Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAZI ORTOTROPİK PLAKLARIN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
İnş. Müh. Memet YILDIRIM
Anabilim Dalı: İnşaat Mühendisliği Programı: Yapı Mühendisliği
Tez Danışmanı: Prof.Dr. Mehmet BAKİOĞLU
HAZİRAN 2007
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAZI ORTOTROPİK PLAKLARIN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Memet YILDIRIM
501011082
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 7 Mayıs 2007 Tezin Savunulduğu Tarih : 13 Haziran 2007
Tez Danışmanı : Prof.Dr. Mehmet BAKİOĞLU
Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Hasan ENGİN (İ.T.Ü.)
Prof.Dr. Faruk YÜKSELER (Y.T.Ü.)
HAZİRAN 2007
i
ii
ÖNSÖZ
Sunulan bu tez ile ilgili olarak tüm çalışmam boyunca ilgi ve desteğini esirgemeyen,
sürekli olarak değerli bilgilerinden faydalandığım sayın hocam Prof. Dr. Mehmet
BAKİOĞLU’ na teşekkür ederim.
Tüm eğitim hayatımda bana destek olarak bugünlere gelmemi sağlayan aileme ve
özellikle ablam Yıldız YILDIRIM’ a şükranlarımı sunarım.
Bu tezin yazılmasında ve sunulmasında bana yol gösteren arkadaşım Araş. Gör. Dr.
Fatih SÜTCÜ’ ye yardımlarından dolayı teşekkürlerimi sunarım.
Mayıs 2007 İnş. Müh. Memet YILDIRIM
iii
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ........................................................................................................................ ii İÇİNDEKİLER .........................................................................................................iii SEMBOL LİSTESİ ................................................................................................... iv ŞEKİL LİSTESİ ........................................................................................................ vi TABLO LİSTESİ ....................................................................................................viii ÖZET.......................................................................................................................... xi SUMMARY ..............................................................................................................xii BÖLÜM 1.................................................................................................................... 1 GİRİŞ .......................................................................................................................... 1
1.1 GİRİŞ ........................................................................................................... 1 1.2 ÇALIŞMANIN AMACI ve KAPSAMI ...................................................... 4
BÖLÜM 2.................................................................................................................... 5 MALZEME SABİTLERİ ve PLAK DENKLEMLERİ ......................................... 5
2.1 MALZEME SABİTLERİ ve HOOKE YASALARI ................................... 5 2.2 İZOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ...................................................... 12 2.3 ORTOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ.................................................. 20
BÖLÜM 3.................................................................................................................. 30 ANALİTİK ÇÖZÜMLER ....................................................................................... 30
3.1 BASİT ÇOK TERİMLİ ÇÖZÜMLER ...................................................... 30 3.2 NAVİER ÇÖZÜMÜ .................................................................................. 34 3.3 LEVY YÖNTEMİ...................................................................................... 36
BÖLÜM 4.................................................................................................................. 38 SAYISAL ÇÖZÜMLER .......................................................................................... 38
4.1 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ ............................................................... 38 4.2 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE FORMÜLE EDİLMESİ .............................................................. 43 4.3 SINIR ŞARTLARI VE DENKLEM SAYISI ............................................ 49 4.4 DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ İÇİN DAİRESEL DÖNGÜ ................................................................................................................. 57 4.5 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK DENKLEMLERİNİN BOYUTSUZLAŞTIRILMASI............................................................................... 58 4.6 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE ÇÖZÜMÜ.................................................................................... 61 4.7 ANALİTİK ÇÖZÜM İLE SAYISAL ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI...................................................................................... 112
BÖLÜM 5................................................................................................................ 118 SONUÇLAR VE TARTIŞMA .............................................................................. 118 KAYNAKLAR ....................................................................................................... 119 ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………123
iv
SEMBOL LİSTESİ
zyx εεε ,, : x, y ve z doğrultularındaki birim uzamalar
zyx σσσ ,, : x, y ve z eksenlerine paralel normal gerilme bileşenleri
zzyyxx EEE ,, : x, y ve z doğrultularındaki Elastisite Modülleri uzamalar
1,,, DDDD xyyx : Plak eğilme rijitliği
yx II , : Plak atalet momentleri
G : Plak kayma modulleri
zyx ννν ,, : x, y ve z doğrultularındaki poisson oranları
h : Plak kalınlığı
w : Plağın z doğrultusundaki deplasmanı
ba, : Plağın net açıklığı
yx MM , : Plağın x ve y eksenlerine dik kesitlerinin birim boyuna gelen
eğilme momentleri
xyM : Plağın x eksenine dik kesitlerinin birim boyuna gelen
burulma momenti
yx QQ , : Plağın x ve y eksenlerine dik kesitlerinin birim boyuna gelen
z eksenine paralel kesme kuvvetleri
p : Plağa etkiyen yükün şiddeti
yx VV , : Plak mesnet tepkileri
R : Plak köşe kuvveti
v
yx λλ , : x ve y doğrultularındaki sonlu farklar ağı genişliği
α : Plağın x doğrultusundaki kenarın y doğrultusundaki kenara
oranı
yx rr , : Plak eğrilik yarıçapları
yzxzxy τττ ,, : xy, xz ve yz yüzeylerinde oluşan kayma gerilmeleri
vi
ŞEKİL LİSTESİ
Şekil 2.1: Sabit Kalınlıklı Plak ve Koordinat Eksenleri ............................................ 12
Şekil 2.2: Orta Düzlem Üzerindeki Bir A Noktasının Yer Değiştirmesi .................. 13
Şekil 2.3: Sonsuz Küçük Eleman .............................................................................. 14
Şekil 2.4: Düzlem Kesitin Deformasyonu................................................................. 14
Şekil 2.5: Sonsuz Küçük Plak Elemanının Dengesi .................................................. 16
Şekil 2.6: 0=x Noktasında Ankastre Mesnetlenmiş Plak ........................................ 18
Şekil 2.7: 0=x Noktasında Sabit Mesnetlenmiş Plak.............................................. 18
Şekil 2.8: Lx = Noktasında Serbest Kenar .............................................................. 19
Şekil 2.9: =x Sabit Kenarında xyM Değişimi ........................................................ 20
Şekil 2.10: x ve y Doğrultusunda Çelik Donatılar ile Donatılmış Betonarme Döşeme Plağı. ............................................................................................................ 23
Şekil 2.11: Dalgalı Sac Plak ...................................................................................... 25
Şekil 2.12: Eşit Aralıklı Takviye Levhaları ile Donatılmış Plak ............................... 26
Şekil 2.13: Tek Taraflı Eşit Aralıklı Nervürlerle Donatılmış Plak............................ 27
Şekil 2.14: Betonarme Izgara Sistem ........................................................................ 28
Şekil 3.1: Plak Ötelenmesi Hareketi.......................................................................... 30
Şekil 3.2: Eğik Ötelenme Hareketi ............................................................................ 31
Şekil 3.3: Dönme Hareketi ........................................................................................ 31
Şekil 3.4: Üniform Eğilme......................................................................................... 32
Şekil 3.5: Basit Burulma Durumunda Plak................................................................ 33
Şekil 3.6: Dört Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Plak ....................................................... 34
Şekil 3.7: Karşılıklı İki Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Ortotropik Dikdörtgen Plak..... 36
Şekil 4.1: Tek Boyutta Sonlu Farklar ........................................................................ 39
Şekil 4.2: Plaklarda Sonlu Farklar Ağı ...................................................................... 40
Şekil 4.3: Türev Fonksiyonları Katsayılar Şablonu................................................... 43
Şekil 4.4: Ortotrop Plaklar İçin Sonlu Farklar Katsayılar Şeması............................. 46
Şekil 4.5: Fiktif Yerdeğiştirmeler için Sonlu Farklar Ağının Plaklarda Uygulanması.................................................................................................................................... 52
Şekil 4.6: Verilen Şartlar Altında Oluşan Deplasmana Ait Grafik............................ 72
Şekil 4.7: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi .......................................................................................................... 81
vii
Şekil 4.8: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi ....................................................................................... 91
Şekil 4.9: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plağın Çökmesi ...................................................... 101
Şekil 4.10: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre İki Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi ...................................................................... 111
viii
TABLO LİSTESİ
Tablo 2.1 Plywood Plak İçin Elastik Sabitler. Birimler: GPa ................................... 25
Tablo 4.1 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş plakta yer değiştirmeler. ...... 54
Tablo 4.2 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler............................................................................. 54
Tablo 4.3 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler................. 55
Tablo 4.4 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler...................................................... 55
Tablo 4.5 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler. .......... 56
Tablo 4.6 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer değiştirmeler. ................... 56
Tablo 4.7 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer değiştirmeler............................................................................................................... 57
Tablo 4.8 Verilen Şartlar Altında Oluşan Deplasmanlar........................................... 62
Tablo 4.9 Verilen Şartlar Altında Oluşan Mx Momentleri ....................................... 63
Tablo 4.10 Verilen Şartlar Altında Oluşan My Momentleri ..................................... 64
Tablo 4.11 Verilen Şartlar Altında Oluşan Mxy Momentleri ................................... 65
Tablo 4.12 Verilen Şartlar Altında Oluşan Qx Kesme Kuvvetleri............................ 66
Tablo 4.13 Verilen Şartlar Altında Oluşan Qy Kesme Kuvvetleri............................ 67
Tablo 4.14 Verilen Şartlar Altında Oluşan Vx Mesnet Tepkileri ............................. 68
Tablo 4.15 Verilen Şartlar Altında Oluşan Vy Mesnet Tepkileri ............................. 69
Tablo 4.16 Verilen Şartlar Altında Oluşan R Köşe Kuvvetleri................................. 70
Tablo 4.17 Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme .......................................................................................................... 71
Tablo 4.18 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü, Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları ................................................................. 73
Tablo 4.19 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri............................................................... 74
Tablo 4.20 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri............................................................... 75
ix
Tablo 4.21 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri............................................................. 76
Tablo 4.22 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ..................................................... 77
Tablo 4.23 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ..................................................... 78
Tablo 4.24 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri ........................................... 79
Tablo 4.25 Düzgün Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri ...................................................... 80
Tablo 4.26 Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme................................................................................................. 82
Tablo 4.27 Sabit Yayılı Yükle Yüklü, Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları ................................................................. 83
Tablo 4.28 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri............................................................... 84
Tablo 4.29 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri............................................................... 85
Tablo 4.30 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri............................................................. 86
Tablo 4.31 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ..................................................... 87
Tablo 4.32 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ..................................................... 88
Tablo 4.33 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri .......................................... 89
Tablo 4.34 Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri.......................................................................... 90
Tablo 4.35 İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve 2 Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme .................................................................... 92
Tablo 4.36 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları .................................. 93
Tablo 4.37 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri ................................ 94
Tablo 4.38 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri ............................... 95
Tablo 4.39 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri ............................. 96
Tablo 4.40 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ..................... 97
Tablo 4.41 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ...................... 98
x
Tablo 4.42 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olani Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri............ 99
Tablo 4.43 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri...................... 100
Tablo 4.44 İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plağa Uygulanan Sabit Yayılı Yükleme .................................................................. 102
Tablo 4.45 Sabit Yayılı Yükle Yüklü, İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Deplasmanları .................................... 103
Tablo 4.46 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mx Momentleri .................................. 104
Tablo 4.47 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz My Momentleri .................................. 105
Tablo 4.48 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Mxy Momentleri ................................ 106
Tablo 4.49 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qx Kesme Kuvvetleri ........................ 107
Tablo 4.50 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Qy Kesme Kuvvetleri ........................ 108
Tablo 4.51 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Vx Ve Vy Mesnet Tapkileri.............. 109
Tablo 4.52 Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak İki Kenar Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen Plak Boyutsuz Rxy Köşe Kuvvetleri ......................... 110
Tablo 4.53 İki Kenarı Ankastre ve İki Kenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması. ...................................................................................................... 115
Tablo 4.54 Dörtkenarı Ankastre Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması. ...................... 116
Tablo 4.55 Dörtkenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması ....................... 117
xi
ÖZET
Yüzeysel taşıyıcı sistemlerden biri olan plaklar, günümüzde yalnızca yapı
mühendisliğinde değil, uçak ve gemi mühendisliği gibi birçok alanda da kullanılan
sistemlerdir. Belirlenen kabullere göre modellenen plaklardan, denge denklemleri
kullanılarak, plak denklemlerinin diferansiyel formu elde edilir. Plak
denklemlerinden, basit diferansiyel denklem çözümleri yanında çeşitli analitik
yöntemler kullanılarak da kesin çözüm elde edilebilir. Analitik yöntemler
kullanılarak çözüme ulaşılamadığı veya çözümün zor olduğu durumlarda, sonlu
farklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi gibi sayısal çözüm yöntemlerine
başvurulur. Bu çalışmada, çeşitli mesnetlenme ve yükleme durumlarına göre
plakların malzeme bakımından özel bir hali olan bazı ortotropik dikdörtgen plakların
çözümü, sayısal bir çözüm yöntemi olan sonlu farklar yöntemi kullanılarak bilgisayar
ortamında yapılmıştır. Çalışmada sonlu farklar yöntemi kullanılarak elde edilen
sonuçlar, literatürde bulunan bazı izotropik ve ortotropik plakların analitik yöntemle
elde edilmiş sonuçları ile karşılaştırılmıştır. Sonlu farklar yöntemi ile elde edilen
sonuçların, analitik yöntemler ile elde edilen sonuçlara çok yakın olduğu
gösterilmiştir.
xii
SUMMARY
Plates, as a special type of shell systems are widely used in not only structural
engineering field, but also many other fields such as naval or aerospace engineering.
For design purpose, plate equations can be obtained in a differential form by using
the equation of equilibrium evaluated from the plates modelled by suitable
assumptions. Besides simple differential equation solutions, exact solutions can be
evaluated from plate equations with the help of different analytical methods as well.
When it is impossible or hard to evaluate the results with analytical methods,
numerical solution methods e.g. finite differences or finite element method can be
used. In this study, orthotropic rectengular plate equations are solved on computer
for various supporting and loading conditions by using finite differences method.
Results are compared with the results of previous studies using analytical methods. It
was shown that there is a substantial correspondence between the compared results.
1
1 BÖLÜM 1
GİRİŞ
1.1 GİRİŞ
Kalınlıkları, taşıyıcı yöndeki boyutları yanında çok küçük olan sistemler yüzeysel
taşıyıcı sistemler olarak adlandırılırlar. Kalınlıkların orta noktalarını birleştiren yüzey
de orta yüzey olarak adlandırılır. Orta yüzey bir düzlem ise düzlemsel taşıyıcı
sistemler olarak adlandırılır. Dış yükler de orta düzleme dik olarak uygulanıyorsa
plak ismini alırlar.
Plaklar, yalnızca yapı mühendisliğinde kullanılmayıp, uçak ve gemi mühendisliği
gibi birçok mühendislik dalında da taşıyıcı düzlemlerin oluşturulmasında kullanılan
sistemlerdir.
Plak sistemlerin modellenmesi yapılırken göz önünde bulundurulması gereken
parametrelerden biri, kullanılan malzemedir. Tüm doğrultularda birbirinden bağımsız
özellikler gösteren malzemeler anizotropik, birbirlerine dik üç düzleme göre elastik
simetri özellikleri bulunan malzemelere ortotropik, tüm doğrultularda aynı özellikleri
gösteren malzemeler ise izotropik malzeme olarak adlandırılırlar. Bunun dışında
plaklar, geometrilerine göre, dikdörtgen plaklar ve dairesel plaklar olarak iki önemli
ve büyük grup oluştururlar. Mesnetlenme şekilleri ise, yapı amaç ve ihtiyaçlarına
göre, ankastre mesnet, sabit mesnet ve boşta kenar halinin kombinasyonlarından
meydana getirilir.
Anizotrop plakların ve kabukların analizi ile ilgili ilk çalışmalar ortotropi hali için
sınırlandırılmıştır. Bu konu ile ilgili olarak ilk çalışmayı Gehring 1860 yılında
yayınladığı, statik yükle yüklü durumlar için ortotropik plaklar teorisinde yapmıştır.
[1]. Ortotropik plakların titreşimini ise Hearmon dikdörtgen, ahşap ve plywood
plaklar için temel titreşim frekanslarını incelemiştir [2]. Çalışmasında Rayleigh-Ritz
metodunu kullanarak, çeşitli şekillerde sabit ve ankastre mesnetlenmiş plaklara
uygulayarak yapmış ve sonuçları deneysel sonuçlarla karşılaştırmıştır. Elastik
2
plakların serbest titreşimleri ile ilgili çalışmalar 1969 yılında Leissa tarafından
yapılmıştır [3].
Lechnitzky, klasik plak teorisini temel alan tek katmanlı anizotrop plak teorisi, özel
ortotropik plakların eğilme, stabilite ve titreşim problemlerini ele almak yoluyla
sunan geniş kapsamlı kitabını 1957 yılında yayınlamıştır [4]. Genel üniform yükle
yüklü ortotropik plakların çözümünü de Kantorovich’ in birinci iterasyon metodu ile
yapmıştır.
Stavsky, 1959 yılında anizotrop ince plaklar teorisini formülüze etmiştir [5]. 1961
yılında Reissner ve Stavsky, Smith ve Lechnitzky’ nin daha önce yapmış oldukları
gerilme-eğilme çiftinin etkilerini anizotrop ince plaklar için tekrar ele almışlardır [6].
Bu problemin örneklerini silindirik eğilme tipi için Stavsky’ de görülmektedir. Hoff
ile Stavsky’ nin beraber yapmış oldukları çalışmaları Dietz 1969 yılında “Composite
Engineering Laminates” adıyla yayınlamıştır [7-8].
Waddoups 1965 yılında, ince tabakalı özel ortotrop plakların titreşim karşısındaki
davranışlarını, hem deneysel hem de analitik olarak ele alarak incelemiştir [9]. 1967
yılından beri “Journal of Composite Materials” dergisi anizotropik ince plak
problemleri üzerinde yoğunlaşmıştır. 1968 yılında, bölümleri birçok araştırmacı
tarafından birleşik malzeme ve yapıların temel problemleri konusunda yapılan
çalışmaları Tsai tarafından bir araya getirilerek hazırlanan “Composite Materials
Workshop” kitabında yayınlanmıştır [10]. Ashton ve Anderson bor-epoksi levhaların
doğal titreşim modlarını Rayleigh-Ritz formülleri ile incelemiştir [11].
Whitney ve Leissa genel katmanlı anizotrop plakların temel denklemelerini Von
Karman plak denklemelerine paralel olarak formülüze etmişlerdir [12]. Bunu takiben
Whitney ve Leissa, benzer bir çalışmayı tam Fourier trigonometrik serileri kullanarak
yeniden yapmışlardır [13].
Ashton ve Waddoups, yine 1969 yılında tek katmanlı anizotrop plak problemleri için
bir enerji formulünü, doğrusal stabilize analizi; frekans ve mod şekili hesabı ve
düzlemsel yüklemelerden doğan yer değiştirmelerin analizini de göz önünde
bulundurarak sunmuştur [14].
3
Kicher ve Mandell yine 1969 yılında katmanlı plaklar için kritik burkulma yükünü
deneysel olarak incelemişlerdir [15]. Deneysel sonuçlarla karşılaştırma yapmak
amacı ile stabiliteyi; kalsik ortotropik plak denklemleri ile analiz etmişlerdir.
1970 yılında Ashton, anizotrop plakların sınır koşullarını incelemiştir [16]. Sonuç
olarak, Rayleigh-Ritz metodunu kullanılırken bir dizi karakteristik kiriş
fonksiyonunu kullanmanın, özel ortotropik plakların her durumu için mükemmel
sonuç verdiğini ortaya koymuştur. Ashton’un çalışmasının, burkulma yükü, doğal
frekans, mod şekilleri ve yer değiştirmelerin belirlenmesinde tatminkâr sonuçlar
verdiği fakat gerilmeler, momentler ve köşe reaksiyonları için iyi sonuç vermediği
görülmüştür.
Ankastre ve basit mesnetli, simetrik olmayan anizotrop ince plakların çapraz
yüklemeler altında hesabı için Whitney, Reissner ve Stavsky’nin temel denklemlerini
kullanmıştır [17].
Ümit Uzman, İstanbul Teknik Üniversitesinde 1985 yılında hazırladığı doktara
tezinde ortotrop malzemeden yapılmış ince dikdörtgen plakların düzlem içi dinamik
kenar yükleri etkisindeki davranışlarını incelemiş ve sayısal yöntemlerle elde ettiği
çözümler ile bir bilgisayar programı geliştirmiştir [18].
Zafer Kütüğ, 1992 yılında hazırladığı yüksek lisans tezinde izotrop plak
denklemlerinin en genel çözümlerini değişkenlerin ayrılması metodu’nu ve Fourier
serilerini kullanarak yapmıştır [19].
Batuhan Çalin, 1998 yılında hazırladığı yüksek lisans tezinde bazı izotrop plakların
çözümlerini sonlu farklar yöntemlerini kullanarak yapmıştır [20].
Ali Ergün, 1996 yılında hazırladığı yüksek lisans tezinde üniform yükle yüklü çeşitli
izotropik plakların çözümlerini sonlu elemalar yöntemi ile yapmış ve bunları analitik
yöntem sonuçları ile karşılaştırmıştır [21]. 2002 yılında yaptığı doktora çalışmasında
ise herhangi bir kuvvetler sisteminin başka kuvvetler sisteminden meydana gelen
yerdeğiştirme üzerinde yaptığı virtüel işin, ikinci kuvvetler sisteminin ilk kuvvetler
sisteminden meydana gelen yerdeğiştirme üzerinde yaptığı işe eşitliğini tanımlayan
Betti karşıtlık teoremi temel alınarak yeni bir sonlu fark operatörü çıkararak sonlu
farklar yöntemi ile yapmıştır [22].
4
1.2 ÇALIŞMANIN AMACI ve KAPSAMI
Belirlenen kabullere göre modellenen plaklardan, denge denklemleri kullanılarak,
plak denklemlerinin diferansiyel formu elde edilir. Plak denklemlerinden, basit
diferansiyel denklem çözümleri yanında, çift Fourier serileri (Navier yöntemi), tek
Fourier serileri (Levy yöntemi) gibi çeşitli analitik yöntemler kullanılarak kesin
çözüm elde edilebilir.
Analitik yöntemler kullanılarak çözüme ulaşılamadığı veya çözümün zor olduğu
durumlarda, sonlu farklar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemi gibi sayısal çözüm
yöntemlerine başvurulur. Bu yöntemler analitik yöntemlere çok yakın sonuçlar
verebilmektedirler. Özellikle bilgisayar teknolojisinin gelişmesi ve hızla bu
gelişimini devam ettirmesi de sayısal çözüm yöntemlerinin gelişmesini ve sıkça
kullanılmasını kolaylaştırmıştır.
Bu çalışmada, çeşitli mesnetlenme ve yükleme durumlarına göre bazı ortotropik
dikdörtgen plakların çözümü, sayısal bir çözüm yöntemi olan sonlu farklar yöntemi
kullanılarak bilgisayar ortamında yapılmıştır. Literatürde bulunan bazı izotropik ve
ortotropik plakların kapalı çözümleri ile sonlu farklar yöntemi ile elde edilen
sonuçlar ile karşılaştırıldı. Sonlu farklar yöntemi ile elde edilen sonuçların, analitik
yöntemler ile elde edilen sonuçlara çok yakın olduğu gösterilmiştir.
5
2 BÖLÜM 2
MALZEME SABİTLERİ ve PLAK DENKLEMLERİ
Bu bölümde malzeme sabitleri tanımlandıktan sonra çeşitli malzemeler için Hooke
yasaları elde edilecektir. Daha sonra da bu bağıntılardan yararlanarak önce izotropik
malzeme için plak denklemleri daha sonra da ortotropik malzeme için plak
denklemleri elde edilecektir. Son kısımda ise ortotropik plaklar için bazı analitik
çözümler elde edilecektir.
2.1 MALZEME SABİTLERİ ve HOOKE YASALARI
Bir malzemede gerilme şekil değiştirme bağıntılarını teorik olarak elde etmek şu an
için mümkün olmamaktadır. Malzemeler, kuvvet ve sıcaklık karşısında çok farklı
davranışlar gösterirler. Malzemelerin göstermiş oldukları bu davranışları matematik
olarak tek bir denklem veya denklem takımı ile açıklamak mümkün değildir. Bu
nedenle, çeşitli malzeme tipleri için ideal malzeme davranışı tanımlayan ayrı bir
takım denklemler kurma yoluna gidilir. Bu denklemlere bünye denklemeleri adı
verilir. Bu denklemler malzemenin fiziksel davranışlarını gözlem ve istatistiksel
yöntemlerle ortaya koyan matematik formüllerdir. Bu kısımda bünye denklemlerinde
bulunan sabitler hakkında bilgiler verilecektir.
Bir malzemede, yük ve şekil değiştirme arasında bağıntı doğrusal kabul edildiğinde,
gerilme ile şekil değiştirme tansörleri biribirlerine aşağıda verilen şekilde
bağlanabilir.
∑=
=3
1,lkklijklij c εσ (2.1)
Bu bağıntı toplama uylaşımı kulanılarak
klijklij c εσ = (2.2)
şeklinde yazılabilir. Burada; ijσ , gerilme tansörü, klε , Cauchy birim şekil
değiştirme tansörü ve ijklc ise elastik sabitlerin bulunduğu dördüncü mertebeden bir
6
tansördür. Bu tansöre elastik sabitler tansörü veya elastisite tansörü adı verilir.
Elastik sabitler tansöründe 81 sabit vardır. Fakat klε birim şekil değiştirme tansörü
simetrik olduğundan lkkl εε = dır. Bu durumda ijklc tansörünün bileşenleri k ve l ye
göre simetrik olurlar; dolayısıyla ijlkijkl cc = yazılabilir. Bu nedenle bağımsız
sabitlerin sayısı 27 azalır ve geriye 54 bağımsız sabit kalır. ijσ gerilme tansörü de
simetrik olduğundan ijklc katsayıları bu kez i ve j indislerine göre de simetrikdir;
yani; jiklijkl cc = yazılabilir. Dolayısyla bağımsız sabitlerin sayısı 18 azalarak geriye
36 bağımsız sabit kalır.
Gerilme ve şekil değiştirme tansörlerinin bağımsız altışar elemanları;
111 σσ = 222 σσ = 333 σσ =
423 σσ = 513 σσ = 612 σσ =
111 εε = 222 εε = 333 εε =
4232 εε = 5132 εε = 6122 εε = (2.3)
şeklinde tanımlanır ise (2.2) bağıntısı
jiji c εσ = (2.4)
şeklinde yazılabilir. Bu ifade matris formu aşağıda verilmektedir.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
εεεεεε
σσσσσσ
cccccccccccccccccccccccccccccccccccc
(2.5)
Yukarıda verilen bağıntılara genel Hooke Yasaları adı verilir. Enerji esaslarında da
yararlanıldığında (2.5) de görülen ijc matrisinin simetrik olduğu görülür. Sonuç
olarak jiij cc = bağıntısından dolayı, 21 bağımsız sabit kalır. Anizotrop
malzemelerde; yani hiçbir doğrultuda simetri özelliği olmayan malzemelerde gerilme
şekil değiştirme bağıntıları bu 21 sabit ile belirlenir ve bu sabitler deneylerle bulunur.
7
Bir malzemede genel halde 21 bağımsız elastik sabit olmasına karşın malzemede
düzleme ve/veya eksene göre malzeme simetrisi özelliği var ise bağımsız sabitlerin
sayısı azalır.
Monoklinik malzeme: Malzemede bir düzleme göre malzeme simetrisi varsa böyle
malzemelere monoklinik malzeme adı verilir. Monoklinik bir malzemede bağımsız
sabitlerin sayısı 13 dür. 21 xx − eksen takımına göre simetri olması halinde (2.5)
eşitliğinde bulunan matris aşağıda verilen şekilde yazılır.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
66636261
5554
4544
36333231
26232221
16131211
0000000000
000000
cccccccc
cccccccccccc
(2.6)
Ortotropik malzeme: Bir cisimde biribirine dik iki düzleme göre malzeme simetrisi
var ise malzeme sabitlerinin sayısı 9 dur. Bir cisimde biribirine dik iki düzleme göre
malzeme simetrisi var ise biribirine dik üç düzleme göre simetri şartları otomatik
olarak sağlanır. Dolayısıyla biribirine dik üç düzleme göre simetrisi olan cisimlerde
bağımsız malzeme sabitlerinin sayısı da dokuzdur. Bu tür malzemelere Ortogonalli
Anizotropik kelimelerinin kısaltılmışı olan Ortotropik malzeme adı verilir. 21 xx − ,
32 xx − ve 13 xx − , eksen takımlarına göre simetri olması halinde (2.5) eşitliğinde
bulunan matris aşağıda verilen matris şeklinde yazılır.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
66
55
44
333231
232221
131211
000000000000000000000000
cc
cccccccccc
(2.7)
Enine izotropik malzeme: Biribirine dik üç düzleme göre simetrik olan malzeme, bu
düzlemlerden birinde izotrop ise yani malzeme özellikleri bu düzlemde doğrultuya
göre değişmiyor ise bu tip malzemeye “enine izotrop” adı verilir. Enine izotrop
malzemede bağımsız değişken sayısı 5 dir. İzotropik düzleme dik doğrultu 1x olsun.
Bu durumda elastik sabitlerin bulunduğu matris aşağıda verilen şekle gelir.
8
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
55
55
1211
333131
131121
131211
0000000000
0021000
000000000
cc
)cc(
ccccccccc
(2.8)
İzotropik Malzeme: Tam izotropi halinde elastik sabitlerin bulunduğı matris;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
)cc(
)cc(
)cc(
ccccccccc
1211
1211
1211
112121
121121
121211
2100000
0210000
0021000
000000000
(2.9)
şeklindedir. Burada görüldüğü gibi bağımsız elastik sabit sayısı 2 dir.
Hooke Yasaları: Yukarıda (2.4) ile verilen gerilme şekil değiştirme bağıntısı ters
dönüşüm ile
jiji s σε = (2.10)
şeklinde yazılabilir. Burada görülen ijs matrisi ijc matrisinin tersidir. Bu eşitliğin
matris formunda yazılışı aşağıda verilmiştir.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
σσσσσσ
εεεεεε
ssssssssssssssssssssssssssssssssssss
(2.11)
9
Bu bağıntı ortotropik malzeme için;
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
66
55
44
333231
232221
131211
6
5
4
3
2
1
000000000000000000000000
σσσσσσ
εεεεεε
ss
ssssssssss
(2.12)
şeklindedir. Yukarıdaki bağıntıda bulunan ijs elastik sabitleri, mühendislikte
kullanılan Young modulü ve Poisson oranına bağlı olarak aşağıda verilen şekilde
yazılır.
1111
1E
s = 22
2112 E
s ν−=
33
3113 E
s ν−=
11
1221 E
s ν−=
2222
1E
s = 33
3223 E
s ν−=
11
1331 E
s ν−=
22
2332 E
s ν−=
3333
1E
s =
2344
1G
s = 13
551
Gs =
1266
1G
s = (2.13)
Yukarıdaki gösterilimde; iiE sabitleri, i doğrultusunda çekme veya basınçtan elde
edilen Young modulüdür. Poisson oran ijν ise i doğrultusunda gerilme
uygulandığında j doğrultusundaki daralmadır; yani ijij εεν /−= dir. ijs matrisinin
simetrisinden dolayı aşagıda verilen bağıntılar bulunmaktadır.
11
12
22
21
EEνν
= 22
23
33
32
EEνν
= 33
31
11
13
EEνν
= (2.14)
Yukarıda yapılan tanımlar kullanılarak, ortotropik malzemede xyz eksen takımlarına
göre Hooke yasaları;
zzz
zxy
yy
yxx
xxx EEE
σνσν
σε −−=1
zzz
zyy
yyx
xx
xyy EEE
σν
σσν
ε −+−=1
10
zzz
yyy
yzx
xx
xzz EEE
σσν
σνε 1+−−=
xy
xyxy G
τγ =
yz
yzyz G
τγ =
zx
zxzx G
τγ = (2.15)
şeklinde yazılır. Yukarı verilen denklemlerde görülen xxE , yyE , zzE , xyν , yxν , yzν ,
zyν , zxν , xzν , xyG , yzG , zxG değerleri malzeme sabitleri olup toplam on iki sabittir,
fakat ijs matrisinin simetrisinden dolayı yazılan
yy
yx
xx
xy
EEνν
= zz
zx
xx
xz
EEνν
= zz
zy
yy
yz
EEνν
= (2.16)
eşitlikleri ile bağımsız malzeme sabiti sayısı dokuza iner. Malzeme sabitlerinden
xxE , yyE ve zzE değerleri malzemenin sıra ile x , y ve z doğrultularındaki elastisite
modulleri xyG , yzG ve zxG değerleri sıra ile malzemenin xy , yz ve zx
düzlemlerindeki kayma modulleridir. ),,,( zyxjiij =ν değerleri ise daha önceden
belirtildiği gibi i doğrultusunda gerilme uygulandığında j doğrultusundaki enine
birim uzamalar için Poisson oranıdır; yani ijij εεν /−= dir.
Ortotropik düzlem gerilme halinde, 1,2,3 doğrultuları sıra ile x,y,z doğrultusu alınıp
gerilme vektörlerinin x-y düzleminde bulunması halinde (2.15) bağıntısından Hooke
yasaları Young modülü ve Poisson oranı cinsinden;
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
τ
σσ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ν−
ν−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ
εε
xy
y
x
xy
yyxx
xy
yy
xy
xx
xy
y
x
G
EE
EE
100
01
01
(2.17)
şeklinde yazılır. Yukarıda verilen denklemlerde 5 sabit bulunmaktadır;
xxxyyyyx EE // νν = eşitliği kullanıldığında ortotropik düzlem gerilme halinde 4 sabit
yeterli olmaktadır. Yukarıda (2.17) ile verilen ifadenin ters dönüşümü yapıldığında
11
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
y
x
xy
yxxy
yy
yxxy
yyxy
yxxy
xxyx
yxxy
xx
xy
y
x
G
EE
EE
γ
εε
ννννν
ννν
νν
τ
σσ
00
011
011
(2.18)
bulunur. Bu ifade dört sabite bağlı olarak
yxyxxx EE εεσ += *
yyxxyy EE εεσ *+=
xyxyxy G γτ = (2.19)
şeklinde yazılır. Burada *xE , *
yE , xyE nin tanımları aşağıda verilmektedir.
yxxy
xxx
EEνν−
=1
* yxxy
yyy
EE
νν−=
1*
yxxy
yyxy
yxxy
xxyxyxxy
EEEE
ννν
ννν
−=
−==
11 (2.20)
Enine izotropi hali: xy düzleminde enine izotropi olsun. Bu izotropide
EEE yyxx == , ννν == yxxy ; xyGG = ve *GGG xzyz == yzxz νν = ve zxzy νν =
olacaktır. Bu durumda (2.15) bağıntıları;
zzz
zxyxx EEE
σνσνσε −−=1
zzz
zyyxy EEE
σν
σσνε −+−
=1
zzz
yyz
xxz
z EEEσσ
νσνε 1
+−−
=
Gxy
xy
τγ = *G
yzyz
τγ = *G
zxzx
τγ = (2.21)
şekline gelirler. Bu bağıntılarda E , zzE , ν , G , *G yzxz νν = ve zxzy νν = olmak
üzere yedi sabit bulunmaktadır. Bu sabitler arasında;
12
)1(2 ν+=
EG zz
zxyz
EEνν
= (2.22)
bağıntıları vardır. Dolayısıyla enine izotropik malzemede beş bağımsız sabit vardır.
2.2 İZOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ
Yüzeysel taşıyıcı sistemler, kalınlıklarının ortasından geçen ve orta yüzey olarak
isimlendirilen yüzey ve bu yüzeyin her noktasında kalınlığın verilmesi ile tanımlanır.
Yüzeysel taşıyıcı sistemlerde kalınlık diğer iki boyutunun yanında küçüktür.
Plakta orta yüzey bir düzlemdir. Plak dış yükler etkisiyle eğildikten sonra orta
düzlemin meydana getirdiği yüzeye elastik yüzey adı verilir. Bu kısımda sabit
kalınlıklı izotropik plak denklemleri çıkarılacaktır. Plak denklemleri çıkartılırken;
orta düzleme dik düzlemlerin, şekil değiştirmeden sonrada düzlem kalıp elastik
yüzeye dik olacakları kabul edilecektir. Bu hipotez çubuklarda kullanılan Bernouilli-
Navier hipotezine karşı gelir ve Kirchoff-Love hipotezi olarak isimlendirilir.
Bir plağın orta düzlemi xy eksen takımı ile belirlensin; şekil 2.1 Sabit kalınlıklı bir
plakta plak malzemesi 2/hz ±= düzlemleri arasında bulunacaktır. Plak içindeki
herhangi bir noktanın ortalama düzleme olan uzaklığı z ile gösterelim.
x
yz
h/2h/2
Şekil 2.1: Sabit Kalınlıklı Plak ve Koordinat Eksenleri
Orta düzlem üzerinde bulunan bir A noktası yer değiştirme sonucunda, Şekil 2.2’ de
görüldüğü gibi 'A noktasına gelsin. A noktasının x ve y doğrultularında yer
değiştirmeleri ihmal edilerek wAA =' ve ),( yxww = kabul edilecektir.
13
y
x
C
C'A'
A0z
Şekil 2.2: Orta Düzlem Üzerindeki Bir A Noktasının Yer Değiştirmesi
Elastik yüzeyi A ’ noktasından geçen ve zx düzlemine paralel bir düzlemle keselim.
Şekil 2.2 de görülen arakesit C eğrisinin eğriliği;
2
21xw
rx ∂∂
−= (2.23)
dir. İkinci olarak elastik yüzeyi A ’ noktasından geçen ve zy düzlemine paralel bir
düzlemle keselim. Şekil 2.2 de görülen arakesit 'C eğrisinin eğriliği;
2
21yw
ry ∂∂
−= (2.24)
dir. ),( yxww = fonksiyonunun karışık türevi yüzeyin x ve y eksenlerine göre
burulması olarak tanımlanır ve buna ait eğrilik yarıçapı xyr aşağıda verilmeketedir.
yx
wrxy ∂∂
∂−=
21 (2.25)
Plaktan çıkarılan sonsuz küçük bir eleman üzerindeki gerilmeler Şekil 2.3’ de
görülmektedir.
14
x
y
z
h/2
σyτyz
τyx
h/2
dx
τxz
τxy σx
Orta Düzlemdy
dzz
Şekil 2.3: Sonsuz Küçük Eleman
Sonsuz küçük eleman üzerindeki gerilmelerin oluşturduğu birim uzunluğa gelen
eğilme momentleri xM , yM , burulma momentleri xyM , yxM ve kesme kuvvetleri
xQ , yQ ise aşağıda verilen şekilde yazılabilir.
∫−
=2/
2/
h
hxx zdzM σ ∫
−
=2/
2/
h
hyy zdzM σ ∫
−
−=2/
2/
h
hxyxy zdzM τ
∫−
=2/
2/
h
hyxyx zdzM τ ∫
−
=2/
2/
h
hxzx dzQ τ ∫
−
=2/
2/
h
hyzy dzQ τ (2.26)
x
z
0
52°
52°
yr d
z
ϕ
zh/2
h/2
1
Şekil 2.4: Düzlem Kesitin Deformasyonu
15
Bernoulli-Navier hipotezi geçerli olduğundan y doğrultusundaki birim uzama Şekil
2.4’ te görülen birim genişlikte alınan bir eleman üzerinde yazılan bağıntıdan
2
2)(ywz
rz
drdrdzr
yy
yyy ∂
∂−==
−+=
ϕϕϕ
ε (2.27)
elde edilir. Aynı şekilde x doğrultusunda birim genişlikte alınan bir elemanda
2
2)(xwz
rz
drdrdzr
xx
xxx ∂
∂−==
−+=
ϕϕϕ
ε (2.28)
yazılır. İzotropik cisimler için yazılan Hooke yasalarında şekil değiştirmeler yerine
w cinsinden değerleri yerlerine konulduğunda
)(1
.)(1 2
2
2
2
22 yw
xwzEE
yxx ∂∂
+∂∂
−−=+
−= ν
ννεε
νσ
)(1
.)(1 2
2
2
2
22 xw
ywzEE
xyy ∂∂
+∂∂
−−=+
−= ν
ννεε
νσ
yxwGzG xyxy ∂∂
∂−==
2
2γτ (2.29)
bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılar (2.26) eşitliklerinde yerlerine konulup integraller
alındığında aşağıda verilen eşitlikler elde edilirler.
)( 2
2
2
2
yw
xwDM x ∂
∂+
∂∂
−= ν
)( 2
2
2
2
xw
ywDM y ∂
∂+
∂∂
−= ν
yxwDMM yxxy ∂∂
∂−=−=
2
)1( ν (2.30)
Burada )1(12 2
3
ν−=
EhD dir.
Plak Denge Denklemleri: Plak üzerinde alınan sonsuz küçük bir eleman Şekil 2.5’ te
gösterilmiştir.
16
Şekil 2.5:Sonsuz Küçük Plak Elemanının Dengesi
Şekil 2.5’de görülen elemanın z eksenine göre izdüşüm denge denklemi
yazıldığında
0),()()( =+−∂
∂++−
∂∂
+ dxdyyxpdxQdxdyy
QQdyQdydx
xQ
Q yy
yxx
x
0),( =+∂
∂+
∂∂
yxpy
Qx
Q yx (2.31)
denklemi elde edilir. Aynı elemana etkiyen kuvvetlerin sıra ile x ve y eksenlerine
paralel kenarlarına göre moment denge denklemleri yazıldığında;
+∂
∂++−
∂
∂+− dydx
xM
MdyMdxdyy
MMdxM xy
xyxyy
yy )()(
17
02
),()( =+∂
∂++
dydxdyyxpdydxdyy
QQ y
y
−−∂
∂++−
∂∂
+ dxMdxdyy
MMdyMdydx
xM
M yxyx
yxxx
x )()(
02
),()( =−∂∂
+−dxdxdyyxpdydxdx
xQ
Q xx (2.32)
eşitlikleri elde edilir. Bulunan bu eşitliklerde ikinci mertebe terimler ihmal
edildiğinde aşağıda verilen denklemler bulunur.
0=+∂
∂−
∂
∂y
yxy Qy
Mx
M (2.33)
0=−∂
∂+
∂∂
xyxx Q
yM
xM
(2.34)
Denge denklemlerinden elde edilen bu iki denklem ile daha önce yine denge
denklemlerinden elde edilen (2.31) denklemleri arasında, Mxy=-Myx olduğu göz
önüne alınarak xQ ve yQ yok edildiğinde izotropik plaklar için aşağıda verilen
diferansiyel denklem elde edilir.
Dyxp
yw
yxw
xw ),(2 4
4
22
4
4
4
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (2.35)
Kesme kuvvetleri xQ ve yQ ifadeleri için (2.33) ve (2.34) denklemlerinde momenti
w cinsinden değerleri konulduğunda aşağıda verilen bağıntılar elde edilir.
)( 2
3
3
3
yxw
ywD
yM
xM
Q yxyy ∂∂
∂+
∂∂
−=∂
∂+
∂
∂−= (2.36)
)( 2
3
3
3
yxw
xwD
xM
yM
Q xyxx ∂∂
∂+
∂∂
−=∂∂
+∂
∂= (2.37)
Plak Sınır Şartları:
a)Ankastre Mesnet; 0=x da bir ankastre mesnet düşünelim. Şekil 2.6’ da ankastre
olarak mesnetlenmiş bir plak görülmektedir. Ankastre mesnette çökme ve dönme
olmayacağı için ankastre mesnette sınır şartları
18
00=
=xw 0
0
=∂∂
=xxw (2.38)
dır. Ayrıca bütün mesnet boyunca xw ∂∂ / olduğundan; 0/2 =∂∂∂ yxw olur.
Dolayısıyla ankastre mesnette
0)1(2
=∂∂
∂−=
yxwDM xy ν (2.39)
dır. Yani ankastre mesnette burulma momenti meydana gelmez.
z
x
y
Şekil 2.6: 0=x Noktasında Ankastre Mesnetlenmiş Plak
b)Sabit Mesnet; 0=x da bir sabit mesnet düşünelim; şekil 2.7 0=x noktasında
sabit mesnetlenmiş plak. Sabit mesnette çökme ve moment sıfır olacağından dolayı;
00=
=xw 0)( 2
2
2
2
0=
∂∂
+∂∂
−== y
wxwDM
xx ν (2.40)
z
x
y
Şekil 2.7: 0=x Noktasında Sabit Mesnetlenmiş Plak
dır. 0=x kenarı boyunca bütün mesnet boyunca 0/ =∂∂ yw olduğundan;
0/ 22 =∂∂ yw olur. Dolayısıyla sabit mesnette;
00=
=xw 02
2
=∂∂
xw (2.41)
şartları yazılır. Aynı şekilde 0=y kenarı sabit mesnet olduğunda
19
00=
=yw 0)( 2
2
2
2
0=
∂∂
+∂∂
−== x
wywDM
yy ν (2.42)
şartları yerine aşağıda yazılan şartlar kullanılır.
00=
=yw 02
2
=∂∂
yw (2.43)
c) Serbest Kenar; Lx = Noktasında serbest bir kenar düşünelim;
z
x
y
L
Şekil 2.8: Lx = Noktasında Serbest Kenar
Serbest kenarda çökme hariç diğer değerler yani moment, kesme kuvveti ve burulma
momenti sıfır olur.
0==axxM , 0=
=axxyM , 0==axxQ (2.44)
Üç sınır şartı fazla olduğundan dolayı xyM ve xQ birleştirilir. Birleştirmek için şekil
2.9 da görüldüğü gibi =x sabit kenarında xyM değişimini göz önüne alalılm. Sonsuz
küçük dy uzunluğuna etkiyen dyM xy momenti dy uzunluğunun kenarlarında
xyxy MdydyM =/ şeklinde iki kuvvete ayrılır. Sonsuz küçük dy uzuluğunun yanında
bulunan yine sonsuz küçük dy uzunluğunda ise burulma momentinin değeri
dyyMM xyxy )/( ∂∂+ dir. Bu moment ise iki kuvvete ayrıldığında her bir kuvvetin
şiddeti yMM xyxy ∂∂+ / dir. Kuvvet çiftlerinin aynı noktaya etkiyen kuvvetleri
toplandığında yM xy ∂∂ / kuvveti elde edilir. Bu kuvvet xQ ile birleştirildiğinde
20
Şekil 2.9: =x Sabit Kenarında xyM Değişimi
yM
QV xyxx ∂
∂−= (2.45)
elde edilir. Bu şekilde Burulma momenti ile kesme kuvveti birleştirilmiş olmakta ve
ax = da sınır şartları olarak
0==axxM , 0=
=axxV (2.46)
eşitlikleri kullanılacaktır. Bu şartlar w çökme fonksiyonu cinsinden
0)2( 2
3
3
3
=∂∂∂
−+∂∂
=axyxw
xw ν 02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
=axyw
xw ν (2.47)
şeklinde yazılır. Aynı durum by = kenarı içinde geçerlidir. Bu kenarda;
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
∂−+
∂∂
−=∂
+=yx
wywD
xM
QV yxyy 2
3
3
3
)2( ν (2.48)
olduğundan by = kenarında aşağıda verilen şart yazılır.
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
=byxw
yw ν 0)2( 2
3
3
3
=∂∂
∂−+
∂∂
=byyxw
yw ν (2.49)
2.3 ORTOTROPİK PLAK DENKLEMLERİ
Bir önceki bölümde plak denklemleri, izotropik malzemeden yapılmış plaklar için
çıkartıldı. Plaklar, genellikle, her yönde farklı özellikler gösteren anizotrop
malzemelerden yapılır. İki doğrultuda farklı özellikler gösteren betonarme plaklar,
nervürlü plaklar, dalgalı sac plaklar, taşıyıcı ızgaralar gibi sistemler ortotrop
malzemeler olarak modellenir. Ortotropik plak denklemleri ise ortotrop malzemeler
için yazılan Hooke yasaları kullanılarak izotropik plak için izlenen yol aynen
21
izlenerek çıkartılır. İzotropik plaklarda, geometrik esaslardan ve denge
denklemlerinden yazılan bağıntılar değişmeyeceğinden, işlemler sırasında onlar
aynen kullanılır.
Hesaplarda, üçüncü doğrultuda gerilme ve şekil değişikliği olmadığı kabul
edildiğinden; ortotropik malzemelerde, düzlem gerilme haline ait Hooke yasaları
(2.19) den aşağıda verilen şekilde yazılır.
yxyxxx EE εεσ += *
yxxxyy EE εεσ *+=
xyxyxy G γτ = (2.50)
Burada; daha önce (2.20) da belirtildiği gibi;
yxxy
xxx
EE
νν−=
1*
yxxy
yyy
EE
νν−=
1*
yxxy
yyxy
yxxy
xxyxyxxy
EEEE
ννν
ννν
−=
−==
11 (2.51)
dir. Malzeme sabitlerinden xxE ve yyE değerleri malzemenin sıra ile x ve y
doğrultularındaki elastisite modulleri; xyG malzemenin xy düzlemindeki kayma
modulüdür. ),,,( zyxjiij =ν değerleri ise daha önceden belirtildiği gibi i
doğrultusunda gerilme uygulandığında j doğrultusundaki enine birim uzamalar için
Poisson oranıdır; yani ijij εεν /−= dir.
İzotropik plaklar için elde edilen
2
2
xwzx ∂
∂−=ε 2
2
ywzy ∂
∂−=ε
yxwzxy ∂∂
∂−=
2
2γ (2.52)
bağıntıları geometrik esaslardan hareket edilerek çıkartıldığı için ortotropik plaklar
için de geçerlidir. Bu bağıntılar (2.50) denklemlerinde yerlerine konulduğunda
)( 2
2
2
2*
ywE
xwEz xyxx ∂
∂+
∂∂
−=σ
22
)( 2
2
2
2*
xwE
ywEz xyyy ∂
∂+
∂∂
−=σ
yxwGzxy ∂∂
∂−=
2
2τ (2.53)
bağıntıları elde edilir. Moment ifadeleri ise yukarıda verilen gerilmeler z ile çarpılıp
plak kalınlığı boyunca integre edilerek;
)( 2
2
12
22/
2/ ywD
xwDzdzM
h
hxxx ∂
∂+
∂∂
−== ∫−
σ
)( 2
2
12
22/
2/ xwD
ywDzdzM
h
hyyy ∂
∂+
∂∂
−== ∫−
σ
yxwDzdzM
h
hxyxyxy ∂∂∂
=−= ∫−
22/
2/
2τ (2.54)
şeklinde elde edilirler. Burada xD , yD , xyD ve xyG ile gösterilen büyüklükler eğilme
ve burulma rijitliği olup aşağıda verilen şekilde tanımlanmıştır.
12
*3x
xEh
D = 12
*3y
y
EhD =
12
3
1xyEh
D = 12
3GhDxy = (2.55)
Yukarıda (2.54) ile verilen moment ifadeleri daha önce elde edilen ve (2.31),(2.33)
ve (2.34) denklemi ile verilen
),(22
2
2
2
2
yxpyx
MyM
xM xyyx −=
∂∂
∂−
∂
∂+
∂∂
(2.56)
denge denklemlerinde yerlerine konulduğunda ortotropik plak diferansiyel denklemi
aşağıda verilen şekilde elde edilir.
),(2 4
4
22
4
4
4
yxpywD
yxwH
xwD yx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (2.57)
Burada:
xyDDH 21 += (2.58)
dir. Kesme kuvvetlerinin çökmeye bağlı ifadeleri daha önce denge denklemleri ile
elde edilen (2.33) ve (2.34)
23
yM
xM
Q xyxx ∂
∂+
∂∂
=
yM
xM
Q yxyy ∂
∂+
∂
∂−= (2.59)
ifadeleri kullanılarak aşağıda verilen şekilde bulunur.
)( 2
2
2
2
ywH
xwDQ x
xx ∂
∂+
∂∂
∂∂
−=
)( 2
2
2
2
xwH
ywDQ y
yy ∂
∂+
∂∂
∂∂
−= (2.60)
ÇEŞİTLİ ÖZEL DURUMLAR İÇİN PLAK RİJİTLİKLERİNİN HESABI
Rijitlikler için verilen (2.55) ifadeleri malzeme davranışlarının doğasından dolayı
çeşitli farklılıklar gösterirler. Bunlar için uygulamada sıkça kullanılan çeşitli
durumlara ait rijitlikler aşağıdaki gibidir.
Betonarme Plaklar: sE çelik çubuğun cE ise betonun Young Modülü, cν betonun
poisson oranı olmak üzere cs EEn /= olarak ifade edilirse (2.51) ifadelerinden
**yx
xyc
EE
E=ν (2.61)
olarak elde edilir.
y
x
z
Şekil 2.10: x ve y Doğrultusunda Çelik Donatılar ile Donatılmış Betonarme
Döşeme Plağı.
Şekil 2.10’ da görüldüğü gibi x ve y yönünde çift yönlü olarak donatılmış
betonarme plakta şu kabuller yapılır;
24
[ ]sxcxc
cx InI
ED )1(
1 2 −+−
=ν
[ ]sycyc
cy InI
ED )1(
1 2 −+−
=ν
yxc DDD ν=1
yxc
xy DDD2
1 ν−= (2.62)
Bu denklemlerde cxI plak elemanının x doğrultusundaki atalet momenti, sxI
sabitx = bölgesindeki tarafsız eksen civarında verilen donatının atalet momenti, cyI
ve syI ise sabity = bölgesindeki atalet momentleridir.
xyD için verilen ifadelerle birlikte;
yx DDH = (2.63)
olarak hesaplanır ve diferansiyel denklem;
),(2 4
4
22
4
4
4
yxpywD
yxwDD
xwD yyxx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (2.64)
halini alır.
Yeni bir değişken olarak 41 / yx DDyy = ele alınarak (2.35) denklemi formuna
dönüştürülebilir.
Plywood: Üç veya beş tabakanın biribirlerine yapıştırılması ile elde edilen plaklardır.
Plak x aksı yüzey tanelerine paralel olması halinde Tablo 1 ile verilen sabitleri
kullanabiliriz.
25
Tablo 2.1 Plywood Plak İçin Elastik Sabitler. Birimler: GPa
Malzeme 'xE '
yE ''E G
Akçaağacı, 5-kat…………………….
Afara, 3-kat………………………….
Gabon (Okoumé), 3-kat……………..
Huş ağacı (Birch), 3-ve 5-kat……….
Bakalit mambranlar ile huş ağacı (Birch)
12.893
13.514
8.825
13.790
11.721
4.137
1.137
0.758
1.151
5.860
0.503
0.296
0.096
0.530
0.420
1.096
0.758
0.586
1.172
0.689
Dalgalı Sac: Kalınlığı h, elastisite modülü E ve Poisson oranı ν olan dalgalı sac
elemanın formu s bir yarım dalga yayının uzunluğu olmak üzere aşağıdaki ifadeler
ile belirlenir.
x
z
0
y
x
f
Şekil 2.11: Dalgalı Sac Plak
lxfz πsin= (2.65)
)1(12 2
3
ν−=
EhslDx
EIDy =
01 ≈D
26
)1(12
823
ν+==
Ehl
DH xy (2.66)
Burada;
)4
1( 2
22
lfls π
+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=
2
2
)2
(5,21
81,012
lf
hfI (2.67)
Tek Doğrultuda Eşit Aralıklı Takviye Levhaları ile Donatılmış Plak:
a1
hx
x0
y
z
Şekil 2.12: Eşit Aralıklı Takviye Levhaları ile Donatılmış Plak
Plak orta düzlemine göre simetrik olarak donatılmış bir plak şekil 2.12’ de
gösterilmiştir. Bu plakta;
)1(12 2
3
ν−==
EhHDx
1
'
2
3
)1(12 aIEEhD y
y +−
=ν
(2.68)
27
Elastisite modülü E ve poisson oranı ν olan plak elemanı ile Young modülü 'yE
olan ve atalet momenti I olan takviye levhası, plak kesitinin orta aksı üzerinde
birlikte alınmıştır.
Eşit Aralıklı İki Takım Takviye Levhaları İle Oluşturulmuş Nervürlü Plak:
Simetrik özellikleri sağlayan plakta;
1
1'
2
3
)1(12 bIEEhD x
x +−
=ν
1
2'
2
3
)1(12 aIEEhD y
y +−
=ν
)1(12 2
3
ν−=
EhH (2.69)
1I takviye levhasının atalet momenti, 1b x doğrultusundaki takviye levhaları
arasındaki net açıklık, 2I ve 1a y doğrultusundaki değerlerdir.
Tek Taraflı Eşit Aralıklı Nervürlerle Donatılmış Plak:
a1
hx
x0
y
zH
t
Şekil 2.13: Tek Taraflı Eşit Aralıklı Nervürlerle Donatılmış Plak
Şekil 2.13 te gösterildiği gibi bir plak elemanında, E plağı oluşturan elemanın
elastisite modülü, I 1a genişlikli T kesitin atalet momenti, Hh /=α olmak üzere
28
)(12 3
1
31
ttahEaDx α+−
=
1α
EIDy =
01 =D (2.70)
Formüllerin karşılıklı etkileşimleri ihmal edilerek burulma rijitliği son olarak şu
şekilde hesaplanır;
1
'
2aCDD xyxy += (2.71)
Burada 'xyD nervürsüz plağın burulma rijitliği C ise bir nervürün burulma rijitliğidir.
Betonarme Izgara Sistem:
x
y
b
a
b1
a1
(a) (b)
Mxyb1
Myxa 1
Şekil 2.14: Betonarme Izgara Sistem
Bu ızgara sistem x ve y doğrultularına paralel olarak konmuş ve kesişme yerlerinde
biribirlerine rijit olarak tesbit edilmiş iki kiriş sisteminden ibarettir. Kirişler uçlarında
mesnetlenmiş ve yük xy düzlemine dik olarak tatbik edilmiştir. Kirişler arasındaki
1a ve 1b uzaklıkları ızgaranın a ve b boylarına göre küçük ve kirişlerden her
birinin x eksenine paralel olan eğilme rijitliği 1B , y eksenine paralel olan eğilme
rijitliği 2B , ise;
1
1
bBDx =
1
2
aBDy = (2.72)
29
Konulabilir. Bu halde 1D değeri sıfırdır ve xyD değeri x eksenine paralel olan
eğilme rijitliği 1C , y eksenine paralel olan eğilme rijitliği 2C olarak ifade edilebilir.
Bu durumda şekil 2.10b’ nin burulmasını gözönüne alarak burulma momentleri ile
yxw ∂∂∂ /2 burulması arasında şu bağıntı yazılabilir;
yx
wbCM xy ∂∂
∂=
2
1
1 yx
waCM yx ∂∂
∂−=
2
1
2 (2.73)
Bu ifadeler (2.56) denkleminde yerine konularak şu denklem elde edilir;
),()( 4
4
1
222
4
1
2
1
14
4
1
1 yxpyw
aB
yxw
aC
bC
xw
bB
=∂∂
+∂∂
∂++
∂∂ (2.74)
30
3 BÖLÜM 3
ANALİTİK ÇÖZÜMLER
Ortotropik plaklara ait analitik çözümler çok azdır. Bunların bir kısmı mesnetlerden
yüklenen plaklara ait çözümlerdir. Bu tip çözümler tersden gidilerek çökme
fonksiyonu için belirli çok terimli kabulü yapılarak bunlara karşı gelen yükler
bulunur. İkinci grup çözümler ise izotropik basit mesnetli dikdörtgen plaklarda
kullanılan Navier çözümünün basit mesnetli ortotropik plaklara uygulanmasıdır.
Üçüncü grup çözümler ise Navier çözümünde olduğu gibi izotropik plakalara
uygulanan Levy çözümünün ortotrpik plaklarada uygulanmasıdır.
3.1 BASİT ÇOK TERİMLİ ÇÖZÜMLER
0=ΔΔw homojen denkleminin çözümünün fiziksel anlamı, yalnız kenar
kuvvetlerinin etkisindeki bir plağın ),( yxwh sehimlerinin bulunmasıdır. Problemin
türüne göre yer değiştirme fonksiyonu seçilmelidir.
a) sabitw = ;
Cw = olsun
w=C
Şekil 3.1: Plak Ötelenmesi Hareketi
Bu çözümler plak ötelenmesi hareketidir. xCwx .= , yCwy .= dir. 0'' == yx ww
Herhangi bir elastik yüzey meydana gelmez.
31
b) xCw .=
xCw .= olsun
w=C
ϕX
Şekil 3.2: Eğik Ötelenme Hareketi
Cwx =' , 0' =yw
0'' =xxw , 0'' =yyw , 0'' =xyw (3.1)
Bütün momentler sıfırdır. Bu da plak ötelenmesi hareketidir.
c) 2.xCw =
Şekil 3.3: Dönme Hareketi
Cxwx 2' = , 0' =yw
Cwxx 2'' = , 0'' =yyw
0''' =xxxw , 0''' =yyyw
0'' =xyw , 0''' =xxyw (3.2)
Bu çözüm 0=x kenarında ankaster ve ax = ucunda üniform bir Mo momenti
etkisinde olan sonsuz uzun konsol bir plağı gösterir.
a
M 0
z
x
32
)( 2
2
2
2
ywD
xwDM xyxx ∂
∂+
∂∂
−=
CDM xx 2−=
0MM x =
xDM
C2
0−=
20
2x
DM
wx
−=
)( 2
2
2
2
xwD
ywDM xyyy ∂
∂+
∂∂
−=
CDM xyy 2−=
0===== xyyxyx MVVQQ (3.3)
d) ).( 22 yxCw +=
Plakın tüm kenarlarına üniform 0M momentinin uygulanması halidir. Üniform
eğilme denir. Elastik yüzey dönel bir paraboldür.
Şekil 3.4: Üniform Eğilme
)( 22 yxCw +=
Cxwx 2' = , Cywy 2' =
Cwxx 2'' = , Cwyy 2'' =
0''' =xxxw , 0''' =yyyw
0''' =xxyw , 0''' =yyxw
M0M0
M0
M0
y
x
33
)22( CDCDM xyxx +−=
)22( CDCDM xyyy +−=
0===== xyyxyx MVVQQ
)22( yx
x
DDM
C+
−=
)()22(
220 yxDD
Mw
yx
++
−= (3.4)
e) yxCw ..=
Basit burulma durumudur. Asal eğilme momentleri xyn MM ±= olur.
Dörtkenarından sabit xyM momentinin etkisinde bir dikdörtgen plak ele alınırsa;
Şekil 3.5: Basit Burulma Durumunda Plak
Cywx =' , Cxwy =
'
0'' =xxw , 0'' =yyw
0''' =xxxw , 0''' =yyyw
0''' =xxyw , 0''' =yyxw
0== yx MM
CGyx
wGMM xyxyyxxy 222
−=∂∂
∂−=−=
3
)1(122 Eh
MG
MC xy
xy
xy μ+−=−=
y z
x
2a
2b
Rx=-ay=b
R
x=ay=-b
x=-ay=-b
x=ay=b
R
R
34
xyEh
Mw xy
3
)1(12 μ+−=
xyMR 2= (3.5)
3.2 NAVİER ÇÖZÜMÜ
Basit mesnetli dikdörtgen plaklara uygulanan bu çözümde dış yük ve w çökme
fonksiyonu çift trigonometrik serilere açılır. w çökme fonksiyonu sınır şartlarını
önceden sağladığı için diferansiyel denklemi sağlayacak şekilde çift katlı Fourier
serisinin terimleri bulunur.
z
x
y
a
b
Şekil 3.6: Dört Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Plak
Kenarları a , b olan ve bütün kenarların sabit olarak mesnetlenmiş bir dikdörtgen
plagı göz önüne alalım; şekil 2.15 Plak dört kenarındaki mesnetler sabit mesnet
olduğundan sınır şartları
0=x ve ax = da 02
2
=∂∂
xw
0=y ve ay = da 02
2
=∂∂
yw (3.6)
dır. Plağın ),( yxp dış yükünü
∑∑∞
=
∞
=
=1 1
sinsin),(m n
mn byn
axmpyxp ππ (3.7)
şeklinde çift katlı Fourier serisine açalım. Burada görülen mnp katsayıları
dxdybyn
axmyxp
abp
a b
mn ∫ ∫=0 0
sinsin),(4 ππ (3.8)
35
şeklinde bulunur. Plağın ),( yxw çökme fonksiyonu ise
∑∑∞
=
∞
=
=1 1
sinsin),(m n
mn byn
axmwyxw ππ (3.9)
şeklinde çift Fourier serisi ile ifade edilsin. w fonksiyonunun x ve y ’ ye göre ikinci
türevleri
∑∑−=byn
axm
amww mnxx
πππ sinsin)( 2''
∑∑−=byn
axm
bnww mnyy
πππ sinsin)( 2'' (3.10)
dir. w fonksiyonunun x ve y ’ ye göre ikinci türevleri de sınır şartların sağlar. w
fonksiyonunun problemin diferansiyel denklemi
),(2 4
4
22
4
4
4
yxpywD
yxwH
xwD yx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (3.11)
sağlatılarak mnw katsayıları bulunacaktır. ),( yxw ve ),( yxp fonksiyonlarının çift
Fourier serisine açılmış hali (2.68) denkleminde yerine konulduğunda aşağıda verilen
sonuç elde edilir.
)2( 4
4
22
22
4
4
yx
mnmn
DbnH
banmD
ammn
pw
++= (3.12)
Dış yükün sabit olması halinde dış yük p ve çökme w ;
∑ ∑∞
=
∞
=
=....5,3,1 ...5,3,1
20 sinsin116
m no b
yna
xmmn
qq ππ
π
∑ ∑∞
=
∞
=
=....5,3,1 ...5,3,1
sinsinm n
mn byn
axmww ππ (3.13)
Şeklinde çift Fourier serisine açıldığında mnw katsayıları aşağıda verilen şekilde elde
edilirler.
)2(
116
4
4
22
22
4
46
yx
omn
DbnH
banmD
ammn
qw
++=
π (3.14)
36
3.3 LEVY YÖNTEMİ
Şekil 3.7’de gösterildiği gibi karşılıklı iki kenarı 0=x da ve ax = da sabit
mesnetlenmiş 2/by ∓= de diğer iki kenarı herhangi bir şekilde mesnetlenmiş olan
ortotropik dikdörtgen plak çözümünü Levy yöntemi ile yaparız.
a
b/2
b/2
x
y
Şekil 3.7: Karşılıklı İki Kenarı Sabit Mesnetlenmiş Ortotropik Dikdörtgen Plak
Bu plak x ’e bağlı üniform olmayan bir yük ile yüklenince daha önceki bölümlerde
gösterilen;
),(2 4
4
22
4
4
4
yxpywD
yxwH
xwD yx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (3.15)
ifadesinin homojen hali;
02 4
4
22
4
4
4
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
yw
Dyx
wH
xw
D hy
hhx (3.16)
halini alır. Bu denklemin genel çözümü şu şekilde seçilir;
⎩⎨⎧
= ∑∞
= )/cos()/sin(
)(1 axm
axmyfw
mmh π
π (3.17)
Buradaki )(yfm fonksiyonunun 2/by ±= deki sınır koşullarını da sağlaması
gerekir. Levy yönteminin tanımında olduğu gibi 0=x da ve ax = da sabit
mesnetlenmiş dikdörtgen plak ele alınırsa (3.17) denklemi;
)sin()(1 a
xmyfwm
mhπ∑
∞
=
= (3.18)
37
olarak elde edilir. Sonuçların aynı zamanda x eksenine paralel sınırları da sağlaması
gerekir. Sonuca ulaşmak için fonksiyonu 2/by ±= deki rastgele seçilmiş olan
mesnetlenme koşullarını da sağlaması gerekir. (3.18) denkleminden ;
0sin)()(21
42
22
4
4
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= ∑
∞
= axmf
am
dyfd
am
dyfd
wm
mmm
hπππ (3.19)
Bu ifade (3.15) ifadesine uygulanırsa;
0)(2)( 4
4
2
224 =+−
dyfd
Ddy
fda
mHfa
mD my
mmx
ππ (3.20)
olur. Karakteristik denklemin kökleri ise;
)(1 24,3,2,1 yx
y
DDHHDa
m−= ∓∓ πλ (3.21)
Böylece homojen denklem çözümü;
∑∞
=
+++=1
4321 sin)( 4321
m
yyyyh a
xmeCeCeCeCw πλλλλ (3.22)
Sinüs serisi şeklinde yüklenen bir ortotropik dikdörtgen plak denkleminde yükleme;
a
xmpxpm
mπsin)(
,..2,1∑∞
=
= (3.23)
şeklindedir. (3.15) ve (3.18) ifadelerinin açılımından;
mm
ym
mx pdy
kdD
dykd
amHk
amD =+− 4
4
2
224 )(2)( ππ (3.24)
olarak elde edilir. Burada 4)/)(/( πmaDpk xmm = tür. Böylece pw ;
a
xmma
DP
wm x
mp
ππ
sin)( 4
1∑∞
=
= (3.25)
Olur. hw ve pw ’ nin birleştirilmesi ile çözüm;
∑∞
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++=
1
44321 sin)(4321
m x
myyyy
axm
ma
Dp
eCeCeCeCw ππ
λλλλ (3.26)
olarak elde edilir. Burada 1C , 2C , 3C ve 4C sınır şartlarının özel çözümü ile elde
edilen integrasyon sabitleridir.
38
4 BÖLÜM 4
SAYISAL ÇÖZÜMLER
Plak denkleminin, çok az sayıda değişik yükler ve geometriler için analitik çözümü
bulunmaktadır. Bulunan analitik çözümlerin önemli bir kısmı seriler ile ifade
edilmektedir. Seriler ile ifade edilen çözümlerde, sayısal sonuçlara varmak bazı
hallerde zor ve/veya uzun olabilir. Bu nedenle birçok yük ve geometri için plak
problemin çözümünde sayısal çözüm yöntemlerine başvurulur.
Bu çalışmada dikdörtgen bölgelerde plak denkleminin çözümünde sayısal çözüm
yöntemlerinden, sonlu farklar yöntemi kullanılacaktır
4.1 SONLU FARKLAR YÖNTEMİ
Sonlu farklar yöntemi, bir problemin analitik çözümünde güçlüklerle
karşılaşıldığında başvurulan sayısal bir yöntemdir. Sonlu fark yönteminde
bilinmeyen fonksiyonun türev değerleri sonlu farklar yardımı ile fonksiyon
değerlerine bağlanarak diferansiyel denklem, cebrik denkleme dönüşür. Elde edilen
cebrik denklem çözülerek bilinmeyen fonksiyonun değerleri belli noktalarda
bulunarak bilinmeyen fonksiyon tablo şeklinde elde edilir.
Bu çalışmada, plak diferansiyel denklemini sonlu farklar yardımı ile cebirsel
denkleme dönüştürülerek plağın çökme fonksiyonu belirli noktalarda bulunacak ve
tablo şeklinde bulunan bu fonksiyondan yine sonlu farklar yardımı ile belirli
noktalarda moment, kesme kuvvetleri ve diğer büyüklükler elde edilecektir.
Bir değişkenli fonksiyonlarda türevlerin fonksiyon değerlerine bağlanması: )(xfy =
eğrisini ve x ekseni üzerinde xΔ aralıklı 2−mx , 1−mx , mx , 1+mx , 2+mx noktaları ile bu
noktalardaki 2−my , 1−my , my , 1+my , 2+my fonksiyon değerlerini göz önüne alalım.
39
Δx Δx Δx Δx
y
m-2 m-1 m m+1 m+2
y
x
m-1 m m+1y y
Şekil 4.1: Tek Boyutta Sonlu Farklar
Şekil 4.1’ de verilen )(xfy = eğrisinin m noktasındaki teğetinin eğimini yani;
mdxdy )/( değeri sonlu farklar cinsinden
mm xy
dxdy )()(
ΔΔ
≅ (4.1)
şeklinde yazılabilir. mxy )/( ΔΔ değeri sıra ile ileri, geri ve ortalama sonlu farklar
cinsinden aşağıda verilen şekilde yazılabilir.
mmm
xy
xyy
)(1
ΔΔ
=Δ−+ m
mm
xy
xyy
)(1
ΔΔ
=Δ− − m
mm
xy
xyy
)(2
11
ΔΔ
=Δ− −+ (4.2)
Yukarıda ortalama farklara ait formüllerden ikinci, üçüncü ve dördüncü türevler
aşağıdaki verilen şekilde elde edilirler.
mmm xy
xdxdy
dxd
dxyd )()()( 2
2
ΔΔ
ΔΔ
≅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ΔΔ
−ΔΔ
Δ=
ΔΔ
ΔΔ
−+ 11 )()(1)( mmm xy
xy
xxy
x
21111
2
2 2)(1)(
xyyy
xyy
xyy
xxy mmmmmmm
m Δ−−
=Δ−
−Δ−
Δ=
ΔΔ −+−+
40
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Δ+−
−Δ
+−Δ
=ΔΔ
ΔΔ −−++
221
212
2
2 222
1)(x
yyyx
yyyxx
yx
mmmmmmm
32112
3
3
222
)(x
yyyyxy mmmm
m Δ−+−
=ΔΔ −−++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
+ΔΔ
−ΔΔ
Δ=
ΔΔ
ΔΔ
−+ 12
2
2
2
12
2
22
2
2
2
)()(2)(1)( mmmm xy
xy
xy
xxy
xy
42112
4
4 464)(
xyyyyy
xy mmmmm
m Δ+−+−
=ΔΔ −−++ (4.3)
İki değişkenli fonksiyonlarda türevlerin fonksiyon değerlerine bağlanması: İki
değişkenli fonksiyonlarda kısmi türevler alınırken, değişkenlerden biri değişirken
diğer değişken sabit kabul edileceğinden, tek bir değişkene göre türevler için elde
edilen bağıntılar kısmi türevler için de geçerlidir
Δx
y
x
m-2 m-1 m m+1 m+2Δx
Δy
Δy
0
Δx Δx
0
Δy
Δy
Δy
Δy
n-2
n-1
n
n+1
n+2
x
y
Şekil 4.2: Plaklarda Sonlu Farklar Ağı
),( yxww = şeklinde iki değişkenli fonksiyonu göz önüne alalım. Fonksiyonun
değişim bölgesini şekil 4.2’ de görüldüğü gibi, bir ağ biçiminde xΔ ve yΔ
genişliğinde dilimlere ayıralım. Ağın ),( nm ile tanımlanan noktasındaki w
fonksiyonun ikinci, üçüncü ve dördüncü türev bağıntıları daha önce tek değişkenli
fonksiyonlar için elde edilen ikinci, üçüncü ve dördüncü türev bağıntılarından
yararlanarak
2,1,,1
,2
2
)(2
)(x
wwwxw nmnmnm
nm Δ
+−≅
∂∂ −+
41
21,,1,
,2
2
)(2
)(y
wwwyw nmnmnm
nm Δ
+−≅
∂∂ −+
3,2,1,1,2
,3
3
)(222
)(x
wwwwxw nmnmnmnm
nm Δ
−+−≅
∂∂ −−++
32,1,1,2,
,3
3
)(222
)(y
wwwwyw nmnmnmnm
nm Δ
−+−≅
∂∂ −−++
4,2,1,,1,2
4
4
)(464
)(x
wwwwwxw nmnmnmnmnm
m Δ
+−+−≅
∂∂ ++−−
42,1,,1,2,
4
4
)(464
)(y
wwwwwyw nmnmnmnmnm
m Δ
+−+−≅
∂∂ ++−− (4.4)
şeklinde bulunur. Karışık türev ifadelerinin bulunuşu ise aşağıda verilmiştir.
Ortalama fark bağıntısına göre;
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−∂∂
Δ=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂−+ 1,1,,,
2
)()(2
1)()( nmnmnmnm xw
xw
yxw
yw
xyw
yx
wwwwxy
w nmnmnmnmnm ΔΔ
+−−=
∂∂∂ −−−++−++
4)( 1,11,11,11,1
,
2
(4.5)
İleriye doğru fark bağıntısına göre;
yx
wwwwxy
w nmnmnmnmnm ΔΔ
+−−=
∂∂∂ ++++ ,,11,1,1
,
2
)( (4.6)
Geriye doğru fark bağıntısına göre;
yxwwww
xyw nmnmnmnm
nm ΔΔ
+−−=
∂∂∂ −−−− 1,11,,1,
,
2
)( (4.7)
Üçüncü mertebeden karışık türevler ise;
21,1,11,11,1,11,1
,2
3
))((222
)(yx
wwwwwwyxw nmnmnmnmnmnm
nm ΔΔ
−+−+−=
∂∂∂ −−−+−−++++
21,11,1,11,11,1,1
,2
3
))((222
)(xy
wwwwwwxyw nmnmnmnmnmnm
nm ΔΔ
−+−+−=
∂∂∂ −−−−++−+++ (4.8)
42
Dördüncü mertebeden karışık türevler ise;
+ΔΔ
−+−−−=
∂∂∂ −++−+++
22,1,,11,11,1,1
,22
4
)()(2422
)(yx
wwwwwwyxw nmnmnmnmnmnm
nm
221,11,1,1
)()(2
yxwww nmnmnm
ΔΔ
+−+ −−−−+ (4.9)
Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayılarını hatırlamak ve bazı
uygulamalara yardımcı olması için Şekil 4.3’te verilen şablonlar kullanılır.
Şablonlarda tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türevler) ilgili eksenin yönü
önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde
gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların
simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde yxw ∂∂∂ /2 ve 33 / xw ∂∂ türevinde
gösterilmiştir.
43
Şekil 4.3: Türev Fonksiyonları Katsayılar Şablonu
4.2 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE FORMÜLE EDİLMESİ
Ortotropik plak diferansiyel denklemi (2.57) eşitliği aşağıda tekrar yazılmıştır.
),(2 4
4
22
4
4
4
yxpywD
yxwH
xwD yx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (4.10)
44
Bu ifade de bulunan türev değerleri yerine w fonksiyonun değerleri (4.4) ve (4.9)
ifadelerini kullanarak yazıldığında
+Δ
+−+− ++−−4
,2,1,,1,2
)(464
xwwwww
D nmnmnmnmnmx
+ΔΔ
+++−+ −−++
))(()(24
2 221,,1,11,,
yxwwwww
H nmnmnmnmnm
+ΔΔ
++++ −−−++−++
))((2 22
1,11,11,11,1
yxwwww
H nmnmnmnm
nmnmnmnmnmnm
y py
wwwwwD ,4
2,1,,1,2,
)(464
=Δ
+−+−+ ++−−
),(, mmnm yxpp = (4.11)
elde edilir. İfadeler nmw , ’ e göre düzenlenip ve α=ΔΔ yx / ile gösterilir ise
ortotropik dikdörtgen plaklar için, plak denkleminin sonlu farklarla ifadesi aşağıda
verilen şekildedir.
+Δ
−Δ
−Δ
−−−44
,144
,144
,2
)(4
)(4
)( ααα yw
Hy
wD
yw
D nmnmx
nmx
+Δ
−Δ
−Δ
+Δ
+Δ
+ ++24
,144
,14
,24
,44
,
)(4
)(4
)(6
)(8
)(6
αααα yw
Hy
wD
yw
Dyw
Hyw
D nmnmx
nmy
nmnmx
−Δ
−Δ
−Δ
−Δ
+Δ
+ −++++41,
241,
41,
42,
44,2
)(4
)(4
)(4
)()( yw
Dy
wH
yw
Dy
wD
yw
D nmy
nmnmy
nmy
nmx αα
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
+Δ
− +−−+++−−24
1,124
1,124
1,142,
241,
)(2
)(2
)(2
)()(4
αααα yw
Hy
wH
yw
Hy
wD
yw
H nmnmnmnmy
nm
nmnm p
yw
H ,241,1
)(2 =
Δ+ −−
α (4.12)
Bu ifadeleri nmw , parantezine alarak aşağıda gösterildiği gibi daha düzenli bir şekile
getirebiliriz.
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ −− 2444,144,2 )(
4)(4
)( ααα yH
yD
wyD
w xnm
xnm
45
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+Δ
+Δ
+ + 2444,142444, )(4
)(4
)(6
)(8
)(6
αααα yH
yD
wyD
yH
yD
w xnm
yxnm
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+ +++ 2441,42,44,2 )(4
)(4
)()( αα yH
yD
wy
Dw
yD
w ynm
ynm
xnm
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ
−++−− 241,142,2441, )(
2)()(
4)(
4αα y
Hwy
Dw
yH
yD
w nmy
nmy
nm
nmnmnmnm py
Hwy
Hwy
Hw ,241,1241,1241,1 )(2
)(2
)(2
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ −−+−−+ ααα
(4.13)
nmw , katsayılarını kolaylık olması açısından farklı ifadelerle gösterebiliriz.
JyDx =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ 44)( α
Ty
Hy
Dx =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ−
2444 )(4
)(4
αα
SyD
yH
yD yx =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+Δ
+Δ 42444 )(
6)(
8)(
6αα
Zy
Dy =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ 4)(
Vy
HyDy =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ
−244 )(
4)(
4α
Ay
H=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ 24)(
2α
(4.14)
Bu katsayılar ile oluşturulan denklem aşağıdaki hali alır.
++++++++ −++++−− VwVwZwJwTwSwTwJw nmnmnmnmnmnmnmnm 1,,1,,2,,,2,1,,1,2
nmnmnmnmnmnm pAwAwAwAwZw ,1,,11,,11,,11,,12,, =+++++ −−+−−+++− (4.15)
Bu katsayılara göre ortotropik plaklar için sonlu farklar ağı aşağıda gösterilmiştir.
46
Y
X0
merkez noktası
Δx=α(Δy)
m,n=pΔx
Δy
Z
A V
J T S T J
Z
A
AA V
Şekil 4.4: Ortotrop Plaklar İçin Sonlu Farklar Katsayılar Şeması
Ortotropik plakların iç kuvvetlerinin, sonlu farklar ile w çökme fonksiyon
değerlerine bağlı olarak ifade edilişi aşağıda verilmiştir.
Moment İfadeleri:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−= −+−+
21,,1,
12,1,,1
)(2
)(2
)(y
Dx
DM nmnmnmnmnmnmxmnx
ωωωωωω
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−= −+−+
2,1,,1
121,,1,
)(2
)(2
)(x
Dy
DM nmnmnmnmnmnmymny
ωωωωωω
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−−+= −++−−−++
))((42)( 1,11,11,11,1
yxDM nmnmnmnm
xymnxy
ωωωω (4.26)
47
λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;
[ ] [ ]1,,1,21
,1,,12 22)( −+−+ +−−+−−= nmnmnmnmnmnmx
mnxDD
M ωωωλ
ωωωλ
[ ] [ ]nmnmnmnmnmnmy
mnyDD
M ,1,,121
1,,1,2 22)( −+−+ +−−+−−= ωωωλ
ωωωλ
[ ]1,11,11,11,122)( −++−−−++ −−+= nmnmnmnm
xymnxy
DM ωωωω
λ (4.17)
xQ ve yQ İfadeleri:
xy
wHxwD
ywH
xwDQ xx
xx ∂∂
∂−
∂∂
−=∂∂
+∂∂
∂∂
−= 2
3
3
3
2
2
2
2
)(
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−+−−= −−++
3,2,1,1,2
)(222
xwwww
DQ nmnmnmnmxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−− −−−+−−++++
21,1,11,11,1,11,1
))((222
yxwwwwww
H nmnmnmnmnmnm (4.18)
λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;
[ ]−−+−−= −−++ nmnmnmnmx
x wwwwD
Q ,2,1,1,23 222λ
[ ]1,1,11,11,1,11,13 222 −−−+−−++++ −+−+−− nmnmnmnmnmnm wwwwwwHλ
(4.19)
Aynı işlemler yQ içinde yapılırsa;
yxwH
ywD
xwH
ywDQ yy
yy ∂∂
∂−
∂∂
−=∂∂
+∂∂
∂∂
−= 2
3
3
3
2
2
2
2
)(
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−+−−= −−++
32,1,1,2.
)(222
ywwww
DQ nmnmnmnmyy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−− −−−−++−+++
21,11,1,11,11,1,1
))((222
xywwwwww
H nmnmnmnmnmnm (4.20)
λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;
[ ]−−+−−= −−++ 2,1,1,2.3 222 nmnmnmnm
yy wwww
DQ
λ
48
[ ]1,11,1,11,11,1,13 222 −−−−++−+++ −+−+−− nmnmnmnmnmnm wwwwwwHλ
(4.21)
xV ve yV ifadeleri;
2
3
2
3
3
3
2)(yxwD
xywH
xwD
yM
QV xyxxy
xx ∂∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
−=∂
∂−=
2
3
13
3
2
3
2
3
13
3
)4(2)2(yxwDD
xwD
xywD
xywDD
xwD xyxxyxyx ∂∂
∂+−
∂∂
−=∂∂
∂−
∂∂∂
+−∂∂
−=
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−+−−= −−++
3,2,1,1,2
)(222
xwwww
DV nmnmnmnmxx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−+− −−−+−−++++
21,1,11,11,1,11,1
1 ))((222
)4(yx
wwwwwwDD nmnmnmnmnmnm
xy (4.22)
λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;
[ ]−−+−−= −−++ nmnmnmnmx
x wwwwD
V ,2,1,1,23 222λ
[ ]1,1,11,11,1,11,131 22
2)4(
−−−+−−++++ −+−+−+
− nmnmnmnmnmnmxy wwwwww
DDλ
(4.23)
Aynı işlemler yV içinde yapılırsa;
yxwD
yxwH
ywD
xM
QV xyyxy
yy ∂∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
−=∂
∂−= 2
3
2
3
3
3
2)(
yxwDD
ywD
yxwD
yxwDD
ywD xyyxyxyy ∂∂
∂+−
∂∂
−=∂∂
∂−
∂∂∂
+−∂∂
−= 2
3
13
3
2
3
2
3
13
3
)4(2)2(
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−+−−= −−++
32,1,1,2,
)(222
ywwww
DV nmnmnmnmyy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−+− −−−−++−+++
)()(222
)4( 21,11,1,11,11,1,1
1 yxwwwwww
DD nmnmnmnmnmnmxy (4.24)
49
λ=Δ=Δ yx olduğu durumlarda;
[ ]−−+−−= −−++ 2,1,1,2,3 222 nmnmnmnmy
yy wwwwD
DV
λ
[ ]1,11,1,11,11,1,131 22
2)4(
−−−−++−+++ −+−+−+
− nmnmnmnmnmnmxy wwwwww
DDλ
(4.25)
4.3 SINIR ŞARTLARI VE DENKLEM SAYISI
Bu bölümde, ortotropik plaklar için sınır şartları sonlu farklar cinsinden ifade
edilecektir.
a)Ankastre Mesnet: Ankastre mesnet için daha önce verilen (2.38) ifadesi sonlu
farklar cinsinden;
00=
=xw nmnm
nmnm
x
wwxww
xw
,1,1,1,1
0
02 −+
−+
=
=→=Δ
−=
∂∂ (4.26)
olur. (2.39) ile verilen ifade ise ortotropik plaklar için;
022
=∂∂
∂=
yxwDM xyxy
0))((4
2)( 1,11,11,11,1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−−+= −++−−−++
yxwwww
DM nmnmnmnmxymnxy
0))((2
)( 1,11,11,11,1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−−+= −++−−−++
yxwwww
DM nmnmnmnmxymnxy (4.27)
b)Sabit Mesnet: Sabit mesnet için verilen (2.40) ifadeleri ortotropik plaklar için;
00=
=xw
02
)(2
)( 21,,1,
12,1,,1 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−= −+−+
ywww
Dx
wwwDM nmnmnmnmnmnm
xmnx (4.28)
olur. (2.41) ifadeleri ise;
00=
=xw , 0
)(2
)( 2,1,,1
,2
2
=Δ
+−=
∂∂ −+
xwww
xw nmnmnm
nm nmnm ww ,1,1 −+ −= (4.29)
olur.
50
c) Serbest Kenar: Serbest kenar için verilen (2.46) ifadeleri ortotropik plaklar için;
0==axxM , 0=
=axxV
0)(
2)(
2)( 2
1,,1,12
,1,,1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−−= −+−+
ywww
Dx
wwwDM nmnmnmnmnmnm
xmnx
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−+−−= −−++
3,2,1,1,2
)(222
)(x
wwwwDV nmnmnmnm
xmnx
0))((2
22)4( 2
1,1,11,11,1,11,11 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−+− −−−+−−++++
yxwwwwww
DD nmnmnmnmnmnmxy
(4.30)
xM ifadeleri kullanılarak;
)
)(2
)(2
(
))(
())(
(
21
2
2,1,1
21,1,
1
,
yD
xD
xww
Dy
wwD
wx
nmnmx
nmnm
nm
Δ+
Δ
Δ
++
Δ
+
=
−+−+
olur. xV kullanılarak;
)))((
)4()(
(
)))((2
2)(4(
))(2
2(
21
3
21,11,11,1,11,1
1
3,2,1,2
,1
yxDD
xD
yxwwwww
DD
xwww
D
wxyx
nmnmnmnmnmxy
nmnmnmx
nm
ΔΔ
+−
Δ−
ΔΔ
−−+−++
+Δ
−−
=
−−+−−++++
−++
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−+
=
−++
−−−+−−++++
−
3
3,1,1,2
21,1,11,11,1,11,1
1
,2
)(2
)(222
))((222
)4(
xD
xwww
D
yxwwwwww
DD
wx
nmnmnmx
nmnmnmnmnmnmxy
nm
(4.32)
olarak elde edilir.
51
Boşta kenarın y doğrultusunda olması durumunda yM ifadeleri kullanılarak;
))(
2)(
2(
))(
())(
(
21
2
21,1,
2,1,1
1
,
xD
yD
yww
Dx
wwD
wy
nmnmy
nmnm
nm
Δ+
Δ
Δ
++
Δ
+
=
−+−+
olur. yV kullanılarak;
)))((
)4()(
(
)))((2
2)(4(
))(2
2(
21
3
21,11,11,11,1,1
1
32,1,2,
1,
xyDD
yD
xywwwww
DD
ywww
D
wxyy
nmnmnmnmnmxy
nmnmnmy
nm
ΔΔ
+−
Δ
−ΔΔ
−−+−++
+Δ
−−
=
−−−++−+++
−++
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
+−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ΔΔ
−+−+−+
=
−++
−−−−++−+++
−
3
31,1,2,
21,11,1,11,11,1,1
1
2,
)(2
)(222
))((222
)4(
yD
ywww
D
xywwwwww
DD
wy
nmnmnmy
nmnmnmnmnmnmxy
nm
(4.34)
Sonlu Fark Denklemlerinin Uygulanışı ve Denklem Sayısı: Üzerinde ),( yxp
yayılı yükü olan ve kenarlarından rastgele mesnetlenmiş bir ortotropik dikdörtgen
plak x ekseni yönünde m sayıda, y ekseni yönünde n sayıda eşit parçalara
bölününce x ekseni yönünde mesnetler dahil )1( +m sayıda, y ekseni yönünde
mesnetler dahil )1( +n sayıda düğüm noktası (yer değiştirme) oluşturulmuş olur.
Toplamda )1)(1( ++ nm adet düğüm noktası oluşur.
Plağın kenarlarındaki yer değiştirmeler bilindiğinden x ekseni yönünde bilinmeyen
yer değiştirme sayısı )1()21( −=−+ mm adet, y ekseni yönünde bilinmeyen yer
değiştirme sayısı )1()21( −=−+ nn adet olur. Toplamda bilinmeyen yer değiştirme
sayısı )1)(1( −− nm adet olur.
52
p0
p1
p2
x Şekil 4.5: Fiktif Yerdeğiştirmeler için Sonlu Farklar Ağının Plaklarda Uygulanması
Yer değiştirmeler plak dışında, sınır koşullarına bağlı kalarak fiktif olarak
genişletilir. Bu yerdeğiştirmeler sınırda verilen türev bağıntılarının ayrıklaştırılması
ile bulunur. Plakta ankastre mesnet halinde yerdeğiştirme ve birinci türev olarak
verilen eğim sıfırdır. Buna bağlı olarak fiktif yerdeğiştirmeler için birinci türev
bağıntısı ayrıklaştırılarak kullanılır. Örneğin şekil 4.5’ da verilen 0p noktasında
birinci türev merkezi farklar kullanılarak ayrıklaştırıldığında;
x
pupupxu
Δ−
=∂∂
2)()()( 21
0 → )(2)()( 021 pxuxpupu∂∂
Δ+= (4.35)
bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı ile plak dışındaki fiktif yerdeğiştirme değeri plak
üzerindeki iç nokta değerine bağlanmıştır. Şayet sınırdaki türev değeri ankastre
mesnette olduğu gibi, sıfır ise )()( 21 pupu = olarak bulunur.
Sabit mesnette olduğu gibi sınırda ikinci türev verildiğinde ikinci türevin merkezi
farklar kullanılarak ayrıklaştırılması ile;
2201
02
2
)()()(2)(
)(x
pupupup
xu
Δ+−
=∂∂
)()()()(2)( 02
22
201 pxuxpupupu
∂∂
Δ+−= (4.36)
bağıntısı elde edilir. Şayet sınırdaki ikinci türev ve fonksiyonun kendi değeri, sabit
mesnette olduğu gibi, sıfır ise )()( 21 pupu −= olarak bulunur.
53
Serbest kenarlarda olduğu gibi sınırlarda sadece yer değiştirmenin türevleri verilir ise
sınır noktalarındaki yer değiştirme değerleri de bilinmeyendir. Bu durumda merkez
nokta sınır noktalar üzerine uygulanarak ek denklemler elde edilir. Bu denklemlerde
verilen fonksiyon türevlerinin ayrıklaştırılması ile bulunur.
Sonuçta plak dışında oluşan fiktif yerdeğiştirmeler sabit mesnetler için plak
üzerindeki yer değiştirmelerin ters işaretlisi, ankastre mesnetler için aynı işaretlisidir.
Şekil 4.2’ de verilen sonlu farklar ağı şeması, plak üzerindeki yerdeğiştirmelerden
herhangi biri merkez alınarak yerleştirilip, ağ katsayıları ile bu katsayılara karşı gelen
yerdeğiştirmelerin çarpılması ile sonlu farklar denklemleri oluşturulmaya başlar. Plak
üzerinde mesnet noktaları hariç diğer tüm noktalarda bu işlemler yapılarak bütün
denklemler oluşturulmuş olur. Bu denklemler daha önce belirtildiği gibi
)1)(1( −− nm adettir. Bu denklemlerin çözülmesi ile yerdeğiştirmeler bulunmuş olur.
Plak kenarlarından birinin boşta kenar olması halinde, sonlu farklar ağı merkezi bu
kenar boyunca da yerleştirilerek bir sıra denklem takımı daha elde edilir. Bu takdirde
boşta kenar x ekseni yönünde tek mesnette olursa )1)(( −nm sayıda, iki mesnette
olursa )1)(1( −+ nm sayıda denklem oluşur. Boşta kenar y ekseni yönünde tek
mesnette olursa ))(1( nm − sayıda, iki mesnette olursa )1)(1( +− nm sayıda denklem
oluşur.
Bu çalışmada ortotropik dikdörtgen plak x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünerek
sonuca gidilmiştir. Tablo 4.1’ de bir ortotropik dikdörtgen plağın 10 eşit parçaya
ayrılması halinde oluşan yerdeğiştirmeler gösterilmiştir.
54
Tablo 4.1 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş plakta yer değiştirmeler.
Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf WfWf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf
Wf Wf W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 W10 W11 Wf WfWf Wf W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 W19 W20 W21 W22 Wf WfWf Wf W23 W24 W25 W26 W27 W28 W29 W30 W31 W32 W33 Wf WfWf Wf W34 W35 W36 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 Wf WfWf Wf W45 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 W55 Wf WfWf Wf W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 W64 W65 W66 Wf WfWf Wf W67 W68 W69 W70 W71 W72 W73 W74 W75 W76 W77 Wf WfWf Wf W78 W79 W80 W81 W82 W83 W84 W85 W86 W87 W88 Wf WfWf Wf W89 W90 W91 W92 W93 W94 W95 W96 W97 W98 W99 Wf WfWf Wf W100 W101 W102 W103 W104 W105 W106 W107 W108 W109 W110 Wf WfWf Wf W111 W112 W113 W114 W115 W116 W117 W118 W119 W120 W121 Wf Wf
Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf WfWf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf Wf
Tablo 4.1’ e göre plakta 10=m ve 10=n olduğundan dolayı 121 adet yer
değiştirme ve 121 adet denklem oluşur.
Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmelerden ilki mesnetlenme
koşulundan elde edilen denklemler ile bulunur.
Tablo 4.1 ile verilen durumda, dörtkenarı sabit olarak mesnetlenmiş ise ortotropik
plak için indisler ile beraber tekrar düzenlenirse Tablo 4.2 elde edilir.
Tablo 4.2 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.
0 Wf19 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf25 Wf26 Wf27 00 -W1 -W2 -W3 -W4 -W5 -W6 -W7 -W8 -W9 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 -W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0 -W9 Wf10Wf2 -W10 0 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 0 -W18 Wf11Wf3 -W19 0 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 0 -W27 Wf12Wf4 -W28 0 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 0 -W36 Wf13Wf5 -W37 0 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 0 -W45 Wf14Wf6 -W46 0 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 0 -W54 Wf15Wf7 -W55 0 W55 W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 0 -W63 Wf16Wf8 -W64 0 W64 W65 W66 W67 W68 W69 W70 W71 W72 0 -W72 Wf17Wf9 -W73 0 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 0 -W81 Wf18
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -W73 -W74 -W75 -W76 -W77 -W78 -W79 -W80 -W81 00 Wf28 Wf29 Wf30 Wf31 Wf32 Wf33 Wf34 Wf35 Wf36 0
Tablo 4.2 den de görüleceği üzere 10=m ve 10=n olduğundan dolayı
81)1)(1( =−− nm adet yer değiştirme ve dolayısı ile 81 adet denklem oluşur.
Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmelerden ilki sabit
mesnetlenme koşulundan dolayı mesnete eşit uzaklıkta ve plak üzerinde bulunan
noktanın yer değiştirmesinin ters işaretlisi olur. İkinci fiktif yer değiştirme ise sonlu
55
farklar şablonunun merkezinin mesnet üzerine getirilmesi ile elde edilen denklemden
elde edilir.
Mesnetlenme ve yüklemelerdeki simetri özellikleri kullanılırsa 817391 wwww === ,
807482 wwww === ….. şeklinde olacağından indisleri yeniden düzenlenerek Tablo
4.2 den Tablo 4.3 elde edilir. Hesaplarda simetri özelliği kullanılmamıştır.
Tablo 4.3 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı sabit olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.
0 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 00 -W1 -W2 -W3 -W4 -W5 -W4 -W3 -W2 -W1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 -W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 -W1 Wf1Wf2 -W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 -W6 Wf2Wf3 -W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 -W11 Wf3Wf4 -W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 -W16 Wf4Wf5 -W21 0 W21 W22 W23 W24 W25 W24 W23 W22 W21 0 -W21 Wf5Wf4 -W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 -W16 Wf4Wf3 -W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 -W11 Wf3Wf2 -W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 -W6 Wf2Wf1 -W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 -W1 Wf1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 -W1 -W2 -W3 -W4 -W5 -W4 -W3 -W2 -W1 00 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 0
Tablo 4.1 ile verilen durumda, dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ise ortotrop
plak için indisler ile beraber tekrar düzenlenirse Tablo 4.4 elde edilir.
Tablo 4.4 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.
0 Wf19 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf25 Wf26 Wf27 00 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0 W9 Wf10Wf2 W10 0 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 0 W18 Wf11Wf3 W19 0 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 0 W27 Wf12Wf4 W28 0 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 0 W36 Wf13Wf5 W37 0 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 0 W45 Wf14Wf6 W46 0 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 0 W54 Wf15Wf7 W55 0 W55 W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 0 W63 Wf16Wf8 W64 0 W64 W65 W66 W67 W68 W69 W70 W71 W72 0 W72 Wf17Wf9 W73 0 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 0 W81 Wf18
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 00 Wf28 Wf29 Wf30 Wf31 Wf32 Wf33 Wf34 Wf35 Wf36 0
Tablo 4.4 den de görüleceği üzere sabit mesnetlenmede olduğu gibi 81 adet denklem
oluşur.
56
Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmelerden ilki ankastre
mesnetlenme koşulundan dolayı mesnete eşit uzaklıkta ve plak üzerinde bulunan
noktanın yer değiştirmesine eşit olur. İkinci fiktif yer değiştirme ise sabit
mesnetlenme koşulunda olduğu gibi sonlu farklar şablonunun merkezinin mesnet
üzerine getirilmesi ile elde edilen denklemden elde edilir.
Mesnetlenme ve yüklemelerdeki simetri özellikleri sabit olarak mesnetlenmiş olan
plaklarda olduğu gibi kullanılırsa Tablo 4.4 den Tablo 4.5 elde edilir.
Tablo 4.5 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş dörtkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş ortotropik plakta yer değiştirmeler.
0 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 00 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 W1 Wf1Wf2 W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 W6 Wf2Wf3 W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 W11 Wf3Wf4 W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 W16 Wf4Wf5 W21 0 W21 W22 W23 W24 W25 W24 W23 W22 W21 0 W21 Wf5Wf4 W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 W16 Wf4Wf3 W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 W11 Wf3Wf2 W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 W6 Wf2Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 W1 Wf1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 00 Wf6 Wf7 Wf8 Wf9 Wf10 Wf9 Wf8 Wf7 Wf6 0
Tablo 4.1 ile verilen durumda, üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı ise
boşta olan ortotropik plak için indisler ile beraber tekrar düzenlenirse Tablo 4.6 elde
edilir.
Tablo 4.6 x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer değiştirmeler.
0 Wf19 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf25 Wf26 Wf27 00 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9 0 W9 Wf10Wf2 W10 0 W10 W11 W12 W13 W14 W15 W16 W17 W18 0 W18 Wf11Wf3 W19 0 W19 W20 W21 W22 W23 W24 W25 W26 W27 0 W27 Wf12Wf4 W28 0 W28 W29 W30 W31 W32 W33 W34 W35 W36 0 W36 Wf13Wf5 W37 0 W37 W38 W39 W40 W41 W42 W43 W44 W45 0 W45 Wf14Wf6 W46 0 W46 W47 W48 W49 W50 W51 W52 W53 W54 0 W54 Wf15Wf7 W55 0 W55 W56 W57 W58 W59 W60 W61 W62 W63 0 W63 Wf16Wf8 W64 0 W64 W65 W66 W67 W68 W69 W70 W71 W72 0 W72 Wf17Wf9 W73 0 W73 W74 W75 W76 W77 W78 W79 W80 W81 0 W81 Wf18
0 0 0 W82 W83 W84 W85 W86 W87 W88 W89 W90 0 0 00 Wf28 Wf29 Wf30 Wf31 Wf32 Wf33 Wf34 Wf35 Wf36 00 Wf37 Wf38 Wf39 Wf40 Wf41 Wf42 Wf43 Wf44 Wf45 0
57
Tablo 4.6 dan da görüleceği üzere 10=m ve 10=n olmasına rağmen bir kenarın
boşta kenar olmasından dolayı 90))(1( =− nm adet yer değiştirme ve dolayısı ile 90
adet denklem oluşur.
Plak dışında kalan noktalarda oluşan fiktif yer değiştirmeler ise ankastre olarak
mesnetlenen kenarlarda ankastre mesnetlenme koşullarındaki gibi elde edilir. Boşta
kenardan sonra oluşan fiktif yer değiştirme ise boşta kenar koşullarından elde edilen
denklemlerden elde edilir.
Mesnetlenme ve yüklemelerdeki simetri özellikleri kullanılırsa Tablo 4.6 dan Tablo
4.7 elde edilir.
Tablo 4.7 Sabit yayılı yükle yüklenmiş x ve y yönünde 10 eşit parçaya bölünmüş üçkenarı ankastre olarak mesnetlenmiş bir kenarı boşta olan ortotropik plakta yer
değiştirmeler. 0 Wf10 Wf11 Wf12 Wf13 Wf14 Wf13 Wf12 Wf11 Wf10 00 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Wf1 W1 0 W1 W2 W3 W4 W5 W4 W3 W2 W1 0 W1 Wf1Wf2 W6 0 W6 W7 W8 W9 W10 W9 W8 W7 W6 0 W6 Wf2Wf3 W11 0 W11 W12 W13 W14 W15 W14 W13 W12 W11 0 W11 Wf3Wf4 W16 0 W16 W17 W18 W19 W20 W19 W18 W17 W16 0 W16 Wf4Wf5 W21 0 W21 W22 W23 W24 W25 W24 W23 W22 W21 0 W21 Wf5Wf6 W26 0 W26 W27 W28 W29 W30 W29 W28 W27 W26 0 W26 Wf6Wf7 W31 0 W31 W32 W33 W34 W35 W34 W33 W32 W31 0 W31 Wf7Wf8 W36 0 W36 W37 W38 W39 W40 W39 W38 W37 W36 0 W36 Wf8Wf9 W41 0 W41 W42 W43 W44 W45 W44 W43 W42 W41 0 W41 Wf9
0 0 0 W46 W47 W48 W49 W50 W49 W48 W47 W46 0 0 00 Wf15 Wf16 Wf17 Wf18 Wf19 Wf18 Wf17 Wf16 Wf15 00 Wf20 Wf21 Wf22 Wf23 Wf24 Wf23 Wf22 Wf21 Wf20 0
Bu çalışmada, oluşturulan doğrusal denklemler iterasyon yöntemi ile çözülmüştür.
Excel tablolarında bulunan döngüsel başvuru yardımı ile iterasyon yapılmıştır.
4.4 DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ İÇİN DAİRESEL DÖNGÜ
Elektronik tablolarda bir hücreye yazılan formül diğer bir hücreye yazılmış olan bir
değere veya formüle referans verebilir. Bir hücreye yazılan formül doğrudan ya da
dolaylı olarak kendi hücresine referans verir ise buna döngüsel başvuru veya çevrimli
başvuru adı verilmektedir.
Döngüsel başvuru yapıldığında, mevcut verilere göre hesaplanan hücre değeri
değiştiğinde ilgili olduğu diğer hücre değerleri de değişir. İlgili hücrelerdeki
değerlerin değişmesi döngüsel başvuru yapılan hücre değerinin tekrar
58
hesaplanmasına sebep olur. Bu tekrar hesaplanmaya yineleme adı verilir. Yineleme,
daha önceden belirlenen yenileme sayısına eşit oluncaya kadar ya da hücrelerdeki
değerler arasındaki fark önceden belirlenen bir değerden küçük oluncaya kadar
devam eder.
Microsoft Excel kullanılarak yapılan bir programda, döngüsel başvuru yapıldığında
bu işlemin bir hata sonucunda yapılıp yapılmadığı ve bu konu hakkında yardım
istenip istenmediği bir iletişim kutusu ile kullanıcıya sorulur. Bu işlemin bilerek
yapıldığı kabul edilen seçenek butonuna basıldığında döngüsel başvuru program
tarafından kabul edilir.
Döngüsel başvuru yenileme sayısı ve hücreler arasında ki fark, Excel çalışma
sayfasının Araçlar-Seçenekler-Hesaplama kısmında belirtilir. Bu verilere göre
döngüsel başvuru işlemi tamamlanır.
Plak diferansiyel denklemi daha önce anlatıldığı şekilde kurulduktan sonra,
Microsoft Excel kullanılarak bir program hazırlanır. Bu programda, dikdörtgen plak
elektonik bir tablo haline getirilir. Bu plak üzerinde alınan her nokta bir hücre olarak
ifade edilir. Bir hücreye, plak denkleminde nmw , yalnız bırakılarak formülü girilir.
Bir hücreye girilen formülün diğer hücrelere kopyalanarak tüm tablo hazırlanmış
olur. Formül girişlerinin hemen arkasından program otomatik olarak döngüsel
başvuruyu başlatır ve belirlenen sınırlara ulaşıncaya kadar çalışmayı yinelemeye
devam eder. Belirlenen sınırlara ulaşıldığında çalışma durdurulur.
4.5 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK DENKLEMLERİNİN BOYUTSUZLAŞTIRILMASI
Bu kısımda ortotropik plak denklemleri, deplasmanlar, momentler, kesme kuvvetleri,
mesnet reaksiyonları ve köşe kuvvetleri boyutsuzlaştırılacaktır. Bu kuvvetleri
boyutsuzlaştırmalar için öncelikle (2.55) ve (2.58) ile verilen ortotropik plak
denklemlerine ait ifadelerin boyutsuzlaştırılması gerekir. Bunun için x ve y
doğrultularındaki uzunluklar ile beraber (2.55) ve (2.58) ifadeleri kullanılarak;
59
axx =
byy =
)12
(3*hE
DD
x
xx =
)12
(3*hE
DD
y
yy =
)
12(
3GhD
D xyxy =
)12
(3
11 hE
DDxy
= )2( 1 xyDD
HH+
= (4.37)
boyutsuz ifadeleri elde edilir. Elde edilen ifadelerin kontrolunü xD için yapacak
olursak;
BOYUTSUZKNMKNM
MMKNKNM
hED
Dx
xx ====
))(/()
12(
323* (4.38)
Yük ifadesinin de yayılı yükte olduğu gibi 0p yayılı yükün şiddetine bölünmesi ile;
0
),(),(p
yxpyxp = (4.39)
boyutsuz yük ifadesi elde edilmiş olur. Daha önce (2.57) ile verilen ortotropik plak
denklemi elde edilen boyutsuz ifadeler kullanılarak;
),(2 4
4
22
4
4
4
yxpywD
yxwH
xwD yx =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂ (4.40)
boyutsuz plak denklemi elde edilir. Burada bilinmeyenler sadece w boyutsuz
deplasmanlardır. Bunlarda program sonucu olarak elde edileceklerdir. Elde edilen
boyutsuz deplasmanlar kullanılarak;
)( 2
2
12
2
ywD
xwDM xx ∂
∂+
∂∂
−=
)( 2
2
12
2
xwD
ywDM yy ∂
∂+
∂∂
−=
yxwDM xyxy ∂∂
∂=
2
2
xywH
xwDQ xx ∂∂
∂−
∂∂
−= 2
3
3
3
60
yxwH
ywDQ yy ∂∂
∂−
∂∂
−= 2
3
3
3
2
3
13
3
)4(yxwDD
xwDV xyxx ∂∂
∂+−
∂∂
−=
yxwDD
ywDV xyyy ∂∂
∂+−
∂∂
−= 2
3
13
3
)4(
yxwDMR xyxy ∂∂
∂==
2
42 (4.41)
boyutsuz ifadeleri elde edilir. Elde edilen bu ifadeler sınır şartları içinde
kullanılarak;
a)Ankastre Mesnet:
00=
=xw 0
0
=∂∂
=xxw (4.42)
b)Sabit Mesnet:
00=
=xw
0)( 2
2
12
2
=∂∂
+∂∂
−=ywD
xwDM xx (4.43)
c) Serbest Kenar:
0==axxM , 0=
=axxV
0)( 2
2
12
2
=∂∂
+∂∂
−=ywD
xwDM xx
0)4( 2
3
13
3
=∂∂
∂+−
∂∂
−=yxwDD
xwDV xyxx (4.44)
boyutsuz sınır şartları elde edilmiş olur.
Programda sonuçlar boyutsuz olarak elde edileceğinden gerçek boyutlu değerlere
ulaşabilmek için verilerin gerçek değerlerinin katsayılara uygulanması ile elde edilir.
61
4.6 ORTOTROPİK DİKDÖRTGEN PLAK PROBLEMİNİN SONLU FARKLAR İLE ÇÖZÜMÜ
Bu bölümde, Microsoft Office Excel programı ile hazırlanan bilgisayar programı
kullanılarak çeşitli ortotropik plak problemleri ve ortotropinin özel hali olan
izotropik plak problemleri çözülecektir.
ORTOTROPİK PLAK PROBLEMLERİ: Bu bölümde Karl GIRKMANN’ ın
Yüzeysel Taşıyıcı Sistemler ( Çeviri: Prof. Dr. Sacit TAMEROĞLU) kitabının 395.
sayfasında verilen dört kenarı sabit olarak mesnetlenmiş olan ortotropik plak ve plak
sabitleri ile Zekai CELEP, Nahit KUMBASAR‘ ın Betonarme Yapılar kitabının
Örnek 2.1. bölümünde verilen hareketli yükler ve plak boyutları kullanılarak
çözülecektir. Bu veriler ve problemin çözümü;
GPamKNcmkgExx 15/000.000.15/000.150 22 ===
GPamKNcmkgEE xxyy 5,1/000.500.1/000.151,0 22 ====
GPamKNcmkgG 1/000.000.1/000.10 22 ===
4,0=xν
04,01,0 == xy νν
2/2 mKNq =
mlx 6,4= mly 6,3= mh 12,0= (4.45)
62
ÖR
NE
K 1
: OR
TO
TR
OPİ
K P
LA
K P
RO
BL
EMİ
Tab
lo 4
.8 V
erile
n Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n D
epla
sman
lar
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
00,
0000
0-0
,000
24-0
,000
44-0
,000
60-0
,000
69-0
,000
72-0
,000
69-0
,000
60-0
,000
44-0
,000
240,
0000
0-0
,10
0,00
013
0,00
000
-0,0
0013
-0,0
0025
-0,0
0033
-0,0
0038
-0,0
0040
-0,0
0038
-0,0
0033
-0,0
0025
-0,0
0013
0,00
000
0,00
013
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
-0,0
0025
-0,0
0013
0,00
000
0,00
013
0,00
025
0,00
033
0,00
038
0,00
040
0,00
038
0,00
033
0,00
025
0,00
013
0,00
000
-0,0
0013
-0,0
0025
0,20
-0,0
0044
-0,0
0024
0,00
000
0,00
024
0,00
044
0,00
060
0,00
069
0,00
072
0,00
069
0,00
060
0,00
044
0,00
024
0,00
000
-0,0
0024
-0,0
0044
0,30
-0,0
0059
-0,0
0032
0,00
000
0,00
032
0,00
059
0,00
079
0,00
092
0,00
096
0,00
092
0,00
079
0,00
059
0,00
032
0,00
000
-0,0
0032
-0,0
0059
0,40
-0,0
0067
-0,0
0036
0,00
000
0,00
036
0,00
067
0,00
091
0,00
105
0,00
110
0,00
105
0,00
091
0,00
067
0,00
036
0,00
000
-0,0
0036
-0,0
0067
0,50
-0,0
0070
-0,0
0038
0,00
000
0,00
038
0,00
070
0,00
094
0,00
109
0,00
115
0,00
109
0,00
094
0,00
070
0,00
038
0,00
000
-0,0
0038
-0,0
0070
0,60
-0,0
0067
-0,0
0036
0,00
000
0,00
036
0,00
067
0,00
091
0,00
105
0,00
110
0,00
105
0,00
091
0,00
067
0,00
036
0,00
000
-0,0
0036
-0,0
0067
0,70
-0,0
0059
-0,0
0032
0,00
000
0,00
032
0,00
059
0,00
079
0,00
092
0,00
096
0,00
092
0,00
079
0,00
059
0,00
032
0,00
000
-0,0
0032
-0,0
0059
0,80
-0,0
0044
-0,0
0024
0,00
000
0,00
024
0,00
044
0,00
060
0,00
069
0,00
072
0,00
069
0,00
060
0,00
044
0,00
024
0,00
000
-0,0
0024
-0,0
0044
0,90
-0,0
0025
-0,0
0013
0,00
000
0,00
013
0,00
025
0,00
033
0,00
038
0,00
040
0,00
038
0,00
033
0,00
025
0,00
013
0,00
000
-0,0
0013
-0,0
0025
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
0,00
013
0,00
000
-0,0
0013
-0,0
0025
-0,0
0033
-0,0
0038
-0,0
0040
-0,0
0038
-0,0
0033
-0,0
0025
-0,0
0013
0,00
000
0,00
013
1,20
0,00
000
-0,0
0024
-0,0
0044
-0,0
0060
-0,0
0069
-0,0
0072
-0,0
0069
-0,0
0060
-0,0
0044
-0,0
0024
0,00
000
(x/a
)
(y/b
)
63
Tab
lo 4
.9 V
erile
n Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n M
x M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,00
000
0,22
567
0,32
855
0,37
901
0,40
241
0,40
922
0,40
241
0,37
902
0,32
855
0,22
567
0,00
000
0,20
0,00
000
0,38
139
0,57
033
0,66
502
0,70
915
0,72
202
0,70
915
0,66
502
0,57
033
0,38
139
0,00
000
0,30
0,00
000
0,48
388
0,73
609
0,86
481
0,92
516
0,94
279
0,92
516
0,86
481
0,73
609
0,48
388
0,00
000
0,40
0,00
000
0,54
229
0,83
289
0,98
292
1,05
355
1,07
422
1,05
356
0,98
292
0,83
289
0,54
229
0,00
000
0,50
0,00
000
0,56
128
0,86
472
1,02
199
1,09
615
1,11
786
1,09
615
1,02
199
0,86
472
0,56
129
0,00
000
0,60
0,00
000
0,54
229
0,83
289
0,98
292
1,05
355
1,07
422
1,05
356
0,98
292
0,83
289
0,54
229
0,00
000
0,70
0,00
000
0,48
388
0,73
609
0,86
481
0,92
516
0,94
279
0,92
516
0,86
481
0,73
609
0,48
388
0,00
000
0,80
0,00
000
0,38
139
0,57
033
0,66
502
0,70
915
0,72
202
0,70
915
0,66
502
0,57
033
0,38
139
0,00
000
0,90
0,00
000
0,22
567
0,32
855
0,37
901
0,40
241
0,40
922
0,40
241
0,37
902
0,32
855
0,22
567
0,00
000
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
64
Tab
lo 4
.10
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n M
y M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,00
000
0,05
229
0,09
073
0,11
711
0,13
253
0,13
760
0,13
253
0,11
711
0,09
073
0,05
229
0,00
000
0,20
0,00
000
0,06
646
0,11
717
0,15
290
0,17
415
0,18
120
0,17
415
0,15
290
0,11
717
0,06
646
0,00
000
0,30
0,00
000
0,07
079
0,12
531
0,16
400
0,18
712
0,19
481
0,18
712
0,16
400
0,12
531
0,07
079
0,00
000
0,40
0,00
000
0,07
214
0,12
784
0,16
744
0,19
113
0,19
901
0,19
113
0,16
744
0,12
784
0,07
214
0,00
000
0,50
0,00
000
0,07
244
0,12
841
0,16
822
0,19
204
0,19
997
0,19
204
0,16
822
0,12
841
0,07
244
0,00
000
0,60
0,00
000
0,07
214
0,12
784
0,16
744
0,19
113
0,19
901
0,19
113
0,16
744
0,12
784
0,07
214
0,00
000
0,70
0,00
000
0,07
079
0,12
531
0,16
400
0,18
712
0,19
481
0,18
712
0,16
400
0,12
531
0,07
079
0,00
000
0,80
0,00
000
0,06
646
0,11
717
0,15
290
0,17
415
0,18
120
0,17
415
0,15
290
0,11
717
0,06
646
0,00
000
0,90
0,00
000
0,05
229
0,09
073
0,11
711
0,13
253
0,13
760
0,13
253
0,11
711
0,09
073
0,05
229
0,00
000
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
65
Tab
lo 4
.11
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n M
xy M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
2,30
966
2,13
524
1,71
186
1,17
994
0,59
934
0,00
000
-0,5
9934
-1,1
7994
-1,7
1186
-2,1
3524
-2,3
0966
0,10
2,08
396
1,93
284
1,55
876
1,07
861
0,54
904
0,00
000
-0,5
4903
-1,0
7861
-1,5
5876
-1,9
3284
-2,0
8396
0,20
1,59
109
1,48
427
1,20
976
0,84
314
0,43
087
0,00
000
-0,4
3086
-0,8
4314
-1,2
0976
-1,4
8427
-1,5
9110
0,30
1,05
557
0,98
801
0,81
044
0,56
749
0,29
077
0,00
000
-0,2
9077
-0,5
6749
-0,8
1044
-0,9
8801
-1,0
5557
0,40
0,52
402
0,49
134
0,40
439
0,28
391
0,14
568
0,00
000
-0,1
4568
-0,2
8391
-0,4
0439
-0,4
9134
-0,5
2402
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
-0,5
2402
-0,4
9134
-0,4
0439
-0,2
8391
-0,1
4568
0,00
000
0,14
568
0,28
391
0,40
439
0,49
134
0,52
402
0,70
-1,0
5557
-0,9
8801
-0,8
1044
-0,5
6749
-0,2
9077
0,00
000
0,29
077
0,56
749
0,81
044
0,98
801
1,05
557
0,80
-1,5
9109
-1,4
8427
-1,2
0976
-0,8
4314
-0,4
3087
0,00
000
0,43
086
0,84
314
1,20
976
1,48
427
1,59
110
0,90
-2,0
8396
-1,9
3284
-1,5
5876
-1,0
7861
-0,5
4904
0,00
000
0,54
903
1,07
861
1,55
876
1,93
284
2,08
396
1,00
-2,3
0966
-2,1
3524
-1,7
1186
-1,1
7994
-0,5
9934
0,00
000
0,59
934
1,17
994
1,71
186
2,13
524
2,30
966
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
66
Tab
lo 4
.12
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n Q
x K
esm
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
1,74
450
1,48
159
1,01
723
0,64
323
0,31
233
0,00
000
-0,3
1233
-0,6
4323
-1,0
1723
-1,4
8159
-1,7
4451
0,20
2,31
334
1,98
748
1,39
664
0,89
610
0,43
897
0,00
000
-0,4
3896
-0,8
9610
-1,3
9664
-1,9
8748
-2,3
1334
0,30
2,54
279
2,18
954
1,54
415
0,99
167
0,48
606
0,00
000
-0,4
8606
-0,9
9167
-1,5
4415
-2,1
8954
-2,5
4279
0,40
2,64
105
2,27
519
1,60
465
1,02
919
0,50
399
0,00
000
-0,5
0398
-1,0
2919
-1,6
0465
-2,2
7519
-2,6
4106
0,50
2,66
926
2,29
967
1,62
167
1,03
948
0,50
880
0,00
000
-0,5
0879
-1,0
3948
-1,6
2167
-2,2
9968
-2,6
6927
0,60
2,64
105
2,27
519
1,60
465
1,02
919
0,50
399
0,00
000
-0,5
0398
-1,0
2919
-1,6
0465
-2,2
7519
-2,6
4106
0,70
2,54
279
2,18
954
1,54
415
0,99
167
0,48
606
0,00
000
-0,4
8606
-0,9
9167
-1,5
4415
-2,1
8954
-2,5
4279
0,80
2,31
334
1,98
748
1,39
664
0,89
610
0,43
897
0,00
000
-0,4
3896
-0,8
9610
-1,3
9664
-1,9
8748
-2,3
1334
0,90
1,74
450
1,48
159
1,01
723
0,64
323
0,31
233
0,00
000
-0,3
1233
-0,6
4323
-1,0
1723
-1,4
8159
-1,7
4451
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
67
Tab
lo 4
.13
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n Q
y K
esm
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,90
360
1,33
446
1,55
557
1,66
220
1,69
401
1,66
220
1,55
557
1,33
446
0,90
360
0,00
000
0,10
0,00
000
0,74
936
1,13
211
1,33
061
1,42
612
1,45
452
1,42
612
1,33
062
1,13
211
0,74
936
0,00
000
0,20
0,00
000
0,49
015
0,77
713
0,93
002
1,00
344
1,02
517
1,00
344
0,93
002
0,77
713
0,49
015
0,00
000
0,30
0,00
000
0,30
163
0,49
313
0,59
812
0,64
879
0,66
376
0,64
879
0,59
813
0,49
313
0,30
163
0,00
000
0,40
0,00
000
0,14
442
0,24
020
0,29
380
0,31
984
0,32
754
0,31
984
0,29
381
0,24
020
0,14
442
0,00
000
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
0,00
000
-0,1
4442
-0,2
4020
-0,2
9380
-0,3
1984
-0,3
2754
-0,3
1984
-0,2
9380
-0,2
4020
-0,1
4442
0,00
000
0,70
0,00
000
-0,3
0163
-0,4
9313
-0,5
9812
-0,6
4879
-0,6
6376
-0,6
4879
-0,5
9812
-0,4
9313
-0,3
0163
0,00
000
0,80
0,00
000
-0,4
9015
-0,7
7713
-0,9
3002
-1,0
0344
-1,0
2517
-1,0
0344
-0,9
3002
-0,7
7713
-0,4
9015
0,00
000
0,90
0,00
000
-0,7
4936
-1,1
3211
-1,3
3061
-1,4
2612
-1,4
5452
-1,4
2612
-1,3
3062
-1,1
3211
-0,7
4936
0,00
000
1,00
0,00
000
-0,9
0360
-1,3
3446
-1,5
5557
-1,6
6220
-1,6
9401
-1,6
6220
-1,5
5557
-1,3
3446
-0,9
0360
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
68
Tab
lo 4
.14
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n V
x M
esne
t Tep
kile
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
2,99
842
-2,9
9842
0,20
3,79
757
-3,7
9757
0,30
4,03
368
-4,0
3368
0,40
4,10
322
-4,1
0323
0,50
4,11
834
-4,1
1835
0,60
4,10
322
-4,1
0323
0,70
4,03
368
-4,0
3368
0,80
3,79
757
-3,7
9757
0,90
2,99
842
-2,9
9842
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
69
Tab
lo 4
.15
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n V
y M
esne
t Tep
kile
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
1,66
196
2,41
689
2,78
583
2,95
626
3,00
579
2,95
626
2,78
584
2,41
689
1,66
196
0,00
000
0,10
0,00
000
0,00
000
0,20
0,00
000
0,00
000
0,30
0,00
000
0,00
000
0,40
0,00
000
0,00
000
0,50
0,00
000
0,00
000
0,60
0,00
000
0,00
000
0,70
0,00
000
0,00
000
0,80
0,00
000
0,00
000
0,90
0,00
000
0,00
000
1,00
0,00
000
-1,6
6196
-2,4
1689
-2,7
8583
-2,9
5626
-3,0
0579
-2,9
5626
-2,7
8584
-2,4
1689
-1,6
6196
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
70
Tab
lo 4
.16
Ver
ilen Şa
rtlar
Altı
nda
Oluşa
n R
Köş
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
4,61
933
-4,6
1933
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-4,6
1933
4,61
933
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
71
Tab
lo 4
.17
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lağa
Uyg
ulan
an S
abit
Yayılı
Yük
lem
e
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,10
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,20
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,30
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,40
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,50
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,60
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,70
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,80
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,90
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
72
1 4 7
10 S1 S3 S5 S7 S9 S11
0,00000
0,00020
0,00040
0,00060
0,00080
0,00100
0,00120
x/a y/b
deplasmanlar
0,00000-0,000200,00020-0,000400,00040-0,000600,00060-0,000800,00080-0,001000,00100-0,00120
Şekil 4.6: Verilen Şartlar Altında Oluşan Deplasmana Ait Grafik
73
ÖR
NE
K 2
: D
ÜZ
GÜ
N Y
AY
ILI Y
ÜK
LE
YÜ
KL
Ü,
DÖ
RT
KE
NA
RI S
ABİT
ME
SNE
TLİ D
İKD
ÖR
TG
EN
İZ
OT
RO
PİK
PL
AK
PR
OB
LE
Mİ
Tab
lo 4
.18
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
, D
ört K
enarı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z D
epla
sman
ları
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
00,
0000
0-0
,000
71-0
,001
41-0
,001
93-0
,002
25-0
,002
36-0
,002
25-0
,001
93-0
,001
41-0
,000
710,
0000
0-0
,10
0,00
044
0,00
000
-0,0
0044
-0,0
0081
-0,0
0109
-0,0
0126
-0,0
0132
-0,0
0126
-0,0
0109
-0,0
0081
-0,0
0044
0,00
000
0,00
044
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
-0,0
0071
-0,0
0044
0,00
000
0,00
044
0,00
081
0,00
109
0,00
126
0,00
132
0,00
126
0,00
109
0,00
081
0,00
044
0,00
000
-0,0
0044
-0,0
0071
0,20
-0,0
0141
-0,0
0081
0,00
000
0,00
081
0,00
151
0,00
203
0,00
235
0,00
246
0,00
235
0,00
203
0,00
151
0,00
081
0,00
000
-0,0
0081
-0,0
0141
0,30
-0,0
0193
-0,0
0109
0,00
000
0,00
109
0,00
203
0,00
274
0,00
319
0,00
333
0,00
319
0,00
274
0,00
203
0,00
109
0,00
000
-0,0
0109
-0,0
0193
0,40
-0,0
0225
-0,0
0126
0,00
000
0,00
126
0,00
235
0,00
319
0,00
370
0,00
387
0,00
370
0,00
319
0,00
235
0,00
126
0,00
000
-0,0
0126
-0,0
0225
0,50
-0,0
0236
-0,0
0132
0,00
000
0,00
132
0,00
246
0,00
333
0,00
387
0,00
406
0,00
387
0,00
333
0,00
246
0,00
132
0,00
000
-0,0
0132
-0,0
0236
0,60
-0,0
0225
-0,0
0126
0,00
000
0,00
126
0,00
235
0,00
319
0,00
370
0,00
387
0,00
370
0,00
319
0,00
235
0,00
126
0,00
000
-0,0
0126
-0,0
0225
0,70
-0,0
0193
-0,0
0109
0,00
000
0,00
109
0,00
203
0,00
274
0,00
319
0,00
333
0,00
319
0,00
274
0,00
203
0,00
109
0,00
000
-0,0
0109
-0,0
0193
0,80
-0,0
0141
-0,0
0081
0,00
000
0,00
081
0,00
151
0,00
203
0,00
235
0,00
246
0,00
235
0,00
203
0,00
151
0,00
081
0,00
000
-0,0
0081
-0,0
0141
0,90
-0,0
0071
-0,0
0044
0,00
000
0,00
044
0,00
081
0,00
109
0,00
126
0,00
132
0,00
126
0,00
109
0,00
081
0,00
044
0,00
000
-0,0
0044
-0,0
0071
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
0,00
044
0,00
000
-0,0
0044
-0,0
0081
-0,0
0109
-0,0
0126
-0,0
0132
-0,0
0126
-0,0
0109
-0,0
0081
-0,0
0044
0,00
000
0,00
044
1,20
0,00
000
-0,0
0071
-0,0
0141
-0,0
0193
-0,0
0225
-0,0
0236
-0,0
0225
-0,0
0193
-0,0
0141
-0,0
0071
0,00
000
(x/a
)
(y/b
)
74
Tab
lo 4
.19
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z M
x M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,00
000
0,00
833
0,01
272
0,01
514
0,01
637
0,01
675
0,01
637
0,01
514
0,01
272
0,00
833
0,00
000
0,20
0,00
000
0,01
409
0,02
229
0,02
696
0,02
935
0,03
009
0,02
935
0,02
696
0,02
229
0,01
409
0,00
000
0,30
0,00
000
0,01
787
0,02
889
0,03
535
0,03
871
0,03
974
0,03
871
0,03
535
0,02
889
0,01
787
0,00
000
0,40
0,00
000
0,02
003
0,03
275
0,04
035
0,04
433
0,04
557
0,04
433
0,04
035
0,03
275
0,02
003
0,00
000
0,50
0,00
000
0,02
073
0,03
402
0,04
201
0,04
621
0,04
751
0,04
621
0,04
201
0,03
402
0,02
073
0,00
000
0,60
0,00
000
0,02
003
0,03
275
0,04
035
0,04
433
0,04
557
0,04
433
0,04
035
0,03
275
0,02
003
0,00
000
0,70
0,00
000
0,01
787
0,02
889
0,03
535
0,03
871
0,03
974
0,03
871
0,03
535
0,02
889
0,01
787
0,00
000
0,80
0,00
000
0,01
409
0,02
229
0,02
696
0,02
935
0,03
009
0,02
935
0,02
696
0,02
229
0,01
409
0,00
000
0,90
0,00
000
0,00
833
0,01
272
0,01
514
0,01
637
0,01
675
0,01
637
0,01
514
0,01
272
0,00
833
0,00
000
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
75
Tab
lo 4
.20
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z M
y M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,00
000
0,00
833
0,01
409
0,01
787
0,02
003
0,02
073
0,02
003
0,01
787
0,01
409
0,00
833
0,00
000
0,20
0,00
000
0,01
272
0,02
229
0,02
889
0,03
275
0,03
402
0,03
275
0,02
889
0,02
229
0,01
272
0,00
000
0,30
0,00
000
0,01
514
0,02
696
0,03
535
0,04
035
0,04
201
0,04
035
0,03
535
0,02
696
0,01
514
0,00
000
0,40
0,00
000
0,01
637
0,02
935
0,03
871
0,04
433
0,04
621
0,04
433
0,03
871
0,02
935
0,01
637
0,00
000
0,50
0,00
000
0,01
675
0,03
009
0,03
974
0,04
557
0,04
751
0,04
557
0,03
974
0,03
009
0,01
675
0,00
000
0,60
0,00
000
0,01
637
0,02
935
0,03
871
0,04
433
0,04
621
0,04
433
0,03
871
0,02
935
0,01
637
0,00
000
0,70
0,00
000
0,01
514
0,02
696
0,03
535
0,04
035
0,04
201
0,04
035
0,03
535
0,02
696
0,01
514
0,00
000
0,80
0,00
000
0,01
272
0,02
229
0,02
889
0,03
275
0,03
402
0,03
275
0,02
889
0,02
229
0,01
272
0,00
000
0,90
0,00
000
0,00
833
0,01
409
0,01
787
0,02
003
0,02
073
0,02
003
0,01
787
0,01
409
0,00
833
0,00
000
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
76
Tab
lo 4
.21
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z M
xy M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,03
057
0,02
832
0,02
281
0,01
578
0,00
804
0,00
000
-0,0
0804
-0,0
1578
-0,0
2281
-0,0
2832
-0,0
3057
0,10
0,02
832
0,02
635
0,02
137
0,01
485
0,00
758
0,00
000
-0,0
0758
-0,0
1485
-0,0
2137
-0,0
2635
-0,0
2832
0,20
0,02
281
0,02
137
0,01
756
0,01
232
0,00
632
0,00
000
-0,0
0632
-0,0
1232
-0,0
1756
-0,0
2137
-0,0
2281
0,30
0,01
578
0,01
485
0,01
232
0,00
871
0,00
449
0,00
000
-0,0
0449
-0,0
0871
-0,0
1232
-0,0
1485
-0,0
1578
0,40
0,00
804
0,00
758
0,00
632
0,00
449
0,00
232
0,00
000
-0,0
0232
-0,0
0449
-0,0
0632
-0,0
0758
-0,0
0804
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
-0,0
0804
-0,0
0758
-0,0
0632
-0,0
0449
-0,0
0232
0,00
000
0,00
232
0,00
449
0,00
632
0,00
758
0,00
804
0,70
-0,0
1578
-0,0
1485
-0,0
1232
-0,0
0871
-0,0
0449
0,00
000
0,00
449
0,00
871
0,01
232
0,01
485
0,01
578
0,80
-0,0
2281
-0,0
2137
-0,0
1756
-0,0
1232
-0,0
0632
0,00
000
0,00
632
0,01
232
0,01
756
0,02
137
0,02
281
0,90
-0,0
2832
-0,0
2635
-0,0
2137
-0,0
1485
-0,0
0758
0,00
000
0,00
758
0,01
485
0,02
137
0,02
635
0,02
832
1,00
-0,0
3057
-0,0
2832
-0,0
2281
-0,0
1578
-0,0
0804
0,00
000
0,00
804
0,01
578
0,02
281
0,02
832
0,03
057
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
77
Tab
lo 4
.22
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z Q
x K
esm
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,17
813
0,10
313
0,06
292
0,03
687
0,01
716
0,00
000
-0,0
1716
-0,0
3687
-0,0
6292
-0,1
0313
-0,1
7813
0,20
0,25
626
0,17
147
0,11
168
0,06
739
0,03
176
0,00
000
-0,0
3176
-0,0
6739
-0,1
1168
-0,1
7147
-0,2
5626
0,30
0,30
397
0,21
481
0,14
495
0,08
925
0,04
248
0,00
000
-0,0
4248
-0,0
8925
-0,1
4495
-0,2
1481
-0,3
0397
0,40
0,32
999
0,23
886
0,16
407
0,10
217
0,04
893
0,00
000
-0,0
4893
-0,1
0217
-0,1
6407
-0,2
3886
-0,3
2999
0,50
0,33
828
0,24
657
0,17
028
0,10
642
0,05
107
0,00
000
-0,0
5107
-0,1
0642
-0,1
7028
-0,2
4657
-0,3
3828
0,60
0,32
999
0,23
886
0,16
407
0,10
217
0,04
893
0,00
000
-0,0
4893
-0,1
0217
-0,1
6407
-0,2
3886
-0,3
2999
0,70
0,30
397
0,21
481
0,14
495
0,08
925
0,04
248
0,00
000
-0,0
4248
-0,0
8925
-0,1
4495
-0,2
1481
-0,3
0397
0,80
0,25
626
0,17
147
0,11
168
0,06
739
0,03
176
0,00
000
-0,0
3176
-0,0
6739
-0,1
1168
-0,1
7147
-0,2
5626
0,90
0,17
813
0,10
313
0,06
292
0,03
687
0,01
716
0,00
000
-0,0
1716
-0,0
3687
-0,0
6292
-0,1
0313
-0,1
7813
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
78
Tab
lo 4
.23
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z Q
y K
esm
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,17
813
0,25
626
0,30
397
0,32
999
0,33
828
0,32
999
0,30
397
0,25
626
0,17
813
0,00
000
0,10
0,00
000
0,10
313
0,17
147
0,21
481
0,23
886
0,24
657
0,23
886
0,21
481
0,17
147
0,10
313
0,00
000
0,20
0,00
000
0,06
292
0,11
168
0,14
495
0,16
407
0,17
028
0,16
407
0,14
495
0,11
168
0,06
292
0,00
000
0,30
0,00
000
0,03
687
0,06
739
0,08
925
0,10
217
0,10
642
0,10
217
0,08
925
0,06
739
0,03
687
0,00
000
0,40
0,00
000
0,01
716
0,03
176
0,04
248
0,04
893
0,05
107
0,04
893
0,04
248
0,03
176
0,01
716
0,00
000
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
0,00
000
-0,0
1716
-0,0
3176
-0,0
4248
-0,0
4893
-0,0
5107
-0,0
4893
-0,0
4248
-0,0
3176
-0,0
1716
0,00
000
0,70
0,00
000
-0,0
3687
-0,0
6739
-0,0
8925
-0,1
0217
-0,1
0642
-0,1
0217
-0,0
8925
-0,0
6739
-0,0
3687
0,00
000
0,80
0,00
000
-0,0
6292
-0,1
1168
-0,1
4495
-0,1
6407
-0,1
7028
-0,1
6407
-0,1
4495
-0,1
1168
-0,0
6292
0,00
000
0,90
0,00
000
-0,1
0313
-0,1
7147
-0,2
1481
-0,2
3886
-0,2
4657
-0,2
3886
-0,2
1481
-0,1
7147
-0,1
0313
0,00
000
1,00
0,00
000
-0,1
7813
-0,2
5626
-0,3
0397
-0,3
2999
-0,3
3828
-0,3
2999
-0,3
0397
-0,2
5626
-0,1
7813
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
79
Tab
lo 4
.24
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z V
x V
e V
y M
esne
t Tap
kile
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
Vy
0,00
0,00
000
0,22
298
0,32
162
0,37
921
0,40
972
0,41
928
0,40
972
0,37
921
0,32
162
0,22
298
0,00
000
0,10
Vx
0,22
298
-0,2
2298
0,20
0,32
162
-0,3
2162
0,30
0,37
921
-0,3
7921
0,40
0,40
972
-0,4
0972
0,50
0,41
928
-0,4
1928
0,60
0,40
972
-0,4
0972
0,70
0,37
921
-0,3
7921
0,80
0,32
162
-0,3
2162
0,90
0,22
298
-0,2
2298
1,00
0,00
000
-0,2
2298
-0,3
2162
-0,3
7921
-0,4
0972
-0,4
1928
-0,4
0972
-0,3
7921
-0,3
2162
-0,2
2298
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
80
Tab
lo 4
.25
Düz
gün
Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z R
xy K
öşe
Kuv
vetle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,06
113
-0,0
6113
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-0,0
6113
0,06
113
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
81
1 3 5 7 9
11 S1 S
3 S5 S
7 S9 S11
0,00000
0,00050
0,00100
0,00150
0,00200
0,00250
0,00300
0,00350
0,00400
0,00450
x/a y/b
Deplasmanlar
0,00000-0,000500,00050-0,001000,00100-0,001500,00150-0,002000,00200-0,002500,00250-0,003000,00300-0,003500,00350-0,004000,00400-0,00450
Şekil 4.7: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Sabit Olarak Mesnetli Dikdörtgen
Plağın Çökmesi
82
ÖR
NE
K 3
: DÖ
RT
KE
NA
RI A
NK
AST
RE
OL
AR
AK
ME
SNE
TLİ D
İKD
ÖR
TG
EN
PL
AĞ
A U
YG
UL
AN
AN
SA
BİT
Y
AY
ILI Y
ÜK
LE
ME
Tab
lo 4
.26
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Plağa
Uyg
ulan
an S
abit
Yayılı
Yük
lem
e
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,10
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,20
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,30
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,40
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,50
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,60
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,70
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,80
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,90
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,10
1,20
Öİ
İÖ
Ğ
(x/a
)
(y/b
)
83
Tab
lo 4
.27
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
, D
ört K
enarı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Dep
lasm
anla
rı
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
00,
0000
00,
0002
50,
0007
90,
0011
90,
0014
40,
0015
20,
0014
40,
0011
90,
0007
90,
0002
50,
0000
0-0
,10
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
012
0,00
019
0,00
023
0,00
024
0,00
023
0,00
019
0,00
012
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,00
025
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
012
0,00
019
0,00
023
0,00
024
0,00
023
0,00
019
0,00
012
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
025
0,20
0,00
079
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
031
0,00
049
0,00
061
0,00
065
0,00
061
0,00
049
0,00
031
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
079
0,30
0,00
119
0,00
019
0,00
000
0,00
019
0,00
049
0,00
077
0,00
096
0,00
102
0,00
096
0,00
077
0,00
049
0,00
019
0,00
000
0,00
019
0,00
119
0,40
0,00
144
0,00
023
0,00
000
0,00
023
0,00
061
0,00
096
0,00
120
0,00
128
0,00
120
0,00
096
0,00
061
0,00
023
0,00
000
0,00
023
0,00
144
0,50
0,00
152
0,00
024
0,00
000
0,00
024
0,00
065
0,00
102
0,00
128
0,00
137
0,00
128
0,00
102
0,00
065
0,00
024
0,00
000
0,00
024
0,00
152
0,60
0,00
144
0,00
023
0,00
000
0,00
023
0,00
061
0,00
096
0,00
120
0,00
128
0,00
120
0,00
096
0,00
061
0,00
023
0,00
000
0,00
023
0,00
144
0,70
0,00
119
0,00
019
0,00
000
0,00
019
0,00
049
0,00
077
0,00
096
0,00
102
0,00
096
0,00
077
0,00
049
0,00
019
0,00
000
0,00
019
0,00
119
0,80
0,00
079
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
031
0,00
049
0,00
061
0,00
065
0,00
061
0,00
049
0,00
031
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
079
0,90
0,00
025
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
012
0,00
019
0,00
023
0,00
024
0,00
023
0,00
019
0,00
012
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
025
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
0,00
005
0,00
000
0,00
005
0,00
012
0,00
019
0,00
023
0,00
024
0,00
023
0,00
019
0,00
012
0,00
005
0,00
000
0,00
005
1,20
0,00
000
0,00
025
0,00
079
0,00
119
0,00
144
0,00
152
0,00
144
0,00
119
0,00
079
0,00
025
0,00
000
(x/a
)
(y/b
)
84
Tab
lo 4
.28
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Mx
Mom
entle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
-0,0
0281
-0,0
0724
-0,0
1118
-0,0
1374
-0,0
1462
-0,0
1374
-0,0
1118
-0,0
0724
-0,0
0281
0,00
000
0,10
-0,0
0938
-0,0
0350
-0,0
0134
-0,0
0121
-0,0
0164
-0,0
0186
-0,0
0164
-0,0
0121
-0,0
0134
-0,0
0350
-0,0
0938
0,20
-0,0
2414
-0,0
0696
0,00
219
0,00
657
0,00
838
0,00
886
0,00
838
0,00
657
0,00
219
-0,0
0696
-0,0
2414
0,30
-0,0
3726
-0,0
1099
0,00
400
0,01
198
0,01
572
0,01
680
0,01
572
0,01
198
0,00
400
-0,0
1099
-0,0
3726
0,40
-0,0
4580
-0,0
1399
0,00
477
0,01
512
0,02
015
0,02
164
0,02
015
0,01
512
0,00
477
-0,0
1399
-0,0
4580
0,50
-0,0
4872
-0,0
1508
0,00
497
0,01
614
0,02
163
0,02
326
0,02
163
0,01
614
0,00
497
-0,0
1508
-0,0
4872
0,60
-0,0
4580
-0,0
1399
0,00
477
0,01
512
0,02
015
0,02
164
0,02
015
0,01
512
0,00
477
-0,0
1399
-0,0
4580
0,70
-0,0
3726
-0,0
1099
0,00
400
0,01
198
0,01
572
0,01
680
0,01
572
0,01
198
0,00
400
-0,0
1099
-0,0
3726
0,80
-0,0
2414
-0,0
0696
0,00
219
0,00
657
0,00
838
0,00
886
0,00
838
0,00
657
0,00
219
-0,0
0696
-0,0
2414
0,90
-0,0
0938
-0,0
0350
-0,0
0134
-0,0
0121
-0,0
0164
-0,0
0186
-0,0
0164
-0,0
0121
-0,0
0134
-0,0
0350
-0,0
0938
1,00
0,00
000
-0,0
0281
-0,0
0724
-0,0
1118
-0,0
1374
-0,0
1462
-0,0
1374
-0,0
1118
-0,0
0724
-0,0
0281
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
85
Tab
lo 4
.29
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
My
Mom
entle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
-0,0
0938
-0,0
2414
-0,0
3726
-0,0
4580
-0,0
4872
-0,0
4580
-0,0
3726
-0,0
2414
-0,0
0938
0,00
000
0,10
-0,0
0281
-0,0
0350
-0,0
0696
-0,0
1099
-0,0
1399
-0,0
1508
-0,0
1399
-0,0
1099
-0,0
0696
-0,0
0350
-0,0
0281
0,20
-0,0
0724
-0,0
0134
0,00
219
0,00
400
0,00
477
0,00
497
0,00
477
0,00
400
0,00
219
-0,0
0134
-0,0
0724
0,30
-0,0
1118
-0,0
0121
0,00
657
0,01
198
0,01
512
0,01
614
0,01
512
0,01
198
0,00
657
-0,0
0121
-0,0
1118
0,40
-0,0
1374
-0,0
0164
0,00
838
0,01
572
0,02
015
0,02
163
0,02
015
0,01
572
0,00
838
-0,0
0164
-0,0
1374
0,50
-0,0
1462
-0,0
0186
0,00
886
0,01
680
0,02
164
0,02
326
0,02
164
0,01
680
0,00
886
-0,0
0186
-0,0
1462
0,60
-0,0
1374
-0,0
0164
0,00
838
0,01
572
0,02
015
0,02
163
0,02
015
0,01
572
0,00
838
-0,0
0164
-0,0
1374
0,70
-0,0
1118
-0,0
0121
0,00
657
0,01
198
0,01
512
0,01
614
0,01
512
0,01
198
0,00
657
-0,0
0121
-0,0
1118
0,80
-0,0
0724
-0,0
0134
0,00
219
0,00
400
0,00
477
0,00
497
0,00
477
0,00
400
0,00
219
-0,0
0134
-0,0
0724
0,90
-0,0
0281
-0,0
0350
-0,0
0696
-0,0
1099
-0,0
1399
-0,0
1508
-0,0
1399
-0,0
1099
-0,0
0696
-0,0
0350
-0,0
0281
1,00
0,00
000
-0,0
0938
-0,0
2414
-0,0
3726
-0,0
4580
-0,0
4872
-0,0
4580
-0,0
3726
-0,0
2414
-0,0
0938
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
86
Tab
lo 4
.30
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Mxy
Mom
entle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
0,00
000
0,00
549
0,00
645
0,00
512
0,00
275
0,00
000
-0,0
0275
-0,0
0512
-0,0
0645
-0,0
0549
0,00
000
0,20
0,00
000
0,00
645
0,00
778
0,00
632
0,00
345
0,00
000
-0,0
0345
-0,0
0632
-0,0
0778
-0,0
0645
0,00
000
0,30
0,00
000
0,00
512
0,00
632
0,00
521
0,00
287
0,00
000
-0,0
0287
-0,0
0521
-0,0
0632
-0,0
0512
0,00
000
0,40
0,00
000
0,00
275
0,00
345
0,00
287
0,00
159
0,00
000
-0,0
0159
-0,0
0287
-0,0
0345
-0,0
0275
0,00
000
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
0,00
000
-0,0
0275
-0,0
0345
-0,0
0287
-0,0
0159
0,00
000
0,00
159
0,00
287
0,00
345
0,00
275
0,00
000
0,70
0,00
000
-0,0
0512
-0,0
0632
-0,0
0521
-0,0
0287
0,00
000
0,00
287
0,00
521
0,00
632
0,00
512
0,00
000
0,80
0,00
000
-0,0
0645
-0,0
0778
-0,0
0632
-0,0
0345
0,00
000
0,00
345
0,00
632
0,00
778
0,00
645
0,00
000
0,90
0,00
000
-0,0
0549
-0,0
0645
-0,0
0512
-0,0
0275
0,00
000
0,00
275
0,00
512
0,00
645
0,00
549
0,00
000
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
87
Tab
lo 4
.31
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Qx
Kes
me
Kuv
vetle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
-0,1
2072
-0,1
3941
-0,1
0826
-0,0
5728
0,00
000
0,05
728
0,10
826
0,13
941
0,12
072
0,00
000
0,10
0,06
307
0,01
498
-0,0
2001
-0,0
2820
-0,0
1824
0,00
000
0,01
824
0,02
820
0,02
001
-0,0
1498
-0,0
6307
0,20
0,23
582
0,13
759
0,07
259
0,03
371
0,01
250
0,00
000
-0,0
1250
-0,0
3371
-0,0
7259
-0,1
3759
-0,2
3582
0,30
0,35
170
0,22
698
0,13
906
0,07
793
0,03
456
0,00
000
-0,0
3456
-0,0
7794
-0,1
3906
-0,2
2698
-0,3
5170
0,40
0,41
577
0,27
956
0,17
872
0,10
442
0,04
780
0,00
000
-0,0
4780
-0,1
0442
-0,1
7872
-0,2
7956
-0,4
1577
0,50
0,43
607
0,29
676
0,19
186
0,11
323
0,05
220
0,00
000
-0,0
5220
-0,1
1323
-0,1
9186
-0,2
9676
-0,4
3607
0,60
0,41
577
0,27
956
0,17
872
0,10
442
0,04
780
0,00
000
-0,0
4780
-0,1
0442
-0,1
7872
-0,2
7956
-0,4
1577
0,70
0,35
170
0,22
698
0,13
906
0,07
793
0,03
456
0,00
000
-0,0
3456
-0,0
7793
-0,1
3906
-0,2
2698
-0,3
5170
0,80
0,23
582
0,13
759
0,07
259
0,03
371
0,01
250
0,00
000
-0,0
1250
-0,0
3371
-0,0
7259
-0,1
3759
-0,2
3582
0,90
0,06
307
0,01
498
-0,0
2001
-0,0
2820
-0,0
1824
0,00
000
0,01
824
0,02
820
0,02
001
-0,0
1498
-0,0
6307
1,00
0,00
000
-0,1
2072
-0,1
3941
-0,1
0826
-0,0
5728
0,00
000
0,05
728
0,10
826
0,13
941
0,12
072
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
88
Tab
lo 4
.32
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Qy
Kes
me
Kuv
vetle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,06
307
0,23
582
0,35
170
0,41
577
0,43
607
0,41
577
0,35
170
0,23
582
0,06
307
0,00
000
0,10
-0,1
2072
0,01
498
0,13
759
0,22
698
0,27
956
0,29
676
0,27
956
0,22
698
0,13
759
0,01
498
-0,1
2072
0,20
-0,1
3941
-0,0
2001
0,07
259
0,13
906
0,17
872
0,19
186
0,17
872
0,13
906
0,07
259
-0,0
2001
-0,1
3941
0,30
-0,1
0826
-0,0
2820
0,03
371
0,07
794
0,10
442
0,11
323
0,10
442
0,07
793
0,03
371
-0,0
2820
-0,1
0826
0,40
-0,0
5728
-0,0
1824
0,01
250
0,03
456
0,04
780
0,05
220
0,04
780
0,03
456
0,01
250
-0,0
1824
-0,0
5728
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
0,05
728
0,01
824
-0,0
1250
-0,0
3456
-0,0
4780
-0,0
5220
-0,0
4780
-0,0
3456
-0,0
1250
0,01
824
0,05
728
0,70
0,10
826
0,02
820
-0,0
3371
-0,0
7794
-0,1
0442
-0,1
1323
-0,1
0442
-0,0
7793
-0,0
3371
0,02
820
0,10
826
0,80
0,13
941
0,02
001
-0,0
7259
-0,1
3906
-0,1
7872
-0,1
9186
-0,1
7872
-0,1
3906
-0,0
7259
0,02
001
0,13
941
0,90
0,12
072
-0,0
1498
-0,1
3759
-0,2
2698
-0,2
7956
-0,2
9676
-0,2
7956
-0,2
2698
-0,1
3759
-0,0
1498
0,12
072
1,00
0,00
000
-0,0
6307
-0,2
3582
-0,3
5170
-0,4
1577
-0,4
3607
-0,4
1577
-0,3
5170
-0,2
3582
-0,0
6307
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
89
Tab
lo 4
.33
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Vx
Ve
Vy
Mes
net T
apki
leri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
Vy
0,00
0,00
000
0,06
307
0,23
582
0,35
170
0,41
577
0,43
607
0,41
577
0,35
170
0,23
582
0,06
307
0,00
000
0,10
Vx
0,06
307
-0,0
6307
0,20
0,23
582
-0,2
3582
0,30
0,35
170
-0,3
5170
0,40
0,41
577
-0,4
1577
0,50
0,43
607
-0,4
3607
0,60
0,41
577
-0,4
1577
0,70
0,35
170
-0,3
5170
0,80
0,23
582
-0,2
3582
0,90
0,06
307
-0,0
6307
1,00
0,00
000
-0,0
6307
-0,2
3582
-0,3
5170
-0,4
1577
-0,4
3607
-0,4
1577
-0,3
5170
-0,2
3582
-0,0
6307
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
90
Tab
lo 4
.34
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
Dör
t Ken
arı S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z R
xy K
öşe
Kuv
vetle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
91
1 3 5 7 9
11 S1 S
3 S5 S
7 S9 S11
0,00000
0,00020
0,00040
0,00060
0,00080
0,00100
0,00120
0,00140
x/a y/b
Deplasmanlar
0,00000-0,000200,00020-0,000400,00040-0,000600,00060-0,000800,00080-0,001000,00100-0,001200,00120-0,00140
Şekil 4.8: Sabit Yayılı Yükle Yüklü Dört Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli
Dikdörtgen Plağın Çökmesi
92
ÖR
NE
K 4
: İKİ K
EN
AR
I AN
KA
STR
E O
LA
RA
K M
ESN
ET
Lİ V
E İK
İ KE
NA
RI B
OŞT
A O
LA
N DİK
DÖ
RT
GE
N P
LAĞ
A
UY
GU
LA
NA
N S
ABİT
YA
YIL
I YÜ
KL
EM
E
Tab
lo 4
.35 İk
i Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e 2
Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Plağa
Uyg
ulan
an S
abit
Yayılı
Yük
lem
e
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,10
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,20
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,30
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,40
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,50
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,60
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,70
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,80
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,90
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
93
Tab
lo 4
.36
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Dep
lasm
anla
rı
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
00,
0000
00,
0000
10,
0014
20,
0027
80,
0037
30,
0040
70,
0037
30,
0027
80,
0014
20,
0000
10,
0000
0-0
,10
0,00
031
-0,0
0026
0,00
031
0,00
136
0,00
243
0,00
320
0,00
348
0,00
320
0,00
243
0,00
136
0,00
031
-0,0
0026
0,00
031
0,00
0,00
071
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
132
0,00
224
0,00
290
0,00
315
0,00
290
0,00
224
0,00
132
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
071
0,10
0,00
265
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
126
0,00
212
0,00
274
0,00
296
0,00
274
0,00
212
0,00
126
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
265
0,20
0,00
223
0,00
042
0,00
000
0,00
042
0,00
122
0,00
205
0,00
264
0,00
286
0,00
264
0,00
205
0,00
122
0,00
042
0,00
000
0,00
042
0,00
223
0,30
0,00
217
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
120
0,00
201
0,00
259
0,00
280
0,00
259
0,00
201
0,00
120
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
217
0,40
0,00
215
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
118
0,00
198
0,00
257
0,00
278
0,00
257
0,00
198
0,00
118
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
215
0,50
0,00
215
0,00
040
0,00
000
0,00
040
0,00
118
0,00
198
0,00
256
0,00
277
0,00
256
0,00
198
0,00
118
0,00
040
0,00
000
0,00
040
0,00
215
0,60
0,00
215
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
118
0,00
198
0,00
257
0,00
278
0,00
257
0,00
198
0,00
118
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
215
0,70
0,00
217
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
120
0,00
201
0,00
259
0,00
280
0,00
259
0,00
201
0,00
120
0,00
041
0,00
000
0,00
041
0,00
217
0,80
0,00
223
0,00
042
0,00
000
0,00
042
0,00
122
0,00
205
0,00
264
0,00
286
0,00
264
0,00
205
0,00
122
0,00
042
0,00
000
0,00
042
0,00
223
0,90
0,00
265
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
126
0,00
212
0,00
274
0,00
296
0,00
274
0,00
212
0,00
126
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
265
1,00
0,00
071
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
132
0,00
224
0,00
290
0,00
315
0,00
290
0,00
224
0,00
132
0,00
044
0,00
000
0,00
044
0,00
071
1,10
0,00
031
-0,0
0026
0,00
031
0,00
136
0,00
243
0,00
320
0,00
348
0,00
320
0,00
243
0,00
136
0,00
031
-0,0
0026
0,00
031
1,20
0,00
000
0,00
001
0,00
142
0,00
278
0,00
373
0,00
407
0,00
373
0,00
278
0,00
142
0,00
001
0,00
000
(x/a
)
(y/b
)
94
Tab
lo 4
.37
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İk
i Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Mx
Mom
entle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
-0,0
7974
-0,0
4006
-0,0
0375
0,02
282
0,03
880
0,04
412
0,03
880
0,02
282
-0,0
0375
-0,0
4006
-0,0
7974
0,10
-0,0
8731
-0,0
3861
-0,0
0315
0,02
214
0,03
738
0,04
246
0,03
738
0,02
214
-0,0
0315
-0,0
3861
-0,0
8731
0,20
-0,0
8419
-0,0
3810
-0,0
0297
0,02
191
0,03
681
0,04
178
0,03
681
0,02
191
-0,0
0297
-0,0
3810
-0,0
8419
0,30
-0,0
8213
-0,0
3758
-0,0
0289
0,02
181
0,03
659
0,04
151
0,03
659
0,02
181
-0,0
0289
-0,0
3758
-0,0
8213
0,40
-0,0
8115
-0,0
3722
-0,0
0282
0,02
177
0,03
650
0,04
141
0,03
650
0,02
177
-0,0
0282
-0,0
3722
-0,0
8115
0,50
-0,0
8088
-0,0
3709
-0,0
0279
0,02
176
0,03
648
0,04
138
0,03
648
0,02
176
-0,0
0279
-0,0
3709
-0,0
8088
0,60
-0,0
8115
-0,0
3722
-0,0
0282
0,02
177
0,03
650
0,04
141
0,03
650
0,02
177
-0,0
0282
-0,0
3722
-0,0
8115
0,70
-0,0
8213
-0,0
3758
-0,0
0289
0,02
181
0,03
659
0,04
151
0,03
659
0,02
181
-0,0
0289
-0,0
3758
-0,0
8213
0,80
-0,0
8419
-0,0
3810
-0,0
0297
0,02
191
0,03
681
0,04
178
0,03
681
0,02
191
-0,0
0297
-0,0
3810
-0,0
8419
0,90
-0,0
8731
-0,0
3861
-0,0
0315
0,02
214
0,03
738
0,04
246
0,03
738
0,02
214
-0,0
0315
-0,0
3861
-0,0
8731
1,00
-0,0
7974
-0,0
4006
-0,0
0375
0,02
282
0,03
880
0,04
412
0,03
880
0,02
282
-0,0
0375
-0,0
4006
-0,0
7974
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
95
Tab
lo 4
.38
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
My
Mom
entle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
-0,0
2619
-0,0
1031
-0,0
0195
0,00
247
0,00
468
0,00
535
0,00
468
0,00
247
-0,0
0195
-0,0
1031
-0,0
2619
0,20
-0,0
2526
-0,0
1191
-0,0
0237
0,00
377
0,00
717
0,00
825
0,00
717
0,00
377
-0,0
0237
-0,0
1191
-0,0
2526
0,30
-0,0
2464
-0,0
1177
-0,0
0204
0,00
467
0,00
857
0,00
984
0,00
857
0,00
467
-0,0
0204
-0,0
1177
-0,0
2464
0,40
-0,0
2435
-0,0
1148
-0,0
0167
0,00
522
0,00
931
0,01
066
0,00
931
0,00
522
-0,0
0167
-0,0
1148
-0,0
2435
0,50
-0,0
2426
-0,0
1138
-0,0
0153
0,00
541
0,00
954
0,01
091
0,00
954
0,00
541
-0,0
0153
-0,0
1138
-0,0
2426
0,60
-0,0
2435
-0,0
1148
-0,0
0167
0,00
522
0,00
931
0,01
066
0,00
931
0,00
522
-0,0
0167
-0,0
1148
-0,0
2435
0,70
-0,0
2464
-0,0
1177
-0,0
0204
0,00
467
0,00
857
0,00
984
0,00
857
0,00
467
-0,0
0204
-0,0
1177
-0,0
2464
0,80
-0,0
2526
-0,0
1191
-0,0
0237
0,00
377
0,00
717
0,00
825
0,00
717
0,00
377
-0,0
0237
-0,0
1191
-0,0
2526
0,90
-0,0
2619
-0,0
1031
-0,0
0195
0,00
247
0,00
468
0,00
535
0,00
468
0,00
247
-0,0
0195
-0,0
1031
-0,0
2619
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
96
Tab
lo 4
.39
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Mxy
M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
-0,0
0624
-0,0
0769
-0,0
0643
-0,0
0357
0,00
000
0,00
357
0,00
643
0,00
769
0,00
624
0,00
000
0,10
0,00
000
-0,0
0167
-0,0
0302
-0,0
0291
-0,0
0172
0,00
000
0,00
172
0,00
291
0,00
302
0,00
167
0,00
000
0,20
0,00
000
-0,0
0119
-0,0
0152
-0,0
0139
-0,0
0082
0,00
000
0,00
082
0,00
139
0,00
152
0,00
119
0,00
000
0,30
0,00
000
-0,0
0068
-0,0
0081
-0,0
0069
-0,0
0039
0,00
000
0,00
039
0,00
069
0,00
081
0,00
068
0,00
000
0,40
0,00
000
-0,0
0029
-0,0
0036
-0,0
0029
-0,0
0016
0,00
000
0,00
016
0,00
029
0,00
036
0,00
029
0,00
000
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
0,00
000
0,00
029
0,00
036
0,00
029
0,00
016
0,00
000
-0,0
0016
-0,0
0029
-0,0
0036
-0,0
0029
0,00
000
0,70
0,00
000
0,00
068
0,00
081
0,00
069
0,00
039
0,00
000
-0,0
0039
-0,0
0069
-0,0
0081
-0,0
0068
0,00
000
0,80
0,00
000
0,00
119
0,00
152
0,00
139
0,00
082
0,00
000
-0,0
0082
-0,0
0139
-0,0
0152
-0,0
0119
0,00
000
0,90
0,00
000
0,00
167
0,00
302
0,00
291
0,00
172
0,00
000
-0,0
0172
-0,0
0291
-0,0
0302
-0,0
0167
0,00
000
1,00
0,00
000
0,00
624
0,00
769
0,00
643
0,00
357
0,00
000
-0,0
0357
-0,0
0643
-0,0
0769
-0,0
0624
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
97
Tab
lo 4
.40
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Qx
Kes
me
Kuv
vetle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
-0,3
0134
0,29
227
0,24
184
0,16
364
0,08
196
0,00
000
-0,0
8196
-0,1
6364
-0,2
4184
-0,2
9227
0,30
134
0,10
0,69
221
0,41
692
0,28
281
0,18
134
0,08
924
0,00
000
-0,0
8924
-0,1
8134
-0,2
8281
-0,4
1693
-0,6
9221
0,20
0,50
187
0,40
041
0,29
113
0,18
968
0,09
365
0,00
000
-0,0
9365
-0,1
8968
-0,2
9113
-0,4
0041
-0,5
0187
0,30
0,48
626
0,39
170
0,29
164
0,19
261
0,09
567
0,00
000
-0,0
9567
-0,1
9261
-0,2
9164
-0,3
9170
-0,4
8626
0,40
0,48
338
0,38
849
0,29
112
0,19
344
0,09
643
0,00
000
-0,0
9643
-0,1
9344
-0,2
9112
-0,3
8849
-0,4
8338
0,50
0,48
320
0,38
777
0,29
090
0,19
360
0,09
662
0,00
000
-0,0
9661
-0,1
9360
-0,2
9090
-0,3
8777
-0,4
8320
0,60
0,48
338
0,38
849
0,29
112
0,19
344
0,09
643
0,00
000
-0,0
9643
-0,1
9344
-0,2
9112
-0,3
8849
-0,4
8338
0,70
0,48
626
0,39
170
0,29
164
0,19
261
0,09
567
0,00
000
-0,0
9567
-0,1
9261
-0,2
9164
-0,3
9170
-0,4
8626
0,80
0,50
187
0,40
041
0,29
113
0,18
968
0,09
365
0,00
000
-0,0
9365
-0,1
8968
-0,2
9113
-0,4
0041
-0,5
0187
0,90
0,69
221
0,41
692
0,28
281
0,18
134
0,08
924
0,00
000
-0,0
8924
-0,1
8134
-0,2
8281
-0,4
1693
-0,6
9221
1,00
-0,3
0134
0,29
227
0,24
184
0,16
364
0,08
196
0,00
000
-0,0
8196
-0,1
6364
-0,2
4184
-0,2
9227
0,30
134
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
98
Tab
lo 4
.41
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Qy
Kes
me
Kuv
vetle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,39
686
-0,0
3107
0,00
212
0,02
311
0,03
403
0,03
740
0,03
403
0,02
311
0,00
212
-0,0
3107
0,39
686
0,10
-0,1
1425
-0,0
3828
-0,0
0612
0,01
102
0,01
992
0,02
271
0,01
992
0,01
102
-0,0
0612
-0,0
3828
-0,1
1426
0,20
0,02
589
-0,0
0167
0,00
066
0,00
716
0,01
193
0,01
359
0,01
193
0,00
716
0,00
066
-0,0
0167
0,02
589
0,30
0,01
518
0,00
505
0,00
327
0,00
503
0,00
703
0,00
782
0,00
703
0,00
503
0,00
327
0,00
505
0,01
518
0,40
0,00
627
0,00
341
0,00
234
0,00
268
0,00
333
0,00
362
0,00
333
0,00
268
0,00
234
0,00
341
0,00
627
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
-0,0
0627
-0,0
0341
-0,0
0234
-0,0
0268
-0,0
0333
-0,0
0362
-0,0
0333
-0,0
0268
-0,0
0234
-0,0
0341
-0,0
0627
0,70
-0,0
1518
-0,0
0505
-0,0
0327
-0,0
0503
-0,0
0703
-0,0
0782
-0,0
0703
-0,0
0503
-0,0
0327
-0,0
0505
-0,0
1518
0,80
-0,0
2589
0,00
167
-0,0
0066
-0,0
0716
-0,0
1193
-0,0
1359
-0,0
1193
-0,0
0716
-0,0
0066
0,00
167
-0,0
2589
0,90
0,11
425
0,03
828
0,00
612
-0,0
1102
-0,0
1992
-0,0
2271
-0,0
1992
-0,0
1102
0,00
612
0,03
828
0,11
426
1,00
-0,3
9686
0,03
107
-0,0
0212
-0,0
2311
-0,0
3403
-0,0
3740
-0,0
3403
-0,0
2311
-0,0
0212
0,03
107
-0,3
9686
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
99
Tab
lo 4
.42
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre
Ola
rak
Mes
netli
Ve İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
ni D
ikdö
rtge
n Pl
ak B
oyut
suz
Vx
Ve
Vy
Mes
net T
apki
leri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
Vy
0,00
-0,3
0134
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,30
134
0,10
Vx
0,69
221
-0,6
9221
0,20
0,50
187
-0,5
0187
0,30
0,48
626
-0,4
8626
0,40
0,48
338
-0,4
8338
0,50
0,48
320
-0,4
8320
0,60
0,48
338
-0,4
8338
0,70
0,48
626
-0,4
8626
0,80
0,50
187
-0,5
0187
0,90
0,69
221
-0,6
9221
1,00
-0,3
0134
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,30
134
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
100
Tab
lo 4
.43
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k M
esne
tli V
e İk
i Ken
arı B
oşta
Ola
n D
ikdö
rtgen
Pla
k B
oyut
suz
Rxy
Köş
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
0,00
000
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00
000
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
101
1 3 5 7 9
11 S1 S3 S5 S7 S9 S11
0,00000
0,00050
0,00100
0,00150
0,00200
0,00250
0,00300
0,00350
x/a y/b
Deplasmanlar
0,00000-0,000500,00050-0,001000,00100-0,001500,00150-0,002000,00200-0,002500,00250-0,003000,00300-0,00350
Şekil 4.9: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre Olarak Mesnetli Ve İki
Kenarı Boşta Olan Dikdörtgen Plağın Çökmesi
102
ÖR
NE
K 5
: İKİ K
EN
AR
I AN
KA
STR
E O
LA
RA
K İK
İ KE
NA
R S
ABİT
OL
AR
AK
ME
SNE
TLİ D
İKD
ÖR
TG
EN
PL
AĞ
A U
YG
UL
AN
AN
SA
BİT
YA
YIL
I YÜ
KL
EM
E
Tab
lo 4
.44
İki K
enarı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lağa
Uyg
ulan
an S
abit
Yayılı
Yük
lem
e
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,10
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,20
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,30
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,40
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,50
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,60
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,70
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,80
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
0,90
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
İİ
İİ
İİ
103
Tab
lo 4
.45
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
, İk
i Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z D
epla
sman
ları
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
00,
0000
00,
0008
80,
0014
00,
0017
20,
0018
90,
0019
50,
0018
90,
0017
20,
0014
00,
0008
80,
0000
0-0
,10
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
022
0,00
028
0,00
032
0,00
033
0,00
032
0,00
028
0,00
022
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,10
-0,0
0012
-0,0
0012
0,00
000
0,00
012
0,00
022
0,00
028
0,00
032
0,00
033
0,00
032
0,00
028
0,00
022
0,00
012
0,00
000
-0,0
0012
-0,0
0012
0,20
-0,0
0049
-0,0
0033
0,00
000
0,00
033
0,00
059
0,00
077
0,00
088
0,00
092
0,00
088
0,00
077
0,00
059
0,00
033
0,00
000
-0,0
0033
-0,0
0049
0,30
-0,0
0084
-0,0
0051
0,00
000
0,00
051
0,00
094
0,00
125
0,00
143
0,00
149
0,00
143
0,00
125
0,00
094
0,00
051
0,00
000
-0,0
0051
-0,0
0084
0,40
-0,0
0108
-0,0
0064
0,00
000
0,00
064
0,00
118
0,00
158
0,00
181
0,00
189
0,00
181
0,00
158
0,00
118
0,00
064
0,00
000
-0,0
0064
-0,0
0108
0,50
-0,0
0117
-0,0
0069
0,00
000
0,00
069
0,00
127
0,00
169
0,00
195
0,00
203
0,00
195
0,00
169
0,00
127
0,00
069
0,00
000
-0,0
0069
-0,0
0117
0,60
-0,0
0108
-0,0
0064
0,00
000
0,00
064
0,00
118
0,00
158
0,00
181
0,00
189
0,00
181
0,00
158
0,00
118
0,00
064
0,00
000
-0,0
0064
-0,0
0108
0,70
-0,0
0084
-0,0
0051
0,00
000
0,00
051
0,00
094
0,00
125
0,00
143
0,00
149
0,00
143
0,00
125
0,00
094
0,00
051
0,00
000
-0,0
0051
-0,0
0084
0,80
-0,0
0049
-0,0
0033
0,00
000
0,00
033
0,00
059
0,00
077
0,00
088
0,00
092
0,00
088
0,00
077
0,00
059
0,00
033
0,00
000
-0,0
0033
-0,0
0049
0,90
-0,0
0012
-0,0
0012
0,00
000
0,00
012
0,00
022
0,00
028
0,00
032
0,00
033
0,00
032
0,00
028
0,00
022
0,00
012
0,00
000
-0,0
0012
-0,0
0012
1,00
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
1,10
0,00
012
0,00
000
0,00
012
0,00
022
0,00
028
0,00
032
0,00
033
0,00
032
0,00
028
0,00
022
0,00
012
0,00
000
0,00
012
1,20
0,00
000
0,00
088
0,00
140
0,00
172
0,00
189
0,00
195
0,00
189
0,00
172
0,00
140
0,00
088
0,00
000
(x/a
)
(y/b
)
104
Tab
lo 4
.46
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z M
x M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
-0,0
0746
-0,0
1321
-0,0
1709
-0,0
1931
-0,0
2002
-0,0
1931
-0,0
1709
-0,0
1321
-0,0
0746
0,00
000
0,10
0,00
000
0,00
055
-0,0
0136
-0,0
0336
-0,0
0471
-0,0
0517
-0,0
0471
-0,0
0336
-0,0
0136
0,00
055
0,00
000
0,20
0,00
000
0,00
652
0,00
828
0,00
822
0,00
777
0,00
756
0,00
777
0,00
822
0,00
828
0,00
652
0,00
000
0,30
0,00
000
0,01
058
0,01
522
0,01
684
0,01
721
0,01
724
0,01
721
0,01
684
0,01
522
0,01
058
0,00
000
0,40
0,00
000
0,01
293
0,01
937
0,02
212
0,02
307
0,02
327
0,02
307
0,02
212
0,01
937
0,01
293
0,00
000
0,50
0,00
000
0,01
370
0,02
075
0,02
389
0,02
505
0,02
531
0,02
505
0,02
389
0,02
075
0,01
370
0,00
000
0,60
0,00
000
0,01
293
0,01
937
0,02
212
0,02
307
0,02
327
0,02
307
0,02
212
0,01
937
0,01
293
0,00
000
0,70
0,00
000
0,01
058
0,01
522
0,01
684
0,01
721
0,01
724
0,01
721
0,01
684
0,01
522
0,01
058
0,00
000
0,80
0,00
000
0,00
652
0,00
828
0,00
822
0,00
777
0,00
756
0,00
777
0,00
822
0,00
828
0,00
652
0,00
000
0,90
0,00
000
0,00
055
-0,0
0136
-0,0
0336
-0,0
0471
-0,0
0517
-0,0
0471
-0,0
0336
-0,0
0136
0,00
055
0,00
000
1,00
0,00
000
-0,0
0746
-0,0
1321
-0,0
1709
-0,0
1931
-0,0
2002
-0,0
1931
-0,0
1709
-0,0
1321
-0,0
0746
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
105
Tab
lo 4
.47
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z M
y M
omen
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
000
-0,0
2486
-0,0
4402
-0,0
5698
-0,0
6436
-0,0
6674
-0,0
6436
-0,0
5698
-0,0
4402
-0,0
2486
0,00
000
0,10
0,00
000
-0,0
0681
-0,0
1394
-0,0
1967
-0,0
2326
-0,0
2447
-0,0
2326
-0,0
1967
-0,0
1394
-0,0
0681
0,00
000
0,20
0,00
000
0,00
304
0,00
403
0,00
400
0,00
371
0,00
357
0,00
371
0,00
400
0,00
403
0,00
304
0,00
000
0,30
0,00
000
0,00
861
0,01
455
0,01
829
0,02
032
0,02
096
0,02
032
0,01
829
0,01
455
0,00
861
0,00
000
0,40
0,00
000
0,01
150
0,02
007
0,02
589
0,02
924
0,03
033
0,02
924
0,02
589
0,02
007
0,01
150
0,00
000
0,50
0,00
000
0,01
239
0,02
178
0,02
827
0,03
205
0,03
329
0,03
205
0,02
827
0,02
178
0,01
239
0,00
000
0,60
0,00
000
0,01
150
0,02
007
0,02
589
0,02
924
0,03
033
0,02
924
0,02
589
0,02
007
0,01
150
0,00
000
0,70
0,00
000
0,00
861
0,01
455
0,01
829
0,02
032
0,02
096
0,02
032
0,01
829
0,01
455
0,00
861
0,00
000
0,80
0,00
000
0,00
304
0,00
403
0,00
400
0,00
371
0,00
357
0,00
371
0,00
400
0,00
403
0,00
304
0,00
000
0,90
0,00
000
-0,0
0681
-0,0
1394
-0,0
1967
-0,0
2326
-0,0
2447
-0,0
2326
-0,0
1967
-0,0
1394
-0,0
0681
0,00
000
1,00
0,00
000
-0,0
2486
-0,0
4402
-0,0
5698
-0,0
6436
-0,0
6674
-0,0
6436
-0,0
5698
-0,0
4402
-0,0
2486
0,00
000
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
106
Tab
lo 4
.48
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z M
xy
Mom
entle
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
435
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
-0,0
0435
0,10
0,01
138
0,01
031
0,00
787
0,00
516
0,00
253
0,00
000
-0,0
0253
-0,0
0516
-0,0
0787
-0,0
1031
-0,0
1138
0,20
0,01
365
0,01
261
0,01
003
0,00
679
0,00
339
0,00
000
-0,0
0339
-0,0
0679
-0,0
1003
-0,0
1261
-0,0
1365
0,30
0,01
114
0,01
039
0,00
844
0,00
582
0,00
295
0,00
000
-0,0
0295
-0,0
0582
-0,0
0844
-0,0
1039
-0,0
1114
0,40
0,00
612
0,00
573
0,00
470
0,00
328
0,00
167
0,00
000
-0,0
0167
-0,0
0328
-0,0
0470
-0,0
0573
-0,0
0612
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
-0,0
0612
-0,0
0573
-0,0
0470
-0,0
0328
-0,0
0167
0,00
000
0,00
167
0,00
328
0,00
470
0,00
573
0,00
612
0,70
-0,0
1114
-0,0
1039
-0,0
0844
-0,0
0582
-0,0
0295
0,00
000
0,00
295
0,00
582
0,00
844
0,01
039
0,01
114
0,80
-0,0
1365
-0,0
1261
-0,0
1003
-0,0
0679
-0,0
0339
0,00
000
0,00
339
0,00
679
0,01
003
0,01
261
0,01
365
0,90
-0,0
1138
-0,0
1031
-0,0
0787
-0,0
0516
-0,0
0253
0,00
000
0,00
253
0,00
516
0,00
787
0,01
031
0,01
138
1,00
-0,0
0435
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
435
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
107
Tab
lo 4
.49
Sab
it Y
ayılı
Yük
le Y
üklü
İki K
enarı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z Q
x K
esm
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
-0,1
2429
-0,2
2010
-0,1
6061
-0,1
0168
-0,0
4881
0,00
000
0,04
881
0,10
168
0,16
061
0,22
010
0,12
429
0,10
0,00
181
-0,0
5885
-0,0
6448
-0,0
4870
-0,0
2543
0,00
000
0,02
543
0,04
870
0,06
448
0,05
885
-0,0
0181
0,20
0,12
353
0,04
736
0,01
025
-0,0
0320
-0,0
0421
0,00
000
0,00
421
0,00
320
-0,0
1025
-0,0
4736
-0,1
2353
0,30
0,19
761
0,11
449
0,06
132
0,02
986
0,01
179
0,00
000
-0,0
1179
-0,0
2986
-0,0
6132
-0,1
1449
-0,1
9761
0,40
0,23
793
0,15
168
0,09
069
0,04
952
0,02
152
0,00
000
-0,0
2152
-0,0
4952
-0,0
9069
-0,1
5168
-0,2
3793
0,50
0,25
076
0,16
359
0,10
025
0,05
601
0,02
476
0,00
000
-0,0
2476
-0,0
5601
-0,1
0025
-0,1
6359
-0,2
5076
0,60
0,23
793
0,15
168
0,09
069
0,04
952
0,02
152
0,00
000
-0,0
2152
-0,0
4952
-0,0
9069
-0,1
5168
-0,2
3793
0,70
0,19
761
0,11
449
0,06
132
0,02
986
0,01
179
0,00
000
-0,0
1179
-0,0
2986
-0,0
6132
-0,1
1449
-0,1
9761
0,80
0,12
353
0,04
736
0,01
025
-0,0
0320
-0,0
0421
0,00
000
0,00
421
0,00
320
-0,0
1025
-0,0
4736
-0,1
2353
0,90
0,00
181
-0,0
5885
-0,0
6448
-0,0
4870
-0,0
2543
0,00
000
0,02
543
0,04
870
0,06
448
0,05
885
-0,0
0181
1,00
-0,1
2429
-0,2
2010
-0,1
6061
-0,1
0168
-0,0
4881
0,00
000
0,04
881
0,10
168
0,16
061
0,22
010
0,12
429
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
108
Tab
lo 4
.50
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z Q
y K
esm
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,12
429
0,27
888
0,40
351
0,47
057
0,50
343
0,51
327
0,50
343
0,47
057
0,40
351
0,27
888
0,12
429
0,10
0,00
000
0,16
106
0,26
746
0,33
192
0,36
594
0,37
652
0,36
594
0,33
192
0,26
746
0,16
106
0,00
000
0,20
0,00
000
0,09
790
0,17
334
0,22
370
0,25
190
0,26
092
0,25
190
0,22
370
0,17
334
0,09
790
0,00
000
0,30
0,00
000
0,05
720
0,10
432
0,13
764
0,15
704
0,16
337
0,15
704
0,13
764
0,10
432
0,05
720
0,00
000
0,40
0,00
000
0,02
657
0,04
910
0,06
550
0,07
525
0,07
847
0,07
525
0,06
550
0,04
910
0,02
657
0,00
000
0,50
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,00
000
0,60
0,00
000
-0,0
2657
-0,0
4910
-0,0
6550
-0,0
7525
-0,0
7847
-0,0
7525
-0,0
6550
-0,0
4910
-0,0
2657
0,00
000
0,70
0,00
000
-0,0
5720
-0,1
0432
-0,1
3764
-0,1
5704
-0,1
6337
-0,1
5704
-0,1
3764
-0,1
0432
-0,0
5720
0,00
000
0,80
0,00
000
-0,0
9790
-0,1
7334
-0,2
2370
-0,2
5190
-0,2
6092
-0,2
5190
-0,2
2370
-0,1
7334
-0,0
9790
0,00
000
0,90
0,00
000
-0,1
6106
-0,2
6746
-0,3
3192
-0,3
6594
-0,3
7652
-0,3
6594
-0,3
3192
-0,2
6746
-0,1
6106
0,00
000
1,00
-0,1
2429
-0,2
7888
-0,4
0351
-0,4
7057
-0,5
0343
-0,5
1327
-0,5
0343
-0,4
7057
-0,4
0351
-0,2
7888
-0,1
2429
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
109
Tab
lo 4
.51
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki
Ken
arı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z V
x V
e V
y M
esne
t Tap
kile
ri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
Vy
0,00
-0,2
1130
0,27
888
0,40
351
0,47
057
0,50
343
0,51
327
0,50
343
0,47
057
0,40
351
0,27
888
0,21
130
0,10
Vx
-0,0
5186
0,05
186
0,20
0,13
189
-0,1
3189
0,30
0,23
946
-0,2
3946
0,40
0,29
655
-0,2
9655
0,50
0,31
448
-0,3
1448
0,60
0,29
655
-0,2
9655
0,70
0,23
946
-0,2
3946
0,80
0,13
189
-0,1
3189
0,90
-0,0
5186
0,05
186
1,00
-0,2
1130
-0,2
7888
-0,4
0351
-0,4
7057
-0,5
0343
-0,5
1327
-0,5
0343
-0,4
7057
-0,4
0351
-0,2
7888
0,21
130
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
110
Tab
lo 4
.52
Sabi
t Yayılı
Yük
le Y
üklü
İki K
enarı A
nkas
tre O
lara
k İk
i Ken
ar S
abit
Ola
rak
Mes
netli
Dik
dörtg
en P
lak
Boy
utsu
z R
xy
Köş
e K
uvve
tleri
-0,2
0-0
,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
-0,2
0-0
,10
0,00
0,00
870
-0,0
0870
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
-0,0
0870
0,00
870
1,10
1,20
(x/a
)
(y/b
)
111
1 3 5 7 9
11 S1 S
3 S5 S
7 S9 S11
0,00000
0,00050
0,00100
0,00150
0,00200
0,00250
x/a y/b
Deplasmanlar
0,00000-0,000500,00050-0,001000,00100-0,001500,00150-0,002000,00200-0,00250
Şekil 4.10: Sabit Yayılı Yükle Yüklü İki Kenarı Ankastre İki Kenarı Sabit Olarak
Mesnetli Dikdörtgen Plağın Çökmesi
112
4.7 ANALİTİK ÇÖZÜM İLE SAYISAL ÇÖZÜMÜN KARŞILAŞTIRILMASI
Ortotropik plak problemleri kısmında hazırlamış olduğumuz program ile
çözdüğümüz dörtkenarı sabit olarak mesnetli ve üzerine sabit yayılı yük uygulanan
ortotropik dikdörtgen plak sonucunu S. Timoshenko’ nun Plak ve Kabuklar Teorisi
kitabının 183. sayfasında bulunan ve Dörtkenarı sabit mesnetli ortotrop plak için elde
ettiği sonuç ile karşılaştıracağız.
Dörtkenarı sabit mesnetli ortotrop plak için Timoshenko’ nun verdiği analitik sonuç;
∑ ∑∞
=
∞
= ++=
..5,3,1 ...5,3,14
4
22
22
4
46
)2(
sinsin16m n
yx
o
DbnH
banmD
ammn
byn
axm
qw
ππ
π (4.45)
Seri hızla yakınsak olduğu için ilk 4 terimin alınması yeterli olacaktır. 2/ax = ve
2/by = için w ;
∑∞
=
+++
=..5,3,1
422
2
4
46 ))12(
sin((sin
16m
yx
o
Db
Hba
mDamm
by
axmq
w
ππ
π
)))8118(3
3sin(
422
2
4
4
yx Db
HbamD
amm
by
+++
π
+++
+++
= )))81181(3
3sin()
)121(
sin(((sin
16
42244224
6
yxyx
o
Db
Hba
Da
by
Db
Hba
Da
by
axq
w
πππ
π
))))8116281(9
3sin()
)11881(3
sin((3sin
42244224 yxyx Db
Hba
Da
by
Db
Hba
Da
by
ax
+++
+++
πππ
(4.46)
113
x ve y değerlerini yerlerine koyacak olursak;
+++
−++
= ))81181(3
1
)121(
1(1(16
42244224
6
yxyx
o
Db
Hba
Da
Db
Hba
Da
qw
π
)))7291458729(
1
)354243(
1)(1(
42244224 yxyx Db
Hba
Da
Db
Hba
Da
++−
++−+ (4.47)
olarak elde edilir. Bu denklemdeki sabitler (2.51), (2.55) ve (2.58) ifadeleri yardımı
ile bulunur;
2* /902.243.1504,0*4,01
000.000.151
MKNE
Eyxxy
xxx =
−=
−=
νν
2* /390.524.104,0*4,01
000.500.11
MKNE
Eyxxy
yyy =
−=
−=
νν
2/756.60904,0*4,01000.500.1*4,0
11MKN
EEEE
yxxy
yyxy
yxxy
xxyxyxxy =
−=
−=
−==
ννν
ννν
KNMEh
D xx 2195
12)902.243.15(*)12,0(
12
3*3
===
KNMEh
D xy 5,219
12)390.524.1(*)12,0(
12
3*3
===
KNMEh
D xy 80,8712
)756.609(*)12,0(12
33
1 ===
KNMGhDxy 144012
)000.000.10(*)12(12
33
===
KNMDDH xy 80,29671440*280,8721 =+=+=
20 /2 MKNq = (4.48)
114
Bu değerler (4.47) de yerine konularak;
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++
=)5,219
6,318,2967
6,36,422195
6,41(
12*16
4224
6πw
−++
−)5,219
6,3818,2967
6,36,4182195
6,41(3
1
4224
+++
−)5,219
6,3380,2967
6,36,4542195
6,4243(
1
4224
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
+++
)5,2196,3
72980,29676,36,4
145821956,4
729(
1
4224
mw 0011419,020,20305
158,1779
166,916
185,27
114,332
6 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−= (4.49)
Daha önce elektronik tabloda bulduğumuz değer ise Tablo 4.8’ den 0,00115 m idi.
Analitik sonuca oldukça yakınsak olduğu görülmektedir.
115
a/b (W)x=a/2,y=b/2 (Mx)x=a/2,y=b/2 (My)x=a/2,y=b/2 (My)x=a/2,y=b
0,00192 0,02440 0,03320 -0,069700,00203 0,02531 0,03329 -0,06674
5,73% 3,73% 0,27% -4,25%0,00209 0,02300 0,03550 -0,073900,00222 0,02390 0,03573 -0,07113
6,22% 3,91% 0,65% -3,75%0,00223 0,02150 0,03750 -0,077100,00236 0,02244 0,03763 -0,07450
5,83% 4,37% 0,35% -3,37%0,00234 0,02030 0,03880 -0,079400,00248 0,02104 0,03909 -0,07704
5,98% 3,65% 0,75% -2,97%0,00240 0,01920 0,03990 -0,081000,00257 0,01975 0,04019 -0,07894
7,08% 2,86% 0,73% -2,54%0,00247 0,01790 0,04060 -0,082200,00264 0,01859 0,04101 -0,08033
6,88% 3,85% 1,01% -2,27%0,00260 0,01420 0,04200 -0,084200,00280 0,01483 0,04267 -0,08300
7,69% 4,44% 1,60% -1,43%
1,400
1,500
2,000
1,000
1,100
1,200
1,300
Ortotropinin Özel Hali Olan İzotropik Plak Çözümlerinin Karşılaştırılması:
Tablo 4.53’te ilk satırlar analitik çözüm, ikinci satır sayısal çözüm sonuçlarıdır.
Tablo 4.53 İki Kenarı Ankastre ve İki Kenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin
Karşılaştırılması.
116
b/a (W)x=a/2,y=b/2 (Mx)x=0,y=b/2 (My)x=a/2,y=0 (Mx)x=a/2,y=b/2 (My)x=a/2,y=b/2
0,00138 -0,05130 -0,05130 0,02310 0,023100,00137 -0,04872 -0,04872 0,02326 0,02326-0,72% -5,03% -5,03% 0,69% 0,69%
0,00164 -0,05810 -0,05310 0,02640 0,023100,00163 -0,05569 -0,05044 0,02711 0,02348-0,61% -4,15% -5,01% 2,69% 1,65%
0,00188 -0,06390 -0,05540 0,02990 0,022800,00187 -0,06169 -0,05115 0,03046 0,02314-0,53% -3,46% -7,67% 1,87% 1,49%
0,00209 -0,06870 -0,05630 0,03270 0,022200,00207 -0,06667 -0,05115 0,03325 0,02150-0,96% -2,95% -9,15% 1,68% -3,15%
0,00226 -0,07260 -0,05680 0,03490 0,021200,00223 -0,07069 -0,05067 0,03552 0,02150-1,33% -2,63% -10,79% 1,78% 1,42%
0,00240 -0,07570 -0,05700 0,03680 0,020300,00237 -0,07387 -0,04989 0,03733 0,02048-1,25% -2,42% -12,47% 1,44% 0,89%
0,00251 -0,07800 -0,05710 0,03810 0,019300,00248 -0,07633 -0,04893 0,03875 0,01945-1,20% -2,14% -14,31% 1,71% 0,78%
0,00260 -0,07990 -0,05710 0,03810 0,019300,00256 -0,07822 -0,04786 0,03984 0,01847-1,54% -2,10% -16,18% 4,57% -4,30%
0,00267 -0,08120 -0,05710 0,04010 0,017400,00263 -0,07963 -0,04674 0,04066 0,01757-1,50% -1,93% -18,14% 1,40% 0,98%
0,00272 -0,08220 -0,05710 0,04070 0,016500,00268 -0,08067 -0,04558 0,04128 0,01677-1,47% -1,86% -20,18% 1,43% 1,64%
0,00277 -0,08290 -0,05710 0,04170 0,012500,00272 -0,08142 -0,04441 0,04173 0,01606-1,81% -1,79% -22,22% 0,07% 28,48%
1,000
1,100
1,200
1,300
1,800
1,900
2,000
1,400
1,500
1,600
1,700
Tablo 4.54 Dörtkenarı Ankastre Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması.
117
Tablo 4.55 Dörtkenarı Sabit Olarak Mesnetlenmiş Plağın Analitik Çözümleri ile Sonlu Farklar Yöntemi ile Bulunan Çözümlerinin Karşılaştırılması
b/a (W)max (Mx)max (My)max (Qx)max (Qy)max (Vx)max (Vy)max R0,00406 0,04790 0,04790 0,33800 0,33800 0,42000 0,42000 0,065000,00406 0,04751 0,04751 0,33828 0,33828 0,41928 0,41928 0,06113
0,00% -0,81% -0,81% 0,08% 0,08% -0,17% -0,17% -5,95%0,00485 0,05540 0,04930 0,36000 0,34700 0,44000 0,44000 0,070000,00486 0,05503 0,04895 0,36002 0,34776 0,43851 0,43774 0,06673
0,21% -0,67% -0,71% 0,01% 0,22% -0,34% -0,51% -4,67%0,00564 0,06270 0,05010 0,38000 0,35300 0,45500 0,45300 0,074000,00564 0,06216 0,04973 0,37910 0,35488 0,45397 0,45251 0,07133
0,00% -0,86% -0,74% -0,24% 0,53% -0,23% -0,11% -3,61%0,00638 0,06940 0,05030 0,39700 0,35700 0,46800 0,46400 0,079000,00638 0,06880 0,05000 0,39574 0,36047 0,46625 0,46423 0,07503
0,00% -0,86% -0,60% -0,32% 0,97% -0,37% 0,05% -5,03%0,00705 0,07550 0,05020 0,41100 0,36100 0,47800 0,47100 0,083000,00708 0,07491 0,04992 0,41018 0,36485 0,47592 0,47351 0,07795
0,43% -0,78% -0,56% -0,20% 1,07% -0,44% 0,53% -6,08%0,00772 0,08120 0,04980 0,42400 0,36300 0,48600 0,48000 0,085000,00772 0,08048 0,04958 0,42270 0,36837 0,48352 0,48088 0,08021
0,00% -0,89% -0,44% -0,31% 1,48% -0,51% 0,18% -5,64%0,00830 0,08620 0,04920 0,43500 0,36500 0,49100 0,48500 0,086000,00830 0,08550 0,04905 0,43342 0,37118 0,48930 0,48665 0,08189
0,00% -0,81% -0,30% -0,36% 1,69% -0,35% 0,34% -4,78%0,00883 0,09080 0,04860 0,44400 0,36700 0,49600 0,48800 0,088000,00883 0,09001 0,04841 0,44269 0,37355 0,49376 0,49128 0,08314
0,00% -0,87% -0,39% -0,30% 1,78% -0,45% 0,67% -5,52%0,00931 0,09480 0,04790 0,45200 0,36800 0,49900 0,49100 0,090000,00930 0,09405 0,04771 0,45065 0,37560 0,49714 0,49500 0,08401-0,11% -0,79% -0,40% -0,30% 2,07% -0,37% 0,81% -6,66%
0,00974 0,09850 0,04710 0,45900 0,36900 0,50200 0,49400 0,091000,00973 0,09765 0,04699 0,45750 0,37741 0,49965 0,49802 0,08460-0,10% -0,86% -0,23% -0,33% 2,28% -0,47% 0,81% -7,03%
0,01013 0,10170 0,04640 0,46500 0,37000 0,50300 0,49600 0,092000,01012 0,10085 0,04626 0,46338 0,37907 0,50149 0,50052 0,08495-0,10% -0,84% -0,30% -0,35% 2,45% -0,30% 0,91% -7,66%
0,01223 0,11890 0,04060 0,49300 0,37200 0,50500 0,49800 0,093000,01224 0,11812 0,04078 0,49143 0,39454 0,50413 0,51472 0,08253
0,08% -0,66% 0,44% -0,32% 6,06% -0,17% 3,36% -11,26%0,01282 0,12350 0,03840 0,49800 0,37200 0,50200 0,50000 0,094000,01286 0,12299 0,03859 0,49780 0,41427 0,50209 0,52793 0,07721
0,31% -0,41% 0,49% -0,04% 11,36% 0,02% 5,59% -17,86%0,01297 0,12460 0,03750 0,50000 0,37200 0,50100 0,50000 0,095000,01304 0,12438 0,03786 0,49937 0,43909 0,50101 0,54528 0,07160
0,54% -0,18% 0,96% -0,13% 18,03% 0,00% 9,06% -24,63%
4,000
5,000
1,800
1,900
2,000
3,000
1,400
1,500
1,600
1,700
1,000
1,100
1,200
1,300
118
5 BÖLÜM 5
SONUÇLAR VE TARTIŞMA
Sonlu farklar yöntemi kullanılarak hazırlanan programdan elde ettiğimiz sonuçlar
hem ortotropik plaklar için hem de izotropik plaklar için S. Timoshenko’ nun
“Theory of Plates and Shells” kitabında analitik olarak çözülmüş ve sonuçlar tablo
halinde verilmiş değerler ile karşılaştırılarak hata oranları hesaplanmıştır. Sonuç
olarak, sonlu farklar yöntemi ile çözdüğümüz problemlerin önemli bir kısmının
analitik çözümlere oldukça yakın sonuçlar verdiği görülmüştür Fakat plak
boyutlarının birbirine oranı ba /=α büyüdükçe, hesaplanan değerlerdeki hassasiyet
kaybolmaktadır. Bu gibi durumlarda, hesaplanan nokta sayılarının arttırılması
hassasiyetin yeniden elde edilebilmesi için uygun bir yöntem olacaktır. Ancak nokta
sayısının arttırılması daha çok iterasyon yapılması anlamına gelir. Bu da hesap
işleminin uzun sürmesine neden olur. İşlem miktarının ve süresinin azalmasını
sağlamak için simetri özelliklerinin kullanılması faydalı olur. Bu şekilde elde
edilecek moment ve kesme kuvveti ifadelerinin işaretlerine dikkat edilmesi gerekir.
Ayrıca ortotropinin özel hali olan izotropi için sonlu farklar yöntemi ile elde
ettiğimiz sonuçlar ile İnş. Müh. Batuhan Çalin’in hazırlamış olduğu sonlu farklar
yöntemi ile izotropik plak çözümleri sonuçlarının birbiri ile örtüşmesi hazırlamış
olduğumuz programın güvenilirliğini kanıtlamıştır.
Sonlu farklar yöntemi dikdörtgen ve daire gibi düzgün sınırlarda uygulanması çok
kolay bir yöntemdir. Ayrıca Excel programındaki dairesel döngü yardımı ile sonlu
farklar yönteminde elde edilen doğrusal denklem takımının kuruluşu ve çözümü
kolay bir şekilde yapılmaktadır. Düzgün olmayan sınırları bulunan bölgelerde de
sonlu farklar yöntemi kullanılır ise de böyle bölgelerde sonlu elemanlar yöntemini
kullanmak hesap yükünü azaltır.
119
KAYNAKLAR
[1]- GEHRING, F., De Aequations Differentialibus, Quibus Aequilibrium et Motus
Laminae Crystallinae Deffiniuntur, unpublished dissertation, Berlin, (1860).
[2]- HEARMON, R. The Elastic Constants of Anisotropic Materials, Revs. Mod.
Phys., 18, 409, (1946).
[3]- LEISSA, A.W., Vibration of Plates, NASA SP-160 U.S. Goverment Printing
Office, Washington, D.C., (1969).
[4]- LECKHNITZKY, S.G., Anisotropic Plates, Translated from Russian by
American Iron and Steel Instituete, 1956. The Second Edition was Traslated by S.W.
Tsai and T. Cheron, Gordon and Breach/ New York (1968).
[5]- STAVSKY, Y., On the Theory of Heterogeneous Plates, Doctoral Dissertation,
Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Massachusetts, (1959).
[6]- REİSSNER, E. And STAVSKY, Y. Bending and Stretching of Certain Types of
Heterogeneous Aeolotropic Elastic Plates, J. Appl. Mech.,28, 402 (1961).
[7]- STAVSKY, Y. and HOFF, N., Mechanics of Composite Structures, Composite
Engineering Laminates, A.G.H. Dietz, ed.,MIT Pres, Cambridge, Mass. (1969).
[8]- DIETZ, A., Composite Engineering Laminates, MIT Pres, Cambridge, Mass.
(1969).
120
[9]- WADDOUPS, M., The Vibration Response of Laminated Orthotropic Plates,
M.S. Thesis, Department of Mechanical Engineering, Brigham Young University,
(1965).
[10]- TSAI, S., HALPIN J., and PAGANO, J., Composite Material Workshop,
Technomic Publ. Co. Inc., Stamford, Conn. (1968).
[11]- ASHTON, J. and ANDERSON, J., The Natural Modes of Vibrations of Boron-
Epoxy Plates, Bulletin of 39th Shock and Vibration Symposium, Pacific Grave,
California (1969).
[12]- WHITNEY, J. and LEISSA, A., Analysis of Heterogeneous Anisotropic Plates,
j.Appl. Mech., 36, 261 (1969).
[13]- WHITNEY, J. and LEISSA, A., Analysis of a Simple-Supported Laminated
Anisotropic Plate, AIAA/ASME 10th Structures, Structural Dynamics, and Material
Conferance, New Orleans, Lousiana, April 1969; a revised version published in
AIAA Journal, 8, No. 1 (1970).
[14]- ASHTON, J. and WADDOUPS, M., Dynamic Response of Anisotropic Plates,
General Dynamics Corp., Fort Worth Div., Contract No. AF33(615)-5257, Report
FZM-5088, March (1969).
[15]- KITCHER, T. And MANDELL, J., An Experimantal Study of the Buckling of
Anisotropic Plates, AIAA/ASME 10th Structure, Structural Dynamics and Materials
Conference, New Orleans, Louisiana (April 1969).
[16]- ASHTON, J., Anisotropic Plate Analysis-Boundary Conditions, J. Comp.
Mater., 4, 162 (1970)
121
[17]- WHITNEY, J. The Effect of Boundary Conditions on the Response of
Laminated Composite, J. Comp. Mater., 4, 192 (1970).
[18]- UZMAN, Ümit, (1985) Düzlem İçi Kuvvetler Etkisindeki Dikdörtgen Ortotrop
Plakların Düzlem İçi ve Düzlem Dışı Titreşimleri, İTÜ Doktora Tezi, ISTANBUL
[19]- KÜTÜĞ, Zafer, (1992) Plak Denkleminin Genel Çözümü İçin Bir Metod, İTÜ
Yüksek Lisans Tezi, ISTANBUL
[20]- ÇALİN, Batuhan, (1998) Elektronik Tablolarda Sonlu Farklar Yöntemiyle Plak
ve Üç Moment Denklemiyle Sürekli Kiriş Çözümü, İTÜ Yüksek Lisans Tezi,
ISTANBUL
[21]- ERGÜN, Ali,(1996) Plakların Sonlu Elemanlar ve Sonlu Farklar Metodu ile
Çözümü ve İki Metodun Karşılaştırılması, İTÜ Yüksek Lisans Tezi, ISTANBUL
[22]- ERGUN, Ali, (2002) İnce Plaklar İçin Geliştirilmiş Sonlu Farklar Metodu
Yöntemi, İTÜ Doktora Tezi, ISTANBUL
[23]- TIMOSHENKO, S., WOINOWSKY-KRIEGER, S(1959) Theory of Plates and
Shells, Mc Graw-Hill Book Company, Inc. New York.
[24]- BERKTAY, I (1992) Plak Teorisi ve Uygulamaları, Küçük Sehimli İnce
Plaklar, İstanbul.
[25]- BAKIOGLU, Mehmet, (2004) Sayısal Analiz, Birsen Yayınevi, ISTANBUL
122
[26]- GIRKMANN, Karl (Çeviri: Prof. Dr. Sacit TAMEROĞLU), (1991) Yüzeysel
Taşıyıcı Sistemler Cilt 1, İTÜ İnşaat Fakültesi Matbaası.
[27]- UGURAL, Ansel C., (1999) Stresses in Plates and Shells, Boston:
WCB/McGraw Hill
[28]- KUMBASAR N., CELEP Z. (1998) Betonarme Yapılar. 2.baskı. Sema
Matbaacılık/İstanbul.
123
ÖZGEÇMİŞ
1978 yılında Malatya’ da doğdu. İlk, orta ve lise eğitimini Malatya’ da tamamladı.
1996 yılında Yıldız Teknik Üniversitesi İnşaat fakültesi İnşaat Mühendisliği
Bölümü’ ne kayıt yaptırdı. 2001 yılında İnşaat Mühendisi olarak mezun oldu. Aynı
yıl İstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Anabilin Dalı, Yapı
Mühendisliği Progamı’ nda yüksek lisans eğitimine başladı.