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Sucesiones numericas
CALCULO INFINITESIMALGrado en Matematicas
Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla
http://euler.us.es/renato/clases.html
Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL
Sucesiones numericas
Definicion
Una sucesion de numeros reales {an} no es mas que una regla quea cada numero natural le hace corresponder otro real:
an : N 7 R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...O sea, una sucesion es una funcion definida sobre N !
Por ejemplo: La sucesion constante an = 1
{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}La sucesion de los numeros naturales an = n
{1, 2, 3, 4, 5, ..., n 1, n, n + 1, ...}
La sucesion de los inversos de los numeros naturales bn =1
n{1
1,
1
2,
1
3,
1
4...,
1
n 1 ,1
n,
1
n + 1, ...
}Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL
Sucesiones numericas
Monotona
Definicion
Una sucesion {an} es monotona creciente si n N, an+1 > an.
Por ejemplo, la sucesion an = n2 es monotona creciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona decreciente si n N, an+1 < an.
Por ejemplo, la sucesion an =1
nes monotona decreciente.
Definicion
Una sucesion {an} es monotona no decreciente si n N,an+1 an. y monotona no creciente si n N, an+1 an.Ejemplos: sucesion no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3, ...} y nocrecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an} constante.
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Sucesiones numericas
Acotacion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada superiormente sin N, existe un M R tal que an M.
Por ejemplo, la sucesion bn =1
n2esta acotada superiormente pues
bn 1, n N.Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada inferiormente sin N, existe un m R tal que an m.Por ejemplo, la sucesion bn = n
2 esta acotada inferiormente puesbn 1, n N .
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Sucesiones numericas
Acotacion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} esta acotada, si {an} esta acotadasuperior e inferiormente. Es decir si n N, existe un M R talque |an| M.
Por ejemplo, la sucesion bn = (1)n esta acotada pues |bn| 1,n N.Definicion
Se dice que una sucesion {an} es no acotada si M R, existe unn N tal que |an| > M.
Por ejemplo, la sucesion bn = (1)nn2 no esta acotada.
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Sucesiones numericas
Lmite de una sucesion
Definicion
Una sucesion {an} tiene lmite a R si > 0, N N tal quen > N, entonces |an a| < y se denota lm
n an = a. O sea,
lmn an = a > 0, N N tal que n > N, |an a| < .
Geometricamente significa que > 0, en el intervalo a , a + se encuentran todos los terminos de la sucesion a partir de uncierto n = N, o sea los an, n N y por tanto en dicho intervalohay infinitos terminos, y fuera solo hay un numero finito determinos (los N primeros terminos) de la misma.
a
|
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Sucesiones numericas
Lmite de una sucesion: interpretacion geometrica
lmn an = a
a a+
x x x x x
a
> 0, N N tal que n > N, |an a| <
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Sucesiones numericas
Lmite de una sucesion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} no tiene lmite a R cuandon si existe > 0 tal que para todo N N existe un n > N,que cumple con que |an a| y se denota lm
n an 6= a. O sea,
lmn an 6= a > 0, N N, n > N, tal que |ana| .
Ejemplo: la sucesion an = (1)n no tiene ningun lmite a R.
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Lmite infinito de una sucesion
Definicion
Se dice que una sucesion {an} tiene lmite + si
lmn an = + M > 0, N N tal que n > N, an > M.
xx xx x
M
8
Geometricamente: M > 0, en (M,+) hay infinitos terminos dean y fuera de el, en (,M] un numero finito.Ejemplos: an = n, an = n
2.
Ejercicio: Define lmn an = .Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL
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Propiedades de las sucesiones convergentes
Definicion
Una sucesion {an} que tenga lmite (finito) se denominaconvergente y si el lmite no existe o es infinito () se llamadivergente.
Teorema
La manipulacion de un numero de terminos de una sucesion noaltera el caracter convergente o divergente de la misma.
Teorema
(Unicidad del lmite de una sucesion.)Si la sucesion {an} es convergente entonces tiene un unico lmite.
Ejercicio: probar que la afirmacion anterior es valida si el lmite es+ o .
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Sucesiones numericas
Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema (Condicion necesaria de existencia de lmite)
Si la sucesion {an} es convergente entonces es acotada.
Corolario
Toda sucesion {an} no acotada es divergente.
Lemma
Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a cero. Entonces,cualquiera sea M R las sucesiones Man y an + bn sonconvergentes y tambien tienen lmite cero, o equivalentemente:
Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todos, R, la sucesion an + bn tambien tiende a cero.
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Sucesiones numericas
Propiedades de las sucesiones convergentes
Teorema
Sea {an} una sucesion convergente con lmite a. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:
1. lmn an = a, 2. lmn an a = 0, 3. lmn |an a| = 0.
Teorema (Teorema de las tres sucesiones)
Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que
an cn bn para todo n N N.
Si {an} y {bn} son convergentes con lmn an = l y lmn bn = l ,
entonces, {cn} es convergente y
lmn cn = l .
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Sucesiones numericas
Ejemplos
Ejercicio: Demuestra que:
lmn cos xn = 1, lmn
sin xnxn
= 1.
Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lmite no positivo (no negativo).O sea, si an 0 an a 0 y si an 0 an a 0.
Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lmite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.
Ejercicio: Probar que si lmn an = a, y lmn bn = b, y an bn para
todo n, entonces a b.
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Sucesiones numericas
Propiedades algebraicas de los lmites
Teorema
Sean dos sucesiones convergentes {an} y {bn} con lmn an = a, y
lmn bn = b. Entonces:
1 lmn an + bn = a + b.
2 lmn an bn = a b. En particular, R, lmn an = a.
3 Si n N, bn 6= 0, b 6= 0, entonces, lmn
anbn
=a
b.
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Sucesiones numericas
Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema (Criterio de Weierstrass para las sucesiones monotonas)
Para que una sucesion {an} monotona sea convergente esnecesario y suficiente que este acotada. Ademas, el lmite de lasucesion es el supremo o el nfimo del conjunto A = {an, n N}de los valores de an, i.e.,
lmn an =
{nf A si an es decrecientesup A si an es creciente
.
Demostracion: Sea an y S = sup A, sea n > N
S aN < an S
|
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Propiedades de las sucesiones monotonas
Teorema
Si {an} esmonotona no decreciente (no creciente) y no acotadasuperiormente (inferiormente), entonces lm
n an + ().
Ejemplo: La sucesion an =1
nesta acotada |an| 1, n N y es
decreciente, por tanto an es convergente y
lmn an = nf A = nf
{1
n, n N
}= 0.
La sucesion bn = n no es acotada y lmn bn = nf A = +
Ejemplo: Sea {an} la sucesion definida mediante la formula:a1 =
2, an+1 =
2 + an.
Demostrar que tiene lmite y encontrarlo.Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL
Sucesiones numericas
Calculo practico de lmites
Teorema (Criterio de la raz)
Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal quelmn
an+1an
= l . Entonces, lmn
n
an = l .
Ejemplo: Calcula los lmites lmn
n
an
n!, a R y lm
nn
n.
Teorema (Stolz)
Sea an/bn una sucesion tal que bn , y bn + y sealmn
an an1bn bn1 = l . Entonces lmn
anbn
= lmn
an+1 anbn+1 bn =
Ejemplo: Calcula lmn
1 + 2 + + nn2
, lmn
1 + 1/2 + + 1/nlog n
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Sucesiones numericas
Lmites notables.
1 lmn
(1 +
1
n
)n= e.
2 lmn
n
x = 1, para todo x R, x > 0.3 lm
nn
n = 1.
4 lmn x
n = 0, para todo x R, |x | < 1.
5 lmn
1
n= 0, para todo R, > 0.
6 lmn
ln n
n= 0, para todo R, > 0.
7 lmn
n
an= 0, para todo a > 1, > 0.
8 lmn
xn
n!= 0, para todo x R. (n! = 1 2 3 n)
9 lmn
n!
nn= 0. (n! = 1 2 3 n)
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Sucesiones numericas
Definicion
Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes silmn
anbn
= 1, y se escribe an bn.
Ejemplo: an =n + 1
n + 2y bn =
n2 + 1
(n + 1)2.
La sucesion an = n! es equivalente a bn =
2pinennn
Definicion
Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lmn an = 0.
Definicion
Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan infinitesimosequivalentes y se escribe an bn si lm
n an = 0, lmn bn = 0 y
lmn
anbn
= 1.
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Infinitesimos equivalentes
Teorema
Si {an} es una sucesion infinitesimal, entonces:
1 sen an an.2 tan an an.3 arc sen an an.4 arctan an an.5 1 cos an a
2n
2.
6 (1 + an) 1 an.
7 ean 1 an, ban 1 an ln b .8 ln(1 + an) an, logb(1 + an) an logb e .
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Sucesiones numericas
Subsucesiones
Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk k y sea {an} una sucesion denumeros reales.
Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k N} del conjunto{an, n N}.La nueva sucesion as obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.Por ejemplo, sea an = (1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k N} y N2 = {1, 3, ..., 2k 1, ..., k N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k1 = 1.
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Sucesiones numericas
Subsucesiones
Teorema
Cualquier subsucesion {ank} de una sucesion convergente {an} esconvergente. O sea, si
lmn an = a = lmnk ank = a.
Teorema (Bolzano-Weierstrass)
De toda sucesion acotada se puede extraer una subsucesionconvergente.
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Sucesiones numericas
Sucesiones de Cauchy
Definicion
Una sucesion {an} es de Cauchy si para todo > 0 existe unN N tal que si n,m > N, entonces |an am| < .
m
> 0, N N, t.q. n > N, p N |an+p an| < .
Ejemplo: La sucesion an =1n es de Cauchy y la sucesion
bn = 1 +12 + + 1n no es de Cauchy.
Proposicion
1. Toda sucesion convergente es de Cauchy.2. Toda sucesion de Cauchy es acotada.
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Sucesiones numericas
Sucesiones de Cauchy
Teorema (Criterio de Cauchy para las sucesiones)
Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.
Para terminar mostraremos un ejemplo de aplicacion del Teoremade Cauchy para probar otro importante teorema:
Teorema
Para que una sucesion sea convergente es necesario y suficienteque cualquiera de sus subsucesiones sea convergente y tenga elmismo lmite.
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Sucesiones numricas