BeltistopoETHhsh

Μάθημα 1ο

Dr Dhm trhc Swthrigravepouloc

Tm ma Thlepikoinwniakcedil Susthmtwn kai DiktOcircwn

Tetrth 7 OktwbrETHou 2009

Mjhma 1o Dr Dhm trhc Swthrigravepouloc Tm ma Thlepikoinwniakcedil Susthmtwn kai DiktOcircwn (Dr Dhm trhc Swthrigravepouloc)BeltistopoETHhsh Tetrth 7 OktwbrETHou 2009 1 1

Majhmatikigravec Programmatismigravec

Μαθηματικός προγραμματισμός (Mathematical Programming) Είναι

ένας σχετικά νέος κλάδος της Επιχειρησιακής ΄Ερευνας που θεμελιώθηκε

μετά το Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο

Επιχειρησιακή ΄Ερευνα (Operations Research) Η επιστήμη που

ασχολείται με τη βελτιστοποίηση (optimization της απόδοσης ενός

συστήματος

῾῾πρόκειται για ένα σύνολο από τεχνικές οι οποίες χρησιμοποιώντας

μαθηματικά μοντέλα δημιουργούν μια ποσοτική και ορθολογιστική βάση

για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία του

συστήματος᾿᾿

Η Επιχειρησιακή έρευνα είναι

epist mh (Majhmatikegravec Teqnikegravec kai MejodologETHa EpETHlushcProblhmtwn)tegraveqnh (anjrcedilpinoc pargontac kai h katllhlh lOcircsh gia to katllhloprigraveblhma)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 2 77

Page 2 of 75

Majhmatikigravec Programmatismigravec

Ο όρος laquoΠρογραμματισμόςraquo στην περιγραφή του νέου κλάδου

χρησιμοποιήθηκε με την έννοια του σχεδιασμού συστημάτων ή

δραστηριοτήτων και όχι με την έννοια της ανάπτυξης προγραμμάτων για

ηλεκτρονικούς υπολογιστές

Αντικείμενο ΜΠ Αποσκοπεί στην επίλυση προβλημάτων κατανομής

περιορισμένων πόρων κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (βελτιστοποίηση)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 3 77

Page 3 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Βιομηχανία Η Digital Equipment Corporation (DEC) εξοικονόμησε πάνω

από 100 εκατομμύρια δολάρια χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο ΜΠ για να

καθορίσει την παγκόσμια στρατηγική κατασκευής και διανομών Arntzen

et al (1995)

Μεταφορές Οι αεροπορικές εταιρείες Lufthansa KLM SAS και Alitaliaχρησιμοποιούν ένα σύστημα που βασίζεται στο ΜΠ για τον

προγραμματισμό των πληρωμάτων τους Housos and Elmroth (1997)

Περιβάλλον Η τοπική αυτοδιοίκηση σε ορισμένες περιοχές της Βόρειας

Καρολίνας στις ΗΠΑ χρησιμοποιεί το ΜΠ για το σχεδιασμό ενός

συστήματος διαχείρισης στερεών αποβλήτων

Ferrel kai Hizlan (1997)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 4 77

Page 4 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Εκπαίδευση Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου

UCLA χρησιμοποιεί μεταξύ άλλων το ΜΠ για το σχεδιασμό του

ωρολογίου προγράμματος των φοιτητών

Stallaert (1997)

Υγεία Η Διεύθυνση Υγείας στην Ανδαλουσία της Ισπανίας αποφασίζει

για την κατανομή του προσωπικού και των άλλων πόρων στα νοσοκομεία

της περιοχής με βάση ένα μοντέλο ΜΠ το οποίο έχει ως στόχο την

ελαχιστοποίηση των παραπόνων των ασθενών Carrizosa et al (1992)

Ενέργεια Η Επιτροπή Σχεδιασμού της Κίνας και η Διεθνής Τράπεζα

χρησιμοποιούν ένα μοντέλο ΜΠ για το σχεδιασμό επενδύσεων στον τομέα

της ενέργειας Το μοντέλο έχει αποφέρει κέρδη 64 δις δολάρια μέχρι το

2005 Kubz et al (1995)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 5 77

Page 5 of 75

Sust mata - Montegravela

Με τη λέξη laquoσύστημαraquo αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως Επιχειρήσεις

Βιομηχανίες Κρατικές υπηρεσίες Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών κλπ

Σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου

μαθηματικού μοντέλου δηλ laquoμιας αναπαράστασης του συστήματος

στην οποία οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών

σχέσεις έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ

μαθηματικών στοιχείων ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθείraquo

Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό)

έχει την εξής οργάνωση

΄Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα

οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη laquoκάποιαςraquo απόφασης

για την επίλυση του προβλήματος ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό

λεπτομέρειες ή υποθέσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 6 77

Page 6 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Majhmatikigravec Programmatismigravec

Μαθηματικός προγραμματισμός (Mathematical Programming) Είναι

ένας σχετικά νέος κλάδος της Επιχειρησιακής ΄Ερευνας που θεμελιώθηκε

μετά το Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο

Επιχειρησιακή ΄Ερευνα (Operations Research) Η επιστήμη που

ασχολείται με τη βελτιστοποίηση (optimization της απόδοσης ενός

συστήματος

῾῾πρόκειται για ένα σύνολο από τεχνικές οι οποίες χρησιμοποιώντας

μαθηματικά μοντέλα δημιουργούν μια ποσοτική και ορθολογιστική βάση

για τη λήψη αποφάσεων που θα βελτιστοποιήσουν τη λειτουργία του

συστήματος᾿᾿

Η Επιχειρησιακή έρευνα είναι

epist mh (Majhmatikegravec Teqnikegravec kai MejodologETHa EpETHlushcProblhmtwn)tegraveqnh (anjrcedilpinoc pargontac kai h katllhlh lOcircsh gia to katllhloprigraveblhma)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 2 77

Page 2 of 75

Majhmatikigravec Programmatismigravec

Ο όρος laquoΠρογραμματισμόςraquo στην περιγραφή του νέου κλάδου

χρησιμοποιήθηκε με την έννοια του σχεδιασμού συστημάτων ή

δραστηριοτήτων και όχι με την έννοια της ανάπτυξης προγραμμάτων για

ηλεκτρονικούς υπολογιστές

Αντικείμενο ΜΠ Αποσκοπεί στην επίλυση προβλημάτων κατανομής

περιορισμένων πόρων κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (βελτιστοποίηση)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 3 77

Page 3 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Βιομηχανία Η Digital Equipment Corporation (DEC) εξοικονόμησε πάνω

από 100 εκατομμύρια δολάρια χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο ΜΠ για να

καθορίσει την παγκόσμια στρατηγική κατασκευής και διανομών Arntzen

et al (1995)

Μεταφορές Οι αεροπορικές εταιρείες Lufthansa KLM SAS και Alitaliaχρησιμοποιούν ένα σύστημα που βασίζεται στο ΜΠ για τον

προγραμματισμό των πληρωμάτων τους Housos and Elmroth (1997)

Περιβάλλον Η τοπική αυτοδιοίκηση σε ορισμένες περιοχές της Βόρειας

Καρολίνας στις ΗΠΑ χρησιμοποιεί το ΜΠ για το σχεδιασμό ενός

συστήματος διαχείρισης στερεών αποβλήτων

Ferrel kai Hizlan (1997)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 4 77

Page 4 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Εκπαίδευση Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου

UCLA χρησιμοποιεί μεταξύ άλλων το ΜΠ για το σχεδιασμό του

ωρολογίου προγράμματος των φοιτητών

Stallaert (1997)

Υγεία Η Διεύθυνση Υγείας στην Ανδαλουσία της Ισπανίας αποφασίζει

για την κατανομή του προσωπικού και των άλλων πόρων στα νοσοκομεία

της περιοχής με βάση ένα μοντέλο ΜΠ το οποίο έχει ως στόχο την

ελαχιστοποίηση των παραπόνων των ασθενών Carrizosa et al (1992)

Ενέργεια Η Επιτροπή Σχεδιασμού της Κίνας και η Διεθνής Τράπεζα

χρησιμοποιούν ένα μοντέλο ΜΠ για το σχεδιασμό επενδύσεων στον τομέα

της ενέργειας Το μοντέλο έχει αποφέρει κέρδη 64 δις δολάρια μέχρι το

2005 Kubz et al (1995)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 5 77

Page 5 of 75

Sust mata - Montegravela

Με τη λέξη laquoσύστημαraquo αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως Επιχειρήσεις

Βιομηχανίες Κρατικές υπηρεσίες Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών κλπ

Σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου

μαθηματικού μοντέλου δηλ laquoμιας αναπαράστασης του συστήματος

στην οποία οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών

σχέσεις έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ

μαθηματικών στοιχείων ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθείraquo

Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό)

έχει την εξής οργάνωση

΄Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα

οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη laquoκάποιαςraquo απόφασης

για την επίλυση του προβλήματος ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό

λεπτομέρειες ή υποθέσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 6 77

Page 6 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Majhmatikigravec Programmatismigravec

Ο όρος laquoΠρογραμματισμόςraquo στην περιγραφή του νέου κλάδου

χρησιμοποιήθηκε με την έννοια του σχεδιασμού συστημάτων ή

δραστηριοτήτων και όχι με την έννοια της ανάπτυξης προγραμμάτων για

ηλεκτρονικούς υπολογιστές

Αντικείμενο ΜΠ Αποσκοπεί στην επίλυση προβλημάτων κατανομής

περιορισμένων πόρων κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο (βελτιστοποίηση)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 3 77

Page 3 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Βιομηχανία Η Digital Equipment Corporation (DEC) εξοικονόμησε πάνω

από 100 εκατομμύρια δολάρια χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο ΜΠ για να

καθορίσει την παγκόσμια στρατηγική κατασκευής και διανομών Arntzen

et al (1995)

Μεταφορές Οι αεροπορικές εταιρείες Lufthansa KLM SAS και Alitaliaχρησιμοποιούν ένα σύστημα που βασίζεται στο ΜΠ για τον

προγραμματισμό των πληρωμάτων τους Housos and Elmroth (1997)

Περιβάλλον Η τοπική αυτοδιοίκηση σε ορισμένες περιοχές της Βόρειας

Καρολίνας στις ΗΠΑ χρησιμοποιεί το ΜΠ για το σχεδιασμό ενός

συστήματος διαχείρισης στερεών αποβλήτων

Ferrel kai Hizlan (1997)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 4 77

Page 4 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Εκπαίδευση Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου

UCLA χρησιμοποιεί μεταξύ άλλων το ΜΠ για το σχεδιασμό του

ωρολογίου προγράμματος των φοιτητών

Stallaert (1997)

Υγεία Η Διεύθυνση Υγείας στην Ανδαλουσία της Ισπανίας αποφασίζει

για την κατανομή του προσωπικού και των άλλων πόρων στα νοσοκομεία

της περιοχής με βάση ένα μοντέλο ΜΠ το οποίο έχει ως στόχο την

ελαχιστοποίηση των παραπόνων των ασθενών Carrizosa et al (1992)

Ενέργεια Η Επιτροπή Σχεδιασμού της Κίνας και η Διεθνής Τράπεζα

χρησιμοποιούν ένα μοντέλο ΜΠ για το σχεδιασμό επενδύσεων στον τομέα

της ενέργειας Το μοντέλο έχει αποφέρει κέρδη 64 δις δολάρια μέχρι το

2005 Kubz et al (1995)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 5 77

Page 5 of 75

Sust mata - Montegravela

Με τη λέξη laquoσύστημαraquo αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως Επιχειρήσεις

Βιομηχανίες Κρατικές υπηρεσίες Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών κλπ

Σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου

μαθηματικού μοντέλου δηλ laquoμιας αναπαράστασης του συστήματος

στην οποία οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών

σχέσεις έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ

μαθηματικών στοιχείων ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθείraquo

Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό)

έχει την εξής οργάνωση

΄Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα

οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη laquoκάποιαςraquo απόφασης

για την επίλυση του προβλήματος ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό

λεπτομέρειες ή υποθέσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 6 77

Page 6 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Βιομηχανία Η Digital Equipment Corporation (DEC) εξοικονόμησε πάνω

από 100 εκατομμύρια δολάρια χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο ΜΠ για να

καθορίσει την παγκόσμια στρατηγική κατασκευής και διανομών Arntzen

et al (1995)

Μεταφορές Οι αεροπορικές εταιρείες Lufthansa KLM SAS και Alitaliaχρησιμοποιούν ένα σύστημα που βασίζεται στο ΜΠ για τον

προγραμματισμό των πληρωμάτων τους Housos and Elmroth (1997)

Περιβάλλον Η τοπική αυτοδιοίκηση σε ορισμένες περιοχές της Βόρειας

Καρολίνας στις ΗΠΑ χρησιμοποιεί το ΜΠ για το σχεδιασμό ενός

συστήματος διαχείρισης στερεών αποβλήτων

Ferrel kai Hizlan (1997)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 4 77

Page 4 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Εκπαίδευση Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου

UCLA χρησιμοποιεί μεταξύ άλλων το ΜΠ για το σχεδιασμό του

ωρολογίου προγράμματος των φοιτητών

Stallaert (1997)

Υγεία Η Διεύθυνση Υγείας στην Ανδαλουσία της Ισπανίας αποφασίζει

για την κατανομή του προσωπικού και των άλλων πόρων στα νοσοκομεία

της περιοχής με βάση ένα μοντέλο ΜΠ το οποίο έχει ως στόχο την

ελαχιστοποίηση των παραπόνων των ασθενών Carrizosa et al (1992)

Ενέργεια Η Επιτροπή Σχεδιασμού της Κίνας και η Διεθνής Τράπεζα

χρησιμοποιούν ένα μοντέλο ΜΠ για το σχεδιασμό επενδύσεων στον τομέα

της ενέργειας Το μοντέλο έχει αποφέρει κέρδη 64 δις δολάρια μέχρι το

2005 Kubz et al (1995)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 5 77

Page 5 of 75

Sust mata - Montegravela

Με τη λέξη laquoσύστημαraquo αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως Επιχειρήσεις

Βιομηχανίες Κρατικές υπηρεσίες Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών κλπ

Σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου

μαθηματικού μοντέλου δηλ laquoμιας αναπαράστασης του συστήματος

στην οποία οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών

σχέσεις έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ

μαθηματικών στοιχείων ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθείraquo

Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό)

έχει την εξής οργάνωση

΄Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα

οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη laquoκάποιαςraquo απόφασης

για την επίλυση του προβλήματος ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό

λεπτομέρειες ή υποθέσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 6 77

Page 6 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Efarmogegravec MajhmatikoOcirc ProgrammatismoOcirc (MP)

Εκπαίδευση Το Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου

UCLA χρησιμοποιεί μεταξύ άλλων το ΜΠ για το σχεδιασμό του

ωρολογίου προγράμματος των φοιτητών

Stallaert (1997)

Υγεία Η Διεύθυνση Υγείας στην Ανδαλουσία της Ισπανίας αποφασίζει

για την κατανομή του προσωπικού και των άλλων πόρων στα νοσοκομεία

της περιοχής με βάση ένα μοντέλο ΜΠ το οποίο έχει ως στόχο την

ελαχιστοποίηση των παραπόνων των ασθενών Carrizosa et al (1992)

Ενέργεια Η Επιτροπή Σχεδιασμού της Κίνας και η Διεθνής Τράπεζα

χρησιμοποιούν ένα μοντέλο ΜΠ για το σχεδιασμό επενδύσεων στον τομέα

της ενέργειας Το μοντέλο έχει αποφέρει κέρδη 64 δις δολάρια μέχρι το

2005 Kubz et al (1995)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 5 77

Page 5 of 75

Sust mata - Montegravela

Με τη λέξη laquoσύστημαraquo αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως Επιχειρήσεις

Βιομηχανίες Κρατικές υπηρεσίες Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών κλπ

Σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου

μαθηματικού μοντέλου δηλ laquoμιας αναπαράστασης του συστήματος

στην οποία οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών

σχέσεις έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ

μαθηματικών στοιχείων ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθείraquo

Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό)

έχει την εξής οργάνωση

΄Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα

οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη laquoκάποιαςraquo απόφασης

για την επίλυση του προβλήματος ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό

λεπτομέρειες ή υποθέσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 6 77

Page 6 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Sust mata - Montegravela

Με τη λέξη laquoσύστημαraquo αναφερόμαστε στις πάσης φύσεως Επιχειρήσεις

Βιομηχανίες Κρατικές υπηρεσίες Οργανισμούς παροχής υπηρεσιών κλπ

Σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητη η χρήση ενός κατάλληλου

μαθηματικού μοντέλου δηλ laquoμιας αναπαράστασης του συστήματος

στην οποία οι σημαντικές μεταξύ των πραγματικών χαρακτηριστικών

σχέσεις έχουν αντικατασταθεί με παρόμοιες σχέσεις μεταξύ

μαθηματικών στοιχείων ενώ οι μη-σημαντικές έχουν αγνοηθείraquo

Η τυπική μορφή ενός μαθηματικού μοντέλου (αιτιοκρατικό ή στοχαστικό)

έχει την εξής οργάνωση

΄Ενα ακριβές μοντέλο αναπαριστά ικανοποιητικά όλα τα στοιχεία τα

οποία εκτιμάται ότι είναι απαραίτητα για τη λήψη laquoκάποιαςraquo απόφασης

για την επίλυση του προβλήματος ενώ δεν περιέχει άσχετες με αυτό

λεπτομέρειες ή υποθέσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 6 77

Page 6 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Fseic efarmog c MP

1 Αναγνώριση και διατύπωση του προβλήματος

2 Ανάπτυξη ενός μαθηματικού προτύπου (μοντέλου)

3 Επίλυση του μοντέλου

Pollegravec egravetoimec teqnikegravec (Software Excel-Solver Win QSB Lindo)WinQSB wwwioniogrsimdgsWinQSBzip (39 MB) LINDO wwwioniogrsimdgsLindorar (99 MB)

Begraveltistec lOcircseic Paradektegravec lOcircseicAnlush euaisjhsETHac

4 Εφαρμογή και αξιοποίηση της λύσης

Uper-aplousteOcircseicParal yeicLjoc ektETHmhsh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 7 77

Page 7 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Paragwg

Προγραμματισμός παραγωγής

Προγραμματισμός εργατικού δυναμικού

Επιλογή τεχνολογίας και εξοπλισμού

Anjrcedilpino dunamikigrave

Αξιολόγησηεπιλογή προσωπικού

Επιλογή επιμορφωτικών προγραμμάτων

DETHktua metaforegravec efodiasmigravec

Προγραμματισμός διανομής προϊόντων

Επιλογή μέσου μεταφοράς

Επιλογή τόπου εγκατάστασης

Επιλογή προμηθευτών

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 8 77

Page 8 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Perioqegravec kai ParadeETHgmata Efarmog c

Qrhmatooikonomik

Αξιολόγηση επενδύσεων

Διαχείριση χαρτοφυλακίου

Marketing

Πωλήσεις

Σχεδιασμός νέων προϊόντων

Προσδιορισμός τιμής πώλησης

Επιλογή δικτύου υποκαταστημάτων

Αξιολόγηση πωλητών δικτών διανομής

Προγραμματισμός διαφημιστικής εκστρατείας

Orgnwsh DioETHkhsh

Καθορισμός περιοχών ευθύνης

Ανασχεδιασμός μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 9 77

Page 9 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiadikasETHa l yhc apofsewn

1 Προετοιμασία

Anagncedilrish kai saf prosdiorismigrave tou probl matocAparETHjmhsh efiktcediln (enallaktikcediln) lOcircsewnKajorismigrave krithrETHwn axioligraveghs c

2 Ανάλυση

Axioligraveghsh twn efiktcediln lOcircsewn me bsh ta krit ria kaiEpilog begraveltisthc lOcircshc (= l yh apigravefashc)

3 Αξιολόγηση

Efarmog thc begraveltisthc lOcircshc kaiAxioligraveghsh twn apotelesmtwn thc

Η διατύπωση ενός μαθηματικού bullοντέλου που αναπαριστά ικανοποιητικά

όλες τις πτυχές του προβλήματος είναι ο μοναδικός επιστημονικά παραδεκτός

τρόπος επίτευξης της ζητούμενης ποσοτικοποίησης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 10 77

Page 10 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Stigraveqoc

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 11 77

Page 11 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (1)

Σειρά διαδοχικών βημάτων με τελικό στόχο τη διατύπωση ενός ποσοτικού

προτύπου που να αναπαριστά το πραγματικό σύστημα

Αναγνώριση του προβλήματος και συλλογή των δεδομένων

Κατασκευή του σχετικού μοντέλου

Επίλυση του προτεινόμενου μοντέλου

Εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

Αναλυτικότερα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 14 77

Page 12 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (2)

Orismigravec tou probl matoc

Στη φάση αυτή προσδιορίζονται

οι σημαντικές συνιστώσες του προβλήματος

οι επιθυμητοί στόχοι

οι περιορισμοί που επιβάλλονται από τη λειτουργία του

συγκεντρώνονται τα απαραίτητα για την ποσοτικοποίηση των στόχων και

περιορισμών δεδομένα και

γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 15 77

Page 13 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (3)

H anptuxh tou montegravelou

Στοχεύει στη μετατροπή όλων των βασικών συνιστωσών του σε μαθηματικές

καιή λογικές σχέσεις

Η τακτική εδώ είναι να αγνοηθούν (αρχικά) οι λειτουργικές λεπτομέρειες

του μοντέλου (μαύρο κουτί) και να δωθεί έμφαση στον προσδιορισμό της

εισόδου και της εξόδου από αυτό

Ως είσοδος καταγράφονται οι παράμετροι οι μεταβλητές απόφασης

και οι περιορισμοί τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιούν

Ως έξοδος το κριτήριο αξιολόγησης Η μαθηματική αναπαράσταση του

αποτελεί συνάρτηση των μεταβλητών απόφασης με τη

βελτιστοποίησή του να αποτελεί τον προς επίτευξη στόχο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 16 77

Page 14 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (4)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 17 77

Page 15 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (5)

Οι τιμές των μεταβλητών απόφασης αντιπροσωπεύουν την ποσοτική

έκφραση της απόφασης που πρέπει να ληφθεί

Κατά συνέπεια αντικείμενο της ζητούμενης απόφασης είναι ο καθορισμός

των τιμών οι οποίες βελτιστοποιούν (maximize ή minimize) την

αντικειμενική συνάρτηση

Οι Παράμετροι είναι μετρήσιμα στοιχεία των οποίων οι τιμές

παραμένουν (γνωστές) σταθερές καθοριζόμενες από εξωγενείς ως προς

το εξεταζόμενο πρόβλημα παράγοντες

Ο στόχος που ορίστηκε πρέπει να επιτευχθεί κάτω από τις συνθήκες

λειτουργίας του συστήματος οι οποίες προφανώς επιβάλλουν

περιορισμούς στις τιμές που μπορούν να αποδοθούν στις μεταβλητές

απόφασης

Ανάλογα η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αποτελεί το κριτήριο

με το οποίο μια απόφαση χαρακτηρίζεται καλύτερη ή χειρότερη από

κάποια άλλη

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 18 77

Page 16 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

DiatOcircpwsh MajhmatikoOcirc Montegravelou (6)

Μετά γίνεται προσπάθεια να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση του δηλ

na prosdioristoOcircn ekeETHnec oi timegravec twn metablhtcediln apigravefashc oi opoETHecikanopoicedilntac touc leitourgikoOcircc periorismoOcircc tou sust matoc jabeltistopoi soun to krit rio epETHdoshc

Η επίλυση τέτοιων μοντέλων αποτελεί ίσως το ευκολότερο μέρος της όλης

διαδικασίας μια και γίνεται με τη χρήση τεκμηριωμένων αλγορίθμων και

κατάλληλο λογισμικό(Excel-Solver WinQSB Lindo)

Η λύση πρέπει πάντοτε να συνοδεύεται από ανάλυση ευαισθησίας

(sensitivity analysis) εντοπίζοντας τις παραμέτρους του προβλήματος που

είναι κρίσιμες για τη λύση (μεταβολή των τιμών τους συνεπάγεται και

μεταβολή της λύσης)

Με την εφαρμογή και αξιολόγηση της προτεινόμενης λύσης

επιχειρείται να ελεγχθεί προσεκτικά η λύση για να διαπιστωθεί αν οι

τιμές της έχουν νόημα και μπορούν να εφαρμοστούν

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 19 77

Page 17 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 20 77

Page 18 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Teqnikegravec Posotik c Anlushc

Βελτιστοποίηση

Γραμμικός προγραμματισμός (linear programming)

Orismigravec kai orologETHaMegravejodoc SimplexDuikigrave prigraveblhma (dual problem)Anlush euaisjhsETHac

Ακέραιος - μεικτός προγραμματισμός (integer - mixed integerprogramming)

Μη γραμμικός προγραμματισμός

Ειδικά προβλήματα

Prigraveblhma metaforc (transportation problem)Prigraveblhma anjeshc (assignment problem)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 21 77

Page 19 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Ti eETHnai o Grammikigravec Programmatismigravec

Είναι τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής

των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιστικών δραστηριοτήτων

Ως ανταγωνιστικές δραστηριότητες νοούνται εκείνες που

ανταγωνίζονται μεταξύ τους στη κατανάλωση των διαθέσιμων πόρων

mporeETH na eETHnai diaforetik ependutik sqegravedia pou epizhtoOcircnqrhmatodigravethshdiaforetik proethigraventa pou pargontai apigrave diajegravesimec prcediltec Ocirclecdiaforetikegravec diadromegravec pou mporeETH na akolouj soun proethigraventa poudiakinoOcircntai se proorismoOcircc klp

Η λύση ενός προβλήματος επιτυγχάνει τη βελτιστοποίηση

(μεγιστοποίηση ελαχιστοποίηση) μιας συνάρτησης που δηλώνει κέρδος

κόστος παραγωγής μερίδια αγοράς πωλήσεις προϊόντων κλπ

Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και

περιορισμούς για κάθε πρόβλημα πχ διαθέσιμοι πόροι μιας επιχείρησης

(εργασία κόστος πρώτες ύλες δυναμικότητα του εξοπλισμού διαθέσιμα

κεφάλαια κανόνες ζήτησης προϊόντων κανονισμοί χρηματοδότησης κλπ)

Η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση καθώς και οι συνθήκες και οι

περιορισμοί εκφράζονται με γραμμικές σχέσεις (δεν υπάρχουν γινόμενα

και δυνάμεις μεταβλητών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 22 77

Page 20 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

To prigraveblhma metaforc

Εύρεση του συντομότερου οικονομικότερου τρόπου για τη μεταφορά αγαθών

μεταξύ δικτύου παραγωγικών μονάδων αποθηκών σημείων πώλησης κλπ

To prigraveblhma paragwg c proethigraventwn

Προσδιορίζει τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε προϊόν ώστε

να επιτευχθεί στόχος μεγιστοποίησης κέρδους ή ελαχιστοποίησης χρόνου

παραγωγής υπο συγκεκριμένες προϋποθέσεις

To prigraveblhma meETHxhc prcediltwn ulcediln

Αναζητούνται οι ποσότητες πρώτων υλών για τη παραγωγή προϊόντων ώστε

να μεγιστοποιείται το κέρδος ο αριθμός των παραγομένων προϊόντων κλπ

όταν υπάρχουν περιορισμένες ποσότητες πρώτων υλών και συγκεκριμένη

αναλογία μείξης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 23 77

Page 21 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Tupik probl mata pou epilOcircontai me GP

Epilog qartofulakETHou ependutikcediln sqedETHwn

Με δεδομένο το κεφάλαιο ζητείται η βέλτιστη κατανομή χρημάτων σε

επενδυτικά σχέδια για τη μεγιστοποίηση της απόδοσης του κεφαλαίου

Programmatismigravec anjrcedilpinou dunamikoOcirc

Ζητείται να βρεθεί η άριστη κατανομή προσωπικού (βάρδιες θέσεις εργασίας)

κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς και συνθήκες πχ κατανομή φόρτου

εργασίας απαιτούμενες δεξιότητες αναθέση κλπ

Allec parigravemoiec efarmogegravec

Κατάρτιση διαφημιστικών σχεδίων

Επιλογή τόπου εγκατάστασης νέων καταστημάτων

Αξιολόγηση παραγωγικών μονάδων

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 24 77

Page 22 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

O trigravepoc anptuxhc enigravec montegravelou (modelling)

1 Καθορίζουμε τις μεταβλητές (ελεγχόμενες μη ελεγχόμενες) που

εκφράζουν τις άγνωστες προς εκτίμηση ποσότητες αξίες κλπ του

προβλήματος

Metablhtegravec apigravefashc (decision variables)

2 Περιγράφουμε το στόχο και τα κριτήρια επιλογής της βέλτιστης λύσης

Antikeimenik Sunrthsh (objective function)

3 Περιγράφουμε τους περιορισμούς και τις υποθέσεις του προβλήματος με

μαθηματικές εκφράσεις

PeriorismoETH (constraints)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 25 77

Page 23 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma To prigraveblhma

Η βιομηχανία γάλακτος ΑΛΦΑ επιθυμεί να εισάγει στην αγορά δύο νέα

προϊόντα (Α) ένα παγωτό κρέμας και (Β) ένα παγωτό σοκολάτας

Για τη παραγωγή τους η βιομηχανία δεσμεύει πόρους (πρώτες ύλες

εργατικό δυναμικό εξοπλισμό παστερίωσης και ψύξης)

Το τμήμα Marketing προβλέπει τη ζήτηση για τα προϊόντα Α και Β και

προσδιορίζει το αναμενόμενο κέρδος ανά μονάδα προϊόντος

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi

posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

Ζητείται να προσδιοριστεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής

(συνδυασμός μονάδων από τα προϊόντα Α και Β που θα παραχθούν)

ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 26 77

Page 24 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 1 Poiec eETHnai oi metablhtegravec apigravefashc

Τα στοιχεία που καθορίζουν το κριτήριο βελτιστοποίησης (αναμενόμενο

κέρδος από την πώληση των προϊόντων)

x1 =αριθμός μονάδων από το προϊόν Α που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

x2 = αριθμός μονάδων από το προϊόν Β που πρέπει να παραχθούν σε μία

εβδομάδα

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 27 77

Page 25 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

B ma 2 Poia eETHnai h antikeimenik sunrthsh

Συνολικό κέρδος ανα εβδομάδα = Κέρδος από το προϊόν Α + Κέρδος από

το προϊόν Β

(αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Α) παραγόμενη ποσότητα του Α

+ (αναμενόμενο κέρδος ανα μονάδα του Β) παραγόμενη ποσότητα του

Β

z = 1 5x1 + 2x2

Είδος βελτιστοποίησης μεγιστοποίηση

Αντικειμενική συνάρτηση max z = 1 5x1 + 2x2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 28 77

Page 26 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma MontelopoETHhsh

Pigraveroi proc qr sh Proethigraven A Proethigraven B Diaj posigravethta

Gla (se lETHtra) 1 1 550ErgasETHa (se cedilrec) 1 3 1000

Exoplismigravec (se lept) 2 5 2000Z thsh (se mondec) 400 aperiigraveristh

Kegraverdoc an monda 15 2

Oi posigravethtec kai z thsh anafegraverontai se mia ebdomda

B ma 3 Poioi eETHnai oi periorismoETH1 Η συνολική παραγωγή του γάλακτος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 550

λίτρα (διαθέσιμη ποσότητα) x1 + x2 le 5502 Η συνολική απαιτούμενη εργασία le διαθέσιΜη εργασία (1000 ώρες)

x1 + 3x2 le 10003 Η συνολική επεξεργασία le διαθεσιμότητα εξοπλισμού (2000 λεπτά)

2x1 + 5x2 le 20004 Η συνολική ζήτηση για το προϊόν Α le 400 μονάδες x1 le 4005 Οι τιμές των x1 x2 επειδή εκφράζουν συνολική παραγόμενη ποσότητα θα

πρέπει να είναι θετικές x1 x2 ge 0 (περιορισμοί μη αρνητικότητας)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 29 77

Page 27 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma H telik morf tou montegravelou

Πόροι προς χρήση Προϊόν Α Προϊόν Β Διαθ ποσότητα

Γάλα (σε λίτρα) 1 1 550

Εργασία (σε ώρες) 1 3 1000

Εξοπλισμός (σε λεπτά) 2 5 2000

Ζήτηση (σε μονάδες) 400 απεριόριστη

Κέρδος ανά μονάδα 15euro 2euro

Οι ποσότητες και ζήτηση αναφέρονται σε μια εβδομάδα

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

maximize z = 1 5x1 + 2x2 (κέρδος σε ευρώ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + x2 le 550 (γάλα)

x1 + 3x2 le 1000 (εργασία)

2x1 + 5x2 le 2000 (επεξεργασία)

x1 le 400 (ζήτηση)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 30 77

Page 28 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma H lOcircsh tou montegravelou

Διάφοροι συνδυασμοί τιμών των x1 x2 που ικανοποιούν όλους τους

περιορισμούς ονομάζονται εφικτές λύσεις (feasible solutions)

πχ x1 = 300 x2 = 200 Το ζεύγος (x1 x2) = (300 200) αποτελεί σημείο

της εφικτής περιοχής (δισδιάστατου χώρου) Δίνει τιμή αντικειμενικής

συνάρτησης z = 1 5 lowast 300 + 2 lowast 200 = 850 euro Είναι όμως η μεγαλύτερη

δυνατή

Η λύση (x1 x2) = (200 300) δίνει τιμή z = 900 euroαλλά παραβιάζει τον

δεύτερο περιορισμό Η λύση αυτή δεν είναι εφικτή

Η βέλτιστη λύση (optimal solution) είναι (xlowast1 xlowast2) = (325 225) και δίνει

zlowast = 937 5 euro(optimal value)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 31 77

Page 29 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2

Η εταιρεία Α προγραμματίζει μια διαφημιστική εκστρατεία για να

προωθήσει τις πωλήσεις των προϊόντων της Η προβολή θα γίνει από την

τηλεόραση αγοράζοντας διαφημιστικό χρόνο για τη μετάδοση ενός

συγκεκριμένου μηνύματος σε δύο διαφημιστικές ζώνες την πρωινή και τη

βραδινή

Το κόστος προβολής του μηνύματος στην πρωινή ζώνη ανέρχεται σε

1 500 000 ενώ στη βραδινή σε 2 500 000

΄Εχει υπολογιστεί ότι ένα μήνυμα που προβάλλεται το πρωί το βλέπουν

(κατά μέσο όρο) 300 000 γυναίκες και μόνον 50 000 άντρες ενώ ένα

μήνυμα που προβάλλεται στη βραδινή ζώνη το παρακολουθούν κατά μέσο

όρο 200 000 γυναίκες και 250 000 άντρες

Η εταιρεία (για το διάστημα που συμφώνησε να γίνεται η διαφημιστική

καμπάνια) θα ήθελε να δουν τα μηνύματα αυτά τουλάχιστον 15000000

γυναίκες και τουλάχιστον 9 000 000 άντρες Επιθυμητό είναι επίσης οι

προβολές τουλάχιστον 20 διαφημίσεων να γίνουν στη βραδινή ζώνη

Το ερώτημα είναι πόσα μηνύματα θα πρέπει να μπουν σε κάθε ζώνη

ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 32 77

Page 30 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2

H antikeimenik sunrthsh

Το κόστος προκύπτει από την κατανομή των διαφημιστικών μηνυμάτων

στην πρωινή και βραδινή ζώνη Συνεπώς ορίζουμε να είναι

x1 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το πρωί

x2 = τα διαφημιστικά μηνύματα που θα προβληθούν το βράδυ

Ενδιαφερόμαστε επομένως minimize z = 1 500 000x1 + 2 500 000x2

Oi periorismoETH1 τουλάχιστον 15000000 γυναίκες να δουν το μήνυμα

300 000x1 + 200 000x2 ge 15 000 000lArrrArr 03x1 + 02x2 ge 152 τουλάχιστον 9000000 άντρες να δουν το μήνυμα

50 000x1 + 250 000x2 ge 9 000 000lArrrArr 005x1 + 025x2 ge 93 τουλάχιστον 20 μηνύματα να γίνουν στη βραδινή ζώνη x2 ge 204 ΄Εχουμε επιπλέον και τον (λογικό) περιορισμό της μη αρνητικότητας των

μεταβλητών x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 33 77

Page 31 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2

Montegravelo grammikoOcirc programmatismoOcirc

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

EETHnai egravena prigraveblhma GrammikoOcirc ProgrammatismoOcirc

ο αντικειμενικός στόχος είναι μια γραμμική συνάρτηση των

μεταβλητών απόφασης

οι περιορισμοί είναι ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων των

μεταβλητών απόφασης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 34 77

Page 32 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2 H lOcircsh tou montegravelou

minimize z = 1 5x1 + 2 5x2 (συνολικό κόστος)

κάτω από τους περιορισμούς

03x1 + 02x2 ge 15 (τηλεθέαση σε γυναίκες)

005x1 + 025x2 ge 9 (τηλεθέαση σε άνδρες)

x2 ge 20 (βραδινή ζώνη)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 35 77

Page 33 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Askhsh Ti eETHnai swstigrave kai ti ljoc

1 ΄Ολοι οι περιορισμοί πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Οι

περιορισμοί εκφράζουν τις συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται

Τέτοιες συνθήκες μπορούν να υπάρχουν αρκετές και να αναφέρονται σε

διαφορετικά μεγέθη επομένως δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

2 ΄Ολοι οι όροι κάθε περιορισμού πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες Αν όλοι οι όροι κάποιου περιορισμού δεν εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες θα προσθέτουμε ή θα συγκρίνουμε ανόμοια μεγέθη (πχ ώρες με

ημέρες) και ο περιορισμός δε θα είναι σωστός (ΣΩΣΤΟ)

3 ΄Ολες οι μεταβλητές πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες μονάδεςΟι

μεταβλητές αναφέρονται στις αποφάσεις που πρέπει να πάρουμε για τα

μεγέθη που πρέπει να προσδιορίσουμε Μπορεί να υπάρχουν διάφορα

τέτοια μεγέθη τα οποία δεν είναι απαραίτητο να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες (ΛΑΘΟΣ)

4 Οι όροι της αντικειμενικής συνάρτησης πρέπει να εκφράζονται στις

ίδιες μονάδες΄Οπως και όλοι οι όροι κάθε περιορισμού έτσι και οι όροι

της αντικειμενικής συνάρ- τησης πρέπει να εκφράζονται στις ίδιες

μονάδες για να μην υπάρχει ασυμβατότητα (ΣΩΣΤΟ)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 36 77

Page 34 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grammikigravec Programmatismigravec SOcircnoyh

Ti eETHnai

Ο ΓΠ είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την

προσέγγιση του προβλήματος της κατανομής των περιορισμένων πόρων

(μέσων) ενός συστήματος σε εναλλακτικές και ανταγωνιστικές μεταξύ τους

δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο

Basik stoiqeETHa

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων (μεταβλητές

απόφασης)

Ανεπάρκεια πόρων (περιορισμοί)

΄Ολες οι μαθηματικές σχέσεις είναι γραμμικές

Προγραμματισμός = Σχεδίαση

Εντοπισμός του βέλτιστου σχεδίου = άριστο πρόγραμμα δράσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 37 77

Page 35 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

OrismoETH

Orismigravec 1 (grammik sunrthsh)

Μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών f Rn rarr R είναι γραμμική αν και

μόνο αν για κάποιο σύνολο πραγματικών σταθερών c1 c2 cn ισχύει

f(x1 x2 xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn

Orismigravec 2

Ενα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρακτηρίζεται σαν πρόβλημα γραμμικού

προγραμματισμού (πγπ) όταν

1 Αφορά την μεγιστοποίηση (ή ελαχιστοποίηση) μιας γραμμικής

συνάρτησης των αγνώστων (μεταβλητών) Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται

αντικειμενική συνάρτηση

2 Οι τιμές των αγνώστων (μεταβλητών) ικανοποιούν ένα σύνολο

περιορισμών Κάθε περιορισμός πρέπει να είναι μια γραμμική εξίσωση ή

ανίσωση

3 Κάθε μεταβλητή xj είναι μη αρνητική (xj ge 0) ή δεν έχει περιορισμό στο

πρόσημο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 38 77

Page 36 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

OrismoETH

Orismigravec 3

Κάθε συνδυασμός τιμών (x1 x2 xn) των μεταβλητών απόφασης ενός

πγπ ονομάζεται λύση του προβλήματος

Orismigravec 4

Το υποσύνολο F του Rnπου σχηματίζεται από τα σημεία-λύσεις

x = (x1 x2 xn) που ικανοποιούν όλους τους περιορισμούς ενός πγπ

ονομάζεται εφικτή περιοχή (feasible region) του πγπ τα δε σημεία xεφικτές λύσεις

Μια λύση που παραβιάζει τουλάχιστον έναν από τους περιορισμούς

ονομάζεται μη-εφικτή λύση και δεν είναι σημείο της εφικτής περιοχής του

πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 39 77

Page 37 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

OrismoETH

Orismigravec 5

Σε ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης άριστη ή βέλτιστη λύση ονομάζεται κάθε

εφικτή λύση η οποία μεγιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση

xlowast isin F f(xlowast) ge f(x) forallx isin F

΄Ομοια σrsquo ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης θα είχαμε

xlowast isin F f(xlowast) le f(x) forallx isin F

Parat rhsh

Τα πιο πολλά πγπ έχουν μόνο μια άριστη λύση Εντούτις υπάρχουν πγπ

που δεν έχουν άριστη λύση και άλλα που έχουν άπειρες λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 40 77

Page 38 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush pgp

Οποιοδήποτε πγπ με δύο μόνο μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά

Ονομάζουμε τις μεταβλητές x1 x2 και κατασκευάζουμε ένα σύστημα αξόνων

Sth sunegraveqeia ja pregravepei diadoqik na1 σχεδιάσουμε στο πρώτο τεταρτημόριο (θετικοί ημιάξονες) τις ευθείες

όλων των περιορισμών του προβλήματος

2 καθορίσουμε την εφικτή περιοχή

3 σχεδιάσουμε για αυθαίρετες τιμές του z τις αντίστοιχες ευθείες (ευθείες

σταθερού κέρδους)

4 εντοπίσουμε την κατεύθυνση αύξησης (ή μείωσης σε προβλήματα

ελαχιστοποίησης) της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης

5 εντοπίσουμε το σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία της αντικειμενικής

συνάρτησης πριν εγκαταλείψει την εφικτή περιοχή

6 βρούμε τις συνιστώσες αυτού του σημείου (άριστη λύση)

7 υπολογίσουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z στο σημείο

αυτό (μέγιστηελάχιστη τιμή)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 41 77

Page 39 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pou brETHsketai h risth lOcircsh

Jecedilrhma

Η άριστη λύση είναι μια από τις κορυφές της εφικτής περιοχής

(αποδεικνύεται και μαθηματικά)

EETHnai exairetik shmantikigrave diigraveti

με τον τρόπο αυτό περιορίζεται δραστικά το πλήθος των εφικτών

λύσεων που πρέπει να διερευνήσουμε για τον εντοπισμό της

αρκεί να υπολογίσουμε τις τιμές που παίρνει η αντικειμενική συνάρτηση

μόνο για τις κορυφές της εφικτής περιοχής (που είναι πεπερασμένου

πλήθους)

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται ως δεσμευτικός ανν η άριστη

λύση τον καθιστά ισότητα

Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 42 77

Page 40 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma

Προσδιορίστε τους τόνους πλαστικού χρώματος x1 και υδροχρώματος x2 που

πρέπει να παραχθούν ημερήσια κατά τρόπο ώστε

maximize z = 300x1 + 200x2 (συνολικό κέρδος)

κάτω από τους περιορισμούς

x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 43 77

Page 41 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 44 77

Page 42 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 45 77

Page 43 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 46 77

Page 44 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 47 77

Page 45 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 48 77

Page 46 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (6)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1 + 2x2 le 62x1 + x2 le 8minusx1 + x2 le 1

x2 le 2

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 49 77

Page 47 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Grafik EpETHlush paradeETHgmatoc (7)

Αν και υπάρχουν άπειρες εφικτές λύσεις μπορούμε να βρούμε την άριστη

λύση παρατηρώντας την κατεύθυνση προς την οποία η αντικειμενική

συνάρτηση z = 300x1 + 200x2 μεγαλώνει

Ευθεία γ1 300x1 + 200x2 = 600Παρατηρούμε ότι για αυξανόμενες τιμές του z = 600 900 οιαντίστοιχες ευθείες γ1 γ2 είναι παράλληλες και συνεχώς

απομακρυνόμενες από την τομή των αξόνων

Πάνω σε κάθε μια από αυτές τις ευθείες υπάρχουν άπειρες εφικτές

λύσεις που δίνουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση (ευθείες

σταθερού κέρδους)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 50 77

Page 48 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2

Η μικρή εταιρεία ξύλινων παιχνιδιών laquoΞΥΛΑΞraquo παράγει αποκλειστικά

στρατιωτάκια και τρενάκια

΄Ενα στρατιωτάκι για να κατασκευαστεί χρειάζεται μία ώρα ξυλουργική

εργασία και δύο ώρες βάψιμο με κόστος 1000 δρχ σε πρώτες ύλες και

1400 δρχ σε εργατικά

Αντίστοιχα για ένα τρενάκι χρειάζονται μία ώρα ξυλουργική εργασία

και μία ώρα βάψιμο ενώ το κόστος ανέρχεται σε 900 δρχ για πρώτες

ύλες και 1000 δρχ για εργατικά

Μια πρόχειρη οικονομοτεχνική μελέτη που έγινε στην laquoΞΥΛΑΞraquo έδειξε ότι

εβδομαδιαία υπάρχουν διαθέσιμες 80 ώρες ξυλουργικής εργασίας και

100 ώρες για βάψιμο ενώ η αγορά μπορεί να απορροφήσει όσα

τρενάκια κι αν παρασκευαστούν αλλά μόνο 45 στρατιωτάκια

Αν τα έσοδα από κάθε στρατιωτάκι ανέρχονται στις 2700 δρχ κι από

κάθε τρενάκι στις 2100 δρχ προσδιορίστε την εβδομαδιαία παραγωγή η

οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της laquoΞΥΛΑΞraquo

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 51 77

Page 49 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2

Metablhtegravec

x1 ο αριθμός των ξύλινων στρατιωτών που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

x2 ο αριθμός των ξύλινων τρένων που κατασκευάζονται εβδομαδιαία

Antikeimenik sunrthsh

Είναι μάλλον φανερό ότι σε εβδομαδιαία βάση έχουμε

κέρδη = έσοδα minus κόστος πρώτης ύλης minus κόστος εργατικών

Στο πρόβλημα μας είναι

εβδομαδιαία έσοδα = 2700x1 + 2100x2

εβδομαδιαίο κόστος πρώτης ύλης = 1000x1 + 900x2

εβδομαδιαίο κόστος εργατικών = 1400x1 + 1000x2

κι άρα

z = (2700x1+2100x2)minus(1000x1+900x2)minus(1400x1+1000x2) = (300x1+200x2)

Maximize z = (300x1 + 200x2)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 52 77

Page 50 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2

PeriorismoETH

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 2 ώρες βάψιμο για το

ένα τρενάκι 1 ενώ οι διαθέσιμες ώρες την εβδομάδα είναι 100

2x1 + x2 le 100 (ώρες βαψίματος την εβδομάδα)

για να κατασκευαστεί ένα στρατιωτάκι χρειάζεται 1 ώρα ξυλουργικής

εργασίας για το ένα τρενάκι επίσης 1 ώρα ενώ οι διαθέσιμες

εβδομαδιαία ώρες είναι 80

x1 + x2 le 80 (ώρες ξυλουργικής εργασίας την εβδομάδα)

η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερα από 45 στρατιωτάκια

την εβδομάδα

x1 le 45 (εβδομαδιαία ζήτηση της αγοράς σε στρατιωτάκια)

φυσικά έχουμε και

x1 x2 ge 0 (δεν είναι δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού παιχνιδιών)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 53 77

Page 51 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 54 77

Page 52 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 55 77

Page 53 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 56 77

Page 54 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 57 77

Page 55 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 2 Grafik epETHlush (5)

maximize z = 300x1 + 200x2 (sunolikigrave kegraverdoc)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

2x1 + x2 le 100 (diajegravesimec cedilrec bayETHmatoc)x1 + x2 le 80 (diajegravesimec cedilrec xulourgik c ergasETHac)x1 le 45 (aporrigravefhsh agorc se stratiwtkia)

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 58 77

Page 56 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Orismigravec

΄Ενας περιορισμός πγπ χαρακτηρίζεται σαν δεσμευτικός ανν η άριστη λύση

τον καθιστά ισότητα Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται χαλαρός

Pardeigma thc XULAX (xlowast1 x

lowast2) = (20 60)

Οι περιορισμοί

2x1 + x2 le 100x1 + x2 le 80είναι δεσμευτικοί

Ενώ ο περιορμός x1 le 45 είναι χαλαρός

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 59 77

Page 57 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Desmeutikigravec qalarigravec periorismigravec

Gewmetrik

΄Οταν ένας περιορισμός είναι χαλαρός δεν ανήκει σrsquoαυτούς που ορίζουν την

κορυφή της άριστης λύσης του πγπ

Η άριστη λύση Δ(2060) βρίσκεται

στην τομή των ευθειών (3) και (4)

που είναι δεσμευτικοί

Ενώ υπάρχει δυνατότητα

απορρόφησης από την αγορά 45

ξύλινων στρατιωτών (περιορισμός

(5) ) κατασκευάζονται τελικά

μόνο 20

Η ποσότητα των 25 ξύλινων

στρατιωτών που υπολείπεται

ονομάζεται περιθώρια τιμή του

5ου περιορισμού

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 60 77

Page 58 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 3

Μια βιομηχανία αυτοκινήτων κατασκευάζει φορτηγά και επιβατικά

αυτοκίνητα

Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια αυτό της

συναρμολόγησης και εκείνο της βαφής

Μια σχετική μελέτη έδειξε ότι αν το τμήμα συναρμολόγησης κατασκεύαζε

αποκλειστικά φορτηγά θα παράγονταν ημερήσια 50 αυτοκίνητα ενώ αν

στους φούρνους βαφής έβαφαν αποκλειστικά φορτηγά θα βάφονταν

ημερήσια 40 αυτοκίνητα

Οι αριθμοί για τα επιβατικά αυτοκίνητα είναι αντίστοιχα 50 (κατασκευή)

και 60 (βαφή)

Αν το κέρδος από κάθε φορτηγό ανέρχεται στο ποσό των 3000000 δρχ

και από κάθε επιβατικό σε 2000000 δρχ προσδιορίστε την ημερήσια

παραγωγή η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος της αυτοκινητοβιομηχανίας

LOcircsh

x1 ο αριθμός των φορτηγών που παράγονται ημερήσια

x2 ο αριθμός των επιβατικών αυτοκινήτων που παράγονται ημερήσια

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 61 77

Page 59 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Antikeimenik sunrthsh

z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

PeriorismoETH

Οι περιορισμοί του προβλήματος αφορούν τις (ημερήσιες) δυνατότητες των

γραμμών παραγωγής και βαφής της αυτοκινητοβιομηχανίας

1 Από τα δεδομένα προκύπτει ότι αφού σε μια ημέρα κατασκευάζονται 50

φορτηγά για τα x1 που θα παραχθούν απαιτείται x150 της ημέρας

Ομοίως απαιτείται x250 της ημέρας για την παραγωγή των x2

επιβατικών αυτοκινήτων Επομένως θα πρέπει

x150 + x250 le 1 ημέρας (γραμμή παραγωγής)

2 Αναφορικά με τη βαφή τα δεδομένα μας οδηγούν να συμπεράνουμε ότι

χρειάζεται x140 ημέρας για τη βαφή των x1 φορτηγών και x260 ημέρας

για τη βαφή των x2 επιβατικών αυτοκινήτων Αρα

x140 + x260 le 1 ημέρας (βαφή)

3 Τέλος αφού δεν είναι προφανώς δυνατή η κατασκευή αρνητικού αριθμού

αυτοκινήτων θα είναι και

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 62 77

Page 60 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc

x1

50+

x2

50le 1 (gramm paragwg c)

x1

40+

x2

60le 1 (baf )

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 63 77

Page 61 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 3 Grafik epETHlush

Για την εύρεση της άριστης λύσης κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία

γραμμή γ1 που διέρχεται από το σημείο (20 0) γ1 3x1 + 2x2 = 60Οποιαδήποτε παράλληλη μετακίνηση της ευθείας γ1 σε κατεύθυνση

βορειο-ανατολική μεγαλώνει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης

Οποιοδήποτε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ μπορεί να

χρησιμοποιηθεί σαν άριστη λύση και το πρόβλημα έχει άπειρες άριστες

λύσεις

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 64 77

Page 62 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 4

Υποθέτοντας ότι οι αντιπρόσωποι της αυτοκινητοβιομηχανίας του

παραδείγματος 3 απαιτούν την ημερήσια παράδοση τουλάχιστον 30

φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων πως διαμορφώνεται η πολιτική

παραγωγής

Το πγπ που ακολουθεί περιγράφει τη νέα κατάσταση του συστήματος

maximize z = 3x1 + 2x2 (συνολικό κέρδος σε εκατ)

κάτω από τους περιορισμούς

x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 65 77

Page 63 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (1)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 66 77

Page 64 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (2)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 67 77

Page 65 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (3)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 68 77

Page 66 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (4)

maximize z = 3x1 + 2x2 (sunolikigrave kegraverdoc se ekat)

ktw apigrave touc periorismoOcircc x1

50+

x2

50le 1

x1

40+

x2

60le 1

x1 ge 30x2 ge 20

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 69 77

Page 67 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 4 Grafik epETHlush (5)

Η εφικτή περιοχή δηλαδή είναι το κενό σύνολο (F = empty) και το πγπ που

παριστά το ανωτέρω σχήμα δεν έχει λύση (αδύνατο πγπ)

Προβλήματα αυτού του είδους προκύπτουν όταν οι περιορισμοί του

μοντέλου είναι ιδιαίτερα περιοριστικοί

Εδώ για παράδειγμα η γραμμή της βαφής δεν μπορεί να ανταπεξέλθει

στην απαίτηση των 30 φορτηγών και 20 επιβατικών αυτοκινήτων

3040 + 2060 = 260240 (με σταθερά του δεξιού μέλους 1)

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 70 77

Page 68 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 5

Σ΄ ένα ιδιωτικό κυνοτροφείο η τροφή που δίνεται στα σκυλιά που φιλοξενούνται

εκεί παρασκευάζεται από τη μίξη δύο πολύ γνωστών προϊόντων του εμπορίου

Προϊόν Κόστοςκιλό Πρωτεΐνες () Λίπος ()

Α 600 30 15

Β 500 20 30

Υποθέτοντας ότι στην ημερήσια τροφή των σκυλιών πρέπει να υπάρχουν

τουλάχιστον 15 κιλά πρωτεΐνες και τουλάχιστον 09 κιλά λίπους

υποδείξτε την πολιτική αγοράς των προϊόντων Α και Β η οποία ελαχιστοποιεί

το κόστος του κυνοτροφείου

minimize z = 600x1 + 500x2

κάτω από τους περιορισμούς

030x1 + 020x2 ge 15015x1 + 030x2 ge 09

x1 x2 ge 0

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 71 77

Page 69 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Η εφικτή περιοχή του προβλήματος

ορίζεται από τα σημεία Α(60)

Β(45075) Γ(0 75) και τους θετικούς

ημιάξονες είναι δε μη φραγμένη

Σrsquo ένα πγπ με μη φραγμένη εφικτή

περιοχή δεν δημιουργείται κατrsquo ανάγκη

πρόβλημα στον εντοπισμό της άριστης

λύσης

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 72 77

Page 70 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Pardeigma 5 Grafik epETHlush

Για να βρούμε την άριστη λύση

κατασκευάζουμε αρχικά την ευθεία γραμμή

γ1 που διέρχεται από το σημείο (5 5)γ1 600x1 + 500x2 = 5500

Αφού έχουμε πρόβλημα ελαχιστοποίησης

μετακινούμε την ευθεία γ1 παράλληλα έτσι

ώστε να είναι σε όσο το δυνατόν μικρότερη

απόσταση από την αρχή των αξόνων αλλά

συγχρόνως να έχει ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με την εφικτή περιοχή (ευθείες

σταθερού κόστους)

mh fragmegraveno pgp dhl z rarr plusmninfinΗ περίπτωση ενός μη φραγμένου πγπ στην οποία συνυπάρχει εκ των

πραγμάτων και εκείνη της μη φραγμένης εφικτής περιοχής προκαλείται από

σφάλμα στη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου Πχ δεν είναι δυνατό αν η

αντικειμενική συνάρτηση εκφράζει κέρδη αυτά να τείνουν στο άπειρο

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 73 77

Page 71 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Askhsh 1

Mia bioteqnETHa paignidicediln diajegravetei se panell nia bsh dOcirco diaforetik eETHdhneropETHstolwn to Space Ray kai to Super X-Ray Ta dOcirco paignETHdia apodeETHqthkanidiaETHtera dhmofil metaxOcirc twn paidicediln kurETHwc gia paignETHdia sth jlassa cedilste namhn parathreETHtai kanegravena apolOcirctwc prigraveblhma sthn aporrofhtikigravethta touc apigrave thnagor igravesa paignETHdia kataskeuzontai diatETHjentai amegraveswc Kai ta dOcirco paignETHdiagETHnontai apokleistik apigrave kpoio eidikigrave meETHgma plastikoOcirc kai pwloOcircntai sesuskeuasETHec twn 12 Ston pETHnaka pou akoloujeETH dETHnontai oi kataskeuastikegravecapait seic twn dOcirco proethigraventwn se prcediltec Ocirclec

MeETHgma PlastikoOcirc Qrigravenoc Paragwg cProethigraven (Kgr an 12-da) (min an 12-da)

Space Ray 2 3

Super X-Ray 1 4

Se hmer sia bsh h bioteqnETHa mporeETH na egraveqei 1200 Kgr apigrave to plastikigrave meETHgmakai 40 anjrwpocedilrec gia thn kataskeuastik diadikasETHa To tm ma procediljhshcpwl sewn thc bioteqnETHac sthn prospjeia dhmiourgETHac suneqoOcircc z thshc twn dOcircoproethigraventwn pou knei egraveqei epibllei dOcirco aploOcircc kanigravenec(i) h sunolik hmer sia paragwg touc na mhn xepern tic 800 12-dec(ii) h hmer sia paragwg tou pio kerdofigraverou Space Ray na mhn xepern tic 45012-dec ekeETHnhc tou Super X-Ray An to kegraverdoc apigrave thn kje 12-da Space Ray kaiSuper X-Ray anegraverqetai antETHstoiqa stic 8 kai 5 qrhmatikegravec mondec upodeETHxte egravenapgp gia thn eOcircresh thc gramm c paragwg c h opoETHa megistopoieETH ta sunolikhmer sia kegraverdh

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 74 77

Page 72 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Askhsh 1

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 75 77

Page 73 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Askhsh 2

O Baggegravelhc egravenac tritoet c foitht c tou IonETHou PanepisthmETHou pisteOcircei igravetidiaskegravedash kai dibasma pregravepei na phgaETHnoun mazETH Gia to ligravego autigrave prospajeETHna kataneETHmei egravena qrigraveno 10 wrcediln thn hmegravera anmesa touc Arqik ektETHmhse igraveti hdiaskegravedash tou prosfegraverei dOcirco foregravec perissigraveterh qar apigrave igraveti to dibasmaParigravela aut epijumeETH na diabzei toulqiston igravesh cedilra diaskedzei Sthsunegraveqeia br ke igraveti gia na knei igravelh th doulei pou tou anajegravetoun den mporeETH nadiaskedzei perissigravetero apigrave 4 cedilrec thn hmegravera Pigravesec cedilrec thn hmegravera pregravepei nadiabzei kai pigravesec na diaskedzei cedilste na egraveqei th megravegisth dunat qar

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 76 77

Page 74 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75

Askhsh 2

Mjhma 1o (Eisagwg ) Majhmatikigravec Programmatismigravec TrETHth 9 OktwbrETHou 2007 77 77

Page 75 of 75