Bandung Arry Sanjoyo_network Flow

Bandung Arry Sanjoyo, Math ITS 1

1 Modul 7 JARINGAN

Pendahuluan

Pada modul 7 ini, akan membahas perasalahan khusus dari graf berarah, yaitu yang dinamakan

jaringan (network). Permasalahan jaringan yang banyak uncul dala aplikasi adalah

memaksimalkan aliran (flow) melalui sebuah jaringan. Jaringan yang sering kita jumpai dalam

kehidupan sehari-hari adalah jaringan transportasi barang, jaringan aliran air dalam pipa

distribusi, jaringan komputer tempat data mengalir, dan sebagainya.

Permasalahan pencarian aliran maksimal (maximum flow) merupakan permasalahan optimasi,

oleh karena itu, permasalahan ini sering dimasukkan kedalam kelompok riset operasi (operation

research). Dalam rangka mencari aliran maksimal dalam suatu jaringan, biasanya didapat hasil

tidak tunggal, atau ada berbagai macam kombinasi hasil. Oleh karena itu, permasalahan

pencarian aliran maksimal ini dikelompokan juga dalam kelompok optimasi kombinatorial

(combinatorial optimization). Beberapa contoh permasalahan dalam jaringan akan dibahas

disini, seperti permasalahan perjalanan penjual (traveling salesman problem) dan jaringan petri

(petri net).

Tujuan Instruksional Umum

Mahasiswa mengerti konsep jaringan, pencarian aliran maksimal, jaringan petri, dan dapat

menerapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Instruksional Khusus

Mahasiswa diharapkan dapat:

1. Memahami definisi graf berarah dalam bentuk jaringan, dan dapat mengaitkannya dalam

permasalahan sehari-hari.

2. Memahami pengertian aliran maksimal dalam suatu jaringan.


3. Dapat mencari aliran maksimal dalam suatu jaringan berdasarkan suatu algoritma

tertentu.

4. Mampu menyelesaikan Permasalahan Perjalanan Penjual dan jaringan petri.


7.1 Kegiatan Belajar I:

Model Jaringan

Suatu graf berarah pada Gambar 7.1.1 merupakan gambar dari sistem pemipaan untuk

mengalirkan minyak dari suatu lokasi a menuju lokasi z. Edge berarah (u,v) yang berlabel r

menyatakan aliran minyak dari lokasi u menuju lokasi v dengan kapasitas (daya alir maksimal)

r. Permasalahan disini adalah mencari jalan untuk memaksimalkan aliran minyak dari lokasi a

menuju lokasi z. Permasalahan distribusi minyak ini merupakan sebuah contoh permasalahan

yang dapat dinyatakan dalam model jaringan (network).

a

c

b

e

z

d

7

5

5

5

4

6 2

5

6

Gambar 7.1.1 Sebuah jaringan angkut komoditi dari a ke z.

Definisi 7.1.1. Jaringan (network)

Misal N=(V,E,w) merupakan graf berbobot berarah terhubung yang tidak memuat

loop/sirkuit. Graf N disebut sebagai jaringan (network / transpot network) jika kondisi

berikut ini dipenuhi:

i. ada sebuah verteks di aV dengan derajat masuk adalah nol. Verteks demikian ini

dinamakan sumber (source).

ii. ada sebuah verteks di zV dengan derajat keluar adalah nol. Verteks demikian ini

dinamakan tujuan (sink).

iii. Bobot pada setiap edge e=(u,v) adalah bilangan nonnegatif yang disebut dengan

kapasitas e.

Contoh 7.1.1:


Graf pada Gambar 7.1.1 merupakan jaringan, karena graf tersebut berarah berbobot dan

terhubung. Juga memenuhi kriteria, adanya sebuah verteks a yang derajat masuknya nol, atau

verteks a merupakan verteks sumber. Dan ada verteks z yang mempunyai derajat keluar nol,

atau z sebagai verteks tujuan. Kalau diperhatikan bahwa jumlah kapasitas yang dapat keluar dari

a adalah w(a,b) + w(a,c)=7+5=12. Oleh karena itu, maksimum aliran yang bisa dialirkan dari a

ke z adalah 12. Perhatikan juga bahwa jumlah kapasitas yang dapat masuk menunju z adalah

w(d,z) + w(e,z)=6+5=11. Oleh karena itu, maksimum aliran yang bisa dialirkan dari a ke z

adalah 11.

Dalam rangka mencari aliran masimum ini, didefinisikan beberapa definisi berikut.

Definisi 7.1.2. Aliran (flow)

Jika N=(V,E,w) merupakan sebuah jaringan , maka suatu fungsi f:E→R+ atau fungsi f

mengawankan edge e dengan sebuah biangan riil tak negatif r, dikatakan aliran (flow) bila:

i. untuk setiap edge e E, berlaku f(e) w(e), dan

ii. untuk setiap verteks uV, selain verteks sumber a dan selain verteks tujuan z, beraku

.),(),(

VvVv

vufuvf Jika tidak ada edge (u,v) maka f(u,v)=0.

Batasan pertama pada Definisi 7.1.2 menyatakan bahwa sejumlah material yang mengalir

melalui sebuah edge e tidak boleh melebihi kapasitas edge e, kurang diperbolehkan. Sedangkan

batasan kedua menyatakan bahwa jumlah aliran masuk ke vertek v (selain sumber dan tujuan)

harus sama dengan jumlah aliran yang keluar dari verteks v tersebut.

Contoh 7.1.2:

Perhatikan jaringan pada Gambar 7.1.2. Sebuah edge e diberi label [x,y] yang berarti bahwa

bobot atau kapasitas edge adalah x=w(e), sedangkan y menyatakan suatu nilai aliran yang

melewati edge e, atau f(e). Apakah nilai f(e) yang ada pada jaringan tersebut merupakan aliran

untuk jaringan?.


a

c

b

e

z

d

7,5

5,3

5,2

5,2

4,1

6,4 2,1

5,2

6,5

a

c

b

e

z

d

7,5

5,3

5,2

5,3

4,2

6,3 2,2

5,4

6,4

(a) (b)

Gambar 7.1.2.

Penyelesaian:

Jaringan pada Gambar 7.1.2 (a), ’aliran’ yang menuju verteks b adalah 5 sedangkan yang keluar

dari b adalah 4. Sehingga tidak memenuhi sifat aliran sebagaimana yang didefinisikan pad

Definisi 7.1.2. Oleh karena itu pada jaringan Gambar 7.1.2 (a) bukan suatu aliran.

Untuk jaringan pada Gambar 7.1.2 (b) merupakan aliran karena memenuhi sifat aliran sesuai

dengan Definisi 7.1.2.

Definisi 7.1.3 Jika f merupakan aliran pada jaringan N=(V,E,w) , maka:

i. untuk setiap edge e E dikatakan jenuh (saturated) jika f(e)= w(e), dan tidak jenuh

(unsaturated) jika f(e)< w(e).

ii. Jika a merupakan sumber di N, maka val(f)=Vv

vaf ),( dikatakan sebagai nilai aliran.

Contoh 7.1.3:

Perhatikan jaringan pada Gambar 7.1.2. (b). Carilah edge-edge yang jenuh dan yang tidak

jenuh?. Carilah juga nilai aliran?.

Penyelesaian:

Edge-edge yang jenuh: (d,e)

Edge-edge yang tidak jenuh: selain edge (d,e), yaitu:

(a,b), (a,c), (b,c), (b,d), (c,d), (c,e), (d,z), (e,z).


Nilai jaringan f adalah:

val(f)= 835),(),(),(

cafbafvafVv

.

Kalau kita perhatikan lebih jauh, aliran yang keluar dari verteks sumber a sepertinya masih

dapat diperbesar. Yang jelas bahwa aliran yang keluar dari sumber a harus sama dengan yang

masuk ke verteks tujuan z. Apakah ada nilai lain f1 >8 ?. Berikut ini adalah aliran lain.

val(f)=

VvVv

zvfzefzdfcafbafvaf ),(),(),(844),(),(),( .

Pencarian nilai aliran terbesar ini yang dinamakan dengan permasalahan aliran maksimal, dan

akan dibahas pada pembahasan berikutnya. Dalam kaitannya dengan pencarian aliran maksimal,

didefinisikan cut-set berikut ini.

Definisi 7.1.4 a–z Cut

Jika N=(V,E,w) merupakan jaringan dan C adalah himpunan bagian dari E, maka C

dinamakan Cut atau a-z Cut jika penghapusan edge-edge C dari N didapat dua buah

komponen (subgraf yang terhubung, tanpa memperatikan arah edge) P dan P’(komplemen P)

dengan komponen P memuat a dan komponen P’ memuat z.

Kapasitas dari C disimbolkan dengan c(P,P’) dan didefiniskan sebagai

'

),()',(

PvPu

vuwPPc

Untuk memperjelas definisi di atas, kita lihat Gambar 7.1.3 berikut ini.

a z

P P’C

N=(V,E,w)

a-z Cut

Gambar 7.1.3 Suatu a-z Cut dari sebuah jaringan.

Contoh 7.1.4:


Perhatikan kembali jaringan pada Gambar 7.1.4. C1 dan C2 merupakan contoh a-z Cut untuk

jaringan tersebut. C1 membentuk komponen P={a} dan komponen P’={b,c,d,e,z} dan C2

membentuk komponen P={a,c} dan komponen P’={b,d,e,z}.

a

c

b

e

z

d

7

5

5

5

4

6 2

5

6

C1 C2

Gambar 7.1.3 Beberapa a-z Cut dari sebuah jaringan.

Kapasitas dari C1 adalah c({a},{b,c,d,e,z})=w(a,b)+w(a,c)+w(a,d)+w(a,e)+w(a,z) = 7+ 5 + 0

+ 0 + 0 =12.

Kapasitas dari C2 adalah c({a,c},{b,d,e,z})=w(a,b)+w(a,d)+w(a,e)+w(a,z)+ w(c,b)+w(c,d) +

w(c,e) + w(c,z) = 7+ 0 + 0 + 0 + 0+ 6 + 4 + 0 =17.

Teorema 7.1.1 Jika f merupakan aliran pada jaringan N=(V,E,w) dan C=(P,P’) merupakan a-

z cut di N, maka val(f) c(P,P’).

Bukti:

Misal a dan z masing-masing merupakan verteks sumber dan verteks tujuan di N. Karena

derajat masuk a adalah 0, maka untuk semua verteks v V, f(v,a)=0. Sehingga

VvVuVu

avfvafvaffval ),(),(),()( (7.1.1)

Ingat bahwa untuk setiap verteks selain sumber dan tujuan, aliran masuk ke verteks sama

dengan aliran keluar dari verteks tersebut atau .),(),(

VvVv

vufuvf Kondisi ini dimasukkan

ke persamaan 7.1.1 dan didapat:


PvPx

PvPx

PuPx

PuPx

VuPx

VvPx

axPx VvVuVvVu

xvfxvfuxfuxffval

xvfvxffval

xvfuxfavfuaffval

''

),(),(),(),()(

),(),()(

),(),(),(),()(

Karena

PuPx

PvPx

xvfuxf ),(),( , maka:

''

),(),()(

PvPx

PuPx

xvfuxffval (7.1.2)

Untuk semua x,uV, berlaku f(w,x)0. Sehingga

'

),(

PvPx

xvf 0 dan kita masukkan ke persamaan

7.1.2 didapat:

)',()(

),(),()(

''

PPcfval

vxwuxffval

PvPx

PuPx

[Terbukti]

Dari teorema ini dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai aliran pada jaringan N tidak akan

melebihi kapasitas dari sembarang a-z cut untuk jaringan N. Nilai maksimum aliran pada suatu

network tidak akan melebihi minimum kapasitas a-z cut dari N, atau maksimum aliran

)},(min{ '

ii PPc . Dan persamaan 7.1.2 merupakan nilai aliran. Bagaimana mencari Aliran

Maksimal – Minimal Cut ?. Cara pencarian Maksimal Flow – Minimal Cut ini dikembangkan

oleh Lester R. Ford dan Delbert Ray Fulkerson dan langkah-langkah ini diberi nama algoritma

Ford-Fulkerson. Sebelum melangkah ke algoritma Ford-Fulkerson ini, kita lihat contoh berikut

ini.

Contoh 7.1.5:


7.2 Kegiatan Belajar II:

Algoritma Aliran Maksimal

Suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut verteks (atau node) yang terhubung oleh

edge-edge (atau arc). Biasanya graf digambarkan sebagai kumpulan titik-titik (melambangkan

verteks) yang dihubungkan oleh garis-garis (melambangkan edge). Secara fataumal, definisi

dari graf sebagaimana yang terlihat pada definisi dibawah ini.

Definisi 5.1.1. Suatu graf tak berarah (Undirected graf) G adalah suatu pasangan terurut (V,

E) dengan V merupakan himpunan verteks (node) dan E adalah himpunan dari multiset yang

terdiri dari dua elemen di V, elemen dari E dinamakan edge atau arc. Graf tak berarah ini

biasa disimbolkan dengan G=(V,E).

7.3 Kegiatan Belajar III:

Aliran Pemotongan Minimal










7.4 Kegiatan Belajar IV:

Jaringan Petri










DAFTAR PUSTAKA:

1. GRIMALDI, R.P., “Discrete and Combinatorial Mathematics - An Applied

Introduction”, Addison-Wesley Publishing Co., 1989.

2. Liu, C.L., “Elements Of Discrete Mathemathics”, McGraw-Hill, 1986.

3. ROBERT, F.S., “Applied Combinatorics”, Prentice-Hall Inc., 1984.

4. ROSEN, K.H., “Discrete Mathematics and Its Applications”, McGraw-Hill, 2003.

5. Seymour L., Marc L.L., “Schaum’s Outline of Theory and Problems of Discrete

Mathematics”, Second Edition. McGraw-Hill, 1997.

Documents

Bandung Arry Sanjoyo_network Flow