KontaktDr. Marco SchuchmannFachbereich Mathematik und NaturwissenschaftenSchöfferstraße 3, 64295 DarmstadtE-Mail: marco.schuchmann@h-da.de

Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften

Bestimmung optimaler Parameter bei einem Wavelet-Kollokationsverfahren

Dr. Marco Schuchmann und B. Sc. Michael Rasguljajew, Fachbereich MN

Kontakt Dr. Marco Schuchmann Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften Schöfferstraße 3, 64295 Darmstadt E-Mail: marco.schuchmann@h-da.de

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Anlass und Motivation Wavelets können in verschiedenen Bereichen der Mathematik angewendet werden, wie in der Numerik oder Statistik. Eine wichtige Anwendung ist die Approximation. Hier wurden von mir in den letzten Jahren diverse Simulationen zur Approximation mit Waveletbasen durchgeführt. Zum einen bei der Regression und zum anderen bei der Approximation von gewöhnlichen wie partiellen Differentialgleichungen (DGLen), Integralgleichungen und auch differential-algebraischen Gleichungen (DAEen). Bei der Approximation mit Waveletbasen gibt es eine Menge an Freiheitsgraden: Man kann sowohl die Anzahl der verwendeten Basiselementen, die Skalierungsfunktion bzw. das Wavelet, als auch den Index der Auflösung j variieren, wie auch die Anzahl und Lage der Kollokationsstellen. Da man in praktischen Problemen oft nicht die exakte Lösung kennt, stellt sich die Frage nach den „optimalen Parametern“, damit eine gefundene Approximationsfunktion auch verwendet werden kann. Eine weitere Anwendung der Approximation stellt die Parameteridentifikation dar, bei der sich - aus einem praktischen Problem heraus - eine DGL oder DAE ergibt, die unbekannte Parameter enthält. Hier müssen zunächst Messwerte bestimmt werden, so dass man die Parameter schätzen kann. Anwendungen ergeben sich bei diversen praktischen Problemen, wie in der chemischen Reaktionskinetik oder bei n-Körperproblemen. Da diese Kollokationsmethode auf Waveletbasis in vielen verschiedenen Fällen (auch bei Rand- oder Anfangswertproblemen und unabhängig vom Typ der DGL) verwendet werden kann und selbst bei sogenannten steifen oder instabilen Systemen, ist sie von besonderem Interesse. Zielsetzung und methodisches Vorgehen Ziel war es, wie bereits beschrieben, die optimalen Parameter der Approximationsfunktion zu finden, wie auch eine ausreichende Anzahl an Kollokationsstellen. Außerdem sollten Kriterien gefunden werden, mit denen man die Approximation beurteilen kann, gerade wenn die exakte Lösungsfunktion unbekannt ist. Dazu wurden diverse Simulationen durchgeführt und mögliche Indikatoren geprüft. Gleichzeitig wurden theoretische Überlegungen angestellt. Es sollte - wenn möglich - auch eine Fehlerabschätzung gefunden werden, um den mittleren quadratischen Fehler abschätzen zu können. Verwendet wurde bei der Simulation das Computeralgebrasystem (CAS) Mathematica. Bei der Approximation mussten jeweils die Residuen minimiert werden. Hier stellte sich die Frage nach der Verwendung von geeigneten numerischen Methoden bzw. auch nach der passenden Mathematica-Funktion und den entsprechenden Optionen.

Eine weitere Idee war, dass man mit dem Algorithmus zur diskreten Wavelet-Transformation (DWT) die Verbesserung der Approximation abschätzt. Bei L2 – Lösungen kann dies bedingt durchgeführt werden, es hatte sich aber gezeigt, dass dieser Aufwand nicht notwendig ist, denn es wurde bei diversen Simulationen ein relativ gutes und günstiges Kriterium gefunden, um die Approximationen zu beurteilen. Beim Shannon-Wavelet stellte sich heraus, dass man über das Shannon-Theorem nachweisen kann, dass bei einer Auflösung der Stufe j (d.h. der Verwendung der Basiselemente von Vj) die Funktion (theoretisch) exakt dargestellt werden kann, deren Fourier-transformierte einen Träger im Intervall [-2j,2j] besitzt. Mit dieser Information ließ sich der Approximationsfehler bei einer Orthogonalprojektion theoretisch exakt berechnen, wenn eine Funktion nicht derart bandbegrenzt ist. Zentrale Ergebnisse Es wurden mehrere Indikatoren gefunden und sogar einen, mit dem man relativ genau vorhersagen kann, ob eine Approximation brauchbar ist. Dabei ergab sich in den Simulationen ein linearer Zusammenhang zwischen diesem Indikator und dem mittleren quadratischen Approximationsfehler. Mit dem Grönwall-Lemma konnte, in Abhängigkeit von einem Indikator, eine Abschätzung für den mittleren quadratischen Fehlers hergeleitet werden. Der Approximationsfehler hängt allgemein von der Ordnung des verwendeten Wavelets und von der Auflösung j ab. Beim approximativen Lösen von Differentialgleichungen konnte allerdings mit dem Shannon-Wavelet (wie auch mit dem Meyer-Wavelet) die besten Ergebnisse erzielt werden, sogar besser als mit diversen Daubechies-Wavelets höherer Ordnung. Zudem kann man auch sehr gut die Approximationsfunktion (auf der Basis des Shannon-Wavelets) zur Extrapolation verwenden. Das Shannon-Wavelet hat den Vorteil, dass dessen Funktion in geschlossener Form geschrieben werden kann. Zu kleine j oder zu große Abstände bei den Kollokationsstellen können anhand des gefundenen Kriteriums auch gut erkannt werden. Die Anzahl der Basiselemente hängt theoretisch von der Lage und Breite des Approximationsintervalls ab. Bei den Beispielen zur Parameteridentifikation wurde geprüft, ob man eine Parameterschätzung in zwei Schritten durchführen kann, was einen relativ geringen Aufwand darstellt, da dann jeweils nur ein quadratisches Minimierungsproblem gelöst werden muss. Dies führte zu sehr guten Schätzungen. Es wurden auch Testbeispiele verwendet, bei denen diverse konventionelle Methoden keine brauchbaren Lösungen lieferten, während sich mit Wavelet-Kollokationsverfahren gute Approximationen ergaben. Es hatte sich gezeigt, dass die untersuchte Methode bei diversen Problemstellungen angewendet werden kann, wo sonst viele verschiedene Verfahren notwendig sind.

Abbildung 1 • Element einer Orthonormalbasis von Vj und Approximationsfunktion

Abbildung 2 • Reaktionsschema und resultierende differential-algebraische Gleichung (DAE)

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