Beispielaufgabe_Funktionsschar

Thema: Beispielaufgabe Funktionsschar

Datum: Mathematik GKQ1 Ulrich

Funktionsschar gegeben durch:

`Definitionsbereich für k

enthält alle reellen Zahlen mit

Ausnahme der Null

Bestimmung der Nullstellen

oder

Nullstellen bei

Schnittpunkte mit der x-Achse lauten und

Bestimmung der Extrema

Ableitungen:

Notwendige Bedingung (



Oder

Hinreichende Bedingung (

Tiefstelle bei

Hochstelle bei

`in anderen Aufgaben kann es vorkommen, dass man das Vorzeichen des Parameters berücksichtigen

muss, dazu ist immer auf den Definitionsbereich des Parameters zu achten. Für die Bestimmung des

Grenzverhaltens spielt auch in dieser Aufgabe das Vorzeichen von k eine Rolle (vgl. Bestimmung des

Grenzverhaltens)

y-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

für

Tiefpunkt (0|0)



Für

Hochpunkt (

Bestimmung der Wendestellen

Notwendige Bedingung (

Hinreichende Bedingung (

Wendestelle

y-Koordinaten des Wendepunktes berechnen

für

Wendepunkt



Bestimmung des Symmetrieverhaltens

In der Funktionsgleichung:

tauchen so sowohl gerade als auch ungerade

Exponenten für x auf nach Exponentenregel sind die Graphen der Funktionsschar nicht

symmetrisch

Bestimmung des Grenzverhaltens

In der Funktionsgleichung:

entscheidet der Term

über das Grenzverhalten

der Funktionsschar (größter Exponent bei x).

Erläuterung:

Das Vorzeichen des Terms

, der über das Grenzverhalten entscheidet ist von dem Vorzeichen

von k abhängig. Ist k positiv also größer als Null, so ist das Vorzeichen des Terms negativ. Ist k

hingegen negativ, also kleiner als Null, so hebt sich das negative Vorzeichen von k und das negativ

Vorzeichen des Terms auf und der Term erhält insgesamt ein positives Vorzeichen.

k kann nicht den Wert Null annehmen vgl. Definitionsbereich



Bestimmung der Orstkurve durch die Hochpunkte

x-Koordinate zum Parameter hin auflösen

Parameter k in y-Koordinate einsetzen

Funktionsgleichung der Ortskurve durch die Hochpunkte der Funktionsschar

(Natürlich lässt sich auch eine Ortskurve durch alle Wendepunkte bestimmen)

Skizze der Graphen von für k=1,…,5 (berechnete Orskurve in rot)



Skizze der Graphen von für k=-1,…,-5 (berechnete Orskurve in rot)

Nur der Übersicht halber sind die Graphen für positive und negative k getrennt dargestellt.

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