BÀI TẬP GIẢI TÍCH C2

Nguyễn Thi Thu Vân & Trần Vũ KhanhKhoa Toán-Tin học

Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Tp HCM

1 Chương 1 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIÊU

BIẾN

1. Tìm các điểm trong, điểm biên và xét xem các tập hợp được cho có là tậpđóng hay không :

(a) {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3}

(b) {(2, 4)× (1, 3)}

(c) {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}

(d) {(x, y) : 2 ≤ x2 ≤ 5}

(e) {(x, y) : y ≤ x2}

(f) {(x, y) : x+ y ≤ x2}

(g) {(x, y) : a ≤ x ≤ b, x ≤ y ≤ x2}

(h) {(x, y) : 0 ≤ x1 ≤ 1, y = 0}

(i) {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤5}

(j) {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1, x+ y ≤ z ≤4x}

2. Tìm miền xác định của các hàm số sau :

(a) f(x, y) = x2+y2

x2−y2

(b) f(x, y) = 2x−3y3x−2y

(c) f(x, y) = 1√x+y

+ 1√x−y

(d) f(x, y) =√x+4

√y−√x+ y − 5

(e) f(x, y) =√x2−2y√

3−x−y+1

(f) f(x, y) =√

1− x2

a2 − y2

b2

(g) f(x, y, z) =√

1− x2 − y2 − z2

(h) f(x, y) = 1√x2+y2+z2−1

(i) f(x, y) = arcsin yx

3. Vẽ các mặt cong sau trong R3 :

(a) x2 + y2 = 9

(b) z2 − y2 = 1

(c) y.z = 1

(d) z = −x2 − y2

(e) z =√x2 + y2

(f) z =√

1 + x2 + y2

(g) x =√

1− (y2 + z2)

4. Các hàm số sau có giới hạn bội (kép) tại (0, 0) hay không?

1

(a) x2−y2x2+y2

(b) x2+y2

1+x2

(c) 1−xyx2+y2

(d) x2

x2−y

(e) −x√x2+y2

(f) xy2

(x2+y2)3/2

(g) x4−y2x4+y2

(h) x−yx+y

(i) (x2 + y2) sin 1√x2+y2

5. Tính các giới hạn lặp và giới hạn bội (nếu có ) tại (0, 0) của các hàm số sau :

(a) f(x, y) = x2+y2+x−yx−y

(b) f(x, y) = exy−1x

(c) f(x, y) = y3

x2+y2

(d) f(x, y) = x2y2

x2+y4

(e) f(x, y) = x cos 1x

x+y

(f) f(x, y) = sinxyy

6. Tìm limx→a

limy→b

f(x, y) và limy→b

limx→a

f(x, y) nếu

(a) f(x, y) = x2+y2

x2+y4, a =∞, b =∞

(b) f(x, y) = 1xy tg

xy1+xy , a = 0, b = +∞

(c) f(x, y) = xy

1+xy , a = +∞, b = 0

(d) f(x, y) = logx(x+ y), a = 1, b = 0.

7. Tìm các giới hạn sau :

(a) limx→0y→0

x4−y4x2+y2

(b) limx→1y→1

√x−√yx−y

(c) limx→∞y→∞

x3+y2

x4+y4

(d) limx→+∞y→+∞

(x2 + y2)e−(x+y)

(e) limx→1y→0

ln(x+ey)√x2+y2

(f) limx→1y→0

xy3

x2+y4

(g) limx→0y→0

xy2

2−√

4+xy2

(h) limx→0y→0

xx+y

(i) limx→0y→0

3√x3+y3−x−y√x2+y2

(j) limx→−∞y→−∞

x+yx2−xy+y2

(k) limx→0y→0

x2(1−cos(xy))y2

(l) limx→1y→1

x3−y3x2−y2

(m) limx→0y→0

y√x2+y2

(n) limx→0y→0

xyx+y

(o) limx→0y→0

(xy)α

x+y

8. Xác định tập các điểm liên tục của các hàm số sau :

(a) f(x, y) = x4 + sinxy − 4x+ 1

2

(b) f(x, y) = x2−2xy+3x+y−1

(c) f(x, y) =√

4− x2 − y2 + ln(x2 + y2 − 1)

(d) f(x, y) = 1√x2+y2

9. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau

(a) f(x, y) = xyx+y

(b) f(x, y) = sin 1xy

(c) f(x, y) = ln(1− x2 − y2)

(d) f(x, y) = xy

10. Chọn a bằng bao nhiêu để f(x, y) liên tục tại (0, 0)

(a) f(x, y) =

{cos(x

3+y3

x2+y2) khi (x, y) 6= (0, 0)

a khi (x, y) = (0, 0)

(b) f(x, y) =

{(x2 + y2)x

2y2 khi (x, y) 6= (0, 0)a khi (x, y) = (0, 0)

(c) f(x, y) =

{x2−y2x2+y2

khi (x, y) 6= (0, 0)

a khi (x, y) = (0, 0)

11. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau, viet 5f

(a) f(x, y) = esin(x

y)

(b) f(x, y) = yx

(c) f(x, y) = ln(x2 + y2)

(d) f(x, y, z) = ( yx)z

12. Tính ∂f∂x (1, 2), ∂f∂y (1, 2) nếu f(x, y) =

∫ x2+y2

x et2dt.

13. Cho g : R→ R là hàm liên tục. Tìm đạo hàm riêng của

(a) f(x, y) =∫ x+y2a g(t)dt

(b) f(x, y) =∫ yx g(t)dt

(c) f(x, y) =∫ xya g(t)dt

(d) f(x, y) =∫ sinxya g(t)dt

(e) f(x, y) =∫ ∫ y

a g(s)dsx g(t)dt

14. Tìm ∂f∂x ,

∂f∂y ,

∂2f∂x2 ,

∂2f∂xy và ∂2f

∂y2

(a) f(x, y) = x3 + y2 + 6xy − 2x+ 1

(b) f(x, y) = ex−y2+ 3x− 2y + sinx

(c) f(x, y) = arctg(x2 + y2) + ln(x2 + 2y)

(d) f(x, y) = arcsin(xy)

3

15. Cho z = f(x2 − y2), trong đó f là hàm một biến khả vi. Chứng minh rằng :

y∂z

∂x+ x

∂z

∂y= 0.

16. Chứng minh rằng nếu f(x, y, z) = ln(x3 + y3 + z3 − 3xyz) thì ∂f∂x + ∂f∂y + ∂f

∂z =3

x+y+z .

17. Cho hàm f(x, y, z) = (x− y)(y − z)(z − x). CMR ∂f∂x + ∂f

∂y + ∂f∂z = 0.

18. Cho x = r cosφ, y = r sinφ. Tính

∣∣∣∣∣∂x∂r ∂x∂φ

∂y∂r

∂y∂φ

∣∣∣∣∣19. Hàm f được gọi là điều hòa hai biến nếu

∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0

trên miền xác định của nó. Kiểm tra rằng các hàm sau có là hàm điều hòakhông ?

(a) x2 − y2

(b) ln(x2 + y2)

(c) (ey + e−y) sinx

(d)√x+

√x2 + y2

(e) xx2+y2

20. Kiểm tra rằng đạo hàm hỗn hợp ∂2f∂x∂y ,

∂2f∂y∂x là bằng nhau với các hàm số sau

(a) x3y

(b) 3exy2

(c) sin(x2 + y2)

21. Mục đích của bài tập này là cho một ví dụ để cho thấy đạo hàm hỗn hợp∂2f∂x∂y ,

∂2f∂y∂x không phải luôn bẳng nhau. Cho

f(x, y) =

{xy(x2−y2)x2+y2

khi (x, y) 6= (0, 0)

0 khi (x, y) = (0, 0)

(a) Tính ∂f∂x (x, y), ∂f∂y (x, y) tai (x, y) = (0, 0) và tại (x, y) 6= (0, 0).

(b) Dùng câu (a) để tính ∂2f∂x∂y (x, y),

∂2f∂y∂x(x, y) tại (x, y) = (0, 0) và tại

(x, y) 6= (0, 0) . Từ đó suy ra ∂2f∂x∂y (0, 0) 6= ∂2f

∂y∂x(0, 0).

(c) Giả thuyết nào của định lý Schwarz bi vi phạm.

22. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau

4

(a) z = 1(x2+y2)2

(b) z = x2y4 + x3y3 + x4y2

(c) u = xyz

(d) u = yz2exyz

(e) u = ln(y +√x2 + y2)

23. Tìm vi phân toàn phần cấp hai của các hàm số sau

(a) z = sin2(2x+ 3y)

(b) z = ln(x2 + y)

(c) z = exy

(d) u = xy + yz + zx

24. Tính df(1, 2, 1) nếu f(x, y, z) = zx2+y2

25. Tính df(1, 1) nếu f(x, y) = (x+ y)exy

26. Sử dụng hệ thức vi phân toàn phần cấp một, tính gần đúng

(a) (0, 97)1,05

(b) ln( 3√

1, 03 + 4√

0, 98− 1)

(c)√

(4, 05)2 + (3, 07)2

(d) (2, 01)3,03 biết rằng ln 2 = 0, 69

27. Tính đạo hàm của hàm hợp

(a) z = ex−2y, x = sin t, y = t3. Tính dzdt

(b) z = x2 + 2y2, x = t cos s, y = t sin s. Tính ∂z∂s ,

∂z∂t

(c) z = arcsin(x− y), x = 3t, y = 4t3. Tính dzdt

(d) z = arctg xy , x = u+ v, y = u− v. Tính ∂z

∂u ,∂z∂v

(e) u = x2 + 4xyz, x = t+ s, y = 3t− s, z = t2. Tính ∂u∂t ,

∂u∂s

28. Cho

(a) u = F (x− y, y − x). Chứng minh ∂u∂x + ∂u

∂y = 0.

(b) u = F (y−xxy ,z−xxz ). Chứng minh x2 ∂u

∂x + y2 ∂u∂y + z2 ∂u

∂z = 0.

(c) u = x3F ( yx ,zx). Chứng minh x∂u∂x + y ∂u∂y + z ∂u∂z = 3u.

(d) z = yF (x2 − y2). Chứng minh y ∂z∂x + x∂z∂y = xzy .

(e) z = xy + xF ( yx). Chứng minh x ∂z∂x + y ∂z∂y = xy + z.

5

(f) u = f(r) với r =√x2 + y2 + z2. Chứng minh

(∂u

∂x)2 + (

∂u

∂y)2 + (

∂u

∂z)2 = (

du

dr)2

và∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2=d2u

dr2+

2r

du

dr

.

29. Cho z = f(x, y) với f(0, 0) = 0. Tìm ∂f∂x (0, 0), ∂f∂y (0, 0) nếu x+y+z−sin(xyz) =

0.

30. Cho u = f(x, y), v = g(x, y) thỏa f(0, 1) = 1, g(0, 1) = −1 và{u3 + xv − y = 0v3 + yu− x = 0

.

Tìm ∂u∂x ,

∂u∂y ,

∂v∂x ,

∂v∂y tại (0, 1).

31. Tính ∂z∂x(x0, y0), ∂z∂y (x0, y0) nếu có biểu diễn thành dạng z = f(x, y) tại gần các

điểm (x0, y0, z0)

(a) x+ y + z − sin(xyz) = 0; (0, 0, 0),

(b) x3 + y3 + z3 = 3xyz; (1,−1, 0),

(c) x2 + 2xy + z2 − yz = 1; (0, 0, 1).

32. Tính đạo hàm của hàm ẩn

(a) x2y − x3 + 2y = 0. Tính dydx

(b) tgy = xy. Tính dydx

(c) x2 − y2 + z2 = 0. Tính ∂z∂x ,

∂z∂y

(d) xy − yz + zx = 0. Tính ∂z∂x ,

∂z∂y

(e) x2 − xy − y2 = 0. Tính dydx

(f) y = ln(x+ y). Tính dydx

(g) x2+y2+z2 = a2. Tính đạo hàm riêng cấp một và hai của hàm z = z(x, y)

(h)

{2u+ 3v = sinxu+ 2v = x cos y

. Tính ∂u∂x ,

∂u∂y ;

∂v∂x ,

∂v∂y .

(i)

{u2 + v2 = x2

2uv = 2xy + y2. Tính ∂u

∂x ,∂u∂y ;

∂v∂x ,

∂v∂y .

(j) Cho u = u(x, y, z) xác định bởi u3 − 3(x+ y)u2 + z3 = 0. Tính du

33. Tìm cực trị của các hàm sau

6

(a) f(x, y) = (x+ y−94)(4x+3y) =6xy

(b) f(x, y) = (x2 + y2)e−(x2+y2)

(c) f(x, y) = x sin y

(d) f(x, y) = x+ y − yex

(e) f(x, y) = (1 + 1x)(1 + 1

y )(1x + 1

y )

(f) f(x, y) = x2

2y + 1x + y

2 − 4

(g) f(x, y) = x2 − 2xy + y3

3 − 3y

(h) f(x, y) = xy − x2

(i) f(x, y) = x3 − 6x2 − 3y2

(j) f(x, y) = 1x + 1

y + xy

(k) f(x, y) = x2 − ey2

(l) f(x, y) = (y − 2) lnxy

(m) f(x, y) = exy

34. Tìm cực trị có điều kiện

(a) Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x+ 2y với điều kiện x2 + 2y = 2

(b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm f(x, y) = 2x+ 8y với điều kiện x12 y

14 = 8

(c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = 3x+2y−5 với điều kiện√x+√y =

5

(d) Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x2 + y2 với điều kiện x+ y ≥ 1

35. Tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm với các ràng buộc được cho

(a) x+ y với x2 + y2 = 1

(b) x2 + xy + y2 + yz + z2 trên mặt x2 + y2 + z2 = 1

(c) x+ 2y + 3z trên x2 + y2 + z2 = 1

(d) xyz với x2

a2 + y2

b2z2

c2= 1, a, b, c > 0

(e) xyz với x+ y + z = 1

(f) (x+ y + z)2 với x2 + 2y2 + 3z2 = 1.

36. Tìm khoảng cách ngắn nhất (nếu có) từ một điểm đến một đường (hay mộtmặt) trong các trường hợp sau

(a) (3, 0) đến y = x2

(b) (0, 0, 0) đến x+ 2y + 3z = 3

(c) (2, 1,−2) đến x2 + y2 + z2 = 1

(d) (0, 0, 0) đến xyz2 = 2.

37. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau trên các tập hợp được cho

(a) x2 + y trong hình vuông với các đỉnh (±1,±1).

(b) x3y2(1− x− y) trong miền x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.

(c) (x2 + 3y2)e−(x2+y2) trên mặt phẳng.

(d) (x2 + y2)−1 trong miền (x− 2)2 + y2 ≤ 1.

(e) x− x2 + y2 trong miền 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

(f) x−y1+x2+y2

trong miền y ≥ 0.

7