Embed Size (px)
Citation preview
Mục lụcChương 1: Tập hợp số thực và số phức 2
Chương 2. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 4
Chương 3. Không gian véc tơ, Không gian véc tơ Euclid 8
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 12
Chương 5. Trị riêng và véc tơ riêng của toán tử tuyến tính 14
Chương 6. Dạng toàn phương 16
1
Chương 1 : Tập hợp và ánh xạ
Bài 1.1: Trong các trường hợp sau hỏi có A = B không?a. A là tập các số thực , B là tập hợp mọi số thực trị tuyệt đối của chính nó;b. A là tập các số thực , B là tập hợp mọi số thực trị tuyệt đối của chính nó;c. A là tập mọi số nguyên không âm và 100 có tam thừa là một số lẻ không chia hết
cho 3, B là tập các số nguyên không âm và 100 có bình phương trừ 1 chia hết cho 24.
Bài 1.2: A, B, C là tập con của E. CMR nếu và thì .Bài 1.3: A là tập con của E. Hãy xác định các tập sau ( , .Bài 1.4: A, B là tập con của E. Chứng minh
a. Nếu thì b. Nếu A và B rời nhau thì mọi phần tử của E sẽ thuộc hoặc thuộc c.d.e.f.
Bài 1.5 : Các ánh xạ sau là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược nếu có :
a. b. c. d. e. f.
Bài 1.6 : Các ánh xạ sau đây là loại ánh xạ gì ? Xác định ánh xạ ngược nếu có :a. Đối xứng đối với một điểm Ob. Tịnh tiến theo vectơ c. Quay quanh tâm O một góc trong mặt phẳngd. Vị tâm O với tỉ số
Bài 1.7 :
a. Cho ánh xạ xác định bởi . Nó là đơn ánh ? là toàn ánh ? Tìm
ảnh f(R).
b. Cho ánh xạ xác định bởi . Tìm ảnh
Bài 1.8 : Xét 2 ánh xạxác định bởi
xác định bởi . So sánh và .Bài 1.9 : Cho 4 tập hợp A, B, C, D và 3 ánh xạ . CMR:
Bài 1.10 : a. Cho 2 tập E và F và ánh xạ . A và B là hai tập con của E. Chứng minh
b. CMR nếu f là đơn ánh thì : Bài 1.11 : Cho 2 tập E và F và ánh xạ . A và B là 2 tập con của F, chứng minh :
a. b.
2
Bài 1.12 : Cho . Chứng minh rằng :a. Nếu f và g là toàn ánh thì là toàn ánh
Nếu f và g là đơn ánh thì là đơn ánh Nếu f và g là song ánh thì là song ánh.
b. Nếu là song ánh và f là toàn ánh thì f và g là song ánh.
3
Chương 2 : Ma trận, Định thức và Hệ phương trình tuyến tính
Bài 2.1 : Cho
.
Tính :a. (A+B)+C b. A+(B+C) c. 3A d. Tìm At, Bt, Ct.
Bài 2.2: Tính các định thức cấp 2
a. b. c. d. e.
Bài 2.3: Tính các định thức cấp ba
a. b. c. d.
Bài 2.4 : Cho
. Hỏi các định thức sau bằng bao nhiêu ?
a. b.
Bài 2.5: Biết rằng các số 204, 527, 255 chia hết cho 17. Hãy chứng minh:
chia hết cho 17.
Bài 2.6: Chứng minh:
Bài 2.7: Tính định thức
bằng cách khai triển nó theo các phần tử của hàng ba.
Bài 2.8: Tính định thức:
bằng cách triển khai nó theo các phần tử của cột 4.
Bài 2.9: Tính các định thức sau:
a. b. c. d.
e. f.
4
Bài 2.10: Hãy nhân các ma trận:
a. b. c.
d. e. f. g.
Bài 2.11: Hãy tính AB – BA nếu
a.
b.
Bài 2.12: Cho
Hãy tính: a. At b. Bt c. AtBt d. BtAt
e. (AB)t f. (BA)t g. (A+B)t.
Bài 2.13 : Giải phương trình AX = B đối với ẩn là ma trận X, với :
Bài 2.14 : Dùng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :
a. b. c.
Bài 2.15 : Dùng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :
a. b. c. d.
Bài 2.16 : Hỏi các ma trận sau có khả đảo không, nếu có, hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phụ đại số :
a. b. c. d. e.
Bài 2.17 : Áp dụng định lý Cramer giải các hệ sau :a. b. c.
d. e. f.
5
g. h.
Bài 2.18 : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình :
a. b.
Bài 2.19 : Hãy giải hệ các ma trận sau bằng cách tính ma trận nghịch đảoa. b. c. d. Bài 2.20 : Giải
a. b.
Bài 2.21 : Áp dụng phương pháp Gauss giải các hệ sau :a. b.
Bài 2.22 : Xác định để hệ sau có nghiệm không tầm thườnga. b.
Bài 2.23 : Tìm hạng của các ma trận sau :
a. b.
c.
6
Chương 3 : Không gian vectơ – Không gian Euclid Rn
Bài 3.1 : Trong các bài tập sau đây người ta cho một tập các phân tử gọi là vectơ, 2 phép tính
cộng vectơ và nhân vectơ với một số. Hãy xác định tập nào là không gian vectơ và nếu có tập
nào không phải là không gian vectơ thì chỉ ra các tiền đề mà tập đó không thỏa mãn.
a. Tập tất cả các bộ ba số thực (x,y,z) với các phép tính :
(x,y,z) + (x’,y’,z’) := x + x’, y + y’, z + z’)
k(x,y,z) := (kx,y,z)
b. Tập các bộ ba số thực (x, y, z) với các phép tính :
(x,y,z) + (x’,y’,z’) := x + x’, y + y’, z + z’)
k(x,y,z) := (0, 0, 0)
c. Tập các số thực (x, y) với các phép tính :
(x,y) + (x’,y’) := (x + x’, y + y’)
k(x,y) := (2kx, 2ky)
d. Tập các số thực x với các phép tính cộng và nhân thông thường.
e. Tập các cặp số thực có dạng (x, y) trong đó với các phép tính thông thường
trong R2
f. Tập các cặp số thực (x, y) với các phép tính :
(x, y) + (x’ + y’) := (x + x’+ 1, y + y’ + 1)
k(x, y) := (kx + ky)
Bài 3.2 : Hãy biểu diễn vectơ x thành tổ hợp tuyến tính của u, v, w
a. x = (7, -2, 15), u = (2, 3, 5), v = (3, 7, 8), w = (1, -6, 1)
b. x = (0, 0, 0) ; u, v, w như câu a
c. x = (1, 4, -7, 7), u = (4, 1, 3, -2), v = (1, 2, -3, 2), w = (16, 9, 1, -3)
d. x = (0, 0, 0, 0); u, v, w như câu c.
Bài 3.3 : Mỗi họ vectơ dưới đây có sinh ra R3 không?
a. v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 2, 0) v3 = (3, 0, 0)
b. v1 = (2, -1, 3), v2 = (4, 1, 2) v3 = (8, -1, 8)
c. v1 = (3, 1, 4), v2 = (2, -3, 5) v3 = (5, -2, 9) v4 = (1, 4, -1)
d. v1 = (1, 3, 3), v2 = (1, 3, 4) v3 = (1, 4, 3) v4 = (6, 2, 1)
Bài 3.4 : Các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a. u1 = (1, 2) u2 = (-3, -6) trong R2 ?
b. u1 = (2, 3) u2 = (-5, 8) u3 = (6, 1) trong R2 ?
Bài 3.5 : Các tập dưới đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:
a. (1, 2, 3), (3, 6, 7) trong R3?
7
b. (4, -2, 6), (6, -3, 9) trong R3?
c. (2, -3, 1), (3, -1, 5), (1, -4, 3) trong R3?
d. (5, 4, 3), (3, 3, 2), (8, 1, 3) trong R3?
Bài 3.6 : Hãy giải thích tại sao các tập sau không phải là cơ sở của không gian tương ứng:
a. u1 = (1, 2) u2 = (0, 3) u3 = (2, 7) đối với R2 ?
b. u1 = (-1, 3, 2) u2 = (6, 1, 1) trong R3 ?
c. p1 = 1 + x + x2 p2 = x – 1 đối với p2
d. đối với M2
Bài 3.7 : Họ nào dưới đây là cơ sở trong R2 :
a. (2, 1), (3, 0) b. (4, 1), (-7, -8) c. (0, 0), (1, 3) d. (3, 9), (-4, -12)
Bài 3.8 : Họ nào dưới đây là cơ sở trong R3 :
a. (1, 0, 0) (2, 2, 0) (3, 3, 3) b. (3, 1, -4) (2, 5, 6) (1, 4, 8)
c. (2, -3, 1) (4, 1, 1) (0, -7, 1) d. (1, 6, 4) (2, 4, -1) (-1, 2, 5)
Bài 3.9 : Xác định số chiếu và một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ sau :
a. b. c.
Bài 3.10 : Xác định cơ sở của các hệ không gian con của R3
a. Mặt phẳng 3x – 2y + 5z = 0
b. Mặt phẳng x – y = 0
c. Đường thẳng
d. Các vectơ có dạng (a, b, c) trong đó b = a + c
Bài 3.11 : Xác định số chiều của các không gian con của R4 :
a. Các vectơ có dạng (a, b, c, 0)
b. Các vectơ có dạng (a, b, c, d) trong đó d = a + b và c = a – b
c. Các vectơ có dạng (a, b, c, d) trong đó a = b = c = d
Bài 3.12 : Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con của R3 sinh bởi các vectơ sau:
a. (1, -1, 2), (2, 1, 3), (-1, 5, 0) b. (2, 4, 1), (3, 6, -2), (-1, 1, -1/2)
Bài 3.13 : Xét
Hỏi biểu thức nào dưới đây có thể là một tích vô hướng trong R3, nếu không được thì nêu lý
do:
a. b.
c. d.
8
Bài 3.14 : Với tích vô hướng Euclid trong R3, hãy xác định k để u và v trực giao
a. u = (2, 1, 3), v = (1, 7, k) b. u = (k, k, 1), v = (k, 5, 6)
Bài 3.15 : Cho
CMR x và y trực chuẩn trong R2 theo tích vô hướng nhưng không
trực chuẩn theo tích vô hướng Euclid trong đó: .
Bài 3.16 : Trong R2 xét tích vô hướng Euclid. Hãy áp dụng quá trình Gram-Smidt để biến cơ
sở {u1, u2} dưới đây thành cơ sở trực chuẩn.
a. u1=(1, -3); u2= (2, 2)
b. u1=(1, 0); u2= (3, -5)
Bài 3.17 : Trong R3 xét tích vô hướng Euclid. Hãy áp dụng quá trình Gram-Smidt để biến cơ
sở {u1, u2, u3} dưới đây thành cơ sở trực chuẩn.
a. u1=(1, 1, 1); u2= (-1, 1, 0); u3= (1, 2, 1)
b. u1=(1, 0, 0); u2= (3, 7, -2); u3= (0, 4, 1)
Bài 3.18 : Trong R3 xét tích vô hướng Euclid. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn trong không gian
con sinh bởi các vectơ (0, 1, 2) và (-1, 0, 1).
Bài 3.19 : Trong R3 xét tích vô hướng <u, v>=u1v1+2u2v2+3u3v3. Hãy áp dụng quá trình Gram-
Smidt để biến cơ sở {u1=(1, 1, 1); u2=(1, 1, 0); u3=(1, 0, 0)} thành một cơ sở trực chuẩn.
Bài 3.20 : Hãy tìm tọa độ của w đối với cơ sở S={u1, u2} của R2, trong đó
a. u1=(1, 0); u2=(0, 1); w=(3, -7)
b. u1=(2, -4); u2=(3, 8); w=(1, 1)
c. u1=(1, 1); u2=(0, 2); w=(a, b)
Bài 3.21 : Hãy tìm tọa độ của w đối với cơ sở S={u1, u2, u3} của R3, trong đó
a. u1=(1, 0, 0); u2=(2, 2, 0); u3=(3, 3, 3); w=(2, -1, 3)
b. u1=(1, 2, 3); u2=(-4, 5, 6); u3=(7, -8, 9); w=(5, -12, 3)
Bài 3.22 : Trong R2 và R3 xét tích vô hướng Euclid và một cơ sở trực chuẩn. Hãy tìm tọa độ
của vectơ w trong cơ sở trực chuẩn đó. Biết
a.
b.
Bài 3.23 : Xét các cơ sở B={u1, u2} và B’={v1, v2} của R2 trong đó u1=(1, 0), u2=(0, 1), v1=(2,
1) và v2=(-3, 4).
a. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’;
b. Tìm tọa độ của vectơ w=(3, -5) đối với cơ sở B và đối với cơ sở B’;
9
c. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B.
Bài 3.24 : Làm lại bài trên với đó u1=(2, 2), u2=(4, -1), v1=(1, 3) và v2=(-1, -1).
Bài 3.25 : Xét trong R3 hai cơ sở B={u1, u2, u3} và B’={v1, v2, v3}, trong đó
u1=(-3, 0, -3); u2=(-3, 2, 1); u3=(1, 6, -1);
v1=(-6, -6, 0); v2=(-2, -6, 4); v3=(-2, -3, 7).
a. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B;
b. Tìm tọa độ của w=(-5, 8, -5) đối với cơ sở B và tính tọa độ của w đối với cơ sở B’;
c. Tính trực tiếp tọa độ của w đối với cơ sở B’ và kiểm tra lại kết quả trên.
10
Chương 4: Ánh xạ tuyến tính
Bài 4.1. Ánh xạ dưới đây có phải là tuyến tính không ?
a. ; e. .
b. ; f. .
c. ; g. .
d. ; h. .
Bài 4.2. Ánh xạ dưới đây có phải là tuyến tính không ?
a. ; c.
b. d. .
Bài 4.3. Ánh xạ dưới đây có phải là tuyến tính không ?
a. f( ) = a + d ; c. f( ) = 2a + 3b + c – d.
b. f( ) = det ; d. f( ) =
Bài 4.4. Ánh xạ là ánh xạ biến mỗi điểm của mặt phẳng thành điểm đối xứng
với nó qua trục y. Tìm công thức cho f và chứng tỏ nó là một toán tử tuyến tính trong .
Bài 4.5. Cho ánh xạ là phép chiếu trực giao các điểm của lên mặt phẳng
xOz.
a. Tìm công thức của T.
b. Tìm T(2, 7, – 1)
Bài 4.6. Cho là ánh xạ nhân với ma trận :
a. Hỏi vectơ nào dưới đây thuộc Im(T) : (1 ;– 4) , (5, 0) ; (– 3, 12).
b. Hỏi vectơ nào dưới đây thuộc Ker(T) : (5 ; 10) , (3, 2) ; (1, 1).
c. Tìm số chiều của Im(T) và Ker(T).
11
Bài 4.7. V là một không gian vectơ, cho T : V V xác định bởi : T(v) = 3v
a. Tìm Ker(T) ; b. Tìm Im(T).
Bài 4.8. V là không gian n chiều. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính T : V V xác định bởi
a. T(x) = x ; b. T(x) = ; c. T(x) = 5x.
Bài 4.9. Xét cơ sở S = { } trong trong đó : { , ,
}. Tìm biểu diễn ánh xạ tuyến tính : T : xác định bởi
T( ) = (1,0) , T( ) = (1, 0) , T( ) = (0 , 1). Tính T(1, 1, 1) trong các cơ sở chính tắc của
.
Bài 4.10. Tìm dim(Ker(T)) trong đó :
a. T: có hạng 3.
b. T : có hạng 1.
c. Im của T : là .
Bài 4.11. Hãy tìm ma trận chính tắc của mỗi toán tử tuyến tính sau :
a. T( ) = ( )
b. T( ) = ( )
c. T( , ) = ( )
d. T( , ) = ( )
Bài 4.12. Hãy tìm ma trận chính tắc của mỗi toán tử tuyến tính sau :
a. T( ) = ( )
b. T( ) = ( )
c. T( , ) = (0,0,0,0,0)
12
d. T( , ) = ( )
Bài 4.13. Tìm ma trận chính tắc của toán tử tuyến tính T : biến v = (x, y) thành đối
xứng của nó đối với :
a. Trục Ox.
b. Đường phân giác y = x.
c. Gốc toạ độ. Hãy tính T(2 , 1) trong mỗi trường hợp.
Bài 4.14. Cho T : xác định bởi : T( ) = ( ).
a. Tìm ma trận của T đối với cơ sở B = { } trong và B’ = { }
trong ,
,
b. Dùng ma trận thu được ở a) để tính T(8, 3).
13
Chương 5: Giá trị riêng và véc tơ riêng của toán tử tuyến tínhBài 5.1. Tìm các trị riêng và cơ sở của không gian riêng của các ma trận sau :
1. ; 6. ; 11.
2. ; 7. ; 12.
3. ; 8. ; 13.
4. ; 9. ; 14.
5. ; 10.
Bài 5.2. Chứng minh rằng = 0 là giá trị riêng của ma trận A khi và chỉ khi A suy biến.
Bài 5.3. Chứng minh rằng các ma trận sau không chéo hoá được :
1. ; 2. ; 3. ; 4.
Bài 5.4. Tìm ma trận P làm chéo hoá A và xác định :
1. A = ; 2. A =
3. A = ; 4. A =
Bài 5.5. Hỏi ma trận A dưới đây có chéo hoá được không . Nếu được tìm ma trận P làm chéo
hoá ma trận và xác định :
1. A = ; 3. A =
14
2. A = ; 4. A =
Bài 5.6. Cho T : là toán tử tuyến tính T( ) = ( )
Hãy tìm một cơ sở của trong đó ma trận của T có dạng chéo.
Bài 5.7. Cho T : là toán tử tuyến tính
T( ) = ( )
Hãy tìm một cơ sở của trong đó ma trận của T có dạng chéo.
Bài 5.8. Cho A =
Chứng minh :
a. A chéo hoá được nếu
b. A không chéo hoá được nếu
15
Chương 6: Dạng toàn phương
Bài 6.1. Tìm dạng chính tắc của mỗi dạng toàn phương sau :
a. .
b. .
c. .
Bài 6.2. Tìm phép biến đổi tuyến tính để đưa mỗi dạng toàn phương dưới đây về dạng chính
tắc và cho biết dạng chính tắc đó :
a.
b. .
c. .
d. .
e. .
16
Tài liệu tham khảo[1]. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp - Tập 1-
Đại số và hình giải tích, NXB Giáo dục, 2005.
[2]. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán cao cấp - Tập 1 -
Đại số và hình giải tích, NXB Giáo dục, 2005.
[3]. PhanVăn Hạp, Đào Huy Bích, Phạm Thị Oanh, Giáo trình toán cao cấp, NXB ĐHQG Hà nội ,
1998.
[4] . Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, NXB ĐHQG, 2005.
17
