Bài giảng chương trình Bồi dưỡng giáo viên hè 2015 tại Bình Dương

1

Chủ đề: BÀI TOÁN HÌNH PHẲNG OXY

TỪ THI ĐẠI HỌC ĐẾN THI OLYMPIC

(Lê Phúc Lữ - TP Hồ Chí Minh)

I) Các tính chất quan trọng thường gặp.

Tính chất 1. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp ,O trọng tâm G và trực tâm H . Gọi

AD là đường kính của ( )O và M là trung điểm của BC . Khi đó:

Tứ giác BHCD là hình bình hành.

G cũng là trọng tâm tam giác AHD .

, ,O G H thẳng hàng và 2

3HG HO .

2AH OM .

Chứng minh.

Vì AD là đường kính nên CD AC . Do

BH AC

CD AC nên ta có CH BD .

Tương tự thì BH CD .

Tứ giác BHCD là hình bình hành. Hai đoạn

,BC HD cắt nhau tại trung điểm của chúng, tức là

M là trung điểm chung của , .BC HD

AM là đường trung tuyến tam giác AHD . Do

G là trọng tâm ABC nên 2

3AG AM hay G

cũng là trọng tâm của AHD .

Trung tuyến HO của AHD đi qua G nên , ,O G H thẳng hàng và 2

.3

GH HO

Do OM là đường trung bình của AHD nên 2 .AH OM

Tính chất 2. Cho tam giác ABC có trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp là ( ; )O R . Gọi , ,M N P

là trung điểm các cạnh , ,BC CA AB ; , ,D E F là chân 3 đường cao ứng với đỉnh , ,A B C và , ,R S T

là trung điểm các cạnh , ,HA HB HC . Khi đó:

G

M

D

HO

A

BC

2

9 điểm trên cùng thuộc một đường tròn.

Tâm của đường tròn đó là trung điểm .OH

Bán kính của đường tròn đó bằng 2

R.

Chứng minh.

Theo tính chất 1 thì 2AH OM . Do R là trung

điểm AH nên HR OM và chú ý rằng tam giác

OBC cân tại O nên OM BC . Mà AH BC

nên AH OM hay tứ giác RHMO là hình bình

hành.

Do đó OH cắt RM tại trung điểm K của mỗi đoạn.

Tam giác DMR vuông tại D nên

KD KM KR .

Mặt khác, do RK là đường trung bình AHO nên

1

2 2

RRK AO . Từ đây suy ra 3 điểm , ,D M R

nội tiếp trong đường tròn tâm K , bán kính 2

R.

Tương tự với các bộ ba , ,E N S và , ,F P T cũng thế.

Vậy cả 9 điểm đã cho cùng thuộc đường tròn ,2

RK .

Tính chất 3. Cho tam giác ABC trực tâm H và có

đường tròn ngoại tiếp ( )O ,AH cắt ( )O ở A . Khi đó,

,H A đối xứng nhau qua .BC

Điểm O đối xứng với O qua BC là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác .HBC

Góc 180BHC A.

Chứng minh.

Theo tính chất góc nội tiếp thì 1 1B A (cùng

chắn cung CA ). Do H là trực tâm tam giác ABC

nên BH AC và AD BC . Suy ra

1 290A C B C hay

1 2A B .

D

R

K

M

HO

A

B C

2

1

1

O'

H

A'

D

O

A

B C

3

Từ đó suy ra 1 2B B hay BD là phân giác của HBA .

Hơn nữa BD HA nên BHA cân tại B và ,H A đối xứng nhau qua BC .

Do đó, ,BHC BA C đối xứng nhau qua BC nên tâm ngoại tiếp của chúng là ,O O cũng

đối xứng nhau qua .BC

Từ đây suy ra 180BHC BA C A.

Tính chất 4. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp ( )I và đường tròn ngoại tiếp ( ).O Đường

thẳng AI cắt ( )O tại K . Khi đó:

KB KC KI hay K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .BIC

Gọi J là điểm đối xứng với I qua K thì tứ giác BICJ nội tiếp trong đường tròn tâm K

hay K là trung điểm .IJ

J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và 902

ABIC .

Chứng minh.

Do AI là phân giác nên các dây ,KB KC cùng chắn

các cung có số đo bằng nhau, suy ra KB KC .

Ta sẽ chứng minh KBI cân ở .K Thật vậy,

Ta có 1 1 2

A BBIK A B .

2 3 2 2 2

A BKBI B B B A .

Suy ra BIK KBI hay tam giác KBI cân tại K .

Do đó, KB KC KI hay K là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác .BIC

Vì J đối xứng với I qua K nên IJ là đường kính

của đường tròn ( )K . Suy ra 90IBJ ICJ hay

,BJ CJ là các phân giác ngoài của góc ,B C của tam giác

.ABC Do đó, J là tâm bàng tiếp góc A của .ABC

Ta có 1 1

180 180 180 180 902 2 2

ABIC BJC BKC A .

Tính chất 5. Cho tam giác ABC có các đường cao , ,AD BE CF đồng quy tại trực tâm H . Gọi O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó:

3

2

2

1

1

J

K

IO

A

B C

4

DA là phân giác trong và BC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác .DEF

H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .DEF

Đường thẳng nối trung điểm của ,AH BC vuông góc với .EF

OA vuông góc với EF .

Chứng minh.

Tứ giác BDHF nội tiếp trong đường tròn đường kính BH , suy ra

90 .HDF HBF A

Tương tự, ta cũng có 90HDE A nên HDE HDF hay DH là phân giác trong của

tam giác DEF .

Ngoài ra, BC vuông góc với DH nên nó là phân

giác ngoài của tam giác .DEF

,EH FH cũng là các phân giác trong của

DEF nên H chính là tâm nội tiếp .DEF

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm ,BC AH thì do

các tam giác vuông ,BCE BCF nên

.2

BCME MF Ta có:

2

AHNE NF

Suy ra MN là trung trực EF hay .MN EF

Ngoài ra, 1

2AN AH OM nên tứ giác

AOMN là hình bình hành, suy ra AO MN ,

mà ta đã có MN EF nên .AO EF

Tính chất 6. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn ( )O . Gọi ,AD AE lần lượt là các

phân giác trong và ngoài của tam giác. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , .DE BC Khi đó,

,AD AE lần lượt đi qua trung điểm cung nhỏ và cung lớn BC của ( ).O

Tứ giác AMNO nội tiếp.

AM là tiếp tuyến của đường tròn ( ).O

Chứng minh.

N

M

F

E

H

D

O

A

B C

5

Gọi ,I J lần lượt là giao điểm

của ,AD AE với ( )O thì dễ thấy

rằng IB IC nên I là trung

điểm cung nhỏ BC . Ngoài ra,

90IAJ DEA nên J

là trung điểm cung lớn .BC

Tam giác ADE vuông tại A ,

có M là trung điểm cạnh huyền

nên

180 2

180 2( )

180 (2 )

180 ( )

180

DMA ADM

C DAC

C A

AOB BON

AON

Suy ra, tứ giác AONM nội tiếp.

Do đó, 180 90OAM ONM nên MA OA hay MA là tiếp tuyến của đường

tròn ( ).O

II) Phân tích một số bài toán.

Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có trực tâm (3;0)H và trung

điểm của BC là (6;1).I Đường thẳng AH có phương trình là 2 3 0.x y Gọi ,D E lần lượt là chân

đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết phương

trình đường thẳng DE là 2 0x và điểm D có tung độ dương.

Phân tích. Đây là một bài toán khá quen thuộc.

Bài này có 4 dữ kiện là:

(1) (3;0)

(2) : 2 3 0

(3) (6;1)

(4) : 2 0

H

AH x y

I

DE x

và thực tế thì không cần nhiều như thế.

Nếu bỏ 1 trong 4 dữ kiện trên và thử giải bài toán nhận được, ta có thể xử lý 2 tình huống sau:

Bỏ (1), giữ lại (2), (3), (4).

Bỏ (2), giữ lại (1), (3), (4).

Cả 2 bài toán nhận được đều khá thú vị và đều đòi hỏi sử dụng nhiều tính chất hình học để xử lý.

N

I

J

M DE

O

A

B C

6

Bài toán 2. (Đề chính thức ĐH 2015)

Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu của A lên BC . Điểm D đối xứng với B qua

H . Gọi K là hình chiếu của C lên AD . Cho ( 5; 5)H , (9; 3)K và trung điểm cạnh AC thuộc

đường thẳng ( ) : 10 0d x y . Tìm tọa độ điểm .A

Bài toán 3. (Đề dự bị ĐH 2015)

Trong mặt phẳng ,Oxy cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm .I Gọi H là hình

chiếu vuông góc của A trên BC , K là hình chiếu vuông góc của B trên .AI Giả sử (2;5), (1;2)A I ,

điểm B thuộc đường thẳng 3 5 0x y , đường thẳng HK có phương trình 2 0.x y Tìm tọa

độ các điểm , .B C

Bài toán 4.

Cho hình bình hành ABCD , trực tâm tam giác BCD là (4;0)H , tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABD là3

2;2

I

. Điểm B thuộc đường thẳng 3 4 0x y và BC của (5;0)M . Tìm tọa độ

các đỉnh của hình bình hành, biết hoành độ điểm B dương.

III) Một số bài toán chọn lọc.

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC nhọn có đỉnh (7; 4)C , M là trung

điểm BC và D là hình chiếu vuông góc của M lên cạnh AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABD cắt đoạn thẳng BC tại điểm (4; 3).E Biết rằng điểm A cách gốc tọa độ một khoảng là

5 và nằm về phía bên phải của trục tung. Tìm tọa độ của điểm A .

Lời giải.

Do tứ giác ABED nội tiếp nên ABC EDC nên . .CA CB

CACD CB CECE CD

.

7

Gọi H là hình chiếu của A trên BC thì tương tự, ta cũng có AHC MDC nên

. .CH CA

CACD CH CMCD CM

.

Do đó . .CBCE CH CM , mà 2

BCCM nên

2

CHCE hay E là trung điểm CH .

Từ (7; 4)C và (4; 3)E , ta tìm được (1; 2)H . Do (3; 1)CE nên phương trình đường cao

AH là: 3( 1) 1( 2) 0 3 5 0x y x y .

Đặt tọa độ điểm A là ( ; )A a b với 0b thì 2 2

3 5 0

25

a b

a b

.

Giải hệ này, ta có (3;4).A Vậy tọa độ điểm A cần tìm là (3;4).A

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình vuông ABCD có ,M N lần lượt là các điểm nằm trên

đường chéo AC sao cho 3 4 .AC AM AN Đường tròn ngoại tiếp của tam giác BMN có

phương trình là 2 2 15 13 86 0x y x y . Biết rằng trung trực của CD đi qua gốc tọa độ O

và điểm A có hoành độ nguyên. Viết phương trình của đường thẳng AB .

Lời giải.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN , viết lại phương trình của ( )I là

2 215 13 25

2 2 2x y

nên

15 13;

2 2I

và bán kính 5

2R .

8

Đặt cạnh của hình vuông ABCD là a thì ta tính được 2AC a .

Từ đó suy ra 2 3

,3 4

CM CA CN CA nên 2 2 21.

2CM CN CA a CB .

Xét hai tam giác CBM và CNB có BCM NCB và CB CM

CN CB nên chúng đồng dạng. Suy

ra ( . . )CBM CNB c g c nên CBM CNB . Từ đây suy ra BC tiếp xúc với đường tròn

ngoại tiếp tam giác BMN .

Do đó, IB BC , mà AB BC nên I nằm trên .AB

Gọi P là giao điểm khác B của ( )I với AB thì ta có 2

21. .

12 6

aAP AB AN AM AC .

Suy ra 6

aAP hay

5

6

aBP và

5

12

aIB . Chú ý rằng IB cũng chính là bán kính của đường

tròn ( )I nên 5 5

6 212 2

aa .

Gọi T là trung điểm AB thì theo giả thiết, OT AB hay OT IT . Ngoài ra, ta cũng có

5

2 12 12

a a aIT TB IB nên

2

2IT .

Đặt ( , )T a b thì ta có hệ phương trình

2 215 13 1

2 2 2

15 130

2 2

a b

a a b b

.

Giải hệ này ra và chọn bộ nghiệm sao cho A nguyên, ta được 7a b .

Do đó (7;7)T và phương trình đường thẳng AB chính là 14x y .

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có 4

3;3

H

và 7

6;3

I

lần lượt là trực tâm và tâm đường

tròn ngoại tiếp. Gọi ,D E lần lượt là hình chiếu của ,A B lên cạnh đối diện và 3 10x y là

trung trực của DE . Biết rằng đỉnh ,A D cùng có hoành độ là 3 và tung độ của A dương. Tìm

tọa độ các đỉnh của tam giác .ABC

9

Lời giải.

Gọi F là hình chiếu của C lên AB . Các tứ giác ,CDHE BFHD nội tiếp nên

ADE HCE HBF ADF hay DA là phân giác của EDF .

Gọi là góc tạo bởi trung trực DE và đường cao AD thì

180 290 90 90

2 2

BACEDFADE BAC

.

Gọi M là trung điểm BC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì

2 2 .cos 2 .cosAH OM R BAC R . Do đó 2cosAH

AO .

Theo giả thiết thì vector pháp tuyến của DE là 1 (1; 3)n và vector pháp tuyến của AD là

2 (1;0)n nên 2 2 2 2

1 1 3 0 1cos

101 0 1 ( 3)

.

Đặt (3; )A a thì

2 2

2 22 4 2 8(3 3) (3 6)

3 5 310AH AI a a

.

Giải hệ này ra và chọn 0a , ta được 2a hay (3;2).A Gọi ( , )N b c là trung điểm của đoạn

thẳng AB thì ta có

10

3 10

7( 3)( 6) ( 2) 090

3

c dND NE

c c d dANO

Giải hệ này, ta được 7

3;3

N

hoặc (7; 1)N . Tuy nhiên, điểm thứ nhất không thỏa vì nó

nằm trên đường cao AD . Ta có (7; 1)N và từ đây suy ra (11; 4).B

Phương trình đường thẳng BC (qua B và vuông góc với AD ) là 4.y Hình chiếu của I

lên BC có tọa độ là (6; 4).M Do đó, tọa độ của C là (1; 4).C

Vậy ta có (3;2), (11; 4), (1; 4).A B C

Bài 4. Cho hình thang ABCD có hai đáy ,AB CD với AB CD . Biết AC AD và

9 5; , (7;0)

2 2M N

lần lượt là trung điểm của ,BD BC . Gọi ,I J lần lượt là giao điểm của các

đường thẳng ,AC BD và ,AD BC . Phương trình đường thẳng IJ là 3 3 0x y . Biết chiều

cao của hình thang nhỏ hơn 3, tính diện tích hình thang .ABCD

Lời giải.

Gọi P là trung điểm của AB . Ta có ,PM PN lần lượt là đường trung bình trong các tam giác

,ABC ABD nên ,PM AC PN AD .

Do ,AC AD vuông góc với nhau nên ,PN PM cũng vuông góc với nhau.

Theo định lý Thales, ta biết rằng IJ đi qua trung điểm P của AB .

11

Do đó, gọi ( , )P a b thì

3 3 0

9 57 090

2 2

a bP IJ

a a b bMPN

.

Giải ra ta được 15 3

;2 2

P

và 21 2

;5 5

P

. Chú ý rằng khoảng cách từ P đến MN bằng 1

2

chiều cao của hình thang, tức là bé hơn 3

2. Phương trình MN là 7x y nên kiểm tra

khoảng cách của 2 điểm P , ta thấy 15 3

;2 2

P

thỏa mãn và chiều cao hình thang là 2 2 .

Suy ra phương trình của AB là 9.x y

Gọi Q là trung điểm CD thì ta cũng có Q nằm trên IJ .

Khoảng cách từ Q đến MN cũng bằng khoảng cách từ P đến MN nên nếu đặt ( , )Q c d thì ta

có hệ

2 2

3 3 0

72

1 1

c d

c d

. Giải hệ này ta được 9 1

;2 2

Q

(loại đi điểm trùng với P ).

Ta cũng có 1 5

2 2QA CD MN . Đặt ( , )A m n thì 2 2

7

9 1 25

2 2 2

m n

m n

. Giải hệ này,

ta được 2 điểm A là (5;4)A hoặc (8;1).A Do 2 2

AB CDAP MN nên ta chọn được (8;1)A .

Từ đây suy ra độ dài 2 2AB AP .

Vậy diện tích hình thang cần tính là 1 1( ) 2 5 2 2 2 12

2 2S AB CD h .

Bài 5. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp là (0; 1)I , tâm đường tròn bàng tiếp là

(5;4)J và điểm 11 2

;25 25

H

là hình chiếu của A lên cạnh BC . Tính độ dài đoạn BC của

tam giác ABC .

Lời giải.

12

Gọi D là giao điểm của BC và đường phân giác góc .A Gọi 1 2,r r lần lượt là bán kính đường

tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A thì theo định lý Thales, dễ thấy rằng

1

2

AI r DIAI DJ DI AJ

AJ r DJ .

Gọi M là trung điểm AD và đặt MA MD MH a thì . ( )( )

. ( )( )

MI MJ a DI AJ a

MI MJ AI a DJ a

.

Cộng từng vế hai đẳng thức, ta có

2 2 22 2 ( ) 2 2MI MJ a a DI AJ DJ AI DI AJ AI DJ a MH .

Xét hai tam giác ,MHI MJH có M là góc chung và MH MI

MJ MH nên chúng đồng dạng. Suy

ra MHI MJH , mà MHD MDH nên DHI DHJ hay HD là phân giác của góc IHJ . Do

đó:

26 6 26 1:

5 5 6

DI HI

DJ HJ nên

1

6DI DJ nên tìm được

5 2;

7 7D

.

Phương trình BC là 3 4 1x y . Chú ý rằng 90IBJ ICJ nên ,B C là giao điểm của

đường tròn đường kính IJ và đường thẳng chứa BC ở trên, tọa độ của chúng thỏa mãn

2 2

3 4 11, 1

5 3 253, 2

2 2 2

x yx y

x yx y

.

Vậy ta tính được 2 2(3 1) ( 2 1) 5.BC

13

IV) Các bài tập tự giải.

Bài 1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp ( ).I Đường thẳng

AI có phương trình 2 11x y và đường này cắt đường thẳng BC ở D . Đường trung trực

của AD cắt đường cao đỉnh A của tam giác ABC tại điểm 3

4;4

H

. Biết rằng đường thẳng

AC có phương trình là 7x y . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác .ABC

Đáp số: (4;3), (2; 3), (10; 3).A B C

Bài 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là (6;1)I .

Điểm D đối xứng với A qua đường thẳng BC và trực tâm tam giác DBC là (4; 2)H . Gọi

M là trung điểm của BC và HM cắt DI ở 16 4

;3 3

G

. Tính diện tích tam giác .ABC

Đáp số: 15S .

Bài 3.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có 5

; 32

M

là trung điểm .BC Các điểm

15; 8

2D

và 1

2;2

E

lần lượt thuộc tia đối của tia BA và tia AC thỏa .BD CE Biết

rằng phân giác góc A của tam giác ABC đi qua điểm (1; 5)F . Tìm tọa độ của .A

Đáp số: (0;2).A

Bài 4.

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đường tròn ngoại tiếp ( )I và điểm

11;1

3G

là trọng tâm ACD . Tiếp tuyến của ( )I ở ,A B cắt nhau ở 31

5; .3

J

Gọi M là

trung điểm AB và 5;7K là chân đường phân giác của góc MCJ với K thuộc MJ . Viết

phương trình của hai đường chéo ,AC BD của hình chữ nhật biết I có tung độ nguyên.

Đáp số: ( ) :3 4 7,( ) :3 4 23.BD x y AC x y