Baiggiai Giairtich2 Edit

11:

- 25 -

luyn tp s 1.Cu 1. Tm khai trin Taylor ca ti im (2,1) n cp 3.Cu 2. Tm cc tr ca hm .

Cu 3. Kho st s hi t ca chui s vi un= v vn=

Cu 4. Tm min hi t ca chui ly tha

Cu 5. Tnh tch phn kp , trong D l min phng gii

hn bi ,

Cu 6. Tnh tch phn vi C l chu vi tam gic ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiu kim ng h.

Cu 7. Tnh , vi C l giao ca v , chiu kim ng h theo hng dng trc 0z.Cu 8. Tnh tch phn mt loi mt , trong S l phn mt nn , nm gia hai mt phng . luyn tp s 2.Cu 1. Cho hm. Tnh .

Cu 2. Tm gtln, gtnn ca trn min

Cu 3. Kho st s hi t ca cc chui s: a/ b/

Cu 4. Tm bn knh hi t ca chui lu tha

Cu 5. Tnh tch phn kp , trong D l min phng gii hn

bi ,

Cu 6. Tnh tch phn , vi C l phn ng cong , t n .Cu 7. Tm din tch phn mt cu nm trong hnh tr .

Cu 8. Tnh tch phn mt loi hai , vi S l bin vt th gii hn bi , pha trong. luyn tp s 3.Cu 1. Cho hm . Tnh

Cu 2. Tm cc tr ca hm s z = xy + + vi x > 0, y > 0

Cu 3. Kho st s hi t ca chui s



bi

Cu 6. Tnh tch phn , trong C l bin ca min phng gii hn bi , chiu kim ng h.Cu 7. Tm din tch phn mt nm trong hnh cu .

Cu 8. Tnh , vi S l phn mt tr nm gia hai mt phng . luyn tp s 4.Cu 1. Cho hm . Tnh

Cu 2. Tm cc tr ca hm



Cu 5. Tnh tch phn dxdy vi D l min 1 x2+y2e2Cu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-yey. Tm hm h(y) tho mn iu kin: h(1)=1 v biu thc h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy l vi phn ton phn ca hm u(x,y) no . Vi h(y) va tm, tnh tch phn trong L l ng cong c phng trnh: 4x2+9y2=36, chiu ngc km ng h t im A(3,0) n B(0,2).Cu 7. Tm din tch phn mt nm trong hnh paraboloid .

Cu 8. Tnh , vi S l na di mt cu , pha trn. luyn tp s 5.Cu 1. Tnh , vi

Cu 2. Tm cc tr c iu kin:


Cu 4. Tm min hi t ca chui:

Cu 5. Tnh tch phn vi D l hnh trn: x2+y2 3

Cu 6. Chng t tch phn khng ph thuc ng i. Tnh tch phn I vi C l phn ellipse t A(3,0) n B(0,2), ngc chiu kim ng h.Cu 7. Tm th tch vt th gii hn bi , ly phn

Cu 8. Tnh , vi S l phn mt phng nm trong hnh tr , pha trn. luyn tp s 6.Cu 1. Cho hm 2 bin z = z(x, y) = . Tnh dz(1,1) v

Cu 2. Kho st cc tr hm s z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1



Cu 5. Tnh tch phn kp , trong D l min phng gii hn bi .

Cu 6. Tnh tch phn , vi C l na bn phi ca ng trn chiu kim ng h.

Cu 7. Tnh tch phn ng loi mt , vi C l na trn ng trn .

Cu 8. Dng cng thc Stokes, tnh , vi C l giao ca v , chiu kim ng h theo hng dng trc 0z. luyn tp s 7.

Cu 1. Cho hm 2 bin z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tnh dz(v (

Cu 2. Tm cc tr c iu kin: .



Cu 5. Tnh tch phn vi D l min phng hu hn gii hn bi cc ng x2+y2= 1(x, y 0), x2+y2=33 (x, y ), y=x, y = x.

Cu 6. Cho 2 hm P(x,y)= 2yexy + ecosy, Q(x,y)= 2xexy- esiny trong l hng s. Tm biu thc Pdx + Qdy l vi phn ton phn ca hm u(x,y) no . Vi va tm c, tnh tch phn ng trong (l ng trn x2+y2 = 2x ly theo chiu dng (ngc chiu kim ng h).Cu 7. Tnh tch phn mt loi mt , vi S l na trn mt

Cu 8. Dng cng thc Stokes, tnh , vi C l giao ca v , chiu kim ng h theo hng dng trc 0z. luyn tp s 8.Cu 1. Tm ca hm n z = z(x,y) xc nh t phng trnh

Cu 2. Tm gtln, gtnn ca trn min

Cu 3. Kho st s hi t ca chui s a/ b/

Cu 4. Tm min hi t chui ly tha

Cu 5. Tnh tch phn kp dxdy vi D l min phng hu hn gii hn bi na ng trn x2 + y2 = 9, yv cc ng thng y = x, y = -x

Cu 6. Cho 2 hm P(x,y)= (1+x+y)e-y, . Tm hm h(x) biu thc h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy l vi phn ton phn ca hm u(x,y) no . Vi h(x) va tm, tnh tch phn trong L l na ng trn x2 + y2 = 9 nm bn phi trc tung, chiu i t im A(0, -3) n im B(0, 3).Cu 7. Tnh , vi V gii hn bi v .

Cu 8. Tnh tch phn mt , vi S l phn mt paraboloid , b ct bi , pha di. luyn tp s 9.Cu 1. Tm min xc nh v min gi tr ca

Cu 2. Tm cc tr ca hm f(x, y)= x2- 2xy+ 2y2- 2x+ 2y +4

Cu 3. Kho st s hi t ca vi ,


Cu 5. Tnh J= vi D l min phng gii hn bi 2 ng trn x2+y2 = 2x, x2+y2 = 6x v cc ng thng y = x, y = 0.

Cu 6. Tm hm h(x2- y2), h(1) = 1 tch phn ng sau y khng ph thuc ng i I= vi AB l cung khng ct ng x2 = y2.

Cu 7. Tnh , vi V gii hn bi v .

Cu 8. Tnh tch phn mt , vi S l phn mt paraboloid , phn , pha di. luyn tp s 10.Cu 1. Tnh

Cu 2. Tm cc tr ca hm




hn bi

Cu 6. Tnh tch phn , theo ng cong C khng qua gc O v khng ct trc tung.Cu 7. , vi V c gii hn bi v

Cu 8. Tnh tch phn mt , vi S l phn mt paraboloid nm di mt , pha trn.

www.tanbachkhoa.edu.vnBin son: Tin s ng Vn Vinh

Thi gian lm bi: 90 pht.

Hnh thc thi: T lun.

Thang im: cu 1: 1 im, cc cu cn li: 1.5 im.

luyn tp s 11.Cu 1. V khi gii hn bi , .Cu 2. Trn mt phng tm im sao cho tng khong cch t im hai mt phng v l nh nht. Cu 3. Kho st s hi t ca chui s



hn bi .Cu 6. Tnh tch phn bi ba , trong V l vt th c gii hn bi .

Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai , vi S l phn mt b ct bi mt , pha trn theo hng trc Oz. luyn tp s 12.Cu 1. Tnh ca hm v biu din hnh hc ca o hm ring ny nh l h s gc ca tip tuyn.Cu 2. Tm gtln, gtnn ca trn min

Cu 3. Kho st s hi t ca cc chui s:



bi .Cu 6. Tnh tch phn bi ba , trong V l vt th c gii hn bi .Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai vi S l mt pha ngoi ca vt th gii hn bi .

luyn tp s 13.Cu 1. Tnh ca hm v biu din hnh hc ca o hm ring ny nh l h s gc ca tip tuyn.

Cu 2. Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht trn min .Cu 3. Kho st s hi t ca chui s

Cu 4. Tm chui Taylor ca , ti v tm min hi t ca chui ny.

Cu 5. Tnh tch phn kp , trong D l min phng gii hn bi

Cu 6. Tnh th tch vt th gii hn bi .Cu 7. Tnh tch phn mt loi mt vi S l phn mt phng nm trong hnh cu .

luyn tp s 14.Cu 1. V khi gii hn bi .Cu 2. Mt ci hp (hnh hp ch nht, khng c np pha trn) c lm t ba carton. Tm th tch ln nht ca ci hp ny.Cu 3. Tnh tng

Cu 4. Tm chui Maclaurint ca v tm min hi t ca chui ny.Cu 5. Tnh tch phn vi D l min

Cu 6. Tm din tch phn mt cu nm trong hnh nn .Cu 7. Tnh tch phn mt loi mt , vi S l phn mt tr nm gia hai mt phng .

luyn tp s 15.Cu 1. Cho . Tnh .Cu 2. Tm im M trn hnh nn , sao cho MA l nh nht, vi A(4,2,0).Cu 3. Tnh tng

Cu 4. Tm chui Maclaurint ca hm v tm bn knh hi t ca chui ny.Cu 5. Tnh tch phn vi D l min

Cu 6. Tnh tch phn ng , vi C l giao ca mt phng v mt cu ngc chiu kim ng h theo hng trc Oz.Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai vi S l na mt cu , phn , pha ngoi (pha trn theo hng trc Oy).

luyn tp s 16.Cu 1. Cho . Tnh .

Cu 2. Cho mt hnh hp ch nht gc phn tm th nht trong h trc Oxyz, c 3 mt nm trn 3 mt phng ta v mt nh nm trn mt phng . Tm th tch ln nht.Cu 3. Tnh tng

Cu 4. Tm chui ly tha ca hm v tm bn knh hi t ca chui ny.Cu 5. Tnh tch phn kp , trong D l min phng gii hn bi .

Cu 6. Tnh tch phn ng , vi C l giao ca mt phng v mt cu theo chiu kim ng h theo hng trc Oz.

Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai , vi S l mt ngoi ca na trn ellipsoid .

luyn tp s 17.

Cu 1. Cho . Tm .Cu 2. Tm cc tr c iu kin: .

Cu 3. Tnh tng

Cu 4. S dng khai trin Maclaurint ca hm di du tch phn thnh chui, tnh

Cu 5. Tnh tch phn vi D .Cu 6. Tnh tch phn ng , vi C l giao ca mt nn v mt cu ngc chiu kim ng h theo hng trc Ox.

.Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai , vi S l mt trong ca vt th gii hn bi .

luyn tp s 18.Cu 1. Cho . Tm .Cu 2. Tm cc tr ca hm vi iu kin .Cu 3. Tnh tng

Cu 4. S dng khai trin Maclaurint ca hm di du tch phn thnh chui, tnh

Cu 5. Tm din tch min phng gii hn bi .Cu 6. Tnh tch phn , trong C l phn elip t im A(4,0) n B(0,-3) theo chiu kim ng h.

Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai , vi S l mt ngoi ca na di mt cu .

luyn tp s 19.Cu 1. V khi gii hn bi .Cu 2. Tm cc tr ca hm vi iu kin .Cu 3. Kho st s hi t ca chui

Cu 4. Tm chui Maclaurint ca v tm bn knh hi t ca chui ny.

Cu 5. Tnh din tch min phng gii hn bi .

Cu 6. Tnh tch phn ng , C l cung Cycloid .Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai , S l mt trong ca na mt cu .

luyn tp s 20.Cu 1. Tm vi phn cp hai ca hm l hm n xc nh t phng trnh .Cu 2. Tm cc tr ca hm vi hai iu kin v .Cu 3. Tnh tng



hn bi ng astroid , v cc trc ta .

Cu 6. Tnh tch phn ng loi mt , C l cung bn phi ca ng Lemniscate c phng trnh trong ta cc .

Cu 7. Tnh tch phn mt loi hai , vi S l bin ca vt th gii hn bi , nh hng pha trong.

1:

Cu 1: Tm khai trin Taylor ca ti im (2,1) n cp 3.

X=x-2, Y=y-1

f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(3)]

= + X - Y - X2 + Y2 + XY + X3 - Y3 - XY2 + o(3)

= + (x-2) - (y-1) - (x-2)2 + (y-1)2 + (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2 + o(3)

Cu 2:tm cc tr ca hm

im dng: x=7, y=-2

A= zxx=2, B=zxy=1, C=zyy=2

=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) t cc tiu ti (7,-2)

Cu 3: Kho st s hi t ca chui s vi un= v vn=

= = = 2/e2 hi t theo tiu chun Cauchy


= = =1/4

=> -4y=-1/2

y=-1: f(x)= 5 vi mi x

y=1: f(x)=2x2+5>0

f(0,0)= 4

f(-1,-1)=f(1,-1)=5

f(f(1,1)=f(-1,1)=7

Maxf= 7

Minf= 4

Cu 3. Kho st s hi t ca chui s a/ b/

a) => phn k theo tc DalembertCu 4. Tm min hi t chui ly tha

=

=>-3 -40, A= 10>0

f(x,y) t cc tiu ti (1,1), (-1,-1)Cu 3. Kho st s hi t ca chui s

=> hi t theo tc CauchyCu 4. Tm bn knh hi t ca chui lu tha

= => -1

khi y=-1 => ;

v nghim

khi y=2 =>;

=>

Max f=13 t ti (2,-1), min f =-1 t ti (0,-1)Cu 3: Kho st s hi t ca cc chui s:

Bi gii:

=> chui phn k theo iu kin cn.

Cu 4: Tm bn knh hi t ca chui lu tha

Bi gii:

chui hi t => =>

x=2 => hi t theo tiu chun Leibnitz

x=4 => phn k theo tiu chun tch phn

vy

Cu 5:Tnh tch phn kptrong D l min phng gii hn

bi .

Bi gii:

Trn min D1 max(x,y)=y, trn min D2 max(x,y)=x

Do

Cu 6: Tnh tch phn bi ba , trong V l vt th c gii hn bi .

Bi gii:i sang to tr

Cu 7: Tnh tch phn mt loi hai vi S l mt pha ngoi ca vt th gii hn bi .Bi gii:p dng cng thc O-G:

i sang to tr:

Cc em c th i sang to cu tnh tch phn.

13

Cu 1: . Tnh ca hm v biu din hnh hc ca o hm ring ny nh l h s gc ca tip tuyn.Tng t cu 1 12.

Cu 2: Tm gi tr ln nht, gi tr nh nht trn min .Bi gii

t

Xt

Vy min z =-2e t ti (u,v)=(-2,0) hay (x,y)=(-1,-1)

t ti (u,v)=(1,0) hay (x,y)=(1/2,1/2)

Cu 3: Kho st s hi t ca chui s

Bi gii 1: C em gii nh sau:

hi t theo tiu chun Leibnitz

Cc em nhn xt xem ng hay sai?

Bi gii 2:

C:

V hi t theo tiu chun leinitz v phn k do chui phn k.Cu 4: Tm chui Taylor ca , ti v tm min hi t ca chui ny.Bi gii

t u=x-1

Cu 5: Tnh tch phn kp , trong D l min phng gii hn bi

Bi gii

V hm trong du tch phn l hm chn theo x,y v min D i xng qua 2 trc ox,oy nn ta ch cn tnh tch phn trn gc phn 4 th I ri gp 4 ln ln.

Cu 6: Tnh th tch vt th gii hn bi .Bi gii i sang to tr: Cc mt c vit li l:

V x>0 v nn y>0 do

Min c vit li trong to tr l: V

t

t:

Cu 7: Tnh tch phn mt loi mt vi S l phn mt phng nm trong hnh cu .Bi gii

V c tnh i xng nn =

EMBED Equation.DSMT4 =S

Hnh cu c tm I(0,0,0)

Vy

14

Cu 1: V khi gii hn bi .

Cc em t v.

Cu 2: Mt ci hp (hnh hp ch nht, khng c np pha trn) c lm t ba carton. Tm th tch ln nht ca ci hp nyBi gii

Gi x l chiu rng, y l chiu di, z l chiu cao (m).Ta c: 2xz+2yz+xy=12V=xyz

Ta cn tm MaxV:

Cch 1: Xt hm

Hm c 1 im dng P(2,2,1). Tnh cc o hm ring cp 2 ti P ta c:

Ly vi phn 2 v ca 2xz+2yz+xy=12 ti P suy ra: dx+dy+2dz=0

xc nh m

Vy P l im cc i

V v V lin tc trong gc phn tm th nht v c duy nht 1 im cc i (P) nn t gi tr ln nht ti P: MaxV=V(P)=4Cch 2: Th vo biu thc ca V:

p dng csi cho 2 s (x,y) v 3 s (2xy,(12-xy), (12-xy)) ta c:

Du = xy ra khi

Vy Max V =4 t ti (2,2,1)

Nhn xt: Khng nghi ng g na cch 2 hay hn v gn hn cch 1. Nhng cc em nn nh ang hc GT2 v cc tr v max-min. Yu cu phi bit vn dng kin thc hc vo nhng bi ton thc t. Bi ny in hnh cho bi tm max-min cho hm 3 bin v min khng b chn rt hay.Cu 3: Tnh tng

Bi gii

Vy

Cu 4:Tm chui Maclaurint ca v tm min hi t ca chui ny

Bi gii

Ta c :

Vy:

Ti x=1

Dng quy np ta Chng minh c: (d thi ng lo)Lc ny:

Do chui hi t tuyt i theo tiu chun so snh

Vy: min hi t l: [-1,1]

Cu 5: Tnh tch phn vi D l min

Bi gii

Ta c:

V E v C i xng qua Ox,Oy v hm di du tch chn theo 2 bin x,y nn:

Cu 6: Tm din tch phn mt cu nm trong hnh nn .Bi gii

Tm din tch phn mt cu nm trong hnh nn .

Ch S gm hai min ring bit, ny nn thm iu kin z>0 v kt qu:

Cu 7: Tnh tch phn mt loi mt , vi S l phn mt tr nm gia hai mt phng

Bi gii

Chia S lm 2 min: pha trc(S1) v sau mt(S2) phng Oxz.

Min D l hnh ch nht:

Tng t I2=0.

Vy I=0

Tht ra bi ny bng khng ngay t u bng cch nhn xt:

S i xng qua Oxz v hm di du tch phn l theo bin y. 15

Cu 1: Cho . Tnh .Bi gii

t

.

Cu 2: Tm im M trn hnh nn , sao cho MA l nh nht, vi A(4,2,0).

Bi gii

Cch 1:

Gi M(a,b,c)

MA=

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4 a=2,b=1

=> f t cc tiu ti (2,1) do t min ti (2,1)Vy

Cch 2: Gi M(x,y,z)

Php vc t mt ngoi S: n=(x,y,-z) (v A nm pha ngoi mt nn)

MA ngn nht khi cng hng:

Lm nh th ng hay sai? Suy ngh t nh.Cu 3 Tnh tng

Bi gii

Ta c

Ly o hm 2 v:

Th

Cu 4: Tm chui Maclaurint ca hm v tm bn knh hi t ca chui ny.Bi gii

V:

Vy:

Dng tiu chun DAlembert d thy R=3.

Cu 5: Tnh tch phn vi D l min

Bi gii:

Chia D lm 4 min bi 2 ng thng y=x v x+y=Pi Xt

Em xt tng t trn cc min cn li:

Cu 6: Tnh tch phn ng , vi C l giao ca mt phng v mt cu ngc chiu kim ng h theo hng trc Oz.Bi gii

Chn S l mt trn ca phn mp nm trong mt cu

p dng cng thc Stoke:

Php vc t n v ca S:

Cu 7: Tnh tch phn mt loi hai vi S l na mt cu , phn , pha ngoi (pha trn theo hng trc Oy).Bi gii

Cch 1:

(ch php vecto mt ngoi nh)

Cch 2: gi S1 l mt bn tri hnh trn x2+z2

Documents

Baiggiai Giairtich2 Edit