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bachillerato1
Matemáticas
Maribel DeusaRodolfo EstevePascual Montesinos
Antonio J. RamírezErnesto Veres
BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 1
©ES PROPIEDAD
Maribel Deusa FrancésRodolfo Esteve ArolasPascual Montesinos EstevanAntonio J. RamírezErnesto Veres FerrerEditorial ECIR, S.A.
Diseño de interior:Diseño gráfico ECIR
Edición: Editorial ECIR
Impresión: Industrias Gráficas Ecir (IGE)
Ilustraciones:Diseño gráfico ECIR / Salvador Lorente
Diseño e ilustración cubierta: Valverde e Iborra / Diseño gráfico ECIR
Fotografía:Archivo ECIR/Istockphoto
Depósito legal:V-2162-2008
I.S.B.N.: 978-84-9826-402-9
Villa de Madrid, 60 - 46988 - P. I. Fuente del Jarro - PATERNA (Valencia)Tels: 96 132 36 25 - 96 132 36 55 - Móvil: 677 431 115 - Fax: 96 132 36 05E-mail: [email protected] - http://www.ecir.com
bachillerato1
Reservados todos los dere-chos. Ni la totalidad, ni partede este libro puede ser re-producido o transmitido me-diante procedimientos elec-trónicos o mecanismos defotocopia, grabación, informa-ción o cualquier otro siste-ma, sin el permiso escrito deleditor.
Matemáticas
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Pre
senta
ció
nAl confeccionar el presente texto de Matemáticas se han desarrolla-do los contenidos especificados para este curso por el nuevo currículode la LOE y se han tenido muy en cuenta los criterios necesarios quefaciliten a los alumnos el tránsito de Secundaria Obligatoria aBachillerato.
En nuestra experiencia docente hemos podido constatar que unade las mayores dificultades con la que se encuentra un alumno es lafalta de método, tanto en el planteamiento y resolución de problemascomo en el razonamiento o en la adquisición de técnicas elementales.Por ello se ha elaborado un texto para ser leído y utilizado por el alum-no y que le permitirá adentrarse de forma progresiva en el métodomatemático ya que se utiliza un lenguaje claro y preciso, no exento delrigor necesario, y se justifican todos aquellos resultados que los alum-nos pueden asumir como necesarios.
También somos conscientes de que aquello que no se dice, difícil-mente puede ser descubierto por el alumno; por eso tras la exposiciónteórica, en la que los resultados más importantes aparecen resaltados,aparecen eejjeemmppllooss que en realidad son auténticos ejercicios resueltos.A continuación el alumnado siempre encontrará una selección de eejjeerr--cciicciiooss pprrooppuueessttooss,, destinados a consolidar lo aprendido.
En la parte final de cada unidad se desarrolla un apartado dedicadoa la rreessoolluucciióónn ddee pprroobblleemmaass. En ellos el alumno puede encontrar laforma de abordar y presentar la solución de un ejercicio. Tras ellos seha introducido un ffoorrmmuullaarriioo que revisa las principales fórmulas trata-das en el tema. Después se encuentran los eejjeerrcciicciiooss ffiinnaalleess, en núme-ro lo suficientemente elevado como para que el profesor pueda selec-cionar los que estime oportuno.
Una pprruueebbaa ddee aauuttooeevvaalluuaacciióónn con respuesta múltiple puede servirde indicador si los contenidos de la unidad han sido adquiridos.
También se ha elaborado un lliibbrroo ddeell pprrooffeessoorr que contiene la solu-ción de todos los ejercicios propuestos en el texto, material comple-mentario, así como comentarios y justificaciones didácticas
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Cada unidad se presenta mediante unaimagen acompañada de una cita o textorelacionado con los contenidos deltema.
Tema 1. Los números reales 3
En el Teeteto de Platón (147d-148b) secuenta cómo Teodoro había demostra-do que las raíces de los enteros no cua-drados perfectos son irracionales.
π es la relación entre la longitud y el diá-metro de una circunferencia.
e es la base de un sistema de logaritmosque estudiarás mas adelante.
Φ es la proporción entre la diagonal y ellado de un pentágono regular (conside-rada perfecta en la antigua Grecia).
1. Números irracionalesComplementando a los números racionales (fracciones de números
enteros) se encuentran los números irracionales.
Ejemplos de números irracionales son:
• 1,23456789101112131415…
• 0,102030405060708090100110120130…
• 3,1122334455667788991010111112121313…
Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta caracte-rística ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la«irracionalidad» de algunos números, en particular del número medianteuna brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo.
Demostración de que es irracional:
Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supon-gamos que es un número racional.
Si es racional entonces se puede escribir como la fracción irreduci-
ble , es decir: con a y b enteros y primos entre sí.
Si entonces ; por tanto a2 es un número
par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cua-
drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k.
Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismob2 = 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par.
Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primosentre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es nece-
sario negarla y concluir que no es un número racional.2
ab
a b2
22 2= ⇒ =2 22 =
ab
2 =ab
ab
2
2
2
2
Además del comentado otros irracionales famosos son:
π, e, Φ = . Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales:
π = 3,141592653589793238462643383279...
e = 2,718281828459045235360287471352...
Φ = 1,618033988749894848204586834363...
1 52
+
2
2
Tema 1LOS NÚMEROS REALES
«Prueban que la diagonal del cuadra-do es inconmensurable con el lado,mos-trando que si se admite que es conmen-surable, un número impar sería igual queuno par» (Aristóteles, Analíticos poste-riores. I, 23).
El conjunto de los números irracionales se denota por I.
Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales noperiódicas.
El método de reducción al absur-do es un método de demostración queconsiste en suponer cierto lo contrariode lo que se quiere demostrar y llegarasí a una contradicción o absurdo.
Platón y Aristóteles detalle del cuadro “La Academia de Atenas”de RAFAEL
Museos vaticanos
PPrreesseennttaacciióónn ddee llaa uunniiddaadd
Las explicaciones teóricas van acompa-ñadas de multitud de ejemplos y notasmarginales que sirven para una mejorcomprensión del tema tratado. Ademásencontramos también ejercicios pararepasar lo aprendido antes de seguiradelante.
Tema 1. Los números reales 5
Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un núme-ro a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo quese hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, númerospositivos mayores que el valor absoluto del error.
En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientesa datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a')como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε.
4
ε es la letra griega épsilon.
Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si|a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto.
a – ε a + εa
a´
Ejemplos
Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una callede 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamen-te el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida.
Los respectivos errores relativos son:
En el puente: = 0,002 = 0,2 %. En la calle: = 0,05 = 5 %.
El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la rea-
lizada para hallar la anchura de una calle.
120
1500
2
En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifrasdecimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente dedos números enteros.
2. Aproximaciones decimales y erroresDado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no
periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal fini-ta. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, asícomo 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sen-tido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 m, ni tampocodecir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajarcon aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer.
2
Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina elnúmero de cifras que se consideran.
Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla:
Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido unerror denominado error absoluto
E = |a – a'|.Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real
Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo.
ea a
a= | – '|
| |
1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número sedeja como está.
2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra con-servada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 lacifra anterior).
Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible.
Dado el número A = 4,256197 se tiene:a) Redondeo entero: A = 4.
b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6).
c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1).
d) Redondeo a cienmilésimas (a 10–5) : A = 4,25620 o también A = 4,2562.
Ejemplos
1
Muchas obras de arte han sido construi-das con dimensiones áureas, como elTemplo de la Concordia de Agrigento enSicilia.
Cuando se realiza una medida se come-ten errores que pueden ser sistemáticos(originados por defectos en los instru-mentos de medida) o accidentales (debi-do a imperfecciones cometidas por ellector).
errorabsoluto
a' a
valorobtenido
valorexacto
Ejemplos
Sabemos que π = 3,141592654… entonces:
3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01.
3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01.
Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud � de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dichalongitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir que
3
4
Ejercicios
1
2
3
4
Dados los números A = ; B = 2 + ; C = π – se pide dar de cada uno un redondeo de orden:
a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas.
352717
Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores.
Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error abso-luto y el error relativo cometido.
Sabiendo que 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear como:
a) 1; b) 1,41; c) 1,414 21.
22 ≈
DDeessaarrrroolllloo ddee llaa uunniiddaadd
La gran cantidad de ejercicios resueltosque aparecen a lo largo de cada temasirven para reforzar los contenidos y faci-litan la comprensión de lo estudiado encada tema.
EJERCICIOS RESUELTOS
Escribe sen 3αα en función de sen αα.
Solución:
sen 3α = sen(2α + α) = sen 2α cos α + cos 2 α sen α = 2 sen α cos α cos α + (1 – 2 sen2 α) sen α =
= 2 sen α cos2 α + sen α – 2 sen3 α = 2 sen α (1 – sen2 α) + sen α – 2 sen3 α =
= 2 sen α – 2 sen3 α + sen α – 2 sen3 α = 3 sen α – 4 sen3 α
Así pues sen 3α = 3 sen α – 4 sen3 α
Sabiendo que A + B + C = 180° demostrar que se verifica: tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C.
Solución:
Como C = 180° – (A + B) entonces recordando las relaciones entre ángulos suplementarios:
sustituyendo tg C en ambos miembros del enunciado:
Operando en el primer miembro:
Operando en el segundo miembro:
lo que justifica la igualdad pues en ambos miembros se ha obtenido igual resultado.
Simplifica las expresiones: A = sen3 x + sen x cos2 x; B =
Solución:
Para A basta sacar sen x como factor común:
A = sen x (sen2 x + cos2 x) = sen x
Para B se aplica la relación sen2 α = 1 – cos2 α:
Bxx
xx
x x=
+=
−+
=+ −sen2 2
111
1 1cos
coscos
( cos )( cos ))cos
cos1
1+
= −x
x
sen x1 + cos x
2
− −−
tg tg tg tgtg tg
2 2
1A B A B
A B· ·
·
tg tg tg tg tg tg tgtg
A A B B A tg B A BA
− + − − −−
2 2
1· ·
··· ·
·tgtg tg tg tg
tg tg
2
BA B A B
A B=
− −−
2
1
tg tgtg tg
tg tgtg tg
tg tgA B
A BA B
A BA B
+ −+
− ⋅= − ⋅
+−1 1
·ttg tgA B⋅
tg tgtg tg
tg tgC A B
A BA B
= − + = −+
−( )
·1
Resuelve la ecuación sen 2x = sen x.
Solución:
Como sen 2x = 2 sen x cos x, sustituyendo se obtiene: 2 sen x cos x = sen x ⇒ sen x (2 cos x – 1) = 0
de donde obtenemos las soluciones:
sen x = 0 ⇒ x = 0° ó x = 180°
2 cos x – 1 = 0 ⇒ cos x = ⇒ x = 60° ó x = 300°
Resuelve la ecuación cos x + cos 2 x = 0
Solución:
Como cos 2x = 2 cos2 x – 1, sustituyendo en la ecuación queda: cos x + 2 cos2 x – 1 = 0
es decir: 2 cos2 x + cos x – 1 = 0.
Haciendo cos x = t tenemos la ecuación: 2 t 2 + t – 1 = 0.
Resolviendo:
Es decir: cos x = ⇒ x = 60° ó 300°
cos x = –1 ⇒ x = 180°
Resuelve la ecuación sen x + cos x = 1
Solución:
Elevando al cuadrado: (sen x + cos x )2 = 12 = 1
sen2 x + cos2 x + 2 sen x cos x = 1, pero sabemos que sen2 x + cos2 x = 1 y 2 sen x cos x = sen 2x (fórmula delángulo doble), luego:
1 + sen 2x = 1 ⇒ sen 2x = 0 ⇒ 2x = 0° ó 2x = 180° de donde x = 0° ó x = 90°.
Un barco que se encuentra frente a un golfo es observado desde los dos cabos que lo forman y quedistan 10 km. Desde cada cabo se ve el barco y el otro cabo con ángulos de 28° y 32°. Calcula lamenor distancia a que se encuentra el barco de la costa.
Solución:
Con los datos del enunciado se tiene el siguiente esquema:
Como a menor ángulo se opone menor lado, tenemos que calcular ellado AC. Puesto que la suma de los tres ángulos es 180°:
A = 180° – (28° + 32°) = 120°
Por el teorema de los senos:
10120 28
10 28120
5 24sen
ACsen
ACsen
senk
°=
°⇒ =
°°
≈ , mm.
12
t =− ± +
=− ±
=1 1 8
41 34
12
3
4
5
6
7
22 Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 23
8
9
–1
28°32°
10 kmC
A
B
12
EEjjeerrcciicciiooss rreessuueellttooss
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Así
es
tu li
bro
Esta página aparece antes de los ejercicios finales de cada temay srive de resumen de todo lo estudiado anteriormente parapoder tener los conceptos claros antes de pasar al apartadosiguiente.
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 25
Teoremas
Teorema de los senos:
siendo R el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ao también: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B; c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
aA
bB
cCsen
=sen
=sen
= 2R
Relaciones entre las razones de ángulos distintos
Complementarios Suplementarios Difieren en 180° Opuestos
cos (90° – α) = sen α sen (180° – α) = sen α sen (180° + α) = –sen α sen (360° – α) = sen (–α) = –sen αsen (90° – α) = cos α cos (180° – α) = –cos α cos (180° + α) = –cos α cos (360° – α) = cos (–α) = cos αtg (90° – α) = ctg α tg (180° – α) = –tg α tg (180° + α) = tg α tg (360° – α) = tg (–α) = –tg α
Fórmulas de adición
Razones de la suma Razones de la diferencia
sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen βcos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β
tg (α + β) = tg (α – β) =tg tg
tg tgα β
α β−
+1
tg tgtg tgα β
α β+
−1
Fórmulas del ángulo doble y mitad
Ángulo doble Ángulo mitad
sen 2α = 2 sen α cos α
cos 2α = cos2 α – sen2 α
cos 2α = 1 – 2 sen2 α = 2cos2 α – 1
tg 2α =2
1 2
tg
– tg
α
α
A B
C
ab
c
FORMULARIO
sencos
coscos
tgcosc
A A
A A
A A
21
2
21
2
211
= ±−
= ±+
= ±−+ oos A
PPáággiinnaa ffoorrmmuullaarriioo
En las últimas páginas de cada tema seincluye un conjunto de ejercicios parapoder trabajar los conceptos desarrolla-dos en la unidad y aplicar así la teoríaestudiada.
EJERCICIOS FINALES
50
49
51
52
53
54
55
56
57
58
59
Calcula “rápidamente”:
a) cos 73° cos 17° – sen 73° sen 17°
b)
c) 2 cos2 45° – 1
d) 2 sen 135° cos 135°
Halla tg α sabiendo que tg 2α = .
Desarrollar:
a) sen (a + b + c)
b) cos (a + b + c)
Simplifica las expresiones siguientes:
a)
b)
c)
d) sen (60° + x ) + sen (60° – x )
e) sen (30° + x ) + sen (30° – x )
f) sen (90° + x ) cos (180° – x ) + + cos (90° + x ) sen (180° – x )
Halla los ángulos de un triángulo isósceles cono-ciendo la base 12,4 cm y un lado desigual 20,6 cm.
Del 54 al 58. Resuelve el triángulo ABC en cadauno de los siguientes casos.
a = 26 m, b = 40 m y c = 42 m.
b = 13 m, c = 15 m y A = 14° 15'.
a = 13 m, b = 14 m y A = 53° 8'.
a = 41 m, A = 8° 22' y B = 67° 23'.
c = 6 m, A = 45° y B = 75°.
Resuelve el triángulo ABC del que se conoce a = 10 m, ha = 6 m y C = 15°. (ha, es la altura sobreel lado a).
11
+−
ctg ctgctg ctg
A BA B
sensen
22
AA
1 21 2
−+
coscos
AA
3
tg tgtg tg47 13
1 47 13° + °
+ ° °
Hallar la longitud de la diagonal de un pentágonoregular de 3 m de lado.
Calcula la altura del edificio de la figura con losdatos que en él aparecen.
Calcula la altura de la torre de la figura donde DE = 50 m, α = 68°, β = 30° y γ = 42°.
El ángulo bajo el cuál se ve, desde un barco, la torrede un faro es de 30°. Cuando el barco ha recorrido200 m. en la dirección del faro dicho ángulo es de45°. Calcula la altura de la torre sobre el nivel delmar y la distancia a la que se encuentran el barcodel faro en el momento de la segunda medición.
Calcula la distancia entre los puntos A y B, entrelos que hay un obstáculo, sabiendo que las distan-cias a un punto fijo C son AC = 175 m y BC = 90m y que el ángulo ACB es de 37°.
Desde un faro de 25 m de altura se observa unpunto sobre la superficie del mar con un ángulo dedepresión de 28° 30'. Hallar la distancia de dichopunto al pie del faro.
Ángulo de depresión es el ángulo que forma la vi-sual con el plano horizontal.
Calcula la distancia de un avión A a los puntos P yQ sabiendo que α = 70°, β = 40° y que la distanciaentre P y Q es 7 Km.
Las circunferencias de la figura tiene radios 8 y 5cm respectivamente. Halla la distancia entre loscentro O y O’.
Demuestra que si A, B y C son los ángulos de untriángulo se verifica:
Haya la longitud del segmento PQ de la figura si-guiente:
senA2
– cosB + C
2= 0
Demuestra que si A, B y C son los ángulos de untriángulo se verifica:
1 – senA
senB + C2
2 22=
Halla el ángulo α de la figura determinado por ladiagonal de una cara de un cubo y la diagonal delmismo.
Para medir la distancia que hay entre dos puntos Ay B entre los que se interpone un obstáculo, por loque no se puede medir directamente, se procedede la siguiente manera:
Se elige otro punto C accesible desde A por loque se puede medir la distancia AC = 120 m y conun teodolito se miden los ángulos BAC = 80° yACB = 50°.
Haz un esquema y calcula la distancia AB.
Queremos saber la distancia entre dos puntos A yB, ambos inaccesibles. Elegimos dos puntos C y Dy efectuamos las mediciones siguientes: CD = 85 my los ángulos ACB = 12°, BCD = 23°, CDA = 20°y ADB = 17°.
Haz un esquema y calcula la distancia AB.
Calcula los ángulos de un rombo sabiendo quesu lado mide 20 cm y que su diagonal menor es26 cm.
Desde un punto de una superficie horizontal se veuna chimenea bajo un ángulo de 25°.
Calcula bajo qué ángulo se verá al doble de distan-cia de la chimenea.
En una circunferencia de 1 m de radio trazamosuna cuerda que une los extremos de un arco de110°. Calcula la distancia del centro a la cuerda.
Calcula el ángulo que forman las dos rectas tan-gentes a una circunferencia de 25 cm de radiotrazadas desde un punto que dista 40 cm delcentro.
61
60
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 2928
70 m.60° 30°
A
B
C D Eβα γ
¡OJO! ACTUALIZAR FIGURA ES MUY ANTIGUA
¡OJO! ACTUALIZAR FIGURA ES MUY ANTIGUA
α β
QP
A
O O’30°
A B
D C
Q
P
10 cm
8 cm
a
aa
α
EEjjeerrcciicciiooss ffiinnaalleess
El tema concluye con una antoevaluación tipo test que sirvepara poner a prueba la asimilación de los contenidos estudia-dos. Al mismo tiempo permite trabajar la autonomía e iniciativapersonales.
Tema 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera 31
Si en un triángulo ABC, a = 2 m, b = 2 m y A = 30°, entonces un posible valor de B es:
B = 30° tiene 2 soluciones no tiene solución nada de lo anteriorDCBA
10
Si en un triángulo ABC, a = 1 m, b = 3 m y A = 10°, entonces un posible valor de B es:
B = 30° B = 148,6° no tiene solución nada de lo anteriorDCBA
9
Si en un triángulo ABC, a = 2 m, b = 1 m y C = 60°, entonces:
c = 1 m c = m c = 2 m nada de lo anteriorDC3BA
7
Si αα es un ángulo tal que sec αα = , entonces:12
no existe α cos α = es necesario conocer el signo nada de lo anteriorDC2
2BA
6
Si sen αα = y 90° < αα < 180°, entonces:25
cos α = α ≈ 156° 25' 19'' tg α = nada de lo anteriorD2 21
21CB
215
A
5
Si tg αα = y 180° < αα < 270°, entonces:43
α = 233° sen α = 0,8 cos α = nada de lo anteriorD− 35
CBA
4
La medida del ángulo de 4 444° al ser reducida al primer giro coincide con la del ángulo de:
124° 34° 45° nada de lo anteriorDCBA
1
Si en un triángulo ABC, a = 5 m, b = 5 m y c = 10 m, entonces B:
C tiene 2 soluciones B tiene 2 soluciones ABC es un segmento nada de lo anteriorDCBA
8
La secuencia de signos + – – + corresponde a las razones trigonométricas:
cosecante y seno secante y coseno tangente y cotangente nada de lo anteriorDCBA
2
Si αα es un ángulo agudo tal que cos αα = 0,6 entonces
sen α = 0,8 sen α = – 0, 8 α = 53º 13’ nada de lo anteriorDCBA
3
AUTOEVALUACIÓN
AAuuttooeevvaalluuaacciióónn
BAXX5714_Fr 14/5/08 07:40 Página 5
TTEEMMAA 11.. LLOOSS NNÚÚMMEERROOSS RREEAALLEESS
1. Números irracionales................................................................................................................................................ 11
2. Aproximaciones decimales y errores ...................................................................................................................... 12
3. Raíces de índice n .................................................................................................................................................... 14
4. Racionalización.......................................................................................................................................................... 16
5. Potencias de exponente fraccionario .................................................................................................................... 17
6. El conjunto de los números reales: la recta real .................................................................................................... 18
7. Intervalo .................................................................................................................................................................... 19
8. Valor absoluto: distancia en la recta ...................................................................................................................... 20
9. Inecuaciones de primer grado con una incógnita ................................................................................................ 22
TTEEMMAA 22:: EECCUUAACCIIOONNEESS YY SSIISSTTEEMMAASS DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS
1. La ecuación ax + by + c = 0 .................................................................................................................................... 35
2. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .................................................................................................. 36
3. Discusión de sistemas .............................................................................................................................................. 37
4. Inecuaciones lineales con dos incógnitas .............................................................................................................. 39
5. La ecuación de segundo grado .............................................................................................................................. 41
6. Propiedades de las raíces ........................................................................................................................................ 43
7. Ecuaciones reducibles a cuadráticas ...................................................................................................................... 44
8. Otros sistemas de ecuaciones ................................................................................................................................ 46
TTEEMMAA 33:: CCOOMMBBIINNAATTOORRIIAA
1. Permutaciones ordinarias ........................................................................................................................................ 57
2. Variaciones ordinarias .............................................................................................................................................. 58
3. Variaciones con repetición ...................................................................................................................................... 59
4. Permutaciones con repetición ................................................................................................................................ 60
5. Combinaciones ordinarias........................................................................................................................................ 61
6. Número combinatorio .............................................................................................................................................. 62
7. El triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton ................................................................................................ 64
TTEEMMAA 44:: SSUUCCEESSIIOONNEESS DDEE NNÚÚMMEERROOSS RREEAALLEESS
1. Sucesiones de números reales ................................................................................................................................ 77
2. Sucesiones aritméticas ............................................................................................................................................ 78
3. Suma de términos consecutivos de una sucesión aritmética .............................................................................. 81
4. Sucesiones geométricas .......................................................................................................................................... 82
5. Suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica .......................................................................... 83
TTEEMMAA 55:: RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS DDEE UUNN ÁÁNNGGUULLOO AAGGUUDDOO
1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo...................................................................................................... 93
2. Uso de la calculadora .............................................................................................................................................. 94
3. Otras razones trigonométricas ................................................................................................................................ 95
4. Razones de los ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° ................................................................................................ 96
5. Resolución de triángulos rectángulos .................................................................................................................... 97
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TTEEMMAA 66:: RRAAZZOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS:: GGEENNEERRAALLIIZZAACCIIÓÓNN
1. Ángulos orientados. Reducción al primer giro ...................................................................................................... 109
2. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera .............................................................................................. 110
3. Las razones en el círculo trigonométrico................................................................................................................ 112
4. Obtención del ángulo conocida una razón............................................................................................................ 113
5. Relaciones entre razones de ángulos distintos...................................................................................................... 115
6. Fórmulas de adición ................................................................................................................................................ 118
7. Razones del ángulo doble y del ángulo mitad ...................................................................................................... 120
8. Fórmulas de transformación en producto.............................................................................................................. 121
9. Ecuaciones trigonométricas .................................................................................................................................... 121
10. Resolución de triángulos cualesquiera .................................................................................................................. 122
11. Casos de resolución de triángulos.......................................................................................................................... 124
12. Área del triángulo y radio del círculo circunscrito ................................................................................................ 126
TTEEMMAA 77:: LLOOSS NNÚÚMMEERROOSS CCOOMMPPLLEEJJOOSS
1. Números imaginarios .............................................................................................................................................. 139
2. Números complejos.................................................................................................................................................. 140
3. Representación gráfica ............................................................................................................................................ 141
4. Operaciones .............................................................................................................................................................. 142
5. Forma polar de un número complejo .................................................................................................................... 144
6. Operaciones en forma polar.................................................................................................................................... 146
TTEEMMAA 88:: VVEECCTTOORREESS
1. Vector fijo .................................................................................................................................................................. 161
2. Vectores iguales. Vector libre .................................................................................................................................. 162
3. Producto de un número por un vector .................................................................................................................. 162
4. Suma y resta de vectores ........................................................................................................................................ 163
5. Combinación lineal de vectores. Base.................................................................................................................... 164
6. Base ortonormal. Componentes de un vector en una base ortonormal ............................................................ 165
7. Las operaciones en función de las coordenadas .................................................................................................. 166
8. Producto escalar de dos vectores .......................................................................................................................... 167
9. Consecuencias y propiedades ................................................................................................................................ 168
TTEEMMAA 99:: LLAA RREECCTTAA EENN EELL PPLLAANNOO
1. Ecuaciones de la recta en el plano ........................................................................................................................ 181
2. Ángulo de dos rectas .............................................................................................................................................. 184
3. Paralelismo y perpendicularidad de rectas ............................................................................................................ 185
4. Distancia de un punto a una recta .......................................................................................................................... 187
5. Haces de rectas ........................................................................................................................................................ 188
6. Bisectrices del ángulo de dos rectas ...................................................................................................................... 189
índic
e
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TTEEMMAA 1100:: LLAASS CCÓÓNNIICCAASS
1. Lugar geométrico .................................................................................................................................................... 199
2. Las cónicas ................................................................................................................................................................ 200
3. Ecuación de la circunferencia .................................................................................................................................. 201
4. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia ........................................................................................ 202
5. La elipse .................................................................................................................................................................... 204
6. Otras ecuaciones de la elipse.................................................................................................................................. 206
7. La hipérbola .............................................................................................................................................................. 207
8. Otras ecuaciones de la hipérbola .......................................................................................................................... 209
9. La parábola................................................................................................................................................................ 210
10. Otras ecuaciones de la parábola ............................................................................................................................ 211
TTEEMMAA 1111:: LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS
1. Función real de variable real.................................................................................................................................... 223
2. Ideas para el cálculo del dominio .......................................................................................................................... 225
3. Funciones usuales .................................................................................................................................................... 226
4. Funciones definidas a trozos .................................................................................................................................. 229
5. Operaciones con funciones .................................................................................................................................... 231
6. Composición de funciones ...................................................................................................................................... 232
7. Función inversa de otra............................................................................................................................................ 233
TTEEMMAA 1122:: LLÍÍMMIITTEESS DDEE FFUUNNCCIIOONNEESS.. CCOONNTTIINNUUIIDDAADD
1. Límite de una función en un punto ........................................................................................................................ 241
2. Límites laterales ........................................................................................................................................................ 243
3. Límites infinitos. Asíntotas verticales ...................................................................................................................... 244
4. Límites en el infinito. Asíntota horizontal .............................................................................................................. 245
5. Continuidad de una función .................................................................................................................................... 246
6. Cálculos de límites.................................................................................................................................................... 248
TTEEMMAA 1133:: FFUUNNCCIIOONNEESS TTRRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIICCAASS
1. El sistema circular...................................................................................................................................................... 261
2. Funciones periódicas................................................................................................................................................ 263
3. La función seno ........................................................................................................................................................ 263
4. La función coseno .................................................................................................................................................... 264
5. La función tangente.................................................................................................................................................. 265
6. Funciones trigonométricas inversas ........................................................................................................................ 266
TTEEMMAA 1144:: LLAASS FFUUNNCCIIOONNEESS EEXXPPOONNEENNCCIIAALL YY LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAA
1. La función exponencial ............................................................................................................................................ 273
2. La función f (x ) = ex .................................................................................................................................................. 275
3. Problemas exponenciales ........................................................................................................................................ 276
4. Logaritmo de un número ........................................................................................................................................ 278
5. La función logarítmica .............................................................................................................................................. 280
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TTEEMMAA 1155:: DDEERRIIVVAADDAA DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS1. Tasa de variación media de una función ................................................................................................................ 2932. Derivada de una función en un punto .................................................................................................................... 2953. Interpretación geométrica de la derivada.............................................................................................................. 2974. Función derivada ...................................................................................................................................................... 2985. Derivada de algunas funciones .............................................................................................................................. 2996. Derivada de las operaciones .................................................................................................................................. 3007. Derivada de la función compuesta ........................................................................................................................ 3028. La derivada y el crecimiento y decrecimiento........................................................................................................ 3039. Extremos condicionados.......................................................................................................................................... 305
TTEEMMAA 1166:: DDIISSTTRRIIBBUUCCIIOONNEESS BBIIDDIIMMEENNSSIIOONNAALLEESS.. RREEGGRREESSIIÓÓNN YY CCOORRRREELLAACCIIÓÓNN1. Distribuciones bidimensionales .............................................................................................................................. 3172. Parámetros ................................................................................................................................................................ 3183. Covarianza ................................................................................................................................................................ 3194. Correlación lineal ...................................................................................................................................................... 3205. Rectas de regresión .................................................................................................................................................. 322
TTEEMMAA 1177:: PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD1. Sucesos ...................................................................................................................................................................... 3372. Idea intuitiva de la probabilidad ............................................................................................................................ 3393. Probabilidad de Laplace .......................................................................................................................................... 3414. Sucesos intersección y unión .................................................................................................................................. 3425. Probabilidad de la unión de dos sucesos .............................................................................................................. 3436. Probabilidad condicionada...................................................................................................................................... 3457. Sucesos dependientes e independientes .............................................................................................................. 3478. Tablas de contingencia y diagramas de árbol ...................................................................................................... 3489. Probabilidad total y teorema de Bayes .................................................................................................................. 350
TTEEMMAA 1188:: LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN BBIINNOOMMIINNAALL1. Variable aleatoria ...................................................................................................................................................... 3632. Función de probabilidad.......................................................................................................................................... 3653. Función de distribución............................................................................................................................................ 3664. Parámetros de una variable aleatoria discreta ...................................................................................................... 3695. La distribución binomial .......................................................................................................................................... 3716. Función de distribución de la variable aleatoria binomial.................................................................................... 374
TTEEMMAA 1199:: LLAA DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN NNOORRMMAALL1. Variable aleatoria continua ...................................................................................................................................... 3832. Función de densidad y función de distribución .................................................................................................... 3833. La distribución normal .............................................................................................................................................. 3854. Distribución normal tipificada.................................................................................................................................. 3875. Uso de tablas ............................................................................................................................................................ 3876. Tipificación de la variable ........................................................................................................................................ 3907. La normal como aproximación de la binomial ...................................................................................................... 392
SSOOLLUUCCIIOONNAARRIIOO.............................................................................................................................................................. 403
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10
Tema 1LOS NÚMEROS REALES
«Prueban que la diagonal del cuadra-do es inconmensurable con el lado,mos-trando que si se admite que es conmen-surable, un número impar sería igual queuno par» (Aristóteles, Analíticos poste-riores. I, 23).
Platón y Aristóteles (los dos personajes del centro de la imagen).Detalle de La Academia de Atenas de RAFAEL.Museos vaticanos.
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Tema 1. Los números reales 11
En el Teeteto de Platón (147d-148b) secuenta cómo Teodoro había demostra-do que las raíces de los enteros no cua-drados perfectos son irracionales.
π es la relación entre la longitud y el diá-metro de una circunferencia.
e es la base de un sistema de logaritmosque estudiarás mas adelante.
Φ (número aureo) es la proporciónentre la diagonal y el lado de un pentá-gono regular (considerada perfecta en laantigua Grecia).
1. Números irracionalesComplementando a los números racionales (fracciones de números
enteros) se encuentran los números irracionales.
Ejemplos de números irracionales son:
• 1,23456789101112131415…
• 0,102030405060708090100110120130…
• 3,1122334455667788991010111112121313…
Un número irracional no es el cociente de dos enteros. Esta caracte-rística ya fue estudiada por la escuela pitagórica la cual incluso demostró la«irracionalidad» de algunos números, en particular del número medianteuna brillante demostración basada en el método de reducción al absurdo.
Demostración de que es irracional:
Supongamos que lo que se quiere demostrar es falso, esto es, supon-gamos que es un número racional.
Si es racional entonces se puede escribir como la fracción irreduci-
ble , es decir: con a y b enteros y primos entre sí.
Si entonces ; por tanto a2 es un número
par (es múltiplo de 2) luego a no puede ser impar pues si lo fuera su cua-
drado sería impar. Así pues a es par luego a = 2k.
Si a = 2k entonces a2 = 4k2 y por tanto 4k2 = 2b2 o lo que es lo mismob2 = 2k2 y se deduce, igual que antes, que b2 es par y por tanto b es par.
Hemos obtenido que tanto a como b son pares, luego no son primosentre si y este resultado contradice la hipótesis inicial; por tanto es nece-
sario negarla y concluir que no es un número racional.2
ab
a b2
22 2= ⇒ =2 22 =
ab
2 =ab
ab
2
2
2
2
Además del comentado otros irracionales famosos son:
π, e, Φ = . Aquí los tienes con sus 30 primeras cifras decimales:
π = 3,141592653589793238462643383279...
e = 2,718281828459045235360287471352...
Φ = 1,618033988749894848204586834363...
1 52
+
2
El conjunto de los números irracionales se denota por I.
Un número irracional es un decimal con infinitas cifras decimales noperiódicas.
El método de reducción al absur-do es un método de demostración queconsiste en suponer cierto lo contrariode lo que se quiere demostrar y llegarasí a una contradicción o absurdo.
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12
En resumen: Un número irracional es un decimal con infinitas cifrasdecimales no periódicas que no puede escribirse como el cociente dedos números enteros.
2. Aproximaciones decimales y erroresDado que un número irracional tiene una expresión decimal infinita no
periódica, sólo es posible escribirlo mediante una aproximación decimal fini-ta. Los números 3,14 o 3,1416 son aproximaciones decimales de π, asícomo 1,618 es una aproximación decimal de Φ. En la práctica no tiene sen-tido decir, por ejemplo, que la longitud de un poste es 4 m, ni tampocodecir que esta longitud es 5,656854249 m, por tanto es necesario trabajarcon aproximaciones decimales que acarrean un error que debemos conocer.
2
Dicho redondeo se hace hasta un orden y este orden determina elnúmero de cifras que se consideran.
Una vez conocido el orden del redondeo se sigue la siguiente regla:
Si el valor exacto de un número a se sustituye por a' se ha cometido unerror denominado error absoluto
E = |a – a'|.Se llama error relativo al cociente entre el error absoluto y el real
Si e se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de error relativo.
ea a
a= | – '|
| |
1. Si la primera cifra que no se considera es menor que 5 el número sedeja como está.
2. Si es mayor o igual que 5 se suma una unidad a la última cifra con-servada (si ésta es 9 se reemplaza por un 0 y se aumenta en 1 lacifra anterior).
Redondear un número es aproximarlo con otro con el menor error posible.
Dado el número A = 4,256197 se tiene:a) Redondeo entero: A = 4.
b) Redondeo a centésimas (a 10–2) : A = 4,26 (pues la primer cifra no considerada es 6).
c) Redondeo a milésimas (a 10–3) : A = 4,256 (pues la primera cifra no considerada es 1).
d) Redondeo a cienmilésimas (a 10–5) : A = 4,25620 o también A = 4,2562.
Ejemplos
1
Muchas obras de arte han sido construi-das con dimensiones áureas, como elTemplo de la Concordia de Agrigento enSicilia.
Cuando se realiza una medida se come-ten errores que pueden ser sistemáticos(originados por defectos en los instru-mentos de medida) o accidentales (debi-do a imperfecciones cometidas por ellector).
error
absoluto
a' a
valor
obtenido
valor
exacto
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Tema 1. Los números reales 13
Como en la práctica no suele conocerse el valor exacto de un núme-ro a, no es posible hallar el error absoluto ni el relativo, entonces lo quese hace es determinar cotas o márgenes de error, es decir, númerospositivos mayores que el valor absoluto del error.
En la práctica es costumbre presentar los resultados correspondientesa datos científicos (a) de forma que se observe tanto el valor estimado (a')como la cota del error (ε) de la forma: a = a' ± ε.
ε es la letra griega épsilon.
Se dice que a' es un valor aproximado de a con error menor que ε si|a – a'| < ε. Al número ε se le llama cota del error absoluto.
a – ε a + εa
a´
Ejemplos
Al medir la longitud de un puente de 500 m se ha obtenido un valor de 499 m y al hallar la anchura de una callede 20 m se ha obtenido 21 m. En ambos casos el error absoluto es 1 m y esto indica que considerar solamen-te el error absoluto no da idea clara de la calidad de la medida.
Los respectivos errores relativos son:
En el puente: = 0,002 = 0,2 %. En la calle: = 0,05 = 5 %.
El menor error relativo cometido en la medida del puente deja claro que es más exacta dicha medida que la rea-
lizada para hallar la anchura de una calle.
120
1500
2
Ejemplos
Sabemos que π = 3,141592654… entonces:
3,14 es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,14| < 0,01.
3,15 también es un valor aproximado de π con error menor que 0,01 pues |π – 3,15| < 0,01.
Se ha medido la longitud de una hoja del cuaderno de un alumno y se ha obtenido que dicha longitud está entre21,7 cm y 21,8 cm. Como la verdadera longitud l de la hoja es desconocida, parece razonable decir que dichalongitud es el valor medio 21,75 cm y asignar una cota de error de 0,05 cm. Para esta forma se puede decir quela longitud l de la hoja es l = 21,75 ± 0,05 cm.
3
4
Ejercicios
1
2
3
4
Dados los números A = ; B = 2 + ; C = π – se pide dar de cada uno un redondeo de orden:
a) entero; b) a décimas; c) a centésimas; d) a milésimas.
352717
Da el error absoluto y el relativo que se comete al hacer los redondeos anteriores.
Se ha medido una longitud de 500 m con un «metro» cuya longitud exacta es de 98 cm. Determina el error abso-luto y el error relativo cometido.
Sabiendo que 1,414 213 562… Indica cuál es la cota de error cometido al redondear como:
a) 1; b) 1,41; c) 1,414 21.
22 ≈
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14
3. Raíces de índice nEl concepto de raíz cuadrada se puede ampliar para representar las solu-
ciones de la ecuación xn = a mediante el símbolo (radical de índice n).an
El ejemplo anterior pone de manifiesto que las raíces de índice par sóloexisten si el radicando es positivo o nulo mientras que las raíces de índiceimpar existen siempre y tienen el mismo signo que el radicando.
Operaciones
Un radical no varía si se multiplican o dividen el índice y el exponentedel radicando por un mismo número no nulo.
a apn pmnm=
a) = 2 pues 24 = 16; b) = – 3 pues (– 3)3 = –27
c) = 15 pues 153 = 3375; d) no existe pues x6 ≥ 0 para todo valor de x.−36633753
−273164
Cociente
Producto
a
b
ab
bn
nn= ≠( )0
Potencia a anp
pn( ) =
Ejemplos
5
Ejemplos
6
= raíz cúbica; = raíz cuarta43
Comprueba si tu calculadora dispone dela tecla para obtener raíces de cual-quier índice.
an n nb a b× = סCuidado!
a+b a + bn n n
Las operaciones entre radicales de distinto índice se deben realizartransformándolos previamente a un mismo índice. Para ello ten en cuentala regla siguente:
a) 32
b)
3 × = × = = =
= = =
2 32 2 64 4 4
224
7
2247
32
3 3 3 33
5
55 5 22 2
4 4 2 2
55
42
24 44
=
( ) = = =c)
La expresión = x implica que x n = a siendo n el índice de la raíz,
a es el radicando y x es la raíz n-sima de a. Evidentemente = a.ann
an
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Tema 1. Los números reales 15
Ejemplos
7 a) (multiplicando índice y exponente por 2)
b) (simplificando por 4)
c)
d)a
b
a
b
ab
23
4
812
312
8
312= =
2 3 2 3 2 3 64823 36 46 3 46 6× = × = × =
b b812 23=
6 6 363 26 6= =
La raíz de una raíz es otra raíz que tiene el mismo radicando y su índi-ce es el producto de los índices.
a apn np=
Ejemplos
8 a) b) )a a x x c3 6 8 22 3 2= = =; ; ·
Raíz de raíz
Extracción e introducción de factores
Puedes extraer factores de un radical cuando en él hay factores deexponente mayor o igual que el índice.
La introducción de factores siempre es posible y la operación se reali-za elevando el factor al índice del radical.
Factor es aquello que multiplica. En el radi-
cando de hay dos factores y en el de
hay dos sumandos, no factores.a b+
ab
Ejemplos
Extraer los factores posibles de los radicales:
a) o también si dividimos 9 : 3 = 3 ⇒ = x3
b) Para extraer factores del radical , hacemos:
Introducción de factores:
2 3 2 3 32 3 9625 5 25 5 25 75x x x x x x x= = =( ) ·
a a a a a a a a a94 44 44 4 4 2 4= = =· · · ·a94
x 93x x x x x x x x93 33 33 33 3= = =· · · · ;
a) b)93 94x a;9
10
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16
Racionalizar una fracción es tranformarla en otra equivalente que nocontenga ningún radical en el denominador.
Ejercicios
5
6
7
8
9
Usa la descomposición factorial de los radicandos y calcula:
Calcula:
Calcula:
Extrae los factores posibles de los radicales:
Escribe de la forma los radicales: an
a) 27443 b) 0 00164 , c) 493 d) −5123
a) 2 9 273 · b) 2 12 3 234 2 23· · · c)9
27
23
6
a b
ad)
2 8
16
35
3
x x
x
·
a) 2 2 2 2 4+ + + + b) 27 24 36 c) 2 2 2 2 4 d) 2564
a) 2565 b) 3 4 63 x y c) 8 3 12x y d) 36 8 56 a a
a) 3 23 4 2x y y b) −3 43ab a c) ( )a b a b− + d)32
23
3x x
4. Racionalización
Análogamente:
Se hace:
Algunos de los posibles casos son:
1. El denominador es un radical cuadrático:
2. El denominador es un radical de índice n:
m
a
m
apn
3. El denominador es una suma o diferencia con al menos un radical cua-drático:
m
a b
m a b
a b a b
m a ba b+
= −
+ −= −
−·( )
( )·( )
·( )
m
a b
m a b
a b a b
m a ba b−
= +
− += +
−·( )
( )·( )
·( )
m
a
m a
a a
m a
a
m aa
= =
( )=·
·
·2
Haremos:m
a
m a
a a
m a
a
m apn
n pn
pn n pn
n pn
p n pn
n p= = =
−
−
−
+ −
−·
·
· · nn
a
Se multiplica y se divide por el radicalcuadrático del denominador.
En este caso debes operar con el radical«conveniente» a fin de conseguir índicesy exponentes iguales.
Aquí se multiplica y se divide por laexpresión conjugada del denominador,sabiendo que la expresión conjugada deA – B es A + B y recíprocamente.
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Tema 1. Los números reales 17
Ejemplos
11 a)
b)
10
3 5
10 5
3 5 5
10 53 5
2 53
2
3
2 3
3 33
23
3 2
= = =
=
·
·
··
·
· 33
3
33
32 9
3
2 93
1
3 2
1 3 2
3 2 3 2
= =
+= −
+ −=
· ·
·( )
( )·( )
(c)
33 23 2
3 2−−
= −)
Ejercicios
10 Racionaliza los denominadores: a) b) c) d)5
7e)
22
5+ 3
3
6
3
2 12
2
4 25; ; ; ;
−
5. Potencias de exponente fraccionarioEl concepto de potencia se amplía al caso de exponente fraccionario
definiendo:
Admitimos que las reglas para el cálculo con potencias de exponenteentero siguen siendo válidas para potencias con exponente fraccionario.
Si el exponente es negativo, el signo menos corresponde al numerador.
Así, por ejemplo: 3 313
12 1− −= =
am n mn a/ =
Ahora podemos justificar la propiedad
En efecto:
También: a a a a a apn p n p
np n pn np= ( ) = ( ) = = =
×1 1
11 1 1
a a a apmnmpmnm
pn pn= = =
a apn pmnm=
Si no dispones de la tecla la tecla
de tu calculadora también te permi-
te calcular raíces de cualquier índice.
Ejemplos
12 a) b) c)3 3 4 4 64 8 8 818
1 3 3 3 2 3 1 3 13 3a a/ / /; ;= = = = = =− − == =1
8
123
Ejercicios
11 Opera las siguientes expresiones y da el resultado sin exponentes fraccionarios:
a) b)4
6c) d)(2
1/23 2
235 2
1 21 2 1 2 3 4· ; ; ;/
// / /
−−a b c aa)1/3( ) ( )/ /3 2 1 4 5 1 6a ab −
BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 17
18
6. El conjunto de los números reales:La recta real
El teorema de Tales permite representar a los números racionales en la
recta. Por ejemplo, para representar los números y se haría:− 23
35
Al representar los números racionales en la recta no debes pensar queésta se llena por completo, pues hay «huecos» que serán rellenados porlos irracionales.
Para representar algunos números irracionales puedes hacer la siguien-te construcción basada en las relaciones del teorema de Pitágoras.
El conjunto formado por los números racionales Q y los irracionales Irecibe el nombre de conjunto de los números reales R.
0 3
5
1–1 2
3
–
1
2
3
1
2
3
4
5s
20 1
111
2 52–3–
2
5
3
Los números irracionales llenan los huecos dejados por los racionalesy de esta forma a todo número real se le puede hacer corresponder unúnico punto de la recta y recíprocamente. Los números reales llenan porcompleto la recta. Esta recta se llama recta real.
Todo número racional o irracional se dice que es un número real.
20 1 5 3–1 9
10
–7
4
–5
2
– –2–3 2
5
RELACIONES
Los números naturales están contenidosen el conjunto de los números enteros
NN ZZ
Los números enteros están contenidosen el conjunto de los números racionales
ZZ QAsí pues:
NN ZZ Q
Entre Q e I no hay ninguna relación deinclusión aunque ambos forman el con-junto R de los números reales
RR = Q ∪ ILuego:
NN ZZ Q RR
⊃⊃⊃
⊃⊃
⊃
⊃
Si se trata de una fracción propia (numera-dor menor que el denominador), setoman desde el cero tantas partes igualescomo indica el denominador. Uniendo laúltima con el 1 y trazando paralelasobtienes los puntos que representan lasdiferentes fracciones propias todas conigual denominador.
Si la fracción es impropia (numeradormayor que el denominador) se escribe en
la forma donde c es el cocien-
te y r el resto de la división de a entre b.
Ahora la fracción ya es propia.rd
ab
= c +rd
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Tema 1. Los números reales 19
Si a y b son dos reales tales que a ≤ b, la notación utilizada es:
Intervalo cerrado [a, b] Intervalo abierto ]a, b[
Intervalo semiabierto a la izquierda ]a, b] Intervalo semiabierto a la derecha [a, b[
Los números a y b son los extremos del intervalo.
Observa que en un intervalo cerrado por un extremo indica que dichoextremo sí pertenece al intervalo. Si el intervalo es abierto, el extremono pertenece.
Se puede generalizar el concepto para definir los intervalos de extremoinfinito.
7. Intervalos
Un conjunto de números reales es un intervalo de R si, y solamen-te si, contiene todos los números comprendidos entre dos cualesquie-ra de sus elementos.
a bx
a ≤ x < b
Semirrectas cerradas Semirrectas abiertas
a x
bx bx
[a, +∞[ = {x ∈ R y a ≤ x} ]a, +∞[ = {x ∈ R y a < x}
]–∞, b] = {x ∈ R y x ≤ b} ]–∞, b[ = {x ∈ R y x < b}
Como casos extremos hay que citar el intervalo {a} = [a, a] y el inter-valo vacío Ø = ]a, a[.
El conjunto R sería pues el intervalo ]–∞, +∞[.
a bx
a ≤ x ≤ b
a bx
a < x < b
a x
a bx
a < x ≤ b
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20
Sea x un número real. Se llama valor absoluto o módulo de x y seescribe |x | al número positivo definido así:• si x es positivo o nulo entonces |x | = x• si x es negativo entonces |x | = –x.
Ejemplos
Determina el conjunto P = (]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[) ∪ ]2, 5[
Llamando A = ]– 3, 2[ ∩ [–1, 5] ∩ ]– 4, 3[
Por tanto P = [–1, 2[ ∪ ]2, 5[
13
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
]–3, 2 [
[– 1, 5]
]–4, 3 [
A
]2, 5 [
P
Ejemplos
a) |8| = 8; |7,5| = 7,5; |–5,8| = 5,8; |–1| = 1; b) |π – 3| = π – 3 pues π – 3 es positivo.14
Ejercicios
12
14
13
¿Verdadero o falso?
a) [2, 3[ ]2, 3[; b) ]2, 3[ [2, 3[; c) [1, 3] ]– ∞, 3]; d) [–3, 2] [– 4, 4]
Determina el conjunto A = {[1, 4[ ∪ ]5, 8]} ∩ {[–1, 2] ∪ ]3, 6[ ∪ ]7, 9]}
Determina el conjunto B = {]–1, 2[ ∩ [0, 3[ ∩ ]–5, 1[} ∪ ]1, 3].
⊃⊃⊃⊃8. Valor absoluto: distancia en la recta
Propiedades
Cualesquiera que sean los números x e y se verifica:
La intersección de dos intervalos es un intervalo pero la unión de dosintervalos no es necesariamente un intervalo. Observa el ejemplo siguiente:
1. |x | = |–x | 2. |x · y | = |x | · |y |
3. (con y ≠ 0) 4. |x + y | ≤ |x | + |y |xy
xy
=| || |
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Tema 1. Los números reales 21
Además, si α ≥ 0 es fácil comprender que:
Propiedades de la distancia
Cualesquiera que sean los números reales x, y, z se verifica:
1. d(x, y ) ≥ 0 y d(x, y ) = 0 si y sólo si x = y
2. d(x, y ) = d(y, x )
3. d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ) (propiedad triangular)
Ejemplos
a) |3 – 7| = |7 – 3| = 4; b) |(– 8) × 4| = |– 8| × |4| = 8 × 4 = 32
c) d) |– 8 + 5| ≤ |– 8| + |5| pues |– 8 + 5| = 3 y |– 8| + |5| = 8 + 5 = 13| |
| |54
54
54
54−
=−
= − =
15
|x | = α |x | ≤ α |x | > α
x = – α ó x = α– α ≤ x ≤ αx ∈ [– α, α]
x < – α ó x > αx ∈ ]– ∞, – α[ ∪ ]α, +∞[
Equivale a
Gráficamente−α α0
x
−α α0
x
−α α0
x
d(x, y)
x y
La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se define:d(x, y ) = |x – y |
Ejemplos
a) d(3, 8) = |3 – 8| = 5;
b) d(–2, 5) = |(–2) –5| = |–7| = 7;
c) d(–8, –4) = |–8 – (–4)| = |–8 + 4| = |–4| = 4
16
Ejercicios
15
17
16
Da el valor absoluto de los siguientes números: a) 4,6; b) π + 3; c) 5 – ; d) 5–2; e) –32; f) 28000.
Calcula: ||–2| – |–4| – |–3 × 5|| – |2 × (–5)|
Halla x en las ecuaciones siguientes: a) |x | = 7; b) |x – 2| = 3; c) |2 – 3x | = 1
26
BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 21
22
Ejemplos
Resolver la inecuación:
Se multiplica toda la inecuación por el m.c.m. (3, 6, 2) que es 6: 2(x – 3) – 23 ≥ 18(x – 1) – 3(4x + 3)
Se realizan las operaciones indicadas: 2x – 6 – 23 ≥ 18x – 18 – 12x – 9
Transponiendo términos queda: 2x – 18x + 12x ≥ –18 – 9 + 6 + 23
Simplificando: –4x ≥ 2
Para despejar x es necesario dividir por –4 con lo que la desigualdad cambia de sentido:
La solución es o el intervalo
Gráficamente:
− ∞ −⎤
⎦⎥
⎤
⎦⎥,
12
x ≤ −12
x ≤ −12
xx x
−− ≥ − − +
33
236
3 112
4 3( ) ( )17
9. Inecuaciones de primer grado conuna incógnita
En ocasiones el enunciado de un problema se traduce al lenguaje alge-braico mediante el uso de desigualdades. En tales casos hay que resolverinecuaciones en las que es necesario utilizar las siguientes propiedades:
1. Si a < b entonces a + c < b + c
2. Si a < b y c > 0 entonces a × c < b × c y
3. Si a < b y c < 0 entonces a × c > b × c y ac
bc
>
ac
bc
<Aunque estas propiedades se han escri-to con los signos < y > siguen siendoválidas para los demás símbolos de des-igualdad.
0–11
2–
Ejercicios
18
19
Resuelve las siguientes inecuaciones y expresa la solución gráficamente sobre la recta y como un intervalo:
Mismo ejercicio:
b) 3x + 2 – (5x + 1) ≤ – (2x + 3) + x – 6;
a) b) c)5x – 9
3d)2
13
0100
10 07 5
233x
x xx− ≤ − > >
+−−; ; ; 66 3 4≤ − x
c)x x x−
−−
>−2
31
56
3;
a)6 5
39 8
411 10
120
−−
−−
−<
x x x;
d) 21 2
32
2x
x x−
+> +
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Tema 1. Los números reales 23
EJERCICIOS RESUELTOS
¿Verdadero o falso?a) La diferencia de dos números irracionales es un irracional.b) El producto de dos números decimales es un decimal.c) La raíz cuadrada de un entero positivo es un número irracional.
d) Todo racional se puede escribir de forma única de la forma con a y b primos entre sí.
Solución:
a) Falso. Los números y son irracionales y A – B = 2 que no es irracional.
b) Falso. Los números y son decimales y sin embargo C × F = 1.
c) Falso. Si el número es cuadrado perfecto su raíz cuadrada no es irracional. Así los números 1, 4, 9, 16, … n2
tienen raíz cuadrada entera.d) Verdadero. Es una propiedad de los números racionales.
Demuestra que es irracional.Solución:
Por reducción al absurdo.
Supongamos que es racional, esto es, supongamos que con a y b enteros y primos entre si.
Entonces , luego a2 = 3b2 (*) y así a2 es múltiplo de 3, por tanto a2 = 3k y así a debe ser múltiplo de 3 pues
si no lo fuera su cuadrado tampoco lo sería.
Si a = 3p es a2 = 9p2 y de (*) tenemos que 9p2 = 3b2, es decir b2 = 3p2 y razonando análogamente, b sería tam-bién múltiplo de 3 en contra de la hipótesis de que a y b eran primos entre sí.
Por tanto es necesario negar la hipótesis, no es racional luego es irracional.
Representa en la recta real los números , y .
Solución:
Partiendo de la representación de hecha en el tema sólo hay que considerar que:
y así es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y .
Análogamente: luego es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2.
Por último: luego es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y .
La representación sería:
566 1 52 2= +( )
55 1 22 2= +
233 1 22 2= +( )
2
653
3
ab
2
23=
3 =ab
3
3
F = =611
0 54,�C = =116
183,�
B = 2A = +2 2
ab
1
2
3
20 1 2 5
2
53
3
6
6
1
11 1
BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 23
EJERCICIOS RESUELTOS
Da un redondeo con la precisión p indicada de los siguientes números:
a) (p = 10–4); b) (p = 10–2) c) (p = 10–1); d) (p = 10–3)
Solución:Observando las expresiones decimales de cada uno de los números, los redondeos buscados son:
a) b) c) d)
a) Calcula la expresión del área de un triángulo equilátero en función de su lado.
b) Calcula el área de los triángulos equiláteros de lados 1 cm y cm.
c) ¿El área de los triángulos equiláteros es siempre un número irracional?
Solución:a)
Luego
b) Si l = 1 cm es cm2.
Si cm es cm2.
c) No, basta considerar por ejemplo el triángulo equilátero de lado cuya área es
Calcula y da un resultado simplificado.
Solución:Como m.c.m.(2, 3, 4) = 12 se transforman todos los radicales en otros equivalentes de índice 12.
2 4 23 23 4ab a b b· ·
S = = =( ) ·
.12 3
412 3
432
4 22cm
124
S = =( )3 3
43 3
4
2l = 3
S =3
4
S =×
=l l
l23
23
4
2
h = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − = =l l l l l l22
22 2
2 434 2
3
3
113
0 077≈ ,113
3 7≈ , ;127438
0 29≈ , ;1317
0 7647≈ , ;
113
113
127438
1327
24
4
5
6
l2
lh
l2
2 4 2 2 4 23 23 4 3 612 2 412 312ab a b b ab a b b⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =( ) ( ) ( )
= 22 4 2 2 4 26 6 1812 4 8 412 3 312 6 4 3 6 8 18 4a b a b b a a b b b⋅ ⋅ = 3312 =
17 14 2512 2 5 2122 2 2= =a b ab a b
BAXX5714_01 8/5/08 10:39 Página 24
Tema 1. Los números reales 25
Simplifica la expresión:
Solución
Racionalizamos el radicando:
Calcula y simplifica la expresión:
Solución:
Racionaliza los siguientes denominadores:
Solución:
Simplifica la expresión
Solución:
Racionalizando cada uno de los sumandos:
Pues todos los denominadores son 1 excepto el primero que es –1.
1
2 5
1
2 3
1
3 2
1
2 1
2 54 5
2 34 3
3 23 2
2
++
++
++
+=
−−
+−
−+
−−
+− 11
2 1
5 2 2 3 3 2 2 1 5 1
−
= − + − + − + − = −
1
2 + 5+
1
2 + 3+
1
3 + 2+
1
2 + 1
a)
b)
3
2 5
3 5
2 5 5
3 52 5
3 510
3 32
23
2 23
= =⋅
=
=⋅xy
x y
xy xy
x 223 23
2 23
3 33
2 23233 3
3y xy
xy xy
x y
xy xyxy
y xy⋅
=⋅
=⋅
=
cc)
d)
2
3 2
2 3 2
3 2 3 2
3 2 2
3 2
3 2 27
3
2−=
+− +
=+
−=
+
+
( )
( )( )
22 2
5 4 2
3 2 2 5 4 2
5 4 2 5 4 2
15 12 2 10 2
−=
+ +− +
=+ +( )( )
( )( )
++−
=+−
1625 32
31 22 217
a) b) c) d)3
2 5
3 2
3 2
3 2 2
5 4 2
2
23; ; ; .
xy
x y −
+
−
ab
ba
ab
ba
a bb a
ab
32
32
26 6=
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= =
ab
ba
3
3 1
3 1
3 1 3 1
3 1 3 1
3 1
3 1
32
2 2
−
+=
− −
+ −=
−
−=
( )( )
( )( )
( )
( )
−−
−=
−=
−
⋅=
−1
3 1
3 1
2
3 1 2
2 2
6 22
( )
3 – 1
3 + 17
8
9
10
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EJERCICIOS RESUELTOS
Convierte en potencias de exponente fraccionario las expresiones siguientes:
a) ; b) ; c) ; d)
Solución:
Resuelve la ecuación: |x + 6| = |x – 2|
Solución:
Cada uno de estos valores absolutos es en realidad una distancia. Sean A y B los puntos de abscisa –6 y 2 res-pectivamente y sea M el punto de abscisa x.
La ecuación |x + 6| = |x – 2| equivale a que MA = MB luego M es el punto medio del segmento AB.
Por tanto la solución de la ecuación inicial es x = –2.
a) b) c) d)5 532
32
21 2 31 3
4 1 4= =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ = +//
/( )x y x y 22 2 2 2 22 34 3 4= ⋅ = = /
2 2x +y432
35
Representa como intervalos los conjuntos de números que verifiquen:
a) |x | ≤ 2 b) |x – 2| ≤ 4 c) |x | ≥ 3 d) d(x, 3) < 2 e) d(x, –1) ≤ 1
Solución:
a) |x | ≤ 2 equivale a –2 ≤ x ≤ 2, luego: x ∈ [–2, 2]
b) |x – 2| ≤ 4 equivale a –4 ≤ x –2 ≤ 4, luego: –4 + 2 ≤ x ≤ 4 + 2 ⇔ –2 ≤ x ≤ 6. Así: x ∈ [–2, 6]
c) |x | ≥ 3 equivale a x ≤ –3 ó x ≥ 3. Si x ≤ –3 entonces x ∈ ]–∞, –3]. Si x ≥ 3 entonces x ∈ [3, +∞]. Por tanto, |x | ≥ 3equivale a: x ∈ ]–∞, –3] ∪ [3, +∞[
d) d(x, 3) < 2 equivale a |x – 3| < 2 o bien –2 < x –3 < 2 ⇔ –2 + 3 < x < 2 + 3 ⇔ 1 < x < 5. Es decir x ∈ ]1, 5[
e) d(x, –1) ≤ 1 equivale a |x – (–1)| ≤ 1, es decir: |x + 1| ≤ 1 ⇔ –1 ≤ x + 1 ≤ 1 ⇔ –1 –1 ≤ x ≤ 1 – 1⇔ x ∈ [–2, 0]
11
12
13
01 5
[ [
–2
[ [0
0–2 2
[ [
0–2
[6
[
0–3 3
[ [
26
0
A M B
–6 2–2
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Tema 1. Los números reales 27
Resuelve la inecuación:
Solución:
Multiplicándola por el m.c.m. (3, 2, 6) que es 6:
2x – 3(5x – 4) ≤ 6x – (12 – 5x)
2x – 15x + 12 ≤ 6x – 12 + 5x
Transponiendo:
2x – 15x – 6x – 5x ≤ –12 – 12
–24x ≤ –24
De donde: . Se ha cambiado el sentido de la desigualdad porque se ha dividido por un número negativo.
La solución es x ≥ 1 o bien x ∈ [1, +∞[
Gráficamente:
x ≥2424
1=
x xx
x
3
5 4
2
12 5
6−−
−−≤≤ −−
−−
Resuelve la inecuación:
Solución:
Desarrollando el producto del primer miembro:
luego: 4x – 10 ≥ 4x + 3 ⇒ 0 ≥ 13
y como esta desigualdad es falsa, la inecuación propuesta no tiene solución.
Resuelve la inecuación:
Solución:
Operando en cada miembro:
multiplicando la inecuación por 10, que es el m.c.m. (2,5) se obtiene:
–15x + 26 ≤ 20x + 8 – 35x + 18 ⇒ –15x – 20x + 35x ≤ 8 + 18 – 26
Es decir: 0 ≤ 0
Y como esta expresión es siempre cierta, cualquier valor de x es solución de la inecuación.
−+ + − +
32
135
245
72
95
xx
x≤
xx x
x2
135
2 245
72
95
++ −− ++ −− −−⎛⎛⎝⎝⎜⎜
⎞⎞⎠⎠⎟⎟
≤
2 54 3
2x
x−
+≥
25
2
4 3
2x
x−−
++⎛⎛⎝⎝⎜⎜
⎞⎞⎠⎠⎟⎟
≥
14
15
16
01
[x
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FORMULARIO
Errores y cota de error
Si el valor exacto de un número a sesustituye por a' el error absoluto es
E = |a – a'| y el error relativo es
Se dice que a' es un valor aproximadode a con error menor que ε si |a – a'| < ε e siendo ε la cota del errorabsoluto.
ea a
a=
−| '|| |
Raíces de índice n
La expresión implica que x n = a.a xn =
Intervalos
El intervalo se llamay es un conjunto denúmeros x tales que
[a, b] cerrado a ≤ x ≤ b
]a, b[ abierto a < x < b
[a, b[semiabierto a
la derechaa ≤ x < b
]a, b]semiabierto a la izquierda
a < x ≤ b
[a, +∞[ ó ]–∞, a] semirrecta cerrada x ≥ a ó x ≤ a
]a, +∞[ ó ]–∞, a[ semirrecta abierta x > a ó x < a
Valor absoluto
Se llama valor absoluto o módulo del número real x y se escribe |x | al número positivo definido así:• si x es positivo o nulo entonces |x | = x • si x es negativo entonces |x | = –x
|x | = α equivale a x = α ó x = – α
|x | ≤ α equivale a – α ≤ x ≤ α o bien x ∈ [– α, α]
|x | > α equivale ax < – α o bien x ∈ [–∞, α[
x > α o bien x ∈ ]α, +∞[
Distancia entre puntos
La distancia entre dos puntos x e yde la recta real es:
d(x, y ) = |x – y |
28
( )a an p pn=a
b
ab
bn
nn= ≠( )0a b a bn n n× = ×
a am n mn/ =a apn np=a apn pmnm=
0–
0
[ [–
0
[–
[ {
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Tema 1. Los números reales 29
EJERCICIOS FINALES
Dí qué números pertenecen a Q y cuáles a I.
a) ; b) ; c) ;
d) 4,323232…; e) 2,010010001…
f) ; g) ; h) π2
¿Es cierto que ? Razona la respuesta.
En la figura siguiente es OB = 7 cm y CD = 5 cm.
355113
= π
23
7 324,)
0 04,410
Da el valor exacto y un redondeo a milésimas de lamedida del segmento AB.
Da la medida exacta y un redondeo a centésimas delos segmentos AB, BC y BD del tangram siguiente:
¿Cuál es el error absoluto y relativo que se cometeal redondeara) 16,7528 a milésimas?
b) π a centésimas?
c) a enteros?
d) 1,2345678… a diezmilésimas?
Expresa de la forma a = a' ± ε una medida de la quese sabe que su valor está entre:a) 24,96 y 25,12b) 10,52 y 10,84
2
c) –6,4 y –6,28d) 5 y 6Indica en cada caso cuál es la cota del error abso-luto cometido.
En un reconocimiento médico se establece la esta-tura de un individuo en 183 cm cuando su estaturareal es 181 cm. La longitud de una pista de atletis-mo es de 100,5 m cuando debería ser de 100 m.¿Cuál de las dos medidas comete menor errorabsoluto? ¿Cuál tiene menor error relativo?
Indica qué porcentaje de error relativo se cometecuando se hace un redondeo a décimas del núme-ro 15,86352.
Ordena en forma creciente los radicales:
Escribe de la forma con b lo menor posible:
Justifica que:
(con a > b)
(con a > b)
Calcula:
a)
b)
c)
12
2 4 872
64
32452
812
18 64
576
4 6 4
4 6 4
+ + + −
− + −
66 3 34 3
6 10 8
12
8135
811
103993
5 8 3 32 8 16 24
− + −
− − +d)118
c)1
2 1
1
3 23 1
++
+= −
b) ( )a b ab a b+ − = −2 4
a) ( ) ( )a b a b a b a b2 2− +( ) = + −
f) 324 xye) x x3 63 − ;
d) x y2 2− ;c) 3 2 56 4 7 115 ⋅ ⋅ ⋅x ;
b) 20003 ;a) 1200 ;
a bn
2 3 6 3 43 4 4 3; ; ; ; .
20
21
22
23
24
25
28
29
30
31
27
26
O
DBA
C
D
B
A
C
8 cm
8 cm
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EJERCICIOS FINALES
30
32
33
35
36 41
40
39
38
37
Calcula y da el resultado utilizando una sola raízcomo máximo.
Mismo ejercicio:
Calcula y simplifica:
Justifica que:
Simplifica:
A
B
=−
+
= − +
5 2
5 2
17 2 30 17 2 30·
3 2
6
2 3
2 33 2 2
12
−+
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + =
a)
b)
c)
( )( )
( ) ·
( )(
10 25 10 25
2 31
2 3
5 3 5
3 3
23
− +
−−
−
aa
++
− −
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
9
5 3 3 5 5 5 3 3
21
2
4
2
3 3
)
( )( )
( )
d)
e)
f) a b (( )a ab b23 3 23+ +
f)2
32
23
3 34
ab a b
a b
·e)
8
2
64 a
a;d)
3 24
12
4
3
a;
c)50
50
3
4;b)
8
2
4
;a)200
25
3
3;
Introduce en el radical todos los factores posibles:
Calcula:
Escribe las siguientes expresiones bajo un soloradical y simplifica el resultado:
Racionaliza:
Escribe sin radicales las siguientes expresiones:
i)8
4 3 45
xy
x yh)
2
3 24
a
a;g)
3
33;
f)22
+−
xx
;e)85
;d)6
2;
c)15
3;b)
25
15;a)
1
5;
h) x y235( )g) a b3
3( ) ;
f) ( ) ;43 4e) 4 8 2563 4 ;
d) 919
33 ;c) 2 3 9 ;
b) 2 2;a) 83 ;
108 2 56 1715 0 6253 3 3 3, , , ,− + −
f)3 22 34a b abe)( ) ;a b a−
d)( ) ;a b a b+ −c)2 3 23xy y ;
b)3 2a b;a)4 2;
D = − +⎡⎣
⎤⎦( )( )2 1 2 12
C = −( )2 3 3 5 2
a)
b)
c)
d)
5 15 75
2 8 32
2 8 64
30 7
3 4
4 8
4 56 26
· ·
· ·
· ·
·
x x x
55 180
3 8 24
2 3 18
45
34 3 56
3
a a
ab a b a b
xy z z y
·
· ·
· ·
e)
f) 224
a)1
3; b) 93 ; c) 2
14
4 + ;
d) 8; e)5 3 3
15 3
3·;
x
xf) 8 83 +
34
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Tema 1. Los números reales 31
a) 512x ; b) ( ) ;4 2
23x c) 4
12
−;
d) 5 312· ;
−e)
5
2 112 −
; f) ( )112−
−x
a) 4 212x x= b) 27 323 2 3a a= /
c) 4 0 512
−= , d)
5
3 5
53
=
Escribe las siguientes expresiones sin exponentesfraccionarios ni negativos:
¿Verdadero o falso?
Indica qué números representan los puntos P, Q, Ry S representados a continuación.
Del 45 al 53. Determina los números reales queverifican la ecuación o inecuación propuesta.
a) |x | = 5; b) |x | = ; c) |x – 2| = 5
a) |x – 1| = 0; b) |x + 5| = 3
a) |x + 2| + 3 = 0; b) |2x – 3| – 1 = 0
a) |x | ≤ 5; b) |x | ≥ 1; c) |x | <
a) |x – 4| ≤ 4; b) |2x – 1| < 3
a) |3 – 2x | ≤ 3; b) ≥ 2x −12
54
32
a) |–x – 2| < 1; b) |–x + 1| >
|x + 3| = |x – 1|
Calcula las intersecciones siguientes:
A = ]–2, 5[ ∩ [–1, 7]
B = ]–∞, 6] ∩ [–3, 10]
Calcula las uniones siguientes:
C = ]– 6, 8] ∪ [–3, 10[
D = ]–∞, 3[ ∪ [0, 12]
Expresa como un intervalo el conjunto de valoresde x que verifican:
a) x > 5 b) x ≥ 3x < 8 x < 4
c) x < 1 d) –2 < x ≤ 10x ≥ –4 –8 < x < 5
Expresa como intervalos:
a) [–1, 3] – {0}
b) [2, 5[ – {2}
c) RR – {–2, 3}d) RR – [–5, 0[
Del 58 al 62. Resuelve las siguientes inecuacionesy representa la solución sobre la recta real.
4x – 2(x – 3) > 7 + 3x
4 54
2−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
> −x
x
26
514
xx
x−+
−≥
xx
xx
−−
+ −−6 2
42 2
32
≤
x x x+−
+ −12
35
2 32
≥
xx
−= +
22
1| |
12
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
0 1 2 3P Q
2
1 1
20 1–2 –1 RS
{ {{ {
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AUTOEVALUACIÓN
32
El error absoluto cometido al redondear 15,1326 a milésimas es:
2 0,003 0,0004 nada de lo anteriorDCBA
1
El error relativo cometido al redondear hasta centésimas es:
0,004 menor de 2 milésimas nada de lo anteriorDCBA
2
2 141
2
− ,
2
La diagonal de un cuadrado de lado mide:
2 nada de lo anteriorD2 2C2BA
23
La altura de un triángulo equilátero de lado mide:2
3
nada de lo anteriorDCBA
4
36
33
6
3
2
6
El número es igual a:
0,3419952 nada de lo anteriorDCBA
2,56 1,083 3–5
15
53 1483 ,
La expresión es igual a:4ab · a b
a b
2 3 26
2 33
nada de lo anteriorDCBA
6
24 6
512
a
b23 ab4 46 a b
Al racionalizar la expresión queda:4x
xy+
5
x – 534
nada de lo anteriorDCBA
7
4 5 55
34 x yy
xx
+ +−
4 5 55
34x xy
xx
+ +−
( ) 4 5 525
34 x yy
xx
+ +−
( )
El número es igual a:5 1
5 + 1
12
12
–
–1 nada de lo anteriorDCBA
8
3 5
2
−
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Tema 1. Los números reales 33
Si un número x verifica que –2 ≤ x + 2 ≤ 1 entonces:
x ∈ [–2, 3] x ∈ [– 4, –1] x ∈ ]– 4, 3[ nada de lo anteriorDCBA
9
La solución de la inecuación es:
]–∞, 0[ [0, +∞[ no tiene solución nada de lo anterior DCBA
2x + 13
–x – 1
59x + 8
15≤
10
MISCELÁNEA MATEMÁTICA
Los secretos pitagóricosLos Pitagóricos habían considerado como núcleo dogmático de su Filo-
sofía que «los números son la esencia del universo», sin embargo su pro-pio Teorema atenta contra los fundamentos de su doctrina pues el cuadra-do, que es una de las figuras geométricas más simples, proporciona unaterrible realidad: su diagonal no es conmensurable con el lado. Lo mismosucede entre la diagonal y el lado del pentágono. Así pues los números(ellos llamaban números solamente a los enteros positivos) no podíanmedirlo todo. La Geometría no medía siempre con exactitud. Apareció lamagnitud inconmensurable, lo irracional –no expresable mediante razo-nes–, «el alogon», y provocó una crisis sin precedentes en la Historia de laMatemática. Con el descubrimiento de los inconmensurables quedabanafectadas y debían ser reconstruidas todas las pruebas pitagóricas de losteoremas en los que haya que comparar razones de magnitudes geométri-cas. Se explica, pues, el consiguiente secretismo de los pitagóricos sobrela cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación. La conmo-ción que el nuevo ente provocó en la Matemática griega queda reflejada enel siguiente escrito de Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246-247, p. 141). «Se dice que el primero que reveló la naturaleza de la conmensurabilidade inconmensurabilidad a los indignos de participar de tales conocimientosfue aborrecido [por la comunidad pitagórica] hasta el punto de que no sólolo expulsaron de la vida y de la vivienda en común, sino que incluso le eri-gieron una tumba como si él, que había sido una vez compañero, hubieseabandonado la vida entre los hombres. [...] Otros afirman que la divinidadse enojó contra quien divulgó la doctrina de Pitágoras, pereciendo comoun impío en el mar por sacrílego al haber revelado la doctrina de los núme-ros irracionales y la inconmensurabilidad.»
Pitágoras. Detalle de la Academia deAtenas de Rafael.
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