Berechnung der Kottwitz–Shelstad–Transferfaktoren fur ...ballmann/papers/diss.pdf · Transferfaktor ist dabei ein Produkt uber die lokalen ∆(¨ γ ν,δ ν). Diese Arbeit beschr¨ankt

Berechnung derKottwitz–Shelstad–Transferfaktoren fur

unverzweigte Tori in nicht zusammenhangendenreduktiven Gruppen

Inauguraldissertationzur Erlangung des akademischen Gradeseines Doktors der Naturwissenschaften

der Universitat Mannheim

vorgelegt vonDipl.–Math. Joachim Ballmann

aus Frankfurt (Main)

Mannheim, 2001

Dekan: Professor Dr. Guido Moerkotte, Universitat Mannheim

Referent: Professor Dr. Rainer Weissauer, Universitat Heidelberg

Korreferent: Professor Dr. Siegfried Bocherer, Universitat Mannheim

Tag der mundlichen Prufung: 8. Mai 2001

Inhaltsverzeichnis

Einleitung v

1 Bezeichnungen und Bekanntes 1

2 Reduktive Gruppen mit Twists 7Wurzelsysteme mit Twists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Vorbereitungen zum Satz von Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Der Satz von Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Satz von Steinberg mit zyklischer Automorphismengruppe . . . . . . 24Der Kammerkomplex zu PI(Z[Φ∨]) oW I . . . . . . . . . . . . . . . . 25Folgerungen aus dem Satz von Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . 32Gegenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Lockerung der Bedingung an den Korper F . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Tori 41Maximale Tori in nicht zusammenhangenden reduktiven Gruppen . . 41Definition von G, D, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Topologische Jordanzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Langlandsdualitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52χ–Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Das Gebaude 57Faktensammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Tits Gebaude mit Twists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Rationalitatsfragen fur L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Stark kompakte Elemente in T(F ) ∩ L . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Fixpunkte von anisotropen unverzweigten Tori . . . . . . . . . . . . . 77

5 Die Transferfaktoren 81Endoskopie und Matching von halbeinfachen Elementen . . . . . . . . 81Eigenschaften von Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Fundamentale Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Definition von ∆I, ∆II und ∆IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Definition von ∆III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

iii

Normierung von ∆III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Definition und Eigenschaften von ∆ im quasisplit–Fall . . . . . . . . 106Unverzweigte endoskopische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 Homogenitat 111Homogenitat von ∆II und ∆IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Homogenitat von ∆III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Reduktionen 119Sataketransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Sataketransformation mit Twist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Abstieg auf die derivierte Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Praparationen fur den Harish–Chandra–Abstieg . . . . . . . . . . . . 129Harish–Chandra–Abstieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 ∆ fur unverzweigte anisotrope Tori 137Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

A Endoskopische Gruppen der unverzweigten einfachen Gruppen 145

Literaturverzeichnis 163

Index 167

v

Diese Arbeit beschaftigt sich mit Fragen aus dem Umfeld der Arthur–SelbergschenSpurformel. Fur eine Zusammenhangskomponente L einer reduktiven Gruppe Guber einem globalen Korper F besteht sie nach [Ar88], grob gesagt, aus einer Iden-titat von Distributionen∑

o∈O(G)

Jo(f) =∑

χ∈X (G)

Jχ(f) fur f ∈ C∞c (L(A)1),

bei der auf der sogenannten geometrischen Seite (links) gewichtete Orbitalinte-grale mit verallgemeinerten Spuren auf der rechten, spektralen Seite verglichenwerden. Fur viele Anwendungen, aber auch bei der Stabilisierung der Spurfor-mel – oder auch Teilen der Spurformel, wie etwa der elliptischen Terme, derenStabilisierung in [KS99] modulo des fundamentalen Lemmas gezeigt wird – ver-gleicht man die Spurformel fur G mit denen zu ”kleineren” quasizerfallenden zu-sammenhangenden Gruppen H mit Zusatzstruktur (vergleiche (5.3)). Diese ”endo-skopische” Gruppen hangen nach ihrer Definition [LS87, (1.2)] bzw. [KS99, (2.1)]ziemlich indirekt mit G zusammen, namlich zweifach uber einen Dualisierungspro-zess: H ! LH → LG ! G (im einfachsten Fall). Man kann allerdings halb-einfache Elemente bzw. F–Tori direkt (und uber F !) von H nach G einfuhren.(Deswegen hat Langlands diese Gruppen wohl endoskopisch genannt.)Dadurch werden zu gewissen stark regularen Elementen γ ∈ Had(F ) Elementeδ ∈ L(F ) assoziiert, die nach [KS99, Lemma 3.3.C] ebenfalls stark regular sindim Sinne von Definition 3.2. Genauer besteht ein solches Matching γ ↔ δ ∈ L(F )allerdings zwischen den stabilen Konjugationsklassen von γ bzw. δ in H bzw. G.(Fur stark regulare Elemente δ ∈ G(F ) ist die stabile Konjugationsklasse der Schnittder G(F )–Konjugationsklasse von δ mit G(F ), wobei ab nun immer G := G.)Ausgehend von dem Begriff des Matchings zwischen Elementen vonH und L, definie-ren [LS87, 1.4] bzw. [KS99, (5.5)] den Begriff eines Matchings von Funktionen. EinMatching fH ↔ f zwischen zwei Funktionen fH ∈ C∞c (H(F )) und f ∈ C∞c (L(F ))(mit gewissen Eigenschaften bezuglich zentraler Elemente bzw. Charaktere vonG(F ) ...) liegt vor, wenn ihre Orbitalintegrale folgendermaßen ”aufeinandertref-fen”/”zusammenpassen”:

OH,stγ (fH) =

∑δ∈L(F )/G(F )–Konj.

∆(γ, δ)OL,ωδ (f),

wenn γ ↔ δ ∈ L(F ) ein Matching stark regularer halbeinfacher Elemente ist.Die hierbei auftretenden Gewichtungsfaktoren ∆(γ, δ) stehen im Mittelpunkt dieserArbeit. Diese Transferfaktoren sind – wie auch Endoskopie und Matching – vonLanglands und Shelstad (in [LS87]) bzw. Kottwitz und Shelstad in [KS99] sowohlfur globale (Zahl–) Korper als auch fur lokale Korper definiert worden. Der globaleTransferfaktor ist dabei ein Produkt uber die lokalen ∆(γν , δν).

Diese Arbeit beschrankt sich auf die lokalen Transferfaktoren, und zwar an fast allenStellen eines Zahlkorpers: Fast immer ist F ein p–adischer Korper mit genugend

vi

großer Restklassencharakteristik p und G = 〈L〉 eine reduktive Gruppe, die voneiner uber F definierten Zusammenhangskomponente L erzeugt wird. (Man nimmtan, daß L(F ) 6= 0.) Die weiteren Annahmen uber L, G, die endoskopische GruppeH und ein a ∈ H1(F,Cent(G)) sind im Paragraphen ”Fundamentale Annahmen” in(5.17) zusammengestellt.

Sei zum Beispiel G einfach zusammenhangend, zerfallend uber F und mit Wurzel-system Φ(G) vom Typ D7, d.h. G = Spin(2 · 7). Sei Θ ein Automorphismus von G,der ein F–Splitting (das sind hier ein Splittorus T in einer F–Borelgruppe B undWurzelvektoren fur die einfachen (positiven) Wurzeln von Φ(G,B,T)+) stabilisiertund so operiert, daß auf dem Dynkindiagramm, der nichttriviale Diagrammauto-morphismus bewirkt wird, und G := Go 〈Θ〉.Dann ist die duale Gruppe G×Gal(F /F ), wobei G = PSO2·7(C) = g ∈ PGl(14) |tgJg = J (tg ist das Transponierte zu g und J = (−1i · δi,15−j)i,j) und der durch

Θ definierte Automorphismus θ von G, der das ubliche Splitting mit den oberenDreicksmatrizen stabilisiert, ist gegeben durch Konjugation mit dem Element derorthogonalen Gruppe, das auf dem Diagonaltorus T ⊂ G operiert durch vertauschender 7. und 8. Eintrage: Θ(Diag(t1, ..., t7, t

−17 , ..., t−1

1 ))=Diag(t1, ..., t6, t−17 , t7, t

−16 , ...).

Sei T ein anisotroper unverzweigter Θ–stabiler F–Torus, so daß durch die Identi-fikation X∗(T ) = Hom(T,Gm) = Hom(Gm, T ) = X∗(T ) die auf T ubertragene

Galoisaktion von dem Coxeterelement der Weylgruppe W (T , G)θ = W (T θ, Gθ)erzeugt wird. Genauer soll (dabei) der Frobenius eines unverzweigten endlichenZerfallungskorpers F ′/F auf t = Diag(t1, ..., t7, t

−17 , ..., t−1

1 ) operieren durch (162534)i4,7 θ = (162534)i4, wobei der Zykel die Permutation auf den Indizes angibt und ixdie Eintrage, die invertiert werden. Sei s := (−1,−1,−1, 1, 1, 1, 1, ...) ∈ T . Dann ist

H = (Gsθ) vom Typ B3×B3 und das Duale einer F–zerfallenden Gruppe vom TypC3×C3. Weil H vom adjugierten Typ ist, ist die zugehorige endoskopische GruppeH = Sp(6)× Sp(6).Nach den Rechnungen im Anhang (Fall 2.1 auf Seite 160) ist dies eine endoskopischeGruppe, in der es einen F–Torus TH gibt, fur den TH ' TΘ := T/(1 − Θ)T uberF definiert ist. Das ermoglicht Matching zwischen TH(F ) 3 γ ↔ δ = t · Θ, furt ∈ T (F ). Mit den Formeln aus Kapitel 8 kann man den (lokalen) Transferfaktorvon Kottwitz und Shelstad berechen zu

∆(γ, δ) =

(−1

q6/2

)valF

((t1/t4 − 1)(t2/t4 − 1)(t3/t4 − 1)

),

wenn t = δ · Θ−1 = Diag(t1, ..., t7, t−17 ...t−1

1 ) ∈ T (F ), q die Große des Restklas-senkorpers von F bezeichnet und valF die Bewertung von F , fur die valF (F×) = Z.

Es folgt eine kapitelweise Beschreibung der Arbeit.

Im zweiten Kapitel wird folgender Satz von Steinberg bewiesen und verallgemeinert:

vii

Satz ([St68, 8.1]). Sei G eine reduktive Gruppe und Θ ein halbeinfacher Auto-morphismus von G. Dann ist (GΘ) eine reduktive Gruppe.

Beim Beweis wird ausfuhrlich die Struktur der Untergruppen Norm(T,G)Θ, TΘ undUΘ analysiert, die GΘ nach der Bruhatzerlegung bestimmen.In den hinteren Paragraphen von Kapitel 2 wird diese Information benutzt, um(unter anderem) den wichtigen Satz von Dynkin zu verallgemeinern, der eine Bi-jektion zwischen den Dynkintypen der maximalen reduktiven Untergruppen einerzusammenhangenden reduktiven Gruppe G und den maximalen Subgraphen deserweiterten Dynkindiagramms zu G ergibt. Man benutzt dazu geeignete Dynkin-diagramme fur Gruppen mit Twists (vgl. S. 29), die sich aus der Geometrie desAlkovens (eines Fundamentalbereichs der Exponentialfunktion auf einen maximalenTorus) ergeben. Diese Diagramme sind dieselben, welche Tits (z.B. in [Ti79, 4.]) beiden Klassifikationen der einfach–algebraischen Gruppen (uber p-adischen Korpern)benutzt.Als weitere Anwendung werden in Behauptung 2.43 die Fundamentalgruppen derGruppen Cent(δ,G) =: Gδ berechnet, wenn G einfach zusammenhangend und ein-fach algebraisch ist.

Das dritte Kapitel vereinigt Einiges, was spater benotigt wird. Gemeinsam ist fastallen diesen Themen, daß sie halbeinfache Elemente (in nicht notwendig zusam-menhangend reduktiven Gruppen) behandeln.Insbesondere wird der Begriff eines (maximalen) Torus verallgemeinert. Die Idee ist,maximale Tori als Bizentralisatoren Cent(Cent(δ, G), G) =: T von (fast) halbeinfa-chen Elementen aufzufassen. (Die ublichen Zentralisatoren Cent(δ,G) halbeinfacherElemente sind namlich zu klein, wenn intδ außere Automorphismen von G bewirkt.)Wenn G nicht zusammenhangt, sind diese Tori nicht mehr zusammenhangend. Aberdie (wichtigsten) Struktursatze maximaler Tori lassen sich verallgemeinern: Jedesfast halbeinfache Element von G liegt in einem Torus (3.3), je zwei Tori sind G(F )–konjugiert (3.5), Norm(T , G)/T ist eine Coxetergruppe, usw.

Bei der Berechnung der Transferfaktoren spielt an wesentlicher Stelle – bei der Be-rechnung von ∆I und der Normierung von ∆III – die Wahl einer maximal kompakten(Θ–invarianten) Untergruppe von G(F ) eine entscheidende Rolle. Daher wird in Ka-pitel 4 die Theorie der Gebaude von Bruhat und Tits [BT72] und [BT84] referiert.Nach einem knappen Einstieg, der sich im wesentlichen auf Tits’ Bericht in Corva-lis [Ti79] stutzt, werden einige Dinge fur Gebaude von nicht zusammenhangenden(unverzweigten und halbeinfachen) Gruppen bewiesen, denn die Literatur zu diesemThema scheint luckenhaft veroffentlicht.Das ganze Kapitel zielt auf die Definition 4.45 und den letzten Satz 4.44. Er isteine wesentliche Ingredienz im Satz 8.6, in dem gezeigt wird, daß es innerhalb derhalbstabilen Konjuagtionsklasse eines anisotropen (unzusammenhangenden) unver-zweigten F–Torus T ⊂ G (vgl. Definition 3.17) immer eine maximal kompakte

viii

Untergruppe U ⊂ T ′(F ) gibt, deren Fixpunkt im Gebaude zu G(F ) eine hyperspe-zielle Ecke ist. Damit wahlen in Kapitel 8 die maximal kompakten Untergruppender anisotropen Tori die maximal kompakten Untergruppen von G.

Im Kapitel 5 beginnt die eigentliche Arbeit mit der Referenz der wichtigsten Kon-zepte aus [KS99]: Endoskopie, Matching halbeinfacher regularer Elemente und dievier Transferfaktoren ∆I, ..., ∆IV aus denen der Transferfaktor ∆ zusammengesetztist. Im Abschnitt ”fundamentale Annahmen” wird angegeben, welche vereinfachte(lokale) Situation stets das Hauptinteresse ist. (Die Liste (5.17) auf Seite 86 ist zwarkurz, kann aber erst formuliert werden, wenn Endoskopie eingefuhrt wurde. Sie mußauf jeden Fall vor der Definition der Transferfaktoren stehen, da deren allgemeinsteDefinition viel zu aufwendig ware.)Neben Referenzen und einfachen Betrachtungen werden in diesem Kapitel drei wich-tige Dinge unternommen. Zum einen werden die Faktoren ∆I und ∆III normiert.Bei ∆I(γ, δ) hat man das Problem, daß er von einer Wahl (eines F–Splittings vonGΘ∗

sc ) abhangt, die keiner der anderen Faktoren kompensiert (wie es bei den anderenWahlen ublich ist). Diese Abhangigkeit sollte durch Wahl ausgezeichneter Splittingswegnormiert werden.Der Faktor ∆III(γ, δ; γ, δ) hangt dagegen nach Definition in [KS99, (4.4)] ”genuin”von zwei Matchings ab. Hier gilt es, das Refenzmatching (γ, δ) moglichst kanonischzu wahlen.Beide Probleme lassen sich (unter den Annahmen (5.17)) losen, wenn man die Wahleines hyperspeziellen (Θ∗–stabilen) Punktes x im Gebaude B(G,F ) zu G(F ) in Kaufnimmt. Nach dieser Wahl werden in (5.27) Splittings und in 5.43 Referenzmatchingsdefiniert, deren Wahl weder ∆x

I noch ∆xIII beinflussen.

Das dritte Problem in Kapitel 5 betrifft die Gruppe H im endoskopischen Datum(5.3). Sie vermittelt zwischen den L–Gruppen LH und LG und ist im allgemeinenselbst keine L–Gruppe (auch nicht fur halbeinfache, einfach zusammenhangendesG), geschweige denn isomorph zu LH. (Dieses Faktum verdoppelt die Definitionvon ∆III in [KS99].)Im letzten Paragraphen von Kapitel 5 wird gezeigt, daß unter den fundamenta-len Annahmen (5.17) (naturlich ohne die Annahmen (6) und die zweite Annahmein (5)!) tatsachlich H ' LH ist und die L–Einbettung LH → LG sogar uberH o Gal(F ′/F ) → Go Gal(F ′/F ) mit einer endlichen, unverzweigten ErweiterungF ′/F faktorisiert.

Das sechste Kapitel bringt die Verallgemeinerung des Homogenitatsresultats aus[Hal93] auf Tranferfaktoren mit Twists. Dabei wird beschrieben, wie ∆(γ, δ) wachst,wenn man den topologisch unipotenten Anteil der topologischen Jordanzerlegungvon γ und δ (die ab nun beide in kompakten Gruppen liegen sollen) gegen 1 strebenlaßt. (Der topologisch unipotente Teil δu eines halbeinfachen Elements δ ∈ G istcharakterisiert als der Einseinheitenanteil von ρ(δ) bei einer (oder jeder) stetigenDarstellung ρ der Gruppe G in einer (genugend großen) Gln(Qp). Der Restanteilδs = δδ−1

u ist das, was man bei der Reduktion mod p als halbeinfachen Teil noch

ix

sieht. Deswegen wird δs in 3.29 der residuell halbeinfache Teil genannt werden.)Man geht folgendermaßen vor: Man potenziert γ und δ mit einer geeigneten p–PotenzQ, so daß die residuell halbeinfachen Anteile γs = γQ

s , δs = δQs nicht verandert

werden, aber die topologisch unipotenten Teile γQu , δQ

u gegen 1 gehen. Dann erhaltman als quantitative Aussage uber das Wachstum (in Satz 6.4 bzw. 6.5)

∆(γQ, δQ) = ∆(γ, δ) · |Q||M|2

F ,

wobei M ⊂ Φ(G)Θ∗ eine gewisse Teilmenge von Wurzeln ist. Ihre Große hangtungefahr davon ab, wie stark das Wurzelsystem Φ(H) der endoskopischen Gruppevon dem der Fixgruppe Φ(GΘ) abweicht und auf welchen dieser Wurzeln δ nur bisauf topologisch unipotente Faktoren nur aus einem Vertreter θ∗ fur die gesternteAktion von L (vgl. (1.8)) besteht.Der Wachstumsfaktor |Q||M |/2 kommt vom Faktor ∆IV her, der | · |F –Betrag einesQuotients zweier Harish–Chandra–Diskriminanten ist.Die Schwierigkeiten liegen wieder beim Faktor ∆III: Man hat zu zeigen, daß ernur vom residuell halbeinfachen Anteil der topologischen Jordanzerlegung bestimmtwird, d.h.

∆III(γ, δ) = ∆III(γs, δs).

Das ist Satz 6.9.

Kapitel 7 beschaftigt sich mit dem Abstieg. Zum einen mochte man auf halbeinfacheGruppen absteigen, zum anderen auf Θ–stabile Levifaktoren von G. Nach diesenReduktionen darf man sich fur den Rest der Arbeit auf halbeinfache Gruppen be-schranken, in denen T anisotrop ist. Das funktioniert routinemaßig, wenn man dieSataketransformation ein wenig modifiziert bzw. verallgemeinert.

Fur unverzweigte halbeinfache Gruppen G und stark kompakte, stark regulare δ,fur die der zugehorige Torus T = Cent(Gδ, G) unverzweigt und anisotrop ist, wirdder Tranferfaktor ∆ in Kapitel 8 berechnet. Hierzu wird in Definition 8.7 eineDiskriminante ∆U(δ) verallgemeinert, die Weissauer in [W] fur zusammenhangendeGruppen definiert hat. Sie ist eine rationale Funktion in p (bzw. der Restklassen-große q = |OF/pF |) und wird gebildet zu einer maximal kompakten Untergruppe Uvon T (F ). Das Hauptresultat Satz 8.10 ist dann, daß

∆(γ, δ) =∆U(δ)

∆TH(F )(γ)

fur alle γ ∈ TH(F ), die einen vorgegebenen 1–Kozykel z∗H(σ) ∈ Z1(F,Cent(H))beranden. In Abhangigkeit von γ ist δ = δ(γ) ∈ G(F ) (nach 8.2) stark regular undkompakt wahlbar, so daß γ ↔ δ ein Matching ist (vgl. Definition 5.9)).

Im Appendix werden alle endoskopischen Gruppen zu den einfachen, unverzweigtenGruppen G angegeben, die ein Matching ermoglichen, an dem ein primitiver ani-sotroper Torus beteiligt ist. ”Primitiv” wurde in [BFW] definiert und bedeutet im

x

wesentlichen, daß solche Tori in keine reduktive Untergruppe von G ”absteigen”.(Vgl. Behauptung A.5.)

Ich bedanke mich bei Professor Weissauer fur viele und wesentliche Anregungenund seine Unterstutzung, bei Dr. Uwe Weselmann fur Korrekturen und zahlloseGesprache uber meine Arbeit und den Mitarbeitern des Lehrstuhls Mathematik III,von denen allen ich profitiert habe.

1

1 Bezeichnungen und Bekanntes

(1.1) In dieser Arbeit sei F (außer in Kapitel 2 und (5.18)) ein lokaler Korper derCharakteristik 0 mit Restklassencharakteristik p, d.h. ein p–adischer Korper, F einalgebraischer Abschluss und valF seine Bewertung, so normiert, daß valF (F×) = Z.Der Betrag | · |F auf F sei die Fortsetzung von |OF/p|−valF (·) auf F . Die Primzahlp sei groß genug fixiert. Das wird spater in (5.17) prazisiert.

Die Weilgruppe nach [Ta79]: Zur absoluten Weilgruppe WF von F gehoren stetsdie folgenden Homomorphismen ϕ und rE. Fur den p–adischen Korper F hat manϕ : WF → Gal(F /F ) mit folgendem Bild: Sei κ(E) der Restklassenkorper einerendlichen Korpererweiterung E ⊂ F von F und κ =

⋃E κ(E). Dann ist ϕ(WF ) die

Untergruppe aller σ ∈ Gal(F /F ), die auf κ die Abbildung x 7→ x|κ(F )|n induzierenfur ein geeignetes n ∈ Z.In diesem Abschnitt sei E/F immer endlich. Sei WE := ϕ−1(Gal(F /E)) undWE/F := WF/[WE,WE] die relative Weilgruppe. Man hat WF ' lim←WE/F alstopologische Gruppen, wobei der projektive Limes uber alle (endlichen Erweiterun-gen) E/F gefuhrt wird.Die anderen Homomorphismen rE : E×

∼−→ (WE)ab := WE/[WE,WE], die unabding-bar zu WF gehoren, sind so, daß

rE : E×∼ rE−−−→ (WE)ab induziert−−−−−→

von ϕGal(F /E)ab

die Reziprozitatsabbildung der Klassenkorpertheorie ist. Frei benutzt werden die(weiteren) wohlbekannten funktoriellen Eigenschaften [Ta79, (W2)] (”Konjugati-on”), [Ta79, (W3)] (”Inklusion versus Verlagerung”), [Ta79, (1.2.2)] (”Norm versusInklusion”) und fur Galoiserweiterungen E/F die exakte Sequenz

1 −→ E× −→ WE/F −→ Gal(E/F ) −→ 1,(i)

bei der rechts rE benutzt wurde und links ϕ. (Die Extensionsklasse von WE/F istdabei die fundamentale (kanonische) Klasse αE/F ∈ H2(Gal(E/F ), E×) der Klas-senkorpertheorie.)

(1.2) Sei A eine Menge, auf der eine Gruppe G operiert, x ∈ A, B ⊂ G und Heine Untergruppe von G. Folgende Bezeichnungen werden (standig) benutzt:

StabA(G) := g ∈ G | ∀a ∈ A : g · a ∈ A =: Stab(A,G)

FixA(G) := g ∈ G | ∀a ∈ A : g · a = a =: Fix(A,G)

Gx := Stabx(G) = Fixx(G)

Norm(H,G) := g ∈ G | gHg−1 ⊂ HCent(B,G) := g ∈ G | ∀b ∈ B : gb = bg Cent(G) := Cent(G,G)

2 1. Bezeichnungen und Bekanntes

(1.3) Spharische Wurzelsysteme werden nur im Zusammenhang mit reduktivenGruppen benutzt werden: Sei G eine zusammenhangende reduktive Gruppe uberF und T ein maximaler Torus von G. Das Wurzelsystem von G (bezuglich der T–Aktion auf Lie(G)) wird mit Φ = Φ(G, T ) ⊂ X∗(T ) := Hom(T,Gm) bezeichnet, dieKowurzeln mit Φ∨ = Φ∨(G, T ) ⊂ X∗(T ) := Hom(Gm, T ). Sei V = X∗(T )⊗Z R unddual dazu V ∗ = X∗(T )⊗Z R. Ferner sei Z[Φ]∗ = v ∈ V | α(v) ∈ Z fur alle α ∈ Φdas zu Z[Φ] duale Gitter in V . Die Weylgruppe W = W (Φ) ist die von allenSpiegelungen sα : x 7→ x − 〈α, x〉α∨ an den Hyperebenen Kernα fur alle α ∈ Φerzeugte Gruppe. In der Situation oben hat man W (Φ) = Norm(T,G)/T = W (T ).Nach Wahl einer Basis ∆ (oder gleichbedeutend eines Positivbereichs Φ+ bzw. einerBorelgruppe B) bezeichne α+ die Wurzel maximaler Hohe. Das Wurzeldatum von GΨ(G, T ) = (X∗(T ),Φ, X∗(T ),Φ∨) legt die Isomorphieklasse von G uber F eindeutigfest. Nutzlich ist:

Ψ(Gder) =(X∗(T )

/(X∗(T ) ∩ V ⊥der),Φ, X∗(T ) ∩ Vder,Φ

∨)Ψ(Cent(G)) =

(X∗(T )

/(X∗(T ) ∩ V ∗der), ∅, X∗(T ) ∩ (V ∗der)

⊥, ∅),

wobei Vder := Z[Φ∨]⊗ R und V ∗der := Z[Φ]⊗ R.Ein Wurzelsystem Φ heißt reduziert, wenn aus α ∈ Φ und k · α ∈ Φ stets k ∈ ±1folgt. Wenn Φ nicht reduziert ist, sei Φlang = α ∈ Φ | 2α 6∈ Φ und Φkurz = α ∈Φ | 1

2α 6∈ Φ. Beide simd reduzierte Wurzelsysteme und Φ = Φlang ∪ Φkurz. Die

Wurzeln aus Φlang ∩ Φkurz werden manchmal reduziert genannt.

(1.4) Affine Wurzelsysteme kommen (mehrmals variiert) in folgender Form vor:Sei W wie eben eine spharische Weylgruppe und X∗ ⊂ V ein W–stabiles Gitter.Dann ist X∗ oW eine affine Weylgruppe, indem x ∈ X∗ als Translation (um x) aufV operiert.Affine Weylgruppen, die Spiegelungsgruppen (Coxetergruppen) sind, stehen (nach[St68, 3.5+6]) in Korrespondenz zu affinen Wurzelsystemen. Das sind Wurzelsy-steme der Form Φaff = (α, k) ∈ Φ | α ∈ Φ, k ∈ Z, wobei man ublicherweise(α, k) = α + k als inhomogene lineare Funktion auf V schreibt. Dann sind dieWande Hα,k = x ∈ V | α(x) + k = 0 fur alle α + k ∈ Φaff die Spiegelungshyper-ebenen und X∗ = Z[Φ∨].

(1.5) Kammerkomplexe werden benutzt, weil sie sich eignen, die kombinatori-schen Aspekte von affinen Weylgruppen zu beschreiben.Ein Kammerkomplex der (kombinatorischen) Dimension n in einem affinen RaumV besteht aus einer Teilmenge (”Ecken”) E ⊂ V und einer Menge F (”Facetten”)von endlichen Teilmengen von E. F ist partiell geordnet bezuglich der Inklusion

und (E,F ,⊂) erfullt folgende Eigenschaften:

(1) x ∈ E ⇒ x ∈ F . Außerdem ist ∅ 6= F .(2) F ∈ F und ∅ 6= F ′ ⊂ F =⇒ F ′ ∈ F .(3) Jede Facette ist in einer maximalen Facette enthalten. Diese maximalen Fa-

cetten heißen Kammern und ihre Kardinalitat ist n.

3

(4) Je zwei Kammern C,C ′ ∈ F lassen sich uber eine ”Gallerie” verbinden, dasist eine Folge (Ci)i sukzessiv benachbarter Kammern C ∼ C1 ∼ C2 ∼ · · · ∼Cm ∼ C ′

Dabei heißen zwei Kammern C, C ′ benachbart (C ∼ C ′), wenn sie eine gemeinsame”Kammerwand” W haben, d.h. eine Facette W mit |W | = n− 1 = |C| − 1.Eine Abbildung von Kammerkomplexen respektiert diese Strukturen: Sie bildetFacetten auf Facetten ab und erhalt die Incidenzrelation. Allerdings wird nichtgefordert, daß Ecken auf Ecken abgebildet werden.Anmerkung: ”Ecken” sind hier als kleinste Einheit eines kombinatorischen Systemsgemeint. In nachfolgenden Beispiel konnen dies aber ganze translierte Unterraumevon V sein. Man spricht dann besser von Facetten niedrigster Dimension.

Beispiel: Ein Wurzelsystem Φ ⊂ V ∗ definiert folgenden Kammerkomplex auf V :Wie in (1.4) angegeben, bildet man Φaff und die ”Wande” Hα,k. Die Zusammen-hangskomponenten von V \

⋃α∈Φ,k∈ZHα,k seien die Kammern. Die Facetten werden

induktiv definiert: Eine Facette F der Dimension m > 2 ist Teilmengen von V derForm F = (F1 ∩ F2)

, so daß einerseits F1, F2 Facetten der Dimension m + 1 sindund andererseits F eine offene Teilmenge eines (geeigneten) affinenm–dimensionalenUnterraums enthalt. Facetten der Dimension 1 sind von der Form F1 ∩ F2 6= ∅ furzwei eindimensionale F1, F2. Das sind notwendig Ecken.Alle Kammerkomplexe K, die in dieser Arbeit bewußt als Kammerkomplexe an-gesehen werden, sind Quotienten

∐i∈I Ki K von disjunkten Vereinigungen von

Kammerkomplexen, die zu Wurzelsystemen Φi ∈ V ∗i gebildet werden, wie im Bei-spiel angegeben.

Satz 1.6 (Chevalley-Steinberg). Sei v ∈ V und Waff = Z[Φ∨] o W eine affineWeylgruppe, die als Spiegelungsgruppe auf V operiert, wie in (1.4) angegeben. Dannist der Fixator WH := (Z[Φ∨] oW )v von v eine Spiegelungsgruppe, erzeugt von denSpiegelungen aus Waff , die v festlassen.Sei C eine Kammer, so daß v ∈ C. Ihre Wande seien in Hyperebenen Hαi,ki

(1 ≥i ≥ r) enthalten. Dann ist αi | v ∈ Hαi,ki

eine Basis eines Wurzelsystems ΦH ,dessen Weilgruppe isomorph zu WH ist.

Beweis: [St68, 1.19]

(1.7) Automorpismen und Splittings: SeiG eine zusammenhangende reduktiveGruppe uber F . Ein Paar (B, T ) von G besteht aus einer Borelgruppe B und einemTorus T ⊂ B. Ein Splitting (von G) ist ein Tripel splG = (B, T, Xαα∈∆(B,T )),wobei (B, T ) ein Paar ist und die Xα Wurzelvektoren (d.h. nichttriviale Vektorenaus den Gewichtsraumen gα zu den α ∈ ∆ bei der Operation von T auf der Lieal-gebra von G). Die Automorphismengruppe von G wird mit Aut(G) bezeichnet, dieinnerern Automorphismen mit Inn(G), die außeren mit Out(G) := Aut(G)/Inn(G)und Aut(G,B) oder Aut(G, splG) sind die Gruppen der Automorphismen, die B


bzw. splG stabilisieren. Die Wahl eines Splittings ermoglicht einen (eindeutigen)Schnitt der exakten Sequenz

1 −→ Inn(G) −→ Aut(G) −→ Out(G) −→ 1.

(1.8) Die gesternte Aktion: Nach Wahl eines Splitting splG kann man jedemθ ∈ Aut(G,B, T ) ein θ∗ ∈ Aut(G, splG) zuordnen, so daß θ und θ∗ in Out(G)dasselbe Bild haben. Dieses θ∗ wird die gesternte Aktion von θ bzgl. des SplittingssplG genannt werden.

(1.9) Unverzweigt: In dieser Arbeit werden die verschiedensten Dinge unver-zweigt sein. Reduktive Gruppen uber F werden unverzweigt genannt, wenn siequasisplit sind und uber einer unverzweigten Erweiterung von F zerfallen. Endlich-dimensionale (stetige) Darstellungen einer topologischen Gruppe H werden unver-zweigt bezuglich einer maximalen kompakten Untergruppe K genannt, wenn sieK–fixierte Vektoren besitzen. Insbesondere sind (eindimensionale) unverzweigteCharaktere trivial auf K. Unverzweigte 1–Kozykeln oder Kohomologieklassen inH1(WE/F , H) (immer stetige Kohomologie!) sind auf den Einheiten O×E ⊂ E× ⊂WE/F trivial. Unter der Langlandskorrespondenz Homc(T (F ),C×) ' H1

c (WF , T )korrespondieren unverzweigte Homomorphismen eines Torus T zu unverzweigtenKohomologieklassen. (Vgl. (3.37).)

(1.10) L–Gruppen: Sei G eine reduktive, quasizerfallende F–Gruppe, (B, T ) einuber F definiertes Paar und Ψ = Ψ(G,B, T ) = (X∗(T ),∆(B), X∗(T ),∆∨(B)) ein”based” Wurzeldatum. Dann ist die L–Gruppe zu G gegeben durch das Tripel(G, ρG, ηG). Dabei ist

• G die zu G duale Gruppe, d.h. eine komplexe Gruppe mit dem dualen Wur-zeldatum Ψ∨ = (X∗(T ),∆∨(B), X∗(T ),∆(B)).

• ρG : Gal(F /F )→ Aut(G) eine L–Aktion, d.h. eine Aktion, deren Bild bereitsin Aut(G,B, T ) liegt fur ein gegeignetes Paar (B, T ) in G.

• η : Ψ(G)∨ → Ψ(G) eine Bijektion, die die Galoisaktion auf Ψ(G)∨ mit der vonder L–Aktion induzierten Aktion auf Ψ(G) vertauscht, d.h. die Bijektion istΓ := Gal(F /F )–aquivariant.

Notiert werden L–Gruppen aber kurzer als semidirekte Produkte LG := G o WF ,wobei WF die (absolute) Weilgruppe von F /F ist und die Aktion von WF gegeben

ist durch WFProj−−→ Γ

ρG−→ Aut(G). Fur nicht quasisplite Gruppen G wird die L–Gruppe zu einer quasispliten inneren Form gebildet. Man zeigt (z.B in [Bo79]), daßLG bis auf Isomorphie nicht von dieser inneren Form abhangt und ebensowenig vonder Wahl von (B, T ). Ein L–Homomorphismus ist ein Homomorphismus zwischenzwei semidirekten Produkten G1oWF → G2oWF , der auf der zweiten Komponentedie Identitat ist.

5

(1.11) Borovois Fundamentalgruppe ([Boro98], [Mil92, Appendix B]): Sei Greduktiv und ρ das Kompositum Gsc Gder → G. Ferner sei T ein maximalerTorus in G, definiert uber F , und Tsc sein Urbild unter ρ. Dann ist

π0(G) := G/G

π1(G) := X∗(T )/ρ∗(X∗(Tsc)) = X∗(T )/Z[Φ(G, T )∨].

Man kann nachweisen, daß π1 bis auf kanonischen Isomorphismus nicht von der Wahlvon T abhangt. Die Fundamentalgruppe π1(G) hat folgende Eigenschaften:

(a) π1 ist ein exakter Funktor von der Kategorie der reduktiven Gruppen uber F indie Kategorie der Gal(F /F )–Moduln.

(b) Ein innerer Twist G→ G′ induziert einen Isomorphismus π1(G)→ π1(G′).

(c) π1(G) ' X∗(Cent(G)) (kanonisch!)

(d) Falls G halbeinfach ist, gilt (π1(G))′ = (Kern(ρ))D, wobei (·)′ = Hom(·,R/Z)das Pontryagindual und (·)D das Cartierdual bezeichne.

(e) Fur einen Torus T gilt π1(T ) = X∗(T ).

(1.12) a–Data werden nur zu Wurzelsystemen Φ mit Galoisaktion benutzt werden.Ein a–Datum ist dann eine Menge aα ∈ F× | α ∈ Φ, so daß

a−α = −aα und aσα = σaα fur alle α ∈ Φ und σ ∈ Γ = Gal(F /F ).

Solche a–Data existieren: Fur einen Orbit Γ · α gilt entweder Γα = −Γα (symme-trischer Orbit) oder −Γα ∩ Γα = ∅ (asymmetrischer Orbit).Nach Vorschrift oben kann man fur einen asymetrischen Orbit ein beliebiges aα ∈ F×wahlen. Die restlichen aλ aus Γ(−α)∪Γα sind durch die Vorschriften dadurch fest-gelegt.Fur jeden symmetrischen Orbit Γα ist die Vorschrift gleichbedeutend zur Wahl eines(beliebigen) aα ∈ Kern SpurF+/F± ∩ F

×, wobei F+/F± die quadratische Erweiterungdes Fixkorpers F± zu Stab±α(Γ) mit dem Fixkorper F+ zu Stabα(Γ) ist. WegenH1(F+/F±, F+) = 0 ist in diesem Fall stets aα = x − τ(x) fur ein x ∈ F+\F± und〈τ〉 = Gal(F+/F±). Wenn F+/F± unverzweigt ist, kann man daher a–Data aus denEinheiten O×F± oder dem Teichmullerschen Restsystem µF± von F± wahlen.

(1.13) z–Extensionen ([L79, S. 720ff], [K82, §1]): Eine Surjektion α : G1 Gvon zusammenhangenden reduktiven F–Gruppen heißt z–Extension, wenn (G1)der

einfach zusammenhangend ist und Kernα ⊂ Cent(G1) ein direktes Produkt von(zentralen) Tori ResEi/F (Gm) ist (fur geeignete endliche Erweiterungen Ei/F ). Ins-besondere folgt mit Shapiros Lemma und Hilbert 90, daß H1(E,Kernα) = 1 fur alleTeilkorper E ⊂ F .Langlands hat (in der zitierten Arbeit) die Existenz von z–Extensionen (fur allereduktiven G) gezeigt.


7

2 Reduktive Gruppen mit Twists

(2.1) Sei G eine zusammenhangende reduktive Gruppe, definiert und zerfallenduber einem Korper F ∈ C. Sei (B, T ) ein Paar fur G, d.h. B eine Borelgruppe von Gund T der maximale Torus in B. Sei I eine Untergruppe von Aut(G,B, T ). Auf derLiealgebra Lie(G) operiert I durch σ(X) = dσ X. Weil sich die Automorphismenvon I eindeutig zu Automorphismen von Gsc liften lassen, werden diese von derNotation nicht unterschieden.

(2.2) In diesem ganzen Kapitel sei ein Splitting splG ⊃ (B, T ) fixiert und diegesternte Aktion σ∗ ∈ Aut(G, splG) eines σ ∈ Aut(G) wird immer bzgl. splGgebildet. Sei I∗ = σ∗ | σ ∈ I. Weil σ ∈ I und σ∗ auf T dieselbe Operationbewirken, operieren sie auch gleich auf X∗(T ), Φ(G, T )∨, X∗(T ), Φ(G,B)+ (durchσ(α) := α σ∗−1) und W = N(T )/T . Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht,wird Norm(T,G) = N(T ) abgekurzt.Sei Iα der I–Orbit von α in Φ und Iα = σ ∈ I | σ(α) = α der Stabilisator von α.

Wurzelsysteme mit Twists

Definition 2.3. Sei PI(x) = 1|I|∑

σ∈I σ die Projektion von V auf V I (bzw. von V ∗

auf V ∗I). Weil PI(Φ) ein (nicht notwendig reduziertes) Wurzelsystem ist, lassensich die Wurzeln aus Φ in drei Typen unterteilen: α ∈ Φ ist vom

Typ I , wenn 12· PI(α) 6∈ PI(Φ) 63 2 · PI(α) (”PI(α) ist reduziert”).

Typ II , wenn 2 · PI(α) ∈ PI(Φ) (”PI(α) ist nicht reduziert und kurz”).Typ III, wenn 1

2· PI(α) ∈ PI(Φ) (”PI(α) ist nicht reduziert und lang”).

Fur Wurzelvektoren x ∈ Φ oder x ∈ Φ∨ sei SI·x :=∑

γ∈I·x γ die Summe uber denI–Orbit von x (gebildet in V ∗ bzw. V ).Folgende Funktion auf Φ (bzw. Φ∨) wird sehr nutzlich: Sei c(α) = 2, falls α vomTyp II ist, und c(α) = 1 sonst. Klarerweise ist c eine Funktion auf den I–Orbitenvon Φ.

Beispiel 2.4. Der Ausnahmefall 2A2n:Sei (εi)1≤i≤2n+1 die Standardbasis von C2n+1 und V die zu (1, ..., 1) orthogonaleHyperebene. Der Automorphismus θ bilde εi auf−ε2n+2−i ab. Die positiven Wurzelnsind Φ+ = εi − εj | 1 ≤ i < j ≤ 2n + 1, ihre Basis ∆ bilden die αi := εi − εi+1

(i ∈ 1, 2, ..., 2n). Die Wurzeln vom Typ I haben die Gestalt εi − εj, wobei i 6=n+ 1 6= j und i+ j 6= 2n+ 2. Eine Wurzel vom Typ III hat die Gestalt εi− ε2n+2−i.Die zu dieser Wurzel gehorenden Wurzeln vom Typ II sind das Paar εi − εn+1 und

8 2. Reduktive Gruppen mit Twists

εn+1 − ε2n+2−i. Man hat z.B.

Typ I II IIIα ε1 − ε2 = α1 εn − εn+1 = αn εn − εn+2 = αn + αn+1

PI(α) 12(ε1 − ε2 + ε2n − ε2n+1)

12(εn − εn+2) εn − εn+2

SIα ε1 − ε2 + ε2n − ε2n+1 εn − εn+2 εn − εn+2

(PI(α∨))∨ ε1 − ε2 + ε2n − ε2n+1 2(εn − εn+2) εn − εn+2

(SIα∨)∨ 12(ε1 − ε2 + ε2n − ε2n+1) εn − εn+2 εn − εn+2

Im folgenden Dynkindiagramm der A2n werden die Wurzeln eines θ–Orbits uber-einander dargestellt. Darunter ist das Dynkindiagramm, das unter der ProjektionPI entsteht. Es ist vom Typ BCn, denn die ”kurze” Wurzel PI(αn) ist ”nichtreduziert”, da 2PI(αn) ∈ PI(Φ). Man beachte, daß die Verbindungskanten in beidenDiagrammen mit dem (θ–invarianten Standard–) Skalarprodukt auf V berechnetwerden konnen.

<

Φ = 2A2n

PI(Φ) = BCn

αn

αn+1

PI(αn)

αn−1

αn+2

PI(αn−1)

α1

α2n

PI(α1)

(2.5) Eigenschaften von Wurzelsystemen mit Twists:Als irreduzible Wurzelsysteme mit I 6= id hat man 3 Serien 2A2n, 2A2n−1,

2Dn

und 3 exzeptionelle Falle 3D4,6D4,

2E6 zu betrachten. Indem man alle Falle durch-rechnet, erhalt man folgende nutzliche Fakten:

(1)|I|Φ 2A2n−1

2A2n2Dn

3D46D4

2E6

PI(Φ) Cn BCn Bn−1 G2 G2 F4

(2) Es gibt jeweils genau zwei Orbitlangen und zwar 1 und 2 (falls |I| = 2) bzw.3 (in den Fallen 3D4,

6D4). Die langen Wurzeln in PI(Φ) sind genau dieProjektionen der Fixwurzeln.

(3) Die Zuordnung ∆ 7→ PI(∆) gibt eine Bijektion zwischen den I–stabilen Basenvon Φ und den Basen von PI(Φ). Zudem ist SI(∆) := SIα | α ∈ ∆ eineZ–Basis von Z[Φ]I .

(4) Nur in Wurzelsystemen vom Typ 2A2n kommen Wurzeln vom Typ II oderIII uberhaupt vor: Zu jeder Fixwurzel α gibt es in einem irreduziblen 2A2n–System einen I–Orbit α1, α2 ⊂ Φ, so daß α = α1+α2, d.h. PI(α) = 2PI(αi).Diese αi und α werden als zueinander gehorig bezeichnet.

(5) Wenn α nicht vom Typ II (nicht reduziert, kurz) ist, sind alle Wurzeln desI–Orbits Iα orthogonal aufeinander.

Vorbereitungen zum Satz von Steinberg 9

(6) W I ist die Weylgruppe von PI(Φ). Falls α nicht vom Typ II ist, ist die Spie-gelung an der Wurzel PI(α) in W I gerade sIα :=

∏γ∈Iα sγ, wobei die Reihen-

folge der Spiegelungen sγ aufgrund der Orthogonalitatsaussage (5) irrelevantist. Falls α vom Typ II ist, ist die Spiegelung bzgl. PI(α) klarerweise gleichder Spiegelung bzgl. 2PI(α) ∈ PI(Φ).

(7) Alle Wurzeln vom Typ I oder II sind uber W I konjugiert zu einer Wurzel in∆. Die Wurzeln vom Typ III sind uber W I konjugiert zur Summe der beidenWurzeln vom Typ II in ∆ = ∆(A2n).

(8) (PI(α))∨ =

SIα∨ falls α nicht vom Typ II ist

2 · SIα∨ falls α vom Typ II ist

= c(α) · SIα∨

(9) PI(Z[Φ∨]) o W I operiert als affine Weylgruppe (zu W I) auf V I und zwarerzeugt von den Spiegelungen (∈ EndV I) an den Hyperebenen

HIα,k := v ∈ V I | (PIα∨)∨(v) = −k (8)

= v ∈ V I | c(α) · SIα(v) = −k

(fur k ∈ Z). Das c wurde in 2.3 bzw. im Punkt (8) definiert. Beachte: Wennα vom Typ III ist und zu α1, α2 vom Typ II gehort, ist HIα,k = HIα1,2k.

(10) Sei ∆∗ ⊂ V = Z[Φ∨]⊗R die Dualbasis zu ∆, genauer sei ∆∗ = β∨α | α ∈ ∆,so daß γ(β∨α ) = δγ,α fur γ ∈ ∆. Die Dualbasis von V I zu (PI(∆

∨))∨ ist dieMenge der 1

c(α)PI(β

∨α ) fur alle Orbiten Iα ⊂ ∆. Dagegen bildet PI(∆

∗) eineZ–Basis von

Z[(PI(Φ∨))∨]∗ := v ∈ V I | α(v) ∈ Z fur alle α ∈ (PI(Φ

∨))∨.

Falls nur Wurzeln vom Typ I in Φ vorkommen, ist c(α) = 1(!).

Die Punkte (3)–(10) sind prinzipiell auch noch gultig, wenn Φ nicht mehr irreduzibelangenommen wird.

Definition 2.6. Einem Wurzelsystem Φ ∈ V und einer Gruppe I ⊂ Aut(Φ) kannman nun zwei Wurzelsysteme zuordnen:

ΦI := PI(α) | α ∈ Φ = PI(Φ) und ΦI = ((Φ∨)I)∨ ⊃ SIα | α ∈ Φ.

Vorbereitungen zum Satz von Steinberg

Lemma 2.7. Sei splG ein Splitting von G und I∗ ⊂ Aut(G, splG) eine Grup-pe. Dann ist 1 → T I∗ → N(T )I∗ → W I∗ → 1 exakt und es gibt eine (durchsplG) eindeutig bestimmte Liftung W → N(T ) : w 7→ n(w) (”Steinberglift”) mitσ∗(n(w)) = n(w).


Beweis: Es reicht, den Steinberglift in eine zu Gder isogene Gruppe anzugeben. DaGsc (oder Gad) immer ein direktes Produkt einfacher Faktoren ist, darf man o.E. Geinfach algebraisch annehmen. Weiter wird angenommen, daß Φ(G) vom Typ ADEist, d.h. alle Wurzeln dieselbe Lange haben. Alle anderen (einfachen) Gruppenerhalt man als Fixgruppen unter geeigneten (Splitting–fixierenden) Automorphis-men, wie aus Tabelle 2.5.1 hevorgeht. Es ist nicht schwer zu sehen (und auf Seite20 im 3. Schritt von Satz 2.12 ausfuhrlich dargestellt), daß Φ(GI∗) = ΦI , falls ΦI

reduziert ist. Man liest der Tabelle ab, daß man jedes Wuzelsystem (insbesondereBn und Cn!) als reduziertes (!) System ΦI realisieren kann mit geeigneten ADE–Systemen und Automorphismen. Um das Problem weiter zu vereinfachen benutztman folgenden

Fakt 2.8 ([Sp81, 10.2.3]). Sei µ eine Abbildung von sα | α ∈ ∆ in ein multi-plikatives Monoid mit 1 mit den folgenden Eigenschaften: Wenn α, β ∈ ∆, α 6= β,dann

µ(sα)µ(sβ)µ(sα)... = µ(sβ)µ(sα)µ(sβ)... ,

wobei auf beiden Seiten genau m(α, β) := ord(sαsβ) Faktoren stehen.Dann existiert eine eindeutige Fortsetzung von µ auf W , so daß fur jedes vollstandiggekurzte Wort w = sα1 · · · sαk

gilt µ(w) = µ(sα1) · · ·µ(sαk).

Daher werden jetzt Reprasentanten fur die Basisspiegelungen sα, α ∈ ∆ konstruiertund dann die Bedingungen von Fakt 2.8 verifiziert. (Der Fall 2A2n erfordert spaterNachbesserungen dieser Konstruktion!) Weil Φ vom Typ ADE ist, hat man nur zweiFalle m(α, β) = 2, 3 zu untersuchen.

Konstruktion der Steinbergreprasentanten fur α ∈ ∆ vom Typ I: Zu jedemWurzelvektor Xα aus splG gibt es genau einen Wurzelvektor X−α ∈ g−α, so daß[Xα, X−α] = Hα. Dann

n(sα) := exp(Xα)exp(−X−α)exp(Xα) =: n(Xα)

(Die Bezeichnung n(Xα) ist ehrlicher und bald nutzlich.) Durch Xα, Hα, X−α isteine Einbettung Sl2 → G festgelegt. Dann ist n(sα) das Bild von

(0−1

10

)unter dieser

Einbettung.

Fall 1: m(α, β) = 2, (d.h. 〈β, α∨〉 = 0)

n(Xα)n(Xβ)n(Xα)−1 = n(int(n(Xα)

)(Xβ

))= n

(intt(Xsα∨ (β)

))fur ein geeignetes t = α∨(h) ∈ T , denn das Bild der Sl2 zu Xα trifft den Torus T inα∨(Gm). Weil 〈β, α∨〉 = 0, ist sα∨(β) = β und int(α∨(h))

(Xβ

)= h〈β,α∨〉Xβ = Xβ.

Also hat man oben: n(Xα)n(Xβ)n(Xα)−1 = n(Xβ), was zu beweisen war.

Fall 2: m(α, β) = 3, (d.h. 〈β, α∨〉 = −1) Durch (Xα, Xβ) wird eine Einbettungeiner Sl3 nach G festgelegt (analog zu der Einbettung der Sl2 oben). Daher darf

Vorbereitungen zum Satz von Steinberg 11

man die Rechnung n(Xα)n(Xβ)n(Xα) = n(Xβ)n(Xα)n(Xβ) in einer Sl3 verifizieren.Man rechnet (· := 0)

n((

0 x ·0 0 ·· · 0

))n((

0 · ·· 0 y· 0 0

))n((

0 x ·0 0 ·· · 0

)) =

(0 x ·

−x−1 0 ·· · 1

)( 1 · ·· 0 y· −y−1 0

)(0 x ·

−x−1 0 ·· · 1

)=( · · xy

· −1 ·(xy)−1 · ·

)und ebenso die andere Seite, die dasselbe ergibt.

Nun hat man in allen ADE–Systemen (nach Wahl des Splittings) kanonischen Re-prasentanten n(w). Zu zeigen bleibt, daß sie in GI∗ liegen, falls w ∈ W I∗ .

Fall A: ΦI ist reduziert.In diesem Fall sind alle α ∈ ∆ vom Typ I und fur θ∗ ∈ I∗ hat man

θ∗(n(Xα)) = exp(θ∗(Xα))exp(θ∗(−X−α))exp(θ∗(Xα)) = n(θ∗(Xα)) = n(Xθ∗(α))

Nach (2.5.6) ist (fur α ∈ ∆) der Steinbergreprasentant n(sPI(α)

)=∏

γ∈Iα n(sγ),wobei die Reihenfolge des Produkts irrelevant ist (nach dem, was bisher gezeigtwurde, denn Wurzeln in Iα ⊂ ∆ sind paarweise orthogonal nach (2.5.5)). Daher istn(sPI(α)

)∈ GI∗ . Weil PI(∆) eine Basis von ΦI bildet, ist man fertig.

Fall B: (Φ, I∗) ergibt 2A2n:Hier ist G = Sl2n+1 und GI∗ ' SO(2n+1) (vgl. Beispiel 2.19). In diesem Fall gibt eseinen Orbit in ∆ dessen Wurzeln nicht senkrecht aufeinander stehen. Man definiertnun fur α ∈ ∆ vom Typ II

n(sPI(α)

):= exp

( ∑γ∈Iα

Xγ

)· exp

(− c(α) ·

∑γ∈−Iα

Xγ

)· exp

( ∑γ∈Iα

Xγ

)Diese Formel gilt auch fur alle α ∈ ∆ vom Typ I (auch im vorigen Fall A). Nurfalls α vom Typ II ist, ist die Bildung in Fall A verschieden von der Definition eben.Diese hat aber den Vorteil, daß n(sPI(α)) ∈ GI∗ , denn weil I∗ die WurzelvektorenXα | α ∈ ∆ stabilisiert, liegt

∑γ∈IαXγ ∈ Lie(G)I∗ . Weil man nun einer Basis-

spiegelung des Bn–Subsystems Φ(GI∗) ⊂ ΦI einen neuen Steinbergreprasentantenzugewiesen hat, muß man noch einmal Fakt 2.8 bemuhen, um die neue Konstruktion(wortunabhangig) auf W I∗ auszudehnen.Bezeichne α′ ∈ ∆ eine der beiden Wurzeln vom Typ II. Falls m(PI(α), PI(α

′)) = 2,sieht man sofort, daß n(sPI(α)) und n(sPI(α′)) vertauschen, denn alle Wurzeln in Iαsind senkrecht auf denen von Iα′. Der verbleibende Fall ist m(PI(α), PI(α

′)) = 4.Ihn kann man in einer Sl5 verifizieren. Dabei kann man α = ε1 − ε2, α

′ = ε2 − ε3

annehmen sowie

n(( 0 · · · ·

· 0 x · ·· · 0 x ·· · · 0 ·· · · · 0

))=

1 · · · ·· · · x2/2 ·· · −1 · ·· 2/x2 · · ·· · · · 1

und n(( 0 y · · ·

· 0 · · ·· · 0 · ·· · · 0 y· · · · 0

))=

0 y · · ·−y−1 0 · · ·· · 1 · ·· · · 0 y· · · −y−1 0


Lemma 2.9. Sei Φ irreduzibel und ein Splitting splG fixiert.Falls α ∈ Φ nicht vom Typ III ist, gibt es eine Menge Xγ ∈ gγ\0 | γ ∈ Iα, aufder I∗ durch Permutation operiert: σ∗Xα = Xσ∗(α). Insbesondere operiert I∗α trivialauf gα in diesen Fallen.Falls α vom Typ III ist, so ist Iα = α und σ∗ ∈ I∗ operiert auf der Geraden gα

durch −1 genau dann, wenn σ nichttrivial auf Φ operiert.

Beweis: Dem Splitting splG entnimmt man die Basen Xα fur alle gα, α ∈ ∆.

Fall 1: α ist nicht vom Typ III.Reduktion auf ∆: In diesem Fall ist α uberW I zu einer Wurzel aus ∆ konjugiert (vgl.(2.5.7)), etwa β := w(α) ∈ ∆ mit w ∈ W I . Weil der Steinbergreprasentant n(w)eines I–invarianten w nach (2.7) selbst I∗ invariant ist, ist Adn(w) I∗-aquivariant.Das Bild von Xγ ∈ gγ\O | γ ∈ Iα unter Adn(w) ist eine Menge der FormXγ | γ ∈ Iβ mit einer Basiswurzel β ∈ ∆. Also genugt es, das Lemma fur Wurzelnα ∈ ∆ zu zeigen. Diese Aussage ist aber nach Definition von I∗ ⊂ Aut(G, splG)klar.

Fall 2: α ist vom Typ III.Hier kann man sich nicht auf den Fall α ∈ ∆ zuruckziehen. Allerdings ist jedeWurzel vom Typ III uber W I konjugiert zu einer Wurzel der Hohe 2 bzgl. ∆(d.h. Summe zweier Wurzeln aus ∆). Indem man, wie im ersten Fall, mit dem I∗-invarianten Steinbergreprasentanten eines geeigneten w ∈ W I konjugiert, kann manhier annehmen, daß α = α1+α2 mit α1, α2 ∈ ∆. Dann istXα := [Xα1 , Xα2 ] ∈ gα undσ∗ permutiert Xα1 , Xα2. Diese Permutation ist genau dann trivial, wenn σ trivialauf Φ = Φ(A2n) operiert. Andernfalls ist klarerweise σ∗Xα = [Xα2 , Xα1 ] = −Xα.

(2.10) Sei Φ irreduzibel, X∗ ein Gitter mit Z[Φ∨] ⊂ X∗ ⊂ Z[Φ]∗ und VP :=KernPI ⊂ V = X∗ ⊗ C. Man hat die kurze exakte Sequenz

0→ VP/(X∗ ∩ VP )→ V/X∗ → V I/PI(X∗)→ 0

(z.B. durch das Schlangenlemma aus folgendem kommutativen Diagramm:

0 −−−→ VP −−−→ V −−−→ V I −−−→ 0

∪ ∪ ∪

0 −−−→ X∗ ∩ VP −−−→ X∗ −−−→ PI(X∗) −−−→ 0.)

In der zugehorigen langen exakten Kohomologiesequenz

...→ H1(I∗, VP/(X∗ ∩ VP ))︸︷︷︸=1 nach Lemma 2.11

→ H1(I∗, V/X∗)P I−→ H1(I∗, V I/PI(X∗))→ ...

ist nach folgendem Lemma P I eine Inklusion.

Der Satz von Steinberg 13

Lemma 2.11. Falls Φ irreduzibel ist, ist H1(I∗, VP/(X∗ ∩ VP )) = 1.

Beweis: Es werden alle irreduziblen Falle in (2.5.1) durchgerechnet.Fall 1: Φ ist nicht 6D4.In diesem Fall ist I∗ = 〈θ〉 zyklisch (von der Ordnung 2 bzw. 3). Daher ist VP =(θ − 1)V und θ operiert auf VP anisotrop, i.e. V I

P = 0. Somit ist (1 − θ)VP = VP

und man hat

H1(I∗, VP/(X∗ ∩ VP )) ' Kern(1 + θ + ...+ θordθ−1)Big/(1− θ)(VP/(X∗ ∩ VP )

)= 1.

Fall 2: Φ = 6D4.In diesem Fall gilt I∗ ' S3 ' 〈θ3〉 o 〈θ2〉 fur geeignete θ3, θ2 der Ordnung 3 bzw.2. Nach (2.5.1) ist V I = V θ3 , d.h. VP = (1 − θ3)V . Die Hochschild–Serre–Spektralsequenz ergibt (mit VP := VP/(X∗ ∩ VP ))

1 −→ H1(〈θ2〉, VPθ3

) −→ H1(I∗, VP ) −→ H1(〈θ3〉, VP )θ2 −→ ....

Die linke Kohomologiegruppe ist trivial, weil VPθ3

=((1 − θ3)V/(X∗ ∩ VP )

)θ3 'H1(〈θ3〉, X∗ ∩ VP ) eine 3–Torsionsgruppe ist und ordθ2 = 2. Nach Fall 1 istH1(〈θ3〉, VP ) = 1.

Der Satz von Steinberg

Der folgende Satz ist eher eine Inhaltsubersicht dieses Paragraphen. Er verallgemei-nert den Satz von Steinberg [St68, 8.1] auf (nichtzyklische) AutomorphismengruppenI von G, die ein gegebenes Paar (B, T ) stabilisieren.

Satz 2.12. Sei G eine reduktive Gruppe mit Radikal Z := Cent(G) und I eine Un-tergruppe von Aut(G,B, T ). Dann ist (GI) eine reduktive Gruppe mit Wurzeldatum

Ψ(GI, T I) =(PI(X

∗(T )), Φ, X∗(T )I , Φ∨),

wobei Φ ⊂ ΦI und Φ∨ ⊂ (Φ∨)I . Genauere Bedingungen dafur, daß ein Orbit IαWurzel in Φ ist, sind in Beh. 2.15, Lemma 2.17 und Bsp. 2.18 gegeben.Die unipotente Untergruppe UIα zur Wurzel PI(α) ∈ Φ(Gθ, T θ) ist als Varietatisomorph zum Bild von Uα in

∏σ∈I/Iα

σUα unter x 7→∏

σ∈I/Iασ(x) (in irgendeiner

festgelegten Reihenfolge des Produkts).Um π0(G

I) = GI/GI ' N(T )I/(N(T )I ∩GI) zu beschreiben, seien

κ(G) := Kern[Tsc × Z T ]

W2 := Bild[N(T )I → W I ] = Kern[W I δ−→ H1(I, T )

]' N(T )I/T I

W1 := Bild[Nsc(Tsc)I → W I ] = Kern

[W I δsc−→ H1(I, Tsc)

]' Nsc(Tsc)

I/T Isc

W0 := Bild[N(T ) ∩GI → W I ] = Bild[Nsc(Tsc) ∩GIsc → W I ] = W (Lie(G)I)


Man hat dann

1→ T I/T I → N(T )I/(N(T )I ∩GI)→ W2/W0 → 1 ist exakt.

1→ ZI/(Z ∩ T I)→ T I/T I → H1(I∗, κ(G))→ H1(I∗, Tsc × Z) ist exakt.

W2/W1 ' Bild[W I → H1(I, Tsc)

]∩ Bild

[H1(I, κ(G))→ H1(I, Tsc)

]Fur irreduzibles Φ hat man

W1 '⋂σ∈I

Bild

[(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

Proj.−−→ W I

]∩

⋂t∈I∩Tad

Wt

'⋂σ∈I

⟨sIα

∣∣∣ SIα(tσ) = 1, falls α vom Typ I(2SIα)(tσ) = 1, falls α vom Typ III

⟩∩

⋂t∈I∩Tad

Wt

Die Reduktion auf irreduzible Wurzelsysteme geht wie folgt: Es gibt irreduzible Wur-zelsysteme Φi ⊂ Φ, so daß Φ =

⊕i IndI

IiΦi, wobei Ii := σ ∈ I | σ(Φi) ⊂ Φi und

IΦi:= σ ∈ Ii | σ|Φi

= id. Damit gehen auch entsprechende Zerlegungen von Gsc,Tsc, V , Z[Φ∨], Z[Φ]∗ und W einher.

Beweis: GI ist eine algebraische Gruppe. Um zu zeigen, daß sie reduktiv ist, wirdin Behauptung 2.16 gezeigt, daß das unipotente Radikal Ru(G

I) trivial ist. Ausder Eindeutigkeitsaussage der Bruhatzerlegung von G bzgl. (B, T,W ) ergibt sich,daß GI von T I, U I und Norm(T )I erzeugt wird. Diese Untergruppen werden derReihe nach (in Schritt 1 bzw. 2 bzw. 4) beschrieben.

1. Schritt: Berechnung von T I.Man berechnet besser T I∗ = T I . Aus der langen exakten Kohomologiesequenz zurexakten Sequenz, die κ(G) definiert,

1→ κ(G)→ Tsc × Z → T → 1

erhalt man, weil H1(I∗, κ(G)) endlich ist und T Isc nach Behauptung 2.13 unten zu-

sammenhangt, folgende exakte Sequenzen

1 −→ κ(G)I∗ ∩ (Tsc × ZI) −→ T Isc × ZI −→ T I −→ 1

und

1→ ZI/(Z ∩ T I)→ T I/T I → H1(I∗, κ(G))→ H1(I∗, Tsc × Z)(i)

Wenn Z = 1, d.h. die Gruppe halbeinfach ist, ist diese Formel nicht mehr so un-handlich. Fur einfache Gruppen wird T I/T I mit ihr in Behauptung 2.14 vollstandigausgerechnet.


Behauptung 2.13. T Isc und T I

ad sind zusammenhangend und

H1(I∗, Tsc) ' H1(I∗,G∆m) '

⊕Iα⊂∆

H1(I∗, IndI∗

I∗αGm)

Shapiro'

⊕Iα⊂∆

Hom(I∗α,Gm).

Beweis: Man hat die Isomorphien∏α∈∆

Gm∼−→ Tsc

(xα)α∈∆ 7−→∏

α∈∆

(α∨(xα))

Tad∼−→

∏α∈∆

Gm

t 7−→ (α(t))α∈∆

Weil alle σ ∈ I die Basen ∆ = ∆(B, T ) bzw. ∆∨ permutieren, operieren die σ ∈ I inbeiden Fallen auf

∏α∈∆ Gm durch Permutation der Komponenten. Daher sind T I

sc

und T Iad isomorph zu (xα)α ∈

∏α∈∆ Gm | xσα = xα fur alle σ ∈ I '

∏Iα⊂∆ Gm.

Dies ist ein (zusammenhangender) Torus.

Behauptung 2.14. Sei Φ irreduzibel und G einfach. Dann gilt

H1(I∗, κ(G)) =

Z/2 falls

Φ = 2A2n−1 und κ(G) geradeΦ = 2D2n−1 und κ(G) 6= 1Φ = 2D2n und κ(G) ' Z/2

1 sonst

und Kern [H1(I∗, κ(G))→ H1(I∗, Tsc)] ist genau dann nichttrivial, wenn (Φ, κ(G))in folgender Liste vorkommt:

• Φ ist vom Typ 2A2n−1 und 0 6= κ(G) ⊂ κ(Φ)2 ' Z/n und κ(G) ist gerade.• Φ ist vom Typ 2Dn und κ(G) ' Z/2 (und I–stabil).

In diesen Fallen ist Kern [H1(I∗, κ(G))→ H1(I∗, Tsc)] ' Z/2. (Beachte: In den2Dn–Fallen hat κ(Φ) genau eine Untergruppe der Ordnung 2, die von I auf sichabgebildet wird. Diese ist oben gemeint.)

Beweis: Da keine Rationalitatsfragen behandelt werden, darf man (nach 1.11(d))κ(G) = Kernρ mit π1(G) identifizieren. (Sie sind als Gruppen isomorph, nichtals Galoismoduln, was hier nicht stort.) Zuerst wird H1(I∗, κ(G)) in allen Fallenberechnet.Fall 1: I∗ = 〈θ〉 ist zyklisch (6= 1).

Typ von Φ κ(G) θ|κ(G) H1(〈θ〉, κ(G))

2A2n−1mZ/2nZm | 2n −1

Z/2 falls 2n/m gerade0 sonst

2A2nmZ/(2n+ 1)Zm | 2n+ 1

−1 0

2D2n−1mZ/4Zm | 4 −1

Z/2 falls m 6= 40 falls m = 4

2D2nF2

2

〈(11)〉 ⊂ F2

2

(0110) ∈ End(F2

2)0

Z/23D4 F2

2 (0111) ∈ End(F2

2) 02E6 Z/3 −1 0


Fall 2: Φ = 6D4, I∗ = 〈θ3〉o 〈θ2〉.

Man reduziert sich mit Hochschild–Serre auf den zyklischen Fall:

1→ H1(〈θ2〉, κ(G)θ3)→ H1(I∗, κ(G))→ H1(〈θ3〉, κ(G))︸︷︷︸=0 siehe Fall 1

θ2 → ...

Weil die Matrix (0111) ∈ Gl(2,F2) keinen Eigenwert 1 besitzt, ist κ(G)θ3 = 0. Darum

verschwindet auch die erste Kohomologiegruppe und man hat H1(I∗, κ(G)) = 1 furΦ = 6D4.

Um Kern [H1(I∗, κ(G))→ H1(I∗, Tsc)] zu untersuchen, hat man nun nur noch Fallezu betrachten, in denen I∗ = 〈θ〉 ' Z/2, κ(G) = Kern(1 + θ)|κ(G) und H1(I∗, κ(G))von der Ordnung 2 ist. Betrachte das kommutative Diagramm (κ(G) = π1(G))

H1(I∗, π1(G))i−−−→ H1(I∗, Tsc)

'x x'

(X∗(T )/Z[Φ∨])/(1− θ)π1(G)i−−−→ Kern(1 + θ)/((1− θ)V + Z[Φ∨])

in dem die horizontalen Abbildungen von Inklusionen herkommen und die vertikalenmit Hilfe der Exponentialabbildung (und der zyklischen Kohomologie) entstehen.Eine Klasse β∨ + Z[Φ∨] ∈ π1(G) ' X∗(T )/Z[Φ∨] ist demnach genau dann im Kern(von i), wenn β∨ ∈ (1− θ)V + Z[Φ∨].Fall 1: Φ ist vom Typ 2D2n und π1(G) ' Z/2 (I–stabil).Sei β∨1 ∈ Z[Φ]∗ ein Vertreter der nichttrivialen Klasse in π1(G). Weil H1(〈θ〉, π1(Φ))trivial ist (s.o.), existiert ein β∨3 ∈ Z[Φ]∗, so daß β∨1 ≡ (1 − θ)β∨3 mod Z[Φ∨], d.h.β∨1 ∈ (1− θ)V + Z[Φ∨].Fall 2: Φ ist vom Typ 2A2n−1 oder 2D2n−1.Nach Behauptung 2.13 und (i) auf Seite 14 weiß man, daß fur π1(Gad) ' Z[Φ]∗/Z[Φ∨]= π1(Φ) die Abbildung i injektiv ist. Daher gibt es (genau eine) Klasse β∨1 ∈ π1(Φ),die nicht in (1−θ)V +Z[Φ∨] liegt. In den hier betrachteten Fallen ist π1(Φ) zyklischund θ operiert durch −1 (auf π1(Φ)). Also ist i genau dann nicht injektiv (d.h. dieNullabbildung), wenn 0 6= π1(G) ⊂ π1(Φ)2 und π(G) gerade ist.

2. Schritt: Beschreibung von Lie(G)I und damit von GI.Wegen der Wurzelraumzerlegung g := Lie(G) = Lie(T ) ⊕

⊕α∈Φ gα ist gI direkte

Summe von Lie(T )I und (⊕

α∈Φ gα)I . Dieser letzte Raum wird hier beschrieben.Man erhalt in (iii) unten eine Zerlegung der Gestalt

gI = Lie(T )I ⊕⊕Iα

gIα,

in gewisse (eindimensionale) Gewichtsraume zu Gewichten der T I–Operation aufgI . Definiere fur alle σ ∈ I

ϕIα(σ) :⊕

γ∈Iα gγ −→⊕

γ∈Iα gγ

X 7−→ σ(X)


Nach Wahl einer Basis (Xγ ∈ gγ | γ ∈ Iα) fur die Wurzelraume⊕

γ∈Iα gγ erhaltman ϕIα(σ) ∈

∏γ∈Iα F

× durch σXγ = [ϕIα(σ)]σγ ·Xσγ, so daß

ϕIα(σ)

(∑γ∈Iα

Xγ

)= σ

(∑γ∈Iα

Xγ

)=∑γ∈Iα

[ϕIα(σ)]γ ·Xγ.

Auf∏

γ∈Iα F× operiert I durch Permutation der Komponenten [σ(x)]γ = xσ−1γ.

Es gilt ϕIα ∈ Z1(I,∏

γ∈Iα F×), denn nach der Basiswahl wird die Operation von I

durch Monomialmatrizen beschrieben; Nach Definition ist ϕIα der Diagonalanteil beider Zerlegung ”Monomialmatrix=Diagonalmatrix × Permutationsmatrix” und dieOperation von σ auf

∏γ∈Iα F

× ist gerade so eingerichtet, daß sie der Konjugationmit dem Permutationsanteil entspricht. Ein Basiswechsel zu einer zweiten Basis(X ′γ ∈ gγ) (bei festgehaltener Reihenfolge der γ ∈ Iα) andert ϕIα klarerweise umeinen Korand ab. Dadurch ist ϕIα (i.e. σ|⊕

γ∈Iα gγ ) eine Klasse in H1(I,∏

γ∈Iα F×)

zugeordnet. Nach Shapiros Lemma hat man

H1(I,∏γ∈Iα

F×) ' H1(Iα, F×) = Hom(Iα, F

×)(ii) (I 3 σ 7→ (..., xγ(σ), ...)γ∈Iα

)7−→

(Iα 3 σ 7→ xα(σ)

)wobei Iα der Fixator von α in I ist.

Fur eine Wurzel α ∈ Φ ist αresDef.= α|T I genau dann eine Wurzel in Lie(GI), wenn

0 6= gIα :=

x ∈

⊕γ∈Iα

gγ

∣∣∣ ϕIα(σ)(x) = x fur alle σ ∈ I

.

Behauptung 2.15. Der Raum gIα ist hochstens eindimensional und zwar gilt:

gIα 6= 0⇔ [ϕIα(σ)]α = 1 fur σ ∈ Iα.

⇔ ϕIα ist trivial in H1(I,∏

γ∈IαF×).

⇔ I|⊕γ∈Iαgγ ' I∗|⊕γ∈Iαgγ

Beweis: Damit gIα 6= 0, ist es offensichtlich notwendig, daß [ϕIα(σ)]α = 1 fur σ ∈ Iα.Hat man umgekehrt dies, so wird ϕIα bei Shapiros Isomorphismus (ii) auf Einsabgebildet. Also operiert I bei geeigneter Basiswahl durch Permutationsmatrizen.Diese fixieren aber immer einen Unterraum. Also ist gIα 6= 0. Bei transitiver Aktionder Permutationsgruppe ist der Fixraum eindimensional. Die mittlere Aquivalenzist wieder mit Shapiro (ii) klar. Die letzte Aussage ist eine Umformulierung derzweiten.

Man erhalt also

gI = Lie(T )I ⊕⊕Iα

gIα,(iii)


wobei die Summe uber alle I-Orbiten Iα von Wurzeln aus Φ gebildet wird, fur diegilt: I|⊕gγ ' I∗|⊕gγ . In Bsp. 2.18 unten wird in Spezialfallen ein griffigeres Kriteriumfur diese Orbiten Iα gegeben. Fur X ∈ gIα und t ∈ T I hat man Ad t(X) = α(t) ·X,d.h. gIα ist (eindimensionaler) Gewichtsraum fur die Operation von T I auf gI zumGewicht α|res := α|T I .

Behauptung 2.16. GI := (GI) ist reduktiv.

Beweis: Nach den Bedingungen in (iii) gilt gIα 6= 0 ⇐⇒ gI(−α) 6= 0. Dahererzeugen gIα und g−Iα eine sl2 ⊂ gI , sobald der Orbit Iα den Bedingungen in(iii) genugt. (Erinnerung: Weil I ⊂ Aut(G,B, T ) sind alle Wurzeln in Iα vonderselben Paritat (positiv bzw. negativ).) Daher gibt es keine nilpotenten Elementeim Radikal Rad(gI) von gI , d.h. Rad(gI) ist halbeinfach (Jordanzerlegung!). WeilLie(GI) = Lie(G)I = gI und Lie(Rad(G)) = Rad(Lie(G)), folgt daraus, daß GI

reduktiv ist.

Wahle fur alle σ ∈ I ein Yσ ∈ Lie(T ), so daß σ = inttσ σ∗ mit tσ := exp(Yσ).Ein tσ ist dadurch modulo Cent(G) eindeutig bestimmt und σ 7→ inttσ ist ein 1–Kozykel von I mit Werten in Tad. Genauso ist Yσ modulo X∗(Tad) bestimmt und(σ 7→ Yσ + Z[Φ]∗) ist ein 1–Kozykel von I mit Werten in V/Z[Φ]∗. Sei

φIα : V/Z[Φ]∗ ' Tad −→∏

γ∈Iα F×

exp(Y ) = t 7−→ (..., γ(t), ...)γ∈Iα

Lemma 2.17.

(a) Falls α vom Typ I oder II ist, sind die Kohomologieklassen von ϕIα und (σ 7→φIα(tσ)) in H1(I,

∏γ∈Iα F

×) gleich.

(b) Sei α ∈ Φ′ vom Typ III und Φ′ ⊂ Φ irreduzibel. Indem man I∗ als Bild von Iin Out(G) = Aut(G)/Int(G) auffasst, erhalt man

Z/2Shapiro' Hom(I∗α/I

∗Φ′ , F×)

Inf−→ Hom(Iα, F×)

Shapiro' H1(I,

∏γ∈Iα

F×).

Sei η das Bild der nichttrivialen Klasse bei dieser Abbildung. Dann sind inH1(I,

∏γ∈Iα F

×) die Kohomologieklassen von ϕIα und (σ 7→ φIα(tσ)) ·η gleich.

Beweis: Mit Shapiro (ii) reduziert man die Aussage darauf, daß fur alle σ ∈ Iα gilt

[ϕIα(σ)]α = c · α(tσ) = c · [φIα(tσ)]α,

wobei c = −1, falls α vom Typ III ist und σ nichttrivial operiert auf der irreduziblenKomponente von Φ, in der α liegt, und sonst ist c = 1. Nach Lemma 2.9 weiß man,wie σ∗ ∈ I∗α auf gα operiert (namlich gerade das c oben produzierend) und inttσoperiert auf gα durch α(tσ). Daher ist die Gleichung oben fur σ = inttσ σ∗ ∈ Iαklar (nach Definition von ϕIα(σ)).


Beispiel 2.18. (a) Sei I = 〈θ〉 zyklisch. Dann ist gIα 6= 0 aquivalent zu

SIα(tθ) =

1 falls α vom Typ I oder II−1 falls α vom Typ III

(b) Sei Φ irreduzibel und I ' I∗. Dann ist gIα 6= 0 aquivalent zu

∀σ ∈ I : SIα(tσ) =

−1 falls α vom Typ III und σ 6= id auf Φ

1 sonst

Beweis: Zu(a): Zuerst wird I = 〈θ〉 zyklisch angenommen. Nach Behauptung 2.15ist gIα 6= 0 ⇔ [ϕIα]α ≡ 1 auf Iα = 〈θm〉 mit m = #Iα. Indem man mit Lemma 2.9die Operation von θ∗m benutzt, gilt fur 0 6= Xα ∈ gα

[ϕIα(θm)]α ·Xα = θmXα = (inttθθ∗)mXα = α(tθtθθ · · · tθ

m−1

θ )·θ∗mXα = SIα(tθ)·c·Xα,

wobei c = 1 außer falls α vom Typ III ist, denn dann bewirkt θm den nichttrivialenAutomorphismus (Flip) auf der irreduziblen Komponente (vom Typ A2n), in der αliegt, so daß c = −1 (nach Lemma 2.9).

Zu (b): Man kombiniert Behauptung 2.15 und Lemma 2.17. Fur die Fixwurzeln(⇒ SIα = α) vom Typ I oder II ist alles klar. Die Falle, in denen I∗ zyklisch ist,sind nach a) leicht zu verifizieren. Bleibt derFall: Φ = 6D4 und #Iα = 3: Sei I = 〈θ3〉o 〈θ2〉, Iα = γ1, γ2, γ3 und o.E. γ1 dieθ2–fixierte Wurzel in Iα. Die Hochschild–Serre–Spektralsequenz ergibt

1→ H1(〈θ2〉, (∏

γ∈IαF×)θ3︸︷︷︸

'F×

)→ H1(I∗,∏γ∈Iα

F×)→ H1(〈θ3〉,∏

γ∈IαF×)︸︷︷︸

=1 nach Shapiro

θ2

→ ...,

wobei H1(〈θ2〉, F×) = Hom(〈θ2〉, F×) = Z/2 gegeben ist durch θi2 7→ γ1(tθi

2). Nach

Voraussetzung I ' I∗ ist 1 = γ2(tθ22) = γ2(tθ2t

θ2θ2

)γ3=θ2γ2

= γ2(tθ2) · γ3(tθ2). Daher istgIγ1 6= 0 ⇔ γ1(tθ2) = 1 ⇔ SIγ1(tθ2

2) = γ1(tθ2) · γ2(tθ2) · γ3(tθ2) = 1.

3. Schritt: Das Wurzeldatum Ψ(GI, T I) von GI bzw. gI.Hier werden die Ergebnisse aus den Schritten 1 und 2 (noch einmal) etwas formalerzusammengefaßt. Der Isomorphietyp einer reduktiven Gruppe H (uber F ) wirdfestgelegt durch sein Wurzeldatum Ψ(H,T ) = (X∗(T ),Φ, X∗(T ),Φ∨), wobei T einmaximaler Torus von H ist.Weil GI reduktiv ist, folgt aus der Zerlegung (iii) auf Seite 17, daß die αres

Def= α|T I ,

deren Orbiten Iα in (iii) vorkommen, ein Wurzelsystem in X∗(T I) bilden, welchesein Subsystem ist von (Bezeichnung nach [KS99, (1.3)])

Φ res = Φ res(G, T, I) = αres := α|T I | α ∈ Φ(G, T ).


Dies ist ein (nicht immer reduziertes)Wurzelsystem in V ∗/(1−I)V ∗ = V ∗/Kern(PI),das vermoge PI mit PI(Φ) = ΦI (aus Definition 2.6) identifiziert werden kann.Wegen T I → T hat man X∗(T

I) = X∗(T )I → X∗(T ). Daher kann man ein zuΦres = PI(Φ) duales Wurzelsystem

Φ∨(G, T, I) → X∗(T )I ∩ Z[Φ∨(G, T )]

wie folgt definieren: β∨ ∈ X∗(T )I ∩Z[Φ∨(G, T )] sei genau dann die duale Wurzel zuα|T I ∈ PI(Φ), wenn folgende aquivalente Bedingungen erfullt sind:

• Fur alle γ ∈ Φ(G, T ) gilt

x〈γ,β∨〉 = (γ β∨)(x) fur alle x ∈ Gm,

d.h. (memotechnisch verkurzt) 〈γ, β∨〉T = 〈γres, β∨〉T I fur alle γ ∈ Φ.

• β∨ =

SIα∨ falls α (bzw. α∨) nicht vom Typ II ist

2 · SIα∨ falls α (bzw. α∨) vom Typ II ist

(2.5.8)= (PIα)∨

Die Existenz von Φ∨(G, T, I) und die Aquivalenz der Definitionen uberlegt man sichleicht in den irreduziblen Fallen mit I ' I∗. Nach der letzten Charakterisierung hatman (Φ∨)I = Φ∨(G, T, I). Mit diesen Definitionen besteht Ψ(GI, T I) aus folgendenDaten:

X∗(T I) =PI(X∗(T )),

Φ(GI, T I) = PI(α) | α ∈ Φ(G, T ) mit gIα 6= 0 ⊂ Φres = Φ(G, T )I ,

X∗(TI) =X∗(T )I ,

Φ∨(GI, T I) = PI(α)∨ | α ∈ Φ(G, T ) mit gIα 6= 0 ⊂ (Φ∨(G, T ))I .

Beispiel 2.19. Nochmal Φ = 2A2n: Sei G = Sl(2n+ 1, F ) und I = 〈θ〉 zyklisch.Bezeichne J := ((−1)i · δi,2n+2−j)i,j ∈ GL(2n + 1) und fur k 6= l sei Ek,l = (δi,k ·δj,l)i,j ∈ sl(2n + 1) ⊂ Mat(2n + 1 × 2n + 1). Das Splitting splG soll bestehen ausdem Torus T der Diagonalmatrizen, den oberen Dreiecksmatrizen B und Xαi

:=Ei,i+1αi∈∆. Dann ist θ∗(g) = J ·(tg−1)·J−1 der nichttriviale außere Automorphismusin Aut(G, splG). Der Fixtorus ist T θ = Diag(x1, ..., xn, 1, x

−1n , ..., x−1

1 ). Unter denFixgruppen Ginttθ∗ gibt es zwei Isomorphietypen, deren Weylgruppe gleich W θ∗ (d.h.maximal) ist, namlich

θ stabilisiert ein Splitting θ stabilisiert kein Splittingθ o.E. θ = θ∗ z.B. t = Diag(−1, ...,−1︸︷︷︸

n+1

, 1, ..., 1︸︷︷︸n

)

Gθ SO(2n+ 1) =g ∈ Sl(2n+ 1) | tgJg = J

Sp(2n) =g ∈ Sl(2n+ 1) | tgJtg = Jt

Φ(Gθ) Φ(Bn) Φ(Cn)∆(Gθ, T θ) α1|T I , ..., αn|T I α1|T I , ..., αn−1|T I , (αn + αn+1)|T I

∆∨(Gθ, T θ) SIα∨1, ..., SIα∨n−1

, 2SIα∨n SIα∨1, ..., SIα∨n = SI(α∨n+α∨n+1)


Beispielrechnung fur das Verhalten der Kowurzeln vom Typ II und III: Betrachteα∨n ∈ X∗(T ) = Hom(Gm, T ). Man hat SIα∨n : x 7→ Diag(1, ..., 1, x, 1, x−1, 1...) ∈ T I ,wobei x an der n–ten Stelle steht. Daher ist

(PI(αn) SIα∨n

)(x) = αn(SIα∨n (x)) = x1

und(PI(αn + αn+1) SIα∨n

)(x) = x2. Deshalb ist SIα∨n ∈ Φ∨(Sp(2n)) aber nicht in

Φ∨(SO(2n+ 1)).

4. Schritt: Beschreibung der Gruppe π0(GI) der Zusammenhangskompo-

nentenMan reduziert zuerst (z.B. mit der Bruhatzerlegung) auf N(T ):

π0(GI) ' N(T )I/(N(T )I ∩GI).

Diesen Quotienten kann man zerlegen in einen Anteil, der vom Zentrum von Gherkommt, und einen, der sich in Termen der Weylgruppe ausdruckt, namlich

1→ T I/T I → N(T )I/(N(T )I ∩GI)→ Kern(δ)/Bild[N(T )I ∩GI → W I ]→ 1.

Dabei ist δ der Verbindungshomomorphismus in der langen exakten Sequenz

1→ T I → N(T )I → W I δ−→ H1(I, T )→ H1(I,N(T ))→ ...,

und den zentralen Anteil T I/T I extrahiert man, indem man N(T )I/(N(T )I ∩GI)schreibt als Extension von N(T )I/(N(T )I ∩ GI) · T I mit T I/T I und wieder dielange exakte Sequenz oben anwendet.Im ersten Schritt ist T I/T I beschrieben worden, so daß jetzt nur noch die GruppeKern(δ)/Bild[N(T )I ∩ GI → W I ] zu beschreiben bleibt. Er laßt sich vollstandigin der derivierten Gruppe berechnen. Aus Platzgrunden werden im Folgenden dieDefinitionen aus Satz 2.12 verwendet:

W2 := Bild[N(T )I → W I ] = Kern[W I δ−→ H1(I, T )

]' N(T )I/T I

W1 := Bild[Nsc(Tsc)I → W I ] = Kern

[W I δsc−→ H1(I, Tsc)

]' Nsc(Tsc)

I/T Isc

W0 := Bild[N(T ) ∩GI → W I ] = Bild[Nsc(Tsc) ∩GIsc → W I ] = W (gI)

Berechnet werden soll W2/W0. Betrachte dazu die Exponentialsequenz (V =X∗(T )⊗ R)

1→ X∗(T )→ V ⊗ C exp−−→ T (C)→ 1

und wahle fur alle σ ∈ I ein Yσ ∈ V ⊗C =: V ′, so daß exp(Yσ) = tσ mit σ = inttσσ∗.Ein tσ ist dadurch modulo Cent(G) eindeutig bestimmt und σ 7→ inttσ ist ein 1–Kozykel von I mit Werten in Tad. Analog ist Yσ modulo X∗(T ) bestimmt und(σ 7→ Yσ +X∗(Tad)) ist ein 1–Kozykel von I mit Werten in V/X∗(Tad).Wenn tsc,σ ∈ Tsc Elemente uber tσ ∈ T sind, so ist (σ 7→ w(tsc,σ)t−1

sc,σ ∈ Tsc) (bzw.(σ 7→ (w − 1)Yσ + Z[Φ∨])) ein Kozykel von I mit Werten in Tsc, denn w(tsc,σ)t−1

sc,σ

(bzw. (w − 1)Yσ ∈ Vder) hangt offensichtlich nicht ab von der Wahl der Vertretertsc,σ bzw. Yσ fur tσ ∈ T .


Lemma 2.20. δ(w) ∈ H1(I, T ) ist die Klasse von (σ 7→ w(tσ)t−1σ ).

Beweis: Man kann δ(w) wie folgt berechnen: Sei n(w) ∈ N(T ) der Steinbergre-prasentant von w. Dann ist δ(w)(σ) = n(w)σ(n(w))−1 modulo Korander. NachLemma 2.7 gilt σ∗(n(w)) = n(σ∗(w)) = n(w). Daher

n(w)σ(n(w))−1 = n(w)(inttσ σ∗)(n(w))−1 = n(w)tσn(w)−1t−1σ = twσ t

−1σ

Korollar 2.21. w ∈ W2Def= Bild[N(T )I → W I ] = Kern

[W I δ−→ H1(I, T )

]⇔ Es existiert ein t ∈ T , so daß twσ t

−1σ = tσt−1 fur alle σ ∈ I.

⇔ Es gibt ein Y ∈ V , so daß (w − 1)Yσ ≡ (σ − 1)Y mod X∗(T ) fur alle σ ∈ I.

Behauptung 2.22.

W2/W1 ' Bild[W I → H1(I, Tsc × Z)

]∩ Bild

[H1(I, κ(G))→ H1(I, Tsc × Z)

].

Beweis: Betrachte folgendes kommutative Diagramm:

H2(I, κ(G))x...→ N(T )I −−−→ W I δ−−−→ H1(I, T ) −−−→ H1(I,N(T )) → ...x ∥∥∥ xπ

x...→Nsc(Tsc)

I −−−→ W I δ′sc−−−→ H1(I, Tsc × Z) −−−→ H1(I,Nsc(Tsc)× Z)→ ...xH1(I, κ(G))

in das die langen exakten Sequenzen zu den Definitionen der Fundamentalgruppe

κ(G) und der Weylgruppe W eingehen. Dabei ist δ′sc : W I δsc−→ H1(I, Tsc) →H1(I, Tsc) × H1(T, Z) ' H1(I, Tsc × Z). Nun ist W2 = Kern(π δ′sc) und W1 =Kernδ′sc.

(2.23) Um W1 zu berechnen, reduziert man (besser) auf irreduzibles Φ. Es werdenwieder die Bezeichnungen von oben benutzt: Φ =

⊕i IndI

IiΦi und die entsprechen-

den Zerlegungen von Tsc, V , Z[Φ∨] und W . Weil folgendes Diagramm kommutiert

... −−−→ W (Φ)I δsc−−−→ H1(I, Tsc) −−−→ ...

'y '

yShapiro

... −−−→⊕

iW (Φi)Ii

⊕iδi−−−→⊕

iH1(Ii, Ti,sc) −−−→ ...

sei zur Berechnung von W1 und W0 o.E. Φ irreduzibel.


Behauptung 2.24. Sei Φ irreduzibel. Dann sind folgende vier Gruppen gleich:

(1) W1Def= Bild[Nsc(Tsc)

I → W I ] = Kern[W I δsc−→ H1(I, Tsc)].

(2)w ∈ W I | ∃Y ∈ V ∀σ ∈ I : (w − 1)Yσ ≡ (σ − 1)Y mod Z[Φ∨]

.

(3)⋂σ∈I

Bild

[(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

Proj.−−→ W I

]∩

⋂t∈I∩Tad

Wt

(4)⋂σ∈I

⟨sIα

∣∣∣ SIα(Yσ) ∈ Z, falls α vom Typ I(2SIα)(Yσ) ∈ Z, falls α vom Typ II

⟩∩

⋂t∈I∩Tad

Wt

Beachte, daß aus der Bedingung w ∈⋂

t∈I∩TadWt folgt, daß in (3) gilt: (w− 1)Yσ ≡

(w − 1)Yτ mod Z[Φ∨], falls σ∗ = τ ∗. Deswegen kann man den ersten Durchschnittin (3) bzw. (4) auch nur uber (die Erzeuger von) σ∗ ∈ I∗ nehmen (und fur jedes σ∗

ein Yσ wahlen).

Beweis: (1) = (2) ist Korollar 2.21 fur X∗(Tsc) = Z[Φ∨].

(2) ⊂ (3): Aus x(w, σ) := (w − 1)Yσ ≡ (σ − 1)Y mod Z[Φ∨] fur alle σ ∈ I folgtzum einen sofort, daß fur σ ∈ I ∩ Tad gilt (w − 1)Yσ ∈ Z[Φ∨], d.h. w(tσ) = tσ.Zum anderen folgt durch Projektion auf V ′I , daß PI(x(w, σ)) ∈ Z[Φ∨] und PI(Yσ) ≡w(PI(Yσ))− PI(x(w, σ)) mod PI(Z[Φ∨]) fur alle σ ∈ I, d.h.

w ∈⋂σ∈I

Bild

[(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

→ W I

].

(2) ⊃ (3): Sei nun w ∈ W I aus diesem Durchschnitt. Außerdem ist w ∈⋂

t∈I∩TadWt,

woraus folgt, daß (w − 1)Yσ ≡ (w − 1)Yτ mod Z[Φ∨] fur σ∗ = τ ∗. Daher ist dieKohomologieklasse von (σ∗ 7→ (w−1)PI(Yσ)) inH1(I∗, V ′I/PI(Z[Φ∨])) wohldefiniertund trivial. Man ist nun in der Situation von (2.10) und hat die exakte Sequenz

...→ H1(I∗, VP/(Z[Φ∨] ∩ VP ))︸︷︷︸=0 nach Lemma 2.11

→ H1(I∗, V ′/Z[Φ∨])P I−→ H1(I∗, V ′I/PI(Z[Φ∨]))→ ...,

d.h. nach Lemma 2.11 ist P I eine Inklusion. Deswegen ist (σ∗ 7→ (w− 1)Yσ) trivialin H1(I∗, V ′/Z[Φ∨]). Also liegt w in der Gruppe von (2).

(3) = (4): Erstens operiert nach (2.5.9) PI(Z[Φ∨]) oW I als affine Weylgruppe (zuW I) auf V ′I und zwar erzeugt von den Spiegelungen (∈ EndV I) an den Hyperebe-nen HIα,k := v ∈ V I | (PIα

∨)∨(v) = −k (fur k ∈ Z). Zweitens ist nach demSatz von Chavalley–Steinberg 1.6 das Bild eines Stabilisators

(PI(Z[Φ∨]) o W I

)v

unter der Projektion in W I eine Spiegelungsuntergruppe, die erzeugt wird von denSpiegelungen sIα (an HIα,0), fur die v ∈ HIα,k mit geeignetem k ∈ Z. Schließlichhat man nach (2.5.8)

(PIα∨)∨(PI(Yσ)) = c(α) · SIα(PI(Yσ)) = c(α) · SIα(Yσ),


wobei das c aus Definition 2.3 benutzt wird. (Daß Wurzeln vom Typ III in diesenUberlegungen nicht (explizit) auftauchen, liegt an einer Bemerkung in (2.5.9): Wennα = α′ + θ(α′) vom Typ III ist und α′ vom Typ II, dann gilt Hα,k = Hα′,2k.)

(2.25) Fur irreduzibles Φ folgt aus Beispiel 2.18 eine zu Behauptung 2.24(4)ahnliche Charakterisierung von W0 = W (gI):

W0 =⟨sIα

∣∣∣ ∀σ ∈ I :

SIα(Yσ) ∈ Z, falls α vom Typ I

(2SIα)(Yσ) ∈ Z, falls α vom Typ II

⟩∩

⋂t∈I∩Tad

Wt

Damit ist der (verallgemeinerte) Satz von Steinberg 2.12 bewiesen.

Satz von Steinberg mit zyklischer Automorphismengruppe

(2.26) Hier wird V I wieder als Kammerkomplex bezuglich der Aktion von Waff :=PI(Z[Φ∨]) oW I aus (2.5.9) angesehen. Fixiere eine Kammer C und definiere

ΩC(G) := StabC(PI(X∗(T )) oW I) '(PI(X∗(T )) oW I

)/(PI(Z[Φ∨]) oW I

),

wobei T ein maximaler Torus in G ist. Die mittlere Gleichung folgt, weil Waff

einfach transitiv auf den Kammern von V I operiert.

Satz 2.27 (Steinberg [St68, 8.1], Burgoyne, Williamson [BW72, Prop. F]und Hales [Hal93, 4.7]).Sei I = 〈θ〉 zyklisch mit θ = inttθ θ∗ und tθ = expYθ ∈ T . Dann gilt

Φ(Gθ, T θ) =

PI(α) ∈ PI(Φ)

∣∣∣ SIα(tθ) =

1 falls α vom Typ I oder II−1 falls α vom Typ III

Die unipotente Untergruppe UIα zur Wurzel PI(α) ∈ Φ(Gθ, T θ) ist als Varietatisomorph zum Bild von Uα in

∏σ∈I/Iα

σUα unter x 7→∏

σ∈I/Iασ(x) (in irgendeiner

festgelegten Reihenfolge des Produkts).Wie in (2.26) fixiere eine Kammer C von V I , in deren Abschluß PI(Yθ) liegt. Danngilt:

W (gI) '(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yθ)

Def= W0

N(T )I/T I '(PI(X∗(T )) oW I

)PI(Yθ)

Def= W2

1→ W0 → W2 →(ΩC(G)

)PI(Yθ)

→ 1 ist splitexakt.

1→ T I/T I → GI/GI → W2/W0 → 1 ist exakt.

1→ ZI/(Z ∩ T I)→ T I/T I → H1(I∗, κ(G))→ H1(〈θ∗〉, Tsc × Z) ist exakt,

wobei Z = Cent(G) und κ(G) = Kern[Tsc × Z T ].Insbesondere ist Gθ eine zusammenhangende reduktive Gruppe, wenn G halbeinfachund einfach zusammenhangend ist.

Der Kammerkomplex zu PI(Z[Φ∨]) oW I 25

Beweis: Die Beschreibung von Φ(Gθ, T θ) ist aus Beispiel 2.18.a. Die Aussagen uberW0 und W2 sind am einfachsten direkt aus Korollar 2.21 abzuleiten: Fur w ∈ W I

gilt

w ∈ Bild[N(T )I → W I

]= Kern

[W I δ−→ H1(I, T )

]⇔ (w − 1)PI(Yθ) ∈ PI(X∗(T ))

⇔ ∃x ∈ PI(X∗(T )) mit w(PI(Yθ)) + x = PI(Yθ)

⇔ ∃x ∈ PI(X∗(T )) mit xo w ∈(PI(X∗(T )) oW I

)PI(Yθ)

Das wendet man fur Tsc (d.h. X∗(Tsc) = Z[Φ∨]) und T selbst an, um sich Beschrei-bungen von W1 und W2 zu verschaffen. Fur zyklisches I hat man W0 = W1. Daskann man z.B. durch Vergleich von (2.25) und Behauptung 2.24.4 sehen, wenn manden Durchschnitt in 2.24.4 nur uber den einen Erzeuger θ von I laufen laßt (was inBehauptung 2.24 ausdrucklich erlaubt wird).Nun kann man alle Aussagen aus Satz 2.12 ablesen, außer dem Schnitt der SequenzW1 → W2 W2/W0. Mit dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.6 kan man bewei-sen, daß W0 transitiv auf den Kammern operiert, in deren Abschluß PI(Yθ) liegt.Daher nimmt diese exakte Sequenz (wie in (2.26)) folgende Splitform an:

1→(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yθ)

→(PI(X∗(T )) oW I

)PI(Yθ)

→(ΩC(G)

)PI(Yθ)

→ 1

Der Kammerkomplex zu PI(Z[Φ∨]) oW I

Sei weiterhin I = 〈θ〉 zyklisch. In diesem Paragraphen wird Φ fast immer irreduzibelangenommen, um die Bezeichnungen zu vereinfachen. Wie man das hier Dargestellteauf allgemeines Φ ⊂ V ausdehnen kann, deutet die allgemeine Definition des affinenDynkindiagramms 2.33 an. Die Funktion c(α) ist stets die aus Definition 2.3.

(2.28) Leitfaden: Hauptsachlich der Satz 2.42 von Dynkin im nachsten Para-graphen erfordert ein prazises Studium der verschiedenen Wurzelsysteme, die auseinem gegebenen Φ durch Kombination von PI , SI· und (·)∨ entstehen. Als Orien-tierungshilfe werden hier die erweiterten Basen der (nutzlichen) Systeme vorgestelltund angedeutet, wozu man sie (spater) braucht. Dabei ist eine (I–stabile) Basis ∆von Φ vorgegeben und Iα ⊂ Φ− ist ein Orbit, der in Definition 2.33 definiert wird.


PI(α)∨ | α ∈ ∆ ∪ SIα∨

Wird zur Berechnung der Fundamen-talgruppen von Subsystemen in 2.43benutzt.

PI(α∨) | α ∈ ∆ ∪ PI(α

∨)

Enthalt eine Basis des Translationsgit-ters der affinen Gruppe PI(Z[Φ∨])oW I .Dieses Gitter ist der Kern der Exponen-tialabbildung von Tsc.

PI(α) | α ∈ ∆ ∪ (SIα∨)∨

Charakterisiert die Subwurzelsystemevon Zentralisatoren nach Dynkin (Satz2.42).

(PI(α∨))∨ | α ∈ ∆ ∪ PI(α

∨)∨

Durch sie werden die Wande eines Fun-damentalbereichs ”Alkoven” der Opera-tion von PI(Z[Φ∨]) o W I auf V I defi-niert. HIα,1 ist der ”Alkovendeckel”.

Dabei sind die zueinander dualen Systeme/Basen untereinander angeordnet. Um dieI–Orbiten von ∆∪Iα eindeutig zu bezeichnen, genugt es, eine dieser vier erweitertenBasen als ∆ext(Φ, I) zu benennen. Wegen des Satzes 2.42 wird dies die Menge linksunten sein.Fur irreduzible Wurzelsysteme Φ ohne Twist (θ = id), die nicht vom Typ B oderC sind, sind alle vier abgeleiteteten Wurzelsysteme/erweiterten Basen vom selbenTyp (wie Φ). Fur Wurzelsysteme Φ vom Typ B oder C sind nur die Wurzelsystemein einer Zeile gleich. (Die andere Zeile beinhaltet das duale System.) Falls θ 6= idund Φ nicht vom Typ A2n sind die Wurzelsysteme/erweiterten Basen diagonal uberKreuz vom selben Typ (wegen (2.5.8) und der Selbstdualitat der ADE–Systeme).Sie liegen allerdings in zueinander dualen Vektorraumen. Im Fall A2n hat man vierverschiedene erweiterte Basen:

Beispiel 2.29. Der Ausnahmefall A2n:Hier ergeben sich folgende Diagramme zu ”erweiterten Basen” von BC–Wurzelsys-temen:

< <• < >•

> >• > <•

(2.30) Der Kammerkomplex: Bisher wurde von dem Kammerkomplex, der vonPI(Z[Φ∨])oW I auf V I bewirkt wird, nur benutzt, was in (2.5.9) steht: Z[PI(Φ

∨)]oW I operiert auf V I als affine Weylgruppe zu W I , erzeugt von den Spiegelungen anden Hyperebenen

HIα,k := v ∈ V I | (PIα∨)∨(v) = −k = v ∈ V I | (c(α) · SIα)(v) = −k(iv)

(fur k ∈ Z). Genauer heißt das: Die Kammern von V I sind die Zusammenhangs-komponenten von

V I\⋃

Iα⊂Φ,k∈Z

HIα,k


und die Aktion von Z[PI(Φ∨)]oW I ist einfach transitiv auf den Kammern, denn die

Hyperebenen HIα,k sind (nach (iv)) die Nullstellenmengen zu Wurzeln des affinenWurzelsystems (PI(Φ

∨)∨)aff := β + k | β ∈ PI(Φ∨)∨, k ∈ Z und (PI(Φ

∨))aff :=β + k | β ∈ PI(Φ

∨), k ∈ Z ist das duale Wurzelsystem dazu. (”Dual” heißt hierbezuglich der ublichen Erweiterung der Paarung von ΦI×(ΦI)∨ durch die Definition〈α+ k, β∨ + l〉 := 〈α, β∨〉.)

(2.31) Der Kammerkomplex auf (V ⊗C)I : Um den Kammerkomlex auf die I–Invarianten des komplexifizierten Vektorraum V ′ := V ⊗C = V ⊕ i ·V auszudehnen,sei

HReIα,k :=

v ∈ V I ⊗ C | Re(v) ∈ HIα,k

,

wobei der Realteil (wie ublich) die Projektion auf die erste Komponente in V ′ = V ⊕i ·V ist. Die (nicht kompakten) Kammern von V ′I sind dann wieder definiert als dieZusammenhangskomponenten von V ′I\

⋃HRe

Iα,k und die affine Weylgruppe operiertdurch (xow)(v1+iv2) := x+w(v1)+i·w(v2) fur vi ∈ V I , w ∈ W I und x ∈ PI(Z[Φ∨]).Diese Operation ist also auf dem Realteil von V ′I die obige affine Operation undauf dem Imaginarteil die sparische Operation der Projektion auf den Faktor W I .Daher operiert auch PI(Z[Φ∨]) o W I transitiv auf den Kammern von V ′I und dieOperation wird erzeugt von Involutionen sIα,k×sIα,0 ∈ AffEnd(V I)×End(iV I), dievon den Wanden einer reellen Kammer C ⊂ V I induziert werden.

Die Operation von Z[Φ∨] oW auf V ′ wurde (per Konstruktion) so eingerichtet, daßdie Exponentialabbildung

1 −→ Z[Φ∨] −→ V ⊗ C exp−−−→ T (C) −→ 1

W–aquivariant ist und das Bild des Abschlusses einer Kammer ein Fundamentalbe-reich fur T (C)/W ist.Fur ein Element t = exp(y) ∈ T (C) und eine Wurzel α ∈ X∗(T ) ist dann α(t) = 1aquivalent zu: α(Re(y)) ∈ Z und α(Im(y)) = 0, was gleichbedeutend ist mitα(y) ∈ Z.

(2.32) Der Alkoven: Die Wande einer Kammer von V I (aus (2.30)) korrespondie-ren uber die Operation von Z[PI(Φ

∨)]oW I eineindeutig zu Wanden einer irgendwiefestgelegten Kammer C0 (”Alkoven”), in deren Abschluß o.E. 0 liegen soll. Der Ke-gel R · C0 (oder ein Punkt im Inneren von C0) definiert eindeutig eine Basis des(sparischen) Wurzelsystems (PI(Φ

∨))∨ und damit (nach (2.5.3)) auch (I–stabile)Basen in allen verwandten Systemen: Φ, Φ∨, PI(Φ

∨), PI(Φ)....Die Wande des Alkovens C0 sind nun zum einen die Wande HIα,0, fur α ∈ ∆, vonR·C0 (sie enthalten 0!) und zudem fur jeden θ–Orbit einer irreduziblen Komponentevon Φi eine Zusatzwand (”Deckel”) HIαi,1, wobei αi ∈ Φ, so daß −(PI(α

∨i ))∨ die

hochste Wurzel in PI(Φ∨i )∨ (bzgl. PI(∆

∨i )∨) ist. Man kann diese Zusatzwand als

Deckel bezeichnen, denn sie trennt von R · C0 ∩ (Z[Φ∨i ]⊗) eine kompakte Kammerab, in der 0 liegt.


Fur irreduzible Wurzelsysteme wird der Alkoven in (2.40) unten angegeben. Vorhermussen aber noch die Wurzeln genauer benannt werden. Im Lichte von Satz 2.42ist folgende Vorgehensweise sinnvoll:

Definition 2.33. Sei Φ irreduzibel, θ ∈ Aut(Φ,∆) und α ∈ Φ−, so daß folgendeaquivalenten Bedingungen erfullt sind:

• −PI(α∨)∨ = −c(α)SIα ist die hochste Wurzel in (PI(Φ

∨)∨)+ = (ΦI)+, bezuglichdes Positivbereiches der durch ∆ definiert wird.

• HIα,1 ist der ”Deckel” des Alkovens, der 0 enthalt und dessen restliche WandeHIα,0 fur alle α ∈ ∆ sind.

Dem Paar (Φ, θ) werde das affine Dynkindiagramm bzw. die erweiterte Basis

∆aff (Φ, θ) := PI(∆) ∪ c(α)PI(α) + 1(2.5.8)=

1

c(α)(SIα∨)∨ | Iα ⊂ ∆

∪(SIα∨)∨ + 1

bzw. ∆ext(Φ, θ) := PI(∆) ∪ c(α)PI(α)

zugeordnet. Alle Dynkingraphen zu ∆aff (Φ, θ) sind in Tabelle 2.36 angegeben.Falls Φ reduzibel ist, benutzt man die Notation vom Ende des Satzes 2.12 fur I = 〈θ〉zu folgender Definition

∆aff

(⊕i

IndIIiΦi, I

)=∐

i

∆aff (Φi, Ii) .

(2.34) Wenn man die Wurzel der irreduziblen ADE–Systeme so numeriert, wie aufSeite 151 (das ist die Bourbakinotation [Bou, VI §4]), hat man folgende Orbiten Iα(falls θ 6= id)

2A2n−1: −(α1 + α2 + ...+ α2n−2),−(α2 + α3...+ α2n−1)2A2n : −(α1 + α2 + ...+ αn),−(αn+1 + ...+ α2n)2Dn : −(α1 + ...+ αn−2 + αn−1),−(α1 + ...+ αn−2 + αn)2E6 : −(α1 + α2 + 2α3 + 2α4 + α5 + α6),−(α1 + α2 + α3 + 2α4 + 2α5 + α6)3D4 : −(α1 + α2 + α3),−(α2 + α3 + α4),−(α1 + α2 + α4)

Bei diesen Fallen (außer den 2A2n–Systemen) ist −Iα immer der Orbit hochsterHohe in Φ+, der nicht aus einer Fixwurzel besteht. Im Ausnahmefall Φ = A2n undθ 6= id ist α vom Typ II (⇒ c(α) = 2!). Falls θ = id, ist −α immer die hochsteWurzel in Φ+.

(2.35) Zur Tabelle: Nur Wurzelsysteme Φ vom Typ ADE gestatten nichttrivialeAutomorphismen. In der Tabelle werden die Diagramme zu ΦI = PI(Φ) (bzw.zu ∆aff (ΦI , id)) immer direkt unter den entsprechenden Systemen Φ angeordnet(getrennt nur durch einen Strich), wenn ΦI ein reduziertes Wurzelsystem ist, d.h.als Wurzelsystem einer reduktiven Gruppe vorkommt. Das ist genau dann der Fall,


wenn Φ nicht vom Typ A2n ist (vgl. (2.5.1)).Der geschwarzte Punkt gibt jeweils die Wurzel an, die nicht in PI(∆(G, T )) liegt,die also zum ”Deckel” der Kammer gehort. Die Anzahl der nicht geschwarztenPunkte geht aus der Bezeichnung des Wurzelsystems hervor: Am hatm weiße Punkteusw. Die Wurzelsysteme mit Mehrfachkanten haben immer genau soviele weißePunkte wie die Anzahl der θ–Orbiten von weißen Punkten im ADE–System linksneben bzw. uber dem betrachteten Wurzelsystem. Deswegen werden in den ADE–Systemen die weißen Punkte eines θ–Orbits untereinander gezeichnet. (Daher gibt esdas Diagramm zu ∆aff (Φ(D4), id) zweimal: Einmal werden die 3 (weißen) Orbitenunter einem Automorphismus der Ordnung 2 dargestellt, das andere Mal die beiden(weißen) Orbiten unter einem Automorphismus der Ordnung 3.)


Tabelle 2.36. ∆aff (Φ, θ)

Φ θ = id Ord(θ) = 2

A2n−1n≥2

•oooo

OOOO

oooo

OOOO <

< >bzw.

•O

OOO

oooo

•

Cnn≥2

> <•

A2n •oooo

OOOO > > ×

> ×bzw.

•

•

Dn+1n≥4

•O

OOO

oooo

OOOO

oooo< >•

Bnn≥3

>•O

OOO

oooo

Nur θ = id moglich:

E8 •

E7 •

θ = id Ord(θ) = 2

E6 • oooo

OOOO > •

F4 >•

θ = id Ord(θ) = 3

D4 • oooo

OOOO > •

G2 >•


Definition 2.37. Ein Punkt v ∈ V I heißt speziell, falls(PI(Z[Φ∨]) oW I

)v' W I .

Wenn Φ irreduzibel ist, liegt ein spezielles v in einer Facette niedrigster Dimensioneiner Kammer und die Wurzel der gegenuberliegenden Wand in ∆aff (Φ, θ) wirdebenfalls speziell genannt.

(2.38) Nach dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.6 kann man die speziellen Eckenam Graphen von ∆aff (Φ, θ) ablesen (o.E. sei Φ irreduzibel): Eine Ecke ist genaudann speziell, wenn die Weylgruppe von Pθ(Φ) gleich der Weylgruppe des Graphenist, der entsteht, wenn man die Ecke (mit allen zu ihr fuhrenden Kanten) aus demDiagramm zu ∆aff (Φ, θ) streicht. In der Tabelle 2.36 sind die speziellen Punktegenau die Punkte im Orbit des geschwarzten Punktes unter den Diagrammauto-morphismen, außer im Fall Φ = A2n, θ 6= id. Dann sind beide Randpunkte speziell,aber es gibt keine Diagrammautomorphismen. Auf Seite 152 sind genau alle spezi-ellen Punkte geschwarzt.

Behauptung 2.39. Genau dann ist v ∈ V I speziell, wenn

v ∈ Z[(PI(∆∨))∨]∗

Def= x ∈ V I | γ(v) ∈ Z fur alle γ ∈ PI(∆

∨)∨ = Z[ΦI,lang]∗,

wobei ΦI,lang das reduzierte Wurzelsystem der langsten Wurzeln in ΦI = PI(Φ∨)∨

ist (d.h. man laßt alle PI(α∨)∨ weg, fur die α vom Typ III ist).

Beweis: Man reduziert sofort auf irreduzibles Φ. Nach Chevalley–Steinberg 1.6 undder Inspektion in (2.38) ist v ∈ V I genau dann speziell, wenn es zu jedem OrbitIα ⊂ Φ ein kIα ∈ Z gibt mit v ∈ HIα,kIα

, d.h. (PI(α∨)∨)(v) = kIα ∈ Z. Falls Φ

nicht vom Typ 2A2n ist, ist (nach (2.5)) PI(∆∨)∨ eine Basis von ΦI = ΦI,lang. Falls

Φ vom Typ 2A2n ist, errechnet man (aus (2.5)), daß PI(∆∨)∨ eine Basis von ΦI,lang

ist.

(2.40) Die Ecken des Alkovens: Sei Φ irreduzibel und α wie in Definition 2.33.Dann gibt es cIα ∈ Z>0, so daß

0 =∑

Iα⊂∆∪Iα

cIαPI(α∨)∨ =

∑Iα⊂∆∪Iα

cIαc(α)SIα ,

wobei c(α) aus 2.3 ist. Dabei ist cIα = 1. Die Dualbasis zu PI(∆∨)∨ wurde in

2.5 angegeben. Mit den Bezeichnungen von dort sind die Ecken das Alkovens zu∆aff (Φ, θ), abgesehen vom Ursprung, genau die Punkte

1

cIα · c(α)PI(β

∨α ), Iα ⊂ ∆


Die folgende Tabelle gibt die cIα fur alle irreduziblen Systeme an: Die Orbiten Iαsind dabei genau so angeordnet, wie die (SIα∨)∨ in Tabelle 2.36.

Φ θ∗ = id Ordθ∗ = 2

A2n−1 alle cIα = 111

2 2 ... 2 2 2

Cn 1 2 2 ... 2 2 1

A2n alle cIα = 1 1 2 2 ... 2 2 1

Dn+111

2 2 ... 2 211

1 2 2 ... 2 2 1

Bn11

2 2 ... 2 2 2

E83

2 4 6 5 4 3 2 1

E72

1 2 3 4 3 2 1

E6 1 2 32 12 1

2 4 3 2 1

F4 1 2 3 4 2

Ordθ∗ = 3

D4 1 2111

3 2 1

G2 1 2 3

Beispiel 2.41. Φ vom Typ A2n und Θ 6= id.Mit den Bezeichnungen aus Beispiel 2.4 hat man folgende (reelle) Alkoven

Alk(∆aff (Φ, id)) := (x1, ..., xm+1) ∈ V | 1 + xm+1 > x1 > x2 > ... > xm > xm+1

Alk(∆aff (ΦI , id)) =

(x1, ..., xn, 0,−xn, ...− x1) ∈ V Θ

∣∣∣∣ 1

2> x1 > ... > xn > 0

Alk(∆aff (Φ,Θ)) =

(x1, ..., xn, 0,−xn, ...− x1) ∈ V Θ

∣∣∣∣ 1

4> x1 > ... > xn > 0

.

Obwohl die Dynkindiagramme der letzten beiden Alkoven gleich aussehen, sind dieentsprechenden Alkoven nicht gleich. Insbesondere hat man folgende Stabilisator-gruppe dieser Alkoven in PI(Z[Φ]∗) oWΘ:

ΩAlk(∆aff (ΦI ,id)) ' Z/2 aber ΩAlk(∆aff (Φ,Θ)) ' 1.

Folgerungen aus dem Satz von Steinberg

Hier werden noch zwei Resultate bewiesen, in denen der Satz von Steinberg eine/dieentscheidende Ingredienz ist. Der folgende Satz geht ungetwistet (und fur die Lie-algebren) auf Dynkin [Dy57b, Theorem 5.1] zuruck. (Vgl. [BW72] und [De81].)

Folgerungen aus dem Satz von Steinberg 33

Satz 2.42 (Dynkin). Sei G eine reduktive Gruppe mit Wurzelsystem Φ und Split-ting splG = (B, T, Xα). Identifiziere Out(G) ' Aut(G, splG) und fixiere einElement θ∗ daraus.

(a) Die Typen der Wurzelsysteme Ψ(Ginttθ∗), wobei t ∈ T durchlauft, stehen in

1–1–Korrespondenz zu der Menge der echten Subsysteme von ∆ext(Φ, θ∗), i.e.

der Menge der (echten) Subgraphen des erweiterten Dynkindiagramms, wie es(Φ, θ∗) in Definition 2.33 zugewiesen wird.

(b) Zu jedem t ∈ T gibt es w ∈ W θ∗, so daß Gintw(t)θ∗ eine Basis in ∆ext(Φ, θ∗)

hat.

Beweis:Zu (a): Sei θ := inttθ∗ und t =: exp(Yθ). Da nur Aussagen uber das Wurzelsystemvon Gθ bewiesen werden sollen, kann man o.B.d.A. G einfach zusammenhangend(und halbeinfach) annehmen. Da diese Gruppen direkte Produkte von Orbitensimpler Gruppen sind, sei o.B.d.A. Φ = Φ(G, T ) irreduzibel.Um den Kammerkomplex auf V I (aus (2.30)) zu beschreiben, sind die HyperebenenHIα,k mit α vom Typ III uberflussig (denn HIα,k = HIα′,2k, wenn α = α′ + θ(α′)nach (2.5.9)). Um spater halbganze Zahlen zu vermeiden wird umnormiert:

HnorIα,k :=

HIα,k falls α nicht vom Typ III istHIα,k/2 = HIα′,k falls α = α′ + θ(α′) vom Typ III.

Nach Steinbergs Satz 2.27 ist mit diesen Bezeichnungen

Φ(Gθ, T θ) =

PI(α)

∣∣∣ (SIα)(Yθ) ∈

Z falls α vom Typ I oder IIZ + 1

2falls α vom Typ III

=

PI(α)∣∣∣ PI(Yθ) ∈ Hnor

Iα,k, wobei

k ∈ Z falls α Typ Ik ∈ 2Z falls α Typ IIk ∈ 1 + 2Z falls α Typ III

Fixiere die Kammer C0 ⊂ V ′I des komplexifizierten Komplexes aus (2.31) mit 0 ∈C0, die zu der θ–stabilen Basis ∆ = ∆(B, T ) von Φ korrespondiert. Dies legt eineθ–stabile Basis ∆ von Φ und den θ–Orbit von α aus Definition 2.33 fest.Nun soll eine Basis von Φ(Gθ, T θ) ⊂ PI(Φ) bestimmt werden. Weil Z[PI(Φ

∨)] oW I

transitiv auf den Kammern von V I operiert, gibt es im Orbit von PI(Yθ) einenPunkt Y0 ∈ C0. Fixiere ein g := w.x ∈ Z[PI(Φ

∨)] o W I mit g(Yθ) = Y0. WennPI(Φ) reduziert ist, bestimmen die Wurzeln der Wande von C0, auf denen Y0 liegt,die Basis

∆(Y0) :=

PI(α

∨)∨∣∣∣ α ∈ ∆ ∪ Iα mit Y0 ∈ Hnor

Iα,kIα,

wobei kIα = 1 und sonst kIα = 0

⊂ PI(∆

∨)∨ ∪ PI(α∨)∨

des Wurzelsystems

Φ(Y0) := PI(α∨)∨ | α ∈ Φ, so daß ∃k ∈ Z : Y0 ∈ Hnor

Iα,k ⊂ PI(Φ∨)∨,


das uber g−1 isomorph ist zu Φ(PI(Yθ)) =: Φ(Yθ). (Falls PI(Φ∨)∨ nicht reduziert ist,

ist ∆(Y0) nur Basis eines reduzierten Subsystems von Φ(Y0). S.u.)Der restliche Beweis zerfallt in drei verschiedene Falle.

Fall 1: θ∗ = id.Dann ist PI(α

∨)∨ = PI(α) = α. Daher ist ∆(Y0) eine Basis von Φ(Gθ, T θ). Sie istin ∆ext(Φ, id) = ∆∪ −α+ enhalten. (denn −α ist hier die langste Wurzel in Φ+.)

In den restlichen Fallen ist Φ vom Typ ADE. Normiere Φ so, daß ‖α‖2 = 2 fur alleα ∈ Φ. Dann gilt PI(α

∨)∨ = 2‖PI(α)‖2PI(α) (einfache Rechnung). Daher gibt es eine

”formale Dualisierungsabbildung”

(·)∪ : PI(Φ)1−1−−→ PI(Φ

∨)∨ PI(α)7−→ 2

‖PI(α)‖2PI(α) =: PI(α)∪,

mit einer analog gebildeten Umkehrabbildung, die (wie ublich) die gleiche Bezeich-nung tragen moge.

Fall 2: θ∗ 6= id und Φ ist nicht vom Typ A2n.Dann ist das Wurzelsystem Φ reduziert und nach Steinberg gilt Φ(Y0)

∪ = Φ(Gθ, T θ).Daher bildet das formale Dual ∆(Y0)

∪ zwangsweise eine Basis von Φ(Gθ, T θ) =Φ(Y0)

∪. Nach Konstruktion ist ∆(Y0)∪ ⊂ ∆ext(Φ, θ

∗) = PI(α) | α ∈ ∆ ∪ PI(α).

Fall 3: θ∗ 6= id und Φ ist vom Typ A2n.Erste Beweisvariante. Die elementarere Matrizenrechnung kommt anschließend.Das Wurzelsystem Φ(Y0) ist nicht reduziert (und ∆(Y0) im Allgemeinen keine Basismehr). Man sucht eine Basis des maximalen reduzierten Subsystems Φ(Gθ, T θ) ⊂Φ(Y0)

∪. Weil Z[PI(Φ∨)] oW I uber Spiegelungen an den Wanden zu (all) den Hnor

Iα,k

(α ∈ Φ, k ∈ Z) auf V I operiert, kann man folgende Beobachtung ableiten:

Beobachtung: Wenn w.x ∈ Z[PI(Φ∨)]oW I und (w.x)(HIα,k) = HIw(α),l, dann gilt

k ≡ l mod 2.

Wenn man Φ(Gθ, T θ) formal dualisiert (zu Φ(Gθ, T θ)∪ ⊂ Φ(Yθ)) und dann uber dasfruher fixierte g = w.x isomorph auf ein Subsystem von Φ(Y0) abbildet, erhalt mandaher mit Steinberg

Φ(Gθ)∪0 :=

PI(α)∪∣∣∣ Y0 ∈ Hnor

Iα,k, wobei

k ∈ Z (α Typ I)k ∈ 2Z (α Typ II)k ∈ 1 + 2Z (α Typ III)

(v)

D.h. Φ(Gθ)∪0 ⊂ PI(Φ∨)∨ zerfallt in Wurzeln mittlerer Lange (α vom Typ I), kurzester

Lange im BC–System PI(Φ∨)∨ (das sind die, deren α vom Typ III ist) und Wurzeln

maximaler Lange (wenn α vom Typ II ist). In einem BC–System sind genau dannsowohl α als auch 2α Wurzeln, wenn α kurzeste (und 2α maximale) Lange hat.


Daher bildet eine Basis des maximalen B–Subsystems von Φ(Y0) auch eine Basis vonΦ(Y0) selbst. Man erhalt sie, indem man in ∆(Y0) alle Wurzeln maximaler Lange(das sind hochstens zwei!) halbiert. Sei ∆BC die Vereinigung dieser Basis mit ∆(Y0).(In ∆BC sind also alle positiven Vielfachen aller Wurzeln (aus ΦI) mitenthalten.Darum ist das selten eine Basis, aber mir fallt keine bessere Bezeichnung ein.)Mit diesen Bezeichnungen (und Bemerkungen) ist

∆BC ∩ Φ(Gθ)∪0

eine Basis von Φ(Gθ)∪0 . Es bleibt zu zeigen, daß das formale Dual dieser Basis in∆ext(Φ, θ

∗) liegt; anders formuliert, daß

∆BC ∩Φ(Gθ)∪0 ⊂ ∆ext(Φ, θ∗)∪ = PI(∆)∪ ∪ (2 · PI(α))∪ = PI(∆

∨)∨ ∪1

2PI(α

∨)∨.

Das folgt mit der Beobachtung aus (v), denn von einem Paar β, 2β ∈ ∆BC ist genaudann β ∈ Φ(Gθ)∪0 , wenn β ∈ Hnor

Iα,1. (Denn 1 ist die einzige ungerade Zahl in 0, 1, 2und der Deckel Hnor

Iα,1 die einzige Wand des Alkoven mit ungeradem kIα = 1.)Daher muß erstens die nicht reduzierte Wurzel PI(α

∨)∨ in der Levi–Basis PI(∆∨)∨

maximale Lange haben, d.h. α ∈ ∆ muß vom Typ II sein. (Ist erfullt!) Zweitens mußdie zusatzliche Wurzel fur den Deckel in Φ(Gθ)∪0 kurzeste Lange haben. Somit ist ihrformales Dual in ∆ext(Φ, θ

∗) von maximaler Lange: (SIα∨)∨ = c(α)PI(α) = 2PI(α).

Zweite Beweisvariante von Fall 3.Sei (Φ, I) = 2A2n, d.h. G = Sl(2n + 1). Die Bezeichnungen aus den Beispielen2.19 und 2.4 werden weiterverwendet. Sei t = Diag(t1, ...t2n+1) ∈ T ein Elementdes Diagonaltorus T . Die Operation der Weylgruppe W (Sl(2n + 1))θ∗ auf t wirdbeschrieben durch folgende Erzeuger von W θ∗

(W1) sPI(εi−εj) (fur 1 ≤ i < j ≤ n) vertauscht ti mit tj und gleichzeitig t2n+2−i

mit t2n+2−j (und belaßt alles andere unberuhrt).(W2) sPI(εi−ε2n+2−i) = sεi−ε2n+2−i

vertauscht ti mit t2n+2−i.

Nun wird t innerhalb seines W θ∗–Orbits geeignet abgeandert. Betrachte die Mengealler Quotienten ti/t2n+2−i | 1 ≤ i ≤ n =: Q. Wenn in Q fur ein λ 6= ±1 sowohlλ als λ−1 vorkommen sollte, fixiere eine der beiden Zahlen (λ) und invertiere mitgeeignete Weylgruppenelemente der Form (W2) alle ti/t2n+2−i = λ−1. Danach darfman annehemen, daß Q = λi | 1 ≤ i ≤ k, wobei die λi paarweise verschieden sindund die λi 6= ±1 auch verschieden von allen λ−1

j . Falls 1 oder −1 in Q vorkommen,sei stets λ1 = 1 und λk = −1.Nun sieht man sofort, daß man t mit Permutationen vom Typ (W1) auf folgende


Blockgestalt bringen kann: (x := tn+1 ∈ F×!)

τ−k

...τ−1

x

τ1...

τk

mit τ−i =

( x1

...xmi

)=⇒ τi = λi ·

( xmi

...x1

)

fur geeignete mi ∈ N (so daß n =∑k

i=1mi). Nach Steinberg 2.27 gilt fur dieses t:

Gtθ∗ =

?

×. . .

?

∗ ∗∗ ∗

?

. . .

×?

' Sp(2mk)×Gl(mk−1)× · · ·· · · ×Gl(m2)× SO(2m1 + 1)

ist vom Typ Cmk× Amk−1

× · · · × Am2 ×Bm1 und hat eine Basis, die Teilmenge istvon PI(∆) ∪ −(ε1 − ε2n+1). Aber ε1 − ε2n+1 = α+ = −c(α)PI(α) (vgl. Beispiel2.4).

Umgekehrt kann man jede Teilmenge von ∆ext(Φ, θ∗) so bekommen, denn wenn man

alles zuruckverfolgt, sieht man, daß es genugt, zu jeder vorgegebenen Teilmenge derWande Hnor

Iα,0 | Iα ⊂ ∆ ∪ HnorIα,1 von C0 ∩ V I Punkte zu finden, die genau auf

den Hypereben dieser Teilmenge und sonst keinen liegen. Aber C0 ∩ V I ist fur ir-reduzibles PI(Φ) ein (dimV I

der–) Simplex in V I , denn die HnorIα,0 sind (nach (2.5.3))

dimV Ider paarweise verschiedene Hyperebenen, die 0 enthalten, und die zusatzliche

Hyperebene hat nichtleeren Schnitt mit allen anderen. Daher entspricht jeder Fa-cette von C0 ∩ V I eine der gesuchten Teilmengen.

Zu (b): Das wurde oben durch die Normierung auf die Kammer C0 eigentlich bereitsmitbewiesen. Sei Y ∈ V ′ so, daß expY = t. Weil PI(Z[Φ∨]) oW I transitiv auf denKammern in V ′I operiert, existieren w ∈ W I und Z ∈ Z[Φ∨], so daß

C0 3 (PI(Z) o w)(PI(Y )) = w(PI(Y )) + PI(Z) = PI(w(Y ) + Z).

Man hat int(exp(w(Y ) + Z)) θ∗ = intw(t) θ∗. Weil PI(w(Y ) + Z) ∈ C0, bildennach Teil (a) die Wurzeln PI(α) zu den Wanden von C0, fur die w(Y ) + Z ∈ HIα,k

(fur geeignetes k ∈ Z), eine Basis von Φ((Gintw(t)θ∗), T θ) und ein Subsystem von∆ext(Φ, θ

∗).


Behauptung 2.43. Sei G einfach algebraisch und einfach zusammenhangend mitirreduziblem Wurzelsytem Φ gegeben, B eine Borelgruppe und θ ∈ Aut(G,B, T ). Esgibt bγ ∈ Z>0, so daß

0 =∑

γ∈∆ext(Φ,θ∗)⊂PI(Φ)

bγ · γ∨ und 1 = ggTbγ | γ ∈ ∆ext(Φ, θ∗)

Sei H := Gθ. Nach Satz 2.42 faßt man eine Basis ∆H von ΦH als Teilmenge von∆ext(Φ, θ

∗) auf. Es gilt

π1(H) = Z/b× ZRang(PI(Φ))−Rang(ΦH),

wobei b = ggTbγ | ∆H 63 γ ∈ ∆ext(Φ, θ∗). Man hat 1 ≤ b ≤ 6 und falls z.B. keine

E8–Faktoren in G vorkommen, gilt sogar b ∈ 1, 2, 3, 4.

Beweis: Die Existenz der bγ verifiziert man durch Nachrechnen: Mit exakt derselbenAnordnung der Wurzeln wie in Tabelle 2.36 erhalt man:

Φ θ∗ = id Ordθ∗ = 2

A2n−1 alle bα = 111

2 2 ... 2 2 2

Cn alle bα = 1

A2n alle bα = 1 2 2 2 ... 2 2 1

Dn+111

2 2 ... 2 211

1 2 2 ... 2 2 1

Bn11

2 2 ... 2 2 1

E83

2 4 6 5 4 3 2 1

E72

1 2 3 4 3 2 1

E6 1 2 32 12 1

2 4 3 2 1

F4 1 2 3 2 1

Ordθ∗ = 3

D4 1 2111

3 2 1

G2 1 2 1

Nach 1.11 ist π1(H) = X∗(TI)/Z[Φ∨H ] = Z[Φ∨]I/Z[Φ∨H ] und Z[Φ∨]I = Z[∆ext(Φ, θ

∗)∨],denn nach (2.5.3) ist Z[Φ∨]I = Z[SIα∨ | α∨ ∈ Φ∨] und dieses Gitter wird von∆ext(Φ, θ

∗)∨ erzeugt. In jedem irreduziblen System kommt ein β ∈ ∆ext(Φ, θ∗) vor

mit bβ = 1. Seien ∆∨ := ∆ext(Φ, θ∗)∨\β∨ und S := ∆∨\∆∨H . Dann ist ∆∨ eine


Z–Basis von Z[Φ∨]I (denn bβ = 1).Die Aussage uber den freien Anteil von π1(H) ergibt sich einfach aus Dimen-sionsuberlegungen. Somit ist man fertig, wenn Folgendes bewiesen ist: Wennx ∈ Z[Φ∨]I in Z[Φ∨]I/Z[Φ∨H ] Torsion hat, dann gibt es ein l ∈ Z mit

x ≡ l

b

∑γ∨∈S

bγ · γ∨ mod Z[∆∨H ∩ ∆∨].

Seien xγ ∈ Z mit x =∑

γ∨∈∆∨ xγγ∨. Weil x in π1(H) Torsion hat, gibt es ein

minimales k > 0, so daß kx ∈ Z[Φ∨H ]. Aber Z[Φ∨H ] hat eine Z–Basis aus ∆∨H ∩ ∆∨

und gegebenenfalls β∨. Also gibt es ein m ∈ Z mit∑γ∨⊂∆∨

kxγγ∨ = kx ≡ −mβ∨ =

∑γ∨⊂∆∨

mbγγ∨ mod Z[∆∨H ∩ ∆∨],

wobei m = 0, falls β∨ 6∈ ∆∨H . Daher gilt kxγ = mbγ fur γ∨ ∈ S. Fur jeden Teiler cvon k und m ist offensichtlich bereits k

cx ∈ Z[Φ∨H ]. Wegen Minimalitat sind somit k

und m teilerfremd, d.h. k | bγ fur alle γ∨ ∈ S. Also teilt k | b und es existiert ein lmit xγ = l

bbγ fur γ∨ ∈ S.

Beobachtung: Außer in A2n–Systemen ist bPI(α) = 1, in den A2n–Fallen ist jedochbγ = 1 nur fur die einzige kurze Wurzel in ∆ext(Φ, θ

∗).

Gegenbeispiele

In diesem Paragraphen werden Gegenbeispiele gegen einige Verallgemeinerungswun-sche in der Darstellung des Satzes von Steinberg gegeben. Insbesondere wird gezeigt,daß die Gruppen W2 ⊃ W1 ⊃ W0 im Allgemeinen verschieden voneinander sind undauch verschieden von einer neuen Zwischengruppe W2 ⊃ W3/2 := Bild[Nder(Tder)

I →W I ] ⊃ W1.

Sei stets Jn := ((−1)iδi,n+1−j)i,j ∈ Matn×n und splSl(n) bestehe aus den den obe-ren Dreiecksmatrizen B, dem Diagonaltorus T und den Wurzelvektoren Xαi

:=(δj,iδk,i+1)j,k ∈ sl(n)αi∈∆. Der Flip auf Sl(n) bzw. Gl(n) ist der Automorphismusg 7→ Jn · tg−1 · J−1

n aus Aut(Sl(n), splSl(n))....

(2.44) Sei G := Gl(4), θ∗ der Flip, θ := tθ · θ∗, w := intn ∈ W (T ), wobei

tθ :=

(i

i−i−i

)∈ Sl(4) und n =

(1

11

1

)∈ Gl(4)

Dann ist Gder = Sl(4), π0(Gθ) ' Z/2, Φ(Gθ) = ±PI(ε1 − ε2), PI(ε1 − ε3) vom

Typ A1 × A1 und n ∈ N(T )θ, aber n 6∈ Gθ.Hier erhalt man W2 ' (Z/2)2 o (Z/2) 6' (Z/2)2 ' W3/2 = W1 = W0. Außerdem ist

Gegenbeispiele 39

Gder einfach zusammenhangend, aber GI nicht zusammenhangend, obwohl I = 〈θ〉zyklisch ist und θ fast halbeinfach. (Vgl. [Ca85, Theorem 3.5.6]!)

(2.45) Sei G := Sl(4), I = 〈σ, τ〉, wobei σ∗ der Flip, σ := tσ · σ∗, τ = tτ ,

sl(4) 3 Yσ :=

(1/4

1/4−1/4

−1/4

)Exp7−→

(i

i−i−i

)und Yτ :=

(1/2

00−1/2

)Exp7−→

( −11

1−1

)Dann ist G zwar einfach und einfach zusammenhangend aber GI nicht zusam-menhangend: Man hat GI = T I und GI/GI = 〈w〉 ' Z/2, wobei w ∈ W (T )die Permutation (14)(23) auf T = Diag(x1, x2, x3, x4) bewirkt. Hier gilt W2 =W1 = 〈w〉 6' 1 = W0.

(2.46) Sei alles wie im letzten Beispiel (2.45) nur I = 〈σ, τ, ρ〉 mit ρ = tρ =

e−2πi8 ·Diag(−1, 1, 1, 1) = Exp(Yρ) und Yρ = Diag(3

8,−1

8,−1

8,−1

8) ∈ sl(4).

Hier ist GI = GI = T I , also W2 = W1 = W0 = 1. Bei der Charakterisierung vonW1 in Behauptung 2.24(3) und (4) darf man in diesem Beispiel den zusatzlichenDurchschnitt mit

⋂t∈I∩Tad

Wt nicht weglassen. Weil namlich PI(Yρ) = PI(Yτ ), ist

wie in (2.45)⋂

σ∈I Bild[(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

→ W I]

= 〈w〉 6= 1 aber w 6∈ Wtρ .

(2.47) Sei PGl(2), θ = intt mit t =(−i

00i

)und 1 6= w ∈ W . Dann ist W2 = W3/2 =

〈w〉 6' 1 = W1 = W0.

(2.48) Sei G = Sl(4) × Sl(4), I = 〈σ, τ, ρ〉, ρ = ρ∗ vertausche die beiden Kompo-nenten, σ∗ bewirke den Flip auf der ersten Komponente (und die Identitat auf derzweiten), τ ∗ den Flip auf der zweiten Komponente und seien τ := Exp(Yτ ) · τ ∗ bzw.σ := Exp(Yσ) ·σ∗ mit Yτ = Yσ = Diag(0,−1

2, 1

2, 0|0,−1

2, 1

2, 0) ∈ (sl(4)× sl(4))I . (Die

gesternte Aktion stabilisiert hier naturlich das Splitting splSl(4)× splSl(4).) Man hatI ' I∗ ' (Z/2× Z/2) o Z/2.Hier ist GI ' Sl(2)×Sl(2), wobei die Wurzelraume zu den beiden langen (positiven)Wurzeln in PI(Φ(G)) (ein C2–System) den unipotenten Anteil in BI ergeben.Außerdem ist GI zusammenhangend: Das sieht man, indem man W1 mit Behaup-tung 2.24 ausrechnet. Dazu muß man erst auf die irreduzible erste (o.E.) Kom-ponente Φ1 = Φ(Sl(4)) reduzieren. Ihre Stabilisatorgruppe ist I1 := 〈σ, τ〉 undΦ = IndI

I1(Φ1). Dabei operiert τ als innerer Automorphismus zu Diag(1,−1,−1, 1)

auf der ersten Komponente G1 = Sl(4). Einerseits ist⋂σ∈I1

Bild[(PI1(Z[Φ∨1 ]) oW I1

1

)PI1

(Yσ,1)→ W I1

1

]' W I ,

andererseits gilt⋂

t∈I1∩Tad(W1)t = 〈s14, s23〉 ' (Z/2)2, wobei sij die Spiegelung an

der Wurzel εi − εj bezeichne. Zusammen hat man W2(Φ1, I1) = W1(Φ1, I1) '


(Z/2)2 ' W0(Φ1, I1), d.h. GI = GI.Man kann eine solche Rechnung nicht fur Φ selbst ausfuhren, denn man hat⋂

σ∈I

Bild[(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

→ W I]∩

⋂t∈I∩Tad

(W )t = W I = W (C2) .

Genauer sind die Mengen (1) und (2) in Behauptung 2.24 Kleinsche Vierergruppen(Z/2)2 aber die Mengen (3) und (4) die gesamte Weylgruppe zu C2, wenn man sie furdas reduzible Φ berechnet. Der Grund ist, daß Lemma 2.11 in diesem (reduziblen)Fall nicht mehr zur Verfugung steht. Die Gleichheit (1)=(2) und (3)=(4) gilt mitdem Beweis von 2.24 namlich fur beliebiges Φ.

Im ubrigen ist Bild[⋂

σ∈I

(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

→ W I]' Z/2 und damit auch

die Formel in (2.25) falsch fur dieses (reduzible) Φ.

Lockerung der Bedingung an den Korper F

Die Bedingung ”F ⊂ C” wurde in (2.1) gemacht, um die ExponentialabbildungV ⊗C→ T (C) benutzen zu konnen, d.h. die kompakten Punkte von T (F ) wurdenstets als Unterguppe von V/X∗(T ) aufgefaßt. Um die Beweise auf algebraisch abge-schlossene F (mit char(F ) = 0 oder genugend groß) zu ubertragen, geht Steinbergin [St68, §5] folgendermaßen vor:Das Charaktergitter X∗(T ) des F–Torus steht in Z–Dualitat zu X∗(T ), d.h. durchErweiterung in R–Dualitat zu V = X∗(T ) ⊗ R und schließlich in R/Z–Dualitat zuV/X∗(T ). Man benutzt das folgende Lemma von T.A. Springer:

Lemma 2.49.

(a) Fur jedes t ∈ T (F ) existiert ein y ∈ V/X∗(T ), so daß fur α ∈ X∗(T ) gilt:

α(t) = 1 ⇐⇒ α(y) = 0.

(b) Jeder Endomorphismus σ von T operiert auf X∗(T ), V sowie V/X∗(T ). Furt und y wie in (a) und alle α ∈ X∗(T ) gilt: α(σ(t)) = 1 ⇐⇒ α(σ(y)) = 0,

(c) Jedes y ∈ V/X∗(T ) von endlicher Ordnung – welche prim zur Charakteristikist, falls diese positiv ist – kann in (a) realisiert werden.

Beweis: [St68, 5.1+5.4]

Weil alle Argumente in den Beweisen der Satze von Steinberg und Dynkin, die dieExponentialabbildung (von Tori) verwenden, auf Inzidenzrelationen zuruckgefuhrtwerden konnen, kann man mit diesem Lemma die Satze 2.12 und 2.42 auch furalgebraisch abgeschlossene Korper F mit großer Charakteristik oder char(F ) = 0beweisen.

41

3 Tori

Maximale Tori in nicht zusammenhangenden reduktiven Grup-pen

In diesem Kapitel wird nicht so sehr eine Theorie beliebiger unzusammenhangenderreduktiver Gruppen betrieben, als vielmehr eine Zusammenhangskomponente L ei-ner solchen Gruppe analysiert. Da ich aber gerner mit Gruppen arbeite, betrachtetman immer die von dieser Zusammenhangskomponente erzeugte Gruppe.Daher sei G = 〈L〉 eine reduktive Gruppe uber einem p–adische Korper F mitEinszusammenhangskomponente G und π0(G) = G/G ' Z/l.

Die beiden nachsten Lemma sind (neben dem Satz von Steinberg) die Grundlageder folgenden Theorie nicht zusammenhangender Tori in G.Die Operation eines Automorphismus aufG wird halbeinfach genannt, wenn er durchKonjugation mit einem halbeinfachen Element in einer Obergruppen von G bewirktwerden kann. Wenn Cent(G) endlich ist, ist Aut(G)/Inn(G) endlich. Dann operiertσ genau dann halbeinfach auf G, wenn fur ein geeignetes m ∈ N ein halbeinfachesg ∈ G existiert mit σm = intg. (Eine dritte aquivalente Formulierung ist: σ operiertdiagonalisiererbar auf Lie(G).)

Lemma 3.1 (Steinberg).(a) Sei G eine zusammenhangende reduktive Gruppe und σ ∈ Aut(G). Dann gibtes eine σ–stabile (F–) Borelgruppe in G.(b) Wenn σ halbeinfach auf G operiert, dann stabilisiert σ ein (F–) Paar (B, T ).

Beweis: [St68, 7.3+7.5]

Lemma 3.2. Wenn σ ∈ Aut(G) halbeinfach auf G operiert und T ein σ–stabiler,maximaler Torus von G, dann enthalt (T σ) stark regulare Elemente. (Regular inG!)

Beweis: Nach Lemma 3.1 stabilisiert σ ein geeignetes Paar (B, T ), mithin die Basis∆ = ∆(B, T ) sowie ihre Dualbasis ∆∗ ⊂ X∗(T ) ⊗ Q. (Vgl. (2.5.10).) Sei x0 :=∑

β∨∈∆∗ β∨. Fur alle α ∈ Φ+(B, T ) ist dann nα := 〈α, x0〉 =: nα ∈ Z>0 (denn α istnichtnegative ganze Linearkombination von ∆ und α 6= 0).Wahle ein u ∈ F×, das keine Einheitswurzel ist, und ein m ∈ N, so daß mx0 ∈X∗(T ). Dann ist t := (mx0)⊗ u ∈ X∗(T )σ ⊗ F× = T σ(F ) stark regular in G, dennfur alle α ∈ Φ+ gilt α(mx0 ⊗ u) = u〈α,mx0〉 = umnα 6= 1.

Definition 3.3. Eine Untergruppe T von G wird als Torus bezuglich L bezeich-net, wenn T ∩G ein Torus in G ist und ihr Schnitt mit L nicht leer ist.Ein F–Torus T ist anisotrop, falls sein zentraler Torus (Cent(T )) anisotrop ist,i.e. keine F–rationalen Charaktere besitzt.Falls die Elemente aus T ∩L eine F–Borelgruppe B stabilisieren, wird der F–Torus

42 3. Tori

T als F–Quasisplittorus bzgl. L bezeichnet.Ein g ∈ L heißt fast halbeinfach, wenn es eine der folgenden aquivalenten Bedin-gungen erfullt:

(1) Die Operation von g (durch intg|G) auf G stabilisiert ein Paar (B, T ).(2) g operiert halbeinfach auf Gder.(3) g liegt in einem Torus T bzgl. L.(4) Cent(Gg, G) ist ein Torus bzgl. L.

Ein fast halbeinfaches Element g ∈ L ist regular, wenn (Gg) ein Torus in G ist.Man bezeichnet g als stark regular, wenn Gg abelsch ist.Ein fast einfacher Automorphismus Θ von G heißt speziell, wenn die Weylgruppenvon GΘ und von P〈Θ〉(Φ(G)) isomorph sind. Ebenso wird ein fast halbeinfachesElement g ∈ L speziell genannt, wenn Θ := intg|G speziell ist.

Beweis der Aquivalenz der verschiedenen Definitionen von ”fast halbeinfach”: (4)⇒(3) ist klar und (2) ⇒ (1) ist Lemma 3.1.b. Weil gl ∈ T ∩ G in einem Torus liegt,d.h. halbeinfach ist, gilt (3) ⇒ (2). (Jordanzerlegung!) Fur (1) ⇒ (4) sei splGein Splitting von G, das (B, T ) enthalt, und θ∗ die gesternte Aktion von intg bzgl.splG. Dann gibt es ein h ∈ G mit intg = inth θ∗. Weil θ∗ und g das Paar (B, T )stabilisieren, muß h ∈ T sein. Daher ist T θ∗ ⊂ Gg. Weil Gg nach Lemma 3.2regulare Elemente enthalt, ist Cent(Gg, G) ein Torus.

Anmerkungen:(a) Klarerweise sind die Tori bzgl. G in G gerade die (gewohnlichen) Tori in G = G.(b) Lemma 3.2 gilt verbatim, wenn θ ein fast halbeinfaches Element aus L ist.(c) Es wird nicht gefordert, daß fur stark regulare g ∈ L der Zentralisator Gg einTorus ist! Sei z.B. G = Gl(2n + 1) und θ ∈ L bewirke den Flip intθ(g) =: Θ(g) =J · tg−1 · J−1 aus Beispiel 2.19. Dann ist jedes fast halbeinfache Element G(F )–konjugiert zu einem Element tθ ∈ T (F ) o θ ⊂ L, wobei T der Diagonaltorus ist.Ein solches tθ ist stark regular, wenn (tθ)2 = t · Θ(t) ∈ TΘ stark regular ist, aberfur alle diese gilt Gtθ = TΘ = Diag(x1, ..., xn,±1, x−1

n , ..., x−11 ).

Behauptung 3.4. Die Menge der maximalen Tori bzgl. L in G ist die Menge allerCent(Gg, G), fur die g ∈ L fast halbeinfach und stark regular ist. Die AbbildungT 7→ Cent(T ) stiftet eine Bijektion zwischen dieser Menge und der Menge der(Gg), wobei g ∈ L fast halbeinfach und stark regular ist (d.h. der Menge derEinskomponenten abelscher Zentralisatoren Gg mit g ∈ Gθ). Die Umkehrabbildungist U 7→ Cent(U, G).

Beweis: Man bemerkt zuerst, daß die maximalen Tori bzgl. L die Form T · 〈θT 〉haben, wobei T ein maximaler Torus in G ist und θT ∈ L(F ) ein T stabilisierendesElement aus L ist: Sei dazu ein beliebiger Torus T bzgl. L gegeben. BetrachteCent(T ∩G,G) =: M . Dies ist eine reduktive (Levi–) Gruppe, auf der die Elementeaus T ∩ L alle denselben (fast halbeinfachen) Automorphismus θT bewirken. Also

Maximale Tori in nicht zusammenhangenden reduktiven Gruppen 43

gibt es einen θT –stabilen, maximalen Torus T ⊂ M . Dann ist T · T ein maximalerTorus von der oben beschriebenen Form.Sei nun T := T · 〈θT 〉 ein maximaler Torus wie zu Beginn des Beweises. Weil θT fasthalbeinfach ist, enthalt (T θT ) = Cent(T ) nach Lemma 3.2 stark regulare Elementein G. Daher ist Cent(Cent(T ), G) = T · 〈θT 〉 = T , d.h. U 7→ Cent(U, G) ist dielinksinverse Abbildung zu T 7→ Cent(T ). Weil die in der Behauptung angegebeneMenge genau das Bild der Menge der maximalen Tori (bzgl. L) unter der AbbildungT 7→ Cent(T ) ist, hat man eine Bijektion.

Behauptung 3.5.(a) Die quasizerfallenden unter den maximalen F–Splittori T bzgl. L mit T (F )∩L 6=∅ sind G(F )–konjugiert zueinander.(b) Sei T ein Torus bzgl. L und θ′ ∈ T ∩ L speziell. Dann ist

Norm(T , G) = T · Norm(T , G)θ′

Beweis: Zu (a): Seien zwei maximale F–Splittori T1 und T2 gegeben und seien Ti :=T i und θi ∈ Ti(F )∩L. Die θi stabilisieren (nach 3.3) F–Paare (Bi, Ti). Weil je zweiF–Paare G(F )–konjugiert sind, existiert ein g ∈ G(F ) mit g(B1, T1)g

−1 = (B2, T2).Man hat sogar gT1g

−1 = T2, denn θ′ := gθ1g−1 ∈ L und θ2 ∈ L stabilisieren (B2, T2).

Daher ist θ′−1θ2 ∈ T2(F ).Zu (b): Sei T := T . Offensichtlich ist T ⊂ Norm(T , G) ⊂ Norm(T,G). Sein(w) ∈ Norm(T,G) ein Vertreter von w ∈ W = Norm(T,G)/T . Dann ist n(w) ∈Norm(T , G) gleichbedeutend mit w ∈ W θ′ . Nach dem Satz von Steinberg 2.27 kannman die Weilgruppe von Gθ′ als Untergruppe von W (PI(Φ)) auffassen. Weil θ′

speziell ist, hat w dann einen Vertreter in Norm(T,G)θ′

Von (3.7) bis (3.12) sind verschiedene nutzliche Fakten gesammelt, die nun nichtmehr schwer zu beweisen sind. Bis (3.10) sei T stets ein maximaler Torus bzgl. Lund T := T .

(3.6) Der Satz von Dynkin 2.42 garantiert die Existenz von speziellen Elementenθ′ ∈ T ∩ L. Sollte (Φ(G), 〈θ〉) keine Komponenten vom Typ 2A2n enthalten, sobewirken solche θ′ auf G gerade die Automorphismen, die ein geeignetes Splittingvon G stabilisieren.Falls (Φ(G), θ) = 2A2n (vgl. Beispiel 2.19) kann man die θ′ nur noch so charak-terisieren: Sie stabilisieren ein ”modifiziertes Splitting” spl′G = (B, T, Xαα∈∆′),wobei ∆′ eine maximale θ′–stabile echte Teilmenge von ∆ext = ∆ ∪ α ist, so daßdas Dynkindiagramm zu PI(∆

′) zusammenhangt. (−α = α+ ist die hochste Wurzelin Φ+(G,B).)

(3.7) Alle Elemente aus der Zusammenhangskomponente T ∩ L operieren auf Tmit demselben Automorphismus θT ∈ Aut(T ). Dann operiert θT auch auf der(absoluten) Weylgruppe W = W (G, T ) = Norm(T,G)/T und man kann

W θT = w ∈ W (G, T ) | w θT = θT w = w ∈ W | w(T θT ) = T θT

44 3. Tori

bilden. Indem man ein spezielles θ′ ∈ T ∩ L wahlt, hat man (mit Steinberg 2.27)

W θT ' Norm(T θ′, Gθ′)/T θ′ ' Norm(T θ′ , Gθ′)/T θ′

' Norm(T , G)/T ' Norm(T , G)/T

(3.8) Die G(F )–Konjugationsklasse eines fast halbeinfachen g ∈ L schneidet einenmaximalen Torus T (bzgl. Gθ), und zwar in einem Norm(T , G)(F )–Orbit. NachWahl eines speziellen θ′ ∈ T ∩ L heißt das:

• Jede G(F )–Konjugationsklasse eines fast halbeinfachen g ∈ L hat einen Ver-treter in T ∩ L = T · θ′.

• Der Schnitt dieser Konjugationsklasse mit T ·θ′ ergibt (via t·θ′ 7−→ (t mod (1−θ′)T )) genau einen W θ′–Orbit in Tθ′ := T/(1− θ′)T .

(3.9) Zu jedem Paar (B, T ) gibt es genau einen maximalen Torus T bzgl. L, sodaß T = T und die von T ∩ L auf T induzierte Operation ΘT auf den Wurzeln dieBasis ∆(B, T ) stabilisiert.Um T zu konstruieren, erganze (B, T ) (irgendwie) zu einem Splitting und be-zeichne die gesternte Aktion von L bzgl. dieses Splittings mit Θ∗. Dann istT := Cent(TΘ∗

, G). Dies ist unabhangig von der Wahl des Splittings, denn je zweiSplittings, die (B, T ) enthalten, sind konjugiert uber T .Wenn (B, T ) uber F definiert ist, ist T auch uber F definiert. Man erganzt (B, T )dann zu einem F–Splitting, usw. (Diese Erganzung geht, weil die additive GruppeGa triviale Kohomologie hat.)

(3.10) Fur einen Torus T bzgl. L gilt Cent(T , G) = Cent(T , L) = Cent(T ).

(3.11) Sei θ ein fast halbeinfacher Automorphismus von G und (B′, T ′) ein Paarin Gθ. Dann existiert ein θ–stabiles Paar (B, T ) in G mit B′ = Bθ und T ′ = T θ,denn nach Lemma 3.2 ist T = Cent(T ′, G) eindeutig bestimmt und indem man einSystem S positiver Wurzeln in PI(Φ(G, T )) wahlt, das Φ+(Gθ, B′) umfaßt, hat manein B gefunden: Das Erzeugnis von T und den unipotenten Gruppen Uα, fur diePI(α) ∈ S.Wenn θ speziell ist, ist das Paar (B, T ) sogar eindeutig durch das Paar (B′, T ′)bestimmt. Klarerweise ist umgekehrt (Bθ, T θ) ein Paar in Gθ, wenn (B, T ) einθ–stabiles Paar in G ist. Insbesondere existiert zu jedem θ–stabilen Torus T (vonG) eine θ–stabile (F–) Borelgruppe B ⊃ T .Wenn θ ein (F–) Splitting von G stabilisiert, gibt es daruberhinaus eine Bijektionzwischen den θ–stabilen Splittings von G und den Splittings von Gθ: (I := 〈θ〉)

(B, T, Xαα∈∆(G,B,T )) 7−→(Bθ, T θ,

XPI(α) :=

∑Iα

Xα

PI(α)∈PI(∆)

).

Maximale Tori in nicht zusammenhangenden reduktiven Gruppen 45

Fur die Umkehrabbildung bildet man zu einem Wurzelvektor Yβ ∈ gβ ⊂⊕

PI(α)=β gα

vermoge der Identifikation Φ(Gθ) ⊂ ΦI die Menge Mβ := Xα | Yβ =∑

αXα.Wenn β die Basis zu Bθ durchlauft, so durchlaufen die α dabei (nach (2.5.3)) dieBasis ∆(B). Mit Beispiel 2.18 bildet die Vereinigung der Mβ mit β ∈ ∆(Bθ) dieWurzelvektoren eines θ–stabilen Splittings. Der Torus und die Borelgruppe diesesSplittings werden aus dem Paar von Gθ gewonnen wie eben beschrieben. Dasdefiniert die Umkehrabbildung.

Behauptung 3.12. Wenn Θ ein spezieller F–Automorphismus ist und ein F–Paar(B, T ) stabilisiert, dann gibt es ein t ∈ T (F ), so daß Θ∗ = intt Θ ein F–Splitting(B, T, ...) stabilisiert und intt ∈ Tad(F ) von der Ordnung 2 ist.

Beweis: Man darf G einfach zusammenhangend annehmen und Φ = Φ(G, T ) irre-duzibel. Nach Voraussetzung ist GΘ quasisplit und hat (nach Steinberg 2.27) alsWurzelsystem ein maximales reduziertes Teilsystem von ΦI .Falls Θ ein Splitting stabilisiert, kann man, wie in (3.11) beschrieben, einem F–Splitting ein Θ–invariantes Splitting von G zuordnen. Daß dieses hochgehobeneSplitting auch galoisstabil ist sieht man ganz analog wie die Θ–Stabilitat.Zu zeigen bleibt die Existenz eines Θ∗– und galoisstabilen Systems von Wurzelvek-toren zu ∆ = ∆(G,B) in dem Fall: Φ = A2n und Θ stabilisiert kein Splitting. (Vgl.Beispiel 2.19.) Dann ist G = Sl(2n+ 1) oder G = U(2n+ 1) und GΘ = Sp(2 · n).Hier rechnet man nach, daß die Vereinigung von PI(α) | α ∈ ∆ vom Typ I mitder Orbitsumme Sα′ der beiden Wurzeln α′,Θ(α′) ⊂ ∆ vom Typ II eine Basis vonGΘ bzgl. (BΘ, TΘ) ergibt. Es gibt Wurzelvektoren XΘiα′ ∈ gΘiα′ (i ∈ 0, 1), so daßXSα′

= [Xα′ , XΘα′ ]. Umgekehrt werden so durch einen Wurzelvektor von GΘ zu Sα′

nach Wahl einer Reihenfolge innerhalb α′,Θ(α′) (d.h. nach Auszeichnen eines α′)die beiden XΘiα′ eindeutig festgelegt. Mit den Bezeichnungen aus (3.11) ist

M = α′,Θ(α′) ∪⋃

β∈ΦlangI ∩Φkurz

I

Mβ

ein galoisstabiles System von Wurzelvektoren zu ∆(G,B).Die Aussage uber t folgt aus Steinbergs Satz 2.27 (bzw. genauer aus 2.18).

Definition 3.13 (Langlands, [KS99, 3.3]). Die stabile Konjugationsklasse einesstark regularen, halbeinfachen Elements g ∈ G(F ) ist der Durchschnitt der G(F )–Konjugationsklasse von g mit G(F ). Zwei maximale Tori T1 und T2 bzgl. L sindstabil konjugiert, wenn es ein g ∈ G(F ) gibt, so daß intg : T1

∼−→ T2 uber F definiertist.

Behauptung 3.14. Seien stark regulare δ1, δ2 ∈ L(F ) gegeben. Bezeichne Ti :=Cent(Gδi , G) und θi ∈ Ti ∩ L zwei (gewahlte) spezielle Elemente.Genau dann sind δ1 und δ2 stabil konjugiert (d.h. G(F )–konjugiert), wenn

(1) Es exisiert ein g ∈ G(F ), so daß T1 und T2 via intg stabil konjugiert sind, und

46 3. Tori

(2) wenn fur t1, t2 ∈ T2 mit der Eigenschaft t1θ2 = gδ1g−1 ∈ T2 bzw. t2θ2 =

δ2 gilt: Die Bilder von t1 und t2 liegen in einem (W (T2)θ2)Gal(F /F )–Orbit in

T2/(1− θ2)T2 =: (T2)θ2. (Dabei ist T2 = (T2)).

Beweis: ”⇒”: Fur ein g ∈ G(F ) mit gδ1g−1 = δ2 gilt g−1gσ ∈ Gδ1(F ) ⊂ Cent(T1)

fur alle σ ∈ Γ := Gal(F /F ). Daher ist intg : T1∼−→ T2 und diese Abbildung ist uber

F definiert. Sei nun o.E. δ1 = t1θ und δ2 = t2θ in demselben Torus T := T2 = T1 undT := (T ). Dann ist g ∈ Norm(T , G). Nach der Wahl eines speziellen θ ∈ T ∩ L,kann man nach Lemma 3.5.b g zerlegen in g = t · n(w) mit t ∈ T (F ) und einenVertreter n(w) ∈ Norm(T,G)θT (F ) fur w ∈ W (T )θT . Dabei gilt w ∈ (W (T )θT )Γ,denn g−1gσ ∈ Cent(T1) fur alle σ ∈ Γ (s.o.). Daher erhalt man w(t1) = t2t

−1tθT .”⇐”: Diese Richtung ist trivial: Wenn stark regulare δ1, δ2 ∈ L(F ) gegeben sind,besagen (1) und (2), daß sie in einem G(F )–Orbit liegen.

Definition von G, D, E

(3.15) Gegeben sei ein Referenz–F–Torus T, maximal bzgl. L, der uber einer Ga-loiserweiterung F ′/F zerfallt.Vorsicht: In diesem Kapitel wird von T (ausnahmsweise) nicht gefordert, einen ma-ximalen F–Splittorus zu enthalten. Ausnahmsweise wird auch nicht verlangt, daßF ′/F unverzweigt ist. (Die Notation wurde so gewahlt, daß das hier Dargestelltespater doch hauptsachlich fur unverzweigte maximale F–Torui T, die einen maxi-malen F–Splittorus enthalten, benutzt wird.)Bezeichne T die Einskomponente von T und ΘT den von L ∩ T bewirkten F–Automorphismus von T bzw. X∗(T), Φ, W := W (T, G) usw. Man hat dannCent(T) = TΘT und T = Cent(TΘT , G) = Cent(TΘT, G). Sei Γ = Gal(F ′/F ),N(T) := Norm(T, G) = Norm(TΘT, G) und W = W (G) die (absolute) Weylgruppevon G. Nach (3.7) hat man

1 −→ T −→ N(T) −→ WΘT −→ 1.(i)

(3.16) Sei

A(T, G, F ′) :=g ∈ G(F ′) | ∀σ ∈ Γ : g−1σ(g) ∈ TΘT(F ′)

.

Genau dann ist die Abbildung intg : T ∼−→ gTg−1 galoisaquivariant, d.h. uber Fdefiniert, wenn g ∈ A(T, G, F ′).

Definition 3.17. Seien T und T maximale F–Tori bezuglich L und konjugiert uberG(F ′), d.h. es existiert ein g ∈ G(F ′), so daß intg : T → T ein Isomorphismusist. Ferner seien UT ⊂ T(F ) und UT ⊂ T (F ) maximal kompakte Untergruppen vonT(F ) bzw. T (F ).Man nennt T und T

• schwach stabil G(F ′)–konjugiert, wenn man g ∈ G(F ′) so wahlen kann, daßg−1σ(g) ∈ T := T fur alle σ ∈ Γ.

Definition von G, D, E 47

• halbstabil G(F ′)–konjugiert, wenn man g ∈ G(F ′) so wahlen kann, daß es eint ∈((1−ΘT)T

)(F ′) gibt, so daß

(σ 7→ g−1σ(g), t) ∈ Z1(Γ, T(F ′)

1−ΘT−−−→((1−ΘT)T

)(F ′)

)• stabil G(F ′)–konjugiert, wenn man g ∈ G(F ′) so wahlen kann, daß g−1σ(g) ∈

TΘT = Cent(T) fur alle σ ∈ Γ.

Wenn dabei (intg)(UT) = UT werden UT und UT als schwach stabil bzw. halbstabilbzw. stabil G(F ′)–konjugiert bezeichnet.

(3.18) Schwach stabil konjugiert sind T und T also genau dann, wenn ihre Eins-komponenten T bzw. T stabil konjugiert sind, d.h. intg|T ist uber F definiert.Halbstabile G(F ′)–Konjugation bedeutet, daß erstens beide Tori (T und T ) G(F ′)–konjugiert sind, zweitens die Einskomponenten (T und T ) uber G(F ′) stabil konju-giert sind und drittens beide Tori (T und T ) stabil konjugiert sind uber G(F )! Kla-rerweise ist halbstabile G(F ′)–Konjugation dasselbe wie stabile G(F ′)-Konjugation,wenn F ′ algebraisch abgeschlossen ist. Ebenso fallen die Begriffe halbstabil undstabil zusammen, wenn Cent(T) = TΘT ein Torus ist und uber F ′ zerfallt. Dassieht man, wenn man die Spektralsequenz zur Hyperkohomologie des 2–Komplexes

T(F ′)1−ΘT−−−→ (1−ΘT)

(T(F ′)

)benutzt. Weil der Kokern dieser Abbildung verschwin-

det, hat man

H1(Γ,TΘT(F ′)) ' H1(Γ,T(F ′)

1−ΘT−−−→ (1−ΘT)(T(F ′)

)).

Falls TΘT ein Torus ist, der uber F ′ zerfallt, ist H1(F ′,TΘT) = 1. Daher folgt mitder langen exakten Sequenz zu

1 −→ TΘT −→ T 1−ΘT−−−→ (1−ΘT)T −→ 1,

daß((1−ΘT)T

)(F ′) = (1−ΘT)

(T(F ′)

).

Nach Behauptung 2.13 ist z.B. TΘT ein Torus, falls G halbeinfach und einfach zu-sammenhangend oder vom adjungierten Typ ist.

(3.19) Sei G(T, G, F ′) die Menge der G(F )–Konjugationsklassen von F–Tori [T ]

in der G(F ′)–Konjugationsklasse von T. Sie werden parametrisiert durch die Koho-mologiemenge

G(T, G, F ′) = Kern[H1(Γ, N(T)(F ′)) −→ H1(Γ, G(F ′))

].

48 3. Tori

Satz 3.20. Wenn G halbeinfach ist, F ′/F endlich unverzweigt ist, und ein θ∗ ∈T(F ′) ∩ L ein F–Splitting spl von G stabilisiert, werden die G(F )–Konjugations-klassen [T ] innerhalb G(T, G, F ′) mit T (F ) ∩ L 6= ∅ parametrisiert durch

Kern[H1(Γ, N(T)(F ′)) −→ H1(Γ, G(F ′))

]∩ Kern

[H1(Γ, N(T)(F ′))

x 7→x·Θ∗(x)−1

−−−−−−−−→ H1(ΓT ,T(F ′)

)]Dabei bedeutet ΓT die von T auf T ubertragene Galoisaktion.

Beweis: Sei g ∈ G(F ′) so, daß intg : T ∼−→ T . Genau dann ist T (F ) ∩ L 6= ∅, wennes ein t ∈ T(F ′) gibt mit gtθ∗g−1 ∈ T (F ). Dies ist aquivalent dazu, daß fur (ein)t ∈ T(F ′) und alle σ ∈ Γ = Gal(F ′/F ) gilt

t = g−1σ(g) · σ(t) · σ(θ∗)θ∗−1 · intθ∗(σ(g)−1g)

⇐⇒(wσ σ

)(t)−1 · t = zspl(σ)−1 ·

(1−Θ∗

)(g−1σ(g)),

wobei zspl(σ) = θ∗σ(θ∗)−1 ∈ Cent(G)(F ′) und wσ = int(g−1σ(g)) ∈ H1(Γ,WΘ∗)

der Twist ist, mit dem man die Galoisaktion auf T nach T ubertragt. Weil Ghalbeinfach ist (es reicht, daß Cent(G)(F ′) kompakt ist!) und H1(Γ, T (F ′)c) = 1,kann man zspl(σ) immer beranden in T . Daher darf man (nach Abandern von t) inder Formel oben o.E. zspl(σ) ≡ 1 setzen.Insgesamt ist dann die Klasse von (σ 7→ g−1σ(g)) in dem behaupteten Durchschnitt.

(3.21) Sei D(T, G, F ′) = Kern[H1(Γ,TθT(F ′)) −→ H1(Γ, G(F ′)

]. Diese Men-

ge parametrisiert die G(F )–Konjugationsklassen in der G(F ′)–Konjugationsklasseeines (beliebigen) stark regularen t ∈ T(F ) ∩ L. Denn fur ein g ∈ G(F ′) istt′ := gtg−1 genau dann in G(F ), wenn der 1–Kozykel ag(σ) := g−1σ(g) Wertein Cent(T,T)(F ′) = TθT(F ′) annimmt fur alle σ ∈ Γ. Daher hat man eine Bijektion

D(T, G, F ′) 1−1←→ G(F )∖A(T, G, F ′)

/TθT(F ′).

Im Spezialfall, daß T ein Torus bzgl. der Einskomponente G selbst ist, ergibt sichD(T, G, F ′) = Kern [H1(Γ,T(F ′)) −→ H1(Γ, G(F ′)].

(3.22) Sei

Dhyper(T, G, F ′) = Kern[H1(Γ,T(F ′)

1−ΘT−−−→((1−ΘT)T

)(F ′)

)−→ H1(Γ, G(F ′)

].

Dies ist das Bild vonH1(Γ,Tsc(F

′)(1−ΘT)pr−−−−−−→

((1−ΘT)T

)(F ′)

)inH1

(Γ,T(F ′)

1−ΘT−−−→((1 − ΘT)T

)(F ′)

). In 5.15 wird gezeigt werden, daß diese Menge die G(F )–

Konjugationsklassen von stark regularen Elementen in T(F ) ∩ L parametrisiert,die gemeinsam ein festes Element γ ∈ H zum Norm–Image haben.

Definition von G, D, E 49

(3.23) Hier ist T = gTg−1 fur ein g ∈ G(F ′). Sei Eschwach(T , G, F′) die

Menge der G(F )–Konjugationsklassen von Tori in der schwach stabilen G(F ′)–Konjugationsklasse von T . Dies ist die Menge aller G(F )–Konjugationsklassen [T ′]in G(T, G, F ′), die in H1(Γ,WΘT) dasselbe Bild haben wie [T ].

Die lange exakte Sequenz (nicht kommutativer Kohomologie) zur exakten Sequenz(i) in (3.15) ergibt das kommutative Diagramm (von Mengen mit Nullpunkt) mitexakten Zeilen und Spalten

D(T, G, F ′) → G(T, G, F ′) δ−→ H1(Γ,WΘT)⋂ ⋂||

1→ T(F )→ N(T)(F )→ (WΘT)Γ → H1(Γ,T(F ′)) → H1(Γ, N(T)(F ′)) → H1(Γ,WΘT)↓ ↓

H1(Γ, G(F ′)) = H1(Γ, G(F ′))

(Beachte, daß D(T, G, F ′) benutzt wird, nicht D(T, G, F ′).) Durch Twisten erhaltman aus dem Diagramm die Fasern von δ (in E(T,G, F ′)) als das Bild von D(T,G, F ′)in G(T, G, F ′). Analog zur Argumentation im D–Fall oben erhalt man Bijektionen

E(T, G, F ′) 1−1←→ G(F )∖

A(T,G, F ′)/(

N(T )(F ′) ∩ A(T,G, F ′))

(3.24) Wieder sei T = intg(T) fur ein g ∈ G(F ′). Sei Ehalb(T , G, F′) die Menge der

G(F )–Konjugationsklassen von Tori in der halbstabilen G(F ′)–Konjugationsklassevon T . Dies ist die Menge aller [T ′] aus G(T, G, F ′), die dasselbe Bild haben unterfolgenden beiden Abbildungen

H1(Γ, N(T)(F ′)) −→ H1(Γ,WΘ∗)

H1(Γ, N(T)(F ′))1−Θ∗−−−→ H1(ΓT ,

((1−Θ∗)T

)(F ′)).

Dabei bedeutet ΓT die von T auf T ubertragene Galoisaktion. (Fur diese getwisteteAktion ist die Wahl des Torus innerhalb einer schwach stabilen Konjugationsklasseunerheblich.)

(3.25) Hier ist wieder T = intg(T) fur ein g ∈ G(F ′). Sei E(T , G, F ′) die Mengeder G(F )–Konjugationsklassen von Tori in der stabilen G(F ′)–Konjugationsklassevon T . Dies ist die Menge aller [T ′] aus G(T, G, F ′), die dasselbe Bild haben unterden beiden Abbildungen

H1(Γ, N(T)(F ′)) −→ H1(Γ,WΘ∗)

H1(Γ, N(T)(F ′))1−Θ∗−−−→ H1

(ΓT , (1−Θ∗)

(T(F ′)

)).

Wie in (3.24) bezeichnet dabei ΓT die durch Twist von T auf T ubertragene Galois-aktion. Eine weitere Beschreibung ist

E(T , G, F ′)1−1←→ G(F )

∖A(T , G, F ′)

/(N(T )(F ′) ∩ A(T , G, F ′)

).

50 3. Tori

Topologische Jordanzerlegung

Definition 3.26. Sei tJZp die Kategorie, deren Objekte topologische Gruppen sind,fur die der Umgebungsfilter der Eins eine Basis aus pro–p–Gruppen besitzt. DieMorphismen von tJZp seien die stetigen Homomorphismen.

Definition 3.27. Ein Element g einer Gruppe G aus tJZp heißt

• stark kompakt, falls g in einer kompakten Untergruppe von G liegt.

• topologisch unipotent, falls limn→∞ gpn

= 1.

• residuell halbeinfach, falls g von endlicher, zu p primer Ordnung ist.

(3.28) Topologisch unipotent zu sein, heißt in einer pro–p–Gruppe zu liegen undman kann in der Definition statt der Folge (pn) jede Folge (pnk)k benutzen mitlimk→∞ nk =∞.Fur den Fall G(F ) aus Beispiel 3.31 ist g genau dann stark kompakt, wenn dieMenge gZ beschrankt in G(F ) ist. Eine dritte aquivalente Formulierung ist, daßdie Eigenwerte ρ(g) Einheiten in F sind bei einer/jeder (uber F definierten) treuenendlichdimensionalen Darstellung ρ : G→ GL(V ).

In pro–p–Gruppen laßt sich die Z–Modulstruktur (uber Potenzen) ausdehnen zueiner stetigen Zp–Modulstruktur (vgl. [Hasse, §15.2]).

Lemma 3.29 (topologische Jordanzerlegung). Sei G aus tJZp. Jedes starkkompakte Element g ∈ G besitzt eine Zerlegung:

g = gu · gs = gs · gu ,

bei der gu ∈ G topologisch unipotent und gs ∈ G residuell halbeinfach ist. Dietopologische Jordanzerlegung ist eindeutig: Falls g = gu ·gs = gu · gs zwei topologischeJordanzerlegungen sind, gilt gu = gu und gs = gs.

Beweis: Der Beweis wird gefuhrt im Abschluß der Gruppe 〈gZ〉, die Untergruppeeiner kompakten Gruppe in G ∈ Ob(tJZp) ist. Der Abschluß ist kompakt und

abelsch: Man hat namlich 〈gZ〉 = 〈gZp〉. Wegen der Kompaktheit von 〈gZ〉 existiertein zu p teilerfremdes N , so daß gN in einer pro–p–Gruppe U liegt. (Dies bilden jaeinen Umgebungsfilter der Eins!) Weil N−1 ∈ Zp und wegen der Zp–Modulstrukturvon U , existiert eine (eindeutige) N–te Wurzel gu von gN in 〈(gN)Zp〉 ⊂ U . Nach(3.28) ist gu topologisch unipotent. Weil 〈gZ

p 〉 abelsch ist, vertauschen g und gu undes gilt fur gs := g · g−1

u ∈ 〈gZp〉 offensichtlich gNs = gN · g−N = 1, d.h. gs ist residuell

halbeinfach. Als Element von 〈gZp〉 vertauscht auch gs mit g und gu.Die Eindeutigkeit der topologischen Jordanzerlegung ergibt sich z.B. daraus, daßgu unabhangig ist von N : Ist namlich gM in einer pro–p–Gruppe fur ein M ∈ N(teilerfremd zu p), so teilt o.E. N | M . Dann ist oben gM ∈ 〈(gN)Zp〉 ⊂ U und weil

Topologische Jordanzerlegung 51

auch M–tes Wurzelziehen in dieser Gruppe eindeutig ist, ist gu = (gN)a = (gM)b

mit a, b ∈ Zp, so daß Na = 1 = Mb.

Aus dem Beweis ergibt sich das

Korollar 3.30 (Eigenschaften der topolgischen Jordanzerlegung).

(1) Sei g ∈ G stark kompakt und N ∈ N teilerfremd zu p, so daß gN in einerpro–p–Gruppe liegt. Sei ferner Q eine p–Potenz mit Q ≡ 1 (mod N). Danngilt

limm→∞

gQm

= gs.

(2) Klarerweise ist gu ∈ Ggs und man hat Gg = Cent(gu, Ggs).

(3) Residuell halbeinfache Elemente sind halbeinfach.(4) Sei m teilerfremd zu p und seien u1, u2 topologisch unipotent. Dann gilt

um1 = um

2 ⇒ u1 = u2,

(5) Die topologische Jordanzerlegung ist funktoriell in folgendem Sinn: Die kom-pakten (bzw. die topologisch unipotenten, bzw. die residuell halbeinfachen)Elemente definieren Funktoren von tJZp nach Set. Fur jeden Morphismus ϕvon tJZp ist ϕ((·)s) = (ϕ(·))s und ϕ((·)u) = (ϕ(·))u.Insbesondere:

(5a) Wenn H eine abgeschlossene Untergruppe von G ist und g ∈ H, so sind auchgs und gu aus H.

Beispiel 3.31. Sei F ein p–adischer Korper und G eine affine lineare algebraischeGruppe. Dann ist G(F ) ein Objekt in tJZp. Es gibt eine Zahl N , so daß gN

topologisch unipotent ist, fur alle stark kompakten g ∈ G(F ).

Beweis: Z.B nach [Wa79, 3.4] hat G eine treue, (stetige) endlichdimensionale Dar-stellung ρ : G→ GL(V ) mit abgeschlossenem Bild. Die Eigenschaften von tJZp ver-erben sich dadurch von Gln(F ) auf G(F ). (Gln(F ) wiederum erbt die geforderte Ba-sis der Einsumgebungen als abgeschlossene Teilmenge von Matn×n(F )×F ≈ F n2+1.)Jede kompakte Untergruppe von G liegt in einer maximalen (kompakten Unter-gruppe). Es gibt nun endlich viele Konjugationsklassen [K1], ...., [Kl] von maximalkompakten Untergruppen. Die normalen pro–p–Untergruppen von Ki aus dem Um-gebungsfilter der Eins haben endlichen Index in Ki. Sei Ni der zu p teilerfremdeAnteil dieses Index. Dann kann man als N das kleinste gemeinsame Vielfache derNi nehmen.

Korollar 3.32. Sei F ein p–adischer Korper und G eine reduktive Gruppe uber F ,so daß |π0(G)| teilerfremd zu p ist. Jedes stark kompakte Element g ∈ G(F ) besitzteine eindeutige topologische Jordanzerlegung:

g = gu · gs = gs · gu ,

bei der gs ∈ G(F ) residuell halbeinfach und gu ∈ (G)(F ) topologisch unipotent ist.

Aus der Funktorialitat erhalt man folgende Aussagen:

52 3. Tori

(1) Sei ρ : G→ G′ ein Morphismus (nicht zusammenhangender) reduktiver Grup-pen, definiert uber einer endlichen Erweiterung von F . Dann ist ρ(g)s = ρ(gs)und ρ(g)u = ρ(gu).

(2) Wenn g ∈ G(OF ), dann ist das Bild der topologischen Jordanzerlegung unterder Reduktionsabbildung die Jordanzerlegung in G(Fq).

Denn G(F ) ist nach Beispiel 3.31 Objekt in tJZp und wegen p - |π0(G)| mussentopologisch unipotente Elemente in (G) liegen.

Definition 3.33. Einen abelschen Charakter einer Gruppe aus tJZp heißt unver-zweigt bzw. zahm verzweigt, falls er trivial auf den stark kompakten bzw. topologischunipotenten Elementen ist.

Langlandsdualitat

(3.34) In [Lab84, 6.] und [Mil86, 8.6ff] wird folgende Version des LanglandschenReziprozitatsgesetzes bewiesen: Sei T ein F–Torus, der uber einer endlichen galois-schen Erweiterung E (von F ) zerfallt. Dann kommutiert

Homc(E×, T )

Cor

vvnnnnnnnnnnnn

((RRRRRRRRRRRRRR

H1c (WE/F , T )

rec // Homc(T (F ),C×)

(ii)

Dabei ist die horizontale Abbildung Langlands Rezipriozitatsisomorphismus und dieAbbildungen nach unten sind folgende Surjektionen: Die Rechte ist gegeben durch

Homc(E×, T ) = Homc(E

×,Hom(X∗(T ),C×)) = Homc(E× ⊗X∗(T ),C×)(iii)

= Homc(T (E),C×) Homc(T (F ),C×)

wobei Γ = Gal(E/F ) auf Homomorphismen χ durch σ(χ) = σ χσ−1 operiert undσ(x⊗ λ) = σ(x)⊗ σ(λ).

Die linke Surjektion ist die Corestriktion CorWW/F

E× zur exakten Sequenz

1 −→ E× −→ WE/F −→ Γ −→ 1,

die nach Wahl eines Reprasentantensystems wσ fur E×\WE/F ' Γ definiert wirddurch

(CorWE/F

E× ϕ)(w) =∑σ∈Γ

wτ

(ϕ(w−1

τ wwσ))∈ Z1

c (WE/F , T )(iv)

wobei τ ∈ Γ durch die Bedingung w−1τ wwσ ∈ E× von σ und w abhangt.

(3.35) Kompatibilitat: Im eindimensionalen Splitfall T = Gm ist das Bild einesλ ∈ H1

c (WE/F ,C×) = Homc(WE/F ,C×) unter rec gerade λ rF . (Die BezeichnungrF ist aus (1.1).)

χ–Data 53

(3.36) zahm verzweigte Charaktere: Die Reziprozitatsabbildung stiftet einenIsomorphismus

CorWE/F

E×

(Homc,zahm(E×, T )

)' Homc,zahm(T (F ),C×)

Das sieht man durch Inspektion der Abbildungsfolge (iii) in (3.34): Man hat E× =〈πE〉×µE×U1

E, wobei das Teichmullersche Restsystem µE ' k×E die residuell halbein-fachen Elemente in E× sind und die Einseinheiten U1

E = 1 + pE die topologisch uni-potenten Elemente. Bei den Abbildungen in (iii) ist T (E)c topologisch isomorph zu(X∗(T )⊗U1

E)×(X∗(T )⊗µE), so daß Homc,zahm(E×, T ) = Homc,zahm(T (E),C×) klarist. Daß die Restriktion Homc,zahm(T (E),C×) → Homc,zahm(T (F ),C×) surjektivist, folgt ebenfalls aus der Zerlegung von T (E)c, der Tatsache, daß T (E)top. unipot. ∩T (F ) = T (F )top. unipot. und der Injektivitat von C×.

(3.37) unverzweigte Charaktere: Sei E/F unverzweigt und H1c,unv(WE/F , T ) die

Menge aller Klassen von H1c (WE/F , T ), deren 1–Kozykel trivial auf den Einheiten

O×E sind. (Weil E× trivial auf T operiert, verhalten sich alle Kozykel einer Klassegleich.) In [Lab84, Remarque 5.9] (oder [Bo79, 9.5]) wird gezeigt:Die Reziprozitatsabbildung stiftet einen Isomorphismus

H1c,unv(WE/F , T ) ' Homc,unv(T (F ),C×)

(3.38) Der Kern der beiden Surjektionen in (ii) ist nach [Lab84, 5.7+6.] genauIΓ(Homc(E

×, T )), wobei IΓ(A) = σ(a)− a | σ ∈ Γ, a ∈ A das Augmentationsidealist. Daher erhalt man uberall in (ii) und (iii) Isomorphismen, wenn man von allenGruppen H0(·) = ·/IΓ(·) bildet.

Lemma 3.39. Zerfallt der Torus T uber einer endlichen unverzweigten ErweiterungF ′/F , so ist H1(Gal(F ′/F ), T (OF ′)) = 1.

Beweis: Ist z.B. in [PR94, Theorem 6.8]=Lemma 4.13 enthalten.

χ–Data

(3.40) In diesem Paragraphen ist Φ eine Wurzelsystem, auf dem die GaloisgruppeΓ einer endlichen galoischen Erweiterung E von F operiert. Eine Teilmenge von Φheißt symmetrisch, wenn sie invariant ist unter α 7→ −α. In [LS87, (2.6)] beweisenLanglands und Shelstad folgenden Satz

Satz 3.41 (Langlands [L79, Prop. 1]). Sei T ⊂ G ein maximaler F–Toruseiner zusammenhangenden reduktiven F–Gruppe G. Dann gibt es eine Einbettungξ : LT → LG von L–Gruppen.Genauer wahle eine Borelgruppe B ⊃ T von G und in Γ–stabiles Splitting splGvon G. Dann hat man einen Isomorphismus T ' T auf den Torus T des Splittings.

54 3. Tori

Nach Wahl von χ–Data fur Φ(G, T ) (s.u.) laßt sich dieser Isomorphismus erweiternzu einer Einbettung ξ : LT → LG von L–Gruppen.Die G–Konjugationsklasse intg ξ | g ∈ G von ξ ist unabhangig von B und demΓ–stabilen Splitting von G (hangt also nur von den χ–Data ab). Außerdem ist ξbei fixiertem Isomorphismus T ' T , durch splG und die χ–Data eindeutig bis aufT –Konjugation bestimmt.

Der Beweisgang fur die Existenzaussage wird in (3.47) skizziert. Zuvor werden dienotigen Definitionen gegeben.

Definition 3.42 (χ–Data). Sei R = −Γα∪Γα ⊂ Φ ein symmetrisierter Galoisor-bit. Es seien F+ bzw. F± die Fixkorper von Stabα(Γ) =: Γ+ bzw. Stab±α(Γ) =:Γ±. Ein χ–Datum fur die Galoisoperation auf R ist eine Menge χλ | λ ∈ R, wobei

(1) χα ∈ Homc(F×+ ,C×)

(2) χ−λ = χ−1λ und χσλ = χλ σ−1 fur alle σ ∈ Γ, λ ∈ R

(3) Wenn Γ± 6= Γ+, d.h. Γ · α ist symmetrisch und |Γ±/Γ+| = 2, dann ist χα eineErweiterung des quadratischen Charakters von F+/F±. (Dies ist der einzigenicht triviale Charakter von F×± /NormF+/F±(F×+ ).)

Fur die Γ–Aktion auf einer beliebige Γ–stabilen symmetrischen Teilmenge von Φdefiniert man χ–Data als die Vereinigung der χ–Data auf den symmetrisierten Bah-nen.Eine Eichung auf einer Γ–stabilen symmetrischen Menge R ⊂ Φ ist eine Vorzei-chenabbildung p : R 7→ ±1 mit der Eigenschaft p(−α) = −p(α) fur alle α ∈ R.

Behauptung 3.43. χ–Data fur −Γα ∪ Γα existieren. Falls F+/F± unverzweigt(bzw. zahm verzweigt) ist, konnen die χ–Data unverzweigt (bzw. zahm verzweigt)gewahlt werden.

Beweis: Falls Γ± = Γ+, d.h. Γα asymmetrisch ist, wird (fast) nichts gefordert. Mankann zum Beispiel χλ ≡ 1 fur alle λ ∈ Γα nehmen. Falls Γ± 6= Γ+ ergibt sich aus3.42(2) genau eine Bedingung an χα ∈ Homc(F

×+ ,C×): Es gibt namlich ein τ ∈ Γ±,

so daß τα = −α. Fur dieses erzwingt die Bedingnung (2) dann

χ−1α = χ−α = χτα = χα τ−1 ∈ Homc(τ(F

×+ ),C×).

Weil Γ+ Normalteiler vom Index zwei in Γ± ist, ist τ(F×+ ) = F×+ . Es muß also furalle x ∈ F×+ gelten: 1 = χα(xτ−1(x)) = χα(NormF+/F±(x)). Diese Bedingung wirdauch in (3) gefordert.Daß diese Bedingung (3) in der verscharften Form der Behauptung erfullbar ist, folgtaus der Injektivitat von C×, der Zerlegung O×F+

= µF+×U1F+

und den Tatsachen, daßbei unverzweigten (bzw. zahm verzweigten) Erweiterungen jedes kompakte (bzw.topologisch unipotente) Element von F×± Norm ist und O×F+

∩ F×± = O×F± (bzw.

U1F+∩ F×± = U1

Fpm).

χ–Data 55

Definition 3.44. Seien α ∈ Φ, R = −Γα ∪ Γα ⊂ Φ und F+, F±, Γ±, Γ+ wie inDefinition 3.42. Wahle ein Reprasentantensystem R+ fur Γ/Γ±. Dadurch erhaltman eine Eichung p auf R, definiert durch

p(λ) = 1 :⇐⇒ λ = σα fur ein σ ∈ R+.

Wahle wσ ∈ WE/F | wσ 7→ σ ∈ R+. Dann ist wσ ein Vertretersystem furWE/F/WE/F± ' Γ/Γ±. Wahle noch ein v ∈ WE/F+, das nicht in WE/F± liegt, fallsΓ± 6= Γ+. Anderenfalls sei v = 1. Fur w ∈ WE/F sei

rp,α(w) :=∏

τ∈R+

τ(α)⊗((χα r−1

F+)(w−1

τ wwσ))∈ X∗(T )⊗ C× = T ,

wobei wσ ∈ wτ | τ ∈ R+ ∪ wτ · v | τ ∈ R+ festgelegt ist durch die Bedingungw−1

τ wwσ ∈ WE/F+(!) bei gegebenen w und τ .

Fakt 3.45 ([LS87, Lemmata 2.5.A+2.1.B]). Durch rp,α wird eine 1–Kokette

in C1(WE/F , T ) definiert. Sie ist bis auf Korander unabhangig von den Wahlenvon v, wσ und den Vertretern α ∈ R fur die Γ–Orbiten. Fur das Quadrat gilt(rα

p )2 ∈ Z1(WE/F , T ).

Die rp,α sind bisher nur fur sehr spezielle Eichungen p definiert. (Namlich fur dievon Γ/Stab±α(Γ) induzierten Eichungen.) Um sie fur allgemeine Eichungen zuverallgemeinern, fuhren [LS87, (2.4)] die folgende Ubergangs–1–Kokette sp/q ein.Das unmittelbare Interesse der Autoren durfte in [LS87] sein, rp auf die durch einenPositivbereich Φ+ ⊂ Φ definierte Eichung q(α) = 1 :⇔ α ∈ Φ+ zu ubertragen. Daswird die Beweisskizze (3.47) unten zeigen.

Definition 3.46. Seien p und q zwei Eichungen auf einer Γ–stabilen symmetrischenTeilmenge R ⊂ Φ. Dann sei fur σ ∈ Γ

sq/p(σ) :=∏

α∈Φ mitq(α)=1

q(σ−1α)=−1p(α)=p(σ−1α)=1

(α⊗ (−1)

)·

∏α∈Φ mitp(α)=−1

p(σ−1α)=1q(α)=q(σ−1α)=1

(α⊗ (−1)

)∈ X∗(T )⊗ C× = T

(3.47) Beweisskizze der Existenzaussage von Satz 3.41: T und T sindidentifiziert (so daß die B–positiven (Ko–)Wurzeln auf die B–positiven Wurzeln vonΦ(T , G) gehen). Ein Element σ ∈ Γ := Gal(F /F ) operiert auf T durch eine Aktion,die mit σT bezeichnet wird. Durch die Identifikation T ' T kann man diese Aktionin LG zerlegen

σT = ω(σT ) ρG(σT ) ∈ W (T , G) o Γ

in einen außeren Anteil ρG(σ) und einen Weylgruppenanteil ω(σT ). Mit Hilfe desSteinbergreprasentanten n(ω(σT )) ∈ Gder kann man diesen Anteil nach G liften. DieAbbildung w 7→ n(ω(σT )) o w (wobei σ stets die Projektion von w in Γ ist) liefert

56 3. Tori

im Allgemeinen keinen Homomorphismus WF → LG. Der Fehler wird gemessen inH2(WF , T ). Sei q die durch B gegebene Eichung auf Φ = Φ(G, T ) = Φ∨(G, T ):q(α) = 1 ⇐⇒ α > 0. In [LS87, Lemma 2.1.A+B] wird der 2–Kozykel berechnet:

tq(σ, σ) := n(ω(σT ))(n(ω(σT ))

)ρG(σ)

n(ω(σT σT ))−1 =∏

α∈Φ mitq(α)=1

q(σ−1T α)=−1

q(σ−1T σ−1

T α)=1

α⊗ (−1) ∈ T

und (in [LS87, Lemma 2.1.C]) gezeigt, daß die Klasse in H2(WF , T ) nicht vonder Wahl der Eichung q abhangt. Genauer gilt (nach [LS87, Lemma 2.4.A]) inZ2(WE/F , T )

tq · t−1p = ∂sq/p.

fur eine zweite Eichung p. (Damit darf man gewissermassen in jedem symmetri-sierten Galoisorbit −Γα ∪ Γα von Φ ein eigenes ”positives System von Wurzeln”wahlen.)Sei p eine Eichung, die auf jedem symmetrisierten Galoisorbit R ⊂ Φ von einemVertretersystem R+ produziert wird, wie in Definition 3.44 beschrieben. In [LS87,Lemma 2.5.A] rechnen Langlands und Shelstad nach, daß tp(σ, σ)−1 Korand ist von

WF 3 w 7−→ rp(w) :=∏

α aus Vertretersystemfur die symmetrisierten

Γ-Orbiten in Φ

rp,α(w) ∈ T ,(v)

d.h. tp(σ, σ)−1 = rp(w)(rp(w)

)σT rp(ww)−1. (Hier gehen die χ–Data aus 3.42 ein!).Insgesamt ist somit durch

w 7−→ rp(w) · sq/p(w) · n(ω(σT )) o w fur WF 3 w 7→ σ und T ' T(vi)

ein L–Homomorphismus LT → LG gegeben.

57

4 Das Gebaude

Sei F ein p–adischer Korper und G eine zusammenhangende halbeinfache Gruppeuber F . Nur fur diesen Fall wird das Gebaude gebraucht werden.

(4.1) Konstruktion des Gebaudes nach [BT72, 7.4] (vgl. auch [Ti79], [Lv96]):

1. Schritt: (Standard–) Apartment und N :Wahle einen maximalen F–Splittorus S von G. Sei N := Norm(S,G), Z :=Cent(S,G), V := X∗(S)⊗R, F Φ := Φ(S,G) das Wurzelsystem von S bzgl. G undsei Uα die zu α ∈ F Φ gehorende unipotente Untergruppe von G. Das ApartmentA = A(G,S, F ) ist der affine Raum, dem V zugrunde liegt. Auf ihm operiert dieWeylgruppe W := W (F Φ) zu F Φ als Spiegelungsgruppe und Z[F Φ]∗ ⊂ V durchTranslationen. Man hat W = N(F )/Z(F ) und man kann diese Aktion liften zueinem Homomorphismus ν : N(F )→ Z[F Φ]∗ oW , dessen Kern die maximal kom-pakte Untergruppe Z(F )c von Z(F ) ist. Das Bild von ν enthalt Z[F Φ∨] oW .

2. Schritt: Affine Wurzeln und U :Fur α ∈ F Φ und 1 6= u ∈ Uα(F ) enthalt die Menge U−α(F ) · u · U−α(F ) ∩ N(F )genau ein Element m(u). Man hat ν(m(u)) = tα sα, wobei sα die Spiegelung zuα ist und tα eine Translation der Form tα : v 7→ v + lα(u)α∨ ist. Dies definiert eineBewertungsfunktion lα : Uα(F )→ R. Sei

Uα,k := u ∈ Uα(F )\1 | lα(u) ≥ k ∪ 1.

Fur x ∈ A sei Ux die von allen Uα,−α(x), α ∈ F Φ erzeugte Untergruppe von G(F ).Die affinen Wurzeln sind als Teilmenge der affinen Abbildungen Aff(A,R) von Anach R definiert

F Φaff := α+ k ∈ Aff(A,R) | Es gibt ein x ∈ Uα(F ) mit k = lα(x).

Sei Waff := Waff (F Φaff ) die Gruppe, die erzeugt wird von allen Spiegelungen sα+k

(an der Hyperebene Hα,k = v ∈ V | α(v) + k = 0!), fur die α + k ∈ F Φaff . Manhat Waff C Bild(ν), obwohl i.A. F Φ kein Untersystem von F Φaff sein muß.Der lokale Index ∆(F Φaff ) ist das Diagramm zu einer Basis des maximalen redu-zierten Subsystems F Φkurz

aff := α ∈ F Φaff | 12α 6∈ F Φaff. Es korrespondiert zu

Kammerwanden des Komplexes zu Waff auf A.

3. Schritt: Zusammenkleben von Apartments:Das Gebaude zu G(F ) ist nun

B = B(G,F ) = (G(F )× A)/ ∼,(i)

mit der Aquivalenzrelation ∼:

(g, x) ∼ (g, x) ⇐⇒ Es gibt n ∈ N(F ) mit x = ν(n)x und g−1gn ∈ Ux ,(i’)

58 4. Das Gebaude

wobei N(F ) via ν auf A operiert. Auf dem Gebaude operiert G(F ) durch dieVorschrift:

G(F )× (G(F )× A) −→ G(F )× A (h, (g, x)) 7−→ (hg, x),

die sich auf die ∼–Klassen ubertragt. Diese Aktion verallgemeinert die N–Aktionauf A → B (via x 7→ (1, x)). Ein Apartment in B ist eine Teilmenge der Form gA.

Satz 4.2 ([Ti79, 2.1]). Zu jeder reduktiven Gruppe G und zu jedem p–adischenKorper F existiert die obige Konstruktion des Gebaudes B(Gder, F ). Sie ist un-abhangig von der Wahl von S.

Beweis: [BT72] und [BT84] oder [Lv96].

(4.3) Weil Ux von N(F )x normalisiert wird, gilt fur den Stabilisator eines Punktesx ∈ A ⊂ B offensichtlich G(F )x = Ux · N(F )x. Daher kann man die Relation (i’)(tautologisch) ersetzen durch

(g, x) ∼ (g, x) ⇐⇒ Es gibt n ∈ N(F ) mit x = ν(n)x und g−1gn ∈ G(F )x ,(i”)

(4.4) Funktorialitat des Gebaudes unter Galoiserweiterungen ([Ti79, 2.6]):

Es gibt ein eindeutig bestimmtes System von Einbettung iF ′/F : B(G,F )→ B(G,F ′)(F ′/F eine Galoiserweiterung von F ) mit folgenden Eigenschaften:

(1) iF ′/F (B(G,F )) ⊂ B(G,F ′)Gal(F ′/F ).

(2) Die Restriktion von iF ′/F auf jedes Apartment von B(G,F ) ist eine affine Ab-bildung in ein Apartment von B(G,F ′).

(3) iF ′/F ist G(F )-aquivariant.

(4) Fur zwei Galoiserweiterungen E/F ′ und F ′/F gilt iE/F = iE/F ′ iF ′/F .

Falls F ′/F unverzweigt ist, gelten nach [Ti79, 2.6.1+1.10.1] folgende Verscharfungen:

(1’) iF ′/F (B(G,F )) = B(G,F ′)Gal(F ′/F ).

(2’) Ein Apartment A von B(G,F ) ist der Schnitt eines Gal(F ′/F )–stabilen Apart-ments A′ von B(G,F ′) mit B(G,F ). Eine Facette in A ist der Schnitt einerGal(F ′/F )–stabilen Facette in A′ mit A.

Satz 4.5 ([Ti79, 3.4.1][Lv96, II.6.1]). Sei G halbeinfach und Ω eine nichtleerebeschrankte Teilmenge eines Apartments von B(G,F ).

(a) Bis auf eindeutigen Isomorphismus gibt es ein eindeutig bestimmtes glattes,zusammenhangendes, affines OF–Gruppenschema G von endlichem Typ , sodaß gilt

Faktensammlung 59

– Die generische Faser ist G ×OFF = G.

– Fur jede unverzweigte Erweiterung F ′ von F mit Bewertungsring OF ′ gilt

G(OF ′) = G(F ′)ΩDef= FixiF ′/F (Ω)(G(F ′)).

(b) Wenn G quasisplit ist, d.h. Z =: T ein Torus ist, der in einer F–Borelgruppe Bliegt, dann kann jede der Inklusionen T → G, B → G und Uα → G (fur α ∈F Φkurz) ausgedehnt werden zu Isomorphismen von OF–Gruppenschemata Tbzw. B bzw. Uα auf abgeschlossene OF -Unterschemata von G. (Die SchemataT , ... sind charakterisiert durch T (OF ′) = T(F ′)Ω, ....)

Definition 4.6. Ein Punkt x ∈ B(G,F ) heißt hyperspeziell, wenn es eine unver-zweigte Erweiterung F ′/F gibt, so daß iF ′/F (x) ∈ B(G,F ′) eine Ecke mit folgenderEigenschaft ist: Fur ein Apartment A′ 3 iF ′/F (x) von B(G,F ′) mit den WandenHα,k fur alle α+ k ∈ F ′Φaff (wie in 4.1 beschrieben) gilt

F ′Φ ' α | ∃k mit iF ′/F (x) ∈ Hα,k und α+ k ∈ F ′Φaff.

Faktensammlung

Es folgt eine Auswahl von Aussagen der Theorie, die sich auf das beschrankt, was(in der Folge) benotigt wird. Ab jetzt sei G halbeinfach, quasisplit und T :=Cent(S,G), d.h. S = Tsp.

Lemma 4.7. Sei G halbeinfach, quasisplit, uber F definiert und f : G′ → G eineuber F definierte, zentrale Isogenie. (Zentral heißt, daß Kern(f) im Zentrum vonG′ liegt.)Dann ist B(G′, F ) kanonisch isomorph zu B(G,F ). Dieser Isomorphismus ist funk-toriell bei Galoiserweiterungen von F .

Mangels Referenz folgt hier ein Beweis: O.E.d.A. darf man annehmen, daß G′ = Gsc

einfach zusammenhangt. Sei S ⊂ G das Bild eines maximalen F–Splittorus Ssc inGsc und T = Cent(S,G) bzw. Tsc := Cent(Ssc, Gsc) ihre Zentralisatoren. Da fuber F definiert ist, ist S ein maximaler F–Splittorus. Weil das Bild von X∗(Ssc)in X∗(S) endlichen Index hat, kann man das Apartment zu Ssc mit dem zu S(kanonisch) identifizieren. Betrachte die Abbildung

G(F )sc × A −→ G(F )× A (g, x) 7−→ (f(g), x).(ii)

Sie vertragt sich mit den ∼–Klassen (weil Kernf ⊂ Cent(G) ⊂ Kernν.)Sei F ′ ein galoischer Zerfallungskorper und Γ := Gal(F ′/F ). Weil Gsc quasisplit ist,ist Tsc ein (maximaler) Torus und Γ stabilisiert ein (geeignetes) System einfacherWurzeln ∆ = ∆(Tsc, Gsc). Daher ist X∗(Tsc) = Z[Φ∨] =

⊕Γα⊂∆ IndΓ

ΓαZα∨, wobei

Γα den Fixator von α in Γ bezeichnet. Man hat

H1(F,Tsc) ' H1(Γ,Tsc(F′)) ' H1(Γ, X∗(Tsc)) '

⊕Γα⊂∆

H1(Γα,Zα∨) = 1.

60 4. Das Gebaude

Die erste Isomorphie folgt mit Hochschild–Serre und Hilbert 90, die zweite mit Tate–Nakayama und die dritte mit Shapiros Lemma. Deswegen ist T(F )/f(Tsc(F )) 'H1(Γ,Kern(f)) ' G(F )/f(Gsc(F )) und zu jedem g ∈ G(F ) existiert ein t ∈ T(F ),so daß gt ∈ f(Gsc(F )). Durch eine einfache Rechnung sieht man damit, daß dieAbbildung (ii) eine Bijektion auf den ∼–Klassen bewirkt. (Man benutzt naturlich,daß (g, x) ∼ (gt−1, tx) fur t ∈ T(F ) ⊂ N(F ).) Diese Abbildung ist offensichlichkanonisch und funktoriell. (D.h. genauso kanonisch, wie das Gebaude.)

Fakt 4.8 ([Ti79, 3.5.2]). Wenn G halbeinfach und einfach zusammenhangend ist,ist die Gruppe G = G(Ω), die man aus G = G(Ω) durch Reduktion mod p erhalt,zusammenhangend. Die Wurzeln von G sind die α ∈ Φ(G), fur die es ein k gibt, sodaß α+ k ∈ F Φaff und α(x) = −k fur alle x ∈ Ω.

Definition 4.9. Sei x ∈ B(G,F ) hyperspeziell und Gsc := Gsc(x) die Reduktion modp (wie in 4.8). Ein residuell halbeinfaches Element g ∈ G(F )x wird stark regularmod p genannt, wenn die Fixpunktmenge von intg bei der Reduktion mod p auf Gsc

eine abelsche Untergruppe (von Gsc) ist.

Fakt 4.10 ([Ti79, 3.6.1]). Sei

M ⊂ Tsp(F )c := s ∈ Tsp(F ) | valF (χ(s)) = 0 fur alle χ ∈ X∗(Tsp)

eine Teilmenge, so daß fur alle α ∈ F Φ ein mα ∈ M existiert mit α(mα) 6∈ 1 + pF .Dann ist die Fixpunktmenge B(G,F )M das Apartment A(G,Tsp, F ) zu Tsp.Falls p > 2, ist A = A(G,Tsp, F ) die Fixpunktmenge von Tsp(F )c.

Fakt 4.11 ([Ti79, 1.3]). Falls G uber einer unverzweigten Erweiterung F ′/Fzerfallt, ist ν(Norm(Tsp, G)(F )) = X∗(Tsp) o W (F Φ) = X∗(T)Γ o W (T)Γ, wobeiΓ := Gal(F ′/F ).

Fakt 4.12 (Iwasawazerlegung [BT72, (7.3.1+2)]). Sei x ∈ A ein speziellerPunkt (vgl. Definition 2.37) im Apartment zu Tsp. Dann ist

G(F ) = B(F ) ·G(F )x.

Lemma 4.13. Sei G reduktiv, F ′ ein unverzweigter Zerfallungskorper von G undx ∈ AGal(F ′/F ). Dann ist

H1(F ′/F,G(F ′)x) = 1.

Beweis: [PR94, Theorem 6.8]

Definition 4.14. Sei G unverzweigt und x ∈ B(G,F ) hyperspeziell. Ein F–Splitting(B,T, Xα) wird von G bzgl. x geliftet gennant, wenn seine Reduktion mod p einSplitting von G = G(x) ist.

Tits Gebaude mit Twists 61

Genauer gibt es unter den Vorraussetzungen der Definition in G = G(x) aus 4.5 Un-tergruppenschemata B, T und Morphismen von Spec(OF ′ [X]) → Uα ×F F

′ fur ge-eignete unverzweigte endliche Erweiterung F ′/F , deren Spezialisierungen zum einendas F–Splitting ergibt und zum anderen ein κ(F )–Splitting von G(x). Diese F–Splittings werden als bzgl. x geliftet bezeichnet.

Behauptung 4.15. Sei spl(B,T, Xα) ein F–Splitting, das bezuglich eines hyper-speziellen Punktes x ∈ A(G,Tsp, F ) ⊂ B(G,F ) geliftet ist. Weiter sei F ′/F eineendliche unverzeigte Erweiterung, die G zerfallt.

(a) Dann fixiert Θ∗ ∈ Aut(G, spl) den Punkt x.

(b) Die Steinbergreprasentanten in Gsc(F′) der Weylgruppe W (T) liegen in Gsc(F

′)x.

Beweis: (a) ist klar und (b) folgt daraus, daß n(sα) = m(u) fur geeignete u ∈ u ∈Uα | lα(u) = α(x) in den Bezeichnungen von (4.1). Genauer hat man (mit derBezeichnung aus dem Beweis von 2.7) n(Xα) = m(exp(−X−α)).

(4.16) Markierung von B und Definition von Ξ(G,F ): Indem man die Eckeneines Alkovens im Gebaude durchnumeriert (oder irgendwie bezeichnet) definiertman eine Markierung aller Ecken des Gebaudes, bei der zwei Ecken dieselbe Mar-kierung (bzw. Numerierung) haben, wenn sie in einem Orbit unter der Operationvon Gad(F ) liegen.Die Ecken eines Alkovens korrespondieren zu Punkten im lokalen affinen Dynkin-diagramm ∆(F Φaff (G)). Dadurch ergibt sich nach [Ti79, 2.5] aus der Operationvon G(F ) auf dem Gebaude eine Operation von G(F ) auf ∆(F Φaff ). Ihr Bild inAut(∆(F Φaff )) wird wie in [Ti79] mit Ξ(G,F ) bezeichnet.Sei weiterhin G halbeinfach und quasisplit und T := Cent(S,G). Sei Ssc (bzw. Tsc)der Urbildtorus von S ∩ Gder (bzw. T ∩ Gder) unter Gsc → G. In [Ti79, 2.5] wirdΞ(G,F ) berechnet als

Ξ(G,F ) = T(F )/

T(F )c · Bild[Tsc(F )→ T(F )]

Tits Gebaude mit Twists

(4.17) Sei G unverzweigt und halbeinfach, F ′ ein unverzweigter Zerfallungskorper(endlich uber F ). Man nimmt hier char(κ(F )) > 2 an. Sei B = B(G,F ) und Θ einspezieller F–Automorphismus von G, der ein F–Paar (B,T) stabilisiert. In diesemAbschnitt wird gezeigt, daß die Fixpunktmenge BΘ das Gebaude zuG(F )Θ = GΘ(F )ist.Θ stabilisiert das Apartment A = A(G,Tsp, F ), und nach Wahl einer (hyperspeziel-len) ”0 ∈ AΘ” die durch B bestimmte Kammer C (mit 0 ∈ C). Sei U = 〈Uα | α > 0〉das unipotente Radikal von B.

62 4. Das Gebaude

(4.18) Die Operation von Θ auf A kann zu einem Automorphismus (von Kammer-komplexen) ausgedehnt werden auf ganz B durch

Θ(g, x) := (Θ(g),Θ(x)),

denn dabei werden ∼–Klassen respektiert: Dafur muß man Θ(Ux) = UΘ(x) zeigen.Wenn man den zweiten Schritt der Konstruktion (4.1) des Gebaudes durchgeht,sieht man Θ(mα(u)) = mΘα(Θ(u)) und damit sogar lα(u) = lΘα(Θ(u)). Wegenα(x) = (Θα)(Θ(x)) folgt Θ(Uα,−α(x)) = UΘα,−(Θα)(Θ(x)) und daraus Θ(Ux) = UΘ(x).

Fakt 4.19 (gemischte Iwasawazerlegung [BT72, (7.3.1)]). Sei x ∈ A. Dannist

G(F ) = U(F ) ·N(F ) ·G(F )x

und man hat eine Bijektion

U(F )\G(F )/G(F )x1−1−→ ν(N(F )/N(F )x)

U(F ) · n ·G(F )x 7−→ ν(n ·N(F )x) .

Lemma 4.20. Seien G, Θ, A,... wie in (4.17) und x ∈ AΘ. Dann ist

H1(〈Θ〉,U(F )x) → H1(〈Θ〉,U(F )).

Beweis: O.E. sei F Φ = Φ(Tsp, G) irreduzibel. Man lege eine Reihenfolge fur dieWurzeln aus F Φ+ = Φ(Tsp, G)+ fest, so daß die Hohen der Wurzeln bzgl. F Φ+ mitder Numerierung anwachst. Nach [Ti79, 3.1] hat man Bijektionen (|F Φ+| =: m)

Uα1(F )× ...× Uαm(F ) −→ U(F )( u1 , ... , um ) 7−→ u1 · · ·um

Uα1,α1(x) × ...× Uαm,αm(x) −→ U(F )x

Man beweist das Lemma uber Induktion nach der Hohe (in F Φ+), indem man imi–ten Schritt modulo Ui := 〈Uα(F ) | Hohe(α) > i〉 rechnet. Der AutomorphismusΘ respektiert die Filtrierung von U(F ) durch die Ui und Ui/Ui+1 ist abelsch. Nach(4.18) ist Θ(Uα,α(x)) = UΘ(α),(Θα)(x). Es genugt also

Kern[H1(I,∏γ∈Iα

Uγ,γ(x)) −→ H1(I,∏γ∈Iα

Uγ(F ))]

Shapiro' Kern[H1(Iα, Uα,α(x)) −→ H1(Iα, Uα(F ))],(iii)

zu berechnen, wobei Iα = Stabα(I) und I = 〈Θ〉.

Splitfall: Wenn G uber F zerfallt, ist Uα(F ) ' F eindimensional und Uα,α(x) wirddabei auf a · OF abgebildet fur ein geeignetes a ∈ F×. Aus Lemma 2.9 und der


Beschreibung der speziellen Automorphismen in Behauptung 3.12 folgt, daß σ ∈ Iαauf Uα(F ) ' F durch ±1 operiert. Weil p = char(κ(F )) > 2 ist (trivialerweise)

0 −→ (aOF )Θ −→ FΘ −→ (F/aOF )Θ −→ 0.

Daraus folgt, daß der Kern in (iii) trivial ist.

Allgemeiner (Quasisplit–) Fall: Sei F ′ ein Zerfallungskorper von G, unverzweigtund endlich uber F , und Fr ein Erzeuger der Galoisgruppe Γ = Gal(F ′/F ). Durchdie Inklusion (

∏α∈Φ,Hohe(α)=i Uα(F ′)) → G(F ′) werden die Galoisaktion von G(F ′)

auf das direkte Produkt zuruckgezogen.Sei α1 ∈ Φ = Φ(T, G) eine Wurzel, die sich restringiert zu der Wurzel α = α1|Tsp ∈F Φ, die in (iii) betrachtet wird. Bezeichne O1 = (I×Γ)·α1 den Galois– und Θ–Orbitvon α1. Alle γ ∈ O1 haben dieselbe Hohe, weil sowohl Θ als auch Γ (die Hohen in)B stabilisieren.Soeben wurde die Exaktheit der Sequenz

1→( ∏

γ∈O1

Uγ(F′)x

)Θ

→( ∏

γ∈O1

Uγ(F′))Θ

→( ∏

γ∈O1

Uγ(F′)/Uγ(F

′)x

)Θ

→ 1

bewiesen. Weil Θ uber F definiert ist, folgt daraus die Exaktheit von

...→( ∏

γ∈O1

Uγ(F′))I×Γ

→( ∏

γ∈O1

Uγ(F′)/Uγ(F

′)x

)I×Γ

→ H1(Γ,( ∏

γ∈O1

Uγ(F′)x

)Θ).

Nach Shapiros Lemma gilt (mit Γα1 = Stabα1(Γ))

H1(Γ,( ∏

γ∈O1

Uγ(F′)x

)Θ)' H1

(Γα1 ,

( ∏γ∈Iα1

Uγ(F′)x

)Θ)' H1(Γα1 ,OF ′)

Bei dieser Identifikation operiert der Erzeuger der zyklischen Gruppe Γα1 durch ±σfur ein geeignetes Element σ ∈ Gal(F ′/F ). (Das folgt unter erneuter Verwendungvon 2.9 und 3.12.) Man kann zeigen, daß daher diese Kohomologiegruppe verschwin-det, und erhalt die Surjektion(∏

γ∈O1Uγ(F

′))Γ×I

// //(∏

γ∈O1Uγ(F

′)/Uγ(F

′)x

)I×Γ

(∏γ∈Iα Uγ(F )

)Θ//(∏

γ∈Iα Uγ(F )/Uγ(F )x

)Θ

OO

Weil die untere Abbildung dadurch surjektiv wird, ist der Kern in (iii) auch indiesem Fall trivial.

64 4. Das Gebaude

Satz 4.21. Wie in (4.17) sei G halbeinfach, unverzweigt und zerfalle uber der un-verzweigten Erweiterung F ′ und Θ ∈ Aut(G,B,T) speziell (alles uber F definiert).Dann gilt kanonisch

iΘ : B(GΘ, F )1−1−−−→ B(G,F )Θ ⊂ B(G,F ).

Diese Einbettung ist funktoriell bei unverzweigten Galoiserweiterungen von F undman hat GΘ(F )x ⊂ G(F )iΘ(x).

(a) Die Apartments gAΘ (mit g ∈ GΘ(F )) in B(GΘ, F ) sind Durchschnitte Θ–stabiler Apartments gA in B(G,F ) mit B(G,F )Θ.

(b) Wenn ein Punkt y ∈ B(G,F )Θ hyperspeziell (in B(G,F )) ist, so ist sein Urbildunter iΘ hyperspeziell in B(GΘ, F ).

(c) Falls PI(F ′Φ) = PI(α) | α ∈ F ′Φ(G) vom Typ I oder III Def= PI(F ′Φ)lang, ist

iΘ eine Abbildung von Kammerkomplexen, d.h. die Kammern im Bild von iΘsind Durchschnitte von Θ–stabilen Kammern mit B(G,F )Θ.

(d) Falls PI(F ′Φ) = PI(F ′Φ)kurz, so sind die Bilder hyperspezieller Punkte inB(Gθ, F ) unter iΘ hyperspeziell in B(G,F ).

Beweis: Wegen der Invarianz des Gebaudes unter zentralen Isogenien (Lemma 4.7),sei G o.E. einfach zusammenhangend. Nach Steinberg 2.27 ist dann GΘ zusam-menhangend. Bewiesen wird, daß jede Θ–stabile Klasse von B(G,F ) = G(F )×A/ ∼nichtleeren Schnitt hat mit

(G(F )Θ × AΘ)/ ∼GΘ= B(GΘ, F )

wobei die Relation ∼GΘ die Einschrankung der Relation (i’) von B(G,F )) auf(G(F )Θ × AΘ) ist. Sei (g, x) ein Vertreter einer Klasse aus BΘ, d.h. (g, x) ∼(Θ(g),Θ(x)) = Θ(g, x).1. Reduktion: Es existiert ein solcher Vertreter mit x ∈ AΘ.Weil G unverzweigt ist, ist nach Fakt 4.11 die Operation von N(F ) auf A genau dievon Waff := Z[F Φ∨] oW . Sei C ⊂ A eine Θ–stabile Kammer. Weil N(F ) auf denKammern von A transitiv operiert, existieren Vertreter der Klasse mit x ∈ C. Furw ∈ Waff folgt aus w(x) ∈ C stets w(x) = x. Daher und weil Θ(x) ∈ Θ(C) = Chat man x = Θ(x) fur diese Vertreter. Sei also o.E. ab jetzt x ∈ AΘ.2. Reduktion:(g, x) ∼ (Θ(g), x) impliziert g−1Θ(g) ∈ G(F )x. Nach der Iwasawazerlegung 4.19gibt es k ∈ G(F )x, u ∈ U(F ) und n ∈ N(F ) = Norm(Tsp, G)(F ) = Norm(T, G)(F ),

g = u · n · k.

Weil g−1Θ(g) ∈ G(F )x, gilt fur die Doppelnebenklasse

U(F ) · n ·G(F )x = U(F ) · g ·G(F )x = U(F ) ·Θ(g) ·G(F )x = U(F ) ·Θ(n) ·G(F )x.


Wieder nach Fakt 4.19 folgt daraus ν(n) ∈ ν(Θ(n) · N(F )x) = Θ(ν(n · N(F )x)).Daher ist u−1Θ(u) = nkg−1Θ(g)Θ(k)−1Θ(n)−1 ∈ G(F )ν(n)x und (ν(n))(x) ∈ AΘ.Nach Lemma 4.20 existiert ein v ∈ G(F )ν(n)x mit u−1Θ(u) = v−1Θ(v). Also istgk−1n−1v−1 ∈ G(F )Θ und (g, x) ∼ (gk−1n−1v−1, ν(n)x), denn g−1(gk−1n−1v−1)n =k−1(intn−1

)(v−1) ∈ G(F )x.

Die (schwache) Funktorialitatsaussage folgt aus (B(G,F ′)Γ)Θ = (B(G,F ′)Θ)Γ mit(4.4.1’).

Zu (a): Die Apartments sind assoziiert zu maximalen F–Splittori in GΘ bzw. G.Weil beide Gruppen quasisplit sind, sind die Apartments bestimmt durch F–Paare(BΘ,TΘ) bzw. (B,T). Wegen Lemma 3.2 ergibt Schneiden mit GΘ eine Bijektionzwischen den Paaren von GΘ und den Θ–stabilen von G. (Vgl. (3.11)!)

Zu (c): Um zu sehen, daß die Kammern in iΘ(B(GΘ, F )) Schnitte von Θ–stabilenKammern mit B(G,F )Θ sind, muß man folgendes Analogon zu [Ti79, 1.10.1] bewei-sen: Im Θ–stabilen Apartment A = A(G,Tsp, F ) gilt

α+ k ∈ F Φaff =⇒ α|AΘ + k ∈ F Φ(GΘ)aff .

WeilG einfach zusammenhangend angenommen wird, kann man sich auf irreduzibles

F Φ zuruckziehen. Man darf sogar annehmen, daß G zerfallt, denn G ist unverzweigtund fur unverzweigte Erweiterungen F ′/F hat man nach [Ti79, 1.10.1], daß dieWurzeln auf A(G,Tsp, F ) die Einschrankung von F ′Φaff auf A(G,T, F ′)Gal(F ′/F ) =A(G,Tsp, F ) sind.

Fall 1: Fur alle α ∈ Φ = Φ(G,T) vom Typ II gilt PI(α) 6∈ (Φ(GΘ) ⊂ ΦI .Sei α+ k ∈ F Φaff (G) gegeben. Nach Definition existiert ein u ∈ Uα(F ) mit lα(u) =k. Weil die Wurzeln von Iα (nach (2.5.5)) paarweise orthogonal zueinander sind, ist

uIα :=

|Iα|−1∏i=0

Θi(u) ∈ Uα(F ) · UΘα(F ) · · ·UΘ|Iα|−1α(F ) ∩GΘ =: UIα

unabhangig von der Reihenfolge der Produkte definiert. Ebenso ist die folgendeUmordnung von Mengen moglich: (m := |Iα| − 1)

(U−α(F ) · · ·U−Θmα(F )) · uIα · (U−α(F ) · · ·U−Θmα(F ))

= (U−α(F )uU−α(F )) · · · (U−Θmα(F ) ·Θm(u) · U−Θmα(F )).

Weil durch u nicht nur (U−α(F )uU−α(F ))∩N(F ) = m(u) eindeutig bestimmt ist,sondern auch die Zerlegung von m(u) = mG(u) in U−α(F )uU−α(F ), hat man

m−1∏i=0

m(Θi(u)) ∈ (U−IαuIαU−Iα) ∩N(F ) ⊂ GΘ,

66 4. Das Gebaude

denn auch dieses Produkt ist unabhangig von der Anordnung der Faktoren. DieMenge rechts ist (gelesen in der Gruppe GΘ) nichts anderes als U−β(F )uIαU−β ∩N(TΘ, GΘ)(F ) fur die Wurzel β = PI(α) ∈ Φ(GΘ). Daher enthalt sie genau einElement. Also folgt fur die Konstruktion von m in GΘ:

mGΘ

(uIα) =

|Iα|−1∏i=0

mG(Θi(u)) ∈ N(F ) ∩GΘ.

Immer weiter wegen der Orthogonalitat innerhalb Iα erhalt man

ν(mGΘ

(uIα))

= (tα sα) ... (tΘmα sΘmα) = (tα · · · tΘmα) sIα

und schließlich lGΘ

PI(α)(uIα) = lGα (u) (denn PI(α)∨ = SIα∨ nach (2.5.8)). Somit hat

man fur PI(α) ∈ Φ(GΘ)

α+ k ∈ F Φaff (G) =⇒ ∃u ∈ Uα(F ) mit k = lGα (u).

=⇒ uIα ∈ UPI(α)(F ) ⊂ GΘ(F ) mit k = lGΘ

PI(α)(uIα).

=⇒ PI(α) + k ∈ F Φ(GΘ).

Fur v ∈ AΘ gilt aber α(v) = PI(α)(v). Also hat man die scharfste Formulierunguber die Kammern gezeigt, wenn Φ(GΘ) = Φlang

I ist.

Die Aussagen (b) und (d) kann man im Fall ΦkurzI = Φlang

I an der Tabelle 2.36 able-sen, denn dort wurde unter jedem ADE–System zu Φ das System zu ΦI abgebildet(und zwar so, daß die entsprechenden Θ–Orbiten aus Φ uber jedem α|A ∈ ΦI abge-bildet sind). Die hyperspeziellen Ecken sind bis auf Diagrammautomorphismen dieschwarzen Ecken. Außer im Fall A2n verifiziert man, daß uber jeder hyperspeziellenEcke bzgl. ΦI genau eine Θ–fixierte hyperspezielle Ecke zu Φ liegt. Umgekehrtergibt ein (einelementiger) Θ–Orbit einer fixierten hyperspeziellen Ecke zu Φ einehyperspezielle Ecke fur ΦI .Im Falle daß Φ = A2n und Φ(GΘ) = Φlang

I (d.h. vom Typ Cn ist) hat man allerdingsfolgendes Bild

Φ

> < ΦlangI

•oooo

OOOO

•

Fur die rechte hyperspezielle Ecke x des Cn–Systems ist daher iΘ(x) keine Ecke inB(G,F ) (sondern nur die Kantenmitte der zwei Ecken des Alkovens zu den beidenWurzeln vom Typ II aus ∆ext(A2n)). Die einzige Θ–fixierte (hyperspezielle) Eckedes A2n–Alkovens (die zu −α+) ergibt aber wenigstens eine hyperspezielle Ecke inB(GΘ, F ). Zu zeigen bleiben noch die Aussagen (b) und (d) im


Fall 2: Φ ist von Typ A2n und Φ(GΘ) = ΦkurzI , d.h. G = Sl(2n+1) und Θ stabilisiert

ein Splitting (und char(κ(F )) = p > 2).

Hier muß die Argumentation aus Fall 1 modifiziert werden, denn fur Wurzeln vomTyp II sind nicht alle Elemente aus dem Θ–Orbit senkrecht aufeinander. Daher mußfur diese Wurzel lPI(α) bzw. mGΘ

anders berechnet werden. Fur Wurzeln vom TypI kann man alles aus Fall 1 ubernehmen (und Wurzeln vom Typ III werden hier garnicht betrachtet).In den Bezeichnungen von Beispiel 2.19 ist α0 := PI(α) = ε2n+1−ε1 = −α+ vom TypIII und α = εn+1 − ε1 vom Typ II. In GΘ ist PI(α) Wurzel aber nicht PI(α0) = α0.(Vgl. Steinberg 2.27 oder Beispiel 2.19.) Der Alkoven (bei der Null) bezuglich deroberen Dreiecksmatrizen ist

C = x ∈ V ⊂ R2n+1 | 1 + x2n+1 > x1 > x2 > ... > x2n+1

Behauptung. Sei CGΘ ⊂ A(GΘ,TΘ, F ′) der Alkoven (fur GΘ) zu BΘ mit 0 ∈ C.Dann gilt

iΘ(CGΘ) =(C ∪ sα0+1C

) ∩ AΘ

= x = (x1, ..., xn, 0,−xn, ...,−x1) | 1− x2 > x1 > x2 > ... > xn > 0 ,

wobei sα0+1 die Spiegelung am Alkovendeckel Hα0,1 ist.

Beweis: Zuerst berechnet man die Langenfunktion lPI(α) fur die α ∈ F ′Φaff vomTyp II. Die entscheidende Rechnung findet im wesentlichen in einer Sl3 statt. Weilα und Θα nicht senkrecht aufeinander stehen, wird uIα hier definiert durch (auchhier ist · = 0)

Uα 3(

1 · ·x 1 ·· · 1

)= u 7−→ uIα :=

(1 · ·x 1 ·

x2/2 x 1

)=(

1 · ·· 1 ·· x/2 1

)(1 · ·x 1 ·· · 1

)(1 · ·· 1 ·· x/2 1

).

Dann gilt 〈Uα, UΘα〉 ∩ Gθ = uIα | u ∈ Uα. Wie im Beweis des Steinberglifts 2.7bereits benutzt, ist

mGθ( ( 1 · ·x 1 ·

x2/2 x 1

) )=

(· · x2/2· −1 ·

2/x2 · ·

)= n0 ·

(c(α)

(Sα∨)︸︷︷︸

=PI(α)∨

⊗πF

)valF (x)

= n0 ·((α0)

∨ ⊗ πF

)2valF (x)

,

wobei n0 ∈ Stab0(N(F )) und πF ∈ OF ein Primelement ist. Aus der Rech-

nung folgt, daß lGΘ

PI(α)(uIα) = 2 · lGα0(u) fur alle u ∈ Uα. Daher ist PI(α)|AΘ + k =

(12α0)|AΘ + k ∈ F ′Φ(GΘ)aff aquivalent zu k ∈ Z. Also ist Hα0,k ∩ AΘ genau dann

eine Wand im Kammerkomplex iθ(A(GΘ,TΘ, F ′)) ⊂ A, wenn k ∈ 2Z.Somit ergibt die Einschrankung des Alkovendeckels aufAΘ keine Wand in iΘ(A(GΘ)).

68 4. Das Gebaude

Weil sα0 ∈ WΘ, hat das Bild iΘ(CGΘ) nichtleeren Schnitt mit C und sα0+1(C). Manhat

C ∪ sα0+1C = x ∈ V | α(x) > 0 ∀α ∈ ∆ ∩ x ∈ V |(sα∨0

(α))(x) + 1 > 0 ∀α ∈ ∆.

Weil 〈α, α∨0 〉 6= 0 fur α ∈ ∆ impliziert, daß α ∈ ε1 − ε2 =: α1, ε2n − ε2n+1 =: α2nvom Typ I ist, und weil sα0+1(Hα1,0) = Hsα∨0

(α1),1 = Hε2n+1−ε2,1, ist der ”Deckel” von

(C ∪ sα0C) ∩ AΘ gerade

Hsα∨0(α1),1∩AΘ = x ∈ AΘ |

(sα∨0

α1

)(x)+1 = 0 = (x1, ...,−x1) | −x1−x2+1 = 0.

Dies ist nach den Uberlegungen im Fall 1 eine Wand im Kammerkomplex iθ(A(GΘ)).

Die Behauptung zeigt, daß in diesem Fall iΘ keine Abbildung von Kammerkomplexenist. Außerdem werden in diesem Fall die (beiden) hyperspeziellen Ecken des Bn–Alkovens CGΘ bijektiv auf die beiden hyperspeziellen Punkte von (C ∪sα0+1C)∩AΘ

(das sind 0 und (1, 0, ..., 0,−1)) abgebildet.

Korollar 4.22. Sei Θ ein spezieller F–Automorphismus von G. Aquivalent sind:

• Fur den eindeutig bestimmten Automorphismus Θsc von Gsc uber Θ ist GΘscsc

einfach zusammenhangend.

• iΘ : B(GΘ, F ) → B(G,F ) aus Satz 4.21 ist eine Inklusion von Kammerkom-plexen.

• Φ(GΘ) = Φ(G)langI = PI(α) | α ∈ Φ(G) ist vom Typ I oder III

Andererseits sind aquivalent:

• Θ stabilisiert ein (F )–Splitting von G.

• fur alle hyperspeziellen Punkte x ∈ B(GΘ, F ) ist iΘ(x) hyperspeziell in B(G,F ).

• Φ(GΘ) = Φ(G)kurzI = PI(α) | α ∈ Φ(G) ist vom Typ I oder II

Rationalitatsfragen fur L

Sei L zusammenhangend und erzeuge G, so daß G quasisplit ist.

Definition 4.23. Sei Z = Cent(G) und ΘZ ∈ Aut(Z) von L bewirkt. Weiter

AG,ΘZ:=Kern[H1(F,Z)→ H1(F,G)]

BG,ΘZ:=Bild[AG,ΘZ

1−ΘZ−−−→ H1(F,Z)]

CG,ΘZ:=H1(F,Z)

/BG,ΘZ

Rationalitatsfragen fur L 69

(4.24) Definition von zsplG und γ(L):Sei splG ein F–Splitting und Θ∗ die gesternte Aktion von L bzgl. splG. Wahle einenVertreter θ∗ ∈ L(F ) fur Θ∗. Die Kohomologieklasse von zsplG(σ) := θ∗ ·σ(θ∗)−1 ∈ Zin H1(F,Z) hangt nicht ab von der Wahl von θ∗ mit Θ∗|G = intθ∗|G.Das Bild γ(L) der Klasse [zsplG(σ)] in CG,Θ∗|Z ist unabhangig vom F–Splitting splG,denn je zwei F–Splittings sind Gad(F )–konjugiert und

zg·splG·g−1(σ) = (gθ∗g−1) · σ(gθ∗g−1)−1 = gθ∗ g−1σ(g)︸︷︷︸∈Z

θ∗−1 θ∗σ(θ∗)−1︸︷︷︸∈Z

σ(g)−1

= zsplG(σ) ·(1−Θ∗

)(gσ(g)−1)

fur ein g ∈ G(F ) mit intg ∈ Gad(F ).

Satz 4.25. Sei G quasisplit, erzeugt von einer Zusammenhangskomponente L, dieauf Z den Automorphismus ΘZ bewirkt. Dann sind aquivalent

• L(F ) 6= ∅.

• γ(L) ∈ CG,ΘZliegt im Bild von

Kern[H1(F,Z)→ H1(F,T)] −→ CG,ΘZ

fur (irgend–)einen maximalen F–Torus T, der in einer F–Borelgruppe liegt.

Beweis: Weil je zwei F–Paare (B,T) und (B′,T′) G(F )–konjugiert sind, hat man

Kern[H1(F,Z)→ H1(F,T)] = Kern[H1(F,Z)→ H1(F,T′)].

Daher ist die Wahl von T im Satz unerheblich.

Fur die eine Richtung sei ϑ ∈ L(F ). Wahle ein F–Splitting splG = (B,T, Xα).Weil (intϑ)(B,T) ein F–Paar ist, gibt es ein h ∈ G(F ), so daß ϑ1 := h · ϑ das Paar(B,T) stabilisiert.Dann gibt es ein t ∈ T(F ), so daß ϑ2 := t · ϑ das Splitting splG stabilisiert. Weilintϑ2 die gesternte Aktion von L bzgl. splG bewirkt, hat man

[zsplG(σ)] 3 ϑ2 · σ(ϑ2)−1 = thϑ · σ(thϑ)−1 = tσ(t)−1,

d.h. [zsplG(σ)] ∈ Kern[H1(F,Z)→ H1(F,T)].

Fur die umgekehrte Richtung wahle ebenfalls ein F–Splitting splG = (B,T, Xα)und einen Vertreter θ∗ ∈ L(F ) fur die gesternte Aktion von L bzgl. splG. Dannist γ(L) das Bild von zsplG(σ) := θ∗σ(θ∗)−1 in CG,Θ∗|Z . Weil die Wahl von T inder Formulierung des Satzes unerheblich ist, besagt die Voraussetzung nun, daß esg ∈ G(F ), t ∈ T(F ) und z ∈ Z(F ) gibt, so daß g−1σ(g) ∈ Z und

t−1σ(t) = zσ(z)−1 · zsplG(σ) ·(1−Θ∗)(σ(g)−1g).

70 4. Das Gebaude

Daher ist gztθ∗g−1 ∈ L(F ), denn

1 = ztθ∗σ(θ∗−1t−1z−1

)︸︷︷︸Term 1 ∈Z

· σ(g)−1g︸︷︷︸Term 2 ∈Z

·Θ∗(σ(g)−1g

)−1︸︷︷︸Term 3 ∈Z

= (ztθ∗)g−1σ(g)(ztθ∗)−1︸︷︷︸Term 3

· (ztθ∗)σ(ztθ∗)−1︸︷︷︸Term 1

·σ(g)−1g︸︷︷︸Term 2

= (gztθ∗g−1) · σ(gztθ∗g−1)−1

(4.26) Falls L(F ) 6= ∅ und Cent(G) anisotrop ist, gibt es auch stark kompakteElemente in L(F ): Dazu betrachte eine Kammer C im Gebaude B(G,F ) und einθ ∈ L(F ). Weil Gsc(F ) transitiv auf den Kammern des Gebaudes operiert, gibt esein g ∈ G(F ), so daß gθ ∈ L(F ) die Kammer stabilisiert. Da der Stabilisator vonC in Aut(G) endlich ist, ist eine geeignete Potenz von gθ stark kompakt in G(F ).Also ist gθ selbst stark kompakt (nach (3.28)).

Behauptung 4.27. Sei spl = (B,T, Xα) ein F–Splitting von G und F ′/F einendlicher unverzweigter Zerfallungskorper von T. Wenn zspl(σ) ∈ Z1(F ′, (1− θ)Z)im Bild von

(1− θ) : H1(F ′, Z) −→ H1(F ′, Z)

liegt, dann existiert eine unverzweigte Erweiterung F ′′/F ′/F und ein θ′′ ∈ T(F ′′)∩L,das ein F–Splitting spl′′ mit (B,T) ⊂ spl′′ stabilisiert.

Beweis: Nach Voraussetzung exisiert ein θ∗ ∈ T(F ) ∩ L, das spl stabilisiert, so daßzspl(σ) := θ∗σ(θ∗)−1 = (1− θ)z(σ) fur einen Kozykel z(σ) ∈ Z1(F ′,Cent(G)). Weilnach Hilbert–Noether H1(F ′,T) = 1, gibt es ein t ∈ T(F ) mit z(σ) = t−1σ(t) furσ ∈ Gal(F /F ′). Also ist (1−Θ∗)t ·θ∗ = tθ∗t−1 ∈ T(F ′) und stabilisiert das Splittingspl′ = intt(spl) = (B,T, α(t) ·Xα). Dies ist ein F ′–Splitting, weil intt ∈ Gad(F

′).Sei π ∈ OF ein Primelement und F unv/F die maximale unverzweigte Erweiterungin F /F . Offensichtlich ist spl′′ := (B,T, πvalF (α(t))Xα) ein F–Splitting. Man suchtnun ein t2 ∈ Tder(F

unv), so daß θ′′ := t2tθ∗(t2t)

−1 das Splitting spl′′ stabilisiert.Nach dem Ansatz stabilisiert θ′′ das Splitting (B,T, α(t2t) · Xα). Also ist manfertig, wenn t2 fur jedes α ∈ ∆ die Gleichung

α(t2) = πvalF (α(t)) · α(t)−1 ∈ O×F ′

lost. Das geht nach dem nachfolgenden Lemma.

Lemma 4.28. Sei T ⊂ G ein Torus, der uber der endlichen unverzweigten Erwei-terung F ′/F zerfallt. Fur alle α ∈ ∆(G, T ) seien Zahlen xα ∈ O×F ′ gegeben.Dann exisitiert eine endliche unverzweigte Erweiterung F ′′/F ′ und ein t ∈ T (F ′′)c

mit α(t) = xα fur alle α ∈ ∆.

Beweis: Klar ist, daß die xα ein (wohlbestimmtes) Element tad ∈ Tad(F )c definieren.Zu zeigen ist die Existenz von F ′′ und t ∈ T (F ′′)c, so daß tad das Bild von t ist unter

Stark kompakte Elemente in T(F ) ∩ L 71

T → Tad. Nach der topologischen Jordanzerlegung 3.29 kann man sich auf die Falletad residuell halbeinfach bzw. topologisch unipotent reduzieren.Es gibt eine nur von Φ = Φ(G) abhangende Zahl m, so daß die Fundamentalgewichtezu Φ alle in 1

mZ[Φ∨] liegen. (Man kann fur m z.B. das Produkt uber alle Coxeterzah-

len hi fur die irreduziblen Subwurzelsysteme nehmen oder m = 2 · |Z[Φ]∗/Z[Φ∨]|.)Nach Generalannahme (1.1) darf man p - m annehmen. Sei ∆ = αi eine Basisvon Φ und β∨i ∈ Z[Φ]∗ mit 〈αi, β

∨j 〉 = δi,j die Dualbasis zu ∆.

Das Element t1 :=∑|∆|

i=1mβ∨i ⊗ xαi

∈ X∗(T ) ⊗ OF ′ = T (F ′)c hat die Eigenschaft

αi(t) =∏

j x〈αi,mβ∨j 〉αj = xm

αi. Falls alle xα ∈ (1 + pF ′) liegen, ist t1 topologisch uni-

potent. Nach Korollar 3.30 existiert eine (eindeutige) m–te Wurzel t ∈ T (F ′)c:tm = t1, d.h. α(t) = xα fur alle α ∈ ∆.Es bleibt der Fall, daß alle xα im Teichmullerschen Restsystem µF liegen. Danngibt es eine endliche unverzweigte Erweiterung F ′′ mit m–ten Wurzeln yα ∈ µF ′′ derxα = ym

α . Also erfullt t :=∑

imβ∨i ⊗ yαi

∈ X∗(T ) ⊗ OF ′′ = T (F ′′)c die Bedingungα(t) = xα fur alle α ∈ ∆.

Stark kompakte Elemente in T(F ) ∩ L

(4.29) In diesem Abschnitt sei G = 〈L〉 unverzweigt, d.h. quasisplit mit ei-nem unverzweigten Zerfallungskorper F ′ (Γ := Gal(F ′/F ) sei endlich). Weiter seil := |π0(G)|, splG = (B,T, Xα) ein F–Splitting und Θ∗ ∈ Aut(G, splG) sei diegesternte Aktion von L. Sei T := Cent(TΘ∗

, G) = 〈T, θ∗〉 und Tsp der maximaleF–Splittorus in T.

(4.30) L(F ) 6= ∅ =⇒ T(F ) ∩ L 6= ∅, denn sei (B,T) ein geeignetes Θ∗–stabiles,uber F definiertes Paar von G und ϑ ∈ L(F ). Dann gibt es g ∈ G(F ), so daßintϑ(B,T) = intg(B,T). Also gilt dann g−1ϑ ∈ T(F ) ∩ L 6= ∅.

Als nachstes wird die Frage untersucht, wann T(F )∩L kompakte Elemente enthalt.Weil alle F–Paare G(F )–konjugiert sind, hat ein Torus T (bzgl. L), dessen Eins-komponente in einer F–Borelgruppe liegt, genau dann stark kompakte Elemente inT ∩ L, wenn diese Eigenschaft fur alle solchen Tori gilt.

Definition 4.31. Sei l := |π0(G)| und ν die Ordnungsabbildung (aus (4.1)). Sei

Nl : X∗(T) −→ X∗(T)Θ∗x 7−→

l−1∑i=0

Θ∗i(x)

und NLl das folgendes Kompositium:

NLl : T(F ) ∩ L −→ TΘ∗(F )

ν−→ X∗(Tsp)Θ∗

x 7−→ xl 7−→ ν(xl).

72 4. Das Gebaude

Behauptung 4.32. Die Abbildung NLl ist wohldefiniert.

Beweis: Zu zeigen ist, daß xl ∈ TΘ∗(F ). Weil die Abbildung η : x 7→ xl stetig ist, istdas Bild von L(F ) in einer Zusammenhangskomponente enthalten. Weil (T∩L)(F )Elemente der Ordnung l enthalt, ist η(T ∩ L(F ) ⊂ TΘ∗(F ).

Satz 4.33. Sei T und l wie in (4.29). Aquivalent sind:

(a) NLl (T(F ) ∩ L) ⊂ Nl(X∗(Tsp)).

(b) Es gibt stark kompakte Elemente in T(F ) ∩ L.

(c) Es gibt ein stark kompaktes Element θ ∈ T(F )∩L, so daß B(G,F )θ hyperspe-zielle Punkte enthalt.

(d) Es gibt ein stark kompaktes Element θ ∈ L(F ), so daß B(G,F )θ hyperspeziellePunkte enthalt.

Beweis:(a)⇔ (b): Nach Definition ist klar, daß NL

l (T(F )∩L) genau eine volle NebenklasseinX∗(Tsp)

Θ∗/Nl(X∗(Tsp)) = H2(〈Θ∗〉, X∗(Tsp)) ergibt. Genau dann ist x ∈ T(F )∩L

stark kompakt, wenn xl ∈ TΘ∗(F ) stark kompakt ist, d.h. NLl (x) = ν(xl) = 1.

(d) ⇒ (b): Sei B ⊃ T eine F–Borelgruppe und A = A(G,Tsp, F ) das Apartmentzu T in B := B(G,F ). Indem man θ geeignet mit Elementen aus G(F ) konjugiert,kann man o.E.d.A. annehmen, daß ein hyperspezieller Punkt x ∈ A von θ fixiertwird. Weil x hyperspeziell ist, ist zu B genau eine Kammer C ⊂ A mit x ∈ C: Diesist die eindeutig bestimmte Kammer in A, die als Wande alle Hα,−α(x) hat, fur dieα ∈ ∆(B,T). (Die Bezeichnung der Hyperebenen von A ist aus (4.1) oder (1.4)).Gsc(F )x operiert transitiv auf den Kammern des Sterns um x (gebildet in einemApartment, das C und θ(C) enthalt). Daher gibt es ein g ∈ Gsc(F )x, so daßθ1 := g · θ die Kammer C stabilisiert. Weil θ1(A) ein Apartment ist, das C enthalt,gibt es ein b ∈ StabC(Gsc(F )), so daß θ2 := b · θ1 sowohl A als auch C und xstabilisiert. Somit wird T stabilisiert und ebenso die Basis ∆(B) nach der Definitionvon C. Also stabilisiert θ2 ∈ L(F ) das F–Paar (B,T), d.h. θ2 ∈ T(F ) ∩ L.Bei der toplogischen Jordanzerlegung von θ liegt nach Korollar 3.32 der residuellhalbeinfache Anteil in L(F ). Also darf man o.E. θ von endlicher Ordnung p - mannehmen. Dann ist θm

2 = (bgθ)m ∈ G(F )x. Also ist θ2 stark kompakt.

(b) ⇒ (c): Fixiere ein F–Splitting splG, das T enthalt. Sei θ ∈ T(F ) ∩ L starkkompakt. Wahle ein t ∈ Tder(F ) so, daß θ∗ := t−1θ die gesternte Aktion Θ∗ ∈Aut(G, splG) von L bewirkt und auf dem Apartment A ⊂ B zu Tsp so operiert,daß (auch) ein hyperspezieller Punkt fixiert wird. Dann ist intt ∈ Gad(F ) undθl = (tθ∗)l ∈ Tad(F )c. Nach dem nachfolgenden Lemma 4.34 ist t von der Form

intt = t1 ·Θ∗(t1)−1 · t2 mit t1 ∈ Tad(F ), t2 ∈ Tad(F )c.


Sei x ∈ A ein hyperspezieller Θ∗–fixierter Punkt. Also fixiert intθ = intt Θ∗ =intt1t2θ

∗t−11 den Punkt t1x ∈ A. Dies ist ebenfalls ein hyperspezieller Punkt von

A, da die Operation von Gad(F ) ⊂ Aut(G)(F ) nach Tits (4.16) eine OperationΞ ⊂ Aut(∆aff ) bewirkt. Die Diagrammautomorphismen bilden (hyper–) spezielleEcken aber stets in (hyper–) spezielle Ecken ab.

Lemma 4.34.

(a) ν((

(1−Θ∗)T)(F ))

= X∗(Tsp) ∩ (1−Θ∗)V = X∗(T)Γ ∩ (1−Θ∗)V .

(b) Das Urbild von TΘ∗(F )c unter der Normabbildung

Nθ∗ : T(F )→ T(F ) t 7→ (tθ∗)l = t ·Θ∗(t) · · ·Θ∗l−1(t)

ist T(F )c ·((1−Θ∗)T

)(F ).

(c) Falls T = Tsc oder T = Tad (d.h. falls G einfach zusammenhangend oder vomvom adjungierten Typ ist), hat man

((1−Θ∗)T

)(F ) = (1−Θ∗)

(T(F )

).

(d) Das Bild von T(F )c unter Nθ∗ hat endlichen Index in T(F )Θ∗c .

Beweis: Zu a: Die Inklusion ”⊂” ist klar (t ∈((1 − Θ∗)T

)(F ) ⇒ (tθ∗)l = 1 ⇒

Nl(ν(t)) = 0 ⇒ ν(t) ∈ (1−Θ∗)V ).”⊃”: Sei λ ∈ X∗(Tsp)∩(1−Θ∗)V und π ∈ OF ein Primelement. DaH1(〈θ∗〉, X∗(Tsp))endlich ist, gibt es m ∈ N und µ ∈ X∗(Tsp), so daß m · λ = (1 − Θ∗)µ. Dann wirdt := λ(π) = (1−Θ∗)µ( m

√π) ∈

((1−Θ∗)T

)(F ) auf λ abgebildet unter ν.

Zu b: Sei V := X∗(Tsp)⊗ R. Die erste Aussage folgt daraus, daß

T(F )Nθ∗−−−→ T(F )

ν

y yν

X∗(Tsp)Nl−−−→ X∗(Tsp)

kommutiert. Man hat KernNl = X∗(Tsp) ∩ (1 − Θ∗)V und sein Urbild unter derOrdnungsabbildung ν ist T(F )c ·

((1−Θ∗)T

)(F ).

Zu c: Falls T = Tad oder T = Tsc, ist TΘ∗zusammenhangend (vgl. 2.13). Weil der

Torus TΘ∗nach den Voraussetzungen (4.29) dieses Paragraphen uber F ′ zerfallt, hat

man mit Hilbert 90

1 −→ TΘ∗(F ′) −→ T(F ′)

1−Θ∗−−−→

((1−Θ∗)T

)(F ′) −→ 1

und damit die lange exakte Sequenz

1 −→ TΘ∗(F ) −→ T(F )

1−Θ∗−−−→

((1−Θ∗)T

)(F ) −→ H1(Γ,TΘ∗

(F ′)).

74 4. Das Gebaude

Nach Tate–Nakayama ist im Falle T = Tad

H1(Γ,TΘ∗(F ′)) ' H1(Γ, X∗(T)Θ∗

) = H1(Γ,Z[Φ]∗Θ∗)

Z[Φ]∗Θ∗hat eine galoisstabile Z–Basis: Sie besteht aus allen Θ∗–Orbitsummen Sβ∨ =∑

γ∈Iβ∨ der Dualbasis ∆∗ zu ∆∨. Daher hat man nach Shapiro

'⊕

Sβ∨ ,β∨∈∆∗

Hom(Stabβ∨(Γ),Z · Sβ∨) = 1

Analog zeigt man den Fall T = Tsc.

Zu d: Weil p - l kann man nach Korollar 3.30.4 aus jedem topologisch unipotentenElement von T(F )Θ∗

c (eindeutig) l–te Wurzeln ziehen. Daher liegen topologisch uni-potenten Elemente von T(F )Θ∗

c in Bild(NΘ∗(T(F )c)). Sie bilden eine Untergruppevon T(F )Θ∗

c von endlichem Index.

Korollar 4.35. Sei L(F ) 6= ∅ und existiere ein θ∗ ∈ T(F ′)∩L, das ein F–Splittingstabilisiert. Dann

(a) sind alle (vier) Aussagen von Satz 4.33 erfullt.

(b) existiert eine endliche unverzweigte Erweiterung F ′′/F ′ und ein θ′′ ∈ T(F ′′)von endlicher Ordnung, das ein F–Splitting stabilisiert.

Beweis: Zu (a): Der Kozykel z(σ) = θ∗σ(θ∗)−1 ∈ Z(F ′) ist unverzweigt. Weil

T uber F ′ zerfallt, hat man nach Hochschild–Serre H1(F ′/F,T(F ′)) ' H1(F,T).Nach einer relativen Version von Satz 4.25 (fur F ′/F ; mit genau dem dort gegebenenBeweis) folgt aus der Voraussetzung L(F ) 6= ∅, daß z(σ) ∈ Kern[H1(F ′/F, Z(F ′))→H1(F ′/F,T(F ′))]. Fur ein berandendes t ∈ T(F ′) hat man θ := tθ∗ ∈ T(F ) undν(t) ∈ X∗(T)Γ = X∗(Tsp). Nun rechnet man

NLl (θ) = ν((tθ∗)l) =

l−1∑i=0

Θ∗i(ν(t)) ∈ Nl(X∗(Tsp)).

Damit ist das Kriterium 4.33.a erfullt.

Zu (b): Nach Teil (a) gibt es ein stark kompaktes θ = t∗ · θ∗ ∈ T(F ). Wieder mit

Lemma 4.34 schreibt man das Bild t∗ ∈ Tad(F ) von der Form t∗ = t1 · Θ∗(t1)−1 · t2mit t1 ∈ Tad(F ) und t2 ∈ Tad(F )c. Wegen Lemma 4.28 gibt es eine unverzweigteErweiterung F ′′/F ′ und ein t′′ ∈ T(F ′′)c, dessen Bild in Tad genau t−1

2 ist.Sei θ′′ := t′′ · θ. Dann stabilisiert intθ′′ = intt1 Θ∗ intt−1

1 jedes Splitting spl, furdas t−1

1 splt1 von Θ∗ stabilisiert wird.Daß man θ′′ von endlicher Ordnung haben kann, ist ein Standardschluß: (Fur ein zup teilerfremdes Vielfaches m vom l ist θ′′m ∈ Cent(G)θ∗(F ) toplogisch unipotent.Nach Korollar 3.30.4 existiert ein topologisch unipotentes z ∈ Cent(G)θ∗(F ), sodaß z−m = θ′′m. Ersetze θ′′ durch z · θ′′.)


Lemma 4.36. Wenn G unverzweigt und halbeinfach ist, gilt NLl (T(F ) ∩ L) ⊂

Nl(Z[Φ]∗Γ) ∩X∗(Tsp).

Beweis: Sei θ∗ ∈ T(F ) ∩ L von der Ordnung l, so daß Θ∗ := intθ∗ ein F–Splittingstabilisiert. Dann hat jedes ϑ ∈ T(F ) ∩ L eine Zerlegung ϑ = t · θ∗ mit t ∈ T(F ),so daß intt uber F definiert ist. Also ist NL

l (ϑ) = ν(ϑl) = ν(t ·Θ∗(t) · · ·Θ∗(t)l−1) =∑l−1i== Θ∗i(ν(t)) ∈ Nl(Z[Φ]∗).

Korollar 4.37. Falls G vom adjungierten Typ ist, gibt es (immer) stark kompakteElemente in T(F ) ∩ L.

(4.38) Die Struktur von maximal kompakten Untergruppen eines Torus bzgl. Lwird in Ansatzen durch folgenden Satz angedeutet.

Satz 4.39. Sei T ein maximaler F–Torus bzgl. L, der uber der endlichen unver-zweigten Erweiterung F ′/F zerfallt. Vorausgesetzt wird, daß T (F ) ∩ L stark kom-pakte Elemente enthalt. Sei Tsp der maximale Splittorus in T := T und ΘT vonT ∩ L auf T bewirkte Automorphismus.

(a) Die maximal kompakten Untergruppen von T (F ) sind von der Gestalt U =〈T (F )c, ϑ〉, wobei ϑ ∈ T (F ) ∩ L stark kompakt ist (aber sonst beliebig).

(b)U | U ⊂ T (F ) maximale kompakte Untergruppe

/T (F )–Konj. ist ein prin-

zipal homogener Raum unter H1(〈ΘT 〉, X∗(Tsp)).

(c) Je zwei maximale kompakte Untergruppen von T (F ) sind konjugiert uberTad(F

′).

Beweis: Die Aussage (a) ist klar. Nach Wahl eines stark kompakten ϑ ∈ T (F ) ∩ Lsei

νϑ : T (F ) −→ X∗(Tsp) x 7−→ ν(x · ϑ−1).

Sei l = |π0(T )|. Ein Element x = tϑ ∈ T (F ) ∩ L ist genau dann kompakt, wennxl = (tϑ)l = t ·ΘT (t) · · ·Θl−1

T (t) stark kompakt in T (F ) ist, d.h. wenn νϑ(x) ∈ (1−ΘT )V ∩X∗(Tsp), wobei V := X∗(Tsp)⊗R. So erhalt man eine Bijektion der maximalkompakten Untergruppen von T (F ) mit

((1−ΘT )V ∩X∗(Tsp)

)/(1−ΘT )X∗(Tsp) =

H1(〈ΘT 〉, X∗(Tsp)).Nach Shapiro hat man 0 = H1(〈ΘT 〉, X∗(Tad)) =

((1−ΘT )V ∩Z[Φ]∗

)/(1−ΘT )Z[Φ]∗.

Wegen X∗(Tsp) ⊂ X∗(Tad) = Z[Φ]∗ hat man damit (c).

(4.40) Sei ab nun G halbeinfach. Aus 4.33 und 4.36 folgt, daß das Problem, ob inT(F ) ∩ L kompakte Elemente liegen, gemessen wird in(

Nl(Z[Φ(G)]∗Γ) ∩X∗(Tsp))/

Nl(X∗(Tsp)) =: K(G,Θ∗, l).(iv)

Daß diese Gruppe in gewisser Weise effektiv mißt, zeigt die

76 4. Das Gebaude

Behauptung 4.41. Sei eine halbeinfache unverzweigte (zusammenhangende reduk-tive) Gruppe G gegeben, sowie ein F–Splitting splG = (B,T, ·) von G, ein Θ∗ ∈Aut(G, splG) und ein l ∈ N fixiert. Dann gibt es zu jedem Element x ∈ K(G,Θ∗, l)eine uber F definierte Gruppe G = 〈L〉 mit

• π0(G) ' Z/l wird erzeugt von der Zusammenhangskomponente L ⊂ G

• L und Θ∗ haben dasselbe Bild in Out(G).

• G = G

• x ∈ NLl (T(F ) ∩ L) fur einen maximalen Torus T bzgl. L, dessen Einskompo-

nente in einer F–Borelgruppe liegt.

Beweis: Vorbemerkungen:Fixiere eine Θ∗–stabile Kammer C im Appartment A ⊂ B(G,F ) zu T fixiert. Manhat (z.B. nach [Hij79, Appendix 1.2]) einen (Θ∗–aquivarianten) Isomorphismus

Ω(C,A)(Gad(F )) := StabC(Gad(F )) ∩ StabA(Gad(F )) ' Z[Φ]∗/Z[Φ∨] =: π1(Φ),

bei dem einem ω ∈ Norm(T, Gad)(F ) links auf folgende Weise eine Klasse y inπ1(Φ) = π1(Gad) zugeordnet wird: Man kann ω schreiben als ω = n · t mitn ∈ Norm(Tsc, Gsc)(F ) und t ∈ Tsc(F ). Das Bild von ω ist die Klasse vonν(tad) ∈ Z[Φ]∗ in π1(Φ), wobei tad das Bild von t in Tad ist.In allen Wurzelsystemen (mit außeren Automorphismen) teilt ord(ω Θ∗) die Ord-nung von Θ∗ fur alle ω ∈ Ω(C,A)(Gad(F )) und alle Θ∗ ∈ Out(Φ). Das verifiziertman in allen irreduziblen Wurzelsystemen, auf die man den allgemeinen Fall schnellreduziert.

Eigentlicher Beweis: Nach Annahme existiert ein y ∈ π1(Φ) mit Nl(y) = x. Seiω ∈ Ω(C,A)(Gad(F )) das Bild von y. Dann ist ω Θ∗ ein F–Automorphismus vonendlicher Ordnung und zwar hat man (nach der Vorbemerkung) ord(ω Θ∗) | l.Daher kann man G := G o 〈θ〉 bilden, wobei ord(θ) = l, intθ|G = ω Θ∗ und dieF–Struktur von G so auf G ausgedehnt wird, daß θ ∈ G(F ). Mit der Zerlegungω = n · t aus der Vorbemerkung hat man tθ ∈ T(F ) (wobei hier t ∈ T(F ) und nichtTsc aufgefaßt wird). Man rechnet

NLl (tθ) = ν((tθ)l) =

l−1∑i=0

Θ∗i(ν(t)) = Nl(y) = x.

(4.42) Beispiel: Die irreduziblen Falle: Falls Φ(G) ein irreduzibles Wurzelsy-stem ist, hat man K(G,Θ∗, l) 6= 1 genau dann, wenn (G,Γ,Θ∗, π0(G), π1(G)) in denfolgenden Listen vorkommt:

Fixpunkte von anisotropen unverzweigten Tori 77

Fall 1: G zerfallt uber F , d.h. Γ = 1, und das Bild Θ∗ ∈ Out(G) von L ist nichttrivial.

Φ(G) ordΘ∗ l = |π0(G)| π1(G) CG,Θ∗,l

A2n−1 2 l gerade |π1(G)| < 2n ist eine reine 2–Potenz Z/2D2n−1 2 l gerade π1(G) 6' Z/4 Z/2D2n 2 l ≡ 2( mod 4) π1(G) ist Θ∗–stabil und |π1(G)| = 2 Z/2D2n 2 4 | l π1(G) ist Θ∗–stabil und |π1(G)| ∈ 1, 2 Z/2

Fall 2: Das Bild Θ∗ ∈ Out(G) von L ist trivial und G ist weiterhin split: Γ = 1.

Φ(G) l = |π0(G)| π1(G) CG,Θ∗,l

An l ∈ kZ fur ein k | n π1(G) ' Z/nk

Z/kBn l gerade π1(G) = 1 Z/2Cn l gerade π1(G) = 1 Z/2

D2n l geradeπ1(G) = Z/2π1(G) = 1

Z/2(Z/2)2

D2n−1l ≡ 2( mod 4)

4 | l π1(G) 6' Z/4 Z/2Z/4

E6 3 | l π1(G) = 1 Z/3E7 l gerade π1(G) = 1 Z/2

Fall 3: Sowohl Γ als auch Θ∗ sind nicht trivial. Weil sie miteinander vertauschen(und G quasisplit ist), hat man hier 〈Θ∗〉 = Γ. (Insbesondere im Fall D4!)

Φ(G) ordΘ∗ = |Γ| l = |π0(G)| π1(G) CG,Θ∗,l

A2n−1 2 l gerade π1(G) = 1 Z/2Dn 2 l gerade π1(G) = 1 Z/2

Fixpunkte von anisotropen unverzweigten Tori

(4.43) Sei G = 〈L〉 in diesem Abschnitt unverzweigt. Gegeben sei ein maximaler,uber F definierter Torus T ⊂ G bzgl. L, der uber einer unverzweigten ErweiterungF ′ von F zerfallt.

Bezeichne B′ := B(G,F ′) das Gebaude zu G(F ′), B = B(G,F ) das Gebaude zuG(F ) und Γ = Gal(F ′/F ).

Satz 4.44 (Weissauer [W]). Sei G, T und F ′ wie in (4.43) und Θ∗ ∈ Aut(G)die gesternte Aktion von L bzgl. eines F–Splittings. Ferner sei ein hyperspeziellerΘ∗–stabiler Punkt x ∈ B(G,F ) gegeben.Dann gibt es ein g ∈ GΘ∗

sc (F ′)x, so daß T ′ := (intg)(T) ein (Θ∗–stabiler) F–Torusist, der schwach stabil G(F ′)–konjugiert ist zu T .

78 4. Das Gebaude

Beweis: Sei weiterhin B = B(G(F ), F ) und R′ := OF ′ , R := OF . Wahle einΘ∗–stabiles F–Paar (B,T), so daß x ∈ A ⊂ B im Apartment zu Tsp liegt. SeiT = Cent(TΘ∗

, G).

Sei y := i−1Θ∗(x) das Urbild von x unter der Abbildung iΘ∗ : B(GΘ∗, F )

1−1−−→B(G,F )Θ∗

aus Satz 4.21. Nach 4.21.b ist y hyperspeziell im Gebaude B(GΘ∗, F )der unverzweigten Gruppe GΘ∗.Nach (3.23) werden die schwach stabilen Konjugationsklassen (in der G(F ′)-Konju-gationsklasse von T) parametrisiert durch (eine Untergruppe von) H1(Γ,W (T)Θ∗

).Es wird daher ein F–Subtorus T ′ von G konstruiert werden, so daß die G(F )-Klassen[T ′] und [T ] dasselbe Bild wσ in H1(Γ,W (T)Θ∗

) haben.

Die Konstruktion geschieht mit Descent–Theorie, wie sie etwa in [Wa79, 17.1–17.3] oder in [BLR80, 6.2 Example B] beschrieben wird.Sei F das glatte affine zusammmenhangende OF –Gruppenschema mit generischerFaser (GΘ∗)sc, das Tits zur speziellen Ecke y ∈ BΘ∗

assoziiert (vgl. Satz 4.5) und seiT das abgeschlossene R′–Untergruppenschema von F ×R R

′ mit generischer FaserCent(T) = TΘ∗

aus 4.5.b. Weil y hyperspeziell ist, hat man W ⊂ (GΘ∗)sc(F′)y =

F(R′). Nach 4.13 ist H1(Γ,F(R′)) = 1. Daher existiert ein g ∈ F(R′), so daß

H1(Γ,WΘ∗) −→ H1(Γ,F(R′)Θ∗

)[σ 7→ wσ] 7−→ [σ 7→ g−1σ(g)]

Mit Galoistheorie hat man einen Isomorphismus (von R–Moduln) R′⊗RR′ ∼−→

∏ΓR′

und damit R′[T ] ⊗R R′ '∏

ΓR′[T ], f ⊗ r 7→ (σ(r) · fσ)σ∈Γ. Das Descentdatum

R′[T ]⊗R R′ → R′[T ]⊗R R

′ ubersetzt sich mit Hilfe dieses Isomorphismus zu einemDescentdatum

ϑ :∏Γ

R′[T ] −→∏Γ

R′[T ].

Eine solche (bijektive) Abbildung ist genau dann ein Descentdatum, wenn sie gege-ben ist durch ein System von R–linearen Automorphismen ϑσ : R′[T ] → R′[T ] mitϑσ ϑτ = ϑστ und ϑσ(r · f) = σ(r) · ϑσ(f) fur alle σ, τ ∈ Γ, r ∈ R′, f ∈ R′[T ].Wegen der Kozykeleigenschaft von wσ, erhalt man aus dem Descentdatum ϑ fur dasSchema T ein zweites Descentdatum ϑ′ durch ϑ′σ := ϑσ (intwσ)∗. Damit steigt dasabgeschlossene Untergruppenschema intg(T ) =: T ′ von F nach R ab. Projeziereseine generische Faser nach GΘ∗. Sie bildet dort einen maximalen Torus T ′′ (deruber F definiert ist). Weil T ′′ stark regulare Elemente enthalt (nach Lemma 3.2),ist T ′ := Cent(T ′′, G) der angekundigte Torus.

(4.45) Definition des Punktes x(U) ∈ B:Sei T wie in (4.43) aber zudem anisotrop und T (F ) ∩ L enthalte stark kompakteElemente. Sei U eine maximal kompakte Untergruppe von T (F ). (Weil T (F ) ∩ Lstark kompakte Elemente enthalt, gibt es auch ϑ ∈ U ∩L. Vgl. die Strukturaussage4.39.)Weil T uber F ′ zerfallt, gibt es in B′ ein Apartment A′ zu T : Es ist nach Fakt 4.10

Fixpunkte von anisotropen unverzweigten Tori 79

die Fixpunktmenge von T (F ′)c in B′. Weil T sowohl Γ– als auch ΘT := intϑ–stabilist, ist A′ dies auch. Die Aktionen von Γ und ΘT vertauschen. Die Anisotropie vonT impliziert, daß x(U) := A′〈ΘT ,Γ〉 = BU ein Punkt ist.

80 4. Das Gebaude

81

5 Die Transferfaktoren

Endoskopie und Matching von halbeinfachen Elementen

In diesem Kapitel wird die Definition der Transferfaktoren nach Kottwitz undShelstad [KS99] gegeben. Dabei werden die meisten Bezeichnungen von [KS99]ubernommen.

(5.1) Voraussetzungen: Ab jetzt wird fur die ganze Arbeit ein Tripel (G, θ, a)vorgegeben. Dabei ist G die Einszusammenhangskomponente einer reduktiven, ubereinem p–adischen Korper F definierten Gruppe G, die von θ ∈ G(F ) und G erzeugtwird. Ferner ist a ∈ H1(WF ,Cent(G)) und L die Zusammenhangskomponente vonθ in G.Eigentlich reicht es fur diese Arbeit aus nur (L, a) vorzugeben. Man fordert dann,daß L uber F definiert ist, Zusammenhangskomponente einer reduktiven Gruppeist und L(F ) 6= ∅.

(5.2) Wahl von θ∗: Im Folgenden ist mit Ausnahme von Definition 5.9 im-mer ein θ∗ ∈ L(F ) gewahlt, das ein F–Splitting stabilisiert. Dann ist der F–Automorphismus Θ∗ = intθ∗ die gesternte Aktion von L aus (1.8) (bezuglich diesesF–Splittings von G). Sei

z∗(σ) := θ∗σ(θ∗)−1 ∈ Z1(F,Cent(G))

Sein Bild in H1(F,Cent(G)θ) ist das von γ(L) aus (4.24). Es hangt nicht von derWahl von θ∗ ab, wie dort gezeigt wurde.Wenn man ein θ ∈ L(F ) gewahlt hat, kann man verlangen, daß θ∗ = gθθ mitgθ ∈ Gder(F ). Dann ist z∗(σ) = gθσ(gθ)

−1 ∈ Cent(Gder).

Dual zur Operation von θ∗ bzw. L auf dem Wurzeldatum Ψ(G) = Ψ(G)∨ hat mandie GWF –Konjugationsklasse eines θ ∈ Aut(G), das ein WF –invariantes Splittingvon G stabilisiert. (Nach [K84, Corollary 1.7] sind zwei WF –invariante Splittingsvon G konjugiert uber GWF .)

(5.3) Definiton der endoskopischen Gruppe:In [KS99, (2.1)] wird definiert, was ein endoskopisches Datum (H,H, s, ξ) zu demTripel (G, θ, a) ist. Im Einzelnen gilt dabei:

(5.3.1) H ist eine zusammenhangende reduktive Gruppe, quasisplit und uber Fdefiniert.

(5.3.2) H ist eine Splitextension der Weilgruppe WF durch H, so daß die durchdie Extension bestimmte Abbildung ρH : WF → Out(H) ubereinstimmt mitder, die von der L–Aktion ρH auf H herkommt (vgl. (1.10)).

(5.3.3) s ∈ G und ints θ =: sθ ist fast halbeinfach. (Vgl. 3.3.)

82 5. Die Transferfaktoren

(5.3.4) ξ : H → LG ist ein L–Homomorphismus mit den Eigenschaften:

• ξ|H : H∼−→ Cent(sθ, G)

Def= Gsθ

• Sei mξ ∈ Z1(WF , G) definiert durch ξ(w) = mξ(w) o w ∈ LG fur allew ∈ WF . Dann gilt

s ·(θ(mξ(w)) o w

)· s−1 = a′(w) ·mξ(w) o w,

wobei a′ ein 1–Kozykel in der Klasse von a ∈ H1(WF ,Cent(G)) ist.

Die Gruppe H wird in einer solchen Situation endoskopische Gruppe von G genannt.Ein Isomorphismus zweier endoskopischer Daten (H,H, s, ξ) und (H ′,H′, s′, ξ′) istein Element g ∈ G mit

gξ(H)g−1 = ξ′(H′) und gsθ(g)−1 ∈ s′ · Cent(G).

Satz 5.4. Sei H eine endoskopische Gruppe zu (G, θ, a). Dann gibt es eine kano-nische Abbildung AH/L von den halbeinfachen H(F )–Konjugationsklassen in H(F )zu den G(F )–Konjugationsklassen fast halbeinfacher Elemente in L(F ). Sie bil-det stark regulare Elemente in H auf stark regulare Elemente in G ab. Fallsz∗(σ) ∈ (1−θ∗) Cent(Gsc), respektiert sie die Operation der Galoisgruppe Gal(F /F ).

Beweis: [KS99, 3.3.A bis C.]

(5.5) Konstruktion von AH/L und ”vereinfachende” Konventionen:Bei der bezeichnungsintensiven Konstruktion von AH/L treffen [KS99] geschickteWahlen. (Vgl. [KS99, (1.2), Beweis von 3.3.A, 3.3.B, (4.1)].) Ausgehend von(G, θ, a), wie in (5.1) gegeben, einer endoskopischen Gruppe H und einem ma-ximalen, uber F definierten Torus TH von H, kann man ein ebenfalls gegebenesendoskopisches Datum (H,H, s, ξ) isomorph so abandern, daß Folgendes gilt:

• splG = (B, T , X) bzw. splH = (BH , THXH) sind Splittings von G bzw. H,

stabil unter der jeweiligen Aktion von WF und splG zudem noch θ–invariant.

• s ∈ T , ξ(TH) = T θ, ξ(BH) ⊂ B und ξ sei auf H die Identitat.

• In [KS99, Lemma 3.3.B] wird gezeigt, daß man zu jeder Wahl einer F–Borelgruppe BH ⊃ TH einen θ∗–stabilen maximalen F–Torus T und eine (F–)Borelgruppe B ⊃ T von G finden kann, so daß nach Identifikationen TH ' TH

und T ' T in der Abbildungsfolge

TH ' THξ−→ (T θ) ' (Tθ∗)

∧

zum einen die Galoisoperationen von rechts– und linksaußen aufeinandergehenund zum anderen die positiven (Ko–) Wurzeln auf positive (Ko–) Wurzeln

Endoskopie und Matching von halbeinfachen Elementen 83

abgebildet werden. (Deswegen ist jetzt jedem Torus genau eine Borelgruppezugewiesen worden.)Ein zu einer solchen Abbildungskette dualer Isomorphismus TH

∼→ Tθ∗ wirdzulassige Einbettung genannt. D.h. dies ist ein Isomorphimus von TH aufein geeignetes Tθ∗ = T/(1 − θ∗)T , der uber F definiert ist und fur geeignetePositivbereiche positive (Ko–) Wurzeln auf positive (Ko–) Wurzeln abbildet.

Die Existenz einer zulassigen Einbettung beweisen [KS99], indem sie mit Hilfe desSatzes von Steinberg uber rationale Punkte in Gal(F /F )–stabilen Konjugations-klassen in Gsc das Paar (B, T ) geschickt konjugieren. Danach kann man AH/L mitHilfe von (3.8) beschreiben: Jede Konjugationsklasse in H(F ) schneidet TH in einemW (TH , H)–Orbit. Ebenso schneidet jede G(F )–Konjugationsklasse in L∗ Tθ∗ in ei-nem W (T,G)θ∗-Orbit. Nach den Vereinbarungen oben hat man aber eine SurjektionTH/W (TH , H)→ Tθ∗/W (T,G)θ∗ .

(5.6) In [KS99, 5.1] wird gezeigt, daß Cent(G)θ∗ naturlich und uber F in Cent(H)eingebettet ist, so daß bei jeder zulassigen Einbettung

Tθ∗// TH

Cent(G)θ//

?

OO

Cent(H)?

OO

kommutiert. (Alle Abbildungen sind uber F .) Dadurch werde ab jetzt Cent(G)θ mitseinem Bild in Cent(H) identifiziert. Insbesondere definiert z∗(σ) ∈ Z1(F,Cent(G))einen 1–Kozykel z∗H(σ) ∈ Z1(F,Cent(H)) und γ(L) aus (4.24) eine Klasse γH(L) ∈H1(F,Cent(H)).

Definition 5.7. Die zulassige Einbettung TH → Tθ∗ aus (5.5) wird benutzt, umΦ(TH , H) mit einem Subsystem von Φ(T,G)I = PI(Φ(T,G)) zu identifizieren. (DieGaloisaktion wird dabei respektiert.) Man sagt, eine Wurzel Φ(G)I komme von Hher, falls sie bei dieser Identifikation in Φ(H) liegt.

(5.8) Nach den Festlegungen in (5.5) bilden sowohl ξ(w) = mξ(w) o w als

auch die WF –Operation von LG das Bild ξ(TH) = T θ auf sich ab. Daher ist

mξ(w) ∈ Norm(T θ, G) = T · Norm(T θ, Gθ) nach Behauptung 3.5. Man hat also

eine Zerlegung ξ(w) = tξ(w) · nξ(w) o w mit tξ(w) ∈ T und nξ(w) ∈ Gθder. Die

Eigenschaft (5.3.4) bedeutet fur den 1–Kozykel mξ gerade

sint(mξ(w)ow) = a′(w)−1 · s · θ(tξ) · t−1ξ fur alle w ∈ WF

Definition 5.9 (Norm–Image). Ein stark regulares γ ∈ H(F ) heißt Norm–Imagevon δ ∈ L(F ), wenn folgende aquivalente Aussagen erfullt sind

• δ liegt in der G(F )–Konjugationsklasse AH/L(γ) ⊂ L.


• Es gibt ein Matching γ ↔ δ.

Mit einem Matching γ ↔ δ ist also folgende Situation gemeint: Es gibt

(1) einen Vertreter θ∗ ∈ L(F ) fur die gesternte Aktion von θ (bzw. L) bezuglicheines F–Splittings.

(2) einen zulassigen (d.h. uber F definierten) Isomorphismus η : TH∼−→ Tθ∗,

wobei TH := Cent(γ,H) und T ein geeigneter θ∗–stabiler F–Torus ist undTθ∗ = T/(1− θ∗)T dessen Koinvarianten.

(3) t∗ ∈ T (F )(4) g ∈ Gsc(F )

mit den Eigenschaften

(5) γ 7→ Pθ∗(t∗) unter η : TH(F )

∼−→ Tθ∗(F )(6) gδg−1 = t∗ · θ∗ =: δ∗ ∈ T .(7) intg : Cent(δ,G)

∼−→ T θ∗ ist uber F definiert, d.h. g · σ(g)−1 ∈ T (F ) fur alleσ ∈ Gal(F/F ). Ein dritte aquivalente Formulierung ist: intg : TG

∼−→ T istuber F definiert, wobei TG := Cent(Gδ, G).

(5.10) Falls γ ∈ H(F ) Norm–Image eines Element aus L(F ) ist, liegt der Kozykelγ−1σ(γ) in der Klasse γH(L) ∈ H1(F,Cent(H)), die in (5.6) definiert wurde als dasBild von γ(L) aus (4.24) (oder gleichbedeutend das von z∗(σ)) unter Cent(G) Cent(G)θ → Cent(H).

Definition 5.11. Ein stark regulares γ ∈ H(F ) wird z∗H(σ)–Norm–Image vonδ ∈ G(F ) genannt, wenn es ein Matching γ ↔ δ gibt wie in 5.9 und (∂γ)(σ) :=γ−1σ(γ) = z∗H(σ).

Eigenschaften von Matchings

(5.12) Wenn TG uber der Erweiterung E/F zerfallt, kann man das Matching sofuhren, daß g ∈ Gsc(E).Beweis: Es gibt auf jeden Fall ein h ∈ Gsc(E), so daß T = hTGh

−1 der vermit-telnde Torus (aus (5.9.2)) des Matchings ist. Sei hδh−1 =: δ0 =: t0θ

∗. Nach (3.8)existiert ein w ∈ W (T )θ∗ mit t0 ≡ w(t∗) mod (1 − θ∗)T . Weil T uber E zerfallt,ist Norm(T , G)(E) −→ W θ∗ surjektiv. Man andere also h ∈ Gsc(E) so ab, daßPθ∗(t0) = Pθ∗(t

∗). Dann exisiert t ∈ T(F ) mit δ∗ = tt0θ∗t−1 = thg−1δ∗gh−1t−1. Weil

δ∗ stark regular ist, hat man hg−1 ∈ T (F ), d.h. hσ(h)−1 ∈ T (F ). Somit kann mandas Matching uber η, T , h, t0 fuhren (statt uber η, T , g, t∗).

(5.13) Seien θ∗, θ′ ∈ L(F ) beide F–Splitting stabilisierend. Dann gibt es h ∈Gsc(F ) und z ∈ Cent(G), so daß inth ∈ Gad(F ) und θ′ = zhθ∗h−1. (Denn je zweiF–Splittings sind Gad(F )–konjugiert und ein Splitting legt den ihn stabilisierenden

Eigenschaften von Matchings 85

Vertreter in L bis auf einen zentralen Faktor fest.)Falls es ein Matching γ ↔ δ unter Benutzung von θ∗ (in 5.9.1) gibt, existiert auchein Matching (η−1 Pθ∗)(z)

−1γ ↔ δ, in dem θ′ der Automorphismus ist. (Dabei istη−1 Pθ∗ : Cent(G)→ Cent(H) die naturliche Abbildung aus (5.6).)Denn man kann die Daten aus 5.9 ersetzen durch

(1) θ′ = zhθ∗h−1

(2) T ′ := hTh−1 ist ein θ′–stabiler F–Torus und inth η : THη−→ Tθ∗

inth−−→ T ′θ′ istzulassig (und wohldefiniert), denn inth induziert den rechten F–Isomorphismuswegen

T ′θ′−−−→ T ′

inth

x xinth

Tθ∗−−−→ T

(3) t′ := ht∗h−1z−1 ∈ T ′(F )(4) g′ = hg ∈ Gsc(F )

Behauptung 5.14. Wenn T und T ′ beide θ∗–stabile F–Tori sind und η′ : TH → T ′θ∗sowie η aus 5.9.2 beide zulassige Isomorphismen sind, dann sind T θ∗ und T ′θ

∗ stabilkonjugiert in Gθ∗.Wenn man das Matching γ ↔ δ uber η′ fuhren kann, gibt es sogar ein h ∈ Gθ∗

sc (F ),so daß η′ = inth η.Beweis: Man erhalt einen F–Isomorphismus, wenn man die beiden zulassigen Ab-bildungen und Normabbildungen Nθ∗ : t 7→ t · θ∗(t) · · · θ∗l−1(t) auf beide Fixtorikombiniert zu

T ′θ∗ Nθ∗←−−− T ′θ∗

η′←−−− THη−−−→ Tθ∗

Nθ∗−−−→ T θ∗.

Daher sind die beiden außeren Tori stabil konjugiert in Gθ∗ nach der Charakteri-sierung in (3.23) (fur den ungetwisteten Fall).

Seien θ∗, T ′, η′, g′, δ∗′, t∗′ die Daten fur die zweite Realisierung des Matchingsγ ↔ δ. Weil δ∗′ = g′g−1δ∗gg′−1 und δ∗ konjugiert sind (in G(F )), liegen nach(3.8) Pθ∗(t

∗) = η(γ) und Pθ∗(h−1t∗′h) = (inth−1 η′)(γ) in einem W θ∗–Orbit von

Tθ∗ , wobei h ∈ Gθ∗sc (F ) einen F–Isomorphismus inth : T → T ′ bewirkt. Weil γ

bzw. δ stark regular sind, folgt inth−1 η′ η−1 ∈ W 〈θ∗,Gal(F /F )〉. Indem man h umeinen (θ∗–invarianten) Vertreter dieses Elements der Weylgruppe abandert, hat manη′ = inth′ η.Behauptung 5.15. Sei δ ∈ L(F ) stark regular, TG := Cent(Gδ, G) der maximaleTorus zu δ und E/F eine endliche Galoiserweiterung, die TG zerfallt. Die G(F )–Konjugationsklassen der Elemente δ ∈ L(F ), die ein vorgegebenes γ ∈ H(F ) zumNorm–Image haben, werden parametrisiert durch

Kern

[H1(Γ, TG(E)

1−ΘTG−−−−→((1−ΘTG

)TG

)(E))−→ H1

(Γ, G(E)

)].


Dabei ist (wieder) Γ := Gal(E/F ), TG := T G und ΘTG:= intδ auf TG.

Beweis: Fur das Matching γ ↔ δ werden wieder θ∗, T , η, g, δ∗, t∗ in ihren Eigen-schaften aus Definition 5.9 benutzt.Sei zuerst ein zweites Matching γ ↔ δ′ gegeben. Dieses Matching werde gefuhrtuber θ∗, T , g′, δ′∗, t′∗. Daß man dieselben θ∗ und T fur beide Matchings benutzendarf, wurde in (5.13) und (5.14) bemerkt. Nach (5.12) darf man g, g′ ∈ Gsc(E)annehmen!Daß γ zugleich Norm–Image von δ und δ′ ist, bedeutet, daß δ∗ und δ′∗ konjugiert sindin T . Also existiert ein t ∈ TG(F ), so daß δ′∗ = gtg−1δ∗gt−1g−1 = gtδt−1g−1. Mith := g′−1g ∈ G(E) hat man also δ′ = htδt−1h−1. Klarerweise ist h−1σ(h) ∈ TG und

(1−ΘTG)t = tδt−1δ−1 = h−1δ′hδ−1 ∈ TG(E). Daraus folgt (ht)−1σ(ht) ∈ Gδ = T

ΘTGG

fur alle σ ∈ Γ. Daher hat man

1 = (1−ΘTG)(t−1h−1σ(h)σ(t)

)= (1−ΘTG

)(h−1σ(h)

)· (1− σ)

((1−ΘTG

)(t−1))

Also ist(h−1σ(h), (1−ΘTG

)(t−1))∈ Z1

(Γ, TG(E)

1−ΘTG−−−−→((1−ΘTG

)TG

)(E)).(i)

Fur die andere Richtung sei neben dem Matching γ ↔ δ ein h ∈ G(E) und t ∈ TG(F )gegeben, so daß (i) gilt. Dann rechnet man nach, daß δ′ := htδ(ht)−1 ∈ G(F )und γ ↔ δ′ ein Matching ist. (Es wird gefuhrt uber θ∗, T , gh−1, int(gtg−1)δ∗,t∗ · (1− θ∗)(gtg−1), in den Bezeichnungen fur γ ↔ δ oben.)

Indem man zu zwei stark regularen Elementen δ, δ′ ∈ L(F ), die ein gemeinsamesElement γ zum Norm–Image haben, die Bizentralisatoren Cent(Gδ), G) = T bzw.Cent(Gδ′), G) = T ′ bildet, erhalt man aus Behauptung 5.15 das

Korollar 5.16. Wenn zwei maximale Tori T und T ′ (bzw. zwei maximale kompakteUntergruppen U1, U2 von F–ratiionale Punkten zweier maximaler Tori), die uberuber F ′ zerfallen, jeweils stark regulare Elemente enthalten, die beide dasselbe γ ∈H(F ) als Norm–Image haben, dann sind T und T ′ (bz. U1 und U2) halbstabil G(F ′)–konjugiert.

Fundamentale Annahmen

(5.17) In dieser Arbeit wird G und die endoskopische Gruppe H (aus (5.1) bzw.(5.3)) nicht von der allgemeinsten Gestalt in [KS99] benotigt. Es werden folgendevereinfachende Annahmen gemacht:

(1) Der Korper F ist p–adisch.

Fundamentale Annahmen 87

(2) G = G ist unverzweigt, d.h. quasisplit und zerfallt uber einer endlichen un-verzweigten Erweiterung F ′ von F . Als innere Form G∗ mit F–Borelgruppe zuG wird G = G∗ benutzt und der innere Twist ψ : G → G∗ in [KS99] sei dieIdentitat.

(3) θ ∈ L(F ) ist stark kompakt und es gibt ein θ∗ ∈ L(F ′) von endlicher Ordnung,so daß intθ∗ ein F–Splitting von G stabilisiert. Dabei ist L eine Zusammen-hangskomponente, die G erzeugt. Zudem sei π0(G) ' Z/l, wobei p - l.Nach 4.35 und der Jordanzerlegung 3.32 folgt daraus, daß es ein residuell halb-einfaches θ′ ∈ L(F ) gibt, das einen hyperspeziellen Punkt im Gebaude B(G,F )fixiert.

(4) a ∈ H1(WF ,Cent(G)) ist unverzweigt, genauer gesagt sogar Inflation ausH1(Gal(F ′/F ),Cent(G)). Der assoziierte Charakter ω von G(F ) sei unitar.

(5) Die endoskopische Gruppe H ist ebenfalls unverzweigt und H = LH.

(6) Der durch die Einbettung ξ : H → LG w 7→ mξ(w) o w definierte 1–Kozykel

ist Inflation von mξ(σ) ∈ Z1(Gal(F ′/F ), G).

(7) Die Restklassencharakteristik p von F ist groß, jedenfalls großer als der (ab-solute) Verzweigungsindex eG von G, der folgendermaßen definiert ist: Zu denendlich vielen Konjugationsklassen von maximalen F–Tori bestimme jeweilsden minimalen Verzweigungsindex e(E/Qp) unter allen Zerfallungskorpern E.Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist eG.

(5.18) Begrundung dieser Annahmen: In diesem Abschnitt sei ausnahmsweiseF ein globaler Korper. (Die Lokalisierungen an der Stelle ν werden mit Fν , Gν , ...bezeichnet.)

Die Annahmen (5.17) resultieren daraus, daß man sich in dieser Arbeit fur fast alleStellen einer globalen Situation interessiert, und zwar:Gegeben seien (G, θ, a), das sind eine uber einem Zahlkorper F definierte zu-sammenhangende reduktiven Gruppe G, ein F–Automorphismus θ von G unda ∈ H1(WF ,Cent(G)), der vorgegeben ist bis auf lokal triviale Kohomologieklas-sen. Von θ wird zusatzlich angenommen, daß das Bild von θ endliche Ordnung inOut(G) hat, d.h. die Einschrankung von θ auf das Zentrum von G hat endliche Ord-nung. Das ist eine (unwesentliche?) Einschrankung der globalen Situation! Weitersei ein globales endoskopisches Datum (H,H, s, ξ) gegeben. Dies ist (nach [KS99,(2.1)]) verbatim so definiert wie in (5.3) mit einer Ausnahme: Fur a′ in (5.3.4) wirdnur lokale Aquivalenz zu a gefordert.

Sei ψ : G∼−→ G∗ ein innerer Twist zur quasisplit Form G∗. Wahle (und fixiere) ein

F–Splitting splG∗ von G∗ und einen Automorphismus θ∗ ∈ Aut(G∗, splG∗), der inOut(G) dasselbe Bild hat wie ψ θ ψ−1.


Zu (2): Durch ψ : G → G∗ ist ein 1–Kozykel ψσ(ψ)−1 ∈ Z1(F,G∗ad) definiert, der(nach dem ublichen Standardschluß) an fast allen Stellen zerfallt, d.h. fur fast alleStellen ν gibt es ein gν ∈ G∗sc,ν , so daß intgν ψν : Gν

∼−→ G∗ν uber Fν definiert ist.Damit kann man fast uberall Gν uber Fν mit G∗ν identifizieren.Da ein globaler Zerfallungskorper von G∗ an fast allen Stellen unverzweigt ist, darfman Gν und Hν fast uberall unverzweigt annehmen.

Zu (6): Die Kozykel a und mξ in (5.17) sind ebenfalls Lokalisierungen von globalenKozykeln an geeigneten Stellen. Daß man sie als Inflationen auffaßen kann, wirdz.B. fur mξ in 5.53 gezeigt werden.

Zu (5): Daß man unter den bisher diskutierten Annahmen H = LH annehmen darf,wird in Korollar 5.55 gezeigt werden.

Zu (3): Zunachst benutzt man das (technische)

Lemma 5.19. An fast allen Stellen ν gibt eine (geeignete) endliche unverzweigteErweiterung F ′ν/Fν und ein θν∗ ∈ Lν(Fν), das die gesternte Aktion von Lν bzgl.eines (geeigneten) Fν–Splittings spl von Gν = G∗ν bewirkt, so daß

zspl(σ)Def= θν∗σ(θν∗)−1 ∈ Z1(F ′ν , Z)

(Das zspl ist die Restriktion des in (5.1) lokalen Kozykels auf Gal(Fν/F′ν).)

Beweis: Wenn ν gut im Sinne von (2) ist und die F ′ν/Fν genugend groß ist, hat manid = ψνσ(ψν)

−1 = int(g−1ν σ(gν)) fur alle σ ∈ Gal(Fν/F

′ν). Dabei ist gν ∈ Gν(Fν)das aus der Begrundung von (2). Also liegt das Bild von gν in Gad(F

′ν).Wahle ein (globales) gθ ∈ G∗sc(F ), so daß θ∗ := intgθ ψ θ ψ−1 ein F–SplittingsplG∗ von G∗ stabilisiert. Nachdem man eventuell endlich viele Stellen ausschließtund F ′ν/Fν nochmals (unverzweigt) vergroßert, darf man gθ ∈ G∗sc(F ′ν) annehmen.Fur fast alle ν gilt

θ∗ν = int(gθ)ν ψν θψ−1ν = int

(θ∗(gν) · (gθ)ν ·g−1

ν

)(intgν ψν

)θν

(intgν ψν

)−1

Weil Gν und G∗ν uber intgν ψν identifiziert wurden (s.o), ist θν∗ := θ∗(gν) · (gθ)ν ·g−1

ν · θν ein Vertreter fur die gesternte Aktion von Lν bzgl. splG∗,ν . Daher gilt furσ ∈ Gal(Fν/F

′ν)

zsplG∗,ν(σ) =θν∗σ(θν∗)−1 = θ∗(gν) · (gθ)ν · g−1

ν · σ(gν)︸︷︷︸∈Z

·(gθ)−1ν · σ(θ∗(gν)

−1)

=(1− θ∗)(g−1

ν σ(gν))∈ (1− θ)Z.

Die Annahme, daß ein geeignetes θ∗ ∈ L(F ′) ein F–Splitting fixiere, folgt nachdiesem Lemma mit Behauptung 4.27. Das man θ∗ von endlicher Ordung annehmendarf, folgt aus Korollar (4.35) nach eventueller unverzweigter Erweiterung von F ′ν

Fundamentale Annahmen 89

sobald man in L(Fν) stark kompakte Elemente hat. Das dies fast uberall geht, sollals nachstes gezeigt werden.

An fast allen Stellen ist der globale innere Automorphismus θl ∈ Gad(F ) starkkompakt. Daher ist auch θZ

ν beschrankt fur fast alle ν, d.h. θν ist stark kompaktnach (3.28). Weil H1(F, κ(G)) endlich mit zu p teilerfremder Ordnung angenommenwerden darf, gibt es ein l1 ∈ N\pN, so daß θl1

ν ∈ Bild[G(Fν) → Gad(Fν)]. Dadieser Homomorphismus in tJZp verlauft, gibt es ein stark kompaktes g ∈ G(Fν)

θν

mit intg = θl1ν . Indem man l1 (gegebenfalls) prim zu p vergroßert, kann man g

topologisch unipotent in G(Fν)θν annehmen. Weil p - l1, gibt es nach Korollar

3.30.4 ein topologisch unipotentes u ∈ G(Fν)θν mit ul1 = g−1. Dann ist θ′ := intuθ

von endlicher Ordnung und man kann G := Gν o 〈θ′〉 definieren, versehen mit einerGaloisstruktur, durch die θ′ ∈ G(Fν). Dadurch gibt es einen Vertreter u−1θ′ ∈G(Fν), der auf Gν den Ausgangsautomorphismus θν bewirkt.

Man darf aber nicht erwarten, daß die Ordnung von π0(G) gleich der Ordnung vonθ∗ als außerer Automorphismus ist. Dies zeigt das folgende

Beispiel 5.20. Sei G = Sl4, ζ := e2πi16 . Weiter sei F ein Zahlkorper oder p–adischer

Korper, der i enthalt und fur den die Kummererweiterung F (ζ)/F den Grad 4 hat.(Z.B. F = Q(i) oder F ein p–adischer Korper, dessen Restklassenkorper q Elementeenthalt, so daß q ≡ 5 mod 16.) Sei

gθ :=

(ζ

ζζ−iζ

)∈ Sl4 und J :=

( −11

−11

).

Der Flipp ist θ∗(g) := J(tg−1)J−1. Sei G = G o 〈θ∗〉 so uber F definiert, daßθ∗ ∈ G(F ). Weiter sei θ := g−1

θ · θ∗.Dann definiert Θ = intθ einen F–Automorphismus der Ordnung 2 in Aut(G). Weil θdie Ordnung 8 hat, gibt es klarerweise eine reduktive F–Gruppe G′, die G (mit seinerF–Struktur) als Einskomponente enthalt und in der θ als F–rationales Elementaufgefaßt werden kann. Man konnte z.B. G′ = Go 〈θ〉 nehmen. (Dann ist π0(G

′) 'Z/8.)Allerdings gilt die

Behauptung: G′ ist keine F–Form von G.

Beweis: Sei Z = 4√

1 das Zentrum von G. Zur besseren Unterscheidung ist imFolgenden Θ∗ := intθ∗ auf G. Weil θ∗ auf Z durch Invertieren operiert, hat manZ/(1 − θ∗)Z = 4

√1/±1 ' Z/2. Sei τ ∈ Gal(F /F ) so, daß seine Einschrankung

auf F (ζ) durch τ(ζ) = iζ festgelegt ist. Es gilt gθτ(g−1θ ) = −i 6∈ (1− θ∗)Z.

Zu zeigen ist, daß es keine F–Form von G gibt, so daß g−1θ θ∗ ∈ G(F ) bezuglich

der getwisteten Galoisaktion invariant wird. (Die Wahl von g−1θ modulo den vier


zentralen Elementen ist unerheblich fur die kommenden Uberlegungen.) Sei (σ 7→cσ) ∈ Z1(F,Aut(G)). Wie schon in (5.18) bezeichne σ∗ = cσ σ die mit cσ getwisteteGaloisaktion auf G. Weil G nur innere Automorphismen hat, kann man eine 1–Kokette σ 7→ xσ ∈ G(F ) wahlen, so daß cσ = intxσ Θ∗nσ mit nσ ∈ 0, 1.Man sucht also insbesondere ein cτ mit

g−1θ θ∗ = θ = τ∗(θ) = cτ

(τ(g−1

θ θ∗))

= intxτ Θ∗nτ(− ig−1

θ θ∗)

(ii)

= −i(−1)nτ · xτ ·Θ∗nτ (g−1θ ) ·Θ∗(x−1

τ ) · θ∗.

Dies aquivalent zu

Θ∗(xτ ) · tnτ = gθ · xτ · g−1θ ,(iii)

wobei t0 = i und

t1 := −i ·Θ∗(gθ) · g−1θ = ζ−2 ·

(1−i−i

1

).

Benutze die Bruhatzerlegung G = UNTU , wobei T der Diagonaltorus, U die uni-potenten oberen Dreiecksmatrizen und N ein Vertretersystem fur die WeylgruppeW ist, so daß Elemente aus WΘ∗

Θ∗–invariante Vertreter haben.Sei xτ = untu (mit u, u ∈ U , t ∈ T und n ∈ N Vertreter fur w ∈ W ). Dadurch sindt und n eindeutig bestimmt. Dann folgt aus (iii)

uΘ∗︸︷︷︸∈U

nΘ∗︸︷︷︸∈Θ∗(N)

tΘ∗tnτ︸︷︷︸∈T

t−1nτuΘ∗

tnτ︸︷︷︸∈U

= gθug−1θ︸︷︷︸

∈U

n︸︷︷︸∈N

w−1(gθ) · g−1θ · t︸︷︷︸

∈T

gθug−1θ︸︷︷︸

∈U

(iv)

Indem man zuerst die Bruhatzelle betrachtet, sieht man BwΘ∗B = BwB. Also

ist w ∈ WΘ∗. Die Reprasentanten von W θ∗ sind oben in N ∩GΘ∗

gewahlt worden.Daher folgt aus (iv) (wegen der Eindeutigkeit des Torusanteils der Bruhatzerlegung)

Θ∗(t) · tnτ = w−1(gθ) · g−1θ · t.

Wenn also ein Twist cτ existiert mit der Eigenschaft (ii), muß es notwendig w ∈ WΘ∗

und nτ ∈ 0, 1 geben, so daß

tnτ · gθ · w−1(gθ)−1 ∈ (1−Θ∗)T =

Diag(x, x−1, x−1, x)

∣∣ x ∈ Gm

.

Weil man modulo (1 − Θ∗)T rechnet und t1 ≡ −i (mod (1 − Θ∗)T ), sucht manw ∈ WΘ∗

, so daß es x gibt mit( xx−1

x−1

x

)= y · gθ · w−1(gθ)

−1 = y ·

(ζ

ζζ−iζ

)· w−1

(( ζ−1

ζ−1

ζ−1

iζ−1

)).

wobei y ∈ ±i. Weil w die Eintrage nur permutiert, kann man aus der zweiten oderdritten Zeile x−1 = y ablesen. Kein w erlaubt aber den ersten Eintrag zu x = −yzu machen. Widerspruch.Also kann es kein xτ geben, so daß (ii) gilt. Somit gibt es kein getwistetes τ∗, dasg−1

θ θ∗ invariant ließe.

Definition von ∆I, ∆II und ∆IV 91

Definition von ∆I, ∆II und ∆IV

(5.21) Ab nun ist bis (5.47) ein Matching H(F ′) 3 γ ↔ δ ∈ L(F ) stark regularerElemente fest vorgegeben und alle Bezeichnung von (5.9) werden benutzt. Dabeiwurden folgende Wahlen gemacht:

• z∗H(σ) = γ−1σ(γ) ∈ Z1(F,Cent(H)) wird nicht gewahlt, wenn das Matchingγ ↔ δ bekannt ist. Wenn aber nur δ festliegt und man unter mehrerenmoglichen Norm–Images auswahlen muß/will, wahlt man z∗H . In Kapitel 8wird das so gemacht.

• θ∗ ∈ L(F ′) ist Vertreter eines Automorphismus’ Θ∗, der ein F–Splitting stabi-lisiert, so daß gilt: θ∗σ(θ∗)−1 geht auf z∗H(σ) unter der naturlichen AbbildungCent(G)→ Cent(H) (aus (5.6)). Ein zweites θ∗2 hat die Gestalt θ∗2 = zhθ∗h−1

mit inth ∈ Gad(F ) und z ∈ Cent(G), so daß zσ(z)−1 ∈ (1 − θ∗) Cent(G).(Denn je zwei F–Splittings sind Gad(F )–konjugiert und ein Splitting legt denihn stabilisierenden Vertreter in L bis auf einen zentralen Faktor fest.)

• splG = (B,T, Xα) ist ein Θ∗–stabiles F–Splitting. Es ist bis auf Gθ∗

ad(F )–Konjugation bestimmt. Genausogut kann man statt dessen auch das SplittingsplGΘ∗

sc= (BΘ∗

sc ,TΘ∗sc ,

∑γ∈IαXγ) von GΘ∗

sc wahlen, denn splG ist eindeutigbestimmt durch splGΘ∗

sc. (Das folgt aus (3.11) und weil die Xα linear un-

abhangig sind in g.)

• η : TH → Tθ∗ ist ein zulassiger Isomorphismus von TH auf die θ∗–KoinvariantenTθ∗ = T/(1 − θ∗)T eines θ∗–stabilen F–Torus’ T . Dieser Torus ist bestimmtbis auf stabile Konjugation von T θ∗

sc in (Gθ∗)sc. Damit ist η bestimmt bis aufNachschalten von inth mit h−1σ(h) ∈ T θ∗

sc .

• Die Borelgruppen (B, BH , BH , B) sind in (5.5) nur zur Rigidifizierung derzulassigen Einbettung gewahlt worden. Ihre Wahl geht nur uber η in die De-finition der Transferfaktoren ein, nicht direkt. Sie werden also nicht beachtet.

• g aus der Definition 5.9 ist (nach Vorgabe von T ) nur bestimmt als Elementder Doppelnebenklasse Tsc(F )\Gsc(F )/Norm(T,G)(F ).

• t∗ = gδg−1θ∗−1 = δ∗θ∗−1 ∈ T (F ) wird nach den Wahlen von g und θ∗ selbstnicht mehr gewahlt.

• χ-Data fur Φ(T,G)I . Da man fur sie nur die Galoisaktion braucht, die T θ∗ aufdem Wurzelsystem induziert, werden die χ–Data genaugenommen zur stabilenGθ∗

sc -Konjugationsklasse von T θ∗sc gewahlt (und nicht zu T selbst).

• a–Data fur Φ(T,G)I . Wie die χ–Data werden sie zur Galoisaktion von T θ∗sc

auf ΦI gewahlt. Die a–Data (und χ–Data) fur Φ(TH , H) sind nach Wahl vonη festgelegt durch die Identifikation von Φ(TH , H) als Teilmenge von Φ(T,G)I

in 5.7.


Dabei sei wie stets I := 〈θ∗〉.

Definition 5.22. Sei M Levigruppe einer θ∗–stabilen Parabolischen P ⊂ G, undδ ∈ Norm(P, G)(F ) ∩ L halbeinfach. Dann ist die Harish–Chandra–Diskriminantedefiniert als (| · |F wurde in (1.1) normiert)

DG/M(δ) :=∣∣∣ det(1− Ad(δ))

∣∣LieG/LieM

∣∣∣ 12F.

(5.23) Definition von ∆IV:

∆IV(γ, δ) :=DG/TG

(δ)

DH/TH(γ)

=DG/T (t∗θ∗)

DH/TH(γ)

Dieser Faktor hangt von keiner der Wahlen ab.

(5.24) ∆II ist definiert als der Quotient von∏Γ·PI(α),

α nicht vomTyp III

χPI(α)

(SIα(t∗)− 1

aPI(α)

)·

∏Γ·PI(α),

α vom Typ III

χPI(α)

(SIα(t∗) + 1

),

wobei die Produkte (insgesamt) uber alle Γ–Orbiten von Wurzeln aus Φ(G)I =PI(Φ(T,G)) genommen werden, durch∏

Γ·αH⊂Φ(H)

χαH

(αH(γ)− 1

aαH

).

Hierbei wird uber alle Γ–Orbiten von Wurzeln aus Φ(TH , H) multipliziert.Der Zahler hangt nicht – wie es scheinen mag – von t∗ ab, denn jedes t′ ∈ T (F )mit Pθ∗(t

′) = η(γ) ∈ Tθ∗(F ) produziert dasselbe SIα(t′) = SIα(t∗). (Weil σ(t∗) ≡ t∗

modulo (1 − θ∗)T ⊂ KernSIα, ist SIα(t∗) auch unabhangig vom Reprasentanten αdes Γ–Orbits.)Der Faktor ∆II hangt von den Wahlen der χ–Data und der a–Data ab, aber sonstvon nichts. Genaueres wird bei ∆I und ∆III gesagt.

(5.25) Definition von ∆I: Dieser Faktor wird nicht in G gebildet, sondern inden θ∗–Invarianten der einfach zusammenhangenden Uberlagerung von Gder. ImFolgenden wird immer (Gsc)

θ∗ durch Gθ∗sc abgekurzt. (Nach Steinberg hangt diese

Gruppe zusammen.) Sei

〈·, ·〉TN : H1(Γ, (Tsc)

θ∗)× π0

(((T θ∗

sc )∧)Γ)→ C×

die Tate–Nakayama–Paarung. Dann ist

∆I(γ, δ) := 〈λaα(Tθ∗

sc ), sT,θ〉TN ,

Definition von ∆I, ∆II und ∆IV 93

wobei die beteiligten λ und s nun definiert werden.

Zu λ: Wahle ein h ∈ Gθ∗sc (F ), so daß inth : Tθ∗

sc∼−→ T θ∗

sc . Fur σ ∈ Γ = Gal(F /F )bezeichne

σT := inth−1 σ inth = int(h−1σ(h)) σ =: ωT (σ) σ ∈ W (Tθ∗

sc , Gθ∗

sc ) o Γ

die auf Tθ∗sc zuruckgezogene Aktion von σ auf T θ∗

sc . Nach [LS87, (2.3)] kann mandiese Aktion mit Hilfe von a–Data fur Φ(Gθ∗

sc , Tθ∗sc ) ⊂ PI(Φ(G, T )) liften zu einem

Homomorphismus

ΓT := σT | σ ∈ Γ −→ Norm(Tθ∗sc , G

θ∗sc )(F ) o Γ

σT 7−→( ∏

α∈Φ(G)+Iσ−1

T α>0

aα∨α

)· n(int(h−1σ(h))

)o σ

wobei n(...) ∈ Norm(Tθ∗sc , G

θ∗sc ) der Steinbergreprasentant in GΘ∗

sc fur den Weylgrup-penanteil von σT ist. Daher definiert

λaα(Tθ∗

sc )(σ) = h ·( ∏

α∈Φ(G)+Iσ−1

T α>0

aα∨

α

)· n(int(h−1σ(h))

)·(h−1σ(h)

)−1

· h−1

einen Kozykel λ ∈ Z1(Γ, T θ∗sc ). Nach [LS87, (2.3)] hangt die Kohomologieklasse von

λ nur von der Wahl des Splittings splGθ∗sc

ab und nicht von den sonstigen Wahlen (a–Data, h). Die zum F–Splitting (intg)(splGθ∗

sc) berechnete Klasse von λ unterscheidet

sich von der zu splGθ∗sc

berechneten um σ 7→ g−1σ(g) ∈ Cent(Gθ∗sc ).

Zu s: Man beobachtet (unter den Vereinbarungen (5.5))

((Tsc)θ∗sc)∧ ' ((T )ad)θ = (Tad)θad

(wobei Tad = T /Cent(G)). Sei sT,θ das Bild von s ∈ T (aus dem endoskopischenDatum) unter T → Tad → (Tad)θad

. Aus der letzten Bedingung in (5.3.4) folgt,daß sT,θ Γ–invariant ist (vgl. [KS99, Lemma 4.2.A.]). Daher erhalt man durchProjektion ein sT,θ ∈ π0(((T

θ∗sc )∧)Γ).

Anmerkung: Im Allgemeinen ist Gθ∗sc = (Gsc)

θ∗ nicht einfach zusammenhangend.Aber λ laßt sich eindeutig liften nach H1(Γ, ((Tsc)

θ∗)sc), denn α∨ ∈ (Φ(G)I)∨ ⊂

X∗((Tθ∗sc )sc) und die Steinbergreprasentanten werden eigentlich immer in der einfach

zusammenhangengenden Uberlagerung gebildet. Die Mehrdeutigkeit beim Ruckzugvon h nach (Gθ∗

sc )sc schlagt sich nicht auf die Kohomologieklasse des geliften λsc

durch, denn sie liegt im Zentrum. (Zu Beginn des Beweises von [KS99, Theorem4.6.A] bemerken die Autoren, daß es nicht notig sei, zu (Gθ∗

sc )sc uberzugehen.)


(5.26) Abhangigkeit des Faktors ∆I von den Wahlen: Offensichtlich ist ∆I

unabhangig von der Wahl des Vertreters θ∗ fur Θ∗. Er ist aber auch (klarerweise)unabhangig von Θ∗ in dem Sinne, daß er sich nicht andert, wenn bei der Berechnungubergeht von (Θ∗, splG, η, aα, γ, δ) zu

(inth Θ∗ inth−1, hsplGh−1, inth η, aαinth, γ, δ)

fur h ∈ Gsc mit inth ∈ Gad(F ).Nach [KS99, (4.2)] und [LS87, (2.3)] hangt ∆I bei fixiertem Θ∗ nur ab von der Wahldes Θ∗–stabilen F–Splittings, von der zulassigen Einbettung η : TH → Tθ∗ und dena–Data fur Φ(G)〈Θ∗〉.Im Beweis von [KS99, Theorm 4.6.A] wird gezeigt, daß ∆I ·∆II unabhangig von dena–Data ist. Die Abhangigkeit von η wird von ∆III neutralisiert: Genaueres steht in5.37(2) und (3) unten.

(5.27) Normierung von ∆I: Fur unverzweigtes G kann man nach Wahl eineshyperspeziellen Punktes x ∈ B(G,F ) den Faktor ∆I = ∆x

I normieren, d.h. vonallen (anderen) Wahlen befreien. Es ist ja nur noch die Wahl des Splittings zuberucksichtigen.

Die Normierung besteht in der Forderung, daß

(1) Θ∗ den Punkt x fixiert.(2) das F–Splitting splGΘ∗

scgeliftet ist von G bzgl. i−1

Θ∗(x) ∈ B(GΘ∗sc , F ). (Vgl.

Definition 4.14.)

Wegen Satz 4.21.b ist der Punkt i−1Θ∗(x) hyperspeziell in B(GΘ∗

sc , F ).

Behauptung 5.28. Der so normierte Faktor ∆xI hangt nicht ab von splG mit den

Eigenschaften (5.27.2).

Beweis: Seien spl und spl′ zwei bzgl. i−1Θ∗(x) geliftete F–Splittings von GΘ∗

sc . Weilje zwei F–Paare GΘ∗

sc (F )–konjugiert sind, kann man fur die Berechnung von ∆I

o.E. annehmen, daß beide Splittings ein gemeinsames F–Paar haben, d.h. spl =(B1,T1, Xα) und spl′ = (B1,T1, bαXα) fur bα ∈ O×F .Nach Lemma 4.28 gibt es eine unverzweigte Erweiterung F ′′/F und ein t ∈ T1(F

′′)c ⊂GΘ∗

sc (F ′′), so daß (intt)(spl) = spl′. In der Berechnung von ∆I wirken sich die Split-tings nach [LS87, (2.3.1)] folgendermaßen aus:

λaα(TΘ∗

sc , spl′) = λaα(TΘ∗

sc , spl) · (σ 7→ tσ(t)−1).

Daher sind beide Kohomologieklassen gleich, denn die Klasse von tσ(t)−1 liegt inH1(F ′′/F, TΘ∗

sc (F ′′)c) = 1 (nach 3.39).

Definition von ∆III 95

Definition von ∆III

Hier ist die Generalannahme H = LH aus (5.17) entscheidend. Sie erspart dieVerwendung der allgemeinsten Definition von ∆III aus [KS99, (4.4)]. Fur den Fallz∗(σ) = 1 (bzw. bereits wenn θ∗ in G(F ) gewahlt werden kann) vereinfacht sichdieser Faktor noch einmal betrachtlich. (Vgl. [KS99, (5.3)].)Fur ∆III hat man nur einen relativen Transferfaktor, der zwei Matchings miteinandervergleicht. Im nachsten Abschnitt wird eine Moglichkeit vorgestellt (durch Wahlbesonders einfacher Vergleichsmatchings) ∆III nur einem Matching zuzuordnen mitnur einer zusatzlichen Abhangigkeit von der Wahl eines hyperspeziellen Punktesx im Gebaude. In diesem Abschnitt wird der relative Faktor ∆III(γ, δ, γ, δ) nach[KS99, (4.4)] vorgestellt.

(5.29) Notation: Sei C eine Gruppe und f : A → B eine C–Abbildung von

C–Moduln. Sei Hr(C,Af−→ B) die r–te Hyperkohomologiegruppe des Komplexes

... → A → B → 0...., bei dem außer A im Grad 0 und B im Grad 1 nur 0 stehen.1–Hyperkozykel werden folgendermaßen geschrieben:

Z1(C,Af−→ B) =

(σ 7→ a(σ), b

)∈ Z1(C,A)×B | f(a(σ)) = b−1σ(b)

.

Dabei sind 1–Hyperkorander Elemente der Form (σ 7→ a−1σ(a), f(a)). Gebrauchtwerden wird die (lange) exakte Sequenz

...f−→ H0(C,B)

j−→ H1(C,Af−→ B)

i−→ H1(C,A)f−→ ....

b 7→ (0, b); (a(σ), b) 7→ a(σ)

(5.30) Ein zweites (Vergleichs–) Matching: Sei γ ↔ δ ein weiteres Matchingstark regularer Elemente. Alle Daten aus (5.9) sowie die χ–Data fur dieses Matching

erhalten einen Balken: g, T , T , χ, usw. Allerdings werden fur beide Matchingsdasselbe θ∗, splG und alle Konventionen aus (5.5) gemeinsam benutzt. Inwiefern ∆III

davon abhangt wird in (5.37) angegeben. Insbesondere ist die zulassige EinbettungTH

∼−→ T θ∗ (dual) verbunden mit Identifikationen

TH ' TH ' TH und T ' T ' T ,

die (selbstverstandlich) nicht die Galoisoperationen respektieren mussen. Aber im-merhin werden sie (und die dualen F–Identifikation T ' T ) benutzt, um Elementeohne notationelle Kennzeichnung in all den identifizierten Tori als gleich aufzufassen.

(5.31) Die Tori S und U : Sei

C := Cent(G), Csc := Cent(Gsc) und Z := Cent(G)!

Zur Erinnerung: Tad = T/C. Man definiert (vgl. [LS90, Beweis von 3.5.A])

S := T × T/

(z, z−1)∣∣ z ∈ C und U := Tsc × T sc

/(z, z−1)

∣∣ z ∈ Csc

.


Betrachte

T × T −→ S∼−→ T × T ad

(t, t) 7−→ (t, t) mod C 7−→ (t · t, t mod C)(v)

Die linke Abbildung ist galoisaquivariant, die rechte (Isomorphie) ist (naturlich)nicht uber F definiert. Aber der Isomorphismus ermoglicht eine Identifikation von

S mit T × T sc. Dabei ist mit T sc strenggenommen der Torus (T )sc in der einfachzusammenhangenden Uberlagerung (G)sc der derivierten Gruppe von G gemeint.

(Denn X∗((T )sc) = Z[Φ∨(G)] = Z[Φ(G)] = X∗(Tad).)

Durch die Beteiligung des Isomorphismus aus (v) ist die Galoisaktion auf S = T×T sc

etwas verwickelt. Dual zu (v) hat man

T × T S? _oo T × T sc

∼oo

(t, t · pr(tsc))_

σ

(t, tsc)oo

_

σ

(σT (t), σT (t · pr(tsc))) σS(t, tsc)

oo

Als von S herkommende Galoisaktion σS auf S ergibt sich daraus:

σS(t, tsc) =(σT (t), σT (t)−1σT (t)σT (tsc)

),

wobei t ∈ (T )sc × Z ein Lift von t ∈ (T )der · Z ist und σT , σT die von T bzw.

T herkommendene Aktion von σ ∈ Gal(F /F ) auf T ' T ' T ist. (Beachte:Z := Cent((G)) ist ein Torus!)

Analoges gilt fur die Aktion σU auf U = (T )ad × (T )sc.

(5.32) Kottwitz–Shelstad–Paarung: Kottwitz und Shelstad konstruieren in[KS99, Appendix A] eine Paarung 〈·, ·〉KS von 1–Hyperkohomologiegruppen:

H1(F,U1−θ−→ S)×H1(WF , S

1−θ−→ U) −→ C×.(vi)

Dabei ist genauer 1−θ : UProj.−−−→ S

1−θ−−→ S und 1− θ : S1−θ−−→ S

Proj.−−−→ U . Die Paarungkombiniert die Langlandsdualitat aus (3.34)

〈·, ·〉L : H1(WF , S)× S(F )→ C×

und die Tate–Nakayama–Paarung

〈·, ·〉TN : H1(F,U)× π0(UΓ)→ C×.


Genauer gilt nach [KS99, (A.3.13+14)]

〈j(t), z〉KS = 〈t, i(z)〉−1L und 〈z, j(t)〉KS = 〈i(z), t〉TN ,(vii)

wobei i, j (bzw. i, j) die Abbildungen aus der Spektralsequenz (5.29)

...→ H0(F, S)j−→ H1(F,U → S)

i−→ H1(F,U)→ ...(viii)

bzw.

...→ H0(WF , U)j−→ H1(WF , S → U)

i−→ H1(WF , S)→ ...

sind (vgl. (5.29)). Dabei wurde t ∈ UWF mit seinem Bild in π0(UΓ) identifiziert.

(5.33) Definition von ∆III: Im Folgenden werden V (σ) ∈ Z1(F,U1−θ−−→ S) und

A(w) ∈ Z1(WF , S1−θ−→ U) definiert. Dann ist

∆III(γ, δ, γ, δ) := 〈V (σ), A(w)〉KS.

(5.34) Definition von V (σ): Der 1–Hyperkozykel mit Klasse in H1(F,U1−θ−−→ S)

wird konstruiert durch

v(σ) = gσ(g)−1 ∈ Tsc(F ) g wie in (5.9).

In G rechnet man (mit z∗(σ)Def= θ∗σ(θ∗)−1 aus (5.2))

z∗(σ)t∗σ(t∗)−1 = δ∗σ(δ∗)−1 = δ∗ · σ(gδg−1)−1 = δ∗σ(g)g−1δ∗−1gσ(g)−1

= (1− θ∗)v(σ).

Analoges gilt fur das zweite Matching. (Man muß nur g, v, δ∗, δ, t∗ mit Balkenversehen!) Also nehme

V (σ) :=((v−1(σ), v(σ)

), (t∗, t∗−1)

)∈ Z1(F, (Tsc × Tsc)/Csc︸︷︷︸

=U

1−θ−→ (T × T )/C︸︷︷︸=S

).

(5.35) Definition von A(w):

Die Konstruktion eines 1–Hyperkozykels in Z1(WF , S1−θ−→ U) ist komplizierter. Zu-

erst werden zwei Homomorphismen ξTH, ξT definiert. Durch die Wahl von χ–Data fur

Φ∨(H, TH), versehen mit der Galoisaktion durch die Identifikation Φ∨(H, TH)1−1←→

Φ(H,TH), hat man nach Langlands Satz 3.41

ξTH: LTH → LH .


Die zweite Abbildung entsteht aus

ξT : LTH∼←−− L(Tθ∗) → Gθ oWF → LG .

Hierbei ist die linke Abbildung dual zur zulassigen Einbettung TH→Tθ∗ , die mitt-

lere geschieht durch die Wahl von χ–Data fur Φ∨(Gθ, T θ) ⊂ (Φ(G, T )θ)∨ 1−1←→

(Φ∨(G, T )θ∗)∨ nach Langlands (3.41), und die letzte Inklusion ist klar. Nun hat

man folgende Situation:

LTH

ξT // ξT (LTH) · T // LG

LTH∼

ξTH

// ξTH(LTH)?

OO

// LH?

ξ

OO

Hierin wird aT ∈ Z1(WF , T ) definiert als der Fehler zwischen ξTHund ξT , namlich

aT (w) · ξT (w) = (ξ ξTH)(w) (fur w ∈ WF ).

Analog wird aT definiert als aT (w) = ξT (w)−1 · (ξ ξT H)(w), wobei ξT H

: LTH → LH

durch χ–Data fur die Identifikation Φ(H, TH)1−1←→ Φ∨(H,TH) konstruiert wird und

ξT : LTH∼−→ L(T θ∗) → LG durch χ–Data fur Φ(G)I

1−1←→ Φ∨(G, T )θ∗ und diezulassige Einbettung TH

∼−→ T θ∗ (analog zu oben).

In [KS99, Lemma 4.4.B] wird gezeigt, daß

(1) aT (w)aT (w)−1 sich (naturlich/eindeutig) liften laßt zu xsc(w) ∈ Z1(WF , T sc).

(2) (1− θ)(aT (w), xsc(w)

)= (s, 1) · σU

((s−1, 1)

)so daß der angekundigte 1–Hyperkozykel ist:

A(w) :=((aT (w), xsc(w)

)−1, (s, 1)

)∈ Z1(WF , T × T sc︸︷︷︸

=S

1−θ−→ (T )ad × (T )sc︸︷︷︸=U

).

(5.36) Eigenschaften von xsc(w): Von xsc(w) wird benutzt werden, daß seine Ko-homologieklasse trivial bzw. unverzweigt ist, falls sowohl aT (w) als auch aT (w) diejeweilige Eigenschaft haben. Außerdem werden folgende Kompatibilitaten benutzt:⟨(

aT (w), xsc(w)),(1, t)⟩

L=⟨aT (w), t

⟩L,(ix)

wobei links die Langlandspaarung fur S steht und rechts die Langlandspaarung furT . Analog ist fur t ∈ T (F )⟨(

aT (w), xsc(w)),(t, 1)⟩

L=⟨aT (w), t

⟩L.(x)


Sowohl ((1, t) als auch (t, 1) mogen hierbei fur ihr Bild in T × T/Cent(G) = Sstehen. Alle diese Eigenschaften kann man an der Konstruktion in [KS99, Beweisvon Lemma 4.4.B] ablesen.

(5.37) Abhangigkeit des Faktors ∆III von Wahlen: Der Faktor ∆III hangt(bei fixiertem G, H, γ ↔ δ, γ ↔ δ) von der Wahl von Θ∗, η, η und den verschiedenenχ–Data ab. Alle anderen Wahlen haben (danach) (mehr oder weniger offensichtlich)keinen Einfluß ∆III.

(1) ∆III hangt nicht ab von θ∗: Genauer bleibt ∆III invariant, wenn man zu seinerBerechnung von (θ∗; γ, δ, T, η, χα; γ, δ, T , η, χα) ubergeht zu

(hzθ∗h−1; γ, δ, hTh−1, inth η, χαint h−1; γ, δ, hTh−1, inth η, χαint h−1),

wobei z ∈ Cent(G) und h ∈ Gsc, so daß inth ∈ Gad(F ) (und zσ(z)−1 ∈(1− θ∗) Cent(G)).Zum Beweis rechnet man V (σ) mit dem alternativen θ′ = zhθ∗h−1 in (5.13)aus: Mit den Bezeichnungen von dort und zσ := hσ(h)−1 ∈ Cent(Gsc) hatman

v′(σ) := (hg)σ(hg)−1 = hgσ(g)−1h−1zσ = inth(v(σ)) · zσ

und analog v′(σ) = inth(v(σ)) · zσ. Daher gilt in U = Tsc × T sc/(z, z−1)gerade (v′(σ)−1, v′(σ)) = (inth(v(σ)−1), inth(v(σ))). Ebenso ist

(t′, t′−1) = (ht∗h−1z−1, (ht∗−1h−1z)) = (inth(t∗), inth(t∗−1))

in S = T×T/(z, z−1). Also ist das bzgl. θ′ berechnete V (σ) das durch inth ∈Gad(F ) auf die entsprechenden Tori zu T ′ × T ′ = inth(T × T ) ubertrageneV (σ), das mit θ∗ berechnet wurde. Die restliche Ingredienz fur die Kottwitz–Shelstad–Paarung A(w) wird in der dualen Gruppe berechnet, ist also un-abhangig von der Wahl von Θ∗ innerhalb seiner Gad(F )–Konjugationsklasse.

(2) ∆I(γ, δ) ·∆III(γ, δ; γ, δ) ist nach [KS99, Beweis von Theorem 6.4.A] invariant,wenn (η : TH → Tθ∗ , χα) ersetzt wird durch (inth η, χαinth−1) fur einh ∈ Gθ∗

sc (F ) mit h−1σ(h) ∈ T θ∗sc (F ).

(3) Analog bleibt ∆I(γ, δ)−1 ·∆III(γ, δ; γ, δ) dasselbe, wenn man zu seiner Berech-

nung statt (η : TH → T θ∗ , χαα∈Φ(T )I) wie eben (inthη, χαinth−1) benutzt

mit h−1σ(h) ∈ T θ∗sc (F ).

(4) ∆II(γ, δ)·∆III(γ, δ; γ, δ) ist nach [KS99, Beweis von Theorem 6.4.A] unabhangigvon den χ–Data fur Φ(T )I .

(5) Ebenso ist ∆II(γ, δ)−1 ·∆III(γ, δ; γ, δ) unabhangig von den χ–Data fur Φ(T )I .


Von allen anderen Wahlen fur die Definition der Transferfaktoren hangt ∆III nichtab (a–Data, splG, ...).

Lemma 5.38. Seien zH ,zH die Bilder von z, z ∈ Cent(G)(F ) unter der naturlichenAbbildung Cent(G)(F ) Cent(G)θ∗(F ) → Cent(H)(F ) aus (5.6). Dann gilt

∆III(zHγ, zδ; zHγ, zδ) = 〈aT (w), zz−1〉L ·∆III(γ, δ; γ, δ),

wobei auf beiden Seiten diesselben χ–Data und zulassigen Einbettungen benutzt wer-den.

Beweis: Beim Ubergang von (γ, δ; γ, δ) zu (zHγ, zδ; zHγ, zδ) andert sich von allenZutaten zu ∆III aus (5.34) – (5.35) nur (t∗, t∗−1) zu (zt∗, (zt)∗−1) ' (zz−1t∗, t∗−1) ∈S = T × T/Cent(G).Der Quotient der beiden V (σ) berechnet zu den jeweiligen Doppelmatchings ist also

j((zz−1, 1)) ∈ H1(F,U → S) und die Kompatibilitat (vii) in (5.32) ergibt

∆III(zHγ, zδ; zHγ, zδ)

∆III(γ, δ; γ, δ)=⟨((

aT (w), xsc(w))−1

, (s, 1)), j((zz−1, 1))

⟩KS

=⟨(aT (w), xsc(w)), (zz−1, 1)

⟩L

(5.36)=(x)

⟨aT (w), zz−1

⟩L.

Normierung von ∆III

(5.39) Wahlen fur diesen Abschnitt: Sei x ∈ B(G,F ) hyperspeziell gewahlt,so daß ein θ∗ ∈ L(F ′) existiert, das zum einen x fixiert und zum anderen ein F–Splitting. Diese Daten werden im ganzen Paragraphen fixiert. Sie existieren nachder fundamentalen Annahme (5.17.3). Sei Θ∗ := intθ∗ und F ′ ein Zerfallungskorpervon G und H, endlich und unverzweigt uber F . Wie ublich bezeichnet (B,T) einθ∗–stabiles F–Paar, das uber F ′ zerfallt, und T = Cent(Tθ∗ , G). Insbesondere istθ∗ ∈ T(F ′)x.

(5.40) Weil es fur die folgende Konstruktion essentiell ist, sei hier erinnert, daß manW (T , G) und W := W (T, G) galoisaquivariant identifiziert hat (durch die Definitionvon LG), denn die Galoisaktion auf G wird durch X∗(T) = X∗(T ) ubertragen.Zudem geht die θ–Aktion auf der einen Seite in die Aktion von θ∗ auf der anderenSeite uber. Mit (3.7) darf man identifizieren

W (T , G)θ = W (T, G)θ∗ Def= W θ∗ = W

((Tθ∗)sc, (G

θ∗)sc

)(xi)

so daß die Galoisaktion auf allen Gruppen respektiert werden.

(5.41) ”Der” Torus Tξ und erlaubte Tori: Hier soll zu x (und dem unver-zweigten endoskopischen Datum) eine kanonische G(F )–Konjugationsklasse [Tξ] ei-nes F–Torus von G (mit gewissen Eigenschaften) zugeordnet werden. Innerhalb

Normierung von ∆III 101

dieser Klasse werden die fur die Normierung von ∆III relevanten Tori als ”erlaubt”ausgezeichnet.

Wie in (5.8) gezeigt, definiert die endoskopische Einbettung ξ (wegen (5.17)) einen

Kozykel mξ(σ) ∈ Z1(F ′/F,Norm(T θ, G)). Nach den Identifikationen (xi) in (5.40)ist zu ξ durch mξ(σ) eine Kohomologieklasse ωξ(σ) ∈ H1(F ′/F,W (T)θ∗) zugeord-net. Nach (3.23) definiert ωξ(σ) eine schwach stabile Konjugationsklasse [Tξ]sch.st.

innerhalb der G(F ′)–Konjugationsklasse von T.Nach Satz 4.44 gibt es ein g ∈ Gsc(F

′)x, so daß intg(T) ∈ [Tξ]sch.st.. Die G(F )–Konjugationsklassen (innerhalb der schwach stabilen Konjugationsklasse) werdenbeschrieben durch die Urbilder von ωξ(σ) in H1(F ′/F,N(T)(F ′)), wobei N(T) =Norm(T, G). Man legt die G(F )–Konjugationsklasse von [Tξ] fest durch die Forde-rung, daß der durch intg(T) = Tξ definierte Kozykel gσ(g)−1 ∈ Z1(F ′/F,N(T)(F ′))Werte in G(F ′)x haben soll. Diese Definition ist moglich wegen der Behauptung5.42.b.Ein Torus T ⊂ [Tξ] heißt erlaubt, wenn er G(F ′)x–konjugiert ist zu einem TorusT′, dessen Einskomponente T′ maximal F–split (in G) ist, uber F ′ zerfallt und furdie T′(F ′)c ⊂ G(F ′)x gilt. Mit anderen Worten: T′ ist generische Faser eines abge-schlossenen Untergruppenschemas von G, wobei G nach Satz 4.5 gebildet ist, so daßG(OF ′) = G(F ′)x.

Die Definition von [Tξ]sch.st. ist unabhangig von T und (B,T), denn je zwei F ′–Splittori sind F ′–konjugiert und je zwei F–Paare sind G(F )–konjugiert. Daher ist[Tξ]sch.st. auch unabhangig von Θ∗ (und von θ∗ ohnehin), denn WΘ = Norm(T, G)/T.Die Konstruktion ergibt somit, daß die Konjugationsklasse [Tξ] nur von x ∈ B(G,F )(und dem endoskopischen Datum) abhangt.

Behauptung 5.42.

(a) Es gibt ein g ∈ (GΘ∗)sc(F′)x, so daß Tξ = intg(T) in der G(F )–Konjugations-

klasse [Tξ] aus (5.41) liegt. D.h. es gibt erlaubte Tori, die θ∗ enthalten.

(b) Es gibt hochstens einen Lift von ωξ(σ) nach H1(F ′/F,N(T)(F ′)

), der einen

Kozykel in n(σ) ∈ N(T)(F ′)x besitzt.

(c) Je zwei erlaubte Tori aus [Tξ] sind G(F )x–konjugiert.

Beweis: Zu (a): Das wurde in Satz 4.44 gezeigt.

Zu (b): Seien n(σ) und n′(σ) zwei Lifts von ωξ(σ) nach Z1(F ′/F,N(T)(F ′)x). Esreicht, zu zeigen, daß es ein t ∈ T gibt, so daß

n′(σ) = t · n(σ) · σ(t) = t ·(ωξ(σ) σ

)(t−1) · n(σ) = tg−1 · σ

(gtg−1

)−1

· g · n(σ).

wobei g ∈ G(F ′), so daß ωξ(σ) = int(g−1σ(g)

)berandet.

Es soll also gezeigt werden, daß der Kozykel (!) a(σ) := gn′(σ)n(σ)−1g−1 trivial


ist in H1(F ′/F, Tξ(F′)). Weil n(σ) und n′(σ) beide x fixieren, liegt a(σ) bereits in

H1(F ′/F, Tξ(F′)c) = 1 (nach Lemma 3.39).

Zu (c): Sei Tξ = gTg−1 mit g ∈ G(F ′)x undWξ := W (Tξ, G) undNξ = Norm(Tξ, G) =

Tξ · Norm(Tξ, G)Θ∗. Zu zeigen ist, daß der Kern von

H1(F ′/F,Nξ(F′)x) −→ H1(F ′/F,Nξ(F

′))

trivial ist. Weil x hyperspeziell und Θ∗–stabil ist, kann man WΘ∗

ξ ⊂ Nξ(F′)x auffas-

sen. Daher hat man die exakte Sequenz

1 −→ Nξ(F′)x −→ Nξ(F

′) −→ Tξ(F′)/Tξ(F

′)x −→ 1.

Weil Tξ uber F ′ zerfallt, stiftet der Ordnungshomomorphismus den IsomorphismusTξ(F

′)/Tξ(F′)x ' X∗(Tξ). Sei Γ = Gal(F ′/F ). Der Ordnungshomomorphismus

ergibt auch Tξ(F )/Tξ(F )x ' X∗(Tξ)Γ, denn F ′/F ist unverzweigt. Daher ist in der

langen exakten Sequenz (zu der kurzen oben)

1→ Nξ(F )x → Nξ(F ) X∗(Tξ)Γ → H1(Γ, Nξ(F

′)x)→ H1(Γ, Nξ(F′)).

Also ist die Injektivitat oben bewiesen.

Definition 5.43. Gegeben sei ein hyperspezieller Punkt x im Gebaude B(G,F ). Sei

∆xIII(γ, δ) := ∆III(γ, δ, γ, δ),

wenn fur das Matching γ ↔ δ gilt

• δ ist residuell halbeinfach, fixiert x ∈ B(G,F ) und ist stark regular mod p.(Vgl. 4.9)

• Cent(Gδ, G) ist erlaubtes Element in der G(F )–Konjugationsklasse [Tξ] aus(5.41), das θ∗ enthalt.

und folgende Wahlen zur Berechnung von ∆III benutzt werden:

• Θ∗ fixiert x.

• Der Torus T in (5.9.1) ist erlaubt. Das geht nach Lemma 5.44.

• χα(x) = (−1)valF (x) fur alle x ∈ F unv und alle α ∈ Φ(G)I .

Die Wahl der χ–Data ist moglich, weil Tξ unverzweigt ist (vgl. 3.43). Nach demfolgenden Lemma 5.44 gibt es solche Matchings. Die Wohldefiniertheit ist Satz 5.45.

Anmerkung: Aus der ersten Bedingung folgt, daß auch γ stark regular und starkkompakt ist. Wegen Lemma 5.44.a enthalt TH := Cent(γ,H) einen maximalenF–Splittorus von H.


Lemma 5.44. Sei Tξ = gTg−1 (mit g ∈ G(F ′)Θ∗x ) ein erlaubter Torus wie in 5.42

und Tξ = Tξ.

(a) Es gibt eine zulassige Einbettung TH∼−→ (Tξ)θ∗.

(b) Es gibt ein stark regulares, stark kompaktes Element in Tξ(F )∩L, das x fixiert.

(c) Es gibt ein Matching γ ↔ δ stark kompakter, mod p stark regularer Elementeδ ∈ Tξ(F )x ∩ L, γ ∈ TH(F ) mit γ−1σ(γ) = z∗H(σ).

Beweis: Zu (a): Dies ist gerade ein wesentlicher Teil der Konstruktion von Tξ in(5.41). Man hat das kommutative Diagramm

X∗(TH)∼−−−→ X∗(Tθ∗) −−−→ X∗(T)

|| || ||

X∗(TH)ξ−−−→ X∗(T θ)

Inkl.−−−→ X∗(T )

Fur σ ∈ Gal(F /F ) wird die Aktion σTHauf den identifizierten Gittern links

ubertragen nach rechts zu der Aktion ωξ(σ) σT. Durch (intg)∗ : X∗(Tξ)∼−→ X∗(T)

ubertragt sich die von σ auf X∗(Tξ) induzierte Aktion zur Aktion int(g−1σ(g))σT =ωξ(σ) σT auf X∗(T). Daher ist die Zusammensetzung X∗(TH) → X∗(Tξ) ga-loisaquivariant.

Zu (b): Es gibt ein δ ∈ T(F ) ∩ L, das x fixiert. (Das sieht man, indem man mit

Lemma 3.39 den Kozykel z∗(σ) := θ∗σ(θ∗)−1 ∈ Z1(F ′/F,T(F ′)x) zerfallt.) Sei δ′ :=gδg−1 ∈ Tξ(F

′)x. Um nachzurechnen, daß a(σ) := δσ(δ)−1 ∈ Z1(F ′/F, Tξ(F′)c),

zerlege δ = kθ∗. Dabei ist k ∈ Tder(F′)x und θ∗ ∈ T(F ′). Bezeichne nσ := g−1σ(g) ∈

Norm(Tθ∗, Gθ∗). Dann rechnet man (σ ∈ Gal(F ′/F ))

a(σ) = δ′σ(δ′)−1 = gkθ∗nσσ(θ∗)−1σ(k)−1σ(g)−1

= z∗(σ) · gkg−1 · σ(gkg−1)−1 ∈ Tξ(F′)x.

Weil (nach 3.39) H1(F ′/F, Tξ(F′)c) = 1, gibt es t ∈ Tξ(F

′)x, so daß tδ′ ∈ Tξ(F )x.Das Element tδ′ ist stark kompakt, weil es x fixiert oder weil eine geeignete Potenzin T (F )c liegt.Indem man mit geeigneten Elementen s ∈ Tξ(F )x (oder aus T θ∗

ξ (F )) multipliziert,

kann man zudem noch erreichen, daß stδ′ ∈ Tξ(F )x stark regular (und stark kom-pakt) ist.

Zu (c): Das ist eine direkte Konsequenz von (a) und (b). Sei namlich δ ∈ Tξ(F )x∩Lstark regular und stark kompakt. Definiere t∗ ∈ Tξ(F ) durch δ = t∗θ∗. Sei Pθ∗(t

∗)die Projektion von t∗ auf (Tξ)θ∗ . Das Urbild γ von Pθ∗(t

∗) unter der zulassigenEinbettung aus Teil (a) ist Norm–Image von δ.


Satz 5.45. Der in 5.43 definierte Faktor ∆xIII(γ, δ) ist wohldefiniert: Er hangt (außer

von x, G, H) nur ab von den Wahlen fur γ ↔ δ (namlich η : TH → Tθ∗ und χ–Data

fur Φ(G, T )θ∗) und nicht von den Wahlen: θ∗, T ∈ [Tξ], δ ∈ T (F )x. (Alle anderenGroßen werden durch diese festgelegt; auch die normierten χ–Data fur Φ(G, T )θ∗).

Beweis: Der Beweis setzt sich aus folgenden vier Aussagen zusammen. Sie sindpraziser aber auch technischer als die Aussage des Satzes. Zur Bezeichnung im Fol-genden sei gesagt: Wann immer das Referenzmatching mit den Daten (γ, δ, η, T )angegeben ist, besitzen diese Daten die Normierungseigenschaften aus Definition5.43. Das Matching (γ, δ, η, T ) wird abgekurzt notiert, wenn es sich bei einer Mani-pulation uberhaupt nicht verandert.

(1) ∆III andert sich nicht, wenn es statt zu (θ∗; γ, δ, η, χα; γ, δ, T , η, χα) be-rechnet wird zu

(hzθ∗h−1; γ, δ, inth η, χαint h−1; γ, δ, hTh−1, inth η, χαint h−1),

wobei z ∈ Cent(G) und h ∈ Gsc(F′)x, so daß inth ∈ Gad(F ).

(2) ∆III andert sich nicht beim Ubergang von

(θ∗; γ, δ; γ, δ, T , η, χα) zu (θ∗; γ, δ; γ, δ′, T , η, χα),

wobei δ ∈ T (F ) und δ′ ∈ L(F )x ein G(F )–konjugiertes Element zu δ ist.


(θ∗; γ, δ; γ, δ, T , η, χα) zu (θ∗; γ, δ; γ, δ, T ′, η′, χα),

wobei das modifizierte Referenzmatching lediglich uber eine andere zulassigeEinbettung η′ : TH → T ′θ∗ gefuhrt wird. Ansonsten seien beide Referenzmat-chings von der in 5.43 geforderten Form.


(θ∗; γ, δ; γ, δ, T , η, χα) zu (θ∗; γ, δ; γ′, δ′, T , η, χα),

wobei γ′ ↔ δ′ ein Matching ist, das uber η gefuhrt werden kann und dieEigenschaften der Normierung aus Definition 5.43 hat.

Die Aussage (1) wurde in (5.37) bewiesen.Bei allen vier Modifikationen kann der Anteil A(w) ∈ U in der Kottwitz–Shelstad–Paarung zu ∆III fur beide Doppelmatchings benutzt werden. Daher wird untennur die Auswirkung der Modifikationen auf V (σ) analysiert. Es ist zu zeigen, daß〈V (σ)V ′(σ)−1, A(w)〉KS = 1, wobei V (σ) fur das erste (linke) Doppelmatching be-rechnet wird und V ′(σ) fur das modifizierte (rechte Doppelmatching).


Zu (2): Sei h ∈ G(F ), so daß δ′ = hδh−1. Die restlichen Bezeichnungen fur dieMatchings seien

t∗(

sshhhhhhhhhhhhhhhh t∗θ∗ = δoo

η(γ) ∈ T θ∗ TooT

oo T ′G =: Cent(Gδ, G)intg′oo

t′∗

kkVVVVVVVVVVVVVVVt′∗θ∗

oo δ′oo

Dann existiert ein t1 ∈ T (F ), so daß t′∗t∗−1 = (1 − θ∗)t1, d.h. t1δt−11 = t1t

∗θ∗t−1

1 =t′∗θ∗ = g′δ′(g′)−1 = g′hδ(g′h)−1. Daher ist t2 := t−1

1 g′h ∈ T θ∗(F ). Sei t := t1t2 ∈ T .Dann ist

V (σ)V ′(σ)−1 =((v(σ)−1, 1

),(t∗, t∗−1

))·((v(σ)−1, g′σ(g′)−1

),(t∗, t′∗−1

))−1

=((

1, σ(g′)g′−1),(1, t′∗t∗−1

))=((

1, t−1σ(t)),(1, (1− θ∗)t

))ein 1–Korand in Z1(F,U

1−θ∗−−−→ S).

Zu (3): Nach (5.14) gibt es ein h ∈ Gθ∗sc , so daß η′ = inthη. Weil δ stark regular mod

p ist, hat man die Schlusse in (5.14) auch fur die reduzierte Gruppe G ×OFκ(F ′) =

G und die reduzierte Gruppe G = G o 〈θ∗〉. (θ∗ ∈ G(F ′)x!) Daher darf manh ∈ Gθ∗

sc (F′)x annehmen.

Durch t∗θ∗ = gδg−1 ∈ T und t∗′θ∗ = g′δg′−1 ∈ T ′ werden alle Bezeichnungen furV (σ) und V ′(σ) bereitgestellt. Da Pθ∗(h

−1t∗′h) = η(γ) = Pθ∗(t∗), existiert ein

t ∈ T (F ) mith−1t∗′hθ∗ = h−1t∗′θ∗h = tt∗θ∗t−1 = tgδ(tg)−1.

Identifiziere durch inth−1 : T ′ → T die beiden Tori (uber F ). Dann gilt

V ′(σ) =((v(σ)−1, (inth−1)[htgσ(htg)−1]

),(t∗, t∗−1 · (1− θ∗)t−1

))=V (σ) ·

((1, σ(h)−1h

),(1, 1))·((

1, tσ(t)−1),(1, (1− θ∗)t−1

)).

In der letzten Zeile stehen außer V (σ) nur Korander, denn σ(h)−1h liegt inH1(F ′/F, T (F ′)x) =1 (wegen (3.39)). Daher sind V (σ) und V ′(σ) kohomolog.

Zu (4): Nach Modifikation mit (2) darf man annehmen, daß δ, δ′ ∈ T (F )x. Also ist

δ′δ−1 =: t ∈ T (F )x. Man hat

V ′(σ) = V (σ) · j((1, t)

)und mit der Kompatibilitat (vii) aus (5.32) gilt⟨

V (σ)V ′(σ)−1, A(w)⟩

KS=⟨j(1, t)−1

, A(w)⟩

KS

=⟨(aT (w), xsc(w)

)−1,(1, t)⟩

L

(5.36)=(ix)〈aT (w), t〉−1

L


In Korollar 6.13 wird gezeigt werden, daß aT (w) unverzweigt ist, weil die χ–Data furΦ(T ,G)θ∗ unverzweigt sind. Da t stark kompakt ist, folgt mit (3.37) 〈aT (w), t〉L = 1.

Zum allgemeinen Beweis sei nur gesagt, daß man (falls notig) mit Modifikation (1)beginnen sollte und ab dann den gesternten Automorphismus hzθ∗h−1 =: θ′ bei-behalt. Das so modifizierte Doppelmatching sei (θ′; γ, δ; γ, δ, T ′, η′, χα′). Hieringilt fur das (hintere) Referenzmatching T ′ ∈ [Tξ,θ′ ], denn diese G(F )–Konjuga-tionsklasse wird (nach 5.42) charakterisiert durch die einzige Kohomologieklassemit Vertreter n′(σ) ∈ Z1(F ′/F,N ′(F ′)x), wobei N ′ = Norm(T′θ′ , G) fur einen (ir-genwie fixierten) maximalen F–split Torus, der θ′–invariant ist und fur den giltT′(F ′)c ⊂ G(F ′)x. Dieser Kozykel ist n′(σ) = hn(σ)h−1, wenn n(σ) ∈ N(TΘ∗

(F ′))x

die Konjugationsklasse [Tξ,θ∗ ] charakterisiert.Allerdings muß (nach der Modifikation (1)) δ nicht die Normierungsbedingungen5.43 bezuglich θ′ erfullen. Weil hσ(h)−1 ∈ Cent(Gder)(F

′) ⊂ T (F ′)x, exisitiert ein

t ∈ T (F ′)x, so daß th ∈ G(F ). Dann ist thδ(th)−1 ∈ T ′(F ), erfullt die Normierung5.43 und ist G(F )–konjugiert zu δ. Daher kann man jetzt Modifikation (2) benutzen,um das hintere Referenzmaching wieder zu normieren.Danach kann man mit den Modifikationen (2) bis (4) jedes andere Referenzmatchingmit θ′ erreichen.

(5.46) Anmerkungen: Nach dem Satz wird die Abhangigkeit des normiertenFaktors ∆x

III von irgendwelchen Wahlen beschrieben durch (5.37.1+2+4).Mit einigem Bezeichnungsaufwand zeigt man leicht, daß fur zwei beliebige Matchingsγi ↔ δi (i ∈ 1, 2) gilt:

∆III(γ1, δ1; γ2, δ2) =∆x

III(γ1, δ1)

∆xIII(γ2, δ2)

.

Definition und Eigenschaften von ∆ im quasisplit–Fall

(5.47) Bis hierher sei die Situation (5.21) fixiert (und G unverzweigt) Man definiert

∆(γ, δ) := ∆x,z∗H (γ, δ) = ∆xI (γ, δ) ·∆II(γ, δ) ·∆x

III(γ, δ) ·∆IV(γ, δ).

Wenn zwischen γ und δ kein Matching besteht oder ∂γ 6= z∗H , setzt man ∆(γ, δ) = 0.

Satz 5.48 ([KS99]). Fur zwei Matchings γ ↔ δ ∈ L(F ) und γ ↔ δ ∈ L(F ) starkregularer Elemente mit γ−1σ(γ) = z∗H(σ) = γ−1σ(γ) ist

∆(γ, δ; γ, δ) :=∆I(γ, δ)

∆I(γ, δ)· ∆II(γ, δ)

∆II(γ, δ)·∆III(γ, δ; γ, δ) ·

∆IV(γ, δ)

∆IV(γ, δ)=

∆(γ, δ)

∆(γ, δ)

kanonisch.

Beweis: Das ist [KS99, Theorem 4.6.A] und ergibt sich auch aus den Angaben, diebei den Definitionen der einzelnen Faktoren oben aus jener Arbeit zitiert wurden.

Unverzweigte endoskopische Daten 107

Allerdings haben [KS99] einen Transferfaktor ∆(γ, t, θ) wahrend hier t und θ zuδ = tθ zusammengefaßt wurden. Um zu zeigen daß ∆ unabhangig ist von derZerlegung δ = t ·θ, reicht es darauf hinzuweisen, daß die Großen θ∗, η : TH → Tθ∗ , t

∗

und g aus Definition 5.9 zur Berechnung von ∆ vollstandig ausreichen. Sie hangenvon γ und δ ab, wie oben geschildert, aber nicht von einer Zerlegung δ = tθ.

Satz 5.49. Wenn G unverzweigt ist und x ein hyperspezieller Punkt im GebaudeB(G,F ), dann ist der durch (5.27) und (5.43) normierte Faktor ∆x = ∆x

I ·∆II ·∆xIII ·

∆IV kanonisch, d.h. unabhangig von allen Wahlen in (5.21).

Beweis: ∆IV ist nach Konstruktion unabhangig und die Abhangigkeiten der anderenFaktoren heben sich gegenseitig auf: Das folgt aus (5.26) und (5.37) bzw. (5.46).

Satz 5.50 (Eigenschaften von ∆(·, ·)).(a) Sei H(F ) 3 γ ↔ δ ∈ L(F ) ein Matching, γ′ stabil konjugiert zu γ und δ′ =hδh−1 mit h ∈ G(F ). Dann gilt

∆(γ′, δ′) = ω(h)−1 ·∆(γ, δ),

wobei ω der zu a ∈ H1(WF ,Cent(G)) gehorende Charakter auf G(F ) ist. Daher istfur f ∈ C∞c (L(F ))

∆(γ, δ′) ·OL,ωδ′ (f) = ∆(γ, δ) ·OL,ω

δ (f),

wobei OL,ωδ (f) =

∫Cent(δ,G)(F )\G(F )

ω(g)f(g−1δg)dgdt

mit geeignet gewahlten Maßen.

(b) Sei zH das Bild von z ∈ Cent(G)(F ) unter Cent(G)(F ) → Cent(H)(F ) aus(5.6). Dann gilt

∆(zHγ, zδ) = 〈aT (w), z〉L ·∆(γ, δ).

Beweis: (a) ist [KS99, Theorem 5.1.D] und (b) ist ein Korollar von Lemma 5.38, dennalle Faktoren außer ∆III werden (eigentlich) in der adjungierten Gruppe gebildet.

Unverzweigte endoskopische Daten

(5.51) In diesem Paragraphen werden alle fundamentalen Annahmen angenommenaußer (5.17.5+6). Insbesondere zerfallt G uber der unverzweigten Erweiterung F ′/Fund a ∈ H1(Gal(F ′/F ),Cent(G)).

(5.52) Assoziierte L–Aktion: Gegeben sei eine reduktive F–Gruppe Q undP = Q o WF das semidirekte Produkt der dualen Gruppe Q mit der WeilgruppeWF . Es wird nicht gefordert, daß P eine L–Gruppe ist, d.h. die WF –Aktion aufQ stabilisiert nicht notwendig irgendein Splitting von Q, das stabil ist unter WF →Gal(F /F )

ρQ−→ Aut(Q). (Das ρQ ist aus (1.10).)In [LS87, (1.2)] wird nach Wahl eines ρG(Gal(F /F ))–stabilen Splitting splQ (d.h.eines F–Splittings) dem semidirekten Produkt P folgende L–Aktion zugeordnet:


Man multipliziert die WF –Aktion, die vom semidirekten Produkt herkommt,mit einem geeigneten Kozykel aus Z1(WF , Inn(Q)), so daß das Produkt splQstabil laßt.

Diese assoziierte L–Aktion nennen Langlands und Shelstad ρP . Sie ist durch splQeindeutig bestimmt. Fur eine L–Gruppe LG hat man ρLG = ρG, wobei das ρG aus(1.10) ist.

Lemma 5.53. Gegeben sei ein endoskopisches Datum (H,H, s, ξ) fur (G, θ, a), furdas H unverzweigt ist und die Annahmen (5.17.1-4+6+7) gelten. Dann existierteine L–Einbettung ξ0 : LH → LG, so daß

LH ξ0 //

id×ϕ

LG

id×ϕ

H o Γ // Go Γ

kommutiert. Dabei ist Γ die Galoisgruppe einer geeigneten endlichen unverzweigtenErweiterung F ′/F und ϕ : WF → Γ die kanonische Projektion.

Beweis: Sei F ′ (zunachst) ein Zerfallungskorper von H, endlich und unverzweigtuber F , und σ ein Erzeuger von Gal(F ′/F ). Alle Bezeichnungen und Konventionenaus (5.5) werden benutzt.Nach der Definition der endoskopischen Gruppe (5.3.2) ist die assoziierte L–Aktionvon H bzgl. splH gleich der L–Aktion von LH, d.h. ρH(σ) = ρH(σ). Das heißt,es existiert ein h ∈ H, dessen Galoisanteil auf σ projiziert wird, mit inth =ρH(σ) auf H. (Insbesondere stabilisiert inth das Splitting splH .) Weil ξ ein L–Homomorphismus ist, ist intξ(h) = ω(σ) ρG(σ), wobei ω(σ) ein innerer Automor-phismus von G ist. Man sucht nun nach einem Vertreter fur ω(σ) ρG(σ)|H in

Go ϕ−1(σ), der endliche Ordnung hat.

Da sowohl intξ(h) als auch ρG(σ) die Tori T und T θ stabilisieren, hat man dasselbe

fur ω(σ). Also ist ω(σ)|T ∈ W (G, T )θ = W (Gθ, T θ). Vgl. (3.7) und 3.5. Danach

existieren t ∈ T und n ∈ Norm(Gθ, T θ), so daß ω(σ) ρG(σ) = inttno σ. Indemman z.B. fur n den Steinbergreprasentanten n(ω(σ)) aus Lemma 2.7 nimmt, kannman erreichen, daß n o σ von endlicher Ordnung ist (namlich (n o σ)2[F ′:F ] = 1nach [LS87, Lemma 2.1.A.+B.]). Nun soll gezeigt werden, daß man tn o σ durchElemente aus T so abandern kann, daß seine Ordnung endlich wird und es dabei(nach wie vor) auf H wie h operiert.Sei dazu S := Cent(H, G) ∩ T und ω := ω(σ)ρG(σ). Da ρH(σ) von endlicher Ord-nung ist, existiert ein l ∈ N mit

t := (tno σ)l = t · tω · · · tωl−1 · (no σ)l︸︷︷︸=1

∈ Sω.(xii)

Unverzweigte endoskopische Daten 109

Indem man l durch ein geeignetes Vielfaches ersetzt, kann man annehmen, daßt ∈ (Sω). Da Sω ein komplexer Torus ist, existiert ein z ∈ Sω mit zl = t−1. Dannzeigt die Rechnung (xii) oben, daß (ztn o σ)l = 1, zt ∈ T und int(ztn o σ)|H =int(tn o σ)|H = ω|H = intξ(h)|H . (Insbesondere stabilisiert ztn o σ das SplittingsplH .)Sei m := ord(ztno σ) <∞, F ′′ die unverzweigte Erweiterung von F vom Grade mund σ′ ∈ Gal(F ′′/F ) uber σ ∈ Gal(F ′/F ). Nun definiere ξ0 : H o Gal(F ′′/F ) →G o Gal(F ′′/F ) durch ξ0(σ

′) = ztn o σ . Unter Benutzung der Projektion WF →Gal(F /F )→ Gal(F ′′/F ) (und der Inklusion H ⊂ G) ist ξ0 vollstandig definiert.

Korollar 5.54. Sei Z die Untergruppe aller h ∈ H, fur die int(h) das Splitting splHstabilisiert (vgl. [KS99, (2.2)]). Falls die endoskopische Gruppe H unverzweigt ist,ist

1 −→ Cent(H) −→ Z −→ WF −→ 1

splitexakt.

Beweis: In [KS99, (2.2)] wurde gezeigt, daß die Sequenz exakt ist (in der Kategorieder topologischen Gruppen). Diesselbe Argumentation wie im Beweis zu 5.53 lieferteinen homomorphen Schnitt c : WF → Z.Mit Definition (5.3.2) verschafft man sich ein h ∈ H, so daß intξ(h) = ρ(σ) fur einenErzeuger von Gal(F ′/F ) wie im Beweis von 5.53. Man beobachtet die Zerlegungh = tn o σ, wenn man H via ξ als Untergruppe von LG auffaßt und berechnet alsVerscharfung des Beweises von 5.53, daß fur t dort sogar gilt t = ξ(h)l ∈ Sω ∩H =

S〈ω,θ〉. Nach eventueller Vervielfachung von l wahlt man die Korrektur z ∈ (S〈ω,θ〉),so daß ztno σ ∈ ξ(H) endliche Ordnung m hat und auf H operiert wie h, d.h. wiedie L–Aktion ρH(σ). Insbesondere ist ztno σ ∈ Z (bzw. ξ(Z))!Nach eventueller (unverzweigter) Erweiterung von F ′ kann man annehmen, daß

m | [F ′ : F ]. Dann ist der Schnitt c : WFProj.−−−→ 〈σ〉 → Z definiert durch die

Vorgabe, daß σ abgebildet wird auf das Urbild von ztno σ unter ξ.

Korollar 5.55. Wenn (H,H, s, ξ) endoskopisches Datum fur (G, θ, a) ist mit un-verzweigtem H, dann existiert immer ein Isomorphismus ι, der auf den WF–Kom-ponenten von LH und H die Idenditat bewirkt, so daß das folgende Diagramm kom-mutiert:

LHι //H

H?

OO

H?

OO

Beweis: Das ist aquivalent zum vorangegegangenen Korollar.

Also darf man, wenn die fundamentalen Annahmen 5.17(1)-(4) in Kraft sind undH unverzweigt ist, immer annehmen, daß H bereits eine L–Gruppe ist und der L–Homomorphismus ξ : H = LH → LG uber die endliche unverzweigte Galoisversion


der L–Gruppen ξ0 : H o 〈σ〉 → Go 〈σ〉 faktorisiert.Das war bei der Begrundung der fundamentalen Annahmen in (5.18) noch offengeblieben.

111

6 Homogenitat

(6.1) Fest vorgegeben sei weiterhin ein Tripel (G, θ, a) und ein endoskopischesDatum (H,H, s, ξ), und die fundamentalen Annahmen von (5.17) gelten weiterhin.Sei γ ∈ H(F ) stark regular, stark kompakt und Norm–Image von δ ∈ G(F )∩L. DieBezeichnungen fur das Matching γ ↔ δ werden aus (5.9) ubernommen, insbesonderealles, was in dem Diagramm

THη // Tθ∗ T

Pθ∗oo T ∩ Lx 7→xθ∗−1

oo TG ∩ Lintgoo

γ // Pθ∗(t∗) t∗

oo δ∗oo δ

oo

benannt wird. Sei E ein galoisscher Zerfallungskorper von T , endlich uber F ′, sodaß t∗ ∈ T (E) und g ∈ G(E). Immer ist l := |π0(G)|.Zur Berechnung des (normierten) Transferfaktors ∆x seien ein θ∗ ∈ L(F ′) wie in(5.17)(3) und ein hyperspezieller Punkt x ∈ B(G,F )θ∗ fixiert.

Behauptung 6.2. Wenn γ stark kompakt ist, sind auch δ und δ∗ stark kompakt.

Beweis: Weil TH(F )∼−→ Tθ∗(F ) in der Kategorie tJZp verlauft, ist Pθ∗(t

∗) starkkompakt. Die Einschrankung von Pθ∗ auf T θ∗ hat aus Dimensionsgrunden endlichenKern. Weil δ∗l = t∗ · θ∗(t∗) · · · θ∗l−1(t∗) ∈ T θ∗ und unter Pθ∗|T θ∗ auf das starkkompakte Pθ∗(t

∗)Q abgebildet wird, ist δ∗l stark kompakt. Mit δ∗lZ ist aber auch δ∗Z

beschrankt, d.h. δ∗ ist stark kompakt (vgl. (3.28)). Schließlich ist δ stark kompakt,weil intg : T (E)→ TG(E) in tJZp ist.

(6.3) Q–Potenzen von Matchings: Nach (3.31) gibt es ein zu p teilerfremdesN ∈ N, so daß xN = 1 fur alle residuell halbeinfachen x ∈ G(E). Sei Q eine p–Potenz mit Q ≡ 1 (mod N).Die Idee dabei ist, Q moglichst groß zu machen, um bei stark kompakten δ dentopologisch unipotenten Teil von δQ moglichst nahe an die Eins zu bringen. Hierwird gezeigt, daß das Matching bei diesem Potenzierungsprozess nicht verandertwerden muß.Weil Pθ∗(t

∗) = Pθ∗(t∗θ∗) und θ∗l = 1, hat man

Pθ∗(t∗Q) = Pθ∗(t

∗ · t∗θ∗ · · · t∗θ∗Q−1

) = Pθ∗((t∗θ∗)Qθ∗−1) = Pθ∗(δ

∗Qθ∗−1).

Daher hat man ein Matching γQu γs = γQ ↔ δQ = δQ

u δs und zwar mit denselbenGroßen g, T , θ∗ wie bei γ ↔ δ. Genauer hat man

THη // Tθ∗ T

Pθ∗oo T ∩ Lx 7→xθ∗−1

oo TG ∩ Lintgoo

γQ // Pθ∗(t∗Q) t∗ · t∗θ∗ · · · t∗θ∗Ql−1oo δ∗Q

oo δQoo

112 6. Homogenitat

Nach Korollar 3.32 liegen δ∗u und δ∗sθ∗−1 =: s∗ in der Einskomponente T (von T ).

Wegen der Funktorialitat der topologischen Jordanzerlegung hat man SIα(δ∗u) ∈ U1F

undSIα(s∗l) = SIα(s∗ · θ∗(s∗) · · · θ∗l−1(s∗)) = SIα((s∗θ∗)l) = SIα(δ∗ls )

ist residuell halbeinfach in E, d.h. es liegt im Teichmullerschen Restsystem µE. Weill und p teilerfremd sind, folgt aus Korallar 3.30.4 auch SIα(s∗) ∈ µE.

Satz 6.4. Sei γ ↔ δ das Matching stark regularer, stark kompakter Elemente aus(6.1). Sei Q eine p–Potenz, so daß Q ≡ 1 (mod N) (vgl. (6.3)). Wenn γQ, δQ starkregular sind und die χ–Data zahm verzweigt gewahlt werden (vgl. (3.43)), dann hatman

∆x(γQ, δQ) = ∆x(γ, δ) · |Q||M|2

F ·∏

Γ·β∈M/Γ

χβ(Q) ,

wobei M die Menge aller β ∈ ΦI = PI(Φ(G)) ist, so daß die α ∈ Φ mit PI(α) = βeiner der folgenden Bedingungen genugen:

• α ist vom Typ I, SIα(δ∗sθ∗−1) = 1 und PI(α) = β kommt nicht von H her.

(Vgl. Definition 5.7.)• α ist vom Typ II, SIα(δ∗sθ

∗−1) ∈ ±1 und weder PI(α) noch 2PI(α) kommenvon H her.

• α ist vom Typ III, SIα(δ∗sθ∗−1) = −1 und PI(α) kommt von H her.

M/Γ bezeichnet die Menge aller Γ–Orbiten in M .

Weil Quadrate in Q×p sicherlich Normen bei jeder quadratischen Erweiterung p–adischer Korper sind, sind alle χ–Data trivial auf Q×2

p . Daher hat man das

Korollar 6.5. Sei Q ∈ Q×2p und sonst dieselben Bedingungen und Bezeichnungen

wie in Satz 6.4. Dann gilt

∆x(γQ, δQ) = ∆x(γ, δ) · |Q||M|2

F .

Der Beweis von Satz 6.4 geht (fast) bis zum Ende dieses Kapitels. Dabei werden dieFaktoren ∆I, ..., ∆IV getrennt analysiert. Fur den Faktor ∆I ist die Analyse trivial.Da er (via λaα(T

θ∗sc )) nur vom Torus T abhangt, hat man sofort

∆I(γQ, δQ) = ∆I(γ, δ).

Homogenitat von ∆II und ∆IV

Lemma 6.6. Sei eF der Verzweigungsindex von F/Qp und p > eF + 1. Sei u ∈ U1F

eine Einseinheit in F und Q eine p–Potenz. Dann ist

uQ − 1

Q(u− 1)∈ U1

F := 1 + p .

Homogenitat von ∆III 113

Beweis: [Hal93, Lemma 3.1] oder [Hasse, §15.5.I]

Behauptung 6.7. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.4 gilt

∆II(γQ, δQ) = ∆II(γ, δ) ·

∏Γ·PI(α)∈M/Γ

χPI(α)(Q).

Beweis: Sei χ = χPI(α), ε ∈ ±1 und s∗ = δ∗sθ∗−1 wie in (6.3). Weil die χ–Data

zahm verzweigt angenommen werden, gilt

χPI(α)

(SIα(t∗)− ε

)=χ(SIα(s∗)︸︷︷︸∈µF

SIα(δ∗u)︸︷︷︸∈U1

F

−ε)

=

χ(ε · (SIα(δ∗u)− 1)

)falls SIα(s∗) = ε

χ(SIα(s∗)− ε

)falls SIα(s∗) 6= ε

Wegen s∗ = δ∗sθ∗−1 = (δ∗Q)s · θ∗−1 und Lemma 6.6 hat man

χ(SIα(δ∗Qθ∗−1)− ε

)=

χ(ε · (SIα(δ∗Qu )− 1)

)χ(SIα(s∗)− ε

) falls SIα(s∗) = εsonst

=

χ(Q) · χ

(ε · (SIα(t∗)− 1)

)χ(SIα(t∗)− ε

) falls SIα(s∗) = εsonst

Indem man damit alle Falle in Zahler und Nenner von ∆II durchgeht, erhalt mandie Behauptung.

Behauptung 6.8.

∆IV(γQ, δQ) = ∆IV(γ, δ) · |Q||M|2

F

Beweis: Der Beweis ist der von Behauptung 6.7. Man muß nur alle (zahm verzweig-

ten) Charaktere χPI(α) ersetzen durch den unverzweigten Charakter | · |1/2

Fund die

Formel aus Behauptung 7.30 benutzen um ∆IV in die Gestalt

∆IV(γ, δ) =DG/TG

(δ∗)

DH/TH(γ)

=∏

PI(α)∈PI(Φ(G))

∣∣ε(α) · SIα(t∗)− 1∣∣ 12F·∏

α∈Φ(H)

∣∣α(γ)− 1∣∣− 1

2

F

zu bringen, in der die Analogie zu ∆II offenbar wird. (Dabei ist ε(α) = −1 fur αvom Typ III und sonst = 1.) Allerdings wird hier nun nicht mehr uber Γ–Orbitenvon Wurzeln, sondern uber die Wurzeln selbst multipliziert. Deswegen geht in dieFormel oben |M | statt |M/Γ| ein.

Homogenitat von ∆III

Satz 6.9. Sei x ∈ B(G,F )θ∗ hyperspeziell. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.4gilt

∆xIII(γ, δ) = ∆x

III(γs, δs) .

114 6. Homogenitat

Beweis: Von dem nach 5.43 normierten Referenzmatchings γ ↔ δ, werden nur v(σ)und t∗ (zur Bildung von V (σ)) benutzt werden.Fur die beiden Matchings γQ

u γs ↔ δQu δs und γ ↔ δ bleibt nach (6.3) der 1–

Kozykel v(σ) = gσ(g−1) aus (5.34) der gleiche. Also hat man im einen Fall V (σ) =((v−1, v), (t∗, t∗−1)

)∈ Z1(F,U → S) und im andern Fall

((v−1, v), (δ∗Qθ∗−1, t∗−1)

)zu betrachten.Sei δ∗ = δ∗s · δ∗u die topologische Jordanzerlegung (in T (E)). Nach Korollar 3.32 istδ∗u ∈ T und vertauscht mit δ∗s ∈ T ∩ L, d.h. δ∗u ∈ T θ∗(E).Sei m ∈ N. Aus dem Matching (aus (6.3)) γQ

u γs ↔ δQu δs folgt (vgl. 5.34) die

1–Hyperkozykelrelation

(1− θ∗)v(σ) = δ∗Qm

σ(δ∗Qm

)−1 = δ∗Qm

u︸︷︷︸ δ∗sσ(δ∗s)−1︸︷︷︸σ(δ∗Q

m

u )−1︸︷︷︸ = (δ∗s)1−σ · (δ∗Qm

u )1−σ,

wobei alle unterklammerten Terme in T liegen. Indem man diese Gleichung furmehrere m vergleicht, folgt (1 − θ∗)v(σ) = (δ∗s)

1−σ und δ∗σu = δ∗u. Daher ist δ∗u ∈T θ∗(F ) und in Z1(F,U → S) gilt(

(v−1, v), (t∗, t∗))

=((v−1, v), (δ∗sθ

∗−1, t∗))·((1, 1), (δ∗u, 1)

)(i)

Der letzte Term rechts außen liegt in j(H0(F, S)) in der Spektralsequenz (viii) in(5.32). Um die Aussage des Satzes zu zeigen, muß man also zeigen, daß in derKottwitz–Shelstad–Paarung (vi) in (5.32) gilt

1 =⟨A(w), j(δ∗u, 1)

⟩KS

(5.32)=

(vii)

⟨(aT (w), xsc(w)

),(δ∗u, 1

)⟩L

(5.36)=(x)

⟨aT (w), δ∗u

⟩L,

wobei zuletzt die Kottwitz–Shelstad–Paarung zwischen den Hyperkohomologiegrup-pen H1(F, Tsc → T ) und H1(F, T → Tad) gemeint ist. Daher ist man fertig, wennFolgendes bewiesen ist:

Lemma 6.10. Wenn die χ–Data alle zahm verzweigte Charaktere sind, ist 〈aT (w), ·〉Lein zahm verzweigter Charakter von T (F ).

Beweis:1. Schritt: Es reicht, zu zeigen, daß das Quadrat des Charakters 〈aT (w), ·〉L ∈Homc(T (F ),C×) zahm verzweigt ist, denn nach Korollar 3.30.4 kann man aus jedemtopologisch unipotenten Element (eindeutig) Wurzeln in T (F ) ziehen (weil p > 2):

〈aT (w), u〉L = 〈aT (w)2, u12 〉L (fur u topologisch unipotent).

2. Schritt: Um aT (w) zu berechnen, werden folgende Bezeichnungen benutzt: Esseien (fur w 7→ σ unter WE/F → Γ = Gal(E/F ))

ξT (w) = rp(w) · sq/p(σ) · nG(ωT (σ)) o w ∈ LG rp(w) ∈ TξTH

(w) = rp(w) · sq/p(σ) · nH(ωTH(σ)) o w ∈ LH rp(w) ∈ TH

ξ(w) = mξ(σ) o w ∈ LG


wobei alle Bezeichnungen fur LG aus (3.47) stammen: ωT (σ) bezeichne den Weyl-gruppenanteil der durch die Identifikation T ' T (aus (5.5)) von T auf T ubertra-genen Galoisaktion von σ. Der Steinbergrepresentant nG(...) (bzgl. splG) ist in 2.7definiert worden. In (v) in (3.47) wurde rp definiert. Dabei ist p eine Eichung vonΦ, wie sie Definition 3.44 vorkommt. Die Eichung q ist durch den Positivbereich Φ+

(also durch B) definiert. Die Ubergangskokette sq/p ∈ X∗(T )⊗ ±1 wurde in 3.46definiert.Sinngemaß sind auch alle Bezeichnungen fur die endoskopische Gruppe LH zu ver-stehen. Nur zur Unterscheidung tragen sie Balken.Die Bezeichnungen fur ξ stimmen mit (5.3.4) uberein. Es ist bequem, ξ auf H alsInklusion aufzufassen.Nach der Definition von aT (w) in (5.35) rechnet man in LG:

aT (w)rp(w)sq/p(σ)nG(ωT (σ)) o w = aT (w) · ξT (1 o w)(5.35)=(ξ ξTH

)(1 o w)

= ξ(rp(w)sq/p(σ)nH(ωTH

(σ)) o w)

= rp(w)sq/p(σ)nH(ωTH(σ))mξ(σ) o w

Also

aT (w) = rp(w)︸︷︷︸∈T

sq/p(σ)︸︷︷︸∈T

nH(ωTH(σ))mξ(σ)nG(ωT (σ))−1︸︷︷︸

=: t(σ) ∈ T

sq/p(σ)−1︸︷︷︸∈T

rp(w)−1︸︷︷︸∈T

.(ii)

Direkt aus der Definition 3.46 folgt s2q/p = 1 (und s2

q/p = 1). Weil aT , r2p und r2

p

1–Kozykel aus Z1(WE/F , T ) sind, ist t2(σ) ∈ Z1(Γ, T ) ⊂ Z1(WE/F , T ).

3. Schritt: Offensichtlich ist t2(σ) ein unverzweigter 1–Kozykel (denn t2(x) = 1 furx ∈ E× ⊂ WE/F ). Nach (3.37) ist somit sein Anteil am Charakter 〈aT (w)2, ·〉L un-

verzweigt. Der restliche Teil korrespondiert nach (ii) zu r2p ·r−2

p ∈ H1(WE/F , T ). Diesliefert nach (3.36) und dem folgenden Lemma einen zahm verzweigten Charakter,so daß man fertig ist.

Lemma 6.11. Seien alle χ–Data χλ | λ ∈ Φ := (Φ(G)θ)∨ zahm verzweigte Cha-

raktere (von den entsprechenden F×+,λ). Man wahle fur jedes λ eine zahm verzweigte

Erweiterung χ′λ auf E×, so daß χ′−λ = χ′λ−1. Sei φλ := λ χ′λ ∈ Hom(E×, T θ).

Dann ist rp(w)2 · rp(w)−2 in H1(WE/F , Tθ) kohomolog zu

CorWE/F

E×

( ∏λ aus Vertretersystem

fur die Γ-Orbitenin Φ(H, TH)

φλ ·( ∏

λ aus Vertretersystemfur die Γ-Orbiten

in Φ∨(Gθ, T θ)

φλ

)−1),

wobei die Produkte uber die Galoisorbiten von Wurzeln in Φ(H,TH) = Φ∨(H)ξ→

(Φ(G)θ)∨ bzw. Φ∨(Gθ) ⊂ (Φ(G)θ)

∨ = (Φ∨(G, T )θ∗)∨ ausgefuhrt werden. Auf die-

sem (letzten) Wurzelsystem werde dabei die Galoisaktion durch die IdentifikationT ' T von T her induziert. (Das ist mit den Gleichheitszeichen gemeint!)

116 6. Homogenitat

Beweis: Nach Definition (v) in (3.47) ist rp ein Produkt uber gewisse rp,α fur allesymmetrisierten Galoisorbiten R = Γ(−α) ∪ Γα in Φ. Ab jetzt sei ein α fixiert unddie Bezeichnungen aus den Definitionen 3.42 und 3.44 werden fur dieses α verwen-det.(Insbesondere werden das Vertretersystem R+ fur Γ/Γ±, die Vertreter wσ | σ ∈R+ fur WE/F/WE/F± und der Spezialvertreter v ∈ WE/F+ −WE/F± im symmetri-schen Fall Γ± 6= Γ+ vorkommen.)Die Wahlen dieser Vertreter, des Fußpunkts α ∈ R und der Eichung p (die durchα und R+ nach 3.44 bestimmt ist) verandern rp,α nach Fakt 3.45 nur um Korander

aus B1(WE/F , Tθ) ab. Ausgehend von den exakten Sequenzen

1 −→ E× −→ WE/F+ −→ Γ+ −→ 11 −→ WE/F+ −→ WE/F −→ Γ/Γ+ −→ 1

rechnet man:(Cor

WE/F

E× φα

)(w) =

(Cor

WE/F

WE/F+ Cor

WE/F+

E×

(α χ′α

))(w)

Weil Γ+ die Stabilisatorgruppe von α ist, hat man

=(Cor

WE/F

WE/F+

(α Cor

WE/F+

E× (χ′α)︸︷︷︸=χαr−1

F+

))(w) ,

Die Umformung unter der Klammer gilt nach (3.34) und (3.35) fur den eindimen-sionalen Splitorus.

=∏

σ∈Γ/Γ+

τ(α)⊗((χα r−1

F+)(w−1

τ wwσ︸︷︷︸∈WE/F+

))∈ X∗(T θ)⊗ C× = T

wobei τ ∈ Γ/Γ+ von σ und w so abhangt, daß die Bedingung unter der Klammererfullt ist. Aus optischen Grunden lauft ab jetzt das Produkt uber τ :

=∏

τ∈Γ/Γ+

τ(α)⊗((χα r−1

F+)(w−1


))

Falls Γ± = Γ+ ist dies genau rp,α. Andernfalls hat man (Beachte, daß im Folgendenσ immer noch in Γ/Γ+ liegt, so daß w−1

τ wwσ ∈ WE/F+ , aber τ ∈ R+ ⊂ Γ!).

=∏

τ∈R+

τ(α)⊗((χα r−1

F+)(w−1


))·∏

τ∈R+

τ(v(α))⊗((χα r−1

F+)(v−1w−1


v))


Weil (nach 3.42(2)+(3)) v(α) = −α und χα(v−1wv) = χα(w)−1 fur w ∈ WE/F+ ,folgt

=∏

τ∈R+

τ(α)⊗((χα r−1

F+)(w−1


))2

= rp,α(w)2

Wegen φ−α = (−α) χ′−α = (−α) (χ′α−1) = φα, hat man im asymmetrischen

Fall Γ± = Γ+ dieselbe Rechnung noch fur den Γ–Orbit von −α. Indem man dieRechnung fur alle Γ–Orbiten in Φ(G) (fur rp) und Φ(H) (fur rp) zusammenrechnet,erhalt man die Behauptung.

Nun sind alle Aussagen von 6.4 bis 6.11 bewiesen. Es folgen noch Korollare zumBeweis von Satz 6.9.

Korollar 6.12. Das Bild von aT (w) in G/(G)der ist dasselbe wie das von mξ(σ)oder das von tξ(σ) aus der Zerlegung mξ(σ) = tξ(σ)nξ(σ) in (5.8).

Beweis: Das folgt sofort aus der Berechnung von aT (w) in (ii) im zweiten Schrittdes Beweises von 6.10: Sowohl rp, sq/p, rp, sq/p als auch die Steinbergreprasentanten

(aus 2.7) und nξ(σ) sind in Gder konstruiert worden. (Im Ubrigen hangt mξ(w)nach der fundamentalen Annahme (5.17.5) bzw. nach Lemma 5.53 nur von demBild w 7→ σ ∈ Γ ab.)

Wenn T unverzweigt ist und die χ–Data unverzweigte Charaktere sind, hat mannoch mehr als Lemma 6.11. Dann kann man aT (w) direkt benutzen, weil die Cha-rakterisierung der unverzweigten Langlandsdualitat in (3.37) starker ist als die zahmverzweigte in (3.36): Man kann die Eigenschaft, unverzweigt zu sein, am KozykelaT selbst ablesen.

Korollar 6.13. Wenn der Torus T unverzweigt ist und alle χ–Data unverzweigteCharaktere sind, ist 〈aT (w), ·〉L ∈ Homc,unv(T (F ),C×).

Beweis: Nach (3.37) ist zu zeigen: aT (u) = 1 fur alle u ∈ O×E ⊂ E× ⊂ WE/F .Man benutzt wieder die Darstellung (ii) auf Seite 115. Die Steinbergreprasantantensind 1 weil σ = 1 (das leere Wort produziert). Weil σ 7→ mξ(σ) ein 1–Kozykel

(mit Werten in G) ist, ist aT (u) = rp(u) · rp(u)−1. Daher berechnet man fur die

α–Faktoren von rp (und analog rp):

rp,α(u) =∏

wσ∈R+

σ(α)⊗((χα r−1

F+)(w−1

σ uwσ))

=∏

wσ∈R+

σ(α)⊗(χα

(NormE/F+(σ−1u)︸︷︷︸

∈O×F+

))= 1.

Die zweite Gleichung benutzt zwei funktoriellen Eigenschaften der Reziprozitatsab-bildung (namlich ”Konjugation”=[Ta79, (W2)] und ”Norm versus Inklusion”=[Ta79,(1.2.2)] aus (1.1)).

118 6. Homogenitat

Korollar 6.14. Der zentrale Charakter aus Satz 5.50.b ist unverzweigt.

Beweis: Nach Lemma 5.44 gibt es ein Matching γ ↔ δ stark regularer Elemente,so daß T := Cent(Gδ, G) ein θ∗–stabiler erlaubter Torus ist und das Matching uberT := T und die zulassige Einbettung TH := Cent(γ,H)→ Tθ∗ gefuhrt werden kann.Die bedeutet nach der Definition in (5.41), daß T , T bzw. TH unverzweigte Torisind. Daher durfen die χ–Data fur Φ(G, T )θ∗ bzw. Φ(H,TH) unverzweigt gewahltwerden. Wenn man Satz 5.50.b fur diese Matching benutzt, ist man nach Korollar6.13 fertig.

119

7 Reduktionen

(7.1) Sei G und H wie immer seit den fundamentalen Annahmen (5.17) und ω einunitarer Charakter von G(F ). Insbesondere sind G und H quasisplit und zerfallenuber einer unverzweigten Erweiterung F ′/F mit Gal(F ′/F ) = 〈Fr〉. Man muß furdas gesamte Kapitel hyperspezielle maximal kompakte Untergruppen wahlen, denndie Iwasawazerlegung 4.12 geht wesentlich ein.Sei x ein solcher Punkt, Θ∗ die gesternte Aktion von L bezuglich eines F–SplittingssplG(B,T, Xα), von denen man annimmt, daß Θ∗(x) = x und x im Appartmentzum maximalen F–Splittorus Tsp von T liegt. Dann sei K = G(F )x. Wegen Ko-rollar 4.35 existiert nach der Annahme (5.17.3) ein residuell halbeinfaches Elementθ′ ∈ T(F ) ∩ L, Bis auf (gewisse) Faktoren aus T(F )x = T(F ) ∩K ist θ′ eindeutig

bestimmt. (Vorsicht: Im Allgemeinen ist ordθ′ > ordΘ∗ = |π0(G)| =: l.)Die hyperspezielle maximal kompakte Untergruppe KH von H(F ) soll so gewahltwerden, daß ein Matching KH 3 γ ↔ δ ∈ K stark regularer Elemente existiert. Nurdiese Situation wird gebraucht. O.E. liege der spezielle Punkt zu KH im Appart-ment zu TH,sp ⊂ TH ∈ splH .Der maximale F–Splitsubtorus eines Torus T wird mit Tsp bezeichnet. Sein dualer

Torus wird oft Tsp genannt statt (korrekter) (Tsp)∧. Als weitere gebrauchliche Be-

zeichnungen werden das unipotente Radikal U von B vorkommen, sowie der ModulδB des (rechtsinvarianten) Haarmaßes auf B(F ).

Definition 7.2. Die Heckealgebra H(G(F ), K) von X ist die Algebra der stetigen,C–wertigen Funktionen auf X(F ) mit kompaktem Trager, die invariant sind unterRechts–und Linkstranslation mit Elementen aus K. Das Algebrenprodukt ist dieFaltung (f1 ∗ f2)(x) =

∫y∈G(F )

f1(y)f2(y−1x)dy.

Fur eine (disjunkte) Vereinigung X =∐

i(Li)(F ) von ZusammenhangskomponentenLi ⊂ G sei

H(X,K) := C∞c (K\X(F )/K).

Man hat (kanonisch) H(X,K) → H(G,K) (als H(G(F ), K)–Modul), indem manf ∈ H(X,K) trivial auf G(F ) ausdehnt.

Sataketransformation

Ziel der ersten beiden Abschnitte dieses Kapitels ist die Definition des Transfersvon Heckefunktionen von G zur endoskopischen Gruppe H in (7.16). Dazu benutztman ξ und die Sataketransformation. Hier wird die Theorie fur zusammenhangendeGruppen referiert. Im nachsten Abschnitt wird die Sataketransformation auf Gverallgemeinert.

(7.3) unverzweigte Hauptserie: Die Ordnungsabbildung ν, die in (4.1) beider Konstruktion des Gebaudes eingefuhrt wurde, induziert Isomorphien

T(F )/T(F )c∼ ν−−→ X∗(T)Gal(F /F ) = X∗(Tsp)

ν ∼←−− Tsp(F )/Tsp(F )c .

120 7. Reduktionen

Dual dazu bekommt man

Homunv(T(F ),C×) ' Hom(X∗(Tsp),C×) = (Tsp)∧ Def.

= Tsp ,(i)

wobei der unverzweigte Charakter χs zu s ∈ Tsp festgelegt ist durch χs(pλF ) =

λ(s) fur alle λ ∈ X∗(Tsp) = X∗(Tsp).Fur einen unverzweigten Charakter χ von T(F ) sei

I(χ) = IGB (χ) :=

f ∈ C∞(G(F ),C)

∣∣∣ f(tug) = δ12B (t)χ(t)f(g)

falls t ∈ T(F ), u ∈ U(F ), g ∈ G(F )

.

Die unverzweigte Hauptseriendarstellung Hs(χ) von G(F ) zu χ ist die Rechtstrans-lation auf diesem Raum. Die K–fixierten Vektoren I(χ)K bilden wegen der Iwasa-wazerlegung einen eindimensionaler Unterraum. Sei πχ (bzw. πs := πχs) der ein-deutige irreduzible K–unverzweigte Konstituent der Hauptseriendarstellung Hs(χ)(bzw. Hs(χs)). Genau dann sind πs und πt aquivalent, wenn s und t in einemW (G)Fr–Orbit von Tsp(F ) liegen. Sei Πunv(G(F )) die Aquivalenzklassen von K–unverzweigten irreduziblen Darstellung von G(F ). Dann erhalt man eine Bijektion

Tsp/WFr 1−1−−→ Πunv(G(F )).

Satz 7.4 (Sataketransformation). Es gibt einen Isomorphismus

(·)∨ : H(G,K)∼−→ C[Tsp]

W (G)Fr

, f 7→ f∨ :=(s 7→ Tr(πs(f))

).

Beweis: [Car79, Theorem 4.1]

(7.5) Dual zur Einbettung Tsp → T hat man eine Surjektion i∨ : T Tsp.Betrachte die Abbildungen

(Go Fr)he ← T o FrtoFr 7→ i∨(t)−−−−−−−−→ Tsp ,

wobei links die halbeinfachen Elemente in Go Fr stehen. Nach [Bo79, 6.1+6.4.6.5]induzieren diese Abbildungen folgende Bijektionen (N := Norm(T, G))

(Go Fr)he

/G–Konj.

1−1←→ (T o Fr)/NFr–Konj.

1−1←→ Tsp

/WFr.

(7.6) Fur den Spezialfall, daß G = T ein Torus ist, liefert nach [Bo79, 9.5] dieZusammensetzung

Homunv(T(F ),C×)(i)' Tsp

1−1←→ (T o Fr)/T ' H1(〈Fr〉, T)

infl−−→ H1unv(WE/F , T)

Sataketransformation 121

das Inverse rec−1 der (unverzweigten) Langlandschen Reziprozitatsabbildung aus(3.37).

(7.7) Definition von sω: Nach den Annahmen in (5.17.4) ist a ∈ H1(〈Fr〉,Cent(G))vorgegeben und ergibt einen unverzweigten Charakter ω von G(F ). (Vergleiche[Bo79, 10.2].) Ab jetzt werden H1(〈Fr〉,Cent(G)) ' (Cent(G) o Fr)/Cent(G) iden-tifiziert. Mit (7.5) erhalt man

Tsp

/WFr ← (Cent(G) o Fr)/Cent(G)

inf−→ H1(WF ′/F ,Cent(G))→ Hom(G(F ),C×)

Sei sω ein unverzweigter Charakter von T(F ), so daß

sω

7−→[a′(Fr) o Fr] 7−→ a(w) 7−→ ω

unter den Abbildungen der letzten Zeile. Der Kozykel a′ wurde in (5.3.4) gewahlt.

Behauptung: sω ∈ i∨(Cent(G)) ⊂ Tsp ist die Einschrankung von ω auf T(F ).

Beweis: Wenn Cent(G) nicht zusammenhangt (d.h. wenn Gder nicht einfach zusam-menhangt) benutzt man (wie in der Beschreibung der IsomorphieH1(WF ,Cent(G)) 'Hom(G(F ),C×) in [Bo79, 10.2]) eine z–Extension G1 von G. (Vgl. (1.13).) Sei

1 −→ Z1 −→ G1 −→ G −→ 1

die zugehorige exakte Sequenz, in der Z1 ⊂ Cent(G1) ein Torus ist mitH1(F,Z1) = 1(so daß G1(F ) G(F ).) Weil Z1 zusammenhangt erhalt man dual dazu

1 −→ LG −→ LG1 −→ LZ1 −→ 1.

Sei T1 ⊂ G1 der Torus uber T. Weil G1,der einfach zusammenhangt, ist Cent(G1) einTorus und dual zu D := G1/G1,der = T1/T1,der. Man hat das kommutive Diagramm

Tsp/WFr uber (7.5)←−−−−−− (Cent(G) o Fr)/Cent(G)y ydurch Inklusion

T1,sp/WFr uber (7.5)←−−−−−− (Cent(G1) o Fr)/Cent(G1)x ∥∥∥

((T1/T1,der)sp)∧ uber (7.6)←−−−−−− (D o Fr)/D.

Andererseits wird ω in [Bo79, 10.2] so konstruiert, daß man das kommutative Dia-gramm hat

H1(WF ′/F ,Cent(G)) //

durch Inkl.

Hom(G(F ),C×)_

H1(WF ′/F ,Cent(G1))

rec // Hom((G1/G1,der)(F ),C×) // Hom(G1(F ),C×)

122 7. Reduktionen

Durch Zusammensetzen der untersten Zeile der beiden kommutiven Diagrammeerhalt man wegen (7.6)

((T1/T1,der)∧sp

rec−1

++

(D o Fr)/Dooinf

// H1(WF ′/F ,Cent(G1))rec // Hom((T1/T1,der)(F ),C×)

als Kompositum genau die Identifizierung (i) in (7.3). Nach Definition von sω wirddabei der Pullback von sω auf den von ω abgebildet. Indem man alles auf T druckt,hat man die Behauptung. Das geht nach der Konstruktion von ω in [Bo79, 10.2]bzw. nach den kommutativen Diagrammen oben.

Sataketransformation mit Twist

Behauptung 7.8. Betrachte

Π(G, θ, a) :=[πs] ∈ Πunv(G(F )) | πs Θ∗ ist aquivalent zu ω · πs

und folgende algebraische Teilmenge von Tsp (den unverzweigten Charakteren vonT(F )):

Π(Θ∗, ω) :=s ∈ Tsp | ∃w ∈ W (G)Fr mit wθ(s)w−1 = sω · s

.

Weil sω invariant ist unter WFr, ist diese Menge stabil unter der Operation vonWFr. Unter der Bijektion Tsp/W

Fr ←→ Πunv(G(F )) in (7.3) korrespondieren

Π(Θ∗, ω)/WFr 1−1←→ Π(G, θ, a)

Beweis: Nach (7.3) ist πθ(s) aquivalent zu πsωs genau dann, wenn θ(s) und sωs unter

der Weylgruppe WFr konjugiert sind. Daher reicht es, zu zeigen, daß πθ(s) ∼ πs Θ∗

und πsωs ∼ ω · πs. (∼ bezeichne Aquivalenz.) Beide Aquivalenzen folgen ausden Definitionen: Unter Tsp

∼−→ Homunv(T(F ),C×) hat man wegen (7.7) zum einen

sωs 7→ ω · χ und zum anderen θ(s) 7→ χs Θ∗ (nach Definition von θ).

Lemma 7.9. Sei ω unitar. Dann gibt es in jeder WFr–Konjugationsklasse vonΠ(Θ∗, ω) ein s ∈ Tsp, so daß ein Intertwiner IΘ∗ : I(χs) → I(χs) existiert, der πs

vertauscht mit ω−1 ⊗ (πs Θ∗).

Beweis: Weil Tsp ' C×m fur ein m ∈ N, ergeben die Polarkoordinaten fur C eine

eindeutige Zerlegung Tsp 3 s = r · u, so daß alle Eigenwerte von r positiv reell sindund alle Eigenwerte von u vom Betrag 1. Dieser Zerlegung entspricht die Zerlegungχs = (| · | χs) · χs,unitar, wobei χs,unitar unitar ist.

Sei nun s ∈ Π(Θ∗, ω). Durch WFr–Konjugation kann man erreichen, daß r in derpositiven Weylkammer zu B liegt, d.h. α(r) ≥ 1 fur alle α∨ ∈ ∆ = ∆(G,B,T).

Sataketransformation mit Twist 123

Fixiere ab jetzt s = r · u mit diesen Eigenschaften. Dann ist der unverzweigte Kon-stituent πs von I(χs) ein Untermodul.Durch r wird vermoge α ∈ ∆ | α∨(r) > 1 eine Parabolische P ⊃ B zugeord-net. Sei M die Levigruppe von P , die T enthalt. Dann ist r ∈ Cent(M) undΦ(M,T) = α ∈ Φ(G,T) | α∨(r) = 1.Die folgende Uberlegung zeigt, daß M und P Θ∗–stabil sind. Weil ω unitar ange-nommen wird, bedeutet s ∈ Π(Θ∗, ω), daß ein w ∈ WFr existiert, so daß zugleich(intw θ)(r) = r und (intw θ)(u) = sω · u. (Insbesondere liegt u ∈ Π(Θ∗, ω).) Daθ die positive Weylkammer zu B stabil laßt, folgt sofort, daß w ∈ Stabr(W

Fr) ⊂W (M,T)Fr und θ(r) = r. Daher ist M stabil unter Θ∗.

Weil α(r) = 1 fur α ∈ Φ(M) und weil man aus positiven Zahlen (eindeutig positivreelle) Wurzeln ziehen kann, kann man den Charakter χs = | · | χs zu einemΘ∗–stabilen Charakter von M ausdehnen. Man hat

I(χs) = IGB (χs) ' IG

P

(IM

B∩M(χs,unitar)⊗ χr

),

wobei die unverzweigte Haupseriendarstellung ΠM := IMB∩M(χs,unitar) '

⊕1≤i≤m πi

vollstandig in irreduzible Komponenten πi zerfallt, weil die Darstellung ΠM unita-risierbar ist. Also gilt

I(χs) ' IGP

(ΠM ⊗ χr

)'

m⊕i=1

IGP (πi ⊗ χr)

und der unverzweigte Konstituent ist ein Untermodul genau eines Summanden aufder rechten Seite: O.E. πs → IG

P (π1 ⊗ χr) → I(χs).

Weil u ∈ Π(Θ∗, ω), gibt es einen Intertwiner IΘ∗,M : ΠM Θ∗ → ω ⊗ ΠM Da P undχr Θ∗–stabil sind, kann man den Intertwiner IΘ∗ als Abbildung von

IGP

(ΠM⊗χr

)=

f : G(F )→ ΠM ⊗ χr

∣∣∣∣∣∣f ist lokalkonstant und

f(mng) = (δ1/2P · χr)(m) · ΠM(m)

(f(g)

)fur alle m ∈M(F ), n ∈ NP (F )

auf sich definieren durch

fIΘ∗7−→

[g 7−→ ω−1(g) · IΘ∗,M

(f(Θ∗(g)

))].

Um einzusehen, daß dies ist eine Selbstabbildung von IGP (ΠM ⊗ χr) ' I(χs) ist,

genugt (wegen der Iwasawazerlegung) folgende Rechnung fur alle m ∈ M(F ), n ∈NP (F ) und k ∈ K = G(F )x:(IΘ∗f

)(mnk) = ω(mnk)−1IΘ∗,M

(f(Θ∗(mnk))

)= ω(m)−1δ

1/2P

(Θ∗(m)

)χr

(Θ∗(m)

)(IΘ∗,M ΠM

(Θ∗(m)

))(f(Θ∗(k))

),

124 7. Reduktionen

weil ω unverzweigt ist. Weil δP (m) = δP (Θ∗(m)), folgt

= ω(m)−1δ1/2P (m)χr(m)ω(m)

(ΠM IΘ∗,M(m)

)(f(Θ∗(k))

).

Ebenfalls nach der Iwasawazerlegung folgt, daß der sparische Untermodul πs →I(χs) durch IΘ∗ in sich ubergefuhrt wird und dort den behauptete Intertwiner be-wirkt.

(7.10) Nach der Annahme (5.17.3) gibt es ein t′ ∈ T(F ′), so daß intθ′ = intt′ Θ∗.Weil χsintt′ = χs, ist durch

(It′f)(g) := f(tgt−1) ein Intertwiner It′ : I(χs)→ I(χs)

gegeben, der πs mit πs intt′ vertauscht.

(7.11) Definition von π1s : Sei s ∈ Π(Θ∗, ω) in seiner WFr–Konjugationsklasse, so

daß der Intertwiner IΘ∗ aus Lemma 7.9 existiert. Zusammen mit (7.10) erhalt maneinen Intertwiner Iθ′ = It′ IΘ∗ : I(χs)→ I(χs), der πs vertauscht mit ω−1⊗(πsΘ′),wobei Θ′ := intθ′. Indem man fordert, daß alle Intertwiner trivial auf der GeradenI(χs)

K operieren, ist Iθ′ kanonisch bestimmt.Durch die Vorgabe πs(θ

′) := Iθ′ kann man daher πs zu einer projektiven Darstellungvon G(F ) liften (die G(F )x–fixierte Vektoren besitzt). Da man an Spuren interessiertist, liftet man diese projektive Darstellung zu einer Darstellung einer Gruppe G1 wiefolgt:Sei G0 := Kern(ω) ⊂ G(F ) und G1 das semidirekte Produkt von G1 := G(F ) ×(G(F )/G0) mit θ1, so daß

intθ1 : G1 −→ G1 (g, x) 7−→((intθ′)(g), g · x

).

Durch Iterieren folgt aus wθ(s)w−1 = sω · s wegen sω ∈ TWFr

sp

s = θl(s) = sω · θ(sω) · · · θl−1(sω) · w−11 sw1

fur ein geeignetes w1 ∈ WFr. Weil die Weylgruppe endlich ist, folgt durch weiteresIterieren dieser Gleichung, daß sω · · · θl−1(sω) endliche Ordnung hat. Somit gibt einN1 ∈ ordθ′ ·Z ⊃ lZ, so daß ω ·(ωΘ′) · · · (ωΘ′N1−1) ≡ 1. Insgesamt darf man deswe-gen G1 = G1oZ/N1 annehmen bzw. ordθ1 = N1, denn (intθ1)N1(g, x) =

(Θ′N1(g), x·

g · Θ′(g) · · ·Θ′N1−1(g))

= (g, x). Durch mult((g, x) o (θ1)k) := gθ′k ∈ G(F ) wird

eine Surjektivon G1 G(F ) definiert mit (Kern(mult)) = 1× (G(F )/G0) ⊂ G1.Indem man die Darstellung πs durch π1

s(g, x) := ω(x)−1 · πs(g) liftet zu einer Dar-stellung der Gruppe G1, hat man fur den Intertwiner Iθ′ oben:

π1s

((intθ1

)(g, x)

)= ω−1(gx) · πs

(Θ′(g)

)= ω−1(x) · Iθ′πs(g)I

−1θ′ = Iθ′π

1s(g, x)I

−1θ′ .

Also wird durch g1 · (θ1)m 7→ π1s(g

1)Imθ′ (fur alle g1 ∈ G1, m ∈ Z) eine Darstellung

π1s von G1 definiert.

Sataketransformation mit Twist 125

(7.12) Definition von f 1:Bezeichne K1 die kompakte Untergruppe K × (K ·G0/G0) von G1. (K1 muß keinemaximal kompakte Untergruppe von G1 sein!) Fur das Folgende wird die Heckeal-gebra H(G(F ), K) durch

f 7−→ f 1 :=

((g, x) o (θ1)m 7→

f(gθ′m) falls x ∈ K1 und 0 ≤ m < l0 sonst

)(als H(G(F ), K)–Modul) in die Heckealgebra H(G1, K1) = C∞(K1\G1/K1) einge-bettet.

(7.13) Sataketransformation zum zweiten: Mit den bisherigen Bezeichnungenergibt f∨(s) := Tr(π1

s(f1)) eine (wohldefinierte) Abbildung

(·)∨ : H(G,K)−→C[Π(Θ∗, ω)/W (G)Fr] = C[Π(Θ∗, ω)]WFr

.

Dabei ist C[Π(Θ∗, ω)] die Algebra der regularen Funktionen auf der algebraischenTeilmenge Π(Θ∗, ω) ⊂ Tsp. Genauer hat man folgendes

Lemma 7.14. Sei f ∈ H(G,K) und s ∈ Π(Θ∗, ω) ⊂ Tsp. Dann gilt

f∨(s) = Tr(π1s(f

1)) =∑

λ∈X∗(Tsp)=X∗(Tsp)

λ(s) · (Sf)(pλF ) ,(a)

wobei S : H(G,K) → H(T,T(F )c) bei Wahl eines geeigneten Haarmaßes du aufU := 〈U, θ′〉 ⊂ G gegeben ist durch

(Sf)(x) = δ12B (x) ·

∫U(F )

f(xu)du = δ12B (x)

|π0(G)|∑i=1

∫U(F )

f(xuθ′i)du.

Tr(π1

s(Lz(f1)))

= χs(z) · Tr(π1

s(f1)),(b)

wobei Lz die Linkstranslation (f 7→ f(z−1·)) von Funktionen mit z ∈ Cent(G)(F )bezeichnet.

Beweis: Die Haarmaße auf G(F ), K, U(F ), T(F ), G1 seien so normiert, daß dasVolumen von K, U(F ) ∩K, T(F )c bzw. K1 Eins wird.Die Abbildung S ist wohldefiniert: Sie hangt nicht von θ′ ab, weil sich jedes andereθ′′ um Elemente aus K ∩ T unterscheidet. Ebenso ist die Summe unbedenklich,selbst wenn ordθ′ > |π0(G)| =: l ist, denn θ′l ∈ K ∩ T. Außerdem hangt (Sf)(x)nur ab von der Restklasse von x in T(F )/T(F )c ' X∗(Tsp).

Die Funktion fK ∈ I(χs), fur die fK(tuk) = δ1/2B (t) · χs(t), ist Basis der K–fixierten

126 7. Reduktionen

Gerade in π1s . Die Iwasawazerlegung mit θ′–stabilem K ergibt eine Zerlegung des

Haarmaßes, so daß

f∨(s) = Tr(π1s(f

1)) =

∫G1

Tr(π1s(g

1)|〈fK〉) · f 1(g1)dg1

=

N1−1∑i=0

∫G1

Tr(π1

s

((g, x) o (θ1)i

)∣∣∣〈fK〉

)· f 1((g, x) o (θ1)i

)dg

=l−1∑i=0

∫G(F )

∫KG0/G0

ω−1(x)︸︷︷︸=1

·fK(g) · f(gθ′i)dxdg

= voldx(KG0/G0)

∫T(F )

∫U(F )

l−1∑i=0

∫K

δ12B (t)χs(t)f(tuθ′ik)dkdndt

= voldk(K)

∫T(F )

χs(t) ·

(δ

12B (t)

∫U(F )

l−1∑i=0

f(tuθ′i)du

)dt

= voldt(T(F )c)∑

t=pλF∈T(F )/T(F )c

(d.h. λ∈X∗(Tsp)'T(F )/T(F )c)

χs(pλF ) ·

(δ

12B (pλ

F )

∫U(F )

f(pλF u)du

)

(7.3)=

∑λ∈X∗(Tsp)=X∗(Tsp)

λ(s) · (Sf)(pλF )

Die Aussage (b) ist nun nur die Translationsinvarianz des Haarmaßes:

Tr(π1

s(Lz(f1)))

=

∫G(F )

Tr(π1

s(g))f 1(z−1g)dg =

∫G(F )

Tr(π1

s(zg))f 1(g)dg

... = χs(z)Tr(π1

s(f1)).

(7.15) Das Bild von Π(Θ∗, ω)/WFr unter den Bijektionen in (7.5) ist

Π(G, θ, a′) := g o Fr ∈ (Go Fr)he | θ(g) o Fr ist G–konjugiert zu a′(Fr) · g o Fr

modulo G–Konjugation, wobei der Kozykel a′ der Klasse a bei der Definition derendoskopischen Gruppe in (5.3) gewahlt wurde. Es gilt ξ((H o Fr)he) ⊂ Π(G, θ, a′),denn fur h ∈ H gilt nach (5.3.4)

(ints θ)(ξ(ho Fr)

)= (ints θ)

(hmξ(Fr) o Fr

)= h · (ints θ)

(mξ(Fr) o Fr

)= h · a′(Fr) ·mξ(Fr) o Fr = a′(Fr) · ξ(ho Fr).

(7.16) Transfer von Funktionen: Definition von bξ: Wegen des letzten

Absatzes wird durch ξ und Bijektionen in (7.5) (fur H und G) folgende Abbildung

Abstieg auf die derivierte Gruppe 127

ξ definiert:

(H o Fr)h.e./H–Konj.ξ // Π(G, θ, a′)/G–Konj.

TH,sp/W (H)Fr

1−1

OO

ξ // Π(Θ∗, ω)/W (G)Fr .

1−1

OO(ii)

Dabei wird rechts (7.5) fur H (mit dem maximal F -Splittorus TH,sp) benutzt. Damithat man die Abbildung

bξ : H(G,K)(7.13)−−−→Satake

C[Π(Θ∗, ω)]W (G)Fr ξ∗−−→ C[TH,sp]W (H)Fr (7.4) ∼←−−−−

SatakeH(H,KH)

und zwar so, daß zu gegebenem f ∈ H(G,K) die Funktion bξ(f) charakterisiert istdurch

Tr(π1

ξ(s)(f 1)

)= Tr(πs(bξ(f)))(iii)

fur alle s ∈ TH,sp. Knapper (aber etwas unklar) formuliert: f∨(ξ(s)) = (bξ(f))∨(s).(Vorsicht mit ξ(s): Gemeint sind WFr–Konjugationsklassen!)

Abstieg auf die derivierte Gruppe

Vermutung 7.17 (Fundamentales Lemma, Langlands). Gegeben sei eine en-doskopisches Datum (H,H, s, ξ) zu (G, θ, a). Sei f ∈ H(L(F ), K) ⊂ H(G, G(F )x)und γ ∈ H(F ) stark regular. Dann gilt bei geeigneter Normierung der Maße∑δ∈L(F )/G(F )–Konj.

∆x(γ, δ)OL,ωδ (f) = OH,st

γ (bξ(f)) :=∑

H(F )–Konj.klassen von γ′ ausder stabilen Konj.klasse von γ

OHγ′ (bξ(f))

Lemma 7.18 ([Hal93, 11.3]). Fur z ∈ Cent(G)(F ) gilt

LzH(bξ(f)) = 〈aT , z〉−1

L · bξ(Lz(f)),

wobei zH das Bild von z in Cent(H)(F ) ist (vgl. (5.6)). (Mit Lx werden wiederLinkstranslationen (f 7→ f(x−1·)) auf den Heckealgebren H(H,KH) bzw. H(G,K)bezeichnet.)

Beweis: Sei ZG := Cent(G).1. Schritt: Wegen des Satakeisomorphismus 7.4 wird die Aussage fur die Fourier-transformierte gezeigt werden. Sei dazu sH ∈ TH,sp und sG ∈ Tsp aus dem W (G)Fr–Orbit ξ(sH). In den beiden oberen Mengen des Diagramms (ii) in (7.16) mogentH o Fr bzw. tG o Fr (mit tH ∈ TH , tG ∈ T) die jeweiligen Bilder von sH bzw. sG

reprasentieren.

128 7. Reduktionen

2. Schritt: Reduktion auf eine Charakteridentitat.

Tr(πsH

(bξ(Lz(f))

)) (iii)= Tr

(π1

sG

(Lz(f

1))) (7.14.b)

= χsG(z) · Tr

(π1

sG

(f 1))

(iii)= χsG

(z) · Tr(πsH

(bξ(f)

))(7.14.b)

= χsG(z)χsH

(zH)−1 · Tr(πsH

(LzH

(bξ(f))))

wobei χsGder zu sG assoziierte Charakter aus Π(T(F ), θ′, ω) ist. Man ist daher

fertig, wenn gezeigt ist, daß

χsG(z) · χsH

(zH)−1 = 〈aT , z〉L fur z ∈ Cent(G)(F )Def.= ZG(F ).

3. Schritt: Nach Satz 5.50.b ist die Abbildung ZG(G) → ZG(G)Θ∗ → Cent(H)

induziert durch die duale Abbildung zu TH = THξ−→ T θ = Tθ ⊂ T, die auch zur

Identifikation

φ : Homunv(TH(F ),C×) = TH,sp = Tθsp ⊂ Tsp = Homunv(T(F ),C×)

benutzt wird. Daher ist zu zeigen, daß auf ZG(F ) gilt χsG· φ(χsH

)−1 = 〈aT , ·〉L.

Eine aquivalente kohomologische Formulierung in H1unv(WE/F , ZG) =

(ZG oFr

)/ZG

lautet mit (7.5):

t−1G · tH · aT (Fr) ∈ (1− Fr)ZG.

4. Schritt: Nach Definition ist tG Gder–konjugiert zu ξ(tH o Fr) = tHmξ(Fr) o Fr.

Wegen Korollar 6.12 errechnet man in G/(G)der

t−1G · tH · aT (Fr) ≡ (tHmξ(Fr))−1 · tH ·mξ(Fr) ≡ 1 (mod Gder).

5. Schritt: Man hat 1→ (T)der → T→ ZG → 1, denn mit V ∗der := Z[Φ(G)]⊗R gilt

X∗(ZG) = X∗(Cent(G)) = X∗(T) ∩ (V ∗der)⊥ und

X∗(Tder) = X∗(T)/((Z[Φ∨(G)]⊗ R)⊥ ∩X∗(T)) = X∗(T)

/(V ∗⊥der ∩X∗(T)).

Weil G/Gder = T/Tder ' ZG hat man im vierten Schritt tatsachlich t−1G ·tH ·aT (Fr) ∈

T/Tder ' ZG nachgewiesen und ist fertig.

Satz 7.19. Das fundamentale Lemma 7.17 gilt fur die Gruppe G, wenn es fur dievon Gder und θ′ (aus (7.1)) erzeugte Gruppe gilt.(Nota bene: Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten dieser Untergruppe vonG ist ein Vielfaches von π0(G). Nur wenn θ′l ∈ Gder bleibt sie gleich.)

Beweis: Sei z ∈ Cent(G)(F ) und zH sein Bild in Cent(H)(F ).∑z−1δ

∆x(z−1H γ, z−1δ)OL,ω

z−1δ(f)5.50.b=∑

δ

〈aT , z−1〉L ·∆x(γ, δ) ·OL,ω

δ (Lz(f))

F.L.= 〈aT , z

−1〉L ·OH,stγ

(bξ(Lz(f))

)= OH,st

γ

(〈aT , z

−1〉L · bξ(Lz(f)))

7.18= OH,st

γ

(LzH

(bξ(f)))

= OH,st

z−1H γ

(bξ(f)),

Praparationen fur den Harish–Chandra–Abstieg 129

wobei bei ”F.L.” das fundamentale Lemma fur die von Gder und θ′ erzeugte Gruppeeingeht.

Praparationen fur den Harish–Chandra–Abstieg

Das Ziel dieses und des nachsten Abschnitts ist das Abstiegslemma 7.32, in demdas fundamentale Lemma fur beliebige Elemente auf das fundamentale Lemma furstark kompakte Elemente zuruckgefuhrt wird. Zunachst wird nur die Situation(angenehmer?) prapariert.

(7.20) Gegeben sei ein Matching H(F ) 3 γ ↔ δ ∈ G(F ) ∩ L stark regulareElemente und alle Bezeichnungen (g, δ∗, T , TG, ...) aus (5.9) werden benutzt. SeiTsp der maximale F–Splittorus in T und M∗ := Cent(Tsp, G). Wie T selbst ist auchTsp Θ∗–stabil. M∗Θ∗ und M∗ sind quasisplit, denn TΘ∗

sp liegt in einem maximalenF–Splittorus T1 von GΘ∗. Offensichtlich ist T1 ⊂ M∗Θ∗ und der maximale F–Splittorus Cent(T1, G) liegt in M∗.

Behauptung 7.21. Man darf (und wird) annehmen, daß T ⊂ M∗ (d.h. Tsp ⊂ T)und M∗ · B eine (F–rationale) parabolische Untergruppe von G ist.

Beweis: Weil M∗Θ∗ = Cent(TΘ∗sp , GΘ∗) Levigruppe einer geeigneten F–rationalen

parabolischen Untergruppe von GΘ∗ ist, gibt es ein x ∈ (GΘ∗)sc(F ), so daßxM∗Θ∗x−1 Levigruppe einer Standardparabolischen bezuglich BΘ∗ wird. Da Θ∗

speziell ist, ist (nach (3.11)) das Paar (B,T) das einzige Paar in G, dessen Schnittmit GΘ∗

das Paar (BΘ∗,TΘ∗

) ergibt. Daher ist xM∗x−1 Levigruppe einer Standard-parabolischen bezuglich B.Weil x ∈ Gθ∗(F ) kann man das Matching γ ↔ δ fuhren uber die Daten xδ∗x−1,(xBx−1, xTx−1), xg und η′ = intx η statt der bisherigen δ∗, (B, T ), g bzw.η : TH → Tθ∗ . Bezuglich dieser modifizierten Realisierung des Matchings ist diemaximale Splitkomponente des neuen T in T enthalten.

Lemma 7.22. H1(F,M∗) → H1(F,G)

Beweis: [K88, S. 639]

Behauptung 7.23. Die G(F )–Konjugationsklasse von δ hat einen Vertreter in(M∗ · θ∗)(F ).

Beweis: Fur die Projektion von g aus (5.9.4) nach G ist v(σ) := gσ(g)−1 ∈Kern[H1(F, T )→ H1(F,G)]. Wegen Lemma 7.22 ist Kern[H1(F, T )→ H1(F,G)] =Kern[H1(F, T ) → H1(F,M∗)]. Also gibt es ein m ∈ M∗ mit v(σ) = mm−σ, d.h.m−1g ∈ G(F ) und m−1gδg−1m = m−1δ∗m ∈ (M∗ · θ∗) ∩ G(F ).

(7.24) Man wird daher im Matching γ ↔ δ das δ ersetzen durch diesen Vertre-ter in (M∗ · θ∗)(F ). Nach Satz 5.50.a verandert sich dadurch ∆(γ, ?) zwar, aber∆(γ, ?)O?(f) bleibt insgesamt unverandert.

130 7. Reduktionen

Nach diesen Praparationen kann man annehmen, daß die maximalen Splittori Tsp

und TG,sp = Cent(Cent(δ,G), G) von T bzw. TG sowie ihre Zentralisatoren M∗ =Cent(Tsp, G) bzw. M := Cent(TG,sp, G) ubereinstimmen. Also mochte man (unterder Annahme g ∈ Msc, fur die man die in (7.24) benannte Veranderung von ∆ inKauf nehmen muß) auf M := Cent(TG,sp, G) absteigen.Das lauft ganz analog zur ungetwisteten Situation. M = M∗ ist quasisplit, so daßman als inneren Twist wieder die Identitat benutzen darf. Wahle eine F–rationaleparabolische Untergruppe P , deren Levigruppe M ist. (Nach den Manipulationenin Behauptung 7.21 sei das P = M · B.) Sei N das unipotente Radikal von P .

Lemma 7.25. Sei G reduktiv (und zusammenhangend). Die duale Gruppe M ei-ner Levikomponente M einer parabolischen Untergruppe von G ist selbst Levikom-ponente einer parabolischen Untergruppe von G. Genauer korrespondiert (bis aufG–Konjugation) M zu I∨ := α∨ | α ∈ ∆ ⊂ ∆∨, wenn M zu I ⊂ ∆ = ∆(G)korrespondiert.

Beweis: Klar.

(7.26) Als nachstes wird analog zu [LS90, 1.4.] ein (unverzweigtes) endoskopi-sches Datum zu M und (G,H) konstruiert. Dazu mogen die Konventionen undBezeichnungen aus (5.5) alle in Kraft sein. Nach der Definition von M = M∗ undBehauptung 7.21 ist splM := splG∗ ∩M ein F–Splitting von M . Die Identifizie-rung von Φ(G, T )∨ mit Φ(G, T ) ermoglicht es, Φ(M,T )∨ als Γ–stabile Teilmengevon Φ(G, T ) aufzufassen. O.E. sei M die Leviuntergruppe von G, die T enthalt undΦ(M,T )∨ als Wurzeln hat. Dann kann man splM := splG ∩ M definieren.Da die Galoisaktion auf Φ(M) die Einschrankung der Γ–Aktion auf Φ(G) ist, kannman folgende L–Gruppe (M, ρM , ηM) von M in LG einbetten: Fur ρM nimmt mandie Einschrankung von ρG auf M und fur ηM die Einschrankung von ηG auf Ψ(M)∨.(Vgl. (1.10).)Die Konstruktion bisher ergibt außerdem, daß Φ(M)∨ und damit M θ–stabil ist, sodaß Pθ(Φ(M)) ein abgeschlossenes Subsystem von Pθ(Φ(G)) ist (d.h. alle positivenLinearkombinationen von Elementen aus dem Subsystem, die Wurzeln sind, liegenin dem Subsystem.) Weil zudem T θ ⊂ (M s·θ) (s ∈ T !), ist (M s·θ) Levikompo-

nente einer Parabolischen von H = Gsθ: Es gilt z.B. (M sθ) = Cent(T θsp , (G

sθ))

(wobei T θsp mit seinem Urbild in T θ = T θ identifiziert wurde).

Analog sieht man mit Lemma 7.25, daß es eine Leviuntergruppe HM von H gibt,so daß HM = M sθ, z.B. HM = Cent(H,TH,sp), wobei TH = Cent(γ,H) von dem

Matching aus (7.20) herkommt. Sei splHM= splH ∩ HM .

Die Gruppe LHM wird analog (zu LM ⊂ LG) durch Einschrankung der Daten zuLH gewonnen: LHM := (HM , ρH |HM

, ηH |HM). Um zu sehen, daß es ein ξM gibt, so

daß

LHMξM−→ LM

↓ ↓LH

ξ−→ LG

(iv)

Praparationen fur den Harish–Chandra–Abstieg 131

kommutiert, beobachtet man, daß man nach Langlands 3.41 LTH ' L(Tθ∗) mitentsprechenden χ–Data in alle vier Gruppen einbetten kann. Das Bild unter einersolchen Einbettung hangt nicht ab von den χ–Data, da diese nur das rp(w) ∈ TH

beeinflußen (bei der Definition (vi) in (3.47)). Wie in (5.35) ausgefuhrt wurde, hatman

Bild[LTH → LHM → LHξ→ LG] = T · Bild[LTH → LM → LG] ⊂ Bild[LM → LG].

Mit der Definition von HM zusammen folgt, daß ξ(LHM) ⊂ LM .Indem man die Borelgruppen B ∩ M ⊃ T und BH ∩ HM ⊃ TH benutzt, ist diezu TH ' TH ' T θ ' (Tθ∗)

∧ duale Abbildung TH ' Tθ∗ eine zulassige Einbettungsowohl fur (G,H) als auch fur (M,HM).

(7.27) Als endoskopisches Datum fur (M := 〈M, δ〉, a) nimmt man nun das Tupel

(HM ,LHM , s, ξ|LHM

).

Seine Isomorphieklasse (vgl. (5.3)) ist wohlbestimmt durch die Isomorphieklasse von(H, LH, s, ξ), denn Cent(G) ⊂ Cent(M). Außerdem gelten die fundamentalen An-nahmen, wenn man sie wortlich auf dieses endoskopische Datum und M ubertragt.Langlands und Shelstad [LS90, 1.4] zeigen die Unabhangigkeit der Isomorphieklassevon den vielen Wahlmoglichkeiten bei der Konstruktion.

Nach [K86, 7.1] sind M(F )∩K und HM(F )∩KH hyperspezielle maximal kompakteUntergruppen von M(F ) bzw. HM(F ).

Behauptung 7.28. Die Inklusion LM → LG induziert die untere Inklusion in demkommutativen Dagramm

H(G,K)(·)(P )

−−−→ H(M,M(F ) ∩K)y yC[Tθ

sp]W (G)〈Fr,θ〉 −−−→ C[Tθ

sp]W (M)〈Fr,θ〉

Dabei sind die Abbildungen nach unten Sataketransformationen und

f (P )(m) := δ12P (m)

∫N(F )

f(mn)dn

der konstante Fourierterm entlang M . Das Haarmaß auf dem unipotenten RadikalN von P = M · B wird normiert durch voldn(N ∩K) = 1.

Beweis: Man rechnet mit Lemma 7.14 (fur s ∈ Tθsp) nach

f∨G(s) =∑

λ∈X∗(Tsp)=X∗(Tsp)

λ(s) · (SGf)(πλF ) =

∑λ

λ(s) · (SMf (P ))(πλF ) = (f (P ))∨M (s),

132 7. Reduktionen

wobei die Sataketransformationen und S wie angedeutet in den Gruppen G bzw. Mgebildet werden. Dabei benutzt man die Zerlegung duG = duM · dn...

Angewendet auf die Paare M , G sowie HM , H folgt hieraus nach Konstruktion vonbξ in (7.16) das

Korollar 7.29. Das kommutative Diagramm (iv) in (7.26) induziert das folgendekommutative Diagramm

H(G,K)bξ−−−→ H(H,KH)

(·)(P )

y y(·)(PH )

H(M,M ∩K)bξM−−−→ H(HM , HM ∩KH)

Fur die entscheidende Integralrechnung 7.31 muß noch folgende Berechnung einerJacobideterminante bereitgestellt werden:

Lemma 7.30. Sei P = M ·N wie bisher in den letzten Paragraphen.(D.h. P = M ·N die Levizerlegung einer Θ∗–stabilen F–Parabolischen P ⊂ G undP = Norm(P, G) bzw. M = Norm(M, P ).)Fur fast halbeinfaches δ = M(F ) ∩ L, gilt

(1) Falls ∆HC(δ) := det(1− Ad(δ)|LieN) 6= 0, so gilt fur alle f ∈ Cc(L(F ))∫N

f(δn)dn =∣∣∆HC(δ−1)

∣∣F

∫N

f(n−1δn)dn.

(2) DG/M(δ)Def= |det(1− Ad(δ))|LieG/M |1/2

F = |∆HC(δ−1)|F · δP (δ)1/2.(3) DG/M(m−1δm) = DG/M(δ) = DG/M(δ−1) fur alle m ∈M(F ).

(4) Es stabilisiere θ∗ ∈ P ∩ L ein Splitting (B,T, Xα) von G mit B ⊂ P undT ⊂M . Zerlege δ = t · θ∗ (mit t ∈ T). Dann gilt (mit I = 〈θ∗〉)

DG/M(δ) =∏

Iα⊂Φ(G)\Φ(M)α vom Typ I, II

|SIα(t)− 1|1/2F ·

∏Iα⊂Φ(G)\Φ(M)α vom Typ III

|SIα(t) + 1|1/2F

Beweis: Der Beweis von [HC70, Lemma 22] ubertragt sich wortlich auf den Falleines fast halbeinfachen δ ∈ P (F ) ∩ L, denn weil δ ein Paar (B, T ) mit P ⊃ B undT ⊂M stabilisiert, gibt es auch hier eine Filtrierung δ–stabiler Untergruppen N =N1 ⊃ N2 ⊃ ... ⊃ Nr+1 = 1 mit abelschen Quotienten Ni/Ni+1 und [Ni, Ni] ⊂ Ni+1.(Man kann z.B. fur jedes Ni das Erzeugnis aller Uα nehmen, so daß die Hohe von αbzgl. ∆(B, T ) unter einer gewissen Schranke bleibt. Naturlich sinkt die Schranke,wenn i steigt.)∫

Ni

f(δ−1n−1δn)dn =

∫Ni+1\Ni

∫Ni+1

f(δ−1n−1i δ(δ−1n−1

i+1δni+1)ni)︸︷︷︸=:g1(δ−1n−1

i+1δni+1)

dni+1dni

=∣∣det(1− Ad(δ−1)|ni+1

)∣∣−1

F

∫Ni+1\Ni

∫Ni+1

f(δ−1n−1i δnin

−1i ni+1ni)︸︷︷︸

=g1(ni+1)

dni+1dni

Harish–Chandra–Abstieg 133

nach Induktionsannahme. Substituiere n−1i ni+1ni 7→ ni+1. Die Funktion g2 ist eine

Funktion der abelschen Gruppe Ni+1\Ni

=∣∣det(1− Ad(δ−1)|ni+1

)∣∣−1

F

∫Ni+1\Ni

∫Ni+1

f(δ−1n−1i δnini+1)dni+1︸︷︷︸

=:g2(δ−1n−1i δni)

dni

=∣∣det(1− Ad(δ−1)|ni+1⊕(ni/ni+1))

∣∣−1

F

∫Ni+1\Ni

∫Ni+1

f(nini+1)dni+1︸︷︷︸g2(ni)

dni

=∣∣det(1− Ad(δ−1)|ni

)∣∣−1

F

∫Ni

f(ni)dni

Die restlichen Aussagen erhalt man mit der Zerlegung Lie(G) = n− ⊕ Lie(M)⊕ n.

DG/M(δ) = |det(1− Ad(δ)|n−⊕n)|12F

=∣∣det(1− Ad(δ−1)|n)

∣∣ 12F·∣∣det(Ad(δ)|n(Adδ−1 − 1)|n)

∣∣ 12F

=∣∣det(1− Ad(δ−1)|n)

∣∣F· |det(Ad(δ)|n)|

12F

=∣∣∆HC(δ−1)

∣∣F· δP (δ)

12

Fur die letzte Formel kann man sich auf einen Orbit nIα =⊕

γ∈Iα gγ ⊂ n be-schranken. Falls α nicht vom Typ III ist, kann man nach Lemma 2.9 eine Θ∗–stabileBasis vo nIα wahlen. Sei lα := |Iα|. Falls α vom Typ III ist, gibt es nach 2.9 eineBasis von nIα, so daß I/〈Θ∗lα/2〉 einfach transitiv auf den durch diese Basis erzeugtenGeraden in nIα operiert. Dann hat man Θ∗lα/2|nIα

= −1. Insgesamt folgt daraus:

det(1− Ad(δ))|nIα=

1− SIα(t) falls α vom Typ I oder II ist1 + SIα(t) falls α vom Typ III ist.

Harish–Chandra–Abstieg

Behauptung 7.31. OL,ωδ (f) = DG/M(δ)−1 ·OM∩L,ω

δ (f (P )) fur f ∈ H(L,K).

Beweis: Sei T = Cent(δ,G) = Cent(δ,M).

OL,ωδ (f) =

∫T (F )\G(F )

ω(g)f(g−1δg)dg

=

∫T\M

∫N

∫K

ω(mnk)f(k−1n−1m−1δmnk)dk dn dm

Weil ω unverzweigt ist,

=

∫T\M

∫N

ω(m)f(n−1m−1δm︸︷︷︸=:m0

n)dn dm

134 7. Reduktionen

Nach Behauptung 7.30.1 gilt

=

∫T\M

DG/M(m0)−1 · δP (m0)

1/2 · ω(m)

∫N

f(m0n)dn dm

und wegen DG/M(m0) = DG/M(m−1δm) = DG/M(δ)

= DG/M(δ)−1

∫T\M

ω(m)f (P )(m−1δm)dn dm

Als Spezialfall (θ = id) ergibt sich OHγ (fH) = DH/HM

(γ)−1 ·OHMγ ((fH)(PH)).

Satz 7.32. Das fundamentale Lemma 7.17 gilt, wenn es fur stark kompakte Ele-mente gilt.

Beweis: Sei γ ∈ H(F ) stark G–regular und Norm–Image eines Elements δ ∈L(F ). Ferner sei M wie oben (als Zentralisator des maximalen Splittorus inT = Cent(G, δ∗)) gebildet. Nach den Behauptungem 7.23 und 6.2 kann man an-nehmen, daß die Vertreter der G(F )–Konjugationsklassen in der stabilen Konjuga-tionsklasse von δ in M(F ) liegen und dort stark kompakt sind. Mit dem folgendenLemma 7.33, das die Transferfaktoren bzgl. M und G vergleicht, kann man wie in[Hal93, 12.] das fundamentale Lemma fur G bei γ beweisen:∑

δ ∆G,K(γ, δ) ·OGδ (f)

7.31+7.33= DH/HM

(γ)−1 ·∑

δ ∆M,K∩M(F )(γ, δ) ·OMδ (f (P ))

F.L.= DH/HM

(γ)−1 ·Ost,HMγ (bξM

(f (P )))7.29= DH/HM

(γ)−1 ·Ost,HMγ ((bξ(f))(PH))

7.31= Ost,H

γ (bξ(f)),

wobei bei F.L. das fundamentale Lemma fur (γ,M,HM , ...) eingeht.

Lemma 7.33. ∆G,K(γ, δ) = ∆M,K∩M(F )(γ, δ) · DG/M(δ)DH/HM

(γ).

Beweis: Man wahle fur M und G dieselben a–Data und χ–Data und alle a–Dataund χ–Data trivial auf Φ(G)\Φ(M) = ±Φ(N) (denn diese zerfallen offenbar inasymmetrische Galoisorbiten) Damit hat man ∆M

II = ∆GII und ∆M

I = ∆GI , denn

man kann λGaα(T

Θ∗sc ) = λM

aα(TΘ∗sc ) erreichen, wenn man h ∈ Msc wahlt. Die

Steinbergeprasentanten werden onehin zu splM = splB ∩ G gebildet und auf derdualen Seite hat man sG

T,θ = sMT,θ wegen LM → LG.

∆GIV(γ, δ) =

∣∣det(1− Ad(t∗)θ∗)|Lie(G)/Lie(T )

∣∣1/2

F∣∣det(1− Ad(γ))|Lie(H)/Lie(TH)

∣∣1/2

F

= ∆MIV(γ, δ) ·

∣∣det(1− Ad(t∗)θ∗)|Lie(N)+Lie(N)

∣∣1/2

F∣∣det(1− Ad(γ))|Lie(NH)+Lie(NH)

∣∣1/2

F

= ∆MIV(γ, δ) ·

DG/M(δ)

DH/HM(γ)

Harish–Chandra–Abstieg 135

Nun zu ∆III: Die normierten Referenzdaten γ ↔ δ ∈ M(F ), χα erfullen auch furG die Normierung 5.43. Weil man nach den Praparationen (7.20)–(7.27) fur γ ↔ δdas g aus (5.9.4) in Msc wahlen kann, ist V (σ) =

((gσ(g)−1, v(σ), (t∗, t∗−1)

)o.E.

dasselbe fur die Berechnung von ∆GIII wie auch fur ∆M

III.Man hat das kommutative Diagramm (iv) in (7.26) und aus der Gleichwahl derχ–Data folgt, daß ξTH

und ξT uber die Inklusion LM → LG faktorisieren, d.h.

LTH

ξTH //

""EEEE

EEEE

LG

LM?

OO und LTξT //

""EEEE

EEEE

LG

LM.?

OO

sind kommutativ. Daher ist A(w) ebenfalls in den Paarungen fur beide Gruppendasselbe, mithin ∆G

III = ∆MIII.

136 7. Reduktionen

137

8 ∆ fur unverzweigte anisotrope Tori

(8.1) In diesem Kapitel istG halbeinfach unverzweigt (und zusammenhangend) undG/G ' Z/l. Die Annahmen (5.17) gelten weiterhin. Insbesondere zerfalltG uber derendlichen unverzweigten Erweiterung F ′/F . In (4.24) wurde eine Kohomologieklasseγ(L) eingefuhrt, die das Hindernis beschreibt, ob L(F ) leer ist. Ihr Bild unter derEinbettung Cent(G)θ∗ → Cent(H) (aus 5.6) ist die Klasse γH(L) ∈ H1(F,Cent(H)).Diese Klasse hangt nur von L und H ab und ist nach den fundamentalen Annahmenunverzweigt; genauer Inflation aus H1(F ′/F,Cent(H)(F ′)). Wahle und fixiere imFolgenden einen Zykel z∗H(σ) in γH(L).

Lemma 8.2. Sei TH ein maximaler F–Torus von H und TG ein maximaler F–Torus bezuglich L. Beide Tori sollen uber der endlichen unverzweigten ErweiterungF ′/F zerfallen. Sei UT ⊂ TG(F ) eine maximal kompakte Untergruppe.Wenn es ein Matching γ0 ↔ δ0 stark regularer, stark kompakter Elemente δ0 ∈ UT ,γ0 ∈ TH(F ) mit z∗H(σ) = γ−1

0 σ(γ0) gibt, dann ist jedes stark regulare, stark kompakteγ ∈ TH(F ), fur das γ−1σ(γ) = z∗H(σ) gilt, Norm–Image eines Elements δ aus UT∩L.Zudem kann man das Matching γ ↔ δ noch so fuhren, daß dasselbe g (aus (5.9.4))benutzt wird wie fur γ0 ↔ δ0.

Beweis: Die Bezeichnungen fur das vorgegebene Matching γ0 ↔ δ0 seien dieublichen:

THη // Tθ∗ T

Pθ∗oo T ∩ Lx7→xθ∗−1

oo TG ∩ Lintg0oo

γ0 // • t∗0

oo δ∗0oo δ0

oo

Nach (5.12) darf man g0 ∈ Gsc(F′) annehmen. (Weil θ∗ ∈ G(F ′), ist somit t∗0 ∈

T (F ′).) Der Kern der vom Ordnungshomomorphismus ν induzierten Abbildung

H1(F ′/F, (1− θ∗)T ) −→ H1(F ′/F, (1− θ∗)V ∩X∗(T ))

ist Quotient von H1(F ′/F,((1 − θ∗)T

)(F ′)c) = 1 (nach 3.39). Also hat man in

folgendem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen rechts eine Inklusion (Λ :=X∗(T ) ∩ (1− θ∗)V )(

(1− θ∗)T)(F ) //

ν

T (F )Pθ∗ //

ν

Tθ∗(F ) //

H1(F ′/F, (1− θ∗)T )_

ΛΓ // X∗(T )Γ //(X∗(T )

/Λ)Γ

// H1(F ′/F,Λ)

Die Surjektion links außen wurde in Lemma 4.34.a bewiesen. Also hat η(γγ−10 ) ∈

Tθ∗(F )c ein Urbild t ∈ T (F )c unter Pθ∗ . Weil intg0 : TG → T uber F definiert ist(auf den Einskomponenten), liegt δ := g−1

0 tδ∗0g0 = g−10 tg0δ0 ∈ T (F ). Offensichtlich

hat man ein Matching γ ↔ δ mit denselben Großen θ∗, η, T , g0 wie bei γ0 ↔ δ0.

138 8. ∆ fur unverzweigte anisotrope Tori

Behauptung 8.3. Sei θ∗ ∈ L(F ′), so daß Θ∗ = intθ∗ ein F–Splitting stabilisiert.(Solche Elemente existieren, nach der fundamentalen Annahme (5.17.3))Sei TG ⊂ G ein anisotroper maximaler Torus bzgl. L, der uber F ′ zerfallt undδ ∈ TG(F ) ∩ L ein stark regulares, (automatisch) stark kompaktes Element, das aneinem Matching γ ↔ δ beteiligt ist. Dann gibt ein stark kompaktes δ′ ∈ T (F ), dasG(F ′)–konjugiert zu δ ist und ebenfalls γ zum Norm–Image hat.

Beweis: Der vermittelnde Torus T des Matchings ist anisotrop, weil intg : Cent(TG) 'Cent(T ) uber F definiert ist (Nach Definition 5.9.7 ist gσ(g)−1 ∈ Tsc.) Sei Nl dieNormabbildung auf X∗(T ) aus Definition 4.31 und ν die Ordnungsabbildung aufT (F ′). Weil z∗(σ) := θ∗σ(θ∗)−1 ∈ Cent(G)(F ′) stark kompakt ist, folgt fur alleσ ∈ Gal(F ′/F ) =: Γ

δ∗σ(δ∗)−1 = z∗(σ)t∗σ(t∗)−1 = (1− θ∗)(gσ(g)−1

)∈((1− θ∗)T

)(F ′)

=⇒ Nl(ν(t∗)) ∈ (X∗(T )θ∗)Γ = 0

Die letzte Gleichheit gilt, weil T anisotrop ist. Also hat man ν(t∗) ∈ (1 − θ∗)V ∩X∗(T ). (Da nach Voraussetzung θ∗ und g F ′–rational sind, ist t∗ ∈ T (F ′)!) Seiπ ⊂ OF ein Primelement und t1 := ν(t∗) ⊗ π−1 ∈

((1 − θ∗)V ∩ X∗(T ′)

)⊗ F ′ =(

(1 − θ∗)T ′)(F ′). Dann ist t1t

∗ ∈ T (F ′)c. Weil H1(Γ,((1 − θ∗)T

)(F ′)c) = 1 (nach

3.39), gibt es ein t2 ∈((1 − θ∗)T

)(F ′)c, so dass δ′ := t1t2δ

∗ = t2(t1t∗)θ∗ ∈ T (F )

stark kompakt ist. Dieses δ′ hat γ zum Norm–Image, denn t1t2 ∈ (1− θ∗)T .

Mit Korollar 5.16 folgen daraus

Korollar 8.4. Sei TG ⊂ G ein anisotroper Torus, der uber F ′ zerfallt, und U ⊂TG(F ) eine maximal kompakte Untergruppe, so daß ein z∗H–Matching γ ↔ δ ∈ Uexistiert. Ferner stabilisiere Θ∗ ∈ Aut(G) ein F–Splitting.Dann gibt es in der halbstabilen G(F ′)–Konjugationsklasse von U eine Gruppe UT ,so daß erstens der zu UT gehorende Torus T := Cent(Cent(UT ), G) Θ∗–stabil istund zweitens γ Norm–Image eines Elements aus UT ist.

Korollar 8.5. Falls also TG ein anisotroper, unverzweigter maximaler Torus ist,der erstens ein θ∗ ∈ TG(F unv) enthalt, das ein F–Splitting stabilisiert, und zweitensein δ ∈ TG(F ), das an einem Matching γ ↔ δ∗ ∈ T (F )↔ δ beteiligt ist, dann kannman bei dem Matching immer TG = T annehmen (oder gleichbedeutend g = 1). Mitanderen Worten: Dann gibt es eine zulassige Einbettung TH

∼−→ (TG)θ∗.

Satz 8.6. Sei TG, U ⊂ TG(F ) und γ ↔ δ ∈ U wie in 8.4.Dann gibt es in der halbstabilen G(F ′)–Konjugationsklasse von UT eine maximalkompakte Untergruppe UT ′ ⊂ T ′(F ), so daß der Fixpunkt x(UT ′) =: x aus (4.45)eine hyperspezielle Ecke im Gebaude B(G,F ) ist.Wenn ein θ∗ ∈ L(F ′) vorgegeben ist, fur das Θ∗ := intθ∗ ein F–Splitting stabilisiert,dann kann man zudem θ∗ ∈ T ′(F ′)x erreichen.

139

Beweis: Sei θ∗ ∈ L(F ), so daß Θ∗ := intθ∗ das F–Splitting (B,T, ·) stabilisiert,T := Cent(TΘ∗

, G) und T der Θ∗–stabile Torus uber den (wie in Definition 5.9) dasMatching γ ↔ δ gefuhrt wird. Indem man TG bzw. U innerhalb seiner halbsta-bilen Konjugationsklasse geeignet abandert, darf man nach 8.3 (und Korollar 5.16)TG = T annehmen (in der Behauptung des Satzes oben).In (3.23) und (3.24) wurden die schwach stabilen bzw. halbstabilen G(F ′)–Konjuga-tionsklassen in der G(F ′)–Konjugationsklasse von T durch H1(F ′/F,W (T)Θ∗

) para-metrisiert und H1(ΓTG

, (1−Θ∗)T(F ′)), wobei ΓTGdie von von TG auf T ubertragene

Galoisaktion von Gal(F ′/F ) ist. Weil TG nun Θ∗–stabil angenommen wird, sindCent(TG) und Cent(T) konjugiert in GΘ∗(F ′). Daher ist ein Torus der FormT ′ := gTg−1 (mit g ∈ G(F ′)) genau dann halbstabil G(F ′)–konjugiert zu TG, wenn

(1) g−1σ(g) ∈ Norm(T, G) = T · Norm(TΘ∗, GΘ∗) fur alle σ ∈ Gal(F ′/F ).

(2) (1−Θ∗)(g−1σ(g)) wird trivial in H1(ΓTG, (1−Θ∗)T(F ′)).

(3) T ′Def.= gTg−1 und T sind schwach stabil konjugiert.

Sei x ein θ∗–stabiler hyperspezieller Punkt aus dem Apartment A(G,Tsp, F ) ⊂B(G,F ). Nach Satz 4.44 gibt es ein g ∈ G(F ′)Θ∗

x , so daß die Punkte (1), (2),(3) erfullt sind. Weil θ∗ ∈ T ′(F ′)x, kann man mit H1(F ′/F, T ′(F ′)x) = 1 schlie-ßen, daß ∅ 6= T ′(F )x ∩ L 3 ϑ. Daher fixiert die maximal kompakte UntergruppeUT ′ = 〈T ′(F )c, ϑ〉 = T ′(F )x ⊂ T ′(F ) den Punkt x. Nach Behauptung 5.15 gibt es inT ′(F )∩L ein δ′, das γ zum Norm–Image hat. (Wie alle Elemente in T ′(F )∩L ist δ′

stark kompakt.) Nach Korollar 8.5 gibt es eine zulassige Enbettung η′ : TH∼−→ T ′θ∗ .

Also ist ϑ ∈ T ′(F ) an irgendeinem Matching beteiligt. Nach Lemma 8.2 ist da-her auch γ ∈ TH Norm–Image eines geeigneten δ′′ ∈ UT ′ . Also sind UT und UT ′

halbsatbil G(F ′)–konjugiert (nach Korollar 5.16).

Definition 8.7. Sei

• F ′/F eine (genugend große) unverzweigte endliche Korpererweiterung undGal(F ′/F ) =: Γ.

• T ⊂ G ein unverzweigter, anisotroper F–Torus, maximal bzgl. L und uber F ′

zerfallend. Seine Einskomponente sei T .• U eine maximal kompakte Untergruppe von T (G) mit U∩L 6= ∅. Der Fixpunktx(U) ∈ B(G,F ) aus 4.45 sei hyperspeziell (in B(G,F )). Außerdem soll es inU ein stark regulares Element δ0 geben, das an einem Matching beteiligt ist.

• splG(x(U)) ein Splitting zum Fixpunkt x(U), wie in Definition 4.14 beschrie-ben.

• θ∗ ∈ T (F ′) ein Vertreter fur die gesternte Aktion Θ∗ von L bzgl. splG(x(U)),so daß z∗H(σ) das Bild von z∗(σ) := θ∗σ(θ∗)−1 ist unter der kanonischen Ab-bildung Cent(G) Cent(G)θ∗ → Cent(H) aus (5.6). Sei I := 〈θ∗〉.

• qα (fur α ∈ ΦI = PI(Φ(T,G))) die Große des Restklassenkorpers von Fα, demFixkorper des Stabilisators Γα von α bei der Operation von Γ auf ΦI . (D.h.qα = q|Γ·α| mit q = |OF/pF |.)


• ε(α) die Vorzeichenfunktion auf Φ = Φ(T,G): ε(α) = −1, falls α vom Typ IIIist, und sonst gilt ε(α) = 1.

• Pθ∗ : T → Tθ∗ ist die Projektion auf die Koinvarianten des Torus. Die analogeProjektion PI : Φ → ΦI auf Vektorraumniveau und die Orbitsumme SIα =∑

γ∈Iα γ wurden in 2.3 definiert.

Definiere fur alle stark regularen Elemente δ =: t∗ ·θ∗ ∈ T ∩L mit Pθ∗(t∗) ∈ Tad,θ∗(F )

∆U(δ) :=∏

O ist Γ–Orbit in ΦI(und PI(α) ∈ O ein Vertreter.)

(−q−

12

PI(α)

)valF

(ε(α)·SIα(t∗)−1

),

wobei das Produkt uber alle Galoisorbiten O in ΦI lauft und die α ∈ Φ so zu wahlensind, daß PI(α) ∈ ΦI ein Vertretersystem fur die Galoisorbiten O durchlauft.

(8.8) Wohldefiniertheit von ∆U : Klar ist, daß weder qPI(α) noch ε von der Wahldes Vertreters α ∈ Φ abhangen, fur das PI(α) in einem vorgegebenen GaloisorbitO liegt. Weil δ und Θ∗ F–rational sind, ist auch SIα(t∗) =

∏γ∈Iα γ(t

∗) ∈ F×

unabhangig von der Wahl der α. Die Wahl des unverzweigten Zerfallungskorpers istoffenbar unerheblich und T , T , Pθ∗ werden gar nicht gewahlt: Weil δ stark regularist, ist T = Cent(Gδ, G) durch δ eindeutig bestimmt. (Vgl. 3.2 und 3.4.) Ebensoist die Operation von Θ∗ auf T durch δ festgelegt.

(8.9) Nach den Aussagen 8.4 bis 8.6 gibt es in jeder halbstabilen G(F ′)–Kon-jugationsklasse eines unverzweigten, anisotropen, F–Torus, der maximal bzgl. List und an einem Matching beteiligte Elemente enthalt, einen Torus T , der denAnforderungen von Definition 8.7 genugt.

Satz 8.10. Seien T und UT ⊂ T (F ) wie in Definition 8.7. Ferner sei TH einF–rationaler maximaler Torus von H, so daß ein Matching TH(F ) 3 γ0 ↔ δ0 ∈UT ∩L existiert. Dann gilt fur alle stark kompakten, stark regularen γ ∈ TH(F ) mitγ−1σ(γ) = z∗H(σ)

∆x(UT )(γ, δ) = ∆UT (δ)/∆TH(F )(γ) ,

wobei δ ∈ UT , so daß γ ↔ δ matchen. (Solche δ existieren nach Lemma 8.2.)

Beweis: Sei F ′ wie stets ein genugend großer unverzweigter Zerfallungskorper vonT und K ′ = G(F ′)x(UT ). Nach Satz 4.5 und Satz 4.21 gibt es zu x := x(UT ) zwei

OF –Gruppenschemata F und G, deren generische Fasern GΘ∗sc bzw. G sind und fur

die gilt F(OF ′) = GΘ∗sc (F ′)i−1

Θ (x) ⊂ G(F ′)x = G(OF ′). Folgende Wahlen sind moglich,

weil T unverzweigt ist und x hyperspeziell im Gebaude B(G,F )Θ∗ 4.21= B(GΘ∗

sc , F ):

141

• χα = (−1)valF (x) fur alle x ∈ F unv und alle α ∈ Φ(H) bzw. in PI(Φ(G)).

• Alle a–Data sind Einheiten, d.h. aus O×F ′ .

• Das durch das Θ∗–invariante Referenz–Splitting splG = (B,T, Xα) definier-te Splitting splGΘ∗

sc= (BΘ∗

sc ,TΘ∗sc ,

∑γ∈IαXγ) ist geliftet bezuglich i−1

Θ (x) ∈B(GΘ∗

sc , F ). (Vgl. Definition 4.14 und Behauptung 5.28.) (D.h. die Re-duktion von splGΘ∗

scmod p ergibt ein Splitting der speziellen Faser des OF –

Gruppenschemas F .)

Zuerst werden die Faktoren ∆II und ∆IV behandelt, die bereits als Quotient einesG–Beitrages im Zahler und eines H–Beitrags im Nenner definiert wurden (in (5.24)bzw. (5.23)).

Beitrag von ∆II: Nach Wahl der χ– und a–Data oben hat man fur den Zahler∏Γ·PI(α),

α nicht vomTyp III

χPI(α)

(SIα(t∗)− 1

aPI(α)

)·

∏Γ·PI(α),

α vom Typ III

χPI(α) (SIα(t∗) + 1)

=∏

Γ·PI(α),

PI(α)∈Φ(Gθ)

(−1)valF (SIα(t∗)−1) ·∏

Γ·PI(α),

PI(α) 6∈Φ(Gθ)

(−1)valF (SIα(t∗)+1)

und eine analoge Rechnung fur den Beitrag von H im Nenner.

Beitrag von ∆IV: Nach 7.30.4 gilt fur den G–Beitrag im Zahler

DG/T (δ∗) =∏

PI(α)∈PI(Φ(G))

∣∣ε(α) · SIα(t∗)− 1∣∣ 12F

=∏

Γ·PI(α),

PI(α)∈Φ(Gθ)

(q−

|Γ·PI (α)|2

)valF (SIα(t∗)−1)

·∏

Γ·PI(α),

PI(α) 6∈Φ(Gθ)

(q−

|Γ·PI (α)|2

)valF (SIα(t∗)+1)

wobei ε(α) = −1 falls α vom Typ III und sonst ε(α) = 1.

Zusammen hat man nun (nach den Wahlen)

(∆II ·∆IV)(γ, δ) = ∆UT (δ)/∆H(γ),

so daß zu zeigen bleibt, daß die restlichen Faktoren zusammen Eins ergeben.

Beitrag von ∆xI : Dieser Faktor verschwindet, weil nach den Wahlen zu Beginn des

Beweises

λ = λaα(Tθ∗

sc ) = h ·( ∏

α∈Φ(G)+Iσ−1

T α>0

aα∨

α

)· nGΘ∗

sc

(int(h−1σ(h))

)· σ(h)−1


aus (5.25) ein Korand ist. Das sieht man wie folgt:Zum ersten darf man das vermittelnde h (mit inth : Tθ∗

sc∼−→ T θ∗

sc ) in Gθ∗sc (F

′)x

wahlen/annehmen, denn beide Tori lassen sich ausdehnen zu abgeschlossenen Un-tergruppenschemata von F = F(x) und ihre Reduktionen mod p sind konjugiert in(Gθ∗

sc )(κ(F ′)). Weil F glatt ist, laßt sich (nach Hensels Lemma) diese Konjugation

liften nach Gθ∗sc (F

′)x.Zum zweiten liegen (nach 4.15.b) die Steinbergreprasentanten nGΘ∗

sc(...) fur den Weyl-

gruppenanteil der auf Tθ∗sc transportierten Galoisaktion von T θ∗

sc in Gθ∗sc (F

′)x. Dafursorgt die Wahl des Referenzsplittings von Gθ∗

sc oben.Drittens sind die a–Data Einheiten, so daß man schließt: λ = λaα(T

θ∗sc ) ∈

Z1(F ′/F, T θ∗sc (F ′)c). Wegen H1(F ′/F, T θ∗

sc (F ′)c) = 1 (Lemma 3.39) ist λ ein Ko-rand.

Beitrag von ∆xIII:

Man muß die Kottwitz–Shelstad–Paarung von V (σ) :=((v(σ)−1, v(σ)), (t∗, t∗−1)

)mit A(w) :=

((aT (w), xsc(w))−1, (s, 1)

)ausrechnen. Das gequerte Referenzmatching

erfullt selbstverstandlich die Normierungsbedingungen aus Definition 5.43. Insbe-sondere ist t∗ = δθ∗−1 ∈ T (F ′)x.Nach (8.5) kann man g = 1 annehmen und wegen Lemma 5.44 beim Referenzmat-

ching g = 1. Dann ist V (σ) = j(s∗) und S(F ) 3 s∗ := (t∗, t∗−1) = (δθ∗−1, t∗−1) ∈(T (F ′)x, T (F ′)x)

/Cent(G), d.h. s∗ ∈ S(F )c. Mit der Kompatibilitat der Kottwitz–

Shelstad–Paarung (vii) in (5.32) berechnet man

∆xIII(γ, δ) =

⟨V (σ), A(w)

⟩KS

=⟨j(s∗), A(w)

⟩KS

=⟨(aT (w), xsc(w)) , s∗

⟩L

= 1 .

Dabei folgt die letzte Gleichheit, weil nach den Wahlen zu Beginn des BeweisesaT (w) und aT (w) unverzweigt sind (Vgl. Korollar 6.13). Mit (5.36) ist deswegen(aT (w), xsc(w)) ∈ Z1(WF , S) unverzweigt. Daher verschwindet sein Charakter unterLanglandsreziprozitat auf S(F )c. (Das ist (3.37).)

Korollar 8.11. ∆(γ, δ) hangt nur von den Bildern von δ in Gad bzw. γ in Had ab.

Beispiele

Nach dem Korollar 8.11 andert sich ∆U aus 8.7 innerhalb der Isogenieklasse nicht.Weil Gsc (und Gad) direkte Produkte von einfach algebraischen Gruppen sind unddie Diskriminante ∆U dabei ebenfalls in ein Produkt zerfallt, kann man sich imFolgenden eigentlich beschranken auf den Fall, daß G ein Θ∗–Orbit einer einfachalgebraischen Gruppe ist und einfach zusammenhangt.

Beispiel 8.12. L = G, d.h. G = G und Θ∗ = id.Fur einen unverzweigten anisotropen Torus T ist dann in Definition 8.7 T (F ) =

Beispiele 143

T (F ) = U die einzige maximal kompakte Untergruppe. Man hat dann 8.7 fur alleδ ∈ Tad

∆T (F )(δ) :=∏

O ist Γ–Orbit in Φ(G)

(−q−

12

α

)valF

(α(δ)−1

),

wobei die α ein Vertretersystem der Galoisorbiten O auf Φ(G, T ) durchlaufen. DieseDiskriminante wurde von Weissauer in [W] betrachtet. Dasselbe Ergebnis hat man,wenn Θ∗ trivial auf G operiert (nur hangt dann U = T (F ) nicht mehr zusammen.)

Beispiel 8.13. G = G1 × · · · ×Gl, θ(x1, ..., xl) := (xl, x1, ..., xl−1) und G = Go 〈θ〉mit θ ∈ G(F ).Man hatGi = Gj. Der Torus T ist genau dann anisotrop, wenn T = T = T1×· · ·×Tl

anisotrop ist. Sei Nθ : T → T θ t 7→∏l−1

i=0 θi(t) die Norm. Identifiziere T θ ' T1

uber die Projektion auf die erste Komponente. Dann ist in Definition 8.7 fur alleδ = t · θ ∈ T (F ) mit Nθ(t) ∈ (T θ)ad(F )

∆T (F )(δ) :=∏

Γ·α⊂Φ(G1,T1)

(−q−

12

α

)valF

(α(Nθ(t))−1

).

Beispiel 8.14. Sei θ = θ∗ ∈ L(F ) und s = 1 im endoskopischen Datum (H, LH, s, ξ).

Dann ist H = Gθ. Daher ist Φ(TH)∨ = Φ(TH) ⊂ Φ(T )I = (Φ(T )∨)I und mit (2.5.8)erhalt man

Φ(TH) 3 αH = PI(α∨)∨ =

SIα falls α vom Typ I, III

2 · SIα falls α vom Typ II ist

fur geeignete α ∈ Φ := Φ(G, T ). Weil θ ein Splitting von G fixiert, ist nach Stein-bergs Satz 2.27

Φ(H) = Φ(G)kurzI := PI(α

∨) | α∨ ∈ Φ∨(G) = Φ(G) vom Typ I oder II.

Außerdem hat man

qαH= q[Fα:F ] = q|Γ·αH | = q|Γ·PI(α∨)∨| = q|Γ·PI(α)| = qPI(α).

Wenn man fur ein Matching TH 3 γ ↔ δ ∈ T (F ) in den Bezeichnungen von Defi-nition 5.9 die zulassige Einbettung η : TH

∼−→ Tθ∗ mit η(γ) = Pθ∗(t∗) in Erinnerung


ruft, kann man direkt mit Definition 8.7 verifizieren, daß

∆TH(F )(γ) :=∏

Γ·αH⊂Φ(H)⊂((Φ∨)I)∨

(−q−

12

αH

)valF

(αH(γ)−1

)

=∏

ΓPI(α∨)∨⊂((Φ∨)I)∨

α∨ vom Typ I

(−q−

12

PI(α)

)valF

(SIα(Pθ∗ (t∗))−1

)·

∏ΓPI(α∨)∨⊂((Φ∨)I)∨

α∨ vom Typ II

(−q−

12

PI(α)

)valF

(SIα(t∗)2−1

)

=∏

ΓPI(α)⊂Φ(G)Iα vom Typ I,II

(−q−

12

PI(α)

)valF

(SIα(t∗)−1

)·

∏ΓPI(α)⊂Φ(G)Iα vom Typ III

(−q−

12

PI(α)

)valF

(−SIα(t∗)−1

)

= ∆〈T (F )c,δ〉(δ)

Beispiel 8.15. Sei θ = θ∗ ∈ L(F ), G vom Typ A2n und s ∈ T sei so, daß ints θein spezieller Automorphismus ist, der kein Splitting von G stabilisiert. (Dieser Fallwurde schon einmal erwahnt in der rechten Spalte der Tabelle zu Beispiel 2.19.)Dann kann man alles wie im letzten Beispiel rechnen, nur ergibt Steinbergs Kriterium2.27 hier

Φ(H) = Φ(G)langI := PI(α

∨) | α∨ ∈ Φ∨(G) = Φ(G) vom Typ I oder III.

so daß man nun erhalt

∆TH(F )(γ) = ∆〈T (F )c,δ〉(δ) ·∏

ΓPI(α)⊂Φ(G)Iα vom Typ III

(−q+ 1

2

PI(α)

)valF

(−SIα(t∗)−1

)

Tabellen endoskopischer Gruppen 145

A Endoskopische Gruppen der unverzweigten ein-

fachen Gruppen

(A.1) Sei Φ ⊂ V ∗ ein Wurzelsystem, ∆ eine Basis von Φ und Θ ∈ Aut(Φ,∆).Betrachte wieder den Kammerkomplex auf V Θ zu PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ aus (2.30).Im Folgenden sei stets Λ das Gitter (in PΘ(Z[Φ∨])⊗R) der speziellen Punkte. NachBehauptung 2.39 ist Λ = Z[ΦI,lang]∗ = Z[((PΘ(Φ∨))∨)lang]∗. Falls Φ irreduzibel ist,hat man nach (2.5) Λ = PΘ(Z[Φ]∗) außer im Ausnahmefall Φ = A2n und Θ 6= id. ImAusnahmefall ist PΘ(Z[Φ]∗) = PΘ(Z[Φ∨]) und Z/2 ' Λ/PΘ(Z[Φ]∗) = Λ/PΘ(Z[Φ∨]).Im allgemeinen Fall ist Λ direktes Produkt der irreduziblen Falle eben.Bezeichne Aut(Φ)Θ := Cent(Θ,Aut(Φ)). Wahle eine Kammer C ⊂ V Θ mit 0 ∈ C.Zusatzlich zu ΩC := StabC(PΘ(Z[Φ]∗)oWΘ) aus (2.26) werden hier noch drei weitereGruppen benotigt:

ΩspezC := StabC(Λ oWΘ),

ΩextC := StabC(PΘ(Z[Φ]∗) o Aut(Φ)Θ) ' Aut(∆aff (Φ,Θ)) und

Ωspez,extC := StabC(Λ o Aut(Φ)Θ).

Weil sowohl die Operation von PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ auf den Kammern von V θ als auchdie Operation von Ωext

C auf den speziellen Punkten von C (bzw. ∆aff (Φ,Θ)) einfachtransitiv ist, hat man folgendes kommutative Diagramm mit exakten Zeilen undSpalten

1 // PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ // Λ oWΘ_

// ΩspezC_

//ee 1

1 // PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ // Λ o Aut(Φ)Θ

// Ωspez,extC

//ff

1

Aut(∆(Φ,Θ)) ∼ // Stab0(Ωspez,extC ),

``

wobei ∆(Φ,Θ) = ∆aff (Φ,Θ)\1 + S∨〈Θ〉α∨. Dadurch erhalt man Isomorphismen

π1(ΦΘ)Def= PΘ(Z[Φ]∗)/PΘ(Z[Φ∨]) ' ΩC und Ωspez

C ' Λ/PΘ(Z[Φ∨]).

Definition A.2. Betrachtet werden Sextupel (V,Φ,Θ, σ,Fr, β∨) mit

• V ist ein Vektorraum und Φ ⊂ V ∗ ein Wurzelsystem.

• Θ ∈ Aut(Φ,∆aff )

• Fr = Cent(Θ,Aut(Φ))Def= Aut(Φ)Θ

• σ ist das Bild von Fr unter der Projektion auf den zweiten Faktor bei derZerlegung Aut(Φ) = W o Aut(Φ,∆). Offensichtlich vertauscht σ mit Θ.

146 Tabellen endoskopischer Gruppen

• β∨ ∈ Z[Φ]∗

Sextupel heißen anisotrop, wenn (Fr−1)V Θ = V Θ. Anisotrope Sextupel heißen

primitiv, wenn Fr primitiv ist im Sinne von [BFW], d.h. |(Λ/PΘ(Z[Φ∨])

)Fr| =|H1(〈Fr〉, PΘ(Z[Φ∨]))|Aquivalent sind zwei Sextupel (V,Φ,Θ, σ,Fr, β∨) ≈ (V,Φ,Θ, σ, Fr, β∨), wenn eintow ∈ PI(Z[Φ∨]) oWΘ existiert, so daß einerseits Fr = w Frw−1 und andererseitsPI(β

∨) = (to w)(PI(β∨)). Klarerweise ist dabei σ = σ.

(A.3) In diesem Appendix soll fur alle irreduziblen Φ und alle Aquivalenzklassenvon anisotropen, primitiven Sextupeln (Z[Φ∨]⊗R,Φ,Θ, σ,Fr, β∨) folgende Gleichung(in v) gelost werden

Fr(v) ≡ v + β∨ mod Z[Φ∨] + (1−Θ)V(∗)

oder aquivalent umformuliert

(Fr−1)(PΘ(v)) ≡ PΘ(β∨) mod PΘ(Z[Φ∨])(∗∗)

Der Abschluß des Alkovens zu ∆aff (Φ,Θ), der in (2.32) bis (2.40) definiert wurde,ist ein (schwacher) Fundamentalbereich fur die Operation von PI(Z[Φ∨]) oWΘ aufV Θ. Indem man das Sextupel innerhalb seiner Aquivalenzklasse geeignet abandert,sucht man also Losungen der Gleichung (∗) in einem fest gewahlten (abgeschlossen)Alkoven zu ∆aff (Φ,Θ).

(A.4) Die Projektion der Losungen der homogenen Gleichung (∗), d.h. der Glei-chung zu Sextupeln mit β ∈ Z[Φ∨], liegen in V σ: Sei v := PΘ(v) ∈ C eine homogeneLosung von (∗∗). Dann existiert ein w ∈ PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ, so daß w(v) = σ(v) ∈ C(denn σ bildet C in sich ab). Nach dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.6 gilt daherw(v) = v. Also ist v ∈ V σ.

Behauptung A.5. Genau dann ist (V,Φ,Θ, σ,Fr, β∨) primitiv, wenn es kein Θ–und σ–stabiles Subsystem Φ′ von Φ gibt, so daß die W (Φ)Θ–Konjugationsklasse vonFr einen Vertreter in W (Φ′)Θ o σ hat.

Beweis: Man darf Φ irreduzibel annehmen. Zuerst beobachtet man, daß (w−1)Λ ⊂PΘ(Z[Φ∨]) fur alle w ∈ WΘ o σ. Als zweiten Schritt errechnet man fur anisotropesFr = wσ ∈ WΘ o σ:

H1(〈Fr〉, PΘ(Z[Φ∨]))Def=PΘ(Z[Φ∨])

/(Fr−1

)(PΘ(Z[Φ∨])

)=(Fr−1

)−1(PΘ(Z[Φ∨])

)/PΘ(Z[Φ∨]) ⊃

(Λ/PΘ(Z[Φ∨])

)Fr

.

Appendix 147

Nach Definition ist Fr primitiv genau dann, wenn ganz links Gleichheit gilt. Mit(A.4) hat man(

Fr−1)−1(

PΘ(Z[Φ∨]))

=x ∈ V Θ

∣∣ Fr(x) ≡ x mod PΘ(Z[Φ∨])

=x ∈ V 〈Θ,σ〉

∣∣∣ Fr ·σ−1 ∈ Bild[(PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ

)x

Proj.−−−→ W θ]

Diese Menge ist genau dann gleich dem Gitter Λ∩V σ der σ–invarianten (Θ–) spezi-ellen Punkte, wenn es kein Θ– und σ–stabiles Subsystem Φ′ von Φ gibt, so daß dieWΘ–Konjugationsklasse von Fr einen Vertreter in W (Φ′)Θ o σ hat.

Behauptung A.6. Sei L eine uber F definierte Zusammenhangskomponente derunverzweigten reduktiven Gruppe G = 〈L〉.Bezeichne Φ := Φ(G) ' Φ∨(G) undG = G. Die Operation von L auf G definiert einen außeren Automorphismus, d.h.einen Diagrammautomorphismus von ∆ ⊂ Φ = Φ∨(G). Sei Θ ∈ Aut(Φ,∆) der Liftdieser Aktion (von L) und I = 〈Θ〉. Sei

Φ(v) :=

PI(α) | α ∈ Φ und SIα(v) ∈

Z falls α vom Typ I, II

12

+ Z falls α vom Typ III

.

Dann sind aquivalent

• (Φ(v))∨ ist das Wurzelsystem einer endoskopische Gruppe H zu (G, θ, a′), sodaß erstens Φ(H) = Φ(v) und zweitens das Bild von mξ(Frob) o Frob aus(5.3.4) in Aut(Φ) gleich Fr ist.

• v lost die Gleichung (∗) fur ein Sextupel (Z[Φ∨]⊗R,Φ,Θ, ρG(Frob), ρH(Frob), β∨)

mit β∨ ∈ Z[Φ]∗ so, daß expβ∨ = a′(Frob) ∈ Texp' (V ⊗ C)/X∗(T ) fur einen

maximalen Torus T ⊂ G.

Aquivalente Sextupel ergeben dabei isomorphe endoskopische Daten.

Beweis: Die Aquivalenz der ersten beiden Punkte sieht man mit den Konventionenvon (5.5), indem man die Exponentialsequenz 1 → X∗(T ) → V ⊗ C exp−−→ T → 1benutzt, um die Definition der endoskopischen Gruppe (5.3) in V zu formulieren.Dabei ist s = exp(v), Fr das Bild eines Erzeugers (Frobenius) der Galoisgruppeunter ρH Aut(H) ⊂ Aut(Φ) und das θ aus (5.3) ergibt den hier Θ benannten Au-tomorphismus. Die erste Bedingung in (5.3.4) besagt nach Steinberg 2.27 gerade

Φ(v) = Φ(Gsθ) = Φ(H). Die zweite Bedingung aus (5.3.4) ist bei zyklischer Galois-gruppe (wie man mit (5.8) sieht) die Gleichung (∗).Zwei aquivalente Sextupel werden nach Definition durch ein xow ∈ PI(Z[Φ∨])oWΘ

ineinander ubergefuhrt. Wenn v eine Losung von (∗) mit Fr und β∨ ist, so ist w(v)eine Losung von (∗) mit w Frw−1 = Fr und (x o w)(β∨) = β∨. Weil θ ein Split-

ting von G stabilisiert, gibt es nach Lemma 2.7 ein Urbild g ∈ Norm(T , G)θ vonw ∈ WΘ. Dann ist nach dem letzten Absatz in (5.3) durch g ein Isomorphismus von


endoskopischen Daten gegeben, denn s′ = exp(v) = (exp(w(v))) = gexp(v)g−1 =g · s · θ(g)−1.

Nach dieser Behauptung ist (A.3) gleichbedeutend zur Klassifikation aller Isomor-phieklassen von unverzweigten endoskopischen Gruppen zu den einfachen algebrai-schen Gruppen, fur die die Operation des Frobenius fur ein T ⊂ G anisotrop undprimitiv in W ext := Aut(Φ(T , G)) ist. Fur nicht einfach zusammenhangenden Grup-pen G kommen dabei nur Sextupel in Betracht, fur die β∨ in π1(G) ⊂ π1((G)ad) =Z[Φ]∗/Z[Φ∨] vorkommt.

(A.7) Eine Losung v von (∗) wird in einem getwisteten affinen Dynkingraphenangegeben werden und zwar wie folgt: Fixiere einen Alkoven C zu ∆aff (Φ,Θ). Esgibt (genau) ein ω = ω(Fr, β∨) ∈ Ωext

C , so daß −PΘ(β∨)oFr ∈ ω ·(PΘ(Z[Φ∨])oWΘ).Das affine Dynkindiagramm ∆aff (Φ,Θ) wird mit der Operation von ω versehen undim Diagramm der ω–Orbiten (Quotientendiagramm) wird ein Orbit von Ecken genaudann geschwarzt, wenn fur eine (und damit fur jede) Ecke des Orbits v nicht aufder zu dieser Ecke gehorenden (gegenuberliegenden) Wand liegt.

Satz A.8. Sei (Z[Φ∨] ⊗ R,Φ,Θ, σ,Fr, β∨) anisotrop und primitiv mit irreduziblemΦ.

(a) Fur jeden Punkt v, der (∗) lost, wird genau ein ω–Orbit in (∆aff (Φ,Θ), ω)geschwarzt.

(b) Alle Punkte, fur die (∗) gilt, bilden einen Orbit unter Cent(ω,ΩspezC ).

(c) Falls β∨ = 0, so ist die Menge der Punkte, die (∗) genugen (d.h. die ho-mogenen Losungen), gerade die Menge der speziellen Punkte im Quotienten-diagramm zu (∆aff (Φ,Θ), σ), i.e. die Menge der σ—fixierten, in ∆aff (Φ,Θ)speziellen Ecken.

Beweis: Zu (a): Sei v = PΘ(v) ∈ C eine Losung von (∗∗). Mit dem ω aus (A.7)gilt dann ω(v) ≡ v mod PΘ(Z[Φ∨]) o WΘ, woraus nach dem Satz von Chevalley–Steinberg 1.6 folgt, daß ω(v) = v. Daher wird immer ein ganzer ω–Orbit geschwarztbzw. weiß gelassen. Um zu zeigen, daß nicht mehr als ein Orbit geschwarzt wird,benutzt man daß C ein Simplex ist, dessen Ecken vα := 1

cIα·c(α)PΘ(β∨Iα) und vα := 0

in (2.40) angegeben wurden. Demnach gibt es 0 ≤ xα mit

v =∑

Iα⊂∆∪Iα

xαvα und∑

Iα⊂∆∪Iα

xα = 1.

Sei l := ordω. Weil lv Losung der homogenen Gleichung ist, hat man nach Teil (c)lv ∈ PΘ(Z[Φ]∗) ∩ V σ. Daher teilt cIαc(α) | lxα ∈ Z. Aus dieser Bedingung folgtsofort die

Behauptung A: Sei α′ aus einem ω–Orbit der Lange l = ordω, so daß v =∑xαvα

eine Losung von (∗∗) ist mit xα′ > 0. Dann ist v = 1l

∑γ∈〈ω〉α′ vγ (und vα′ ∈ Z[Φ]∗).

Appendix 149

Behauptung B: Fur eine Losung v =∑xαvα von (∗∗), enthalt

M(v) := α ∈ ∆aff (Φ,Θ) | xα > 0 und ω fixiert vα.

hochstens ein Element.

Beweis: Bewiesen wird, daß alle∑

α∈M(v) yαvα mit yα ≥ 0 und∑

α∈M(v) yα = 1 die

Gleichung (∗∗) (fur hiermit fixierten Fr und β∨) losen. Hieraus folgt die Behauptungwegen der Bedingung lyα ∈ Z.Aus (∗∗) folgt, daß es eine Translation aus PΘ(Z[Φ∨]) − PΘ(β∨) gibt, so daß(t.Fr)(v) = v. Weil PΘ(Z[Φ∨]) o WΘ markierungserhaltend und auf den Kam-mern von V Θ transitiv operiert, gibt es ein ρ ∈ (PΘ(Z[Φ∨]) o WΘ)v, so daß ρ.t.Frdie Kammer C stabilisiert. Man hat ω = ρ.t.Fr (nach Konstruktion). Nach demSatz von Chevalley–Steinberg 1.6 fixiert ρ die Ecken vα fur α ∈ M(v). Also hatman (fur α ∈ M(v)) ω(vα) = vα = ρ(v), d.h. vα = (ρ−1ω)(vα) = (t.Fr)(vα), worausdurch Summation uber Fr(yαvα) = yα Fr(vα) = yαvα + yαt die Behauptung folgt.

Indem man alle (irreduziblen) Falle durchgeht, sieht man, daß es außer im nachfol-genden Dn–Fall fur alle (Φ,Θ, ω) nur zwei ω-Orbitlangen von Ecken (von C) gibt,namlich 1 und l = ordω. In diesen Fallen folgt aus den Behauptungen A und B,daß hochstens ein ω–Orbit geschwarzt wird. Zu zeigen bleibt diese Aussage im

Fall Φ = Dn und l = ordω = 4. Man hat dann folgende ω–Orbiten (und cα)

12iiii

2222

2 2 2 2 21iiii1

2UUUU

12UUUU

oder

12iiii

2222oooo

2OOOO

2 2 21iiii1

2UUUU

12UUUU

.

Der ω–Obit der Lange 4 tritt nach Behauptung A (hochstens) alleine auf. Seiα′, ωα′ ein ω–Orbit und xα′ > 0. Weil 4xα′ ∈ N gerade sein muß, ist xα′ ∈ 1

2N.

Da∑xα = 1 und ωxα = xα, folgt xα = 0 fur alle α außerhalb des ω–Orbits von α′.

Weil C hochstens eine ω–fixierte Ecke besitzt, ist man fertig.

Zu (b): Seien v1, v2 ∈ C zwei verschiedene Losungen von (∗) fur eine gegebeneAquivalenzklasse eines Sextupels und vi := PΘ(vi), d.h. es exisitieren wi ∈ WΘ, sodaß

(w−1i Frwi)(vi) ≡ vi + PΘ(β∨) mod PΘ(Z[Φ∨]).

⇐⇒ Fr(wivi) ≡ wivi + wiPΘ(β∨) ≡ wivi + PΘ(β∨) mod PΘ(Z[Φ∨]).

Also lost x0 := w1v1 − w2v2 die homogene Gleichung. Nach Teil (c)ist daher x0 ∈PΘ(Z[Φ]∗). Also gibt es ω1 = ρ1 · t1 ∈ Ωspez

C mit ω1(v1) = v2, ρ1 ∈ PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ

und der Translation t1 : x 7→ x+ x0.Bezeichne t die Translation um−PΘ(β∨) auf V Θ. Dann existiert ein ρ ∈ PΘ(Z[Φ∨])oWΘ mit ω = ρ · t · Fr. Nun rechnet man

ω(x0) = (ρ · t · Fr)(w1v1 − w2v2) ≡ ρ(x0) ≡ x0 mod PΘ(Z[Φ∨]),


d.h. die Klasse von x0 in Λ/PI(Z[Φ∨]) ist ω–invariant. Somit vertauschen ω und ω1.

Zu (c): Sei v = PΘ(v) ∈ C ∩ V Θ eine homogene Losung von (∗∗). Nach (A.4) liegtv in V σ.Weil Fr anisotrop auf V Θ operiert, ist (Fr−1)|V Θ invertierbar, d.h. (Fr−1)−1PI(Z[Φ∨])ist ein Gitter in V Θ. Sei v ∈ (Fr−1)−1PI(Z[Φ∨]), d.h. Fr ·σ−1 ∈ WΘ liegt in derProjektion auf W θ von (PI(Z[Φ∨]) oWΘ)v = (PI(Z[Φ∨]) oWΘ)Facette(v) (nach demSatz von Chevalley–Steinberg 1.6). Also liegt die ganze Facette, in der v liegt, in(Fr−1)−1PI(Z[Φ∨]). Weil diese Gruppe diskret ist, muß die Facette ein Punkt (vselbst) sein.Da Fr ∈ WΘ o σ primitiv ist, muß nach Lemma A.5 die Projektion

(PI(Z[Φ∨]) o

(WΘ o 〈σ〉))

v→ WΘ o 〈σ〉 surjektiv sein. Daher ist auch die (Einschrankung der)

Projektion auf WΘ surjektiv und weil v ∈ V σ, ist v speziell in ∆aff (Φ,Θ).Wenn umgekehrt PΘ(v) ∈ V σ eine spezielle Ecke von C ist, so ist v Losung der homo-genen Gleichung (∗), da jedes Urbild von Fr unter (PI(Z[Φ∨])o (WΘ o 〈σ〉))PΘ(v) WΘ o 〈σ〉 eine Losung angibt.

Nach diesem Satz (a) werden alle Losungen zu gegebenem (Φ,Θ,Fr, σ, β∨) aus Platz-grunden in ein Diagramm eingetragen.

Beispiel A.9. Φ = A2n und ord(Θ) = 2.Nach Beispiel 2.41 ist der Alkoven C ∈ V Θ zu ∆aff (Φ,Θ) mit 0 ∈ C die um denFaktor 1

2gestauchte Kammer C0 ∩ V Θ fur einen Alkoven C0 des A2n–Systems. Man

hat in diesem Fall

ΩC = ΩextC = 1 und Ωspez

C = Ωspez,extC ' Z/2.

Weil hier PΘ(Z[Φ∨]) = PΘ(Z[Φ]∗) gilt, hat man nur die homogene Gleichung (∗)zu betrachten. Man errechnet zwei Losungen im Alkoven, von denen genau eine inPΘ(Z[Φ]∗) liegt.

(A.10) Falls (Φ,Θ) 6= (A2n,Flip), kann man die Punkte (b) und (c) des Satzes A.8auch so formulieren

(b’) Alle Punkte, fur die (∗) gilt, bilden einen Orbit unter den Diagrammautomor-phismen des Quotientendiagramms zu (∆aff (Φ,Θ), ω), die von Diagrammau-tomorphismen von ∆aff (Φ,Θ) herkommen, die mit ω vertauschen.

(c’) Die Losungen der homogenen Gleichungen (∗) sind PΘ(Z[Φ]∗) ∩ V σ.

Bezeichnungen

(A.11) Die Bezeichnungen der folgenden Tabellen sind alle aus [BFW], insbeson-dere die Namen der primitiven Konjugationsklassen. Sie stammen ursprunglich aus

Appendix 151

[Ca72]. Fur die Serien wird folgende Notation von signierten Zykeln verwendet: Einsignierter Zykel w der Lange r ist beschrieben durch die Abbildungsvorschrift

εa1 7→ ±εa2 7→ ±εa3 7→ ... 7→ ±εar 7→ ±εa1

sowie die ”Paritat der Vorzeichen”: er wird positiv bezeichnet, falls ord(w) = r undnegativ, falls ord(w) = 2r (d.h. wr(εa1) = −εa1). Einen negativen Zykel schreibtman w = (a1, a2, ..., ar)

−, einen positiven w = (a1, a2, ..., ar).Die Menge aller Produkte paarweise ziffernfremder signierter Zykeln mit positivenZykeln der Langen a, b, c, ... und negativen Zykeln der Langen A, B, C, ... wird(wie bei Carter [Ca72]) mit [abc... ABC...] bezeichnet.

(A.12) Die Numerierung der Wurzeln, Kowurzeln und Gewichte folgt in [BFW]Bourabaki. In der Tabelle 2.36 hat man dabei folgende Nummern:

Φ Θ∗ = id OrdΘ∗ = 2

A2n−1 01 2 ... (n− 1)

(2n− 1) (2n− 2) ... (n+ 1)n

10

2 3 ... (n− 2) (n− 1) n

Cn 0 1 2 ... (n− 2) (n− 1) n

A2n 01 2 ... (n− 1) n2n (2n− 1) ... (n+ 2) (n+ 1)

0 1 2 ... (n− 2) (n− 1) n

Dn+101

2 3 ... (n− 2) (n− 1)n

(n+ 1)0 1 2 ... (n− 2) (n− 1) n

Bn01

2 3 ... (n− 2) (n− 1) n

E82

1 3 4 5 6 7 8 0

E72

0 1 3 4 5 6 7

E6 0 2 43 15 6

4 3 2 1 0

F4 0 1 2 3 4

OrdΘ∗ = 3

D4 0 2134

2 1 0

G2 0 2 1

(A.13) Die Diagramme werden mit den jeweiligen Namen aus [Ti79, 4.3] versehen.Insbesondere werden die Entartungen der Serien–Diagramme fur kleine n nur mitVerweis auf die Tabellen in [Ti79] angegeben.Die Zahl links neben dem Quotientendiagramm gibt an, wieviele Punkte das untereDiagramm hat.

Bemerkung: Alle Diagramme in [Ti79, 4.3] kommen in den folgenden Liste vor.


Homogene Losungen: β∨ = 0 mit σ = id

Φ θ = id Ord(θ) = 2

A2n−1n≥2

••oooo• • •

•OOOO

•oooo•••

•OOOO <

< >bzw.

•O

OOO

•oooo

• •

Cnn≥2

> <• •

A2n ••oooo• • • •

••••••OOOO > > ×

> ×bzw.

• •

• •

Dn+1n≥4

•O

OOO

•oooo

•OOOO•

oooo< >• •

Bnn≥3

>•O

OOO

•oooo

Nur θ = id moglich:

E8 •

E7 • •

θ = id Ord(θ) = 2

E6 • oooo•

•OOOO > •

F4 >•

θ = id Ord(θ) = 3

D4 • •oooo

•OOOO• > •

G2 >•

Appendix 153

Homogene Losungen mit σ 6= id

Φ

A2n−1n≥2

oooo

OOOO

oooo

OOOO

> <• •

A2n oooo

OOOO

> >• •

Dn+1n≥4

O

OOO

oooo

OOOO

oooo

>•O

OOO

•oooo

E6 oooo

OOOO

>•

D4 oooo

OOOO

>•

Die Diagramme fur Θ 6= id sind langweilig: Fur sie gilt Θ = σ oder Θ = σ−1 (imFalle D4!), so daß σ auf dem Alkoven bzgl. PΘ(Z[Φ∨]) oWΘ trivial operiert. Dahergenugen die Diagramme der ersten Tabelle auf der Vorseite.

Der Alkoven zum Quotientendiagramm des A2n–System hier ist nicht derselbe wieder zu ∆aff (Φ(A2n),Θ 6= id) sondern nur proportional zu ihm. Der Alkoven vonA2n ist gleich

Alk(A2n) := (x1, ..., xm+1) ∈ V | 1 + xm+1 > x1 > x2 > ... > xm > xm+1 .

Daher ist der Alkoven des Quotientendiagramms gleich

Alk(A2n) ∩ V σ =

(x1, ..., xn, 0,−xn, ...− x1) ∈ V σ | 1

2> x1 > x2 > ... > xn > 0


wogegen

Alk(∆aff (Φ(A2n),Θ)) =

(x1, ..., xn, 0,−xn, ...− x1) ∈ V Θ | 1

4> x1 > x2 > ... > xn > 0

.

Appendix 155

Inhomogene Losungen

Φ ist vom Typ Am und β∨ = β∨a ≡ aβ∨1 (mod Z[Φ∨]):

Fall 1: Θ = id.

Fall 1.1: Sei Fr ∈ W die Coxeterklasse und c := m+1ggT(a,m+1)

. Die Gleichnung (∗) hat

ggT(a,m+1) verschiedene Losungen, deren Diagramm in [Ti79] mit cAm bezeichnetwird. Dabei ist jeder der ggT(a,m + 1) Punkt im relativ lokalen Dynkindiagrammgeschwarzt.

Fall 1.2: Sei m ungerade und Fr ∈ −[k,m+ 1− k] ⊂ W o σ mit ungeradem k. Fallsa ungerade ist, gibt es zwei Losungen in einem 2A

′′m–Diagramm: 1

︷︷k+12 ︷︷k+1

2

αm−a2

αm−a2

+1

αm+1−a−12

αm−1+a+12

< >× ×s sm+1

2

• •

Falls a gerade ist, gibt es zwei Losungen in einem 2A′m–Diagramm:

αm+1−a2

αm+1−a2

> <hs hs

m+32

OOOO

oooo

OOOO

oooo

• •

Fall 1.3: Sei m = gerade und Fr ∈ −[m+1] ⊂ W oσ das getwistete Coxeterelement.Die Losungsmenge ist nur ein Punkt in einem 2A′m–Diagramm: 2

αam2

> >hs

×1 + m2

OOOO

oooo

•

(Beachte, daß m + 1 und m2

teilerfremd sind, so daß β∨m2

die Fundamentalgruppe

π(Φ) erzeugt.)

1Dieses Diagramme hat man fur m ≥ 5. Fur m = 3 entarten sie zu 2A′′

3 in [Ti79].2Dieses Diagramme hat man fur m ≥ 4. Fur m = 2 entarten sie zu 2A

′

2 in [Ti79].


Fall 2: Θ 6= id.

Fall 2.1: Sei m = 2n−1 ungerade und Fr ∈ WΘo〈Θ〉 so, daß Fr auf dem Cn–SystemPI(Z[Φ∨]) als Coxeterelement operiert.

<

< <s s

2B − Cn

n = m+12

O

OOO

oooo

•

Fall 2.2: Wenn m gerade ist, hat man nur die homogene Gleichung zu losen, da dannPI(Z[Φ]∗) = PI(Z[Φ∨]).

> >

> >s s

×

×1 + m2

• •

Appendix 157

Φ ist vom Typ Bn (n ≥ 3) :

Sei β∨ = β∨1 und Fr ∈ [n] das Coxeterelement. Dann ist die einzige Losung

>

< >s s

2Bn

n

O

OOO

oooo

•

Φ ist vom Typ Cn (n ≥ 2) :

Sei β∨ = β∨n und Fr = [n] das Coxeterelement.

Falls n gerade ist, ist die einzige Losung: 3

> <

<

<

s s

2Cn

1 + n2

oooo

OOOO

•

Falls n ungerade ist, ist die einzige Losung: 4

<× <

<

<

s s

2Cn

n+12

•

3Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 4. Fur n = 2 entartet es zu 2C2 in [Ti79].4Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 5. Fur n = 3 entartet es zu 2C3 in [Ti79].


Dn (n ≥ 4) :

Fall 1: Θ = id.

In den Fallen 1.1 bis 1.3 ist Fr ∈ W , in den Fallen 1.4 bis 1.6 ist Fr ∈ W o σ2 undin 1.7 ist Fr ∈ W (D4) o σ3.

Fall 1.1: Sei β∨ = β∨1 und Fr ∈ [k, n− k] ∈ W mit 1 ≤ k ≤ n − 1. Es gibt zweiLosungen:

︸︸k

︸︸k

αk αn−k

< >s s

2D′n

n− 1

O

OOO

oooo

OOOO

oooo

• •

Fall 1.2: Sei n ungerade, β∨ ∈ β∨n−1, β∨n und Fr ∈ [k, n− k] ∈ W , wobei o.E. k

gerade und n− k ungerade seien. Dann ist die einzige Losung: 5

︸︸k2

α k2

αn− k2

<× <s s

4Dn

n−12

iiii

iiiiUUUU

UUUU

•

Fall 1.3: Sei n gerade, β∨ ∈ β∨n−1, β∨n und Fr ∈ [k, n− k] ∈ W . Es gibt nur eine

Losung.Falls k und n− k gerade sind, erhalt man: 6

>

s

s

2D′′n

1 + n2

EEEEEyy

yyy

uu

uuu

oooo

OOOO

I

IIII

• uuuuu

IIIII

5Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 7. Fur n = 5 entartet es zu 4D5 in [Ti79].6Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 4. Fur n = 4 entartet es zu 2D

′

4 bei [Ti79].

Appendix 159

Falls k und n− k ungerade sind, erhalt man:

>

s

s

2D′′n

1 + n2

EEEEEyy

yyy

uu

uuu

oooo

OOOO

I

IIII

•uuuuu

•IIIII

Fall 1.4: Sei β∨ = β∨1 und Fr ∈ [n] ⊂ W (Dn) o σ2. Dann hat man zwei Losungen

α1 αn−1

<hs

hs

2Dn

n

O

OOO

oooo

OOOO

oooo

•oooo

•OOOO

Fall 1.5: Sei n gerade, β∨ ∈ β∨n−1, β∨n und Fr ∈ [n] ⊂ W (Dn) o σ2. Dann ist die

einzige Losung: 7

> >s s

4Dn

n2

iiiiUUUU

llll

oooo

OOOO

RRRR

•

Fall 1.6: Sei n ungerade, β∨ ∈ β∨n−1, β∨n und Fr ∈ [n] ⊂ W (Dn) o σ2. Dann hat

man zwei Losungen: 8

<×s

s

2Dn

n+12

EEEEEyy

yyy

uu

uuu

I

IIII

•uuuuu

•IIIII

Fall 1.7: Hier darf Fr ∈ W (D4) o σ3 beliebig sein. Man hat fur jede Wahl von β∨

genau eine Losung:

>hs

oooo

OOOO

• 7Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 6. Fur n = 4 entartet es zu 4D4 in [Ti79].8Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 7. Fur n = 5 entartet es zum entsprechenden 2D

′′

5 in [Ti79].


Fall 2: ord(Θ) = 2.

Sei β∨ = βn und Fr ∈ WΘ o 〈Θ〉 so, daß Fr auf dem Cn−1–System PI(Z[Φ∨]) alsCoxeterelement operiert.

Fall 2.1: n ist ungerade (d.h. n− 1 gerade). Die einzige Losung ist: 9

> >

>

>

s s

2C −Bn−1

n+12

oooo

OOOO

•

Fall 2.2: n ist gerade (n− 1 ungerade). Die einzige Losung ist: 10

<× >

>

>

s s

2C −Bn−1

n2

•

9Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 4. Fur n = 2 entartet es zu 2C −B2 in [Ti79].10Dieses Diagramm hat man fur n ≥ 5. Fur n = 3 entartet es zu 2C −B3 in [Ti79].

Appendix 161

Φ ist vom Typ E6 und β∨ ∈ β∨1 , β∨6 .

Es bleibt nur Θ = id zu betrachten, da PI(Z[Φ]∗) = PI(Z[Φ∨]).

Fall 1: Sei Fr = 9A = E6(a1) ⊂ W . Dann hat man als einzige Losung:

> s

3E6

oooo

OOOO

•

Fall 2: Sei Fr ∈ 12A, 6A = cox, cox2 ⊂ W . Dann hat man als einzige Losung:

> s

3E6

oooo

OOOO

•

Fall 3: Sei Fr ∈ −12A,−9A,−3A ⊂ −W = W o σ, d.h. Fr ist beliebig aberprimitiv in W o σ. Es gibt nur eine Losung:

>hs

2E6

O

OOO

oooo

•

Φ ist vom Typ E7 und β∨ = β∨7 .

Falls Fr ∈ E7, E7(a2), E7(a4) hat man als einzige Losung:

>

2E7

oooo

OOOO

•

Falls Fr ∈ E7(a1), E7(a3) hat man als einzige Losung:

>

2E7

oooo

OOOO

•


Literaturverzeichnis

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166 LITERATURVERZEICHNIS

Index

X∗(T ) = Hom(T,Gm) . . . . . . . . . . . . . . 2(B, T ) : Paar in G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3(Φ∨)I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 13, 20A(w) ∈ H1(WF , S → U) . . . . . . 98, 142A = A(G,S, F ) : Apartment. . . . . . .57DG/M(δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 132, 133F unv : max. unv. Erw. in F /F . . 102,

141F±, F+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54, 116G(F )x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 58, 119GI = (GI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18H : endoskopische Gr. . . . . 81, 87, 108HIα,k : Hyperebene in V I 9, 23, 26, 33Hα,k : Hyperebene in V . . . . . . . . . 2, 57I(χ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120Iα : I–Orbit von α . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I ⊂ Aut(G,B, T ) . . . . . . . . . . . . . . . 7, 13I∗ : gesternte Aktion von I . . . . . . . . . 7Iα = Stabα(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 22IΦi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14K = G(F )x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119LG : L–Gruppe zu G . . . . . . . . . . . . . . . 4Lz : Linkstranslation . . . . . . . . 125, 127M : Levigruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130N = Ru(P ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130Nl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71NL

l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71OL,ω

δ (f) : Orbitalintegral107, 127, 133PI(α)∨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 20PI = 1

|I|∑

σ∈I σ . . . . . . . . . . . . . .7, 13, 25Pθ∗ : T → Tθ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84R+ : Vertreter fur Γ/Γ± . . . . . . 55, 116S, S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95S ⊂ G maximaler F–Splittorus . . . . 57

SIα =∑

γ∈Iα γ . . . . . . . 7, 13, 19, 24, 25Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125T : Referenztorus fur ∆III . . . . 95, 102T (F )c : max. komp. Gr. in T (F ) . .57Tθ∗ = T/(1− θ∗)T . . . . . . . . . . . . . . . . . 84U, U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Uα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Ux := 〈Uα,−α(x) | α ∈ F Φ〉 . . . . . . . . . . 57UIα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 24Uα,k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57V (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 142V = X∗(T )⊗ R . . . . . . . . . . . . . 2, 21, 57V ∗ : Dualraum zu V . . . . . . . . . . . . . . . .2VP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 23Vder = Z[Φ∨]⊗ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2(PI(Z[Φ∨]) oW I

)PI(Yσ)

. . . . 14, 23, 40

W : Weylgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2W0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 21, 24, 38W1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 21–23, 38W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 21, 22, 24, 38W3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38WE/F : relative Weilgruppe . . . . . . . . . 1WF : Weilgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Waff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57X∗(T ) = Hom(Gm, T ) . . . . . . . . . . . . . . 2Xα ∈ gα : Wurzelvektor . . . . . . . . 10, 12Cent(B,G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Cent(Gg, G) : Torus (g regular) . . . .42∆(γ, δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 127, 140∆(F Φaff ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 61∆ = ∆(G,B, T ) : Basis von Φ . . . . . . 2∆∗ : Dualbasis zu ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . 9∆x(γ, δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112∆U(δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140∆III(γ, δ, γ, δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

167

168 INDEX

∆xIII(γ, δ). . . . . . . . . . .102, 106, 113, 142

∆II(γ, δ) . . . . . . . . . . . . 92, 106, 113, 141∆IV(γ, δ) . . . . . . . . . . . . 92, 106, 113, 141∆x

I (γ, δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 106, 141∆aff (Φ, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 30∆ext(Φ, θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 33, 37Γ±,Γ+ ⊂ Gal(F /F ) . . . . . . . . . . .54, 116H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 87, 108H(L,K) : Heckealgebra . . . . . . . . . . 119H(G,K) : Heckealgebra . . . . . . . . . . 119Norm(H,G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1ΩC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 76Φ(G, T ) : Wurzelsystem . . . . . . . . . . . . 2Φ =

⊕i IndI

IiΦi . . . . . . . . . . . . 14, 22, 28

Φ+ : Positivbereich von Φ . . . . . . . . . . 2Φ∨(G, T, I) ⊂ (Φ∨)I . . . . . . . . . . . . . . . 20Φ∨ = Φ∨(G, T ) : Cowurzelsystem . . . 2Φkurz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Φlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2ΦI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 13, 20Φi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 22Φres ' ΦI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Π(G, θ, a) ⊂ Πunv(G(F )) . . . . . . . . . .122Π(Θ∗, ω) ⊂ (Tsp)

∧ . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Π(G, θ, a′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Πunv(G(F )) : unverzw. Darst. von

G(F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Ψ(G, T ) : Wurzeldatum . . . . . . . . . . 2, 4Tsp ⊂ T max. F–Splittorus. . .59, 119,

130Ξ(G,F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Z[Φ]∗ : Gewichtegitter . . . . . . . . 2, 9, 31Z[F Φ∨] oW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57α+ : hochste Wurzel in Φ+ . . . . . . . . . 2−α : hochste Wurzel in (ΦI)+ . .25, 28β∨α : Fundamentalgewichte . . . . . . . . . . 9χα : χ–Datum . . . . . . . . . . . . 54, 92, 140η : TH

∼−→ Tθ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84, 91γ(L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 81, 83, 137γ ↔ δ : Referenzmatching . . . . . . . . . 95γ ↔ δ : Matching . . . . . . . . 84, 112, 137γH(L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 137G : duale Gruppe zu G . . . . . . . . . . . . . 4

i∨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120κ(E) : Restklassenkorper . . . . . . . . . . . 1κ(G) = Kern[Tsc × Z T ] . . . . . 13–15a ∈ H1(WF ,Cent(G)) . . . . . 81, 87, 126splG : Splitting . . . . . . . . . . 3, 20, 82, 91tJZp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50B(G,F ) : Gebaude . . . . . . . . . . . . . . . . 57G : OF –Gruppenschema zu G . . . . . 58A(T, G, F ′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46D(T, G, F ′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Dhyper(T, G, F ′). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48E(T , G, F ′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Ehalb(T , G, F

′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Eschwach(T , G, F

′ . . . . . . . . . . . . . . . 49, 77G(T, G, F ′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47g : Liealgebra von G . . . . . . . . . . . . . . 16gα : Wurzelraum . . . . . . . . . . . 10, 12, 16gIα ⊂ gI : Wurzelraum . . . . . . . . . . . . 17ν : Ordnungsabbildung . . . . . . . . . . . . 57ω = ω(a) ∈ Hom(G(F ),C×) . 107, 121F : algebraischer Abschluß . . . . . . . . . 1G : Reduktion mod p . . . . . . . . . . . . . .60ϕIα(σ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16φIα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18π0(G) = G/G . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 21π0(G

I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 21π1(G) : Fundamentalgruppe. . . . .5, 37πs ∈ Πunv(G(F )) . . . . . . . . . . . . . . . . . 120πχ ∈ Πunv(G(F )) . . . . . . . . . . . . . . . . . 120ρG : L–Aktion. . . . . . . . .4, 55, 107, 130Aut(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Aut(G, splG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

CorWE/F

E× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 115FixA(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Inn(G) : innere Automorphismen . . . 3Lie(G) : Liealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 16Out(G) = Aut(G)/Inn(G) . . . . . . . . . . 3StabA(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1θ′ ∈ L(F ) res. h.e. . . . . . . . 87, 119, 128θ ∈ L(F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 87θ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 7, 24, 81, 87, 91T Torus bzgl. L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Tξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101, 102

INDEX 169

ϕIα(σ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17ξ . . . . . . . . .81, 82, 87, 98, 114, 126, 130ξTH

: LTH → LG . . . . . . . . . . . . . . 97, 114ξT : LTH → LG . . . . . . . . . . . . . . . 98, 114a′ : Kozykel in a . . . . . . . . . . . . . .82, 126aT (w) ∈ Z1(WF , T ) . 98, 114, 115, 117aα : a–Datum . . . . . . . . . . . . . . . 5, 91–93bIα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37bξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126, 127, 132c(α) ∈ 1, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 9, 31cIα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31f∨ : Sataketransformierte. . . .120, 125f (P ) : konstanter Fourierterm. . . . .131g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 91iF ′/F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58j : T (F )→ H1(F, Tsc → T ) . . . . . . . . 97mξ ∈ Z1(WF , G) .82, 87, 101, 114, 117n(w) : Steinbergreprasentant . . . . . . . 9p : Restklassencharakteristik von F . 1qα = q[Fα:F ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139rE : E×

∼−→ W abE . . . . . . . . . . . . 1, 52, 116

rp(w) =∏rp,α(w) . . . . . . . . . . . . 56, 115

rp,α(w) ∈ C1(WE/F , T ) . . . . . . . . 55, 116rec : Langlandsreziproz. . . . . . . 52, 121s ∈ H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81, 82sω ∈ Tsp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121sIα : Spiegelung bzgl. PI(α) . . . . . . . . 9sq/p ∈ C1(WE/F , T ) . . . . . . . . . . . 55, 115t∗ = δ∗θ∗−1 ∈ T . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 91valF : Bewertung von F . . . . . . . . . . . . 1x(U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79, 139

xsc(w) ∈ Z1(WF , (T )sc) . . . . . . . . . . . . 98z∗(σ) ∈ Z1(F,Cent(G)) . . . 81, 83, 103z∗H(σ) ∈ Z1(F,Cent(H)) . . . .83, 84, 91zspl(σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 882A2n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 152A2n . . . . . . . . . . 7, 8, 20, 26, 34, 67, 1442Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 152E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8, 13, 16, 19

F Φ = Φ(G,S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

F Φaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

| · |F : Betrag auf F . . . . . . . . . . . . . . . . 1

a–Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 91affine Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2, 57affines Dynkindiagramm . . . . . . . 28, 30Alkoven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27, 31

ecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31anisotrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 139Apartment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57, 58Assoziierte L–Aktion . . . . . . . . . . . . . 107

Bizentralisator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Chevalley-Steinberg. . . . . . . . . . . . . . . . .3χ–Data. . . . . . . . . .54, 91, 114, 117, 140

Descentdatum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Dynkindiagramm

affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28, 30

Ecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 115endoskopisches Datum . . . 81, 108, 131erlaubter Torus . . . . . . . . . . . . . . 101, 102erweiterte Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Exponentialsequenz. . . . . . . . . . . . . . . .21

Facette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2fast halbeinfach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42fundamentales Lemma . . 127, 128, 134Fundamentalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Gebaude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57gesternte Aktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Gruppenschema. . . . . . . . . . . . . . . .58, 78

halbeinfachfast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Operation von σ ∈ Aut(G). . . . .41

halbstabil G(F ′)–konjugiert . . . . 47, 49Harish–Chandra–Diskriminante . . . 92,

132Hauptserie

unverzweigte . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Heckealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

170 INDEX

Hochschild–Serre–Spektralsequenz 13,16, 19, 60

hyperspeziell . 59, 64, 72, 94, 107, 119,139

Iwasawazerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Kammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 27komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 26, 64wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Kottwitz–Shelstad–Paarung . . 96, 114,142

L–Gruppe. . . . . . . . . . . . . . . . . .4, 81, 131Langlands Reziprozitatsgesetz . . . . . 52Langlandsdualitat . . . . . . . . . 52, 96, 121lokaler Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . .57, 61

Markierung des Gebaudes . . . . . . . . . 61Matching. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137maximal kompakte Untergruppe

von T (F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 78maximaler Torus bzgl. L . . . . . . . . . . 42

Norm–Image. . . . . . . . . . . . . . . . . .83, 137z∗H(σ)– . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 91, 137

Ordnungshomomorphismus . . . . 57, 60

Paar (B, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 41

Quasisplittorus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Reduktion mod p . . . . . . . . . . . . . 60, 141regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42residuell halbeinfach . . . . . . . . . . . . . . . 50

Sataketransformation . . . . . . . . 120, 125schwach stabil G(F ′)–konjugiert . . 46,

49, 77Shapiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17, 60speziell

Automorphismus . . . . . . . 42, 61, 68Element von L . . . . . . . . . . . . . . . . 42Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 60Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Spiegelungshyperebene . . . . . . . . . . 2, 57Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 20, 70, 82

geliftet bzgl. x ∈ B . . . . 60, 94, 141stabil G(F ′)–konjugiert . . . . . . . . 47, 49

halb– . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 49schwach . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 49, 77

stabil konjugiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49maximale Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . 45stark regulare Elemente . . 45, 107,

127stark kompakt . . . . . . . 50, 72, 112, 134stark regular . . . . . . . . . . . . . . . 42, 45, 83

mod p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 102Steinberg

allgemeiner Satz von. . . . . . . . . . . 13zyklischer Fall . . . . . . . . . . . . 24, 143

Steinbergreprasentant . . . 9, 12, 22, 43,55, 61, 93, 108, 117, 142

Tate–Nakayama–Paarung . . 60, 92, 96topologisch unipotent . . . . . . . . . . . . . .50topologische Jordanzerlegung . . . . . . 50Torus bezuglich L . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Transfer

faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 127von Funktionen. . . . . . . . . . . . . . .126

Typ einer Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 8

unverzweigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Charakter . . . . . . . . . . . . . . 4, 53, 117Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 108Hauptserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Korpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . 5Kohomologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Weilgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Weylgruppe

affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2spharisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Wurzeldatum . . . . . . . . . . . . . 2, 4, 13, 19Wurzelsystem

affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 27reduziert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 7

INDEX 171

spharisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Wurzeltyp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7, 8Wurzelvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 12

z∗H(σ)–Norm–Image . . . . . . . 84, 91, 137z–Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 121zahm verzweigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114zulassige Einbettung . . . . . . . 83, 84, 91

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Berechnung der Kottwitz–Shelstad–Transferfaktoren fur ...ballmann/papers/diss.pdf · Transferfaktor ist dabei ein Produkt uber die lokalen ∆(¨ γ ν,δ ν). Diese Arbeit beschr¨ankt