Beeldverwerking Prof. dr. ir. W. Philips Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar 2010-2011 [email protected] philips/beeldv

Beeldverwerking

Prof. dr. ir. W. Philips

Didactisch materiaal bij de cursus

Academiejaar 2010-2011

[email protected]

http://telin.UGent.be/~philips/beeldv/

Tel: 09/264.33.85 Fax: 09/264.42.95

Telecommunicatie en Informatieverwerking

UNIVERSITEIT GENT

Telecommunicatie en Informatieverwerking

UNIVERSITEIT GENT

10c

.2

© W. Philips, Universiteit Gent, 1999-2011versie: 8/12/2010

Copyright noticeThis powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Image processing” (Beeldverwerking), taught at the University of Gent, Belgium as of 1998.

This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed:

1. If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2002” in a font size of at least 10 point on each slide;

2. You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file);

3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation;

4. You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation;

5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author.

In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it).

“Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes, ...

Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s consent. A fee may be charged for such use.

Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer.

If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by email. I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures.

Prof. dr. ir. W. Philips E-mail: [email protected] of Telecommunications and Information Processing Fax: 32-9-264.42.95University of Gent Tel: 32-9-264.33.85St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium

Beeldcompressietechnieken

met verlies

10c

.4


Algemeen compressieschema

•Orthogonale transformatie•Predictie van pixelwaarden uit voorgaande pixels

(gehele) predictiefouten of (reële) transformatiecoëfficiënten

verwijderen van visueel-

irrelevante data

• Huffmancodering• Arithmetische codering

bitstroom

verwijderen van statistische redundantie

gehele getallen

verminderen van spatiale correlatie

• Kwantisatie van coëfficiënten/predictiefouten• Niet coderen van sommige coëfficiënten /

predictiefouten

10c

.5


De “rate-distortion” curve

aantal bits (“bit rate”)

distorsie

“rate-distortion” curve

“rate-distortion” grens

Bij verlieshebbende codering moet

men kwaliteit afwegen tegen

compressiefactor Als numeriek distorsiecriterium neemt

men dikwijls de kwadratische fout

1

0

1

0

2),(),(

~1 N

y

M

x

yxbyxbMN

De “Rate-distortion” curve geeft de corresponderende waarden van distorsie en aantal bits, voor verschillende instellingen van de codeerparameters

of de PSNR,of een gemiddelde score

gegeven door een panel, of …

De “Rate-distortion” grens begrenst de best mogelijke distorsie die om het even wel codeerschema kan bereiken bij een gegeven aantal bits

beter moet voor een goede techniek overal dalend zijn!

Ze wordt meestal berekend op een representatief stel beelden

10c

.6


Voorbeelden...

0

1

2

3

4

5

0 50 100 150 200

Lossy JPEG

Lossy Btpc

#bits (kbyte)

Rmsfout

1

0

1

0

2),(),(

~1 N

y

M

x

yxbyxbMN

Huidige compressiestandaard

Predictieve techniek

Quasi-verliesloos

gebied

De huidige compressiestandaard is niet langer optimaal in het quasi-verliesloos gebied

10c

.7


…Voorbeelden: Compressie vs. distorsie

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14

"lossless" Hadamard

Lossy JPEG

Btpc

Lossless DCT

Compressiefactor

Rmsfout

bits#8MN

10c

.8


“Subjectieve” kwaliteitsmaten

Deze houden rekening met de eigenschappen van het menselijk oog

• De gewichtsfunctie Wk,l houdt rekening met de spatiale-frequentie-

gevoeligheid van het oog

Voorbeeld: frequentiegewogen gemiddelde kwadratische fout

•

1

0

1

0,

2,,

~M

k

N

llklklk WBB (met en 2D-DFTs)lkB , lkB ,

~

• Interessant bij het optimaliseren van codeerschema’s op basis van

transformatiecodering

• Wk,l hangt in principe af van de kijkafstand! enkel voor vaste kijkafstand!

10c

.9


Predictietechnieken met verlies

De coder doet predictie op basis van de gedecodeerde pixels i.p.v. op basis van de originele pixels

minder nauwkeurige predictie in de coder

geen foutpropagatie

huidige pixel

predictie -+

Huffmancoder

netto betere predictie

gedecodeerde pixels

kx p

kwantisatie

/xk

k

Huffmandecoderschalingpredictie

+ +

nieuwe pixel

k k

10c.

10


Kwantisatie

Kwantisatie=het afronden van een reëel getal naar geheel veelvoud van een kwantisatiestap

Voorbeeld met kwantisatiestap =3.5 en afronden•ai,j=12.7 = 3.628571429 ki,j= 4•ai,j=-4.5 = -1.28571 ki,j= -1

Nut van kwantisatie

•na kwantisatie zijn er minder getallen mogelijk, waardoor de ki,j

meer comprimeerbaar zijn dan de ai,j

•voorbeeld-er zijn oneindig veel getallen ai,j in het interval [-35, 35], maar daarmee corresponderen voor =3.5 maar 21 verschillende ki,j

-voor =7 zijn er nog minder (n.l. 11) verschillende ki,j

Nadelen kwantisatie: er gaat informatie verloren; uit de ki,j kan men de ai,j maar benaderend reconstrueren, b.v.b. voor =3.5:

•ki,j= 4 ai,j 4 =14

•ki,j= -1 ai,j -1 = -3.5

10c.

11


Kwantisatie: voorbeeld

Kwantisatie (=2)

-2 -1

-1 0

0 0

1 1

2 1

3 2

4 2

5 3

6 3

Dekwantisatie (schaling met =2 )

-1 -2

0 0

0 0

1 2

1 2

2 4

2 4

3 6

3 6

10c.

12


...Transformatiecodering

Doel: beelddata lineair transformeren in (gekwantiseerde) coëfficiëntenmet lagere entropie

transfor-matie

1

0

2na

a

a

1...0

1...0

),(

ny

nx

yxb statistischcoderen

inverse transfor-

matie

1

0

2~

~

~

na

a

a

1...0

1...0

),(~

ny

nx

yxbaa ~

kwantisatie

k

]/[ jjj ak

statistischdecoderen

kschaling

jjj ka ~

Voordeel orthogonaliteit van de basisfuncties: aangezien de transformatie energie behoudt, is de kwadratische fout gemakkelijk te schatten:

1

0

21

0

1

0

22

~),(),(~ n

iii

n

x

n

y

aayxbyxbd

2/~0 jjj aa

422 /n als j=

10c.

13


De kwantisatiefout nauwkeuriger bekeken

Afrondingsfouten kunnen beschouwd worden als stochastische grootheden

•kleine randomvariaties op b(x,y) leiden tot random variaties op aj

•als deze variaties groot zijn t.o.v. j lijkt het alsof de j uit gegenereerd worden door een randomgenerator met een uniforme distributie

Nx

x

1

Nk

k

1 jjj xk /transformatie

Stel j uniform verdeeld in [-j /2, j/2] 12/1

)( 22/

2/

22j

jj dE

j

j

onafhankelijk van de gekozen orthogonale transformatie!

Na

a

1

N

jj

N

jjEdE

1

2

1

2

12

1)()(

1

0

21

0

1

0

22

~),(),(~ n

ijj

n

x

n

y

aayxbyxbd

1

0

22n

ij jjj aa ~met

10c.

14


De optimale orthogonale transformatie

De beste transformatie is deze die tot de beste rate-distortion curve leidt:•bij een gegeven compressiefactor is de distortie zo klein mogelijk•bij een gegeven distortie is de compressiefactor (of voor de eenvoud: de entropie van de gekwantiseerde coëfficiënten) zo hoog mogelijk

In eerste benadering blijkt dat•de RMS-fout enkel afhankelijk is van de kwantisatieparameters en de blokgrootte, maar niet van de gebruikte orthogonale transformatie

•de compressiefactor is wel degelijk afhankelijk van de gebruikte orthogonale transformatie

Op basis van de tweede-orde beeldstatistiek (die men kan meten) kan men een optimale transformatie afleiden: de Karhunen-Loève transformatie

deze transformatie is beeldafhankelijk en niet-scheidbaar!

Experimenteel blijkt dat de Discrete-CosinusTransformatie (DCT) zo goed als optimaal is

deze transformatie is beeldonafhankelijk

en ze is scheidbaar (en dus sneller te berekenen)!

Verlieshebbende compressie

DCT-gebaseerde technieken

10c.

16


De discrete-cosinustransformatie (DCT)

)()( xqyq ji

+···

coëfficiënten-blok

a00 +a01 +a02 +a03+···

+a10 +a11 +a12 +a13+···

+a20 +a21 +a22 +a23+···

+a30 +a31 +a32 +a33+···

=

beeldblok

2

1

2

1,,

2

1,0

n

n

nFrequenties:

n

xi

n

cxq i

i)2/1(

cos)( met ci=1 als i=02 als i 0

Basisfuncties: qi(y)qj (x);

nf

2

1n

f1DCT: DFT:

10c.

17


Blokcodering met de DCT

klein

groot

DCT

jia ,

Experimenteel blijkt dat blokgroottes van n=8 à n=32 de beste rate-distortion curve opleveren

De DCT is scheidbaar en vraagt dus 4n berekeningen per pixel n=8 is dus vier keer sneller dan n=32 men kiest steeds n=8

Kleine coëfficiënten komen veel voor; grote zijn zeldzaam het histogram van de gekwantiseerde coëfficiënten is sterk niet-uniformideaal voor statistische codering

10c.

18


Kwantisatie met frequentie-afhankelijke

nauwkeurigheid: jijiji ak ,,, /

De JPEG-standaard

VoorwaartseDCT

beelddata

gecomprimeerde data

Gecomprimeerde file

entropie-coderingKwantisatie

kwantiseringstabel

tabel

huffmantabel

tabelVerdeling in blokken van 8x8 pixels

JPEG = Joint Photographic Experts Group

De gekwantiseerde DC-coëfficiënten a0,0 (één per blok) worden verzameld in een kleiner beeld dat met lossless JPEG wordt gecodeerd

“Runlength” (looplengte-) codering van hoogfrequentcoëfficiënten binnen een blok

Huffmancodering of aritmetische codering

10c.

19


Bij hoge spatiale frequenties worden de coëfficiënten ruwer gekwantiseerd omdat het oog er minder gevoelig is

Psychovisueel aangepaste kwantisatie

ji,

Verticale frequentie i

Hor

izon

tale

frequ

entie

j

De kwantisatiestap is frequentieafhankelijk

De waargenomen spatiale frequentie hangt af van kijkafstand!

Men veronderstelt dus impliciet een vaste kijkafstand

frequentieafhankelijke kwantisatie is niet gewenst als men beelden wenst uit te vergroten (b.v. in medische toepassingen)

De optimale kwantisatietabel wordt afgeleid uit experimenten met vrijwilligers

10c.

20


Codering van de DC-coëfficiënten

Naburige DC-coëfficiënten lijken nog vrij sterk op elkaar

men vormt er een DC-beeld mee en comprimeert dit beeld met LJPG

DC-coëfficiënten van elk blok, gegroepeerd in 32x32 beeld(hier 8x vergroot getoond)

256x256 beeld, verdeeldin 8x8 blokken

10c.

21


metasymbool, gecodeerd door b.v. een (aangepaste)

Huffmancoder

Zigzagvolgorde en runlengtecodering

De gekwantiseerde HF-coëfficiënten sterven snel uit met stijgende frequentie•wegens de typische concentratie van beeldenergie bij lage frequenties•wegens de sterkere kwantisering van coëfficiënten met hogere frequenties

Dit exploiteert men door “zero-runs” en “end-of-block markers” in te voeren

9

-11

-13

29

35

-30

250

800

00001-21

000-212-3

0012-1-18

00-1-3-40-27

0-2010-6-27

01-303-941

12-7121836-312

3-14-1523-80123

“End-of-block”

“Zero-run”

(2,0) (-1,3) (-3,1) (-4,0) (5,0)

2 -1 0 0 0 -3 0 -4 5

10c.

22


Origineel DCT, 32x32 (factor 40)

a

bc

Fouten bij grote compressie

Aan de blokgrenzen verandert de fout discontinu

Blokdistorsie (a)

De coëfficiënten met de hoogste frequenties worden door de kwantisatie effectief nul gemaakt, net zoals een “ideaal” laagdoorlaatfilter dat zou doen

Laag-doorlaateffect: het beeld wordt wazig (b) Gibbs-effect: er verschijnen “rimpels” in het beeld (c)

10c.

23


JPEG: Problemen bij grote compressie

Blokdistortie: de blokgrenzen worden zichtbaar

Compressiefactor 27 (0.3 bpp)

Beeldcompressietechnieken

met verlies

Subbandcodering en wavelets

10c.

25


Subbandcodering - waveletcodering

Principe:•transformeer beeld met niet-redundante wavelettransformatie•kwantiseer de waveletcoëfficiënten•buit de similariteit van de waveletbanden uit via nulboomcodering of significantiecodering

•gebruik een Huffmancoder of aritmetische coder om de overblijvende statistische redundantie uit te buiten

De JPEG-2000 standaard•uitbreiding van de “oude” JPEG-standaard•waveletontbinding + significantiecodering•belangrijkste voordelen

•betere kwaliteit bij zeer lage en zeer hoge compressie•zeer flexibel: “schaalbaar” in resolutie, kwaliteit, spatiale locatie en kleurcomponent

10c.

26


Schaalbaarheid in kwaliteit

256x256x8 512x512x12

ISDN (128 kbit/s): 4 s 24 s

33.6 modem: 20 s 2.2 min.

0.02 s0.09 s0.17 s0.27 s0.51 s1.05 s2.10 s3.90 s

Progressieve decompressie:•zeer goed beeld na 2 s•bruikbaar bij het navigeren in grote beeldensets

256x256x8

Totale ransmissietijd over 33.6 modem

•zonder compressie: 20 s•met compressie: 13 s

Time:

Opmerking: de getoonde compressietechniek gebruikt geen wavelets!

10c.

27


Schaalbaarheid

Schaalbaarheid slaat op het feit dat men door het trunceren van het gecomprimeerd bestand een beeld krijgt dat steeds beter wordt naarmate er minder getrunceerd wordt

De betekenis van “beter” hangt af van de volgorde waarin datapakketten in het gecomprimeerd bestand worden opgeslagen

•schaalbaarheid in nauwkeurigheid: de meest significante bits van alle waveletcoëfficiënten in alle banden worden eerst opgeslagen, nadien volgen minder significante bits

•schaalbaarheid in resolutie: laag- en middenfrequente waveletbanden worden eerst met maximale kwaliteit opgeslagen vooraleer hoog-frequente coëfficiënten aan bod komen

•schaalbaarheid in spatiale locatie: alle coëfficiënten van een “region of interest” (b.v. centraal deel van een beeld) worden eerst opgeslagen

•schaalbaarheid in kleur: de coëfficiënten van de luminantiecomponten worden eerst opgeslagen; pas dan volgt de chrominatie

10c.

28


Schaalbaarheid: opmerkingen

Er kan van één schaalbaarheid naar een andere worden overgeschakeld tijdens de compressie: b.v. resolutie nadien kwaliteit

De JPEG-2000 datastroom bestaat uit pakketten; in de header van die pakketten wordt aangegeven welke informatie ze bevatten

Door pakketten te herordenen kan een andere schaalbaarheid worden verkregen zonder te decoderen en hercoderen

Toepassingen schaalbaarheid:•progressieve transmissie over kanalen met lage bandbreedte: naarmate de bits binnenstromen berekent de decoder steeds betere versies van het gecomprimeerd beeld

•bij afdrukken op een grijswaardenprinter kunnen chrominantiepakketten worden weggelaten

•“thumbnails” op een webpagina genereren door hoge-kwaliteitsbeelden te trunceren•gemakkelijke conversie van een webpagina naar een WAP-versie met lage kwaliteit maar geschikt voor kanaal met lage bandbreedte

10c.

29


Nulboomcodering...

De coëfficiënten in een boom•corresponderen met dezelfde plaats•en zijn het resultaat van een zelfde soort filtering op een laagdoorlaat (en onderbemonsterde) versie van het beeld

10c.

30


...Nulboomcodering

De “afstammelingen” van een coëfficiënt met waarde nul zijn dikwijls ook nul

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-

-

-

-

N

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

nulbomen worden vervangen door één enkel symbool (cfr. looplengtes)

10c.

31


één resolutieniveau,bestaand uit 3 subbanden

Significantiecodering (JPEG2000) …

één precinct

0 1

2 3

8 9

10 11

4 5

6 7

1 code-blok

Elk resolutieniveau wordt opgesplitst in “precincts” (districten):

•elk district bevat coëfficiënten uit een zelfde spatiale omgeving

•en uit alle 3 de subbanden van het resolutieniveau

Elk district wordt op gelijkaardige manier opgesplitst in codeblokken

Codeblokken worden onafhankelijk van elkaar gecodeerd

•methode: contextafhankelijke encodering van “bitvlakken”, startend met het meest significante

•bitvlak k = beeldje gevormd door k-de bit van de absolute waarden elke coëfficiënt van een codeblok

10c.

32


… Significantiecodering (JPEG2000)

Elk bitvlak (bitplane) wordt onderverdeeld in stroken van 4 hoog

1 0 1 0 1 1 0 11 1 0 1 1 1 1 01 1 1 0 0 0 1 01 1 0 1 0 0 0 0…1 1 1 1 1 0 1 00 1 1 1 0 1 1 00 0 1 0 1 0 0 0

…

De gecomprimeerde data wordt gegroepeerd in lagen (layers) en pakketten:

•één pakket bestaat uit een (variabel) aantal bitvlakken van een aantal codeblokken uit één en het zelfde district

bevat data van één bepaalde spatiale omgeving en resolutie

•een laag bestaat uit één pakket van elk district van elk resolutieniveau; een laag bevat echter niet noodzakelijk alle bitplanes

bevat data die de kwaliteit van het hele beeld verhoogt

Volgorde van aritmetische codering•meest significante bitvlakken eerst•binnen een bitvlak: strook per strook•binnen een strook: kolom per kolom

Tekenbit wordt apart gecodeerd en niet als bitvlak beschouwd (zie verder)

10c.

33


Bitvlakcodering

Elk bitvlak wordt afzonderlijk gecodeerd, maar de codering is adaptief en gebruikt contextinformatie van meer significante (in de betekenis 2k is meer significant dan 2k-1) bitvlakken

Definitie: een bepaalde waveletcoëfficiënt wordt “significant” (in de betekenis van “significantiecodering”) van zodra minstens één van zijn reeds gecodeerde bits gelijk is aan 1

De codering van een bitvlak loopt in 3 stappen; in elke stap k wordt een deel van de bits van het bitvlak gecodeerd

•stap 1, significantiepropagatie: coderen van de bits met waarde 2k van coëfficiënten die nog niet significant zijn, maar die minstens één spatiale buur hebben die wel al significant is

•stap 2, verfijning van de absolute waarde: coderen van bits van coëfficiënten die in een vorige bitvlak significant werden

•stap 3, opkuis: coderen van alle overblijvende bits

Opmerking: wanneer een coëfficiënt voor de eerste keer significant wordt, dan wordt meteen zijn teken gecodeerd

10c.

34


-7=-011110=+1010

Bitvlakcodering: voorbeeld

Stap 10 1 3 -7

3. opkuis 1+ 0 0 0

1. significantie 0

2. verfijning 0

3. opkuis 0 1-

1. significantie 0 1+

2. verfijning 1 1

3. opkuis

1. significantie 1+

2. verfijning 0 1 1

3.opkuis

Coëfficiënten

bitvlak 3: waarde 23

Opmerking: voor het allereerst bitvlak worden stap 1 en 2 niet uitgevoerd; er is dan immers nog geen significante coëfficiënten

tekenbit



geen overblijvende coëfficiënten opkuis heeft geen werk


10c.

35


Filosofie bitvlakcodering

Filosofie bitvlakencodering: optimaal “sorteren” van de bits voor een optimale adaptieve werking van de aritmetische coder

•in stap 1 is er veel kans op “1”-bits: significante coëfficiënten = grote coëfficiënten, en deze liggen spatiaal gegroepeerd

•in stap 2 is er geen reden om aan te nemen dat “1”-bits meer zouden voorkomen dan “0”-bits of omgekeerd

•in stap 3 worden typisch de kleinste coëfficiënten gecodeerd veel kans op “0”-bits

In elk van de 3 stappen hebben we dus een andere statistiek

Door de bits van een bepaalde soort na elkaar te coderen ipv. alle soorten door elkaar te coderen kan een adaptieve aritmetische coder beter zijn werk doen

10c.

36


Opmerkingen

Niet besproken aspecten•er wordt ook looplengtecodering gebruikt, maar niet overal•het beeld wordt eerst in tegels verdeeld; dit zijn deelbeelden die onafhankelijk van elkaar gecodeerd worden extra hoogniveau schaalbaarheid

Waarom significantiecodering en geen nulboomcodering in JPEG 2000?•bij nulboomcodering worden subbanden gezamenlijk gecodeerd

minder mogelijkheden voor schaalbaarheid

en complexere implementatie!

10c.

37


Waveletcodering vs. JPEG...

SPIHT= Set Partitioning in Hierarchical Trees = wavelets+nulboomcodering

SPIHT doet het veel beter dan JPEG bij lage bit rates

De nieuwe JPEG-standaard “JPEG-2000” is vergelijkbaar met SPIHT

JPEG 2000, factor 40 JPEG, factor 40 SPIHT, factor 40

Origineel: 256 kbyte, 8 bit/pixel

Gecomprimeerd: 6500 byte, 0.2 bit/pixel

10c.

38


Waveletcodering vs. JPEG...

JPEG 2000, factor 40

JPEG, factor 40


JPEG, factor 100


JPEG, factor 200

niet realiseerbaar

10c.

39


...Waveletcodering vs. JPEG

SPIHT en JPEG-2000 veroorzaaken nooit blokdistorsie

Kleine beelden comprimeren duidelijk minder goed dan grote beelden

het is niet de resolutie van het beeld maar zijn inhoud die het uiteindelijk aantal bytes voor een bepaalde kwaliteit vastlegt

JPEG-2000, factor 40 JPEG, factor 40 SPIHT, factor 40

Origineel: 64 kbyte, 8 bit/pixel

Gecomprimeerd: 1600 byte, 0.2 bit/pixel

10c.

40


Commando’s

Conversie naar jpeg-2000•factor 40: jasper --input lena512x512.bmp--output-format jp2 --output lena.jp2 -O rate=0.025

•factor 100: jasper --input lena512x512.bmp--output-format jp2 --output lena.jp2 -O rate=0.01

Conversie van jpeg-2000•jasper --input lena.jp2 --output-format pnm--output lena.pnm

Conversie naar jpeg•factor 40: convert -quality 10 lena512x512.bmp lena.jpg•factor 100: convert -quality 3 lena512x512.bmp lena.jpg

10c.

41


Bibliografie

Technical overview of JPEG-2000•http://www.rii.ricoh.com/%7Egormish/pdf/dcc2000_jpeg2000_note.pdf

JPEG-2000 software implementatie•http://www.ece.uvic.ca/~mdadams/jasper/

http://www.rii.ricoh.com/%7Egormish/pdf/dcc2000_jpeg2000_note.pdf







http://www.ece.uvic.ca/~mdadams/jasper/








Appendix

niet te kennen voor examen

10c.

43


Entropie van een gekwantiseerde gaussiaan

)( kpp xk

k

kk ppH ln2ln

k

xk

kp 2

ln2

)(2

22

k k

kx pk

kp 2

ln2

)(2

22

2

2

2)(

x

xpx )/ln(2

ln21

c

2

2

221

)(

x

x exp

/xkx k

k

2

ln

10c.

44


Nx

x

1

transformatie

Na

a

1

Nk

k

1

gaussiaans met spreiding k

De optimale orthogonale transformatie...

Onze aanpak is statistisch:

• Stel in zodat de verwachte RMS-fout gelijk is aan de opgelegde waarde

• Bereken de verwachte entropie als schatting van het verwacht aantal bits

We zoeken de P die bij een gegeven RMS-fout tot het kleinst aantal bits leidt

Onderstellingen

•De uniforme kwantisatie is voldoende fijn ( is voldoende klein)

•De coëfficiënten aj zijn gezamenlijk gaussiaans verdeeld met spreiding j

N

kkcH 2log'benadering:

10c.

45


...De optimale orthogonale transformatie...

Nx

x

1

Nk

k

1

N

kk

cH

2log'transformatie

Stel j uniform verdeeld in [- /2, /2] 12/1

)( 22/

2/

22

dE j

jjj ak Kwantisatiefouten: totale kwadratische fout: 22~ εxx

onafhankelijk van de gekozen orthogonale transformatie!

22~ εxx EE verwachte kwadratische fout: 12/2N

De optimale transformatie is dus deze met de kleinste totale entropie

deze waarvoor minimaal isk

k

Na

a

1

gaussiaans met spreiding k

)(1

2

N

jjE

10c.

46


...De optimale orthogonale transformatie

De optimale transformatie is de Karhunen-Loève transformatie, d.w.z. de

kolommen van P zijn de eigenvectoren van de covariantiematrix K van x:

tEK xx iiiK pp nP pp 1

Er geldt i=i2 d.w.z. de eigenwaarden zijn de varianties van de coëfficiënten

Het blijkt dat men de (in het algemeen niet-scheidbare) KLT-transformatie

zeer goed kan benaderen door de DCT die scheidbaar is

De KLT geeft ook een maximale energiecompactie: de verwachte energie

in de eerste m coëfficiënten is voor geen enkele

andere transformatie groter (en dit geldt voor alle m) op voorwaarde dat

men de pi ordent volgens dalende i

1

0

21

0

2m

ii

m

iim aEE

Men gebruikt bijna steeds de DCT en niet de KLT

10c.

47


Verband tussen de DCT en de DFT

)1(')2(')0('

)1()2()0(

nbnbb

nbnbb

)12(')1(')('

)0()2()1(

nbnbnb

bnbnb

1

0

1

0

)2/1(cos)()()(

n

x

kn

xkk n

xkxb

n

cxbxqA

1

0

)2/1(1

0

)2/1(

)(21

)(21 n

x

n

xkj

kn

x

n

xkj

k exbn

cexb

n

c

12

'

)2/1'2(1

0

)2/1(

)'('21

)('21 n

nx

n

xnkj

kn

x

n

xkj

k exbn

cexb

n

c

12

0

2 )('21 n

x

n

kxj

n

kj

k exben

c

xnx 12'

even uit-breiding

)(21

22 be

n

cn

n

kj

k DFT

10c.

48


De 2D-DFT definieert een periodieke uitbreiding van het beeld

Evenperiodieke uitbreiding

De 2D-DCT definieert een even-periodieke uitbreiding van het beeld

Discontinuïteiten van de beeldfunctie aan de beeldranden!

Geen discontinuïteiten van de beeldfunctie aan de beeldranden, wel van de afgeleiden!

DCT-coëfficiënten nemen sneller af als functie van de frequentie dan DFT- coëfficiënten

Documents

Beeldverwerking Prof. dr. ir. W. Philips Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar 2010-2011 [email protected] philips/beeldv