Leerwerkboek

eerstegraadsfunctiesen rechtenTSo/kSo 3u/4u

3

Roger Van Nieuwenhuyze

Mark Muylaert

Filip Geeurickx

Erik Willockx

Philip Bogaert

BEWERkt VooR hEt Go!

onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door

Wendy Luyckx

Els Sas

Mark Verbelen

tinne Van Breda

CaRtooNS

Dave Vanroye

01_001-039_943030109_.indd 1 18/10/12 07:52

BetekenisWaar komen al die wiskundige begrippen vandaan?

samenvatting De belangrijkste eigenschappen, begrippen en regels van een leerstofonderdeel.

te onthoudenDeze leerstof moet je goed kennen en begrijpen vooraleer je verder kunt.

voorwoord

2

isBn: 978 90 4861 411 0kon. Bib.: d/2012/0147/296Bestelnr.: 94 303 0109 nuR: 128, 129

Copyright by die keure Brugge

Verantwoordelijke uitgever: N.V. die keure,

kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België -

h.R. Brugge 12.225

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of

openbaar gemaakt worden door middel van druk,

fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder

voorafgaande schriftelijke toestemming van de

uitgever. Verhuur van dit boek is niet toegestaan

zonder uitdrukkelijke toestemming van de uitgever.

No part of this book may be reproduced in any form

by print, photoprint, microfilm or any other means

without written permission from the publisher.

dit boek bestaat uit 4 grote delen. elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. de volgende handige picto-grammen gebruiken we in het leerboek:

01_001-039_943030109_.indd 2 18/10/12 07:52

RekenmaChineHier wordt uitgelegd hoe je rekenmachine je kan helpen.

gesChiedenisEen wiskundige terugblik in de tijd. Leuke wetenswaardigheden over hoe het vroeger was.

na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen.

om iets gemakkelijk terug te vinden, kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan het boek. die woorden staan ook in de marge afgedrukt, op de plaats waar ze het voor eerst gebruikt worden.

de schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde.

3

01_001-039_943030109_.indd 3 18/10/12 07:52

4vergelijking elk lijnstuk plaatsen in het vlak. En de evenwijdigen hebben dezelfde richting(scoëfficiënt).

Nog even dit: wanneer een spin koffie drinkt, is de wiskunde in haar web volledig verdwenen.

Uiterst geraffineerd (en snel) werkt deze spin aan haar web. Sommige spinnen produceren draden die sterker zijn dan staaldraad en anderen brengen dan weer lijm aan op hun web.

Een mooi web zit boordevol wiskunde. Je kunt immers met een simpele

1 VergelijkingeninR

1 Inleiding > 8 2 Even herhalen > 8 3 Eerstegraadsvergelijking in R > 10 4 Speciale vergelijkingen > 11 5 omvormen van formules > 12 6 Vraagstukken > 12 7 Vergelijkingen van de eerste graad

bespreken > 13 8 Samenvatting > 14 9 oefeningen > 15

01_001-039_943030109_.indd 4 18/10/12 07:52

inhoud

5

4 Vergelijkingenvanrechten

1 Vergelijkingen van de vorm ux vy w 0+ + = > 78 2 oplossen van vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden > 78 3 Bespreking van de vergelijking

ux vy w 0+ + = > 79 4 Voorwaarde opdat een punt op een rechte

ligt > 81 5 opstellen van de vergelijking van een rechte

als één punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn > 81

6 opstellen van de vergelijking van een rechte als twee verschillende punten gegeven zijn > 82

7 Samenvatting > 84 8 oefeningen > 85

Trefwoordenregister > 90

2 OngelijkhedeninR

1 Inleiding > 42 2 De verenigbaarheid van optelling en orde > 42 3 De verenigbaarheid van vermenigvuldiging en

orde > 42 4 Intervallen in R > 43 5 ongelijkheden van de eerste graad

oplossen > 44 6 Speciale ongelijkheden > 45 7 Vraagstukken > 45 8 Samenvatting > 46 9 oefeningen > 47

3 Functiesvandeeerstegraad

1 Inleidende voorbeelden > 54 2 Definitie > 56 3 Begrippen > 56 4 Richtingscoëfficiënt en tekenverloop > 57 5 Grafiek van : :: R Rf x ax b a 0" " + =Y] g > 60 6 Constante functies > 62 7 Vergelijking van een rechte evenwijdig

met de y-as > 63 8 Constructie van een rechte > 64 9 het bepalen van de snijpunten van een rechte

met de assen > 65 10 Richtingscoëfficiënt > 66 11 Samenvatting > 67 12 oefeningen > 69

01_001-039_943030109_.indd 5 18/10/12 07:52

Vergelijkingen in

6

01_001-039_943030109_.indd 6 18/10/12 07:52

1

7

Vergelijkingen in

1 Inleiding > 8

2 Evenherhalen > 8

3 EerstegraadsvergelijkinginR > 10

4 Specialevergelijkingen > 11

5 Omvormenvanformules > 12

6 Vraagstukken > 12

7 Vergelijkingenvandeeerstegraadbespreken > 13

8 Samenvatting > 14 9 Oefeningen > 15

01_001-039_943030109_.indd 7 18/10/12 07:52

8

1) Inleiding

Hey Sanne

Even een kort mailtje vanop GWP, spijtig dat je niet meekon met je gebroken enkel. De activiteiten zijn soms wel wat saai, je mist daar niet zoveel dus . Maar in de namiddag krijgen we ook altijd even vrij, wij gaan dan meestal iets drinken op het terras van het hotel. Best wel duur hier hoor 2,30 euro voor een drankje! Maar het is er wel heel tof om te zitten … we worden bediend door een jongen met zo'n mooie blauwe ogen !!!’k Zal wel eens moeten berekenen hoeveel drankjes ik bij hem nog zal kunnen bestellen, ik heb nog maar 35 euro en 65 cent en wil absoluut die coole pet van 14,20 euro nog kopen als souvenier!

Groetjes en tot gauw !

Elke

Door in dit vraagstuk het gezochte getal, het aantal drankjes, te vervangen door de letter d,

kunnen we het probleem van Elke “vertalen” in een wiskundige vergelijking

35, 65 14,20 2,30 d= + $

als je deze vergelijking oplost, vind je

35, 65 14,20 2,30 35, 65 14, 20 2, 30 21, 45 2, 30,,

F F Fd d d d2 30

21 45= + = = =-$ $

als we deze oplossing dan even terug “vertalen” naar de situatie van Elke, weten we dat

,, ,Fd d

2 3021 45 9 33.=

Elke heeft dus net niet genoeg geld om 10 drankjes te bestellen, ze zal genoegen moeten nemen met 9

bezoekjes aan haar favoriete kelner!

2) Evenherhalen

Voorbeeld: 3 2 517 2 156 8 48

+ =

- =

=$al deze uitspraken zijn gelijkheden.gelijkheden

01_001-039_943030109_.indd 8 18/10/12 07:52

9

Deel 1 Vergelijkingen in R

Een uitspraak kan waar of onwaar zijn. Zo klopt de uitspraak 3 2 5+ = , maar de uitspraak

3 2 6+ = is onwaar.

Wanneer er in een gelijkheid een onbekend element voorkomt, spreekt men van een vergelijking.

Voorbeeld: x21

37+ = is een vergelijking.

Een waarde voor x waarvoor de vergelijking een ware uitspraak wordt, noemen we een oplossing

van de vergelijking. We noteren de oplossing onder de vorm van een verzameling: de

oplossingsverzameling.

Opmerking: 3 9 3Fx x= =

Je ziet dat er vanaf nu steeds een gelijkwaardigheidsteken (equivalentieteken) tussen de

opeenvolgende vergelijkingen staat. Dit gelijkwaardigheidsteken geeft aan dat het hier gaat om

gelijkwaardige vergelijkingen, dat wil zeggen vergelijkingen met dezelfde oplossingsverzameling.

Vorige jaren heb je geleerd hoe je vergelijkingen in Q moet oplossen.

Voorbeeld:

4(x + 3) + 14 = 7x - 9

B

4x + 12 + 14 = 7x - 9

B

4x - 7x = -9 - 12 - 14

B

-3x = -35

B

x = -35-3

= 353

V = {353 }

Methode:

1. Werk de haken weg;

2. verzamel alle termen waarin de onbekende voorkomt in het ene lid en alle overige

termen in het andere lid;

3. schrijf beide leden zo eenvoudig mogelijk;

4. bereken de onbekende;

5. noteer de oplossingsverzameling.

Indien in de vergelijking breuken staan, dan kun je de vergelijking soms vereenvoudigen door de

noemers weg te werken. Dit kan door elk lid te vermenigvuldigen met het kleinste gemeen veel-

voud van de noemers. Uiteraard moet je steeds voorrang verlenen aan het uitwerken van de haak-

jes.

waar, onwaar

vergelijking

oplossing

oplossingsverzameling

gelijkwaardigheidsteken

gelijkwaardige

vergelijkingen

01_001-039_943030109_.indd 9 18/10/12 07:52

10

We lossen hieronder dezelfde vergelijking op twee manieren op: links werken we de noemers weg,

rechts laten we de breuken staan.

22 1

1

B

B

B

B

B

B

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

32

21

3 21 2 1

32

6 41 2 1

1232

6 41 2 1 12

8 2 3 24 12

2 24 12 8 3

22

1312

1312

1312

+ + = +

+ + = +

+ + = +

+ + = +

- = - -

=

=

–

–

$ $

c

c ^

m

m h

11

11

1

B

B

B

B

B

B

x x

x x

x x

x x

x

x

x

32

21

3 21 2 1

32

6 41 2 1

62 1

32

41

6 612

1212

128

123

6 121

121 6

22

+ + = +

+ + = +

- = - -

- = - -

=

=

=

–

––

$

c m

1V22

= –' 1

3) EerstegraadsvergelijkingeninR

In dit hoofdstuk behandelen we enkel vergelijkingen van de eerste graad in één onbekende.

Dit betekent dat beide leden bestaan uit een veelterm van de eerste graad in één en dezelfde

onbepaalde.

De verzameling waarin we de vergelijking oplossen, noemen we de referentieverzameling.

De oplossingsverzameling is een deelverzameling van de referentieverzameling.

Dit schooljaar zal de referentieverzameling van onze vergelijkingen meestal R zijn.

De oplossingsmethode om vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende in R op te

lossen, is dezelfde als die in Q.

Voorbeeld 1: @ ⋅ (x - 2) = 3 - x

B

@x - 2@ = 3 - x

B

@x + x = 3 + 2@

B

(@ + 1)x = 3 + 2@

B

x = 3 + 2@@ + 1

V = {3 + 2@@ + 1 }

Voorbeeld 2:

2

2

B

B

B

B

B

x x

x x

x x

x

x

x

V

21 3 2 2

21 2 2 3

21

24 2 3

23 2 3

23

2 3

32 3

32 3

- = +

- = +

- = +

= +

=+

=+

=+

–

–

–

–

^

^

h

h( 2

eerste graad

referentieverzameling

01_001-039_943030109_.indd 10 18/10/12 07:52

11

Deel 1 Vergelijkingen in R

de hoofdstelling van de algebra

- De natuurlijke getallen die de basis van ons getalstelsel vormen, volstaan niet om een eenvoudige

vergelijking zoals x 1 0+ = op te lossen.

- Om toch een oplossing te vinden, moet men de natuurlijke getallen uitbreiden tot de verzameling van de

gehele getallen. Het getal 1– is dan een wortel (of een oplossing). Maar binnen die verzameling heeft

2 1 0x+ = geen oplossing.

- We breiden de gehele getallen uit tot de verzameling van de rationale getallen. Het getal 21– is dan een

wortel van die vergelijking. Maar binnen die verzameling heeft 2 0x 2- = geen oplossing.

- We breiden de rationale getallen uit tot de verzameling van de reële getallen.

2 2en – zijn dan de wortels. Maar binnen die verzameling heeft x 2 02=+ geen oplossing.

In de hogere jaren van het secundair onderwijs zul je zien dat we de reële getallen kunnen uitbreiden tot de

verzameling van de complexe getallen. Zijn hierin dan alle vergelijkingen oplosbaar of moeten we nadien nog

eens uitbreiden?

In 1799 bewees Gauss, de prins van de wiskunde, dat elke vergelijking van de vorm

… 0a x a x a11

0nn

nn

+ + + =-

- , n wortels heeft binnen de verzameling van de complexe getallen. Die stelling

staat bekend als de hoofdstelling van de algebra.

4)SpecialevergelijkingenSoms kan men bij het oplossen van een vergelijking tot een merkwaardig resultaat komen.

Voorbeeld: 4 2 3

4 2 3 6

4 3 6 2

0 4

B

B

B

x x

x x x

x x x

x

x2+ = +

+ = + +

- - = -

=

+$ ^ h

aangezien er geen enkel reëel getal bestaat dat vermenigvuldigd met 0 gelijk is aan 4, is de oplos-

singsverzameling van die vergelijking leeg ( V VfoQ= = # -).

Dergelijke vergelijking noemt men een strijdige of valse vergelijking.

Voorbeeld: 3 2 3

3 2 3 3 1

3 3 2 3 1

1B

B

B

x x

x x

x x

x

1

0 0

- = -

- = - +

- = - +

=

+$ ^ h

aangezien elk reëel getal bij vermenigvuldiging met 0 als product 0 oplevert, is de

oplossingsverzameling van die vergelijking de verzameling van de reële getallen (V = R).

Dergelijke vergelijking noemt men een onbepaalde of identieke vergelijking.

strijdige vergelijking

valse vergelijking

onbepaalde vergelijking

identieke vergelijking

01_001-039_943030109_.indd 11 18/10/12 07:52

12

5) Omvormenvanformules

In wetenschappelijke vakken is het soms nuttig en noodzakelijk om formules te kunnen omvormen.

Voorbeeld: Een rechthoek heeft een omtrek P van 24 m en een lengte l van 8 m.

Wat is de breedte b?

2 P Pl b l b P b P lP2 2

= + + = = -^ h

Maak er een gewoonte van om eerst je formule om te vormen en dan pas de getalwaarden in te

vullen.

24 8 12 8 4P P Pb P l b b b2 2

m m m m m= - = - = - =

6) Vraagstukken

Vorig jaar heb je geleerd vraagstukken op te lossen door de tekst te vertalen naar de

wiskundetaal. op die manier verkreeg je een vergelijking van de eerste graad.

Werkwijze:

1. Lees het vraagstuk grondig;

2. stel datgene wat je zoekt voor door een letter, bijvoorbeeld x;

3. vertaal het vraagstuk naar een vergelijking;

4. los de vergelijking op en voer de proef uit;

5. vertaal je oplossingsverzameling opnieuw naar de context van het vraagstuk om een

antwoord te formuleren.

Voorbeeld 1: als men twee derden van een getal vermeerdert met het dubbel van het getal,

dan bekomt men 32. Bepaal dit getal.

We gaan dit vraagstuk nu “vertalen” naar een vergelijking.

als men twee derden van een getal / vermeerdert / met het dubbel van het getal, /

dan bekomt men 32. / Bepaal dit getal.

Onbekende: g is het getal.

Vergelijking: g32 32+ =g2X V

12

B

B

B

g g

g

g

V

2 6 96

8 96

12

+ =

=

=

= " ,

Proef: 12 2 12 8 24 3232 + = + =$ $

Antwoord: het gevraagde getal is 12.

01_001-039_943030109_.indd 12 18/10/12 07:52

13

Deel 1 Vergelijkingen in R

Voorbeeld 2: hoeveel koffie van E 9 / kg moet je mengen met 36 kg koffie van E 7,50 / kg om een

mengsel van E 8,10 per kg te bekomen?

Onbekende: Er is x kg koffie van E 9 / kg nodig.

Er is dan in het totaal 36 x+^ h kg koffie in het mengsel.

Vergelijking: , ,

, ,

, ,

, ,

24

B

B

B

B

x x

x x

x x

x

x

V

9 7 50 36 8 10 36

9 270 291 6 8 10

9 8 10 291 6 270

0 9 21 6

24

+ = +

+ = +

- = -

=

=

=

$ $ $ ^ h

" ,

Proef: 24 9 36 7,50 216 270 486+ = + =$ $ en

8, 10 60 8, 10 48624 36+ = =$ $^ h

Antwoord: Men neemt 24 kg koffie van E 9 / kg.

7)Vergelijkingenvandeeerstegraadbespreken

Soms gebruikt men in een vergelijking parameters. Dit zijn letters die reële getallen voorstellen.

Bij het oplossen van dergelijke vergelijkingen, moet men met alle mogelijke gevallen rekening

houden. Vermits de parameters elk reëel getal kunnen voorstellen, moet men verschillende

gevallen onderscheiden. Die gevallen onderzoeken, noemt men de vergelijking bespreken.

Voorbeelden: ax - 1 = 3

B

ax = 3 + 1

B

ax = 4

ax - 3 = 2x - 3

B

ax - 2x = -3 + 3

B

(a - 2) ⋅ x = 0

afhankelijk van de waarde van a, afhankelijk van de waarde van a,

krijgen we nu twee mogelijkheden: krijgen we nu twee mogelijkheden:

Bespreking: 1. a ≠ 0 1. a ≠ 2

de vergelijking heeft juist één de vergelijking heeft juist één

oplossing oplossing

x = 4a

V = {4a} x = 0

a - 2 V = {0}

2. a = 0 2. a = 2

de vergelijking wordt 0x = 4 de vergelijking wordt 0x = 0

dit is een valse vergelijking dit is een onbepaalde vergelijking

V = ∅ V = R

parameters

01_001-039_943030109_.indd 13 18/10/12 07:53

14

De algemene gedaante van een vergelijking van de eerste graad in één onbekende is:

ax + b = 0 met a, b C R

Bespreking: 1. a ≠ 0 ax + b = 0

B

ax = -b

B

x = -ba

V = {-ba }

De vergelijking heeft precies één oplossing

2. 0x + b = 0

2.1 b ≠ 0

de vergelijking heeft geen oplossingen

V = ∅

2.2 b = 0

de vergelijking heeft oneindig veel oplossingen

V = R

8)Samenvatting

• Je kunt in R eerstegraadsvergelijkingen met één onbekende oplossen door de algemene

methode toe te passen:

1. Werk de haken weg;

2. verzamel alle termen waarin de onbekende voorkomt in het ene lid en alle overige

termen in het andere lid;

3. schrijf beide leden zo eenvoudig mogelijk;

4. bereken de onbekende;

5. noteer de oplossingsverzameling.

Indien in de vergelijking breuken staan, kun je de vergelijking soms vereenvoudigen

door de noemers weg te werken. Dit kan door elk lid te vermenigvuldigen met het

kleinste gemeen veelvoud van de noemers.

• Je weet wat een valse (of strijdige) vergelijking is.

Je weet wat een onbepaalde (of identieke) vergelijking is.

Je kunt voor beide soorten vergelijkingen de oplossingsverzameling bepalen.

• Je kunt vraagstukken oplossen door ze om te zetten naar een eerstegraadsvergelijking en

door de volgende werkwijze toe te passen:

1. Lees het vraagstuk grondig;

2. stel datgene wat je zoekt voor door een letter, bijvoorbeeld x;

3. vertaal het vraagstuk naar een vergelijking;

4. los de vergelijking op en voer de proef uit;

5. vertaal je oplossingsverzameling opnieuw naar de context van het vraagstuk om

een antwoord te formuleren.

• Je kunt vergelijkingen van de eerste graad bespreken.

01_001-039_943030109_.indd 14 18/10/12 07:53

15

Deel 1 Vergelijkingen in R

9) Oefeningen

1 Los op in R.

a 5 9 2 36x x+ = +

b 2 4 5 17x x+ = -–

c 4 27 15 5x x+ = +

d x x83

45

32

213- = -

01_001-039_943030109_.indd 15 18/10/12 07:53

16

e 13 14 7 5x x- = -

f 0,2x - 0,12 + 0,08 = 0,8 - 0,36x

g 2, 75 3 , , 1,64x x0 5 0 02+ - =^ h

h x x31

52

65 4+ - =

01_001-039_943030109_.indd 16 18/10/12 07:53