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5/13/2018 Becker Platonische Idealzahlen - slidepdf.com
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Die diairetische Erzeugung der platonischen
Idealzahlen.
Von Oskar Becker, Freiburg i. B.
(Eingegangen am 10. 6. 1.931,)
1.
• . . oxolwv syro c h 7 J r c i i f t ! X ~ rl'l.!XLQBW'V f!x!XCJ'l'!X U ! X - t ~ cpvcn•lluai rpQa!;wv ouros ~ ' x n .
Heraklit, fr. '1.
Die folgenden Ausführungen verfolgen den Zweck, die diairetischeTheorie der platonischen ldealzahlen, die J. Stenzel in seinen bekannten Veröffentlichungen 1) aufgestellt hat, in einem wesentlichen Punkteweiter auszugestalten und damit dem alten Problem näherzukommen:
Was sind eigentlich, ganz konkret gesagt, die sogenannten"ldealzahlen" und wie werden sie erzeugt?
Daß gerade diese Frage auch noch jetzt, trotz der ForschungenStenzels, die in vieler Hinsicht dem Idealzahlproblem ein ganz neuosGesicht gegeben haben, ungelöst ist, kann keinem Zweifel unterliegen.Wenn es bei Stenzel (ZG 117) heißt: "Die Zahlen als Ideen sind Ordnungsprinzipien, die dialektisch die Einheiten nach ihrem StellenwtJrl,im System unterscheiden. Das ist . . . der Sinn der Idealzahlen, cl.ie Entfaltungsstufen der diairetischen Entwicklung zu ordnen und die einzelnonIdeen damit unterscheidend und gegeneinandm' ,begrenzend' zu hestünmen"2), so ist dies gewiß durchaus richtig. Aber man wird von hier an1:1
zu der Frage gedrängt: Wie geschieht des näheren diese "clialoktisehoUnterscheidung" der Ideen "nach ihrem Stellenwert im System"i'
Zunächst: Um welehes System handelt es sich!' Man wird soforL an
das von Stenzel (ZG 31) aufgestellte diairetische Schema der Zahlen-
1) Studien zur Entwicklung der platonischen Dialektik von Solerates zu Ari·stoteles. Breslau 1917. - Zahl und Gestalt bei Plato und Aristoteles. Leipzig-Berlin192t. (Abkürzung: ZG). - Artikel "Speusippos" in Paulys Realenzyklop. d. !dass.Altertwiss. (ca. 1928). -Zu r Theorie des Logos bei Plato u. Aristoteles; diese Zeit-
sehr., Bd. I, S. 34ff. (1929).2) Vgl. auch ähnliche Äußerungen, S. '118, Anm. 1 gegen Schluß, S. 120 u. a.uL
Aus:Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik: Studien, Bd. 1 (1929)
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 465
erzeugung denken, in dem jede der einzelnen Zahlen wirklich eine bestimmte Stelle eindeutig bezeichnet. (Fig. 1.)
Jede Idee hätte in diesem System eine bestimmte Stelle inne aufGrund eines dem Zahlenschema formal gerrau gleichen begrifflichen Zerlegungsschemas, einer diairetischen "Eide-Kette", wie sie uns in mehreren Beispielen im "Sophistes" und "Politicus" erhalten sind und darüber hinaus höchstwahrscheinlich in den von Aristoteles erwähnten 3)
, , niedergeschriebenen Einteilungen" ( y s y e a f l f l B 1 ' a ~ owtesastr;) der altenAkademie (die vermutlich mit den
Speusippischen ""Opota" (Ähnlich- ~ keiten) identisch sind 4
) vorgelegen / 2'- /3"
haben (vgl. ZG 11). Insofern "wären 9 '\, 6 '-..._7
dann die Ideen Zahlen", wie es so / \ I'\. I \ I \8 9 1U 11 11! 13 1 ~ 15
o ft bei Aristoteles heißt. Einer jeden · · · · · ·Idee einer bestimmten Ideenkette·wäre in geeigneter Weise (die die Ein
Fig. 1
eindeutigkeit zu garantieren hätte) eine bestimmte Zahl zuzuordnen und
sie "wäre" demnach, gemäß der hier noch vorliegenden "mystischen"Vorstellungsweise, für die eineindeutiges Zuordnen und Identifizierungineinander verfließen, jene Zahl. Stenzel selbst scheint allerdings einerso konsequenten Ausdeutung seiner Theorie zu widerstreben. Er sagt
(ZG 118, Anm. 3 gegen Ende), daß "jede einzelne Idee ihre Stelle oderZahl hat", aber nicht, daß sie diese Zahl ist.
Was sind nun aber die Idealzahlen? Sind sie die Zahlen des diairetischen Schemas? Wenn sie aber das sind, - sind sie dann wirklichIdeen? Denn gerade daß die Zahlen Ideen sind, lehren die Zeugnisseallerorten. Ferner: Sind die Zahlen des Stenzeischen Schemas denn wirklich - "I d e a 1-Zahlen"? Sind es nicht vielmehr ganz gewöhnliche"mathematische" Zahlen, nur in einer etwas ungewohnten Anordnung?Haben wir aber nicht deutliche Zeugnisse (bei Aristoteles, Met. i\{ 6 -9
und anderswo) dafür, daß die elO?JTt'Kot det<BpoC etwas von den mathematischen Zahlen qualitativ und ihrer inneren Struktur nach gänzlich Verschiedenes sind?
Und wie steht es mit der Erzeugungsweise der Zahlen im Stenzeischen Schema? Ist es wirklich eine "diairetische", der Begriffszerlegunganaloge Entstehungsweise, die 'hier v o r l i e g ~ ?
Das Schema der Erzeugung ist offenbar folgendes:n
/\2n 2 n + t
3) de part. animal. I,2 (642b,12); de gen. et corr.Il,3 (330b,16).4) Vgl. Stenze!, Speusippos, Sp. '1657.
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466 0. B tlCker
Wird hierbei n in 2n und 2n+ 1 zerspalten, so wie ein Eidos in
zwei Unter-Eide zerspalten wird - etwa "Lebewesen" in "befußte" und
"unbefußte" u. dgl.? Offenbar nicht. Der Übergang von n auf 2n is t
wohl durch Verdoppelung, d. h. Spaltung der Zahleinheiten in diedoppelte Anzahl neuer Einlieiten zustandegekommen. Aber der S c h r i ~ t von 2 n auf 2n+ 1 kann doch nur durch Hinzufügung (:rr:e6a{}eau;) von
1 zu 2 n geschehen. Jedenfalls entstehen aber nicht 2n und 2 n+ 1gleichzeitig durch Diairesis aus n, s9ndern ihre Genesis würde richtiger durch das Sukzessions-Schema: n -+ 2n -+ 2n+ 1 wiedergegebenwerden.
Es sollen nun aber auch die Vorzüge des Stenzeischen Schemas nichtunerwähnt bleiben. Was es leistet, ist folgendes: Während die übliche
Zahlenerzeugung die wieder h olLe Addition von 1 erfordert, vermeidetdies die Stenzeische Erzeugungsweise. Sie hat zwei Operationen zur Verfügung: die Verdoppelung, die iterierbar angenommen werden muß, und
die Addition von 1, die nicht mehrere Male unmit te lbar hintereinander ausgeführt zu werden braucht. Dies is t insofern ein Vorteil, alsdie Quellen (Aristoteles) für Idealzahlen zwar iterierte Verdoppelungkennen (Met. M 7, 1082a, 28-31), aber nur eine einmalige Additionvon 1 (Met. M. 8, 1084a, 4-5). Ferner könnte daran gedacht werden,die Zahlen des Stenzeischen Schemas mit dyadischen anstatt deka
dischen Ziffern zu schreiben; man hätte dann das natürliche Erzeugungsschema der Zahlen im dyadischen Positionssystem 5). Indessen is t dieserGedanke zur Interpretation Platos nicht zu gebrauchen. Denn das Altertum besaß (abgesehen von Indien) überhaupt kein Positionssystem für
die Zahlen. Für das babylonische Sexagesimalsystem ist bekannt, daßes sich dabei nur um eine pseudopositionelle Zahlschreibung handelt 6
) .
Außerdem kommt auch dieses pseudopositionelle Zahlsystem erst wesentlich nach Plato und dann auch nur in der Form von astronomischen
Sexagesimalbrüchen im griechischen Kulturkreis vor.Im ganzen is t das Stenzeische Schema trotz mancher Vorzüge noch
nicht als die endgültige Lösung des Idealzahlproblems anzusehen. Vielleicht kann es aber zur Lösung hinführen. Die Hichtung, in dor man von
ihm aus weiterzuschreiten hat, ist vorgezeichnet durch die soeben an
gestellten Überlegungen. Die Quellen fordern mit Entschiedenheit, daß
die Ideen Zahlen sind, nicht nur Zahlen haben. Die Interpretation
muß also darauf bedacht sein, Ideen und Zahlen einander möglichst nahe
6) Vgl. Verf., "Mathematische Existenz" (I-Ialle a. S. 1927), S. 205, Anm. 1.0) 0. Neugehaue r, Zur Entstehung des Sexagesimalsystems, Abhandl. d.
Gesellsch. d. Wissensch. z. Göttingen math.-phys. Kl. N. F., Bel. XIII, 1 ('1927).- Sexagesimalsystem u. babylonische Bruchrechnung, diese Zeitschr., Bel. I,s. 183 ff . (1929).
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 4.67
zu bringen; insbesondere muß ihre Erzeugungsweise in eine möglichstvollkommene Übereinstimmung gebracht werden. Überliefert ist nun mit
Sicherheit und in allen Einzelheiten das platonische V erfahren der Be
griffsspaltung ( ~ w t g e a u ; ) im "Sophistes" und "Politicus". Also bleibt
nur übrig, die Entstehungsweise der (idealen) Zahlen - über die dieÜberlieferung sehr lückenhaft is t - der Diairesis der Eide ganzanalog zu gestalten. Hier ist der kritische Punkt, wo das StenzeischeSchema versagt, denn 2n und 2n+ 1 werden dort nicht aus n durch
Diairesis erzeugt.Wie aber muß die positive Lösung aussehen? Dafür gibt Aristoteles
einen eindeutigen Hinweis durch ein Beispiel, die Erzeugung der idealen
2, 4, 8 . . . , insbesondere der Tetras aus der Dyas und der Oktas aus der
Tetras (Met. M 7, 1082a, 28-31; vgl. etwa noch 1081 b, 21 f., b 25;1082a, 13f.). Die ideale Vier entsteht aus der Zwei dadurch,
daß jede der die Zwei bildenden beiden Einheiten in zwei
neue Einheiten zerfällt , die dann eben die vier Einheiten der
idealen Vier sind. Ähnlich entsteht die Acht aus der Vier und so allePotenzen von zwei (6 d - r ; ] t & f i - d ~ drp' e ' V o ~ otnJ..a(nal;6f1-e'Voc;; vgl. Met. N 3,1091a, 10-12). Wie die anderen Zahlen entstehen, wird noch zu erörtern
sein; für jetzt läßt sich aber schon eine wertvolle Folgerung ziehen. DieErzeugung der idealen 2, 4, 8, 16 usw. erfolgt nämlich offenbar wirklich
durch Diairesis und zwar durch Zweiteilung der Einheiten( p o v a ~ s c ; )
der jeweils in der Reihe (der Potenzen von 2) vorausgehenden Zahl. EsHegt also ein diairetisches Schema vor, in dem nicht die Zahlen selbst,sondern die Einheiten der Zahlen die Glieder sind, und' das man graphischetwa so darstellen kann, indem man die zerspaltenen, also ,,aufgehobenen''Monaden durch leere, die ungespaltenen, also noch subsistierenden durchvolle Kreise kennzeichnet:
• 0
10\0
I\ / 'b
/\ 1\.1 \ 1\f\ ''. [', ?,• • • • • •• • •••
/YfOtlfJS .D.ras Tetras Okfas
Fig. 2
Den Ideen im begriffsspaltenden Schema (der Eide-Kette)
entsprechen also die Einheiten der idealen Zahlen, nicht
diese selbst.
Das steht anscheinend im Widerspruch zu der fortwährenden Aussageder Texte, "die Zahlen seien Ideen" und umgekehrt. Trotzdem soll an
dieser These festgehalten und im. folgenden versucht werden, sie in sachlicher und interpretatorischer Hinsicht durchzuführen.
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468 0. B ecker
2.
Welches sind zunächst die sachlichen Konsequenzen der auf
gestellten These?Das erste ist, daß die Aufgabe gelöst werden muß, diejenigen Zahlen,die nicht Potenzen von 2 sind, diairetisch zu erzeugen. Die Entstehungvon 2, 4, 8 usw. ging dadurch vor sich, daß alle Einheiten derjeweilsvorliegenden Zahl (beginnend mit 1) in je zwei neue Einheiten gespaltenwurden. Erweitert man diese Erzeugungsvorschrift dahin, daß nicht alleMonaden der Ausgangszahl, sondern unter Umständen nur einige odereine gespalten und die übrigen unberührt gelassen werden, so könnenohne weitere Hilfsmittel alle Zahlen erzeugt werden. Denn, da die ge
spaltene Einheit ja eben durch die Spaltung "aufgehoben" wird, alsoals aktuelle Einheit verschwindet, so kommt die Operation der Spaltungeiner Einheit einer vorliegenden Zahl auf die Hinzufügung gerade einer
Einheit zu ihr hinaus (n - 1+ 2 = n+ 1). Man kann also, von 1 ausgehend, so alle Zahlen erzeugen. Ja, man wird unmittelbar die sonst so
rätselhafte Bemerkung des Aristoteles (Met. M 7, 1082b 35 f.) verstehen,es sei müßig, darüber zu streiten, ob wir "durch Teilung" ( ~ a n r fü3Q{ow;)oder "hinzufügend" (neorJJ,af.lß6:vovus) zählten, tatsächlich täten wirbeides (nowvftS1J os apcpodems).
Die ideale Drei( a i . r r : ~
lj T(!tds) wird demgemäß das folgende Schemahaben, dem gleich eine entsprechende BegriiTsspaltung gegenübergestellt sei:
Lebewesen (a)
/ ~ !Jef!!igelt(b) tflll f'!i!JI?Ill/ersehen(c)
(llllgFfl!ige/1)7 ~
Zwe;fiißig(ri.) /1/erfiißig(e)
Fig. 3
Damit ist also das schwierigste Problem bei der Genesis der Idealzahlen, die rein diairetische Erzeugung der Drei und der ungeradenZahlen überhaupt in überraschend einfacher Weise gelöst 7
) .
Es ergeben sich, wie manleicht sieht, für alle Zahlen solche Schemata,von der Vier ab nicht mehr eindeutig, je ein Schema, sondern verschie-
7) Über dieses Problem vgl. L. Robin, La theorie platonicienne des idees et
des nombres d'apres Aristote (Paris 1908). S. 281ff., t1t..ßff. - Man kann (mitW. D. Ross in seiner Ausgabe der aristot. Metaphysik, Bd. I, S. LXII) unsere Auffassung bei Alexander v. Aphrodisias (ad Ar. Met. A 6, 987b 33 ssq. - p. 57,22-28
Hayd.; 43, 13-19 Bz;.) wiederfinden. Ross sagt: "Alexander gives a different accountof the odd unit in odcl numbers - that i t is one of the portians oftheindefinite dyad,after the One has determined it ; but this does not agree with Aristotles statements. "( ?)
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 469
dene für dieselbe Zahl ("Isormeren", wie man in der Chemie sagt). So
schon für die Vier:
l l l ld /\0/\ / \• • • •
Fig. 4
Das ist nicht verwunderlich oder störend, denn es gibt offenbar auchentsprechende BegrifTsdiairesen. Für die erste Form nehme man etwaein geeignetes Stück aus der diairetischen Definition der Kunst des Poli
tikers (Politic. 261 AfT., vgl. Stenzel, ZG 1.1), für die zweite die Teilung des Alls des Seienden in das Denkbare (JIO'f/7:071) und das Sichtbare(6gw:611) mit dichotomer Unterteilung beider Teile (Staat, VI. Buch,509 Dff.).
Eine eigentliche diairetische Definition durch sukzessive Unterteilungeiner bestimmten, sich jeweils durch die Dichotomie ergebenden Hälftebis zum unzerschneidbaren (a-r:oftov, CJ.-r:ft1fi011) Eidos ist allerdings immerdurch ein Schema des ersten Typus, das man sich ja beliebig verlängertdenken kann, gegeben. Aber schon diejenigen diairetischen Betrach
tungen, durch die verschiedene BegrifTe in ihrem gegenseitigen Verhältnisfestgelegt werden, wie sie in halb scherzharter Weise von Plato an denBeispielen "Angelfischer" und "Sophist", "Mensch" und "Sclnvein"durchgeführt werden, erfordern verwickeltere.Verz·weigungen gemäß demzweiten Typus 8) .
Die Idealzahlen sind also damit gekennzeichnet als "diairetische
Geflechte", deren Knoten die "M.onaden" sind, die aus ihnen, denZahlen, geflochten werden. Es sind die Schemata, nach denen Diairesisund Symploke, Zerlegung und Verflechtung der Ideen erfolgen. So erklärtsich auch die befremdende Ausdrucksweise, die Aristoteles gelegentlich
anwendet, wenn er sagt: unter gewissen Voraussetzungen seien die Mo-
naden früher als die Zahlen, aus denen sie (die Monaden) "geflochten"
8) Im "Sophistes" und "PoliLicus" spielt die Reihenfolge der Glieder der Diairesis keine wesentliche Rollo; das zeigt dio Änderung der Reihenfolge bei der Zu-
sammenfassung (Soph. 221 B) gegenüber der vorausgehenden ausführlichen Entwicklung (2'19A-221A). An sich is t nicht gesagt, daß das so sein muß: man könntez. B. positive und negative (besser privative) Glieder (öv·nx und fL1J öv-r:a) unterscheiden. (Vgl. Aristoteles, de part. animal. I, 3 (64.2 b, 2'1): ~ · n anQÜm fLEV &vayxaiov
chwQclv xa! chat(loilatv oi cftxo-r:ofLoilv-r:as). Aber Platos Kritik der Einteilung der
Menschen in Hellenen und Barbaren (Pol. 262 D) zeigt, daß beide Glieder der Ein-
teilung ebenbürtig sein sollen.
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werden (ware : r t ( ! O ' t B I ] a ~ a:v 8t8'V a[ flO')J(icJ81; 1) o[ a e ~ ß t J O b s ~ d)p :rtABUO'V'tat 9) ,
Met. M 7, 1081a, 33).Die idealen Zahlen sind "allgemeiner" als ein bestimmtes vorgelegtes
diairetisches Geflecht, die ideale Drei ( a i n : ~ 1] reuit;) ist allgemeiner alsdie oben neben sie gestellte Begriffszerlegung; ganz andere Begriffekönnten nach demselben "triadischen Schema" zerlegt werden. Daherist die Zuordnung einer Idealzahl zu einem bestimmten Be
griff (etwa "Mensch") nicht als eineindeutige zu verstehen. Ein
Begriff kann zunächst einer Idealzahl nur indirekt zugeordnet werden,vermittels seiner diairetischen Definition, aus der er als a r o ~ J o v eloat; ("Ideenatom") resultiert. (Diese ist daher in gewissem Sinne eineZahl - vgl. Aristot., Met. H 3, 1043b, 34: ö re yae oetaftot; aed}!J6t; nt;.)
Nun kann aberz. B.
"Mensch" verschieden definiert werden: etwa als"zweibeiniges Lebewesen" (Ccpov OC:rcovp) oder auch als "zweibeinigesungeflügeltes Lebewesen" (CcpoP ot:rcovp ä:rcreeo1'). Im ersten Fall entspricht seiner Diairesis das Schema der Dyas, im zweiten das derTrias. In der Tat erscheint auch bei Aristoteles 10) der "Mensch an sich',einmal als ideale Zwei und einmal als ideale Drei . Auch umgekehrtfinden sich natürlich Fälle der Zuordnung verschiedener Begriffe zurseihen Idealzahl 11
) . Alle solche Zuordnungen werden in den Textenstets nur beispielsweise vollzogen; es heißt: "Wenn der Mensch dieDrei ist . . . " usw.
Was die Anzahl der Monaden in einer bestimmten Ideal
zahl anlangt, so ergibt sich diese leicht aus der Überlegung, daß dieErzeugung der Idealzahlen mit der idealen. Eins beginnt und mit jedemSchritt (der ja aus einer Dichotomie besteht - oder eventuell mehrerennebeneinander) zwei :Monaden überhaupt, aber nur eine "aktuelle"
Monade hinzufügt (da ja die zerspaltene in der Spaltung "sich aufhebt").Der Heihe nach enthalten also die Idealzahlen 1, 3, 5, 7 . . . 2n - 1 Mo-
naden überhaupt und1, 2, 3, 4 . . . n "aktuelle" Monaden. Insbesondereenthält die Dyas 3, die Trias 5, die Tetras 7 Monaden überhaupt. Dies
erklärt ohne weiteres die schwierige, bisher ganz unverständliche Aristotelesstelle Met. M 7, 1081 a, 33-35: "in der Dyade wird eine dritteEinheit sein und in der Triade eine vierte und die fünfte." (811 rf j
0) So Ab und '/Q E, Christ und Jaeger; dagegen Uro'llnxt E, Bonitz und W. D.Ross. Indessen ist 11:UKO'II't'at ganz offenbar die di{{icilior lectio und auch die Auskunft,Jw auf ftO'IIa8<·s zu beziehen, ist unmöglich.
10 ) Met. M 8, 1084 a 14, 18: al l!awv 1) 't'Qtfis av-roci'l!.ß'QCD11:0S; a 25: al ctvas &v.frQCD·
nos. Vgl. die vielen, stark wechselnden Zuordnungen bei Ps.-Alexander zu Met.M 6 -9 passim.
11) Met. M 8, 108!• a 24: el 8 ~ 1) -tE-tQd:s a v t ~ loea -rw6s sar:w, o f ov E'11:nov ~ '-ev1toil,("wenn die Telrade Idee von etwas ist, wie etwa des Pferdes oder des Weißen . . . ")
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 471
~ IJ l I \ " \ > - IJ l I \ < I ) bu v a u ~ 7 : ( ! ~ 7 : 1 ] flO'Vac; sarw . • . 'Xat S'V rn T"(!WuL TET"a(!7:'1] - x a ~ 17 nspn7:'1J, e enso
wie die dazugehörige Interpretation Pseudo-Alexanders 12) .
Die Zahl der Monaden in einer bestimmten Idealzahl ist unabhängigvon der besonderen Struktur ihres Geflechts, die ja von 4 ab nicht mehr
eindeutig festliegt.
Fragt man nun zum Schluß, welche ontologischen Probleme sich
aus der angenommenen Struktur der Idealzahlen ergeben, so tritt soforl;
eines als überragend heraus. Im Gegensatz zur Erzeugung der gewöhn
lichen "mathematischen" Zahlen durch sukzessive Addition je einer
neuen Einheit (deren "Herkunft" im Dunkeln bleibt) entstehen die
Idealzahlen durch sukzessive (oder evtl. auch teilweise simultane) Dicho
tomie schon vorhandener Monaden. Die zerspaltenen M o ~ a d e n gehendadurch gewissermaßen in einen Zustand der "Aufgehobenheit" über.
Dieser sich hier geradezu aufdrängende H egelsehe Terminus "aufheben"
- in dem bekannten Doppelsinn von "bewahren" und "vernichten" -
weist darauf hin, daß es sich bei der "Entstehung" der Idealzahlen um
eine eigentliche Genesis handelt. Diese eigentümliche Bewegtheit im
pliziert eine echte Zeitlichkeit, die sich in I-legels dialektischem Prozeß
darstellt. In der antiken Philosophie wird sie begriiTlich bewältigt durch
das aristotelische Begriffspaar Dynamis-Energeia 13); nachdem schon
Plato mit dem Aufweis des Phänomens des e ~ a t c p v ~ 7 c ; (des "Plötzlich")einen ersten Vorstoß gemacht hatte 14
). Indessen blieb bei ihm der Be
wegungsbegriff noch vage, insbesondere auch die· -x{v1]atc; T"W'V i&tiw, durch
die die dairetische Methode beherrscht wird.
12) Die Stellen werden weiter unten (S. l1%ff.) ausführlich besprochen werden.13) Man vgl. die Darstellung der aristotelischen Philosophie in H egels "Vor
lesungen über die Geschichte der Philosophie".H) Das Problem der Vorgeschichte des aristotelischen Dynamisbegriffs ist noch
nicht gelöst. Hingewiesen sei auf eine merkwürdige Wurzel der aristot. Dynamis inder hippokratischen Medizin. 0. Hegenbogen berichtet in seinem Aufsatz
(in dieser Ztschr., Bd. I, S. 131 ff.) "Eine Forscln.mgsmethode der antiken Naturwissenschaft", der den Begriff der "Analogia" behandelt, über einen botanischenExkUl's in der hippokratischen (embryologischen) Schrift " m Q ~ cp1!aw<; nonolo1•"
(a. a. 0. S. 166ff.). Darin heißt es, die Pflanze ziehe ihre Nahrung aus der Erde in
der Form der luftclg, eines feuchten Dunstes. Diese lu[.Lcis heißt auch rJvvcqu.g. Dynamisist also hier der kraftgeladene Stoff, die wirksame Substanz, die in allen primitiven Vorstellungen von Verursachung eine so große Rolle spielt (Zaubertrank,Gift usw.; im Grunde eine Spielart des mäna-Begriffs, vgl. z. B. E. Cassirer, Philosophie der symbolischen Formen, Bd. II , Das mythische Denken, Berlin 1925). ImBoden sind fLVQLIXL o'vvafHEg, Tausende spezifischer Stoffe, die den spezifischen Pflanzenals Nahrung dienen. Da heißt es nun (-n:. cp. n., p. 5H, 25) von dem Rosenstrauch(-tb c160ov): 7:0 "tE raQ c16ctov SÄxEL &nb 7:1jS r1iS lufLMa 7:0t.a1!-t7]"V, 0 r6V n E l 1( IX t ai> ·d l
rl'v?'cifLBL f.adv. ("Die Rose zieht aus der Erde einen solchen Saft, wie sie selbstauch der Dynamis nach ist".) Hier bedeutet Dynamis gewiß zunäcl1st eben
"wirksamer Stoff". Aber der Ausdruck "ctv?'clfLEL f.arl1'" ist doch schon wörtlich der
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472 0. Becker
Die Auseinandersetzungen der Bücher Z und H der aristotelischenMetaphysik zeigen nun, daß auch das Definitionsproblem, insbesonderedie Fragen der "Einheit" und der "Teile" der diairetischen Definition(Z, cap. 10-12; H, cap. 3 u. 6), ferner das Problem, ob das Allgemeine
(·ul ua'l96?.ov) und die Gattung ('rd ysvoc;;) selbständige Wesenheiten (ovalat)
sind, gerade mittels der Unterscheidung von Potenz und Aktus gelöstwerden. Dies ist von entscheidender Wichtigkeit für das Verständnis deraristotelischen Polemik gegen die Idealzahlen. Wenn nämlich diese inihrem "Geflecht" von Monaden unmittelbar das Schema einer diairetischen Ideenkette sind, werden die Probleme der "Einheit" und
der "Teile" bei den Zahlen und (diairetischen) Definitionen
sich docken.
Das bestätigen nun in der Tat die Texte: Nicht nur wird die Definitiondirekt als "eine Art Zahl" bezeichnet (H 3, 1043b, 34), sondern auch dasProblem der Einheit der Definition wird (H 6, 1045 a, 7ff.) gleichzeitignüt dem für die Zahl gestellt und - scheinbar nur für die Definitionim folgenden beantwortet. In Wahrheit ist eben für Aristoteles mit derLösung für die Definition die für die (ideale) Zahl schon ohne weiteresmitgegeben. Das heißt aber, daß die Idealzahl im wesentlichen nichtsanderes is t als die diairetische Definition.
Die Lösung selbst besteht in der konsequenten Anwendung der Be
grifTo StolT und Form (Potentialität und Aktualität) auf das Verhältnisvon Genus und Differenz: das ysYoc;; ist die nedn:'Y) iJA17, der, von der aktuellen Differenz aus gerechnet, "erste StofT"; das Hinabsteigen in derIdeenkette vom Allgemeinen zum Besandorn ist also eine ständige Be
wegung vom StoiT zur Form, von der Potenz zum Aktus. Dieser Be
\vogung entspricht nun genau die Entwicklung der Idealzahl durch Entstehen immer neuer Einheiten aus den zerfallenden alten: die Zweiteilungoinor lVI'onude is t nach platonischer Lehre nichts anderes als die Spaltungoines Genus in zwei Differenzen.
Dor K.nmpf des Aristoteles gegen diese Theorie hat sein letztes Motivin der ontologischen Unbestimmtheit dieses Spaltungsvorgangs. Er selbstexpliziert diese "Kinesis" der Ideen als den Übergang vom Stoff zur
u r i s t o ~ o l i s c h e . Auch boi Aristoteles liegt ja die Dynamis in der Hyle und die spezifische iultiXs (Saft) der Rose is t eben schon bei Hippakrates nichts anderes als dieHoso selbst in der Potenz.
Für das Begriffspaar I-Iyli:i-Morphe (Eidos), das der Zweiheit "Dynamis-Energeia"(Entelecheia) entspricht, ist auch der Anfang der Abhandlung "Über die Weltseele"(7taQi 1fJvx&s u o t J ~ t r o ) des Timaeus Locrus (im Corpus Platonicum) zu vergleichen,
die der frühen Akademie entstammt. Dort findet sich schon der Vergleich der Formmit dem Männlichen und des Stoffes mit dem Weiblichen, was im Gegensatz zureigentlich platonischen Auffassung des Form-Stoff-Verhältnisses steht (vgl. Aristoteles, Met. A 6, 988a 2-7).
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 473
Forrn (von der Potenz zum Aktus). Eine solche Explikation vermißt er
bei Plato; er wirft ihm vor, seine Monaden seien alle aktuell, nämlich als
Eide oder ovatat expliziert, infolgedessen sei die Symploke im "diaire
tischen" Ideengeflecht ein aktuelles "Darinliegen" (8Yvnaexew) der
WesenheiLen (ovatat, dr'l1J, flOYaoer;) in der resultierenden Wesenheit, die
in der diairetischen Definition definiert wird und daher mit der Definition
selbst als "Zahl" sich darstellt (Met. Z 13, 1039a, 3 -8 (ovata), zu ver
gleichen mit a, 11-14 (;;,owxr; bzw. aet-B,a6r;).
Die ganze aufschlußreiche Parallele von Definition und Zahl tritt nur
dann klar heraus, wenn das, was in der Idealzahl und der Ideenkette
verglichen wird, die einzelne Monade in der Zahl und die einzelne Idee
in der Kette ist. Der Idealzahl als ganzer entspricht die ganze Definition
und damit freilich auch das Definierte als Ganzes - cl. h. das ä:r:o;w1'
elooc; (Icleenatom), das nach Plato vermöge der Symploke alle höheren
Eide der Kette in sich begreift (an seine Stelle tritt bei Aristoteles teils
das -r:6oe -r:t ("Dies-da"), teils das -r:d -r:t ijy elYm ("vVesenswas").
Die Bestätigung an I-land der Texte wird noch gegeben werden, vor
läufig sei auf den häufigen aristotelischen Terminus für Idealzahl: "ci
-r:w1• el0w1• aet:fl·t-t6r;" ("die Zahl der Ideen") hingewiesen, der den Singu
lar von Arithmos mit dem Plural von Eidos in so eigentümlicher vVeise
verbindet.
Aus der geschilderten Gesamtproblematik ergibt sich ungesucht dasfast ständige Thema der großen aristotelischen Idealzahlkritik (Met. lVI,
cap. 6-9) . Der ganze Fragenkomplex der ,,zusammcnwerfbaren" und
"unzusammonwerfbaren" Einheiten (po1'aoec; avt-tßA17rat bzw. U.m5fi
ß'A?]7:ot) und sekundär auch Zahlen, der zunächst so befremdend wirkt,
wird jet:t.t vm•stüncllich. Alles dreht sich bei Aristoteles um die ontolo
gische Bestimmung der Bewegtheit der Zahlenerzeugung und den Cha
rakter der sukzessiv erzeugten Zahlenteile. Nicht. der Gegensatz zwischen
der schlichten Eindimensionalitüt der "mathematischen" Zahlenreihe
und der verzweigten Struktur des diairetischen Idealzahlgeflechts 15 ) ,
sondern das Vorhültnis des Teils einer Idealzahl zu einem ihm gewisser
maßen kongruenten Toil einer anderen IdGalzahl ist fiir Aristotoles das
entseheidonclo ]O>roblorn. Ist die ,,erste Dyade" (1) nedm7 o v a ~ ) in der
iclealen Vier (b mJ-r:ü -r:z7 -r:wr:eaot) identisch mit der idealen Zwei (a.v-r:1} ?J
o v a ~ ) i1 Dies Problem erscheint, isolie1•t genommen, ziemlich abstrus, es
gewinnt aber einen guten Sinn, wenn man sich erinnert, daß in dem
"ersten Teil" einer Idealzahl das Allgemeine und das Genus (die höheren
Eide der Ket-te) stecken, im "folgenden" aber die Differenzen. In der
15) Sachlich genommen bilden die Idealzahlen eigentlich doch auch eine imwesentlichen l ineare Reihe, soweit diese Linearität nicht durch die verschiedenen,
gewissermaßen "isomeren" Formen dar Tetras, Pentas usw. gestört wird.
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474 0. Becker
Relation des "Früheren und Späteren" (7:o :rce6?:seoy ?(al ?:o va?:eeoy) der
Idealzahl steckt also für Aristoteles das Problem der Kluft zwischen
Genus und "Dies-da", Genus und "Wesenswas" (7:o ?:t 1Jy slYw), d. h.
letztlich zwischen Dyamis und Energeia. So sind etwa die Einheiten deridealen Zwei aktuell (und das "erste Eine" (7:o :rcew'ioY [y) in ihr entspricht
etwa dem "Wesenswas"), die Monaden der "ersten Dyade" in der idealen
Tetras dagegen stellen höhere Eide (bzw. Gene) dar und sind deshalb
potentiell. Sind nun aktuelle und potentielle Monaden "zusammen
werfbar"?
Das abstruse Problem der f10'Jlaoer; aO'Vf-lßlYJ'iOL is t also keineswegs ein
beliebiges, es is t nichts anderes als das Fundamentalproblem des plato
nisch -aristotelischen Gegensatzes selbst.
3.Bevor die Texte im einzelnen herangezogen werden zur Bestätigung
der vorgebrachten Interpretation, sollen noch kurz die Beziehungen
der Idealzahlen zur Mathematik der platonischen Zeit zur Sprache
kommen.
Die graphische Darstellung, deren wir uns bedient haben, war unsere
eigene Zutat, sie ist nicht so überliefert. Dagegen hat Plato selbst, an
einer sehr bekannten Stelle des "Staates" (VI, p. 509 E) eine andere Art
von graphisch-geometrischer Darstellung eines diairetischen Verhält
nisses gegeben: wie wenn eine in zwei ungleiche Abschnitte a, b geteilteStrecke nach dem Verhältnis a : b wieder in ihren beiden Abschnitten
untergeteilt wird, so wird das All des Seienden in das "Denkbare" und
"Sichtbare" eingeteilt und jeder dieser Abschnitte wiederum in zwei
entsprechende Unterabschnitte gespalten (&a:rcee ?:ob'V?' yeaftftr)v otxaI 1 ßl 't I 11 I < I I N ' I I
'iS7:fL'YJf1SV'YJV, Aa W1' a11 aa 7:fL17fla'ia, :n;a"w 'i8fW8 8?(a'i8(!01' -r:o 'ifL'YJfla W'a 'iDY:J \ 1 I I - f:' I I ) \ "" I )
av-r:ov ADYOY, 7:0 'iS 7:ov oeww::vov yevovr; ?(ab 7:0 'iOV 1'00VftS1'0V . . • .
Was hier allein beachtet werden soll, ist das graphische Darstellungs
verfahren der Diairesis (Einteilung der Begriffe (ero17)). Sie wird symboli
siert durch Teilung einer Strecke. Das hat vor dem von uns früher benutzten Stammbaumschema den Vorzug, daß die relative Quantität
der Teile, d. h. ihr gegenseitiges Verhältnis durch das Verhältnis der
Längen der Teilstrecken unmittelbar dargestellt werden kannl 611) . Nun
macht in der Tat Plato nicht nur an der angeführten Stelle von dieser
Möglichkeit Gebrauch, in der die Proportion (a?'aJ.oyta) aufgestellt wird:
Sichtbar: Denkbar= Hypothetisch: Anhypotheton =Abbild: Original.
Auch im "Sophistes" und besonders im "Politicus" finden sich mehr
fach Hinweise auf das quantitative Verhältnis der Teile einer diairetische
15 a) Vgl. hierzu und zum folgenden: 0. Toeplitz, "Das Verhältnis von Mathematik und Ideenlehre bei Plato", diese Zeitschr., Bd. I, S. 3ff., insbes. S. 16-18.
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 4 75
Einteilung. (Polit. 258 BC, 261 ACE, 262 B-E: ,,p1} ap1:ueov p6ewv ev:rcedr; flByaJ,a ~ a l :rco,Ua &rpat(!Wflev" [nwir wollen keinen kleinen Teil im
Verhältnis zu [:rceor;] großen und vielen Dingen abschneiden . . . "] -,,Aem:ov(}yBiv o v ~ aacpaUr;, Oia peawv Öe aarpaJ.ia-r:eeo11 levm 'cSfW0117:8r; . . .[fein zu arbeiten - d. h. mit raffiniert abgeschätzten Teilverhältnissen -
ist nicht sicher; durch die Mitte gehen beim Zerschneiden - d. h. im
Verhältnis 1 : 1 teilen - ist sicherer].) Am sichersten ist die fortgesetzte
gewissermaßen mechanische Dichotomie im Verhältnis 1: 1; das schließt
nicht aus, daß man durch geschickte Teilung in anderen Verhältnissen
schneller zum Ziel gelangt (vgl. Pol. 256 A-267 C: längerer und kür
zerer Weg zur Bestimmung_ des Staatsmanns). Auch der allgemeine, von
Stenzel (Studien, S. 59, 63, ZG, S. 21) eingehend gewürdigte Gedankeder Zerschneidung nach dem natürlichen Wuchs (owtipvew ua•' a.efJeall :rcecpvxe11, Phaedr. 265 C) beim Opfertier (xa-r:a {lÜ17 • .• olov leeüov Otat-ewpd}a, Pol. 287 C), - aber auch schon in der Küche, wo der schlechte
Koch die Knochen zerbricht (xa-r:ayvvvat flleor; fl?]Öh "axov payeleov -r:e6:ntp,Phaedr. 265 C), gehört offenbar hierher.
Ferner hat die platonische Darstellungsart den Vorzug, daß sie über
aus anschaulich die "Jagd" nach dem zu definierenden Beg1•iff bei der
diairetischen Definitionsmethode wiedergibt. Stellt man sich etwa die
diairetische "Jagd" nach dem Sophisten, die in dem gleichnamigen
Dialog so lebendig bis zur endlichen Erlegung des ,,Wildes" geschildert
wird, durch sukzessive St,reckenhalbierung graphisch dar, so sieht man
unmittelbar, wie das gejagte "Wild" immer enger eingeschlossen und
aus einem Schlupfwinkel nach dem anderen vertrieben wird (vgl. Stenzel,
Speusippos, Sp. 1660, 35ff., 64ff.). Nimmt man die (zum mindesten früh
und mittel-) platonische Auffassung hinzu, daß das Element der Linie
kein ausdehnungsloser Punkt (anyp1]), sondern ein Linienatom (a.ooftor;Y(!C!flftfJ) ist, so scheint es fast, als ob bei der diairetischen Definition das
schließlich erreichte Ideenatom (ä-r:ofW1' slöo.;) durch ein Linienatom un
mittelbar repräsentiert wird. Freilich is t gerade diese Vorstellungmathematisch nicht zu halten, und es is t seinver denkbar, daß Plato an ihr
noch festgehalten habe, nachdem - erst spät in seinem Leben (Ge
setze VII, 819D)- das Phänomen des irrationalen Verhältnisses intensiv
in seinen Gesichtskreis trat.
Aber das bleibt jedenfalls bestehen, daß die drei Probleme der Diai
resis der Begriffe (Ideen), der Zahlen und des Räumlichen (nach Stenzeis
Bezeichnung ZG passim) durch die platonische graphische Darstellung
unter der Voraussetzung der von uns gegebenen Interpretation der Ideal
zahlen -soeng aneinanderrücken, daß sie im wesentlichen
nurnochverschiedene Ausdrücke einer identischen Sachlage darstellen. Die ver
einheitlichende Kraft des Diairesisgedankens in der beherrschenden
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476 0. Becker
Durchdringung dreier zunächst anscheinend ganz verschiedener Gebietetritt überzeugend heraus.
Nimmt man beispielsweise eine normale diairetische Definition, die
durch sukzessive Halbierung fortschreitet, derart, daß immer wiedereine der zuletzt erhaltenen Hälften wiederum halbiert wird (vgl. unsm
obiges Beispiel S. 468, aus ZG 11), so ergibt die graphische Darstellungdes Diairesis-Schemas, also die graphisch dargestellte Idealzahl, eine so-
wohl aus Euklid wie auch aus Platos Vorlesung "Über das Gute" (nsec
raya-&ov) bekannte Figur; nämlich die Figur zu Euklid, Elem. X, 1 (wennman von einer Strecke mehr als die I-Iälfte wegnimmt, vom Rest wiedermehr als die Hälfte usf. ins Unbegrenzte, so unterschreitet man schließlich jede beliebig (klein) vorgegebene Streclce 16 ) - und zugleich die
Figur der Stelle aus dem Philebuskommentar des Porphyrins (überliefert bei Simplicius, in Arist. phys. ausc. p. 24 7, 453 Diels, vgl. Z G 63 f.),
die die "Teilung der Elle" behandelt.
0 'ira1/s 1
14 'I.1-1-I-1-1----- I · --------
Fig. 5
Man kann durch eine naheliegende Verallgemeinerung dieser Einteilung das allgemeine V erfahren der Aufsuchung eines Punktes auf einerdual untergeteilten Skala ableiten. (Messen mit einem dual untergeteiltenMaßstab, ganz analog unseren dezimal geteilten Maßstäben.) Ins BegrifT-
liche übersetzt ergäbe sich die "Jagd" auf einen durch Diairesis zu bestimmenden Begriff, wie oben geschildert. Man kann vielleicht sogardiese Verallgemeinerung aus dem Text unserer Stelle herauslesen 17
) ;
16 ) Dieser Satz findet Elem. XII, 2 seine Anwendung auf die "Exhaustion" derKreisfläche, die man durch folgende, diairetisch zu interpretierende Figur (schematisch) darstellen kann:
3] (
4 - ~ - ]( ~ ~ - J( ](
- - - - - - - - - - - - - - - - - ~ ~ - - - ~ - - - ~ ~ 1 h's Eto
Fig. 6
J( bedeutet die Kreisfläche, 1/ 2K, 3/,JC, : . . ihre entsprochenden Bruchteile, E<t, E 8,
E16 ••• die Flächen des dem Kreise eingeschriebenen Quadrats, reg·elm. Achtocl(s,Sechzehnecks usw. Die Strecken E4 K, E8K, E 16J( •.. in der Figur bodouton dieFlächendifferenzen zwischen den regulären Polygonen und dem Kreise, die, wie mansieht, an der oberen "dualen" Skala gemessen, nach Elem. X, 1 schließlich {Jnterjede Grenze sinken.
Als eine Anwendung der diairetischen Methode kann man auch das "Sieb des
Eratosthenes" zur Aussiebung der Primzahlen durch sukzessive Ausscheidung (ier
Zahlen der Formen 2n, 3n, 5n, 7n, '11 n . . . auffassen.17
) Der Text lautet: "-tb t-tlw f-teeov ~ t - t l n t J x v &-r:t-t'Y/-r:ov Maat.ftBV, -r:o cYI; fi-ti!QOV ~ ! d ' l t f J X V dt-tvwces x ad : ß laX 1J n (l o 6 d.f}o ~ ft c 1 -tqi & - t t - t ~ t t p , chl o &v yf.vol-co tqi 1 t ~ X H I ~ E ( l f J ,
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 4 7 7
man kann aber auch annehmen, daß Plato in seiner Vorlesung den trivialen Fall nur als Einführung für kompliziertere Betrachtungen ver
wendet hat und daß das uns bei Simplicius erhaltene Stück aus der ursprünglichen Nachschrift nur den allgemein verständlichen Trivialfallwiedergibt.
Mathematisch käme die Sache hinaus auf die Entwicklung eines
graphisch gegebenen "Logos" in einen systematischen Dual-
bruch.
Es fragt sich: Is t Derartiges zu Platos Zeit möglich und sind irgendwelche Wirkungen eines solchen Verfahrens in der zeitgenössischenMathematik nachzuweisen?
Die Möglichkeit einer dyadischen Entwicklung zu Platos Zeit läßtsich sehr leicht beweisen: einfach dadurch, daß man auf die altägyp-
tische Teclmik des elementaren Multiplizierens und Dividierensund derBruchrechnung hinweist. Dort wird ja in ausgiebigster Weise von derdyadischen Entwicklung des Multiplikators (Vervielfachung nicht mittelsdes auswendig gelernten "Einmaleins", sondern durch iterierl;es Verdoppeln und geeignetes Zusammenfassen), dyadischen Approximation des
Dividenden und Ergänzung des Restes durch dual entwickelte Bruchteile des Divisors usw. usw. Gebrauch gemachtl8
) . Man muß annehmen,daß zum mindesten die elementare Technik der Division Plato wohl-
,;6 fLIW f n ~ ,;o !l!..a,;,;ov ? t Q o ~ o ' V , -rb cl's ~ n l -r:o f L < i ~ o y & - r : c · l a v - t ~ - r : r o g . " Die Frage ist, ob dieTeile, die von der zerschnittenen Ellenhälfte der unzerschnitlenen hinzugefügtwerden, u nm i t telbar anschließen müssen oder nicht. Im zweiten Falle könnteman die Sache auch so verstehen:
l:hfL1J<'D'V 7)!ol7t1Ji(,V
Stadium J. 1-- - - - - - - - - - - - - - - - - -1Stadium Il. 1----------1-----1······ ............. 1
Stadium I I I . 1--- - - - - - -1 ... · · · · ·1-1·· · ................ 1
Stadium IV. I ......... , ...1-1 ................... 1
Fig. 7
Die ausgezogenen Teile der rechten Ellenhälfte machen zusammen mit derunzerschnittenen Ellenhälfte den "zum Kleineren fortschreitenden (ilnl -cb E'J.anov
? t Q D ~ o v ) Teil" aus, die punktierten Teilstrecken den "zum Größcrn (in! -r:b !LfitD?')
fortschreitenden Teil".lB) Vgl. 0. Neugebauer, Die Grundlagen der ägyptischen Brucl1rechnung,
(Berlin 1926); Arithmetik und Rechentechnik der Ägypter (diese Zeitschr., Bel. I,S. 30.1ff.). - Aus dem letzteren Aufsatz stammt das folgende Beispiel (S. 82?)
"R24":
Aufgabe:.
'19:8
Rechnung:'1 '1 '1~ 2 4 8
8 16 4 2 1
Ergebnis:
2+i.+i.4 8
Auf das wesentlich k o m p l i ~ i e r t e r e Bruchrechnen kann hier nicht eingegangen werden.Aber auch da sind dyadische Entwicklungen grundlegend.
Quellen u. Studien B I . 32
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478 0. B ecker
bekannt war; die frühgriechische "Logistik" wird der ägyptischen ähn
~ i c h . gewesen sein 19) . Der Gedanke der dualen Entwicklung eines Logos
1st 1hm also wohl zuzutrauen.
Aber dann erhebt sich die weitere Frage: Wie kommt es, daß dieduale Entwicklung von Brüchen und überhaupt Verhältnissen in der
überlieforten griechischen Mathematik nicht auftritt? Wenn Plato diesen
Gedanken systematisch aufnahm, warum wurde er nicht; wissenschaft
liebes Gemeingut i1 Die Antwort darauf kann natürlich nur mit einiger
Wahrscheinlichkeit gegeben werden. Aber man geht wohl nicht fehl, wenn
man annimmt, daß das ja auch Plato (in seiner Spätzeit) so stark be-
seltilftigende Problem des I r rat ionalen die Verwendung des systema
tischen Bruchs in der griechischen :Mathematik verhindert hat. Es gibt
bekanntlich rationale Brüche, die nicht auf endliche Weise dual(doY.;imo.l, soxag·esimal) entwickelt werden können, sondern unendliche
(periodische) Dual- (Dezimal-, Sexagesimal-) Brüche ergeben. So schon1/
3im dualen (und dezimalen) System. Rationalität und endliche
Entwickelbarkeit eines Logos fallen also nicht zusammen; die Entwick
lung in einen systematischen Bruch kann also kein Kriterium für die
Hationalität eines Verhältnisses darbieten. Noch mehr: die Darstellung
eines so einfachen ganzzahligen Verhältnisses wie 1: 3 als ein "Apeiron"
(eine unendliche Dualentwicklung) mußte alle griechischen Begriffe
in Vorwirrung bringen: sollte man den "Logos" 1: 3 dem "Peras" oder
dem "Apeiron" zuweisen?- Der Weg der dualen Entwicklung war also
ungangbar, dagegen führte die Kettenbruchentwicklung in der Form des
sogenannten Euklidischen Teilerverfahrens (Elem. VII, 2) zum Ziele.
Diuses auch heute noch benutzte Verfahren zur Aufsuchung des eventuell
vorhandenen gemeinsamen Teilers zweier gegebener Größen läßt sich
IUWh in der F'orm einer allerdings doppelten und verschränkten Diairesis
(d?•·t?v(patQBtJJ nennt Euklid diese Operation) darstellen. Seien die zu prü
l'en<lon GrOßem a1
und a2• lVJan hat dann (wenn nu n 2, n3 ••• ganze Zahlen
bo,louLon): ~ 1 . ) a1 = a2 n1+ a3
~ l ) a3 = a,1 n3 + a5
5) a6 = a0 n5+ a7• • • • 0 • • • • • •
2) a2 = a3 nz+ a4
4) a4 = a5 nJ+ a6
6) a6 = a7 n0+a8
lD) Vgl. "Gesetze", VII, 819 C. Dort wird der arithmetische Elementarunterricht
der 1lgyp t ischen Kinder den Griechen als Muster hingestellt und einzelne Ver
teilungs- und Kombinationsaufgaben werden ausdrücklich genannt, wie sie als an
gewandte Aufgaben dem alltäglichen Leben erwachsen. Es handelt sich bei der e ~ s t e n Aufgabe bei Plato um eine sehr einfache "'7/-" (d. i. "Haufen-") Rechnung, bet der
dritten wohl um eine "psw"- ("Qualitäts-") Rechnung. Diese Rechnungen nachägyptischer Methode benutzen alle die dyadische Entwicklung von Zahlen und
Starnmhrüchen; vgl. Neugcbauer a. a. 0.
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 4 79
Wenn das Verfahren abbricht, haben a1 und a2 ein rationales V erhältnis, wenn es ins Unendliche fortschreitet, ein irrationales.
Betrachtet man die Kolumnen für sich, so sieht man, daß es sich um
eine sukzessive Diairesis handelt (z. B. wird links der Reihe nach a1,
dessen Unterteil a3 , dessen Unterteil a5 usw. zerlegt). Die Art der Teilungbestimmt sich rekursiv (durch Hineindividieren und Zerlegen in einenAbschnitt, in dem die Teilung "aufgeht", und einen Restabschnitt) und
zwar durch Hin- und Hergehen zwischen beiden Kolumnen, wie die Ordnungszahlen (1), (2), (3), (l1) . . . andeuten. Das Verfahren bricht dadurchab, daß schließlich einmal eine Division glatt aufgeht, also etwa ah+2 = 0wird. Dies is t aber nicht immer der Fall: das einfachste Gegenbeispielist die Teilung nach dem "goldenen Schnitt", wo sich dieselbe Divisions
aufgabe in immer verjüngtem Maßstab wiederholt. - Diese "Anthyphairesis" ist also das entscheidende Mittel zur Beherrschung des Irrationalenproblems (modern ausgedrückt: Endlichkeit der Kettenbruch
entwicklung als Kriterium der Rationalität). Sie ist eine Weiterbildungder diairetischen Methode und mußte sachlich die duale diairetischeEntwicklung überwinden.
Die Klassifikation der Irrationalitäten bei Euklid (Elem., Buch X)schließt sich hier unmittelbar an; sie ist sicher der letzte Reflex einesontologischen Problems: die Stufen zwischen dem "Peras", dem vollkommen Rationalen, und dem "Apeiron", den "ungeordneten Irratio
nalen" ( a : r : a w c o ~ lJJoym), zu bestimmen, die Mittelglieder ihrer "Zahl"
nach festzulegen (gemäß Phileb. 16 DE). Das Problem setzt sich bis zuA p ollonius V Oll p ergß ( : n : e e ~ ch:&wrw1' a?coywP, de irrationalibus inordi-
natis), ja bis zu Pappus fort, dessen Kommentar zu Euklid Elem. X 20)
uns sowohl die mathematische Entwicklung wie auch die Beziehung zur
Philosophie einigermaßen überblicken läßt 21) .
Methodisch verwanclt ist auch die Anregung, die Plato nach dem
Bericht des Endemus (im zweiten Buch der : A c r r e o ? c o y ~ ; > , : 1 J 'Irnog{a,
fr. 96 Sp. bei Simpl. in Arist. de coelo p. 488, 19 I-leiberg) den Astro-
20 ) Nur in arabischer Übersetzung des Abu Othman erhalten, von F. Woepcke
teilweise ins Französische ("Essai d'une restitutiondes traveaux perdus d'Apolloniussur !es quantites irrationelles d'apres des indications tirees d'un manuscrit arabe."
Mem. pres. a 'acad. d. sciences de l'inst. imp. de France, Sc. Mathemat. et. Phys.,T. XIV, Paris 1856); von H. Suter vollständig ins Deutsche übertragen ("Beiträgezur Geschichte der Mathematik bei den Griechen und Arabern", Abh. z. Gesell. d.Naturw. u. d. Med., hrsg. v. Osk. Schulz, Heft IV, Erlangen 1922). Die philosophischen Stellen bedürften einer weiteren Bearbeitung unter Berücksichtigung derneuplatonischen Terminologie bei Proclus (in Euclidem) und den ihm nabestehenden Euldidscholien. (Die neuste Bearbeitung von Junge-Thomson in der "Har
vard Semitic Series", Vol. 8 (1930) war mir leider noch nicht zugänglich.)21) Vgl. die Darstellung des Verf. a. a. 0. S. 139ff.
32*
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480 0. Becker
nomen seiner Zeit zur Erforschung der Planetenbahnen gab. Nämlich
zu erforschen, "unter Zugrundelegung welcher gleichförmiger und
geordneter Bewegungen die die Bewegungen der Irrsterne betreffenden
Erscll'einungen ,gerettet' (d. h. richtig wiedergegeben) würden" (Tlvwv{rnof}st.a{iw Of.taAW?' xai Tnaypevwv xw'l]aswv ÖtaawiJfi Ta nsei u!<;; utn}-
asu; TW1' nJ.avwps?'WY cpa.w6f.te?'a). Es werden denn auch beide Aufgaben. '
die Theorie der Irrationalität und die der Planeten, in den "Gesetzen"
VII, 8:L8E (neben der Arithmetik) zusammen erwähnt und dann 8i9D
bis 822A näher gekennzeichnet. - Zur Terminologie ist zu bemerken:
Die TBTa.ypha.t xw'l]au<;; sind das genaue Widerspiel der a:r:a.wr:ot äJ.oyot des
Apollonius, der sich ja die Aufgabe stellte, diese ä:r:a.urot äJ.oyot zu TauTal
(ev??·si:(u) zu machen. Auch das Gegenspiel des Terminus Üf.tal,o<;; findet
sich in dem uns bekannten philosophischen Zusammenhang und zwar
bei Eudomus selbst (fr. 27 Sp., Simpl. in Arist. phys. ausc. p. 43i, 8 - iü
D' l ) JJ1 I ji I I I I I I I I 1 >1 I 1 0 1 }.
10 S : " AO.TOJll uB "CO flBya ?<at 't'U f.llU(JOV UO.l 't'O f.l1} 01' Xat "CO O.VOJf.lU .ov
xai /Jaa TO'!JTOls e:rd ra.v'to cpB(!Bl T ~ v xtl'1]GW Aßyst." ("Plato nennt das
,Große und Kleine' und das Nichtseiende und das Ungleichförmige
und was immer mit diesen auf dasselbe hinauskommt die Bewegung".) 22)Daran ist wichtig vor allem die sachliche Identifizierung des mit den
Ansdrücken "groß und klein", "nicht seiend" und "ungleichförmig"
Gemeinten. (Eine Zeile später wird auch noch avtaov als gleichbedeutendeingeführt, später (Z. 1.6) auch aoeta't'ov.) TO aJIWflUAOV bezeichnet also
das vieldeutige "zweite'' platonische Prinzip, das dem Einen, Guten,Eidos, Peras usw. entgegengesetzt ist. Die astronomische Aufgabe liegt
also ganz parallel den übrigen platonischen Problemen der "Begrenzung
clos Unbegrenzten". ·Anßor dioson besonderen, wenn auch umfassenden Aufgaben, die in
dor Akademie ihren Ursprung gehabt haben, is t noch die allerdings nicht
oindnnt.igo Überlieferung zu erwähnen (Proclus, in Euclidem, p. 103, 2i
bis Hllt, 2Cl Friodl.; Plutarch, vita Marcelli 14, quaest. convival. VIII, 2, 1,p. 718E), die Plato die Beschränkung der elementaren geometrischen
KonBiii'nktionen auf das Schlagen von Kreisen und das Ziehen von Geradon zusehreibt. Bedenkt man, daß (nach Proclus, in Euclidem p .1. 79, 24
his 180,a; p.97,7.9-17; p.185,10-12 Friedl.) Gerade und Kreis
22) Daß hier das cblro[La:J.,o11 mit der xlv'I]CJLS identifiziert wird, darf man nicht a ~ s WiderspJ•uch zu der astronomischen Forderung der o[Lcä .7] ulVTJlitS verstehen. Dw
gleichförmige Kreisbewegung is t ja die der Ruhe am nächsten kommende ("ewige"}Bewegung (die ausführlichsten Analysen darüber bei Aristoteles, Physik e und
Metaph . ./1); ihre Geschwindigkeit und die Krümmung ihrer Bahn "schwankt" nicht!
Man vergleiche auch Proclus, in Euclidem, ad def. XV (p.146, 24-150, 12) über
die Eigenart des Kreises. {146, 2lx: '[;0 'lCQlhtcrrov ' l t C I ~ &-n:l.ovCJ'!:Ci'l:OV '!:WV axmuxT'CüV xat
''[;a/,storcxrov•• •
14?, 3:ua l
E()'CL?I &va!..oyov "r:cji 1ti!QCIT:L 'ltCIL '!:fl p.ovach 'ltCIL ol.ws -tfl& p . ~ l ~ · a v
uvar:otxlc;< usw.)
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 481
durch das "gleichförmige Fließen" (oftaJ.?j evat(;) des Punktes bzw. die"gleichförmige Bewegung" (Ofla'Aij ~ t ' J ! ? ] O ' t ( ; ) des Endpunktes des Radiuszustandekommen und daß die in der Vorstellung der (}vat; liegende Anschauung des Punktes als Ursprung (&.ex1]) der Linie platonisch ist, so
gewinnt die Überlieferung an innerer Wahrscheinlichkeit. Fügt man
hinzu, daß zur Zeit Platos tatsächlich die naive Verwendung der "Ein
schiebung" ('J!svat(;), die noch bei Hippakrates von Chios vorkommt,verschwindet und daß auch die neue Lösung des Delischen Problemsdurch den Eudoxus-Schüler Menaechmus (vermittels der Kegelschnitte)auf die neue Auffassung Rücksicht nimmt, so ist auch der äußere Tatbestand anscheinend bestätigt.
Dieser umfassendste methodische Gedanke Platos auf mathematischem Gebiet darf allerdings nicht als "Konstruktivismus" interpretiertwerden im Sinne einer Existenzsicherung mathematischer Gebilcle durchihre "Erzeugung". Sondern die von Proclus (in Euclidem p. 77, 15
Friedl.) berichtete Auseinandersetzung der Akademie (Speusippus) undder kyzikenischen Schule (Menaechmus) über den Sinn der "Bewegung"in der Mathematik zeigt, daß nach platonischer Auffassung das "Mathema" ein "ewig Seiendes" (dst lf?i) ist (vgl. Staat VII, 527 A, dazuStenzel, Speusipp. 1659-60 u. Verf., "Math. Existenz", S. 131. ff.,
198f.). Das heißt: die "Beschränkung der mathematischen Instrumenteauf Lineal und Zil'lml", wie man für gewöhnlich recht mißverständlichsagt, besagt in Wahrheit die stufenweise Ordnung der unbewegten geo-
metrischen Figuren nach dem Grade ihrer Komplikation, feststellbar ander Zahl und Art der ineinander greifenden (schneidenden und verbindenden) Geraden und Kreise, die die "erzeugende" KonstruktionOLOaO'XaUa(; xaew benutzt.
Also auch diese umfassendste Aufgabe ordnet sich sinngemäß demmethodischen Gedanken des "Philebus" unter; die "unendliche" Mannigfaltigkeit der Raumgestalten wird "begrenzt", zu dem gemacht, waswir noch heute "definite (&-weWflB'J!1]) Mannigfaltigkeit" nennen.Die "Zahl" (aed}fldf;) erscheint auch hier in der doppelten Funktion von"Baustein" (a-r:otxe'io'J!) und "Band" (oWJto(;).
So zeigt sich, daß fast alle großen Problembezirke der Mathematikder Zeit und eines ihrer umfassendsten methodischen Prinzipien von derdiairetischen Methode und der Konzeption der Idealzahl aus ihrenphilosophischen Mittelpunkt erhalten. Allerdings ist zweierlei· festzuhalten: Erstens geht die mathematische Methode im weiteren Verlaufihrer Entwicklung weit über eine einfache Diairesis der Ideen hinaus und
zweitens darf man nicht glauben, daß in dem verwickelten Verhältnisder akademischen Philosophie und der Mathem'atik die erste der alleingebende Teil war - ebensowenig wie freilich die zweite. Es ist nicht
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 483
!1.
Von den weitreichenden Auswirkungen der platonischen IdeenZahlen-Lehre kehrt unsere Untersuchung zu dieser selbst zurück. Es
bleibt ihr die Aufgabe, an der Hand der Texte - in möglichster Kürze -die vorgebrachte These zu prüfen. Dabei kann natürlich nicht die Absicht die sein, alle die mannigfachen Dunkelheiten der Überlieferung,besonders in der aristotelischen Polemik gegen die platonische Lehre,aufzuhellen. Das wird wahrscheinlich überhaupt niemals ganz möglichsein. Aber es soll versucht werden, möglichst eindeutige Belege für unsereThese aus den Texten zu gewinnen.
Methodisch is t von vornherein ·eine Bemerkung zu machen: Die aristotelische Kritik an Plato ist höchstwahrscheinlich mißverstanden, wennaus ihrer Auslegung sich ergibt, daß sie die platonische Theorie in ihrenelementarsten Zügen nicht versteht und daß sie lediglich um Nebenpunkte und abstruse Einzelheiten marottenhart streitet. Nach dem, waswir sonst von Aristoteles wissen, ist vielmehr anzunehmen, daß er dieakademischen Lehren sehr genau gekannt und in philosophisch
wesentlichen Punkten bekämpft hat.Die Texte sind im folgenden in sachlicher Gruppierung zusammen
gestellt und interpretiert; am Schluß folgen einige besonders wichtige
Einzelstellen.
a) Die Benennung der Idealzahlen und der sprachliche
Ausdruck der These, daß "die Ideen Zahlen sind".
Die erste Erwähnung der Ideen-Zahlen-These findet sich Met. A 6,
987 b 20-23: cvr; fLB11 oi5v VA?JV -rd flAya u a ~ -cd fUtt(!d?J sl11at aexar;, wr; o'ovalav-rd e11' s ~ sust?IWP ')'Ct{! uaTCl p { { ) s ~ W "tOV BPO(; -ca 8t01J slvm Ws (für überliefertesTovr;) &12 t-o.pavr;.
Die letzten Worte sind, so wie sie überliefert sind, schwer verständlich.Zellerund W. D. Ross streichen Ta st017, Christ umgekehrt Tovr; >-o.rwvr;;Schwegler -covr; und J aclcson schreibt für Tovr;: -ra wr;. (Von noch anderenVorschlägen sei hier abgesehen.) Wir übersetzen: " . . . aus jenen leitetensich (slvm s ~ ) die Ideen her, sofern ( w ~ ) sie Zahlen seien." (wr; etwa inder Bedeutung von ?J·) - Die Konjektur wr; für Tovr; vermeidet denEinwand, den Ross gegen Jacksons verwandten Vorschlag erhebt (ra wr;
für y o v ~ ) , daß damit zwei Klassen von do17 statuiert würden, solche c ( J ~ &.etfJf-toi und andere. Der Text besagt 1Jei uns nur, daß die Ideen alsZahlen anzusehen seien 24
) .
24) Es sei hier ein Deutungsversuch der in der Nähe befindlichen umstrittenenStelle 987b 33-988 a 1 angeschlossen: " . . . -tb 8/: <l'vct<l'a ' R . D ~ ~ u a ~ - t ~ v hEQ«V cp·vaw <l'Lit
'tO ' t O f J ~ & Q t & f L O f J ~ (xa:t) nro 'tihv '!CQ cb-twv EVcpvws ES O:Vt1jS ycvvacr.frat, &u'!CEQ i!x 't!'VOS
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484 0. Beclcer
Ähnliche Wendungen kommen oft in der Metaphysik vor, z. B.:M 9, 1086a 11-13: 6 n e r ' i n : o ~ # S j J , B ' V O ~ 'l"cl BtO'YJ slval ~ a l a e l ß f l , D V ~ TaBLO'YJ . . . N 3, 1090 a 16: o[ ftS'V OV'V ?:lßSfJ,B'VOl ' l " c l ~ l o e a ~ el11al ~ a l aetßp,ovc;
a v ? : a ~ elvm . . . bemerkenswert endlich die präzise Wendung: N 2,1090 a 4-6: ?:q:i l o e a ~ uthp,e1'<p . . . l ! ~ a a r o r ; ?:W1' aed}p,iiw loea nr;. An denersten beiden (und vielen anderen) Stellen werden die Ideen (im Plural)den Zahlen (im Plural) zugeordnet, an der dritten ausdrücklich jeder
einzelnen Zahl eine bestimmte Idee (also Singular dem Singular).Bis hierher hat die Sachlage nichts Merkwürdiges. Aber es kommt die
Tatsache hinzu, daß in einer Reihe von Stellen sich geradezu eine Terminologie ausbildet, die der Zahl (im Singular) Ideen (im Plural, mitund ohne Artikel) zuordnet.
Schon im zweiten Buch von nselr p t J . a a o r p t a ~
(fr. 9 R, überliefert beiSyrian) heißt es: el i i . U o ~ aed}p,or; aZ loeat. Die Formel 6 -rwv slowv (loeäl1')
d.et#ft6c; steht Met. M 7, 1081 a 21; M 8, 1.083b 3; N 3, 1090b 33, 37. EineVariante ist: ?:o'ir; wc; do'YJ -r6v aetß{J,dv Uyovm (1083b 4-5) und die auchin anderer Hinsicht wichtige Stelle: (aet#ß6v) -rdv sxov?:a ne6?:sem' xal
iJa-rsea'V ? : a ~ l o e a ~ (1080a 12-13) (S. u. S. 485, Anm. 28).
Man könnte daran denken, den Singular von d . e t # p , 6 ~ in allen Fällenim kollektiven Sinne zu verstehen, so daß er bedeutungsmäßig einemPlural nahe käme, aber - warum kommt dann niemals an solchenStellen s l o o ~ im kollektiven Sinne vor? Dieser Ausweg hilft also - inAnbetracht der immerhin erheblichen Zahl (7) der Stellen - nichts. Esbleibt dabei, daß die "Zahl" bald der einzelnen Idee, bald - als einzelne"den Ideen" oder "Ideen" entspricht. Liegt dann aber nicht ein Widerspruch vor?
Man kommt zu einer Erklärung des Tatbestands, wenn man Stellenheranziel:rt wie Met. I-1 3, 1044a 11-14: neel flhl OV11 Y B 1 1 S ( J 8 ( ) ) ~ ~ ( J . L r p ß o e f l ~ TW j i 'Asyop,hW11 OV(J{W1' . . . "al nsel -ri]r; (sc. ?:W'V 'Aey. OVrJlW11) s l ~ ?:01' &.!]l??·w1v
a1'aywyi'jc; 26) , was zusammenzuhalten ist etwa mit Z 13, 1039a 7: el f;
th<-ltayelov". " ••. weil die Zahlen aus der Dyas (auch) über die (bei den) ersten
hinaus wohlgebildet erzeugt werden, wie aus einem bildsamen Stol'f." - Wir fassenalso, im Anschluß an A. E. T ayl or, o! n:(lcii-r:ot. als die beiden ersten Zahlen 1 und 2auf und fügen hinzu, daß N,ro nicht notwendig "mit Ausnahme" (n7.1]?',
pracler) bedeutet , sondern zunächst "außerhalb" (extra) und "darüber
hinaus" in räumlicher und zeitlicher Hinsicht (Bonitz, Index ArisLot., p. 2G2b,
55ff.; Xenophon, Kyropaedie IV, t,, 1: E'sro 1dr;ov 1J!Jot!Qas; Demosthones 54,26(Bekker): li6ro ltt!Grov v'vx-r:wv}. Der Sinn ist dann: Bei 1 und 2 ist die Erzeugung· trivial,aber auch darüber hinaus ist sie möglich. Das xal is t dem Sinne nach zu ergänzen;man braucht diese Ergänzung aber nicht notwendig als Text-Konjektur aufzufassen.
25}
Zum Terminus &vayroy'l] vgl. The op hrast, Metaphysik 13 ( 6b, 11-14 Usener):"IIJ:chrov ~ J o i : V otiv sv - r ~ o &v& Y H 7' d s -r ~ s &QXa s 0'6l;wsv ~ v &n:-rMiJm -rci'w & J . ~ r o v sls-r:ag lO't!as &1•an-rrov, -rav-cas 0'' sls -ro-bs & Q t . & ~ J o o v s , fx 0'/; -rov-rca1• sls - r ~ s &Qx&s . . ."
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 485
ovata lJv, OV'X l J a - c a ~ 8 ~ ovauvv 8vvnaexovawv und a 3: aovva-rov yae ovatav
8 ~ OVrJlWV elvw 8vvno.exovawv w ~ brcdsxetq.. Weiter heißt es (a 11-14):
Diese Unmöglichkeit des aktuellen svvnaexsw der Teil-ovatm in einer
ganzen ovata ist ganz wie bei der Zahl: " o p o t w ~ ; -rof.vvv ofj).ov, 8u uo.iiJn' aet.Of-lOV f ! ~ s t , et7Ce(! 0 U ( ! l { ) p , o ~ C1VJJ{)salr; flOVaCJWJI, wanse A8ys-rm vn6 -rwwv
(nämlich den Platonikern) ~ yae ovx ev r; o v d ~ , ~ OV'X SJIEC1'tl [ t o v d ~ ; b av-rfl
sv-rdsxetq.. Womit unmittelbar zu vergleichen ist M 7, 1082b 28-32:
OtO xai 'tO d(!t{)·fU;;'la{}at o v - r w ~ , e11 ovo, f t ~ nqoaJ..aftßavopevov 7 C ( ! O ~ T!p vnaexov-rt
dvayxa'lov a v - r o i ~ Uysw. OV7:e yae r; yeveatr; lJa-r:at B'X - r f j ~ aoeta-rov ovdC!or; 26)
ov-re loeav 8voexs-r:at eblat• s v v n a e ~ 8l yae i-riea loea BV sdeq. xat nd.v-ra -r:a
do17 e v o ~ pe(!?J.
Und schließlich sagt Aristoteles ganz direkt und deutlich (M 7,
1082a 34-35): . . . wa-re näcrm o.l f W l ' a o s ~ löeal ytyvov-rm xal. avyxef.ae-rallMa e ~ losaw. Dazu kommt dann noch, außer anderen Parallelstellen 27
) ,
die besonders krasse M 9, 1085a 24-26: ndv-r:wv oe 'XOWO'JI 'tOVTWJI önee
enl 'tW'JI elowv 7:W11 w ~ y e v o v ~ avpßatvet C!wnoee'lv, OWJI Ttr; 1ffj <xwew-ra
J aeger) -ra xa{)6J..ov, n6-reeov -rd t;i[>o?' av-r:d 8v -ri[> !;cf!cp 1} lJ-reqov avwiJ l;i[>ov
(für !;cf!ov Jaeger).Es handelt sich an allen diesen Stellen und an noch zahlreichen ande
ren 28 ) immer um dieselbe Frage, ob eine Idee, eine ova{a oder eine Zahl
26 ) Die Genesis aus der t:l:tiQtli't'OS U'v&s steht hier nicht zufällig. Denn (wie wir
oben, S. 4,70 f., sahen) vermeidet ja die Erzeugung durch Spaltung der Monaden geradedas Bestehenbleiben (t\na(!xsw) der "alten" Monaden als aktueller in (fv) der schließ-lich erreichten ZahL .
27) Vgl. bes. 1082b 23-26 (vor der im Text zitierten Stelle): oiJd'/; l!liovr:rxt txi
l d ' ~ t x t &(,n.f:l'fLOl. 't 'oiho [LEV raQ txVTO O Q . f : I ' W ~ ieyovliL oi O t t x r p O ( ! O V ~ TtXS [LOVall'txs & ~ r o v v - r : a s alvctt d'n&Q l d' 8X t (sei!. ai !L011ct08S I) lrJOji'CCXL, oor11t&Q El'(,11J'I:CXt 1tQOT&QOV (nämlich '1082 a3lt-35) · ~ v r : Q 1:0 E l oo s. Es wird hier als wesentlicher und selbstverständlicherBestandteil der platonischen Lehre angenommon, daß die Monaden Ideen sind -unter Hinweis ·auf die frühere Stelle (und vielleicht noch andere) und mit der Be·gründung, das Eidos sei gv, der These, die den ganzen platonischen "Parmenides"durchzieht.
28)Zu erwähnen is t davon noch besonders Met. M 6, l080a '15-18: &,•&rwlJ u'al'rca(!sad,, o&Qt-ll'ftÖs rpvrns ' Z ' t ~ 1'txtlt1J&U1J-rlssrmv av'!:ov l ]ovala&n' -roiir' av1:6,
roanao rpcxc;l nvss, ijTot slvcxt 'I:D fLE1' n(lcli-r:ov 1:l. rxv1: o i -r6 U'' izofLsvov, g-c&QOV ov 1:9'J efd'ag1'CXr1't'OV. und unmittelbar dazu M 6, 1080b H-13: oi fLEV 0 · ~ 1 1 (die Platonilter) afL
rpodQOVS rpcxat alvcxt 't'o-11!; &Qt&ft-ovs, dv fLEV (die Idealzahl) l!zov't'tx -cb 1tQD
't'c(!O'I' xcd vc;Hr,>OV 1:as id't!rxs, 1:ov os f.LCXil'lJ!trx't'or6v •• .In beiden Stellen is t der Singular von &[,n.&f.LOS bedeutsam. In der ersten heißt
1:0 f.LSV nQÖl't'OV av1:o ii 1:0 d'' ex6f.LEVov: "das erste einerseits und das folgende andrerseits (dem Eidos nach verschieden!) der (einzelnen!) Zahl". In der zweitenwerden zwei Zahltypen unterschieden (&fLrpOUQOL o! aQLil'fLol); eine typische Zahl derersten Art (o fLI:v) hat (als einzelne!) als das Früher und Später die Ideen (Mehrzahll) oder "besitzt das Früher und Später, nämlich die Ideen". Das heißt: in einereinzelnen Zahl dieses Typs sind gewisse 'l'eile früher, gewisse später -nicht etwa sind gewisse Zahlen (als ganze) früher bzw. später als andere! Letztlich
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486 0. B ocker
aus Monaden oder ,,kleineren" Teilzahlen so zusammengesetzt werden
kann, daß die Teile aktual sind und trotzdem das Ganze ein l!v ist. Das
wird von Aristoteles stets geleugnet (es ist ein wesentlicher Teil seiner
Argumentation über die Einheit der Definition in Met. Z), von den Pla
tonikern aber (nach Aristoteles) behauptet. Dabei gehen an den ver
schiedenen Stellen nicht nur die Zahlen, sondern auch die Teilzahlen bis
hinab zu den Einheiten den Ideen parallel. Direkt ausgesprochen wird
es an der zitierten Stelle 1082a 3 ! ~ : rciJ.aat aE ttov&.osr; loeat y!y?,ovrat,indirekt ergibt es sich aus Met. N 4, 1091 b 25-27: ä.uaaat yae a[ ftov&.osr;
y{yvwr:w Önee aya{}6v n . . . l!n el Ta BtO?] aed}ftol, Ta erO?] navTa O'JtB{!
aym96v Tt. Dies ist nur dann ein gültiger Schluß, wenn man als Minor
ergänzt: Ta ero17 eaTl fl01'aoer;, was also augenscheinlich, als nähere De
termination, aus der angegebenen Bedingung er Ta er01] aed}ftot ge
folgert .wird 29) .
Ebendasselbe ergibt sich aus Met. I-I 3, 1043b 33: e'lnee ela! nwr; aedJpol
a[ ova!w, ofhwr; elal xal ovx, wr; Ttver; Myovm, fGO'Vaowv. - o1hwr;, d. h. so
wie im vorigen beschrieben: nicht aus aktualen Teilen zusammengesetzt,
sondern aus Stoff (Potenziellem) und Form (Aktuellem), wobei zum
Stoff auch das Genus gerechnet wird (vgl. Met. Z 13) und damit über
haupt alle höheren Eide der Ideenkette, die in der aristotelischen Aus-
handelt es sich bei diesen Teilen um die Einheiten, die MuxlQ<-r:a, die nicht weiter
zerlegbaren Teile. Diese sind also früher und später und bei diesen gibt es ein
Erstes und ein Folgendes.
Eduard Zeller kommt in einer berühmten Anmerkung seiner "Philosophie der
Griechen" (Bel. II , 1, S. 68'1, Anm. 4 in der 4. Auflage) ganz nahe an diese Erkenntnis
heran. Mit Recht bringt er die Unvereinbarkeit der Einheiten der Idealzahl (der
fto'I'&V'<s a O ' V ! ~ ( 3 ! . r r r : o t ) mit diesem Verhältnis von früher und später in Zusammenhang.
Vgl. M ?, 108'1 a '1?, 35ff., b 28 (!LO'V&V'ss & a v t t ( 3 J . 1 ] ' ! : 0 ~ = ft011Mcs ' J t Q U ' r E Q I X ~ %eiL va't'cQIXI.);
M 8, '1083a 33. F'm•ner: M 7, 1082a 2ßff., wo "Aristoteles (wie Zeller sagt) gegen die
platonische Annahme der Idealzahlen einwendet: aus ihrer Voraussetzung würde
sich ergeben, daß nicht bloß die ganzen Zahlen, sonelern auch die '!'eile derselben, im Verhältnis des Vor und Nach stehen, daß also auch diese Ideen
sein müßten, und somit eine Idee aus mehreren Ideen (die ideale Acht z. B. aus
zwei idealen Vieren) zusammengesetzt sein müßte". - Dies alles gilt wörtlich für
die Einheiten (die MtalQF.-r:a) selbst, die also Ideen sind, die in ihrer Verflechtung
( a v ~ : r r ; / . . o % ~ ) im diairetischen Schema wiederum Ideen produzieren.
20) Man könnte einwenden: Wenn die ~ o 1 ' & J ' c s onEQ &yail·o1' n sind, so auch die
aus ihnen zusammengesetzten Zahlen. Aber das is t in Anbetracht des Gesamt
arguments, in das die Stelle eingebettet ist, unmöglich. Die ~ o v d s ist nämlich &ya.&ov
als S'P, und zwar ist hier S'"' gemeint als 0 ' - r : o ~ x a i o p und &Q%71 '1tQcht:'f} (b 24-25), nicht
etwa als "formale" Einheit der Zahl als ganzer (vgl. für diese Dinstinktion M 8,
'1084b 2ff.). So ist in diesem Zusammenhang die Zahl kein Eines, sondern eineMehrheit (nl.1)-ltos), demnach nicht onaQ &yail·o"' -r:t. Der im Text betrachtete Schluß
ist also in der 'rat nur dann gültig, wenn die cfc1'1J als ~ O l ' t t & c s , nicht bloß als &Qt-ltfkol
aufgefußt werden.
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 487
drucksweise deshalb ' ia w ~ ' ) J B 1 J O V ~ e[o'Y} (z. B. 1057b 7, 1058a 22, i079b 34,
1085 a 24) heißen - zum Unterschied von den "getrennten Ideen" der
Platoniker. Diesen "getrennten Allgemeinen" (ca ~ a { } 6 ) , o v &a xwew"ta)
entsprechen eben in der H 3-Stelle die Monaden. Es folgt dort der Vergleich von Zahl und diairetischer Definition -: daß beide e l ~ dotatee&azu zerlegen, . . . daß beide ein §y sind und nicht nur eine Anhäufung
(olo11 a w e 6 ~ , 1044 a L1, - vgl. vor allem 10Mb 9). Das Letztere können die
Platoniker weder bei der Definition noch bei der Idealzahl erklären.
Trotzdem ist es ganz natürlich 'und hat beide Male denselben Grund: die
definierte ova{a - d. i. das (J;r:opoP e l o o ~ , das einerseits das ai5la{(!87:0V des
o e t a f t ( 5 ~ ist, andererseits auch durch den ganzen o e t a f t 6 ~ dargestellt
wird - ist Eines, weil es Entelechie und "Physis" ist (während alles
Allgemeine bloß potentiell bleibt). Sie ist also nicht wie eine Monas oderein Punkt ( c & ~ anyp1j, d. h. p 6 1 ; a ~ mit { } ß a t ~ , einer bestimmten "Stellung"
im diairetischen Schema 30}, wie Plato meint. Dem Ataman Eidos ent
spricht also wieder die Monas -: jedem Eidos der Kette eine Monas.
Der ganze Streit geht immer wieder darum, ob diese Monaden potentiell
oder aktuell sind, bzw. ob diese das Eine, jene das Andere. - Die ganze
Sache ist wiederum dargestellt in Met. M 8, 1084b 3-32. Auch diese
zunächst nicht. ganz leichte Stelle wird ganz konkret verständlich, wenn
man das EJ' als Repräsentanten des Eielos in der diairetischen Eide-Kette
faßt. Die "mathematische" Auffassung siehtim 1!1' ( w ~ a n y p ~ ) die
Monasals Stoff, die Auffassung, , 8 ~ &W1' J.6yw11 1:ov uafJ6},ov" (von der allgemeinen
Begriffsbestimmung her) sieht in ihm "das Ausgesagte" (-rd ~ a t ? ] y o e o v -f-l&'Vo1l), d. h. das Prädikat,, das nicht selbständig ist, sonelern von einem
Substrat ( s ~ ~ b i e c t u m ) ausgesagt wird (ua&' {m;oxetftB'Vov & t w ) ~ xan]yoeov-pevov) - das sincl aber die c & ~ y s ? ' O V ~ erD17 im aristotelischen Sinn. Aristo
teles wirft nun den Platonikern vor, beides vermischt zu haben: die
Idealzahl sei eine unmögliche Kreuzung von mathematischer Zahl und
Definition. - Wieder entsprechen die Monaden der Zahl den ((hs y e v o v ~ ) et'Ö?) der Definition I
Diese Stellen aus Aristoteles (die nicht das Matm·ial erschöpfensollen) genügen wohl zum Beleg der Behauptung, daß den Monaden
der Idealzahl in erster Linie die Ideen entsprechen, Dann freilich auch
die durch die Symploke geeinten Teile und das Ganze des Ideengeflechts
selbst. In diesem doppelten Sinn, des "Elements" (a&otxeio?') und des
Ganzen (platonisch des "Bandes", des o w w ' ; ~ ) ist das Eidos ev - womit
freilich auch sofort die in den letzten Stellen (i084b 3-32) explizit
\Verelende Problematik aufbricht.
ao) Vgl. Met. Ll6, 1016b 16 und W. D. Ross, Metaphysikkommentar zu 1084b
33-3t± (Val. II , t±5t±).
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488 0. B ecker
Der Ausdruck o aed}poc; o r:wv slowv wird jetzt ganz durchsichtig:
er ist zunächst nichts anderes als der übliche Ausdruck für eine b e
nannte Zahl ("eine Anzahl Ideen", ganz so wie "eine Anzahl Schafe"
oder "I-1 unde", a e ~ { } p d c ; neoßa-r:wv, uvvwv, vgl. Physik LI 14, 224a 2 ff.).Weiteres Material gibt Met. N 1, 1088a 4-14. Der Stelle geht
(1087b 33-1088a 4) eine Bemerkung über das voraus, was in verschie
denen Gegenstandsgebieten das jeweilige Maß sei (ev aepovtq_ otsatc;, ev
psyi{}st Odu-r:vJ.ac; f} novc;, ß1, evfJpoic; ß a a ~ c ; f) avUaßry, ev ßd.est a w : { } r ~ d c ; nc; w e ~ a p b o c ; , b 35-37), eine Qualität im qualitativen, eine Quantität
im quantitativen Gebiet. Das bedeute - so fährt unsere Stelle fort -,
daß die EinheiL ein Maß der Vielheit (nJ.fj{}oc;) sei und die Zahl eine
gemessene Vielheit oder eine Vielheit von (Einheits-) Maßen. Das Eine
sei daher selbst keine Zahl. - Dasselbe aber müsse allen jeweils ge-messenen Dingen als Maß zugrunde liegen: wenn das Maß ein Pferd, so
liege eine Zahl von Pferden vor, wenn ein Mensch, von Menschen. Wenn
aber Mensch, Gott und Pferd zur Zahlbildung vorliege, so sei die Einheit
vielleicht Lebewesen (Ccpov) und die Zahl jener sei Lebewesen (im Plural:
o & e ~ { } p d c ; ainwv l J a - r : a ~ Ccpa). Wenn endlich Mensch, Weiß(es) und Schrei
tend(es) gegeben sei, so gäbe es "am wenigsten" eine Zahl davon, weil
dies alles ja demselben zukäme ("der weiße Mensch ist schreitend") und
Einem der Zahl nach ( jutam pe:v a e t 1 J ' f ~ d c ; mv-r:wv oui -r:d av-r:cp nm,ß.' vnaexsw
xai s1'i -r:dv aet-8-pdv). Dennoch wird die "Zahl" dieser "Dinge" existierenals Zahl von "Gattungen" (yb'J}) oder einer anderen derartigen Prädi
kation (ÖftWc; OB ys')!Wjl lJa-r:at 0 aedJpdc; 0 ?:OV'l:(l)')! 1j -r:woc; aAA'Yjc; 7:0WV7:'Yjc;
neoa1)YOQtac;). Von den trivialen Fällen benannter Zahlen geht also Aristo
teles schrittweise zu den schwierigeren inhomogenen Fällen über, wo der
den zu zählenden "Dingen" gemeinsame Oberbegriff erst aufgesucht
werden muß, bis schließlich zu dem absonderlichen Fall, wo ein solcher
gar nicht oder kaum ( juw-r:a) zu existieren scheint - dann nämlich,
wenn die in eine Zahl oder "Menge" (aet1J·pdc;, nM]fJ·oc;) zusammenzufas
senden Gegenstände verschiedenen Kategorien angehören (avfJeronoc; isteine ovata, Asvudp ein notdv, ßaot(W11 ein Modus des 'JTOts'{11), Man muß sich
da: mit einem formalen gemeinsamen Prädikat (neoa?)yoeta) wie yi1'oc;
begnügen, freilich gibt es dann auch "am wenigsten" eine Zahl.
Gorade dieser letzte absonderliche Fall ist nun offenbar für unser
Problem sehr wichtig: der Ausdruck 6 aetfJ·rtoc; 6 ys1'WY erinnert stark an
die Formel 6 &et{}poc; o r:wv slowv: wie es sich dort um eine Zahl von
"Gattungen" handelt, so hier um eine solche von Ideen oder "Arten"
(species). Wir finden also auf das deutlichste bestätigt: o a e t - & f ~ d r ; o r:wv
slowv besagt nichts anderes als "eine (An-) Zahl von Ideen", d. h. einebenannte Zahl mit der Benennung Idee, eine geordnete Menge oder
Mannigfaltigkeit von Ideen, also - eine Zahl, deren Einheiten (fW1'aosc;)
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 489
eben Ideen sind. (Primär also nicht: eine Zahl= eine bestimmte
Idee!}
Daß es "am wenigsten" einen a e ~ f f t - t d r ; ; ysvw11 gibt, dem entsprichtwiederum die Aussage Met. I-I 3, 1.043 b 34, daß die diairetische Definition
(oetaf.l6r;) "eine Art Zahl" (aedJp6r; - . ~ r ; ) ist (ähnlich b 33: srnse slat nwr;
- irgendwie, in gewissem Sinne - & g d } f . W ~ aZ ovatm). In beiden
eng verwandten, beinahe identischen Fällen (Eidos und Genas stehen
sich u. U. sehr nahe, vgl. den Borritzsehen Index sub verbis l) handelt es
sich um "Zahlen" mit Elementen von verschiedener Allgemein
heitsstufe bzw. sogar von verschiedener Kategoriet
b) Bestät igung der These " Idea= Monas" aus Plato.
Dafür, daß das Eielos l!:Jl ist, könnte man in gewissem Sinne eigent,lichjeden platonischen Dialog anführen. Der Gedanke machL sich schon be
merkbar in der Einzigkeit der sokratisch-frühplatonisc.hen Defmition
gegenüber der Vielheit der vom naiven Menschen zur Begriffserklärung
regelmäßig herangezogenen Beispiele, er gewinnt einen besonders ein
clrucksvollen Ausdruck in der berühmten Charakteristik der Idee im
Symposion " p o v o s ~ o s r ; ad Bv", 21.1 AB), er wircl schließlich zum eigenen
Thema eines ganzen, äußerst wichtigen Dialogs der S p ä t z e i ~ , des "Par
menides", und spielt eine nicht geringe Rolle in dem mit der Diairesis
Lehre auf das engste verbundenen "Sophistes" - um von anderem zuschweigen.
Aber hier ist es uns ja nicht um die platonische Idee-Einheits-These
im allgemeinen zu tun, sondern um diejenige Form derselben, die einen
entscheidenden Bestandteil der Ideen-Zahlerr-Lehre bildet. In dieser
Form besagt die These, nicht bloß, daß das Eidos /J.v ist, sondern daß es
c,''w1.r; (= f.l01Jar;) ist, "Einheit" im Ideengeilecht der IdealzahL Dies aber
i s ~ erst präzis ausgesprochen im "Philebus" l
Schon Paul N atorp hat auf Phileb. 1.5 AB als grundlegende Stelle
für das Verständnis der Idealzahl hingewiesen 31 ). - Nachdem (1.!1 CD)
das Problem des Einen und Vielen in dem bekannten populären Sinn
durch Hinweis auf das Verhältnis von Idee und Sinnending e r l e d i g ~ ist,
wird (1.5 A) das neue Problem von Einheit uncl Vielheit im Heiche der
Ideen selbst aufgeworfen 32) . "Wenn einer nämlich einen Menschen sich
zu setzen bemüht und einen Ochsen und· das Schöne als Eines und
das Gute als Eines (cl. i. also all' das als Idee), so entsteht um diese
,Einheiten' (svd.osr;) und Derartiges viel Zweifel und Streit durch die
Diairesis." (8-.av oe -.ir; sva ä.vfJewnov smxsteii -.t1JsafJw x a ~ ßovJ1 f!va 1 - ~ a i 1'0 xaJ.ov g1, "'ai &yafJov BY, :nsel -rovuov TW?J evdowv x a ~ 'rW'V 'rOWV'rW11 lj
31) s. Platos Ideenlehre (Leipzig 1902), S. ( d ~ .
32) Das ist genau derselbe Gedankengang wie im "Parmenides", '128E-'130A.
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:rco1A1} a:rcovß·(j !tB"Ca owtesaswr; d t t c p t a ß ~ t t ) r J t r ; ytyvstat.) Dies wird dann
näher gekennzeichnet, wöbei die evaosr; ohne weiteres als 7:0WVTat f[ovaÖBr;bezeichnet werden.
Hier werden also von Plato selbst die Ideen "Einsheiten"
(Henaden) und "Ein(zig)heiten" (Monaden) genannt (16 D
kommt sogar nach Bury und Stenzel ("Studien", S. 67, 102f.) n:l 1!11vor). Es sind also beide Ausdrücke als Konkreta gebraucht, während
wwar; als Idee der Einheit, als "Einshaftigkeit" im Phaedo 101 C und
105 C, also als Abstraktum vorkommt (Stenze!, l. c. S. 67) 33) .
Auf diese Stelle ":rceei ooin:ow 7:WY e11aowY bezieht sich augenscheinlich
auch Platin, Ennead. VI, 6, cap. 9 (Vol. II, p. 408, 18 Vollcmann) mit
den Worten: "&d uat u\; diJ17 i!J.syoy (nämlich die Platoniker) u a , 8vdi5ar;
ua) ael'f}ftovr;." ("Denn deshalb nannten die Platoniker auch die Ideen
sowohl Einheiten als auch Zahlen.") Das "deshalb" (0!6) bezieht sich
auf die im vorigen entwickelte Theorie, daß in der Zahl (als "Grundlage,
Quelle, Wurzel und Ursprung" der Dinge -: "ßdaw !Je exst ,a, IJvm ev
avoif> ual 7C1JY1J1' uai r}t,av uai aex?]v", p. 408, 23f. Volkmann) die Kraft
(!Jv11arur;) liege, die die seienden Dinge (oa tf117:a) aus der Einen Seienden
(81' = /Jv) durch Teilung (p,seta!t6r;) hervorgehen lasse; infolgedessen "sei
das aus dem Einen hervorgegangene Seiende - in derselben Weise wie
jenes Eines sei - Zahl" (wr; ijjl gy BUSlPO, Osl av7:o oihwr; apy&f[OP slvat,
p. 408, 17).
Unsere Platostelle legt also in der Tat die Gleichung Eidos= Henas
= .Monas in dem dargelegten Sinne fest. - Kann man diese Feststellung
nun noch weiter durch eine sorgfältige Betrachtung der vielbehandelten
Stelle Phil. 16 D 11'. erhärten i1Beginnen wir mit 16D! Zunächst darf man nicht das vVort aedJp,6r;,
iLbornll wo es auftritt, sofort in der Bedeutung "Idealzahl" nehmen.
"J.tt·:·dz f!.Üt1' r5vo . . . t(!B"if: 1jnva ä.Uo11 aetfJp611"- da ist offenbar eine ganz
gnwiilmliche Zahl wie 1, 2, 3, 4, usw. gemeint. Aber in dem Satz "rryv oeoofi dmdeov l O ~ ~ m ' :rceor; 1:0 rrcAijiJor; p1} :rceoacpsgsw nei1' äv nr; n)y >ffttdv
tt'lh:O'f5 rrcdwr:a uaoto17 7:cJ1' f.lsoal;v rov a:rcsteov 7:e uai oov 8v6r;" hat aetiJ·pof:angoruwheinlieh eine andere Bedeutung. Man darf zwar auch hier nicht
nn "Idonlzahl" im Sinne eines festen Terminus denken - aber ist die
:111) Dio Stolle lautot: OV'lt ?xüs &J.J.1)V 'l:L'VCI cdr:lav 't'OV lJvo rsvliairat &J.J.' 1l ' ! : ~ V -r:1js lJvacl'os p . ~ - r : a u z s u l ' l ' , ual lJsi11 1:0v-r:ov (-r:avr?Js?) !La-r:aaxsiv r:it. 1 d i . . J . o v - r : t ~ tivo/ ; ' a a a i J - t ~ t , uai p.o?Jatios B &v !LEU1J ~ v EusuS'<Xt. Dies steht hier noch im Gegen
satz nicht nur zur 7tQOuiJ'Mts, sondern auch zur rrxlms (Zweiteilung). Immerhin hat
sich in dem späteren Begriff der rivcl:s &6Qta-r:og und in dem f!v, durch Teilnahme an
welchem die Zahlen "sich begrenzen", diese abstrakte Bedeutung von p.ovas undcl'vas erhalten (vgl. a. Stenze!, Speusippos, Sp. 1659, 89ff. u. 1663, 22ff.). - Da
gegen findet sich die konkrete Bedeutung von iJax&s bei Aristoteles, Physik LJ14,
2 2 t ~ a 2 f r .
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Die diairetisehe Erzeug·ung der platonischen Idealzahlen 491
hier gemeinte "Zahl" noch eine Zahl in unserem engen modernen Sinn?Selbst bei Aristoteles, etwa Met. I 2, 1053 b 32-1054 a 5 34) , hat detßpdr;
noch einen uns fremden, gestalthaften, "archaischen" Bedeutungssinn.Ein "Lied" (,uüor;) ist dort ein det&ru3r; öde1ewv (1053b 35} und ein sprachlicher Lautkörper (tpBoyy6r;) ein de.d}ftdr; C1r:DLxetwv (1054a 1-2) . Ebensoist von einer "Zahl" von Farben und Figuren die Rede. All' dies sinddoch offenbar ganzheitliche Gesamtgestalten, deren Zusammengesetztheit aus ihren Elementen (den Einheiten) eine echte "schöpferische Synthese" darstellt. Es ist ein weiter Weg vom primitiven "Gruppengebilde" (M. Wertheimer 35
) ) - z. B. der Gesamtheit der Balken einesHauses, im anschaulichen Vorentwurf des primitiven "Architekten",nicht nach Sorten geordnet, in homogene Haufen abgeteilt, sondern als
anschauliches Ganze vorgestellt, so zusammengefügt, wie sie dann späterdas I-laus bilden - ein wahres elöor; sv .:fi 1pvxfi (Aristoteles) oder eine:n:eo.:vnwe1lr; im Sinne Plotins (p. 408, 31)! - ,über die "Zahlgeb ilde" miteinem gewissen anschaulichen "Umfang", der aber keineswegs so
universal ist wie der unseres Anzahlbegriffs (er enthält etwa solche Ge-
bilde wie die Quincunx oder die "one-hand-plants" der Neger 36) ) , -,-bis
endlich zum indifferenten auf alles und jedes anwendbaren modernenZahlbegriff. Und so besagt auch "6 ae,dJpdr; r:ov n . : t ~ & o v r ; nfir;", die gesamte(ganze) Zahl der Menge (Vielheit) - ni eh t etwa "alle Zahlen der Menge"
31 ) I-Iieran knüpfen sich weitere Fragen über den aristotelischen Zahlbegriff,deren nähere Erörterung aber zu weit führen würde. Doch seien sie wenigstens genannt.
Zunächst fragt es sich, wie sich der Unterschied von "abstrakter" Anzahl und
k o n k r e t ~ g e s t a l t h a f t e r Zahl verhält zu dem zwischen unbenannter Zahl ( & Q t - l r ~ t i J S (LOvachnos) und benannter, weiterhin zu dem zwischen "zählender Zahl" (&. q1 & Q t - l T ~ t o i i ILEv, also genauer: "Zahl, mit der wir zählen") und "gezählter" (&. o&Qt-lTfLOVfiE1'os)
bzw. "zählbarer" (&. o & e L . J 1 ' ~ t r J - r 6 s ) - vgl. .Aristot., Phys. LI H, 219b 5 -? u. ö. -,
und wie sich diese letzten beiden Unterschiede zueinander verhalten.Vom &. o/ &(nS·fLoVfLiiV hört man wenig bei Aristoteles (auch der &. f!O?>aow.os ist
&. &QtS'fWVftsvos). Zu einer radikalen Überwindung der gegenständlich gebundenenZahlvot·stellung durch einen abstrakten Begriff im Sinne zählender Akte dringt ernirgends durch, wenn er ihn auch manchmal streift. So Phys. LI '111, 223 a 2·1 ff.: Erfragt, ob die Zeit, die ja "gezäh!Le Zahl der Bewegung" ist, ohne die Seele sein könnte.Und sagt dann: &O·vvd-rov yaQ öv-ros cl?Jm oroii &ot-IT/tr)Gcxv·ws cMvvcx-ro'P nat &Qt.J1'1L1J-riw
slvat: - "Wenn das Zählende (d. h. der zählende seelische Akt) unmöglich ist , so
auch das Zählbare (d. i. die Zahl als Gegenstand)". - In vollkommener Weise erreicht wird dagegen der "selbständige" (d. h. gegenstandsunabhängige) Zal1lbegriff(der &Qt-lrftOS icp' !\av-rov [r'hv]) von Pl o tin, Enn. VI, 6, cap. 9 (s. a. im Text aufs. 490). , '
35) Zur Sache vergleiche man seine ausgezeichnete Analyse in dem Aufsatz "Überdas Denken der Naturvölker I (Zahlen und Zahlengebilde)", wieder abgedruckt in
"Drei Abhandlungen zur Gestalttheorie", Erlangen 1925), S, 10ßff. S. insbes. § 1( Gruppengebilde) bis § 4, § 6.
36) a. a. 0. § 2 (S. 109f.), § 6 (S. 115f.).
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d. h. alle, die irgendwie an dem ganzen strukturalen Gebilde vorko:rn.
men! - durchaus nicht eine "Anzahl" in unserem heutigen Sinn, sondern
ein bei weitem gestalthafteres Gebilde, in dem die Gliederung (Struktur)
aller Teile im ganzen eine fest bestimmte ist. Eine solche "Zahl" is tnicht wie unsere Anzahl, die gegen jeden Wechsel der Anordnung "in
variant" ist, ein strukLurloser, amorpher "I-laufen" (awe6c;), sondern
selbst Form (Geformtes), Eidos, d. h. eine einheitliche Gesamtgestaltoder ein lJp,
Diese Interpretation wird bestätigt durch die Betrachtung zweier
weiterer Stellen. Zwar ist die Bedeutung von r3.e.t#fl6c; an der zunächst
folgenden Stelle 17 C-E, die von den musikalischen Intervallen han
delt, schwor eindeutig festzulegen. Denn gerade hier spielen echt quan
titative Bogriffe wesentlich hinein - wie die Verhältniszahlen der "Abstände der Stimme" u. dgl. Immerhin deutet eine Wendung wie: "-raOl<W'i'IJj.Ul7:a o:n;6 a' san -rdv r3.e.dJfld1' ?:ijr; cpwvijc; o$V'i1]'l'Oc; 7:8 :n;eet ~ a l ßae.vtT)'l'O";
~ a l c5aio'ia . . . xal -r:a ex ?:OV'l'W1' Öaa ava?:'Y)fl<l'l'a yeyo1'81' .. • " auf die enge
Verbindung des Quantitativen mit dem Qualitativen (o:n;oia) und "Struk
turellem" (avan)fw-r:r.d) hin. Ebenso, wenn von den :n;d{}YJ der Körper
bowegung gesprochen wird, "ä ö» cJt' &.gdJw'i'Jv flB?:(!'YJ#eP-r:a oe'iv av cpaal
i]v{}povc; ~ a l ftere.a s:n;o1'0ft6.Cew". Denn noch in Augustins ,,de musica"
haben die "numeri" in Rhythmus und Metron eine weiL über den ab
strakten Anzahlbegriff hinausgehende gestalthafte Bedeutung.Aber das nun folgende, von Stenzel (ZG 14-18) ausführlich inter
pretierte Buchstabenbeispiel (Phil. 18A-C) gibt viel eingehendere und
gonuuoro Aufschlüsse. Im allgemeinen auf Stenzeis Auslegung verweisend,
bohundeln wir nur kurz den letzten Satz: " ... ewr;; aedJpdv av-rwv~ ~ ' ) I rl r I I I - > I _Q - _!11 rM l JW1' 1-:1n T:B BuaaT:C{I uat avpnaat a?:OlXBtov s:n;OJ1'0ftaae· xa·u,oewv ue w;-
m ' \ b d ~ 'iJplv'JI ovö' U?l /}jJ av-rd ua{}' av-r:d a?JBV na?J?:W?J av?:CÖ?J ftafJot, ?:oii'l'01' 't'OV
ör:rrp d ' wi'i ?.oywa;.,u!1'oc; wr; thra e11a xat na1na ?:av?:a ep :n;w c; no to V?''l' a".
IHo "Zuhl", die hier "für jeden einzelnen Laut und für alle zusammen"
gofundon wird, ist alles andere als eine bloße Anzahl. Zum mindestenmiißlio os sioh doch um eine ganze, selbst strukturierte Gruppe von
Zahlen handeln, damit der fragliche einzelne Laut in ihr gleichsam wie
<hn•eh oin Koordinatensystem festgelegt werden könnte. Ferner wird
<liosor dedJwJr; als arotxeZov (Singular!) und ösart6c; bezeichnet. Er ist also
"Element" und "Band" zugleich. Daß eine Zahl- sonst doch ein nM!'ß'o;
flO?Jaowv - "Element" (Buchstabe) ist, ist seltsam. Es erklärt sich aber
zwanglos durch den eigentümlichen cloppel'ten, diairetisch-syndesmischen
(bzw. symplektischen) Charakter der Eide-Kette. Gerade dieser Doppel
charakter soll anscheinend durch die Doppelbezeichnung a?:otxeio1'osaft6r;; gekennzeichnet werden. Das aT:OlX8l01' ist das aTOflO?I elooc;, das
a&af(!BT:o1', das Ende der Zerlegung - und oeafl6c; ist der Ausdruck für
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 493
die a v f 1 n A o ' H , ~ aller höheren ä ~ 1 7 der Kette im letzten, eben dem O:r:oftov
e l ~ o r ; . Das ALomon Eidos is t also, diairetisch gesehen, unzerlegbare Monas
(vgl. 15 AB) und doch Vieles (no.l.J.ci) und insofern ded}f16r;. Und dazuvermöge des "Band"-Charakters "alle Eide der Kette irgendwie zuEinem machend" (ncivw -r:aiJ-r:a t!1' nwr; nowfJJ').
Dies bestätigt sich durch die wenig spätere, bisher, wie es scheint,noch zu wenig berücksichtigt.e Stelle 18 E: "-r:ofJ1:' av-r:o 1Jfl6.r; one6afh1'
.l.6yor; (d. i. die obige Erörterung über musikalische Töne und die Buchstaben) dnat-r:s'l, nwr; l lanv ev 'H,a/, noUa avTwJ' B'H,a-cseoJI (die beidenBegriffe sind hier speziell rpg61'1]Gtr; und ? J ~ 0 1 ' 1 J , um die es ja in der I-Iaupt
nnd Rahmendiskussion des Dialog geht) 'H,at nwr; t - . t ~ C&cetea eMh)r;, dUaTlJIU :n;o-r:e dgl'l}f-LOJI S'H,UTE(!OJI lJwceoa{}e ' i ( , h ~ T ? J 7 : a l TOV fhr:etea avTWJI
il'H,aa-r:a yeyovsvw.''
Die Frage ist: Wie (! ) ist jeder Begriff "Eines und Vieles" und wie
ist jeder nicht gleich "unendlich", sondern welche Zahl gewinnt er, bevoralles Einzelne ins Unbegrenzte verschwimmt? Das Gewonnen-Habeneiner Zahl ist also gleichbedeutend mit der Art und Weise (!) des "Eines
und Vieles"-Seins. Und die "definierten" Begriffe erreichen gerade clies 37) .
Daß die "Zahl" die Art des "Eines und Vieles-Seins" festlegt., ist
nun bei der Auffassung der "Zahl" als Gruppengebilde mit den Eideder Kette als Gliedern am einfachsten zu verstehen. Es könnte allerdings schließlich auch mit Hilfe der Stenzeischen Vorstellung derZahlen- (nicht Ideen-) Ket"Le, in der jeclem Eidos eine Stellenzahl
entspricht (gewissermaßen als Koordinate) begriffen werden. Aber dieWendung dedlt--tdr; (lVTWJI evi S'H,O.O"l:cp 'H,a/, O'V/l'lWGl (16 D) ist doch in dieserVorstellungsart schwierig. Denn "allen Eide" kommt dann zwar eineZahlengesamtheit aber keine einzelne Zahl zu. Sind dagegen dieEidö die Monaden, so ist die Gesamtheit der im cliairet.ischen Schema
angeordneten Buchstaben- eine Idealzahl, denn eine solche ist ja eben37) Zu dieser Stelle (Phil. '18 C) ist zu vergleichen Farmmüdes '155 E: "-r:o ~ ~ ~ el
E11U11 of011 c l ' ~ B ~ 1 J ~ V • f } c q ~ B ' I I 1 d!Q' Otnt &vaJit1J IXVtO, f!v H ~ ' I I Xct.L noUa n cd ~ ~ ~ 7 : 8 gV j L ~ ' l ' b ' nona ncd fL<dxov XQ01•ov . • • (das Eine, indem es sowohl [u ] "llv xcd n o ~ ~ t i " alsauch [das zweite xai I] "fL?J'!:B g,, f t ~ - r : c noUci" ist). - Die erste Formel ist identischmit der im Philobus, die zweite besagt sachlich dasselbe wie die erste, nämlich:Das f•JI (= lfv = d c l ' o ~ ) ist "in gewisser Hinsicht Eines und in gewisser Vieles" undalso "weder ganz und absolut Eines noch ganz und absolut Vieles" (es ist vonder starren Bindung sowohl an das unbezüglich Eine wie auch an das unbestimmtViele [&nHQOv] befreit). ·
Die zitierte Parmenidesstelle faßt die Erörterung des ganzen ersten Teils derJVfLvcwla, unmittelbar vor dem entscheidenden Mittelstück, der Betrachtung überdas f i ~ a i r p v ' l ] s , zusammen. is t also keineswegs eine zufällige oder beliebige Äußerung.Die Formulierung besagt, wie der Vergleich mit Phileb. 18 C ergibt, nichts anderesals daß das alcl'os (= f/v = öv) eben - &Qt.V'fLOS ist.
Quellen u. Studien B I . 33
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494 0. B ecker
nichts anderes als em diairetisches Schema. Diese Idealzahl ist dann
zugleich das universelle "Band" (oea116r;), dem die "eine Kunst" (;.da
nJxv17) der Grammatik entspricht.
Die "logischen" Operationen des Verknüpfens und Unterscheidenskommen damit in eine ganz nahe Parallele zu den "ideal-arithmetischen
des "Zusammenzählens" (avvaed}f1sia1Jm) und des "Auseinander
Zählens" (owed}fislaßat). In der Tat finden wir nun - und darin liegt
eine letzte Bewährung unserer Interpretation - diese Ausdrücke bei
Plato und Aristoteles gerade in dieser Bedeutung, z. B.:
Plato, Philebus 23 C: eyw ydoi6r; nr; z ~ a v w r ; ~ a . , ; ' sfo17 o u a r a ~ ~ a l av'J! ae LfJf1 OV flS'V 0 r;.
Aristoteles, Rhetorik A4, 1359b 2-3: OLaQ.LfJfl'l]aaafJat ~ a l otatesiv ~ a . , ; ' do17.
- - , Physik Ll 14, 222b 30: .,;ovTwv (scil. noaaxwr; 1:0 JFÜP xal .,;L n}
no.,;e xal To aen ~ a l .,;o ijo17 ~ a l .,;o m:Hat ~ a / , To e ~ a t c p 1 1 1 J r ; , b 28-29) o' nt-tiv
ofJ..w Ot1]Q.tßf11]flB'PW'P, cpa?ISQ.OP, ön . . .
Auch dieses "Zusammen- und Auseinanderzählen" setzt voraus, daß
das Ergebnis der Vereinigung und Trennung zweier Idealzahlen wieder
eine Idealzahl ist. Dies ist aber nur möglich, wenn das "Ideengeflecht"
ein Geflecht von Monaden und nicht von "Stellenzahlen" ist. -
Zum Schluß sei noch ein terminologischer Vorschlag gemacht,
der gewissermaßen die Quintessenz unserer ganzen Interpretation in sichbirgt: An Stelle des zwar gebräuchlichen, aber doch eigent
lich etwas nebelhaften Wortes "Idealzahl" sei der Ausdruck
,,Ideen-Zahl" gesetzt - in der Tat ist nach den Ergebnissen unserer
auslegenden Bemühungen ein sla?Juxor; aet1J·t-t6r; nichts anderes als eine -
Zahl von Ideen (slow11 rlet1Jtt6r;).
c) Interpretation einiger Stellen aus der aristotelischen
Metaphysik und dem zugehörigen Kommentar Alexanders.
I.Met. M
7,1081 a 33-35.
<I I " 1 ' I _ ~ > ~ ' > { } I 'C 7 1 I l" . , . WG'I:B :JT:Q.O'I:S(!al a?l Sa::v W flO?Jausr; 11 Ol O.(!l f.Wl Bs (()11 :Jtr.BX0117:11.t 0 011
B11 -r:fj ovd.öt T(!t'I:?J flOYar; t!aTat nelv .,;a 'l:(!{a sl?I(J.l ~ c d b .,;l) 'I:(!UXÖt I:Sia(!T?'J xal' I \ \ > _Q _\ I11 nepn1:17 :Jt(!W 1:ovr; aewpovr; .,;ov-r:ovr;.
Zum Text: nUuo?J'I:at Al", YG· E, Christ, Jaeger; Uym1Tat E, Bo
niLz, vV. D. Ross. --1] streichen Jaeger und H.oss (durch reine Kon
jektur). - sv -r:tf 'l:(!tci& (xal ?:B'I:(JaOt) -r:s.,;a(!7:1J J aeger (dem hierin Hoss
nicht folgt), durch reine Konjektur, ohne Parallelstellen und ohne Inter
pretation. Angeblich "liegt mechanischer Wortausfall vor" 38) .
38) Vgl. W. J aeger, Emendationen zur aristotelischen Metaphysik, Sitzungsber.
d. Preuß. Akad. d. Wiss., Philos.-hisLor. Kl. 1923, S. 263ff. - insbes. S. 277.
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 495
Daß die Lesart nUuovrw vorzuziehen ist, wurde schon oben (S. 470,
Anm. 9) auseinandergesetzt. J aegers Ergänzung ist unmotiviert und
ändert den ganzen Sinn der Stelle ins Triviale um. Dies zu tun scheintuns in dem Augenblick nicht mehr erlaubt, wo eine mögliche und weniger
triviale Deutung gefunden ist, wie sie unsere Auffassung der Idealzahlen
sofort liefert.Die Stelle ist seit alters her nicht recht verstanden worden. Schon
Bessarion übersetzt: "in dualitate erit tertia unitas antequam tria
sint, et in trinitate quarta, (!) et quinta (keine Interpunktion) antequmn
hi numeri sint." Bessarion deutet die Stelle durch Verschiebung der
Interpunktion (Setzen des Komma hinter "quarta" anstatt hinter
"quinta", wo es natürlicherweise hingehört!) um. Die fünfte EinheiL wirdfür sich genommen und schwebt in dieser Isolierung nun ganz in der
Luft. "in der Dreiheit wird die vierte Einheit sein und die fünfte ... ?''
Es fehlt o:ITenbar "in der Vierheit". Es wäre also im Griechischen etwa
zu lesen: " . . . ual (811 rfj rergaot > 1] ne;.;,nrrJ . . . " (oder allenfalls nach
J aegers Konjektur) oder wenigstens: " . . . uai 1] 'TCBfl'ltTrJ (uai a[ e$fjc;>
nelv . . . " ("und auch die fünfte und die folgenden . . . "). Aber das stehGnicht da!
Es bleibt, wenn man dem Text folgt, nur übrig, die Worte h rfj
rguiot rer&errJ ual 1] ne;.;,nn7 zusammenzunehmen: ,,in der Dreiheit eine
vierte und die (1]) fünfte Einheit." Das deutet augenscheinlich an, daß
damit Schluß ist und nicht etwa noch eine sechste Monade in der Trias
auftritt.
Die Übersetzung des Textes bereitet so gar keine Schwierigkeiten,aber der Sinn war bisher rätselhaft: wieso hat die ideale Drei gerade
fünf Monaden in sichll Es darf als ein unleugbarer Vorzug unserer Deutung der Idealzahlen in Anspruch genommen werden, daß sie diesesRätsel ohne weiteres löst, - wir sahen ja (vgl. oben S. 470), daß allgemein jede diairetisch erzeugte Idealzahl n gerade 2n -1 konstituie
rende Monaden enthält (also die Trias 5 und die Tetras 7) 3 n).
Il. Ps. -Alexander zur Stelle I. (1081a 29)
Eine merk\vürdige Bestätigung erfährt unser· Interpretation durch
den (Ps.-)Alexander-Kommentar (pp. 728-729 Bonitz, pp. 751-752
Hayduck).Der Kommentator gibt zunächst (p. 728, 1.2-28 Bz., p. 751, 3-20
Hd.) eine eigene sachliche und zusammenfassende Darstellung (rw11 J.eyo-flBVWY Ot6.1'0ta) und danach einen ausführlichen Bericht gemäß dem
39) Dagegen, das 'lt(Jäno?' fv etwa nicht mitzurechnen, spricht deutlich der vorhergehende Satz ('1081 a 29ff.).
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O.Becker
m : i s t o t e l ~ s c h e n Wortlaut (ua:ra TtJV U ~ w , p. 728,28-729, 16 Bz., p. 751,20
lns 752, .3 Hd.). Wir behandeln die Stellen nacheinander (unter A uncl B).
A) p. 728, 23-25 Bz., p. 751, 14-17 Hayd.
m'l:rcw yau url1JULV??a EX 7:0V :rcew-
7:011 ISl'lk uak n/c; ao(!{aTOV t5vac'Jo.;
Pr:fiJIU "i (!Bi c; ruwaöer;; yey(Jl'(J.aw,
flcrtijt{JJ.-ij"iOG JU\j! oVaW t'lta T . ~ ? J vno-
·0/·:rrt:l' n(!dc; -r:är;; -r:·1}r;; m37:oövaoor;; t-to
? ' d l ~ w ; , )!F'l''l'l/"itJ.tut b1l TIJr;; m'J-r:O"i(!tciOOr;;.
Denn auch dann sind noch nicht
aus dem ersten Einen und der un
begrenzten Zweiheit andere drei
Einheiten erzeugt, unvereinbar
nach der Voraussetzung mit den
Einheiten der "idealen Zwei", aber
fähig, die "ideale Drei" zu erzeugen.
Dal:l hei13t: ·wenn auch schon die ideale Zwei vollendet vorliegt, beHt.nhnnd tml:l dem ersten :Einen (a) und der ersten (b) und zweiten (c) Ein-
lwil, dm· i1loalonZwei, so liegt doch noch nicht die idealeDrei (ab' c' d' e')
Fig. 8
vor, indmn m1s dom ersten Einen (a) und der unbegrenzten Zweiheit
uonh nioht b' d' e' erzeugt sind. (Dies geschieht durch Aufspaltung des a
iu h', n' mul zwoiLons von c' in d' und e' 40) , siehe Figur 8!)
B) p. 72R, 27-729, 16 Bz., p. 751,20-752,3 Hayd.
I l111' KommonLntor l1eginnL damit die Entstehung der Monaden in
dnr l l iairmtil:l w orlüutern.EH Hind wwh ihm zn unterscheiden:
~ I ) lltlli :rr:urTn:o'' lh• = -, a ~ h d -r:d f.!v = r l e x ~ " ; o v lfv: (a)(1 lnl:l orl:ll.o Eino, dns Eine selbst, das des Entspringenlassens fähige
E.inn.):.!) Ein r ' i l · : ~ ) r . P I J I W Pl'!Uml. 't'd 1C[!W"i011= iJ 'i* a v - r : o b v a o o ~ neoyeyovvZa ftDVac;: (b)
( l • ~ i n : ~ , w n . i t . o s Eino n.aeh dem ersten, die zuerst entstandene Einheit
dm' "Zwni fHllhst".)Sin iHt. oinorsoit.s: -r:ov new'tov B1'0s ösvr.ßea (zweite im Verhältnis zum
1 1 I I { ) I ~ {) ' <\ "
orst.on Einen) -- andrerseits: 1:1jr;; f - ~ e r . . r . . o v a ' Y J ~ yevea -m p o v a u o ~ , fte · t)V av
o ~ o ) .Ilin B o ~ e i e h n u n g ll ' b, c' c, d' d, e' mußte eingeführt werden, weil die M o n a ~ e n dor Vlll'HChiodonon Idealzahlen nach Voraussetzung unvereinbar ( & O " v p . ß J . ' I J ' t ' O ~ ) smd
(im ~ . w d L o n 'l'uil, 1 1 c x ' t ' t ~ J . 8 ~ L 1 ' , wird der Begriff des &O"·vfLßi..'IJ"t"ov nicht so scharf ~ e n o m -1111111, HO clul3 üorL tlirJ Unterscheidung von b und b' usw. wegfällt). Doch 1st das
b d. " -• 'n(ui
1n,.
1 fi·JI (a) HLoLs das!:wll>o (?), e enso te cxof!w-ros uvcxs.
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 497
anar;rdcrot TYJV avroovdr5a, ngrfn:?] (die erste im Verhältnis zu der im Ent
stehen begriffenen [also noch entstehen sollenden] Einheit, mit der
die erste die "Zwei-selbst" vollendet).
3) Ein rehov /Jv, Osih:c:eov fl-87:11. 7:0 OeViSQOV, i(!liO?J Oe fl-eia TO newrov: (c)
(Ein drittes Eines, das zweite nach dem zweiten, das dritte nach dem
ersten Einen.)
= ?] ! J - ~ n w yeym,via -cijc; ysv}]GOftSP17c; avror5vdooc; ~ J - O w i c ; (= die noch
nicht entstandenen Einheit der entstehen werdenden "Zwei-selbst") n).
"So daß also" - so heißt es weiter (p. 729, 7 -8 Bz., p. 751, 31-32
Hd.) - "drei Einheiten da sein werden, aber ,die Drei' werden noch
nicht sein, aus denen die Dreiheit zusammengeflochten und zusammen
gestellt wird" (W11iB BCI01"Wt i(!e'ic; !J-01'el0ec;, i(!la Oe OVX eCITC.f:t, S ~ di1' 1J iQlCtc;
crvt,t:rrJ.exc:-cm xal av?,tcr-ca-cw).
Das heißt: Es sind zwar drei einzelne Einheiten da, aber die Zahl
"drei" (-ceta; grammatisch ein Noutrum Pluralis, worauf sich das Rela
tivum l ~ ifw bezieht) ist damit noch nicht konstituiert und aus dieser
erst kann sich die (ideale) Trias bilden.
Dann kommt, die Hauptstelle: p. 729,9-16 Bz., p. 751,33 bis
752,3 I-Id.
a.Ua u?J:v ndltw Twv -ci]c; avro-ovdr5oc; r5vo powiöwv xai 7:0V newrov
lvoc; ovcrwv V % 0 1 ' 0 ~ ! 1 W f ! B 1 ' ön EU TOV
lC(!rfliOV h1oc; xai Tijc; aOQ {a'I:OV OVelOOc;
yiyo1'e xai 1!7:1'(!01', pdF oi5 ual rwv
v:rw?,oovf.dvow Aolnwv 7:e w v (leg·e
Ova Bz.) fWVaOW1l 'lj avTO'!:Qtac; ys-
?Jea{)cu orpdJ.st, l!am,-cat. ru1v 7:/Jn:aec:c;
fW1'riasc;, nl ö1l new-co1' xai dgxtxdv
81' xai a[ ovo -c·fjc; av-corSvdr5oc; ucd 1]
1jr51J yt:yo?'Via, 'l}nc; flE[]Oc; orpeiAct
ym,ecr1?m rryc; ywi]CioJ.dl'1Jc; <mho
eu&.ooc; i) ) m!-co7:BrQ6.ooc; (lege mho
TQuiboc; Br..).
Aber, wenn wir hinwiederum,indem (ja) die beiden Einheiten
der "Zwei-selbst" und das erste
Eine vorhanden sind, bedenken,
daß aus dem ersten Einen und der
unbegrenzten Zweiheit noch etwas
Anderes entstanden ist, mit. Hilfe
dessen und der übrigen drei (Bz.:
zwei!) gedachten EinheiLen die
"Drei-selbst" entstehen muß, -so werden (nun) vier EinheiLen
da sein (nämlich): das erste und
entspringenlassende Eine und die
l1eiden ( Eütheiten) der "Zwei
selbst" uncl die schon (früher) ent
standene (Einheit), die Teil werden
soll der entstehen sollenden "Drei
selbst" bzw. "Vier-selbst" (Bz.
lediglich: "Drei-selbst" 1).
41) (b) heißt auch: -ro n:ooyeyo1'og ~ v r.1js o:'li-rocl'vcM'os, (c) : -r:o o's•tkseov ~ 1 1 -rfjs o:vro
cl'vacl'os.
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498 0. B ecker
el öi] .,;oiho vnovm]aot-tev, dnaga
f-GB'J1 ea-r:at, u - r : e a ~ ~ e O V ~ U f - G W ~ . ovnw
yag yey6vaat xal al 'Aomal -r:ge'ib
(lege bvo Bz.) t-tov&.öeb -r:ijb yevsa1Jatt-td'AovrY?]b a v - r : o - r : e . , ; g d b o ~ (lege av-r:o-
7 : { ! t a ~ o b Bz.). xal enl -r:wv 'Aomwv
dt-to{wq.
Wenn wir nun das ins Augefassen, so wird es die Vier zwargeben, aber niemals die .Vierheit
(d. i. die ideale Vier). Denn nochnicht sind die übrigen drei (Bz.:zwei!) Einheiten der entstehensollenden "Vier-selbst" (Bz. :"Dreiselbst"!) erzeugt. Und so mit denübrigen (ldealzahlen) in gleicherWeise.
Zum Text: Bonitz ändert viermal (!)den überlieferten Text durchreine Konjektur, die von ihm angenommene Verderbnis kann er nicht
näher verständlich machen. - Unsere - wie wir sehen worden, nichteinmal unbedingt notwendige- Textergänzung ist durchaus möglich.(Man kann auch Ml statt 1] setzen.) Die Ähnlichkeit der aufeinanderfolgenden Satzschlüsse " - r : f j ~ y t : V 1 ] r 1 0 f ! S V ' I J ~ ( a v - r : o - r : e u i ~ o ~ 11) a v - r : o - r : e - r : g d b o ~ " und " - r : f j ~ yevea{Jm p , e J . J o v a ' l } ~ m h o - r : e - r : g t i C J o ~ " gibt ein vollkommen ge
nügendes Motiv für das Verderbnis ab. (An dieser - einzigen - Stelleist auch Bonitzens Konjektur plausibel und auch sachlich verständlich,s. u.; sie beweist aber keineswegs seine Theorie.)
Bonitz faßt den Sinn der Stelle offenbar folgendermaßen: Aus .dem
ngw-r:ovg11 (
a) entsteht:1) Die a v - r : o ~ v d ~ , dadurch, daß aus ihm zwei Einheiten (b, c) projiziertwerden (Dichotomie!).
2) Davon ganz unabhängig die a v - r : o - r : g t d ~ dadurch, daß aus ihm mit
einem Male drei ganz neue Einheiten (b', c', d') projiziert worden(Trichotomie!). Das "IJ-r:egov" ist die erste Monade der idealen Dreiheit,also b'. (Das ngw-r:o11 6111 gehört nicht zu den Monaden einer ldealzahl, wieauch der Text zeigt: z. B. "-r:WJI - r : ' i j ~ a v . , ; o ~ v d ~ o ~ ~ v o f W j i ( J ~ W J I " , ) Mit seinerHilfe und der der beiden anderen c', d' (Korrektur ~ v o statt -r:etwv!) ent
steht die Trias. Deshalb wird später auch dieses b' als "1] rj611 ysyovvia.(sc. f-GOji(Jb), r j - r : t ~ f t S ( ! O ~ orpel'Aet yt:?Jsr11Jat 7:1Jb YBV'I]r10ftB111]b av-r:o7:guJ.öob" (Korrektur statt a v - r : o - r : e - r : e & . ~ o b !) bezeichnet. - a, b, c, b' sind zusammen vierEinheiten, die bisher vorliegen. Aber noch liegt die ideale Vier nieht vor,denn es besteht ja noch nicht einmal die ideale Drei. Es fehlen an ihr
noch zwei Einheiten, nämlich c', d', die noch nicht erzeugt sind.In sich ist diese Auffassung völlig konsequent, aber im Text findet
sie keine Stütze. Außerdem setzt sie eine Trichotomie beim Entstehender idealen Drei aus dem ersten Einen voraus, die sonst nirgends be
legt ist.Gemäß unserer Theorie dagegen - und dem überlieferten Text! -:
verhält sich die Sache so:
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Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen 4 99
Es sind bereits vorhanden das erste Eine (a) und die beiden Einheiten
der Zwei-selbst (b, c). Es wird ferner aus dem ursprungshaften Einen
und der unbegrenzten Zweiheit noch ein 8-r:seov, ein "Anderes" (x) erzeugt, Mü dessen Hilfe und der der drei angeführten Einheiten a, b, c
muß die "ideale Drei" entstehen 42) . Man hat also jetzt vier Einheiten:
a, b, c und x (d. h. de facto dl). Und zwar wird nun das "8-rsem'", x= d,
erstens als "Einheit" bezeichnet, zweitens als "Teil der erst entstehen
sollenden idealen Vier" - nicht der idealen Drei , wie man erwarten
sollte und Bonitz verbessert ( a f n : o r e u : l o o ~ statt a i h ' o r s g & o o ~ ) . Dem Sinne
nach ist beides richtig. Denn a, b, c, d, e - das sind fünf Einheiten -
bilden die Triade; a, b, c, d, e, f, g - das sind sieben Einheiten - kon
stituieren die Tetrade 43 ). Es ist aber wesentlich, die Tetras hier zu erwähnen. Denn im folgenden kommt es darauf an, zu zeigen, daß die
"ideale Vier" noch nicht konstituiert ist, obwohl doch schon vier Ein
heiten (a, b, c, d) da sind. Das wird denn auch im folgenden Satze:
"sl 01) rovto . . . a v o a f t w ~ " ausdrücklich gesagt.
Und dann heißt es: "Denn noch sind die drei (I) noch fehlenden
Einheiten der noch im Entstehen begriffenen idealen Vier nicht erzeugt!"
Es fehlen also, da ja a, b, c, d jetzt vorhanden sind, noch die Einheiten
e, f, g, um die ideale Vier zu konstituieren. Diese enthält in der Tat also
sieben Einheiten a, b, c, d, e, f, g - wie es der diairetischen Theorieentspricht. Diese hat sich somit von neuem bestätigt.
III. Met. M 6, 1080 a 30-35.
ou3 ual 6 p,sv f t a D r t t t a n u d ~ (scil.
agt.Dftdc;) a e ~ D p . e ' i - r : a t p.sra rd B'v < i?
Christ> ovo, :rceoc; rrp ~ r m e o a ß s v b l
(J).J..o llv, ual T.a r.ela n e o ~ r o i ~ ; ovaläUo ll1• Ml o J..omclc; os 6aavtcbc;.
.,. - ~ ' ( • ' - ~ ' ' .n ' )ovtoc; us so. o 8lu1]ttuoc; a(}t'UftOc;
f.tS?:a -r:d i111 ovo lheea aw;v iDV B110c; ?:OV
necbrov, ual17 'I:QlCt!; <ovo IJrsea> CJ.vev
r f j ~ ovdooc;, 6pola)(;; os ual o a U o ~ a . 1 2 d i f t 6 ~ ; .
Deshalb wird auch die mathe
matische Zahl (so) gezählt: nach
der Eins die Zwei - zu dem vor
hergehenden Einen ein anderes
Eines, und die Drei (so): zu diesen
zweien (noch) ein anderes Eines,und die übrigen (Zahlen) ebenso.
Diese aber (nämlich die Ideal
zahl) so: nach dem Eins zwei
andere, ohne das erste Eine, und
die Dreiheit (wird gezählt): ('<vle-
derum) zwei anclere ohne die Zwei
heit - und in der gleichen Weise
die anderen Iclealzahlen.
42) Es wird also hier nicht zwischen b, c als Monaden der Dyas und b', c', d',e' der Trias unterschieden, der Begriff der "Unvereinbarkeit" also nicht so sLrenggenommen wie früher. Wir müssen uns jetzt also in der Figur 8 die Striche an den
bezeichnenden Buchstaben wegdenken I43) Es spaltet sich etwa e in f, g.
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500 0. B ecker
Zum Text: Wir haben hinter 1] - r e u i ~ : ovo b:sea ergänzt, um derStelle einen nicht-trivialen Sinn zu geben und zugleich einen, der sichwirklich auf die Erzeugungsweise der Idealzahlen bezieht. Man hätte
auch ergänzen können fle'tll 1:0 811 ovo hsea oder noch deutlicher: fts-ca- c ~ v ovd.oa ovo euea. Aber diese Ergänzungen haben als Textkonjekturenwenig Wahrscheinlichkeit. Dagegen ist der Ausfall der wörtlich wiederholten kurzen Phrase ovo IJ-csea sehr wohl denkbar.
Der Sinn der Stelle ist von der diairetischen Theorie der Idealzahlaus sehr leicht zu verstehen: es wird die Erzeugungsweise durch Aufspaltung jeweils einer schon vorhandenen Einheit in zwei neue beschrieben, wobei die alte Einheit, als "konstituierende", noch mitgerechnetwird; man würde also noch deutlicher von der Projektion zweier
neuen Einheiten aus einer alten sprechen. D. h. also: Aus der Eins nwerden b, c (ovo !Juea I) projiziert und so die Zweiheit erzeugt, dann,aus b etwa, d, e (wieder ovo IJ-csea, und zwar ohne die Zweiheit mitzurechnen avsv t " i j ~ o v a o o ~ l ) .
lVInn kann dazu noch die schon früher (S. 468) erwähnte Stelle M 7,
1082b 33-37 vergleichen .
. . . -roiho y' mi-ed llxsw 7:1'1!a c p ~ aovat a'JW(!{av, n6U(!0111 (J'tav aQt'fJ
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Nach den Platonikern bestehteine Schwierigkeit bezüglich der
Frage, ob, wenn wir zählen undsagen "eins, zwei, drei", wir cl u rc hHinzufügung zählen oder durch
Aufspaltung (Teilung). Wir tun
aber beides; deshalb ist es liichorlich, diesen Untersahiod zu einemso großen Wesensunterschied r.u
machen.
Pia-ra pse{oar;;muß (mit Bonitz
und
Stenzel ZG48) mit "durch
Toilnng" übersetr.L werden, die Übersetzung "portionsweise" (Apclt u. a.,aueh W. D. Hoss) ist abwegig, die Parallele nedr;; w e t o t x ~ ödm•t:w (Plutareh.,Agesiluus 17, Sympos. 2, 10, 2; Athenueus I, 27 u. a.) erseheint uns anden Haaren herheigezogcn. Dagegen wird von Plat in (Enn. VI, 6, cap. !l,
p. 408, D-1.1 Volkm.) ausdrücklich die Teilung des e inon Seicrulondurch die Dynamis der Zahl behauptet. (dU' 1] -cov Ö.(!vDpov öv1'a;.ur; vno
a-räaa il;.ts(! tas -rd t!v P i a ~ oiov wM,sw ilnobws av1:d -rd nJ..1j1Jor;;.)
Der Kommentar Ps.-Alexanders zur Stolle (p. 740, 29-74'1, 3 Bz.,
p. 762, 29-32 Hayd.) - vgl. Stenzel ZG 49, von dessen Interpretationich aber abweiche - ist hier von Interesse:
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Sofern die Zahl begrenzt ist,zerlegen wir sie in die ihr eigontüm-
5/13/2018 Becker Platonische Idealzahlen - slidepdf.com
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Die diairetische Erzeug·ung der platonischen Idealzahlen 501
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liehen Teile, - sofern sie noch un
abgeschlossen ist, setzen wir ihren
Einheiten Einheiten hinzu, solangebis wir die (neue) Zahl erreicht
haben, die wir bestimmen (be-
grenzen) wollen.
Das heißt: Zugleich und in einem damit, daß wir - beim "Zählen"
der Idealzahl - die als begrenzt vorliegende "alte" Zahl (bzw. ihre Ein
heiten) zerspalten, setzen ·wir neue Einheiten hinzu und insofern ist also
die "alte" Zahl unabgeschlossen. - Mit Faldorengliederung, wie Stenzel
meint, hat die Stelle m. E. nichts zu tun.
Diese Interpretationen mögen als Proben für die Anwendbarkeit
unserer Theorie zur Erklärung der Texte hier genügen. Wir holTen, bei
einer späteren Gelegenheit noch weiteres :Material vorzulegen.