Fachbereich Informatik und MathematikInstitut für Mathematik, Schwerpunkt Numerische Analysis

Sprung-Di�usions-Modelle zurBewertung Europäischer Optionen

Bachelorarbeit

im Fach Mathematik

angefertigt bei Prof. Dr. Thomas Gerstner

Ouaali Noureddine

18. September 2011

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Sprung-Di�usions-Modelle 32.1 Merton Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Die Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Eine Optionspreisformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Kou Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Eine Optionspreisformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Geschlossene Lösungen 73.1 Merton Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Plötzlicher Ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Lognormalverteilte Sprünge . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Kou-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.1 analytische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Herleitung der expliziten Formel . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Monte Carlo Simulation 184.1 Monte-Carlo-Simulation für das Merton- und Kou-Modell . . . . 19

4.1.1 Simulation an festen Zeitpunkten ti . . . . . . . . . . . . 214.1.2 Simulation der Sprungzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Numerische Ergebnisse 245.1 Geschlossene Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1.1 Plötzlicher Ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.2 Lognormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.1.3 Kou Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.1.4 Put-Call Tabelle für Merton und Kou-Modell . . . . . . . 27

5.2 Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Fazit 32

ii

Eidesstattliche Erklärung

Ich versichere, die Bachelorarbeit selbständig und lediglich unter Benutzung derangegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst zu haben.Ich erkläre weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht im Rahmen einesanderen Prüfungsverfahrens eingereicht wurde.

Danksagungen

An dieser Stelle möchte ich mich bei allen bedanken, die das Entstehen dieserArbeit möglich gemacht haben. Mein besonderer Dank gilt dabei Prof. Dr. Tho-mas Gerstner für die Überlassung des Themas und die gute Betreuung, sowieStefan Heinz für die Unterstützungen bei der Entwicklung dieser Arbeit.

iii

1 Einleitung

Die Bewertung derivativer Finzanzinstrumente kann näherungsweise mit Hilfemathematischer Modelle wie z.B. Di�erentialgleichungen oder Integro- Di�eren-tialgleichungen durchgeführt werden. Da diese Integro-Di�erentialgleichungennur in seltenen Fällen eine analytische Lösung besitzen, bedienen wir uns nu-merischer Verfahren, die uns zukünftige Entwicklungen simulieren und Lösungendieser Modelle berechnen. Wir werden uns in dieser Arbeit mit der Bewertungvon europäischen Optionen mittels Merton- und Kou-Modellen befassen.Black und Scholes [2] stellten fest, dass der faire Preis einer europäischen Optiondurch die Lösung einer speziellen partiellen Di�erentialgleichung (PDE) gege-ben ist. Sie nahmen an, dass der Kurs des Wertpapiers, welches der Option zu-grunde liegt, einer goemetrischen Brownschen Bewegung folgt. Die geometrischeBrownsche Bewegung ermöglicht es aber nicht, dass alle Eigenschaften eines Ak-tienkurses berücksichtigt werden. Insbesondere werden unter Verwendung einerBrownschen Bewegung, Sprünge im Kursverlauf des Werpapiers nicht berück-sichtigt. Ein Alternativer Ansatz der Kursmodellierung, in dem die Nachteile derBrownschen Bewegung nicht weiter auftreten, ist die Verwendung von Sprung-Di�usions-Modellen. Eine erste Erweiterung dieses Modells stellte die Arbeit vonMerton [8] dar. Er nahm darin an, dass sich der Kurs der Aktie aus einer steti-gen Komponente und einer Sprungkomponente zusammensetzt. Dies führte da-zu, dass zur Bewertung einer Option eine partielle Integro-Di�erentialgleichung(PIDE) gelöst werden kann. Der Grund dafür ist, dass die Sprungkomponente imMerton-Modell durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess, dessen Sprun-gintensitäten lognormalverteilt sind, modelliert wird. Ausgehend vom Merton-Modell sind in den letzten Jahren diverse Modelle entstanden, die man in derKlasse der Sprung-Di�usions-Prozesse zusammenfasst. Interessant für diese Ar-beit ist hierbei das Kou-Modell [4], das zu der genannten Klasse gehört. ImGegensatz zu Merton geht Kou davon aus, dass die Sprünge des Wertpapiersnicht lognormalverteilt sind, sondern einer Doppelexponentialverteilung folgen.Motiviert davon werden wir beide Modelle vorstellen. Erwähnnenswert dabeiist, dass das Merton-Modell geschlossene Lösungen in zwei Fällen liefert. Zumeinen der plötzliche Ruin und zum anderen lognormalverteilte Sprünge. DasKou-Modell hingegen, hat eine geschlossene Lösung für doppelexponentialver-teilte Sprünge.Falls keine analytische Lösung existiert, muss man auf numerische Verfahrenzur Bewertung europäischer Optionen zurückgreifen. In dieser Arbeit werdenwir das Monte-Carlo-Verfahren zur Bewertung europäischer Optionen beschrei-ben und zu Vergleichszwecken einsetzen. Hierbei werden die Kursbewegungenfür die Laufzeit der Option explizit simuliert, durch eine Wiederholung dieserSimulation und der Bestimmung eines Mittelwertes für den Kurspreis am Endeder Laufzeit kann schlieÿlich ebenfalls der Optionspreis bestimmt werden. Inunserem Fall werden wir das Monte-Carlo-Verfahren auf die bereits erwähntenSprungverteilungsfunktionen anwenden, wobei wir die Konvergenz gegen diegeschlossene Lösung für beide Modelle beobachten werden. Ein Problem, dasbei der Verwendung des Monte-Carlo-Vefahrens auftritt, ist die Ziehung von

1

Zufallszahlen , die einer speziellen Verteilung zugrunde liegen. Um diese Zu-fallszahlen zu erhalten, muss die Berechnung der inversen Verteilungsfunktionmöglich sein. Diese sind im Allgemeinen jedoch schwer zu berechnen. Bekanntsind nur Verfahren zur Bestimmung normalverteilter, lognormalverteilter unddoppelexponentialverteilter Zufallszahlen, die in dieser Arbeit verwendet wer-den.Die vorliegende Arbeit gliedert sich wie folgt:Kapitel 2 befasst sich mit den verschiedenen Modellen zur Bewertung europäi-scher Optionen. Zu Beginn wird kurz die Sprung-Di�usions-Modelle vorgestellt.Danach betrachten wir das Merton-Modell und Kou-Modell, für diese Model-le werden dann die Annahmen und die partielle Integro-Di�erentialgleichungenzur Berechnung des fairen Optionspreises dargestellt. In Kapitel 3 werden wirdie Existenz geschlossener Lösungen für die bereits vorgestellten Modelle zei-gen. Wobei wir Spezialfälle (plötzlicher Ruin, lognormalverteilte Sprünge) desMerton-Modells und doppelexponentialverteilte Sprünge im Fall von Kou, be-trachten. In Kapitel 4 wird das Monte-Carlo-Verfahren zur Bestimmung desOptionspreises auf die jeweiligen Modelle vorgestellt und angewendet. In Kapi-tel 5 werden die Ergebnisse der geschlossenen Lösung für den Fall des PlötzlichenRuins, den Fall der Lognormalverteilung und den Fall der Dopellexponential-verteilung diskutiert. Abschlieÿend wird das Monte-Carlo-Verfahren hinsichtlichseiner Konvergenz gegen die geschlossene Lösung untersucht. In Kapitel 6 gebenwir eine Zusammenfassung dieser Arbeit.

2

2 Sprung-Di�usions-Modelle

Sprung-Di�usions-Modell besteht aus zwei Komponenten, dem Sprung- und demDi�usionsteil. Die Di�usionskomponente besteht aus einer normalen Brown-schen Bewegung. Die zweite Komponente, der Sprung-Teil, besteht aus einerImpuls-und einer Verteilungsfunktion. Die Impulsfunktion gibt den Anstoÿ füreine Kursänderung, deren Gröÿe durch die Verteilungsfunktion bestimmt wird.Der Sprung-Teil ermöglicht es, plötzliche und unerwartete Kursänderungen zumodellieren.

dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dW (t) + ηS(t)dN (t) , (1)

wobei N(t) ein Poisson-Prozess mit Intensität λ ist und η eine Impulsfunktion,die einen Sprung von S nach S (1 + η) bewirkt.

.

Einige Beispiele:

� normalverteilt (Merton, 1976): η (x) = N (µ, σ)

� Doppel-Exponential-Verteilung (Kou-Modell) η (x) = pη1e−η1x1{x≥0} +

qη2eη2x1{x<0}

� Gamma: η (x) = C e−Mx

|x|

� Varianz-Gamma (Dilib, Eugene 1990): η (x) =

C eGx

−x x < 0

C e−Mx

x x > 0

� CGMY (Carr, Geman, Madan, Yor 2002): η (x) =

C eGx

(−x)1+Y x < 0

C e−Mx

x1+Y x > 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Sprungdiffusion-Modell(Merton)

Die Zeit t

St

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Sprungdiffusion-Modell(Kou)

Die Zeit t

St

3

Abbildung 1: links Zufallspfade des Merton-Modells mit folgenden Parametern(λ = 3.45;µJ = 0.01;σJ = 0.2) und Rechts Zufallspfade des Kou-Modells mit

folgenden Parametern (λ = 9.2; p = 0.5; η1 = 0.2; η2 = 0.2).

2.1 Merton Modell

Die Arbeiten von Black und Scholes führten zu einem groÿen Durchbruch im Be-reich der Optionspreisberechnungen und des Optionshandels. Ihre Arbeit basiertauf der Annahme, dass der Kurs des Wertpapiers, welches der Option zugrundeliegt, einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt. Allerdings ist es nichtmöglich, durch eine geometrische Brownsche Bewegung alle Eigenschaften einesAktienkurses wiederzugeben. Insbesondere Sprünge im Kursverlauf des Wertpa-piers können durch Verwendung einer Brownschen Bewegung nur unzureichenddargestellt werden. Merton hat in [8] ein Modell entwickelt, in dem die Aktien-kursdynamik durch einen Sprung-Di�usions-Prozess modelliert wird.

2.1.1 Die Annahmen

1. Der risikolose Zinssatz r ist bekannt und konstant über die Zeit.

2. Es gibt keine Transaktionskosten oder Steuern.

3. Es gibt keine Arbitragmöglichkeiten.

4. Es gibt keine Dividendenzahlungen.

5. Der Aktienkurs S(t) folgt einem Prozess, der durch die stochastische Dif-ferentialgleichung

dS(t)

S(t)= (α− λκ)dt+ σdW (t) + dq(t) (2)

bestimmt wird. Hierbei bezeichnet α der erwartete Aktienertrag (Aktienrendite)und σ2 die Varianz von S. Der Standard Wiener Prozess W (t) ist unabhängigvom Poisson-Prozess q (t). Die Wahrscheinlichkeiten dieses Prozesses lassen sichbeschreiben als:

P (DasEreignis tritt nicht im Intervall [t, t+ h ] auf) = 1− λh (3)

P (DasEreignis tritt im Intervall [t, t+ h] auf) = λh.

Dabei ist λ die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit und

κ = E [Y − 1] = E [Y ]− 1,

wobei (Y − 1) die prozentuale Veränderung des Preises ist, falls das Poisson-Ereignis eintritt. Der Erwartungswertoperator über die Zufallsvariable Y wirdmit E[.] bezeichnet.

4

2.1.2 Beschreibung des Modells

Die Gesamtdynamik des Aktienkurses setzt sich aus zwei Komponenten zu-sammen. Zum einen gibt es die normalen Preisschwankungen, dieser Part derDynamik wird durch eine Standard geometrische Brownsche Bewegung darge-stellt. Zum anderen gibt es die Veränderungen im Preis, die durch wichtige neueInformationen hervorgerufen werden. Diese Komponente des Preises wird durcheinen Poisson Prozess beschrieben. Falls ein Poisson-Ereignis eintritt, beschreibtdie Zufallsvariable Y die Auswirkung des Ereignisses auf den Aktienkurs. Dasheiÿt, wenn S(t) den Aktienkurs zum Zeitpunkt t wiederspiegelt, ist der Kurszum Zeitpunkt (t + h) gegeben durch S(t + h) = S(t)Y. Dabei wird vorausge-setzt, dass es sich bei der Zufallsvariable Y um eine Variable mit kompaktemTräger handelt und Y ≥ 0 gilt, und die Zufallsvariablen {Y } sind voneinanderunabhängig. In (2.4) beschreibt also σdW (t) die normalen marginalen Preis-schwankungen und dq(t) die Preissprünge. Wählt man λ = 0, so erhält man diegleiche Formel wie im Black-Scholes-Modell. Wir können die Gleichung (2.2)daher umschreiben in

dS(t)

S(t)=

(α− λκ) dt+ σdW (t) , falls das Poisson Ereignis nicht eintritt

(α− λκ) dt+ σdW (t) + (Y − 1) , falls das Poisson Ereignis eintritt,

(4)wobei mit Wahrscheinlichkeit 1 nur ein Poisson Ereignis an einem Zeitpunktstatt�ndet. Der entstehende Pfad ist dann gröÿtenteils kontinuierlich mit einigendiskreten Sprüngen, die unterschiedliche Vorzeichen und Gröÿen aufweisen. Fallsdie Parameter α, λ, κ, und σ konstant gewählt werden, kann man das Verhältnisvon S(t) und S(0) wie folgt ausdrücken:

S (t)

S (0)= exp

((α− σ2

2− λκ

)t+ σW (t)

)X(n), (5)

W (t) ist dabei eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 undVarianz t, X(n) = 1 für n = 0 und X(n) =

∏nj=1 Yj für n ≥ 1, wobei die

Yj unabhängig und gleich verteilt sind. Die Anzahl n der Sprünge ist Poisson-verteilt mit Parameter λt.

2.1.3 Eine Optionspreisformel

Wenn der Kurs des zugrunde liegenden Wertpapiers der in (2.2) beschriebenenDynamik folgt, ergibt sich für den Wert V einer entsprechenden EuropäischenOption:

Vt = −1

2σ2S2VSS − (r − λα)SVS + (r + λ)V − λ

ˆR+

V (Sy, t) gY (y) dy. (6)

Siehe [6] und [7].

5

2.2 Kou Modell

Ein weiteres Modell zur Bewertung von Optionen ist das Modell von Kou [4].Im Gegensatz zu Merton geht Kou davon aus, dass die Sprünge des Wertpapiersnicht lognormalverteilt sind, sondern einer Doppel-Exponential-Verteilung fol-gen. Die übrigen Marktannahmnen bleiben erhalten, es ändert sich also nur dieModellierung des Aktienkurses.

2.2.1 Beschreibung des Modells

Der Kurs der Aktie wird bei dem Kou durch folgende stochastische partielleDi�erentialgleichung beschrieben

dS(t)

S(t−)= µdt+ σdW (t) + d

N(t)∑i=1

(Vi − 1)

. (7)

Hierbei entspricht, wie auch schon in den vorangegangenen Modellen µ dem er-warteten Ertrag der Aktie und σ der Volatilität. W (t) ist eine Standard Brown-sche Bewegung, N(t) ein Poisson Prozess mit Parameter λ und die {Vi} einevon nicht negativen unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen für diegilt, dass Y = ln(V ) eine asymmetrische Doppel-Exponential-Verteilung hat.Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen Y ist gegeben durch

gY (x) = pη1e−η1x1{x≥0} + qη2e

η2x1{x<0} (8)

η1 > 0, η2 > 0.

Es gilt weiterhin p, q ≥ 0, p+ q = 1, p und q repräsentieren die Wahrscheinlich-keiten für Aufwärts- bzw. Abwärtssprünge. Mit anderen Worten

ln(V ) = Yd=

ζ+, mit Wahrscheinlichkeit p

−ζ−, mit Wahrscheinlichkeit q,

(9)

wobeid= für identisch verteilt steht und ζ+ und ζ− exponential verteilte Zu-

fallsvariablen mit Erwartungswert 1η1

bzw. 1η2

sind. In der Gleichung (2.7) sindalle Zufallsvariablen unabhängig, sowie aus Gründen der Vereinfachug wird derDriftterm µ und der Volatilitätsterm σ als konstant angenommen.Die Lösung der stochastischen Di�erentialgleichung (2.7) liefert uns die Dyna-mik des Wertpapierpreises

S(t) = S(0)exp

((µ− σ2

2)t+ σW (t)

)N(t)∏i=1

Vi, (10)

Durch die Transformation X(t) = log( S(t)S(0) ) ist

X(t) = (µ− σ2

2)t+ σW (t) +

N(t)∑i=1

log(Vi),

6

da Yi = ln (Vi) , dann ist

X(t) = (µ− σ2

2)t+ σW (t) +

N(t)∑i=1

Yi, (11)

dabei gilt

E[Y ] =p

η1− q

η2,

V ar[Y ] = qp(1

η1+

1

η2)2 + (

p

η21+

q

η22),

und

E[V ] = E[eY ]

= qη2

η2 + 1+ p

η1η1 − 1

, η1 > 1, η2 > 0. (12)

2.2.2 Eine Optionspreisformel

Wenn der Kurs des zugrunde liegenden Wertpapiers der in (2.7) beschriebenenDynamik folgt, ergibt sich für den Wert V einer entsprechenden EuropäischenOption wie beim Merton-Modell die folgende PIDE

Vt = −1

2σ2S2VSS − (r − λα)SVS + (r + λ)V − λ

ˆR+

V (Sy, t) gY (y) dy. (13)

Siehe [9].

3 Geschlossene Lösungen

3.1 Merton Modell

Leider ist es im Gegensatz zur Black-Scholes-Gleichung nicht einmal für Euro-päische Optionen möglich, für die von Merton entwickelte PIDE eine allgemeinegeschlossene Formel zur Lösung anzugeben, da das nicht-systematische Risikodes Sprungteils bei der Berechnung des fairen Preises berücksichtigt werdenmuss. Merton gibt zwei Spezialfälle an, in denen eine analytische Lösung gefun-den werden kann. Im folgende Abschnitt, die aus [8] und [6] entnommen, werdendie Lösungformeln für diese beiden Fälle angegeben.

Satz

Der Preis einer Europäischen Call Option unter dem Merton Modell istgegeben durch

VC(S, t) =

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]En

[BSC(StXne

−λκτ , τ,K, σ2, r)], (14)

wobei St = Ste(r− 1

2σ2)τ+σW (τ).

7

Beweis

Nach Martingal Ansatz ist

V (S, t) = e−r4tE∗[V (S, t+4t)],

wobei E∗ die Erwartungswert unter dem äquivalenten Martingalmaÿ ist.

Somit ist der Preis für einen Call gegeben durch

VC(S, t) = e−rτE∗[(ST −K)+].

Nach dem Satz vom totalen Erwartungswert ist

VC(S, t) = e−rτ∞∑n=0

P (n Sprunge)E[(ST −K)+ | n Sprunge]

∗= e−rτ

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]E[(Ste

(r− 12σ

2−λκ)τ+σW (τ)Xn −K)+]

= e−rτE[(Ste

(r− 12σ

2)τ+σW (τ)eλκτXn −K)+]

= e−rτ∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]E[(Ste

−λκτXn −K)+]

=

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

](e−rτE

[(Ste

−λκτXn −K)+])

=

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]E[BSC(StXne

−λκτ , τ,K, σ2, r)]

∗ : Setze ST durch Ste(r−12σ

2−λκ)(T−t)+σW (T−t)Xn ein, und

P (n Sprunge) = e−λτ (λτ)n

n! .

Wobei Xn =∏ni=1 Yi, und St = Ste

(r− 12σ

2)τ+σW (τ).

Ohne weitere Spezi�kation der Verteilungsfunktion der Yi können wir keineanalytische Lösung angeben.

Merton gibt zwei Spezialfälle an, in denen eine analytische Lösung gefundenwerden kann. Im folgenden Abschnitt, die aus [8] und [6] entnommen, werdendie Lösungformeln für diese beiden Fälle angegeben.

8

3.1.1 Plötzlicher Ruin

Die erste Möglichkeit für die Formulierung einer analytischen Lösung ist diedes plötzlichen Ruins. Wenn das Poisson-Ereignis eintritt fällt, der Aktienkursauf 0. Dies bedeutet, dass die Zufallsvariable Y, die die Änderung im Falle desPoisson-Ereignisses angibt, mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich 0 ist. Die prozentua-le Änderung des Aktienkurses liegt dann bei (Y − 1) = −1. Sei Xn =

∏ni=0 Yi

eine Zufallsvariable, die dieselbe Verteilung besitzt wie das Produkt von n un-abhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen, jede identisch verteilt zurZufallsvariable Y, wobei gilt, dass X0 = 1. So gilt für den Fall des plötzlichenRuins, dass Xn = 0 für n 6= 0 und κ = −1. In diesem Fall ist der Wert einerEuropäischen Call-Option mit verbleibender Laufzeit τ = T − t

VC(S, t) = BSC(St, τ,K, σ2, r + λ) (15)

Beweis

Nach (3.1) ist

VC(S, t) =

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]E[BSC(StXne

−λκτ , τ,K, σ2, r)]

=

[e−λτ (λτ)0

0!

]E[BSC(StX0e

−λ(−1)τ , τ,K, σ2, r)]

= e−λτBSC(Steλτ , τ,K, σ2, r)

= e−λτ (SteλτΦ(d1)−Ke−rτΦ(d2))

= StΦ(d1)−Ke−(r+λ)τΦ(d2),

wobei

Φ(x) =1√2π

ˆ x

−∞e−

y2

2 dy

die kumulative Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1 ist.

Nach dem Black-Scholes-Formel ist

d1 =ln( Ste

λτ

K ) + (r + 12σ

2)τ

σ√τ

=ln( StK ) + (r + λ+ 1

2σ2)τ

σ√τ

,

undd2 = d1 − σ

√τ .

Somit ist :VC(S, τ) = BSC(St, τ,K, σ

2, r + λ)

9

BSC(S, τ,K, σ2, r+λ) ist die Lösung der Black-Scholes-Gleichung. Diese Lösungist bis auf die höhere Zinsrate r = r+λ identisch mit der Standard Black-ScholesLösung. In [7] wird gezeigt, dass der Optionspreis eine wachsende Funktion derZinsrate ist. Somit ist eine Option auf eine Aktie mit positiver Wahrscheinlich-keit auf einen plötzlichen Ruin teurer als eine Option auf eine Aktie, die dieseMöglichkeit nicht berücksichtigt.

3.1.2 Lognormalverteilte Sprünge

Im zweiten Fall wird vorausgesetzt, dass die Zufallsvariable Y, welche die Kurs-änderung im Sprungfall angibt, lognormalverteilt ist.In diesem Fall kann der Preis einer Call-Option wie folgt geschrieben werden

VC(S, t) =

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]BSC

(St, τ,K, v

2n, rn

)(16)

wobei

� λ = λ(1 + κ),

� κ = E[Y − 1] = e(µJ+σ2J2 ) − 1,

� d1,n =ln(SτK )+

(rn+

v2n2

)τ

vn√τ

,

� d2,n = d1,n − vn√τ ,

� rn = r − λκ+ n(log(1+κ))τ ,

� v2n = σ2 +nσ2

J

2 ,

� µJ = Erwartungswert der Sprungverteilung,

� σ2J = Varianz der Sprungverteilung.

Um (3.3) zu beweisen, benutzen wir das folgende Lemma aus [10].

Lemma:

Falls eine Zufallsvariable X normalverteilt ist mit den Parametern µ und σ2

und α und β > 0 reelle Konstanten sind, dann gelten die folgendenEigenschaften

E[Φ(X)] = Φ(µ√

1 + σ2) (17)

und

E[eXΦ(X − αβ

)] = eµ+σ2

2 Φ(σ2 + µ− α√σ2 + β2

), (18)

Beweis der Formel (3.3)

10

De�niere Xn =∏ni=1 Yi, und sei V = log(Xn), dann ist

V =

n∑i=1

logYj

Da die Verteilung von Yj lognormalverteilt ist, das heiÿt logYj ∼ N(µJ , σ

2J

)dann ist

V =

n∑j=1

logYj ∼ N(nµJ , nσ

2J

)Nach (3.1) ist

VC(S, t) =

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]E[BSC(StXne

−λκτ , τ,K, σ2, r)]

=

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]E[BSC(Ste

V e−λκτ , τ,K, σ2, r)]

Nach dem Black-Scholes-Formel ist

E[BSC(SteV e−λκτ , τ,K, σ2, r)] = E

SteV e−λκτΦ(log( StK ) + V − λκτ + (r + σ2

2 )τ)

σ√τ

− E

Ke−rτΦ(log( StK ) + V − λκτ + (r − σ2

2 )τ)

σ√τ

(19)Wir werden diese beide Terme als T1 und T2 bezeichnen, und nacheinanderbetrachten.

Mit Hilfe (3.4) kann T2 geschrieben werden als

T2 = Ke−rτΦ

(− µ√

1 + σ2

)mit

µ =log( StK ) + nµJ + (r − λκ− σ2

2 )τ

σ√τ

und

σ2 =nσ2

J

σ2τ.

Nach (3.5) kann T1 geschrieben werden als

T1 = Ste−λκτenµJ+

nσ2J2 Φ

(nσ2

J + nµJ − α√nσ2

J + β

)

11

mit

α = λκτ − log(StK

)− (r +σ2

2)τ

undβ = σ

√τ .

dann ist

T1 − T2 = Ste−λκτenµJ+

nσ2J2 Φ

(log( StK ) + (r − λκ+ nµJ

τ +nσ2

J

τ + σ2

2 )τ√nσ2

J + σ2τ

)

−Ke−rτΦ

(log( StK ) + (r − λκ+ nµJ

τ −σ2

2 )τ√σ2τ + σ2

J

)

= Ste−λκτenµJ+

nσ2J2 Φ

log( StK ) + (r − λκ+nµJ+

nσ2J2

τ +σ2+

nσ2Jτ

2 )τ√nσ2

J + σ2τ

−Ke−rτΦ

log( StK ) + (r − λκ+nµJ+

nσ2J2

τ − σ2+nσ2Jτ

2 )τ√σ2τ + σ2

J

= Ste

−λκτenµJ+nσ2J2 Φ

(log( StK ) + (rn +

v2n2 )τ

vn√τ

)

−Ke−rτΦ

(log( StK ) + (rn − v2n

2 )τ

vn√τ

)

= e−λκτenµJ+nσ2J2

[StΦ (d1,n)−Ke−rnτΦ (d2,n)

]= e−λκτ (1 + κ)n

[StΦ (d1,n)−Ke−rnτΦ (d2,n)

]

Setzen wir T1 − T2 in (3.6), dann ist

VC(S, t) =

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]e−λκτ (1 + κ)n

[StΦ (d1,n)−Ke−rnτΦ (d2,n)

]=

∞∑n=0

[e−λ(1+κ)τ (λτ(1 + κ))n

n!

]e−λκτ (1 + κ)n

[StΦ (d1,n)−Ke−rnτΦ (d2,n)

]=

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

] [StΦ (d1,n)− e−rnτKΦ (d2,n)

]=

∞∑n=0

[e−λτ (λτ)n

n!

]BSC

(St, τ,K, v

2n, rn

)

12

Wir erhalten also auch im Fall der lognormalverteilten Sprünge eine Anwen-dung der Black-Scholes-Formel mit veränderten Parametern. Zur Berechnungdes Optionspreises muss eine unendliche, jedoch konvergente, mit einer Poisson-Verteilung gewichtete Summe ausgewertet werden.

3.2 Kou-Modell

Im Gegensatz zum Merton-Modell existiert im Kou-Modell [4] analytische ge-schlossene Lösungen für Europäische Optionen. Der folgende Abschnitt nimmtBezug auf [4] und [5].

Notation

Für jede gegebene Wahrscheinlichkeit, de�niere

Υ (µ, σ, λ, p, η1, η2; a,T) := P {Z (T) ≥ a} , (20)

wobei

Z (t) = µt+ σW (t) +

N(t)∑i=1

Yi,

Y hat eine doppel-Exponential-Verteilung und dieWahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariablen Y ist gegeben durch

gY (x) = pη1e−η1x1{x≥0} + qη2e

η2x1{x<0} (21)

η1 > 0, η2 > 0.

3.2.1 analytische Lösung

Nach dem Martingalansatz kann Der Preis einer Call-Option wie folgt geschrie-ben werden

VC(S, 0) = S (0) Υ

(r +

1

2σ2 − λξ, σ, λ, p, η1, η2; log

(k

S (0)

), T

)(22)

−Ke−rTΥ

(r − 1

2σ2 − λξ, σ, λ, p, η1, η2; log

(k

S (0)

), T

),

wobei

� p = p1+ζ .

η1η1−1 ,

� η1 = η1 − 1,

� η2 = η2 + 1,

� λ = λ (ζ + 1) ,

� ζ = pη1η1−1 + qη2

η2+1 − 1,

13

Der Preis der entsprechenden Put-Option VP (S, 0), kann durch die Put-Call-Parität erhalten

VP (S, 0) = VC(S, 0) + e−rTE∗(

(K − S (T ))+ − (S (T )−K)

+)

= VC(S, 0) + e−rTE∗ (K − S (T ))

= VC(S, 0) +Ke−rT − S (0) . (23)

Beweis der Formel (3.9)Nach Martingal Ansatz ist:

VC(S, 0) = e−rTE∗(

(S (T )−K)+

1{S(T )≥K}

)= E∗

(e−rT (S (T )−K)

+1{S(T )≥K}

)= E∗

(e−rTS (T ) 1{S(T )≥K}

)−Ke−rTE∗

(1{S(T )≥K}

)= E∗

(e−rTS (T ) 1{S(T )≥K}

)︸ ︷︷ ︸:=I

−Ke−rT P ∗ (S (T ) ≥ K)︸ ︷︷ ︸:=II

= I −Ke−rT × II

1. Betrachte II:

De�niere X(t) = log( S(t)S(0) ), aus S (T ) ≥ K, folgt

X (T ) ≥ log(

K

S (0)

)Dann ist

II = P ∗ (S (T ) ≥ K)

= P ∗(X (T ) ≥ log

(K

S (0)

))= Υ

(r − σ2

2− λξ, σ, λ, p, η1, η2; log

(k

S (0)

), T

).

2. Betrachte I und de�niere P, wobei P eine neue Wahrscheinlichkeit ist.

dP

dP ∗= e−rT

S (T )

S (0)

= e−rT eX(T )

= e

(−σ22 −λζ

)T+σW (T )+

∑N(T )i=1 Yi

Nach dem Satz von Girsanov [1] ist

W (t) := W (t)− σt,

14

wobei W (t) eine neue Brownsche Bewegung unter der Wahrscheinlichkeit P.Dann ist

X (t) =

(r − σ2

2− λζ

)t+ σW (t) +

N(t)∑i=1

Yi, X (0) = 0

=

(r +

σ2

2− λζ

)t+ σW (t) +

N(t)∑i=1

Yi, X (0) = 0,

X(t) ist ein neue Doppel-Exponential-Sprung-Di�usionsprozess, wobei der Poisson-Prozess N (t) eine neue Rate λ hat

λ = λE∗(eY)

= λ

(p

η1η1 − 1

+ qη2

η2 + 1

)= λ (1 + ζ) ,

und eine neue Dichte gY (y) ,

gY (y) =1

E∗ (eY )eygY (y)

=1

E∗ (eY )eypη1e

−η1y1{y≥0} +1

E∗ (eY )eyqη2e

η2y1{y<0}

= p1

E∗ (eY )

η1η1 − 1

(η1 − 1) e−(η1−1)y1{y≥0} + q1

E∗ (eY )

η2η2 + 1

(η2 + 1) e(η2+1)y1{y<0}.

Sei nun η1 = η1 − 1, η2 = η2 + 1, p = p(pη1η1−1 + qη2

η2+1

)−1η1η1−1 , und q =

q(pη1η1−1 + qη2

η2+1

)−1η2η2+1 ,

dann istgY (y) = pη1e

−η1y1{y≥0} + qη2eη2y1{y<0}.

I kann geschrieben werden wie folgt:

I = S (0)E∗[e−rT

S (T )

S (0).1{S(T )≥K}

]= S (0) P [S (T ) ≥ K]

= S (0) Υ

(r +

σ2

2− λξ, σ, λ, p, η1, η2; log

(k

S (0)

), T

).

Aus 1. und 2. folgt dann:

VC(S, 0) = I −Ke−rT × II.

15

3.2.2 Herleitung der expliziten Formel

Nach [4] kann der Preis einer Call-Option von einer Summe aus Hh Funkti-on abgeleitet werden. Um dem Optionspreisformel zu herleiten, benötigen wirfolgende Propositionen.

De�nition

Für jede n ≥ 0 ist Hh de�niert als

Hhn(x) =

ˆ ∞x

Hhn−1(y)dy

=1

n!

ˆ ∞x

(t− x)ne−t2

2 dt, n = 0, 1, 2, ..

wobeiHh−1(x) = e−

x2

2

undHh0(x) =

√2πΦ (−x) .

Nach [4] kannHh Funktion auch geschrieben werden als

Hhn(x) =

e−

x2

2 , f ur n = −1√2πΦ (−x) , f ur n = 0

1n (Hhn−2 (x)− xHhn−1 (x)) , f ur n ≥ 1.

(24)

Proposition 1

Nach (2.29) ist für jede n ≥ 1

n∑i=1

Yid=

∑ki=1 ζ

+i , mit Wahrscheinlichkeit Pn,k

−∑ki=1 ζ

−i , mit Wahrscheinlichkeit Qn,k,

(25)

wobei

Pn,k =

∑n−1i=k

(n− k − 1

i− k

)(n

i

)(η1

η1+η2

)i−k (η2

η1+η2

)n−ipiqn−i, f ur 1 ≤ k ≤ n− 1

pn, f ur k = n

(26)

Qn,k =

∑n−1i=k

(n− k − 1

i− k

)(n

i

)(η1

η1+η2

)n−i (η2

η1+η2

)i−kpn−iqi, f ur 1 ≤ k ≤ n− 1

qn, f ur k = n

(27)Beweis: Siehe [4].

16

Proposition 2

Wenn β > 0 und α 6= 0, dann ist für alle n ≥ −1,

In(c;α, β, δ) = −eαc

α

n∑i=0

(β

α

)n−iHhi (βc− δ)+

(β

α

)n+1 √2π

βeαδβ + α2

2β2×Φ

(−βc+ δ +

α

β

),

(28)und wenn β < 0 und α < 0, dann ist für alle n ≥ −1,

In(c;α, β, δ) = −eαc

α

n∑i=0

(β

α

)n−iHhi (βc− δ)−

(β

α

)n+1 √2π

βeαδβ + α2

2β2×Φ

(βc− δ − α

β

),

(29)

Beweis: Siehe [4]

Proposition 3

Es sei {ζ1, ζ2, ...} eine Folge von i.i.d. exponential Zufallsvariable mit rate η undZ = N(0, σ2) eine normalverteilte Zufallsvariable. Dann gilt für jedes n ≥ 1

P (Z +

n∑i=1

ζi ≥ x) =(ση)n

σ√

2πe(ση)

2

In−1(x;−η,− 1

σ,−ση), (30)

P (Z −n∑i=1

ζi ≥ x) =(ση)n

σ√

2πe(ση)

2

In−1(x; η,1

σ,−ση), (31)

Beweis: Siehe [4].Herleitung der expliziten FormelNach (3.7) ist

Υ (µ, σ, λ, p, η1, η2; a,T) : = P (X (T) ≥ a)

= P (µT + σW (T ) +

N(T )∑i=1

Yi ≥ a)

W (T ) =√TZ, wobei Z = N(0, σ2) eine normalverteilte Zufallsvariable ist.

Dann ist

Υ (µ, σ, λ, p, η1, η2; a,T) = P (µT + σ√TZ +

N(T )∑i=1

Yi ≥ a)

=∑∞n=0 P (N(T ) = n)P (µT + σ

√TZ +

n∑i=1

Yi ≥ a)

De�niere πn = P (N(T ) = n) = e−λT (λT )n

n! , dann folgt

Υ (µ, σ, λ, p, η1, η2; a,T) = π0P (µT+σ√TZ ≥ a)+

∞∑n=1

πnP (µT+σ√TZ+

n∑i=1

Yi ≥ a)

17

Nach Propositon 1 folgt

Υ (µ, σ, λ, p, η1, η2; a,T) = π0P (µT + σ√TZ ≥ a) +

∞∑n=1

πn

n∑k=1

Pn,kP (µT + σ√TZ +

k∑i=1

ζ+i ≥ a)

+

∞∑n=1

πn

n∑k=1

Qn,kP (µT + σ√TZ −

k∑i=1

ζ−i ≥ a) (32)

Nach Propositon 3 ist

P (µT+σ√TZ+

k∑i=1

ζ+i ≥ a) =e(ση1)

2 T2

σ√

2πT(σ√Tη1)kIk−1(a−µT ;−η1,−

1

σ√T,−ση1

√T )

(33)

P (µT+σ√TZ−

k∑i=1

ζ−i ≥ a) =e(ση2)

2 T2

σ√

2πT(σ√Tη2)kIk−1(a−µT ; η2,

1

σ√T,−ση2

√T )

(34)

P (µT + σ√TZ ≥ a) = Φ(−a− µT

σ√T

), (35)

Setzen wir (3.20), (3.21) und (3.22) in (3.19) ein, dann folgt die explizite Formel

Υ (µ, σ, λ, p, η1, η2; a,T) =e(ση1)

2 T2

σ√

2πT

∞∑n=1

πn

n∑k=1

Pn,k(σ√Tη1)kIk−1(a− µT ;−η1,−

1

σ√T,−ση1

√T )

+e(ση2)

2 T2

σ√

2πT

∞∑n=1

πn

n∑k=1

Qn,k(σ√Tη2)kIk−1(a− µT ; η2,

1

σ√T,−ση2

√T )

+π0Φ(−a− µTσ√T

), (36)

4 Monte Carlo Simulation

Bei dem Monte Carlo Verfahren wird ein Integrand an (gleichverteilt) zufäl-lig ausgewählten Stützstellen ausgewertet und der Integralwert als Mittel derFunktionswerte an diesen Stützstellen berechnet, d.h.

If :=

ˆ 1

0

f (x) dx ≈ Qnf :=1

N

N∑i=1

f (xi) .

Der Grundgedanke des Monte-Carlo-Verfahren ist es, den Aktienpreisverlauf fürm Wiederholungen zu simulieren und den Wert der Option Vi für i = 1, ...,mzu berechnen. Dann ist der erwartete Wert der Auszahlung gegeben durch

ˆV =

1

m

m∑i=1

Vi.

18

Den �nalen Optionspreis erhält man durch Diskontierten der erwarteten Aus-zahlung, d.h. e−rT V.Theorem (Konvergenz des Monte Carlo-Verfahrens)Für den Erwartungswert des Integrationsfehlers gilt

E (| If −Qnf |) =σ (f)√N,

wobei

σ2 (f) :=

ˆ[0,1]

f2 (x) dx−

(ˆ[0,1]

f (x) dx

)2

.

Beweis: (Gesetz der groÿen Zahlen).Das bedeutet, daÿ 100�mal mehr Funktionsauswertungen benötigt werden umeine Stelle mehr an Genauigkeit zu erreichen.Anmerkungen:Das Monte Carlo Verfahren läÿt sich durch Varianzreduktionstechniken be-schleunigen, z.B.:� Antithetische Variate: Symmetrisiere die Zufallszahlen (und damit den Zufalls-pfad) durch z

′

j = −zj und Mittelung der Ergebnisse, wobei zj normalverteiltist.� Importance Sampling: sample die Bereiche stärker, die wichtiger für das Er-gebnis sind - eine Schätzung für wichtige Bereiche können geschlossenen Lö-sungsformeln für verwandte Optionen liefern.� Strati�ed Sampling: Unterteile das Integrationsgebiet in Teilgebiete und stellesicher, dass jedes Teilgebiet etwa die gleiche Zahl von Samples erhält.

4.1 Monte-Carlo-Simulation für das Merton- und Kou-

Modell

In diesem Abschnitt wird die vollständige Simulation zur Optionspreisbestim-mung mit Hilfe des Monte-Carlo-Verfahren betrachtet. Der folgende Abschnittnimmt Bezug auf [3] und [6].Merton-Modell kann durch folgende stochastische Di�erentialgleichung angege-ben werden

dS(t)S(t) = µdt+ σdW (t) + dq(t). (37)

Hierbei sind µ und σ Konstanten,W (t) eindimensionaler Standard Wiener Pro-zess und q ein Prozess unabhängig von W . q ist gegeben durch

q(t) =

N(t)∑j=1

(Yj − 1), (38)

mit Zufallsvariablen Y1, Y2, ..., Yn und einem Zählprozess N(t). Das heisst, dasses Zeitpunkte

0 < τ1 < τ2 < ... < τn

19

gibt, und einen Zählprozess

N(t) = sup{n : τn ≤ t}, (39)

der die Anzahl der Zeitpunkte im Intervall [0, t] zählt.dq(t) bezeichnet den Sprung zur Zeit t. Die Gröÿe des Sprunges ist gegebendurch

dq(t) =

Yj − 1 falls t = τj

0 falls t 6= τj .

(40)

Mit der bestehenden Möglichkeit von Sprüngen ist die Bezeichnung S(t) mögli-cherweise doppeldeutig. Für den Fall, dass S zur Zeit t springt, muss spezi�ziertwerden, ob S(t) den Wert von S vor oder nach dem Sprung bezeichnet. Es wirdanalog zur gewöhnlichen Konvention angenommen, dass der Prozess rechtsstetigist, so dass

S(t) = limu↓t

S(u)

die Auswirkung eines beliebigen Sprunges zur Zeit t einschlieÿt. Um den Wertkurz vor einem möglichen Sprung zu spezi�zieren schreiben wir S(t−), welchesden Grenzwert

S(t−) = limu↑t

S(u)

von links bezeichnet. Schreibt man (4.4) als

dS(t) = µS(t−)dt+ σS(t−)dW (t) + S(t−)dq(t), (41)

ist zu erkennen, dass die Inkremente dS(t) in S zur Zeit t vom Wert von S kurzvor einem möglichen Sprung abhängen und nicht vom Wert nach einem Sprung.Der Sprung in S zur Zeit t ist S(t) − S(t−). Dieser ist 0, es sei denn q springtam Zeitpunkt t, was bedeutet, dass t = τj für ein j. Der Sprung in S an τj istgegeben durch

S(τj)− S(τj−) = S(τj−)[q(τj)− q(τj−)] = S(τj−)(Yj − 1).

Daher giltS(τj) = S(τj−)Yj . (42)

Dies bedeutet, dass die Yj die Raten des Kurspreises vor und nach dem Sprungsind. Die Sprünge sind multiplikativ. Das erklärt, warum in (4.5) Yj−1 und nichtYj geschrieben wird. Durch die Beschränkung der Yj auf positive Zufallszahlenwird sichergestellt, dass S(t) nicht negativ werden kann. In diesem Fall sehenwir, dass

logS(τj) = logS(τj−) + logYj .

Von (4.4) lässt sich die Lösung schreiben als

S(t) = S(0)e(µ−σ2

2 )t+σW (t)

N(t)∏j=1

Yj (43)

20

welche die entsprechende Lösung der Geometrischen Brownschen Bewegung ver-allgemeinert.Bisher wurden keine Annahmen über die Verteilungen des Sprung-Prozessesgemacht. Nun betrachten wir das Merton-Modell und Kou-Modell, darin wirdangenommen, dass N(t) ein Poisson-Prozess mit Rate λ ist und auÿerdem gilt,dass die Yj unabhängig und identisch verteilt und unabhängig von q und Wsind.

4.1.1 Simulation an festen Zeitpunkten ti

Der Prozess wird an einer festen Menge von Daten, 0 = t0 < t1 < ... < tn = T,ohne die expliziten Auswirkungen des Sprungs- und Di�usionsterms aufzuzeigen,simuliert. Dies ist nützlich, da nur der Endwert S (T ) von Bedeutung ist. DesWeiteren wird angenommen, dass N ein Poisson-Prozess ist und Y1, Y2, ..., Ynunabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen sind. Der Poisson-ProzessN,der Wiener Prozess W und die Menge der Yj sind untereinander unabhängig.Um S (t) an den Zeitpunkten t1, ..., tn zu simulieren, wird (4.10) verallgemeinertzu

S (ti+1) = S (ti) e

(µ−σ22

)(ti+1−ti)+σ[W (ti+1)−W (ti)]

N(ti+1)∏j=N(ti)+1

Yj . (44)

Durch die Transformation X (t) = logS (t) , lässt sich (4.11) schreiben als

X (ti+1) = X (ti)+

(µ− σ2

2

)(ti+1 − ti)+σ [W (ti+1)−W (ti)]+

N(ti+1)∑j=N(ti)+1

logYj .

(45)Durch Exponentieren der X (ti) ergeben sich dann die Werte S (ti) .Es gilt, dass das Produkt über j gleich 1 ist, falls N (ti+1) = N (ti) ist.Der Grundgedanke des Monte-Carlo-Verfahren ist es, den Aktienpreisverlauf fürm Wiederholungen zu simulieren und den Wert der Option Vi für i = 1, ...,mzu berechnen. Dann ist der erwartete Wert der Auszahlung gegeben durch

V =1

m

m∑i=1

Vi.

Den �nalen Optionspreis erhält man durch Diskontierten der erwarteten Aus-zahlung, d.h. e−rT V.

21

Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable Z ∼ N(0, 1)Generiere eine poissonverteilte Zufallsvariable N ∼ Poisson(λ(ti+1 − ti)).if N 6= 0 thenGeneriere log(Y1), ..., log(YN ) von ihrer allgemeinen Verteilung.Setze M = logY1 + ...+ logYN .end ifSetze X (ti+1) = X (ti) +

(µ− σ2

2

)(ti+1 − ti) + σ

√(ti+1 − ti)Z +M.

Setze S (ti) = exp (X (ti)) .Setze V (ti) = max (0, S (ti)−K) .Setze VMC = exp (−rT ) 1

m

∑mi=1 Vi.

ALGORITHM 1: Schritte zur Simulation eines Aktienkurses mit beliebigerSprungverteilungsfunktion.

Allgemein kann die Monte-Carlo-Simulation für (4.12) im Algorithmus 1 zusam-mengefasst werden. Diese Methode beruht auf zwei Eigenschaften des Poisson-Prozesses. Der Zuwachs N (ti+1)−N (ti) hat eine Poisson-Verteilung mit Mit-telwert λ (ti+1 − ti) und er ist unabhängig von N über [0, ti].Falls die Verteilung von Yj lognormalverteilt ist, das heiÿt logYj ∼ N

(a, b2

),

dann ist für festes n :

n∑j=1

logYj ∼ N(an, b2n

)= an+ b

√nN (0, 1) .

In diesem Fall kann in Algorithmus 1 die Generierung der Zufallszahlen nachihrer allgemeinen Verteilung entfallen. Es ergibt sich ein vereinfachter Algorith-mus 2.

Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable Z ∼ N(0, 1)Generiere eine poissonverteilte Zufallsvariable N ∼ Poisson(λ(ti+1 − ti)).if N 6= 0 thenGeneriere eine standard normalverteilte Zufallsvariable Z2 ∼ N (0, 1) .Setze M = aN + b

√NZ2.

end ifSetze X (ti+1) = X (ti) +

(r − λκ− σ2

2

)(ti+1 − ti) + σ

√(ti+1 − ti)Z +M.

ALGORITHM 2: Simulation eines Aktienkurses mit lognormalverteiltenSprüngen.

Falls die Verteilung von Yj gammaverteilt ist, also ist logYj ∼ Gamma (a, β) ,dann ist für festes n:

n∑j=1

logYj ∼ Gamma (an, β)

Ist N (t) = n, so ist die Anzahl der logYi mit positiven Vorzeichnen einer Bino-mialverteilung mit Parametern n und p.

22

In diesem Fall kann in Algorithmus 1 die Generierung der Zufallszahlen nachihrer allgemeinen Verteilung entfallen. Es ergibt sich ein vereinfachter Algorith-mus 3.

Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable Z ∼ N(0, 1)Generiere eine poissonverteilte Zufallsvariable N ∼ Poisson(λ(ti+1 − ti)).if N 6= 0 thenGeneriere eine gleich-verteilte Zufallsvariable r ∼ rand(n)Falls r < pGeneriere eine exponential-verteilte Zufallsvariable Yi ∼ exprnd( 1

η1).

AnderenfallsGeneriere eine exponential-verteilte Zufallsvariable Yi ∼ −exprnd( 1

η2).

Setze M =∑Ni=1 Yi

end ifSetze X (ti+1) = X (ti) +

(r − λζ − σ2

2

)(ti+1 − ti) + σ

√(ti+1 − ti)Z +M.

ALGORITHM 3: Simulation eines Aktienkurses mitDoppel-Exponential-Verteilten Sprüngen.

4.1.2 Simulation der Sprungzeiten

Die Simulationen, die auf (4.12) beruhen, produzieren Werte S (ti) = exp (Xi)für i = 1, ..., n mit der exakten Verteilung des Prozesses (4.4) an Zeitpunk-ten t1, ..., tn. Es sei bemerkt, dass diese Näherung nicht die Sprungzeiten fürS (t) identi�ziert. Es wird nur eine Gesamtanzahl der Sprünge in jedem Inter-vall (ti, ti+1] generiert. Dazu wird die Eigenschaft benutzt, dass die Anzahl derSprünge in einem Intervall poissonverteilt ist. Eine alternative Näherung zur Si-mulation von (4.4) ist die explizite Simulation der Sprungzeitpunkte. Von einemSprung zum nächsten entwickelt sich S (t) nach einer einfachen GeometrischenBrownschen Bewegung. Dies ist der Fall, da angenommen wurde, dass W und qin (4.4) unabhängig voneinander sind. Wenn τ1, ..., τn die Sprungzeiten darstel-len, folgt

S (τj+1−) = S (τj) e

(µ−σ22

)(τj+1−τj)+σ[W (τj+1−W (τj))], (46)

undS (τj+1) = S (τj+1−)Yj+1. (47)

Durch Logarithmieren ergibt sich

X (τj+1) = X (τj) +

(µ− σ2

2

)(τj+1 − τj) + σ [W (τj+1)−W (τj)] + logYj+1.

(48)Die Simulation von (4.15) ist in Algorithmus 4 dargestellt.

23

Generiere Rj+1mit Hilfe der exponentiellen Verteilung mit Erwartungswert 1λ :

Rj+1 = − log(U)λ wobei U gleichverteilt ist auf [0, 1] .

Generiere eine standard normalverteilte Zufallsvariable Zj+1 ∼ N (0, 1) .Generiere logYj+1.Setze τj+1 = τj +Rj+1.

Setze X (τj+1) = X (τj) +(µ− σ2

2

)Rj+1 + σ

√Rj+1Zj+1 + logYj+1.

ALGORITHM 4: Simulation eines Aktienkurses mit expliziter Simulation derSprungzeiten

Die beiden Simulationsmethoden können kombiniert werden, um S (t) zu si-mulieren. Beispielsweise kann ein fester Zeitpunkt t gewählt werden, an demebenfalls simuliert werden soll. Falls τj < t < τj+1, d.h. J (t) = J (t−) = j,dann gilt

S (t) = S(τj)e

(µ−σ22

)(t−τj)+σ[W (t)−W (τj)],

und

S (τ i+1) = S (t) e

(µ−σ22

)(τi+1−t)+σ[W (τi+1)−W (t)]

Yj+1.

Beide Näherungen zur Simulation von (4.4) können nützlich sein, um zumindestals Approximation zur Simulation allgemeinerer Sprung-Di�usions Prozesse zudienen. Die exakte Simulation wird schwieriger, wenn die Sprungzeiten unddie Entwicklung des Prozesses zwischen den Sprüngen nicht länger unabhängigvoneinander sind.Wir werden uns in Kapitel 5 auf die Simulation zu festen Zeitpunkten beschrän-ken, da wir nur am Endkurs S (T ) interessiert sind. Es ist nur von Bedeutungwie viele Sprünge auftreten, nicht jedoch zu welchen Zeitpunkten.

5 Numerische Ergebnisse

In den vorangegangenen Kapiteln wurden verschiedene Verfahren zur Bewertungvon Europäischer Optionen vorgestellt. Im ersten Teil dieses Kapitels werden dieBewertungsverfahren Europäischer Optionen für das Merton-Modell und Kou-Modell analysiert. Es werden die exakte Werte einer Europäischen Optionen fürbeide Modelle berechnet. Zunächst wird das Monte-Carlo-Verfahren für Mertonund Kou-Modell hinsichtlich ihrer Konvergenzeigenschaften untersucht. Für dieBerechnungen der Optionswerte werden die Parameter der Tabelle 6.1 verwen-det, wenn nicht anders angegeben.

Parameter Bedeutung WertK Ausübungspreis 100.00T Laufzeit in Jahren 0.25r Zins 0.05σ Volatilität 0.15λ Sprungrate 0.10

24

µJ Erwartungswert der Sprungverteilung −0.90σJ Varianz der Sprungverteilung 0.45η1 Aufwärtssprünge 10η2 Abwärtssprünge 5p Die Wahrscheinlichkeit 0.4

Tabelle 6.1: Die verwendeten Standardparameter der betrachteten Modelle

5.1 Geschlossene Lösungen

In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der geschlossenen Lösungen fürMerton-Modell und Kou-Modelll diskutiert.

5.1.1 Plötzlicher Ruin

Im Fall des Plötzlichen Ruins kann eine geschlossene Lösung zur Berechnungdes Optionspreises angegeben werden. In Abbildung 6.1 sind die Optionspreisefür einen Call und einen Put mit verschiedenen Sprungintensitäten dargestellt.

0 50 100 150 200 2500

50

100

150

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

Plötzlicher Ruin

lambda=0.1lambda=0.8lambda=2lambda=5

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

sPlötzlicher Ruin

lambda=0.1lambda=0.8lambda=2lambda=5

Abbildung 6.1: Optionspreise für eine Call-Options (links) und einePut-Option (rechts) für den Fall des Plötzlichen Ruins in Abhängigkeit vom

Kurs S und verschiedenen Sprungintensitäten λ.

Es ist zu beobachten, dass der Wert einer Call-Option mit wachsendem Kursund wachsender Sprungintensität fällt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kursmit groÿer Sprungaktivität zum Ende der Laufzeit der Option noch nicht �ge-sprungen� ist und weiterhin ungleich 0 ist, ist sehr gering. Diese kleine Wahr-scheinlichkeit, die einen relativ groÿen Gewinn garantieren würde, muss relativteuer bezahlt werden.Im Fall einer Put-Option steigt der Optionspreis mit kleiner werdendem Sprung-parameter und kleinerem Kurs. Mit Hilfe der Put-Option kann ein Gewinn er-zielt werden, wennK−S groÿ, also wenn S klein wird. Falls der Kurs eine geringe

25

Sprungaktivität besitzt, richten sich die Änderungen des Kurses hauptsächlichnach der Brownschen Bewegung und somit wird sich der Wert des Kurses nur inkleinem Maÿe ändern. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen kleinen Kurs-wert am Ende der Optionslaufzeit gering, wenn der Kurs zu Beginn der Laufzeitder Option relativ groÿ ist.

5.1.2 Lognormalverteilung

Die in Abschnitt 3.2.2 vorgestellte geschlossene Lösung zur Berechnung einesOptionspreises mit lognormalverteilten Sprüngen wird im Folgenden für alleweiteren verwendeten Verfahren als Referenzlösung genutzt. Dies bedeutet, dassder mittels anderer Verfahren bestimmte Optionspreis mit dem der geschlosse-nen Lösung verglichen wird. Da die geschlossene Lösung aus einer unendlichenSumme besteht, muss diese unendliche Summe zur Berechnung des Options-preises durch eine endliche Summe approximiert werden. Es wurde gezeigt [6],dass der Fehler, der durch das Abschneiden der unendlichen Summe entsteht zuvernachlässigen ist, da zum einen die Werte der Poisson-Verteilung sehr schnellabfallen und zum anderen der mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechneteOptionspreis irgendwann exakt 0 wird und somit eine endliche Summe entsteht.In Abbildung 6.2 sind die Optionspreise für einen Call und einen Put mit ver-schiedenen Sprungintensitäten dargestellt.

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

lognormalverteilte Sprünge (Call−Option)

lambda=0.1lambda=0.8lambda=1lambda=2

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

lognormalverteilte Sprünge (Put−Option)

lambda=0.1lambda=0.8lambda=1lambda=2

Abbildung 6.2: Optionspreise für einen Call (links) und einen Put (rechts) fürden Fall der lognormalverteilten Sprünge in Abhängigkeit vom Kurs S mit

verschiedenen Sprungintensitäten λ

Für eine Call-Option steigt der Preis sowohl mit wachsenden Kurs als auch mitzunehmender Sprungrate. Wird eine Put-Option betrachtet, so steigt der Op-tionspreis mit wachsender Sprungintensität und sinkt mit ansteigendem Kurs.Diese Eigenschaften sind im Wesentlichen auf die Struktur der zugehörigen Aus-zahlungsfunktionen zurückzuführen.

26

Zusammenfassend gilt die in Abschnitt 6.2.1 und 6.2.2 dargestellten geschlosse-nen Lösungen, dass sie leicht zu berechnen sind, da sie lediglich auf der Black-Scholes-Formel mit variierenden Parametern beruhen.

5.1.3 Kou Modell

Im Fall des Kou-Modells kann eine analytische Lösung zur Berechnung des Opti-onspreises angegeben werden. In Abbildung 6.3 sind die Optionspreise für einenCall und einen Put mit verschiedenen Sprungintensitäten dargestellt.

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

analytische Lösung für Kou Modell

lambda=0.1lambda=1lambda=2lambda=10

0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

analytische Lösung für Kou Modell

lambda=0.1lambda=1lambda=2lambda=10

Abbildung 6.3: Optionspreise für einen Call (links) und einen Put (rechts) fürKou-Modell in Abhängigkeit vom Kurs S mit verschiedenen

Sprungintensitäten λ

Es ist zu beobachten, dass der Wert einer Call-Option mit wachsendem Kurs undwachsender Sprungintensität steigt. Wird eine Put-Option betrachtet, so steigtder Optionspreis mit wachsender Sprungintensität und sinkt mit ansteigendemKurs.

5.1.4 Put-Call Tabelle für Merton und Kou-Modell

In diesen Abschnitt sollen zunächst die Optionspreise, die mit Hilfe der Black-Scholes-Formel berechnet wurden, mit solchen eines Sprung-Di�usions-Prozessesverglichen werden.In Abbildung 6.4 sind links der Preis V (S, t) einer Europäischen Kauf-Optionnach dem Black-Scholes Modell (λ = 0) im Vergleich zu einer EuropäischenKauf-Option nach dem Merton-Modell und einer Europäischen Kauf-Optionnach dem Kou-Modell mit verschiedenen Sprüngintensitäten dargestellt. Zu-sätzlich ist die Payo�-Funktion abgebildet.

27

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

slambda=0.10

PayoffOptionBlackScholesplötzlicher RuinlognormalverteiltKou Modell

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

lambda=0.8

PayoffOptionBlackScholesplötzlicher RuinlognormalverteiltKou Modell

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

lambda=1

PayoffOptionBlackScholesplötzlicher RuinlognormalverteiltKou Modell

0 50 100 150 200 2500

20

40

60

80

100

120

140

160

Aktienkurs S

Opt

ions

prei

s

lambda=2

PayoffOptionBlackScholesplötzlicher RuinlognormalverteiltKou Modell

Abbildung 6.4: Optionspreise für eine Call-Option mit unterschiedlichenSprungintensitäten

Abbildung 6.4 zeigt die Auswirkung der verstärkten Sprungauftrittsrate. Fürsteigende Sprungintensität λ ist ein Wachsen des Optionspreises festzustellen.Diese Feststellung beruht auf der Eigenschaft der Sprung-Di�usions-Prozesse.Diese Prozesse besitzen im Vergleich zur Brownschen Bewegung eine zusätzlicheKomponente, die mögliche unerwartete Sprünge der Aktie widerspiegelt. EineOption, die auf einem Sprung-Di�usions-Modell beruht �sichert� somit auchsolche Sprünge ab und ist folglich teurer als eine Option, die keine unerwartetenSprünge berücksichtigt. Eine Verstärkung der Sprungintensität wirkt sich ineinem weiteren Anstieg des Optionspreises aus.Im Tabelle 6.2 und 6.3 sind Optionspreise für Merton-Modell und Kou-Modellaufgelistet.

28

Kurs BLS Ruin Log Kou20 1.0374e-101 1.0118e-101 5.4440e-009 1.7772e-00840 3.7157e-034 3.6240e-034 1.1931e-005 1.7593e-00560 1.2683e-011 1.2370e-011 4.1301e-004 9.9440e-00480 0.0049 0.0048 0.0122 0.0225100 3.6351 3.5453 4.3912 3.7668120 21.2543 20.7295 22.3821 21.3542140 41.2422 40.2239 42.1936 41.2892160 61.2422 59.7301 62.0328 61.2664180 81.2422 79.2363 81.8940 81.2557200 101.2422 98.7425 101.7764 101.2502

Tabelle 6.2: Optionspreise für einen Call für Merton-Modell und Kou-Modell

Kurs BLS Ruin Log Kou20 78.7578 76.8132 81.5464 78.757840 58.7578 57.3070 61.2694 58.757860 38.7578 37.8008 40.9934 38.758880 18.7627 18.2995 20.7318 18.7803100 2.3928 2.3338 4.8465 2.5246120 0.0120 0.0117 2.5892 0.1119140 2.8626e-006 2.7919e-006 2.1749 0.0469160 8.7418e-011 8.5260e-011 1.8142 0.0242180 7.3109e-016 7.1304e-016 1.5026 0.0135200 2.7534e-021 2.6854e-021 1.2383 0.0080

Tabelle 6.3: Optionspreise für einen Put für Merton-Modell und Kou-Modell

5.2 Monte-Carlo-Verfahren

In Abschnitt 4 wurde das Monte-Carlo-Verfahren vorgestellt. Wir beschränkenuns hier auf die Simulation an festen Zeitpunkten, da wir nur am Kurs zum End-zeitpunkt T interessiert sind und nicht an seiner Entwicklung über die Laufzeit.Es werden die bereits bekannten Fälle des Plötzlichen Ruins, der Lognormal-verteilten Sprünge und der doppel-exponential-verteilten Sprünge untersucht.Dazu wird das Monte-Carlo-Verfahren angewendet und für steigende Anzahlder Monte-Carlo-Iterationen die Konvergenz gegen den Referenzpreis VR, dermittels der geschlossenen Lösung ermittelt wurde, betrachtet. Den mittels desMonte-Carlo-Verfahrens berechneten Optionspreis bezeichnen wir mit VMC . Umdie Konvergenz gegen die exakte Lösung betrachten zu können, wird der relativeFehler berechnet.

erel =| VMC − VR|| VR |

(49)

29

100

101

102

103

104

105

106

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Anzahl der Monte−Carlo−Iterationen

rela

tiver

Feh

ler

RuinGerade mit Steigung 1/2

Abbildung 6.5: Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahrens für den Fall desPlötzlichen Ruins

100

101

102

103

104

105

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

Anzahl der Monte−Carlo−Iterationen

rela

tiver

Feh

ler

lognormalverteilungGerade mit Steigung 1/2

Abbildung 6.6: Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahrens für den Fall derlognormalverteilte Sprünge

30

100

101

102

103

104

105

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Anzahl der Monte−Carlo−Iterationen

rela

tiver

Feh

ler

Kou−ModelGerade mit Steigung 1/2

Abbildung 6.7: Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahrens für den Fall derDoppelt-Exponential-Sprünge

In Abbildungen 6.5, 6.6 und 6.7 sind die relativen Fehler abhängig von der An-zahl der Monte-Carlo-Iterationen dargestellt. Zusätzlich wurde eine Gerade mitder Steigung (− 1

2 ) abgebildet, um die durchschnittliche Konvergenz des Ver-fahrens zu verdeutlichen. Die Konvergenz des Monte-Carlo-Verfahren ist nichtmonoton , es existieren Sprünge nach oben und unten, die eine Eigenschaft desMonte-Carlo-Verfahrens sind. Es kann auch in diesem Fall beobachtet werden,dass der relative Fehler im Mittel mit einer konvergenzrate von 1

2 klein wird.

31

6 Fazit

In dieser Arbeit wurden die Europäische Optionen in den Sprung-Di�usions-Modellen von Merton und dem Modell von Kou bewertet. So stellen die geschlos-senen Lösungen für das Merton-Modell als Anwendung der Black-Scholes-Formeleine einfache Möglichkeit zur Berechnung eines Optionspreises dar. Die Verwen-dung einer analytischen Lösung für Merton ist allerdings nur eingeschränkt,d.h. für zwei spezielle Sprungverteilungsfunktionen (Plötzlicher Ruin und dieLognormalverteilung) möglich. Das Kou-Modell hingegen, hat eine geschlosse-ne Lösung für Doppel-Exponentialverteilte Sprünge. Eine �exible Lösungsmög-lichkeit zur Bestimmung eines Optionspreises ist die Verwendung des Monte-Carlo-Verfahrens für die Simulation der Kursbewegung mit zugrunde liegendemSprung-Di�usions-Modell. In diesem Fall ist das Monte-Carlo-Verfahren zur Er-mittlung des Optionspreises nur einmal anzuwenden. Dieses Verfahren konver-giert mit einer Konvergenzrate von 1

2 .Wie alle anderen Modelle, die auf Lévy Prozessen basieren, lässt das Kou-Modelleine empirische Beobachtung vermissen, nämlich die mögliche Abhängigkeit zwi-schen Renditen der Underlyings (der sogenannte "volatility clustering e�ect"),weil das Modell unabhängige Inkremente unterstellt. Eine Möglichkeit die Ab-hängigkeit mit einzubeziehen, wäre die Nutzung anderer Punktprozesse N(t) mitabhängigen Inkrementen anstelle des Poisson-Prozesses N(t). Es muss natürlichdie Unabhängikeit zwischen der Brownschen Bewegung, den Sprunghöhen undN(t) beibehalten werden. Das so modi�zierte Modell hat keine unabhängigenInkremente mehr, ist aber einfach die geschlossene Lösungsformel für Call- undPut-Optionen zu erhalten. Andererseits scheint es schwer analytische Lösun-gen für Pfadabhängige Optionen durch Nutzung von N(t) anstelle von N(t) zuerhalten.

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