Banco de VizcayakBABESTUTAKO ARGITARAPENA

EDICION PATROCINADA POR EL

Banco de Vizcaya

IX.UEU

UDAKO EUSKAL UNIBERTSITATEA

I RUREA , 1981

FISIKA OROKORRA (H)

PROBLEMAK ETA ARIKETAK

J. R. Etxebarria

0. Ezenarro

P. Ugalde

Leioa, 1980-81 ikasturtea

AURK IBIDEA

Sarrera

11. gaia. Fluidoen mekanika 1

12. gaia. Higidura oszilakorra 27

13. gaia. Uhin - higidura 53

14. gaia. Interakzio grabitatorioa 77

15. gaia. Interakzio elektrikoa 97

16. gaia. Korronte elektrikoa 121

17. gaia. Interakzio magnetikoa 149

18. gaia. Termodinamikaren lehenengo

printzipioa 177

19. gaia. Gas idealak 195

20. gaia. Termodinamikaren bigarren

printzipioa 213

• ,11/...."1.

I

SARRERA

Ihazko UEU-rako argitaratua izan zen "FISIKA OROKORRA (I).

PROBLEMAK ETA ARIKETAK" izendaturiko liburuaren sarreran genioen

bezala, aipaturiko liburua beste baten beharrean zegoen segidan,

"FISIKA OROKORRA (II)" teoriazko tomoari gehigarri gisa zegokio-

na, hain zuzen ere. Horixe da, prezeskir orain irakurleakberees

kuetan daukana.

Bigarren liburu hau lehengoaren jarraipena izanez, hari bu-

ruz egindako oharpenak eta adierazitako mugak honako honi ere da

gozkio, ia-ia gehienetan. Esan beharrik ez dago, aurrean dauka-

zun materialea prestatzerakoan, behin-betiko lanik finkatzeko

asmorik izan ez dugunik, eta ez gutxiagorik ere. Zientzi mailan

euskarazko textuen ezari begira, eta horien premia larria kontu-

tan harturik, geure ekarpen apala ematen saiatu gara, unibertsi-

tal arloan hain nabaria den hutsunea nolabait bete nahian. Beraz,

lan honi ezin zaio besterik eskatu, praktikotasuna edo erabilga-

rritasuna baizik.

Ondoren, eta labur - laburki, liburua antolatzeko eta idazte

ko eraman dugun prozeduraz zenbait nabardura azalduko ditugu:

- Lehendabizi, esan dezagun ezen 1980-81 ikastaroan ba-

rrena prestatua izan dela, Leioako Zientzi Fakultatean era

turiko mintegi batetan, elkarlanean buruturik dagoelarik.

- Egileok astero bildu ohi ginen, examinetako edota opo

rretako sasoietan izan ezik, aurreko astebetean egindako -

lana elkarri aurkezteko eta zuzentzeko, eta halaber hurren

gorakoa hautatzeko eta banatzeko.

- Gure zorionerako, ihaz UZEI taldeak sorturiko "FISIKA

HIZTEGIA" erabiltzeko aukera eduki dugu, eta gisa da, oso

lagungarri izan zaigula aitortzea.

II

- Ariketa eta problemen aukerabideari dagokionez, hiru

izan dira baliatu gareneko iturri nagusiak:

Oinarri bezala, aurreko ikastaroan prestatu genuen li

buruan egin legez, Leioako Zientzi Fakultateko irakas

lea den A. Hernandez-•en problema-bildu.ma hartu dugu.

Bestaldetik, eta aipaturiko liburuan erabilitako eri-

tziari jarraituz, oraingo honetan ere examinetanjarri

tako hainbeste problema ipini ditugu.

Azkenez, ez kopuru txikitan baina, geure uztakoak di-

ren problema edota ariketa bat baino gehiago aurki di

tzake irakurleak.

Nekez amai'genezake sarrera hau, beren era askotako lagun-

tzak eskaini dizkigutenak aipatu gabe. Bihoazkie, bada, gure es

kerrik beroenak:

- A. Hernandez-i, gorago esandakoagatik.

- Mari Carmen Menika idazkariari, zeinek gorriak ikusi be-

har izan baititu, guk idatzitako hainbeste zirriborroeta

aldrebesko formula dezifratzeko.

- Donostiako Petrokimika Fakultatean irakaslea eta Bergara

ko UNEDen zuzendaria den L. Bandres-i, gure behin-behine

ko lanak erabiltzean oharrerazi eta zuzendu dizkigun aka

tsengatik.

- Eta, "the last but not the leaSt", Leioako euskai taldeko

ikaslegoari, ihazko liburuari eman diron harrera ezin ho-

beagatik ez ezik, beraren euskaltzaletasunaren bidez, la-

nean ihardun dezagun behartzen eta animatzen gaituelako.

EGILEEK

LEIOA 1981-ko ekaina

•

11. GAIA

1

FLUIDOEN MEKANIKA

2

11.1. Irudiko lehenengo esperien

tzian dinamometroak 5,4 Kgf. neur

tzen du; eta bigarrenean, harria

uretan sarturik dagoelarik, 2,4

Kgf.Kalkula bitez harriaren bolumena

eta beraren dentsitate erlatiboa.

Ebazpena:

Lehenengo kasuan, aireak egInlko .Arkhimedes-en bultzada ar-

buiatuz, dinamometroak harriaren pisua neurtzen du, beraz:

P 5,4 Kgf. 5,4 . 9,8 N

Bigarren kasuan, harriaren gainean aplika

turiko indarrak hauxek dira (ikus irudia):

P : harriaren pisua = 5,4 . 9,8 N

B :'urak eginiko Arkhimedes-en bultzada.

N : dinamometroak eginikoa (hau da apara

tuak neurtzen duena hain zuzen) = 2,4 Kgf.

Harria orekan dagoenez, zera idatz dezakegu:

N +B-P=0 B=P-N. 3 Kgf. = 3 . 9,8 N

Bestaldetik, Arkhimedes-en bultzadaren balorea hauxe da:

B = fa . g . V (f„, = uraren dentsitatea)

3. 9,8 V - • 0,003 m3rk • g 1.000 . 9,8

Harriaren bolumena ezagutuz, dentsitate absolutua honela

kalkulatuko dugu:

•

11.2. Irudiko zurezko zilindroak

uretan flotatzen du orekan. Zi-

lindroa urperatu nahi da, berti

kalki eta geldiro, beheko oina-

rriak ontziaren hondoa ikutu ar

te. Kalkula bedi egin behar den

lana.

Datuak:

h: zilindroaren altuera = 10 cm.

A: oinarriaren zabalera = 20 cm2

fz : zuraren dentsitatea = 0,8 g cm-3

H: ontziaren sakonera = 25 cm.

3

5 4 -3= 1.800 Kg. m0,003

Eta azkenez, urarekiko dentsitate erlatiboa zera anen da:

= 1,8

Ebazpena:

Ezer baino lehenago, zilindroaren

altueraren uretan sarturik dagoen Yo -

zatia kalkulatu behar da, gero zer dis

tantzia ibil eraziko zaion jakiteko.

Irudlan ikus daitezke zilindroaren

gainean eragiten duten indarrak:

P: zilindroaren pisua = fz A . h g

Ho : Arkhimedes-en bultzada = fm A . Yo g

4

Oreka - baldintza erabiliz:

tzBo -P=0 -.1kA Yo g- fz Ahg=0 Yo =h- = 8 cm.

fit

Honelatan, 2 cm. falta dira zilindroa erabat urpean gera da

din. Zilindroa 2 cm. horik jaitsiko den bitartean, gero eta ur -

gehiago desplazatuko du, eta, beraz, Arkhimedes-en bultzada han-

dltuz joango da. 2 cm. horik iragan ondoren, zilindroak ur bolu-

men konstantea desplazatuko du, beraren bolumen osoa hain zuzen

ere, Arkhimedes-enbultzade.kkonstante dirauelarik. Hau dela eta

bi zatitan banatuko eta aztertuko dugu prozesuat

1. Hondorapenaren lehenengo 2 cm-ak.

Indarrak (ikus irudia):

P t zilindroaren pisua = Pz A. h. gB : Arkhimedes-en bultzada =ru A y gF : Zilindroa hondoratzeko indarra.

zilindroa geldi-geldi hondora erazten denez,

hiru indarrok orekan diraute praktikoki, be

raz:

B-F-P= 0 -8.F=B-P=As(fu Y-rz h)

Eta hondorapenaren lehenengo partean egin behar den lana,

hauxe izanen da:

W F dy = Agih ( ru Y - fz h) dy = 20.980f1°(y-8) dy =YoYo '

= 39.200 erg.

tal"—

2. Hondorapenaren azkenengo 15 cm-ak.:

Lehen esan den moduan, parte honetan 21

lindroak desplazaturiko bolumena, bere

bolumen osoa da, beraren gaineko inda-

rrak honela geratzen direlarik:

•

5

P : zilindroaren pisua = fz A . . g

B': Arkhimedes-en bultzada =fu A . h . g

F': zilindroa hondoratzeko egin behar den indar konstantea.

Aurreko atalean adierazirika arrazonamendua berriz erabiliz:

B' - F' - P = 0 -0. F' = E' - P = A.h.g (fu ) =

= 20. 10.980. 0,2 = 39.200 d.

Beraz parte honetan egin behar den lana hauxe izanen da:

W' = F' (H - h) 39..200.15 = 588.000erg.

Azkenez, lan .osoa kalkulaturiko bien batuketa baino ez da.

Honelatan:

'WW =627.000erg.Wosoa

11.3. t1 tankerako hodi batenadar batetik merkurioa isur-

tzen da. Zer merkurio-kanti-

tate isur daiteke, beste ada

rretik hodiak daukan ura ja-

- rio ez dadin?

Datuak:

f' : merkurioaren dentsitatea = 13,6 g cm -3

A : hodiaren sekzioaren zabalera = 1 cm2

h : adarrean hutsik dagoen altuera = 6,8 cm.

(Oharra: Mintz fin bat dago bien artean eta merkurioa eta ura ezdira elkarrekin nahasten)

Irudfan ura jariotzeko zorian dago ezker-adarretik. M pun-

tuan presioak hau balio du:

11.4. Kalkula bedi irudiko hodiaren

azelerazioa bertako datuen funtzioan.

(sekzioaren erradioa oso txikia da

L luzerarekin konparaturik).

Aparatu hain sinple honi "aze

lerometro" deritzo, kotxeen, tre-

nen .... azelerazioak neurtzekoera

bilgarri baita.L

6

+ f g 2hP i4 = Pat

Eta ' puntuan:

Pte Pat f' g 11.

Bestaldetik, dakigunez, orekan dagoen fluido baten barneko

puntuen presioa beren altueraren funtzioa baino ez da, beraz:

PM = Pt4'Pat+fg2

h = Pat + f' g h' = 2h = 2. 6,8

1

13,6

= 1 cm.

Altuera ezagutuz, isuritako merkurio-kantitatea hauxe izanen'

da:

V = h' .A=1.1=lcm3

Ebazpena:

Isola eta azter dezagun hodiSren zati horizontalearen barne-ko likidoa, hodiarekin batera higitzen ari den erreferentzi siste

ma batetan.

7

Irudian erakusten dira liki

doaren gainean eragiten duten in

dar horizontalak (bertikalek, -

hots, pisua eta hodiaren erreak-

zio normalak, ez gaituzte kezka-

tzen, bion artean elkar orekatu

egiten baitute, probleman inola-

ko jaramonik ez dutelarik).

F1 : ezkerreko likido - zutabeak sorturikoa = p i .A =

=(pat 4-f:g h1)A

F2 : eskuineko likido - zutabeak sorturikoa = p 2 .A =

= ( P at + f g h2)A

Fi : inertzi indarra (ez bedi ahantz erreferentzi sistema ba

tetan ari garenik). = m a =rAL a

("A", hodiaren sekzioaren azalera da, eta "jp" likidoaren dentsita

tea).

Erabiltzen dugun erreferentzi sisteman, likidoa orekan dago,

eta beraz:

- F2 - Fi = 0-qn fg (hi - h ) A -fAL a =

a----L

11.5. Irudiko montaketa,

hodi horizontal baten -

barrutik doan likidoaren

kaudala neurtzeko erabil /‘

tzen da, eta Venturi-ren

neurgailua edo Venturime

troa deitzen da. Hitz la

burrez, honetan datza: A1 sekzio-zabalera duen hodian, A 2 zaba

leradun estugune bat jartzen da, bai hodian eta bai estugunean

ere manometro bana kokatzen delarik (ikus irudia).

Aipaturiko sekzio-zabalerak eta manometroek emandako p i eta

p2 presioak ezaguturik, lor bedi kaudal bolumenlkoaT pisu es-

pezifikoa duen likido batekin.

OHARRA: Suposa bedi, sekzio bakoitzean abiadura-banaketa unifor

mea (fluxu ideiala) eta fluidoa konprimaezina dela.

Ebazpena:

Bernouilli-ren teorema (1) eta

(2) puntuei aplikatzen badiegu, ze-

ra geratzen zaigu:

2Vp1 1

2 g

P2 V

2 2

2 g

Bestaldetik kontinuitatearen ekuazioak honela dio:

V1 A

1 = V2 A2

Aurreko bi ekuazioetatik erraz atera dezakegu abiadura bat,

adibidez:

2 g (Pi - P2)V 3.=

r[(AA, ) 2 1.]

-2

Hemendik, eskaturiko kaudala hauxe izanen da:

K =A V = A1 1 1

/

2g ( pi - p2

A1 31r [( A2 )2

_

•

9

yA,1, Irudiko urtegiaren isurbide-hodiak A 1 sekzioaren azaleradu. Hoheko muturrean hodia estutu egiten da, sekzioaren azale

ra A2 delarik.

a).Ralkula bedi urtegia

ri darion ur kaudala

1. s-1 -tan eta m3 . h-1

tan.

b) Zer altuerara joango

da ura, jarritako hodi

manometriko bertikalean?

Datuak : A = 200 cm21

A2 = 100 cm2

H = 40 m.

= 10 m.

OHARRAK: Jo bedi fluxu ideialaz ari garela eta urtegiaren goi

ko mailaren altuerak konstante dirauela.

Vo2+ z 2.1_

V22

2g o r 2g+ Z 2

Ebazpena:

a) Aplika dezagun Bernouillf-

ron teorema, erakutsiriko

korronte-ierroko (0• eta

(2) puntuen artean:

Expresioa erra;teko, ondoko hau kontutan hartuko dugu:

Vo = 0Z2 = 0Po = P2 = Pat Zo = H

Beraz , V2 irteerako abiadura honela geratuko zaigu:

V2 = ‘12;71 = \12 . 9,8. 40 = 28 m s-1

10

Eta kaudal bolumetrikoa:

K = V.2 A2 = 28. 100. 10 -4 = 0,28 m3 s-1

Edo, eskaturiko unitateetan:

K = 0,28 (m3 s-1 ) . 10 3 (lt m 3 ) = 280 lt. s-1

K = 0,28 (m3 s

-1 ) . 3.600 (s h 1 ) = 1.008 m3 h 1

b) Hodi manometrikoan urak hartzen duen altuera, oinarrian pre-

sioak duen balorearen funtzioa da, argiro. Presio hau lortze

ko, Bernoulli-ren teorema erabiliko dugu berriro, orain (1)

eta (2) puntuen artean aplikaturik:

2V1

2 V2P2+ Z = + Z 22g r 2 g

p1 Pat /-

2V22 - V2

2 grh

Ez dugu V1 abiadura ezagutzen, baina berehala atera dezakegu

jarraitasunaren ekuazioa dela bide; hau da:

A2Vl Al = V2 A2 V1 = V2

Eta balore hau aurreko expresioa eramanez, honela geratzen

zaigu:

22

1 -

A22] h

Pl Pat +Vr-2g [

1

Ondoren, hodi manometrikoaren barneko

ur-zutabea geldirik dagoenez, hidrosta-

tikaren funtsezko ekuazioaz baliatuko -

gara, hau da:

= Pat 11.

A1

11

azken bi ekuazioak konbinatuz, beste hau ateratzen dugu:

V22 frA \ 2

t at . r Ei - (-3-A ) i r h = Pat . h.2 g 1Hemendik, eskaturiko ur-altuera hauxe izanen da:

V22

28 2fi _(2'2-.) 2.1 ri. _ ( 10. ) 21 _, . _ h.. 10 =2 g n, A1 / 2 . 9,8 L 1 200 /

= 20m.

luji Jolasean ari direlarik, elefanteak

ur-txorroa jaurtfki-

tsen dio barraskiloa

ri. Kalkula bedi,txo

rroak moluskuari egi

ten dion indarra.

Datuak:

X : txorroaren kaudal bolumetrikoa = 0,05 lt. s-1

A : txorroaren sekzioaren azalera = 10 cm 2

OHARRA: Suposa bedi, txorroa barraskiloari perpendikularki hel

tzen zaiola, eta jo ondoren, ura bertikalki jaisten de

la, hau da, errobotatu gabe.

Rbaspena:

Azter dezagun, (t) unean barraski

loa ikutzen hasten den txorro-zati ele

Mentala. ,(ikus irudia)

Une honetan elementuaren momentu

11.8. Ur-koronte txiki ba

tetan doan k\ortrozko disko

bat, biraka ipintzenda kol

petxo tangentzial baten bi

dez, irudian erakusten den

bezala.,

Korrontearen zein aldera desbideratuko da diskoa?

12

lineala hauxe da:

7(t) P A dl v

dldt = denbora-tarte txikia pasa ondoren, aipaturiko ele

mentuak galdu egiten du bere momentu lineala, barraskiloa•ekin -

duen talkaren ondorioz; beraz:

1;8> (t + dt) = 0

Momentu linealaren aldaketa zera izanen da:

dp = p (t + dt) - p(t) = - A dl v 7.»

Eta moluskoak txorroari egiten dion indarra, zera:

_g2– - f A dl vF =tb t dl i=-fAv

Akzio-erreakzioen printzipio erabiliz, txorroak moluskuar1

egiten dion indarra, honela lortuko dugu:

= Fth = v2 i

Eta indarren balorea hauxe izanen da:

2 r A2 v2 _,K 2 _ 1(0,05. 10 3 ) 2Fbt =',A v -10

= 250 d

Ebazpena:

Diskoaren biratze-higiduraren ondorioz, alde batean kortxoak

13

ura balaztatu egiten du (vi < vo ) eta

besteen, berriz, azeleratu (v2 >vo) •Uraren superflzieko puntuak praktiko

kt altuera berekoak dlrela kontutanbarturlk, eta Bernoulli-ren teorema

Srabillz, ondoko ondorioak atera dl-

tsakepu:

vo2v1

2Po 1

2g 2g

.p vo2• P2

r 2gv2

2

2g

vl < vo izanez

p1 .1, po izan behgr (1)

{

> Vo izanez

p2 < po izan behar (II).

(Z) era (II) desberdintzetatik, zera

"teritaan taigu:

P1 > P2

Berar, ezker aldean urak inten-

tneklago bultzatzen du diskoa, eskuin

aldean baino. Honelatan, irudian ikus

ten den moduan desbideratuko da dis-

Irudiko ur-korrontea (T)

turbina higierazteko erabilia

da. Sarrera eta irteerako ho-

diak sekzlo berekoak dira,eta

puntu bion arteko altueraren

diferentzla, erabat arbuiaga-

-rrla.

P turbinaren potentzia eta K korrontearen kaudal bolumetri

koa ezagutuz, lor bedi, lehen aipaturiko puntuon arteko presio-

aldaketa.

OHARRA: Suposa bedi, fluxua ideiala dela.

14

Ebazpenas

Dakigunez, Bernouilli-ren teoremak, bere erarik sinpleenean,

korrontearen energiaren kontserbazioa baino ez du adIerazten. Ha-

lere, behar diren zuzenketan egInez gero (ikus teoriazko liburuan

11.9. atala), korrontearen energia kontserbatu egiten ez den ka-suan, aipaturiko teorematik ateratako erlazlo bat erabil daiteke,

"energiaren ekuazio generala" deiturikoa hain zuzen ere. Honela -

idatziko dugu:

olg Zi 1

2 v2G12

2(I)

+ / 12 ' g Z 2 4. 7-2 4. a( 22 2

Z1, pi , vi , Z 2 , p 2 eta v2 ikurrek beren ohiturazko esangura dute

(vi eta v2 direlakoak batezbesteko

abiadurak dira, baina hauek ez gai

tuzte kezkatzen, ondoren ikusiko -

dugunez).

ot 1 eta Ar 2 koefizienteak energia zinetikoari dagozkion korrekzio-faktoreak dira, hau da, sekzio bakoitzeko abiaduren banaketa kon

tutan hartzeko sartzen diren faktoreak. Gure kasuan, ordea, flu-

xu ideiala kontsideratzen dugunez:

°C 1 °C2

Bestaldetik, sarrera eta irteera sekzio berekoak direla go-

gora ekarriz (A 1 = A2 ) eta jarraitasunaren ekuazioa aplIkatuzs

v1 = v 2

Beraz, (I) ekuazioan agertzen diren abiadurazko terminoak,

sinplifikatu egiten dira.

Gauza bera esan dezakegu, altuerazko terminoei dagokienez,

enuntziatuaren arauera z i = z2

Dagoeneko, ba, (I) ekuazioa honela geratzen zaigu:

P1 + P2 + G12 (II)f 12 f

15

Goazen oran, 1 12 eta G12 gaiak aztertzera:

2 : (1) ata (2) puntuen artean korronteak irabaziriko energia,

fluidoaren masa-unItateko.

0ure kaguan, argi eta garbi, 1 12 = 0

(1) eta (2) puntuen artean korronteak galduriko energia, -

fluidoaren masa-unItateko. Praktikan, termino honek, besteak

beate, marruskaduraren ondorioz bero bihurturiko energia me-

kanlkoaren kantitatea hartzen du kontutan; baina gure kasuan

es da horrela gertatuko, fluxua ideiala dela kontsideratzen

da eta. Gure kasuan, ba, gai honek turbinak korrontetik era

usten duen energiaren kantitatea baino ez du neurtzen.

Ikus dezagun G12 delakoaren , P turbinaren potentziaren eta

kaudalaren artean dagoen erlazioa. Demagun dt denbora-tartean, -

ina barrutik igarotzen den dm ur masa-kantitatea. Bedi dW,

turlko•dm masak turbinari ematen dion energi kantitatea. Defini-

*

dWG12 =

dm

aeraa:

eta p

dt

P dt

dm dm/dt f K

A'Skenez, erlazio hau (II) ekuaziora eramanez, eskaturiko pre

ildaketa hauxe izanen da:

a12 s

,20 cm-tako diametroa duen hodi baten barrutik, ura Isur-tafn ari da, 4 ms -1 -tako batezbesteko abiaduraz. Uraren tenpera‘ra 15°C da. Zer batezbesteko abiaduraz isuri behar du fuel

Olf~ota batek, 10 cm-tako diametroa duen beste hodi batetatikflUxuok dinamikoki antzekoak izan daitezen? Erabilitako fuelo-lloaren tenperatura 32°C da.

01 P2

fPl - P2 =

16

Uraren biskoaitate - koefiziente zinematikoa (15°C -tara)

. 1,14. 10 -6 m2 s-1

Fuelolioaren biskosItate - koefiziente zinematikoa (32°c -

tara) = 2,97. 10-6 m2 s-1

Ebazpena:

Esperientziak dioenez, bi fluxuk dinamikoki antzekoak izan

daitezen, Reynolds-en zenbaki berbera izan behar dute. Beraz:

D1 f2 D2 v2R2

hemen (1) azpindizea uraren kasuari

dagokio eta (2) -a fuelolioaren ka-

suari.

Edo:

D1 v1D v D1 v12 2

ni/fi ‘2/2 V1

v eta v2 direlakoak biskositate - koefiziente zinematikoak

D v2 2

ya

dira.

Hemendik, eskaturiko abiadura zera izanen da:

DI Y2 _ 4 20 2,97. 10- = 20,8 m s-1v v. D210 1,14 . 10"."

Koipe baten biskositatea

neurtzeko, ondoko esperientzia

antolatzen da:

Mahai horizontalaren gainean

koipe-xafla hestu-hestua heda-

tzen da, pintzel baten bidez.

Koipe-xaflaren gainean xa-

fla solido bat jartzen da, eta

irudian erakutsitako mekanismo

17

•inplea dela medio higierazten da. (Xafla solidoak oso arina -

izan behar du, koipe-xaflaren lodiera alda ez dezan; halaber,

gintzilikaturJko masa kontu handiz hautatu behar da, sistema

ezelera ez dadin).

a) Kalkula bedi; erabiliriko koipearen biskositate-koefiziente

zinetikoa.

b) Baldin eta zintzilikaturiko masaerdiraerreduzitzen bada, -

zer abiaduraz higituko da xafla?

Datuak:

h: koipe-xaflaren lodiera = 0,1 m m

f: koipearen dentsitatea = 910 kg. m 3

A: gafla solidoaren azalera = 0,25 m2

m: zintzilikaturiko masa = 20 gr.

v: sistemaren abiadura = 1,4 cm s-1

P:hasPena:

e) Eeperientzia hau, liburuko 11.1. atalean adierazitakoari buruzko aplikapena baino ez da. Xafla higitzeko behar den indarra,

sera da:

F .h F = v -h A v. A

Beraz, koipearen biskositate-koefizientea kalkulatzeko, xafla

tik tiratzen duen indarraren

balorèa behar dugu. Balore

hau erraz atera dezakegu -

(ikas irudia):

F - omg o F = mg

? m q h _ 20 . 10 -3 . 9,8 . 0,1 . 10 -3= 5,6 . 10 -3 Kgm-1 s-12v A 1,4 . 10 .0,25

Eta biskositate-koefiziente zinematikoa hauxe izanen da:

E p

.p

F

yL-Aleaz=0)

il?

18

y 5 6 .10-3 10-6 m 2 s-1910

b) Probleman erabili dugun lehenengo formulan ikus daitekeenez,

beste faktore guztiak konstante egonez gero, indarra eta abia

dura arauerakoak dira. Honelatan:

F'2

v' = –Y– = 0,7 cm 8-12

19

ARIKETAK

I.- R = 6 m-tako erradioa duen puxika bat, f 0,18 Rg m 3 -tako4entsitatea duen gas batez beterik dago. Ralkula bedi puxikak

jaso desakeen masarik handiena.

Airearen dentsitatea 1,3 Rg m-3 da.

imaltsa: 103,3 Rg.

:2.- Xaikula,hadilorricellik beharko lukeen luzera minimozko ho-

' dia, egurats-presioa neurtzeko egin zuen esperientzia xele-

brean, merkurioaren ordez ura erabili izan balu.

Emaitza: 10,35 m.

Kalkula bedi, tapoia atera eraz

ten hasteko egin behar den indar

minlmoa:

a) Baldin eta tapoiak ontziaren

hondoa oso-osorik ikutzen badu.

b) Baldin eta tapoia eta ontzia-

ren ondoaren artean oso ur-xa

fla hestu bat badago.

Arbuia bitez tapoiaren pisua eta altuera

Datuak: A1 = 50 cm2

A2 = 40 cm2

h = 10 m.

pat= 10 5 N m 2

Emaltzak:

a) 490 N

b) 98N

20

4.- Uraz guztiz beterik dagoen edalon

tzi batetan, izotz zati bat ari -

da flotatzen. Izotzaren urketager

tatzean, zer ur-kantitate eroriko

da edalontzitik?

Emaitza: Tantarik ez.

5.- Kalkula bedi, ontziaren hondoan da

goen zilindroa uretatik ateratzeko

egin behar den lana (zilindroa gel

diro-geldiro ateratzen da).

Datuak: = 5.000 Kg m3

= 80 cm2

h 5 cm.

H = 12,5 cm.

Emaitza: 2,94 J.

6.- Irudian eskematikoki erakus

ten den tramankuluari jaso-

gailu hidraulikoa deritzo.

Erlatiboki txikia den indar

baten bidez, oso pisu han-

diak jasotzeko erabiltzenda.

Kalkula bitez:

a)Findarraren balorea, P pisua orekan mantentzeko.

b) Egin behar den lana, P pisua geldiro-geldiro h altuerara

jasotzeko.

Datuak: P = 5. 10 4 N

A1= 1 m2

A2= 20 cm2

f = 500 Kg m 3h = 20 cm.

21

Emaitzak: a) F = 100 N

b) Bt6 . 10 4 J.

7.- Ralkula bedi, M manometroak

neurtzen duen presioa,

Kp. cm-2 -tan.

Datuak:

fr2 : merkurioaren dentsitate

erlatiboa = 13,6

fr2 : olioaren dentsitate er-

latlboa = 0,75

h2 : 23 cm.

h2 : 3 m.

Emaitza: - 0,087 Kgf cm2

8.- Irudiko Ir-tankerako hodia bi

raka ari da bere ezker-adarra-

ren inguruan. Lor bedi abiadu-

ra angeluarra.

OHARRA: Hodiaren sekzioaren

erradioa oso txikia da L dimen

tsioarekin konparaturik.

Emaitza: W V57hL

9.- Irudiko hodi horizontalaren ba

rrutik f dentsitatea duen flui

doa igarotzen ari da. Bi sekzio

en azalerak A 1 eta A2 dira. Lor

bedi korrontearen kaudal masi-

koa, fluxua ideiala dela supo-

satuz.

10.- Irudiko hodi bertikaletatik

dentsitateko fluidoa gorantz

isurtzen ari da. Bi sekzioen

azalerak A1 eta A2 dira, eta

korrontearen kaudal bolume-

trikoa X.

Lor bedi hodi manometri-

koan agertzen den g altuera

diferentzia.

Fluxua ideialtzat jotzen

da.

Emaitza: h' = r K21

2g (F' - ) A2

,,C..«•n•••n•°'"~"."-'

22

Emaitza:-

Alij ) 2/A 1 - 12

11.a) Lor bedi, hormako zuloan ze

har ontziari darion txorro

estuak eginiko D distantzia

horizontala, lurrera iritsi

arte.

b) Ontziaren hondotik zer altue

ra egin beharko litzateke -

beste zulo bat, bertan zehar

isuritako likidoak aurreko -

txorroak jotzen duen lurreko

puntu berberera jo zezan?

OHARRA: Ontzi likidoaren

suposatzen da.

geldirik dirauela

23

Emaitzak: a) D 2 V177;:1;7

b)

12.- Gaurko hegazkinek 100 Kp-tako euste-Indarra behar dute, he-

goaren m2 -ko. Hegoaren beheko aldetik igaro den airean abiadura, 90 m s-1 -takoa izanez gero, kalkula bedi goialdeko -

airearen abiadura, behar den indarra lortzeko.

airearen dentsitatea = 1,3 Kg m 3

OHARRA: kontsidera bedi, airea fluido konprimaezina dela,

eta arbuia bedi hegoaren lodiera.

Emaitza: 98 m s-1

13.- 11.7. probleman, kalkula bedi barraskiloak jasango lukeen

indarra:

a) elefanteari 3 cm s-1 -tako abiaduraz hurbilduko balitzaio.

b) elefantearengandik 3 cm s -1 -tako abiaduraz urrunduko ba-

Iltz.

Emaitza: a) 640 d.

b) 40 d.

14.- I. Irudiko suhiltzaileak

erabilitako mangerak lOm

tako altuerara jaurtiki-

tzen du ur-txorroa. Txo-

rroak 53°-tako angelua

osotzen du irteeran hori

zontalarekin, eta puntu honetan mangerak duen sekzioa 25,6

cm2 -takoa da. Kalkula bitez:

a) Kamioi-ontziaren barneko uraren presioa.

24

b) Txorroaren kaudal bolumetrikoa.

II. Ontziko uraren presioa egurats-presio bera izanen balitz,

suhiltzaileak uhaga bat erabili beharko luke. Kalkula bedi

uhagaren potentzia, aurreko ataleko baldintzak mantenduz.

Datua: egurats- presioa : 10 5 N m2

OHARRA: Arbuia bedi ur-ontzi eta mangeraren arteko altuera-

diferentzia. Halaber, kontsidera bedi ontzi barneko

ura geldirik dagoela.

Emaitzak: I.a) 2,53. 10 5 N m2

I.b) 4,48. 10-2 m3 s-1

II. 686 W.

15.- Irudiko hodi horizontala

ren barrutik pasatzenari

den likidoaren dentsita-

tea f da, eta kaudal bo-

lumetrikoa K. Hodia sek-

zio berekoa da puntu guz

tietan. Halere, (1) eta

(2) sekzioetan kokaturik

dauden hodi bertikaletan, likidoak ez du altuera berbera lor

tzen, korrontearen energia mekanikoa konstante ez dirauela -

adieraziz.

Kalkula bedi, aipaturiko sekzioen artean likidoak denbo-

ra-unitateko galtzen duen energia, hots, potentzi galketa.

Emaitza: K f g h

16.- Irudiko hodiaren barnetikfe = 0,877 -tako dentsitate erlatiboa duen olio-mo

tako bat doa. Kalkula be-

di (1) eta (2) sekzioen -

•

112

25

arteko potentzi galketa.

Datuak: h = 3,6 m.

X kaudal bolumetrikoa = 1461 1.s-1

pl = M1 manometroaren neurketa = 0,930 Kp cm2

p2 = M2 manometroaren neurketa = 0,615 Kp cm2

Emaitza: 37.640 W.

17.- Irudiko hodia plano horizonta

lean datza, angelu zuzen baten

tankera duelarik. Hodiaren ba

rrutik dentsitate duen liki

do bat isurtzen ari da, p.pre

zioz. Korrontearen kaudal bo-

lumetrikoa K da.

Y

\Gatrilloa A

Lor bedi, likidoak hodiaren

ukondoari egiten dion indarra.

OHARRA: Fluxua ideiala dela kontsideratzen da.

-•Emaitza: - 1 (pA2 + r K2) i+(pA2 + rK2)A

18.- Irudiko hodi horizontalaren

barrutik isurtzen ari den -

korrontea, eguratsera irte-

ten da. Kalkula bedi,bisek

zio desberdinetako zilindro

ak elkartzen dituen piezari

urak egiten dion indarra.

Datuak: A1 = 40 cm2

A2 = 20 cm2

X = kaudal bolumetrikoa = 80 1. s-1

pe = egurats-presioa = 10 5 N m s-2

OHARRA: Suposa bedi fluxua ideiala dela

• Emaitza: 1.000 N, korrontearen sentidoan.

•

26

12, GAIA

27

HIGIDURA OSZILAKORRA

28

12.1.- Oszilagailu harmoniko sinple baten adierazpen matematikoa

ondokoa da: x = 4 sin (0,1 t +0,5) , bertako unitate guztiak MKS

sisteman emanik daudelarik.

Lor bitez:

a) Higiduraren anplitudea, periodoa, frekuentzia eta hasiera

ko fasea.

b) Hasierako baldintzak (hots, t = o denean).

c) Posizioa, abiadura eta azelerazioa, t = 5 s. aldiunean.

d) Egin bitez posizioaren, abiaduraren eta azelerazioaren

grafikak denboraren funtzioan.

Ebazpena:

a) x = 4 sin (0,1 t+0,5) x = A sin (wt +01)

Beraz, anplitudea A = 4m.

Bestalde, frekuentzia angeluarra hauxe da:

W = 2 pr), = 0,1

= 0,1 s-i

.•

eta periodoa T = 1 27r - 201r 0.0,1

Hasierako fasea: = 0,5 rad.

b) Kalkula ditzagun abiadura eta azelerazioa edozein aldiune-

tan:

•- 4 . 0,1 . cos (0,1t+0,5)

a dvt - 4. 0,1 . 0,1 sin (0,1t+0,5)

dxv- dt

d)

fra 4 Sin@Jt #0,5)I

Irk 0,4 cos(0.1 t+0,5)1

sin(Oi t#0,5) I

29

t = o eginik.fxoxo = 4 sln 0,5 « 1,85 mvo = 0,4 cos 0,5 vo = 0;18 m/s

a = –0,04 sin 0,5 ao = - 0,02 m/s2o

c) t = 5s eginik.

1

xs = 4 sin (0,1 . 5 + 0,5)

v5 = 0,4 cos (0,1 . 5 + 0,5)

as = - 0,04 sin (0,1 . 5 + 0,5) ixs = 3,36 m

v5 = 0,34 m/s

as = - 0,03 m/s2

30

x = 4 sin (0,1 t + 0,5)

(rad)

t 0 , 1 t + 0 , 5 sin (0,1 t+ 0,5) 4 sin (0,1 t+ 0,5)

- 5 0 0 0

0 0,5 0,48 1,82

5 1

10 1,5

10,7 Tr/ 2 1 4

• 26,4 if 0 0

• 42,1 311/2 - 1 - 4

• 57,8 2T( 0 0

+ 0,5 = 0 t = - 5

TI--2- - 0,5---o- t0,1 t + 0,5 = = 10,7

0,12

0,1 t + 0,5 = Tt t = n- 0,5 26,40,1

37( 0,5t+ = = 42,1 •

2 0,1

0,1 t + 0,5 = 2 27T - 0,5 rr t - - 57,80,1

•

31

12.2.-

a) Erresorte batetatik zintzilikaturik dagoen bloke bat higidu-ra harmoniko sinplez bibratzen arl da. Blokearen elongazioa an-

plitudearen erdia den aldiunean, energia osoaren zein frakzio -

da zinetikoa eta zein potentziala? (erresortea masarik gabea de

la ematen da).

b) Blokea orekan dagoenean, beraren luzera indarrik egin gabe -

duena baino s kantitatean da luzeago. Froga bedi, periodoa ho

rrela adierazten dela:

T 27T

Ebazpena:

a) Teoriaren arauera, higidura harmoniko sinplearen energia zi-

netikoa eta potentziala honela adierazten dira (ikus 12.2.)

1-2-

Ep .. -7- m 4) 21

(A2 - x2)

x2

1 2 A2E = —2--mw

Beraz, x = —T- denean:

1 2 ( 2 A2). 3 ( 1 2 A2Ek = -2- m A - —4-- —2— m w

1 2 A2(E =p (4) = rn (432 A2) = E

32

•••

Aurreko balorea jarriz

Pisuaren kausaz s elongazioa

gertatzen denez (orekan):

mq k s

k

Bestalde, honela adierazten da

periodoa, erresortearen k kons

tantearen funtzioan.

P = 2 n

b)

12.3.- R erradiodun eraztun baten masa m

da. O puntutik zintzilikatzen da plano

bertikal batetan oszilatuz. Zein da os-

zilazio txikien periodoa?

Ebazpena:

Teorian frogaturik dugunez (ikus 12.1)

P 2T(Ie

m g b

hemen I e delakoa, 0-tik pasatzen den ardatzarekiko inertzi mo

mentua da eta b delakoa, 0 puntuaren eta masa-zentruaren arteko

distantzia.

Beraz:

IMZ + m R2

= m R2

+ m R2

= 2 m R2

b = R

Orekan dagoela, pisua (mg) eta

uraren bultzada (B0) berdinak

dira.

/

33

Hau da:

P211' 2 m R2

m g R..nnn•n••• P ,n

12.4.- Zurezko zilindro baten dentsitatea 0,8 gr/cm 3 da, beraren

erradioa 50 cm. eta altuera 25 cm. Zilindroa uretan dagoela, -

oszilatzen ari da bere ardatz bertikalaren direkzioan. Zein da

higidura horren periodoa?

Ebazpena:

Uraren dentsitatea:

Zuraren dentsitatea:

--Orekan daudela:

fH20

f = 0,8

Pisua = mg = g .0,8.7rR2 H

Bultzada = Bo = g. 1 prR2 h

—x luzera barruratzean, pisua berbera da, baina bultzada aldatu

i

h = 0,8 H . 20 cm.

34

egiten da:

X g . 1 ./T R2 (h + x) + g . 1 . R2 X

Beraz, goranzko indar netoa hauxe izango da moduluz:

F Bx m9 1 g nrR2 x = k x

Bta sentidoz,F hau x delakoaren kontrakoa da. Rots, higidura

harmoniko sinplearen ekuazio matematikoa ageri zaigu:

F = - k x ( k = g n R2 )

Higidura oezilakor horren periodoa hauxe izango da.

ITS2 . H . 0,8 P 2ff\r÷- 2111 g 1r R2

P 27( 0,25 .0,9 s.

9,8

p.5,- Partikula bat aurrerantz eta atzerantz labantzen ari da

irudiko bi planoen artean, marruskadurarik gabe.

a) Lor bedi higiduraren periodoa, hasierako altuera ho

baldin bada.

b) Higidura hau oszilakorra al da? Harmoniko sinplea al

da?

35

Azter deza•un nolakoa den higidura, plano bakoitzean:

x : - mg sin .(= m ax

y ; - mg cosei + N 0

Azelerazioa interesatzen zaigu soilik-~ax = - g sina(

Hau da, partikula hori azelerazio konstantez jaisten da pla-

noan behera.

Simetriaz, beste planoan ere gauza berbera jazoko da. Hots:

Plano bietan dagoen bitartean, etengabe jasango du planoan behe-

ranzko azelerazioa.

Beatalde . energia kontserbatu egin behar da.

Labur esanik, honelakoa izango da higidura:

1. Hasieran A puntuan askatzen da,

abiadurarik gabe.

2. AB tartean higidura uniformeki

azeleratua izango du azelerazioak

a = g sino( balio duelarik.

3. BC tartean higidura uniformeki dezeleratua izango du, deze

lerazio berberaz (g sino().

C puntuan gelditu egingo da, puntu hau A delakoaren altue-

ra berekoa izanik, energia kontserbatu egiten baita.

4. CB tartean AB tartearen antzera.

5. BA tartean BC tartearen antzera.

6. Eta berriro, A puntuan geldituz, errepikatu egingo da pro

zesua.

36

Beraz,higidura oszilakorra da. Baina ez da harmoniko

ez baita x = A sin (ot +4() delako adierazpen matematikoarenarauera gertatzen.

Bigidura oszilakorraren periodoa kalkulatzeko, AB tartean ema

ten duen denbora kalkulatuko dugu. Bigidura hori uniformeki aze-

leratua da:

AB =h

°sin«

a t t AB1 - 2

A

2ho

2 hosinott-

g sino<

/

g sin 2 a(

Simetriaz, periodoa hauxe izango da:

P = 4 t P - 4 2 ho

sin g

12.6.- Demagun, direkzio bereko ondoko bi higidura harmoniko sin

pleak ditugula:

= 4 sin (e) t + )

x2 = 3 sin (0) t + -35.1 )

a) Lor bedi bi higidura horien gainezarmenez lortzen den hi-

giduraren ekuazioa. ..

b) Bektore biratzaileen bidez, aaieraz bitez hiru higidura

horien grafikak.

(Problema hau 1.975 - VI - 23 ko examinean jarri zen).

ÇAI=3L 4203

0.)

E:30

A l= 4

= 4 5in.(tut•f) X.1 a 3 ain (nit + q.r.)

37

ibaznena:

•Lehenengo unetik erabiliko dugu bektore biratzaileen bidezko

adierazpen grafikoa. Konkretuki, irudia errazteko, t = o aldiu-

nea aukeratuko dugu(higidura oszilakor biak maiztasun berekoak

direla eduki behar da kontutal.

Kasu honetan, bien arteko desfasea hauxe da:

Honelatan:

A 2 + A2 = 4 2 + 3 2 = 5

= + = 0(1 + artg

1rc< = —ir- + artg3

Azkenean, ba, honela adieraziko dugu, gainezarmenez lorturiko

higidura:

5 sin (a) t + 3artg )

38

12.7.- Bi direkzio perpendikularretan gertatzen ari diren bi bi-

brazioen adierazpen matematikoak ondokoak dira:

x = 10 cos 51Ttffy 10 cos ( 3.0 1T t + )

IrudIka bedi bien konposaketaz lorturiko higiduraren Lis-

sajous-en irudia.

Ebazpena:

Ebazpen grafikoa egingo dugu, irudia puntuz puntu lortuz. Fun

tzio sinusoidalen agerpena errazteko, abszisatan 5ITt delako al-

dagaia hartuko dugu erreferentziatzat. Hurrengo irudiek eta tau-

lak adierazten dute prozesu osoa.

Sift lont + /1/4 cos(ont+iy3)

a 0 7T/3 1/2 5

b 1772 o O

c 1T/ 4 W/ 2 + 117 3 - C-7-

- 5ff

el /T - i - toe 1T/2 11 + 1T/3 - 1/2 - 5

f 31T/2 0 0

g 31T/4 31f/2 +11./ 3 iT/2 5 fr

h 211 1 10

i. /T 21i+ 11-/ 3 1/2 5

j 51T/2 0 . 0

k 51i/4 51T/2 + W/3 - ir3/2 - 5 19

1 3 n - i - 10m 37T/2 3n+ ni2 - 1/2 - 5

n 7W/2 0 O

o 71T/4 71f/2 + ni 3 F/2 5 (-5-

p 4 ir 1 10

cl 4 fr+ iri 3 1/2 5

•

r

(f + op)t.co obx

ot

II.

»Iffil

6

40

12,1,- Pendulu einple baten periodoak 2,5 e balio du, oezilazio

txikiak egitean. Une batetan oszilazioaren anplitudeak 2°bal10

izan du. Hamar oazilazio oso burutu ondoren, beraren anplitudea

txikiagotuz joan da 1,5° balioz.

Lor bedi indargetze - konstantearen balorea.

Ebazpenat

Enuntziatuak dioenez, oszilazio indargetu hauetan ¥'konetantea

ren balorea txikia da. Orduan, teoriaren arauera (ikus 12.4), a

kasuan gaude, hau da,11',(0), den kasuan. Beraz, higiduraren azal-

pen matematikoa era honetakoa izango da.

x A eirt sin (Wt +0()Azter. dezmjun higidura oszilakor honen anplitudearen bilakape

{

t= 0 --e.Ae -Y t =A= 2.t = 10 . 2,5 = 25 s. --..

--9.- A e 1 25 = 1,5

na.

A e -rt

Hau da:

e -r 25 = 1,5 2

25 r 2= ln = ln 1,331,5

ln 1 33

25= 0,0114 s

•

41

ka,zi - Higidura oszilakor indargetu bateh ekuazioa

y A e Z't cos cot da, non y delakoa magnitude oszilatzai-

lea den. 20 segundu pasa ondoren 5 oszilazio gertatzen dira eta

hasieran 2,78 cm. balio zuen anpfitudeak, orain 1 cm. balio du.

1.- Lor bedi fenomenoaren sasiperiodoa (T)

2.- Lor bedi indargetze-konstantea (/)

3.- Adieraz bedi higidura honen ekuazio diferentziala.

Ekuazio honen parametroak zehaztu egin ote daitezke?

Ebazpena:

1.- Hogei segundutan 5 oszilazio egin dituenez

20T = - 4 s5

Honen bidez frekuentzia angeluarra lor dezakegu

= 2 ir E, -1

T 2

2.- Indargetze-konstantea lortzeko, aurreko probleman bezala

egingo dugu.

t = 0 A e = A = 2,78 cm.A - T t

t 20--o.- A e Y 2 ° = 1 cm.

e - 20 = 1

2,78

20 = ln 2,78__.... r _ 1 2,78ln 220

= 0,051 s

42

3.- Dakigunez (ikue 12,4) higidura honen ekuazio diferentzia-

la ondokoa da:

2 2+ 2 y+ WO =

dt U dt

X{Hemen 2 —

Bestalde 0.: 1/0) 2

izanik

Beraz,m)eta Y ezagutzen ditugunez, erraz lor dezakegu tBo:

pr-,77

Eta horrela eginik ekuazio diferentzialaren parametroak

lorturik daude. Beste kontu bat da X eta k parametroak lortzea,

horretarako oszilatzen ari den partikularen masa ezagutu behar

baita.

12.10.- Bi oszilagailuk masa berbera daukate. Hasieran anplitude

berbera daukate eta indargetze - konstante () berbera jasaten

dute. Hala ere, batak bestearen frekuentzia baino bi aldiz han

diagoa du. Bietariko zein indargetuko da lehenago hasierako an

plitudearen erdiraino?

Ebazpena:

Teoriaren arauera (ikus 12,4), indargetzea txikia denean (y1014),era honetan adierazten da higiduraren ekuazioa

x s A e -‘‘ t sin (Wt +

•

43

Hemen:2m

Beraz, bi higiduren kasuan A etarparametroek balore berbera

daukate. Eta anplitudeari dagokionez, biak indargetuko dira modu

berean. Desberdintasun bakarra frekuentziari dagokiona da:

20) 1 . Baina honek ez du zerikusirik anplitudearen eboluzioa

rekin.

12.11.- Froga bedi ezen oszilazio bortxatu - indargetuen kasuan,

anplitude-erresonantzia O/f 1/(1202

26.2 frekuentzian gerta

tzen dela.

illa.22PAL

Teoriaren arauera (12 . 5 ), erregimen iraunkorrean anplitudea

ren adierazpena ondokoa da.

Fo / mA =

com 2 + 4 r ' wfo/

Hemen Fo , m, Wo etarkonstanteak dira

Beraz, A = A ( A/f)

Anplitude - erresonantziak A delakoa maximoa dela esan nahi

du. Horretarako dA 0 egingo dugu

d(Of

Fo 2(cu: —4) 2 cro; + 8 r?. wf

m

2V (chq — c4.3;) 2 + 4 y2 c1f2

(4z _ )2 + 4 irzdA

d= 0

44

Hemendik:

2( 0.1, - 0, ) 2 eft).F + 8 Ï

2 tA), « 02 2

f o

4 CO; ( CO; •• CA: + 2 /2 ) = 0

Azkenean:

Hauxe da anplitude-erresonantziari dagokion frekuentzia.

-4

45

ARIKETAK

1.- Puntu bat zirkunferentzia batetan zehar higitzen da, bera

ren abiadura 50 cm/s delarik. Bira osoa emateko 6 s. behar di

tu. t = 0 aldiunean zirkunferentziaren zentrutik punturadoan

zuzenak 30°-tako angelua osotzen du x ardatzarekin. Lor be-

di puntu horren x koordenatuaren ekuazioa, denboraren fun-

tzioan eta x = A cos (o)t + 0( ) eran, A,u) eta q parame-

troen balorea emanez.

Emaitza: 150A = cm.

= 2.11 s -1

42( = –g– pad

2.- Auto batetan lau persona sartzera doaz. Denetara 300 Kg.

pisatzen dituzte eta autoan sartzean, beronen erresorteak -

5 cm konprimitzen dira. Erresorteek jasaten duten zama osoa

900 Kg-takoa bada, lor bedi auto zamatuaren oszilazioaren pe

riodoa.

Emaitza: P = 0,78 s.

3.- a) Higidura harmoniko sinplez plano horizontal batetan eta

segunduko bi oszilazioz bibratzen ari den plataforma batengai

nean,kutxa bat dago. Kutxa eta plataformaren arteko marruska-

dura-koefiziente estatikoa 0,5 da. Zein da oszilazioak eduki

dezakeen anplitude handiena, kutxak laban egin gabe?.

b) Plataformaren bibrazioa bertikala balitz, eta beraren

anplitudea 25 mm, zein litzateke maiztasun handiena, kutxa -

despegatu gabe higi zedin?

Emaitza: a) 0,031 m.

b) 3,14 s.

46

4.- Makila astun bat, 0 puntutik zin

tzilikaturik dago eta bertikalaren -

inguruan oszilatzen ari da, 0 -tik

pasatzen den ardatz horizontal baten

inguruan oszilazio txikiak eginez.

Beraren luzera, 1 da.

Zein izan behar da x distantzia,

oszilazioen periodoa•inimoa izan da-

din?

Emaitza: x = + 3 t

6

5.- Objektu laun batek I inertzi mo

mentua du bere masa-zentruarekiko

(planoaren perpendikularra den ar-

datz batekiko). P 1 puntuaren ingu-

ruan biratzean (ikus irudia), T pe

riodoarekin oszilatzen du. Masa-zen

truaren beste aldean beti dago bes-

te puntu bat, P 2 , zeinen inguruan

oszilatzean ere T periodo berbera

duena (ikus irudia).

Froga bedi ezen h 1 + h 2 -g T2

4 n2

dela.

(Problema hau 1.980-IX-19ko examinean jarri zen)

I6.- Lor bedi multzoaren konstante

errekuperatzaile baliokidea (%),

K1 eta K2 konstantedun bi erresor

te elkarrekin lan egiten jartzehh.

k,

n

k2 kt

Fa) paralelotan

b) serietan

Emaitza: a) Ke = K1 + K2

Emaitza: a) p 2 .rrit 2 m 13 T

47

b) KeK1 K1 . 2

Kl + K2

7.- Laborategiko experimentu batetan, grabitatearen azelerazio

aren neurketa ez-zuzena egin da. Horretarako bola batek super-

fizie esferiko baten barne-aldean

errotatzean egiten dituen oszfla-

zio txikien periodoa neurtu da.

Bolaren erradioa a da eta pista

rena, R.

Froga bedi ezen magnitude ho-

rien arteko erlazioa ondokoa dela:

28 T(2 (R - a)

5 T2

8.- Masa gabeko den eta 3 1 luzera duen soka bat finkatu egi

ten da tentsoki bere bi muturretatik,sokaren tentsioa T da.

a) m masako partikula puntual bat mutur batetatik 1 dis

tantzlara lotzen da. Lor bedi, m partikularen oszilazio trans

bertaalen periodoa.

b) Orain, m masako beste partikula bat ere lotzen da, so

ka hiru segmentu berdinetan banatuz ( 1 luzerakoak), eta guz-

tion tentsioa T izanik. Idatz bitez partikula bien higidur -

ekuazioak.

g

b) yl + 2 wo2 y i - tuo2 y 2 = o

••

+ 2 wo2

.Y2 0 2 = °Hemen: O

2m 1

koi 219.

//f/f///

0, 2 #1.4

'

/77.,

48

9.- Masa gabeko den eta 20 cm.-ta

ko luzera duen erresorte baten goi

ko muturra finko mantentzen da eta

beste muturretik 40 eta 80 g -tako

bi masa zintzilikatzen dira, horre

la erresorteak 26 cm -tako luzera

hartzen duelarik.

Modu horretan dagoela, kendu

egiten da 80 g-tako masa.

a) Zer frekuentziarekin higitu

ko da ondoren 40 g-tako masa?

b) Zein izango da beraren ener

gia zinetiko maximoa?

(Problema hau 1.980-V1-11ko examinean jarri zen)

Emaitza: a) 9 = 3,52 s -I

b) Ekm = 0,015 J

10.- Erresorte horizontal bat marrus

kadurarik gabeko superfizie baten -

gainen dago 1Kg-tako masa bati lotu

rik, orekan. Erresortearen konstan-

tea 200 Mw /m da. Masaren alboan,

lotu gabe, 2 Kg-tako masa bat jar-

tzen da eta F indarra eginez, 0,2 m

konprimitzen da mueilea. Gero, bat-

batean desagertu egiten da indarra

eta erresorteak bultzatu egiten ditu

bi masak.

a) Zenbat balio du F indarrak?.

b) Non bananduko dira bi masak, erresorteak bultzatzean?

c) Zein izango da 2 Kg-tako masak banandu eta gero izango

duen higidura?

49

d) Eta 1 Hg-tako masak? Anplitudea eta frekuentzia lor.

(Problema hau 1.980-VI-26ko examinean jarri zen).

Emaltza: a) r = 40 N

b) 0,2 metro ibili ondoren, hots, oreka-

puntuan.

c) Higidura uniformea 1,63 m/s abiaduraz.

d) HIgIdura oszilakor harmoniko sinplea

anplitudea = 0,115 m.

frekuentzia = 2,25 a

11.- Lor bedl ondoko bi higidura harmoniko ainple eta parale-

loen.konPosizloz lortzen den higiduraren ekuazioa:

x/ = 2 sin (tot+

1f) x2 = 3 sin ((ot + )

EgIn bedi higidura bakoitzaren grafika eta bai higIdura

erresultantearena ere. Adieraz bektore biratzaileak.

{

Emaitza: x = 4,83 sin (0.1 t +a( )

12.- Azal bedi eskematikoki, zergatik pentsatu behar den, indar

getzea gertatzean higidura oszilakorraren frekuentzia beheratu

egingo dela.

= 78,32° = 1,36 rad

50

13.- 2 Kg-tako masa bat k = 400 N/m balio duen konstantea dau

kan arresorte batekin oszilatzen ari da, hasierako anplItudea

3 cm. izanik.

a) Lor bitez higiduraren periodoa eta hasierako energla

osoa.

b) Periodo bakoitzean energiaren galpena lt -takoa bada,"

lor bedi indargetzearen ñ parametroa.

Emaitza: a) = 0,44 s. (0.,=10, eginik); E = 0,18 J

b) = 0,045 Kg/a

14.- Oszilagailu indargetu baten masa 50 g. da eta perlodoa,28.

Beraren anplitudea 5% txikiagotzen da ziklo bakoitzean.

a) Zein da indargetzearen › parametroa?

b) Energiaren zer parte disipatzen da ziklo bakoitzean?

Emaitza: a) = 0,00255 Kg/s

b) 9,7 %

15.- Oszilagailu indargetu baten anplitudea 50% txikiagotzen

da ziklo bakoitzean.

a) Energiaren zer frakzio galtzen da ziklo bakoitzean?

b) Froga bedi ezen

T = 411 2

2 m

T delakoa periodoa izanik.

Emaitza: a) 75%

b) Zuzenki frogatzen da.

51

16.- Erresorte baten konstantea k = 400 N/m da. Beraren eragi-

nez, 2 Kg-tako masa bat oszIlatzen ari da, 2 Kg/s Indarge-

tze-konstante batez. Beetalde, kanpoko indar batek bortxatzen

dltu oszIlazIoak. Indar hau sinusoidala da beraren balore maxi

moa 10 N Izanlk eta frekuentzia angeluarra 10 rad/s.

a) Zeln da erregimen iraunkorreko oszilazioen anplitudea?

b) Lor bedi anplItude-erresonantziari dagozkion oszilazioen

anplItudea.

Emaitzak: a) A = 0,047 m.

b) Ar = 0,354 m.

17.- 0,5 Kg-tako masa bat oSiilatzen ari da, k 300 N/m kone-

tantedun erreaorte baten eraginez. Lehenengo 10 segunduetan -

0,5 J galtzen ditu marruskadura dela eta. Hasierako anplitudeak

15 cm. balio bazuen,

a) Zer denbora pasatuko da, energiak 0,1 J balio duen arte?

b) Zeln da oszilazioaren frekuentzia?

Emaitzak: a) 219 s.

b) c:«1= 24,5

=

52

13. GAIA

53

UHIN- HIGIDURA

13.1. Pultsu baten perfilak ondokoadierazpenmatematikoa du:

3

2 x2 + 1

a) Lor bedi forma horrekin, x direkzioaren alde positiborants

v = 2 m s-1 abiaduraz hedatzen den uhinaren adierazpena.

b) IrbdIka bedi perfila t = 0 eta t = 1 aldiunetan.

c) Froga bedi ezen a puntuan lorturiko adierazpenak uhin-ekua-

Z104 betetzen duela.

(x o)

54

Ebazpena:

a) Teoriaren arauera, dakigunez, f(x) perturbazio baten perfila ba

da, f(x- vt) perfil horrekin eskuinetarantz (x positiboranbz)

hedatzen ari den uhinaren adierazpena da. Beraz

Perfila Uhlna

f (x) f (x - vt)

2 m s-1 3 3

Beraz, hauxe da uhinaren adierazpena

2 (x - 2t) 2 + 1

2(x- 2t) 2 + 1

b) BI perfil hauk irudikatu behar ditugu:

3

= 0 2 x2 + 1

3 4t= 1 2(x- 2) 2 + 1

55

34

3

2

T *

x t = 1

-cm 0

0 1/3

1 1

2 3

3 1

4 1/3

+ oe 0

Argi Ikusten denez, eite berbera dute, baina bigarrena des-

plazaturlk dago eakuInetarantz, vt = 2. 1 ' = 2 m distantziaz.

c) Uhlnen ekuazio diferentziala hauxe da:

t

2

V -T;

Berez, ez lltzateke frogatzen ibili behar, frogapen orokorra

teoriako liburuan eginik baitago (ikus 13.2) . Baina ariketa beza

la, garatu egIngo dugu prozesu osoa.

3

2 (x - 2t) 2 + 1

Kalkuluak errazteko, u = x - egingo dugu

u

axa u ,a t

Rote, 3

2 u + 1

- 3 3. 4u ua t - 3. 4u . (-2) 24 u (2u

2 + 1) 2(2u2 + 1) 2(2u2 + 1)

2

(2 u2 + 1) 2 24 3u

3 u24 u . 2(2 u2 + 1) 4 ut

(2u2 + 1) 4

56

(2u224. 2 + 1) 12- (2u2 + 1) + 8u21_ 48 6 u2 - 1

(2u + 1) 4 (211^4.1)'

"t5 48 6u2 - 1 . (2u2 + 1)3

Bestalde:

u-0 -3 . 4 u vrz—.aX (2u2 + 1) 2

- 12 u

(2u2 + 1) 2

?4.4 (2u2 + 1) 2 (-12) + 12u 2(2u2 + 1) 4u

az (2u2 + 1)4

12-(2u2 + 1) 21- (2u2 + 1) + 8 ul

(2u + 1)4

Hotat

31.

Hau da:

Emaitza biak konparatuz,

2:52. = 12 6u2 - 1

(2u2 + 1) 3

31

t`

2 dela ikusten

da, frogatu nahi genuen bezala.

13.2. Konpara bitez ondoko bi uhinen uhin-luzerak.

a) Diapasoi batek sortutako solnuarena, beraren frekuentzia 440

Hertz-etakoa dela jakinik eta soinuaren abiadura 340 mis iza

nik.

b) Espektro ikuskorrean dagoen argi gorriarena, baroren frekuen

tzia 5 x 10 14 Hz eta argiaren abiadura 3 x 108 m/s izanik.

Ebazpena:

a) Soinuaren kasuan

v 0,772 m.340 m/s

440 s

Prekuentzlar1 dagokionez, giza-entzumenaren ahalmena

16 Hz-1-20.000 Hz tattean hedatzen da. Ostera, argi ikuskorraren

mugak gutxi gorabehera 3,84. 7,7x 1014 Hz tartekoak dira.

Ohln transbertsal sinusoidal baten anplitudeak 10 cm, ba-

lio du eta beraren uhin-luzerak, = 200 cm.

OhIn hori ezkerretik eskuinerantz hedatzen ari da v=100cm/s

abiaduraz eta sok• tinko horIzontal batetan zehar. Ardatzen itur'burua ezkexreko mutur ez-perturbatuan har bedi. t = 0 aldiunean

szkereko muturra iturburuan dago beherantz higituz.

a) Zer balio duteY eta tu parametroek?

h„) Zer balio du uhin-numeroak (k konstanteak) ?

c) ZeIn da uhinaren ekuazioa?

d) Zeln da sokaren ezkerreko muturreko puntuaren higiduraren

ekuazloa?

e) Zeln da ezkerreko • muturretik 150 cm-tara dagoen puntU baten

higlduraren ekuazioa?

'f) Zein da sokako edozein punturen abiadura maximoa?

100 cm s -1 = 0,5 s -1200 cm

57

b) Axg1 gotrIaren kasuan

3 x 10 8 zt/si = 6 x 10-7 m.5x 1014

Argiro Ikusten da bi uhin-mota hauen arteko neurrl-desberdin

Lasuna.

cu = 2/ry = 2 Tr. 0,5 = 1T rad/s

58

k= 2"

ff Tf -1b)200 ce

100

c) Ekuazio orokorra hauxe da

. 5, sin [k (x-vt)

Enuntziatuaren arauera: 10 cm.

Bestalde baldintza hauk jartzen dira

x = 0, t = 0 ;• = 0

a g cod t

Beraz horren arauera,« = 0. Eta parametro quztien baloreak ja

rriz, hauxe geratzen zaigu:

. 10 sin ( x - 100 t)-~f = 10 sin(--- x - Trt)100 100

d) Ezkerreko muturrean x = 0 Hots

5x40 10 sin (-n t) -10 sin t

e) Bigarren puntu horretan x = 150

X=150

e=150 = 10 sin ( 3nt 2

= 10 sing--1100

150 -n

lf t•)

f) Edozein punturen abiadura honelakoa da denboraren funtzioan:

7110 . (-n 1-65) cos ( x - Tf t) -10ncos ( 3-756. x - nt)

59

Abiaduraren balore handiena, kosinuak t 1 balio duenean gerta.tun da.

vm 10 It cm/s

/2,j, Barra elastiko batetan hedatzen ari diren luzerazko uhlnenekuazioa ondoko hau da:

sin 2 7r( - p )

a) Lor bedi sekzio transbertsal batetan egiten den indarrarenadierazpen matematlkoa.

b) Froga bedi ezen eta F uhinen arteko fase-desberdintasu-na uhin-luzeraren laurdenari dagokiona dela.

Sbaz na:

a) Teorlaren arauera (ikus 13.4) honela adierazten da indarra:

F y A 34

y delakoa materialearen Young-en modulua eta A delakoa sek-zloaren azalera izanik.

');2 .11 .x'

cos 2 i( ( - -;- )

Beraz

F 2 n Y A Xcos 2 n - )x

b) Konpara ditzagun aldiune berean ft = kt.9 ) bi uhin horien artekofalle-desberdIntasuna:

sin

cog 2 ir - -ftr)

60

Baina coo e( ein (c9( + Tf)

TTBau da, sinu eta kosinu funtzioen arteko desfasea -y- da.

Ikus desagun, ba, r uhinak x2 puntuan duen fasea, uhinaren

kaguan, (x2 + a) puntuan gertatzen bada, zenbat balio duen a para

metroak.

2 Tf x22 n (x + a)—1—

ir 2 TT a -"1". " • A

AltzairuskO barra batetan zehar hedatu egiten dira luzeraz

ko uhinak, beraren mutur batetan loturik dagoen oszilagailu ba-

tek sortuak. Barraren diametroak 4 mm balio du. Oszilazioen

anplitudea 0,1 m m da eta frekuentzia 10 Hz. Altzairuaren den-

tsitateak - 7,8 x 10 3 Kg.m-3 balio du eta Young-en moduluak

2 x 1011 x.x-2. Lor bitez:

a) Barran zebar hedatzen diren uhinen ekuazioa.

b) Bolumen unitateko energia.

c) Denbora unitateko edozein sekziotan zehar pasatzen den ener-

gi fluxuaren batezbesteko balioa.

Ebaspena:

a) Uhinaren akuazioa hauxe izango da:

sin k (x-vt)

Kalkula dittagun parametroakt

0,1 m m. ... 10-4 m

v

61

2 . 1011 N.81-2

7,8 . 10 3 Kg.z:-3-5.103 a 1s

k = 2 1T 2 IT . 10--4—v 5 . 10'

Datu hauk goiko adierazpanera eramanez:

= 10-4 sin 2 n ( y x - » t)

0-4 sin 2 1T (2.10-3 x - 10t)

b) Barra batetan hedatzen den uhin elastiko zinueoidalaren kasuan

(ikus teoriako 13.7 galdera), honela adierazten da bolumen-unitateko energia.

1 2 g2E = f Cij •

1 3 (2 rrE = -T- 7,8.10 . 10) 2 (10-4 ) 2

E = 1,56 7r 2 10-2 J.m 3

c) Modu berean, batezbesteko energi fluxua honala adierazten da:

aw = v A E = 5.10 3 . TT . 0,002 . 1,56 g 2 . 10-2

33,12 TT 10-4

13.6. Altzairuzko hari baten diametroak 0,2 m m balio du. Hari

hori 200 N-etako indar batez tiratzen da. Lor bedi harian ze-

har gertatzen diren uhin zeharkakoen hedatze-abiadura. Altzai

ruaren dantsitateak 7,8 . 10 3 Kg/m3 balio du.

62

Ebazpena:

Teorlan ikusi dugunez (13.5), uhin zeharkakoen hedepen-abla-

dura honela adlerazten da.

v. F non1

T: hariaren tenteloa

r: hariaren luzera-unitateko masa.

f : metro baten masa = (ffr 2 . 1) f

f = 1T . (1. 10-4 ) 2 . 1. 7,8 = 7,8 . Tr . 10-8

V

11 7,8 . Tr 200 = 2,8 . 10 4 m/s

43.7. Barra batetan barrera gertatzen diren luzerazko uhin elas-

tikoen kasuan, uhinen fase-abiadurak ondoko dependentziaduuhin-

luzerareklko:

V

( a = konstantea)X

Lor bedi uhin-multzoaren talde-abiadura.

Ebazpena:

Teoriazko liburuko 13.8. galderan frekuentzia oso antzeko du

ten bi uhinen konposaketaren talde-abiadura aztertzean ondorio ho

netara heltzen da.

vg d w

d k

Eta caS= k v dela kontutan hartuz:

v v + dk V-d k

altz

63

Generalizazio batez, onartu egingo dugu formula hau bestela-

ko kasuetarako. Izatez W-Acu eta to + tarteko rekuen-

tzlen kasurako balio du, baina arazoa nahiko korpIlateua denez,

liabenengo hurbilketa batetan ontzat haztuko dugu goiko formula ho

ri.

Sestalde, dakigunez, v eta ›► = -4r—r

Beraz v a kdenez---40. v

d v-3-E- 72-yr-

Beraz

d v a ,+k ----s=v+vm 2 vd k

19.8. Solnu-Iturrl baten frekuentziak 103

tako abiaduraz higitzen da airearekiko.

Demagun solnuak geldi dagoen airearekiko

dela. tor bitez alrearekIko geldi dagoen..tzen dituen frekuentzia eta uhin-luzera,

•

Hz balio du eta 30 m/s

duen abiadura,340 m/s

behatzaile batek neur

ondoko bi kasuetan.

a) Soinu-iturria berarengana hurbiltzen ari denean.

b) Soinu-iturria berarengandlk urruntzen ari denean.

apenas

Teorlazko liburuko 13.9. galderatik dakigunez, ondoko erla-

zloa dago iturriak bidaltzen eta behartzaileak neurtzen dituen -

frekuentzien artean:

v VO

v - voA: uhin-iturria

B: behatzailea

Vo

64

a) Kasu honetans

v = 340 m/s

va= 30 m/s

vo 0

340 - 0 103340 - 30

1.096 Bz

Bestalde, v = .X . y0 denez, honela kalkulatuko dugu uhln-

luzera efektiboa.

V 340 = 0,31 m.1,1 # ' 1.096

b) Oraingoan A iturria urrunduz doa B behatzailearengandik. Be7

raz: vs = - 30 m/s

Etota

34u - 0 310 340 3. 10 = 918 Bz340 - (-30)

= -370

Eta uhin-luzera efektiboa:

V 340= = 0,37 m.Ie 918

65

ARIKETAK

I.- Laku bare batetan dagoen txalupa batek uhinak sorterazten ditu

uraren galnazalean. Txalupak gora beheranzko 12 oszilazio egiten

ditu 20 segundotan, oszilazio bakoitzak uhin-gailur bana sortzen

duelarik. Uhin-gailurrak 6 s behar ditu 12 metrotara dagoen er-

tzera heltzeko. Kalkula bedi gainazaleko uhinen uhin-luzera. '

Emaltza: = 3,33 m.

2.- Uhin baten ekuazioa = 10 sln 27r (2x'- 100t) da, x metro

tan eta t segundutan neurtuz. Lor bitez:

a) anplitudea

b) uhin-luzera

c) frekuentzia

d) uhinaren hedatze-abiadura

Halaber, irudika bedi uhina, anplitudea eta uhin-luzera adie-

raziz.

Emaltzak:

a) 10 m

b) 0,5 m

c) 100 Hz

d) 50 m/s

a) Bozgorailu baten diametroak 30 cm balio du. Zein frekuen-

tziatakoak izan behar dute soinu-uhinek, airetan duten uhin-lu

Zera diametroa baino hamar aldiz handiagoa izan dadin?

b) Diametroa bezalakoa izan dadin?

c) Diametroaren hamarrena?

66

Emaitzak:

a) 116 Hz

b) 1.166 Hz

c) 11.666 Hz

4.- Ekuazio honek uhin bat adierazten du 1;= 2 sin 21i(0,1x-,5t),

luzerak (x) metrotan eta denbora (t) segundotan egonik. Lor bi-

tez:

a) Uhin-luzera

b) frekuentzia

c) periodoa

d) hedatzearen abiadura

f) hedatzearen sentidoa. Idatz bedi halaber, kontrako sentIdoan

hedatzen den uhin berdinaren ekuazioa.

Emaitzak:

a) 10 m.

, b) 5 Hz.

c) 0,2 s.

d) 50 m/s

f) x-en alde positiborantz

ŕr = 2 ain 2 11 (0,1x + 5t)

5.- Soka batetan zehar hedatzen den uhin baten ekuazioa, ondokoa

da: = 0,03 sin (3x - 2t) non eta x metrotan dauden -

eta t segundotan

a) t = 0 aldiunean zein da desplazamenduaren balioa, x = 0,1 m,

0,2 m- eta 0,3 m. puntuetan?

b) x = 0,1 m. puntuan zein da desplazamenduaren balioa, 0 s,

0,1 s, eta 0,2 s aldiunetan?

c) Zein da sokaren partikulen abiadura adierazten duen ekua-

zioa? Zein da abiadura maximoa?

d) Zein da uhinaren hedatze-abiadura?

xEmaltzak:•0

0.5 2

Rf

tz0,f

Xr••n•n11n4

1-1.• v = 5 m/s

Xt4.2

67

EmaItzak/

a) 8,86 . 10-3 m, 1,69 . 10-2 m, 2,35 . 10-2 m.

b)

c)

8,86 . 10 -3 m, 2,99 .

- 0,06 cos (3x - 2t) ;

10 3 m,

6. 1

- 2,99

-2 m/s

. 10 -3 m.

d) 0,667 m/s.

6.- x ardatzaren.direkzioan hedatzen ari den uhin transbertaal

baten g desplazamenduaren bi osagaiak hauxek dira:g: sin (kx - w t) eta = 1;„ cos (kx -43t). Froga

bedi ezen uhin hori zirkularki polarizaturlk dagoela. Adieraz

bedi parametroaren biraketa-sentldoa, x ardatzean dagoen

behatzaile baten ikuspuntutik.

Soka tlratu baten muturra 1 m/s-tako abiadura uniformez higi

erazten da transbertsalki, beraren desplazamendua 0,1 m-takoa

izan arte; ondoren hasierako jarrerara eramaten da abiadura uni

forme berberaz. Sorturiko uhin-pultsoa 5 m/s -tako abiaduraz he

datzen da sokan zehar.

a) Adieraz bedi sokaren forma t = 0, 0,1, 0,2, 0,3 eta 0,4 s

aldiuneetan.

b) Zein da sokanuhin-pultsoak duen luzera?

c) Lor bedi sokaren edozein punturen abiadura transbertsala

t = 0,4 s. aldiunean.

b) Uhin-pultsoaren luzera 1 cm.

"çV:c) ►

Imis

ts0,ijX

68

ts0,3 5' /.4 f „f

tz0.4

8.- Altzairuzko hariz eginiko pendulu baten luzerak 2 m. balio du

eta muturrean duen gorputzaren masak, 20 Kg. Hariaren diametroak

2 m m balio du. Pendulu hori askatzean, beraren eta bertikalaren

arteko angeluak 60° balio du. Kalkula bedi hariaren luzerak ha-

' sierako unetik bertikaletik pasatzen deneko unera duen desberdin

tasuna. Altzairuaren Young-en moduluak 2. 10 11 N.m2 balio du.

Emaitza: 0,62 m m.

9.- Indarrik jasan gabe, erresorte baten luzerak 1 m. balio du,

eta beraren masak 0,2 Kg. 10 N-etako indarraren eraginpean 4

zentimetroz luzatzen da. Lor bedi erresortean zehar gertatzen

diren luzerazko uhinen hedatze-abiadura.

15,6 m.s-1

Emaitza:

10.- Altzairuzko erresorte baten luzera arruntak 4 m. balio du

eta beraren masak 200 g. Erresorte hori bertikalki zintzilika-

69

tzen da, 100 gramotako gorputz bat jarriz, eta modu honetan duen

luSamenduak 5 cm. balio du. Lor bedi erresortean zehar gertatzen

dirdh luzerazko uhinen hedatze-abiadura.

gmaltzas 39,6 m/s

Li.- Froga bedi ezen teoriazko 13.7. galderan azterturiko energi

Uhlnak ondoko moduan adieraz daitezkeela:

2 2( 1 1v A r „,- f„, + cos 2 (kx -(0t)] }

Ekuazio honetatik zuzenki atera daiteke batezbesteko balorea.

Nodu berean, froga bedi ezen energi uhinaren frekuentzia des

plazamenduen uhinarena baino bi aldiz handiagoa dela eta, oste-

ra, beraren uhin-luzera desplazamenduaren uhinarena baino bi al

diz txikiagoa.

Grafiko baten bidez adieraz bedi –2

aldiune batetan.t

Emaitza: Zuzenki lortzen da,ondoko baliokidetasuna erabiliz:

cos = 2 cos 2o( - 1

Nola aldatzen da uhin zeharkako baten hedapen-abiadura soka

atetan zehar.

a) Baldin sokaren tentsioa bikoizten bada?

b) Baldin tentsioa erdira aldatzen bada?

c) Nola aldatu behar da sokaren tentsioa, hedapen-abiadura

bi aldiz handiagoa izan dadin?

d) Eta bi aldiz txikiagoa izan dadin?

a) (2." aldiz handiagoa egiten da.

70

b) jr2 aldiz txikiagoa egiten da.

c) 4 aldiz handiagotu behar da.

d) 4 aldlz txikiagotu behar da.

13.- 2 metrotako luzera eta 4 g-tako masa duen soka bat, horlzon

talki mantentzen da, mutur bat finko eduklz eta bestetik 2 kg-ta

ko masa bati eutsiz. Lor bedi, uhin zeharkakoen hedapen-abiadura.

Emaitza: 99 m/s

14.- Alboko irudian, t = 0 aldiu

nean 100 m. luze den soka ba-

ten deformazioa adierazten

da. Sokaren masa 2 Kg da. Es-

kulnetarantz eta 40 m/s abiadu

raz hedatzen dela neurtzen da.

a) Adieraz bedi beraren zeharkako abiadura, u, t = 0 aldiu-

nean, eta lor bedi abiadura horren balore maxlmoa.

b) Lor bedi sokaren tentsioa.

c) Idatz bedi, 5 m-tako uhin-luzeraz eta 0,2 m-tako anplItu-

dez ezkerretarantz hedatzen diren uhin sinusoidalen ekua-

zioa, (x,t), baldin eta aurreko sokaren ezaugarrl berbe

rak edukiz, mugagabea den soka batetan zehar gertatzen ba

dira.

Emaitzak:

a) 4 m/s

b) 32 Nw

c) 0,2 sin x + 16 TT t +(1))

15.- Gomazko hodi baten mutur bat finko dago eta besteak. mutur

71

finko horretatik 5 metrotara

dagoen tx1rrIka batetatik pasa ondoren, 2 Kg-tako karga bati -

euaten dio. Tx1rrIkaren eta mutur finkoaren arteko hodiaren ma

sa 0,6 Xg-takoa da.

a) Lor bedi hodian gertatzen diren uhin zeharkakoen hedatze-

abiadura.

0,1 cm-tako anplitudea eta 0,3 m-tako uhin-luzera duen uhin

harmonIko bat hodlan zehar hedatzen da:

b) Lor bedl, hodiaren edozein puntutan dagoen abiadura zehar

kako maxlmoa.

c) Idatz bedi uhin horren ekuazioa.

Emaltzak:

a) 12,8 m/a

.b) 0,268 m/a

c) 10-3 sin 2 rf ( x - 4,3 t)

Altzairuzko hari baten luzera 2 m. da eta beraren erradioa

0,5 m m. Hari hau'sabaitik zintzflikatzen da.

a) 100 Kg-tako gorputz bat esegitzen bada, zein izango da

hariaren luzamendua.

b) Lor bitez harian barrena gertatzen diren luzerazko uhi-

nen eta uhin zeharkakoen abiadurak, aipaturiko karga ese

gita dagoenean.

ImaItzak:

a) 1,25 x 10-2 m.

b) 5,06 x 10 3 m/s

1,60 x 105 m/s

L luzera eta m masa duen soka bat, muturretatik tinkatu-

72

rik dato T tentsioz. Bere zentruan h distantziaz bultzatzen

da albora eta gero aske uzten da.

a) Zein da hurrengo oszilazioen energia?

b) Zer maiztasunez berragertuko da forma?

Emaitzak:

2 T h2a)

b) ( 2 m L ) 1/2

18.- Lor bedi, soka batetan barrena gertatzen den uhin zeharkako

baten energi fluxua eta froga bedi ezen bateztesteko potentzia

v ( m 2 2 ) dela. (parentesi arteko kantitateak luzera-1

unitateko energia adierazten du).

Oharra: kontutan eduki,indar transbertsala ondoko hau dela

T sin T . Honek denbora-unitatean egiten duen lanaazter daiteke. (Ikus teoriako 13.5. galdera).

19.- 20 m-tako luzera eta 0,06 Kg-tako masa duen soka bat 50 N-eta

ko tentsiopean dago. Sokan barrena ezkerretik eskuinera 200 Hz-

tako maiztasuna eta 1 cm-tako anplitudea duten uhin batzu higi-

tzen dira.

a) Zein da sokako uhinen energia osoa?

b) Zein da sokaren puntu batetatik transmititzen den batez-

besteko potentzia?

Emaitzak:

a) 4,74 J

b) 29,8 W

73

20.- Lor bedi uhin batzuren talde-abiadura (v ), baldin eta fase-

abladurak ondoko dependentzia badu uhin-luzerarekin:

a) Ur sakonetako olatua: v A ›, 1/2 (A gkte)

b) Likido batetako gainazal-uhinak;

v - 1/2

Emaltzak:

a) 1an –7– v

3b) v

21.- Soinu-uhinak airean hedatzean ondoko erlazioa dago w eta k

parametroen artean.

(.4.) R T

M(y, R, T, M, konstanteak)

Lor bitez fase-abiadura eta talde-abiadura.

Uhin dispertsiboak ote dira?

Smaltza: V = V =

Ez da dispertsiorik agertzen.

22.- Soinu-iturri baten frekuentziak 10 3 Hz balio du. Soinu-iturri

hori geldi dago eta airea ere geldi dago. Soinuaren abiadura 340

811/s dela kontaideratzen da. Behatzaile bat 30 m/s-tako abiaduraz

W.gitzen da. Zenbat balio dute behatzaile honek neurtzen dituen

ohinen frekuentziak eta uhin-luzera efektiboak.

a) Iturrira hurbiltzen ari denean.

b) Iturritik urruntzen ari denean.

74

(Oharra: Konpara itzazue emaitzak, 13.8. probleman lortutakoekin).

Emaitzak:

a) 1.088 Hz.

b) 911 Hz.

23.- Tren baten txilibituaren tonua 500 Hz-etakoa da. Lor bodi gel

tokian dagoen pertsona batek entzuten duen soinuaren frekuentzia,

tren hori 72 Km/h abiaduraz higitzen ari bada.

a) hurbilduz.

b) urrunduz.

(Oharra: soinuaren abiadura 340 m/s da).

Emaitzak:

a) 531 Hz.

b) 472 Hz.

24.- Tren bat, airea bare dagoela, 30 m/s abiaduraz higitzen da.

Makinak jotzen duen txilibituaren soinuaren frekuentziak 500 Hz

balio du. Zein izango litzateke geldi dagoen behatzaileak neur-

tuko lukeen soinuaren frekuentzia.

a) Makinaren aurrean?

b) Makinaren atzean?

Zer frekuentzia neurtuko luke 15 m/s -tako adiaduraz higitzen

den beste tren batetan doan bidaiax:4ak baldin

c) Lehenengo trenera hurbiltzen baletor?

d) Lehenengo trenetik urrunduz balihoa?

e) Nola aldatuko lirateke aurreko erantzunak baldin eta lehe

nengo trena higitzen den sentido berean 9 m/s -tako haizea

balebil?

75

Oolnuaren abiaduraren baliotzat 330 mja hartuko dugu.

Otaitzak:

.a)

b)

c)

d)

e)

550 Ez.

458 Ha.

575 Ha.

437 Rz.

548; 457/ 573; 436

76

GA IA

77

INTERAKZIO GRABITATORIOA

•

78

14.1. Lor bedi, edozein partikularen pisua nola aldatuko litaaba,

keen baldin eta:

a) Lurraren erradioa bikoiztuko balitz, maza konstante aaa-tenduz.

b) Lurrarenmaaa bikoiztuko balitz, erradioa konstante Min-

tenduz.

c) Denbora berean Iurraren masa eta erradioa bikoistuko ba

lira.

Ebazpena:

Lehendabizi, lkus dezagun edozein partikularen pieuare ► eteZurraren masa eta erradioaren arteko erlazioa:

P " m g r72- Knon M eta R gure planetaren masa eta erradioa diren.

Hau ikuzi eta gero, automatikoki ebazten dugu problema :

a) M = kte eta R ► 2R

. (2R) 2 1 p, w E

4 4R

b) R = kte eta M-► 2M2M

X --2—

p"

K M--7 2 p' = 2p

c) M 2M eta R —=-2R

2M

(2R) 21

EpK

2

79

‘14.3 Telskonunikabidetako matelite artifisial bat Lurraren in-Alornho orbita zirkularrean ekuatore gainean jarri nahi da. Kein'1,11an beharko du orbitaran erradioak ?.

!baspa ►ae

lera honetako aateliteakberlo neregina bete dezan, beraren luzwarakiko .-jarrera--erlatiboak finkoa Iman behardn, argiro. Beate hitzez esanika eateliteak barraren auadura angeluar berberaz biraogin beharko du. Bonelatan:

a -.92r

r-2—rm a –1.n -n.7- MIllrma

r- r-r,74., 3 R2 \3/ 3 86400 2-41111-

9.8( 6370.10 ) = 90,53. 10 6 m2 /T

14.3, frudiko partikulak pausagune- 2/1te--

tik aakatzen dira, beren arteko -diatantzia r izanik, eta interek- 4rozio grabitatorioaren ondorioz elkarri hurbiltzen zaie. Kalkula -bitezs. ro

a) Bakoitzaren abiadura, banatzen dituen distantziak2balio duen unean.

b) Hasierako puntutik bakoitza ibilitako bidea, aipaturi-kO unerarte.

3 s0•11-

ffl 2fft 2".

r.12

m fft 291 2aa

•.e, r

za

4

Ds

ro

80

Ebazpena:

a) Partikulek sistema iso

laturiko bat osotzen dute

nez gero, momentu lineala

ren kontserbazioaren prin

tzipioa aplika dezakegu,

hau da:

0 = m v1 + 2m 2 1 = -2v2Bestaldetik, higiduraren kausa beren elkarreko interakzio

grabitatorioa baita, eta hau kontserbakorra izanez gero, energia

mekanikoaren kontserbazioa ere aplika dezakegu, hots:

roE (r ) = Ek + Ek + E (-7-)P12 ° 2 P12

_ r ..2m 1 2 1- m v, + - 2m v2 v.-In'2m

2 Iro 2 2 ro

Ekuazio-sistema ebatziz, zera geratzen zaigu:

v = v2 =1

3 ro 3 ro

b) Bi partikulek osoturiko sistema isolatuaren momentu lineala

nulua baita, masa-zentruaren jarrerak finko Iraun behar du, be-

raz:

m D = 2m D1 21 Lehenengo uneD1+D

2= r

oan.

r Bigarren

xl+ x2 =unean.

2

Planteaturiko lau ekuazio-sIstematik hauxe atera dezakegu erraz:

roro

xl = -y- x2 =

/

m(D -x )=2m(D -x )1 1 ' 2 2

14.4,Satelite artifizial batek

lurraren inguruko orbita elie

tiko bat deskribatzen du. Une

batetan, beraren higiduraren -

datu hauk ezagutzen ditugu

(ikus irudia):

to= 2,4 RYt,= 120°

Lor bitez :

a) Satelitearen abiadura handiena eta abiadura txikiena.

b) Orbitaren exzentrikotasuna.

vo 2,4

81

El2Š=La :

a) Lurrak sorturiko indar grabitatorioa zentral eta kontserbako

rra denez, sateliteen higiduran nahiz momentu angeluarrak nahiz

energia mekanikoak konstante diraute, hau da:

.. ...

I Lo=L-p rox mvo =rxmv-..rox vo =rxv (I)

1 mM - 1 r mM._ + E (r ) = Ek+ Ep(r)-. -mv2_ -r - -mv2 - r (II)EKo P ° 2 ' F ro2

r-.non Lurraren zentruarekiko satelitearen posizio-bektorea eta

v satelitearen abiadura diren edozein unetan.

Bestaldetik, satelitearen abiadura handiena eta txikiena,

Iurraren zentruarekiko hurbilen eta urrunen dauden puntuei dago

kie errespektiboki, orbita eliptikoaren erpinei halegia; eta er

pinetan, hain zuzen ere, abiadura eta posizio-bektorea elkarren

perpendikularrak direnez, beren arteko biderkadura bektoriala -

ren balore edo modulua, beraien moduluen arteko biderkadura -

besterik ez da. Hau guztiau kontutan harturik, (I) hkuazioa ho-

nela geratzen zaigu:

rovosen(fo = r v (I)

Ondoren, bai (I) ekuazioan eta bai (II)-ean ere sar ditza-

gun enunttiatuan emandako datuak:

. L = r v (I)y 2,4 2

82

1 y ne4 1 m -r

mMv2 (II)in

2 2,4

r =

2,4R 2

vh=r-01

v

(-=--II) -aR4,8

2-—Y—

2gRv2- v + -111-2,4

0,8

v pSLZtx 7,2 0,9

2

b) Ekuazio-sistema

berberatik, Lurra -

ren zentruarekiko -

distantzia txikiena

eta handiena hauxek

izanen dira:

r = =1,2Rtx vh

rh -3-11r,Fg; =3,6Rvtx

Remendik erraz

lor dezakegu orbita-

ren exzentrikotasuna

(ikus irudia):

•

rtx+rha-rtx rtx rh rtx e - 2

a rtx+rh rtx rh rh+ rtx

14.5- I. Demagun dentsitate lineala duen etengabeko hari zuzen

Bat:

a) Gauss-en teorema baliatuz, aurki bedi espazioko edozein

puntutan hariak sorturiko eremu grabitatorioa.

b) Aurkitutako eremuaren bidez, lor bedi berari dagokion -

potentziale grabitatorioa.

II. A1paturiko hariaren inguruan, m masa duen partikula ba

0,5

--A--4, 41» (I)♦ ♦ ♦r

y

dkr, (2)•

83

tek ibilbide zirkular bat deskribatzen du. Zirkunferenttiaren -

planba hariaren perpendikularra da, eta beraren zentrua hariaren

puntu bat.

c) Brdiets bedi partikularen abiadura.

d) Zer lan egin behar da zirkunferentziaren erradioa biko-

itteko?.

Ebazpena:

I.a) Ezer baino lehen, arrazona-

mendu sinple batez eremuak duen

direktioa ikertuko dugu. Honeta

rako, irudiari begiratuz, har de

• zagun hariaren d m(1) etaAra(2)

bezalako zati elementalen bikote

bat. Elementu honetatik P puntu-

rainoko distantziak berdinak bai

tira, 441 = i42 izanen dugu,-

eta beraz, bektoren hauen haria-

xen paraleloak diren osagaiek

anulatu egingo dute elkar, bekto

reon erresultantea hariaren per-

pendikular geratzen zaigularik.

Hariaren elementuak bikoteka har

turik eta aurreko kontsiderazioak errepikatuz, eremuaren direk-

zioa hariaren perpendikular dela baiezta dezakegu argiro.

Bestaldetik, haria etengabekoa izanik, edozein puntuko ere-

muaren balorea, puntutik harirako distantziaren funtzioa izango

da, irudiaren distantzia adierazgarri hau baino ez baitago.

Hau ikusita, goazen Gauss-

en teorema aplikatzera. Eontsi

dera dezagun irudiko zilindroa

eta kalkula dezagun bera zehar

katzen duen fluxua. Ez gara zi

lindroaren baseez kezkatuko, ha

uetan eremua eta superfiziearen

bektore unitario normala elka-

rren perpendikularrak baitira.

Zilindroaren alde-azalean, -

V = 21,1. Lnft + K

•

84

berriz, aipaturiko bektoreek esoturiko angelua 180°-takoa denez

gero, honela geratuko zaigu:

P.U"' dS =IÍGI cos 180° dS -131. 2 R hGauss-en teoremaren arauera:

= -4//rmT - 5.12 // R h -4/7421 -=151 = 2

Eta bektorialki adieratzita:

r AG- = -2- UR' R

U R- ,haritik eta honen perpendiku-

larra den espazioko edozein puntuta -

rantz orientaturiko bektore unitarioa

delarik (ikus irudia).

b) Eremu eta potentzialaren arteko hain ezaguna den erlazioa era

biliz:

G = -gradA

-2r - U. = -R dR

/dv = 2rAi

Alboko irudian eremua-

ren lerro batzu eta bai gai

nazal ekipotentzial batzu -

ere marraztu dira. Lehenen-

goak haria perpendikularki

ebakitzen duten zuzenak di-

ra eta bigarrenak,haria be-

ren ardatz gisa duten zi

lindroak.

dR

R

11.c) Partikularen gaineko indar grabitatorioa zera izanen da:

F = m G = -2r riR

85

Indarra ibilbidearen per

pendikularra baita, azelera -

zio zentripetua besterik ez -

du eglten, hau da:

... V2 _.a UR

Beraz:

R

_2 -,../P r= m a -2 U.

' R. R -

=2 irrn

d) Aurreko atalean ikusl dugunez, partikularen abiadura eta zir-

kunferentzlaren erradioaren artean ez dago inolako harremanik;

hau dela eta, lehenengo orbitatik bigarrenera pasatzeko, ez dugupartikularen energia zinetikoa aldatu behar. Ikus dezagun, bada,

orbita bakoitzean sistemak duen energia potentziala:

Lehenengd orbitan : E = mV(R) = mPfX(LnR) + K]

Bigarren orbitan : EP • mV(2R) mr2rX(Ln2R) +Beraz egin beharko den lana, hauxe izanen da:

w-- Ep - Ep = 21,,Inaa2

14.6 I. Kontsidera bedi oso hestua den eta gainazal-dentsita -

tea duen xafla bat, hots, geometrian plano deitzen dena, baina

masaduna. Gauss-en teorema erabiliz, aurki bitez xaflak sortzen

dituen eremu eta potentzial grabitatorioa.

II. Aipaturiko xaflatik a distantziara partikula bat aska -

tzen da pausagunetik.

a) Lor bedi partikularen abiadura xaflarekin topo egiten -

duen unean.

b) Xaflarekiko talkaren ondorioz, heltzean zuen abiaduraren

erdiaz errebotatzen du partikulak. Xaflatik zer distantziaraino

urrunduko da?.

86

Ebazpena:

Aurreko probleman ager

turiko arrazonamendu berbe-

rari jarraituz, eremuaren -

direkzioa xaflaren perpendi

kularra dela dakusagu erraz.

Horrez gainera, xaflaren al

de bitzuetan eta honetatik

distantzia berbera, eremuak

balore edo modulu berbera -

eta alderantzizko sentidoa

izan behar dituela uler dai

teke argiro (ikus irudia).

Aldez aurreko kontsi-

derazio hauk eginik, goa -

zen orain Gauss-en teorema

aplikatzera. Honetarako imajina dezagun irudiko zilindroa.Zilin

droaren sortzaileak xaflaren perpendikularrak dira, eta oina --

rriak xaflatik distantzia berberera kokatuta daude.

Zilindrotik zeharkako

fluxua kalkulatzean, ez ga

ra alde-azalaz arduratuko,

zeren bertako eremua eta -

azalaren bektore unitario

normala elkarren perpendi-

kularrak baitira.

Beraz, oinarriak ze -

harkatzen dituen fluxua -

baino ez dugu kalkulatu be

har, hau da:

=) 1›.U;dS + j(G . . 514 ,dS =1/5icos180°dS +)/r/J49 cos180°dS =4 4 4

- = -/mA A = -A05i '+

Sestaldetik4G7=/G'Idela kontutan harturik (gogora bedi -

onarriak xaflarekiko distantzia berbera kokatuta daudela), ze-

ra geratuko zaigu: = - 2A151

•

87

Gauss-en teoremak zera dio:

41/rx‘p -• -2AM1 = -4Rp. A = 2 ft r

Harrigarria badirudi ere, eremuaren baloreak ez du xaflara-

ko distantziarekiko dependentziarik. Halere, ezin dugu esan, es-

pazio osoan eremua uniformea denik

xaflaren alde batean eta bestean -

beraren sentidoa aldatzen baita,

irudian agertzen diren aremu-lerre

ek erakusten duten bezala.

Xaflarekiko eremuak duen sime

tria ikusirik, alde batean, eskui-

nekoan esate baterako, soilik kal-

kulatuko dugu potentziala, beste -

aldean simetrikoa izanen da eta .

Eremu eta potentzialaren arteko erlazioaren bidez:

"MidV) 72oirrtrx= -dx X

idV 2rtrrjdx jV = 2 qpr x +

II.a) Partikularen gainean xaflak eraginiko indarra, indar gra-

bitatorioa alegia, kontsarbakorra denez, energia mekanikoaren

kontserbazioa erabil dezakegu. Honelatan:

E. + E.(x=a) EK+ Ep(x=0)-o

m(2n/ra+1C) = imv2+mIC2

v =

•••n• ‘a 0—•

01

b) Talka ondorengo abiadura, enuntziatuaren arauera, zera -

izanen da :

88

-v-2

Energia mekanikoaren kon --

tserbazioa berrerabiliz :

G"'

tritze •

/st ot

E' + E (x=0) = E"+ E (x=a.)K P K P

mnrra + mK m(2hrra'+K) a,2 ' 4

14.7 Gauss-en teorema dela med1o, aurki bitez esfera homogeneo -

huts batek (oso geruza esferiko hestu batek, ping-pong-eko pilo-

taren batek, adibidez) sorturiko eremu eta potentzial grabitato-

rioa, nahiz esferaren kanpoko nahiz barneko puntuetan.

Ebazpena:

Bitez m eta R esfe

raren masa eta erradioa.

•Alboko irudiari begira-

da batez, eta aurreko -

bi problemetan egindako

simetriazko kontsidera-

zloak gogoratuz, bai -

kanpo-eremuak eta bai -

barne-eremuak direktio

erradiala dutela uler

dezakegu erraz. Edozein

puntutako eremuaren ba-

loreari dagokionez, es-

feraren zentrurako distantziaren funtzioa besterik ez dela onar-

tuko dugu i hau baino beste distantzit adierazgarririk ez baita:

Ondoren imajina ditzagun esfera maaadunarekin zentrukideak

diren bi esfera, bata r? R erradioduna eta bestea r',(R erra -

dioduna. Kalkula dezagun berauetariko bakoitza zeharkatzen

duen fluxua.

111

89

Lehenengoan zehar :

8U1NdS =/4 cos180° dS =

rdidS

Bestaldetik esfera honen pun

tu guztlak 0 puntuarekiko distan-

tzia berberera baitaude,ffildela -

koak balore berbera izan behar du

superfizie osoan. Beraz :

- 4fir 2 GPI

Arrazonamenduaerrepikatuz

zera izanen da bigarren esferaren

zaharkako fluxua . : 941 = 44r'2/5Y

nn(Kasu honetan UN , eta G' bektoreek osotzen duten angelua ez

da 180°- takoa, 0°-takoa baizik; hortik zeinuaren aldaketa).

Orain, Gauss-en teorema aplikatuko dugu:

ftr2ibl= -4qm -n ffil=r2,7,"

-4/tr' 2 1G.1 = 0 iG = 0

(Kontura gaitezen r erra

diodun esferak R erradioduna-

ren masa osoa daukala bere -

barnean; r'erradiodunak, oste

ra, bere barnean ez dauka ma_

sarik).

Hitz laburrez:

r.cR

n}G"edo esferaren barnea

r)R

edo esferaren kanpoan}

OE. -r ur

Ur*0 puntutik espazioko edozein puntutarantz orientaturiko

90

bektore unitarioa izanik (bektore unitario erradiala).Irudian eremuaren lerroak erakusten dira, eta bai eremua --

ren aldakuntzaren lege grafikoa ere.

Bigarren urratsa, hots, potentzialaren lorpena, aurreko bi

problemetan ere erabili dugun erlazioaren bidez ebatziko dugu,

hau da:-grad V

r(R : 0 = -grad V = kte.

m -•r)R : - = - dV

'rr 7dv

‘ v _ r2L, +

r dr r

Inolako beharrik ez bada ere, egin ohi den suposizioa

nen dugu, hau da, esferatiko distantzia infinitura potentziala

nulua dela suposatuko. Honelatan:

r tai 0 = - –+ RaeR= 0

lrm _, m

a-r;:= i v.:-..r ,m,' t'

IIIIIii'.i

ir r.Ri

:

Azkenean,•esferaren bar

neko eta kanpoko puntuei da-

gozkien potentzialaren lege-

ak, honela geratuko zaizkigu:

r

91

ARIRETAR

1.- Saturnoren eraztun baten

-barne-hegalak r2 erradioa du,

eta kanpokoak r2 . Ralkula be-

d1 hegal bioi dagozkien bira-

periodoen arteko diferentzia.

Emaitza:

2 T; - r r2-3T2- T1f1t (i

z r2 ) ;non Rs eta gs SaturnorenRB

erradioa eta bere azalean azelerazio grabitatorioak duen balorea

diren errespektiboki.

2.- Lurretik, satelite bat duen planeta bat behatzen ari da.Planetaren erradioa R da, eta beraren ingaruan sateliteak r --

erradiodun orbita zirkular bat deskribatzen du, periodoa T dela-rik. Lor bitez:

a) Planetaren masa

b) Planataren azalean azelerazio grabitatorioak duen balo -

rea.

Ernai tz ak :

4 n2r3a) r T

2 3)

3.- Satelite artifizial bat Lurraren inguruan higitzen ari da,

Silatgiaren orbitak duen erradioaren laurdeneko ibilbide zirku-

lar batetan. Ralkula bitez:

a) Satelite artifizialak eta Hilargiak lurrarekiko dituz -

ten abiaduren arteko erlazioa.

b) Lurraren inguruan satelite artifizialak deskribatzen

92

duen higiduraren periodoa.

OHARRA: Kontsidera bedi Hilargiaren Lurrarekiko higidura -

zirkularra dela, beraren periodoa 28 egunetakoa de-

larik.

Emaitzak:

a) Satelite artifizialaren abiadura Hilargiarenaren bikoi-

tza da.

b) 3,5 egun.

4.- m masa duen satelite artifizial bat, Lurraren inguruko 2R

erradiodun orbita zirkular batetan

higitzen ari da. Kalkula bedi infi

nituraino aldegin dezan eman behar

zaion energia minimoa.

Emaitza. -MYL2

5.- Kalkula bedi m masa duen suzlri bat Lurraren inguruan 2R --

erradiodun orbita zirkularrean jartzeko behar den energia. Kalku

la bedi, halaber, suziria aipaturiko orbitatik 3R erradiodunera

aldatzeko behar den energia (R lurraren erradioa da).

OHARRA: Kontsidera bedi Zurra erreferentzi sistema inertzi-

altzat (hots, ez bedi kontutan har Zurraren bere ar

datzaren inguruko biraketazko higidura, eta ez eguz

kiaren inguruko translazioa ere) eta arbuia bedi --

'• airearen marruskadura.

Emaitzak:

3mgR mgR

4 12

93

4.- m masa duen satelite

artifizial bat lurraren -

inguruko Ot orbita zirku-

larrean hig1tzen ari da.

Ealkula bitez:

a) 01 orbita zirkularre -

tik 02 orbita eliptikora

eatelitea pasa erazteko

beronek behar duen ener -

gla.

b) 02 orbita eliptikorik

03