คณิตศาสตร์พื�นฐาน ชั�นมธัยมศึกษาปีที� 4

เล่ม 1

สารบัญ

หนา

บทที่ 1 เซต 1

บทที่ 2 การใหเหตุผล 28

บทที่ 3 จํานวนจริง 52

บทที่ 4 เลขยกกําลัง 104

14

12. ในแตละสัปดาหจะตองเรียนวิชาคณิตศาสตร 3 วัน และเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 3 วัน และจะตอง เรียนทั้งวิชาคณิตศาสตรและวิชาภาษาอังกฤษในวันเดียวกันสัปดาหละ 1 วันให A = {D1, D2, D3} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร

B = {D3, D4, D5} แทนเซตของวันที่ตองเรียนวิชาภาษาอังกฤษn(A) = 3 n(B) = 3 n(A ∩ B) = 1

ก. ใชแผนภาพ

จากแผนภาพ n(A ∪ B) = 5

ข. โดยใชสูตรจากสูตร n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A ∪ B) = 3 + 3 – 1 หรือ 51) จํานวนวันที่เรียนวิชาคณิตศาสตรอยางเดียวเทากับ n(A) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน2) จํานวนวันที่เรียนภาษาวิชาอังกฤษอยางเดียวเทากับ n(B) – n(A ∩ B) = 3 – 1 หรือ 2 วัน3) เนื่องจาก n(A ∪ B) = 5 หมายถึง จํานวนวันที่ตองเรียนวิชาคณิตศาสตร หรือวิชาภาษา

อังกฤษในหนึ่งสัปดาหเทากับ 5 ดังนั้น จึงไมมีวันใดในสัปดาหที่ไมเรียนวิชาคณิตศาสตรหรือวิชาภาษาอังกฤษเลย

เฉลยแบบฝกหัดแบบฝกหัด 1.1

1. 1) {จันทบุรี}2) {a, e, i, o, u}3) {10, 11, 12, 13, 14, …, 99}4) {2, 4, 6, 8}5) {101, 102, 103, …}6) {-99, -98, -97, …, -1}7) {4, 5, 6, 7, 8, 9}8) { } หรือ ∅

A B

D3 D5

D1

D2

D4

U

15

2. 1) B มีสมาชิก 1 จํานวน2) C มีสมาชิก 7 จํานวน3) D มีสมาชิก 9 จํานวน4) G ไมมีสมาชิก หรือจํานวนสมาชิกเทากับศูนย

3. 1) N = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคี่บวกตั้งแต 1 ถึง 5}2) P = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม}3) R = {x⏐x = a2 และ a เปนจํานวนเต็มที่ไมเทากับศูนย}4) T = {x⏐x = 10n และ n เปนจํานวนเต็มบวก}

4. 1) เปนเซตอนันต2) เปนเซตจํากัด3) เปนเซตอนันต4) เปนเซตจํากัด5) เปนเซตอนันต6) เปนเซตอนันต

5. 1) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 3 และ 4} เปนเซตวาง

2) เนื่องจาก ไมมีจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2ดังนั้น {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และนอยกวา 2} เปนเซตวาง

3) เนื่องจาก มีสมาชิก 2 ตัว คือ 5 และ 7ดังนั้น {x | x เปนจํานวนเฉพาะที่มากกวา 3 และนอยกวา 10} ไมเปนเซตวาง

6. 1) A = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “กรรมกร”} หรือ A = {ก, ร, ม}B = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มรรคา”} หรือ B = {ม, ร, ค}C = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “มกราคม”} หรือ C = {ม, ก, ร, ค}D = {x⏐x แทนพยัญชนะในคํา “รากไม”} หรือ D = {ร, ก, ม}ดังนั้น A = D

2) E = {7, 14, 21, ..., 343}F = {x⏐x = 7n และ n เปนจํานวนนับที่มีคานอยกวา 50}หรือ F = {7, 14, 21, ..., 343}ดังนั้น E = F

16

3) A = {x⏐x = n11− และ n เปนจํานวนนับ} หรือ A = { ,...

54,

43,

32,

21,0 }

B = { ,...54,

43,

32,

21,0 }

ดังนั้น A = B4) A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {5, 4, 3, 2, 1}

จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต Bและ สมาชิกทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต Aดังนั้น A = B

5) C = {0, 1, 3, 7} D = {x⏐x เปนจํานวนเต็มที่มีคานอยกวา 10} หรือ D = { …, 5, 6, 7, 8, 9}

เนื่องจาก 9 ∉ C แต 9 ∈ D ดังนั้น C ≠ D

6) E = {12, 14, 16, 18} และ F = {14, 16, 12, 18}จะเห็นวา สมาชิกทุกตัวของเซต E เปนสมาชิกของเซต Fและ สมาชิกทุกตัวของเซต F เปนสมาชิกของเซต Eดังนั้น E = F

7) K = {x⏐x เปนจํานวนเต็มคูที่นอยกวา 10} หรือ K = { …, – 2, 0, 2, 4, 6, 8}L = {2, 4, 6, 8}เนื่องจาก – 2 ∈ K แต – 2 ∉ Lดังนั้น K ≠ L

8) M = {x⏐x เปนจํานวนเต็ม และ x2 = 36} หรือ M = {– 6, 6} N = {6}

เนื่องจาก – 6 ∈ M แต – 6 ∉ Nดังนั้น M ≠ N

แบบฝกหัด 1.31. (1) ผิด (4) ผิด

(2) ถูก (5) ผิด(3) ถูก (6) ผิด

17

2. (1) สับเซตทั้งหมดของ {1} คือ ∅, {1}(2) สับเซตทั้งหมดของ {1, 2} คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2}(3) สับเซตทั้งหมดของ {-1 , 0 , 1} คือ ∅, {-1} , {0} , {1} , {-1,0} , {0,1} , {-1,1} , {-1,0,1}

3. (1) เพาเวอรเซตของ {5} คือ {∅, {5}}(2) เพาเวอรเซตของ {0, 1} คือ {∅, {0}, {1}, {0, 1}}(3) เพาเวอรเซตของ {2 ,3 ,4} คือ {∅, {2}, {3}, {4}, {2 ,3}, {2 ,4}, {3 ,4}, {2,3,4}}

4. สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัว ไดแก {1}, {2}, {3}, {4}สับเซตทั้งหมดของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว ไดแก {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}

5.1) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

2) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}B = {1, 3, 5, 7, 9}C = {1, 3, 5}

3) A = {1, 2, 3, 4, …, 10}B = {1, 3, 5}C = {2, 4, 6}

U2 4 68 101 3 57 9

AB

U2 4 68 10

1 3 5A

BC7 9

U7 8 9 10

1 3 5

A

B2 4 6C

18

แบบฝกหัด 1.41. 1) A = {2, 3, 7} 3) A′ = {2, 3, 6}

2) A = {3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5, 7}

2. 1) A ∩ B = ∅ 5) C′ = {0, 1, 2, 7, 8}2) B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} 6) C′ ∩ A = {0, 2, 8}3) B ∩ C = {3, 5} 7) C′ ∩ B = {1, 7}4) A ∩ C = {4, 6} 8) (A ∩ B) ∪ B = {1, 3, 5, 7}

3.

1) B′

U

A1 4 5 6

2 3 7

U

A B

2 6

4 35

1 7

U

A2 3 6

1 45 7

U

A B

U

A B

19

2) A ∩ B′

3) A′

4) A′ ∪ B

5) A′ ∪ B′

U

BA

U

A B

U

BA

U

A B

20

4.

1) A′ 2) (A ∪ B)′

3) A′ ∪ B 4) A′ ∩ B

5.

จาก n(U ) = 100, n(A) = 40, n(B) = 25 และ n(A ∩ B) = 6 จะไดn(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

= 40 – 6 = 34

UA B

UA

B

U

BA

U

BA678

U

BA45

678

U

BA 678

U

A B1 2

345

68 7

21

n(B – A) = n(B) – n(A ∩ B)= 25 – 6 = 19

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)= 40 + 25 – 6 = 59

n(A′) = n(U ) – n(A)= 100 – 40 = 60

n(B′) = n(U ) – n(B)= 100 – 25 = 75

n(A ∪ B)′ = n(U ) – n(A ∪ B)= 100 – 59= 41

เซต A – B B – A A ∪ B A′ B′ (A ∪ B)′จํานวนสมาชิก 34 19 59 60 75 41

6.

กําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ในแผนภาพดังตาราง

เซต U A B C A ∩ B A ∩ C B ∩ C A ∩ B ∩ Cจํานวนสมาชิก 50 25 20 30 12 15 10 5

UA

B

UA

B

UA

B

UA B

C

UA

B

UA

B

22

1) A ∪ Cn(A ∪ C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C)

= 25 + 30 – 15= 40

2) A ∪ B ∪ Cn(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B)

– n(A ∩ C) – n(B ∩ C)+ n(A ∩ B ∩ C)

= 25 + 20 + 30 – 12 – 15 – 10 + 5= 43

3) (A ∪ B ∪ C)′n(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n (A ∪ B ∪ C)

= 50 – 43= 7

4) n(B – (A ∪ C)) = n(B) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C)+ n(A ∩ B ∩ C)

= 20 – 12 – 10 + 5= 3

5) n((A ∩ B) – C) = n(A ∩ B) – n(A ∩ B ∩ C)= 12 – 5= 7

7. ให A แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชาB แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มกาแฟ

A ∩ B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ A ∪ B แทนเซตของพอบานที่ชอบดื่มชาหรือกาแฟ

n(A) = 60 คน n (A ∩ B) = x คนn(B) = 70 คน

n (A ∪ B) = 120 คน

U

A B

C U

A B

C

U

A B

C

U

A B

C

U

A B

C

U

A B

C

23 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 120 = 60 + 70 – x x = 130 – 120 x = 10 ดังนั้น จํานวนพอบานที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟเทากับ 10 คน

8. ให U แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตาง ๆ A แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดแขวนเพดาน A ∩ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ และชนิดแขวนเพดาน A ∪ B แทนเซตของลูกคาที่ใชพัดลมชนิดตั้งโตะ หรือชนิดแขวนเพดาน n(A) = 60% n(B) = 45% n(A ∩ B) = 15% n(A ∪ B) = x%

1) จํานวนลูกคาทีไ่มใชพัดลมทัง้สองชนิด หาไดดังนี ้ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) A B = 60% + 45% – 15% = 90% จํานวนลูกคาทีไ่มใชพัดลมทัง้สองชนิด คือ n(A ∪ B)′ = n( U ) – n(A ∪ B) = 100% – 90% หรือ 10%

2) จํานวนลูกคาทีใ่ชพัดลมแบบใดแบบหนึ่งเพียงชนดิเดยีว หาไดดังนี ้ จํานวนลูกคาทีใ่ชพัดลมชนิดตั้งโตะเพยีงชนิดเดยีว คือ n(A ∪ B) – n(B) = 90% – 45% = 45%

จํานวนลูกคาทีใ่ชพัดลมแขวนเพดานเพยีงชนิดเดยีว คือ n(A ∪ B) – n(A) = 90% – 60% = 30% ดังนั้น ลูกคาที่ใชพัดลมเพยีงชนิดเดยีว มี 45% + 30% หรือ 75%

U C

A B

U

U

A B

A

B

U

24 9.

A U

B ให U แทนเซตของผูปวยทั้งหมดทีท่ําการสํารวจ A แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหร่ี B แทนเซตของผูปวยที่เปนมะเร็งในปอด A ∪ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหร่ีหรือเปนมะเร็งในปอด A ∩ B แทนเซตของผูปวยที่สูบบุหร่ีและเปนมะเร็งในปอด (A ∪ B)′ แทนเซตของผูปวยที่ไมสูบบหุร่ี และไมเปนมะเร็งที่ปอด n ( U ) = 1,000 คน n(A) = 312 คน n(B) = 180 คน n(A ∪ B)′ = 660 คน n(A ∩ B) = x คน (A ∪ B)′

A B U

n(A ∪ B) = n( U ) – n(A ∪ B)′ = 1,000 – 660 = 340 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 340 = 312 + 180 – x x = 492 – 340 = 152 ดังนั้น จํานวนผูที่สูบบุหร่ีและเปนมะเร็งที่ปอดเทากับ 152 คน คิดเปนรอยละ 100

312152

× หรือ 48.72% ของจํานวนผูสูบบุหร่ีทัง้หมด

25

A B

C

U 10. ให U แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่ทําการสํารวจ A แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณติศาสตร B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษา C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาภาษาไทย A ∩ B แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณติศาสตรและสังคมศึกษา B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาสังคมศึกษาและภาษาไทย A ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานวิชาคณติศาสตรและภาษาไทย A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานททั้งสามวชิา A ∪ B ∪ C แทนเซตของนักเรียนมัธยมปลายที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา n (A ) = 37 คน n(A ∩ B) = 15 คน n(B) = 48 คน n(B ∩ C) = 13 คน n(C) = 45 คน n(A ∩ C) = 15 คน n(A ∩ B ∩ C) = 5 คน n(A ∪ B ∪ C) = x คน n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) x = 37 + 48 + 45 – 15 – 13 – 7 + 5 x = 100 ดังนั้น มีจํานวนผูที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชาเทากับ 100 คน 11. ให U แทนเซตของผูถือหุนในตลาดหลักทรัพยที่ถูกสํารวจทั้งหมด A แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ค A ∩ B แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ข B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ข และ ค A ∩ C แทนเซตของผูถือหุนบริษัท ก และ ค A ∩ B ∩ C แทนเซตของผูถือหุนทั้งสามบริษัท

26

จากจํานวนผูถือหุนที่สํารวจ หาผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชหุนของทั้งสามบริษัทไดดังนี้

n (U ) = 3,000 คน n(A) = 200 คน n(B) = 250 คน n(C) = 300 คน n(A ∩ B) = 50 คน n(B ∩ C) = 40 คน n(A ∩ C) = 30 คน

n(A ∩ B ∩ C) = 0n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)n(A ∪ B ∪ C) = 200 + 250 + 300 – 50 – 40 – 30 + 0 = 630จํานวนผูถือหุนบริษัทอื่น ๆ ที่ไมใชทั้งสามบริษัทนี้มีจํานวนหาไดจากn(A ∪ B ∪ C)′ = n(U ) – n(A ∪ B ∪ C) = 3,000 – 630 = 2,370 คน

12. ให U แทนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ รถยนต หรืออ่ืน ๆ ที่ถูกสํารวจ A แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนต C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางเรือA ∩ B แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและรถยนตB ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถยนตและเรือA ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางรถไฟและเรือ

A ∩ B ∩ C แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทั้งทางรถไฟ รถยนต และเรือ (A ∪ B ∪ C)′ แทนจํานวนผูใชบริการขนสงทางแบบอื่น ๆ ที่ไมใช รถไฟ รถยนต เรือ

n (U ) = x คน n(A ∩ B) = 50 คนn(A) = 100 คน n(B ∩ C) = 25 คนn(B) = 150 คน n(A ∩ C) = 0 คนn(C) = 200 คน n(A ∩ B ∩ C) = 0 คนn(A ∪ B ∪ C)′ = 30 คน

UA B

C

27

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) = 100 + 150 + 200 – 50 – 25 – 0 + 0 = 375 คน

∴ จํานวนผูใชบริการขนสงที่ถูกทําการสํารวจ คือn(U ) = n(A ∪ B ∪ C) + n(A ∪ B ∪ C)′x = 375 + 30 = 405 คน

UA B

C

39

8. ถาเพื่อนทุกคนที่ตั้งใจเรียนจะไมคุยระหวางเรียน สุภิตาไมคุยระหวางเรียนให A แทนเซตของคนที่ตั้งใจเรียน

B แทนเซตของคนที่ไมคุยระหวางเรียนc แทนสุภิตา

แผนภาพที่ 1 แผนภาพที่ 2จากแผนภาพที่ 1 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน และสุภิตาตั้งใจเรียนจากแผนภาพที่ 2 สรุปไดวา สุภิตาไมคุยระหวางเรียน แตสุภิตาไมตั้งใจเรียนเนื่องจาก แผนภาพทั้งสองขัดแยงกัน จึงไมสามารถสรุปวา สุภิตาเปนคนที่ตั้งใจเรียน

เฉลยแบบฝกหัดแบบฝกหัด 2.1

1. การใหเหตุผลในคําตอบที่ไดแสดงไวเปนเพียงตัวอยางของการใหเหตุผลแบบอุปนัยในการหาคา a อาจมีเหตุผลอ่ืนนอกเหนือจากที่ไดแสดงไวไดอีก1) 12, 22, 32, 42, a

จากจํานวนแรกคือ 12 = (1 × 10) + 222 = (2 × 10) + 232 = (3 × 10) + 242 = (4 × 10) + 2

จะได a = (5 × 10) + 2 หรือ 52

2) 12, 10, 8, 6, aจากจํานวนแรกคือ 12 = 6 × 2

10 = 5 × 28 = 4 × 26 = 3 × 2

จะได a = 2 × 2 หรือ 4

A

B

c•A

Bc•

40

3) 5, 3, 1, -1, -3, aจากจํานวนแรกคือ 5 = 7 – 2

3 = 5 – 21 = 3 – 2

-1 = 1 – 2-3 = –1 – 2

จะได a = –3 – 2 หรือ -5

4) 1, -1, 1, -1, 1, aเหตุผล พิจารณาแบบรูปที่กําหนดใหพบวา จํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคี่ คือ 1 และจํานวนในลําดับที่เปนจํานวนคู คือ -1เนื่องจาก a อยูในลําดับที่ 6 ซ่ึงเปนจํานวนคู ดังนั้น a ควรเทากับ -1

5) 1, 4, 9, 16, 25, aจากจํานวนแรกคือ 1 = 12

4 = 22

9 = 32

16 = 42

25 = 52

จะได a = 62 หรือ 36

6) -15, -5, 5, 15, aจากจํานวนแรกคือ -15

-5 = -15 + 105 = -5 + 10

15 = 5 + 10จะได a = 15 + 10 หรือ 25

7) 1, -1, -3, -5, aจากจํานวนแรกคือ 1

-1 = 1 – 2-3 = –1 – 2-5 = –3 – 2

จะได a = –5 – 2 หรือ -7

41

8) -5, -3, -1, 1, aจากจํานวนแรกคือ -5

-3 = –5 + 2-1 = –3 + 2 1 = –1 + 2

จะได a = 1 + 2หรือ 3

9) 1, 6, 11, 16, aจากจํานวนแรกคือ 1

6 = 1 + 511 = 6 + 516 = 11 + 5

จะได a = 16 + 5หรือ 21

10) 8, 14, 20, 26, aจากจํานวนแรกคือ 8

14 = 8 + 620 = 14 + 626 = 20 + 6

จะได a = 26 + 6หรือ 32

2. พิจารณาผลคูณที่กําหนดใหตอไปนี้1 × 9 = 9 6 × 9 = 54 11 × 9 = 992 × 9 = 18 7 × 9 = 63 12 × 9 = 1083 × 9 = 27 8 × 9 = 72 13 × 9 = 1174 × 9 = 36 9 × 9 = 81 14 × 9 = 1265 × 9 = 45 10 × 9 = 90 15 × 9 = 135จากผลคูณที่ไดพบวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณที่ไดมาบวกกัน

ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ เชน 15 × 9 = 135เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณมาบวกกันจะได 1 + 3 + 5 = 9 ซ่ึงหารดวย 9 ลงตัวโดยใชเหตุผลแบบอุปนัยจะสรุปไดวา เมื่อนําตัวเลขที่แทนจํานวนในแตละหลักของผลคูณ

ของจํานวนเต็มบวกใด ๆ กับ 9 มาบวกกัน ผลบวกที่ไดจะหารลงตัวดวย 9 เสมอ

42

3. 1) พิจารณาผลคูณของจํานวนที่มี 142,857 ตอไปนี้142,857 × 1 = 142,857142,857 × 2 = 285,714142,857 × 3 = 428,571142,857 × 4 = 571,428

จากการสังเกตจํานวนที่เปนผลคูณพบวา ผลคูณที่ไดประกอบดวยเลขโดด 1, 4, 2, 8, 5และ 7 เสมอ

2) โดยการใชเหตุผลแบบอุปนัย ผลคูณของ 142,857 × 5 และ 142,857 × 6 ควรจะประกอบดวยตัวเลขโดดชุดเดียวกับตัวคูณ 142,857 เมื่อหาผลคูณขางตนพบวา 142,857 × 5 = 714,285

และ 142,857 × 6 = 857,142

3) เนื่องจาก 142,857 × 7 พบวา 7 × 7 = 49 ซ่ึงทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวย แทนดวยเลข 9 ซ่ึง 9 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857 142,857 × 8 พบวา 7 × 8 = 56 ซ่ึงทําใหผลคูณมีจํานวนที่อยูในหลักหนวยแทนดวย

เลข 6 ซ่ึง 6 ไมอยูในชุดตัวเลข 142857ดังนั้น คําตอบที่ไดจากการคูณ 142,857 ดวย 7 หรือ 8 โดยใชขอสรุปขางตนไมเปนจริง

หมายเหตุ 142,857 × 7 = 999,999และ 142,857 × 8 = 1,142,856

4. พิจารณาผลคูณตอไปนี้1) 37 × 3 = 11

37 × 6 = 2237 × 9 = 3337 × 12 = 44จากผลคูณในแบบรูปขางตนพบวา37 × 3 × 1 = 11137 × 3 × 2 = 22237 × 3 × 3 = 33337 × 3 × 4 = 444

43

2) จากแบบรูปขางตน และใชเหตุผลแบบอุปนัย จะไดวา37 × 3 × 5 = 55537 × 3 × 6 = 66637 × 3 × 7 = 77737 × 3 × 8 = 88837 × 3 × 9 = 999

5. 1) 9 × 9 + 7 = 8898 × 9 + 6 = 888987 × 9 + 5 = 8,8889,876 × 9 + 4 = 88,888

2) 34 × 34 = 1,156334 × 334 = 111,5563,334 × 3,334 = 11,115,556

3) 2 = 4 – 22 + 4 = 8 – 22 + 4 + 8 = 16 – 22 + 4 + 8 + 16 = 32 – 2

4) 3 =2

)2(3

3 + 6 =2

)3(6

3 + 6 + 9 =2

)4(9

3 + 6 + 9 + 12 =2

)5(12

98,765 × 9 + 3 = 888,888

33,334 × 33,334=1,111,155,556

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 –2

3 + 6 + 9 + 12 + 15 =2

)6(15

44

5) 5(6) = 6(6 – 1)5(6) + 5(36) = 6(36 – 1)5(6) + 5(36) + 5(216) = 6(216 – 1)

หรือ 5(6) + 5(6 × 6) + 5(6 × 6 × 6) + 5(6 × 6 × 6 × 6) = 6(6 × 6 × 6 × 6 – 1)

6. 1) 1 + 2 + 3 + … + 148 + 149 + 150 มีจํานวน 151 ทั้งหมด 75 จํานวน 151 151 151

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 150 = 151 × 75 หรือ 11,325

2) 1 + 2 + 3 + … + 298 + 299 + 300 มีจํานวน 301 ทั้งหมด 150 จํานวน 301 301 301

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 300 = 301 × 150 หรือ 45,150

3) 1 + 2 + 3 + … + 498 + 499 + 500 มีจํานวน 501 ทั้งหมด 250 จํานวน 501 501 501

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 500 = 501 × 250 = 125,250

4) 1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1,000 มีจํานวน 1,001 ทั้งหมด 500 จํานวน 1,001 1,001 1,001

จะไดวา 1 + 2 + 3 + … + 1,000 = 1,001 × 500 = 500,500

5(6) + 5(36) + 5(216) + 5(216 × 6) = 6(1,296 – 1)

45

7. 1) 2 + 4 + 6 + … + 96 + 98 + 100 มีจํานวน 102 ทั้งหมด 25 จํานวน 102 102 102

จะไดวา 2 + 4 + 6 + … + 1,000 = 102 × 25 หรือ 2,550

2) 1 + 2 + 3 + … + 122 + 123 + 124 + 125 มีจํานวน 125 ทั้งหมด 62 จํานวน 125 125 125

จะไดวา 1 + 2 + 3 + ... + 125 = (125 × 62) + 125 หรือ 7,875

3) 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n เมื่อ n เปนจํานวนนับที่เปนจํานวนคี่ จะเทากับ[(n – 1) + 1] บวกกัน

21n − จํานวน แลวบวกกับ n

1 + 2 + 3 + ... + n = [(n – 1) + 1] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21n + n

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21nn + n

8.

1 3 6 10 15 21จากจํานวนสามเหลี่ยมที่กําหนดให จะหาจํานวนสามเหลี่ยมถัดไปอีกสองจํานวนไดดังนี้1) จํานวนสามเหลี่ยมที่อยูถัดจาก 21 อีก 2 จํานวน ไดแก จํานวน 28 และ 36 ซ่ึงแสดง

ดวยภาพไดดังนี้

28 36

46

2) จํานวนจุดในแตละแถวตามแนวนอนจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 จุด จากรูปที่อยูกอนเปน 2, 3, 4, 5,6, 7, 8 หรือแถวที่ n จะมีจํานวน n จุดเมื่อ n เปนจํานวนนับ

3) พิจารณาวา 72 เปนจํานวนสามเหลี่ยมหรือไม ไดดังนี้พิจารณาจากจํานวนแรกคือ 1 จะพบความสัมพันธของจํานวนดังนี้

3 = 1 + 2 6 = 3 + 310 = 6 + 415 = 10 + 521 = 15 + 628 = 21 + 736 = 28 + 845 = 36 + 955 = 45 + 1066 = 55 + 1178 = 66 + 12

จากการหาผลบวกขางตน พบวา 72 ไมใชจํานวนสามเหลี่ยม

9. 1) ผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนใด ๆ จะหารดวย 2 ลงตัวเสมอ ไมเปนจริง เพราะ1 และ 11 เปนจํานวนนับ1 × 11 = 11

แต 11 หารดวย 2 ไมลงตัว

2) จํานวนนับใด ๆ ที่มีคามากกวา 4 จะเขียนไดในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปสองจํานวน หรือมากกวาสองจํานวน ไมเปนจริง เพราะ

8 เปนจํานวนนับ และ 8 มีคามากกวา 4แต 8 ไมสามารถเขียนในรูปของผลบวกของจํานวนถัดไปไดโดยพิจารณาจากผลบวกของจํานวนตอไปนี้

พิจารณาผลบวกของจํานวนถัดไปที่มีคาเทากับ 9 และ 10 มีดังนี้ 1 + 2 + 3 + 4 = 10

2 + 3 + 4 = 9 และ 4 + 5 = 9แตผลบวกของจํานวนนับที่มีคาเทากบั 8 มีดังนี้

47

8 = 4 + 4 = 3 + 5 = 2 + 6 = 1 + 7

3) กําลังสองของจํานวนนับใด ๆ จะเปนจํานวนคูเสมอไมเปนจริง เพราะ

1 เปนจํานวนนับ และ 12 = 1แต 1 ไมเปนจํานวนคู

10.

1)

2)

แบบฝกหัด 2.21. เหตุ 1) กบทุกตัววายน้ําได

2) สัตวที่วายน้ําได จะบินได ผล กบทุกตัวบินได

ให A แทน เซตของกบทุกตัวB แทน เซตของสัตวที่วายน้ําไดC แทน เซตของสัตวที่บินได

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา กบทุกตัวบินได สมเหตุสมผล

(1)(2)

(3)(4)

(1) (2)(3)

(4)

AC B

48

2. เหตุ 1) จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม2) จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนจริง

ผล จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริงให A แทน เซตของจํานวนนับ

B แทน เซตของจํานวนเต็มC แทน เซตของจํานวนจริง

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา จํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนจริง สมเหตุสมผล

3. เหตุ 1) คนที่มีสุขภาพดีทุกคนเปนคนที่มีความสุข2) ก มีความสุข

ผล ก มีสุขภาพดีให A แทนเซตของคนมีสุขภาพดี B แทนเซตของคนมีความสุข c แทน ก

(1) (2) จากแผนภาพ (1) ก เปนคนมีความสุข แต ก สุขภาพไมดี จากแผนภาพ (2) ก เปนคนมีความสุข และ ก มีสุขภาพดี แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา ก มีความสุข แลว ก มีสุขภาพดี จึงไมสมเหตุสมผล

4. เหตุ 1) จํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว ทุกจํานวนเปนจํานวนคู2) 7 หารดวย 2 ลงตัว

ผล 7 เปนจํานวนคู

ให A แทนเซตของจํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว B แทนเซตของจํานวนคู c แทน 7

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา 7 เปนจํานวนคู สมเหตุสมผล

A

CB

Ac•

BAc B

•

Ac•

B

49 5. เหต ุ 1) สุนัขบางตัวมีขนยาว 2) มอมเปนสนุัขของฉัน ผล มอมเปนสุนัขที่มีขนยาว ให A แทนเซตของสุนัข A B แทนเซตของสิ่งที่มีขนยาว c แทนมอม c

B •

(1) จากแผนภาพ (1) พบวา มอมเปนสุนัข แตขนไมยาว จากแผนภาพ (2) พบวา มอมเปนสุนัขขนยาว แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป

A

c • B

(2) ดังนั้น ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนัขที่มขีนยาว ไมสมเหตุสมผล

6. เหต ุ 1) มาทุกตวัมี 4 ขา 2) ไมมีสัตวทีม่ีส่ีขาตัวใดทีบ่ินได ผล ไมมีมาตัวใดบนิได ให A แทนเซตของมา B แทนเซตของสัตวที่มี 4 ขา C แทนเซตของสัตวที่บินได

A C B

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา ไมมีมาตัวใดบินได สมเหตุสมผล 7. เหต ุ 1) ไมมีจํานวนเฉพาะตวัใดหารดวย 2 ลงตัว 2) 21 หารดวย 2 ไมลงตัว ผล 21 เปนจํานวนเฉพาะ ให A แทนเซตของจาํนวนเฉพาะ B แทนเซตของจาํนวนทีห่ารดวย 2 ลงตัว c แทน 21 (1) จากแผนภาพ (1) จะเหน็วา 21 ไมเปนจํานวนเฉพาะ

A

• c

B

จากแผนภาพ (2) จะเหน็วา 21 เปนจํานวนเฉพาะ แผนภาพที่ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา 21 เปนจํานวนเฉพาะไมสมเหตุสมผล

A c •

B

(2)

50 8. เหต ุ 1) วันที่มีฝนตกทั้งวัน จะมีทองฟามืดครึ้มทุกวัน 2) วันนี้ทองฟามืดครึ้ม ผล วันนี้มีฝนตกทัง้วัน

ให A แทนเซตของวนัที่มีฝนตกทั้งวัน B แทนเซตของวนัที่มีทองฟามดืครึ้ม

A c •

B

(1) (2) c แทนวนันี ้

A c • B

จากแผนภาพ (1) พบวา วนันี้เปนวันที่ทองฟามืดครึ้ม แตฝนไมไดตกทั้งวัน จากแผนภาพ (2) พบวา วนันี้ฝนตกทั้งวนั และทองฟามืดครึ้ม แผนภาพ (1) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา วนันี้ฝนตกทั้งวัน ไมสมเหตุสมผล 9. เหต ุ 1) แมวบางตัวมีสองขา 2) นกทกุตัวมสีองขา ผล นกบางตวัเปนแมว ให A แทนเซตของแมว B แทนเซตของสัตวที่มีสองขา C แทนเซตของนก (1) (2) (3)

A C B A

C B A C B

จากแผนภาพ (1) พบวา นกทุกตวัเปนแมว จากแผนภาพ (2) พบวา นกบางตัวเปนแมว จากแผนภาพ (3) พบวา นกทุกตวัไมเปนแมว แผนภาพที่ (3) ไมสอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา นกบางตัวเปนแมว ไมสมเหตุสมผล 10. เหต ุ 1) ชายไทยทกุคนตองรับการเกณฑทหาร เมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ 2) มานะเปนชายไทย ผล มานะจะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุ 21 ปบริบูรณ

51

ให A แทน เซตของผูที่ตองเขารับการเกณฑทหาร B แทน เซตชายไทยที่อายุครบ 21 ปบริบูรณ c แทน มานะ

จากแผนภาพพบวา สอดคลองกับผลสรุป ดังนั้น ผลสรุปที่วา มานะตองเขารับการเกณฑทหารเมื่ออายุครบ 21 ปบริบูรณ สมเหตุสมผล

Bc•

A

65

7. จงแสดงคาของ x บนเสนจํานวน เมื่อ

1) ⏐x⏐ > 1

2) ⏐ x – 1 ⏐ = 0

8. โรงงานจะผลิตสินคาไดไมเกินวันละ n ช้ิน และในเดือนพฤศจิกายนโกดังเก็บสินคาที่ผลิตไดมากที่สุดจํานวน 27,000 ช้ิน จะหาวา โรงงานควรจะผลิตสินคาวันละไมเกินกี่ช้ินไดดังนี้เนื่องจากเดือนพฤศจิกายน มี 30 วันดังนั้นในเดือนพฤศจิกายนโรงงานแหงนั้นผลิตสินคาไดไมเกิน 30n ช้ินแตโกดังเก็บสินคาที่ผลิตไดมากสุด จํานวน 27,000 ช้ินจะไดวา 30n ≤ 27,000

30n30 ≤

30000,27

n ≤ 900ดังนั้น โรงงานควรจะผลิตสินคาไมเกินวันละ 900 ช้ิน

เฉลยแบบฝกหัดแบบฝกหัด 3.1

1. 1) – 9 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

27

− จํานวนตรรกยะ 5 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

32 จํานวนตรรกยะ

2 จํานวนอตรรกยะ 0 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ 1 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

66 2) 5 จํานวนอตรรกยะ – 7 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

37

− จํานวนตรรกยะ 3.12 จํานวนตรรกยะ

45 จํานวนตรรกยะ

3) 2.01 จํานวนตรรกยะ 0.666... จํานวนตรรกยะ – 13 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ 0.010110111... จํานวนอตรรกยะ

4) 2.3030030003... จํานวนอตรรกยะ 0.7575 จํานวนตรรกยะ – 4.63 จํานวนตรรกยะ 10 จํานวนอตรรกยะ 5) – π จํานวนอตรรกยะ

31

− จํานวนตรรกยะ

36 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

22 จํานวนอตรรกยะ

– 7.5 จํานวนตรรกยะ

6) 25 จํานวนนับ, จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ – 17 จํานวนเต็ม, จํานวนตรรกยะ

512

− จํานวนตรรกยะ 9 จํานวนเต็ม, จํานวนนับ, จํานวนตรรกยะ 3.12 จํานวนตรรกยะ π

21 จํานวนอตรรกยะ

67

2. 1) จริง 2) จริง 3) เท็จ 4) จริง 5) จริง 6) เท็จ 7) จริง 8) เท็จ

3. 1) 8 เปนจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอยกวา 9 2) ไมมีจํานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่นอยกวา 9 3) 2 เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่มากกวา 1 4) ไมมีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 1

แบบฝกหัด 3.21. 1) การสลับที่การคูณ 2) การแจกแจง 3) การเปลี่ยนหมูการบวก 4) การสลับที่การคูณ 5) การสลับที่การบวก 6) การสลับที่การคูณ 7) ปดของการบวก 8) ปดของการบวก 9) อินเวอรสของการบวก 10) เอกลักษณการคูณ

2. 1) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง 2) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง 3) ไมเปนจริงตามสมบัติของจํานวนจริง 4) เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง 5) เปนจริงตามสมบัติการแจกแจง

68

3. เซตของจํานวนนับ มีสมบัติขอ 1) และขอ 3)เซตของจํานวนเต็มลบ มีสมบัติขอ 1)เซตของจํานวนเต็ม มีสมบัติขอ 1), 2) และขอ 3)เซตของจํานวนตรรกยะ มีสมบัติขอ 1), 2), และขอ 3)

แบบฝกหัด 3.3.11. 1) (x + 1)(x – 1) = x2 + (–x) + x + (–1)

= x2 – 1

2) (x + 3)(x – 3) = x2 + (–3x) + 3x+ (–9)= x2 – 9

3) (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 + (–6x) + (6x) + (–9)= 4x2 – 9

4) (5x + 4)(5x – 4) = 25x2 + (–20x) + 20x + (–16)= 25x2 – 16

5) (3x + 1)(3x – 1) = 9x2 + (–3x) + 3x + (–1)= 9x2 – 1

6) (x – 5)(x – 5) = x2 + (–5x) + (–5x) + 25= x2 – 10x + 25

7) (5x – 4)(5x – 4) = 25x2 + (–20x) + (–20x) + 16= 25x2 – 40x + 16

8) (3x – 1)(3x – 1) = 9x2 + (–3x) + (–3x) + 1= 9x2 – 6x + 1

9) (2x + 1)(3x + 2) = 6x2 + 4x + 3x + 2= 6x2 + 7x + 2

10) (4x + 2)(x + 4) = 4x2 + 16x + 2x + 8= 4x2 + 18x + 8

69

2. 1) x2 – 25x = x(x – 25) 2) x3 – 4x2 = x2(x – 4) 3) x4 – 4x = x(x3 – 4) 4) 15x2 – 25x = 5x(3x – 5) 5) 81x2 – x = x(81x – 1) 6) 7x2 + 49x = 7x(x + 7) 7) 88x3 + 8x2 = 8x2(11x + 1) 8) 13x4 + x2 = x2(13x2 + 1) 9) 5x3 + 15x2 = 5x2(x + 3) 10) 100x4 + 10x3 = 10x3(10x + 1) 11) x2 + 3x – 4 = (x – 1)(x + 4) 12) x2 + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5)

= (x + 5)2

13) x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)= (x + 3)2

14) x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2)= (x + 2)2

15) x2 + 8x – 20 = (x – 2)(x + 10) 16) x2 – 10x + 25 = (x – 5)(x – 5)

= (x – 5)2

17) x2 – 14x + 49 = (x – 7)(x – 7)= (x – 7)2

18) x2 + 6x – 16 = (x – 2)(x + 8) 19) x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) 20) x2 + x – 30 = (x – 5)(x + 6) 21) x2 + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10) 22) x2 + 8x + 7 = (x + 1)(x + 7) 23) x2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7) 24) x2 – 5x – 50 = (x + 5)(x – 10) 25) x2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)

70

26) x2 – 10x – 11 = (x + 1)(x – 11) 27) x2 + 14x + 13 = (x + 1)(x + 13) 28) 3x2 + 10x + 3 = (3x + 1)(x + 3) 29) 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) 30) 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1) 31) 8x2 – 2x – 3 = (4x – 3)(2x + 1) 32) 25x2 + 15x + 2 = (5x + 2)(5x + 1) 33) 4x2 + 5x – 9 = (4x + 9)(x – 1) 34) 3x2 + 4x – 15 = (3x – 5)(x + 3) 35) 4x2 – 1 = (2x)2 – 12

= (2x – 1)(2x + 1) 36) 25x2 – 1 = (5x)2 – 12

= (5x – 1)(5x + 1) 37) 9x2 – 4 = (3x)2 – 22

= (3x – 2)(3x + 2) 38) x4 – x2 = x2(x2 – 1)

= x2(x – 1)(x + 1) 39) x3 – 25x = x(x2 – 25)

= x(x – 5)(x + 5) 40) x4 – 4x2 = x2(x2 – 4)

= x2(x – 2)(x + 2)

3. 1) x2 + 4x – 32 = (x2 + 4x + 4) – 32 – 4= (x + 2)2 – 36= ((x + 2) – 6)((x + 2) + 6)= (x – 4)(x + 8)

2) x2 – 2x – 3 = (x2 – 2x + 1) – 3 – 1= (x – 1)2 – 4= ((x – 1) – 2)((x – 1) + 2)= (x – 3)(x + 1)

3) x2 – 4x + 2 = (x2 – 4x + 4) + 2 – 4= (x – 2)2 – 2

71

= [(x – 2) – 2 ][(x – 2) + 2 ]= [(x – (2 + 2 )][x – (2 – 2 )]

4) x2 + 8x – 5 = (x2 + 8x + 16) – 5 – 16= (x + 4)2 – 21= [(x + 4) – 12 ][(x + 4) + 21 ]= [x + (4 – 21 )][x + (4 + 21 )]

5) x2 + 6x + 2 = (x2 + 6x + 9) + 2 – 9= (x + 3)2 – 7= [(x + 3) – 7 ][(x + 3) + 7 ]= [x + (3 – 7 )][x + (3 + 7 )]

6) x2 + 8x + 14 = (x2 + 8x + 16) + 14 – 16= (x + 4)2 – 2= [(x + 4) – 2 ][(x + 4) + 2 ]= [x + (4 – 2 )][x + (4 + 2 )]

7) x2 – 10x + 7 = (x2 – 10x + 25) – 25 + 7= (x – 5)2 – 18= [(x – 5) – 18 ][(x – 5) + 18 )= [x – (5 + 18 )][x – (5 – 18 )]

8) x2 + 7x + 11 = (x2 + 7x + 4

49 ) – 114

49+

=45)

27x( 2 −+

= [(x + 27 ) –

25 ][(x +

27 ) +

25 ]

= [x + (2

57− )][x + )]2

57( +

9) x2 – 2x = (x2 – 2x + 1) – 1= (x – 1)2 – 1= [(x – 1) – 1][(x – 1) + 1]= [x – (1 + 1)][(x – (1 – 1)]= (x – 2)(x)

10) x2 + 4x = (x2 + 4x + 4) – 4= (x + 2)2 – 4= [(x + 2) – 2][(x + 2) + 2]

72 = [x + (2 – 2)][x + (2 + 2)] = (x)(x + 4) 11) –2x2 – 8x + 8 = –2(x2 + 4x – 4) = –2[(x2 + 4x + 4) – 4 – 4] = –2(x + 2)2 + 16 = –2[(x + 2)2 – 8] = –2[((x + 2) – 8 )((x + 2) + 8 )] = –2[(x + (2 – 8 ))(x + (2 + 8 ))] 12) 8 + 4x – x2 = –(x2 – 4x – 8) = –[(x2 – 4x + 4) – 8 – 4] = – [(x – 2)2 – 12] = –[((x – 2) – 12 )((x – 2 )+ 12 )] = –[(x – (2 + 12 ))(x +(– 2 + 12 )] 13) –3x2 + 6x + 4 = –3(x2 – 2x) + 4 = –3[(x2 – 2x + 1) – 1] + 4 = –3[(x – 1)2 – 1] + 4 = –3(x – 1)2 + 7 = –3[(x – 1)2 –

37 ]

= )]37)1x)((

37)1x[((3 +−−−−

= ))]371(x))(

371(x[(3 −−+−−

14) 4x2 – 4x – 9 = 4(x2 – x) – 9 = 9]

41)

41xx[(4 2 −−+−

= 9]41)

21x[(4 2 −−−

= 91)21x(4 2 −−−

= 10)21x(4 2 −−

= ]4

10)21x[(4 2 −−

= )]210)

21x)((

210)

21x[((4 +−−−

= ))]2101(x))(

2101(x[(4 −−+−

73

15) –3x2 + 6x + 2 = –3(x2 – 2x) + 2= –3[(x2 – 2x + 1) – 1] + 2= –3[(x – 1)2 – 1] + 2= –3(x – 1)2 + 3 + 2= –3(x – 1)2 + 5= –3[(x – 1)2 –

35 ]

= –3[((x – 1) – 35 )((x – 1) +

35 )]

= –3[(x – (1 +35 ))(x – (1 –

35 ))]

16) –2x2 + 2x + 1 = –2(x2 – x) + 1= 1]

41)

41xx[(2 2 +−+−−

= 1]41)

21x[(2 2 +−−−

= 121)

21x(2 2 ++−−

=23)

21x(2 2 +−−

= –2[(x – 21 )2 –

43 ]

= –2[((x – 21 ) –

23 )((x –

21 )+

23 )]

= –2[(x – 2

)31( + )(x – 2

)31( − )]

แบบฝกหัด 3.3.21. 1) x2 + 7x + 10 = 0 จะได (x + 2)(x + 5) = 0, x = – 2, – 5 2) x2 + 8x + 12 = 0 จะได (x + 2)(x + 6) = 0, x = – 2, – 6 3) x2 – 3x – 18 = 0 จะได (x + 3)(x – 6) = 0, x = – 3, 6 4) x2 – 6x – 16 = 0 จะได (x + 2)(x – 8) = 0, x = – 2, 8 5) x2 + 5x – 24 = 0 จะได (x + 8)(x – 3) = 0, x = – 8, 3 6) x2 + x – 30 = 0 จะได (x + 6)(x – 5) = 0, x = – 6, 5 7) x2 – 14x + 48 = 0 จะได (x – 8)(x – 6) = 0, x = 8, 6 8) 21 – 10x + x2 = 0 จะได (7 – x)(3 – x) = 0, x = 7, 3 9) 2 + x – x2 = 0 จะได (1 + x)(2 – x) = 0, x = – 1, 2

74

10) 2x2 + 7x + 3 = 0 จะได (2x + 1)(x + 3) = 0, x = –21 , – 3

11) 3x2 + 7x + 2 = 0 จะได (3x + 1)(x + 2) = 0, x = – 31 , – 2

12) 5x2 + 13x + 6 = 0 จะได (5x + 3)(x + 2) = 0, x = – 53 , – 2

13) 7x2 + 3x – 4 = 0 จะได (7x – 4)(x + 1) = 0, x = 74 , – 1

14) 9x2 + 12x + 4 = 0 จะได (3x + 2)(3x + 2) = 0, x = 32

−

15) 4x2 + 8x + 3 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 1) = 0, x = 23

− , 21

−

16) 4x2 + 16x + 15 = 0 จะได (2x + 3)(2x + 5) = 0, x = 23

− , 25

−

17) x2 – 9 = 0 จะได (x + 3)(x – 3) = 0, x = – 3, 3 18) 25 – x2 = 0 จะได (5 + x)(5 – x) = 0, x = – 5, 5 19) 9x2 – 16 = 0 จะได (3x + 4)(3x – 4) = 0, x =

34

− , 34

20) 36x2 – 25 = 0 จะได (6x + 5)(6x – 5) = 0, x = 65

− , 65

2. 1) x2 + 8x + 6 = 0 [x2 + 2(4)x] + 6 = 0 [x2 + 2(4)x + 42] + 6 – 42 = 0 (x + 4)2 – 10 = 0 (x + 4)2 = 10 x + 4 = 10±

x = 104 ±−

2) x2 + 10x + 3 = 0 [x2 + 2(5)x] + 3 = 0 [x2 + 2(5)x + 52] + 3 – 52 = 0 (x + 5)2 – 22 = 0 (x + 5)2 = 22 x + 5 = 22±

x = 225 ±−

75

3) x2 + 4x + 2 = 0 [x2 + 2(2)x] + 2 = 0

[x2 + 2(2)x + 22] + 2 – 22 = 0 (x + 2)2 – 2 = 0 (x + 2)2 = 2

x + 2 = 2±

x = 22 ±−

4) x2 + 6x + 3 = 0 [x2 + 2(3)x] + 3 = 0 [x2 + 2(3)x + 32] + 3 – 32 = 0 (x + 3)2 – 6 = 0 (x + 3)2 = 6 x + 3 = 6±

x = 63 ±−

5) x2 + 8x – 1 = 0 [x2 + 2(4)x] – 1 = 0 [x2 + 2(4)x + 42] – 1 – 42 = 0 (x + 4)2 – 17 = 0 (x + 4)2 = 17 x + 4 = 17±

x = – 4 17±

6) x2 – 4x – 2 = 0 [x2 – 2(2)x] – 2 = 0 [x2 – 2(2)x + 22] – 2 – 22 = 0 (x – 2)2 – 6 = 0 (x – 2)2 = 6 x – 2 = 6±

x = 62 ±

76 7) x2 – 6x + 4 = 0 [x2 – 2(3)x] + 4 = 0 [x2 – 2(3)x + 32] + 4 – 32 = 0 (x – 3)2 – 5 = 0 (x – 3)2 = 5 x – 3 = 5± x = 53 ± 8) x2 – 10x – 2 = 0 [x2 – 2(5)x] – 2 = 0 [x2 – 2(5)x + 52] – 2 – 52 = 0 (x – 5)2 – 27 = 0 (x – 5)2 = 27 x – 5 = 27± x – 5 = 33± x = 335 ± 9) x2 + 5x + 1 = 0 1x

252x 2 +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

22

2

251

25x

252x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

421

25x

2

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + = 0

2

25x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + =

421

25x + =

421

±

x = 421

25±−

x = 221

25±−

x = 2

215 ±−

77

10) x2 + 3x + 2 = 0 2x

232x 2 +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

22

2

232

23x

232x ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

41

23x

2

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ = 0

2

23x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ =

41

23x+ =

41

±

x =41

23±−

x = 2

13 ±− , x = – 1, – 2

3. 1) x2 – 4x – 21 = 0 a = 1, b = – 4, c = – 21

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)1(2

)21)(1(4)4()4( 2 −−−±−−

=2104 ±

= 7, – 3

2) จาก x2 = 4x จะได x2 – 4x = 0 ดังนั้น a = 1, b = – 4, c = 0

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)1(2

)0)(1(4)4()4( 2 −−±−−

=2

44 ±

= 4, 0

78

3) จาก x2 – 2x = 6 จะได x2 – 2x – 6 = 0 ดังนั้น a = 1, b = – 2, c = – 6

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)1(2

)6)(1(4)2()2( 2 −−−±−−

=)1(2

2442 +±

=2

282 ±

=2

722 ± = 71±

4) 3x2 + 2x – 3 = 0 a = 3, b = 2, c = – 3

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)3(2

)3)(3(422 2 −−±−

=)3(2

3642 +±−

=)3(2402 ±−

=)3(2

1022 ±− =3

101±−

5) จาก 2x2 + 4x = 1 จะได 2x2 + 4x – 1 = 0 ดังนั้น a = 2, b = 4, c = – 1

x =a2

ac4bb 2 −±−

=)2(2

)1)(2(444 2 −−±−

=)2(2

8164 +±−

=)2(2244 ±−

=)2(2

624 ±− =2

62 ±−

79

6) จาก 2x2 = x + 2 จะได 2x2 – x – 2 = 0 ดังนั้น a = 2, b = – 1, c = – 2

x =a2

ac4bb 2 −±− =)2(2

)2)(2(4)1()1( 2 −−−±−−

=)2(2

1611 +±

=4

171±

4. 1) x2 + (x + 3)2 = (x + 7)2

x2 + (x2 + 6x + 9) = x2 + 14x + 49 2x2 + 6x + 9 = x2 + 14x + 49 x2 – 8x – 40 = 0

หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้

x =)a(2

ac4bb 2 −±− และ a = 1, b = – 8, c = – 40

=)1(2

)40)(1(4)8()8( 2 −−−±−−

=2

160648 +±

=2

2248 ±

=2

1448 ±

= 1424 ±

เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนบวกเสมอ ดังนั้น x = 1424 +

จะได AB = 1424 +

BC = 31424 ++ = 1427 +

AC = 71424 ++ = 14211+

2) x2 + (x + 2)2 = (x + 6)2

x2 + x2 + 4x + 4 = x2 + 12x + 36 x2 – 8x – 32 = 0

A

B Cx + 3

x + 7x

A

B Cx + 2

x + 6x

80

หาคําตอบของสมการโดยใชสูตรไดดังนี้

x =)a(2

ac4bb 2 −±− และ a = 1, b = – 8, c = – 32

=)1(2

)32)(1(4)8()8( 2 −−−±−−

=2

128648 +±

=21928 ±

=2

388 ±

= 344 ±

เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอดังนั้น x = 344 +

จะได AB = 344 +

BC = 2344 ++ = 346 +

AC = 6344 ++ = 3410 +

3) x2 + (2x + 3)2 = (3x + 1)2

x2 + 4x2 + 12x + 9 = 9x2 + 6x + 1 5x2 + 12x +9 = 9x2 + 6x + 1 4x2 – 6x – 8 = 0

หาคําตอบของสมการโดยใชสูตร ไดดังนี้

x =a2

ac4bb 2 −±− และ a = 4, b = – 6, c = – 8

=)4(2

)8)(4(4)6()6( 2 −−−±−−

=)4(2

128366 +±

=)4(2

1646 ±

x

A

B C2x + 3

3x + 1

81

= )4(24126 ±

=4

413 ±

เนื่องจากความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมจะตองเปนจํานวนบวกเสมอดังนั้น x =

4413 +

จะได AB =4

413 +

BC = 34

4132 +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ + =2

)419( +

AC = 14

4133 +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ + =4

)41313( +

5.

ถากลองกระดาษในรูปขางบน มีความจุ 320 ลูกบาศกเซนติเมตรจะหาวา กลองใบนี้ซ่ึงมีฐานเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส จะมีความกวางเทาใดไดดังนี้ปริมาตรของกลอง = 5⋅x⋅x หรือ 5x2

5x2 = 320 x2 =

5320 หรือ 64

จะได x = ± 8เนื่องจากความกวางของกลองตองเปนจํานวนจริงบวกดังนั้น ฐานของกลองจะมีความกวางเทากับ 8 เซนติเมตร

5 xx

82

6.

(1) (2)

กลองในรูปที่ (1) ทําจากกระดาษในรูปที่ (2) ซ่ึงมีพื้นที่เทากับ x2 + 4ax กําหนดให

a x2 + 4ax

41 20

1 165

21 80

หาคาของ x ไดดังนี้1) จาก a =

41 จะได x2 + 4ax = x2 + x

และ x2 + x = 20x2 + x – 20 = 0(x + 5)(x – 4) = 0 x = 4, – 5

เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวกดังนั้น x = 4 เซนติเมตร

2) a = 1 จะได x2 + 4ax = x2 + 4xและ x2 + 4x = 165

x2 + 4x – 165 = 0(x + 15)(x – 11) = 0

x = 11, – 15เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวกดังนั้น x = 11 เซนติเมตร

a

xx

ax

ax

ax

ax

x2

83

3) a = 21 จะได x2 + 4ax = x2 + 2x

และ x2 + 2x = 80x2 + 2x – 80 = 0(x + 10)(x – 8) = 0 x = 8, – 10

เนื่องจากความกวางของกลองจะตองเปนจํานวนจริงบวกดังนั้น x = 8 เซนติเมตร

7. ถาความสูง (h) ของลูกเทนนิส เมื่อวัดจากพื้นขณะที่นักกีฬาตีลูกขึ้นไปนาน t วินาทีหาไดจากสูตร h = 1 + 15t – 5t2

จะหาวา นานเทาใดหลังจากที่นักกีฬาตีลูกเทนนิส แลวลูกเทนนิสอยูสูงจากพื้นดิน 10 เมตรจาก h = 10จะได 1 + 15t – 5t2 = 10

5t2 – 15t + 9 = 0

จาก t =a2

ac4bb 2 −±− และ a = 5, b = – 15, c = 9

t =)5(2

)9)(5)(4()15()15( 2 −−±−−

=10

4515 ±

=10

5315 ±

≈10

7.615 ±

≈ 0.83 หรือ 2.17 วินาที

เขียนภาพแทนการตีลูกเทนนิสของนักกีฬาไดดังนี้

0 t1 t2

h

84

นอกจากการหาคาของ t โดยใชสูตรแลว อาจจะใชวิธีการประมาณคาของ 1 + 5t – 15t2

ที่มีคาใกล 10 มากที่สุด โดยใชเครื่องคิดเลขไดดังตัวอยางตอไปนี้t (วินาที) 1 + 15t – 5t2 (เมตร)

10.90.80.850.84*0.830.82

1110.459.8

10.1310.07

*10.00559.938

จากตารางพบวา คาประมาณของ t ที่เทากับ 0.83 วินาที เปนคาที่ทําให 1+ 5t – 5t2 มีคาใกล 10 เมตร มากที่สุด

8. ตนทนุในการผลติสนิคาบรษิทัแหงหนึง่เทากบั1 600x – 5x2 เมือ่ x แทนราคาตนทนุสนิคาตอหนวย และถาตนทุนสินคาตอหนวยสูงกวา 50 บาท ถาตองการกําไรชิ้นละ 25% โดยมีตนทุนในการผลิตเทากับ 16,000 บาท จะหาวาตองขายสินคาในราคาชิ้นละเทาใดไดดังนี้ให 600x – 5x2 = 16,000

5x2 – 600x + 16,000 = 0x2 – 120x + 3,200 = 0

จาก x = a2

ac4bb 2 −±− และ a = 1, b = – 120, c = 3,200

จะได x = )1(2

)200,3)(1(4)120()120( 2 −−±−−

= 2

800,12400,14120 −±

= 2

600,1120 ± = 2

40120 ±

จะได x = 80 หรือ 40จากโจทย ราคาสินคาตอหนวยตองสูงกวา 50 บาทดังนั้น ราคาสินคาตอหนวย จะตองเทากับ 80 บาท

ตองการกําไร 25% จะหาไดจาก 1002580× หรือ 20 บาท

นั่นคือ จะตองขายสินคาชิ้นละ 80 + 20 หรือ 100 บาท

85

9. ถาผลคูณของจํานวนถัดไปที่เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกสองจํานวนมีคาเทากับ 35จะหาจํานวนทั้งสองไดโดยให x เปนจํานวนคี่จํานวนแรกให x + 2 เปนจํานวนคี่ที่เปนบวกที่เปนจํานวนถัดไปจะได x(x + 2) = 35

x2 + 2x – 35 = 0(x + 7)(x – 5) = 0

x = – 7, 5เนื่องจากโจทยกําหนดจํานวนคี่เปนจํานวนบวก ดังนั้น x จะตองเทากับ 5สรุปวา จํานวนแรก คือ 5 และจํานวนที่สองคือ 7ตรวจสอบคําตอบ 5 × 7 = 35

10. 1) ถา x2 + 10x + c = 0 และ c < 0ให c = –24จะได x2 + 10x – 24 = 0

(x + 12)(x – 2) = 0และ x = –12 หรือ 2 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

2) ถา x2 + 10x + c = 0 และ c > 0ให c = 9จะได x2 + 10x + 9 = 0 (x + 9)(x + 1) = 0และ x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

3) ถา x2 + bx + 9 = 0 และ b > 6ให b = 10จะได x2 + 10x + 9 = 0

(x + 9)(x + 1) = 0และ x = –9 หรือ –1 เปนคําตอบที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

86 11. ถาระยะเบรกของรถคันหนึ่งแทนดวยสูตร d =

20ss

2

+ เมตร เมื่อ d คือ ระยะเบรก และ s คืออัตราเร็วของรถมีหนวยเปนกิโลเมตร / ช่ัวโมง หาระยะเบรกของรถคันนี้เมื่อรถคันนี้วิ่งดวยอัตราเรว็ตางกัน ไดดังนี ้ 1) s = 40 กิโลเมตร / ช่ัวโมง d =

20)40(40

2

+ = 40 + 80 เมตร = 120 เมตร 2) s = 100 กิโลเมตร / ช่ัวโมง d =

20)100(100

2

+ = 100 + 500 เมตร = 600 เมตร 12.

หยุด x

35 ซม.

x ถาตัดปายรูปแปดเหลี่ยมจากแผนโลหะรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสใหไดปายรูปแปดเหลี่ยมทีแ่ตละ

ดานยาว 35 ซม. จะหาวา ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสควรจะยาวดานละเทาใด จึงจะไดปายตามขนาดที่เขียนไวในรูปไดดังนี ้

หาความยาวของ x โดยใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

35

x จาก x2 + x2 = 352 x 2x2 = 352

x2 = 2

352

จะได x = 2

35 หรือ 2

235

จะไดวา รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสควรจะมีความยาวดานละ 2x + 35 หรือ 352

2352 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ซ่ึงมีคาประมาณ 84.50 ซม.

87

แบบฝกหัด 3.4.11. 1) n < 5 จะได n = 0 , 1, – 2 2) n > – 4 จะได n = 6, – 1, 0 3) n < 0 จะได n = – 2, – 5 4) n ≤ 0 จะได n = 0, – 4, – 1 5) n ≤ 2 จะได n = – 2, 2, 0 6) – 1 < n ≤ 3 จะได n = 2, 3, 0 7) – 10 < n < 4 จะได n = – 1, 0 8) 0 ≤ n ≤ 5 จะได n = 1, 0, 5

2. 1) x + 2 > 2x + 2 – 2 > 2 – 2

x > 0เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0}

2) x – 4 ≤ 2x – 4 + 4 ≤ 2 + 4

x ≤ 6เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ 6}

3) 3 + y < 73 + y – 3 < 7 – 3

y < 4เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y < 4}

-3 -2 -1 0 1 2 3

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

88

4) y – 2 ≥ –1y – 2 + 2 ≥ –1 + 2

y ≥ 1เซตคําตอบของอสมการคือ {y⏐y ≥ 1}

5) x + 3 < 2x + 3 – 3 < 2 – 3

x < –1เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < –1}

6) x – 9 ≤ 0x – 9 + 9 ≤ 0 + 9

x ≤ 9เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ 9}

7) 2x ≥ 4 )

21(4)

21(x2 ≥

x ≥ 2เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 2}

8) 3x31

≥

33)3(x31

×≥

x ≥ 9เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 9}

-2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

6 7 8 9 10 11 12

-2 -1 0 1 2 3 4

6 7 8 9 10 11 12

89

9) 12x

−≤

)2(1)2(2x

−≤

x ≤ –2เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≤ –2}

10) 10 ≤ 5x)

51(x5)

51(10 ≤

2 ≤ xเซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x ≥ 2}

11) 07x

>

)7(0)7(7x

>

x > 0เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x > 0}

12) 04x<

)4(0)4(4x

<

x < 0เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐x < 0}

-4 -3 -2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

90

13)211x ≤−

x – 1 + 1 ≤ 121+

23x ≤

เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐23x ≤ }

14) 5x + 1 ≤ 45x + 1 – 1 ≤ 4 – 1

5x ≤ 3 )

51(3)

51(x5 ≤

x ≤53

เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐53x ≤ }

15) –3 + 3x ≤ 2–3 + 3x + 3 ≤ 2 + 3

3x ≤ 5x ≤

35

เซตคําตอบของอสมการคือ {x⏐ x ≤ 35 }

แบบฝกหัด 3.4.21. –3x ≥ 9

)31(9)

31(x3 −≤−−

x ≤ –3

0 1 2 323

0 1 2 353

0 1 2 335

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

91

2. 23x

≤−

)3(2)3)(3x( −≥−−

x ≥ –6

3. 16x

<−

)6(1)6)(6x( −>−−

x > –6

4. – 4x ≤ 20)

41(20)

41)(x4( −≥−−

x ≥ –5

5. 18 + 6x > 018 + 6x – 18 > 0 – 18

6x > –18

6x6 >

618−

x > –3

6. 05x

≥−

)5(0)5)(5x( −≤−−

x ≤ 0

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

92 7. –3x ≥ 12 )

31(12)

31(x3 −≤−−

x ≤ – 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 8. 1

7x

<−

)7(1)7(7x

−>−− x > –7 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 9. –3x – 21 ≥ 0 –3x – 21 + 21 ≥ 0 + 21 –3x ≥ 21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

31x3 ≤ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3121

x ≤ –7 10. 01

2x

>−−

10112x

+>+−−

12x

>−

)2(1)2)(2x( −<−−

x < –2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

93

แบบฝกหัด 3.4.3

1. 1) 4x + 2 > x + 74x + 2 – x > x + 7 – x

3x + 2 > 73x + 2 – 2 > 7 – 2

3x > 5 )

31(x3 > )

31(5

x >35

2) 2x – 1 < x + 92x – 1 – x < x + 9 – x

x – 1 < 9x – 1 + 1 < 9 + 1

x < 10

3) 8x – 5 ≥ 3x + 158x – 5 – 3x ≥ 3x + 15 – 3x

5x – 5 ≥ 155x – 5 + 5 ≥ 15 + 5

5x ≥ 20 )

51(x5 ≥ )

51(20

x ≥ 4

4) 3x – 2 ≤ x3x – 2 – x ≤ x – x

2x – 2 ≤ 02x – 2 + 2 ≤ 0 + 2

2x ≤ 2 )

21(x2 ≤ )

21(2

x ≤ 1

6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 0 1 2 3 4

0 1 2 33

5

94

5) 8 – 3x > x 8 – 3x + 3x > x + 3x

8 > 4x )

41(x4)

41(8 >

2 > x หรือ x < 2

6) 5 – 3m ≤ 6 – 4m5 – 3m + 4m ≤ 6 – 4m + 4m

5 + m ≤ 65 + m – 5 ≤ 6 – 5

m ≤ 1

7) 6 – 3m ≥ 3m6 – 3m + 3m ≥ 3m + 3m

6 ≥ 6m )

61(6 ≥ )

61)(m6(

1 ≥ m m ≤ 1

8) 3m < m – 23m – m < m – 2 – m

2m < –2 )

21(m2 < )

21(2−

m < –1

9) 4(m – 3) ≤ 3(m – 2)4m – 12 ≤ 3m – 6

4m – 12 – 3m ≤ 3m – 6 – 3mm – 12 ≤ – 6

m – 12 + 12 ≤ – 6 + 12m ≤ 6

-2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4

-2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2

3 4 5 6 7 8 9

95

10) m + 2 < 6(2 + m)m + 2 < 12 + 6mm + 2 – m < 12 + 6m – m

2 < 12 + 5m2 – 12 < 12 + 5m – 12

–10 < 5m )

51(10− < 5m )

51(

–2 < m หรือ m > –2

11) x2 < 9 x2 – 9 < 0 (x – 3)(x + 3) < 0

พิจารณาคาของ (x – 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา xที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

ชวง x (x – 3)(x + 3) คาของ (x – 3)(x + 3)(– ∞, – 3) – 5 (– 8)(– 2) = 16 มีคาเปนบวก

(– 3, 3) 0 (– 3)(3) = – 9 มีคาเปนลบ(3, ∞) 5 (2)(8) = 16 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (–3, 3) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้

12) x2 > 4 x2 > 4 x2 – 4 > 0 (x – 2)(x + 2) > 0

พิจารณาคาของ (x – 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2), (– 2, 2), (2, ∞) โดยเลือกคา xที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

-4 -3 -2 -1 0 1 2

(x – 3)(x + 3) < 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

96

ชวง x (x – 2)(x + 2) คาของ (x – 2)(x + 2) (– ∞, – 2) –3 (– 5)(– 1) = 5 มีคาเปนบวก

(– 2, 2) 0 (– 2)(2) = – 4 มีคาเปนลบ (2, ∞) 3 (1)(5) = 5 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x – 2)(x + 2) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศนูย เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 2) ∪ (2, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี ้ (x – 2)(x + 2) > 0 (x – 2)(x + 2) > 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 13) x2 + 2x > 3 x2 + 2x – 3 > 0 (x – 1)(x + 3) > 0 พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี ้

ชวง x (x – 1)(x + 3) คาของ (x – 1)(x + 3) (– ∞, – 3) – 5 (– 6)(– 2) = 12 มีคาเปนบวก

(– 3, 1) 0 (– 1)(3) = –3 มีคาเปนลบ (1, ∞) 5 (4)(8) = 32 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 3) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศนูย เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 3) ∪ (1, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้

(x – 1)(x + 3) > 0 (x – 1)(x + 3) > 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

97

14) x2 – 4x < 5 x2 – 4x – 5 < 0 (x – 5)(x + 1) < 0 พิจารณาคาของ (x – 5)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 5), (5, ∞) โดยเลือกคา x

ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

ชวง x (x – 5)(x + 1) คาของ (x – 5)(x + 1)(– ∞, – 1) – 2 (– 7)(– 1) = 7 มีคาเปนบวก

(– 1, 5) 0 (– 5)(1) = – 5 มีคาเปนลบ(5, ∞) 15 (10)(16) = 160 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x – 5)(x + 1) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (– 1, 5) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้

15) (x – 1)(x + 1) > 0 พิจารณาคาของ (x – 1)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 1), (1, ∞) โดยเลือกคา x

ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

ชวง x (x – 1)(x + 1) คาของ (x – 1)(x + 1)(– ∞, – 1) – 2 (– 3)(– 1) = 3 มีคาเปนบวก

(– 1, 1) 0 (– 1)(1) = – 1 มีคาเปนลบ(1, ∞) 2 (1)(3) = 3 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x – 1)(x + 1) มีคาเปนบวก หรือมากกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, – 1) ∪ (1, ∞)

เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้

(x – 5)(x + 1) < 0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

(x – 1)(x + 1) > 0 (x – 1)(x + 1) > 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

98

16) x2 – 6x + 9 < 0 (x – 3)(x – 3) < 0

พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3)(– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก(3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) ≥ 0 เสมอ จึงไมมีคา x ที่ทําให (x – 3)2 มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย แสดงวา ไมมีจํานวนจริงใดที่ทําให (x – 3)2 < 0

17) x2 + 6x + 9 < 0 (x + 3)(x + 3) < 0

พิจารณาคาของ (x + 3)(x + 3) ในชวง (– ∞, – 3), (– 3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

ชวง x (x + 3)(x + 3) คาของ (x + 3)(x + 3)(– ∞, – 3) –5 (– 2)(– 2) = 4 มีคาเปนบวก(– 3, ∞) 0 (3)(3) = 9 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา คาของ (x + 3)(x + 3) ≥ 0 เสมอ เมื่อ x อยู ในชวง (– ∞, – 3] ∪ [– 3, ∞) หรือ (– ∞, ∞) จึงไมมีคา x ที่ทําให (x + 3)(x + 3) มีคาเปนลบ หรือนอยกวาศูนย

(x – 3)2 ≥ 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x2 + 6x + 9 ≥ 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

99 18) x2 + 4x + 4 ≥ 0 (x + 2)(x + 2) ≥ 0 พิจารณาคาของ (x + 2)(x + 2) ในชวง (– ∞, – 2], [– 2, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี ้

ชวง x (x + 2)(x + 2) คาของ (x + 2)(x + 2) (– ∞, – 2] – 5 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก [– 2, ∞) 0 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือกคา x อ่ืนเพิ่มเติมจะพบวา (x + 2)(x + 2) มีคามากกวาหรือเทากับศูนย เมื่อ x เปนจํานวนจริง หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, –2 ] ∪ [–2 , ∞) หรือ (– ∞, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี ้

x2 + 4x + 4 ≥ 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 19) (x – 3)2 > 0 (x – 3)(x – 3) > 0 พิจารณาคาของ (x – 3)(x – 3) ในชวง (– ∞, 3), (3, ∞) โดยเลือกคา x ที่อยูในชวงดังกลาวดังนี ้

ชวง x (x – 3)(x – 3) คาของ (x – 3)(x – 3) (– ∞, 3) 0 (– 3)(– 3) = 9 มีคาเปนบวก (3, ∞) 5 (2)(2) = 4 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 3)(x – 3) มีคาเปนบวกหรือมากกวาศนูย เมื่อ x เปนจํานวนจริง ที่ไมเทากับ 3 หรือ เมื่อ x อยูในชวง (– ∞, 3) ∪ (3, ∞) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี ้

(x – 3)2 > 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

(x – 3)2 = 0

100

20) x2 – 9x – 10 < 0 (x – 10)(x + 1) < 0

พิจารณาคาของ (x – 10)(x + 1) ในชวง (– ∞, – 1), (– 1, 10), (10, ∞) โดยเลือกคา xที่อยูในชวงดังกลาวดังนี้

ชวง x (x – 10)(x + 1) คาของ (x – 10)(x + 1)(– ∞, – 1) – 2 (– 12)(– 1) = 12 มีคาเปนบวก(– 1, 10) 0 (– 10)(1) = – 10 มีคาเปนลบ(10, ∞) 11 (1)(12) = 12 มีคาเปนบวก

เมื่อเลือก x คาอื่นเพิ่มเติมจะพบวา (x – 10)(x + 1) มีคาเปนลบหรือนอยกวาศูนย เมื่อ x อยูในชวง (–1, 10) เขียนแสดงคําตอบโดยใชเสนจํานวนไดดังนี้

2. ลิฟทของที่ทํางานแหงหนึ่งสามารถจุคนได n คน โดยที่น้ําหนักเฉลี่ยของแตละคนเทากับ 80 กิโลกรัม ถาลิฟทตัวนี้บรรทุกน้ําหนักไดมากที่สุด 1,650 กิโลกรัม ให n แทนจํานวนคนที่อยูในลิฟท จะได 80 n ≤ 1650

)801(n80 ≤ )

801(1650

n ≤ 8520

สรุปไดวา ลิฟทตัวนี้บรรจุคนไดไมเกิน 20 คน

3. ที่จอดรถของศูนยการคาแหงหนึ่งมีพื้นที่ไมเกิน 8,000 ตารางเมตร และจะตองแบงเปนทางเดิน ของรถ 950 ตารางเมตร กําหนดใหพื้นที่สําหรับจอดรถ 1 คัน เทากับ 20 ตารางเมตร จะหาจํานวนรถที่ลูกคานํามาจอดในที่จอดรถไดมากที่สุดไดดังนี้ ให x เปนจํานวนรถที่นํามาจอดในบริเวณที่จอดรถ จะได 20x < 8,000 – 950

20x < 7,050

x2 – 9x – 10 < 0

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

101

)201(x20 < )

201(050,7

x < 21352

สรุปไดวา ลูกคานํารถมาจอดไดมากที่สุด 352 คัน

4. บริษัท ก คิดคาเชารถวันละ 1,800 บาท โดยไมคิดคาใชจายอื่นอีก บริษัท ข คิดคาเชารถวันละ 1,000 บาท และคิดคาเชาเพิ่มจากจํานวนกิโลเมตรที่นํารถไปใช อีกกิโลเมตรละ 2 บาท

1) ใหจํานวนระยะทางที่รถวิ่งแทนดวย x จะได 1000 + 2x ≤ 1800

2x ≤ 800 x ≤ 400 สรุปวา ถาเชารถจากบริษัท ข โดยจายคาเชา 1,800 บาท/วัน จะใชวิ่งไดมากที่สุด 400 กิโลเมตร

2) ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร ถาเชารถจากบริษัท ก จะตองจายคาเชารถ 1,800 บาท ถาเชารถจากบริษัท ข จะตองจายคาเชารถ 1,000 + 2(600) หรือ 2,200 บาท ดังนั้น ถาตองการใชรถวันละประมาณ 600 กิโลเมตร ควรเชารถจากบริษัท ก

จึงจะประหยัดคาเชารถ

5. แมคาขายไกยางตัวละ 80 บาท โดยมีคาใชจายที่เปนคาเชารานวันละ 100 บาท และคาใชจายอื่น รวมทั้งคาไกสดคิดเปนตนทุนแลวตัวละ 60 บาท ให x แทนจํานวนไก (ตัว) ที่ขายไดในหนึ่งวัน ขายไกยาง 1 ตัว ตองการกําไร 80 – 60 = 20 บาท

20x – 100 ≥ 500 20x ≥ 600

x ≥ 30 ดังนั้น ถาตองการกําไรจากการขายไกยางวันละไมต่ํากวา 500 บาท ตองขายไกยางใหได มากกวาวันละ 30 ตัว

102

แบบฝกหัด 3.51. จงหาคาของ

1) ⏐8⏐ +⏐3⏐ = 8 + 3 = 11 10) ⏐0⏐ = 02) ⏐9⏐ – ⏐2⏐ = 9 – 2 = 7 11) ⏐3 – π⏐ = – (3 – π) = π – 33) ⏐– 8⏐+ ⏐2⏐ = 8 + 2 = 10 12) ⏐4 – π⏐ = 4 – π4) ⏐– 12⏐+ ⏐–6⏐ = 12 + 6 = 18 13)

55

−− =

55− = – 1

5) ⏐– 6⏐–⏐6⏐ = 6 – 6 = 0 14) –3 – ⏐–3⏐ = – 3 – 3 = – 66) ⏐– 13⏐–⏐– 5⏐ = 13 – 5 = 8 15) –3 ⏐3⏐ = – 3(3) = – 97) ⏐4 + 9⏐ = 13 16) ⏐–1⏐–⏐–2⏐ = 1 – 2 = – 18) ⏐10 – 10⏐ = 0 17) –⏐16.25⏐+ 20 = –16.25 + 20 = 3.759) ⏐– 10⏐ = 10 18) 2⏐33⏐ = 2(33) = 66

2. กําหนดให x = ⏐– 2⏐ และ y = ⏐5⏐ 1) x – 2 = ⏐– 2⏐– 2 = 2 – 2 = 02) y – 5 = ⏐5⏐– 5 = 5 – 5 = 03) 2x = 2⏐– 2⏐ = 2(2) = 44) y2 = (⏐5⏐)2 = 52 = 255) x + y = ⏐– 2⏐+ ⏐5⏐ = 2 + 5 = 76) x – y = ⏐– 2⏐– ⏐5⏐ = 2 – 5 = – 37) xy = ⏐– 2⏐⏐5⏐ = 2(5) = 108)

yx =

52− =

52

3. 1) ⏐–3⏐ > –⏐–3⏐ 2) ⏐– 4⏐ = ⏐4⏐ 3) –5 = –⏐5⏐ 4) –⏐4⏐ < ⏐4⏐ 5) –⏐–6⏐ < ⏐–6⏐ 6) –⏐–2⏐ = –2

4. 1) ⏐x⏐ = 7 ∴ x = –7, 7

2) ⏐x⏐ > 7 ∴ x < –7 , x > 7

-14 -7 0 7 14

-14 -7 0 7 14

103

3) ⏐x⏐ ≥ 7 ∴ x ≤ – 7 , x ≥ 7

-14 -7 0 7 14

-14 -7 0 7 14

4) ⏐x⏐ > 0 ∴ x < 0 , x > 0

5) ⏐x⏐ ≤ 4 ∴ – 4 ≤ x ≤ 4 -8 -4 0 4 8

-8 -4 0 4 8

6) ⏐x⏐ < 4 ∴ – 4 < x < 4 5. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย 1) ⏐x⏐ = – x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน x = 1, ⏐1⏐ = 1 แต – x = – 1 และ –1 ≠ 1 2) –⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมีคา x บางคา เชน x = –2 , –⏐–2⏐ = –2 แต –2 < –2 3) ⏐x⏐ > x เปนเท็จ เพราะมี x = 2, ⏐2⏐ = 2 แต 2 > 2 4) ⏐x⏐ < x เปนเท็จ เพราะมี x = –1, ⏐–1⏐= 1 แต 1 < –1

115 10. ให r แทนรศัมีของพื้นที่หนาตัดที่เปนรูปวงกลม h แทนความสูงของบอน้ํา ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h πr2h = 2,200

722 r2h ≈ 2,200

r2h ≈ 22

7200,2 ×

r2h ≈ 100 × 7 จะไดวา ถารัศมีของพื้นที่หนาตัดเทากับ 10 เมตร ความสูงของบอน้ําจะเทากับ 7 เมตร ถารัศมีของพื้นที่หนาตดัเทากับ 7 เมตร หรือประมาณ 2.6 เมตร ความสูงของบอน้ําจะเทากับ 100 เมตร 11. ใหความลึกของอางน้ํา เทากบั h เมตร จะหาคา h ไดดังนี ้ (4.8 × 1012)h = 8.64 × 1015

h = 12

15

108.41064.8

××

h = 1.8 × 103 เมตร จะได ความลกึของอางเก็บน้ําแหงนี้เทากบั 1.8 × 103 เมตร

เฉลยแบบฝกหดั แบบฝกหัด 4.1 1. 1) 2x8 = 23 x2 = x22 2) 4 256 = 4 44 = 4 3) 3 6y8 = 3 32 )y2( = 2y2

4) 5 32− = 5 5)2(− = – 2

2. 1) 25 = ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

22

25 =

210

2) 1521 =

1521 =

5373

×× =

57 =

55

57× =

535

3. 1) 33 2 a4a2 ⋅ = 3 3a8 = 3 3)a2( = 2a 2) 122 ⋅ = 24 = 622 ⋅ = 62 3) 33 454 ⋅ = 3 216 = 3 36 = 6

116

4) 2793 ⋅⋅ = 2793 ⋅⋅ = 2727 ⋅ = 27

4. 1) (a + b) x – (a – b) x

= ]xbxa[xbxa −−+

= xbxaxbxa +−+

= xb2

2) 32283 +−

= 53 2223 +−

= 24226 +−

= (6 – 1 + 4) 2

= 9 2

3)3a4a12

3a

+−

= 3a4

3a36

3a

+−

= 3

a)4361( +−

= 3

a)461( +−

= 3

a− =

33a−

4) )5210(53 +

= 256503 +

= 22 56253 +⋅

= 30215 +

5) )23)(23( −+

= 22322333 ⋅−⋅+⋅−⋅

= 2663 −+−

= 1

117

แบบฝกหัด 4.2

รูปกรณฑ เลขยกกําลัง1. 1) 9 2

1

9

2) 3 64 31

64

3) 5 32 51

32

4) 144− 21

)144(−

5) 169 21

169

6) 3 125.614 31

)125.614(

7) 3 216− 31

)216(−

8) 5 243− 51

)243(−

9) 3 2)27( 32

27

10) 34 )81( 341

)81(

11) 4 381 41

3 )81(

12) 4 516 45

16

2. 1) 9 = 3 2) 49 = 7

3) 3 8 = 24) 3

827 =

23

5) 3 27−− = – (–3) = 36) 3 0 = 07)

644 =

84 =

21

8) 3814

=33 = 1

9) 33 )125( − =3

31

)125(⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧− = –125

10) 4 4562 = 562

118

11) 23

36 = 336 = 32 )6( = 23 )6( = 63 = 216

12) 31

27 = 31

3 )3( = 3

13) 41

16− = 4 116− = 4

1

)161(

= 41

4 )21( =

21

14) 21

25

1−

= 21

25 = 21

2 )5( = 5

15) –24 + 21

4 = –16 + 2 = –14

16) 43

625 = 43

4 )5( = 53 = 125

17) 2

21

216 = 2

21

2

2)4( =

44 = 1

18) 32

)008.0(− = 3 2)008.0( − = 3 )2(3)2.0( −⋅

= 0.2-2 = 04.01 = 25

3. 1) 8 = 32 = 22

2) 32716 = 3

3

4

32 =

322 3

3) 3x72 = 323 x32 ⋅ = x2x32 ⋅⋅ = x2x6 4) 4xy54 = 43 xy32 ⋅ = x6y3 2

5) 2

4

ba32 = 2

45

ba2 = 2

ba4 2

, b ≠ 0

6) 4 42 )x3( = 3x2

4. 1) เนื่องจาก 21

2 )25a( + = 22 5a +

ดังนั้น 21

2 )25a( + a + 5 ≠

2) เนื่องจาก 21

a36 = a36

ดังนั้น 21

a36 ≠ a6

119

3) เนื่องจาก 21

2 ))4((− = 2)4(− = -4 = 4

ดังนั้น 21

2 ))4((− = 4

4) เนื่องจาก 1

22((4) ) = 2)4( = 4

ดังนั้น 1

22((4) ) = 4 5) เนื่องจาก = (-1)11 ))1(( −−− (-1× -1) = (–1)1 = –1 ดังนั้น = –1 11 ))1(( −−−

6) เนื่องจาก (–1)-1(–1)-1 = (–1)(–1+ –1) = (–1)–2 = 21

(-1) = 1

ดังนั้น (–1)-1(–1)-1 = 1

7) เนื่องจาก 23

a− =

23

a

1

ดังนั้น 23

a− ≠

32

a

1

8) เนื่องจาก 32

32

ba− =

32

32

b

a = 32

ba⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ดังนั้น 32

32

ba− 1 ≠

9) เนื่องจาก 43

34

)a( = ( )34×3 4a = a

ดังนั้น 43

34

)a( = a

10) เนื่องจาก 21

21

a

a−

= 21

21

aa ⋅ = a

ดังนั้น 21

21

a

a−

= a

5. 1) 2

32

327 = 2

3 2

327 = 2

3 6

33 = 2

2

33 = 1

2) 34

32

55 × = 34

32

5+ = 3

6

5 = 52 = 25 3) 8 × 2-2 =

418× = 2

4) 2-2 × 16 = 1641× = 4

5) 34

35

88−

× = 34

35

8

8 = 34

35

8− = 3

1

8 = 3 8 = 3 32 = 2

120

6)2

22 25

21

× = )2(1

25

21

−+ = )2( 22

26− = )2( 2

4

= 4

7)882 2

33 × =

888 2

3

× = )8( 21

231 −+ = 82 = 64

8)31

31

27

78 + =3

72 + =39 = 3

6. 1) 35 + > 35 +

2) 23 − < 23 −

3) 5 > 22 23 +

4) 4 33 ⋅ > 3 3

5)113 =

113

7. ในวันที่มีอากาศสดใส ผูที่ยืนอยูบนชั้นบนสุดของตึกสูงสามารถมองไปไดไกลเปนระยะที่คํานวณไดจากสูตรดังนี้

d = h2.1

เมื่อ d แทนระยะที่สามารถมองไปไดไกลจากตึกสูงh แทนความสูงของตึก ณ จุดที่ยืน

ถายืนอยูบนตึกที่สูง 1,454 เมตร จะหาระยะที่สามารถมองไดไกลที่สุดไดดังนี้d = 454,12.1

d ≈ )131351.38(2.1

d ≈ 45.757621ดังนั้น สามารถมองไดไกลที่สุดประมาณ 45.76 เมตร

8. น้ําหนักของปลาวาฬ (W) มีหนวยเปนตัน และความยาว (L) มีหนวยเปนฟุตสามารถคํานวณน้ําหนักของปลาวาฬไดจากสูตร

W = 512

L)0016.0(

จะหาน้ําหนักของปลาวาฬที่มีความยาว 25 ฟุต ไดดังนี้

W = 512

)25(0016.0

= 5 12250016.0

121 = 5 2450016.0 = 5 44 550016.0 × ≈ 3.623898318 ดังนั้น ปลาวาฬที่ยาว 25 ฟุต จะมีน้ําหนกัประมาณ 3.6 ตัน 9. ชายผูหนึ่งฝากเงินไวกับธนาคารแหงหนึ่งโดยมีขอตกลงวา เขาจะฝากเงนิกับธนาคาร 100,000 บาท โดยธนาคารจะตองจายดอกเบี้ยใหปละ 4% ถา 50 ป ตอมาเงินที่ฝากไว จะมีคาเทากบั 100,000(1.04)50 บาท จะหาจํานวนเงินทีช่ายผูนี้จะไดรับถาเขาไปปดบัญชีกับ ธนาคารไดดังนี้ ถาเขาปดบัญชีจะไดเงิน เทากับ 100,000(1.04)50

≈ 100,000(7.106683346) ≈ 710,668.3346 ดังนั้น ถาเขาปดบัญชี เขาจะไดเงนิประมาณ 710,668 บาท หมายเหตุ การหาคาของ (1.04)50 อาจทําใหงายขึ้นโดยให (1.04)50 = (1.04)5×5×2 แลวใชเครื่องคิดเลขหาคา (1.04)5 จากนั้นจึงหาคา ((1.04)5)5 และ [((1.04)5)5]2 ตามลําดับ 10. นักวิทยาศาสตรพบวา สามารถหาคาประมาณของพื้นที่ผิวหนังของมนุษย (S) ไดจากสูตร S = (0.1091)(w⋅h)0.5 ตารางฟุต เมื่อ h แทนดวยความสูงที่มีหนวยเปนนิ้ว w แทนดวยน้ําหนักที่มีหนวยเปนปอนด คาประมาณของพื้นที่ผิวหนงัของคนที่สูง 5 ฟุต 4 นิ้ว และหนัก 180 ปอนด หาไดดังนี ้ S = (0.1091)(180 × 64)0.5

S = (0.1091) 21

222 )5832( ××× S = 5832)1091.0( ×××× จะได คาประมาณของพืน้ที่ผิวหนังของคนที่สูง 5 ฟุต 4 นิ้ว เทากบั 11.70948 หรือ 11.7 ตารางฟุต