Bai tap Dai so 2011

Bộ môn Toán - ĐH Mỏ Địa chất Bài tập Đại số

Chương 1. SỐ PHỨC VÀ ĐA THỨC

1.1. SỐ PHỨC

1. Đưa về dạng lượng giác các số phức a)1 ; i ;−2;−3 i ;

b)1+i ;−1+i ;1−i ;−1−i ;

c)√3+i ; √3−i ;−√3+i ;−√3−i .

2. Tìm phần thực, phần ảo, căn bậc 3, bậc 4 của các số phức

a) z1=(2i+2)3/(i √3−1)5

b)z2=( i+√3)4/ (3 i−3)7.

3. Tìm căn bậc 2 của các số phức a)3−4 ib)−3−4 i

c)−8+6id)−15+8 i.4. Biểu diễn hình học các số phức thỏa mãn

a)|z|<2

b)|z−1|≤1

c)|z−1−i|<1

d)(|z+i|−2 ) ( z−z ) i>0

e)ℜ ( z2−z )=2−ℑ(z)

f)ℜ(1/ z )¿1

5. Giải phương trình nghiệm phứca)z2−(1+i √3 ) z−1+i √3=0

b) (1−i ) z2+√3 ( i+1 ) z+1+i=0

c) z2−6 z+9=0

d) ( z2+z+1 )2+1=0

e) |z|−z=1+2i

f)z4−16 i=0

g) z3−i+√3=0

h) z5=1/ zi) 2 z z+(2+i ) z− (2−i ) z=2

k) ( z+i )4(1−i)+1−√3 i=0

l) z3+3 z2+3 z+2=0

m) z3−(2+i ) z2+(2+2 i ) z−2i=0

n) z4−¿.

6. Cho z1=1+i , z2=1−2i. Tính z=z12−(i z1/z2 )2.


7. Cho z1, z2là các nghiệm của phương trình z2+ z+1=0, tính z1n+z2

n.8. Chứng minh rằng nếu z+(1/ z )=2cosα thì zn+(1 /z )n=2cosnα.9. Chứng minh rằng

( 1+itanα1−itanα )

n

=1+itan(nα)1−itan(nα )

10. Biểu diễna) cos5 x , sin5 x theo cosx , sinx

b) tan5 x theo tanx.1.2. ĐA THỨC

1. Chia đa thức

a) 2 x4−3 x3+4 x2−5 x+6 cho x2−3 x+1

b)x4+ix3−i x2+x+1 cho x2−ix+1.

2. Tìm p ,q để x3+px+q chia hết cho x2+ x−1.

3. Tìm dư của phép chia x100−2x51+1 cho x2−1.

4. Tìm dư của phép chia x100 cho ( x−1 )2.

5. Tìm dư trong phép chia

P ( x )=(x−2)2n−( x−1 )n−1 cho Q ( x )=x2−3 x+2.

6. Tìm n để

a) x2n+ xn+1 chia hết cho x2+ x+1

b) ¿ chia hết cho x2+ x+1.

7. Tìm a ,b sao cho x4+4 x3+ax2+bx+1 là bình phương của một đa thức.

8. Tìm a ,b , c sao cho x3+a x2+bx+c chia hết cho x−2và khi chia cho x2−1 thì có dư là 2 x.

9. Tìm a ,b để axn+1+bxn+1 chia hết cho (x−1)2.

10*. Cho đa thức P(x ) hệ số nguyên thỏa mãn P ¿) chia hết cho 5 và P ¿) chia hết cho 2, chứng minh rằng P(7) chia hết cho 10.

11*. Cho đa thức P(x ) hệ số nguyên, chứng minh rằng không tồn tại a ,b , csao cho


P(a)=b , P(b)=c , P(c )=a.

12. Tìm khai triển Abel của đa thức P ( x )=x3+3x+1 theo các điểm

x1=1 , x2=−1 , x3=2.

13. Viết đa thức P ( x )=x3−x2−x+2 thành tổng các lũy thừa của x−1 (Gợi ý: khai triển Taylor P(x )tại x=1¿.

14. Tìm Parabol đi qua các điểm A (−1,1 ) ,B (1 ,3 ) ,C (2 ,7 ) theo 2 cách (dựa vào khai triển Abel, và dựa vào công thức nội suy Lagrange).

15. Tìm đa thức bậc ba P(x ) thỏa mãn

P(1)=0 , P(−1)=−4 , P(2)=5 , P(−2)=−15.

16. Giả sử x1 , x2 , x3 , x4là các nghiệm của P ( x )=x4+3 x3−2011 x+2012.

Hãy tìm x12+x2

2+x32+ x4

2.

17. Giả sử x1 , x2 , x3 là các nghiệm của P ( x )=x3+2x2−x+3. Hãy tính giá trị của x1

3+x23+x3

3.

18. Phân tích thành nhân tử các đa thức

a) P ( x )=x4+1.

b) Q ( x )=x6+ x3+1

19. Chứng minh rằng nếu a là nghiệm bội k của P(x ), thì a là nghiệm bội k−1 của P ’(x ).

20*. Giả sử đa thức P(x ) có n nghiệm thực (n>0), chứng minh rằng

a) P ’(x ) có ít nhất n−1 nghiệm thực.

b) P ( x )+2011.P ' (x) có ít nhất n−1 nghiệm thực.

Chương 2. MA TRẬN – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2.1. CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN


1. Cho các ma trận

A=(1 0 23 2 −1) , B=(1 1

2 −13 0 ) ,C=(2 1

1 3).

a) Tính (−3 A)+BT, B−2. AT.

b) Cho f ( x )=x3+2 x2−3 x+2, tính f (C).

c) Tính A .B và B . A.

2. Thực hiện các phép tính

a) (1 11 1)

6

b) (3 11 3)

5

c) (1 10 1)

n

b) (cosφ −sinφsinφ cosφ )

n

3. Cho A=(3 11 3). Tìm B=A4+A3+A2+A+ I (Gợi ý: áp dụng bài 2.b)

4. Cho ¿(a bc d) ,B=(1 1

4 1) . Hãy tính

a¿ f (x )=|a−x bc d−x|b¿ f ( A ) c¿ B100

(Gợi ý: áp dụng phần b).

5. Chứng minh rằng tích các ma trận chéo là ma trận chéo, tích các ma trận tam giác trên là ma trận tam giác trên, tích các ma trận tam giác dưới là ma trận tam giác dưới.

2.2. ĐỊNH THỨC MA TRẬN

1. Tính các định thức sau

a¿|1132

2120

3211

4001|b¿|311

1

1311

1131

1113|c¿|123

4

257

10

37

1015

4101418

| 2. Không tính định thức, hãy chứng minh rằng

a¿|α2 (α+1 )2 (α+2 )2

β2 (β+1 )2 (β+2 )2

γ2 ( γ+1 )2 ( γ+2 )2|=−4|1 α α2

1 β β2

1 γ γ2|


b¿|y1+z1 z1+x1 x1+ y1

y2+z2 z2+x2 x2+ y2

y3+z3 z3+x3 x3+ y3|=2|x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3|

c ¿|a1+b1 x a1−b1 x c1

a2+b2 x a2−b2 x c2

a3+b3 x a3−b3 x c3|=2 x|c1 b1 a1

c2 b2 a2

c3 b3 a3|

3. Cho A=(1 0 10 1 0

01) và B=(

1011

0121). Đặt C=A .B và D=B . A.

Hãy tính det (C2 ) và det (2D ).

4. Cho ma trận A=(abba

0bab

b000

aaba). Hãy tính det (3 A2 )

5. Cho ma trận A=(1+x

111

11−x

11

11

1+x1

111

1−x).

Tìm x để det (2 A )=64.

6. Cho ma trận M=(0abc

a0cb

bc0a

cba0). Tính det (3M ).

7. Cho ma trận A4x 4 thỏa mãn |A|=4. Tính |A−1| và |4 A|.

8. Cho ma trận A3 x3 thỏa mãn |A|=3. Tính |AT A|,|A3| và |3 A|.

9. Tìm x thỏa mãn


a¿|1432

1543

1x+11105

1874|=2b¿|143

2

1x+9

86

1985

1654|=4.

10*. Tính các định thức cấp cao

a) |1 1 1 … 11 2 1 … 11 1 3 … 1⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮1 1 1 … n

| b) | 1 2−1 0

3 … n3 … n

−1 −2⋮ ⋮

−1 −2

0 … n⋮ ⋱ ⋮

−3 … 0|

c) |3 20 … 01 32 … 00 13 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 00 … 3| d)|0 −1 0 … 0

1 0 −1 … 00 1 0 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 … 0

|. e)|x+1

1⋮1

2x+2⋮2

……⋱…

nn⋮

x+n| f)|

0 1 1 … 1 11 0 2 … 2 21 2 0 … 2 2⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮1 2 2 … 0 21 2 2 … 2 0

|11*. Chứng minh định thức Vandermonde

∆n=|1 x1

1 x2

… x1n−1

… x2n−1

⋮ ⋮1 xn

⋱ ⋮… xn

n−1|=∏i> j

(xi−x j).

(Gợi ý: theo thứ tự lấy Cn−x1Cn−1;Cn−1−x1Cn;…;C2−x1C1 rồi khai triển theo hàng 1 đưa về ∆n−1).

12. Áp dụng định thức Vandermonde


a) Tính ∆=|1111

2345

49

1625

82764125

| b) Tìm x để | 1 1 1 1−1 x2 4 1−i x3 8 −1i x 2 −1

|=0.

13. Xác định i , j , k để các tích chập sau có dấu tương ứng trong ngoặc

a¿a1ia32 a25 a53 a4 j (+) b¿a13a31a2 ia5 ja45¿

c ¿a1 ia31a22a55 a4 ja64 ¿ d ¿a1 ja35a2 ia44a51a6 k¿.

14. Chứng minh rằng

a¿|1 12 1

2 56 0

3 24 1

2 51 0

| chia hết cho 15. b¿|1 15 3

5 59 0

2 43 5

8 63 2

| chia hết cho 11.

2.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1. Các ma trận sau có khả đảo không, nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp phần bù đại số

a) A=(2 1 −10 1 32 1 1 )b)B=( 1 4 2

−1 0 12 2 3).

2. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss - Jordan

a) A=( 1 −1 2−1 2 12 −3 2) b) B=(

1−12

−2

−2406

1−210

−2335

) c) C=(

1111

11

−1−1

1−11

−1

1−1−11

) d) D=(1111

0222

0033

0004).

3. Tìm nghịch đảo của các ma trận


a) A=(1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 11 0 o 0 1

) b) B=(1 2 4 8 160 1 2 4 80 0 1 2 40 0 0 1 20 0 0 0 1

) c) (

a11 0 0 … 00 a22 0 … 00 0 a33 … 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 … ann

)(a ii≠0).

4. Cho ma trận A=(111

a−1

147

12

1a+1

34

1234) . Tìm a để A khả nghịch.

2.4. HẠNG MA TRẬN

1. Tìm hạng của các ma trận sau :

a¿B=(21

112

104

−1

114

565

2−15

−6)b¿ A=(

1312

2624

−3−576

−2−4−4−3

1313) .

2. Biện luận theo m hạng của các ma trận sau :

a)A=(3114

m4

101

17173

2243) b¿D=(

1234

1m+2

34

12

m+34

123

m+4)

c) ¿ (−1m11

2−1m2

1102

−1−11

−1

1−111

).2.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH


1. Tìm ma trận X thỏa mãn

a)(1 1 11 2 31 4 9) . X=( 2 3

5 515 11) b)X .(1 1 1

2 −1 14 1 2)=( 12 6 7

−6 −3 −3)

c) (1000

2−110

0010

0002) . X=(

3−122

6−244

) d) (2 13 2). X .(−3 2

5 −3)=(−2 43 −1).

2. Giải các hệ phương trình

a¿ {x1−x2+x3+3 x4=4x1−x3=0

2 x1+2 x3=42 x1−2x3+x4=1

b¿ {−x1+2 x2−8 x4=−7−x2+3 x4=2x2+2 x4=3

x1−x2+5 x3+x4=6

c ¿ { 2 x1+x2−x3+3 x4=7x1+3 x2+x3+5 x4=8

x1+x2+5 x3−2x 4=−42 x1+3x2−4 x3+6 x4=11

d ¿ { x1+2 x2+3 x3+4 x4+5 x5=0x1−2 x2−3x3−4 x4−5x5=2x1+4 x2+6 x3+8 x4+10 x5=−12 x1+2 x2+3 x3+4 x4+5 x5=1

3. Giải và biện luận theo m các hệ phương trình

a¿ { x− y+z=1x+ y−2 z=5

−x+ y+z=−2x− y+3 z=m

b¿ {2 x+my+z=1x+2my+z=mx+my+2 z=1

c ¿{mx+ y+t=m+1x+my+ z=m−1y+mz+t=m+1x+z+mt=m−1

.

4. Tìm điệu kiện của a và b để hệ sau vô số nghiệm

a¿ { x+3 y+z=22x+ay+2 z=2b3+10 y+3 z=3b

b¿ { x+2 y+2 z=23 x+7 y+z=3b2 x+ay−z=b

.

5. Tìm a để hệ sau có nghiệm không tầm thường

a¿ { ax−3 y+z=02x+ y+z=0

3x+2 y−2 z=0 b¿ { x+ y−3 z=0

2x+4 y−2 z=04 x+ay−8 z=0

.


c ¿ {x1+ax2+…+an−1 xn=0

x1+2x2+…+2n−1 xn=0⋮

x1+nx2+…+nn−1 xn=0

d ¿ {x1+2 x2+…+nxn=0x1+ax2+…+n xn=0

⋮x1+2 x2+…+axn=0

.


Chương 3. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3.1. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

1. Chứng minh rằng tập R2 cùng với hai phép toán sau là KGVT trên C

(x1, y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

(a + bi)(x, y) = (ax – by, ay + bx)

2. Chứng tỏ rằng tập R2 cùng với phép cộng thông thường và phép nhân với một vô

hướng xác định bởi R, (x, y) R2 thì (x, y) = (0, 0) không phải là một không

gian véctơ trên trường số thực R.

3. Các tập sau có là không gian con của R2 hay không ?

a) F = {(r, -r); r R}

b) G = {(x, y); 0 x, y R}

4. Tập R2 cùng với 2 phép toán sau có là không gian véc tơ khônga) Phép cộng thông thường: (x1 , y1 )+(x2 , y2)=( x1+x2 , y1+ y2)

Phép nhân thông thường: k ( x , y )=(kx , ky ).b) Phép cộng: (x1 , y1 )+(x2 , y2)=( y1+ y2 , x1+x2)

Phép nhân: k ( x , y )=(kx , ky ).c) Phép cộng: (x1 , y1 )+(x2 , y2)=( x1+x2+1 , y1+ y2)

Phép nhân: k ( x , y )=(kx+k−1 , ky ).

3.2. ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

1. Cho hệ véctơ a1, a2, a3 độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng hệ véctơ sau độc lập

tuyến tính

b1 = a1 + 2a2 + a3, b2 = 2a1 – a2 + 3a3, b3 = a1 + 3a2 + a3

2. Trong không gian R3, cho 3 véc tơ

a=(1,2 ,m) ;b=(−1 ,m,−2 );c=(1,4+m ,2m−2 ).

Tìm m sao cho ba véc tơ trên phụ thuộc tuyến tính.

3. Trong không gian R3 ,cho họ véc tơ


G= {a= (1,3,3 );b=(1 ,−2,0 ); c=(2,1,3 ) }

Xét xem họ véc tơ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

4. Trong không gian M 2x 2, cho họ véc tơ

m1=(6 21 0);m2=(1 1

1 0);m3=(1 10 0);m4=(4 0

0 0)Xét xem họ ma trận trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

5. Trong không gian R3, cho 3 véc tơ

a=(1 ,−2,5 );b=(2 ,m−3,1 ); c=(2 ,m,0 ).

Tìm m sao cho ba véc tơ trên phụ thuộc tuyến tính.

6. Tìm điều kiện của a để các ma trận sau phụ thuộc tuyến tính trong không gian tuyến tính các ma trận vuông cấp 2

A=(1 24 2); B=(2 5

3 1);C=(3 22 3); D=(4 5

a 2)

3.3. SỐ CHIỀU VÀ CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN

1. Trong R3, cho các véctơ

u = (1, 2, 3), v = (-2, -5, -2), w = (1, 2, -1), b = (7, 6, 1).

Véctơ b có phải là một véctơ của không gian con Span(u, v, w) của R3 hay không?

2. Hệ sau có sinh ra không gian tương ứng không

a) { (1,2,3 ); (2,1,0 ); ( 4,5,6 ) } trong R3

b) {1+x ;2−x+3 x2 ;3 x−x2 } trong P2(x )

c) {(1 30 2);(1 2

0 0);(2 50 3);(0 0

0 3)} trong M 2

d) {x2−2 x ; x3+8 ; x3−x2; x2−4} trong P3(x ).

3. Trong R3, hãy chứng minh span (u1 ,u2 )=span (v1 , v2) nếu


a) u1= (3 ,−4 ,2 );u2= (2,3 ,−1 ); v1=(0 ,−17 ,7 ); v2=(11 ,9 ,5)

b) u1= (2 ,−1 ,5 ) ;u2=(−1 ,4 ,3 ); v1=(1 ,2 ,8 ) ;v2=(4 ,5 ,21)

4. Xét sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hệ véc tơa) {(1,2,3 ); (2,0 ,−2 ); (4,4,4) } trong R3

b){ (1,0,1,0 ); (2,0,1,2 ) ;(2,0,2,4 ) trong R4

c) {x2−1 , x2+1 ,4 x ,2x−3 } trong P2(x )

d) {2−x ,2 x−x2 ,6−5 x+x2 } trong P2(x )

e) {(1 −14 5 ); ( 4 3

−2 3);( 1 −822 23 )} trong M 2

f) {(6 21 0);(1 1

1 0); (1 10 0);(4 0

0 0)} trong M 2

5. Giả sử hệ (e1 , e2 , e3 ) là cơ sở của không gian véc tơ V . Cho hệ véc tơ

x1=e1+2e2−e3 ; x2=2e1+5e2−e3; x3=−3e1−5e2+7e3

Hệ (x1 , x2 , x3 ) có là cơ sở của không gian véc tơ V không? Tại sao?

6. Gọi M là tập hợp các ma trận X thỏa mãn phương trình

(322213

322

431 )X=(0

00)

a) Chứng minh M là một không gian véc tơ thực.

b) Tìm số chiều của M và một cơ sở của nó.

7. Giả sử hệ (e1 , e2 , e3 ) là cơ sở của không gian véc tơ E. Cho

x1=e1+2e2−e3 ; x2=2e1+5e2−e3; x3=−3e1−5e2+7e3

Hệ (x1 , x2 , x3 ) có là cơ sở của không gian véc tơ E không? Tại sao?

8. Cho ma trận A=(2000

3530

2530

1625). Tìm một cơ sở của R4 gồm các véc tơ riêng của ma trận

A.


3.4. TỌA ĐỘ VÉC TƠ – PHÉP CHUYỂN CƠ SỞ

1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ f = {(1,1), (1,2)} sang cơ sở g = {(2,1), (1,4)}.

2. Cho hệ véc tơ trong R4

u1= (1 ,2 ,3 ,−1 ) ;u2=(−2 ,−3 ,−5 ,1 ) ;u3= (1 ,2 ,3 ,−1 ) ;u4=(−1 ,−3 ,−4 ,2)

Tìm biểu diễn tuyến tính nếu có của véc tơ utheo hệ trên, nếua) u=(−1 ,2 ,1 ,0 )b) u=(4 ,−1 ,3 ,5)

2. Trong không gian P2, cho hệ cơ sở

B= {P1 ( x )=1+x+x2 , P2 ( x )=1+x , P3 ( x )=1−2 x }.

Tìm tọa độ của đa thức P ( x )=3+x2 theo cơ sở B.

3. Trong R3 cho hai hệ véc tơ B= {u1 , u2 ,u3 } và B'= {v1 , v2 , v3 }, trong đó

u1= (0 ,−3 ,−3 );u2=(2 ,−3,1 ) ;u3=(6,1 ,−1 )

v1=(−6 ,−6,0 ); v2=(−6,2,4 ); v3=(−3 ,−2,7 ).

a) Chứng minh các hệ véc tơ B và B' là các cơ sở của R3.

b) Tìm ma trận chuyển từ B'→B.

4. Trong không gian M 2x 2, cho cơ sở B gồm các ma trận

m1=(1 11 1); m2=( 0 1

−1 1);m3=(1 10 0);m4=(0 1

0 1)Tìm tọa độ của ma trận m=(2 4

0 3) theo cơ sở B.

5. Trong không gian R3 cho hệ cơ sở

B= {a=(1,3,2 ) ;b=(0,1,2 ) ;c=(0,2,1 ) }

Tìm tọa độ của véc tơ x=(1,6,5) theo cơ sở B.

6. Tìm ma trận chuyển từ cơ sở S sang S' trong các trường hợp

a) S= {(1,0 ) , (0,1 ) }; S '={(2,4 ) , (1,3 ) }

b) S= {(1,0,2 ) , (0,1,3 ) , (1,1,1)} ; S'={ (2,1,1 ) , (1,0,0 ) ,(0,2,1)


c)S= {(1,1,1,1 ) , (0,1,1,1 ) , (0,0,1,1 ) , (0,0,0,1 ) } ;

S'={ (1,0,0,0 ) , (0,1,0,0 ) , (0,0,1,0 ) , (0,0,0,1 ) }.

3.5. KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON

1. Tìm một cơ sở của không gian con F = {(x, y, z, t, l): y = 3x, t = 2x, l = z - x}

của R5.

2. Tìm số chiều của không gian con F của R4 sinh bởi hệ véctơ: v1=(-1,2,1,2),

v2=(1,,1,3), v3 = (1, -1, -1, -1), v4 = (-1, 2, , 2), v5 = (1, 1, -1, 1) theo tham số .

3. Tập nào trong các tập sau là không gian con của Rn

a) A={(x1 ,…,xn )∨x i∈Z ,i=1 , n }

b)B={(x1 ,…, xn )∨x1+…+xn=0 } c) C={( x1 ,…,xn )∨x1+…+xn=1 }

d) D={(x1 ,…, xn )∨x1=xn }

e) E={(x1 ,…,xn )∨k1 x1+…+kn xn=0 } với k i∈R ( i=1. , n ) cố định.4. Tập nào trong các tập sau là không gian con của M 2

a) F={(a bb c);a , b , c∈R}

b) G ¿ {( 0 a−bb−a 1 );a ,b∈R}

c) H={(a+b −cc a−b);a , b , c∈R}

5. Tập nào trong các tập sau là không gian con của P3(x )

a) I={a+bx+(a+b ) x2∨a ,b∈R }

b) J={a+bx+c x2+d x3∨a+b=c+d }

c) K= {a+bx+c x2+d x3|a+b+c−d=2}

6. Xác định không gian con sinh bởi các véc tơ saua) u1= (−2,−1 ,−3 ) ;u2=(1 ,2 ,3 );u3=(−1 ,1 ,0) trong R3

b) u1= (2 ,1 ,−3 );u2= (1 ,2 ,3 );u3=(−1 ,1 ,0)trong R3


c) p1=1+x ; p2=1−2 x+3x2 ; p3=3−3x+6 x2 trong P2 (x )

d) m1=(1 21 3);m2=(0 1

2 1); m3=(1 33 4);m4=(1 4

5 5 ) trong M 2.

7. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởia) { (1 ,3 ,1 ); (2 ,5 ,1 ) ; (1 ,1 ,1 ) } trong R3

b) {x+4 x2+x3 ;6+2 x+ x2+3 x3;6+x ;3+x+4 x2} trong P3(x )

8. Cho tập hợp A={P ( x )=a+bx+c x2∈ P2∨a−b−2c=0}.

a) Chứng minh Alà không gian véc tơ con của P2.

b) Tìm cơ sở và chiều của không gian con A.

9. Cho tập hợp A={m=( a 2a+3b3b −b )∈M 2x 2: a ,b∈R}. Biết A là không gian véc tơ con

của M 2x 2 . Tìm cơ sở và số chiều của không gian con A.

10. Trong không gian P2 cho tập M gồm các véc tơ pthỏa mãn

p (2 )=0 ; p (3 )=2 p(−1)

a) Chứng minh M là không gian con của P2.

b) Tìm số chiều và một cơ sở của M .

11. Trong R3, cho hệ các véc tơ V= {v1 , v2 , v3 } với

v1=(1,2,1 ); v2=(3,1,1 ) ;v3=(6,7,4 ).

a) Hệ V có phải là một cơ sở của R3 không? Tại sao?

b) Tìm số chiều và một cơ sở của không gian sinh bởi hệ V .

12. Xác định một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của phương trình

a¿ x ¿1−3 x2+x3=0

b¿ {3 x1+x2+x3+ x4=05 x1−x2+x3+x4=0

c) {3x+ y+9 z=0x+2 y−2 z=02x+ y+5 z=0


d){ x+3 y+5 z+7 t=02 x+4 z+2 t=0

3x+2 y+8 z+7 t=0

d ¿(−1−24

−1

1114

0−120

20

−3−1

)(x1

x2

x3

x4

)=(0000)

Chương 4. VÉC TƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG

1. Cho ma trận sau

A=(1 4 01 1 30 0 1)

(i) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.

(ii) Chéo hóa ma trận A

(iii) Tính A100.

2. Chứng minh rằng hai ma trận đồng dạng có cùng giá trị riêng.

3. Giả sử λ là giá trị riêng của A, chứng minh rằng

(i) λn là giá trị riêng của An .

(ii) Nếu A không suy biến thì λ−1là giá trị riêng của A−1.

4. Chứng minh các ma trận sau chéo hóa được và chéo hóa chúng

a¿ A=(2 0 01 1 20 2 1)b¿B=(3 3 0

0 2 90 1 2)


c ¿C=(1 −1 14 0 22 1 −1) d ¿D=(

2411

1211

0021

0012).

5. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận sau

a¿ A=( 1 2 00 2 0

−2 −2 −1)b¿ B=(1100

0200

0031

0013).

c ¿C=(2 3 10 −1 10 0 3)d ¿D=(

1011

0100

0520

0−10

03

)

6. Tìm ma trận Tsao cho T−1 AT là ma trận đường chéo nếu

a¿ A=(−1 3 −1−3 5 −1−3 3 1 )b¿ A=(

1100

4100

1131

1113).

7. Chứng minh rằng ma trận A không đồng dạng với ma trận B nếu

a¿ A=(1 0 01 2 01 3 3) và B=(1 1 1

0 −2 −20 0 3 )

b¿ A=(6 0 01 −1 01 3 1) và B=(1 1 1

0 −2 −20 0 3 ).

8. Cho A=(1 10 2) và B=(1 2 0

2 1 00 0 1)

a) Hãy chéo hóa ma trận A và B

b) Tính A2011 và B2012.

9. Tìm An trong các trường hợp sau đây


a) A=(0 0 10 1 01 0 0) b) ( 3 −2 0

−2 3 00 0 5)

10. Tìm một cơ sở của R4 gồm các véc tơ riêng của ma trận A sau đây

A=(2000

3530

2530

1625).

11. Chứng minh rằng λ=0 là giá trị riêng của Akhi và chỉ khi Asuy biến.

12. Cho A là ma trận vuông có các phần tử đều thực, chứng minh rằng nếu A không có giá trị riêng thực thì det ( A )>0.

13. Chứng minh rằng nếu A2=θ thì giá trị riêng duy nhất của A là 0.

14. Cho ma trận A có tổng các phần tử trên mỗi cột (hoặc hàng) là S, chứng minh rằng λ=S là một giá trị riêng của A .

Chương 5. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.2. MA TRẬN BIỂU DIỄN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1. Tìm ánh xạ tuyến tính f :R3→R3 thỏa mãn

f (1,0,2 )=(3,1,1); f (1 ,−1,0 )=(0,0,1); f (0,1 ,−1 )=(0,1,0)

2. Cho A=(2 13 4 ). Xét ánh xạ f :M 2 →M 2 xác định bởi f ( X )=AX ,∀ X∈M 2.

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.

b) Tìm ma trận chính tắc của f .

3. Cho ánh xạ f :R3→R3

( x , y , z )→ ( x− y , x+ y ,4 z )

a) Chứng minh rằng : f là ánh xạ tuyến tính.


b) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của R3 .

c) Tìm ma trận của f theo cơ sở (u1 , u2 ,u3 ) với

u1= (0,1,1 );u2=(1,0,1 );u3=(1,1,0 ).

4. Gọi P2 là không gian các đa thức với hệ số thực có bậc ≤2.

Cho A=(3 0 20 1 22 2 2) là ma trận của toán tử tuyến tính f và f :P2 →P2theo cơ sở

B= {2+3x ,2−3 x , x2 } .

a) Tìm ma trận của f theo cơ sở B'= {1 , x , x2 }.

b) Tính f ( 2+9 x+x2 ).

c) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của f .

5. Cho phép biến đổi tuyến tính f :P1 →P1 , f (a+bx )=(a+3b )+(3a+b ) x.

Tìm một cơ sở g của không gian P1 sao cho trong cơ sở đó, ma trận của f là ma trận đường chéo. Chỉ ra ma trận đường chéo này.

6. Gọi M 2 là không gian các ma trận vuông thực cấp 2. Cho A=(2 13 4 ). Xét ánh xạ

f :M 2 →M 2 xác định như sau f ( X )=AX ,∀ X∈M 2.

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyền tính.

b) Tìm f−1 (T ) với T=(4 −23 1 ).

c) Tìm hạng và giá trị riêng của f .

7. Cho phép biến đổi tuyến tính f :R3→R3,

f ( x , y , z )=(2 x+2 y+2 z ,5 x− y+2 z ,−x+5 y+2 z ).

a) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc.

b) Tìm một cơ sở gồm các véc tơ riêng của phép biến đổi f .


8. Ma trận của ánh xạ tuyến tính f theo cơ sở a1=(1,2 ); a2=(2,3 ) có dạng (3 45 −3). Ma

trận của ánh xạ tuyến tính g theo cơ sở b1=(3,1 );b2=( 4,2 ) có dạng (4 66 9).

a) Tìm ma trận g theo cơ sở a1 , a2.

b) Tìm ma trận f +g theo cơ sở a1 , a2.

9. Phép ánh xạ tuyến tính f trong không gian R3 có ma trận tương ứng với cơ sở

{e1 , e2 , e3 } là A=(−1 4 −2−3 4 0−3 1 3 ). Hãy tìm một cơ sở trong R3 để ma trận của f có dạng

chéo.

10. Cho ánh xạ tuyến tính f :R2→R2

(a ,b )→ (a+2b ,2a−5b )

a) Viết ma trận chính tắc của ánh xạ f .

b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở B gồm các véc tơ a=(2,3 ) và b=(0,1 ).

c) Tìm ma trận của f trong cơ sở B .

11. Ánh xạ tuyến tính f trong R3, ứng với cơ sở S= {u1 ,u2 , u3 } trong đó

u1= (1,1,1 );u2= (0,1,−1 );u3=(2,1,0 ) có ma trận là

A=(−1 −1 −30 ¿ ¿

1¿2¿)a) Tìm các giá trị riêng và các véc tơ của ma trận A .

b) Tìm trong R3 một cơ sở mà ứng với nó, ma trận của f là ma trận chéo.

12. Cho ánh xạ tuyến tính f :M 2 →M 2 xác định bởi

f (a bc d )=(−a+4b a−b

−c+d c−d)Tìm một cơ sở của M 2 sao cho ma trận của f theo cơ sở đó có dạng chéo.


13. Cho ánh xạ tuyến tính f :R3→R3 có ma trận

A=(1 1 11 0 11 1 1)

a) Tìm f .

b) Tìm số chiều của không gian véc tơ sinh bởi họ {f (e1 ); f (e2) ; f (e3) } trong đó

e1=(1,1,1 ) ;e2=(1,0,1 ); e3= (1,0,0 ) .

14. Cho ánh xạ tuyến tính f :R3→R3. Giả sử e1; e2 ;e3 là ba véc tơ thuộc R3 thỏa mãn f (e1 )=(1,1,1 ); f (e2)=(1,0,1 ) ; f (e3 )=(1,0,0 ).

a) Chứng minh họ {e1 ;e2 ;e3 } là độc lập tuyến tính.

b) Biết véc tơ b thỏa mãn f (b )=( 4,5,6 ). Biểu diến véc tơ b qua e1; e2 ;e3.

15. Cho ánh xạ tuyến tính f :R3→R3 có ma trận A=(1 2 34 5 67 8 9) trong cơ sở

{e1=(1,1,1 ) ;e2=(1,1,0 ) ;e3=(1,0,0 ) } .

a) Tìm f .

b) Gọi B là ma trận của f trong cơ sở v1=(1,2,3 ) ;v2=( 4,5,0 ); v3=(1,0,0 ). Tính det ( B ).

16. Cho ánh xạ f :P3 →P2, f (a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3 )=a0+a1 x+a2 x2.

a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.

b) Biết rằng bộ 4 véc tơ

{e1=1 , e2=1+x ,e3=1+x+x2 , e4=x2+x3 }

là cơ sở của P3. Tìm ma trận của ánh xạ f từ cơ sở {e1 , e2 , e3 , e4 } vào cơ sở chính tắc của P3.

5.3. HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH


1. Cho ánh xạ tuyến tính f :R3→R3 xác định bởi

f ( x , y , z )=(x+ y−z , x−2 y ,2x− y−z)

Tìm số chiều và một cơ sở của Ker ( f ), ℑ( f ).

2. Cho ánh xạ tuyến tính f :P2(x )→P2(x) xác định bởi

f (a+bx+cx2 )=(a+b )+ (b+c ) x+(a−c )x2

Viết ma trận chính tắc. Tìm số chiều và một cơ sở của Ker ( f ) và ℑ( f )

3. Cho ánh xạ f :M 2 →M 2 có ma trận chính tắc là

A=(1 1 0 01 0 −1 00 1 1 02 2 0 0

)Viết biểu thức của f . Tìm ker ( f ) và ℑ( f ).

4. Cho ánh xạ tuyến tính f :R3→R3 xác định bởi

f ( x , y , z )=(x+ y+ z , x− y+2 z ,2 x+my+3 z)

(i) Tìm m để Ker ( f ) có số chiều là 1.

(ii) Với m ở trên, tìm n để ℑ( f ) chứa phần tử (1 , n ,3).

5. Cho ánh xạ tuyến tính f :R2→R3

(a ,b )→ (a+2b ,a−b ,a+b )


b) Tìm cơ sở và chiều của Im ( f ).

6. T là ánh xạ có ma trận A=(−1 1 30 5 −44 7 2 ).

a) Tìm một cơ sở và số chiều của Im (T ) .

b) Tìm một cơ sở và số chiều của Ker (T ) .

7. Ánh xạ tuyến tính f :R3→R4 được xác định trong các cơ sở chính tắc của R3 và R4 bởi

f ( x , y , z )=( x+z , y−x , z+ y , x+ y+2 z ) .


a) Tìm ảnh của cơ sở chính tắc của R3 qua f và tìm hạng của họ véc tơ ảnh đó.

b) Tìm một cơ sở của Ker (f ) và tính số chiều của Im ( f ).

8. Ứng với cơ sở chính tắc của R3 cho 3 véc tơ

a1=(1 ,−2,0 ) ;a2=(1,−3,0 ) ;a3= (0,0,1 ) .

a) Chứng minh rằng {a1 , a2 , a3 } là một cơ sở của R3.

b) Ánh xạ tuyển tính f trên R3 được xác định bởi

f (a1 )= (1,0,1 ); f (a2 )= (1,1,2 ); f (a3 )= (2,1,3 ).

Hãy tìm biểu thức của f (u ) trong cơ sở chính tắc với mọi u∈R3, từ đó suy ra một cơ sở của Im ( f ) và hạng của f . Hãy xác định chiều của Ker ( f ).

9. Ánh xạ tuyến tính f :R4 →R5 có ma trận tương ứng với cơ sở chính tắc là

A=(13052

12141

11230

1−36

−1−4

)Tìm Ker (f ) .

10. Cho ánh xạ f :R3→R2,

( x , y , z )→ (mx+ y , y+mz ), trong đó m là hằng số thực.

a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính với ∀mϵ R.

b) Tùy theo giá trị của m, hãy tính số chiều của Ker (f ) .

11. Cho ánh xạ tuyến tính f :P1 →P2,

f ( a+bx )=( a+2b )+(a+b ) x+ (a−b ) x2


b) Tìm cơ sở và số chiều của Im ( f ).

12. Cho ánh xạ tuyến tính f :R2→R2,


( x , y ) → (2x− y ,4 x−2 y )

a) Tìm ma trận của f theo cơ sở a1 , a2 với a1=(1,1 ); a2=(1,2 ).

b) Tìm Ker (f ) , Im ( f ).

13. Ánh xạ tuyến tính f :R3→R3

( x , y , z )→ ( x+ y+ z ,3 x+2 y+z , y+ z)

Tìm Ker ( f ) , Im ( f ).

14. Cho ánh xạ tuyến tính f :R3→R3 thỏa mãn

f (1,1,1 )=(1,1,1 ); f (1,2,0 )=(3,4,1 ) ; f (3,0,0 )=(2,1,0 )

a) Tìm số chiều của Im ( f ).

b) Tính f ( 4,5,6 ) .

15*. Cho 2 không gian con F ,G của không gian véc tơ V . Chứng minh rằnga) Nếu F ¿≠∅ và G ¿≠∅ thì F∪G không là không gian con của V

b) Nếu F∪G=V thì F=V hoặc G=V .

16*. Cho n số phức z1,…, zn từng đôi một khác nhau.

Chứng minh rằng hệ véc tơ {( x−zk )n∨k=1 , n} độc lập tuyến tính trong không gian

các đa thức hệ số phức C[x]

17*. Trong không gian P2(x ), cho

p1=1+x+x2; p2=3x+x2; p3=−2+x+ x2 ; p4=2+5x+4 x2

Tìm cơ sở và số chiều của span( p1 , p2)∩span ( p3 , p4)

18*. Cho ma trận hàng A=(a1 a2…an) khác không. Giả sử

U={X∨X∈M n ; X AT=θ }

Chứng minh U là không gian con của M n và tìm dim (U ).

Documents

Bai tap Dai so 2011