Embed Size (px)
Citation preview
1
1
Pendahuluan
1. Sistem Koordinat Tegak Lurus
Sebagaimana layaknya titik pada bidang, letak suatu titik pada ruang juga
dapat dinyatakan dalam urutan bilangan-bilangan tertentu yang lebih dikenal
dengan istilah sistem koordinat.
Suatu system koordinat tegak lurus di dalam ruang ditentukan dengan memilih
suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus yang masing-masing saling
tegak lurus dan berpotongan di suatu titik, dan ditentukan pula oleh himpunan
semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilang nyata.
Dengan melukis sebarang dua garis X’OX dan Y’OY yang saling tegak lurus,
maka akan tertentu sebuah bidang XOY. Melalui titik O kemudian dilukis
sebuah garis Z’OZ yang tegak lurus bidang XOY sedemikian sehingga ketiga
garis tersebut masing-masing saling tegak lurus. Ketiga garis X’OX, Y’OY, dan
Z’OZ disebut sebagai sumbu-sumbu koordinat tegak lurus. Selanjutnya
disingkat sebagai sumbu X, Y, dan Z.
Ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang , menentukan tiga buah bidang XOY,
XOZ, dan ZOX atau secara singkat ditulis bidang XY, XZ, dan YZ. Masing-
masing disebut bidang-bidang koordinat tegak lurus.
Q
A X
Y
Z
O
P
R
S
B
C
2
Jika diambil salah satu titik sudut dari balok di atas, misalkan titik P. Titik P
merupakan sebarang titik pada ruang. Melalui P dapat dilukis tiga buah bidang
yang masing-masing sejajar dengan bidang koordinat dan tentu akan tegak
lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Misalkan memotong sumbu-X di A,
sehingga OA = x, memotong sumbu-Y di C sehingga OC=y, dan memotong
sumbu-Z di R, sehingga OR = z. Ketiga bilangan x, y, dan z dengan urutan
(x,y,z) disebut koordinat dari titip P dan dapat dituliskan P(x,y,z) dengan x
disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat.
Oleh karena itu, setiap titik pada ruang dapat diwakili oleh satu dan hanya satu
bilangan-bilangan nyata (x,y,z), begitu juga sebaliknya setiap tripel terurut
bilangan-bilangan nyata (x,y,z) memiliki satu dan hanya satu titik di dalam
ruang. Masing-masing satuan x, y, dan z dapat bernilai positif atau negative
tergantung arah pengukurannya.
Dengan diterapkannya system tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi 8
bagian. Masing-masing bagian disebut Oktan dan diberi nomor menurut
aturan sebagai berikut:
Oktan I berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0
Oktan II berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0
Oktan III berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0
Oktan IV berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0
Oktan V berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0
Oktan VI berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan < 0
Oktan VII berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z < 0
Oktan VIII berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z < 0
2. Jarak Antara Dua Titik di Ruang
Jika diketahui sebarang dua titik pada ruang, misalkan titik K(x1, y1, z1) dan
titik Q(x2, y2, z2) maka jarak antara kedua titik dapat ditentukan.
Perhatikan gambar balok pada ruang berikut:
Perhatikan bahwa:
LM = |x2-x1|
KL = |y2-y1|
K L M N
O
O
P Q R
3
MQ = |z2-z1|
Sehingga, menurut aturan Phytagoras akan diperoleh:
KM2 = LM2 + KL2
= |x2-x1|2 + |y2-y1|
2
KQ2 = KM2 + MQ2
= |x2-x1|2 + |y2-y1|
2 + |z2-z1|2
Dengan demikian, diperoleh:
Jika titik K merupakan titik asal O (0, 0, 0), maka jarak antara titik K dan Q
ditentukan oleh rumus:
Contoh:
1. Tentukan jarak antara dua titik berikut:
a. P(7, 3, 0) dan Q(5, 1, -1)
b. K(0, 0, 0) dan R(4, 3, 0)
Penyelesaian;
a. Jarak antara titik P dan Q, yaitu:
3
144
0131)75(222
PQ
b. Jarak antara titik K dan R, yaitu:
5
0916
0003)04(222
KR
3. Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis atas Perbandingan m : n
Misalkan sebarang dua titik P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2). Jika terdapat titik
R(x, y, z) membagi ruas garis PQ atas dua bagian dengan PR : RQ = m : n,
maka koordinat dari titik R dapat ditentukan sebagai berikut:
KQ = 212
2
12
2
12 zzyyxx
KQ = 2
2
2
2
2
2 zyx
4
Gambarlah PL, QM, dan RN
tegak lurus bidang XOY. LNM
adalah perpotongan bidang
XOY dengan bidang PRQMNL.
Tarik HRK//LNM. ∆HPR
sebangun dengan ∆KQR.
nm
nzmz
zz
zzz
NRMQ
LPNR
KQ
HP
QR
PR
n
m
12
12
1
Dengan cara yang analog, maka akan diperoleh:
nm
nxmxx
12
nm
nymyy
12
Jadi, koordinat titik R, yaitu:
Dengan demikian, koordinat titik tengah (m : n = 1 : 1), yaitu:
Secara umum, kita tulis perbandingan m : n = k, dimana k boleh positif
ataupun negative. Tanda positif atau negative tergantung apakah R terletang
diantara P dan Q atau pada perpanjanganya. Berikut ini beberapa
ketentuannya:
Jika: k > 0, R terletak diantara P dan Q
-1 < k < 0, R terletak di perpanjangan QP
k = -1 , R terletak di tak berhingga
k < -1, R terletak di perpanjangan PQ
dalam hal ini, koordinat R menjadi:
Z
X
Y
L N M
P H
K
Q
m
n R
nm
nzmz
nm
nymy
nm
nxmxR 121212 ,,
2,
2,
2
121212 zzyyxxR
k
zkz
k
yky
k
xkxR
1,
1,
1
121212
5
dimana k ≠ -1
Contoh:
Tentukan koordinat titik R yang membagi ruas garis PQ dengan
perbandingan -4 : 1, dimana P(-4, 5, -6) dan Q(2, -4, 3).
4. Vektor
Vektor didefinisikan sebagai ruas garis lurus yang mempunyai arah.
Notasi: Vektor dituliskan dengan dua huruf kapital serta satu strip atau tanda
panah di atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan
huruf kedua menyatakan titik ujungnya. Vektor juga sering diberi nama
dengan hurup kecil yang dicetak tebal.
Vektor diatas dinotasikan denga:
AB atau a
Panjang vektor
AB dinotasikan dengan AB atau
a
Vektor Nol, jika titik awal dan titik ujungnya berimpit.
Kesamaan vector-vektor. Vektor-vektor disebut sama jika mereka segaris
serta mempunyai panjang dan arah yang sama. Jika sebuah vektor arahnya
berlawanan dengan a tetapi memiliki panjang yang sama maka dinyatakan
dengan –a.
Jumlah dari dua Vektor
A
B
a
a
a
b
ba
a
6
Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah vektor c = a + b yang dapat
ditentukan dengan metode segitiga atau dengan metode jajar genjang.
Metode Segitiga. Tempatkan titik ujung vektor a berimpit dengan titik awal
vektor b lalu hubungkan titik awal vektor a dengan titik ujung vektor b.
Metode Jajar genjang. Tempatkan titik-titik awal vektor a dan b secara
berimpit, lalau membentuk sebuah jajar genjang dengan dua buah sisinya a
serta b. Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajargenjang tersebut yang
bertitik awal pada titik awal a dan b.
Selisih Dua Vektor: a – b sama artinya dengan menjumlahkan a dengan –b.
jadi
a – b = a + (-b)
Jika a, b, dan c vektor serta m, n skalar-skalar, maka beberapa Hukum yang
berlaku pada operasi vektor adalah sebagai berikut:
1) a + b = b + a
2) a + (b + c) = (a + b) + c
3) ma = am
a
b
a
b
bac
a
b
a
b
bac
a
b
a
b
bac
7
4) m(na) = (mn)a
5) (m + n) a = ma + na
6) m (a + b) = ma + mb
1. Vektor dan Sistem Koordinat
Suatu vektor dikatakan vektor satuan jika panjangnya satu. Sekarang coba
perhatikan sistem koordinat Cartesian berikut;
Vektor di atas dapat dituliskan:
i = 1i + 0j + 0k
j = 0i + 1j + 0k
k = 0i + 0j + 1k
Atau:
i = [1, 0, 0]
j = [0, 1, 0]
k = [0, 0. 1]
Pandang sebarang vektor a yang titik awalnya (0, 0, 0) dan titik ujungnya titik
(a1, a2, a3). Maka menurut metode segitiga diperoleh:
a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3].
Bilangan-bilangan a1, a2, a3 disebut komponen-komponen dari vektor a. Vektor
a disebut sebagai vektor posisi
X
Y
Z
i
j
k
8
Panjang (besar) vektor a:
Jika titik pangkalnya tidak di (0, 0, 0). Misalkan titik pangkalnya pada titik P
(p1, p2, p3) dan titik ujungnya pada titik Q (q1, q2, q3), maka vektor
PQ = [(q1-
p1),( q2-p2), (q3 – p3)]
2. Perkalian Titik (Dot Product)
Jika a dan b vektor, adalah sudut antara vektor a dan vektor b dengan
0 , maka hasil kali titik antara vektor a dan vektor b memenuhi:
Vektor a dan vektor b juga memenuhi operasi:
1) a . b = b . a
2) a . (b + c) = ab + ac
3) m (a . b) = (ma).b = a (mb) = (ab) m
4) Jika a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3] maka:
a . b = [a1i + a2j + a3k] . [b1i + b2j + b3k]
= (a1b1) i.i + (a2b1)j.i + (a3b1)k.i + (a1b2)i.j + (a2b2)j.j +
(a3b2)k.j
+ (a1b3)i.k + (a2b3)j.k + (a3b3)k.k
X
Y
Z
a1i
a2j
a3k
[a1, a2, a3]
2
3
2
2
2
1 aaaa
cos. baba
9
= a1b1 + a2b2 + a3b3
=
3
1j
jjba
5) a.a = a1 + a2 + a3 = |a|2
6) a.b = 0 (a 0, b 0) a tegak lurus b
Contoh:
Tentukan a.b dan cosinus sudutnya jika diketahui a = [3, 4, 6] dan b = [-1, 4,
8].
Solusi:
a.b = (3)(-1) + (4)(4) + (6)(8)
= -3 + 16 + 48
= 61
|a| = 222 643
= 36169
= 61
|b| = 222 841
= 64161
= 81
= 9
ba
baCos
.
. =
)9(61
61
3. Pekalian Silang (Cros Product)
Jika a dan b vektor, adalah sudut antara vektor a dan vektor b dengan
0 , maka hasil kali siang antara vektor a dan vektor b memenuhi:
Dimana u adalah vektor satuan yang tegak lurus bidang (a,b).
Vektor a dan vektor b juga memenuhi operasi:
1) a x b = -b x a
ubabxa sin.
10
2) a x (b + c) = a x b + a x c
3) m (a x b) = ma x b = a x mb = (a x b) m
4) i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k, j x k = i, k x i = j
5) Jika a = [a1, a2, a3] = a1i + a2j + a3k
b = [b1, b2, b3] = b1i + b2j + b3k
maka:
a x b =
21
21
13
13
32
32,,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
=
321
321
bbb
aaa
kji
6) Panjang a x b yaitu |a x b|= |a||b| sin menyatakan luas jajar
genjang yang dua buah sisinya a dan b
7) Panjang a x b = 0 dan a 0, b 0 maka a sejajar dengan b
Contoh:
Jika a = [2, 1, 1] dan b = [-3, 6,7] tentukan a x b!
Latihan Soal:
1. Jika ruas garis yang menghubungkan P (3, 1, -1) dan P2(-1, 2, 1) tegak
lurus dengan ruas garis yang menghubungkan titik P3 (-3, 2, 4) dengan titik
P4(x, -2, 3). Tentukan nilai x!
2. Hitunglah luas segitiga ABC dengan A (1,3,2), B(2, -1, 1) dan C (-1, 2, 3)!
4. Arti Suatu Pesamaan
Hubungan di antara koordinat-koodinat x, y, z yang dinyatakan oleh suatu
persamaan f (x, y, z) = 0 merupakan suatu persamaan (bidang lengkung
ataupun bidang rata).
Persamaan yang bebas dari suatu peubah (variabel):
Persamaan f (x, y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan
semua garis pelukisnya sejajar Z
11
Persamaan f (x, z) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan
semua garis pelukisnya sejajar Y
Persamaan f (y, z) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan
semua garis pelukisnya sejajar X
Contoh:
1 Persamaan 5x + 2y + 4z = 0 menyatakan permukaan bidang datar
2 Persamaan x2 + y2 + z2 = 9 menyatakan suatu permukaan yang berbentuk
bola.
5. Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat
Jika pada garis lengkung c: f(x, y, z) = 0 dan g(x, y, z) = 0 salah satu
variabelnya dieliminasi (misalnya variabel z) maka akan diperoleh persamaan:
F (x, y) = 0 merupakan silinder yang garis pelukisnya sejajar sumbu Z serta
melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c ke bidang
XOY. Jadi proyeksinya mempunyai persamaan F (x,y) = 0 ; z = 0. Untuk
proyeksi ke bidang YOZ dan XOZ dapat dijelaskan analog dengan cara di atas.
Contoh:
Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola:
x2 + y2 + z2 = 1………………(1)
x2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 1…..(2)
ke bidang XOY!
Penyelesaian:
Kita tentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan (1)
dan (2), diperoleh: z = 1 – y (3)
Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) atau (2), diperoleh:
x2 + y2 – 2y = 0 merupakan persamaan silinder proyektor.
Jadi persamaan proyeksi: x2 + y2 – 2y = 0
z = 0
12
yang dapat dijabarkan menjadi: 0,1
41
)2
1(
21
22
zyx
merupakan persamaan
ellips dengan pusat (0, ½, 0) dan direktrik 22
1dan
2
1
13
II
Bidang Rata Dan Garis Lurus
2.1 Persamaan Vektoris Bidang Rata
Suatu bidang rata akan tertentu apabila diketahui tiga buah titik (yang tidak
segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut.
Misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V:
P (x1, y1, z1)
Q (x2, y2, z2)
R (x3, y3, z3)
PQ = [x2 – x1, y2-y1, z2-z1]
PR = [x3-x1, y3-y1, z3-z1]
Untuk setiap titik sebarang X (x, y, z) pada bidang rata V berlaku:
PX = PQ + PR ; (-<< ; -<< )
Perhatikan gambar:
Terlihat jelas bahwa: OX = OP + PX
Atau:
[x, y, z] = [x1, y1, z1]+ [x2 – x1, y2-y1, z2-z1] + [x3-x1, y3-y1, z3-z1] ……(1)
Persamaan (1) disebut persamaan Vektoris bidang rata yang melalui tiga
buah titik yaitu: P (x1, y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3). PR dan PQ masing-
masing disebut sebagai vektor arah bidang.
Persamaan bidang rata yang diketahui melalui satu titik P (x1, y1, z1) dan
kedua vektor arahnya: a = [xa, ya, za] dan b = [xb, yb, zb] adalah:
…..(2)
Persamaan (2) dapat dituliskan menjadi tiga persamaan berikut:
x = x1 + xa + xb …………(3)
y = y1 + ya + yb …………(4)
z = z1 + za + zb …………(5)
Persamaan (3), (4), dan (5) disebut persamaan parameter bidang rata
[x, y, z] = [x1, y1, z1] +[xa, ya, za] + [xb, yb, zb]
14
2.2 Persamaan Linier Bidang Rata
Jika dan di eliminasi dari persamaan (3) dan (4) akan diperoleh:
C
xxyyyx
C
yyxxxy
aa
bb
)()(
)()(
11
11
Dengan C = xayb – yaxb = bb
aa
yx
yx………………..(6)
Dimana C 0
Kemudian, jika dan di atas disubstitusikan ke persamaan (5) maka akan
diperoleh:
C (z – z1) – za {yb ( x – x1) – xb (y – y1)}- zb{xa(y – y1) – ya(x – x1)} = 0
C (z – z1) – zayb( x – x1) + zaxb (y – y1)- zbxa(y – y1) + zbya(x – x1) = 0
C (z – z1) – zayb( x – x1) + zbya(x – x1) + zaxb (y – y1)- zbxa(y – y1) = 0
(yazb – zayb)( x – x1) + (zaxb - xazb) (y – y1) + C (z – z1)= 0
(yazb – zayb) x –(yazb – zayb) x1 + (zaxb - xazb)y – (zaxb - xazb) y1 + C z – C z1=
0
(yazb – zayb) x + (zaxb - xazb)y + Cz –(yazb – zayb) x1 – (zaxb - xazb) y1 – C z1=
0 ……(7)
Jika:
yazb – zayb =
bb
aa
zy
zy=A
zaxb - xazb = bb
aa
xz
xz= B
Ax1 + By1 + Cz1 = -D
Maka persamaan (7) dapat dituliskan:
……..(8)
yang merupakan persamaan linier ( Persamaan Umum) bidang rata.
2.3 Vektor Normal dari Bidang Rata V : Ax + By + Cz + D = 0
Perhatikan kembali persamaan (8). Terlihat bahwa Vektor [A, B, C]:
Ax + By + Cz + D = 0
15
[A, B, C] = kyx
yxj
xz
xzi
zy
zy
bb
aa
bb
aa
bb
aa
=
bbb
aaa
zyx
zyx
kji
= a x b
Merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh a dan
b, dalam hal ini bidang rata V: Ax + By + Cz + D = 0
n = [A, B, C] disebut vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut.
Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu
titik (x1, y1, z1) dengan vektor normal [A, B, C] persamaannya berbentuk:
……..(9)
Beberapa hal khusus dalam persamaan bidang rata (V: Ax + By + Cz + D =
0), diantaranya:
a. Jika D = 0 maka bidang rata V melalui titik O (0, 0, 0) dan sebaliknya
b. Jika D 0 maka persamaan bidang V: Ax + By + Cz + D = 0 akan
memotong sumbu X pada titik (A
D, 0, 0), memotong sumbu Y pada titik
(0, B
D ,0), dan memotong sumbu Z pada titik (0, 0,
C
D)
c. Bila A = 0, bidang V sejajar sumbu X
Bila B = 0, bidang V sejajar sumbu Y
Bila C = 0, bidang V sejajar sumbu Z
d. Bila A = B = 0 , bidang V sejajar bidang XOY
Bila A = C = 0, bidang V sejajar bidang XOZ
Bila B = C = 0, bidang V sejajar bidang YOZ
Contoh:
A (x – x1) + B (y – y1) + C (z – z1) = 0
16
Tentukan Persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier
(umum) dari bidang rata yang diketahui melalui titik P (1, 2, 2), Q (2, 4, 5), dan
R(1, 2,6)!
Penyelesaian:
Persamaan vektoris:
[x, y, z]= [1, 2, 2]+ [2-1, 4-2, 5-2]+ [1-1, 2-2, 6-2]
=[1, 2, 2] + [1, 2, 3] + [0, 0, 4]
Persamaan parameternya:
x = 1 +
y = 2 + 2
z = 2 + 3 + 4
Persamaan Linier (umum):
Untuk menentukan persamaan Liniernya, dapat dilakukan dengan mencari
vektor normalnya terlebih dahulu:
[A, B, C]= [1, 2, 3] x [0,0,4]=[(2)(4)-(0)(3), (3)(0)-(4)(1), (1)(0)-(0)(2)] = [8,
-4, 0]
Sehingga persamaan bidang yang melalui titik P (1, 2, 2) dengan vektor
normal [8, -4, 0] yaitu:
8 (x -1) + (-4)(y -2) + 0 (z – 2) = 0
8x – 8 – 4y + 8 = 0
8x – 4y = 0
2x – y = 0
Dengan melakukan manipulasi aljabar dari persamaan (7) maka:
1. Persamaan bidang rata yang melalui titik P(x1, y1, z1) dengan vektor arah a
= [xa, ya, za] dan b = [xb, yb, zb] dapat ditentukan dengan rumus:
0
111
bbb
aaa
zyx
zyx
zzyyxx
………….(10)
17
2. Persamaan bidang rata yang diketahui melalui tiga titik yang berbeda P (x1,
y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3), yaitu:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
………..(11)
3. Empat buah titik P (x1, y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3), dan S(x4, y4, z4)
akan sebidang jika dan hanya jika:
0
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
……….(12)
Contoh:
Tentukan Persamaan Linier bidang rata yang melalui titik-titik: (2, -1, 1), (3, 2,
1), dan (-1, 3, 2).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
0
121321
111223
112
zyx
0
143
031
112
zyx
((3)(1)-(4)(0))(x -2) + ((0)(-3)-(1)(1))(y + 1) + ((1)(4)-(-3)(3))(z -1) = 0
3 (x – 2) - 1 (y + 1) + 13 (z – 1) = 0
3x – 6 - y - 1 + 13z – 13 = 0
3x - y + 13z – 20 = 0
Latihan Soal
1. Tentukan titik-titik potong bidang rata: 3x – 4y + 2z + 8 = 0 tehadap
ketiga sumbu koordinat!
18
2. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang
melalui (1, 2, 1), (3, 2, 1), dan (4, 1, -1)!
3. Tentukan persamaan Linier (umum) bidang rata pada soal nomor 2!
4. Tuliskan persamaan linier bidang rata yang melalui P1 (-1, 2, 3), P2 (3, 1,
1), dan P3 (1, 3, -2)
5. Tuliskan persamaan parameter bidang rata yang melalui A (4, 3, 1), B(-2,
3, 5), dan C (6, 2, 5)!
2.4 Persamaan Normal Bidang Rata
Diketahui sebuah bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0, maka n = [A, B, C]
merupakan vektor normal dari bidang H. Jika , , berturut-turut merupakan
sudut antara n dengan sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan oleh
vektor i, j , dan k)
Dengan menggunakan aturan
cosines, maka diperoleh:
Cos = n
A
Cos = n
B ……..(13)
Cos = n
C
Dengan menggunakan (13), dapat dijabarkan vektor berikut:
[cos, cos , cos ]= n
n
n
CBA
],,[……..(14)
Merupakan vektor satuan yang searah dengan n.
Vektor
n = [cos, cos , cos ] disebut vektor cosinus dari bidang H, atau
disebut juga vektor normal yang panjangnya satu.
Misalkan p adalah jarak antara titik O(0. 0. 0) ke bidang H (tentu p 0),
dan X (x, y, z) sebarang titik pada bidang H maka p adalah proyeksi OX pada
n , sehingga:
p = OX .
n = [x, y, z][ cos, cos , cos ]= x cos + y cos + z cos
19
atau:
………. (15)
Persamaan (15) merupakan persamaan Normal (HESSE) bidang H.
Jika diketahui persamaan umum dari bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0,
maka persamaan ini dapat diubah ke persamaan normal dengan
menggunakan formula berikut:
n (x cos + y cos + z cos )= - D……….(16)
Karena jarak (p) tidak pernah negative, maka:n
D= p positif sehingga:
Jika D negatif, bagi masing-masing ruas persamaan (16) dengan “+ n
”
Jika D positif, bagi masing-masing ruas persamaan (16) dengan “- n ”
Contoh:
1. Tentukan persamaan Normal dari bidang rata H: 6x + 3y – 2z - 6 = 0.
Penyelesaian:
Diketahui D =- 6 (negatif)
Vektor normal dari H: n = [6, 3, -2] maka n = 74936
Jadi persamaan normalnya: 7
6
7
2
7
3
7
6 zyx
2. Tentukan Persamaan Normal (HESSE) dari bidang rata K: x + 4y + 8 z
+ 25 = 0. Berapa satuan jaraknya dari Titik O (0, 0, 0)?
2.5 Sudut Antara Dua Bidang Rata
Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.
Jika diketahui dua bidang rata
H1 : A1x + B1y + C1z + D = 0 dan H2: A2x + B2y + C2z + D = 0, maka sudut
antar kedua bidang tersebut adalah sudut antara vektor n1 = [a1, b1, c1] dan
n2 = [a2, b2, c2] yaitu:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
121
21
.
212121.cos
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
…….(17)
Contoh:
x cos + y cos + z cos = p
20
Tentukan sudut antara 2x + y + z + 4 = 0 dan 3x + 4y + z – 10 = 0
Penyelesaian:
n1 = [2, 1, 1] dan n2 = [3, 4, 1]
sehingga: 156
11
266
146
1169.114
)1)(1()4)(1()3)(2(]1,4,3[.]1,1,2[cos
21
nn
Catatan:
1. Jika dua bidang rata V1 dan V2 sejajar, maka n1 sama dengan n2 atau
berkelipatan. Dengan kata lain [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2] dengan 0
2. Jika dua bidang rata V1 dan V2 saling tegak lurus maka hasil kali titik
dari vektor normalnya sama dengan nol. Dengan kata lain n1.n2 = A1A2
+ B1B2 + C1C2 = 0
Contoh:
1. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik P (1, 2, -1) dan
sejajar dengan bidang rata 2x + 3y + - 10 = 0
Penyelesaian:
2. Tentukan persamaan bidang rata yang melaui O (0, 0, 0) dan P (1, 2, 3)
serta tegak lurus dengan bidang rata 2x + 3y + 4z – 10 = 0
Penyelesaian:
2.6 Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Datar dan Jarak
Antara Dua Bidang yang Sejajar
Misalkan sebuah bidang datar V1 = p. Akan
ditentukan jarak sebuah titik sebarang R(x1, y1, z1) ke bidang V1. Langkah
pertama, lukislah sebuah bidang V2 sejajar dengan bidang V1. Dengan
demikian, vector normal dari bidang V1 dan V2 sama. Disisi lain, jarak V2 ke
titik asal koordinat O (0,0,0) adalah p±d (tergantung letak V1 dan V2 terhadap
titik O.
21
V2 = p±d. Karena titik R(x1, y1, z1) pada V2, maka
cos -p| yang merupakan jarak antara titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1
+ y cos β + z cos = p.
Jika bidang datar V1 dinyatakan dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0,
maka jarak titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1 dirumuskan sebagai berikut:
……..(18)
Contoh:
Hitunglah jarak titik R (1, 2, 4) dengan bidang 2x + 3y + 6z + 3!
Penyelesaian:
Diketahui: x1 = 1, y1 = 2, z1 = 4, A = 2, B = 3, C = 6, dan D = 3, sehingga:
77
35
3694
32462
632
3)4)(6()2)(3()1)(2(
222
d
Untuk mencari jarak dua bidang V1 dan V2 yang sejajar, maka pilih sebarang
satu titik pada V2 kemudian hitung jarak titik tersebut ke bidang V1 dengan
menggunakan rumus yang telah disajikan sebelumnya.
Contoh: Hitunglah jarak antara bidang V1≡ x – 2y + 3z -6 = 0 dan dengan
bidang V2≡ x – 2y + 3z + 12 = 0 !
Penyelesaian:
Ambil sebarang titik pada V2, misalkan titik P(0,0,-4). Dengan demikian,
menghitung jarak bidang V1 dengan V2 analog dengan menghitung jarak
antara bidang V1 dengan titik P, sebagai berikut:
222
111
CBA
DCzByAxd
22
41
4130
41
30
3641
62400
6)2(1
6)4)(3()0)(2()0)(1(
222
d
2.7 Berkas Bidang Datar
Jika diketahui dua buah bidang V1 = A1x + B1y + C1z + D1 dan bidang V2 = A2x
+ B2y + C2z + D2 yang saling berpotongan menurut sebuah garis lurus, maka
setiap titik yang terdapat pada garis tersebut akan memenuhi persamaan λ1V1
+ λ2V2 = 0 (dengan λ1 dan λ2 merupakan sebuah parameter). Persamaan di ats
merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V1 dan V2. Bila
λ1 ≠ 0, dapat dituliskan V1 + 1
2
V2 = 0, atau dapat dituliskan dalam bentuk: V1
+ λV2 = 0 merupakan persamaan berkas bidang melalui garis potomg bidang-
bidang V1 = 0 dan V2 = 0.
Jika kedudukan antara V1 dan V2 sejajar, maka berkas bidang V1 + λV2 = 0
merupakan himpunan bidang-bidang yang sejajar V1 = 0 dan V2 = 0, dan
dapat ditulis sebagai berikut:
Dengan k suatu parameter.
Contoh:
Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0, 0, 0) serta melalui
garis potong bidang-bidang:
V1 = 2x + 3y + 24 = 0
V2 = x – y + 2z = 12
Jawab:
Misalkan bidang yang diminta adalah V dengan persamaan: V1 + λV2 = 0, oleh
karena itu diperoleh:
2x + 3y + 24 + λ (x – y + 2z - 12) = 0
2x + 3y + 24 + λx – λy + 2λz - 12 λ = 0
(2 + λ)x + (3 - λ)y + 2λz + (24-12λ)= 0
Karena V melalui titi (0, 0, 0), maka:
(2 + λ)(0) + (3 - λ) (0) + 2λ(0) + (24-12λ)= 0
-12 λ = -24
A1x + B1y + C1z= k
23
λ = 2
Jadi persamaan bidang yang diminta adalah: V≡ 4x – y + 4z = 0.
2.8 Jaringan Bidang Datar
Misalkan terdapat bidang V1 = 0, V2 = 0, dan V3 = 0 yang tidak saling
berpotongan pada satu garis dan tidak saling sejajar satu sama lainnya.
Himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang di atas (titik
T) memenuhi persamaan:
….(19)
yang selanjutnya disebut jaringan bidang.
Contoh:
Tentukan persamaan bidang datar V yang sejajar bidang U≡ x + y + z = 1
serta melalui titik potong bidang-bidang V1≡ x – 3 = 0, V2≡ y -4 = 0, V3≡ z =
0.
Penyelesaian:
Bidang V yang diminta memenuhi persamaan:
V1 + λV2 + μV3 = 0 (x-3) + λ (y – 4) + μ (z) = 0 x – 3 + λy - 4λ + μz =
0 1x + λy + μz = 4λ + 3.
Normal bidang ini adalah [1, λ, μ]. Karena sejajar bidang U, berarti [1, λ, μ]
kelipatan dari [1,1, 1], sehingga μ = λ = 1.
Jadi persamaan bidang yang diminta yaitu 1x + λy + μy - 4λ – 3= 0 x + y +
z – 7 = 0
2.9 Persamaan Vektoris Garis Lurus
Sebuah garis lurus akan tertentu jika dikatahui dua titik pada garis tersebut.
Misalkan titik P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) terletak pada garis lurus g, maka:
OP = [x1, y1, z1]
V1 + λV2 + μV3 = 0
T
24
OQ = [x2, y2, z2]
PQ = [x2-x1, y2-y1, z2-z1]
Untuk setiap titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku PX = λPQ, dengan -∞ <
λ < ∞. Dengan memperhatikan gambar di bawah, jelas bahwa: OX = OP + PX
sehingga:
……(20)
persamaan (20) merupakan persamaan Vektoris garis lurus melalui dua titik
P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2).
Vektor PQ ataupun vector lain ≠ 0 yang terletak pada garis g disebut vector
arah garis lurus. Jadi, jika garis lurus melalui titik P(x1, y1, z1) dengan vektor
arah [a, b, c] persamaannya: [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [a, b, c]
Contoh:
1. Tentukan persamaan garis lurus yang diketahui melalui titik P(3, 5, -4) dan
Q (-3, 2, 6)!
2. Tuliskan persamaan garis lurus melalui titik (-1, -1, 4) dengan vektor arah
[1, 2, -3]!
Penyelesaian:
1. Persamaan vektoris garis lurus yang melalui titik P(3, 5, -4) dan Q (-3, 2,
6), yaitu:
[x, y, z] = [3, 5, -4] + λ [-6, -3, 10].
2. Persamaan vektoris garis lurus yang melalui titik (-1, -1, 4) dengan vektor
arah [1, 2, -3], yaitu:
[x, y, z] = [-1, -1, 4] + λ [1, 2, -3].
Persamaan di atas dapat juga dituliskan dalam bentuk:
….(21)
[x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [x2-x1, y2-y1, z2-z1]
x = x1 + λa y = y1 + λb z = z1 + λc
X
Y
Z P
Q
x
25
yang disebut persamaan parameter garis lurus.
Jika λ pada persamaan (21), dieleminasi maka akan diperoleh persamaan
berikut:
0,0,0,, 111
cdanbajikac
zz
b
yy
a
xx
atau:
….(22)
merupakan persamaan garis yang diketahui melalui titik P (x1, y1, z1)
dengan vektor arah [a, b, c].
Dengan mensubstitusi a = x2 – x1, b = y2 – y1, c = z2 – z1 diperoleh
persamaan:
…..(23)
Adalah persamaan garis yang diketahui melalui P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2,
z2).
Contoh:
Tentukan persamaan garis yang diketahui melalui titik (3, 2, -2) dan (4, -2,
-1)!
Penyelesaian:
a. Persamaan Vektoris: [x, y, z] = [3, 2, -2] + λ[1, -4, 1]
b. Persamaan parameter: x = 3 + λ, y = 2 -4 λ, z = -2 – λ
c. Persamaan dalam bentuk lain: 1
2
4
2
1
3
zyx
2.10 Ciri Khusus dari Garis Lurus dengan Vektor Arah [a,b,c]
Berikut ini adalah beberapa sifat khusus dari persamaan garis:
c
zz
b
yy
a
xx 111
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
26
1. Garis lurus melalui titik asal (0, 0, 0) akan berbentuk [x, y, z]= λ[a, b, c]
atau c
z
b
y
a
x
2. Jika a = 0, vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang sejajar bidang
YOZ
Jika b = 0, garis lurus sejajar bidang XOZ
Jika c = 0, garis lurus sejajar bidang XOY
Dalam hal ini, jika salah satu bilangan arah sama dengan nol (misalkan a =
0) persamaan garis lurus menjadi [x, y, z] = [x1, y1, z1] + λ [0, b, c] x =
x1, y = y1 + λa, z = z1 + λc. dengan mengeliminasi λ, diperoleh dua
persamaan:
c
zz
b
yyxx 11
1 ,
yang secara bersama-sama menyatakan persamaan
satu garis lurus.
3. Jika a = b = 0, vektor [0, 0, c] sejajar dengan arah sumbu Z yaitu [0, 0, 1].
Dengan kata lain garis lurus sejajar sumbu Z
Jika a = c = 0, maka garis lurus sejajar sumbu Y
Jika b = c = 0, maka garis lurus sejajar sumbu X
Contoh:
1. Diketahui garis lurus dengan persamaan [x, y, z] = [1, 2, 3] + λ[4, -6, 0].
Selidiki apakah garis tersebut sejajar bidang XOY, XOZ, atau YOZ kemudian
tuliskan persamaan yang lainnya!
Penyelesaian
Karena c = 0, berate garis lurus sejajar dengan bidang XOY. Sehingga
dapat ditulis dalam persamaan: ,2,6
3
4
1
z
yx
2. Selidiki apakah garis lurus [x, y, z] = [2, 3, -2] + λ[0, 4, 0] sejajar denga
sumbu x, y, atau z serta tuliskan persamaanya!
Penyelesaian:
Karena a = c = 0, berarti garis yang diketahui sejajar dengan sumbu Y.
Oleh karena itu dapat dituliskan dalam bentuk persamaan: x = 2, z = -2
yang berlaku untuk setiap y.
27
2.11 Garis Lurus sebagai Perpotongan Dua Bidang Datar
Jika dua buah bidang datar berpotongan, maka perpotongannya akan
merupakan sebuah garis lurus. Oleh karena itu, persamaan garis lurus dapat
dinyatakan dalam bentuk perpotonganantara dua bidang datar. Misalkan garis
g merupakan perpotongan bidang
V1≡ A1x + B1y + C1Z + D1 = 0
V2≡ A2x + B2y + C2Z + D2 = 0
Maka persamaan garis lurus g dapat dituliskan dalam bentuk:
V1≡ A1x + B1y + C1Z + D1 = 0
V2≡ A2x + B2y + C2Z + D2 = 0
Contoh:
Persamaan: x – 2y + z = 7
3x – y + 5z = 6
merupakan persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-
bidang x – 2y + z = 7 dan 3x – y + 5z = 6 .
Setiap garis lurus memiliki vector arah. Oleh karena itu, garis yang merupakan
perpotongan dua buah bidang datar juga memiliki vektor arah. Untuk
menentukan vector arah dari garis lurus perpotongan dua buah bidang datar,
perhatikan gambar berikut:
V1≡ A1x + B1y + C1Z + D1 = 0
V2≡ A2x + B2y + C2Z + D2 = 0
n1 = [A1, B1, C1] dan n2 = [A2, B2, C2]. Jika vektor a merupakan hasil kali silang
vektor n1 dan n2, maka diperoleh:
g
g
V1 = 0
g
n1 n2
V2 = 0
28
a = [a, b, c]= n1 x n2 = [A1, B1, C1]x[A2, B2, C2]
=
222
111
CBA
CBA
kji
=
22
11
22
11
22
11,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
Untuk mengubah bentuk V1 = 0 = V2 kedalam bentuk c
zz
b
yy
a
xx 111
diperlukan sebuah titik koordinat (x1, y1, z1) yaitu titik sebarang yang terletak
pada perpotongan kedua bidang (garis lurus). Untuk itu, ambil sebarang titik
potong dengan salah satu bidang berkoordinat, misalkan sejajar bidang XOY,
sehingga z = 0. Dengan demikian, diperoleh:
A1x + B1y + D1 = 0
A2x + B2y + D2 = 0
Melalui manipulasi aljabar, akan diperoleh:
22
11
22
11
BA
BA
BD
BD
x
,
22
11
22
11
BA
BA
DA
DA
y
Contoh:
Tentukan persamaan garis lurus yang merupakan titik potong antara bidang x
– 2y + z = 1 dan 3x – y + 5z = 8!
Penyelesaian:
Vektor arah garis: [a, b, c]=
22
11
22
11
22
11,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
=
13
21,
35
11,
51
12= 5,2,9
Salah satu titik pada garis:
Ambil z = 0 35
15
13
21
18
21
x , 15
5
13
21
83
11
y
Jadi persamaan garis yang diminta mempunyai vector arah [-9, -2, 5] dan
melalui titik (3, 1, 0), yaitu:
[x, y, z]= [3, 1, 0] + λ[-9, -2, 5]
29
2.12 Kedudukan Dua Garis Lurus
Kedudukan dua garis pada ruang berdimensi tiga mungkin sejajar, berimpit,
berpotongan ataupun bersilangan. Setiap kedudukan dua garis tersebut
memiliki syarat tertentu, diantaranya;
a. g1 sejajar dengan g2 bila arah kedua garis berkelipatan. Misalkan arah g1, n1
= [a1, b1, c1] dan arah g2 = [a2, b2, c2], maka g1 //g2 jika [a1, b1, c1]= μ[a2,
b2, c2] dengan μ≠0. Atau jika 2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
disamping syarat di atas, kedua garis berimpit jika: [x2-x1, y2-y1, z2-z1]=
μ[a1, b1, c1]
Contoh:
Diketahui dua buah garis g1: [x, y, z]= [2, 4, 3] + λ [5, -1, -2] dan g2: [x,
y, z]= [1, 3, -4] + λ [10, -2, -4]. Apakah kedua garis tersebut saling sejajar
atau berimpit?
Penyelesaian:
n1 = [5, -1, -2] dan n2 = [10, -2, -4] [10, -2, -4] = 2 [5, -1, -2]. Oleh
karena itu, kedua garis yang diketahui sejajar. Tetapi kedua garis tidak
saling berimpit karena:
[1-2, 3-4, -4-3]= [-1, -1, -7]≠μ[5, -1, -2]
b. Jika garis g1 dan g2 tidak sejajar, berarti kedua garis berpotongan pada
satu titik atau bersilangan. Jika berpotongan, misalkan titik potongnya (x0,
y0, z0) berarti tendapat λ1 sedemikian sehingga [x0, y0, z0]= [x1, y1, z1] +
λ1[a1, b1, c1] dan terdapat λ2 sedemikian sehingga [x0, y0, z0]= [x2, y2, z2] -
λ2[a2, b2, c2]. Dengan demikian, berarti:
[x1, y1, z1] + λ1[a1, b1, c1]= [x2, y2, z2] - λ2[a2, b2, c2]
λ1[a1, b1, c1]+ λ2[a2, b2, c2]= [x2, y2, z2] - [x1, y1, z1]
λ1a1+ λ2a2= x2 - x1
λ1b1+ λ2b2= y2 - y1
λ1c1+ λ2c2=z2 - z1
Berdasarkan teori persamaan linier, nilai λ1 dan λ2 ada jika determinan:
30
0
1221
1221
1221
zzcc
yybb
xxaa
yang sekaligus merupakan syarat dua garis saling berpotongan pada satu
titik tertentu. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1
dan g2 tersebut adalah:
0
121
121
121
zzcc
yybb
xxaa
Jika persamaan diatas tidak berlaku, berarti kedua garis saling bersilangan.
Contoh:
Tunjukkan bahwa garis g1: 7
)1(
4
)3(
1
)4(
zyxberpotongan dengan
garis g2:
8
10
3
1
2
1
zyx. Tentukan titik potongnya serta tuliskan
persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut.
Penyelesaian:
g1: [x, y, z] = [4, -3, -1] + λ1 [1, -4, 7]
g2: [x, y, z] = [1, -1, -10] + λ2 [2, -3, 8]
arah kedua garis yaitu [1, -4, 7] dan [2, -3, 8] tidak berkelipatan, sehingga
kedua garis tidak sejajar ataupun berimpit. Oleh karena itu perlu diselidiki
determinannya, sebagai berikut 0
987
234
321
11087
3134
4121
karena determinanya 0, maka kedua garis berpotongan pda satu titik. Titik
potong bisa ditentukan dari persamaan:
λ1+ 2λ2=-3
-4λ1 - 3λ2= 2
7λ1+ 8λ2=-9
Dengan mengambil dua persamaan, diperoleh λ1=1 dan λ2= -2. Dengan
mensubstitusi nilai λ1 atau λ2 ke persamaan awal, diperoleh titik potongnya
yaitu:
31
[x0, y0, z0] = [4, -3, -1] + 1 [1, -4, 7] = [5, -7, 6]. Jadi titik potongnya (5, -7,
6). Selanjutnya akan ditentukan persamaan bidang yang memuat kedua
garis lurus, sebagai berikut:
06756110
187
334
421
zyx
z
y
x
Jika dua garis saling berpontongan, maka akan membentuk sudut. Sudut
antara dua garis lurus analog dengan sudut antara vektor-vektorarah [a1, b1,
c1] dan [a2, b2, c2], yaitu:
2
2
2
21
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
222111
222111
,,,,
,,,,cos
cbacba
ccbbaa
cbacba
cbacba
Dan kedua garis akan saling tegak lurus jika 0cos , dengan kata lain:
0,,,, 212121222111 ccbbaacbacba
Contoh:
Tentukan nilai a jika kedua garis lurus berikut saling tegak lurus:
g1: [x, y, z] = [1, -2, 1] + λ1 [2, -4, a]
g2: [x, y, z] = [3, -1, -8] + λ2 [2, 3, 8]
Penyelesaian:
Vektor arah kedua garis: [a1, b1, c1] = [2, -4, a]dan [a2, b2, c2]= [2, 3, 8].
Karena kedua garis saling tegak lurus, berarti:
1
88
088
08124
0)8)(()3)(4()2)(2(
0
0,,.,,
212121
222111
a
a
a
a
a
ccbbaa
cbacba
Jadi, a = 1.
2.13 Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Datar
Jika diketaui sebuah garis lurus g=0 dan sebuah bidang datar V=0, maka
terdapat tiga kemungkinan kedudukan antara garis g dan bidang V yaitu
sejajar, tegak lurus, atau garis g seluruhnya terletak pada bidang V (berimpit).
32
Seperti pada pembahasan sebelumnya, garis g memiliki vektor arah a = [a, b,
c] dan bidang V memiliki vektor normal n =[A, B, C]. Ketiga kemungkinan
kedudukan tersebut dapat diselidiki dari hubungan antara vektor arah a dan
vektor normal n, sebagai berikut:
1. Garis lurus g sejajar dengan bidang datar V jika dan hanya jika hasil kali
titik kedua vektor bernilai nol (a.n = 0). Dengan kata lain:
2. Garis lurus g tegak lurus dengan bidang V jika dan hanya jika vektor arah
garis sama atau berkelipatan dengan vektor normal bidang.
3. Garis lurus g terletak seluruhnya pada bidang datar V jika dan hanya jika
hasil kali titik vektor arah garis g dengan vektor normal bidang V benilai nol
dan untuk sebarang titik P pada g juga terletak pada V.
Contoh:
Selidiki mana pasangan garis lurus dan bidang datar di bawah ini yang sejajar,
saling tegak lurus, dan berimpit:
a. g: 1
)6(
2
)3(
3
)2(
zyx dan V≡ -2x + 4y – 14z -7 = 0
b. g: 3
)1(
5
)3(
2
)2(
zyx dan V≡ 7x - 2y – 8z = 0
c. g: 4
)4(
3
)1(
2
)5(
zyx dan V≡ -2x - 3y –4z = -6
Penyelesaian:
a. Diketahui a = [3, -2, -1] dan n = [-2, 4, -14]. Vektor arah tidak
berkelipatan dengan dengan vektor normal, berarti garis dan bidang tidak
aA + bB + cC = 0
C
c
B
b
A
a
g1
g2
g1
g2
33
saling tegak lurus. Akan diselidiki apakah hasil kali titik kedua vektor
bernilai nol.
[3, -2, -1]. [-2, 4, -14] = (3)(-2) + (-2)(4) + (-1)(-14) = - 6 -8 + 14 = 0.
Selanjutnya diselidiki apakan sebarang titik P(2, -3, 6) pada g terletak juga
pada bidang V:
V≡ -2x + 4y – 14z -7 = 0 -2(2)+ 4(-3)-14(6)-7 = -4 -12 – 84 - 7 = -107
≠ 0.
Karena a.n = 0, tetapi untuk sebarang titik P pada g tidak terletak pada V,
berarti garis g sejajar bidang V .
b. Diketahui a = [-2, 5, -3] dan n = [7, -2, -8]. Vektor arah tidak berkelipatan
dengan dengan vektor normal, jadi garis dan bidang tidak saling tegak
lurus. Akan diselidiki apakah hasil kali titik kedua vektor bernilai nol.
[-2, 5, -3]. [7, -2, -8] = (-2)(7) + (5)(-2) + (-3)(-8) = - 14 -10 + 24 = 0.
Selanjutnya diselidiki apakah sebarang titik P(2, 3, 1) pada garis g juga
terletak pada bidang V:
V≡ 7x - 2y – 8z = 0 7(2)- 2(3)-8(1) = 14 -6 – 8 = 0.
Karena a.n = 0 dan untuk sebarang titik P(2, 3, 1) pada g terletak juga
pada V, berarti garis g terletak sluruhnya pada bidang V (berimpit)
c. Diketahui a = [2, 3, 4] dan n = [-2, -3, -4]. Karena vektor arah garis lurus
g berkelipatan dengan vektor normal bidang V, yaitu [2, 3, 4] = -1[2, 3, 4]
berarti garis g saling tegak lurus dengan bidang V.
2.14 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lainnya
Jika g1: V1 = 0 = V2 dan g2: U1 = 0 = U2 maka persamaan umum garis lurus g
yang memotong g1 dan g2 adalah:
……………..(24)
Contoh:
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, -1, 1) dan memotong
garis-garis lurus g1: 2x + y -4 = 0 = y + 2z dan g2: x + 3z = 4, 2x + 5z = 8.
V1 + λV2 = 0 = U1 + μU2
34
Penyelesaian:
Garis lurus 2x + y – 4 + λ(y + 2z) = 0 = x +3z – 4 + μ(2x + 5z – 8) …(*)
selalu memotong garis g1 dan g2 untuk setiap nilai λ dan μ. Garis yang diminta
diketahui melalui titik (2, -1, 1), sehingga diperoleh -1 + λ = 0 λ = 1 dan 1
+ μ = 0 μ = -1. Dengan mensubstitusi nilai λ = 1 dan μ = -1 ke persamaan
(*), diperoleh:
x + y + z – 2 = 0 = x + 2z – 4 merupakan persamaan garis yang diminta.
2.15 Jarak Antara Dua Garis Lurus
1. Jika g1 dan g2 sejajar, langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk
menghitung jarak antara g1 dan g2 sebagai berikut:
a. Pilih sebarang titik P(x0, y0, z0) pada g1
b. Buat bidang datar V yang melalui titik P(x0, y0, z0) dan tegak lurus g1
dan tentu V akan tegak lurus dengan g2.
c. Tentukan titik Q (x1, y1, z1) yang merupakan titik tembus g2 pada
bidang V
d. Hitung panjang PQ yang merupakan jarak antara g1 dan g2.
2. Bila g1 dan g2 bersilangan, untuk menghitung jarak antara kedua garis
lakukan langkah-langkah berikut:
a. Buat bidang datar V yang melalui g2 dan sejajar g1
b. Pilih sebarang titik P(x0, y0, z0) pada g1
c. Hitung jarak titik P(x0, y0, z0) ke bidang V, merupakan jarak antara g1
dan g2.
g1
P
Q
g2
g1
g2
35
Contoh:
Diketahui garis-garis lurus berikut:
g1 : [x, y, z] = [1, 2, 3] + λ [-1, 5, -2]
g2 : [x, y, z] = [-8, 0, 2] + λ [1, -5, 2]
g3 : [x, y, z] = [-3, 4, 7] + λ [0, 2, 4]
Hitunglah:
a. Jarak antara g1 dan g2
b. Jarak antara g1 dan g3
c. Jarak antara g2 dan g3
Penyelesaian:
a. Vektor arah g1 berkelipatan dengan vektor arah g2, yaitu [-1, 5, -2] = -1[-1, 5,
-2] berarti kedua garis sejajar. Persamaan bidang yang melalui P (1, 2, 3) pada
g1 dan tegak lurus g1:
V≡ -1 (x-1) + 5 (y-2) – 2 (z-3) = 0 -x + 5y – 2z -3 = 0 …..(**)
Untuk mencari titik Q(x1, y1, z1) yaitu titik tembus g2 terhadap bidang V,
nyatakan g2 dalam persamaan parameter kemudian substitusikan ke
persamaan (**), sebagai berikut:
x = λ – 8, y = -5λ, z = 2λ + 2
-x + 5y – 2z -3 = 0 - (λ-8) + 5(-5 λ) – 2(2λ+2) – 3 = 0 -30 λ -7 = 0 λ
= 30
7
Sehingga Q (30
233,
30
35,
30
74)
PQ = 450.7830
1
30
9074
30
6035
30
30233222
b. Gunakan sebagai latihan
c. Gunakan sebagai latihan
36
III
B o l a
3.1 Tempat Kedudukan di Dalam Ruang
Tempat Kedudukan (TK) adaah himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-
syarat yang ditentukan. TK mungkin hampa (), satu titik, berupa kurva
(garis lengkung/lurus), berupa permukaan (surface/bidang), ataupun ruang.
Dalam menghadapi masalah TK, terdapat beberapa cara-cara penyelesaian
sebagai berikut:
A. Menjalankan titik (x0, y0, z0)
Mengambil titik (x0, y0, z0) sebarang pada TK, lalu mencari hubungan-
hubungan yag diperoleh. Variabel-variabel x, y, z dieliminasi sehingga
didapat hubungan-hubungan antara x0, y0, z0 saja. Dengan menghapus
indeks nol dari hubungan tersebut (dikatakan: menjalankan titik (x0, y0,
z0)) diperoleh TK yang ditanyakan.
Contoh 1:
Tentukan TK titik-titik yang berjarak 3 dari bidang XOZ dan jumlah
kuadrat jaraknya ke titik-titik (2, 1, 0) dan (-2, -1, 0) adalah tetap = 40!
Penyelesaian:
Ambil sembarang titik P(x0, y0, z0) pada TK.
Berjarak 3 dari bidang XOZ (y = 0), berarti:
y0 = 3 dan y0 = -3 ……………………(1)
kuadrat jarak P(x0, y0, z0) ke (2, 1, 0)adalah:(x0-2)2 + (y0-1)2 + (z0-0)2
kuadrat jarak P(x0, y0, z0) ke (-2, -1, 0) adalah: (x0+2)2 + (y0+1)2 + (z0-
0)2
Sehingga jumlah kuadrat jarak titik P(x0, y0, z0) ke (2, 1, 0)dan (-2, -1,
0), yaitu:
(x0-2)2 + (y0-1)2 + (z0-0)2 + (x0+2)2 + (y0+1)2 + (z0-0)2 = 40
(x02 -4x0 + 4)+ (y0
2 -2y0 + 1)+ (z02)+ (x0
2 +4x0 + 4)+ (y02 +2y0 +
1)+ (z02)= 40
x02 -4x0 + 4+ y0
2 -2y0 + 1+ z02+ x0
2 +4x0 + 4+ y02 +2y0 + 1+ z0
2= 40
x02 + 4+ y0
2 + 1+ z02+ x0
2 + 4+ y02 + 1+ z0
2= 40
2x02 + 2y0
2 + 2z02+ 10 = 40
2(x02 +y0
2 + z02) = 30
x02 + y0
2 + z0
2 = 15 …………………………(2)
Dengan menjalankan titik P dan mengambil kuadrat dari persamaan (1)
diperoleh TK sebagai berikut:
y2 = 9
37
x2 + y2
+ z2 = 15
Dengan notasi himpunan, TK dapat dituliskan:
TK = {{(x, y, z)|y2=9}{(x, y, z)| x2 + y2
+ z2 = 15}
yang merupakan sepasang lingkaran di Ruang.
B. Pelenyapan parameter-parameter
Adanya/mnculnya parameter. Dengan mengeliminasi parameter-
parameter tersebut diperoleh TK yang ditanyakan. Kalau terdapat (n +
1) hubungan dengan n buah parameter maka TK merupakan permkaan.
Kalau (n + 2) hubungan dengan n buah parameter maka TK merupakan
kurva.
Contoh 2:
Tentukan TK titik-titik dengan vektor posisi: a = [x, y, z]= [t2, t, 1]
dimana t suatu parameter!
Penyelesaian:
[x, y, z]= [t2, t, 1] x = t2, y = t, dan z = 1
Dengan melenyapkan/eliminasi parameter t, diperoleh:
z = 1
x=y2
C. Pengambilan titik sembarang (x0, y0, z0) pada TK disamping parameter
yang ada/muncul. Pelenyapan parameter dan menjalankan titik (x0, y0,
z0) tersebut menghasilkan TK yang ditanyakan.
Contoh 3:
Sebuah garis lurus (l) digerakan sejajar bidang y = 0 dan selalu
memotong kurva-kurva:
xy = 4 y2= 8z
C1: C2: Tentukan TK-nya!
z = 0 x = 0
Penyelesaian:
Ambil P(x0, y0, z0) pada TK tersebut. Jika [a, b, c] merupakan arah garis
l yang diputar, maka diperoleh persamaan parameter dari garis, yaitu:
x = x0 + a
y = y0 + b ……………(3)
z = z0 + c
Dengan suatu parameter. Karena garis l memotong c1 dan c2 , maka:
(x0-az0/c)(y0-bz0/c) = 4 ……….(4)
(y0-bx0/a)2= 8(z0-cx0/a) ………..(5)
Karena l sejajar y = 0, berarti b = 0.
Dengan mengeliminasi a, b, dan c dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
y02(4-x0y0) = 32z0
38
Dan menjalankan titik (x0, y0, z0) akan mendapatkan persamaan:
y2 (4-xy) = 32z yang merupakan persamaan tempat kedudukan yang
diharapkan.
3.2 Persamaan Bola
Permukaan bola merupakan TK titik-titik ujung vektor di dalam ruang yang
titik awalnya tertentu dan panjang vektor tersebut konstan. Titik awal yang
tertentu tersebut disebt titik pusat dan panjang vektor yang konstan disebut
sebagai jari-jari bola. Dengan kata lain Permukaan bola adalah tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak sama dengan suatu titik tertentu.
Perhatikan gambar berikut:
Misalkan bola dengan pusat M (a, b, c) dan jari-jari = r.
Ambil titik P (x0, y0, z0) pada bola, maka:
OP = [x0, y0, z0]- [0, 0, 0]= [x0-0, y0-0, z0-0]= [x0, y0, z0]
OM = [a, b, c] - [0, 0, 0]= [a-0, b-0, c-0]= [a, b, c]
Panjang MP = r
Perhatikan vektor OP, OM dan MP. Diperoleh hubungan:
OP – OM = MP
[x0, y0, z0]- [a, b, c] = MP
[x0-a, y0-b, z0-c]= MP
rczbyax o 2
0
22
0 )()()(
(x0-a)2+(y0-b)2+(z0-c)2=r2
Dengan menjalankan titik (x0, y0, z0) diperoleh:
………(6)
Yang merupakan persamaan Bola dengan pusat (a, b, c) dan jari-jari r.
Dengan melakukan operasi aljabar pada persamaan (6) diperoleh:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
x2 – 2ax + a2 + y2 -2by + b2 + z2 – 2cz + c2 = r2
x2 + y2 + z2– 2ax -2by – 2cz + a2+ b2 + c2 - r2= 0
x2 + y2 + z2– 2ax -2by – 2cz + (a2+ b2 + c2 - r2)= 0
x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0
O
M
P
r
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2
39
……….(7)
Merupakan persamaan umum Bola, dengan
pusat
CBA
2
1,
2
1,
2
1 dan jari-jari = DCBA 222
4
1
4
1
4
1
Latihan soal dan Penyelesaiannya:
1. Tentukan persamaan umum bola dengan pusat M(2, -4, 1) dan jari-jari
6
Penyelesaian:
Persamaan umum bola dengan pusat M(2, -4, 1) dan jari-jari 6, yaitu:
(x-2)2+(y+4)2+(z-1)2=62
x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 + z2 – 2z + 1 = 36
x2 + y2 + z2– 4x + 8y – 2z + 4+ 16 + 1 - 36= 0
x2 + y2 + z2- 4x + 8y - 2z - 15 = 0
2. Tentukan pusat dan jari-jari dari Bola yang persamaannya diketahui
sebagai berikut:
a. x2 + y2 + z2 + 6x + 4y + 2z – 50 = 0
b. x2 + y2 + z2 - 8x - 12y + 2z + 28 = 0
Penyelesaian:
c. Pusat dan jari-jari bola dengan persamaan: x2 + y2 + z2 + 6x + 4y +
2z – 50 = 0, yaitu:
Pusat :
CBA
2
1,
2
1,
2
1=
)2(
2
1),4(
2
1),6(
2
1= 1,2,3
Jari-jari: DCBA 222
4
1
4
1
4
1= )50(2
4
14
4
16
4
1 222 =
50149 = 8
d. Pusat dan jari-jari bola dengan persamaan: x2 + y2 + z2 - 8x - 12y +
2z + 28 = 0
Pusat :
CBA
2
1,
2
1,
2
1=
)2(
2
1),4(
2
1),6(
2
1= 1,2,3
Jari-jari: 2824
1)12(
4
1)8(
4
1 222 = 52813616
3. Tentukan Persamaan umum dari bola yang diketahui melalui 4 titik
berikut A (2, -1, 8), B(-3, -1, 3), C(2, 4, 3), dan D(2, 2, -1)!
Penyelesaian:
Misalkan persamaan umum bola yang akan ditentukan adalah:
S x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0 ………(1)
x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0
40
S 0 melalui A(2, -1, 8), maka:
x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0
22 + (-1)2 + 82+ A(2) + B(-1) + C(8) + D = 0
4 + 1 + 64 + 2A - B + 8C + D = 0
69 + 2A - B + 8C + D = 0
2A - B + 8C + D = -69 ………(2)
S 0 melalui B(-3, -1, 3), maka:
x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0
(-3)2 + (-1)2 + (3)2+ A(-3) + B(-1) + C(3) + D = 0
9 + 1 + 9 - 3A - B + 3C + D = 0
19 + 2A - B + 8C + D = 0
-3A - B + 3C + D = -19 ………(3)
S 0 melalui C(2, 4, 3), maka:
x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0
(2)2 + (4)2 + (3)2+ A(2) + B(4) + C(3) + D = 0
4 + 16 + 9 + 2A + 4B + 3C + D = 0
29 + 2A + 4B + 3C + D = 0
2A + 4B + 3C + D = -29 ………(4)
S 0 melalui D(2, 2, -1), maka:
x2 + y2 + z2+ Ax + By + Cz + D = 0
(2)2 + (2)2 + (-1)2+ A(2) + B(2) + C(-1) + D = 0
4 + 4 + 1 + 2A + 2B - C + D = 0
9 + 2A + 2B - C + D = 0
2A + 2B - C + D = -9 ………(5)
Eliminasi B dan D dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
5A + 5C = -50 A + C = -10 ………(6)
Eliminasi A dan D dari persamaan (1) dan (3), diperoleh:
-5B + 5C = -40 -B + C = -8 ………(7)
Eliminasi A dan D dari persamaan (1) dan (4), diperoleh:
-5B + 9C = -60 -B + 3C = -20 ………(8)
Eliminasi B dari persamaan (7) dan (8), diperoleh C= -6
Substitusi C = -6 ke persamaan (7) atau (8), diperoleh: B = 2
Substitusi C = -6 ke persamaan (6), diperoleh A = -4
Substitusi A = -4, B = 2, dan C = -6 ke persamaan (2), (3), (4), atau
(5), diperoleh D = -11
41
Substitusi A = -4, B = 2, C = -6, dan D = -11 ke persamaan (1), maka
persamaan umum bola yang diharapkan adalah:
S x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z - 11 = 0
3.3 Bola dan Bidang Rata
Diketahui sebuah bola S 0 dengan pusat M(a,b,c) dan jari-jari r serta sebuah
bidang rata V=0. Jika d menyatakan jarak antara pusat bola M(a,b,c) dengan
bidang rata V = 0, maka terdapat tiga kemungkinan hubungan antara bola dan
bidang rata, yatu:
1. V memotong bola
V memotong bola jika d < r, perpotongannya berupa sebuah lingkaran
2. V bersingungan dengan bola
V bersinggungan dengan bola jika d = r. Perpotongannya berupa sebuah
titik (bidang menyinggung bola)
3. V tidak memotong bola
V tidak memotong bola jika d > r.
Contoh:
Bagaimanakah kedudukan bola S x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 4z – 16 = 0
dan bidang x + 2y + 2z = 0?
Jika berpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran perpotongannya!
Penyelesaian:
S x2 + y2 + z2 + 2x + 4y + 4z – 16 = 0
42
Pusat Bola M (-1, -2, -2)
Jari-jari bola = 5
Bidang V = x + 2y + 2z = 0 …..(1)
39
441
441
0)2(2)2(2)1(1
d
Karena d < r yaitu 3 < 5 maka bidang V = 0 memotong Bola S 0.
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa perpotongan antara bola dan
bidang berbentuk lingkaran dengan pusat N (x, y, z) dan jari-jari NO.
Perhatikan segitiga MNO. Dengan menggunakan teorema phytagoras,
diperoleh:
4
9252
222
222
NO
NO
drNO
MNMONO
Ruas garis MN tegak lurus dengan bidang V sehingga arah garis MN =
vektor normal bidang V, yaitu: MN = [1,2, 2]. Dengan demikian, persamaan
vektoris dan persamaan parameter garis MN adalah sebagai berikut:
(x, y, z) = (-1, -2, -2) + [1, 2, 2] atau x = -1 + , y = -2 + 2, z = -2 +
2…..(*)
Titik N(x,y,z) terletak pada ruas garis MN dan bidang V= x+ 2y + 2z = 0,
sehingga:
x+ 2y + 2z = 0
(-1 + ) + 2 (-2 + 2)+ 2(-2 + 2) = 0
-1 + -4 + 4 - 4 + 4 = 0
9 = 9
= 1
Substitusi = 1 ke persamaan (*), diperoleh x = 0, y = 0, dan z = 0.
Jadi pusat lingkaran: N (0,0,0).
Persamaan Bidang singgung di N (x1, y1, z1) pada Bola.
Diketahui sebuah bola S x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
dengan pusat M( CBA2
1,
2
1,
2
1 ) titik singgung N(x1, y1, z1), maka
persamaan bidang singgung dapat diturunkan sebagai berikut:
M
N O
43
Perhatikan gambar di atas:
MN =
CzByAx
2
1,
2
1,
2
1111
MN adalah garis yang tegak lurus dengan bidang V=0, sehingga arah
vektor MN merupakan vektor normal dari bidang V=0, yaitu:
CzByAxn
2
1,
2
1,
2
1111
Bidang V=0 melalui titik N(x1, y1, z1) dengan vektor arah n, sehingga
persamaannya adalah:
)1..(02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
1
111
2
1
2
1
2
1111111
111
2
1
2
1
2
1111
1
2
111
2
111
2
11
111111
CzByxzyxCzByAxCzyBAxzzyyxx
CzByAxzyxCzyBAxzzyyxx
zAAzzzzyAAyyyyxAAxxxx
zzCzyyByxxAx
Perhatikan bahwa titik N(x1, y1, z1) selain terletak pada bidang V=0 juga
terletak pada bola S0, sehingga:
)2....(
0
111
2
1
2
1
2
1
111
2
1
2
1
2
1
DCzByxzyx
DCzByxzyx
Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh persamaan (3)
yang merupakan persamaan bidang yang diharapkan:
)3..(0)(2
1)(
2
1)(
2
1111111 DzzCyyBxxAzzyyxx
Contoh 1:
Tentukan persamaan bidang singgung pada bola S x2 + y2 + z2 - 4x + 2y -
6z- 11 = 0 di titik N (2,4,3)
Penyelesaian:
Diketahui bola dengan persamaan:
S x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z- 11 = 0 dan titik N (2,4,3) pada bola,
sehingga:
A = -4, B = 2, C= -6, D= -11
M
N
44
x1 = 2, y1 = 4, z1 = 3
Persamaan bidang yang diharapkan memenuhi persamaan berikut:
..(*)0)(2
1)(
2
1)(
2
1111111 DzzCyyBxxAzzyyxx
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai A = -4, B = 2, C= -6, D=-11,
x1=2, y1=4, z1=3
ke persamaan (*), diperoleh persamaan bidang singgung sebagai berikut:
0205
01193442342
011)3(3)4()2(2342
011)3)(6(2
1)4()2(
2
1)2)(4(
2
1342
y
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
