Univerza v Ljubljani

Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

BERNOULLIJEVA LEMNISKATA

Študijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana, april 2019

VsebinaSeznam slik 3

1 Odkritje in poimenovanje 7

2 Definicija Bernoullijeve lemniskate 9

3 Analitična obravnava lemniskate 16

4 Lemniskata na cisoidni način 36

5 Lemniskata in hiperbola 37

6 Ločna dolžina 47

7 Aritmetično-geometrična sredina 53

8 Lemniskata v kinematiki 62

9 Lemniskata kot nožiščna krivulja 64

10 Ukrivljenost in krivinski radij 70

11 Še o tangentah 74

12 Prevoji Cassinijevih ovalov 88

13 Lemniskata kot ogrinjača 90

14 Temenska radija lemniskate in drugo 94

15 Ortogonalne trajektorije 109

16 Kavstike 111

17 Za konec 118

Viri 122

Seznam slik

1 Naslov Bernoullijevega clanka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Omemba oblike lemniskate v Bernoullijevem clanku. . . . . . . . . 8

3 Omejitev za radija lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Lemniskata s pomočjo hiperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Lemniskata s pomočjo pravokotnega trikotnika. . . . . . . . . . . . 12

6 Lemniskata s pomočjo odsekov s krožnico. . . . . . . . . . . . . . . 13

7 Lemniskata s pomočjo lastnosti elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Lemniskata s pomočjo polkrožnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 Lemniskata v koordinatnem sistemu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10 Cassinijevi ovali v koordinatnem sistemu. . . . . . . . . . . . . . . 18

11 Tangenti v središču in ekstremne točke. . . . . . . . . . . . . . . . 19

12 Normala in tangenta na lemniskato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

13 Lemniskata in polarne koordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

14 Relacije med tangento, normalo in koti. . . . . . . . . . . . . . . . 22

15 Tretjinjenje kota z lemniskato in mizarskim kotnikom. . . . . . . . 22

16 Kvadratura lemniskatnih listov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

17 Delitev desnega lista na pet ploščinsko enakih delov. . . . . . . . . 25

18 Zasuk lemniskate za kot π/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

19 Zasuk lemniskate za kot 3π/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

20 Zasuk lemniskate za kot π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

21 Zasuk lemniskate za kot ψ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

22 Korena enačbe z2 = q, ko q leži na krožnici |z − s| = |s|. . . . . . . . . 30

23 Korena enačbe z2 − 2pz+ q = 0, ko q leži na krožnici |z − s| = |p2 − s|. 32

24 Lemniskata kot presek torusa z ravnino. . . . . . . . . . . . . . . . 33

25 Lemniskata kot projekcija preseka valja in paraboloida. . . . . . . . 34

26 Lemniskata je projekcija preseka dvojnega stožca in paraboloida. . 35

27 Cisoidna konstrukcija lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

28 Zrcaljenje točke na krožnici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

29 Zrcaljenje hiperbole na krožnici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

30 Prva vrtenina z lemniskato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

31 Druga vrtenina z lemniskato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

32 Tretja vrtenina z lemniskato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

33 Lemniskata v prvem kvadrantu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

34 Lemniskata in krožnica v prvem kvadrantu. . . . . . . . . . . . . . 51

35 K dokazu Steinerjeve trditve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

36 Razpolovitev loka lemniskate v prvem kvadrantu. . . . . . . . . . . 59

37 Tretjinjenje loka lemniskate v prvem kvadrantu. . . . . . . . . . . . 61

38 Lemniskata v kinematiki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

39 Lemniskata kot nožiščna krivulja hiperbole. . . . . . . . . . . . . . 65

40 Lemniskata kot podoida hiperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

41 Lemniskata in antiparalelogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

42 Mehanska konstrukcija antiparalelograma. . . . . . . . . . . . . . . 68

43 Neka lastnost trikotnika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

44 Neka lastnost simetrale med radijema lemniskate. . . . . . . . . . . 70

45 Polarni dotikalni elementi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

46 Pritisnjena krožnica lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

47 Evoluta lemniskate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

48 Vzporedne tangente za k = −√

3/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

49 Vzporedne tangente za k = ±1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

50 Krivulja (28). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

51 Tangenti na lemniskato iz njene točke. . . . . . . . . . . . . . . . . 81

52 Tangenti na lemniskato skozi njeno gorišče. . . . . . . . . . . . . . 83

53 Konstrukcija tangente na lemniskato z zrcaljenjem na krožnici. . . 85

54 Grafično predstavljena relacija med λ in µ. . . . . . . . . . . . . . . 86

55 Na vzporedni tangenti pravokotne tangente. . . . . . . . . . . . . . 87

56 Prevoji Cassinijevih ovalov na pokončni lemniskati. . . . . . . . . . 89

57 Krožnica skozi O in s središčem na hiperboli. . . . . . . . . . . . . 91

58 Lemniskata kot ogrinjača krožnic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

59 Enoparametrična družina premic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4

60 Enoparametrična družina normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

61 Radiji lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

62 Koti in radiji lemniskate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

63 Delitev izseka na ploščinsko enaka dela. . . . . . . . . . . . . . . . 98

64 Pravokotna projekcija osi na središčno premico. . . . . . . . . . . . 99

65 Elipsa in lemniskata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

66 Povezava med koti α,β in γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

67 Koti med radiji in normalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

68 Enaka odseka na tangenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

69 Simetrala goriščnih radijev, normala in polarni radij. . . . . . . . . 103

70 Kot med tangentama lemniskate in njej istogoriščne elipse. . . . . . 104

71 Vzporednica z najbližjim goriščnim radijem. . . . . . . . . . . . . . 105

72 Pravokotni trikotnik s konstantno hipotenuzo. . . . . . . . . . . . . 106

73 Odsek med pravokotnicama s konstantno dolžino. . . . . . . . . . . 106

74 Kotaljenje hiperbole po hiperboli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

75 Ploskev z = Re1/(x+ iy)2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

76 Ortogonalne trajektorije družine lemniskat. . . . . . . . . . . . . . 110

77 Odboj vodoravnega žarka na lemniskati. . . . . . . . . . . . . . . . 111

78 Kavstika lemniskate za vodoravne žarke. . . . . . . . . . . . . . . . 113

79 Odboj navpičnega žarka na lemniskati. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

80 Kavstika lemniskate za navpične žarke. . . . . . . . . . . . . . . . . 115

81 Odboj središčnega žarka na lemniskati. . . . . . . . . . . . . . . . . 115

82 Kavstika lemniskate za središčne žarke. . . . . . . . . . . . . . . . . 116

83 Razmerje s(0,ϕ)/a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

84 Portret G. C. Fagnana v mestni hiši v Senigalliji. . . . . . . . . . . 119

85 Naslovnica temeljnega Fagnanovega dela iz leta 1750. . . . . . . . . 120

86 V lemniskato zvit prožen plastični trak. . . . . . . . . . . . . . . . 121

5

Predgovor

V starih časih je vsaka na novo odkrita krivulja prebudila v matematični

srenji večje ali manjše zanimanje. Pri tem nimamo v mislih krivulj, ki jih

narišemo, kot pravimo, kar tako s prosto roko, ampak krivulje, za katere

poznamo natančno pravilo, kako določiti vsako njeno posamezno točko.

Tak primer je krožnica, dobro znana krivulja že iz najstarejših časov. Kro-

žnica je ravninska krivulja, kar pomeni, da leži v neki ravnini. Vsaka

njena točka je enako oddaljena od neke točke te ravnine, središča krožnice.

V starem veku je bilo presenetljivo odkritje stožnic, to je elipse, hiper-

bole in parabole. Njihova imena izhajajo iz grščine. Oba klasična jezika,

grščina in latinščina, sta dala imena še številnim drugim krivuljam, ki

so jih odkrivali v toku stoletij. Nekatere so bile odkrite po silni želji,

kako razrešiti katerega od treh znamenitih antičnih problemov: podvo-

jitve kocke, tretjinjenja kota in kvadrature kroga. Pri tem sta bili dovoljeni

samo dve geometrijski orodji: neoznačeno ravnilo in šestilo. Šele matema-

tika zadnjih stoletij je potrdila, da omenjeni trije problemi na ta način niso

rešljivi.

Pravi razmah v proučevanju krivulj se je začel z Descartesom v 17.

stoletju in nadaljeval z odkritjem infinitezimalnega računa do najnovejših

časov. Descartesu pripisujemo odkritje koordinatnega sistema in povezo-

vanje algebre in geometrije. Od takrat imamo na voljo zapis krivulje z

enačbo F(x,y) = 0, kjer je F(x,y) neka funkcija pravokotnih kartezičnih

koordinat x in y. Ta funkcija je lahko algebrska, to je polinom v x in y, ali

pa transcendentna, neizrazljiva s polinomom. Ustrezno potem govorimo

o algebrskih in transcendentnih krivuljah. Stopnja polinoma, ki ustreza

algebrski krivulji, je tudi stopnja te krivulje. Premica je algebrska krivulja

prve stopnje, stožnice so algebrske krivulje druge stopnje.

Glavni predmet zanimanja v pričujočem gradivu bo Bernoullijeva lem-

6

niskata, algebrska krivulja četrte stopnje, odkrita na koncu 17. stoletja. Že

takrat je pritegnila veliko zanimanje matematikov. Problem je bil izraču-

nati ploščino lika, ki ga omejuje, najti njeno dolžino, konstruirati tangento

nanjo, izračunati njeno ukrivljenost itd. Hitro se je pokazalo, da Bernoul-

lijeva lemniskata ni osamljena krivulja, ampak da je povezana s hiperbolo.

Vse to bomo poskusili v gradivu predstaviti z znanjem, ki se ga pridobi pri

univerzitetnem študiju tako imenovane višje matematike.

1 Odkritje in poimenovanje

Kot že ime pove, je obravnavana krivulja imela opravka z matematično

družino Bernoullijevih v švicarskem Baslu. Poznala sta jo matematika,

brata Jakob (1655 (greg.)–1705) in Johann Bernoulli (1667–1748). Jakob

je leta 1694 v reviji Acta Eruditorum objavil članek, ki omenja algebrsko

krivuljo, ki ima enačbo x2 + y2 = a√x2 − y2. Članek, napisan v latinščini

in s črkami, ki so jih takrat uporabljali tiskarji, je sicer namenjen povsem

drugemu problemu, toda uporablja besedo lemnisci, kar je rodilnik ednine

samostalnika lemniscus. Bernoulli piše, da ima krivulja z enačbo xx+yy =

a√xx − yy, ki je četrte razsežnosti, obliko "jacentis notæ o�onarii ∞, seu

complicatæ in nodum fasciæ, sive lemnisci, d’un nœud de ruban Gallis."

Slika 1. Naslov Bernoullijevega članka.

Besedo lemnisci je podčrtal avtor. Besedilo je deloma v francoščini.

Namesto enačba ali krivulja četrte razsežnosti danes rečemo enačba ali

7

krivulja četrte stopnje. Bernoulli piše, da ima omenjena krivulja obliko

ležeče osmice, torej ∞, ali v vozel zvitega traku ali lemniskusa, obliko

vozla francoskega traku.

Slika 2. Omemba oblike lemniskate v Bernoullijevem članku.

Očitno je bila beseda lemniscus matematikom všeč in krivuljo so po-

imenovali curva lemniscata, s trakovi okrašena krivulja, krajše lemniskata.

Sicer pa je beseda lemniscus grškega izvora. Stari Grki so zmagovalcem

na športnih igrah na glavo pripeli lovorjev venec s posebnim volnenim

trakom, ki se imenuje v grščini λημνίσκος. Nekateri besedo izpeljujejo iz

λῆμος, kar pomeni volna, drugi (na primer [12]) pa iz imena otoka Lem-

nos, Λῆμνος, kjer naj bi prvi izdelovali take trakove. Beseda lemniscus je

znana tudi v anatomiji. Navadni ljudje imamo lemniscuse v glavi, ne da

bi za to sploh vedeli, na primer lemniscus medialis in lemniscus lateralis.

V Bernoullijevem prispevku opazimo, da avtor še ni uporabljal znaka

za kvadrat, na primer x2. Pisal je kar xx. Eksponentni zapis se je ustalil

v času Leonharda Eulerja (1707–1783). V nekem obdobju so eksponentni

zapis xn uporabljali za naravne n ≥ 3. Antični matematik Diofant je v 3.

stoletju za kvadrat neznanke uporabljal izraz δύναμις in pisal ∆Υ .

Znanstveno revijo Acta Eruditorum, kar v latinščini pomeni dela učen-

jakov, izobražencev, sta leta 1682 v Leipzigu postavila na noge nemški

8

filozof in znanstvenik Otto Mencke (1644–1707) ter bolj znani filozof in

matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Revijo je znatno pod-

piral saški kralj Johann Georg IV. (1668–1694). Od znanih so v njej ob-

javljali poleg Jakoba Bernoullija še Euler, Tschirnhaus, Laplace in Lalande.

Revija je objavljala teološke, pravne, medicinske, fizikalne, matematične,

zgodovinske, geografske, filozofske in filološke razprave.

Besedo lemniskata so uporabili tudi za dve drugi krivulji, Boothovo in

Geronovo lemniskato. V tem gradivu bomo razpravljali samo o Bernoul-

lijevi lemniskati, pogosto, krajše, kar o lemniskati.

2 Definicija Bernoullijeve lemniskate

Že v predgovoru smo omenili, da je treba krivuljo definirati tako, da se za

vsako njeno točko ve, po katerem pravilu smo do nje prišli. Tako je tudi

za Bernoullijevo lemniskato treba poznati to pravilo. Za njeno definicijo

moramo imeti na razpolago ravnino Π in na njej različni točki F1 in F2.

Središče daljice F1F2 označimo z O. Bernoullijeva lemniskata je množica

vseh točk T ravnine Π, za katere je

|F1T | · |F2T | = |F1O| · |F2O|. (1)

Definicija omogoča geometrijsko določiti poljubno mnogo točk T na

lemniskati. Takoj tudi vidimo, da sta na lemniskati hkrati s točko T tudi

njena zrcalna slika prek premice skozi F1 in F2 ter njena zrcalna slika prek

simetrale daljice F1F2. Točka O je tudi na lemniskati, saj za T = O v (1)

dobimo enakost. Premica skozi F1 in F2 je glavna simetrala lemniskate,

simetrala daljice F1F2 pa stranska simetrala lemniskate.

Točki F1 in F2 imenujemo gorišči lemniskate, razdalji 2c = |F1F2| pa

medgoriščna razdalja. Označimo

c = |F1O| = |F2O|, r1 = |F1T |, r2 = |F2T |.

9

Po navadi imenujemo r1 in r2 goriščna radija točke T lemniskate. Z vpe-

ljanimi oznakami lahko enačbo (1) krajše zapišemo v bicentrični obliki

r1r2 = c2. (2)

Ker mora obstajati trikotnik (v skrajnem primeru je lahko tudi izrojen)

s stranicami 2c, r1 in r2, morajo veljati poleg enačbe (2) še relacije

r1 + r2 ≥ 2c, r1 + 2c ≥ r2, r2 + 2c ≥ r1.

Prva relacija je sama po sebi izpolnjena, ker je aritmetična sredina radijev

r1 in r2 večja ali kvečjemu enaka njuni geometrični sredini:

r1 + r22≥√r1r2 = c.

To pomeni, da morata pri danem c radija r1 in r2 biti omejena. Premajhni

in preveliki r1 in r2 ne pridejo v poštev. Najlaže si razmere predstavimo v

prvem kvadrantu pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema Oxy,

v katerem načrtamo hiperbolo xy = c2 ter premici x + 2c = y in y + 2c = x

(slika 3). Kratek premislek in račun pokažeta, da pridejo v poštev samo

tisti pari (r1, r2), ki so koordinate točkM na hiperboli xy = c2 med točkama

E((√

2 + 1)c, (√

2− 1)c) in F((√

2− 1)c, (√

2 + 1)c).

Kje lemniskata preseka svojo glavno simetralo? Eno presečišče je očitno

točka O, središče lemniskate, drugi dve presečišči sta pa točki A in B, za

kateri velja

(|OA|+ c)(|OA| − c) = (|OB| − c)(|OB|+ c) = c2.

Iz teh relacij hitro dobimo

|OA| = |OB| = c√

2.

Točko A izberemo desno od O, B pa levo od O. Točki A in B sta temeni

lemniskate. Sta najbolj oddaljeni točki od središča O lemniskate. Njuna

medsebojna razdalja je 2c√

2, kar imenujemo os lemniskate.

10

Slika 3. Omejitev za radija lemniskate.

1. Ena od možnosti konstrukcije točk bi bila z uporabo hiperbole na

sliki (3). Izkoristimo koordinati r1 in r2 točke M. Načrtamo krožnici s

središčema v točkah F1 in F2 ter polmeroma r1 in r2. Presečišči T1 in T2

krožnic sta točki lemniskate, ker očitno velja

|F1T1| · |F2T1| = |F1T2| · |F2T2| = c2.

Računalniški program GeoGebra omogoča spreminjanje točke M po

hiperboli xy = c2, kar spremlja spreminjanje točk po lemniskati (slika 4).

Opisani konstrukciji lahko očitamo vsaj eno slabost: uporabljena hiper-

bola ni konstrukcijski element v evklidski geometriji.

2. Naslednja možnost je uporaba višinskega izreka v pravokotnem trikot-

niku. Produkt pravokotnih projekcij a1 in b1 katet a in b na hipotenuzo v

pravokotnem trikotniku je namreč enak kvadratu višine v na hipotenuzo:

a1b1 = v2.

11

Slika 4. Lemniskata s pomočjo hiperbole.

Konstruiramo kakršenkoli pravokoten trikotnik EFG, ki ima za višino

na hipotenuzo parameter c lemniskate. Ta višina naj bo pravokotna na

glavno simetralo lemniskate in naj ima nožišče v njenem središčuO. Desno

od O po simetrali je r2 = |OF|, levo od O še r1 = |OE|. Nato nadaljujemo s

krožnicama s polmeroma r1 in r2 tako kot v prejšnji konstrukciji.

Slika 5. Lemniskata s pomočjo pravokotnega trikotnika.

3. Pri konstrukciji lemniskate lahko uporabimo tudi lastnosti odsekov, ki

jih naredi krožnica na premicah p in q, ki potekata skozi skupno točko S.

12

Če premica p preseka krožnico v točkah E in F, premica q pa v točkah G

in H , potem velja: |SE| · |SF| = |SG| · |SH |.Če sta dani gorišči F1 in F2 lemniskate, je z njima določena glavna sime-

trala, prav tako temeni A in B. Vzemimo krožnico s središčem v točki

O skozi gorišči in poljubno premico skozi teme A, ki to krožnico seka v

točkah E in F. Potem zaradi omenjene lastnosti odsekov velja:

|AE| · |AF| = |AF1| · |AF2| = c(√

2− 1) · c(√

2 + 1) = c2.

Potemtakem lahko vzamemo za radija lemniskate r1 = |AE| in r2 = |AF| ins preseki krožnic določimo točke lemniskate na isti način kot v prejšnjih

primerih.

Slika 6. Lemniskata s pomočjo odsekov s krožnico.

4. Tudi z elipso se da pomagati pri konstrukciji točk lemniskate. Elipsa

ima namreč to lastnost, da je produkt razdalj njenih gorišč do katerekoli

njene tangente enak kvadratu njene male polosi. V ta namen je treba vzeti

tako elipso, ki ima malo polos c, veliko polos pa c√

2, kjer je c dani para-

meter za lemniskato. Načrtamo os in na njej gorišči F1 in F2 lemniskate ter

simetralo daljice F1F2. Prav tako konstruiramo temeni A in B lemniskate.

13

Nato načrtamo krožnico s središčem v F1 in polmerom 2c√

2, to je osjo

lemniskate oziroma elipse, ki ima za gorišči prav tako F1 in F2. Na tej

krožnici izberemo poljubno točko M. Simetrala daljice MF2 je tangenta

na elipso. Razdalji r1 in r2 gorišč F1 in F2 do tangente sta radija točk lem-

niskate. Postopek nadaljujemo enako kot v prejšnjih primerih.

Slika 7. Lemniskata s pomočjo lastnosti elipse.

5. Konstrukcije točk lemniskate zaključimo še z enim načinom. Tokrat

bomo uporabili polkrožnico. Ideja izvira iz neke naloge kitajskega mate-

matika Li Zhija.

Kitajski matematik Li Ye (1192–1279) (Lı Yě, 李冶), ki je morda bolj

znan kot Li Zhi (Lı Zhì,李治), je živel v času vladanja dinastije Song (960–

1279) (Sòng,宋). Leta 1248 je Li Ye dokončal zanimivo delo z nenavadnim

naslovom Ceyuan haijing (Cèyuán haijìng,測圓海鏡), kar pomeni Morsko

ogledalo meritev kroga. V njem obravnava številne geometrijske naloge,

ki jih prevede na algebrske enačbe.

Sledeč Li Zhijevi nalogi načrtamo polkrožnico s središčem v O nad

daljico F1F2. Polkrožnica ima polmer c. Na polkrožnici izberemo točko

14

M < {F1,F2} in konstruiramo tangento v njej. Prav tako konstruiramo tan-

genti na polkrožnico v točkah F1 in F2. Tangenta v M preseka preostali

tangenti v točkah E in F. Če označimo r1 = |F1E| in r2 = |F2F|, potem velja

r1r2 = c2, neodvisno od M. Tega ni težko dokazati, saj je, kar ni težko

dokazati, trikotnik EOF pravokoten, MO pa v njem višina na hipotenuzo

EF. Ker je |F1E| = |EM | in |F2F| = |FM |, po višinskem izreku v pravokotnem

trikotniku res velja r1r2 = c2. To relacijo lahko izkoristimo za konstrukcijo

točk lemniskate na enak način kot v prejšnjih primerih.

Slika 8. Lemniskata s pomočjo polkrožnice.

To je bilo nekaj tipičnih načinov, kako geometrijsko konstruiramo točke

Bernoullijeve lemniskate. Vsi so bazirali na enačbi (2). Zato je za kon-

strukcijo dobra vsaka geometrijska relacija, ki izraža stalnost produkta

dveh razdalj. Videli pa bomo, da se do lemniskate pride tudi kako dru-

gače, na primer z zrcaljenjem hiperbole na krožnici.

Sedaj prehajamo na analitično obravnavo lemniskate. To pomeni, da

se jo bomo lotili z enačbami, funkcijami, odvodi in integrali. V ta namen

je pa treba obvladati analitično geometrijo ter infinitezimalni račun.

15

3 Analitična obravnava lemniskate

Že v predgovoru smo omenili, da od Descartesovih časov naprej krivulje

izražamo z enačbami in jih obravnavamo z infinitezimalnim računom. V

ta namen vpeljemo pravokotni kartezični koordinatni sistem Oxy. Da bi

obvladali Bernoullijevo lemniskato, postavimo v njem gorišči F1(−c,0) in

F2(c,0), to je simetrično glede na koordinatno izhodišče O(0,0). Točka

T (x,y) naj bo poljubna na lemniskati. Brez težav izrazimo:

Slika 9. Lemniskata v koordinatnem sistemu.

r1 = |F1T | =√

(x+ c)2 + y2, r2 = |F2T | =√

(x − c)2 + y2. (3)

Po definiciji velja za lemniskato relacija (2), to se pravi√(x+ c)2 + y2 ·

√(x − c)2 + y2 = c2.

Kvadriramo in preuredimo:

((x2 + y2 + c2) + 2cx) · ((x2 + y2 + c2)− 2cx) = c4.

Nadaljujmo

(x2 + y2 + c2)2 − 4c2x2 = (x2 + y2)2 + 2c2(x2 + y2) + c4 − 4c2x2 = c4.

16

Nazadnje dobljeno enačbo preuredimo v obliko

(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2). (4)

To je iskana implicitna enačba Bernoullijeve lemniskate. Pogosto postavimo

a = c√

2, tako da dobimo

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). (5)

Bernoullijeva lemniskata je res algebrska krivulja četrte stopnje, kot je za-

pisal Jakob Bernoulli. Iz implicitne enačbe lemniskate tudi takoj vidimo

simetriji glede na obe koordinatno osi. Enačba je namreč neobčutljiva za

transformaciji x 7→ −x in y 7→ −y. Presečišča z osjo x dobimo, če postavimo

v enačbo y = 0 in dobljeno enačbo razrešimo na x. Iz

x4 = 2c2x2

takoj najdemo x1 = 0,x2 = c√

2 = a in x3 = −c√

2 = −a. To nam da točke

O(0,0),A(a,0) in B(−a,0).

Kot smo videli, je enačbe lemniskate skoraj v enakovredni obliki leta

1694 zapisal Jakob Bernoulli, ki pa ni vedel, da je njegova lemniskata

samo poseben primer Cassinijevega ovala. Ta je tudi definiran z relacijo, ki

močno spominja na (2), samo da je splošnejša: r1r2 = k2, kjer je k pozitivna

konstanta. Po enakem postopku dobimo enačbo Cassinijevega ovala:

(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2) + k4 − c4. (6)

Za k = c dobimo lemniskato. Ovali so dobili ime po italijansko-francoskem

matematiku in astronomu Giovanniju Domenicu Cassiniju (1625–1712),

ki jih je vpeljal leta 1680 kot možne tirnice planetov, ker ni zaupal Kepler-

jevi in Newtonovi teoriji.

Bernoullijeva lemniskata je pri istih goriščih meja med enodelnimi (k >

c) in dvodelnimi (k < c) Cassinijevimi ovali (slika 10).

17

Slika 10. Cassinijevi ovali v koordinatnem sistemu.

Za zelo majhne koordinate x in y v enačbi (4) prevladuje kvadratni člen

x2−y2 nad členom (x2+y2)2. Če slednjega zanemarimo, dobimo obnašanje

lemniskate v okolici točkeO v obliki x2−y2 = (x−y)(x+y) = 0. To pomeni,

da sta premici y = x in y = −x tangenti na lemniskato v točki O.

Hitro lahko tudi poiščemo ekstremne točke lemniskate. Z odvajanjem

(4) na spremenljivko x dobimo:

2(x2 + y2)(2x+ 2yy′) = 2c2(2x − 2yy′).

Tukaj pomeni y′ = dy/dx. V ekstremih za y je y′ = 0, kar nam po krajšanju

da enačbo

(x2 + y2)x = c2x.

Rešitev x = 0 nam da točkoO, ki ni ekstremna. Torej mora hkrati z enačbo

(4) veljati še enačba x2 + y2 = c2. Vstavimo v (4) in dobimo x2 − y2 = c2/2.

Iz sistema enačb

x2 + y2 = c2, x2 − y2 = c2/2

18

dobimo x2 = 3c2/4 in y2 = c2/4. S tem smo našli štiri ekstremne točke:

E1(c√

3/2, c/2), E2(−c√

3/2, c/2), E3(−c√

3/2,−c/2), E4(c√

3/2,−c/2).

Podobno dobimo še ekstrema za x. To sta temeni A(c√

2,0) in B(−c√

2,0).

Slika 11. Tangenti v središču in ekstremne točke.

Normalo in tangento v dani točki lemniskate se da enostavno izraču-

nati in nato geometrijsko konstruirati. Enačbo (2) imamo lahko za enačbo

nivojske krivulje funkcije

f (x,y) = r1r2 =√

(x+ c)2 + y2 ·√

(x − c)2 + y2. (7)

Iz matematične analize nam je znano, da je gradient funkcije (7) pra-

vokoten na njeno nivojsko krivuljo. Gradient funkcije f (x,y) torej določa

normalo v točki T (x,y) na lemniskato. Izračunajmo ga:

gradf (x,y) = r2 gradr1 + r1 gradr2 = r2~e1 + r1~e2.

Pri tem sta ~e1 in ~e2 enotska vektorja v smeri vektorjev−−−→F1T in

−−−→F2T . To

pomeni, da je normala v T določena z linearno kombinacijo enotskih vek-

torjev ~e1 in ~e2. Od točke T nanesemo r1/2 vzdolž r2 in r2/2 vzdolž r1.

Po paralelogramskem pravilu konstruiramo točko T ′ (slika 12). Premica

19

skozi T in T ′ je normala v T na lemniskato, pravokotno nanjo pa tan-

genta. Konstrukcija tangente, ki jo je našel leta 1886 Giuseppe Peano

(1858–1932), je videti zapletena, toda obnese se prav tako pri Cassini-

jevem ovalu.

Slika 12. Normala in tangenta na lemniskato.

Včasih je pripravno obravnavati lemniskato v polarnih koordinatah ϕ

in %. Prva koordinata je polarni kot, druga pa polarni radij. Uporabimo

formuli

x = %cosϕ, y = % sinϕ

za pretvorbo v pravokotne kartezične koordinate v enačbi (5) in dobimo

% = c√

2cos2ϕ, −π4≤ ϕ ≤ π

4∨ 3π

4≤ ϕ ≤ 5π

4. (8)

Omejitve za polarni kot izvirajo iz dejstva, da mora biti pod korenom

cos2ϕ ≥ 0. Ekstremne točke lemniskate imajo polarne koordinate:

A(0, c√

2), B(π,c√

2), E1(π/6, c), E4(−π/6, c), E2(5π/6, c), E3(7π/6, c).

Iz (8) dobimo parametrizacijo lemniskate s polarnim kotom ϕ:

x = c√

2cos2ϕ cosϕ, y = c√

2cos2ϕ sinϕ, −π4≤ ϕ ≤ π

4∨ 3π

4≤ ϕ ≤ 5π

4.

20

Slika 13. Lemniskata in polarne koordinate.

Taka parametrizacija je nerodna, ker ne poteka nepretrgano za oba lista

lemniskate. Radi bi tako, ki bi dala krivuljo v eni potezi, nekako tako,

kot prostoročno napišemo osmico. Kasneje bomo našli dve primernejši

parametrizaciji, trigonometrično in racionalno.

Od mnogih zanimivosti Bernoullijeve lemniskate navedimo še eno, ki

tudi omogoča še lažjo konstrukcijo tangente v njenih točkah. Kot µ, ki ga

tangenta t v točki T (ϕ,%) oklepa z radijem %, dobimo namreč po splošni

formuli za krivuljo, ki je dana v polarni obliki:

tanµ =%

%′.

Črtica označuje odvajanje polarnega radija po kotu ϕ, to se pravi %′ =

d%/dϕ. Izpeljavo te pomembne formule v teoriji krivulj najdemo na primer

v [10, 13]. Za Bernoullijevo lemniskato je

tanµ = −cot2ϕ,

iz česar µ = |π/2−2ϕ|. Kot med polarnim radijem in normalo n pa posledično

2ϕ. Normala n seka abscisno os pod kotom 3ϕ (slika 14).

To pomeni, da se da normalo in tangento na Bernoullijevo lemniskato

v dani točki T konstruirati še na en način, s kotom 2ϕ z vrhom v T in

enim krakom OT . To se pravi, da z lemniskato, sicer nič kaj po evklidsko,

21

Slika 14. Relacije med tangento, normalo in koti.

lahko dani kot razdelimo na tri enake dele. Mizarski kotnik položimo

na lemniskato, tako da en njegov notranji rob poteka skozi O po kraku

danega kota α (slika 15). Pri tem ta notranji rob pomikamo tako, da se

drugi notranji rob dotakne lemniskate v točki T . PovežemoO in T . Daljica

OT oklepa z osjo lemniskate kot α/3. Prvi notranji rob kotnika je namreč

vzporeden z normalo lemniskate v T .

Slika 15. Tretjinjenje kota z lemniskato in mizarskim kotnikom.

Opisano lastnost je, kot kaže, prvi objavil nemški matematik Gerhard

Christoph Hermann Vechtmann (1817–1857) v svoji doktorski disertaciji

22

De curvis lemniscatis leta 1843 v Göttingenu. Predvsem so ga zanimali

koti pri lemniskati.

Polarna enačba lemniskate je primerna za izračun skupne ploščine S

obeh listov, ki ju omejuje. Zaradi simetrije lahko takoj zapišemo

S = 4 · 12

∫ π/4

0%2dϕ = 2 · 2c2

∫ π/4

0cos2ϕdϕ = 4c2 · 1

2sin2ϕ

∣∣∣∣∣π/40

= 2c2 = a2.

Rezultat je zelo preprost: skupna ploščina obeh listov, ki ju omejuje Ber-

noullijeva lemniskata, je dvakratna ploščina kvadrata s stranico c, to je

polovice medgoriščne razdalje. Kvadrata s stranico c, ki imata diagonalo

c√

2, lahko lepo namestimo na lemniskato, kot kaže slika 16.

Slika 16. Kvadratura lemniskatnih listov.

Danes, ko imamo na razpolago dodelan infinitezimalni račun, se nam

zdi zgornje računanje ploščine skoraj trivialno. Italijanski matematik Giu-

lio Carlo Fagnano dei Toschi (1682–1766) se je okoli leta 1750 veliko uk-

varjal z lemniskato, zlasti s problemi njene dolžine. Prvi pa je pravilno

izračunal ploščino S obeh listov lemniskate in s tem razblinil dvom nem-

škega matematika, fizika, filozofa in zdravnika Ehrenfrieda Waltherja von

23

Tschirnhausa (1651–1708) (glej [11]), da se tega ne da narediti zaradi zavo-

zlanosti lemniskate. Z lemniskato se je ukvarjal tudi Euler, kar je pozneje

privedlo do študija eliptičnih integralov.

Desni list lemniskate lahko s polarnimi radiji %k razdelimo na n > 1

ploščinsko enakih delov. Ustrezni polarni koti naj bodo

−π4

= ϕ0 < ϕ1 < ϕ2 < . . .ϕn−1 < ϕn =π4.

Vsak del ima ploščino c2/n. Nastavimo račun:

12

∫ ϕk

ϕk−1

%2dϕ = c2∫ ϕk

ϕk−1

cos2ϕdϕ = c2 · 12

sin2ϕ∣∣∣∣∣ϕkϕk−1

=c2

2(sin2ϕk − sin2ϕk−1) =

c2

n.

Torej mora za k = 1,2, . . . ,n veljati rekurzija

sin2ϕk − sin2ϕk−1 =2n, ϕ0 = −π

4.

Seštejmo:m∑k=1

(sin2ϕk − sin2ϕk−1) =m∑k=1

2n.

Ostane nam

sin2ϕm − sin2ϕ0 = sin2ϕm + 1 =2mn,

kar pomeni

sin2ϕm =2mn− 1

za m = 1,2, . . .n− 1. Pišemo namesto indeksa m raje k. Nato izračunamo

cos2 2ϕk =4kn

(1− k

n

)in nazadnje še

%k = 2c 4

√kn

(1− k

n

), k = 1,2, . . . ,n− 1. (9)

24

Za k = 0 in k = n sta ustrezna polarna radija enaka 0 in ničesar ne delita.

Krožnice z radiji %k in središčem v O sekajo lemniskato v točkah, ki do-

ločajo ustrezne kote ϕk in odseke z enako ploščino. Radije %k lahko celo

geometrijsko konstruiramo. Ustrezne polarne kote dobimo z izrazom

ϕk =12

arcsin(

2kn− 1

), k = 1,2, . . . ,n− 1. (10)

Na sliki 17 je desni list lemniskate razdeljen na pet ploščinsko enakih de-

lov. Različna radija sta le dva: %1 = %4 = 2c 4√

4/25 in %2 = %3 = 2c 4√

6/25.

Ustrezni koti so

ϕ1,4 = ±12

arcsin35, ϕ2,3 = ±1

2arcsin

15.

Vse delitvene kote in radije se da geometrijsko konstruirati.

Slika 17. Delitev desnega lista na pet ploščinsko enakih delov.

Razdelimo desni list lemniskate na štiri ploščinsko enake dele. Polarni

radiji, ki to opravijo, so po (9)

%1 = %3 = c 4√

3, %2 = c√

2 = a.

25

ustrezni polarni koti pa po (10):

ϕ1,3 = ± π12, ϕ = 0.

To pomeni, da polovico lista v prvem kvadrantu ploščinsko razpolavlja pri

polarnem kotu π/12 radij c 4√

3. V točki s tema polarnima koordinatama je

normala na lemniskato vzporedna s premico y = x, tangenta pa s premico

y = −x.

Lemniskata je lahko v kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy tudi

premaknjena in zasukana. Oglejmo si primer, ko je zasukana okoli koor-

dinatnega izhodišča za kot π/4. To pomeni, da na lemniskati naredimo

ortogonalno transformacijo x 7→ (x + y)/√

2, y 7→ (x − y)/√

2. Enačba (4)

dobi obliko (x2 + y2)2 = 4c2xy.

Slika 18. Zasuk lemniskate za kot π/4.

Nesporno je beseda ortogonalen grška. Prvi del pride od besede ὀρθός,

kar pomeni pokončen, navpičen, ter γωνία, kot, ogel.

26

Z ortogonalno transformacijo x 7→ (−x + y)/√

2, y 7→ (x + y)/√

2 dobi

enačba (4) obliko (x2 + y2)2 = −4c2xy.

Slika 19. Zasuk lemniskate za kot 3π/4.

Z ortogonalno transformacijo x 7→ y, y 7→ x pa enačba (4) preide v

obliko

(x2 + y2)2 = 2c2(y2 − x2).

V splošnem z ortogonalno transformacijo x 7→ xcosψ + y sinψ, y 7→x sinψ − y cosψ zasukamo okrog koordinatnega izhodišča O za kot ψ lem-

niskato, katere enačba je potem

(x2 + y2)2 = 2c2((x2 − y2)cos2ψ + 2xy sin2ψ).

Obratno spoznamo v enačbi

(x2 + y2)2 = e(x2 − y2) + 2f xy

27

Slika 20. Zasuk lemniskate za kot π/2.

lemniskato. Pri tem sta e in f realni konstanti, za kateri je e2 + f 2 > 0. S

primerjavo koeficientov hitro ugotovimo, da sta kot ϕ zasuka lemniskate

okoli koordinatnega izhodišča O in polos c lemniskate dana z enačbama

tan2ψ =f

e, 4c4 = e2 + f 2.

Sedaj poiščimo nekaj primerov zasukane lemniskate. Kot vemo, lahko

koordinatno ravnino obravnavamo kot kompleksno ravnino. Točki T (x,y)

povratno enolično priredimo kompleksno število z = x + iy. S komplek-

snimi števili pa lahko računamo na običajni način.

Vzemimo kompleksno kvadratno enačbo z2 = q, kjer je q , 0 komplek-

sno število. Enačba ima dva različna korena z1 in z2, ki ležita simetrično

28

Slika 21. Zasuk lemniskate za kot ψ.

glede na točko 0. Nadalje vzemimo še krožnico |z−s| = |s|, kjer je s , 0 njeno

središče, njen polmer pa r = |s| > 0. Krožnica torej poteka skozi točko 0.

Zanima nas krivulja, po kateri drsita korena z1 in z2 enačbe z2 = q, ko q

drsi po tej krožnici.

Najprej mora veljati |q − s| = |s|. Ker je q = z21 = z2

2, bosta korena na

krivulji |z2 − s| = |s| v kompleksni ravnini. Ker lahko zapišemo to relacijo

tudi v obliki

|z −√s| · |z+

√s| = (

√|s|)2,

pomeni, da je iskana krivulja Bernoullijeva lemniskata z goriščema√s in

−√s, ki sta od 0 oddaljeni za c =

√|s|, ter temenoma

√2s in −

√2s. Spomniti

se je treba samo na geometrijski pomen absolutne vrednosti razlike kom-

29

pleksnih števil. Le-ta predstavlja razdaljo ustreznih točk v kompleksni

ravnini.

Za dani s zlahka konstruiramo√|s| z uporabo višinskega izreka v pra-

vokotnem trikotniku in dejstva, da je Arg(√s) = Arg(s)/2. Prav tako ±√q.

Lahko pa korene tudi kar izračunamo.

Korena enačbe z2 = q ležita na lemniskati z goriščema v ±√s, ko q kroži

po krožnici |z2 − s| = |s|. Os lemniskate oklepa s pozitivno polovico realne

osi kot Arg(s)/2.

Slika 22. Korena enačbe z2 = q, ko q leži na krožnici |z − s| = |s|.

Oglejmo si še kvadratno enačbo z2 − 2pz + q = 0, pri čemer q kroži po

krožnici s središčem v s , p2 in poteka skozi p2. Zanima nas krivulja, po

kateri pri tem potujeta korena z1 in z2 dane enačbe.

Tako kot v prejšnjem primeru izrazimo q = −z2 + 2pz. Koeficient q naj

leži na krožnici |z − s| = r > 0. Ker ta poteka skozi p2, mora biti r = |p2 − s|.

30

Ker je q na tej krožnici, mora veljati

| − z2 + 2pz − s| = |z2 − 2pz+ s| = |p2 − s|.

Razstavimo:

z2 − 2pz+ s = (z − f1)(z − f2), f1,2 = p ±√p2 − s.

Iskana krivulja ima enačbo

|z − f1| · |z − f2| = |p2 − s|.

Točki f1 in f2 sta med seboj oddaljeni za 2√|p2 − s|, na sredini med njima

pa je p. Če vzamemo c =√|p2 − s|, potem je iskana krivulja

|z − f1| · |z − f2| = c2,

to pa je Bernoullijeva lemniskata z goriščema f1 in f2. Njeno središče je v

p, njena os pa oklepa s pozitivno polovico realne osi kot Arg(p2 − s)/2.

Med splošnejše načine pridobivanja krivulj sodi medsebojno sekanje

znanih ploskev v prostoru. Krožnica je presek sfere z ravnino. Če sekamo

ploskev z ravnino, dobimo ravninsko krivuljo. Če pa presek ploskev ni

ravninska krivulja, jo pravokotno projiciramo na primerno ravnino. Tako

dobimo ravninsko krivuljo. V nadaljevanju si bomo ogledali tri načine,

kako s presekom ploskev dobimo Bernoullijevo lemniskato.

Bernoullijevo lemniskato dobimo, če presekamo primeren torus z rav-

nino, ki se dotika njegovega notranjega ekvatorja. Vzemimo torus, ki na-

stane v prostoru z rotacijo krožnice s polmerom b tako, da njeno središče

potuje po krožnici s polmerom a > b. Pri tem je ravnina prve krožnice

ves čas pravokotna na drugo krožnico. Zunanji ekvator torusa ima polmer

a + b, notranji pa a − b. Enačba torusa v kartezičnem koordinatnem sis-

temu Oxyz, pri čemer sta njegova ekvatorja v ravnini Oxy, središče pa v

izhodišču O, je:

(x2 + y2 + z2 + a2 − b2)2 = 4a2(x2 + y2).

31

Slika 23. Korena enačbe z2−2pz+q = 0, ko q leži na krožnici |z−s| = |p2−s|.

Presekajmo ga z ravnino y = a− b. Najprej dobimo

(x2 + z2 + a2 − b2 + (a− b)2)2 = 4a2(x2 + (a− b)2),

kar lahko vzamemo za enačbo pravokotne projekcije presečne krivulje na

ravnino Oxz. Preoblikujmo jo v:

(x2 + z2)2 = 4abx2 − (4a2 − 4ab)z2.

Dobljena enačba predstavlja Bernoullijevo lemniskato takrat, ko velja 4ab =

4a2 − 4ab. To gre samo v primeru b = a/2. Tedaj dobimo

(x2 + z2)2 = 2a2(x2 − z2).

Lemniskata ima v prostoru gorišči F1(−a,a− b,0) in F2(a,a− b,0).

32

Slika 24. Lemniskata kot presek torusa z ravnino.

Torus je topološko zanimiva ploskev. Zlahka izračunamo njegovo povr-

šino in prostornino telesa, ki ga ograjuje. Vredno je študirati tudi krivulje

na torusu. Antični učenjak, državnik in vojak Arhitas iz Tarenta, Αρχύτας,

(5. in 4. st. pnš.) je s torusom celo rešil problem podvojitve kocke.

Bernoullijevo lemniskato dobimo tudi kot pravokotno projekcijo pre-

seka valja y2 + z2 = a2/8 z rotacijskim paraboloidom x2 + y2 = a2/2− az√

2

na ravnino, ki je vzporedna s koordinatno ravnino Oxy v pravokotnem

kartezičnem koordinatnem sistemu Oxyz (slika 25). Rotacijska os parabo-

loida je koordinatna os Oz, valja pa os Ox.

Iz enačbe paraboloida dobimo

(x2 + y2 − a2/2)2 = 2a2z2.

Iz enačbe valja izrazimo z2 = a2/8− y2, kar vstavimo v prejšnjo enačbo:

(x2 + y2 − a2/2)2 = 2a2(a2/8− y2) = a4/4− 2a2y2.

33

Dobljeno relacijo preuredimo, podobno kot pri izpeljavi enačbe lemniskate,

da dobimo

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).

To je enačba Bernoullijeve lemniskate v ravnini Oxy.

Slika 25. Lemniskata kot projekcija preseka valja in paraboloida.

Prav tako dobimo Bernoullijevo lemniskato kot pravokotno projekcijo

preseka dvojnega stožca y2 + z2 = x2 z rotacijskim paraboloidom x2 + y2 =

az na ravnino, ki je vzporedna s koordinatno ravnino Oxy v pravokot-

nem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxyz (slika 26). Rotacijska os

paraboloida je koordinatna os Oz, stožca pa os Ox.

Iz enačbe paraboloida dobimo

(x2 + y2)2 = a2z2.

34

Iz enačbe dvojnega stožca izrazimo z2 = x2 − y2, kar vstavimo v prejšnjo

enačbo:

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).

Dobljena relacija je že kar enačba lemniskate v ravnini Oxy.

Slika 26. Lemniskata je projekcija preseka dvojnega stožca in paraboloida.

Pogosto do novih ravninskih krivulj pridemo iz znanih krivulj, na ka-

terih opravimo določeno geometrijsko transformacijo. Taka transforma-

cija je na primer zrcaljenje na krožnici. V nadaljevanju si bomo ogledali,

kako dobimo Bernoullijevo lemniskato na cisoidni način, nato pa, kako jo

dobimo iz enakoosne ali pravokotne hiperbole. Pravokotna je enakoosna

hiperbola zato, ker se njeni asimptoti med seboj sekata pravokotno.

35

4 Lemniskata na cisoidni način

V koordinatnem sistemu Oxy postavimo krožnico, ki ima polmer r in

središče v točki S(r√

2,0). Nato na krožnici izberemo točko F in poiščemo

drugo presečišče E premice p skozi O in F. Nato odmerimo razdaljo |OE|po premici p od točke F v smeri O, tako da dobimo točko T . Trdimo, da

dobimo polovico lemniskate, ko F spreminjamo po krožnici.

Premica p naj ima enačbo y = x tanϕ, krožnica pa enačbo

(x −√

2r)2 + y2 = r2.

Kot ϕ je polarni kot točk na premici p. Abscisi presečišč premice p in

krožnice dobimo kot rešitvi enačbe

(x − r√

2)2 + x2 tan2ϕ − r2 =x2

cos2ϕ− 2rx

√2 + r2 = 0.

Rešitvi sta

x1 = r(√

2cos2ϕ−√

2cos4ϕ − cos2ϕ), x2 = r(√

2cos2ϕ+√

2cos4ϕ − cos2ϕ).

Njuna razlika je

x2 − x1 = 2r√

2cos4ϕ − cos2ϕ.

S tem imamo koordinate točk E, F in T :

xE = x1, yE = x1 tanϕ; xF = x2, yF = x2 tanϕ; xT = x2−x1, yT = (x2−x1) tanϕ.

Kvadrat polarnega radija %T točke T je

%2T = (x2−x1)2 + (y2−x1)2 =

1cos2ϕ

(x2−x1)2 = 4r2(2cos2ϕ−1) = 4r2 cos2ϕ.

Točka T je res na lemniskati %2 = 4r2 cos2ϕ. Celotno lemniskato do-

bimo, če postopek simetrično ponovimo še v drugem in tretjem kvadrantu.

36

Slika 27. Cisoidna konstrukcija lemniskate.

Dobljena lemniskata ima temeni A(2r,0) in B(−2r,0) in gorišči v središčih

krožnic, s katerima smo konstruirali obe polovici.

Konstrukcija se imenuje cisoidna, ker je na podoben način definirana

tudi Dioklova cisoida, pri kateri uporabimo krožnico in njeno tangento ter

točko, ki je diametralno nasprotna dotikališču. Ime izhaja iz grške besede

κισσός, kar pomeni bršljan. Dioklova cisoida je uporabna pri problemu

podvojitve kocke.

5 Lemniskata in hiperbola

Pokazali bomo, v kakšni relaciji sta enakoosna hiperbola in Bernoullijeva

lemniskata. Najprej ponovimo, kaj je zrcaljenje na krožnici. Točka T ∗ je

zrcalna slika točke T na krožnici s središčem S in polmerom R, če T in T ∗

ležita na skupnem poltraku s krajiščem S in če velja zveza

|ST | · |ST ∗| = R2.

37

Če je T zunaj krožnice, je T ∗ znotraj in obratno. Če je T na krožnici, je

T = T ∗. Če T →∞, potem T ∗→ S. Velja še (T ∗)∗ = T .

Zrcaljenje na dani krožnici lahko geometrijsko, samo z neoznačenim

ravnilom in šestilom, opravimo v nekaj potezah. Krožnica, na kateri zr-

calimo, naj ima središče v točki S in polmer R. Zrcalimo točko T . Najprej

si oglejmo primer, ko je T zunaj krožnice. Konstruiramo daljico T S, v

S pravokotno nanjo postavimo premer EF, konstruiramo daljico FT , ki

krožnico preseka v točki G. Daljica GE preseka daljico T S v točki T ∗, ki je

zrcalna slika točke T na krožnici (slika 28).

Slika 28. Zrcaljenje točke na krožnici.

Za dokaz pravilnosti konstrukcije uporabimo podobnost pravokotnih

trikotnikov ET ∗S in T FS. Ujemata se namreč v dveh kotih, pravem ter

v kotih ∠T ∗ES in ∠FT S, ker imata med seboj pravokotna kraka. Trikot-

nika ET ∗S in T FS sta pravokotna zaradi konstrukcije, trikotnik FEG pa

po Talesovem izreku. Iz podobnosti pravokotnih trikotnikov ET ∗S in T FS

38

dobimo sorazmerje|ST ∗||SE|

=|SF||ST |

,

iz katerega sledi |ST | · |ST ∗| = |SE| · |SF| = R2.

Če je T znotraj krožnice, dobimo T ∗ zunaj krožnice praktično z enako

konstrukcijo.

V koordinatnem sistemu Oxy naj ima krožnica, na kateri zrcalimo,

enačbo x2 + y2 = R2. Če na njej zrcalimo točko T (x,y) v točko T ∗(x∗, y∗),

potem veljata transformacijski formuli

x∗ =R2x

x2 + y2 , y∗ =

R2y

x2 + y2 .

Da je to res, je treba samo preveriti, da velja |OT ∗| · |OT | = R2 ter da sta T

in T ∗ na skupnem poltraku s krajiščem O.

Na krožnici lahko zrcalimo krivulje. Pri tem vzamemo, da se neskončno

oddaljene točke krivulje prezrcalijo v središče krožnice, središče krožnice,

skozi katero morda poteka krivulja, pa v neskončno oddaljeno točko.

Če zrcalimo na krožnici |z| = R v kompleksni ravnini, potem zrcalno

sliko z∗ točke z lahko izrazimo v obliki

z∗ =R2

z.

Preprosto je pravilo zrcaljena na krožnici % = R v polarnih koordinatah:

%∗ =R2

%, ϕ∗ = ϕ.

Oglejmo si v koordinatni ravnini Oxy enakoosno ali pravokotno hiper-

bolo, ki ima enačbo x2 − y2 = a2. Hiperbola ima med seboj pravokotni

asimptoti y = x in y = −x. Njeni gorišči sta G1(−a√

2,0) in G2(a√

2,0),

temeni paA(a,0) in B(−a,0). To hiperbolo zrcalimo na krožnici x2+y2 = a2.

39

Zrcalno sliko izrazimo s preslikavo

x 7→ a2x

x2 + y2 , y 7→a2y

x2 + y2 .

Najprej dobimo (a2x

x2 + y2

)2

−(a2y

x2 + y2

)2

= a2,

po poenostavitvi pa

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2),

kar je enačba Bernoullijeve lemniskate (5). Zrcalna slika enakoosne hiper-

bole na krožnici, ki poteka skozi temeni hiperbole in ima središče v sredi-

šču hiperbole, je torej Bernoullijeva lemniskata. Njeni temeni sta temeni

hiperbole, gorišči pa F1(−a/√

2,0) in F2(a/√

2,0).

Slika 29. Zrcaljenje hiperbole na krožnici.

40

Ugotovitev, da sta si hiperbola in lemniskata zrcalni na krožnici, omo-

goča gladko parametrizacijo lemniskate. Hiperbolo x2 − y2 = a2 paramet-

riziramo z

x = asec t =a

cos t, y = a tan t, 0 ≤ t ≤ 2π.

Ko t → π/2 z leve, potem x → ∞ in y → ∞. Ko t → π/2 z desne, potem

x→ −∞ in y → −∞. Ko t → 3π/2 z desne, potem x→ −∞ in y →∞. Ko

t→ π/2 z desne, potem x→∞ in y→−∞. Pri tem pomeni t→ π/2 z leve

(z desne), da t→ π/2, pri tem pa je t < π/2 (t > π/2).

Če sedaj točko (asec t,a tan t) zrcalimo na krožnici x2 + y2 = a2, dobimo

x =a3 sec t

a2(sec2 t + tan2 t)=

acos t

1 + sin2 t, y =

a3 tan ta2(sec2 t + tan2 t)

=asin t cos t

1 + sin2 t.

S tem smo našli trigonometrično parametrizacijo lemniskate:

x =acos t

1 + sin2 t, y =

asin t cos t

1 + sin2 t, 0 ≤ t ≤ 2π. (11)

Pri spreminjanju parametra t od 0 do 2π točka T (x,y) potuje najprej od

temena A lemniskate v prvem kvadrantu do O, nato v tretjem kvadrantu

odO proti temenu B, nato v drugem kvadrantu protiO, nazadnje v četrtem

kvadrantu od O proti temenu A.

S parametrizacijo (11) lahko ponovno izračunamo skupno ploščino S

obeh listov Bernoullijeve lemniskate, ki ju omejuje. Upoštevamo simetrijo

krivulje in dobimo:

S = 4 · 12

∫ π/2

0(xy − xy)dt = 2a2

∫ π/2

0

cos3 t dt

(1 + sin2 t)2= a2 = 2c2.

Sedaj gremo v prostor. Rešili bomo nekaj nalog v zvezi z vrteninami.

Lemniskato zavrtimo okoli njene glavne simetrale za polni kot. Pri tem

opiše neko ploskev, ki omejuje telo. Izračunajmo njegovo prostornino Vx.

Po splošni formuli za prostornino vrtenine in z upoštevanjem simetrije ter

41

parametrizacije (11) je

Vx = 2 ·π∫ a

0y2dx = 2π

∫ 0

π/2y2x dt = 2πa3

∫ π/2

0

sin3 t cos2 t(2 + cos2 t)dt

(1 + sin2 t)4.

Integral tako ali drugače izračunamo in dobimo

Vx = πc3(ln(1 +

√2)−√

23

).

Slika 30. Prva vrtenina z lemniskato.

Hiperbolo x2 − y2 = a2 lahko parametriziramo tudi z

x = ±acosh t, y = asinh t, t ∈R.

Pri x vzamemo predznak + za desno, predznak − pa za levo vejo hiperbole.

Ker je cosh t = (et + e−t)/2 in sinh t = (et − e−t)/2, poskusimo raje namesto et

vzeti kar t: x = a(t + 1/t)/2, y = a(t − 1/t)/2. Tudi tedaj je x2 − y2 = a2. Nato

naredimo zrcaljenje na krožnici x2 + y2 = a2 in dobimo:

x =a3(t + 1/t)/2

a2((t + 1/t)2 + (t − 1/t)2)/4, y =

a3(t − 1/t)/2a2((t + 1/t)2 + (t − 1/t)2)/4

.

42

Po poenostavitvi je pred nami še racionalna parametrizacija Bernoullijeve

lemniskate:

x =a(t3 + t)t4 + 1

, y =a(t3 − t)t4 + 1

, t ∈R. (12)

Ko parameter t gre od −∞ proti −1, potuje točka po lemniskati od O v

tretjem kvadrantu do temena B, nato pa v drugem kvadrantu od B proti

O, ko se t spreminja od −1 do 0. Za t med 0 in 1 potuje točka po lemniskati

od O do temena A v četrtem kvadrantu, nato pa od A proti O, ko t narašča

od 1 proti +∞.

Tudi s parametrizacijo (12) lahko izračunamo skupno ploščino S obeh

listov lemniskate, ki ju omejuje. Upoštevamo simetrijo in s splošno for-

mulo dobimo:

S = 4 · 12

∫ ∞1

(xy − xy)dt = 8a2∫ ∞

1

t3dt

(t4 + 1)2 = a2 = 2c2.

Račun je bil sedaj veliko enostavnejši kot s parametrizacijo (11). Toda pri

takem računu je treba biti previden. Formula da pravilno ploščino le, če

pri spreminjanju parametra t po integracijskem intervalu daljica OT (x,y)

natanko enkrat popiše lik, katerega ploščino iščemo.

S parametrizacijo (12) se lotimo še vrtenine, ki nastane z rotacijo lem-

niskate okoli osi y. Izračunajmo prostornino Vy te vrtenine. Izkoristimo

simetrijo telesa in uporabimo splošno formulo

Vy = 2 · 2π∫ a

0|xy|dx = 4π

∫ 1

0|xy|x dt

= 4πa3∫ 1

0

t2(1− t2)(1− t4)(t4 + 4t2 + 1)dt(t4 + 1)4 .

Integral spet tako ali drugače izračunamo in dobimo preprost rezultat:

Vy =π2c3

2.

43

Slika 31. Druga vrtenina z lemniskato.

Rezultat in Papos–Guldinovo pravilo za prostornino nam omogočata izra-

čun težišča desnega lista lemniskate. Papos, grško Πάππος, je bil antični

matematik. Živel je v 4. stoletju v Aleksandriji. Paul Guldin (1577–1643)

je bil švicarski matematik in astronom. Ordinata težišča yT je enaka 0, ab-

scisa xT pa sledi iz enačbe Vy = 2πxT ·S/2. Težišče desnega lista lemniskate

je torej točka T (πc/4,0).

Kaj pa vrtenina, ki nastane z rotacijo lemniskate okoli njene tangente

skozi njeno središče O? Problem lahko obravnavamo z lemniskato, ki jo

okoliO zasukamo za kot π/4 (slika 18). Videli smo že, da ima tedaj enačbo

(x2 + y2)2 = 4c2xy oziroma (x2 + y2)2 = 2a2xy, v polarnih koordinatah pa

% = a√

sin2ϕ. Za prvi kvadrant velja 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Prostornino V potem

dobimo tako kot pri rotaciji okoli osi x.

Parametrizacija v polarnih koordinatah se tudi tokrat ne obnese, ker

vodi v prezapletene integrale, zato raje poskusimo najti racionalno para-

metrizacijo zasukane lemniskate. Ta je seveda zrcalna slika neke hiper-

bole na krožnici x2 + y2 = a2. Iskana hiperbola je kar zasuk enakoosne

44

Slika 32. Tretja vrtenina z lemniskato.

hiperbole x2 − y2 = a2 za kot π/4. zasukana hiperbola mora potekati skozi

točko A(c,c). Njena enačba je xy = c2. Parametriziramo jo lahko kar z

x = ct, y = c/t. Z zrcaljenjem na krožnici dobimo parametrizacijo zasukane

lemniskate:

x =a2ct

c2(t2 + 1/t2), y =

a2c/t

c2(t2 + 1/t2).

Izraza še poenostavimo:

x =2ct3

t4 + 1, y =

2ctt4 + 1

. (13)

Za prvi kvadrant je t > 0, za tretji pa t < 0. Račun pokaže, da abscisa x na

lemniskati doseže največjo vrednost za t0 = 4√

3, in sicer x0 = c 4√

27/2. Ko

parameter t > 0 raste, točka obkroži zanko v negativni matematični smeri.

Nastalo rotacijsko telo ima ob osi rotacije vdolbini, zato je treba pri

računu upoštevati, da x za 0 < t < 1 narašča (takrat označimo y = y2), za

t > 1 pa pada (takrat označimo y = y1), ko t narašča (slika 33). Prostornina

45

Slika 33. Lemniskata v prvem kvadrantu.

nastale vrtenine z upoštevanjem njene simetrije je

V = 2π∫ x0

0y2

2 dx − 2π∫ x0

0y2

1 dx = 2π(∫ t0

0y2 x dt −

∫ ∞t0

y2 (−x)dt).

Nazadnje imamo

V = 2π∫ ∞

0y2 x dt = 16π2c3

∫ ∞0

t4(3− t4)dt(t4 + 1)4 =

π2c3√

22

.

Uporabimo parametrizacijo (13) še enkrat za izračun skupne ploščine

S obeh listov lemniskate. Račun poteka kot običajno:

S = −∫ ∞

0(xy − xy)dt = 8c2

∫ ∞0

t3dt

(t4 + 1)2 = 2c2.

Zelo preprosti pa so izračuni površin rotacijskih ploskev, ki jih dobimo

z lemniskato % = a√

cos2ϕ. Če jo sučemo okoli osi x, ima nastala ploskev

površino

Px = 4π∫ π/4

0y ds = 4π

∫ π/4

0% sinϕds,

46

kjer je ds =√%2 + %′ 2dϕ = adϕ/

√cos2ϕ. Potem je

Px = 4πa2∫ π/4

0sinϕdϕ = 2πa2(2−

√2).

Prav tako je izračun površine nastale ploskve pri rotaciji okoli osi y pre-

prost:

Py = 4π∫ π/4

0xds = 4πa2

∫ π/4

0sinϕdϕ = 2πa2

√2.

Če lemniskato % = a√

cos2ϕ zasukamo okoli tangente v točki O, dobimo

isto ploskev, kot če lemniskato % = a√

sin2ϕ zasukamo okoli osi x. Upo-

števati je treba, da je tedaj ds = adϕ/√

sin2ϕ. Površina vrtenine je potem

P = 4π∫ π/4

0y ds = 4πa2

∫ π/4

0cosϕdϕ = 4πa2.

Do tu je še kar šlo. Težave pri lemniskati pa nastanejo pri njeni ločni

dolžini, ki se ne izraža več z elementarnimi funkcijami.

6 Ločna dolžina

Ker imamo več parametrizacij Bernoullijeve lemniskate, se lahko z vsako

lotimo izračuna njene celotne ločne dolžine. Očitno je dovolj, da izraču-

namo dolžino ` njenega loka v prvem kvadrantu.

S polarnimi koordinatami je

` =∫ π/4

0

√%2 + %′ 2dϕ = a

∫ π/4

0

dϕ√

cos2ϕ= a

∫ π/4

0

dϕ√1− 2sin2ϕ

.

V zadnji integral vpeljemo novo integracijsko spremenljivko u z relacijo

sinu =√

2sinϕ. Brez težav dobimo

` =a√

2

∫ π/2

0

du√1− 1

2 sin2u.

47

Zadnji integral ni elementaren. Da bi ga izrazili, uporabimo popolni elip-

tični integral prve vrste v Legendrovi obliki:

K(k) =∫ π/2

0

du√

1− k2 sin2u, 0 < k < 1.

Torej je

` =a√

2K(1/

√2) = cK(1/

√2).

Celotna dolžina s lemniskate je seveda 4`:

s =4a√

2K(1/

√2) = 4cK(1/

√2).

Po zgledu krožnice s polmerom a in dolžino 2πa so za lemniskato s polosjo

a vpeljali število $ (pi skript), tako da je s = 2$a. Kot vidimo, velja

$ =√

2K(1/√

2).

Kaj pa če vzamemo parametrizacijo (11)? Dobimo drugačen integral:

` =∫ π/2

0

√x2 + y2dt = a

∫ π/2

0

dt√

1 + sin2 t= a

∫ π/2

0

dt√

2− cos2 t.

S substitucijo u = π/2− t dobimo na koncu enak rezultat:

` = a∫ π/2

0

du√

2− sin2u=a√

2

∫ π/2

0

du√1− 1

2 sin2u=a√

2K(1/

√2) = cK(1/

√2).

Lahko pa postopamo tudi takole:

` = a∫ π/2

0

dt√

1 + sin2 t= a

∫ π/2

0

cos t dt√

1− sin2 t√

1 + sin2 t= a

∫ π/2

0

cos t dt√

1− sin4 t.

V zadnji integral uvedemo novo integracijsko spremenljivko u = sin t in

dobimo

` = a∫ 1

0

du√

1−u4.

48

Kaj pa dobimo s parametrizacijo (12)?

` =∫ 1

0

√x2 + y2dt = a

√2∫ 1

0

dt√

1 + t4= 2c

∫ 1

0

dt√

1 + t4.

Nič bolje se ne godi parametrizaciji (13):

` =12

∫ ∞0

√x2 + y2dt = c

∫ ∞0

dt√

1 + t4= c

∫ 1

0

dt√

1 + t4+ c

∫ ∞1

dt√

1 + t4.

V zadnji integral vpeljemo novo integracijsko spremenljivko u z relacijo

t = 1/u. Dobimo ∫ ∞1

dt√

1 + t4=

∫ 1

0

du√

1 +u4.

Potemtakem je

` = c∫ 1

0

dt√

1 + t4+ c

∫ 1

0

du√

1 +u4= 2c

∫ 1

0

du√

1 +u4.

V zbirki integralov najdemo∫ 1

0

du√

1 +u4=

12

K(1/√

2),

tako da vse tri parametrizacije, ki so nam dobro služile za izračun pros-

tornin, dajo enak rezultat:

` = cK(1/√

2).

Do popolnoma istega integrala v izrazu za ` pridemo, če uporabimo po-

larno obliko lemniskate in iz nje izrazimo polarni kot kot funkcijo po-

larnega radija:

ϕ =12

arccos%2

a2 , 0 ≤ % ≤ a.

Nato transformiramo

(%2 + %′ 2)dϕ2 = (1 + %2ϕ′ 2)d%2.

49

Vstavimo izraz za ϕ in dobimo:

(%2 + %′ 2)dϕ2 =a4d%2

a4 − %4 .

Prišli smo do naslednjega izraza:

` =∫ π/4

0

√%2 + %′ 2dϕ = a2

∫ a

0

d%√a4 − %4

.

V zadnji integral vpeljemo novo integracijsko spremenljivko t z relacijo

% = at in ponovno dobimo:

` = a∫ 1

0

dt√

1− t4.

Za nadaljnjo obravnavo bomo uporabili Eulerjeva integrala, funkciji Γ

in B, ki sta definirani takole:

Γ(p) =∫ ∞

0xp−1e−x dx (p > 0),

B(p,q) =∫ 1

0xp−1(1− x)q−1dx (p > 0, q > 0).

Osnovne relacije z njima so:

Γ(p+ 1) = pΓ(p), B(p,q) =Γ(p+ q)Γ(p)Γ(q)

, Γ(p)Γ(1− p) =π

sinpπ(0 < p < 1).

Za naravno število n ali 0 je Γ(n + 1) = n!, pomembno pa je tudi, da je

Γ(1/2) =√π.

V integral

I =∫ 1

0

dt√

1− t4

vpeljimo novo integracijsko spremenljivko t = u1/4:

I =14

∫ 1

0

u−3/4du√

1−u=

14

∫ 1

0u−3/4(1−u)−1/2du =

14

B(1/4,1/2) =Γ(1/4)Γ(1/2)

4Γ(3/4)

50

Slika 34. Lemniskata in krožnica v prvem kvadrantu.

=Γ2(1/4)

√π

4Γ(1/4)Γ(3/4)=

Γ2(1/4)√π sin(π/4)

4π=

Γ2(1/4)

4√

2π.

Potem lahko izrazimo

` = aΓ2(1/4)

4√

2π=a√

2K(1/

√2) =

$a2.

Ugotovili smo, da obstaja zveza

$ =√

2K(1/√

2) =Γ2(1/4)√

8π.

Oblika

$ = 2∫ 1

0

dt√

1− t4za lemniskato je analogna obliki za krožnico

π = 2∫ 1

0

dt√

1− t2.

Jakob Steiner (1796–1863) je leta 1835 odkril še neko zanimivo lastnost

lemniskate. Vemo, da je zrcalna slika hiperbole x2 − y2 = a2 na krožnici

51

x2 + y2 = a2 Bernoullijeva lemniskata (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). Če ima lem-

niskata gorišči F1(−c,0) in F2(c,0), potem je a = c√

2. Gorišči hiperbole sta

G1(−2c,0) in G2(2c,0). Ker je |OF1| · |OG1| = |OF2| · |OG2| = 2c2 = a2, sta

gorišči F1 in G1 ter F2 in G2 zrcalni na krožnici x2 + y2 = a2 (slika 35).

Potegnimo sedaj skozi središče lemniskateO poljubno premico, ki lem-

niskato seka v diametralno nasprotnih točkah T1 in T2. Premica naj z osjo

x oklepa kot ϕ. Na to premico pravokotno projicirajmo G1 v H1 ter G2 v

H2. Steiner je dokazal:

|H1T1| · |H1T2| = |H2T2| · |H2T1| = 2c2 = a2.

Dokaz je preprost:

|H1T1| · |H1T2| = (2ccosϕ − a√

cos2ϕ)(2ccosϕ + a√

cos2ϕ)

= 4c2 cos2ϕ − a2 cos2ϕ = 4c2 cos2ϕ − 2c2(cos2ϕ − sin2ϕ) = 2c2.

Podobno dokažemo, da je tudi |H2T2| · |H2T1| = 2c2 = a2.

Slika 35. K dokazu Steinerjeve trditve.

52

7 Aritmetično-geometrična sredina

Vzemimo pozitivni realni števili p in q, pri čemer je p ≤ q (več o tem na

primer v [2, 8, 9]). Njuna sredina je na splošno vsako število S(p,q), ki je

s p in q natančno določeno in zanj velja relacija p ≤ S(p,q) ≤ q. Najenos-

tavnejša sredina števil p in q je njuna aritmetična sredinaA(p,q) = (p+q)/2,

ki je na pravi sredini med p in q. Če sta p in q krajišči intervala na števil-

ski premici, potem je A(p,q) kar njegovo središče. Prav tako je pomem-

bna geometrična sredina G(p,q) števil p in q, ki jo definiramo z relacijo

G(p,q) =√pq. Očitno sta številiA(p,q) inG(p,q) s p in q natančno določeni.

Ker jeA(p,q) = p+(q−p)/2 = q−(q−p)/2, velja p ≤ A(p,q) ≤ q. Iz p2 ≤ pq ≤ q2

pa dobimo še p ≤ G(p,q) ≤ q.

Pomembna je relacija G(p,q) ≤ A(p,q), v kateri velja enačaj natanko

takrat, ko je p = q. To vidimo iz zapisa

0 ≤ (√q −√p)2 = p+ q − 2

√pq = 2(A(p,q)−G(p,q)).

Primer p = q očitno ni zanimiv, zato bo v nadaljevanju p < q, ko velja

p < G(p,q) < A(p,q) < q. Označimo p1 = G(p,q) in q1 = A(p,q). Ker je p1 <

q1, velja p1 < G(p1,q1) < A(p1,q1) < q1 tako kot prej za p in q. Če označimo

p2 = G(p1,q1) in q2 = A(p1,q1), velja p2 < G(p2,q2) < A(p2,q2) < q2. Ta

postopek lahko nadaljujemo v nedogled. Če vzamemo p0 = p in q0 = q

in pn+1 = G(pn,qn) in qn+1 = A(pn,qn) za n = 0,1,2, . . ., dobimo neskončni

zaporedji

p0,p1,p2, . . . in q0,q1,q2, . . . , (14)

pri čemer je

p = p0 < p1 < p2 < . . . < pn < . . . < qn < . . . < q2 < q1 < q0 = q. (15)

Brez težav vidimo, da velja

q1 − p1 <p0 + q0

2− p0 =

q − p2

, q2 − p2 <p1 + q1

2− p1 =

q1 − p1

2<q − p

4, . . .

53

V splošnem pa

qn − pn <q − p2n+1 .

Za dovolj velik indeks n se zato pn in qn poljubno malo razlikujeta. Prvo

zaporedje v (14) je naraščajoče in omejeno navzgor, drugo pa padajoče in

omejeno navzdol. Členi obeh zaporedij se približujejo z naraščajočim in-

deksom n natančno določenemu številu M(p,q), vsako s svoje strani. Za-

poredji konvergirata proti številu M(p,q) (glej na primer [2]). Za vsako

naravno število je

p < pn <M(p,q) < qn < q.

Za p = q bi dobili v (14) konstantni zaporedji, v (15) pa povsod enačaj in s

tem G(p,p) = A(p,p) =M(p,p) = p.

Hitro konvergenco bomo pojasnili v oceni, ki jo bomo izpeljali. Najprej

očitno velja

qn+1 − pn+1 = A(pn,qn)−G(pn,qn) =pn + qn

2−√pnqn =

(√qn −√pn)2

2.

Zadnji kvocient razširimo:

(√qn −√pn)2

2=

(√qn −√pn)2(

√qn +√pn)2

2(√qn +√pn)2 =

(qn − pn)2

2(√qn +√pn)2 .

Za vsoto korenov v zadnjem imenovalcu velja:

√qn +√pn = 2A(

√pn,√qn) > 2G(

√pn,√qn) = 2 4

√pnqn > 2 4

√p2 = 2

√p.

Če upoštevamo vse dobljene relacije, imamo nazadnje oceno

qn+1 − pn+1 <(qn − pn)2

8p.

To pomeni, da se v zaporedjih (14) število prvih ujemajočih se cifer števil

pn in qn pri prehodu na pn+1 in qn+1 približno podvoji.

Pomembna primera za lemniskato sta sredini M(1,√

2) in M(√

2,2).

Računanje približkov strnimo v tabeli.

54

n pn qn

0 1,00000000000000000000 1,41421356237309504880

1 1,18920711500272106671 1,20710678118654752440

2 1,19812352149312012260 1,19815694809463429555

3 1,19814023467730720579 1,19814023479387720908

4 1,19814023473559220743 1,19814023473559220744

n pn qn

0 1,41421356237309504880 2,00000000000000000000

1 1,68179283050742908606 1,70710678118654752440

2 1,69440253349378292080 1,69444980584698830523

3 1,69442616950553073340 1,69442616967038561301

4 1,69442616958795817321 1,69442616958795817321

Našli smo dovolj dobra približka:

M(1,√

2) = 1,1981402347355922074,

M(√

2,2) = 1,69442616958795817321.

Za pozitivno konstanto κ velja preprosta zveza: κ ·M(p,q) =M(κp,κq).

ŠteviloM(p,q) je ena od sredin števil p in q, imenujemo jo aritmetično-

geometrična sredina števil p in q. Zapišemo jo lahko kot limiti: M(p,q) =

limpn = limqn. Število M(p,q) se s p in q ne izraža preprosto, ampak s

popolnim eliptičnim integralom prve vrste.

Najprej definirajmo za pozitivni števili p in q, pri čemer je p < q, inte-

gral

I(p,q) =∫ π/2

0

dx√p2 sin2x+ q2 cos2x

. (16)

55

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) je dokazal (glej na primer [2, 8]), da je

I(p,q) = I(p1,q1) = I(p2,q2) = . . . ,

kjer sta uporabljeni zaporedji (15). Ker pa za x ∈ [0,π/2] velja ocena

pn ≤√p2n sin2x+ q2

n cos2x ≤ qn,

veljata tudi oceni

1qn≤ 1√

p2n sin2x+ q2

n cos2x≤ 1pn

inπ

2qn≤

∫ π/2

0

dx√p2n sin2x+ q2

n cos2x≤ π

2pn.

V limiti, ko n→∞, dobimo

π2M(p,q)

≤ limn→∞

I(pn,qn) ≤ π2M(p,q)

,

kar pomeni, da smo izračunali

I(p,q) =∫ π/2

0

dx√p2 sin2x+ q2 cos2x

=π

M(2p,2q).

Radikand v integralu I(p,q) transformirajmo:

p2 sin2x+ q2 cos2x = q2 − (q2 − p2)sin2x = q2(1− k2 sin2x),

kjer je

k2 =q2 − p2

q2 = 1−p2

q2 .

Očitno je 0 < k < 1 in zato lahko zapišemo:

I(p,q) =1q

∫ π/2

0

dx√

1− k2 sin2x=

1q

K(k), k =

√q2 − p2

q.

56

Za poljuben k, za katerega je 0 < k < 1, lahko pišemo

K(k) =∫ π/2

0

dx√(1− k2)sin2x+ cos2x

= I(√

1− k2,1).

Za k = 1/√

2 je potem

K(1/√

2) = I(1/√

2,1) =π

M(2/√

2,2)=

π

M(√

2,2).

Potemtakem lahko izrazimo

$ =√

2K(1/√

2) =

√2π

M(√

2,2)=

π

M(1,√

2).

S tem smo našli razmerjeπ$

=M(1,√

2).

Do tega rezultata je prišel Gauß leta 1799.

Aritmetično-geometrično sredino M(p,q) lahko hitro izračunamo po-

ljubno natančno, če le vzamemo dovolj dober približek števila π. Ker ve-

ljata formuli

K(1/√

2) =π

M(√

2,2), $ =

π

M(1,√

2),

imamo hitro tudi približka

K(1/√

2) = 1,85407467730137191843, $ = 2,62205755429211981046.

Zakaj smo se pravzaprav toliko pomudili pri dolžini lemniskate? Zato,

ker je to eden prvih primerov v zgodovini matematike, kjer se srečamo z

neelementarnimi funkcijami – eliptičnimi integrali. Že omenjeni Fagnano

je iskal poti, kako bi lemniskato v prvem kvadrantu razdelil na dolžinsko

enake dele. Pri tem je odkril, da se nekatere delitve da opraviti z ravnilom

in šestilom, tako kot pri krožnici. Iz vsega se je razvila cela teorija elip-

tičnih integralov in eliptičnih funkcij. Več o tem na primer v [2].

57

Kot primer, kakšne ideje so vzniknile pri deljenju loka lemniskate na

dolžinsko enake dele, si oglejmo delitev njenega loka v prvem kvadrantu

na enako dolga dela. Nekdo, verjetno kar Fagnano, se je spomnil, da bo

parametriziral lemniskato % = a√

cos2ϕ z uvedbo parametra t = cos2ϕ,

pri čemer je 0 ≤ t ≤ 1. Potem je % = a√t. Iz t = cos2ϕ = 1 − 2sin2ϕ =

2cos2ϕ−1 dobimo cosϕ =√

(1 + t)/2 in sinϕ =√

(1− t)/2. Ker je x = %cosϕ

in y = % sinϕ, imamo še naslednjo parametrizacijo lemniskate:

x =a√

2

√t + t2, y =

a√

2

√t − t2. (17)

Parametru t = 0 ustreza središčeO, parametru t = 1 pa teme A lemniskate.

Za dolžino njenega loka s(0,u), ki ustreza parametru na intervalu [0,u],

dobimo izraz

s(0,u) =a2

∫ u

0

dt√t − t3

,

za dolžino loka s(u,1), ki ustreza parametru na intervalu [u,1] pa izraz

s(u,1) =a2

∫ 1

u

dt√t − t3

.

Najti je treba tak u med 0 in 1, da bo s(0,u) = s(u,1). Genialna ideja je

sedaj ta, da uvedemo v drugi integral novo integracijsko spremenljivko

τ = (1 − t)/(1 + t) oziroma t = (1 − τ)/(1 + τ). Proti vsem pričakovanjem

dobimo pod integralskim znakom enak izraz:

s(u,1) = −a2

∫ 0

(1−u)/(1+u)

dτ√τ − τ3

=a2

∫ (1−u)/(1+u)

0

dτ√τ − τ3

= s(0, (1−u)/(1+u)).

Delitev na dva enaka dela dobimo, če je izpolnjen pogoj

s(0,u) = s(0, (1−u)/(1 +u)),

kar pomeni, da je u rešitev enačbe

u =1−u1 +u

.

58

Preprost račun pove, da je u =√

2−1. S tem smo dobili tudi koordinati xDin yD točke D, ki lok lemniskate v prvem kvadrantu deli na dva dolžinsko

enaka dela:

xD = a

√2−√

22

, yD = a

√3√

2− 42

.

Ustrezni polarni kot je ϕD = arccos(1/ 4√

2), polarni radij pa %D = a√√

2− 1.

Vidimo, da se točko D da konstruirati z ravnilom in šestilom.

Slika 36. Razpolovitev loka lemniskate v prvem kvadrantu.

Še bolj prebrisana je ideja, najbrž spet Fagnanova, kako lok lemniskate

v prvem kvadrantu razdeliti na tri dolžinsko enake dele. Najprej v para-

metrizaciji (17) naredimo zamenjavo t 7→ t2, ki ohranja meji 0 in 1:

x =a√

2

√t2 + t4, y =

a√

2

√t2 − t4. (18)

V tej parametrizaciji je polarni kot točke, ki ji pripada parameter t, enak

arccos(t2)/2, polarni radij pa at. Za dolžino loka s(0,u), ki ustreza parametru

na intervalu [0,u], dobimo izraz

s(0,u) = a∫ u

0

dt√

1− t4.

59

Če uvedemo v integral novo integracijsko spremenljivko τ z relacijo τ2 =

(1− t2)/(1 + t2) oziroma t2 = (1− τ2)/(1 + τ2), dobimo

s(0,u) = a∫ u

0

dt√

1− t4= a

∫ 1

√(1−u2)/(1+u2)

dτ√

1− τ4= s(

√(1−u2)/(1 +u2),1).

V zadnji integral uvedemo novo integracijsko spremenljivko σ z relacijo

τ = (1− σ2)/(1 + σ2) oziroma σ2 = (1− τ)/(1 + τ):

s(√

(1−u2)/(1 +u2),1) = a∫ 1

√(1−u2)/(1+u2)

dτ√

1− τ4= a√

2∫ √1−

√1−u4/u

0

dσ√

1 + σ4.

V zadnji integral vpeljimo novo integracijsko spremenljivko λ z relacijo

σ = λ√

2/√

1−λ4. Dobimo

a√

2∫ √1−

√1−u4/u

0

dσ√

1 + σ4= 2a

∫ µ

0

dλ√

1−λ4= 2a

∫ 1

√(1−µ2)/(1+µ2)

dν√

1− ν4.

Pri tem je µ tista rešitev enačbe

2µ2

1−µ4 =1−√

1−u4

u2 , (19)

ki leži med 0 in 1. Velja torej relacija:

s(0,u) = s(√

(1−u2)/(1 +u2),1) = 2s(0,µ) = 2s(√

(1−µ2)/(1 +µ2),1).

Če postavimo s(u,1) = s(√

(1−µ2)/(1 +µ2),1), potem bo s(0,1) = s(0,u) +

s(u,1) = 2s(0,µ) + s(√

(1−µ2)/(1 +µ2),1) = 3s(0,µ). To pomeni: s(0,µ) =

s(0,1)/2, s(0,u) = 2s(0,1)/3 in s(u,1) = s(0,1)/3. To pa se pravi, da smo

našli delitev loka na tri enake dele. Kdaj se to zgodi? Iz zahteve s(u,1) =

s(√

(1−µ2)/(1 +µ2),1) dobimo enačbo

u =

√1−µ2

1 +µ2 . (20)

60

Če iz (19) in (20) izločimo µ, dobimo enačbo

u8 + 6u4 − 3 = 0,

ki ima za edino smiselno rešitev parameter u = 4√

2√

3− 3. Nato izraču-

namo še parameter µ = (1 +√

3 −√

2√

3)/2. Parametrizacija (18) omogoča

določitev polarnih koordinat točk M in U , ki lemniskato v prvem kvad-

rantu delijo na tri dolžinsko enake dele. Prvo določa parameter µ, drugo

pa u (slika 37). Ustrezna polarna kota sta ϕM = arccos(µ2)/2 in ϕU =

arccos(u2)/2, polarna radija pa %M = aµ in %U = au.

Slika 37. Tretjinjenje loka lemniskate v prvem kvadrantu.

Iz izrazov za µ in u ter parametrizacije (18) se vidi, da se da točki M in

U načrtati z ravnilom in šestilom. Vse koordinate namreč lahko algebrsko

izrazimo s samimi kvadratnimi koreni.

Fagnano je znal isti lok lemniskate razdeliti tudi na pet enakih delov.

Vse delitvene točke se tudi tedaj izražajo algebrsko s samimi kvadratnimi

koreni. Dokazali so, da pa na n enakih delov z ravnilom in šestilom lahko

omenjeni lok razdelimo natanko takrat, ko samo z ravnilom in šestilom

lahko načrtamo pravilni n-kotnik, to je natanko takrat, ko je n produkt

potence števila 2 z nenegativnim celim eksponentom in različnih Ferma-

tovih praštevil. Fermatova števila so Fn = 22n+1, kjer je n nenegativno celo

61

število. Najmanjša Fermatova praštevila so 3,5,17,257,65537. Ni znano,

če je še kakšno večje. Fermatovo število F5 = 4294967297 = 641 · 6700417

ni praštevilo.

8 Lemniskata v kinematiki

Obravnavali bomo primer iz kinematike točkastega telesa v homogenem

gravitacijskem polju (rešena naloga v [1]). Točkasto telo se giblje brez

začetne hitrosti po negibni krivulji v navpični ravnini iz točke O na tej

krivulji. Poiskati je treba tako krivuljo, da telo doseže vsako točko T na

njej v enakem času kot bi jo dosegla, če bi se gibala po tetivi od O do T .

Slika 38. Lemniskata v kinematiki.

Krivuljo bomo poiskali v polarni obliki. Polarni koordinati ϕ in % sta

označeni na sliki 38. Uporabili bomo zakon o ohranitvi mehanske en-

ergije. Ob času t ima telo, ki ni se gibalo po premici koordinato x enako

%cosϕ. V času t = 0 je to telo na višini h, merjeno od neke začetne višine.

Tedaj ima potencialno energijo mgh, kinetične energije pa nima. V času t

62

ima potencialno energijomg(h−%cosϕ), hitrost v = % in kinetično energijo

mv2/2 =m%2/2. Zakon o ohranitvi mehanske energije je potem

12m%2 +mg(h− %cosϕ) =mgh.

Po poenostavitvi dobimo

%2 = 2g%cosϕ.

Kot ϕ se v tej enačbi ne spreminja. Iz enačbe dobimo

d%

2√%

=

√g cosϕ

2dt.

Z integracijo izpeljemo najprej

√% =

√g cosϕ

2t

in nazadnje

t =

√2g·√

%

cosϕ. (21)

Če se isto telo giblje po krivulji, ima hitrost

v =dsdt

=√%2 + %′2

dϕ

dt.

Pri tem pomeni %′ = d%/dϕ. Zakon o ohranitvi mehanske energije pa nam

da enačbo

(%2 + %2)dϕ2

dt2= 2g%cosϕ. (22)

Z odvajanjem (21) po času t dobimo

1 =

√2g· 1

2·√

cosϕ%·%cosϕ + %ϕ sinϕ

cos2ϕ,

kar prepišemo v obliko √2g%cosϕ = %+ %ϕ tanϕ.

63

Vstavimo v (22):

(%2 + %′2)ϕ2 = (%+ %ϕ tanϕ)2.

Nekoliko transformiramo levo stran, desno pa kvadriramo kot binom:

%2ϕ2 + %2 = %2 + 2%%ϕ tanϕ + %2ϕ2 tan2ϕ.

Krajšamo z %ϕ, kar ni 0, sicer bi imeli % = 0 ali pa bi bil ϕ konstanten, kar

nima smisla. Dobimo diferencialno enačbo

2% = %(cotϕ − tanϕ)ϕ.

Ločimo spremenljivki:

2d%

%= (cotϕ − tanϕ)dϕ.

Integriramo:

2ln% = lnsinϕ + lncosϕ + ln2C.

Antilogaritmiramo:

%2 = 2C sinϕ cosϕ = C sin2ϕ.

Iskana krivulja je torej Bernoullijeva lemniskata, ki ima gorišči na premici

y = x v koordinatnem sistemuOxy (slika 38). Prvi je to lastnost lemniskate

dokazal Lorenzo Mascheroni (1750–1800).

9 Lemniskata kot nožiščna krivulja

V splošnem je nožiščna krivulja ali pedalna krivulja dane krivulje glede

na pol P množica nožišč točke P na vseh tangentah dane krivulje. Kot

poseben primer si oglejmo nožiščno krivuljo enakoosne hiperbole, ki ima

enačbo x2 − y2 = a2, glede na njeno središče O.

64

Slika 39. Lemniskata kot nožiščna krivulja hiperbole.

Vzemimo na hiperboli poljubno točko T (ξ,η) in v njej postavimo tan-

gento t na hiperbolo. Seveda je ξ2−η2 = a2. Enačba tangente je ξx−ηy = a2,

enačba pravokotnice p nanjo skoziO pa ηx+ξy = 0. Premici t in p se sekata

v točki N , ki ima koordinati

x =a2ξ

ξ2 + η2 , y = −a2η

ξ2 + η2 . (23)

To sta koordinati nožišča N točke O na tangenti t hiperbole. Kratek račun

pokaže, da koordinati nožišča N zadoščata enačbi (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2),

kar pomeni, da je lemniskata res nožiščna krivulja hiperbole glede na O.

Iz oblike (23) razberemo, da bi do istega rezultata prišli tudi, če bi

točko T (ξ,η) najprej zrcalili na krožnici x2 + y2 = a2, nato pa še na osi x.

V tesni zvezi z nožiščno krivuljo je podoida dane krivulje glede na

pol P . To je množica zrcalnih slik P ∗ točke P na vseh tangentah dane

krivulje. Podoida je dvakratni razteg ustrezne nožiščne krivulje glede na

pol P . Podoida hiperbole x2 − y2 = a2 glede na O je lemniskata (x2 + y2)2 =

4a2(x2−y2). Hiperbola ima gorišči F1(−a√

2,0) in F2(a√

2,0), njena podoida

65

Slika 40. Lemniskata kot podoida hiperbole.

glede na O pa tudi F1 in F2, ker sta njeni temeni A′(2a,0) in B′(−2a,0) in

zato gorišči v točkah (±2a/√

2,0), to je v točkah (±a√

2,0). To omogoča

kinematično konstrukcijo točk lemniskate s tako imenovanim antiparale-

logramom (slika 41). Antiparalelogram si predstavljamo kot unijo štirih

daljic, od katerih sta dve enako dolgi, prav tako preostali dve, ki pa sta

daljši of prvih dveh. Daljice niso sestavljene v paralelogram, ampak tako,

da se daljši dve sekata. Skozi njuno presečišče poteka simetrala antipara-

lelograma. Vsak antiparalelogram lahko z dvema daljicama dopolnimo v

enakokrak trapez.

Tak antiparalelogram je na sliki 41. Dodan je hiperboli in njeni podoidi

glede na središče hiperbole. Stranica F1F2 je učvrščena in dolga 2a√

2, prav

tako stranica CD. Stranici F1D in F2C pa sta dolgi 2a. Podaljška slednjih

stranic se sekata v točki T . Pri tem je razlika med |F2C| in |F2C| enaka

2a, kar po definiciji hiperbole pomeni, da je T na le-tej. Simetrala s kota

med T F1 in T F2 je po znani lastnosti hiperbole tangenta na hiperbolo v

točki T . Hkrati je s tudi simetrala antiparalelograma. Zrcalna slika M

66

točke O, ki razpolavlja daljico F1F2, na tangenti s razpolavlja daljico CD

antiparalelograma. Torej jeM na podoidi hiperbole glede naO, to se pravi

na lemniskati.

Opisana lastnost antiparalelograma se da uporabiti pri konstrukciji

preproste mehanske naprave, s katero lahko narišemo lemniskato (slika

42). Naprava je sestavljena iz večje deske, nekaj letvic in vijakov. Gorišči

sta učvrščeni na deski. Od naše ročne spretnosti in znanja izdelovalca

naprave je najbolj odvisno, kako natančno bo naprava risala lemniskato.

Slika 41. Lemniskata in antiparalelogram.

Vzemimo poljuben trikotnik ABC (slika 43) s stranicami a,b,c. Načr-

tamo simetralo sγ = |CD | kota γ . Označimo a1 = |BD | in b1 = |AD |. Trdimo,

67

Slika 42. Mehanska konstrukcija antiparalelograma.

da velja relacija

ab = a1b1 + s2γ . (24)

Zagotovo velja (24) v primeru a = b. Tedaj je namreč a1 = b1 in sγ je

višina na AB, iz česar sledi po Pitagorovem izreku

a1b1 + s2γ = a21 + s2γ = a2 = ab.

Vzemimo, da je a , b. Po kosinusnem izreku veljata enačbi

a21 = a2 + s2γ − 2asγ cos

γ

2,

68

Slika 43. Neka lastnost trikotnika.

b21 = b2 + s2γ − 2bsγ cos

γ

2.

Kota γ se zlahka znebimo, če prvo enačbo pomnožimo na obeh straneh z

b, drugo pa z a, nato pa rezultata odštejemo:

a21b − b

21a = ab(a− b)− (a− b)s2γ .

Sedaj upoštevamo dobro znani izrek, ki pove, da simetrala kota γ deli

stranico c v razmerju a/b, torej a1/b1 = a/b oziroma a1b = ab1. Zato lahko

zapišemo

a21b − b

21a = a1b1

(a1bb1− b1aa1

)= a1b1

(ab1

b1− a1ba1

)= a1b1(a− b).

Potemtakem velja

a1b1(a− b) = ab(a− b)− (a− b)s2γ

in po krajšanju z a− b , 0 še

a1b1 = ab − s2γ ,

69

kar z lahkoto preuredimo v (24).

Formulo (24) lahko s pridom uporabimo za dokaz naslednje trditve v

zvezi z lemniskato. Simetrala kota med radijema točke T < {A,B,O} lem-

niskate preseka njeno glavno simetralo v točki C tako, da velja |OC| = |CT |(slika 44). Zato je trikotnik OTC enakokrak.

Po formuli (24) in po definiciji lemniskate velja

c2 = |F1T | · |F2T | = |F1C| · |F2C|+ |CT |2 = (c+ |OC|)(c − |OC|) + |CT |2

= c2 − |OC|2 + |CT |2.

Po krajšanju enačbe s c2 dobimo |OC| = |CT |.V primeru T ∈ {A,B,O} točka C ni definirana.

Slika 44. Neka lastnost simetrale med radijema lemniskate.

10 Ukrivljenost in krivinski radij

Ukrivljenost κ ravninske krivulje v njeni točki je število, ki pove, kako

hitro se v tej točki vzdolž loka te krivulje spreminja smer njene tangente.

70

Obratna vrednost absolutne vrednosti ukrivljenosti v točki pa je krivinski

radij v tej točki. Označimo ga z R. Torej R = 1/ |κ|. Krožnica s polmerom R

se v točki, v kateri je izračunan, dobro prilega s krivuljo, če jo obnjo pritis-

nemo tako, da imata skupno točko in tangento. Skupno imata tudi ukriv-

ljenost, ker je ukrivljenost krožnice s polmerom R ravno 1/R. Krožnica

ima središče S na konkavni strani krivulje na njeni normali v dani točki.

Opisano krožnico imenujemo pritisnjena ali krivinska krožnica.

Za ukrivljenost krivulje, ki je dana v polarni obliki, je

κ =%2 + 2%′2 − %%′′

(%2 + %′2)3/2.

Za Bernoullijevo lemniskato % = a√

cos2ϕ je rezultat preprost:

κ =3√

cos2ϕa

=3%a2 , R =

a2

3%.

Menda je ta rezultat razlog, da so pri gradnji železniških in tramvajskih

prog prehode iz levega v desni ovinek ali obratno sledili obnašanju lem-

niskate v njenem središčuO. Krivinski radijR se, kot smo spoznali, zvezno

spreminja z %, ki je majhen v okolici O in je zato sredobežna sila na vagon

pri hitrosti v sorazmerna z v2/R oziroma z v2%.

Produkt krivinskega in polarnega radija je pri lemniskati v vsaki točki

konstanten, enak je kvadratu polmera r enakostraničnemu trikotniku s

stranico a očrtanega kroga. Ta polmer je r = a√

3/3, njegov kvadrat pa

r2 = a2/3, tako da je res R% = r2. Več zanimivosti te vrste najdemo v [3].

Pri krivulji, ki je dana v polarnih koordinatah, vpeljemo tako imeno-

vane polarne dotikalne elemente.

V točki P krivulje postavimo tangento in normalo, na radij % = |OP | pa

v polu O pravokotnico, ki seka tangento v točki PT , normalo pa v točki

PN . Odsek tangente T = |P PT | imenujemo polarni odsek tangente, odsek

normale N = |P PN | pa imenujemo polarni odsek normale. Polarna sub-

tangenta je Ts = |OPT |, polarna subnormala pa je Ns = |OPN |. Kot µ med

71

Slika 45. Polarni dotikalni elementi.

daljicama P PT in PO je določen z relacijo tanµ = %/%′. Nezahteven račun

pokaže, da veljajo formule:

T =%

|%′ |

√%2 + %′2, N =

√%2 + %′2, Ts =

%2

|%′ |, Ns = |%′ |.

Za Bernoullijevo lemniskato % = a√

cos2ϕ je N = a2/%, kar pomeni, da

je radij pritisnjene krožniceR =N/3. Pravokotnica na polarni radij točke P

skozi središče lemniskate preseka normalo v točki, ki je za 3R oddaljena od

P (slika 46). Preprost rezultat omogoča konstrukcijo pritisnjene krožnice

lemniskate v dani točki, če prej v njej konstruiramo normalo, na primer po

opisu na strani 20. V temenih lemniskate so izrazi preprosti: % = a,N = a

in R = a/3.

Množica vseh središč pritisnjenih krožnic na krivuljo sestavlja evoluto

te krivulje. Evoluta Bernoullijeve lemniskate je dvodelna krivulja z os-

tema v točkah C(2a/3,0) in D(−2a/3,0) in asimptotama y = x in y = −x. Če

je krivulja podana v polarnih koordinatah, sta pravokotni koordinati xS in

72

Slika 46. Pritisnjena krožnica lemniskate.

ys središča S pritisnjene krožnice:

xS = %cosϕ −(%2 + %′2)(%cosϕ + %′ sinϕ)

%2 + 2%′2 − %%′′,

yS = % sinϕ −(%2 + %′2)(% sinϕ − %′ cosϕ)

%2 + 2%′2 − %%′′.

Za Bernoullijevo lemniskato % = a√

cos2ϕ dobimo razmeroma preprost

rezultat:

xS =2a2

3·

cos3ϕ

%, yS =

2a2

3·

sin3ϕ

%.

Parametrizaciji sta nekoliko nerodni zaradi izražanja s trigonometrič-

nimi funkcijami. Toda kasneje bomo spoznali še drug pristop do evolute

in našli racionalno parametrizacijo evolute Bernoullijeve lemniskate.

73

Slika 47. Evoluta lemniskate

11 Še o tangentah

Spoznali smo že, kako se konstruirata normala in tangenta na lemniskato

z enačbo (x2 +y2)2 = a2(x2−y2) oziroma %2 = a2 cos2ϕ v dani točki in našli

povezavo s tretjinjenjem kota. Sedaj pa si oglejmo še nekoliko drugače

problem, kako določiti tangente lemniskate, ki imajo predpisano smer,

tangente, ki so vzporedne premici y = kx (glej [6]). Tangenti, ki sta vz-

poredni premici x = 0, sta le dve: x = ±a. Ti dve izločimo. Če enačbo

lemniskate odvajamo in rezultat okrajšamo, dobimo

2(x2 + y2)(x+ yy′) = a2(x − yy′).

Vstavimo y′ = k, kar je strmina dane premice, uporabimo polarne koordi-

nate in izrazimo k:

k =cosϕ(1− 2cos2ϕ)sinϕ(1 + 2cos2ϕ)

= −cos3ϕsin3ϕ

= −cot3ϕ.

74

Če je k = −cotψ, potem je treba poiskati vse rešitve enačbe cot3ϕ = cotψ.

Te so ϕj = ψ/3 + jπ/3, kjer je j celo število in za katere je |ϕj | ≤ π/4 ali

3π/4 ≤ ϕj ≤ 5π/4.

Za k = −√

3/3 je α = π/3 in polarni koti, ki pridejo v poštev, so

− 2π9,π9,

7π9,

10π9.

Določajo točke na lemniskate. Po dve in dve točki ležita simetrično glede

na središče O lemniskate (slika 48): T1 in T ′1 ter T2 in T ′2.

Slika 48. Vzporedne tangente za k = −√

3/3.

S parametrizacijo (12) pridemo tudi do enačbe sekante skozi različni

točki (α) in (β) na lemniskati (glej [6]). Oznaka (t) pomeni točko (x(t), y(t)).

Enačba je na začetku videti preprosta:

(x − x(α))(y(β)− y(α)) = (y − y(α))(x(β)− x(α)).

Ko pa vstavimo izraze za x(α),x(β), y(α), y(β), postane zapletena:(x − aα

3 +αα4 + 1

)(β3 − ββ4 + 1

− α3 −αα4 + 1

)=

(y − aα

3 −αα4 + 1

)(β3 + ββ4 + 1

− α3 +αα4 + 1

).

75

Po odpravi ulomkov, krajšanju z α −β , 0 in preureditvi dobimo nazadnje

kar spodobno enačbo:

(αβ+1)(α2β2 +1−(α+β)2)x−(αβ−1)(α2β2 +1+(α+β)2)y+2aαβ(α+β) = 0.

(25)

Če izberemo α = λ in naredimo limito β → λ, dobimo enačbo tangente v

točki (λ):

(1 +λ2)(λ4 − 4λ2 + 1)x+ (1−λ2)(λ4 + 4λ2 + 1)y + 4aλ3 = 0. (26)

V posebnih primerih λ = ±1 dobimo znana rezultata za tangenti v temenih

lemniskate: x = ±a. Prav tako pridemo do znanega rezultata y = −x za

λ = 0. Tangento y = x pa dobimo, če enačbo (26) najprej delimo z izrazom

(λ2 − 1)(λ4 + 4λ2 + 1), nato pa naredimo limitni proces λ→±∞.

Iz enačbe (26) lahko tudi poiščemo relacijo za točke (λ), v katerih ima

tangenta na lemniskato v naprej predpisan smerni koeficient k:

(λ2 + 1)(λ4 − 4λ2 + 1)(λ2 − 1)(λ4 + 4λ2 + 1)

= k.

Za k = 1 je treba vzeti λ = ±∞ in λ = ± 4√

27/3. Ustrezne točke imajo koor-

dinate

x = 0, y = 0; x = ± a4

( 4√

27 + 4√

3), y =a4

( 4√

27− 9 4√

3).

Za k = −1 je treba vzeti λ = 0 in λ = ± 4√

3. Ustrezne točke imajo koordinate

x = 0, y = 0; x = ± a4

( 4√

27 + 4√

3), y =a4

( 4√

3− 4√

27).

Tangenti za λ = 4√

3 in λ = 4√

27/3 se sekata v točki E(a 4√

27/2,0), za

λ = − 4√

3 in λ = − 4√

27/3 pa v točki F(−a 4√

27/2,0). S tem smo Bernoul-

lijevo lemniskato včrtali v kvadrata, ki imata diagonalo d = a 4√

27/2 in

skupno ploščino S = d2 = 3a2√

3/4, kar je enako trikratni ploščini enakos-

traničnega trikotnika s stranico a oziroma polovici ploščine pravilnega

šestkotnika s stranico a (slika 49).

76

Slika 49. Vzporedne tangente za k = ±1.

Vzemimo spet parametrizacijo (12) in se vprašajmo, kdaj tri točke, ki

ustrezajo trem parametrom, ležijo na premici p. Poljubnemu parametru t

naj ustreza točka (x(t), y(t)), za katero bomo po dogovoru uporabljali oz-

nako (t). Naj bo premica p podana v implicitni obliki αx + βy + γ = 0.

Primer γ = 0 ni zanimiv, ker tedaj premica poteka skozi središče O in pre-

ostali dve točki sta si simetrični glede naO. Naj bo torej γ , 0 in α2+β2 > 0.

Vstavimo izraza za x in y iz (12):

αat3 + tt4 + 1

+ βat3 − tt4 + 1

+γ = 0.

Odpravimo ulomke in preuredimo v polinom spremenljivke t:

γt4 + a(α + β)t3 + a(α − β)t +γ = 0.

Po Viètovih pravilih veljajo za korene t1, t2, t3, t4 zgornje enačbe relacije:

t1 + t2 + t3 + t4 = −a(α + β)γ

, t1t2 + t2t3 + t3t4 + t1t3 + t1t4 + t2t4 = 0,

77

t1t2t3 + t1t2t4 + t1t3t4 + t2t3t4 = −a(α − β)γ

, t1t2t3t4 = 1.

Noben od korenov ni enak 0. Pomembni sta druga in četrta relacija, ker sta

neodvisni od koeficientov. Z uporabo četrte relacije izločimo t4 in dobimo:

t1 + t2 + t3 + t1t2t3(t1t2 + t2t3 + t3t1) = 0. (27)

To je iskani pogoj za kolinearnost točk (t1), (t2), (t3).

Če v (27) vstavimo t1 = λ, t2 = ξ in t3 = η, dobimo pogoj kolinearnosti

točk (λ), (ξ), (η) na lemniskati. Ležijo na neki sekanti lemniskate. Če η→ ξ

pri fiksnem λ, dobimo iz (27) enačbo tangente skozi (λ) na lemniskato z

dotikališčem v točki (ξ):

λ+ 2ξ +λξ3(ξ + 2λ) = 0. (28)

Krivulja, ki ima enačbo (28), ima v pravokotnem kartezičnem koordinat-

nem sistemu Oξλ obliko, ki jo kaže slika 50. Krivulja je algebrska pete

stopnje in je simetrična glede na koordinatno izhodišče. Ima vodoravno

asimptoto λ = 0 in poševno asimptoto λ = −ξ/2. Dobimo ju tako, da v

(28) vstavimo λ = kξ + n, izenačimo z 0 koeficienta pri ξ5 in ξ4 in rešimo

dobljeni sistem na k in n. Če ima sistem rešitev (lahko tudi več), je asimp-

tota premica z enačbo λ = kξ + n. Ekstremne točke A,B,C,D glede na

ξ na krivulji dobimo na običajni načun z odvajanjem po λ in izenačitvi

dξ/dλ = 0:

A(4√

7 + 4√

3,− (√

6−√

2)/2), B(−4√

7 + 4√

3, (√

6−√

2)/2),

C(4√

7− 4√

3,− (√

6 +√

2)/2), D(−4√

7− 4√

3, (√

6 +√

2)/2).

Za vsak λ , 0 ima enačba (28) dve realni rešitvi, ξ1 in ξ2, ter dve konjugi-

rano kompleksni, ξ3 in ξ4. Za rešitve veljajo Viètove formule:

ξ1 + ξ2 + ξ3 + ξ4 = −2λ, ξ1ξ2 + ξ2ξ3 + ξ3ξ4 + ξ1ξ3 + ξ1ξ4 + ξ2ξ4 = 0,

78

Slika 50. Krivulja (28).

ξ1ξ2ξ3 + ξ1ξ2ξ4 + ξ1ξ3ξ4 + ξ2ξ3ξ4 = − 2λ, ξ1ξ2ξ3ξ4 = 1.

Iz njih spet sledi podobna relacija kot (27)

ξ1 + ξ2 + ξ3 + ξ1ξ2ξ3(ξ1ξ2 + ξ2ξ3 + ξ3ξ1) = 0. (29)

Premica skozi dotikališči (ξ1) (ξ2) je po (25)

(1 + ξ1ξ2)(ξ21ξ

22 + 1− (ξ1 + ξ2)2)

2ξ1ξ2(ξ1 + ξ2)x+

(1− ξ1ξ2)(ξ21ξ

22 + 1 + (ξ1 + ξ2)2)

2ξ1ξ2(ξ1 + ξ2)y +a = 0.

(30)

Z izločitvijo ξ1 in ξ2 na podlagi Viétovih formul dobimo enačbo sekante

(glej [6])

(λ2 + 1)x+ (λ2 − 1)y + aλ = 0. (31)

Seveda je lahko reči, da z izločitvijo ξ1 in ξ2 dobimo enačbo (31), teže

pa je to trditev dokazati. Da bo zgodba popolna, trditev vendarle dokažimo.

79

V ta namen vpeljimo okrajšavi

p = ξ1 + ξ2, q = ξ1ξ2.

Dokazati moramo:

(1 + q)(1 + q2 − p2)2pq

= λ+1λ,

(1− q)(1 + q2 + p2)2pq

= λ− 1λ.

S tem bosta enačbi (30) in (31) identični. Koeficient pred x označimo z X,

tistega pred y pa z Y . Enačbo (31) si mislimo zapisano v obliki(λ+

1λ

)x+

(λ− 1

λ

)y + a = 0.

Z uvedenima p in q dobijo Viétove formule enačbe (28) obliko:

p+ ξ3 + ξ4 = −2λ, q+ p(ξ3 + ξ4) +1q

= 0, q(ξ3 + ξ4) +p

q= − 2

λ, qξ3ξ4 = 1.

Iz prve in druge Viétove formule izločimo ξ3 + ξ4 in dobimo

λ =1 + q2 − p2q

2pq. (32)

Iz prve in tretje Viétove formule dobimo

2λ

= −q(ξ3 + ξ4)−p

q= q(2λ+ p)−

p

q.

Upoštevamo (32) in dobimo

1λ

=q+ q3 − p2

2pq. (33)

Izračunajmo

X +Y =1 + q2 − p2q

pq= 2λ, X −Y =

q+ q3 − p2

pq=

2λ.

Iz obeh izrazov sledita iskani formuli:

X = λ+1λ, Y = λ− 1

λ.

80

S tem smo dokazali pravilnost enačbe premice (31).

Premica, ki je pravokotna na radij od O do točke (λ) v njegovem raz-

polovišču, ima enačbo:

y − a(λ3 −λ)

2(λ4 + 1)= − λ

2 + 1λ2 − 1

(x − a(λ

3 +λ)2(λ4 + 1)

).

Enačbo poenostavimo z odpravo ulomkov in krajšanjem. Dobimo pre-

prosto obliko:

(λ2 + 1)x+ (λ2 − 1)y − aλ = 0.

Premica, ki je njena zrcalna slika prek točke O, pa ima ravno enačbo (31).

Presečišči le-te z lemniskato sta dotikališči tangent iz točke (λ). Opisana

lastnost omogoča enostavno konstrukcijo tangent na lemniskato iz kakšne

njene točke (slika 51).

Slika 51. Tangenti na lemniskato iz njene točke.

Enačbo tangente na lemniskato v točki (λ) dobimo, kot smo že videli, z

relacijo (26).

Kot zanimivost dokažimo še relacijo(q+

1q

)3

= 4(λ2 +

1λ2

).

81

Izpeljemo jo iz že uporabljenih relacij

p+ ξ3 + ξ4 = −2λ, q+ p(ξ3 + ξ4) +1q

= 0,

iz katerih izločimo ξ3 + ξ4, nato pa izrazimo

p =2q(1−λ2q)λ(q2 − 1)

.

Vstavimo dobljeni izraz za p v (32), odpravimo ulomke in dobimo:

λ2q6 + 3λ2q4 − 4(λ4 + 1)q3 + 3λ2q2 +λ2 = 0.

To je simetrična enačba za q. Obe strani delimo s q3 in preuredimo člene:(q3 +

1q3

)λ2 + 3λ2

(q+

1q

)− 4(λ4 + 1) = 0.

V enačbo vpeljeno z = q+ 1/q, z3 = q3 + 1/q2 + 3(q+ 1/q) = q3 + 1/q2 + 3z:

λ2z3 = 4(λ4 + 1).

S tem smo dobili

z3 =(q+

1q

)3

= 4(λ2 +

1λ2

),

kar je bilo treba dokazati.

Enačba normale na lemniskato v točki, ki ustreza parametru λ v para-

metrizaciji (12), se glasi

(λ2 − 1)(λ4 + 4λ2 + 1)x+ (λ2 + 1)(λ4 − 4λ2 + 1)y − 2aλ(λ4 − 1) = 0. (34)

Lotimo se še tangent lemniskate %2 = a2 cos2ϕ iz njenih gorišč. Zaradi

simetrije je vseeno, katerega, vzemimo na primer levo gorišče F1(−a/√

2,0).

Izračunali bomo koordinati dotikališč. Razmeroma enostavno poteka iska-

nje le-teh, če lemniskato zrcalimo na krožnici x2 + y2 = a2. Vemo, da iz

82

lemniskate dobimo hiperbolo x2 − y2 = a2, ki ima gorišči G1(−a√

2,0) in

G2(a√

2,0). Tangenti na lemniskato se prezrcalita v krožnici, ki potekata

skozi G1 in O ter se dotika hiperbole v točkah T ∗1 in T ∗2 . Ne pozabimo: G1

in F1 ter G2 in F2 so si zrcalne točke na krožnici x2 + y2 = a2. Če nam uspe

najti dotikališči T ∗1 in T ∗2 , smo s tem našli tudi dotikališči T1 in T2 tangent

skozi F1 na lemniskato.

Slika 52. Tangenti na lemniskato skozi njeno gorišče.

Enačba iskane krožnice ima obliko x2 + y2 + 2αx + 2βy = 0. Ker mora

potekati skozi G1, je 2α = a√

2. Krožnica x2 + y2 + a√

2x+ 2βy = 0 in hiper-

bola x2 − y2 = a2 se morata dotikati. Odvajajmo:

2x+ 2yy′ + a√

2 + 2βy′ = 0, x − yy′ = 0.

Iz enačb izločimo skupni y′ in pridemo do sistema enačb:

x2 + y2 + a√

2x+ 2βy = 0, 4xy + a√

2y + 2βx = 0.

Iz obeh izločimo β in dobimo enačbo

3xy2 + a√

2y2 − x3 − a√

2x2 = 0,

83

v kateri upoštevamo še, da je y2 = x2 − a2. S tem dobimo kubično enačbo

2x3 − 3a2x − a3√

2 = 0,

ki ima enostaven koren x1 = a√

2 in dvojni koren x2,3 = −a√

2/2. Ustrezno

najdemo y1 = ±a, medtem ko je y22,3 = −a2/2 < 0 in zato x2,3 ne prideta

v poštev. S tem smo našli točki T ∗1 (a√

2, a) in T ∗2 (a√

2,−a), s tem pa tudi

dotikališči na lemniskati: T1(a√

2/3, a/3) in T2(a√

2/3,−a/3). Koeficient 2β

dobimo iz enačbe krožnice iz podatka, da T1 in T2 ležita na njej. Za prvo

točko dobimo 2β = 5a, za drugo pa 2β = −5a. Iskani krožnici imata enačbi

x2 + y2 + a√

2x − 5ay = 0, x2 + y2 + a√

2x+ 5ay = 0.

Središči sta ustrezno v (−a√

2/2,5a/2) in (−a√

2/2,−5a/2), polmer obeh pa

je 3a√

3/2.

Točki T1,2 imata polarna kota ϕ = ±arcsin(√

3/3) in polarni radij % =

a√

3/3, kar je enako polmeru enakostraničnemu trikotniku s stranico a

očrtanega kroga. Točki se da konstruirati z ravnilom in šestilom.

V parametrizaciji (12) ustreza točkama T1,2 parameter t, ki ustreza

enačbi

at3 + tt4 + 1

=a√

23.

Realni rešitvi sta t1 =√

2 + 1 ta T1 in t2 = 1/t1 =√

2 − 1 za T2. V splošnem

je za naravno število n kovinsko razmerje σ (n) pozitivna rešitev enačbe

λ2 = nλ+ 1. Običajno imenujemo σ (1) = (1 +√

5)/2 zlato razmerje, σ (2) =

1 +√

2 srebrno razmerje in σ (3) = (3 +√

13)/2 bronasto razmerje. Srebrno

razmerje se pojavi tudi v izrazu za prostornino telesa, ki nastane z rotacijo

lemniskate okoli glavne simetrale.

V parametrizaciji (12) ležita točki, ki ustrezata parametroma t in 1/t,

simetrično glede na glavno simetralo lemniskate.

Z enačbo (26) smo zapisali tangento na lemniskato v dani točki, ki po

parametrizaciji (12) ustreza parametru λ. Oglejmo si še, kako do tangente

84

t v točki T lemniskate pridemo z zrcaljenjem na krožnici x2 + y2 = a2.

Enakoosna hiperbola x2 − y2 = a2 se prezrcali v lemniskato. Pri tem se

gorišči G1 in G2 hiperbole prezrcalita v gorišči F1 in F2 lemniskate (slika

53).

Slika 53. Konstrukcija tangente na lemniskato z zrcaljenjem na krožnici.

Naj bo T točka na lemniskati in T ∗ njena zrcalna slika glede na krožnico.

Iskana tangenta t v T na lemniskato se prezrcali v krožnico skozi O in se

dotika hiperbole v T ∗. Tangenta th na hiperbolo v T ∗ je kotna simetrala s

radijev G1T∗ in G2T

∗. Središče S tangentne krožnice je v presečišču pre-

mice s in simetrale daljice T ∗O. To krožnico znamo konstruirati. Njena

zrcalna slika na krožnici x2 +y2 = a2 je tangenta t na lemniskato v točki T .

Postavimo še vprašanje, kdaj se dve tangenti na Bernoullijevo lem-

niskato sekata pravokotno. V parametrizaciji (12) enačbi njenih tangent

v točkah (λ) in (µ) zapišemo z enačbo (26). Zahteva po pravokotnosti tan-

gent nam da relacijo

(1 +λ2)(1 +µ2)(λ4 − 4λ2 + 1)(µ4 − 4µ2 + 1)

+(1−λ2)(1−µ2)(λ4 + 4λ2 + 1)(µ4 + 4µ2 + 1) = 0,

85

ki jo poenostavimo v

(λ2µ2 + 1)(λ4µ4 + 8λ2µ2 − 3λ4 − 3µ4 + 1) = 0.

Prvi faktor v realnem ni enak 0, zato se pogoj pravokotnosti tangent na

lemniskato glasi:

λ4µ4 + 8λ2µ2 − 3λ4 − 3µ4 + 1 = 0. (35)

V grafični obliki ga ponazarja krivulja na sliki 35. Pri danem parametru λ

Slika 54. Grafično predstavljena relacija med λ in µ.

obstaja večparametrov µ, ki zadoščajo vsaj eni od relacij:

µ2 =λ2√

3 + 1√

3−λ2, µ2 =

λ2√

3− 1√

3 +λ2. (36)

Dobimo ju, če iz enačbe (35) pri danem λ izrazimo µ2. Možnosti so nasled-

nje.

a) Za |λ| < 1/ 4√

3 dobimo dve rešitvi za µ, in sicer rešitvi prve enačbe v (36).

b) Za |λ| = 1/ 4√

3 dobimo tri rešitve: µ = 0, µ = ± 4√

3.

c) Za 1/ 4√

3| < |λ| < 4√

3 dobimo štiri rešitvi za µ, in sicer rešitve obeh enačb

v (36) (slika 55).

d) Za |λ| = 4√

3 sta rešitvi µ = ±∞.

86

Slika 55. Na vzporedni tangenti pravokotne tangente.

e) Za |λ| > 4√

3 dobimo dve rešitvi za µ, in sicer rešitvi druge enačbe v (36).

Krivulja (35) v ravnini Oλµ je algebrska stopnje osem. Simetrična je

glede na obe koordinatni osi in glede na simetrale kvadrantov. Temena

ima v točkah (±1/ 4√

3,0) in (0,±1/ 4√

3), njene asimptote pa so premice x =

± 4√

3 in y = ± 4√

3.

Krivulja, v katerih se sekata med seboj pravokotni tangenti dane krivu-

lje, je njena ortooptična krivulja. Prvi del besede ortooptičen nam je znan,

drugi del pa izhaja iz grške ὄψις, kar pomeni vid, pogled, oko. Aristotel

uporablja besedo ὀπτική za znanost o vidnih stvareh.

Splošnejši pojem je izooptična krivulja dane krivilje. Tedaj se tangenti

sekata na izooptični krivulji pod danim kotom, ki je poljuben. Prvi del

izraza pride iz grške besede ἰ΄σος, kar pomeni enak, isti.

Najlaže je poiskati ortooptični krivulji elipse in hiperbole. Za bolj

zapletene krivulje pa je kar nekaj dela. Ortooptična krivulja logaritemske

spirale je tudi logaritemska spirala. Kar smo zapisali zgoraj, je morda

lahko uvod v ortooptično in izooptično krivuljo lemniskate.

87

12 Prevoji Cassinijevih ovalov

Enačba Cassinijevih ovalov (6) vsebuje pozitivna parametra c in k. Vzemi-

mo družino istogoriščnih Cassinijevih ovalov, pri katerih je c < k < c√

2.

Vsak tak oval ima štiri prevoje, v vsakem kvadrantu po enega. Zanima

nas krivulja, na kateri so prevoji.

Če enačbo (6) dvakrat odvajamo po x, dobimo najprej

(x2 + y2)(x+ yy′)− c2(x − yy′) = 0,

nato pa še

2(x+ yy′)2 + (x2 + y2)(1 + y′2 + yy′′)− c2(1− y′2 − yy′′) = 0.

Prva enačba nam da odvod:

y′ =x(c2 − x2 − y2)y(c2 + x2 + y2)

.

V prevojih je y′′ = 0, tako da nam od druge enačbe ostane:

2(x+ yy′)2 + (x2 + y2 − c2) + y′2(x2 + y2 + c2) = 0.

Vanjo vstavimo izraz za y′, odpravimo ulomke in dobimo:

((x+ c)2 + y2)((x − c)2 + y2)((x2 + y2)2 − c2(y2 − x2)) = 0.

Prva dva faktorja sta enaka 0 v goriščih ovala, kar ne pride v poštev, ker

gorišči nista na ovalu. Enak 0 pa je lahko drugi faktor:

(x2 + y2)2 − c2(y2 − x2) = 0.

Takoj spoznamo, da je to enačba Bernoullijeve lemniskate, ki ima gorišči

G1(0,−c/√

2) in G2(0, c/√

2) ter temeni (0,−c) in (0, c) na ordinatni osi (slika

56). V enačbi ne nastopa k, ki nastopa v enačbi ovalov.

88

Slika 56. Prevoji Cassinijevih ovalov na pokončni lemniskati.

Koordinate prevojev pri danem k in c dobimo, če rešimo sistem enačb

(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2) + k4 − c4,

(x2 + y2)2 = c2(y2 − x2).

Enačbi odštejemo, preuredimo in rezultat delimo s 3c2:

y2 − x2 =k4 − c4

3c2 .

Vstavimo v drugo enačbo, korenimo in dobimo:

y2 + x2 =

√k4 − c4

3.

Zadnji dve enačbi odštejemo in seštejemo:

2x2 =

√k4 − c4

3− k

4 − c4

3c2 , 2y2 =

√k4 − c4

3+k4 − c4

3c2 .

89

Prevoji Cassinijeveja ovala so torej točke± 1√

2

√√k4 − c4

3− k

4 − c4

3c2 , ± 1√

2

√√k4 − c4

3+k4 − c4

3c2

.Poudarimo: Cassinijevi ovali imajo prevoje samo pri pogoju c < k < c

√2,

to je takrat, ko ima oval tako imenovani život, lahko bi rekli zožen trup.

13 Lemniskata kot ogrinjača

Ogrinjača enoparametrične družine krivulj F(x,y, t) = 0 je taka krivulja

(če seveda obstaja), ki se v vsaki svoji točki dotika ene od članic družine, v

različnih točkah pa različnih članic.

Splošni postopek iskanja ogrinjače enoparametrične družine krivulj

F(x,y, t) = 0 poteka tako, da iz enačb

F(x,y, t) = 0,∂F∂t

(x,y, t) = 0

izločimo parameter t. Če je rezultat izločanja G(x,y) = 0, je navadno to

enačba iskane ogrinjače. Če pa nam uspe iz obeh enačb izraziti x = f (t), y =

g(t), sta to po navadi enačbi ogrinjače v parametrični obliki. Lahko pa se

tudi zgodi, da ne dobimo ogrinjače, ampak množico karakterističnih točk

družine. Tedaj ne moremo govoriti o dotikanju krivulj.

Na enakoosni hiperboli x2−y2 = a2 izberimo poljubno točkoM in načr-

tamo krožnico s središčem v M in polmerom r = |OM |. Zanima nas ogrin-

jača vseh takih krožnic, ko M drsi po hiperboli.

Koordinati središča M krožnice na hiperboli lahko parametriziramo,

na primer z xM = ach t, yM = ash t. Zaradi simetrije je dovolj obravnavati

problem za desno vejo hiperbole. Enačba krožnice s središčem v M in

polmerom r = |OM | je potem (x − xM)2 + (y − yM)2 = x2M + y2

M oziroma

F(x,y, t) = x2 + y2 − 2axch t − 2ay sh t = 0.

90

Slika 57. Krožnica skozi O in s središčem na hiperboli.

Enačbo odvajamo po parametru t:

∂F∂t

(x,y, t) = Ft(x,y, t) = −2ax sh t − 2ay ch t = 0.

Po splošno znanem postopku računanja ogrinjače je treba iz sistema enačb

F(x,y, t) = 0, Ft(x,y, t) = 0 izločiti parameter t. Sistem zapišimo v enako-

vredni obliki:

xch t + y sh t =x2 + y2

2a,

y ch t + x sh t = 0.

Slika 58. Lemniskata kot ogrinjača krožnic.

91

Iz njega izrazimo

ch t =x(x2 + y2)2a(x2 − y2)

, sh t = −y(x2 + y2)2a(x2 − y2)

.

Ker velja enakost ch2 t − sh2 t = 1, dobimo

x2(x2 + y2)2 − y2(x2 + y2)2

4a2(x2 − y2)2 = 1

in po poenostavitvi

(x2 + y2)2 = 4a2(x2 − y2).

Ogrinjača je torej Bernoullijeva lemniskata, ki ima gorišči F1(−a√

2,0) in

F2(a√

2,0), ki sta prav tako gorišči hiperbole x2 − y2 = a2 (slika 58).

Poiščimo še ogrinjačo enoparametrične družine premic

F(x,y, t) = (1 + t2)(t4 − 4t2 + 1)x+ (1− t2)(t4 + 4t2 + 1)y + 4at3 = 0.

Pri tem je a pozitivna konstanta. Kot kaže slika 59, je ogrinjača lemniskata.

Slika 59. Enoparametrična družina premic.

92

Da se o tem prepričamo, iz sistema

F(x,y, t) = 0,∂F∂t

(x,y, t) = 0

izrazimo x in y. Za odvod dobimo:

∂F∂t

(x,y, t) = 6t((t4 − 2t2 − 1)x − (t4 + 2t2 − 1)y + 2at).

Da bi našli ogrinjačo v parametrični obliki, je treba iz sistema enačb

(1 + t2)(t4 − 4t2 + 1)x+ (1− t2)(t4 + 4t2 + 1)y = −4at3,

(t4 − 2t2 − 1)x − (t4 + 2t2 − 1)y = −2at.

izraziti x in y. Z nekoliko truda dobimo preprost rezultat:

x =a(t3 + t)t4 + 1

, y =a(t3 − t)t4 + 1

.

To pa je ravno parametrizacija (12) lemniskate. Ogrinjača dane enopara-

metrične družine premic je Bernoullijeva lemniskata. To v resnici ni pre-

senetljivo, saj smo vzeli za primer ravno vse tangente (26) lemniskate.

Ogrinjača normal na lemniskato je evoluta lemniskate. Poiščemo jo

lahko po splošnem postopku. Vzamemo enačbo normale (34), v kateri

parameter λ nadomestimo s t:

F(x,y, t) = (t2 − 1)(t4 + 4t2 + 1)x+ (t2 + 1)(t4 − 4t2 + 1)y − 2at(t4 − 1) = 0.

Odvajamo:

∂F∂t

(x,y, t) = Ft(x,y, t) = 2(3tx(t4 + 2t2 −1) + 3ty(t4 −2t2 −1) +a(1−5t4)) = 0.

Rešitev sistema enačb F(x,y, t) = 0 in Ft(x,y, t) = 0 je evoluta lemniskate v

parametrični obliki:

x =a(1 + t2)3

6t(1 + t4), y =

a(1− t2)3

6t(1 + t4).

93

Slika 60. Enoparametrična družina normal.

14 Temenska radija lemniskate in drugo

Za vsako točko T Bernoullijeve lemniskate %2 = a2 cos2ϕ je smiselno vpe-

ljati temenska radija, to je daljici od temen A in B do T . Označimo σ1 =

|BT | in σ2 = |AT |. Tako kot doslej bomo označevali z r1 = |F1T | in r2 = |F2T |goriščna radija, polarni radij z % in polarni kot s ϕ (slika 61). Tu in tam

bomo upoštevali, da je a = c√

2.

Slika 61. Radiji lemniskate.

Če uporabimo kosinusni izrek za trikotnika BOT in OAT , dobimo:

σ21 = a2 + %2 − 2a%cos(π −ϕ) = a2 + a2 cos2ϕ + 2a2 cosϕ

√cos2ϕ,

σ22 = a2 + %2 − 2a%cosϕ = a2 + a2 cos2ϕ − 2a2 cosϕ

√cos2ϕ.

94

Izraza še nekoliko poenostavimo:

σ21 = 2a2 cosϕ(cosϕ +

√cos2ϕ), σ2

2 = 2a2 cosϕ(cosϕ −√

cos2ϕ). (37)

V nadaljevanju bomo dokazali za Bernoullijevo lemniskato nekatere

trditve, ki jih je leta 1881 v [3] objavil Wilhelm Hess (1858–1937). V tem

članku jih ni dokazal.

1. Trdimo, da je ploščina Sp pravokotnika, ki ima za stranici temenska

radija, enak štirikratni ploščini Si izseka OAT , če je T v prvem kvadrantu.

Da bi trditev preverili, zmnožimo (37):

(σ1σ2)2 = 4a4 cos2ϕ(cos2ϕ − cos2ϕ) = 4a4 cos2ϕ sin2ϕ = a4 sin2 2ϕ.

S tem smo našli Sp = σ1σ2 = a2 sin2ϕ.

Ploščina Si izseka OAT pa je:

Si =12

∫ ϕ

0%2dφ =

a2

2

∫ ϕ

0cos2φdφ =

a2

4sin2ϕ.

Vidimo, da je res Sp = 4Si .

2. Kvocient razlik kvadratov temenskih in goriščnih radijev je konstanten:

σ21 − σ

22

r21 − r

22

=√

2.

Po formulah (37) je

σ21 − σ

22 = 4a2 cosϕ

√cos2ϕ = 4ac

√2cosϕ

√cos2ϕ = 4c

√2%cosϕ.

Po formulah (3) pa dobimo

r21 − r

22 = 4cx = 4c%cosϕ.

Kvocient obeh izrazov je res konstanten, in to√

2.

95

3. Vsota kvadratov temenskih radijev je enaka kvadratu vsote goriščnih

radijev:

σ21 + σ2

2 = (r1 + r2)2.

Trikotnik s stranicami σ1, σ2 in r1 + r2 je zato pravokoten. Njegovi kateti

sta σ1 in σ2, hipotenuza pa r1 + r2.

Dokaz je preprost. Uporabimo (3) in (37) ter definicijo lemniskate:

σ21 + σ2

2 = 4a2 cos2ϕ,

(r1 + r2)2 = r21 + r2

2 + 2r1r2 = (2x2 + 2y2 + 2c2) + 2c2

= 2%2 + 4c2 = 2a2 cos2ϕ + 2a2 = 2a2(1 + cos2ϕ) = 4a2 cos2ϕ.

Ker dobimo obakrat enak rezultat, trditev zares drži.

4. Kota, ki ga oklepa polarni radij s temenskima radijema v točkah T <

{O,A,B}, se razlikujeta za pravi kot:

|∠OTA− ∠BTO| = π2.

Slika 62. Koti in radiji lemniskate.

96

Brez škode za splošnost vzemimo, da je točka T na lemniskati v prvem

kvadrantu (slika 62). Naj bo ε = ∠OTA in δ = ∠BTO (slika 61). Po sinus-

nem izreku za trikotnika OAT in BOT veljata relaciji:

σ1

a=

sin(π −ϕ)sinδ

=sinϕsinδ

,σ2

a=

sinϕsinε

.

Obe relaciji zmnožimo in upoštevamo rezultat v dokazu trditve 1:

σ1σ2

a2 =sin2ϕ

sinε sinδ= sin2ϕ = 2sinϕ cosϕ.

Torej je

tanϕ = 2sinε sinδ.

Po drugi strani pa je |OT | = % težiščnica trikotnika BAT in po kosinus-

nem izreku za trikotnik T ′AT , pri čemer T ′ dopolnjuje trikotnik BAT v

paralelogram T ′ATB z diagonalama |BA| = 2a in |T ′T | = 2%, dobimo:

4%2 = σ21 + σ2

2 − 2σ1σ2 cos(π − ε − δ).

Z upoštevanjem rezultatov v dokazu trditev 1 in 3 lahko zapišemo:

4a2 cos2ϕ = 4a2 cos2ϕ + 2a2 sin2ϕ cos(ε+ δ).

Po poenostavitvi ostane

cos(ε+ δ) = − tanϕ.

Prišli smo do relacije

2sinε sinδ+ cos(ε+ δ) = 0.

Z upoštevanjem adicijskega izreka se le-ta poenostavi v relacijo

cos(ε − δ) = 0,

97

iz katere sledi ε − δ = π/2.

5. Simetrala kota med temenskima radijema oklepa s polarnim radijem

kot π/4 za vse točke T < {O,A,B}.Dokaz je posledica prejšnje trditve. Če simetrala kota med temenskima

radijema oklepa s polarnim radijem kot η, potem velja pri istih oznakah

kot v prejšnji trditvi relacija δ + η = ε − η, iz katere sledi še relacija η =

(ε − δ)/2 = π/4.

6. Iz gorišča F2(c,0) lemniskate postavimo na radijOT pravokotnico, ki ga

seka v točki N . Trdimo, da F2N ploščinsko razpolavlja izsek OAT (slika

63).

Slika 63. Delitev izseka na ploščinsko enaka dela.

Gorišče F2 je od radija OT oddaljeno za d = c sinϕ. Zato je |F2N | =c sinϕ in |ON | = ccosϕ. Ploščina St pravokotnega trikotnikaOF2N je torej

St =12|F2N | · |ON | =

c2

2sinϕ cosϕ =

c2

4sin2ϕ.

Ploščina izseka OAT pa je (glej nalogo 1)

Si =c2

2sin2ϕ.

98

Torej je Si = 2St in F2N res izsek deli na ploščinsko enaka dela.

7. Za vsako točko T na Bernoullijevi lemniskati je vsota njenih goriščnih

radijev enaka pravokotni projekciji njene osi AB na premico skozi O in T .

Če je ϕ polarni kot točke T in če sta r1 ter r2 pripadajoča goriščna

radija, potem moramo dokazati, da je |EF| = r1 + r2 = 2acosϕ (slika 64).

Vzeti smemo, ne da bi kaj izgubili na splošnosti, da je T v prvem kvad-

rantu. V dokazu trditve 3 pa smo videli, da je res r1 + r2 = 2acosϕ. Torej

je trditev pravilna.

Slika 64. Pravokotna projekcija osi na središčno premico.

Trditev lahko izkoristimo še za neko povezavo med lemniskato in elip-

so, ki imata isti gorišči F1 in F2 ter središče O. Temeni A in B lemniskate

sta s tem določeni. Na krožnici s središčem vO skoziA oziroma B izberimo

poljubno točkoM in na premico p skoziO inM pravokotno projiciramo A

in B. Dobimo točki A′ in B′. Nato načrtamo krožnico s središčem vO skozi

A′ oziroma B′. Ta krožnica preseka premico skozi gorišči v točkah A′′ in

B′′. Elipsa, ki ima F1 in F2 za gorišči in poteka skozi A′′, preseka premico

p v točkah T1 in T2. Ko točko M vodimo po prvi krožnici, T1 in T2 opišeta

lemniskato z goriščema F1 in F2 (slika 65).

99

Slika 65. Elipsa in lemniskata.

8. Vsota naklonskih kotov temenskih radijev σ1 in σ2 točke T na lem-

niskati je enak topemu kotu med tangento v T in podaljškom polarnega

radija % točke T .

Slika 66. Povezava med koti α,β in γ .

Naj bo α naklonski kot temenskega radija σ2 točke T , β pa naklonski

100

kot temenskega radija σ1 točke T (slika 66). Velja

tanα =y

x − a, tanβ =

y

a+ x.

Po adicijskem izreku za funkcijo tangens dobimo

tan(α + β) =tanα + tanβ

1− tanα tanβ=

2xyx2 − y2 − a2 = −

%2

a2 sin2ϕ

= −cot2ϕ = − tanµ = tanγ.

Torej je res α + β = γ .

9. Ta vsako točko T na lemniskati oklepa njen polarni radij z enim goriščnim

radijem enak kot kot ga oklepa drugi goriščni radij z normalo v T .

Slika 67. Koti med radiji in normalo.

Pri dokazu trditve uporabimo Peanovo konstrukcijo (glej stran 20) nor-

male na lemniskato v točki T (slika 67). Dokazujemo enakost δ = ε. Zaradi

simetrije je dovolj obravnavati primer, ko je T v prvem kvadrantu. Za

ϕ = 0 trditev očitno drži.

Od T proti F1 nanesemo razdaljo r2/2, da dobimo točko E, od T proti F2

pa razdaljo r1/2, da dobimo točko G. Konstruiramo paralelogram T EFG.

Kot vemo, potem njegova diagonala T F določa normalo na lemniskato v

101

točki T . Označimo kote, kot kaže slika. Kot vedno, pomeni c = |F1O| =|F2O|.

Za vsakega od trikotnikov FGT , F1OT inOF2T zapišimo sinusni izrek:

r2/2sinδ

=r1/2

sin(ε+ η),

r1sin(π −ϕ)

=c

sinε,

r2sinϕ

=c

sin(δ+ η).

Iz vseh treh relacij izločimo r1 in r2. na koncu ostane relacija

sinδ sin(δ+ η) = sinε sin(ε+ η).

Ko produkte prevedemo na razlike, dobimo s poenostavljanjem:

cos(η + 2δ)− cos(η + 2ε) = 2sin(δ+ ε+ η)sin(ε − δ) = 0.

Ker je sin(δ+ ε+ η) , 0, velja sin(ε − δ) = 0 in nazadnje δ = ε.

Dokazana lastnost lemniskate omogoča preprosto konstrukcijo normale

v dani točki. Samo kot med goriščnim in polarnim radijem točke je treba

prenesti k drugemu radiju. Ko imamo enkrat normalo, imamo takoj tudi

tangento.

10. Naj bo T poljubna točka na lemniskati. Če v njenih goriščih postavimo

pravokotnici na goriščna radija, ki sekata tangento v točkah E in F, potem

sta daljici T E in T F enako dolgi.

Tudi to trditev je dokazal Jakob Steiner. Tudi ta trditev omogoča kon-

strukcijo tangente na lemniskato. Najprej dokažemo, da velja relacija

r1sinα1

=r2

sinα2,

kjer sta α1 in α2 kota, ki sta označena na sliki 68. Za dokaz uporabimo

sinusni izrek v paralelogramu, ki je omogočil konstrukcijo normale v T na

lemniskato (slika 67). Za hipotenuzi |FT | in |ET | v pravokotnih trikotnikih

FF1T in T F2E dobimo s pomočjo prejšnje formule:

|FT | = r1sinα1

=r2

sinα2= |ET |.

102

Slika 68. Enaka odseka na tangenti.

S tem je trditev dokazana.

11. Simetrala s kota med goriščnima radijema r1 in r2 lemniskate oklepa

s polarnim radijem % enak kot kakor z normalo n. (slika 69). Trikotnik z

oglišči O, T in presečiščem S simetrale s je enakokrak.

Slika 69. Simetrala goriščnih radijev, normala in polarni radij.

Kot smo videli na strani 21, oklepa normala n na lemniskato v točki T

z glavno simetralo trikratnik polarnega kota točke T . Normala n preseka

glavno simetralo v točki N , pri čemer je ∠OTN = 2∠NOT . Posledično

je ∠OTS = ∠STN = α in ∠SOT = ∠OTS, zaradi česar je trikotnik OTS

enakokrak, kar sicer vemo že od prej.

12. Če se lemniskata in njej istogoriščna elipsa sekata v točki T , potem

103

tangenta te na elipso in tangenta tl na lemniskato v T oklepata kot, ki je

enak polarnemu kotu točke T . Če normala n lemniskate v T preseka njeno

glavno simetralo v točkiN , potem ima elipsa z goriščema vO inN v T tudi

tangento te (slika 70).

Slika 70. Kot med tangentama lemniskate in njej istogoriščne elipse.

Trditev je preprosta posledica prejšnje trditve in dejstva, da je sime-

trala s normala v točki T na obe elipsi, posledično pa je te tangenta na obe

elipsi v točki T .

13. Vzporednica goriščnega radija skozi najbližje teme lemniskate seka

podaljšek polarnega radija v točki C, za katero je |OC| = |r1 − r2| = %√

2

(slika 71).

Zaradi simetrije so oglejmo, če trditev drži za gorišče F2 in teme A.

Očitno sta si trikotnika OF2T in OAC podobna, kar ima za posledico

|OC||OT |

=|OC|%

=|OA||OF2|

=ac

=√

2.

Torej je |OC| = %√

2. Če za trikotnika OF2T in F1OT zapišemo kosinusni

izrek, dobimo:

r22 = c2 + %2 − 2c%cosϕ, r2

1 = c2 + %2 + 2c%cosϕ.

104

Slika 71. Vzporednica z najbližjim goriščnim radijem.

Zato je

r21 − r

22 = (r1 − r2)(r1 + r2) = 4c%cosϕ.

Upoštevamo rezultat nalog 3 in 7, to je relacijo r1+r2 = 2acosϕ, in dobimo:

r1 − r2 =2c%a

= %√

2 = |OC|.

S tem je trditev dokazana.

13. V središču O lemniskate postavimo pravokotnico p na polarni radij

OT , nato pa konstruiramo kot δ, ki je enak polovici kota med goriščnima

radijema točke T . Vrh kota δ je T , en krak TO, drugi krak pa preseka p v

točki C. Tedaj je hipotenuza pravokotnega trikotnika OCT enaka polosi a

lemniskate (slika 72).

Preveriti je treba, da velja relacija |CT | = %/ cosδ = a. Uporabimo kosi-

nusni izrek v trikotniku F1F2T in relacijo r21 +r2

2 = 4a2 cos2ϕ−2c2 iz dokaza

trditve 3:

4c2 = r21 + r2

2 − 2r1r2 cos2δ = 4a2 cos2ϕ − 2c2 − 2c2 cos2δ

= 4c2 + 4c2 cos2ϕ − 4c2 cos2δ.

Torej velja preprosta relacija

cos2δ = cos2ϕ.

105

S tem imamo

|CT | =%

cosδ=a√

cos2ϕ√

cos2ϕ= a,

kar je bilo treba dokazati.

Slika 72. Pravokotni trikotnik s konstantno hipotenuzo.

14. Pravokotnici na polarna radija lemniskate v njenih goriščih odsekata

na simetrali s med goriščnima radijema daljico EF s konstantno dolžino

2c (slika 73).

Slika 73. Odsek med pravokotnicama s konstantno dolžino.

106

Dokazati je treba relacijo |T E| − |T F| = 2c. Pomen kotov je isti kot v

prejšnji trditvi. Očitno je

cosδ =r1|T E|

=r2|T F|

,

od koder z rezultatom prejšnjih trditev dobimo:

|T E| − |T F| = r1 − r2cosδ

=%√

2cosδ

=a√

2cos2ϕ√

cos2ϕ= a√

2 = 2c.

S tem je trditev dokazana.

S tem končujemo s trditvami, ki veljajo za Bernoullijevo lemniskato.

Zagotovo bi se še kakšna našla. Za trikotnike s fiksno osnovnico AB in

z dano razliko δ notranjih kotov ob njej velja, da oglišče C leži na neki

enakoosni hiperboli, katere lega in oblika sta odvisni od δ. Ko spremi-

njamo δ, gorišči hiperbole potujeta po neki Bernoullijevi lemniskati. Po-

skusite to dokazati!

Slika 74. Kotaljenje hiperbole po hiperboli.

107

Za najbolj zagrizene ljubitelje lemniskate še ena naloga. Dokažite, da

središče enakoosne hiperbole, ki se brez drsenja kotali po njej skladni

hiperboli, opisuje Bernoullijevo lemniskato (slika 74). Lemniskata ima

gorišči tam kot fiksna hiperbola. Navodilo. Na fiksni hiperboli izberite

točko D, konstruirajte v njej tangento, čez katero prezrcalite hiperbolo.

Opazujte središče novo nastale hiperbole, ko D drsi po fiksni hiperboli.

Za kompleksno funkcijo w = 1/(x+ iy)2 so izohipse ploskev z = Rew in

Imw Bernoullijeve lemniskate (slika 75). Dokažite, ni težko!

Slika 75. Ploskev z = Re1/(x+ iy)2.

Izohipsa ploskve, ki ima enačbo z = f (x,y) v prostorskem koordinat-

nem sistemu Oxyz, je njen presek z ravnino, ki je vzporedna koordinatni

ravnini Oxy, pravokotno projiciran na to ravnino. Beseda izohipsa izhaja

iz grških besed ἴσος, kar pomeni enak, in ὕψος, kar pomeni višina, višava.

Izohipsa navadno označuje črto, ki povezuje na ploskvi z = f (x,y) točke z

isto aplikato, ki je lahko poljubno realno število.

108

15 Ortogonalne trajektorije

Ortogonalne trajektorije enoparametrične družine krivulj F(x,y,a) = 0 ses-

tavljajo tako enoparametrično družino krivulj G(x,y,b) = 0, katere vsaka

članica seka vsako članico prve družine pod pravim kotom. Postopek

iskanja ortogonalnih trajektorij poteka takole. Najprej poiščemo diferen-

cialno enačbo f (x,y,y′) = 0 dane družine F(x,y,c) = 0. Nato v njej zame-

njamo y′ z −1/y′ in dobimo diferencialno enačbo g(x,y,y′) = 0 ortogonal-

nih trajektorij. Njene rešitve so ortogonalne trajektorije G(x,y,b) = 0.

Beseda trajektorija prihaja iz novejše latinščine in pomeni prečnico, ki

seka sistem črt, ali pa tirnico, ki jo opiše gibajoče se točkasto telo. Verjetno

izhaja beseda iz latinske traiectus, kar pomeni prevoz, prenos, prehod.

Poiščimo sedaj ortogonalne trajektorije družine Bernoullijevih lemnis-

kat (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). Odvajamo, tako kot smo to naredili že večkrat:

2(x2 + y2)(x+ yy′) = a2(x − yy′). Izločimo konstanto a in dobimo:

2(x+ yy′)x2 + y2 =

x − yy′

x2 − y2 .

Po preprosti pretvorbi imamo diferencialno enačbo dane družine:

y′ =x(x2 − 3y2)y(y2 − 3x2)

.

Diferencialna enačba ortogonalnih trajektorij je zato

y′ =y(3x2 − y2)x(x2 − 3y2)

.

Vanjo uvedemo z = y/x in s tem y′ = z+ xz′: Dobimo diferencialno enačbo

xz′ =2z(1 + z2)

1− 3z2 ,

ločimo spremenljivki in dobimo:

(1− 3z2)dzz(1 + z2)

= 2dxx.

109

Integracija se nam lepo posreči:

lnz

(1 + z2)2 = lnx2

b.

Pri tem je b integracijska konstanta. Rezultat še antilogaritmiramo in

preuredimo:

(x2 + y2)2 = bxy.

Konstanta b je lahko negativna ali pozitivna. Kot vidimo, so ortogonalne

trajektorije Bernoullijevih lemniskat spet Bernoullijeve lemniskate, zasu-

kane za ±π/4 okoli točke O glede na začetne (glej stran 26).

Slika 76. Ortogonalne trajektorije družine lemniskat.

110

16 Kavstike

Kavstiko neke ravninske krivulje dobimo kot ogrinjačo odbitih žarkov ali

njihovih podaljškov v premice, ko šop svetlobnih žarkov usmerimo na to

krivuljo, ki jo obravnavamo kot idealno zrcalo. Šop žarkov je v ravnini

krivulje, izvirajo pa lahko v neskončnosti ali končnosti. Oblika kavstike

je od tega odvisna, računanje pa tudi. Beseda kavstika je grškega izvora.

Izhaja iz besede καῦσις, kar pomeni gorenje, sežiganje. Svetlobni žarki se

na konkavni strani ukrivljenih zrcal zberejo in lahko zanetijo celo požar.

Ogledali si bomo kavstiko Bernoullijeve lemniskate % = a√

cos2ϕ. Žar-

ki padajo vzporedno z glavno osjo nanjo in se na njej odbijejo po odbojnem

zakonu tako, da je δ = ε (slika 77). Žarek naj se odbije v točki T , ki ima

Slika 77. Odboj vodoravnega žarka na lemniskati.

polarni kot ϕ. Kot vidimo na sliki 14, je δ = 3ϕ, zato je naklonski kot

proti glavni osi odbitega žarka enak 6ϕ. Odbiti žarek ima v koordinatnem

sistemu enačbo

y − % sinϕ = tan6ϕ(x − %cosϕ),

iz katere dobimo za računanje ugodnejšo obliko

x sin6ϕ − y cos6ϕ = % sin5ϕ.

111

To je enoparametrična družina premic, kjer jeϕ parameter. Njihovo ogrin-

jačo dobimo po splošni metodi, ki jo že poznamo. Zgornjo enačbo odva-

jamo po parametru ϕ in rezultat delimo s 6:

xcos6ϕ + y sin6ϕ =16%′ sin5ϕ +

56%cos5ϕ.

Dobljeni sistem enačb za x in y je linearen z determinanto 1. Za rešitev

dobimo kar parametrično obliko kavstike:

x =5%cos5ϕ + %′ sin5ϕ

6cos6ϕ + % sin5ϕ sin6ϕ,

y =5%cos5ϕ + %′ sin5ϕ

6sin6ϕ − % sin5ϕ cos6ϕ.

Pri tem je treba upoštevati še, da je %′ = −a2 sin2ϕ/%. Krivulja je simetrična

glede na obe koordinatni osi, ima osti v točkah (±5a/6,0) za t = 0 in t = π,

samopresečišči (±µa,0), kjer je

µ =1

12(2

√30− 6 3

√4− 6 6

√32

√3√

4− 1 +√

3 6√

32 + 4√

6− 6 6√

54) ≈ 0,17296,

in vertikalno asimptoto x = 0 (slika 78).

Iskanje samopresečišča dobljene kavstike ni mačji kašelj. Najprej nas

zahteva y = 0 pripelje do enačbe

5sin3ϕ − 6sinϕ − sin9ϕ = 0,

ki ima trivialni rešitvi ϕ = 0 in ϕ = π, s katerima dobimo osti. Poleg teh

ima še dve rešitvi, ki sta po absolutni vrednosti med 1/2 in 1. Če člene v

zgornji enačbi pretvorimo v potence in okrajšamo koeficiente, dobimo:

sin3ϕ(64sin6ϕ − 144sin4ϕ + 108sin2ϕ − 25) = 0.

Prvi faktor nam da osti krivulje, v drugega pa vpeljemo novo neznanko

z = sin2ϕ. Dobimo kubično enačbo

64z3 − 144z2 + 108z − 25 = 0.

112

Vanjo vpeljemo še novo neznanko w = 4z, da dobimo preprostejšo enačbo:

w3 − 9w2 + 27w − 25 = (w − 3)3 + 2 = 0.

Njena realna rešitev je w = 3− 3√

2. To pomeni, da samopresečišči kavstike

dobimo pri dveh parametrih ϕ, za katera je

sinϕ = ±12

√3− 3√

2.

Slika 78. Kavstika lemniskate za vodoravne žarke.

Kavstika in lemniskata se dotikata v točkah, kjer ima slednja vodo-

ravne tangente. Te točke dobimo za ϕ = ±π/6, ϕ = 5π/6 in ϕ = 7π/6.

Izračunali smo jih že na strani 19.

Kavstika znotraj lemniskate nas spominja na kavstiko na krožnici, ka-

kršno v vsakdanjem življenju opazimo na dnu skodelice kave. To ni nič

čudnega, ker se lemniskata v okolici svojega temena dobro ujema s tam

pritisnjeno krožnico.

Računanje kavstike lemniskate, ko žarki padajo nanjo navpično, poteka

podobno (slika 79). Najprej ugotovimo, da je naklonski kot odbitega žarka

113

v tem primeru 6ϕ−π/2, zato sestavljata njegova urejena enačba s paramet-

rom ϕ in urejena odvajana enačba tak sistem:

xcos6ϕ + y sin6ϕ = %cos5ϕ,

−x sin6ϕ + y cos6ϕ =16%′ cos5ϕ − 5

6% sin6ϕ.

Slika 79. Odboj navpičnega žarka na lemniskati.

Za rešitev sistema dobimo kavstiko v parametrični obliki:

x =5% sin5ϕ − %′ cos5ϕ

6sin6ϕ + %cos5ϕ cos6ϕ,

y =−5% sin5ϕ + %′ cos5ϕ

6cos6ϕ + %cos5ϕ sin6ϕ.

Pri tem je seveda spet treba upoštevati še, da je %′ = −a2 sin2ϕ/%. Kavstika

ni posebna lepotica med krivuljami, toda okusi so različni (slika 80). Spom-

nimo se na latinski izrek, da ne gre razpravljati o okusih in barvah – De

gustibus et de coloribus non est disputandum.

Veliko lepšo, srčasto kavstiko lemniskate dobimo za središčne žarke,

ki izhajajo iz njenega središča O. Naklonski kot odbitega žarka je 5ϕ, če

je naklonski kot vpadnega žarka ϕ (slika 81). Upoštevamo, kar že vemo,

da je ε = δ = 2ϕ. Do enačbe odbitega žarka pridemo na enak način kot

114

Slika 80. Kavstika lemniskate za navpične žarke.

Slika 81. Odboj središčnega žarka na lemniskati.

pri vodoravnih žarkih. Končen rezultat je naslednja parametrična oblika

kavstike:

x =4%cos4ϕ + %′ sin4ϕ

5cos5ϕ + % sin4ϕ sin5ϕ,

y =4%cos4ϕ + %′ sin4ϕ

5sin5ϕ − % sin4ϕ cos5ϕ.

Pri tem je treba upoštevati, tako kot v prejšnjih primerih, relacijo %′ =

−a2 sin2ϕ/%. Kavstika ima osti v točkah (−4a/5,0) in (4a/5,0). V okolici

središča O se lemniskata in kavstika dobro ujemata (slika 82). Kavstika

je v tem primeru za razliko od prvih dveh primerov omejena krivulja.

Omejenost krivulje se lepo vidi iz parametrične oblike, ki jo dobimo iz

115

Slika 82. Kavstika lemniskate za središčne žarke.

prejšnje s pretvorbo trigonometričnih izrazov na preprostejšo obliko:

x =45%(ϕ)(sin2 2ϕ + cos2ϕ)cosϕ,

y =45%(ϕ)(sin2 2ϕ + sin2ϕ)sinϕ.

Ne pozabimo, da je pri tem %(ϕ) = a√

cos2ϕ. Ploščina Sk lika, ki ga ogra-

jujeta oba dela kavstike, je 4a2/5, kar pomeni, da pokriva 4/5 obeh listov

lemniskate. Do rezultata pridemo z naslednjim računom:

Sk = 4 · 12

∫ π/4

0(xy′ − x′y)dϕ =

6a2

5

∫ π/4

0(cos2ϕ − cos6ϕ)dϕ =

4a2

5.

Do enostavne podintegralske funkcije pridemo najlaže z računalniškim

programom, ki obvlada simbolno algebro, zlasti poenostavljanje izrazov s

trigonometričnimi funkcijami, kar bi bilo sicer precej mučno delo.

Prav tako dobimo za diferencial ločne dolžine ds kavstike za središčne

žarke v nasprotju z lemniskato samo popolnoma spodoben izraz:

ds =√x′2 + y′2dϕ =

6a5·

sin2ϕdϕ√

cos2ϕ.

Dolžina njenega loka v prvem kvadrantu od osti do kota ϕ je

s(0,ϕ) =6a5

∫ ϕ

0

sin2φdφ√cos2φ

=6a5

(1−√

cos2ϕ),

116

kar dobimo z uvedbo nove integracijske spremenljivke τ = cos2φ, dτ =

−2sin2φdφ. Celotna dolžina njenega loka v prvem kvadrantu je potem-

takem

s(0,π/4) =6a5.

Ugotovili smo že (na strani 51), da je dolžina lemniskate v prvem kvad-

rantu

` =$a2,

kar je približno 1,311a in kar je seveda več kot 6a/5 = 1,2a. Odvisnost

s(0,ϕ)/a od ϕ kaže slika 83.

Slika 83. Razmerje s(0,ϕ)/a.

S tem še zdaleč nismo izčrpali vseh možnosti v zvezi s kavstikami

lemniskate. Ogledati bi si morali najmanj še primera, ko žarki izhajajo

iz temena ali gorišča lemniskate. To delo prelagamo na kasnejše čase

oziroma jih prepuščamo ljubiteljem Bernoullijeve lemniskate.

117

17 Za konec

Italijanska matematika Giulio Carlo Fagnano in njegov sin Giovanni Fran-

cesco Fagnano (1715–1797) spadata med pomembne matematike svoje

dobe. Postavila in rešila sta tudi nekaj ekstremalnih problemov v zvezi s

trikotnikom. S problemi dolžin lemniskatnih lokov je Giulio sprožil razvoj

teorije eliptičnih funkcij. Po očetu Fagnanu je ostal njegov portret v olju v

mestni hiši v rodni Senigalliji v pokrajini Marche ob Jadranskem morju, na

naslovnici njegove knjige Produzioni matematiche je narisana lemniskata

z latinskim napisom Deo veritatis gloria, torej Slava resničnemu Bogu,

kar je ponovljeno tudi na njegovem nagrobniku. Napis Multifariam di-

visa atque dimensa, ki pa je v knjigi slabo viden, pa pomeni Razdeljena

po dolžini na več delov, ker se je ukvarjal z delitvijo lemniskate na enako

dolge dele. Nad vhodom v Palačo Fagnani v Senigalliji je pritrjena spomin-

ska plošča z napisom v italijanščini:

IN QUESTO PALAZZO

UN DI SACRO ALL’ARTE ALLA SCIENZA ALLE MUSE

NACQUE IL 26. 9. 1682 E MORI IL 18. 5. 1766

IL MARCHESE GIULIO CARLO FAGNANI CONTE DEI TOSCHI

MATEMATICO INSIGNE, FILOSOFO E POETA

L’AMMINISTRAZIONE COMUNALE

MEMORE DI TANTO ILLUSTRE CONCITTADINO

CHE IL NOME DELLA SUA TERRA NATALE

TENNE ALTO IN ITALIA ED IN EUROPA TUTTA

NELL’ANNO BICENTENARIO DELLA SUA MORTE

Q. M. P.

Zanimiv v tem napisu je priimek Fagnani namesto Fagnano. Kratica Q.

M. P. na koncu naj bi pomenila Questa Memoria Pose, kar pomeni toliko

118

Slika 84. Portret G. C. Fagnana v mestni hiši v Senigalliji.

kot v spomin. Na Fagnanovem portretu (slika 84) vidimo v roki portreti-

ranca tudi list papirja, na katerem je na veliko narisana lemniskata.

Fagnano je našel tudi formulo

π = 2i ln1− i1 + i

,

ki je ekvivalentna Eulerjevi formuli eπi = −1.

V tistih časih so bili taki in podobni napisi pogosti. Jakob Bernoulli,

ki je vneto študiral logaritemsko spiralo, ima na spominski plošči tako

119

Slika 85. Naslovnica temeljnega Fagnanovega dela iz leta 1750.

spiralo upodobljeno in opremljeno z latinskim napisom Eadem mutata

resurgo, ker logaritemska spirala ostane logaritemska spirala pri mnogih

geometrijskih transformacijah. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)

ima na neki spominski plošči vklesan integralski znak, Carl Friedrich Gauß

sedemnajtskrako zvezdo, ker je geometrijsko konstruiral pravilni sedem-

najstkotnik, Niels Henrik Abel (1802–1829) tudi lemniskato, naš Ivo Lah

120

(1896–1979), sicer veliko pozneje, definicijo Lahovih števil, Josip Plemelj

ima na blejskem spomeniku vklesani svoji znameniti formuli, in še bi

lahko naštevali.

Upogib daljšega prožnega traku lahko opazujemo tudi sami. Tak trak

uporabljajo za strojno zavezovanje raznih tovorov na paletah. Z malo

spretnosti dosežemo, da se upogne v obliki lemniskate (slika 86). Lahko

pa uporabimo tudi daljšo jekleno žico, na primer tako, ki se uporablja za

zavore pri biciklu. Vemo, da je Jakob Bernoulli reševal povsem drug prob-

lem in prišel do lemniskate.

Slika 86. V lemniskato zvit prožen plastični trak.

121

Viri

[1] T. P. AnÒelić, R. Stojanović, Racionalna mehanika, Univerzitet u Beogradu,

Beograd 1966.

[2] P. Eymard, J.-P. Lafon, The number π, AMS, Providence, Rhode Island 2004.

[3] W. Hess, Eigenschaften der Lemniskate, Z. Math. Phys., 26 (1881), str. 143–

144.

[4] P. Y. Ho, , Li, Qi and Shu: An Introduction to Science and Civilization in

China, Dover Publications, Mineola, New York 2000.

[5] J. Dennis Lawrence, A Catalog of Special Plane Curves, Dover, New York

2014.

[6] G. Loria, Spezielle algebraische und transcendente ebene Kurven, Band I,

Teubner, Leipzig 1910.

[7] M. Razpet, Kvadratne, kubične in kvartične enačbe,

http://www.pef.uni-lj.si/matwww/Lokus_korenov_01.pdf

(dosegljivo 21. feb. 2019)

[8] M. Razpet, Metoda aritmetično-geometrične sredine, Obzornik. mat. fiz. 33

(1986), št. 6, str. 161–164.

[9] M. Razpet, Posebno zaporedje rombov, Presek 46 (2018/19), št. 4, str 11–12.

[10] M. Razpet, Ravninske krivulje, DMFA – založništvo, Ljubljana 1998.

[11] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb 1979.

[12] S. Schwartzman, The words of mathematics, MAA, Washington 1994.

[13] I. Vidav, Višja matematika I, DZS, Ljubljana 1968.

© (2019) Marko Razpet

122