Teoremas de Cantor y BaireLiliana Itzel Guevara Rojas, Brenda Lizbeth Cuevas Juarez, David Herrera Carrasco

Benemerita Universidad Autonoma de PueblaFacultad de Ciencias Fsico Matematicas

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INTRODUCCION

Existen dos teoremas muy importantes en el tema deEspacios Metricos Completos, los cuales son muy utilespara este aspecto. Estos teoremas se les atribuye a Can-tor y a Baire respectivamente.

El primer teorema, frecuentemente es llamado Teoremade Interseccion de Cantor, este nos da una equivalenciade los espacios metricos completos.

El segundo teorema es una aplicacion del primero, seconoce como Teorema de Categora de Baire, una apli-cacion es: demostrar la existencia de funciones continuasen un intervalo y que carecen de derivada en todos suspuntos.

PROPIEDAD DE CANTOR

Si toda familia contable de conjuntos {A0, A1, ...} cadauno cerrado, tambien no vaco y,n N : An+1 An e inf{(An)} = 0,entonces la familia tiene interseccion no vaca.

TEOREMA 1

Si {xn} es una sucesion convergente en un espaciometrico, entonces toda sucesion parcial de ella convergeal mismo lmite.

COROLARIO 1

Sea A un conjunto no vaco en un espacio metrico.x A si y solo si existe una sucesion {xn} en A conxn x.

DEFINICIONES

1 (An) = sup{d(x, y) | x, y An}.2 A es fronterizo A = .3 A es nada denso A es fronterizo.4 A conjunto del espacio metrico (E, d) es denso siA = E.

5 A conjunto del espacio metrico (E, d) es nada-densosi E A es denso.

6 Se dice que un conjunto en un espacio metrico esMagro, si es la union de una familia numerable deconjuntos nada-densos.

LEMA 1

Si A un conjunto acotado en (E, d), entonces:(A) = (A)

LEMA 2

Si A y B son conjuntos en un espacio (E, d), talesque B es nada-denso y A B es fronterizo, en-tonces A es fronterizo.

TEOREMA DE CANTOR

Un espacio metrico es completo si y solo si posee lapropiedad de Cantor.

Demostracion:

(=)1 Suponemos que (E, d) es un espacio metrico

completo y la hipotesis de la propiedad de Cantor.

2 Construimos una sucesion {xn} en (E, d)tomando arbitrariamente un punto xn An,para cada n N .

3 Vemos que {xn} es de Cauchy.4 Tomemos An cualquiera. Por construccion, la

sucesion {xm, xm+1, ...} esta en Am y es parcialde {xn}, entonces converge a x (Teorema 1).

5 As por (Corolario 1), x es punto de adherencia deAm y como este es cerrado x Am.

6 Por lo que x Am, m N , es decirx

n=0

An, donden=0

An 6=

(=)1 Supongamos que el espacio posee la propiedad de

Cantor y sea {xn} sucesion de Cauchy.2 Consideremos {A0, A1, ...} una familia contable

de conjunto tal que n N : An es el rango dela sucesion {xn, xn+1, ...}, ademas An 6= 0n N .

3 Por construccion si xn, xn Av, entoncesn, n v de donde d(xn, xn) < , entonces(Av) . Por lo tanto inf{(An)} = 0

4 Tomamos la familia contable de las clausuras{A0, A1, ...}, donde An es cerrado y no vaco,

An1 An y, como (An) = (An)(Lema1), tambien inf{(An)} = 0.

5 Para > 0, Av con (Av) < . x Av ypor construccion n v : xn Av Av, asd(xn, x) < (Av) < , es decir xn x.Por lo tanto (E, d) es completo.

TEOREMA DE BAIRE

Todo conjunto magro en un espacio metrico completo esfronterizo.

Demostracion:

1 Sea A 6= un conjunto magro.2 A =

n=1

An, donde cada An es nada-denso.

3 Para cualquier conjunto S abierto y no vaco. Existeuna esfera cerrada C con C S.

4 Como A1 es nada-denso y C no es fronterizo,entonces C A no es fronterizo (Lema 2), existeuna esfera cerrada C1 con C1 C A1,cuyo radioes menor que 1/2, donde (C1) 1.

5 Construimos, por induccion, una familia contable{C1, C2, ...} de esferas cerradas tales quen N : Cn+1 Cn An+1 y Cn+1 Cn. .

6 Ademas (Cn) 1/n, entoncesinf{(Cn)} = 0

7 Por el teorema de cantor, sabiendo que el espaciometrico es completo, existe un punto (unico)

x n=1

Cn.

8 Se deduce(a) x C1 C A1, es decir, x C, o sea,x S(b) n N : xn Cn Cn1 An, de dondex An, n N

9 De (a) y (b) deducimos que x S A entonces Sno esta conntenido en A.

10 Por lo tanto, A no contiene conjuntos abiertos novacos, es decir, A = por lo tanto A es fronterizo.(Definicion 2)

CONCLUSIONES

Con esto podemos concluir que el Teorema de Cantor yel Teorema de Baire son muy utiles e importantes parala teora y la aplicacion de espacios metricos, Topologa,entre otros.

REFERENCIAS

Iribarren T. Ignacio L. Topologa de espacios metricos/ Ignacio L. Iribarren. Limusa 1973

Raggi Cardenas, Guadalupe. Juan Alberto EscamillaR., F. Javier Mendoza T. Introduccion a la Teora deespacio metricos FCFM BUAP 2010.