H-1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D building. 3 rd floor Tel: 00 36 1 463 16 80 Fax: 00 36 1 463 30 91

www.hds.bme.hu

Kaotikus attraktorok invariáns

tulajdonságainak becslése mért vagy

szimulált adatok segítségével

Farkas Bence fabe@hds.bme.hu,

Dr. Paál György paal@hds.bme.hu

Bevezetés

• Kevés ideje folyó kutatás

– Kiforratlan

– Könnyű becsatlakozási lehetőség• Alapvető különbség a mért és a szimulált adatok között.Mérés:

–Hosszabb időszak– Nagyobb zaj

– Egy időpontról egy (vagy kevés) adat.

Vázlat

1. Kaotikus attraktorokkal kapcsolatos alapfogalmak

2. Az eddig elkészült programok a mérésből származó adatok elemzéséhez

3. Kitűzött célok a szimulációból származóadatok elemzéséhez

1. Alapfogalmak

nn1 RR:fC),(f →∋= xxɺ

autonóm d.e.r.

• A fizikai rendszer legyen disszipatív.

• Attraktív halmaz:

attraktív, ha van olyan környezete, amiből indított trajektóriák idővel A-ba tartanak

• A topologikusan tranzitív halmaz:Ha bármely részhalmazából indulva A minden részébe eljuthatunk.

nRA ⊂

Kaotikus attraktor

nRA ⊂ kaotikus attraktor, ha– Kompakt

– Invariáns

– Attraktív

– Topologikusan tranzitív

– A belőle induló megoldások érzékenyen függnek a kezdeti feltételektől

• Invariáns tulajdonságok:– Topologikus entrópia, fraktáldimenzió, Ljapunov-

exponensek.

2. Mért jelek elemzése

a) Időeltolás meghatározása

b) Beágyazó dimenzió meghatározása

c) Fázistér rekonstrukció

d) Attraktor invariánsainak becslése

a) Időőőőeltolás meghatározása

megoldásása az x0-ból induló trajektória.

• Számunkra ebből csak egy koordináta ismert és az is csak diszkrét pontokban.

s1, s2, s3, …

• Megmutatható, hogy az időeltolásos technika alkalmazásával konstruált [si, si+n,…, si+(d-1)n]vektorok az eredeti fizikai változók valamilyen nemlineáris kombinációi.

p.é.k)t(),(f 00 xxxx ==ɺ

Időőőőeltolás meghatározása 2

• Így a fizikai fázistér helyett annak valamilyen nemlineáris transzformáltjában haladó d-dimenzióstrajektóriát konstruálunk. De:

• A számunkra fontos mennyiségek (Ljapunov-exponensek, fraktáldimenzió, stb.) invariánsak a folytonos nemlineáris transzformációkra. (Takens1981, Mane 1981)

Példa: Lorenz attraktor Lorenz attraktor egyik koordinátája

Rekonstruált attraktor Megfelelőőőő időőőőlépés kiválasztása

• A vektor koordinátái legyenek egymástól „minél függetlenebbek”– Autókorreláció

– Average mutual information

Beágyazó dimenzió meghatározása

• SVD– A skalár jelünket egy elegendően nagy dimenziójú térbe ágyazzuk (időeltolásos technikával).

– Az így létrehozott vektor jel koordinátáinak egymással vett kovarianciáiból létrehozzuk a kovariancia-mátrixot.

– Erre alkalmazzuk az SVD-t.

– Sajátértékekben ugrás (jel vs. zaj)

Beágyazó dimenzió meghatározása 2

• A jelet egyre nagyobb dimenziós terekbe ágyazva vizsgáljuk, hogy egy kiválasztott pont környezetébe a sugár hányadik hatványával arányos másik pont esik.

• Egy idő után már hiába növeljük a beágyazódimenziót, a fenti érték nem fog növekedni

Példa: Lorenz Maximális Ljapunov exponens

• Közeli pontok távolodásának üteme exponenciális. (irányfüggő)

• Pontcserélős algoritmus…

Üreghang

• Parc. Diff. -> elvileg végtelen dimenziós rendszer

• Vannak esetek, amikor a rendszer viselkedése mégis nagyon jól leírható néhány változóval.

Attraktor rekonstrukció (üreghang)

Kaotikus esetben probléma

• Nem tudunk elég hosszú jelet előállítani szimulációval (időigény)

• Olyan módszerre van szükség, ami nem támaszkodik a jel hosszára (nem csak skalár)

• Az irodalom kiválasztásában adunk segítséget

• Feladat: Új módszerek megértése, implementálása