Bases Matemáticas para la Educación Primaria

Guía de Estudio

Tema 2: AritméticaI) Adición y sustracción

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22Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria

Esta imagen describe una situación introductoria en la lección sobre “la suma y la resta” de un libro de 5º curso de primaria.

1) Resolver las cuestiones

2) Identificar los “conocimientos” que se ponen en juego en la resolución

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LA SUMA. SIGNIFICADOS

A. Problema introductorio

4Currículo de Matemáticas en Ed.

Primaria

La lección continúa con los siguientes apartados:

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B. Explicación de la solución

5Currículo de Matemáticas en Ed.

Primaria

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• C. Ejercicios y aplicaciones

6Currículo de Matemáticas en Ed.

Primaria

77Currículo de Matemáticas en Ed. Primaria

1. ESTRUCTURA LÓGICA DE LAS SITUACIONES ADITIVAS DE UNA ETAPA

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• Ejemplos: • Juan tiene 4 caramelos en la mano izquierda y

7 en la derecha. ¿Cuántos tiene en total? • Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de

limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de fresa ?

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• ESTADO cuando los números del problema son el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud;

• • TRANSFORMACIÓN cuando un número expresa la variación

que ha sufrido un estado; • • COMPARACIÓN cuando el número indica la diferencia que

existe entre dos estados que se comparan entre sí.

Papel que juegan los números en las situaciones aditivas:

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TIPOS DE SITUACIONES QUE DAN SENTIDO A LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA:

Tipo 1: Estado -Estado -Estado (EEE) • En esta situación, tenemos una cantidad et que se

refiere a un todo y dos cantidades ep1 y ep2 o partes en que descompone ese todo, es decir, tenemos la partición de un todo en dos partes. Se trata de una situación parte-todo en la que todos los números son estados. Se representa mediante el diagrama:

1pe

2pete

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• Ejemplos:

• Laura está la quinta en una cola para coger entradas para el circo. Deja que tres amigos pasen delante de ella. ¿Qué lugar ocupa ahora?

• Juan tiene 7 caramelos. Regala 3 a su hermana. ¿Cuántos le quedan?

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t

Tipo 2: Estado -Transformación -Estado (ETE)

• En esta situación tenemos una cantidad ei que se refiere al estado inicial de un objeto o colección de objetos y una

cantidad ef que indica el estado final del objeto o de la colección. La cantidad t cuantifica la transformación sufrida por el objeto. La situación se representa mediante el diagrama:

ie fe

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• Ejemplos:

• Juan tiene 8 caramelos. Tiene 5 más que Pedro. ¿Cuántos tiene Pedro?

• Juan tiene 8 caramelos. Pedro tiene dos más. ¿Cuántos tiene Pedro?

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C

Tipo 3: Estado -Comparación -Estado (ECE)

• Es una situación en la que se comparan dos estados e1 y e2. La cantidad c cuantifica la relación entre dichas cantidades. La

situación se representa mediante el diagrama

1e 2e

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• Ejemplos:

• Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿Cuántas ha ganado o perdido en total?

• A María le dan 20 € por la mañana. Le vuelven a dar 50 € más por la tarde. ¿Cuánto dinero le han dado en total ?

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tp1

• Tipo 4: Transformación -Transformación –• Transformación (TTT ) • Es una situación parte-todo en la que el objeto sufre una

primera y después una segunda transformación. Las cantidades tp1 y tp2 se refieren a estas transformaciones y la cantidad tt indica la transformación total. La situación se representa mediante el diagrama:

tp2

tt

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• Ejemplos: • • Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan

le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan?

• Pedro tiene 5 caramelos menos que Juan. A Juan le dan dos. ¿Quién tiene ahora menos caramelos? ¿ Cuántos menos?

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• Tipo 5: Comparación -Transformación -Comparación (CTC)

• Situación en la que se establece una comparación inicial ci entre dos cantidades, posteriormente una de las cantidades sufre una transformación t y, por último, cf representa la comparación entre las cantidades finales. La situación se representa mediante el diagrama:

Ci t

Cf

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• Ejemplos: • • Pedro tiene 8 caramelos más que María.

María tiene 3 más que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más?

• Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 5 menos que Juan. ¿Quién tiene más, Pedro o Juan? ¿Cuántos más?

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• Tipo 6: Comparación -Comparación -Comparación (CCC)

• Situación parte-todo en la que cp1 expresa la comparación entre una primera y una segunda cantidad, cp2 indica la comparación entre la segunda y una tercera cantidad y ct establece la comparación entre la primera y la tercera cantidad. La situación se representa mediante el diagrama

Cp1

Ct

Cp2

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EJERCICIOProblema: César ha obtenido 148 puntos en un juego, y Yolanda 12 puntos más que César. ¿Cuántos puntos han obtenido entre los dos?•a) Resolver el problema•b) Indicar si el problema es de una etapa o varias, y el significado que tiene cada número en el enunciado y solución.•c) Indicar el tipo de cada problema según la clasificación semántica de los problemas aditivos.

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• d) Usando el mismo contexto del problema dado (puntuaciones obtenidas por dos o más personas en un juego) inventa otros problemas que corresponda a los restantes tipos de problemas aditivos (Tipo 2: estado-transformación-estado; Tipo 4: transformación – transformación – transformación; Tipo 5: comparación – transformación – comparación; Tipo 6: comparación-comparación-comparación)

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• a) Resolver el problemaNúmero de puntos de Yolanda, 148 + 12 = 160;

160 puntosNúmero de puntos entre los dos: 148 + 160 =

308; 308 puntos.

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• b) Indicar si el problema es de una etapa o varias, y el significado que tiene cada número en el enunciado y solución.

Es un problema de dos etapas (o subproblemas). Primero es necesario hallar el número de puntos que tiene Yolanda (estado o valor de la variable, “número de puntos de Yolanda”) a partir de la cantidad de puntos de César: 148 + 12 =160; 160 puntos. Seguidamente se plantea otro subproblema: hallar el total de puntos obtenidos entre los dos.

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148, seguido de la palabra “puntos” expresa una cantidad que es el valor (o estado) en que se encuentra la variable “número de puntos de César”- 12, seguido de “puntos más que César” indica la diferencia de puntos entre la cantidad de puntos de Yolanda y la de César. Se expresa una comparación entre ambas cantidades.- 160 puntos, estado de la variable “número de puntos de Yolanda”.- 306 puntos, estado de la variable, número de puntos entre César y Yolanda.

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c) Indicar el tipo de cada problema según la clasificación semántica de los problemas aditivos.- El primer subproblema es del tipo, “estado-comparación-estado” (Tipo 3, ECE)- El segundo subproblema es del tipo, “estado-estado-estado” (Tipo 1: EEE)

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D)•Tipo 2: ETE. En las cinco primeras jugadas César consiguió 230 puntos, pero en la sexta perdió 20 puntos. ¿Con cuántos puntos continuó el juego en la séptima jugada?•Tipo 4: TTT. En la segunda jugada Yolanda perdió 13 puntos y en la quinta perdió 20 puntos. ¿Cuántos puntos ha perdido en total?•Tipo 5: CTC. Yolanda tiene 15 puntos más que César en la tercera jugada; en la cuarta pierde 7 puntos, mientras que César se queda igual. ¿Cuántos puntos tiene César con relación a Yolanda?

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• Tipo 6: CCC. César tiene 250 puntos más que Yolanda. Yolanda tiene 140 puntos más que María. ¿Cuántos puntos tiene César con relación a María?

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Paula tiene 3 monedas y Jaime le da 2.

Situación 2. Inma tiene 5 canicas en su mano derecha y 3 en su mano izquierda.

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Situación 1. Paula tiene 3 monedas y Jaime le da 2.Concepción unitaria de la adición: hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al añadirle una segunda cantidad. El resultado es el incremento de la segunda cantidad sobre la primera.

Situación 2. Inma tiene 5 canicas en su mano derecha y 3 en su mano izquierda.Concepción binaria de la adición: hay dos cantidades que tienen asignado el mismo papel. Se realiza una unión o combinación de las dos cantidades que permite llegar al resultado.

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Concepción unitaria de la sustracción: hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al quitarle una segunda cantidad.•El resultado es la disminución de la segunda cantidad sobre la primera.

Concepción binaria de la sustracción: hay dos cantidades que tienen asignado el mismo papel.•Se valora lo que hay en el todo y una de las partes, lo cual permite conocer lo que hay en el complemento.

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2. FORMALIZACIÓN DE LAS OPERACIONES DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES

• 2.1. La adición de números naturales

• Definición recursiva de adición (basada en los axiomas de Peano)

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• Para sumar 1 a un número p se toma el sucesor del número p: p+1= sig(p)

• Para sumar 2 se toma el sucesor del sucesor, etc.• Se supone que se sabe sumar n al número p (n+p); y para

sumar (n+1) se toma el sucesor de n+p, • o sea, p + (n+1) = sig(p+n) = (p+n) +1.

• SUMAR n a p es “seguir contando” n números consecutivos a partir de p.

• RESTAR n a p es “descontar n números consecutivos a partir de p.

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Suma y resta en la recta numérica

2 + 9 = 11

8 - 4 = 4

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Definición conjuntista:

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Definición conjuntista de adición: • Dados dos números naturales a, b, se llama

suma a+b al cardinal del conjunto AB, siendo A y B dos conjuntos disjuntos cuyo cardinal es a y b, respectivamente.

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Propiedades de la adición:

• Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural.

• Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)• Commutativa: a+b = b+a• Existencia de elemento neutro: el natural 0;

a+0=0+a = a, a N

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2.2. La sustracción de números naturales

Definición conjuntista de sustracción:• Ejemplo:

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La resta en un libro de texto de 5º de primaria.

El concepto y el algoritmo de cálculo de la diferencia

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Definición conjuntista de sustracción:

• Dados b < a, de modo que hay un subconjunto propio B de b elementos en un conjunto A de a elementos, entonces a-b = Card (B'), donde B' es el conjunto complementario de B respecto del conjunto A.

• Ejemplo: Tengo 427 ovejas, vendo 123,

¿Cuántas me quedan?

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Definición de sustracción como "sumando desconocido“:

• Si a < b, de modo que a + = b tiene como solución un número natural, entonces b-a es el "sumando desconocido" en esa ecuación: a + = b.

• Ejemplo: Hoy es 17, mi cumpleaños es el día 25,

¿cuántos días faltan?

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Definición de sustracción por comparación:

• Dados a < b, de modo que un conjunto A con a elementos se puede poner en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio A1 de un conjunto B con b elementos, entonces b-a = Card(A'1)

• Ejemplo: En una reunión hay 87 chicos y 54 chicas. ¿Cuántos chicos hay más que chicas?

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X X X X

X X X X X X X

A

B

A1

A’1

Card (A) = 4

Card (B) = 7

7 – 4 = Card (B – A1)

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Definiciones de la suma y diferencia basadas en desplazamientos en la recta numérica

• Dados a < b, para calcular la diferencia b-a se representa el número b sobre la recta numérica y se desplaza dicha posición hacia la izquierda a posiciones. La posición final alcanzada es el valor de b-a.

• • Se puede decir que "restar es contar hacia atrás", o

simplemente "descontar".

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Propiedades de la sustracción en N• No es una ley de composición interna en N, ya que algunas “diferencias”

como 2-5 no existen en N (a-b da un resultado negativo cuando a<b). Sin embargo, sí podemos decir que la sustracción es una operación en N ya que es un medio que permite calcular ciertas diferencias.

• No es conmutativa, puesto que si a-b existe, b-a no existe en N, salvo si a

= b, lo que sólo ocurre cuando a-b = b-a = 0. En una sustracción los dos términos de la diferencia no juegan el mismo papel: el primero, minuendo, es “pasivo” (sufre la sustracción); el segundo, sustraendo, es “activo”, es lo que se sustrae.

• No es asociativa, es decir que en un encadenamiento de dos sustracción,

el orden en el cual se efectúa las sustracciones -siempre que sean posibles- influye en el resultado final.

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Algunas propiedades útiles:

1) Cualesquiera que sean los naturales a, b, c, siempre que a>b+c se tiene siempre que:

• a-(b+c) = (a-b)-c. • Es decir que para restar una suma a un número, se puede

restar sucesivamente al número cada término de esta suma. Ejemplo: 38-16 = (38 – 6) – 10 = 32-10=22.

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2) Cualquiera que sean los naturales a, b, c, si a > b se cumple siempre:• (a+c) – (b+c) = a-b;• Y siempre que a>b>c, se tiene también: (a-c) – (b-c) = a-b.

• Esto se puede enunciar diciendo que una diferencia no cambia si se suma, o bien se resta, un mismo número a cada uno de sus términos.

• Esta propiedad es muy útil en el cálculo mental, sobre todo cuando el cálculo de la diferencia pone en juego “una llevada”, ya que permite redondear el segundo término de la diferencia, lo que hace el cálculo más simple: Ejemplo: 35-18 = (35+2) –(18+2) = 37-20=17.

• Esta propiedad interviene también en el algoritmo de cálculo en

columnas de las diferencias.

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3. TÉCNICAS DE CÁLCULO DE SUMAS Y RESTAS

Ejercicio 2: • Escribe la tabla de sumar en base cinco y

utilízala para realizar la siguiente suma:134(5 + 431(5 .

Justifica el algoritmo indicando las propiedades de la adición y las reglas del sistema de numeración usadas.

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Solución:

• Tabla de sumar en base 5:

+/5 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 102 2 3 4 10 113 3 4 10 11 124 4 10 11 12 13

1 3 4+ 4 3 1______ 1 1 2 0 (5

Se suman unidades con unidades, quintetos con quintetos, …Si en una suma parcial se obtiene un resultado mayor o igual a la base se forma una unidad de orden superior y se suma a las cifras del orden siguiente, ….

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• Justificación del algoritmo:134(5 + 431(5 = (1.52 +3.5 + 4) + (4.52 +3.5 +1);

(Principio de valor relativo; Descomposición polinómica)

= (1. 52 + 4.52 ) + (3.5 + 3.5) + (4+1); commutativa y asociativa;

= (1+4) 52 + (5+1).5 + 5 =; distributiva del producto respecto de la

suma, = 53 + 52 +2.5 ;

"5 unidades de un orden forman una unidad del orden superior"; elemento neutro

= 1120 (principio del valor relativo de las cifras)

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Ejercicio 3:

• Realiza la siguiente operación y explica el procedimiento seguido utilizando dibujos que simbolicen los distintos agrupamientos (representaciones gráficas simulando el uso de los bloques multibase y el ábaco):

641(8 – 227(8

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Solución:

641 - 227 =______ 412 (base 8)

ABC ABC

m e no s

Como la cifra de las unidades del minuendo es menor que la del sustraendo, se pasa una bola de la posición B a la A, que equivale a 8 unidades:

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A continuación se suprimen de las distintas varillas del minuendo tantas bolas como hay en las respectivas varillas del sustraendo:

ABC ABC

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BLOQUES MULTIBASE:

m e no s

La sustracción consiste en quitar del minuendo tantas piezas del mismo tipo que indica el sustraendo. Como en el minuendo hay una sola unidad se debe descomponer una decena en piezas de unidades para poder sustraer 7 unidades.

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Estudio personal:• Estudiar los apartados del texto,

2.1. La adición de números naturales2.2. La sustracción de números naturales 3.1. a 3.4.

• Realizar las actividades del Cuaderno de Prácticas en la sesión de Seminario.

• Resolver personalmente y comprobar posteriormente los ejercicios resueltos disponibles en el Tablón de Docencia.

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Trabajo en equipo:

• Realizar las actividades programadas en el Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo) que se entregará en la clase de Seminario.

• Las actividades deberán terminarse durante la semana y se entregará el Cuaderno cumplimentado al comienzo de la siguiente sesión del Seminario.

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