Bessel Oficce7 Macros

Ecuaciones Diferenciales Especiales

Ecuacin de Bessel de orden v (1) donde 0, y = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel.

Ecuacin de Lengendre de orden n (2) donde n es un entero no negativo, y = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.

0)( 222 yvxyxyx

0)1(2)1( 2 ynnyxyx

Friedrich Wilhelm Bessel

(22 de julio, 1784 - 17 de marzo, 1846) fue un matemtico alemn, astrnomo, y sistematizador de las funciones de Bessel(las cuales, a pesar de su nombre, fueron descubiertas por Daniel Bernoulli).

Naci en Minden, Westfalia y muri de cncer en Knigsberg (ahora Kaliningrado, Rusia).

Bessel fue un contemporneo de Carl Gauss, que tambin era matemtico y astrnomo.

Era hijo de una criada.

Su trabajo tan concienzudo llam la atencin de una de las mayores figuras de la astronoma alemana, Heinrich Wilhelm Olbers, por precisar los clculos de la rbita del cometa1P/Halley.

La Solucin de la Ecuacin de Bessel

= 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solucin de la forma . Entonces de (1), (3)

0n

rnnxcy

0

2

1

22220

0

22

1

220

00

22

00

222

])[()(

])()1)([()(

)()1)((

)(

n

nn

r

n

nn

rr

n

nn

rn

n

nrr

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

xcxxvrncxxvrc

xcxxvrnrnrncxxvrrrc

xcvxcxrncxrnrnc

yvxyxyx

De (3) tenemos la ecuacin indicial 2 2 = 0, 1 = , 2 = . Cuando = , tenemos (1 + 2)1 = 0

( + 2)( + 2 + 2)+ 2 +

= 0 (4) La eleccin de 1 = 0 implica 3 = 5 = 7 = = 0, as que para k = 0, 2, 4, ., expresando + 2 = 2, = 1, 2, 3, , tenemos (5)

,2,1,0,)22)(2(

2

k

vkk

cc kk

)(2222

2vnn

cc nn

Volver

Diapositiva 9

As (6)

,3,2,1,)()2)(1(!2

)1(

)3)(2)(1(3212)3(32

)2)(1(212)2(22

)1(12

20

2

60

24

6

40

22

4

20

2

nvnvvn

cc

vvv

c

v

cc

vv

c

v

cc

v

cc

n

n

n

Hacia la 8

Elegimos c0 como valor especfico donde (1 + ) es la funcin gamma.

Hay una relacin importante: (1 + ) = ()

)1(2

10

vc

v

As que podemos reducir el denominador de (6):

De ah que podemos poner (6) como

,...2,1,0,)1(!2

)1(22

n

nvnc

vn

n

n

)1()1)(2()2()2()21(

)1()1()11(

vvvvvv

vvv

Hacia la 6

La solucin sera:

Reemplazando lo datos de 5

0n

rnnxcy

....443

3

2

2

1

100

vvvvvnvn

n xcxcxcxcxcxcy

....443

3

2

2

1

100

vvvvvnvn

n xcxcxcxcxcxcy

0

2

2

4

4

2

200....

n

vn

n

vvv

n

vn

n xcxcxcxcxcy

Hacia la 5

O sea

0

2

0

2

2

2)1(!

)1(

)1(!2

)1(

n

vnn

n

vn

vn

n

x

nvny

xnvn

y

Funciones de Bessel de Primera Clase

Podemos definir () mediante (7) y de forma similar para = se llega a: (8) En otras palabras, la solucin general de (1) en (0, ) es y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero (9)

Fig 1

0

2

2)1(!

)1()(

n

vnn

v

x

nvnxJ

0

2

2)1(!

)1()(

n

vnn

v

x

nvnxJ

Graficas de algunas funciones de Bessel Fig 1

Ejemplo 1

Considere la ED Hallamos = , y la solucin general en (0,) es:

0)1/4('" 22 yxxyyx

)()( 1/221/21 xJcxJcy

Funciones de Bessel de Segunda Clase

Si v entero, entonces (10) y la funcin Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solucin de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x).

Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de LHopital, la funcin y Jv(x) soluciones linealmente independientes de

v

xJxJvxY vvv

sin

)()(cos)(

)(lim)( xYxY vmv

m

0)('" 222 ymxxyyx

De ah que para cada valor de v, la solucin general de (1) es (11) Yv(x) se llama funcin de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 2 ilustra y0(x) y y1(x).

)()( 21 xYcxJcy vv

Ejemplo 2

Considere la ED Hallamos v = 3, y de (11) la solucin general en (0, ) es

0)9('" 22 yxxyyx

)()( 3231 xYcxJcy

Propiedades

(1)

(2)

(3)

(4)

)()1()( xJxJ mm

m

)()1()( xJxJ mm

m

0,1

0,0)0(

m

mJm

)(lim 0 xYmx

Ejemplo 5

Obtener la frmula

Solucin De la ecuacin (7) se deduce

1

2

0

2

0

2

0

2

0

2

2)1(!

)1(2

2)1(!

)1()(

2)1(!

)1(2

2)1(!

)1()(

2)1(!

)2()1()(

n

vnn

n

vnn

v

n

vnn

n

vnn

v

n

vnn

v

x

nvn

nx

nvnvxJx

x

nvn

nx

nvnvxJx

x

nvn

vnxJx

sumatoria segunada la de termino primer el oExpandiend

)()()(' 1 xxJxvJxxJ vvv

)()()(

2)2()!(

)1()()(

2)11()!11(

)1(

221)()(

22)11()!)(1(

1)1()1(2)()(

2)11(!1

1)1(2

2)1(!

)1()(

1

1

11

12

1

11

12

0

12

1

11

121

0

2

xxJxvJxJx

x

nvnxxvJxJx

x

nvn

xxvJxJx

xx

nvnn

nxvJxJx

x

nvn

nx

nvnvxJx

vvv

n

vnn

vv

n

vnn

vv

n

vnn

vv

n

vnn

n

vnn

v

0 en sumatoria la doInicilizan

1

2

0

2

2)1(!

)1(2

2)1(!

)1()(

n

vnn

n

vnn

v

x

nvn

nx

nvnvxJx

El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integracin x-v, se obtiene

)()()( 1 xJxJx

vxJ vvv

)()]([ 1 xJxxJxdx

dv

vv

v

Tarea:

Siguiendo un proceso similar al anterior demostrar que:

)()]([ 1 xJxxJxdx

dv

v

v

v

EDs Solubles en Trminos de Funciones de Bessel

Sea t = x, > 0, en (12) entonces por la regla de la cadena,

0)( 2222 yvxyxyx

dt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy

2

22

2

2

dt

yd

dx

dt

dx

dy

dt

d

dx

yd

As, (12) pasa a ser La solucin de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t) Sea t = x, tenemos y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)

0

0

22

2

22

22

2

22

2

yvtdt

dyt

dt

ydt

yvtdt

dyt

dt

ydt

Funciones de Bessel Esfricas

Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es, 1/2, 3/2, 5/2, .. La funcin de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como funcin de Bessel esfrica : Como (1 + ) = () y (1/2) = , entonces

0

2/12

2/12)2/11(!

)1()(

n

nn x

nnxJ

!2

)!12(

2

11

12 n

nn

n

(24) cos2

)(

(23) sin2

)(

2/1

2/1

xx

xJ

xx

xJ

Demostrar que

)(2

)(

)!12(

!)1(2)(

22!)!12(

!2)1()(

2

!2

)!12(!

)1()(

2

!2

)!12(!

)1()(

2/1

0

12

2/1

2

1

12

2

1

0

1212

2/1

0

2/112

12

2/1

0

2/12

12

2/1

xsenx

xJ

xn

n

xxJ

xx

nn

nxJ

x

n

nn

xJ

x

n

nn

xJ

n

nn

nn

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

Demostrar:

Se demostr que

Equivalente a:

Derivando

xx

xJ cos2

)(2/1

)(2

)(2/1 xsenx

xJ

)(2

)(2/1 xsenxJx

)(

2)(2/1 xsen

dx

dxJx

dx

d

Luego: por propiedad

con =1

2

)cos(2

)(

)cos(2

)(

)(2

)(

2/1

12

12

1

2/1

xx

xJ

xxJx

xsendx

dxJx

dx

d

)()]([ 1 xJxxJxdx

dv

v

v

v

Resolver la ED 42 + 4 + 1002 9 = 0

Resolver la ED 92 + 9 + 364 16 = 0

La Solucin de Ecuacin de Legendre

Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos Despus de sustituir y simplificar, obtenemos o en las formas siguientes:

0n

nnxcy

0)1)(()1)(2(

06)2)(1(

02)1(

2

31

20

jj cjnjncjj

ccnn

ccnn

Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos

6

4201

!6

)5)(3)(1()2)(4(

!4

)3)(1()2(

!2

)1(1)(

xnnnnnn

xnnnn

xnn

cxy

(25) ,4,3,2,)1)(2(

)1)((

!3

)2)(1(

!2

)1(

2

13

02

jcjj

jnjnc

cnn

c

cnn

c

jj

Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.

(26) !7

)6)(4)(2)(1)(3)(5(

!5

)4)(2)(1)(3(

!3

)2)(1()(

7

5312

xnnnnnn

xnnnn

xnn

xcxy

Polinomios de Legendre

Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre: (27)

)157063(8

1)(),33035(

8

1)(

3)5(2

1)(),13(

2

1)(

)(,1)(

355

24

33

22

10

xxxxPxxxP

xxxPxxP

xxPxP

Son a su vez soluciones particulares de las EDs. (28)

Fig 5.5

0122)1(:3

062)1(:2

022)1(:1

02)1(:0

2

2

2

2

yyxyxn

yyxyxn

yyxyxn

yxyxn

Fig 5.5

Propiedades

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

)()1()( xPxP nn

n

1)1( nP

nnP )1()1(

impar ,0)0( nPn

par ,0)0(' nP n

Relacin de Recurrencia

Sin comprobacin, tenemos (29) que es vlida para k = 1, 2, 3, Otra frmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciacin. La frmula de Rodrigues para estos polinomios es: (30)

0)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk

... ,2 ,1 ,0 ,)1(!2

1)( 2 nx

dx

d

nxP n

n

n

nn

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