeln kugeln.
Darum ist es schwierig
sie festzuhalten.
Der Streber unter den
Linien ist die Gerade
Sie nimmt immer
den direkten Weg und
die kürzeste Strecke
zwischen zwei Punkten.
63
Buchtitel
Vom Punkt zur Kugel und zurück
Komm mit auf eine Reise durch die Welt der Geometrie
Der Buchtitel beschreibt Anfang und Ende der Reise des kleinen
Punkts. Der Untertitel lädt den jungen Leser ein, mitzukommen,
auf eine Reise durch die Welt der Geometrie. Der auffordernde
Tonfall des Untertitels kündigt das leibhaftige Dabeisein und das
Mitmachen an.
Inhaltsübersicht und Kapitelübergänge
Das Inhaltsverzeichnis bietet mit Hilfe von kleinen Symbolen
einen Überblick über die Inhalte des Buchs: Auf Vorsatzpapier,
Innentitel und Inhaltsverzeichnis folgen die Seiten 4 / 5, die dem
jungen Leser einen aktiven Einstieg in die Thematik bieten: Der
kleine Punkt stellt sich vor: »Hallo! Ich bin der Punkt. Und wer
bist du?«
Hier ist Platz für Name, Lieblingsfarbe, Größe und Lieblingsform
des Lesers. Die folgenden Doppelseiten handeln von der
Wirkung eines Punkts verglichen mit der Wirkung vieler Punkte,
von ordentlichen Rasterpunkten und eigenen Punktbildern.
Als Kapitelübergang geht der Punkt spazieren und wird zur Linie.
Nun können sich die Kinder mit launischen Stimmungslinien
austoben. Anschließend lernen sie die schnelle Gerade
kennen und besuchen sie bei ihren Turnübungen: horizontal /
waagrecht, vertikal / senkrecht, diagonal, parallel. Beim Treffen
mit dem rechten Winkel kommt das Geodreieck aus der
Materialtasche erstmalig zum Einsatz. Es hilft den Kindern beim
vgl. S. 64 / 65Inhaltsverzeichnis
64
5
25
45
15
35
55
9
29
49
19
39
59
7
27
47
17
37
57
11
31
51
21
41
61
4
24
44
14
34
54
8
28
48
18
38
58
6
26
46
16
36
56
10
30
50
20
40
60
22
42
62
23
43
63
13
33
53
12
32
5246 52
Punkt
Du ?
Fläche
Linie
65
65
89
109
75
99
119
69
93
113
79
103
123
67
111
77
101
121
71
95
115
81
105
125
64
88
108
74
98
118
68
92
112
78
102
122
66
90 91
110
76
100
120
70
94
114
80
104
124
82
106
126 127
87
107
73
97
117
72
96
116
70
104
114
Körper
3 x
66
Parallelen-Memory und beim Überlisten frecher Linien (optische
Täuschungen).Es folgen die Wirkung von Linien, eine Doppelseite
für ein eigenes Linienbild, Linienmuster und Bandornamente
und zu guter Letzt ein Verbindungsspiel: »Kennst-du-das-Haus-
vom-Ni-ko-laus?«. Alle 44 Verbindungsmöglichkeiten sind als
Zahlenfolgen aufgelistet und zeigen so auf spielerische Weise,
wie systematisch in der Mathematik gedacht wird.
Punkte werden zu Linien und Linien legen sich nebeneinander
und werden zur Fläche. Begriffe wie ›Höhe‹, ›Breite‹, ›Seite‹ und
›Ecke‹ werden hervorgehoben. Im Kapitel Fläche kommen die
Spiegel zum Einsatz: Quadrat, Dreieck und Kreis streiten sich,
wer von ihnen die meisten Spiegelachsen hat. Das Dreieck
verliert und spielt alleine weiter: Verschieben, Spiegeln und
Drehen. Dadurch entstehen symmetrische Muster. Die Kinder
dürfen hier zum ersten Mal Legeplättchen ausschneiden und
selbst Dreiecksmuster legen. Nun stellt sich die Dreiecksfamilie
mit ihren Gleichseitigen, Gleichschenkligen, Rechtwinkligen und
Unregelmäßigen Mitgliedern vor. Gleichschenklig-Rechtwinklige
Dreiecke dürfen wieder ausgeschnitten werden und zu
verschiedenen Figuren, bis hin zum Quadrat gelegt werden.
Nun stellt sich die Vierecksfamilie vor: Quadrat, Rechteck,
Raute, Trapez, Parallelogramm und Drachen. »Die Vierecke
streiten mal wieder darüber, wer von ihnen die meisten Ecken,
Seiten, rechten Winkel, parallele und gleich lange Seiten hat.«
Die im Kapitel »Linie« gelernten Begriffe werden hier in der
Anwendung bei den Flächen wieder aufgegriffen und gefestigt.
Das Parallelogramm drückt den unregelmäßigen Vierecke doch
eine Regel auf. Anschließend erklärt das Quadrat quadratische
Pixel und Quadratzentimeter. Ein Quadratraster bietet Platz
für die Fläche einer Kinderhand. Mit dem Zählen von Kästchen
können so erste Übungen zum Flächeninhalt gemacht werden.
67
Quadrat, Fünfeck, Sechseck, Achteck und Zwölfeck stehen als
Bastelbogen zum Ausschneiden zur Verfügung und können zu
verschiedenen Mosaiken gelegt werden. Nach so vielen Ecken
beschwert sich der Kreis und zeigt was er alles kann. Hier wird
gelernt, wie mit einem Zirkel Kreismuster konstruiert werden
können. Um den Bezug zum Alltag der Kinder herzustellen,
werden sie aufgefordert all ihre runden Entdeckungen
aufzuschreiben.
Punkte werden zu Linien. Linien werden zu Flächen. Und Flächen
tun sich zusammen, stehen auf und werden zum dreidimensionalen
Körper. Als Begriffe kommen nun ›hinten‹, ›vorne‹, ›Tiefe‹,
›Körper‹, ›Kante‹ und ›Seitenfläche‹ hinzu. Zunächst stellen
sich Quader, Pyramide, Zylinder, Kegel und Prisma als Körper
und Körpernetz vor. Anschließend darf das Körpernetz vom
Würfel ausgeschnitten, gefaltet und zusammengeklebt werden.
Als Übungen zur Kopfgeometrie sollen die Kinder Prüfen, ob
alle der abgebildeten Würfelnetze zu einem Würfel gefaltet
werden können und aus wie vielen Würfeln die abgebildeten
Würfelbauten bestehen. Die isometrische Darstellung von
Würfelbauten kann mit Hilfe eines entsprechenden Punktrasters
ausprobiert werden. Eine besonders knifflige Aufgabe ist das
Basteln der platonischen Körper. Schon die Netze von Tetraeder,
Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder sind visuell
ansprechend. Nach dieser Aufgabe sind der Punkt und der Leser
am Ende der Reise angekommen: Die schöne runde Kugel. Der
Punkt stellt fest, dass von ganz weit weg betrachtet auch die
Kugel nur ein kleiner Punkt ist. Also kann die Reise von Neuem
beginnen.
vgl. Kopfgeometrie
68 Format und Raster
Das Buchformat ist quadratisch mit einer Seitenlänge von
20 Zentimetern. Dieses Format ergibt sich aus folgenden
Rasterüberlegungen:
Die im Buch als Bastelbögen eingebundenen Legeplättchen
haben alle die gleiche Seitenlänge von 4 Zentimetern. Dies
ermöglicht das Zusammenspiel aller Formen zu Mosaiken und
vielfältigen Figuren. Auch die Seitenlänge aller Körpernetze
beträgt 4 Zentimeter. Einzig der Dodekaeder wurde um
50 Prozent verkleinert. Seine Seitenlänge beträgt 2 Zentimeter.
Das gleiche Prinzip erfolgt bei der Gestaltung im Buch. Die
abgebildeten Formen halten sich ebenfalls an die Seitenlänge
von 4 Zentimetern oder sind um 50 oder 75 Prozent verkleinert,
was zu den kleineren Rastereinheiten 2 oder 1 Zentimeter führt.
Die kleinste Rastereinheit beträgt 0,5 Zentimeter und wirkt als
Grundlinienraster.
Der Seitenspiegel ist abgeleitet von der Schneidevorlage für
4 mal 4 Quadrate. Die 16 Quadrate bilden den Satzspiegel mit
einer Seitenlänge von 16 Zentimetern. Alle Seitenränder sind 2
Zentimeter breit. Daraus ergibt sich das Format des Buchs, in
welchem 5 mal 5 der Quadrate Platz finden: 20 x 20 Zentimeter.
Wie sieht’s aus?
Die Gestaltung
0,5 4/8
1 4/4
2 4/2
4
8 4x2
12 4x3
16 4x4
20 4x5
69
70
Das quadratische Format des Buchs wirkt kompakt und ruhig. Die
Doppelseite des aufgeschlagenen Buchs wird zum Querformat
und bietet Platz für große Darstellungen. Der quadratische
Satzspiegel wirkt neutral und ist flexibel in der Anwendung.
Die Gestaltung der Seiten richtet sich zumeist an der
horizontalen Mittelachse der Doppelseiten aus. Dies wird durch
die Paginierung betont: sie sitzt direkt über der horizontalen
Mittellinie.
71
Schrift
Für alle Texte wird die Schrift Gotham book in 9 Punkt verwendet.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W x y Z
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . : , ; » « ? ! ( ) [ ] - + /
Die Gotham ist eine geometrische Grotesk-Schrift mit großer
Laufweite und sehr guter Lesbarkeit auch in kleinen Schrift-
größen. Der Zeilenabstand orientiert sich am Grundlinienraster,
der kleinsten Rastereinheit aus 0,5 Zentimetern.
Der Text läuft genau zwischen den horizontalen Rasterlinien.
Die Auszeichnung von neuen Begriffen erfolgt durch Unter-
streichungen in 2 Punkt. Die dicken Unterstreichungen liegen
genau auf den horizontalen Rasterlinien und orientieren sich an
die Linienstärke der Illustrationen.
Bei der Seitengestaltung greifen Text und Bild ineinander.
Typografische Inszenierung wie Formsatz oder die Ausrichtung
an Objekten erfordert einen flexiblen Umgang mit den kurzen
Textblöcken innerhalb des Rasters.
Auf vielen Seiten wird auch typografisch die horizontale Mittel-
achse betont.
Insgesamt wird im gesamten Buch weitestgehend auf eine
Silbentrennung verzichtet.
72
Gestaltungselemente
Die verwendeten Gestaltungselemente richten sich nach dem
Inhalt des jeweiligen Kapitels. Das Repertoire an Gestaltungs-
elementen wird im Verlauf der Geschichte umfangreicher, da auch
Punkte und Linien Teil der zweiten und dritten Dimension sind.
Folgende Gestaltungsmittel kommen im Buch zum Einsatz:
Alle Punkte im Buch sind 1,25 Millimeter groß.
Die Linienstärke beträgt immer 2 Punkt, mit Ausnahme der
Ausschneidelinien. Diese sind in 0,5 Punkt gehalten.
Die Seitenlängen der Flächen variieren je nach Seitenaufbau
gemäß dem oben beschriebenen Prinzip.
Um der Klarheit geometrischer Formen gerecht zu werden, sind
alle Kanten klar. In die Flächen wurden jedoch Papierstrukturen
und leichte Verläufe eingearbeitet, um eine wärmere Anmutung
zu erzielen.
73
Die Körper wurden aus Papier gebastelt, fotografi ert und
anschließend eingefärbt.
Weitere Gestaltungselemente sind eingefärbte Fotografi en von
Werkzeug, wie Stift, Geodreieck, Zirkel und Schere.
Zusätzlich kommen verschiedene Punkt- und Quadratraster
zum Einsatz.
Zusätzlich kommen verschiedene Punkt- und Quadratraster
74
Farben
Im Buch kommen genau 3 Farben zum Einsatz:
C M y K
100 0 0 0
0 100 100 0
60 0 100 0
Cyan, Rot und Grün. Die drei Farben heben sich eindeutig
voneinander ab und haben einen hohen Kontrast zueinander.
Die Farbzusammenstellung wirkt fröhlich und kindgerecht.
Anwendung der Farben
Der Punkt ist immer blau. Da der Punkt durch das Buch führt
ist auch ein Großteil der Texte blau. Je nach Zugehörigkeit zu
Seitenelementen werden auch Rot oder Grün als Textfarbe
eingesetzt
Die Farbigkeit der flächigen Vielecke richtet sich nach der Größe
ihrer Winkel:
Dem Quadrat, dem rechtwinklige Dreieck und dem Achteck
liegen als gemeinsamer Nenner der 45° Winkel zu Grunde. Alle
drei sind grundsätzlich in cyan gehalten – bei den Legeplättchen
sowie bei den erklärenden Illustrationen im Buch.
75
Dreieck, Sechseck und Zwölfeck (60°, 30° und 15°) sind rot.
Das Fünfeck als Spezialfall ist in grün gehalten.
Um diese farbliche Orientierung auch Kapitel-übergreifend
beizubehalten, halten sich auch die Körpernetze der regel-
mäßigen Polyeder an diese Farbaufteilung.
Der Würfel ist entsprechend seiner quadratischen Seitenflächen
blau. Der Dodekaeder, bestehend aus Fünfecken, ist grün.
Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder bestehen aus Dreiecken und
sind somit rot.
Anmutung und Wirkung
Die Wirkung des Buchs hebt sich stark von den überfüllten
Mathebüchern ab. Die Gestaltung ist klar und geometrisch
und illustriert somit das Thema Geometrie. Die Inhalte konzen-
trieren sich auf das Wesentliche und der Lerneffekt steht im
Vordergrund. Da die Körper gebastelt und fotografiert sind,
wirkt die Gestaltung lebendig und haptisch. So weckt sie den
Spieltrieb der Kinder. Die Gesamtwirkung des Buchs ist klar und
ruhig, aber auch farbenfroh und fröhlich. Das macht Kindern
Spaß und spricht sie an.
76
Titelgestaltung
Passend zum Titel zeigt das Titelbild die Reise durch die
Dimensionen. Die zweidimensionalen Flächen haben sich um
die dreidimensionalen Körper versammelt. Es entsteht eine
Art Spirale, die jedoch beim optischen Sprung in die dritte
Dimension ins Stocken gerät. Der kleine Punkt vollführt einen
dynamischen Schwung, zieht eine Linie als Schweif hinter sich
her und lädt ein auf eine Reise durch die Welt der Geometrie. So
sind alle vier Dimensionen auf einer Seite versammelt und bieten
eine Vorschau auf die Geschehnisse im Buch.
Vorsatzpapier
Das Vorsatzpapier vorne und hinten im Buch ist mit blauen
Punkten bedruckt. Im gleichmäßigen Muster fehlt der Mittelpunkt.
Da hat sich der Punkt aus dem Staub gemacht, um durch die
Welt der Geometrie zu reisen.
Buchrückseite
Auf der Rückseite des Buchs ist der Punkt am Ende seiner Reise
angekommen und erzählt von den Abenteuern, die er in der
Welt der Geometrie erlebt hat. Rund um die Texte sind die Stift,
Geodreieck, Zirkel und Schere angeordnet, um den Aspekt des
Mitmachens hervorzuheben.
Christina Schmid
Vom Punkt zur Kugelund zurück
Buchtitel
77
Das war spannend!
Angefangen hat alles
mit der Flucht vor den
ordentlichen Punkten.
Dann die Begegnungen
mit den launischen
Stimmungslinien und
der sportlichen Gerade.
Zum Glück kamen wir
rechtzeitig, um den
verwirrten Parallelen bei
ihrer Partnersuche zu
helfen!
Das Duell um die
Spiegelachsen hast du
gegen Dreieck, Quadrat
und Kreis verloren.
Dafür hat uns das
Parallelogramm gezeigt,
wie wir unregelmäßige
Vierecke ärgern können.
Besonders schön
waren die Mosaik-Tänze
mit den Vielecken
und den schwungvollen
Kreismustern.
Plötzlich zog es uns
in die Tiefe der
dritten Dimension.
Sie verwandelte
fl ache Flächen in
dicke Körper.
Würfel stapelten sich
zu noch größeren
Würfeln zusammen.
Wir entwarfen
Würfelbauwerke und
bastelten komplizierte
Körpernetze zu
wunderschönen
Polyedern zusammen.
Von ganz, ganz, weit
weg betrachtet ist
auch die Kugel nur ein
winzig kleiner Punkt.
Wie ich!
Jetzt können wir wieder
von vorne beginnen,
mit unserer Reise durch
die Welt der Geometrie.
Mit Hilfe unserer
Ausrüstung, bestehend
aus Stift, Geodreick,
Zirkel, Schere, Kleber
und 2 Spiegeln, haben
wir es bis zum Ziel
unserer Reise geschafft:
Die schöne runde Kugel!
Mit Hilfe unserer
78
Papier
Bei der Wahl des Papiers und der Grammatur wurde berück-
sichtigt, dass die Kinder in das Buch malen sollen. Das Buch
ist auf dem Papier Funktional, weiß des Herstellers Römerturm
gedruckt. Es handelt sich hierbei um ungestrichenes, mattes
Papier mit leichter Cremefärbung. Die Papieroberfläche bietet
eine angenehme Haptik. Die Grammatur von 120 g / m2 bietet
eine hohe Blickdichte und verhindert ein Durchdrücken von
Buntstiftzeichnungen.
Im Buch kommt eine zweite Papierstärke zum Einsatz: Die
Grammatur der eingehefteten Bastelbögen mit vorgedruckten
Legeplättchen zum Ausschneiden liegt bei 225 g / m2.
Diese Papierstärke gibt den ausgeschnittenen Legeplättchen
die nötige Stabilität und ermöglicht noch ein angenehmes
Umblättern der entsprechenden Seiten im Buch.
Bindung und Einband
Die verschiedenen Papierstärken an mehreren Stellen im Buch
erforderten eine stabile Klebebindung. Der Festeinband mit
Halbgewebe-Bindung verleiht dem Buch die notwendige
Stabilität für eine lange Lebensdauer und eine angenehme
Handhabung. Mit der Wertigkeit seines Festeinbandes grenzt
sich das Buch von den bisherigen Mathe- und Rätselbüchern der
Kinder ab.
Bindung:Buchbinderei Gaupmann,Konstanz
Papier:Römerturm Feinstpapiere
79
Eine Besonderheit findet sich am Buchende: eine Material-
tasche aus Papier und Gewebe bietet Platz für zwei Spiegel,
ein Geodreieck und später auch für die ausgeschnittenen
Legeplättchen. Diese Materialtasche ist auf der Innenseite des
Buchumschlags befestigt und im gleichen Punktmuster gehalten
wie das Vorsatzpapier.
Für das Gewebe am Buchrücken und an den Seiten der
Materialtasche wurde ein kräftiges Rot verwendet. Buchtitel
und -rückseite wurden auf das im Buch verwendete Papier
gedruckt. Dabei wurde der Hintergrund weiß gehalten, um nicht
in Konkurrenz mit dem Rot des Geweberückens zu stehen.
80
Schluss
82 Letztendlich bleibt zu sagen: die Themenwahl hat sich bewährt.
Der Einblick in die Pädagogik und Didaktik, in die Denkweise
von Kindern und in die Gestaltung von Lernmitteln war ein
interessanter Exkurs in eine für mich vollkommen neue Thematik.
Nachdem es mir gelungen war, mich nach all der Recherche
wieder von der Mathebuch-Ästhetik zu befreien, ist etwas neues
entstanden: Ein ruhiges und fröhliches Buch voller Leichtigkeit,
das Kinder inspiriert und zum Spiel mit Geometrie anregt. Noch
während der Entwurfsphase bekam ich eine Rückmeldung, die
wunderbar beschreibt, was das Buch beim Leser auslöst: Die
Erklärungen, die Aufgaben, die Farben, die Gestaltung – alles
wirkt ruhig und gleichmäßig. Man darf entdecken, spielen,
kreativ werden und realisiert gar nicht, dass man ganz nebenbei
etwas lernt – weil es so viel Spaß macht!
Als nächsten Schritt möchte ich das Buch in Kinderhände geben.
Wie gefällt es Kindern? Wie gehen sie damit um? Was passiert
mit den vielen freien Seiten? Ich bin gespannt.
Das war’s. Und jetzt?
Fazit und Ausblick
83
84
85Ich bedanke mich bei meinen betreuenden Professoren Prof.
Karin Kaiser und Prof. Andreas P. Bechtold für ihre Unterstützung.
Danke an Thomas Laubis für das informative Gespräch, an
Frau Geissler für die inspirierende Mathestunde in der 3d und an
Familie Bechtold für die nette Fragerunde mit den drei Kindern.
Ein ganz besonderer Dank gilt meiner Familie, Fabian Genthner,
Dennis Janzen, Sarah Mrusek, Martha Ehrlich und allen, die in
den letzten Monaten für mich da waren.
An euch:
Danke!
86 Baellstaedt: Wissensvermittlung. Die Gestaltung von Lernmaterial
Baellstaedt, Steffen-Peter (1997): Wissensvermittlung. Die Gestaltung von Lernmaterial.
1. Auflage. Weinheim: Psychologie Verlags Union
Heinrich Besuden (1973)
Besuden, Heinrich (1973): Die Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögen in der
Grundschule. In: Beiträge zum Mathematikunterricht, (45 - 49)
Birgit Brandenburg: Alles mit Formen
Brandenburg, Birgit (2006): Alles mit Formen. Eine Werkstatt.
1. Auflage. Mühlheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr
Birgit Brandenburg: Geometrie: So geht’s
Brandenburg, Birgit (2001): Geometrie: So geht’s. 1. bis 4. Schuljahr.
1. Auflage. Mühlheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr
Zahlen, Spiralen und Quadrate
Dahl, Kristin / Nordqvist, Sven (1994): Zahlen, Spiralen und Quadrate. Mathe für jeden.
1. Auflage. Hamburg: Verlag Friedrich Oetinger
Marianne Franke: Didaktik der Geometrie
Franke, Marianne (2007): Didaktik der Geometrie in der Grundschule. Mathematik
Primar- und Sekundarstufe.
2. Auflage. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag
Quellenverzeichnis
87
Shape
Goodman, David / Miller, Zoe (2009): Shape.
1. Auflage. London: Tate
Christian Leborg: Bildsprache
Leborg, Christian (2007): Bildsprache. Ein visuelles Wörterbuch für Designer.
1. Auflage. New york: Princeton Architectural Press
Radatz / Rickmeyer: Handbuch für den Geometrieunterricht
Radatz, Hendrik / Knut, Rickmeyer (1991):
Handbuch für den Geometrieunterricht an Grundschulen.
1. Auflage. Hannover: Schroedel Schulbuchverlag GmbH
Simon: Materialien für den Geometrieunterricht
Simon, Nina und Hendrik (2005) Materialien für den Geometrieunterricht Klasse 1 bis 4.
1. Auflage. Offenburg: Mildenberger
Manfred Spitzer: Lernen
Spitzer, Manfred (2006): Lernen. Gehirnforschung und die Schule des Lebens.
1. Auflage. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag
Mildenberger Verlag: Geometrie begreifen
Verlagsprogramm zum Thema: Geometrie. Mathematik begreifen.
Offenburg: Mildenberger (2009)
Verlag an der Ruhr: Verlagsprogramm
Verlagsprogramm (Herbst 2009)
Mühlheim an der Ruhr: Verlag an der Ruhr
88
Schulbücher
Einstern 2
Bauer, Roland / Maurach, Jutta (2005): Einstern 2. Mathematik für Grundschulkinder.
Mathematikwerk für offenes Arbeiten. Themenhefte 1 – 5.
1. Auflage. Berlin: Cornelsen Verlag
multi Mathematik 2 bis 4
Hagmaier, Günter / Simon, Doris (2005): multi Mathematik 2.
Baden-Württemberg. Troisdorf: KONKORDIA Bildungsverlag EINS
Hagmaier, Günter / Simon, Doris (2005): multi Mathematik 3.
Baden-Württemberg. Troisdorf: KONKORDIA Bildungsverlag EINS
Hagmaier, Günter / Simon, Doris (2006): multi Mathematik 4.
Baden-Württemberg. Troisdorf: KONKORDIA Bildungsverlag EINS
multi Mathematik 3 und 4, Arbeitsheft
Hagmaier, Günter / Simon, Doris (2003): multi Mathematik 3. Arbeitsheft.
Baden-Württemberg. Troisdorf: KONKORDIA Bildungsverlag EINS
Hagmaier, Günter / Simon, Doris (2002): multi Mathematik 4. Arbeitsheft.
Baden-Württemberg. Troisdorf: KONKORDIA Bildungsverlag EINS
89Mathetiger 3
Heidenreich, Matthias / Kinkel-Craciunesu, Martina / Laubis, Thomas (2008):
Mathetiger 3 - 3. Schuljahr. Schülerbuch. Ausgabe für alle Bundesländer.
1. Auflage. Offenburg: Mildenberger
Nussknacker 4
Maier, Peter Herbert (2005): Nussknacker. Mein Mathematikbuch. Band 4.
1. Auflage. Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag
Super M 4
Manten, Ursula / Hütten, Gudrun / Heinze, Klaus (2009): Super M - Westliche Bundes-
länder. Mathematik für alle: Super M 4. Schuljahr. Schülerbuch mit Kartonbeilagen.
1. Auflage. Berlin: Cornelsen Verlag
Welt der Zahl 3
Rinkens, Hans-Dieter / Hönisch, Kurt (2005): Welt der Zahl 3. Baden Württemberg.
Mathematisches Unterrichtswerk für die Grundschule. 3. Schuljahr
1. Auflage. Braunschweig: Schroedel Schulbuchverlag GmbH
Welt der Zahl 3, Arbeitsheft
Rinkens, Prof. Dr. Hans-Dieter / Hönisch, Kurt (2005): Welt der Zahl 3. Arbeitsblätter.
Baden Württemberg. Mathematisches Unterrichtswerk für die Grundschule. 3. Schuljahr.
1. Auflage. Braunschweig: Schroedel Schulbuchverlag GmbH
90
Webseiten
Quellen überprüft am 8. Februar 2010
Bildungspläne Baden Württemberg
http://www.bildung-staerkt-menschen.de/unterstuetzung/schularten/GS/
bildungsstandards/dokumente.html
Einstern / Cornelsen
www.cornelsen.de/einstern
Kopfgeometrie
www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/hansen/fdarithmetik/kopfgeometrie.pdf.
Körpernetze
http://kunst.gymszbad.de/ornamentik/konstruktion/netze/netze.htm
Körpernetze Platonische Körper
www.gymhe.bl.schule-bw.de/schuelerprojekte/MT/werk/Platonische_Koerper.html
Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards
http://www.kmk.org/bildung-schule/qualitaetssicherung-in-schulen/
bildungsstandards/dokumente.html
Mathe im Netzt
www.mathe-im-netz.de
Mathematische Basteleien
www.mathematische-basteleien.de/
91
Quellen zur schriftlichen Arbeit
Wie man eine wissenschaftliche Abschlußarbeit schreibt
Eco, Umberto (2007): Wie man eine wissenschaftliche Abschlußarbeit schreibt.
Doktor-, Diplom- und Magisterarbeit in den Geistes- und Sozialwissenschaften.
12. Auflage. Stuttgart: UTB Uni-Taschenbücher Verlag,
Das Interview
Haller, Michael (2001): Das Interview. Ein Handbuch für Journalisten.
3. überarbeitete Auflage. Konstanz: UVK Medien
Die schriftliche Arbeit
Niederhauser, Jörg (2000): Die schriftliche Arbeit.
3., völlig neu erarbeitete Auflage. Mannheim: Dudenverlag
92
93Hiermit versichere ich, Christina Schmid, geboren am 26. 12. 1985
in Tuttlingen, dass die vorliegende Abschlussarbeit selbstständig
von mir verfasst wurde.
Ich habe keine anderen als die angegebenen Quellen und
Hilfsmittel verwendet.
Ich versichere, dass ich diese Abschlussarbeit weder im In- noch
Ausland bisher als Prüfungsarbeit vorgelegt habe.
Konstanz, den 01.02.2009
Christina Schmid
Eidesstattliche Erklärung
94 CD
• Das Buch Vom Punkt zur Kugel und zurück (PDF)
• Bachelorthesis, Schriftlicher Teil (PDF)
• Interview mit Thomas Laubis (WAV)
• Fragebogen Thomas Laubis (TxT)
• Bildungspläne (PDF)
• Liste der zugelassenen Schulbücher in Baden Württemberg (PDF)
Anhang
95
Geometrie: [griechisch, eigentlich »Feldmesskunst«] die, -/...’tri|en, Teilgebiet der Mathematik, das entstand aus der Beschäftigung mit den Eigenschaften und Sachverhalten des umgebenden physikalischen Raumes, wie der Gestalt von räumlichen
und ebenen Gebilden und Berechnungen von Längen, Flächen und Inhalten von Figuren. Die Geometrie wird nach den unterschiedlichsten Gesichtspunkten eingeteilt und gegliedert. Die bekannteste Einteilung ist die Unterscheidung zwischen der
euklidischen Geometrie und der nichteuklidischen Geometrie. Die euklidische Geometrie ist die zuerst in dem Buch »Die Elemente« von Euklid (rd. 300 v. Chr.) dargestellte »klassische Geometrie«. Aus Axiomen und Postulaten (»Forderungen«) wurden
die Lehrsätze der Geometrie hergeleitet. Inhaltlich war diese Theorie schon recht vollständig; Lücken in der Argumentation, v. a. bezüglich der Anordnung und Stetigkeit, wurden besonders durch M. Pasch, G. Peano und D. Hilbert geschlossen.
Begrifflich unterscheidet sich Euklids Darstellung von heutigen axiomatischen Theorien wesentlich dadurch, dass er auch noch die Grundbegriffe (z. B. Punkt: »etwas, das keine Teile besitzt«) erklärt. Heute verzichtet man meist auf eine derartige
inhaltliche Interpretation. In der Darstellung der ebenen euklidischen Geometrie durch D. Hilbert (1899, etwas abgewandelt) werden als Grundbegriffe Punkte und Geraden und als Grundbeziehungen Inzidenz, Zwischenbeziehung und die Kongruenz
für Strecken verwendet. Die Axiome sind in fünf Gruppen zusammengefasst: Inzidenz-, Anordnungs-, Kongruenz- und Stetigkeitsaxiome sowie das Parallelenaxiom. Letzteres war für die Entwicklung der Geometrie seit Euklid von besonderer
Bedeutung. Es besagt: Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht auf g liegt, so gibt es genau eine Gerade h, die durch P geht und g nicht schneidet. Lange Zeit versuchte man, dieses Axiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten; als beweisbarer
Satz wäre es dann im Axiomensystem überflüssig gewesen. Erst im 19. Jahrhundert entdeckte man, dass dieses Axiom von den übrigen Axiomen unabhängig ist (N. Lobatschewski, J. B. Bolyai, C. F. Gauß). Das bedeutet, dass man neben der euklidischen
Geometrie, in der das Parallelenaxiom gilt, auch eine nichteuklidische Geometrie betrachten kann, in der die Negation des Parallelenaxioms Gültigkeit hat. Als absolute Geometrie bezeichnet man eine Geometrie, in der weder das Parallelenaxiom noch
seine Negation gefordert sind.Nach dem Zugang zur Geometrie als mathematische Theorie unterscheidet man zwischen der synthetischen Geometrie, bei der als Grundlage Axiomensysteme verwendet werden, und der analytischen Geometrie, bei
der die geometrischen Objekte durch Koordinaten bestimmt werden. Als eine Art Fortsetzung der analytischen Geometrie kann man die Differenzialgeometrie und die Integralgeometrie ansehen, die durch Hinzunahme der Differenzial- und
Integralrechnung zur analytischen Behandlung der Geometrie entstanden. Ähnliches gilt für die algebraische Geometrie, in der geometrische Gebilde betrachtet werden, die durch Gleichungen beliebig hohen Grades beschrieben werden. Weiterhin
gliedert man die Geometrie in folgende Gebiete: In der Elementargeometrie differenziert man zwischen Planimetrie (ebene Geometrie) und Stereometrie (räumliche Geometrie). Zu diesen Gebieten gehören Beschreibung und Konstruktion geometrischer
Figuren und Messung von Längen, Winkeln, Flächen und Rauminhalten. Die Berechnung von Längen und Winkeln in geometrischen Figuren geschieht in der Trigonometrie und in der sphärischen Trigonometrie. Ein Bindeglied zwischen der Planimetrie
und der Stereometrie ist die darstellende Geometrie, in der räumliche Gebilde (Körper) in der Ebene (Zeichenebene) gezeichnet werden. In der Abbildungsgeometrie untersucht man Abbildungen der Ebene oder des Raumes auf sich, wobei man
darauf achtet, welche Größen (Längen, Winkel, Streckenverhältnisse, Flächeninhalte u. a.) fest bleiben, also Invarianten der Abbildung sind. Größen, die Invarianten bei Kongruenzabbildungen (Bewegung) sind, untersucht man in der Kongruenzgeometrie.
In der Ähnlichkeitsgeometrie spielen solche Größen eine Rolle, die bei Ähnlichkeitsabbildungen (Ähnlichkeit) fest bleiben. Entsprechend beschäftigt sich die Affingeometrie mit Invarianten bei affinen Abbildungen (Affinität). Die projektive Geometrie
schließlich betrachtet diejenigen Eigenschaften geometrischer Figuren, die bei projektiven Abbildungen invariant sind. – Bei allen genannten Abbildungen gehen Geraden wieder in Geraden über, diese Abbildungen sind also geradentreu. Dies ist bei
den topologischen Abbildungen (Homöomorphismus) nicht mehr der Fall; hier können z. B. Geraden in Parabeln übergehen. Eine topologische Invariante ist z. B. die Eigenschaft einer Kurve, geschlossen zu sein. Jede der genannten Abbildungsarten
bildet aber eine Gruppe bezüglich der Verkettung. Daher kann man auch mithilfe der Gruppentheorie und des Invariantenbegriffs eine Systematik der Geometrie (F. Klein, 1872) entwerfen. Geschichte: Darstellungen geometrischer Figuren und
geometrisierender Ornamente finden sich schon in sehr frühen Kulturen. Sie zeugen von einem Interesse an einfachen geometrischen Beziehungen, wie sie bei Dreieck, Rechteck, Quadrat, den regelmäßigen Vielecken, der Spirale und dem Kreis
vorliegen, und zum Teil von elementargeometrischen Kenntnissen. Auch das Bedürfnis nach einfachen Regeln für Vermessungsaufgaben könnte der Anlass zu näheren Betrachtungen derartiger Figuren gewesen sein. Bereits in der babylonischen und
in der ägyptischen Mathematik waren einfache Regeln für die Berechnung von Längen, Flächen- und Rauminhalten elementargeometrischer Figuren bekannt, die teils exakte, teils Näherungswerte lieferten. Sowohl den Babyloniern als auch den alten
Chinesen war bereits die später als pythagoreischer Lehrsatz formulierte geometrische Gesetzmäßigkeit geläufig; sie wurde aber nur an Zahlenbeispielen verifiziert. Eine abstrakt beweisende, wissenschaftliche Geometrie bauten erst die Griechen auf.
Die älteste erhaltene Darstellung eines axiomatischen Aufbaus der Geometrie ist in Euklids »Die Elemente« enthalten. Die Bedeutung des Parallelenaxioms gab schon in der Antike Anlass zu Beweisversuchen. Sie wurden von den Arabern wieder
aufgenommen und später in Europa weitergeführt; schließlich entwickelte sich aus diesen Bemühungen im 18. und 19. Jahrhundert die nichteuklidische Geometrie. – Über den Bereich der euklidischen, nur mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Geometrie
hinaus führten die drei klassischen, in der Antike aufgeworfenen Probleme der Würfelverdopplung (delisches Problem), der Dreiteilung des Winkels und der Quadratur des Kreises, deren Lösung die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. In der
Antike gaben sie Anlass zum Ersinnen von Näherungskonstruktionen und zur Beschäftigung mit höheren Kurven (u. a. die von Apollonios von Perge systematisch behandelten Kegelschnitte). Im Verlauf der Entwicklung der analytischen Geometrie
konnten diese Probleme zum Teil auf algebraische Fragen zurückgeführt und im 19. Jahrhundert mithilfe der Galois-Theorie endgültig beantwortet werden. Auch die Antwort auf die Frage, welche regelmäßigen ebenen Vielecke sich exakt mit Zirkel
und Lineal konstruieren lassen, wurde im 18. Jahrhundert von C. F. Gauß auf algebraischem Wege gegeben (fermatsche Zahlen). Konstruktionen, die sich allein mit dem Zirkel ausführen lassen, hatte bereits 1672 G. Mohr untersucht. Im 17. Jahrhundert
entwickelten sich aus der Lehre von der Perspektive die Anfänge der projektiven Geometrie (G. Desargues, B. Pascal), die allerdings erst im 19. Jahrhundert intensiv weiterbearbeitet wurde. Aus den im 17. Jahrhundert entstandenen Methoden der
Infinitesimalrechnung ging durch Anwendung auf Kurven und Flächen im Raum die Differenzialgeometrie hervor. F. Klein stellte den gruppentheoretischen Gesichtspunkt in den Vordergrund (Erlanger Programm, 1872), kennzeichnete die einzelnen
Geometrien durch die Invarianten der ihnen zugeordneten Transformationsgruppen und konnte somit die verschiedenen, bis dahin lose nebeneinander stehenden Geometrien in einen geordneten Zusammenhang bringen. Das Problem der Axiomatisierung
der Geometrie griffen am Ende des 19. Jahrhunderts M. Pasch, D. Hilbert, G. Peano u. a. auf. Besonders Hilberts »Grundlagen der Geometrie« (1899,) übten einen maßgebenden, bis heute nachwirkenden Einfluss auf die Weiterentwicklung der
geometrischen Forschung aus. In den letzten Jahrzehnten wurden die Untersuchungen ausgedehnt auf Geometrien, deren algebraische Grundlage abstrakte, nicht kommutative oder nicht assoziative Körper sind. Dabei finden die algebraischen
Eigenschaften ihre Entsprechung in den geometrischen Sätzen.
Christina Schmid, WS 09/10, Bachelorthesis, Schriftlicher Teil
