Bài 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - truonglachongtphcm.edu.vntruonglachongtphcm.edu.vn/document/Microsoft_Word_-_TR85-124-BAI... · Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH

85

Bài 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

13

.V B h=

B: diện tích đáy

h: chiều cao

v Chú ý: Cho khối chóp S.ABC. Trên các cạnh SA,SB,SC lấy các điểm A’,B’,C’ khác S thì:

SCSBSASCSBSA

VV

ABCS

CBAS

..''.'.

.

'''. =

Bài 1(A/09): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a. Góc của hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là 60o. Gọi I là trung điểm AD. Hai mặt phẳng (SIB) và (SIC) cùng vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Giải

Do hai mặt phẳng (SIB) và (SIC) vuông góc mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến SI ^ (ABCD).

Vẽ IH ^ BC thì SH ^ BC. Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là ·SHI = 60o. Gọi J trung điểm BC.

Vẽ CM ^ AD. Ta có: CMBIHJ DD ~

ÞCBIJ

MCIH

=

5

3

52

3.2. a

a

aa

BCMCIJ

IH ===Þ

^ÞDSHI tan60o = 3=IHSI

5153

3.5

3 aaSI ==Þ

Ta có:

dt(ABCD)23)2(

22

)(2

aaaa

ABCDAD

=+=+=

Do đó: V ABCDS . SI31

= x dt(ABCD)

5153

3.5

153.

31 3

2 aa

a==


86

Bài 2 (D/2010): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABCD) là H trên đoạn AC với AH =4AC

.

Gọi CM là đường cao của SACD . Chứng minh M là trung điểm SA. Tính thể tích khối S.MBC theo a.

Giải 2 2 2

2 2 2 2 2 ( 2) 14ô

16 16 16AC a a

SHA vu ng SH SA AH SA aD Þ = - = - = - =

222

22222 216

)2(916

14)

43

( aaaAC

SHHCSHSCSHC =+=+=+=^ÞD

Do SC = AC = a 2 nên SACD cân tại C

ÞM trung điểm SA

Vẽ MKÂC. Ta có

MK SH21

=

Ta có: VMBCS .

+ VABCM .

=

V ABCS .

Mà V ABCM . )(..31

.21

)(.31

ABCdtSHABCdtMK D=D= = ABCSV .21

Vậy V MBCS . )(..31

.21

.21

. ABCdtSHV ABCS D== 48

1424

1461 32 aaa

==

Lưu ý: Có thể dùng

3.

. ..

1 1 42 2 48

S MBCS MBC S ABC

S ABC

V SM aV V

V SA= = Þ = =

Bài 3: (A/2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N là trung điểm AB và AD, H là giao điểm

CN và DM. Biết SH vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SH = 3a . Tình thể tích khối chóp S.CDMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng DM và SC

Giải

Ta có dt(CDNM) = dt(ABCD) – dt( AMND ) – dt( MBCD )

2 2 2

2 21 1 5( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 8 4 8a a a a a a

a a a= - - = - - =

2 3

.

1 1 5 5 3( ) . 3.

3 3 8 24S CDMN

a aV SHdt CDMN aÞ = = =

Ta có: ô ôngvu ngNDC vu MADD = D 11ˆˆ CD =Þ


87

Mà HDCCDDD DÞ=+Þ=+ 012

021 90ˆˆ90ˆˆ ^ tại H

Vậy DMCN ^

Ta có: CNCHCDNDC .2 =^ÞD

5

2

42

2

22 a

aa

aNCCD

HC =

+

==Þ

Vẽ HK SC^ (1)

Ta có: SHDM ^ và CN

)(SHCDM ^ÞHKDM ^Þ (2)

Vậy ),( DMSCdHK =

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 5 19ô

3 4 12vu ngSHC

HK SH HC a a aD Þ = + = + =

19

32),(

aDMSCdHK ==Þ

Bài 4: (Đề dự bị ĐH khối B 2003) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABCD cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng j (0<j <90o). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a vàj

Giải Gọi I là trung điểm BC. Do ABCD đều nên AI BC^

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC thì SH ^mặt phẳng (ABC) và j=SIA ˆ

Ta có: HI 2

3.

31

31 aAI ==

DSHI vuông Þ tanHISH

=j jtan6

3aSH =Þ

Vậy V )(.31

. ABCDtSHABCDS D= jj tan24

)4

3)(tan

63

(31 32 aaa

V ==Þ

DSHI vuông

Vậy Dt(DSBC)

jcos123

.21 2a

BCSI ==

Vẽ AK^mặt phẳng (SBC)


88

Ta có: V1

. ( ). . 3V AK Dt SBCS ABC A SBC= = D dAK =Þ (A,(SBC))

33 tan 12cos.

2( ) 8 3

V aDt SBC a

f f= =

D

jsin2

3aAK =Þ

Bài 5: (Tuyển sinh ĐH khối B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc của cạnh bên và mặt đáy j (0<j <90o). Tính tan của góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAB) và

(ABCD) theoj và thể tích hình chóp theo a và j .

Giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

S.ABCD là chóp đa giác đều ÞSO^ (ABCD)

Vẽ OI^BC thì SI^BC

Vậy OIS ˆ là góc của hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)

DSOC vuông tại OOCSO

=Þ jtan

jj tan2

2tan.

aOCSO ==Þ

OOISO

OIS =Þ ˆtan DSOI vuông tại

jj

tan2

2

tan2

2

==a

a

Do đó: V jtan6

2)(.

31

.

aABCDdtSOABCDS ==

Bài 6: (Đề dự bị ĐH khối D 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b.

Giải

Do ( )SH ABCD^ nên H là tâm hình vuông ABCD.

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có BC^HM và SH nên BC^ (SHM)

Vẽ IJ và HK ^ SM thì IJ ^ mặt phẳng (SBC)

bIJ =Þ và HK bIJ 22 ==

222

111HMSHHK

+= SHMD vuông nên


89

22

22

222 4164

411

baba

abSH-

=-=Þ

22 16

2

ba

abSH

-=Þ

Do đó: V22

3

.16

.32

)(3 ba

baABCDDt

SHABCDS

-==

Lưu ý: Đáng lý đề bài phải có điều kiện a > 4b

Bài 7: (Đề dự bị ĐH khối A 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc đáy, SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60o. Trên cạnh SA lấy điểm M sao

cho AM = 2

3a. Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích

khối chóp S.BCNM

Giải

Ta có: · 60 tan 60SAo oSBAAB

= Þ = 3aSA =Þ và SB = 2a

Ta có mặt phẳng (BCM) chứa BC // mặt phẳng (SAD). Vậy mặt phẳng (BCM) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến MN//BC//AD.

Mà M là trung điểm SA vậy N là trung điểm

SD. aAD

MN ==Þ2

Ta có: BCÂB và SA

ÞBC^mặt phẳng (SAB)

MBBC ^Þ

Do đó BCNM là hình thang vuông.

47

)2

3(

2222 a

aa

MB =+=Þ D vuông BMA

Do đó:

Dt(BCNM)27 3 7

( ) ( 2 )2 4 4

MB a aMN BC a a= + = + =

Trên mặt phẳng (SAB) vẽ

SH ^ MB (1)

(SBA) SHBC ^Þ (2) Ta có BC ^ mặt phẳng

mpSH ^Þ (BCNM) Từ (1) và (2)

Ta có: DHMS ~ DAMB

M

AB

S

H


90

Do đó: V2 3

.

1 1 3 3 7 3. ( ) . .

3 3 4 47S MNBC

a a aSH Dt BCNM= = =

Chú ý: Có thể dùng tỷ số thể tích

. .

. .

1 1 à .

2 4S BMC S MNC

S BAC S ACD

V VSM SM SNv

V SA V SA SC= = = =

Vậy . . .S MNCB S MBC S MNCV V V= +

. .

.

3

1 12 4343 1

. . ( )4 3

1 33 (2 )

4 2 4

S ABC S ACD

S ABC

V V

V

SAdt ABC

a aa a

= +

=

= D

= =

Bài 8: (Đề dự bị ĐH khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BÂD = 60o, SA = a, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD) . Gọi C’ là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song BD cắt SB, SD tại B’,D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

Giải

Gọi O là tâm hình thoi ABCD

DSAC có SO cắt AC’ tại I thì I là trọng tâm SACD .

Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song BD nên (P) cắt mặt phẳng (SBD) theo giao tuyến B’D’ qua I và B’D’ // BD

Ta có BD ÂC và SA nên BD ^mặt phẳng (SAC) ÞBDÂC’ mà B’D’//BDÞB’D’ÂC’

DABD cân tại A có =DAB ˆ 60o nên là D đều

ÞBD = a và AC 3a=

Ta có I là trọng tâm DSBD nên: aDBSOSI

BDDB

32

''32''

=Þ==

DSAC vuông tại A có AC’ là trung tuyến aaaSC

AC =+==Þ 22 321

2'

Do đó DSAC’ đều cạnh a.

Vẽ SHÂC’ , do B’D’//BD có BD^ (SAC) nên B’D’ ^ SH

Vậy SH^mặt phẳng (AB’C’D’) và SH2

3a=

Do đó: VS.AB’C’D’ )'''(.31

DCABdtSH=


91

'''..61

DBACSH= 18

3)

32

.(2

3.

61 3aa

aa

==

Chú ý: Có thể dung tỷ số thể tích

Do I là trọng tâm ACSD nên 23

SISO

=

Ta có ' ' 2 2 4. ' ' . .

3 3 9.

V SB SDS AB DV SB SDS ABD

= = =

. ' ' '

.

' ' ' 2 2 1 2. . . .

3 3 2 9S B D C

S BDC

V SB SD SCV SB SD SC

= = =

Vậy . ' ' ' . ' ' . ' ' 'S AB C D S AB D S B D CV V V= +

. .

.

2 3

4 29 9232 1

. . ( )3 3

2 3 3.

9 4 18

S ABD S BDC

S ABD

V V

V

SAdt ABD

a a a

= +

=

= D

= =

Bài 9: (Tuyển sinh ĐH khối A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD vuông cạnh a, SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB,BC và CD. Chứng minh AM vuông góc BP và tính VCMNP.

Gọi H là trung điểm AD.

Do DSAD đều nên SHÂD

Mà mặt phẳng (SAD) ^mặt phẳng (ABCD)

ÞSH^mặt phẳng (ABCD) BPSH ^Þ (1)

Ta có:

11ˆˆ CBBPCHDC =ÞD=D

Mà: oCC 90ˆˆ21 =+

oCB 90ˆˆ21 =+Þ

Vậy DBIC vuông tại I CHBP ^Þ (2)

Từ (1),(2) ^Þ BP mặt phẳng (SHC

Ta có: MN // SC và AN // HC

Þmặt phẳng (SHC) // mặt phẳng (AMN)

Do đó: BP^mặt phẳng (AMN)ÞBPÂM

s

s


92

Vẽ MK // SH với K Îmặt phẳng (ABCD)

Mà SH^mặt phẳng (ABCD) nên MK^mặt phẳng (ABCD).

Do đó MK là đường cao của tứ diện M.CNP

Ta có:

. .

1 1 1. ( ) ( ). .

3 3 2 2C MNK M CNK

SHV V MK dt CNP CN CP= = D =

96

32

.2

).2

3(

121 3aaaa

==

Bài 10: (Đề dự bị Tuyển sinh ĐH khối A 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tam giác ABC và SBC đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

Giải

Gọi I là trung điểm BC.

DABC đều BCAI ^Þ

DSBC đều BCSI ^Þ

Vậy oAIS 60ˆ =

23a

Do đó DSIA đều cạnh

Gọi H là trung điểm AI

AISH ^Þ

)(ABCSH ^Þ

Ta có: SH4

323

.2

3 aa== .Vậy

43

43

.31 2

.

aaV ABCS =

1633a

=

Gọi M là trung điểm SA

DSAC cân tại C có CS = CA = a, SA2

3a=

613

)4

3(

222222 aa

aAMCACM =-=-=Þ

Vậy dt(DSAC)16

392

3.

413

.21

.21 2aaa

SACM ===

Ta có: . .

1( , ( ). ( ))

3S ABC B SACV V d B SAC Dt ASC= = D

3

2

3 3 . 3 16 3( , ( )) .

( ) 16 39 13SABCV a a

d B SACDt SAC a

Þ = = =D

13

3))(,(

aSACBd =Þ

Bài 11: (DB/A08) Cho hình chóp S.ABC có ba mặt bên là các tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E là trung điểm AB, AC, BC. Gọi D là điểm đối xứng của S qua E. Gọi ( )I AD SMN= Ç .


93

Chứng minh AD vuông góc SI. Tính MBSIV

· / /MN BC

Trong mp( ) : 0ABC MN AEÇ =

trung điểm MN.

Trong mp( ) :ASD SO AD IÇ =

thì ( )I AD SMN= Ç

( )

(1)

,

( )

(2)

BC SAD BC AD

MN AD

SM AB BD

SM ABD

SM AD

^ Þ ^Þ ^

^Þ ^Þ ^

Từ

(1), (2) ( )

AD SMN

AD SI

Þ ^Þ ^

· . .M BSI S MBIV V=

2A .ASD S AI ADD ^Þ =

2

2 2

a

3a 2

aAI

aÞ = =

+

Vẽ IH AB^

/ /IH AI

IH BDBD AD

Þ =

.

. 333

aa

AI BD aIH

AD aÞ = = =

2ân SM=

2 2AB a

SAB cD ^ Þ =

.

1( )

3S MBIV SMdt MIBÞ =

1 2 1

.3 2 2a

IH MB= 32 2 a

. .12 3 2 36a a a

= =

Bài 12: (Đề dự bị Tuyển sinh ĐH khối B 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho AB = a, SA = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Chứng minh SC vuông góc mặt phẳng: (AHK) và tính thể tích hình chóp O.AHK

Giải

Ta có: SAD SAB SH SKD = D Þ = và SB SD= S


94

Vậy / /SH SK

HK BDSB SD

= Þ

Mà BD^mặt phẳng (SAC)

^Þ HK mặt phẳng (SAC)

SCHK ^Þ (1)

Mặt khác: CD^mặt phẳng (SAD)

AKCD ^Þ

Mà SDAK ^ nên )(SCDAK ^ AKSC ^Þ (2)

Từ (1) và (2) ^Þ SC mặt phẳng (AHK)

Trong mặt phẳng (SBD) thì SO cắt HK tại I

Trong mặt phẳng (SAC) thì AI cắt SC tại M

Ta có: SC^mặt phẳng (AHK) AMSC ^Þ

Mà DSAC vuông cân tại A nên M là trung điểm SC.

Vậy I là trọng tâm .SACD

Ta có: CM aaSC

AHKmpCd ====2

22

))(,(

Mà O là trung điểm AC nên 21

))(,())(,(

==ACOA

AHKCdAHKOd

22

1))(,(

aCMAHKOdh ===Þ

2/ /

3HK SH SI

HK BDBD SB SO

Þ Þ = = =

2 2

23 3

HK BD aÞ = =

Ta có: AI3

232

.32

32 aSCSCAM ====

AHKD cân AIHK ^Þ

Ta có: )(.31

. AHKdthV AHKO D=27

2)2

32

)(3

2(

12.

6

3aa

aaHKAI

h===

Bài 13: (Đề dự bị ĐH khối B 2007) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc phẳng nhị diện cạnh SB bằng 60o. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Chứng minh DAHK vuông và tính thể tích tứ diện S.ABC

Giải

Ta có: ·ACB = 1 vuông ÞBC^CA và BC^ SA nên BC^mặt phẳng (SAC)

Do đó: BCÂK

O


95

Mà AK^ SC nên AK^mặt phẳng (SBC)

Do đó: AK^HK

Vậy DAHK vuông tại K

Đặt : SA = h

2 2

2 2

.

. 2

4

AC AS RhSAC AK

SC R hAS AB Rh

SAB AHSB R h

D ^Þ = =+

D ^Þ = =+

Ta có HKSBAHKSB ^Þ^ )(

Vậy · 60oAHK =

AHAK

AHK o ==^ÞD23

60sin

22 43 AKAH =Þ

22

22

22

22 44

4.3hRhR

hRhR

+=

+Þ

2222 4)(3 hRhR +=+Þ \

2

22 R

h =Þ

Do đó:

ABCIR

ABCdtSAVSABC .21

.2

.31

)(.31

=D=12

6)2)(

23

(26

1 3RR

RR ==

Cách khác:

Do AC = R nên DOAC đều

Vẽ CI OA^ thì I trung điểm OA

Ta có: CI AB^ và SA nên CI ( )SAB^

Do đó hình chiếu vuông góc của SBCD lên mp(SAB) là SBID

Ta có dt( ISBD ) = SARRSAIBSA .43

)23

(21

.21

==

Dt( SBCD ) 3.21

.21 22 RRSABCSC +==

Mà: dt( SIBD ) 060cos)( SBCdt D=

2 2 2 2

22 2 2 2

3 1 1. . 3. 3

4 2 2

32

R SA SA R R SA SA R

RSA SA R SA

Û = + Û = +

Û = + Û =

Vậy 3

.

1 6( )

3 12S ABC

RV SAdt ABC= D =

Bài 14:(Tuyển sinh ĐH khối B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có


96

đáy là hình vuông cạnh 2a. SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Giải

Ta có: 22222 )3( ABaaSASB =+=+

DÞ SAB vuông tại S aAB

SM ==Þ2

Vậy DSMA đều cạnh a

Vẽ ABSH ^

Do mặt phẳng (SAB) ^mặt phẳng (ABCD)

Nên SH^mặt phẳng

(ABCD) và SH = 2

3a

Ta có: ACBD ^ mà MN // AC nên

BDMN ^

Do đó: 2 2

21 1 (2 2 )( ) . . . 2

2 2 2 4 4AC AC a

dt BMDN MN BD AC a= = = = =

Vậy )(.31

. BMDNdtSHV BMDNS =3

32.

23

.31 3

2 aa

a==

AG24aAD

== Lấy G trên cạnh AD sao cho

g(SM,DN) ·SMG= Ta có: MG // DN // C’B.Vậy

DSAG vuông tại

A4

54

222222 aa

aAGSASG =+=+=Þ

DAMG vuông tại A4

54

222222 aa

aAMAGMG =+=+=Þ

DSMG ·2 2 2 2 . cosSG MS MG MS MG SMGÞ = + -

·2 1

cos2 . 2 5 5

22

MS MS aSMG

MS MG MG aÞ = = = =

Bài 15: (Tuyển sinh ĐH khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có

đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2 , SA = a và SA vuông góc mặt phẳng ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AD và SC, I là giao điểm của MB và AC. Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện


97

A.NIB.

Giải

DAMB vuông tại A

23

2)

22

(22

2222 aaa

aaBM =+=+=Þ

2

3aBM =Þ

Ta có I là trọng tâm DABD

Vậy

36

2

3.

32

32 aaBMBI ===

và

32.

32

32 BDBDAOAI ===

33

32 22 aaa

AI =+

=Þ

Do đó: 2222

22

32

3ABa

aaIBAI ==+=+

Vậy DAIB vuông tại I

Ta có: BIÂI và SAÞBI^ (SAC)

Mà BIÌ (SMB)Þ (SAC)^ (SMB)

Ta có:

362

36

.3

3..

121 3aaa

a ==

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, cạnh bên 2a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh SA vuông góc BC. Tính VS.ABI

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) 0120ˆ =CAB , SBCD đều cạnh a. Tính VS.ABC.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc đáy . Biết SA= AB = BC = a. Tính VSABC.

Bài tập 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và 00 60ˆ,60ˆˆ === BADDACCAB

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy. Hai mặt bên còn lại hợp với đáy góc 600. Hãy tính thể tích khối chop S.ABC.


98

Bài tập 6: (CĐ/09) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB, CD. Chứng minh MN vuông góc SP. Tính VAMNP.

Bài tập 7: (DBA08) Cho S.ABC là hình chóp có mỗi mặt bên là các tam giác vuông,

SA = SB =SC = a. Gọi M, N, E là trung điểm AB, AC, BC. D là điểm đối xứng của S qua E. I là giao điểm của SD và mặt phẳng (SMN). Chứng minh AI ^ SI. Tính VMBSI .

Bài tập 8: (DB/B08) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 3a , SA )(ABCD^ .

Tính VS.ACD và cos(SB,AC)

Bài tập 9: DB/B08 Cho tứ diện ABCD có ABCD và ABDD đều cạnh a. Mặt phẳng (ACD) ^ mặt phẳng (BCD). Tính VABCD và góc của AD và BC.

Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 3a, ^DABC tại B, AB = a, BC = 2a. Tính d(A’,(SBC))

Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết SA vuông góc mặt phẳng (ABC), AB = a, BC = a 3 , SA = a. Mặt phẳng (a ) qua A, vuông góc SC tại H, cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.

Bài tập 12: (D2006) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA= 2a và SA vuông góc mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.

Bài tập 13: (DB/D08) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại O lấy điềm S sao cho SO = R 3 . Lấy M di động trên đường tròn . Gọi H là trung điểm SM. Tìm M trên đường tròn (O, R) sao cho hình chóp H.AMP có thể tích lớn nhất.

Bài tập 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, SACD đều. Mặt phẳng (a ) qua và vuông góc SC tại N cắt SB, SD tại M, K. Tính VS.AMNK

Bài tập 15: (DB/D08) Cho hình chóp S.ABC có ABCD vuông cân tại B, AB = a, SA = 2a, SA )(ABC^ . Mặt phẳng qua A và ^ SC cắt SB, SC tại H,K. Tính VS.AHK

Bài tập 16: Cho hình chóp S.ABC có ABCD cân tại B, AC = a, 0120ˆ =CBA , SA = SB = SC. Góc của SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính VS.ABC

Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB =SD = AB = BC = CD = a, VSABCD=6

23a. Tính SC.

Bài tập 18: (DB/A07) Cho hình chóp S.ABC có góc của 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600, ABCD và SBCD là tam giác đều cạnh a. Tính d(B,SAC)

Bài tập 19: (CĐ08) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, 090ˆˆ == CBADAB , AB=BC=a, AD = 2a, SA^ (ABCD), SA=2a. Gọi M, N trung điểm SA SD. Chứng minh BCMN là hình chữ nhật. Tính VS.BCMN.

Bài tập 20: (CĐ/2010) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB)^mặt phẳng (ABCD), SA = SB, góc SC và (ABCD) là 045 . Tính VS.ABCD

Bài tập 21: Cho hình chóp S. ABCD có dạng ABC đều cạnh 3a, SA = , . Gọi I là trung điểm BC và SH là đường cao hình chóp S.ABCD

a/ Chứng minh H nằm trên AI. Tính thể tích S.ABCD

b/ Tính khoảng cách từ I đến mp SAB

Bài tập 22: Cho khối hình chóp S. ABCD có dạng ABC vuông tại và SA = SB = SC = BC = 2a.

Tính thể tích S. ABC và khoảng cách từ B đến mp (SAC)


99

Bài tập 23: Cho khối hình chóp S. ABCD có đáy ABCD vuông cạnh a. SA ^mp (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của CD. Tính thể tích S. ABCD và có khoảng cách từ S đến

Bài tập 24: Cho tứ diện ABCD có ABC vuông tại A , AB = a , AC = BDC vuông , DA = DB = DC. Gọi là góc của BC và mp ( ACD).

Tính thể tích ABCD và sin

Bài 2: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

V = Bh B: diện tích đáy

h: chiều cao

Bài1: Tuyển sinh ĐH A/2008

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABCD vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , AA’ = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC và cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng AA’, B’C’.

Gọi H là trung điểm BC

Ta có A’H ^mặt phẳng (ABC)

và AH aaaBC

=+

==2

32

22

HAA'D vuông 222222 34' aaaAHAAHA =-=-=Þ

Vậy:

)(.'31

'. ABCdtHAV ABCA D=

V= ACABHA ..'61

3

21( 3)( 3)

6 2a

a a= =

Gọi j là góc giữa AA’ và B’C’:

Ta có: AA’ // BB’ và B’C’ // BC nên j = CBB ˆ'

HBA ''D vuông Þ 2 2 2 2' ' ' ' 4HB A B A H a= + =

Ta có: B’B = B’H = 2a nên DBB’H cân tại B’.


100

Gọi I là trung điểm BH thì B’I^BH

DB’BI vuông ·cos cos ''

IBB BI

BBfÞ = =

41

22cos ==Þa

a

j

Bài 2: (Dự bị ĐH khối B 2006)

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, AB = a, AA’ = b. Gọi a là góc của hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (A’BC). Tính tana và thể tích khối chóp A’.BB’C’C theo a và b.

Giải

Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều.

Gọi H là tâm của DABC thì A’H^mặt phẳng (ABC).

Gọi E là trung điểm BC thì BC ÂE 'A E BCÞ ^

Do đó: · 'AEA a=

AHA 'D vuông 22'2' AHAAHA -=Þ

22

2 2 22 3' .

3 2 3a a

A H b bæ ö

Þ = - = -ç ÷ç ÷è ø

Ta có: HE2

3.

31

31 aAE ==

Ta có: ABCACBAABCCCBBA VVV '..''' ''' -= =

( ) ( ) ( )ABCdtHAABCdtHA

ABCdtHA D=D-D .'32

3'

.'

=6

34

33

332 222222 abaaab -

=-

Bài 3: Đề dự bị tuyển sinh ĐH khối A 2007

Cho lăng trụ đứng ABC.A‘B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a 5

và = 1200 .Gọi M là trung điểm CC’. Chứng minh MB vuông góc MA’. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).

Giải : oACABACABBCABC 120cos.2222 -+=ÞD

2222 721

224 aaaaaBC =÷øö

çèæ--+=Þ


101

222 MCBCBMBCMvuông +=ÞD

222 1257 aaa =+=

222 '''''' BBBABABvuôngBA +=ÞD222 2120 aaa =+=

222 ''''' MCCAMAvuôngMCA +¢=ÞD

222 954 aaa =+=

Ta có: 2'BA = 2'MA + 2BM = 21a2

Nên DBMA’ vuông tại M 'MAMB ^Þ

. Vẽ BH AC^

Ta có BH AC^ và BHÂA’ nên BH ( )'AMAmp^

DBHA vuông 2

360sin

aBH

ABBHo =Þ=Þ

Gọi N là trung điểm ACÞ 'AAMN ^

Vậy dt 5252.2.21

'.21

)'( 2aaaAAMNMAA ===D

Do đó: 3

155

33

)'(.31 3

2'.

aa

aMAAdtBHV AMAB ==D=

Gọi h là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMA’)

Ta có: )'(.31

'.'. BMAdthVV AMABBMAA ==

Bài 4:(Tuyển sinh ĐH khối B/2009)

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc của BB’ và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60o, tam giác ABC vuông tại C, góc BAC = 60o. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối A’.ABC

Giải

Ta có B’G ·( ) ' 60oABC B BG^ Þ =

Đặt: AC = x,

Gọi I trung điểm BC

360tan ==^ÞDACBC

ABC o


102

xBC 3=Þ

313

32 xBIBG ==Þ

21

'60cos' ==^ÞD

BBBG

BGB o BGBB 2'=Þ

3132x

a =Þ132

3ax =Þ

913

'''2

2222 xaBGBBGBBGB -=-=^ÞD

4

313.4

9.

913

'22

22 aaaGB =-=Þ

Ta có: A’B’// (ABC) ( ', ) ( ', )d A ABC D B ABCÞ =

Do đó: )(.'31

'. ABCdtGBV ABCA D=

3...21

.2

3.

31

xxa

= 23.121

ax=2 31 9 9

4 4.13 208a a

a= =

Bài 5 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABCD đều cạnh a, AA’ = 2a và AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o. Tính VA.CA’B’

Giải

Vẽ A’H ( )mp ABC^

·' 60oA AHÞ =

' 3sin 60

' 2o A H

AAÞ = =

' 3A H aÞ =

Ta có: . ' ' 'A A B CV

Mà '. ' . ' ' '

13C A BC C A B C LTV V V= =

Và '.

13A ABC LTV V=

Do đó: . ' '

13A A B C LTV V=

2 31 1 a 3 a

. ' ( ) 3.3 3 4 4

A Hdt ABC a= D = =

Bài 6 : (DB/007) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam


103

giác vuông AB = AC = a, AA’ = a 2 . Gọi M, N là trung điểm AA’ và BC’. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA’ và BC’. Tính thể tích khối chóp M. A’BC’.

Giải

Gọi I,I’ lần lượt là trung điểm BC, B’C’

â (1)ABC c ntaiA AI BCD ^ Þ ^ Mà ' ( ) ' (2)BB ABC BB AI^ Þ ^ Từ

(1)(2) ( ' ' ')AI BB C CÞ ^

'AI BCÞ ^

Mặtkhác: / / '(3)MN AI MN BCÞ ^

' ( ) 'AA ABC AA AI^ Þ ^

Mà / / '(4)MN AI MN AAÞ ^

Từ (3) và (4) MN là đường vuông góc chung của AA’và BC’

. Ta có ' ' ' ' àAA' A'C' (A'B'BA)A C A B v^ Þ ^

Vậy '. '

1' ' ( ' )

3C A MBV A C dt BA M= D

1 1

' '. ' '. '3 2A C A B A M=

31 2 a 2

. . .6 2 12

aa a= =

Bài 7 : (D/2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại B. AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M trung điểm A’C’, I là giao điểm AM và A’C. Tính thể tích khối chop I.ABC và khoảng cách từ A đến mp (IBC)

Ta có: 2 2 2 2' 9 4 5A AC AC a a aD ^Þ = - = 2 2 2 25 a 4ABC BC a aD ^Þ = - =

Do ' ' 1

' / /2

IA A MA M AC

IC ACÞ = =

Trong mp (A’AC) vẽ IH//AA’ thì IH ( )ABC^

Ta có:2

' ' 3IH CIAA CA

= =

2 2 4' (2 )

3 3 3a

IH AA aÞ = = =

Vậy .

1. ( ).

3I ABCV IH dt ABC= D


104

1 4 1

.3 3 2

aBA BC=

34 4

.28 9a aa a= =

Ta có: và BB’

( ' ')BC ABB AÞ ^

'BC BAÞ ^

Vẽ IK BC^

Do IK//BA’ nên 2

' 3IK CIBA CA

= =

2 22 2 2 5' a 4

3 3 3a

IK BA aÞ = = + =

Ta có: . .I ABC A IBCV V=

1

( , ( )). ( )3d A IBC dt IBC= D

1

( , ). .6d A IBC IK BC=

346.6 29( , )

. 2 5 5.2

3

aV a

d A IBCIK BC a

a

Þ = = =

Bài 8 : (D/08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông cân tại B với BA = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M trung điểm BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách của hai đường thẳng AM và B’C theo a.

Ta có: '. ( )LTV AA dt ABC= D

2 3a a 2

2( )2 2

a= =

Gọi N trung điểm BB’. Ta có: MN//B’C ' / /( )B C AMNÞ

Vậy d(AM,B’C) =d(B’C,(AMN)) = d (C,(AMN))

Mặt khác:

BC cắt mp (AMN) tại M

Ta có: ( , )

1( , )

d C AMN MCd B AMN MB

= =

Vẽ BH AM^ và (1)BK NH^

Ta có: ( ) (2)AM BNH AM BK^ Þ ^

Từ (1) (2) ( )BK AMNÞ ^


105

Ta có 2 2 2

1 1 1BK BN BH

= +

2 2 2

1 1 1ABN B BM

æ ö= + +ç ÷è ø

2 22

1 1 1a2

22

aa= + +æ ö æ ö

ç ÷ç ÷ è øè ø

2 2 2 2

2 1 4 7a a a a

= + + =

Do đó BK = d(AM,B’C)=7

a

Bài 9 : (Đề dự bị tuyển sinh ĐH khối D/2006)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy K trên cạnh

CC’ sao cho CK = 32

a. Gọi (a ) là mặt phẳng qua A, K và song

song BD, (a ) chia khối lập phương làm hai khối đa diện. Tính thể tích hai khối đa diện đó theo a

Giải

Gọi O và O’ là tâm hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.AK cắt OO’ tại I.

DACK có OI là đường trung bình nên OI = 32aCK

=

Mặt phằng (a ) // BD vậy (a ) cắt mặt phẳng (DBB’D’) theo giao tuyến MN qua I và song song BD.

Ta có:BD^ AC và AA’ nên

BD ( )' ' 'mp AA C C BD AK^ Þ ^

Mà MN // BD => MN ^ AK

Mặc khác I là trung điểm MN và AK nên ANKM là hình thoi. Ta có:

V1 = VAMKN.ABCD = 2VAMK.ABC = 2VA.MKCB

=

( ) ( )KCMBBCAB

MKCBdtAB +=2

.3

2.

32

= 33

233

22 aaaa=÷

øö

çèæ +

Vậy V2 = VAMKN.A’B’C’D = VABCD.A’B’C’D – V1 = a3 - 3

23

33 aa=

Bài 10: (Đề dự bị ĐH khối A 2006) Cho hình hộp đứng

ABCD.A’B’C’D’ có AB=AD=a, · 60oBAD = ,AA’=2

3a. Gọi M,

A B

CD

A' B'

C'D'

O'

O

I

N

M

K

a


106

N lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’.

a/ Chứng minh AC’ vuông góc mặt phẳng (BDMN).

b/ Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

Giải

a/ ABDD đều nên BDAC ^

Mà: BDAA ^' nên ^BD mặt phẳng (AA’CC’) 'ACBD ^Þ (1)

Gọi O và O’ là tâm hai hình thoi ABCD và A’B’C’D’.Gọi I là trung điểm MN.

Ta có: 2

3'

aAAOA ==

nên AOA’O’ là hình vuông

Do đó: OIAC ^' tại H (2)

Từ (1),(2) ta có: ^'AC mặt phẳng (BDMN)

b/ DOAK vuông AKAHOA .2 =Þ

Ta có: BD^mặt phẳng (AA’CC’) OIBD ^Þ

415

'a

AKOIOIOOAK ==ÞD=D

Do đó: )(.31

. BDMNdtAHV BDMNA =

163

.415

.15

3.

41

23

..61

)(2

.31

3aa

aa

BDIOAH

MNBDIO

AH

==

=

+=


Bài tập 1: Cho ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đứng đáy là D đều cạnh a, AA’=a 2 . Tính '.BCAAV .

Bài tập 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a; BC’ tạo mặt bên (ABB’A) mặt góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.

Bài tập 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt bên (BCC’B’) một góc a . Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC’.

a/ Chứng minh góc AJI bằng a

b/ Tính thể tích khối lăng trụ.

15

3

163

43

43

22

2

2 a

aa

a

AKOA

AH =

+

==Þ

M


107

Bài tập 4: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên ABB’A’ là hình thoi cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên ACC’A’ tạo với mặt đáy một góc a . Tính thể tích hình lăng trụ.

Bài tập 5: (DB/B06) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích V. Các mặt phẳng (ABC’), (A’BC), (AB’C) đồng quy tại O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).

a/ Chứng minh H là trọng tâm ABCD

b/ Tính thể tích tứ diện O.ABC theo V

Bài tập 6: (D2008) Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’C’B’D’ có đường cao h, góc của (A’BD) và (ABB’A’) là a . Tính VLT và Sxq của lăng trụ theo h và a .

(ĐS: 3 2t an 1V h a= - 2 24 tan 1S h a= - )

Bài tập 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC cân tại A. Góc của AA’ và BC’ là 6p

, . Góc nhị

diện cạnh AA’ là 3p

. Tính thể tích lăng trụ

Bài tập 8: (DBD2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm AA’. Chứng minh BM vuông góc với B’C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM, B’C. Bài tập 9: Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAC bằng 60o. AA’ = A’B = A’D và cạnh bên tạo với đáy góc a .

a/ Xác định góc a và chân đường cao vẽ từ A’.

b/ Tính thể tích V của hình hộp.

Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có DABC^ tại B. AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm A’C’, I là giao điểm AM và A’C. Tính IABCV và d(A,(IBC). 15 4

Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có mp D A’BC cách A một khoảng và tạo với BC góc có sina = . Tính thể tích lăng trụ

Bài tập 12: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC đều cạnh a, AA’ = A’B = A’C, góc của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) là 60o. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.

Bài tập 13: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có DABC ^ tại C, B= 2a , AC = . Gọi H là trung điểm BC thì B’H ^mp( ABC) góc của BB’ và mp (ABC) bằng π/4. Tính thể tích khối lăng trụ và góc của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (CBB’C’)

Bài 3 : HÌNH TRỤ

Hình trụ là hình sinh bởi hình chữ nhật quay một vòng quanh một cạnh.

- Các thiết diện qua trục là các hình chữ nhật bằng nhau.

V =B.h

Sxq = 2πRh B: diện tích đáy

h: chiều cao

: bán kính đáy

Bài 1. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp nhau A,B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.

O


108

Mặt phẳng hình vuông ABCD tạo mặt phẳng đáy của hình trụ một góc 450. Tính theo a diện tích xung quanh hình trụ đó và thể tích khối trụ đó.

Giải

Gọi 'B là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy chứa (O’)

ABCD hình vuông DC CB CD CB'Þ ^ Þ ^

Do đó: · = 0BCB' 45 vàDB' là đường kính của (O’).

'BBCD vuông cân nên:BB’=CB’=2

2a

DCDB' vuông nên: 'DB =2

2 2 2 2 6'

4 2a a

CD CB a+ = + =

'DB a 6R2 4

Þ = =

Do đó 26 2 3

2 2 .4 2 2

a a aSxq Rh

pp p= = =

và :2 3

2 6 2 3 2. .

16 2 16a a a

V R hpp p= = =

Bài 2. (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006) Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và 'O , bán kính đáy

bằng chiều cao và bằng a.Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm 'O lấy điểm B sao cho AB = 2a.Tính theo a thể tích tứ diện O.O’AB.

Giải

Vẽ BC vuông góc mặt phẳng đáy chứa đường tròn (O). DABC vuông ÞAC2 AB2 BC2

4a2 a2 3 2a Vẽ CH ÔA

Mà 'OO ^ CH

Nên CH ^ mp ( 'OO A) Ta có BC // mp ( 'OO A)

Nên CH = d (C, ( 'OO A))

= d ( B, ( 'OO A))

·D Þ = + -2 2 2AOC AC OA OC 2OA.OCcosAOC

· ·2 2 2 13a 2a 2a cosAOC cosAOC2

Þ = - Þ = - Þ ·AOC 0120=


109

D vuông COH 0 CH a 3sin 60 CH

OC 2Þ = Þ =

Vậy: ' '

32

O.ABO B.AOO

1 1 a 3 1 a 3V V CH.dt( OO'A) . a

3 3 2 2 12æ ö= = D = =ç ÷è ø

Bài 3. Cho hình trụ có hai hình tròn đáy tâm O và O’, bán kính đáy R, chiều cao . Gọi A là điểm trên đường tròn (O). Tìm B và C trên đường tròn (O’) sao cho tam giác ABC đều.

Từ A vẽ '/ / ' 'AA OO AAÞ ^mp chứa (O’).

Vẽ đường kính ' 'A O D .

Do AB = AC nên A’C = A’B.

Mặt khác O’B = O’C = R.

Vậy O’A’ là đường trung trực của BC.

' 'O A BCÞ ^ tại trung điểm I.

Đặt x = A’I ( 0 2x R£ £ )

'A BDD vuông tại B nên BA’2 = A’I.A’D = 2Rx và IB2 = IA’.ID = (2R - x) x

Vậy BC = 2BI = 2 (2 )x R x-

'A ABD vuông tại A’ nên BA2 = AA’2 + BA’2 = 2R2 + 2Rx

Mà ABCD đều 2 2 2A 2 2 4 (2 )B BC R Rx x R xÞ = Þ + = -

2 24 6 2 0x Rx RÞ - + =

Do đó ABCD đều khi v

IA’ = R Û BC đường kính của (O’) mà vuông góc O’A’

HoặcIA’ = 2RÛ BC là dây vuông góc O’A’ tại trung điểm của O’A’.

Bài 4. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao 15 cm, bán kính R = 6 cm. Tìm chiều cao và bán kính đáy của hình trụ có diện tích toàn phần lớn nhất nội tiếp trong hình nón. Tính diện tích toàn phần hình trụ đó. Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ nội tiếp trong hình nón với 0 < r < 6 và 0 < h < 15.

Ta có: Stp = 2Sđáy + Sxq = 2p r2 + 2p rh

Do MN//SH6

6 15AN MN r hAH SH

-Þ = Þ =

5

15 1 156 2

rh

pæ öÞ = - = -ç ÷è ø

Vậy: S(r) = 2 52 2 15

2r

r rp p æ ö+ -ç ÷è ø

22 22 30 5 30 3r r r r rp p p p p+ - = - S(r) = với 0 < r < 6

Ta có: S’(r) = 30 6 rp p-

S’(r) = 0Û r = 5


110

Do đó: Smax = 755

52

r

hp

=ìïÛ í

=ïî

Bài 5. Cho hình trụ có đáy là hai hình tròn tâm O và 'O bán kính R, chiều cao R 2 . Trên hai đường tròn O và 'O lấy lần lượt hai điểm A và B sao cho góc hai đường thẳng OA và O ' B bằng α không đổi.

a) Tính AB theo R và α b) Chứng minh khi AB di động thì trung điểm của AB luôn di động trên một đường tròn cố định.

Giải

a/Vẽ O 'A ' // OA thì ·A 'O 'B = α .Vẽ O 'H A 'B HA ' HB^ Þ = ' 'AOA O là hình chữ nhật Þ '/ / ' ' ( ')AA OO AA OÞ ^

' 'O A HD vuông A 'H

sin2 O'A 'a

Þ = A 'B 2A 'H 2R sin2a

Þ = =

DA A ' B vuông 2 2 2 2 2 2AB AA' A 'B 2R 4R sin2a

Þ = + = +

2AB R 2 4sin2a

Þ = +

b/Gọi K là trung điểm 'OO và I trung điểm AB

Ta có: '1IH AA2

=uuuuruur

và ' ' '1 1KO OO AA2 2

= =uuuur uuuur uuuur

Vậy 'IH KO=uuuuruur

nên 'O HIK là hình chữ nhật

Do đó KI 'O H R cos2a

= (không đổi). Do đó I luôn di đông trên đường tròn

tâm K bán kính 'R R cos2a

= nằm trong mặt phẳng qua K và song song

với hai đáy.

ABCD. ' ' ' 'A B C D , BC = b, đường Bài 6. Cho một hình hộp chữ nhật

chéo 'D B của hình hộp tạo với mặt phẳng đáy một góc α và tạo với mặt phẳng bên CDD’C’ một góc β.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình hộp đó. b) Tính thể tích hình hộp đó.

Giải

a/Ta có: ·'D BD = a và · 'BD C = b (do BC ^ (DCC’ D’)

'BCDD vuông tại C có B 'Db

sin=

b 'D DBD có

D 'D ' bsinBD sin

sina

= a =b

Bán kính đáy R của hình trụ ngoại

'BD 1 bcosR BDcos2 2 2sin

a= = a =

b tiếp hình hộp:


111

2'

2

b sin 2S 2 R.DD

2sinp a

Þ = p =b

b/Ta có: bcos

BDsin

a=

b


Bài tập 1. Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm trên hai đường tròn đáy sao cho AB = 2R. Tính khoảng cách từ AB đến trục hình trụ theo R.

Bài tập 2. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’ bán kính R, đường cao R 2 . Lấy A trên (O), B trên (O’) sao cho OA vuông góc O’B

a/ Chứng minh các mặt bên của hình chop OABC’ là các tam giác vuông. Tính V khối chop.

b/ Gọi (a ) là mặt phẳng qua AB và song song OO’. Tính d(OO’,a )

Bài tập 3.Cho hình trụ có thể tích V không đổi. Tính diện tích đáy và chiều cao sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 4. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh là 4π.

a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích khối trụ.

Bài tập 5. Cho lăng trụ đứng ' ' ' 'ABCD.A B C D có đáy ABCD là ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a,

đáy lớn CD = 4a, cạnh bên 5a2

. Chiều cao lăng trụ h.

a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp lăng trụ đã cho.

Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ đó

Bài 4: HÌNH NÓN

- Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một tam giác vuông quay một vòng quanh một cạnh góc vuông.


112

- Các thiết diện qua trục là các tam giác cân bằng nhau.

Sxq = hp l

21V R h

3= p

R: bán kính đường tròn đáy

l = SM: đường sinh

h = SO: đường cao

- Hình nón cụt là một phần của hình nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện vuông góc với đáy.

xq

2 2

2 2 2

S (R R ').l

1V h(R R ' RR ')

3l h (R R ')

= p +

= p + +

= + -

R, R ' : bán kính hai đáy

h = OO ' : chiều cao

l = MM ' : đường sinh

Bài 1: Cho hình nón có chiều cao h. Gọi ( )a là mặt phẳng qua đỉnh hình nón và tạo mặt đáy một góc 4p

. Tính

theo h diện tích mặt cắt của ( )a và hình nón, biết rằng mặt cắt chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo

23p

.

Giải

Vẽ OH ⊥ AB thì SH ⊥ AB

Ta có: ·SOH4p

= Þ DSHO vuông cân Þ SH = SO 2 = h 2

và OH = SO=h

Ta có: sđ »AB= 1200 ⇒ ·BOH = 600

BHOH

Þ AB = 2BH = 2h 3 DOBH vuông Þ tan600 =

Do đó: dt (DSAB) = 12

SH.AB = 12

(h 2 )(2h 3 )= h2 6

Bài 2: Cho D ABC vuông tại A, có AB = a và ·ACB = a

Người ta quay tam giác đó một vòng quanh BC.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành theo a và a

H H


113

S

A

M H N

Giải

Vẽ đường cao AH

AB aABC sin BC

BC sinD ^ Þ a = Þ =

a

và AB

tan AC A cotAC

a = Þ = a

AHAHC sin

ACD ^Þ a =

Khi quay DABC quanh BC thì khối tròn xoay tạo thành gồm hai hình nón có đáy là đường tròn tâm H bán kính AH

Ta có: V = BH. CH.3 3p p

+2 2AH AH

(BH CH) .BC3 3p p

= + =2 2AH AH

2

2 a cos( cos )

3 sin 3 sinp a

= =a a

32 a

a

Bài 3: Một hình nón có đường cao 20, bán kính đáy r = 25.

a) Tính diện tích xung quanh hình nón.

b) Một thiết diện qua đỉnh và cách tâm của đáy là 12. Tính diện tích thiết diện đó.

Giải

a) DSOA vuông Þ SA2 = SO2 + OA2 = 400 + 625 = 1025

Þ SA = 5 41

Vậy Sxq = pRl = p .25.5 41 = 125p 41 . K

O

C


114

b) Mặt phẳng qua đỉnh S cắt mặt nón theo hai đường sinh SM và SN.

Vẽ OH ^ MN.

Vẽ OK ^ SH

Ta có MN ^ mp (SOH)

nên MN ÔK

Vậy OK ^ mp(SMN)

Þ OK = 12 = d(O, mp (SMN)) SOHD vuông

2 2 2

1 1 1 1 1 256OH OK SO 144 400 144.400

Þ = - = - =

12 20OH 15

16´

Þ = =

OMHD vuông 2 2 2MH OM OH 625 225 400Þ = - = - = MN 2MH 40Þ = = SOHD vuông 2 2 2SH SO OH 400 225 625Þ = + = + = SH 25Þ =

Vậy: dt1 1

( SMN) SH.MN .25.40 5002 2

D = = =

Bài 4: Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và ·BSC = a với 02p

< a < . Tính theo a

và a .

a) Thể tích khối chóp theo a và a .

b) Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp đó.

Giải

a) Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì SH mp(ABCD)^

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có HM ^BC

⇒ SM ^BC DSMC vuông

Þ SM = a2

cot 2a

DSHM vuông

ÞSH =2 2

2a acot4 2 4

a- =

a cos

2sin2

aa

Thể tích khối chóp: 3a cosV6sin

2

a=

a

a) Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp là: S = pHB.SB


115

Với: HB = a 22

và SB = a

2sin2aÞ

2a 2S4sin

2

p=

a

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy a, góc ở đỉnh của mặt bên làa .

a) Tính thể tích khối chóp đã cho theo a và a

b) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S nội tiếp trong hình chóp đó theo a và a .

Giải

a) Gọi O là tâm tam giác đều ABC thì SO mp(ABC)^

Gọi I là trung điểm BC.

· ·1BSI BSC

2 2a

= = Do DSBC cân nên SI ⊥ BC và

Ta có: OB = 23

BJ

= 2 a 3 a 3.3 2 3

=

a aÞ = Þ =

aBIsin BS

2 SB 2sin2

DSBI vuông tại I

D SOB vuông tại OÞ SO2 = SB2 – OB2 =

æ öç ÷

- = -ç ÷a aç ÷ç ÷

è ø

2 2 2

2 2

a a a 3 43 124sin sin

2 2

22a 3cot 1

12 2æ öa

= -ç ÷è ø

Vậy: VS.ABC = 13

h.dt (DABC)2 3

2 2a a 3 aV . . 3cot 1 3cot 14 2 24 26 3

a aÞ = - = -

b) DSBIBItan

2 SIa

Þ =BI a aSI .cot

2 2tan2

Þ = = =a

l

và a 3R OI6

= =

Vậy 2

xq

a 3 a a 3S R cot cot6 2 2 12 2

a p a= p = p =l

Bài 6. Cho S.ABC là hình chớp tam giác đều có cạnh bên là a và góc của mặt bên và mặt đáy là 030 .Gọi hình nón nội tiếp hình chóp là hình nón đỉnh S đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Tính diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Giải


116

Gọi J là trung điểm BC, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC. Do S.ABC là hình chóp đều nên

SI ⊥ mp(ABC) và AJ ⊥ BC SJ BCÞ ^ . Vậy · 0SJA 30= . Đặt r = IJ là bán kính đường tròn nội tiếp DABC.

SIJD vuông 0 SItan 30

IJÞ = và 0 IJ

cos30SJ

= r 3

SI3

Þ = và 2r

SJ3

=

SIAD vuông 2 2 2SA AI SIÞ = + 2

2 22 2 2r 3 r 13r

a (2r) 4r3 3 3

æ öÞ = + = + =ç ÷ç ÷

è ø

3r a

13Þ =

Vậy 2r 2a

SJ13 13

= = =l

Do đó: 2

xq

3 2a 2a 3S r . a

1313 13

æ öæ ö= p = p =ç ÷ç ÷ç ÷è øè øl

BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập 1: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Lấy A, B thuộc đường tròn tâm O sao cho d(O,AB) = a, ·SAO =300, ·SAB= 600. Tính diện tích xung quanh hình nón. Bài tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH bằng h, góc SAB bằng a với 045a > . Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Bài tập 3: Cho hình nón m có bán kính đáy R, đường cao SO. Mặt phẳng (P) cố định vuông góc SO tại 'O cắt

m theo đường tròn có bán kính đáy 'R . Mặt phẳng (Q) thay đổi vuông góc SO tại O1 (O1 nằm giữa O và 'O )

cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x. Tính x theo R, 'R nếu (Q) chia hình nón nằm giữa (P) và đáy hình nón theo 2 phần có thể tích bằng nhau.

Bài tập 4: Cho hình nón có chiều cao h. Gọi (a ) là mặt phẳng qua đỉnh hình nón và tạo với đáy góc 4p

. Tính

diện tích mặt cắt chắn trên đáy có số đo 23p

Bài tập 5: Trong các khối nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng p thì khối nào có diện tích lớn nhất Bài tập 6: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h và có bán kính đáy R. Trong các mặt phẳng qua đỉnh hình nón, xác định mặt phẳng cắt hình nón theo mặt cắt có diện tích lớn nhất và hãy tính diện tích ấy.

Bài 5: MẶT CẦU – THỂ TÍCH KHỐI CẦU

Mặt cầu tâm I bán kính R, kí hiệu S( I, R)


117

S( I, R) = { }/M IM R=

Hình cầu tâm I bán kính R,kí hiệu B( I, R )

B( I, R) = { }/M IM R£

Thể tích hình cầu B( I, R):

Diện tích mặt cầu:

Chú ý : Phương pháp xác định mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Trường hợp 1: Nếu · ·ABC ADC 1v= =

Hai điểm B vá D cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên cùng nằm trên mặt cầu đường kính AC.

Trường hợp 2: Nếu AB AC AD a= = =


118

- Vẽ AH ^ mp (BCD) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD

- Trên mp (ABH) vẽ đường trung trực của AB, đường này cắt AH tại I thì I là tâm mặt cầu (ABCD).

- Do hệ thức lượng trên đường tròn (IJBH) ta có:

AJ.AB = AI.AH Þ R = IA = 2

2aAH

Trường hợp 3: Nếu AB ^ mp (BCD)

Vẽ ( )D là trục đường tròn (BCD).

- Vẽ ( )a là mặt phẳng trung trực của AB. ( )D cắt ( )a tại I thì I là tâm mặt cầu (ABCD).

- R= IB= 2 2IH HB+

Chú ý : Mặt cầu nội tiếp hình chóp:

Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.

Nếu hình chóp có mặt cầu nội tiếp thì:

tpS : diện tích toàn phần hình Với : V: thể tích hình chóp

chóp.

r: Bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều, bán kính đáy hình nón là R

a) Tính thể tích khối nón đã cho


119

b) Chứng minh rằng diện tích đáy, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình đó tỉ lệ 1:2:3

c) Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu mà đường kính bằng chiều cao của hình nón.

Giải

2 33

2R

SO R= = ∆SAB đều cạnh 2R nên

Vậy

33

R(

3 32

Rp

a) Ta có

Do đó

mặt cầu bán kính 3

2 2SO R

= b) Diện tích xung quanh

Vậy 2 2 2mc tp

R 3S 4 (SO ) 4 ( ) 3 R S

2= p = p = p =

Bài 2. (Tuyển sinh Đại học khối D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến

( )D . Trên ( )D lấy hai điểm A, B mà AB= a. Lấy C trên (P) và D trên (Q) sao cho AC và BD vuông

góc ( )D mà AC=AB=BD. Tính bán kính mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(BCD).

Giải

a) Do hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ( )D mà AC ( )^ D , AC nằm trên

mặt phẳng (P) nên AC^mp (Q) AC ADÞ ^ Tương tự:

Ta có : · ·DBC DAC 1v= =

B và A cùng nhìn DC dưới 1 góc vuông nên cùng nằm trên mặt cầu đường kính DC, R = 2

DC


120

BDCD ^ ÞR=2 22 3

2 2 2CD a a a+

= =

b) Từ A vẽ AK

Ta có mà ⊥ ∆ nên BD AKÞ ^ Vậy AK mp(BCD)^

Do đó:

.AC ABBC

= 2

2

a

a =

22

a

Bài 3. Cho tứ diện đều SABC cạnh a.Gọi I là trung điểm của đường cao SH của tứ diện.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng IA, IB, IC vuông góc với nhau từng đôi một.

b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC và tính bán kính của nó theo a.

Giải

a/S.ABC là tứ diện đều đường cao SH nên H là tâm của ABCD

SHBD vuông tại H æ öÞ = - = - - =ç ÷ç ÷

è ø

22

2 2 2 2 2 a 3 2aSH SB BH a3 2 3

a 2 a 6SH33

Þ = =

IHBD vuông

2 22

2 2 2 a 6 a 3 aIB IH HB6 3 2

æ ö æ öÞ = + = + =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷

è ø è ø

I SH IA IB ICÎ Þ = = Xét ∆IBC có IB2 + IC2 = BC2Þ IB^ IC

Tương tự ta có ÎC IA ÎA IB

b) Vì I và H cách đều A,C,B nên tâm hình cầu đi qua 4 điểm phải nằm trên IH.Vẽ đường trung trực của đoạn IB trong mp(BIH), đường này cắt IH kéo dài tại O

Ta có OA OB OC OI= = = , vậy O là tâm hình cầu qua 4 điểm A,B,C,I. Gọi M là trung điểm IB


121

Ta có: IB IHIBH ~ IOMIO IM

D D Þ =

Þ = = = = =æ öç ÷ç ÷è ø

2 2IB.IM IB a a 6R OIIH 2IH 4a 64

6

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a;

SA= SB = a, hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau.Tính diện tích xung quanh mặt cầu qua S, A, B,D.

Giải

Gọi J là tâm hình vuông ABCD Gọi D là đường thẳng qua J, ^ (ABCD) thì D là trục đường tròn (ABCD) Gọi I là trung điểm AB DSAB đềuÞSI ÂB Mp(SAB) ^ (ABCD) ÞSI ^ (ABCD) Do IJ ÂBÞ IJ ^ (SAB) Gọi G là tâm của tam giác đều SAB Vẽ (d) ^ (SAB) tại G thì (d) là trục đường tròn (SAB) Ta có (d) cắt D tại O

OÎD Þ OÎd ÞO Vậy ÞO là tâm mặt cầu qua S, A, B, D Vậy OGIJ là hình chữ nhật Ta có d // IJ và SI // D

OSGD vuông Þ 2 2 2 2R SO SG OG= = +

Þ R2 =

2 22 22 2 3

IJ .3 3 2 2

a aSI

æ öæ ö æ ö+ = +ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø=

2 2 273 4 12a a a+ =

Do đó Sxqmc = 42

2 73a

Rp p=

Bài 5: (Tuyển sinh ĐH khối B năm 2010): Cho lăng trụ tam giác đều ' ' 'ABC.A BC có AB = a, góc của hai mặt phẳng (A 'BC) và (ABC)bằng 060 . Gọi G là trọng tâm 'A BCD . Tính V lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện G.ABC.

Giải

Gọi H là trung điểm BC,

ABCD đều AH BCÞ ^ Mà AA '^mp(ABC)

A 'H BCÞ ^

Vậy · oA 'HA 60=

o AA 'A 'AH tan 60 3

AH

a 3 3aAA ' 3

2 2

D ^Þ = =

Þ = =


122

Và cos 60o

Do đó

2 33 a 3 3 3'. ( ) .

2 4 8LT

a aV AA dt ABC= D = =

Trong mặt phẳng (GHA) vẽ (d) đường trung trực của GA cắt GI tại O thì O là tâm mặt cầu qua G, A, B, C.

Gọi M là trung điểm GA.

Gọi I là tâm của D đều ABC

Ta có: 1

/ / '' 3

HG HIGI AA

HA HA= = Þ

Vậy: 1 1 3

.' 3 3 2 2

GI a aGI

AA= Þ = =

2 2 23 21

4 9 36a a a

= + =

Ta có:

/( )

2 2

. .

. 212 36. .2

221 736 12

G OMIAP GM GA GOGI

GM GA GA aR GO

aGI GI

a aR

= =

Þ = = = =

Þ = =

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a: · 60oABC = ,

Gọi M là trung điểm SD; N là hình chiếu vuông góc của M lên mp (ABCD).

Tính thể tích khối S.ABCD. Chứng minh 6 điểm S, B, A, C, M, N cùng thuộc một mặt cầu.

Giải


123

DABC có AB = BC = a và = 600 nên DABC là tam giác đều.

Gọi G là tâm của DABC do SA = SB = SC, GA = GB = GC nên SG ⊥ (ABCD)

Do MN ^ (ABCD) nên MN // SG và NÎBD

Ta có: DSBG vuông Þ SG2 = SB2 – BG2

= a2 –

22 3

.3 2

aæ öç ÷ç ÷è ø

= a2 2

3a

= -22

3a

Vậy VS.ABCD = 3SG

.dt (ABCD)

= 2 31 2 2 3 2

. .3 4 63

a a a=

Gọi I là tâm mặt cầu qua S, A, B, C

Thì I Î SG là trục đường tròn (ABC)

Ta có: IS = IB = R Þ D ISB cân

Gọi H là trung điểm SB thì IH^ SB

Ta có: PS/(IHBG) SI.SG SH.SB

Þ R = SI = 2 2. 3 6

2 42 2 22.

3

SH SB SB a a aSG SG a

= = = =

Ta có IG = SG – SI = 6 6 6

3 4 12a a a

- =

NG = OG + ON =2 3 3

.3 2 3

a a=

D IGN vuông Þ IN2 = IG2 + GN2 =2 2 2 2 26 3 3

144 9 24 3 8a a a a a+ = + =

Ta có IN = 3 6

42 2

a a= = R N mặt cầu qua SABC

Ta có: IG 6

12a

; SG 2 6

33

a a=

IG = 14

SG mà MN = 12

SG MN = 2 IG

Gọi K là trung điểm MN

Do IGNK là hình chữ nhật nên IK ⊥ MN

Vậy IM = IN = R

Do đó 6 điểm S, A, B, C, M, N thuộc mặt cầu tâm I với R =6

4a


Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SB = a .

a) Tính VS.ABCD .


124

b) Chứng minh trung điểm của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy một góc . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc nhau và góc BDC bằng 900. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.

Bài tập 4: Cho hình cầu đường kính AB = 2R, lấy H trên bán kính OB sao cho OH = 3R

Mặt phẳng ( ) qua H

vuông góc AB cắt hình cầu theo đường tròn (C).

a) Tính diện tích hình tròn (C)

b) Gọi CDE là tam giác đều nội tiếp trong (C). Tính thể tích hình chóp ACDE và BCDE.

Bài tập 5: Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính AB = 2R. Lấy M di động trên đường tròn. Vẽ MH vuông góc AB tại H với AH = x (0 < x < 2R). Dựng đường thẳng vuông góc với (tại M trên đó lấy MS = MH. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABM. Tìm x để bán kính mặt cầu đó đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập 6: Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc mặt phẳng (ABC), nhị diện cạnh SB = a, góc BSC bằng

4p

, góc ASB bằng .

a/Chứng minh SB vuông góc BC. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b/Tính thể tích tứ diện SABC theo a và .Tìm để thể tích này lớn nhất.

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD vuông cạnh a, SA^ (ABCD). Mặt phẳng qua A vuông góc SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng thuộc mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.

Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a và SBD đều. Hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là trọng tâm ABD.

a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

b/ Xác định tâm và bán kính mặt còn qua S, A,B,C,D

Documents

Bài 1: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - truonglachongtphcm.edu.vntruonglachongtphcm.edu.vn/document/Microsoft_Word_-_TR85-124-BAI... · Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng