Bemerkungen zum Energie-Impuls-Tensor der Feldtheorien der Materie

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B e m e r k u n g e n z u m E n e r g i e - I m p u l s - T e n s o r der F e l d t h e o r i e n der Materie .

Von Richard Iskraut in Leipzig.

(Eingegangen am 18. Mai 1942.)

Ein yon B e l i n f a n t e angegebenes Verfahren zur Ermittlung des symmetrischen Energie-Impuls-Tensors wird diskutiert und vereinfaeht unter einer einfaehen Zusatzbedingung. Der Drehimpuls, seine Aufspaltung in Bahn- und Spin- Drehimpuls wird in Yerbindung mil; der Lokalisierung yon Energie und

Impuls behandelt.

1. Einleit~ng. Aus a]lgemeinen physikalisehen Grfinden (Energiesatz und Lorentz-Invarianz) mul~ yon einer Feldtheorie verlang~ werden, dal~ sie einen Energieimpulstensor besitzt. Die Existenz eines solchen ist unter allgemeinen Vorausse~zungen yon versehiedenen Forschern untersueht worden; die Untersuohungen sind durch B e l i n f a n t e 1) zu einem gewissen Abscblul~ ge]ang~. Wenn hierzu nooh einmal das Wort ergriffen wird, so geschieht es, um zwei Punkte welter zu kl~ren. Der yon B e l i n f a n t e angegebene Tensor kann unter einer einfaehen Zusat~bedingung [die im Grunde schon friiher yon H i l b e r t 2) erkannt wurde] sehr vereinfacht werden und erh~lt dann Eigensehaften, die man yon einer physikalischen Theorie fordern mSchte. Die Begriffe Bahn-Drehimpuls und Spin-Drehimpu]s lassen sieh in eindeutiger Weise fes~legen.

Geleitet dutch die Auffassung in der klassischen Mechanik, bei der man die Theorie vollst~indig durch Aufstellung eines Extremal-Prinzips darstellen kann, ist es fiblich geworden, in analoger Weise flit Wellentheorien eine Lagrange-Diehte L an die Spitze zu stellen und aus dem Extremal-Prinzip die gesamte Theorie abzuleiten. ~enne man die die Materieart charakteri- sierenden WellengrSl3en oder Wellenfunktionen und die ersten Ableitungen derselben naeh Oft und Zeit die FeldgrS/3en tier Theorie, so soll die Langrange- Dichte nur von den Fe]dgrS~en abh~ngen. FOr eine vollsti~ndige Theorie wird diese Dich~e nicht explizite yon den Koordinuten, d. h. yon den Raumkoordi- naten und yon der Zei~, abh~ngen. Die ~a~eriegleiehungen oder Feldglei- ehungen erh~lt man dann aus dem Extremal-Prinzip dutch Variation der Wellenfunktionen. Soll die Theorie geladene Materie beschreiben, so mflssen die Wellenfunktionen komplex sein, und der u ergibt sieh aus dem

~) F. J. Be l in fan te , Physioa 6, 887, 1939. _ 2) D. Hi lbe r t , GStt. Naohr., M~th.-phys. !Klasse, 1915, S. 395.

Zeitschrift fiir Physik. Bd, 119. 45

660 Riohard Iskraut,

Extremal~Prinzip dutch Variation nach den elektromagnetisehen Wellen- funktionen (At: elektromagnetisches Potential), welche in L in Verbindung mit den ,,eichinvarianten" Ableitungen d,r materiellen Wellenfunktionen auftreten, da die Ableitungen in L durch die eiohinvarianten Ableitungen zu ersetzen sind, um die Wechselwirkung zwischen Materie und Elek~ro- magnetismus auszudri/eken. Um eine abgesehlossene Theorie zu haben, w~re zu der Lagrange-Dichte der Materie die des Elektromagnetismus hinzuz~'iigen. Die Variation naeh den A~ fiihrt fiir das abgeschlossene System: Materie und Elektromagnetismus auch auf Feldgleichungen, die angeben, wie der Strom yon den materiellen FeldgrSl3en abh~ngt.

Zwecks Vervollst~indigung tier Theorie mfissen noeh Energieimpuls und Drehimpuls definiert werden. Man benStigt hierzu den Energieimpuls- tensor. B e l i n f a n t e 1) hat angegeben, wie man fiir lorentz-invariante Theorien diesen Tensor zu ermitteln hat und gezeigt, dal3 er alle gewiinsehten Eigensehaften hat. Fiir ein abgeschlossenes System mul~ dieser Tensor divergenzfrei sein, was dafiir sorgt, dal] Gesamtenergie-Impuls zeitlieh konstant bleibt. Der Drehimpuls fo]gt unter Benutzung des Tensors naeh dem Sehem~ It, p] (1:: Ort, p: Impuls). Um die Erhal~ung des Drehimpulses zu garantieren, mul~ der Energieimpulstensor symmetrisch sein.. Die Symmetrie ist aueh zu verlangen nach Erfordernissen der allgemeinen Relativit~tstheorie. Es gibt einen Tensor, den sogenann~en kanonischen Energieimpulstensor, dutch den man Gesamtenergieimpuls definiert, dessen Divergenzfreiheit aus dem Extremal-Prinzip ~olgt. Dieser Tensor ist abet im al]gemeinen nieh~ symmetriseh. Es besteht nun die Aufgabe, ihn dutch einen Zusatztensor zu symmetrieren, der abet so geartet sein mul~, dal~ er zum Gesamtenergieimpuls keinen Beitrag liefert.

In den uns bekannten Wellentheorien war es praktisch so, dal3 die Form des kanonischen Tensors sofort zeigte, wie der Zusatztensor auszusehen hatte. H i lbe r t e) hat bei seinem Versueh, Elektromagnetismus als Wirkung yon Gravitation zu erkl~ren, den symmetrischen Tensor vermittelst Variation der Lagrange-Dichte, welehe dureh Variation naeh den Gravitations- potentialen g, ~ verursaeht wird, abgeleitet. Seine Lagrange-Diehte ist eine Funktion der g~, und der elektromagnetischen Potentialen A~ und deren Ableitungen. WeylS) ha~ dieses Yerfahren flit Spinoren angewandt. Er benutzte eine Lagrange-Dichte ohne Massenglied, kann ~omit eine zwei- komponentige Theorie formulieren, und hofft das Masseng]ied durch Gravi-

1) F. I. Bel infante , a. a.O. -- ~) D. Hilber t , a. a. O. -- 3) H. Weyl, ZS. f. Phys. 56, 330, 1929.

Energie-Impuls-Tensor der Feldtheorien der Materie. 661

ration ersetzen zu kSnnen. Diese Veffahren 1) im Rahmen der aHgemeinen Relativit~tstheorie setzen die allgemeine Invarianz der Lagrange-Dichte ~ o r a u s .

Bel in f an t e hat einVerfahren angegeben, um den kanonischen Tensor zu symmetrisieren fiir lorentz-invariante Theorien. Hi lbe r t maeht die Einsehr~nkung in der Ausfiihmng seines Verfahrens, daI~ die Ableitungen der g~, in der Lagrange-Dichte nicht vorkommen. Das bedeutet, dab sieh die :FeldgrSf~en wie ortsgebundene GrSBen transformieren. In seinem FalI fiir Elektromagnetismus, aber im allgemeinen fttr vektorielle Theorien heiBt das insbesondere, dab die Ableitungen der u

nur in der schiefsymmetrischen Form (0 r yJ,.--0~ ~)(0/,---- ..~x0~ vor-

kommen. Das ist in der Tat fiir die uns bekannten vektoriellen Theorien erftillt: Maxwell-Theorie und Yukawa-Proca-Theorie.

Das Bel infantesche Symmetrisierungsverfahren macht keine solehe Einsehriinkung fi/r die Lagrange-Dichte. Im allgemeinen wird daher die Lagrange-Dichte bei der Ubertragung in die allgemeine Relativitiits- theorie die Ableitungen der g~ enthalten. Der symmetrische Tensor wird auch im allgemeinen nicht nut FeldgrSl~en (Wellenfunktionen un4 deren erste Ableitungen) enthal~en, sondern auch Ableitungen der FeldgrSl3en (zweite Ableitungen der Wellenfunktionen). Ist dis Laglange- Dichte phaseninvariant, so sind alle yon ihr abgeleiteten Beziehungen und GrSl~en eich-invarlunt. Fiir die Maxwell-Theorie sind dis FeldgrSl]en A t u n d B~, -- 0~ A~ - - 0 r A~. Sehreibt man den Belinfanteschen symmetrisehen Tensor in Anwesenheit yon Elektromagnetismus und spaltet die eichinvariunten Ableitungen auf in gewShnliche Ableitungen und elektromagnetisches Potential, so folgt im aHgemeinen fiir den symmetrischen Tensor, dal] A~, und O,A,, in den Wechselwirkungsgliedern auftritt. Es treten demnach im allgemeinen Wechselwirkungen der Materie mit dem elektromagnetischen Feld auf, wie wir sie noch nicht kennen.

Setzt man die Einschr~nkung fiir L voraus, dal~ sie nur solche Art yon FeldgrSl~en enth~lt, clie sich wie ortsgebundene GrS~en transformieren (in der allgemeinen :Relativiti~tstheorie die Hilb e r t sche Einschriinkung, dal~ nur die g~ , nicht aber deren Ableitungen vorkommen), so findet man einen sehr einfachen Zusatztensor, der den kanonischen Tensor svmmetrisiert und dNergenzfrei ist. Der symmetrische Tensor enthiilt nut Feldgr51~en

1) Siehe FuSnoten 2 und 3 auf voriger Seite. 45*

662 Richard Iskraut,

und weist die uns bekanntenWeehselwirkungen mi~ dem elektromagnetisehen Feld auf.

Die Drehimpulsdiehte, gebildet vermittelst des symmetrisehen Energie- impulstensors, l~$t sich in zwei Teile zerlegen: in den Teil, der mi~ dem kanonisehen Tensor gebildet wird (Bahn-Drehimpulsdichte) und in den Teil, der mit dem Zusa~ztensor gebildet wird (Spin-Drehimpulsdiehte). Die letztere Dichte enth/~lt explizite die Koordinaten. Man wiirde aber erwarten; da$ der Spin-Drehimpuls nieht explizite yon den Koordinaten abh/~ngt, d.h. unabh/ingig yon der Wahl des Koordinatensystems ist, im Gegensatz zum Bahn-Drehimpuls. Der Gesamt-Spin-Drehimpuls hat die gewi~nschte Eigensehaft, weft sich die SpimDrehimpulsdiehte umformen 1/~$t in e in Glied, welches nieht explizite die Koordinaten enthalt, und in eine r/~umliche Divergenz, welehe keinen Beitrag zum Integral liefert. Bringt man den Drehimpuls in Zusammenhang mit Drehungen im Raum, so wird man auf einen Drehimpuls gefiihrt, der nicht das Divergenzglied enthaR. Der so gewonnene Integrand fiir den Gesamtdrehimpuls ist abet fiir die Maxwell- Theorie nieht ~ichinvariant, w/~hrend es die Drehimpulsdieh~e, die aus dem symmetrisehen Tensor gewonnen wird, ist. Diese Schwierigkeiten entsteheni wenn man lokalisiert, d .h . Dichten betraehtet. Far ebene Wellen verschwindet sogar die Spin-Drehimpulsdichte, die aus dem Tensor gewonnen wird. Fiir Gesamtdrehimpulse treten die genannten Schwierigkeiten nieht auf. Die Zerlegung der Drehimputsdiehte in Bahn-Drehimpulsdiehte und Spin-Drehimpulsdichte ist also nieht sinnvoll, wohl aber ist es die Zerlegung des Drehimpuls in Bahn-Drehimpuls und Spin-Drehimpuls.

2. Herstellung yon symmetrischen Tensoren. Fi~r ein abgeschlossenes System mu$ die Lagrange-Diehte L invariant gegeniiber einer r/~umliehen Drehung des Koordinatensystems sein. Wit setzen noeh die Lorentz- Invarianz yon L voraus und fordern daher, dal3 L invariant gegenfiber einer infinitesimalen vierdimensionalen Drehung des Koordinatensystems sei.

Sind ~ ' die Koordinaten im neuen System, so lauten die Transforma- tionsformeln ffir die Koordinaten:

t

x ~ = z"' + c3 ~"', (~ z ~' =- ~#' = g ~ x . (1)

Wo

S u ~ = _ _ 8 ~ t t (O..)

und ~ infinitesimal ist.

Lassen wit die Striche weg und sehreiben

0 x ~ = - s ~ ~ x . (8)


so transformieren sich die Wellenfunktionen linear, und man kann nach B e l i n f a n t e 1) schreiben

~ = s S ~ , ~ , (4)

wo S~,, ein Operator, der auf die ~p wirkt, ist. Die Numerierung der Wellen- Iunktionen, well unniZig, ist weggelassen worden. Das Ausdrtieken der Transformationen der Wellenfunktionen durch den Operator S~ v ist lamer erlaub~, wenn die Transformationen linear sind. Die Eigensehafl, en des Operators im einzelnen h~ngen natiirlich davon ab, was fiir eine GrSSe ~p ist, ob Vektor, 8pinor oder Tensor. Fiir skalares y~ ist B~ v ~ 0. Fiir Vektoren und Spinoren gilt insbesondere:

Vektoren: St,~ ~a ---- -- 42 Y~,, (Sa)

1 Spinoren: S~ ~ ~ = T as 0r G% a~ y~, (5 b)

wobei

Fiir die Transformation der Ableitungen gilt

da - - s~,,O'W : - - s" %,~0~,

kann sie in der Form

(0~ ~,) = s"" {0~ S~, ~f - t~ ~ 0, ~} (6)

geschrieben werden. Die vorausgesetzte Invarianz ~'on L heist unter Benutzung yon (4), (6)

O L O L 0 0~,~] O,

wobei

0 (W'V)

Es sind in (7) u n d (8) die Glieder hinzuzuden'ken, die yon den in L enthaltenen komplexkonjugierten Wellenfunktionen herriihren. Wir lassen im folgenden die kompbxkonjugierten Glieder weg.

Mit der Bezeichnung

~olgt aus (7) wegen s~' ~'= - - s " , dal~ der Tensor

o L 0 ~ (m)

symmetrisch ist.

1) F. J. Be l in fan te , a. a. O.


Die Lorentz-Invarianz fiihrt also auf ein Verfahren, um symmetrisehe Tensoren aus L aufzustellen. Das Verfahren ist natiirlieh nicht eindeutig, denn wegen s ~ ' = - - s ,u kSnnen immer symmetrische Zusatztensoren zu R.,, hinzugeftigt werden.

3. Herstellung yon divergenz/reien Tensoren. Aus dem Extremal-Prinzip

~L (W, 0~ ~o) d s9 = Extremum, (11)

wo d-Q = d x o d x 1 d x 2 d x8 das vierdimensionale Volumenelement bedeutet, lassen sieh die Feldgleiehungen ableiten dutch Variation der ~p. Aus (11) folgt

I',OLo O L " (0~y))} d ~ 0, i ~ - o ~ + ~ o =

und dutch partielle Integration des zweiten Gliedes die Feldgleichungen

ov 0~ = 0. (12)

Das ~fl in (11) und (12) kann noeh mit einem Index behaftet sein, weleher Vektorkomponenten, Spinorkomponenten usw. bedeu~en kann. Enthiilt L noeh die zu ~o komplexkonjugierten GrSBen oder aueh andere GrSgen, wie z.B. adjungierte GrSBen, so gibt es zu (12) noeh die komplexkonjugierte bzw. adjungierte Feldgleiehung.

Den Tensor O~, (9) O~ = OL

o (o~v)(0~o) + ~ L , (18)

bezeiehnet man als kanonisehen Energieimpulstensor. Er gentigt

o~ O~ = o, (14) unter Beriieksiehtigung der Feldgleichung (12).

Ftir die )Mdgleiehungen (12), den Tensor O~'~ and dessen Divergenz- freiheit braueht man niehr die Lorentz-Invarianz vomuszusetzefi - - die Komponenten yon ~o kSnnen auf irgendwelche _h_rt numeriert werden.

Gesamtenergieimpuls 1)

Energie: E == IOOOd~, /

Impuls: P" I O~ dr,

(dT---- dx t d x 2dxa)

(15)

einer Theorie wird durch den Tensor O~ definiert. Wegen (14) bleibt er zeitlich konstant.

1) Die Definitionen (15) legen die Vorzeiahen in (13) lest:

' \ 0 gg~/x v esplicite

0 V Kraft. 0 x ~


Mit den Definitionen

lautet (10)

2 Z~,,. = 0 H;t~,,., (16)

O L S H~.~,, - ~ ~ ,,~p (17)

/~,~ = O,,. + Z~, symmetrisch (18) wegen (12).

Aus dem Tensor Ha~ ~ kann man drei divergenzfreie Tensoren der zweiten Stufe bilden, indem man jeweils sehiefsymmetrisehe Ausdfiicke in zwei Indizes hinschreibt:

H ~ , - - H~,a , , Ha~. , - - H~,,,a, H , , , ~ - - H,.a~,. (19)

Die drei divergenzfreien Tensoren, die Ableitungen der schiefsymmetrischen

Tensoren (19) sind, fo]gen:

F~,~ = O Z H a , , , - OZH,~. , , 0~/~.~, = 0, (20a)

A~,, = OZH~,,,, - - OaH,,, ,a, 0" A,,,, = 0, (20b)

Z~,, = OZH,..,,~ - - O~H,.a~,, 0"g~ , = 0. (20e)

Der kanonisehe Tensor wird hierin nieht einbegriffen, da er sieh nieht im allgemeinen als Ableitung eines sehiefsymmetrisehen Tensors sehreiben l~Bt.

Es steht noch ein anderer Weg often, divergenzfreie Tensoren zu bilden, ngmlich das Extremal-Prinzip. Fiir eine infinitesimale Rotation des Koordinatensystems war nach G]. (4) ~ F = s z*' S~, ~ F, wo sich s~ ~ naeh (1) sehreiben li~13t

s ~" = 0" ~' (~" = s ~" x,.) (21) und

~o = o~ r &,, w. (22)

Vollstgndig hingesehrieben gilt die Transfoimationsforme]

= (~" + s~') & , V . (28)

S~ ist demnach der Identit~tsoperator

t t S ~ ~p ---- ~p. (24)

Man kann G1. (22) als eine Yariation der Wellenfunktion ansehen, wo jetzt ~ nieht die spezielle Gestalt (21) hat, sondern eine beliebige Funktion der Koordinaten ist, Unter Benutzung der willkflrlichen 0rtsfunktion and


des Operators S~,, kann man Variationen der Wellenfunl~ionen auf seehs einfache Weisen bilden:

1. (0,S'%vd)~ ', ~. (S~,~p)0'~ ~, 8. (S~,y;)0~'~, ]

(o. ~)

4 ~,O'G

Die Variation 1. fiihrt auf den kanonischen Tensor. Diese Variation r ~ ----- (0~ ~f) ~" fiihrt zur Variation

des Oradienten. _&us dem Extremal-Prir~ip folgt

f [jOL OL (GO,~,)~ v

�9 OL ]

0, 0.(0.~ tp) (27)

dutch partielle Integration. D~ nun die ~" beliebige Funktionen der Koordi- naten sind, bedeutet (27), dag

eL (o~)} = 0 , O ~ = o. (9.s)

,-gl. (14). Mit den anderen Variationen verf~hrt man analog. Insgesamt erhiilt

man drei divergenzfreie nichtversehwindende Tensoren wie folgt:

~ " ~ ' J ~ ' O ( O ~ ) '

(~%v = (S~,,~p)0."~% lZ'~,,.--: O Z H ~ , , - O~H~,~, 0 ~' P~,~ = O, (29b)

Die Tensoren/'~,~ und zJ~,~ warden schon oben [G1. (20)] aus der schiefen Symmetrie ihrer Bildung hergeleitet. Die anderen Variationen (25) geben nichts Neues. Der Tensor Z~,, G1. (20e), kann nieht vermSge dieser Variationen erhalten werden, da sich einer der beiden Indizes der Differentia- tionen in O'~Z~,,, auf den ersten Index in H . . . beziehen miil~e wegen der Bildung des Oradienten der variierten Funktion. Das ist aber nicht der Fall, wie der Vergleieh mit Ol. (20c) zeigt.

Energie-Impuls-Tensor der ~eldtheorien der Materie. 667

Die Divergenzfreiheit der Tensoren / '~ und z l~ , obwohl sie auch aus dem Extremal-Prinzip abgeleite~ wurde, hat im wesentlichen darer nichts zu tun, denn sie folgt schon aus der sehiefen Symmetrie. Die Divergenz- freiheit yon O~, jedoch ist allein eine Folge des Extremal-Prinzips.

l~Ian verf~gt also ~ber vier divergenzfreie Tensoren O~ ~, -P~ ~, A.~ ~, Z~ ,, yon denen keiner symmetriseh ist.

Das Bel infantesche Veffahren kann man nun so ausdIfieken, dal~ er als Zusatz~ensor den sehiefsymmetrisierten Tensor Z~ ~, G1. (16), betrachtet, erganzt mit anderen Gliedern, die flit sich symmetriseh sind, abet dafflr sorgen, dal3 der Zusatztensor divergenzfrei wird, d.h. sieh als Ableitung eines sehiefsymmetrisehen Tensors schreiben lal3t. Be l in f an t e x) definiert als symmetrisehen Energieimpulstensor

T. , = O~, + r (80) WO

O ~ = 0 ~ , ~ (8I) und

(s2) Or. = �89 {_r'.. -- A.., + Z..}. /

Diese Sehreibweise l~Bt die Divergenzfreiheit leieht erkennen:

0" ~ . , = 0. (88)

Eine Umgruppierung der Glieder in (32) 1M~t die Symmetrie yon T, ~ hervor- treten [vgl. (18)]:

T~, = O,~ + �89 (Z~ ~. -- Z,~) q- �89 0 x (H~,~ -9 H*,~ - H ~ -- H,~,) . (84)

~.uBer Symmetrie, und Divergenzfreiheit muB de~ symmetrische Energie- impulstensor noeh einer anderen Bedingung geniigen, and zwar der, dab er denselben Gesamtenergieimpuls liefert wie der kanonische Tensor O~., da der Gesamtenergieimpuls dureh diesen definiert wurde [G1. (15)]

• T o , d r = IOo,dw,

und das ist in der Tat erfi~llt:

:

d, h. ~ ~o~ d w = 0, (35)

~ O* Eio,.d w + ~ 0 o "~oov d%

wobei i - - 1,2,3, d r ~ - dx ldx~dxa , x ~ : - -Xo = c t .

Das erste Integral verschwindet, da der Integrand eine rs Di~'ergenz ist und der zweite auch wegen 3 ~ - ~ .

1) F. J. Bel infante , a. a. O.


4. Der l~nerg~eimpulste~sor und sein Ausdruek dutch FeldgrSfien. Bei der Aufsteltung des Extremal-Prinzips haben wit die Lagrange-Dichte als Funktion der Wellenfunktionen und deren ersten Ableitungen an- gesetzt. Diese Variabeln, Wellenfanktion und deren erste Ableitungen, wollen wir als FeldgrSSen bezeichnen. Das Extremal-Prinzip bzw. die Feld- gleichung bestimmt die Art tier Yerknfipfung dieser Yariabeln. Es w~re zu wimsehen, da$ sich alle physikaliseh sinnvollen GrSl~en dutch die FeldgrSI~en ausdriieken lassen. Der kanonische Tensor, dutch den Gesamt- energieimpuls definiert wurde, isr offensiehtlieh nut yon den FeldgrSl3en abhiingig. Fiir den Bel infantesehen symmetrisehen Tensor ist dies nicht im allgemeinen riehtig, wegen des Auftretens yon zweiten Ableitungen der Wellenfunktion in dem Zusa~ztensor O ,. Nur der erste Tell des Zusatz- tensors, das sehiefsymmetrisierte Z~,,,, enth~lt ausschliel31ich FeldgrSl~en:

Z . OXH~,,,, O~ t OL S ~ ;)L ~ , OL Oz S ]

unter Benutzung der Feldgleiehung.

Die Glieder des anderen Teiles des Zusatztensors, der fiir sich symmetriseh ist, enthal~en im allgemeinen zweite Ableitungen. Es ist z. B. [G1. (85)]

O:L

O L O~ S~v~. ]

Der symmetrisehe Tensor ~u, [GI. (18)] enth~lt wegen (36) nut Feld- grSt~en. Die zweiten Ableitungen der Wellenfunktion wiirden gar nicht vorkommen, wenn der Tensor R~ ~ als symmetriseher Energieimpulstensor benutzt werden kSnnte. Das ist aber im allgemeinen nicht mSglieh, da Z~ nieht divergenzfrei ist. Ist nun H~u,. schiefsymmetrisch in den beiden ersten Indizes, so kann R~, ~ als symmetrischer Energieimpulstensor benutzt werden, denn dann is~ nicht nut 0 .~ R,~ = 0, sondern auch Z~,~ gibt keinen Beitrag zum Gesamtenergieimpuls. Mit dieser Einschr~nkung sind


and R~ ~ identisch wegen des Yerschwindens des symmetrischen An- T, le

teiles des Zusatztensors ~b :

Tr,. = /~r, = O r , + Z r , , 0" R~,, - - 0, R,,. symmetriseh,

y,o,a = y Oo, (ss) solange HA, , = - - H , ~,.

Der symmetrische Energieimpulstensor hat demnach eine besonders einfache :Form und enth~il~ nur FeldgrSgen, wenn

,gL S H A , , + H. , ~" - - o (o k~ G , ~ + ~ ;., ~ = 0. (89)

:Fiir vektorielle Theorien bedeutet (37), dab

3 L OL o(oX,/,) I o (o ,v~)=o. (4o)

Es kommen also die Ableitungen nut in tier schiefsymmetrischen :Form

(0 r y2~ - - 0 x ~p~) vor. Das ist zutreffend in den uns bekannten vektoriellen Theorien: Maxwell-Theorie und Proca-Yukawa-Theorie. In beiden Theorien

gibt es 10 :Feldgr6Ben bestehend aus einem Vierervektor und dem Sechser- tensor der schiefsymmetrischen Ableitungen des u Die Dirac- Theorie weist einen Tensor H ~ , auf, der in allen Indizes schiefsymmetrisch ist.

5. Vorhandensein yon Elektromagnetismus 1). Dem ~orhandensein -con Elektromagnetismus ]iann man Rechnung tragen, indem man die Ab- leitungen durch die eichinvarianten AbMtungen ersetzt:

(41) 0 r ~* - -~ D~, ~o* = (0 r - - i V d r ) ~*, /

e wobei ~ = ~-~ und A,. das elektromagnetische Potential shad. Die elektro-

magnetisehen :Feldst/irken treten auf wegen der Nichtvertauschbarkeit der eichinvarianten Ableitungen

(D, D~ -- D~ D,) ~o = i ~ B , . % (42) wo

B~,, ----- (0~, A~ - - 0,, A,~) (48) der Sechservektor der elektromagnetisehen Feldsti~rken ist.

Die Phaseninvarianz yon L, d.h. Invarianz gegeni~ber der Trans- formation

~p ~ ~p e ~a, t (44) ~p* � 9

1) W. Paul i , Huitieme Conseil de Physique Solvay. -- Berioht tiber die allgemeinen Eigenschaften der Elementarteilohen.

670 Rivhard Iskraut,

wo ~ eine Konstante ist, fiihrt auf die far die Erhaltung des S~romes wieh- tige Beziehung

0 L 0 L 0 L . 0 L (D~, ~p*). (45) ~vv w + o (D ~) (G ~) = b-~ ~ 4 O (D,~ ~*)

Die elektromagnetischen Feldstiirken B~, bestimmen nicht eindeutig

1 00c, die Potentiale AF,, denn sie sind invariant gegenf~ber AI,-+ A s - ~

wo 0~ jetzt eine Koordinatenfunktion isr Ist L invariant gegentiber Phasen- transformation mit konstanter Phase, so ist L auch eichinvariant, d.h. invuriant gegeniiber der Transformation

~f ---> ~p ei% 1 0 ~ r162 (46)

Aus dem Extremal-Prinzip, wo in L jetzt die Ableitungen dureh die eichinvarianten Ableitungen ersetzt sind, ergeben sieh die Feldgleichungen

OL OL OL , OL I D: { ~ } --: O, D. ~ j = O, (47) 0~ 0y~* ' 0 (D~p*)

bei Variation der Wellenfunktion und der komplexkonjugierten Funktion unter Festhaltung yon A~.

Die Definitionen der aus L abgeleiteten Tensoren bleiben unverSndert, nut dab die eichinwrianten Ableitungen eingesetzt werden. Im Falle des kanonisehen Tensors wird dadurch Wechselwirkung zwisehen dem elektromagnetisehen Feld und der Materie eingefitrt, wobei aber nieht das abgeschlossene System Materie und Elektromagnetismus betraehtet wird, sondern nur das System der Ma~erie. Es sind dann iiu~ere Kriifte auf die lYlaterie wirkend und tier kanonische Tensor kann nicht metir divergenzfrei sein. Der kanonisehe Tensor

0 L (D~ ~f) 0 L (D~, y~*) + (~,~ L (48)

gentigt jetzt der Beziehung 0 'u 0~,~ ~ B,~ s,% (49)

(50) WO

wegen der Nich~vertauschbarkeit der eiehinvarianten Ableitungen [G1. (42)]. Der physikalisehe Sing yon G1. (49) verlangt, dab s ~ als Viererstrom

aufgefagt wird. Aus den Feldgleiehungen der Maxwell-Theorie folg~, dag 0~,sS = 0, obwohl in der Lagrange-Dichte far das ~axwell-Feld der Viererstrom nur als Parameter erseheint. Das Extremal-Problem des Elektro-


magnetismus hat demnach nut eine LSsung, wenn 0, s t ~ 0. Die Er- haltung des Stromes muB also aus der Theorie der Materie entspringen. Man wird diesem Kriterion in gehr allgemeiner Weise gereeht, namlich dutch die Phaseninvarianz. Die Di~ergenzfreiheit des Stromes folgt aus der P~haseninvarianz, d. h. unter Beriicksiehtigung.der Gleiehung (45) und den Feldgleichungen, wobei das letztere natiirlich keine Einschr~nkung der Theorie au~erlegt. Damit weiterhin der kanonische Tensor zur Definition yon Gesamtenergieimpuls benutzt werden kann, mul3 die Divergenzfreiheit des Bel in~anteschen Zusatztensors ~ b bzw. des Zusatztensors Z ~ aueh bei Anwesenheit yon Elektromagnetismus erfiillt sein. Daran wird abet nichts ge~ndert, da die sehiefe Symmetrie dutch die EinIfihmng der eiehinvarianten s nicht beeinflul~t wird.

Im letzten h.bschnitt wurde das Auttreten yon Wellentunktionen und deren Ableitungen im symmetrisc]xen Tensor behandelt. Der B e l i n f a n t e - sehe Zusatztensor, und damit der symmetrische Tensor, enthiilt im allgemeinen Ableitungen der FeldgrSl~en [s. G1. (87)]. Glieder des B e l i n f a n t e - schen Energieimpulstensors enthalten also Yaktoren, wie z. B. Dt~D'~p bei Anwesenheit yon Elektromagnetismus. Spaltet man diesen Ausdruek auf in gewShnliehe Ableimngen und elektromagnetisehes Potential, so treten ira allgemeinen Kombinationen wie 0 r A ~ auf. AuBer der unge- wtmschten Eigensehaft, dal3 im Energieimpulstensor zwei~e Ableitungen der Wellenfunktionen vorkommen, kommt noeh hinzu, dal3 Ableitungen des elektromagnetischen Potentials auftreten, die sieh nicht zum Seehser=

tensor B ~ : (0" A ~ - 0 ~ A ~) ergiinzen lassen. Es kommen also elektro- magnetisehe GrSl]en vor, die versehieden sind yon den 10 FeldgrSl~en der Maxwell-Theorie : At, und B~" ~ = 0" A ~ - - 0 ~ A ,~. Das bedeutet, dal~ im allgemeinen Wechselwirkungen zwischen Materie und Elektromagnetismus in einer Form existieren kSnnen, wie wit sie noch nieht kennen. Wegen des alleinigen Auftretens yon Fe]dgrS~en im Zusatztensor Z~ v besteht diese Sehwierigkeit nicht, wenn ' ~ , der symmetrisehe V, nergieimpuls- tensor ist, d.h. unsere Nebenbedingung erfallt ist.

6. Der Dreh~mpuls und svine Zerlegung in Bahn- und Sp~nanteil. Gesamt- energieimpuls wurde definiert vermSge des kanonischen Energieimpuls- tensors. Wir verlang~en jedoch zweeks Yervollsti~ndigang der Theorie einen symmetrisehen divergenzfreien Tensor, und urn mit der Definition yon Gesamtenergieimpuls in Einklang zu bleiben, toni]ten kanonischer Tensor and symmetrischer Tensor auf denselben Wert dieser Integra]grSl~e fiihren. Betrachten wit die Diehten, so erkennt man, dal~ flit sie eine gewisse


Willkfir otfengelassen wird bei gleichzeit]ger Eindeutigkeit der Integral- werte. Die Einffihrung yon Drehimpulsen verIangt eine Einsehr~nkung dieser Willk~r, denn seine Erhaltung bedarf eines symmetrisehen Tenso~s als hinreichender Bedingung, oder Symmetrie des l~aumintegrals als not- wendiger Bedingung. Der Drehimpuls steigert also die Lokalisierung.

J~ v = [. { ~, T ~ - - x~ T~ } d r (52)

sei der Drehimpuls, wobei wit #, ~ -~ 0, 2, 2, 8 meinen, obwohl eigentlieh nur #, ~ = 1, 2, 8 einen gel~ufigen physikalisehen Sinn hat. Die zeitliche Konstanz des Drehimpuls

OoJ~,, = ~ { T ~ - - T,,} d r = 0 (52~

verlangt die Symmetrie des r~umliehen Integrals des Energieimpulstens0rs (dabei wurde 0 ~' T ~ = 0 benutzt und die r~umliehe Divergenz weggelassen). Hinreichend is~, dab der Enetgieimpulstensor symmetriseh sei. Die al|gemeine Relativit~stheorie, die die Lokalisierung noch weiter treibt, verlangt noch, dab die Symmetrie notwendig sei.

Die Zusammensetzung des symmetrisehen Energieimpulstensots aus kanonisehem Tensor und Zusatztensor erlaubt es, den Drehimpuls in zwei Teile zu zerlegen:

wobei

L~,, = j" {x,, 0~ x ,O~} dr = fl~,,d~, (54) und

= f d r = (55)

Diese Aufspaltung sell die Zerlegung des Drehimpuls in Bahn- Drehimpuls und Spin-Drehimpuls bedeuten; in anderen Worten, wit deft- nieren als Bahn-Drehimpuls diejenige GrSl3e, die aus dem kanonisehen Tensor gewonnen wird, und als Spin-Drehimpuls die GrSBe, die aus der Differenz zwisehen symmetrischem und kanonischem Tensor effolgt. Zu'- n~chst seheint der Ausdruek fflr K ~ ein befremdendes Aussehen fiir den Spin-Drehimpuls zu haben, denn man wtirde erwarton, da]3 seine Dichte nicht explizite yon den Koordinaten abh~ngt. Der Bahn-Drehimpuls is~ wesentlieh dutch das Bezugssystem bestimm~, aber veto Spin w~re zu erwarten, da~ er eine Eigenschaft des Feldes sei, oder wenn man zum Teilchen- bild iibergeht, bedeutet , da~ er vemrsacht ist duroh ,,innere" Freiheitsgmde des Teilehens.


Diese Erwartung ist erfi~llt, wenn wir Integralwerte betrachten. Die Spin-Drehimpulsdichte liiBt sich umformen vermSge der Definition des Zusatztensors ~b , als ikbleitung des sehiefsymmetrischen Tensors .~ .~

K ~ , = ~ { ( H ~ , ~ - - H ~ i [ ~ ~ x ~ - - ~ ~ x,]}d% / (56)

i = 1, 2, 8. /

Zwecks J_usrechnung yon Integralwerten ]autet also der Drehimpuls

H o J~,~=y(x~,O~176 . , , - - H ~ d~. (57)

Wegen der Lokalisierung yon Energie und Irnpuls, die dutch den symmetrischen Tensor erreieht wird, ist es angebracht

k~,, = x~, 0 z 3 ~ - - z~ O k ~ o I (58)

= ( H ~ - - H ~ -b 0 ~ (x. 3 ~ - - x..~'~

als Spin-Drehimpulsdiehte zu bezeichnen. Ist die Lagrange-Diehte phaseninvariant, so ist es auch Sx or" Da die

Spin-Drehirapulsdiehte dutch _kbleitungen yon phaseninvarianten GrSl~en ausgedrtickt wird, verschwindet sie ffir ebene WellenfeldgrSf~en. Diese Tatsache zeigt sehon, dab die Spin-Drehimpulsdiehte kein reehter sinnvoller Begriff ist, wenn man ]okalisiert. Ffix die s yon Integralwerten miissen die FeldgrSlilea im Unendliehen versehwinden, und das erlaubt uns den Ausdruek (57) zu benutzen.

Der Integrand des Spin-Drehimpuls in G1. (57) kann mit kanoniseh- konjugierten GrSl~en gesehrieben werden. Der Spin-Drehimpuls ist

K,. . = ~ u ( S . . - S,~) V; d~, (59) w o

OL :~ - - o (oo~o) (60)

die zu ,fl kanonisch-konjugierte GrSBe ist. Dementsprechend wollen wit

k~ = sr (S.,, -- S~) ~p = H~ -- H~ (61)

die kanonische Spin-Drehimpulsdiehte nennen.

Der Drehimpuls wurde durch den Energieimpulstensor gewonnen. Er kann aber auch alIgemein im Zusammenhang mit Drehungen im Raum gebraeht werden, und zwar mit einem Operator, der eine Drehung des Systems im Raum bewirkt. Bei Benutzung der Operatorensehreibweise,

indem der Drehimpuls dureh (x p~ - - y p~) --~ (x ~yy - - y ~-~) darges4ellt 3 0

wird, wie es z. B. in der SchrOdinger-Theorie zutrifft, erfolgen bekanntlich Integralwerte fox den Drehimpuls. Ausgehend yon den Yertauschungsregeln


ftir den Drehimpuls hefert die Matrizensehreibweise ganz- und halbzahlige Eigenwerte. Dieser Drehimpuls umfal3t also mehr als den Bahn-Drehimpuls - - denjenigen Drehimpuls, der zurflek geffihrt werden kann auf Bahn- bewegungen. Wit werden zugleieh sehen, daB, wenn die Wellenfunktion ein Skalar ist, der Operator, der eine Drehung hervorbringt, i~quivalent ist dem Operator des Bahn-Drehimpulses. ][st die Wellenfunktion mehr- komponentig, so werden die Komponenten der Wellenfunktion in be- stimmter Weise transformiert bei einer Drehung, was im einzelnen davon abhi~ngt, ob die Wellenfunktion ein Vektor, Spinor oder Tensor ist. Die Auswirkung 4er Drehtmg in der Transformation der mehrkomponentigen Wellenfunktion steht in Zusammenhang mit der kanonischen Spin-Dreh- impulsdichte, w~hrend der Opera, or, der nut die Transformation der )~b- leitungen beriicksichtigt, in Beziehung zu de r Bahn-Drehimpulsdiehte steht.

Y[an fi~re eine infinitesimale Drehung des Systems dutch, die charak- terisiert ist dureh die sehiefsymmetrische Matrix s ,~. Das System werde um einen Winkel gedreht, der der Streeke

~ ---- - - s ~" x , (62)

entspricht. Dabei geht die Wellenfunktion y; i~ber m ~ + s "" S~ ~ y~. Nach der Drehung wird die Wellenfunktion am Punkte $~ den Weft haben, den sie ~orher am Punkte x" - - ~ x ~ hatte. Die Drehung verursaeht also die Ver~nderung

02_v ~ y, = o x,, st` ~ x , § s" " S~, , ~, (68)

der Wellenfunktion. I)er erste Term rfihrt also davon her, dal~ sich die Wellenfunktion auf einen anderen Oft bezieht, wi~hrend der zweite Term bestimmt ist durch die Transformation der Komponenten yon ~p, wenn es mehrkomponentigen Charakter besitzt. G1. (68) l~l~t sich sehreiben

(~ YJ ---- i , ~ ~ st` v, (64)

wobei ~ , ein Operator mit der Eigenschaft

(65)

ist. Fiir skalare Theorien fgllt der zweite Term weg und wir haben den Drehimpulsoperator, der auf Bahnbewegungen zuriiekgefiihrt werden kann, wie es in der SchrSdinger-Theorie der Fall ist. Der z~eite Teil des Dreh- impulsoperators, d e r n u r fur mehrkomponentige Wellenfunktionen vor- kommt, ist der Spin-Drehimpulsoperator.

Energie-lmpuls-Tensor der Feldtheorien der Materie. 675

Der Zusammenhang mit den ~berlegungen des vorigen Abschnitts ist d~r folgende: Man multipliziere den Ausdruek (65) mit tier zu ~v kanoniseh- konjugier~en GrSl]e. Das Ergebpis deckt sich mit der Drehimpulsdiehte, nur fehlt jetzt das Divergenzglied.

Jr, ~v ---- -- 7~ (x r 0~ -- x~ 0r) ~v + ~ (Sr v -- S,r) ~v. (66)

Die Drehimpulsdichte ist

- - ~ (x r 0,, - - x , 0r) ~v + z ( S t , - - S, . , ) ~- 0 ~ {x r ~,~'~ - - x~ 3~ ~}. (67)

Der Ausdruck (66) folgt aueh als Drehimpulsoperator im Rahmen der Quantentheorie der Weller~elder 1). Die kanonisehe Drehimpulsdichte (66) enthi~lt nut FeldgrSi~en, wiihrend das nicht im allgemeinen ftir die Dreh- impulsdichte (67) zutrifft. Zusammengefa•t kSnnen wir jetzt behaupten, dal], obwobl Ableitungen der FeldgrS~en im Bel infantesehen symmetrischen Tensor im allgemeinen vorkommen, ~lle physikalischen Integralwerte : Energieimpuls und Drehimpuls nur FeldgrSl~en enthalten. Die u dichte enthi~l~ aueh nur FeldgrSBen [G1. (48)]. Geniigt die Lagrange-Dichte der Einsehr~nkung, daI~ tier Tensor sehiefsymmetriseh in den beiden ersten Indizes ist, dann benutzt man den symmetrischen Tensor B,~ [G1. (18)] zweeks Ausrechnung tier Drehimpulse. Die Drehimpulsdichte lautet

- - 7~ (x , O, - - x , O , ) ~o ~ ~ IS. , , - - S , , ) yJ - - O X { x ~ H ~ - - x~H~ (68)

unter diesen Umstanden - - sie enth~lt also nur Feldgr51~en -- , abet die kanonisehe Drehimpulsdiehte stimrat mit (66) i~berein.

7. Zusammen /as sung wicht~ger Grsfien der bekannten Theorien. Zwecks Vergleichs und ~berblieks seien die GrSl~en : Lagrange-Dichte L, kanonischer Tensor 0~ ~, sehie~symmetriseher Tensor H A,~, Zusatztensor Z~ ~, symnm- triseher Tensor T~, u S ,~ und kanonisehe Drehimpulsdichte (Bahn-Drehimpulsdiehte li ~, kanonisehe Slein-Drehimpulsdichte k/~) fiir die skalare, N[axwell-, Yukawa- und Dirac-Theorie zusammengestellt.

a) Skalare Theorie:

L = - - (D ~ ~v*) (D~ ~v) - - r e ~v* ~f,

or . = (Dr ~*) (~)v~) + (I). W*) (~)r ~) + ~r.L; 0 , . = 0 . , . H~,~, Zr~ nicht vorhanden,

s . = ~v {(D, ~) ~* - - (D, V*) ~}, ~ = x~{(~)o ~*) ( ~ ~) + (~)~ ~*) (~o ~)} _

_ ~ {(~)o ~,) (~, ~) + (~ ~,) (i)o ~)}, ki~ nicht vorhanden.

1) W. I-Ieisenberg u. W. Pauli , ZS. f. Phys. 59, 168, 1930. Zeitschrift fiir Physik. Bd. 119. 46

676 Richard Iskraut, Energic-Impuls-Tensor der Feldtheorien der Materie.

b) Maxwell- Theorie (Ba ,~ = 0~, A . - - O. An) :

L -= - - [ B ~ B,,z ,

0~,,, = B ~ , z D . A z + 8 , , ,L ,

s," nieht vorhanden flit Vakuum, l,~ = xi B~ D ~ A x - - x , BOx D i A ~,

kik ~- B~ A~-- B~ A i.

L = - - �89 ~5 ~ * (~:z ~ ~: U ~* U., 0~, = ( ~ D , U z + eS~,zD, U z* + 8.,~L.

H z . . = ffi*z~, U. + ffi.z U*,, Z ~ , ----- - ~5~,z e ~ U,, - ff~z D ~ U~ + ~2 (U~, U, + U~, U?), T ~ = ~ eS,] + (~.~ eL z + ~2 (V~ U. + U. U*) + ~. .L,

l i k = xi{~~ D~, U ~" + ~~ .0~, U '~*} -- -- xk{~~ U~ + ~~ D~ UZ*},

k~k ( ~ 5 Ok + ~ o W~) -- ~t~ ~ = ~ k U ~ + ~50k U*).

d) ])4rac- Theorie :

i .

i ,

i . Hzv~ = -- ~. {v; (~z ~ ~ ~ ~ -- ~, ~ ~. ~ ~z) ~},

i

i

i

Die &rbeit entstand im wesent, lichen v o r Kenntnis der ] 3 e l i n f ~ n t e - schen _A_rbeit durch Anregung des theoretisch-physikalischen Seminars in LeiFzig, dem ich wer~volle Diskussionen verdanke, insbesondere der I-Ierren :professoren I - I e i s enbe rg und I-Iund. I-Ierrn :Professor I -Iund mSehte ich an dieser S~elle fiir seine l~atschl/ige besonders danken.

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Bemerkungen zum Energie-Impuls-Tensor der Feldtheorien der Materie