Betriebs-systeme

und Verteilte Systeme

Description LogicsMarc Holger Uhlmann

SeminarvortragPaderborn, 15. Dezember 2004

Projektgruppe Peer-2-Peer basierte Suche nach Web-Diensten

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Agenda

Motivation und Grundlagen

Die Basis Description Logic FL-0

Syntax

Semantik

Erweiterungen (Dialekte)

Von der Description Logic zum DL-Reasoner Terminologien

Assertions

Inferenz

Grundlegende Konzepte von Inferenzalgorithmen Structural Subsumption Algorithmen

Tableau-based Subsumption Algorithmen

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Motivation für Description Logics

Ursprünge der Forschung: Künstliche Intelligenz (KI)

Formalismen

zur formalen Repräsentation von Domänenwissen über einen Ausschnitt der Welt

für ein effizientes Handling des Domänenwissens

zum expliziten Folgern impliziten Wissens

Motivation: Nutzen dieses Wissens

diverse Anwendungsgebiete→ Semantic Web

Für unsere Projektgruppe: Einsatz von Wissen für die Suche nach Webservices

„Die KI ist der Zweig der Informatik, der sich mit symbolischen Methoden der Lösung von Problemen beschäftigt“ [Kurzweil]

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Ziel: Description Logics für die Projektgruppe

Repräsentation von Wissen über Hardware, Software und Kompatibilitäten

Effizientes Ableiten von expliziten Informationen aus implizitem Wissen

Wissensbasis

allgemeingültigesWissen

konkretes Situationswissen

Inferenzsystem

Benutzerschnittstelle

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Einordnung von Description Logics

Prädikatenlogik erster Stufe: Argumente von Prädikaten ausschließlich Objektvariablen

Grund für eine neue Syntax: → variablenfreie Darstellung ist übersichtlicher und für die zu

modellierenden Problembereiche adäquater

Prädikatenlogik erster Stufe (FOL)

DL

Unäre PrädikateVater(x)

Binäre PrädikatehatKind(x,y)

Beschränkungauf 1 freie Variable → Einfachere Syntax

transitive Rollenbeschreibungen

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Grundlegende syntaktische Bausteine

Atomare Konzepte (unäre Prädikate) entsprechen Klassen (Objektorientierung) bzw.

Mengen von ObjektenBeispiele

Männlich ≡ {x | männlich(x)} Person ≡ {x | Person(x)}

Atomare Rollen (binäre Prädikate, Relationen) Beschreibung der Beziehung zwischen genau zwei Konzepten

Beispiele: hatKind ≡ {(x,y) | hatKind(x,y)}

Individuen (Konstanten) Repräsentation genau einer Entität innerhalb eines Konzeptes

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Syntax:Sei A ein atomares Konzept und R eine Rolle, so sind Konzeptbeschreibungen für C,D in FL-

0:

C, D A | primitives Konzept T | universelles Konzept

| bottom KonzeptC ⊓ D | Schnitt R.C | Wertbeschränkung

Beispiele:Informatiker ⊓ Weiblich (Eine Frau, die Informatik

studiert)

Mann ⊓ hatKind.Informatiker (Ein Mann der nur Informatiker

als Kinder hat)

Eine erste Description Language FL-0

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Semantik:Interpretation I= (, ∙) nichtleeren Menge ∙Mapping-Funktion: C → C für alle Konzepte C

R → R x für alle Rollen R

TI =

=

(C ⊓ D) = CD

( R.C) = {a | (b: (a,b) R → b C)}

FL-0: Basis für alle Description Logic Sprachen.

FL-0 einfach, aber relativ geringe Ausdrucksfähigkeit

Adäquate Erweiterungen für die jeweilige Domäne (z.B. PG P2P) Kompromiss zwischen (notwendiger) Ausdrucksfähigkeit und

Komplexität des Schlußfolgerungsprozesses.

Eine erste Description Language FL-0

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Erweiterungen von FL-0

FL- : Erweiterung um begrenzte Existenzquantifizierung

( R.) = {a | b: (a,b) R}

AL : Erweiterung um atomare Negation( A) = \

AL U : Erweiterung um die Vereinigung von Konzepten(C ⊔ D)= C D

AL E : Erweiterung um komplette Existenzquantifizierung( R.C) = {a | b: (a,b) Rb C}

AL N: Erweiterung um unqualifizierte Anzahlsbeschränkungen(≤ n R) = {a | b|(a,b) R≤ n}(≥ n R) = {a | b|(a,b) R≥ n}(= n R) = {a | b|(a,b) R= n}

AL C: Erweiterung um Negation für beliebige Konzepte( C) = \ C

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noch mehr Erweiterungen…

AL O: Erweiterung um die Aufnahme von Individuen I (Nominale) in Konzepten I = I und |(I)| = 1

AL H: Erweiterung um Rollenhierarchien(R ⊑ S)=RS

AL I: Erweiterung um inverse Rollen (R)={(a,b) x | (b,a) R}

AL Q: Erweiterung um qualifizierte Anzahlsbeschränkungen(≤ n R.C) = {a | b|(a,b) Rb C≤ n}(≥ n R.C) = {a | b|(a,b) Rb C≥ n}(= n R.C) = {a | b|(a,b) Rb C= n}

S: AL: Erweiterung um transitive RollenbeschreibungenR R+ : wenn (a,b) R und (b,c) R → (a,c) R

Notation: AL [U] [E] [N] [C] [O] [H] [I] [Q] [F]

S[H] [I] [Q] [F]

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Ziel: Verwendung eines DL-Systems für PG

Wissensbasis K=(T,A)

allgemeingültigesWissen

konkretes Situationswissen

Inferenzsystem

Benutzerschnittstelle

T Boxallgemeingültiges

Wissen

A Boxkonkretes

Situationswissen

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TBox: Terminologien

Terminologische Axiome:Machen Aussagen wie Konzepte miteinander in Verbindung stehen: C ≡ D (Äquivalenzen)

Definitionen: Äquivalenzen mit atomaren Konzept auf der linken Seite (symbolische Namen) Beispiel: Mann ≡ Person ⊓ Frau

C D (Inklusionen)⊑Beispiel: Frau ⊑ Person

Terminologie (TBOX): Eine endliche Menge von Definitionen und Inklusionen

Zyklische Defintion:Eine Definition, die definiertes in der Definition verwendetBinärbaum = Baum ⊓ ≤ 2 hatNachfolger ⊓ hatNachfolger.Binärbaum

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Definitionen, …

Normalisierung einer generalisierten Terminologie:

Für alle Inklusionen mit C ⊑ D:→ Ersetze C ⊑ D durch C ≡ C* ⊓ D

Damit repräsentiert C* den Unterschied von C zu D

Eine Interpretation I erfüllt eine Äquivalenz mit C ≡ D genau dann, wenn C = D

Eine Interpretation I erfüllt eine Inklusion mit C ⊑ D genau dann, wenn C D

Modell einer Terminologie (TBox) T: Interpretation I ist genau dann ein Modell, wenn I alle Axiome der Terminologie T erfüllt.

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Beispielhafte TBox & Expandierung

Frau Person⊑oder

Frau ≡ Person ⊓ Weiblich Mann ≡ Person ⊓ Frau Mutter ≡ Frau ⊓ hatKind.Person Vater ≡ Mann ⊓ hatKind.Person Elternteil ≡ Mutter ⊔ Vater Großmutter ≡ Mutter ⊓ hatKind.Elternteil

Frau ≡ Person Weiblich⊓ Mann ≡ Person ⊓ (Person ⊓ Weiblich) …

Expansionen können exponentiell groß werden und sind ausschließlich bei azyklischen Terminologien berechenbar

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ABox: Assertions

Spiegeln das konkrete Situationswissen (world description) Arten von Assertions:

a, b, c: Namen von Individuen, C: Konzept, R: Rolle:

Concept Assertion C(a): a gehöhrt zu (der Interpretation von) C

Role Assertion R(b, c): c ist Rollenfüller der Rolle R für b

Beispiele:Mutter(Elfriede) Elfriede ist eine MutterFrau(Bettina) Bettina ist eine FrauhatKind(Elfriede, Bettina) Bettina ist das Kind von Elfriede

Assertions in der ABox sind syntaktische Konstrukte→ Erweiterung der Semantik um Interpretationen von Individuen

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ABox: Semantik für Individuen

Erweiterung der Interpretation I = (, ∙)mit∙ : Funktion: a → a für alle Individuen a.

a b→a b: unique name assumption (UNA) Eine Interpretation I erfüllt die

Concept Assertion C(a) genau dann, wenn a C

Role Assertion R(b,c) genau dann, wenn (b,c R

Modell einer ABox A: Interpretation I genau dann, wenn I alle Assertions einer ABox A erfüllt.

(Wdh.)Modell einer Terminologie (TBox) T: Interpretation I genau dann, wenn I alle Axiome der Terminologie T erfüllt.

Modell einer ABox A bezüglich einer TBox T:Interpretation I, genau dann wenn I ein Modell der ABox A und gleichzeitig der TBox T ist.

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Der Weg zur Inferenz (1)

Woran sind wir bezüglich Konzepten interessiert? Erfüllbarkeit (satisfiability):

Ein Konzept C ist erfüllbar bezüglich einer TBox T wenn es ein Modell I von T gibt, so dass C nicht leer ist. (I ist Modell von C)

Inklusion (subsumption):Ein Konzept C wird von einem Konzept D bezüglich einer TBox T inkludiert wenn C D für jedes Modell I von T. (C ⊑T D)

Äquivalenz (equivalence):Zwei Konzepte C und D sind bezüglich einer TBox T äquivalent wenn C Dfür jedes Modell I von T. ((C ≡ T D) )

Disjunktheit (disjointness):Zwei Konzepte C und D sind disjunkt bezüglich einer TBox T wenn CD= für jedes Modell I von T.

Alle Aussagen können auf Inklusion, Erfüllbarkeit bzw. Konsistenz reduziert werden:→ 1 Algorithmus zur Beantwortung aller Fragestellungen

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Der Weg zur Inferenz (2)

Woran sind wir bezüglich Assertions interessiert? Konstistenz einer ABox A (bezüglich einer TBox T)

Es existiert eine Interpretation I, die Modell für A (und T) ist

Instance-CheckEine ABox A zieht eine assertion C(a)nach sich (A ⊨ C(a) ), wenn jede Interpretation, die A erfüllt auch C(a) erfüllt. A ⊨ C(a) genau dann, wenn A { C(a)} konsistent ist.

Retrieval-ProblemFinde alle Individuen a für eine ABox A und ein Konzept C mit:A ⊨ C(a)

Realization-Problem (Dual zum Retrieval-Problem)Welches Konzept C realisiert für ein gegebenes Individuum a den Schluß: A ⊨ C(a), es gibt kein D mit (D ⊑ C und A ⊨ D(a) )

Erfüllbarkeit eines Konzeptes C:C erfüllbar genau dann, wenn {C(a)} konsistent (a beliebig)

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Open-World-Assumption(1): Ödipus

Informationen in einer ABox sind grundsätzlich unvollständig→ Vorsicht beim Inferenzprozess und bei der Entwicklung derWissensbasis (Knowledge Engineering)

Ödipus

Iokaste

Polyneikes

Thersandros

≡ hatKind

Die Wahrheit

hatKind(Iokaste, Ödipus)hatKind(Ödipus, Polyneikes)hatKind(Iokaste, Polyneikes)hatKind(Polyneikes, Thersandros)

VaterMörder(Ödipus)VaterMörder(Thersandros)

Die Fakten

Hat Iokaste ein Kind, das ein Vatermörder ist; dessen Kind jedoch kein Vatermörder ist?

A (⊨ hatKind(VaterMörder ⊓ hatKind. VaterMörder)) (Iokaste)?

Die Frage

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Open-World-Assumption (2): Inferenz

Ödipus

Iokaste

Polyneikes

Thersandros

≡ hatKind

Interpretation I1

Ödipus

Iokaste

Polyneikes

Thersandros

≡ hatKind

Interpretation I2

Sowohl in der Interpretation I1 als auch in der Interpretation I2

hat Iokaste ein Kind das ein Vatermörder ist; dessen Kinde jedoch kein Vatermörder ist.

→ A (⊨ hatKind(VaterMörder ⊓ hatKind.VaterMörder)) (Iokaste)?

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Structural Subsumption Algorithmen

Reduktion auf Inklusion

C ist unerfüllbar C ⊑

C ≡ D C D und D C ⊑ ⊑ CD= (C ⊓ D) ⊑

Idee:

Test auf Inklusion von Konzepten

Algorithmen zum Vergleich syntaktischer Strukturen

Schwächen

unvollständig: Es werden Inklusionen übersehen

keine Unterstützung von Negation, Disjunktion und kompletter Existenzquantifizierung → Ausdrucksfähigkeit begrenzt

erlauben keine zyklischen Terminologien

→ Entwicklung einer effizienteren Strategie

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Tableau-based Subsumption Algorithmen (1)

Keine direkte Prüfung auf Inklusion: sondern Reduzierung von Inklusion auf Erfüllbarkeit:

C ⊑ D genau dann, wenn C ⊓ D unerfüllbar

Idee: Wenn (C ⊓ D) unerfüllbar → C ⊑ D Finden einer Interpretation I mit (C ⊓ D) Lösung entspricht der eines Constraintproblems

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Tableau-based Subsumption Algorithmen (2)

Vorgehen

leere ABox A

Initialisierung von A mit A:={(C ⊓ D)(x)}

Sukzessive Anwendung von konsistenzerhaltenden Transformationsregeln:→ Menge von ABoxes S:={A1,…, Ak}

Die initialisierte ABox ist konsistent genau dann wenn mindestens eine ABox Ai (mit 1≤ i ≤ k ) konsistent ist.

Lösung von ausdrucksstarken DL-Dialekt erfordert (theoretisch) exponentiellen Zeitaufwand

Optimierungen von Tableau-Based Algorithmen: → In der Praxis sehr effizient

Einsatz in derzeitigen DL-Reasoner (Racer, Fact)

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Fazit

Description Logics: neue effiziente Form der Wissensrepräsentation

Die Basis Description Logic FL-0

Syntax

Semantik

Erweiterungen (Dialekte)

→ gute Skalierbarkeit durch Anpassung der Ausdrucksfähigkeit

Von der Description Logic zum DL-Reasoner Terminologien, Assertions & Inferenz

Tableau-based Subsumption Algorithms Effizientes Reasoning für Description Logics

State-of-the-Art in aktuellen Reasonern

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Ausblick für die Projektgruppe P2P

Evaluierung über den Einsatz von Description Logics

Identifikation von allgemeingültigem Wissen

Entscheidung für einen Dialekt

Überführung des Wissens in eine Terminologie

Entscheidung für einen DL-Reasoner

Einbindung von Terminologien in den DL-Reasoner

Prototypische Realisierung mit konkretem Situationswissen

Wissensbasis K=(T,A, R)

allgemeingültigesWissen

konkretes Situationswissen

Inferenzsystem

Benutzerschnittstelle

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Fragen & Diskussion

Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit !

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Ursprünge von Description Logics (DL)

Repräsentation von Wissen in Form von:

Objektklassen (Konzepten)

Beziehungen zwischen diesen Objektklassen (Rollen)

Semantische Netzwerke, frame-based systems, KL-ONE

Mann Frau

Vater Mutter

Person

hatKind

Elternteilbeispielhaftes semantisches Netzwerk

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b a c k u p – f o l i e n

Trigger Rules als Ergänzung der TBox Komplexität für das Reasoning von Dialekten

OWL DL → Martin Steinhoffs Seminarvortrag (T8: OWL) Ian Horrocks „DAML+OIL: A Description Logic for the

Semantic Web“

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Trigger Rules

Zusätzlich zu Terminlogien (TBox) und Weltbeschreibungen (ABox) Seien C, D Konzepte:

C D„Wenn ein Individuum eine Instanz eines Konzeptes C istdann ist es auch eine Instanz des Konzeptes D“

Erweiterungen der Knowledge Base zu K = (T,A,R) Trigger Rules sind eng zu Inklusionen C D verwandt, aber:⊑

C D D C

Notation: C D K C D⊑K realisiert Beschränkung auf gültige Instanzen der ABox oder solche die durch ABox und TBox impliziert werden.

→ Durch diese Beschränkung wirkt sich das Inklusionsaxiom nicht auf Erfüllbarkeit und Inklusionsbeziehungen zwischen Konzepten aus.

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Komplexität für Inferenzprozesse

nach F. M. Donini et al: "The Complexity of Concept Languages“

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Algorithmen

Daten Daten

Wissen

Inferenz

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Wissensbasis

allgemeingültigesWissen

konkretes Situationswissen

Inferenzsystem

Benutzerschnittstelle

33

Prädikatenlogik erster Stufe (FOL)

DL

Unäre PrädikateVater(x)

Binäre PrädikatehatKind(x,y)

Beschränkungauf 1 freie Variable

transitive Rollenbeschreibungen