-
BT NG THC V CHN H S TT NHT
V Tun Hin THPT chuyn H Ni Amsterdam
Trong cc k thi hc sinh gii hin nay thng khng cn xu hng ra nhng
bi
bt ng thc s cp thun ty, m thay vo l kt hp gia vic chng minh
bt ng thc v tm h s tt nht, hay n gin l cc bi ton tm h s tt
nht.
Cch lm tng qut nht ca nhng bi ton ny thng l cho cc bin l hng
s
tha mn bi, ri t xc nh tp gi tr ca h s cn tm. Tuy nhin cch
lm ny khng phi lc no cng thc hin c, v c mt s trng hp ta khng
th xc nh c u l b hng s thch hp. Bi vit ny xin gii thiu mt lp
bi ton chn h s tt nht bng phng php gi nh im ri.
Ta s chn mt b l cc bin thay v chn hng s, ri c gng quy mt v ca
bt
ng thc v hm mt bin kho st. Thng thng ta hay cho 2 bin bng
nhau, hoc mt bin bng 0 ty vo bi. y yu t gii tch ht sc quan
trng.
V d 1: Cho cc s khng m , , tha mn + + = + + . Tm s
thc ln nht bt ng thc sau lun ng:
( + + ) 1
+ +
1
+ +
1
+ ( + + + 1)
Phn tch v li gii:
Nu mt trong ba bin bng 0 th hai bin cn li bng nhau v bng 2. Do
mt
ngh t nhin ca ta l chn b c hai bin bng nhau ri t gi thit ta c
th
biu din bin cn li thng qua hai bin kia.
Chn = = . T gi thit suy ra:
+ 2 = 2 + 2 =2 2
2 1 (1)
Nh vy ta biu din c theo v gi v tri ca bt ng thc l hm mt
bin theo . C th hn, bt ng thc cho tr thnh:
2 2
2 1+ 2
1
2+
2
2 2
2 1 +
2 2
2 1+ 2 + 1
-
32
33 + 52 + 1
2
9
t =32
33+52+1
Ch rng t ng thc (1) ta suy ra 1
2< 2
Kho st hm () trong (1
2, 2] ta thu c min =
2
9
Suy ra 1
Ta s chng minh bt ng thc trong trng hp = 1.
T ng thc bi th ta ch cn chng minh:
( + + ) 1
+ +
1
+ +
1
+ + + + 1
+ +
+ +
+ 1
p dng bt ng thc Cauchy Schwarz, ta c:
+ +
+ +
+
( + + )2
+ + + + ( + )
= + + 2
+ + + + 3
( + + )2
+ + + + = 1
Vy ta c pcm.
ng thc xy ra khi v ch khi = = 2, = 0 v hon v.
V d 2: Tm s thc dng ln nht sao cho vi mi s thc dng , , tha
mn + + = 3 th bt ng thc sau lun ng:
1
+
1
+
1
+
6
2 + 2 + 2 + + + 3 +
Phn tch v li gii:
Ta li dng k thut gi nh. R rng nu cho = = th ta li khng thu c
iu g mi c. Thay vo ta ch cho hai bin bng nhau. Gi s = = th
-
= 3 2. Nh vy ta a v tri ca bt ng thc v hm mt bin . Bt
ng thc cho tng ng vi:
2
+
1
3 2 3 1
6
22 + (3 2)2 + 2 3 2 + 2
2 2 + 3
(3 2)
6
Xt =22+3
(32) v kho st hm () trn (0, 3) ta thu c min =
2(1+ 3)
3
4(1 + 3)
Gi ta ch cn chng minh bt ng thc ng vi = 4(1 + 3)
Ta c th chng minh bt ng thc ny bng phng php Schur S.O.S
u tin a bt ng thc v dng thun nht
1
+
1
+
1
+
2( + + )2
3(2 + 2 + 2 + + + )
9
+ + +
1
+
1
+
1
9
+ + +
2( + + )2
3(2 + 2 + 2 + + + ) 0
2( )2 + + ( )
( + + ) .
( )2 + ( )
3(2 + 2 + 2 + + + )
Khng mt tng qut gi s = max(, , )
Ta ch cn chng minh:
( )2 + ( ) 0
Vi:
=2
( + + )
3(2 + 2 + 2 + + + )
= +
+ +
3(2 + 2 + 2 + + + )
Do = max(, , ) nn 2 + , suy ra
V vy, ta ch cn chng minh 0
+ 2 + 2 + 2 + + + 4 1 + 3
-
p dng bt ng thc AM-GM th ta a v chng minh mt bt ng thc mnh
hn:
+ 2 + 2 + 2 + + + 1 + 3 ( + )2
2 + 2 + 2 + + + 1 + 3 +
Do bt ng thc cho l thun nht nn ta hon ton c th thay iu kin
+ + = 3 thnh + + = 1.
Bt ng thc cn chng minh tr thnh:
1 + 1 + 3 +
1 2 + 3 + +
p dng bt ng thc AM-GM ta ch cn chng minh:
1 2 + 3 + +( + )2
4
t + = th = 1 v ta cn chng minh:
1 2 + 3 (1 ) +2
4
1 17 + 4 3
4( 4 + 2 3)2
Nhng bt ng thc ny hin nhin ng v ta c pcm.
Vy hng s tt nht l = 4 1 + 3
V d 3: Tm tt c cc s bt ng thc sau ng vi mi , , dng:
+
+ +
+ +
+ +
1
2
3
(Vit Nam TST 2009)
Phn tch v li gii:
Bi ton ny c l n gin hn mt cht ch, cc bin c chy t do, ngha l
ta c th chn bin thoi mi
Vn nh cc bi trn, ta cho = v n gin, cho 0.
Suy ra 8( + 1)2 (2 + 1)3 nn 42 + 2 1
-
,1 5
4 [
1 + 5
4, +)
Nhim v cn li ca ta l chng minh bt ng thc vi nh trn v c l kh
n gin. C nhiu cch chng minh bi ton nh dng phng php S.O.S.
Xin c gii thiu mt li gii rt p ca anh V Quc B Cn ng trn din
n mathlinks:
t = 2, =2
+, =
2
+, =
2
+ th + + + = 4 v ta cn
chng minh:
+ + + ( + 1)3
p dng bt ng thc VMO 1996:
+ + + +
Suy ra
+ + + = 3 +2 + + + + + +
3 + 2 + + + +
= 3 + 2 + 1 + + + + + +
3 + 3 2 + 1 + 4
= + 1 3
Ta c pcm.
V d 4: Cho , , l 3 s thc dng tha mn = 1. Tm hng s ln nht
bt ng thc sau lun ng:
1
2+
1
2+
1
2+ 3 + 1 ( + + )
(VMO 2006)
Phn tch v li gii:
Cho = =1
+1, = ( + 1)2
Suy ra
2 + 2 + 1 +
1( + 1)4
2
+ 1
2 + 2 +2
+ 1 1
-
Ta li c:
lim
2 + 2 + 1 +1
( + 1)4
2 + 1
2 + 2 +2
+ 1 1= 1
Suy ra 1
Ta ch cn chng minh:
1
2+
1
2+
1
2+ 3 2( + + )
t =1
, =
1
, =
1
th = 1 v bt ng thc cn chng minh tng
ng vi:
2 + 2 + 2 + 3 2( + + )
Nhng thc ra y l mt bt ng thc quen thuc:
2 + 2 + 2 + 2 + 1 2( + + )
Vy ta c pcm, suy ra hng s ln nht l 1.
Mt bi ton c hnh thc tng t nh bi ton trn cng xut hin trong k
thi
Vit Nam TST 2013:
V d 5: Cho , , l 3 s thc dng tha mn = 1. Tm hng s nguyn
dng ln nht bt ng thc sau lun ng:
1
+
1
+
1
+
+ + + 1 3 +
4
(Vit Nam TST 2013)
Phn tch v li gii:
Cho = = , =1
2 vi > 0 v 1
Bt ng thc cho c th vit li thnh:
2 + 2 3 1
4
2
23 + 2 + 1
1 2( + 2)
1 2(2 + 1)
4(23 + 2 + 1)
-
4 + 2 (23 + 2 + 1)
(2 + 1)
4 2 + 2 +
2
3
2 + 1
Nhim v ca ta l kho st hm s = 2 + 2 +2
3
2+1
= 2 + + 1 1
2+
4
2 + 1 2
= 0 43 + 42 3 1 = 0
Do bi ch yu cu tm nguyn dng nn ta khng nht thit tnh ng
nghim ca phng trnh. C th chn =11
16 v thay vo th c:
4 = 13,97 < 14
V nguyn dng nn 13
Ta ch cn phi chng minh bt ng thc ng trong trng hp = 13
Vi nhng bi ton nh th ny mt trong nhng tng u tin xut hin l s
dng dn bin.
Khng mt tng qut gi s = max (a, b, c) th 1 v 1
Ta c: (, , ) (, , )
( )2 1
13
+ + + 1 ( + 2 + 1) 0
p dng bt ng thc AM GM th
+ + + 1 4, + 2 + 1 3 . . 3
+ 1 = 4
1
13
+ + + 1 ( + 2 + 1) 1
13
16> 0
Nh vy bt ng thc ca iu kin dn bin l ng, tc l (, , )
(, , )
Ta cn chng minh (1
2, , )
25
4, vi = , > 0, 1
iu ny c th thc hin d dng bi ta c bin i tng ng ngay u
li gii. C th, ta cn chng minh:
-
1 2( + 2)
13 1 2(2 + 1)
4(23 + 2 + 1)
1 2 + 2
13(2 + 1)
4(23 + 2 + 1) 0
4 + 2 23 + 2 + 1 13 2 + 1
84 + 203 182 9 + 8 0
Chng minh bt ng thc ny rt n gin, xin nhng cho bn c
Nh vy bt ng thc ng vi = 13 nn hng s tt nht l = 13.
n y c l vn cha gii quyt c ht bi ton. Nhiu bn s thc mc ti sao
ta li cho =11
16 m khng phi s khc. Thc ra c mt thut ton tnh gn
ng nghim ca mt phng trnh rt hiu qu
Phng trnh ca ta l 43 + 42 3 1 = 0 khng c nghim = 0 nn chia
xung th ta thy ngay y l hm ng bin. Mt khc do 0 . 1 < 0 nn
phng trnh c 1 v ch 1 nghim trong (0,1)
Tip theo, ta chia i khong (0,1), tc l xt cc khong 0,1
2 , [
1
2, 1) th p dng
nh l Bolzano Cauchy ta thy nghim phi trong [1
2, 1). Li chia i khong
ny, tc l xt khong 1
2,
3
4 v [
3
4, 1) th thy nghim trong khong
1
2,
3
4 . C
tip tc mt vi ln nh vy (thc hin thut ton cng nhiu ln th chnh
xc
cng cao). Tuy nhin nu trong phng thi th ta cng ch nn tnh khong
3, 4 ln,
v suy ra nghim trong khong [5
8,
11
16]. n y chnh xc cng kh cao
nn ta cng phn no yn tm khi dng s 11
16
Do khun kh ca bi vit nn xin tm dng y. Hi vng bi vit phn no
ni ln t tng cng nh k thut s dng trong mt lp cc bi chn h s tt
nht. Nhng vn khc ca cc bi ton h s tt nht, xin c trnh by mt
vi bi vit khc.
Cui bi vit, xin a ra mt s bi ton cc bn th sc (d nhin l vn
dng
cch gi nh ng thc)
-
Bi 1: Cho cc s khng m , , tha mn + + = 3. Tm hng s ln
nht bt ng thc sau ng:
1 ( + + 3)
Bi 2: Cho cc s dng , , tha mn + + = 3. Tm hng s nh nht
bt ng thc sau ng:
4 + 4 + 4 3 3 + 3 + 3 + 3 6
Bi 3: Cho cc s khng m , , tha mn + + = + + . Tm
hng s ln nht bt ng thc sau ng:
+ + + 3 +
Bi 4: Cho cc s khng m , , tha mn + + = 3. Tm hng s ln
nht bt ng thc sau ng:
1
+
1
+
1
3 (2 + 2 + 2 3)
TI LIU THAM KHO
1. Din n Mathlink: www.artofproblemsolving.com
2. Din n ton hc: www.diendantoanhoc.net/forum
3. Sng to bt ng thc - Phm Kim Hng
4. Cc thi hc sinh gii quc gia, chn i tuyn quc t, cc kim tra
trng h
