BÀI 3 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠCeldata2.neu.topica.vn/TXTOKT02/Giao trinh/04_NEU_TXTOKT02_Bai3_v… · thực hiện một phép thử. ... thể mô tả các biến cố

Bi 3: Bin ngu nhin ri rc

40 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

BI 3 BIN NGU NHIN RI RC

Hng dn hc Bi ny tip tc ni dung ca hai bi hc trc nhng kt hp vi cc i lng o lng. Cc bin c ngu nhin trong bi trc c xt tr thnh cc bin ngu nhin, t tnh ton cc xc sut. Vi cc i lng o lng c m t trong bi hc ny, khng ch quan tm n xc sut xy ra cc gi tr m cn quan tm n nhng i lng c trng v cch tnh cc i lng . c th nm c bi hc ny, cn nh cc khi nim v xc sut trong cc bi trc, cng nh cch tnh cc xc sut . Vic tnh ton cn ht sc cn thn trnh nhm ln. hc tt bi ny, sinh vin cn tham kho cc phng php hc sau: Hc ng lch trnh ca mn hc theo tun, lm cc bi luyn tp y v tham gia

tho lun trn din n. c ti liu: Gio trnh L thuyt xc sut v thng k ton ca NXB i hc KTQD. Sinh vin lm vic theo nhm v trao i vi ging vin trc tip ti lp hc hoc

qua email. Tham kho cc thng tin t trang Web mn hc. Ni dung Khi nim v phn loi bin ngu nhin. Bng phn phi xc sut ca bin ngu nhin ri rc. Cc tham s c trng: k vng, phng sai, lch chun. Bin ngu nhin phn phi Khng mt v phn phi Nh thc. Khi nim v cc tham s ca bin ngu nhin hai chiu ri rc. Mc tiu Sau khi hc xong bi ny sinh vin cn thc hin c cc vic sau: Hiu khi nim bin ngu nhin v phn bit c hai loi bin ngu nhin. Lp c bng phn phi xc sut ca bin ngu nhin ri rc. Tnh cc tham s: k vng ton, phng sai, lch chun v p dng trong phn tch

kinh t. Bit s dng quy lut Khng Mt v quy lut Nh thc tnh xc sut v cc i lng. Hiu khi nim bin ngu nhin 2 chiu v tnh c mt s tham s c trng ca

bin ngu nhin 2 chiu ri rc.


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 41

Tnh hung dn nhp La chn v tr lm vic Mt ngi c th la chn gia hai v tr lm vic. V tr th nht l ti mt vn phng v nhn mt mc lng thng c nh mc va phi. V tr th hai l ti mt n v kinh doanh v nhn lng theo kt qu lm vic: nu kt qu rt tt th nhn lng cao, kt qu va phi th lng bnh thng, khng hon thnh th nhn lng rt thp, thm ch khng c lng. Vi n v kinh doanh vic kt qu cng vic hay khng l ngu nhin, ch c th nhn nh c v kh nng t kt qu ch khng chc chn s c kt qu tt hay khng hon thnh.

M rng tnh hung ny cho cc tnh hung trong kinh doanh: mi phng n c cc kh nng khc nhau: l, ha, c li. Mc l c th l t, l nhiu; li c th li t, li nhiu Trong trng hp vic so snh, nh gi cc phng n kinh doanh thc hin th no di gc xem xt ca mn Xc sut?

1. Lm sao phn tch tnh hung v nhn nh, nh gi v mc lng? 2. C cch no so snh lng trong hai v tr trn? 3. nh gi v mt trung bnh th c th la chn th no? 4. nh gi v s ri ro th la chn th no?


42 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

3.1. Khi nim bin ngu nhin

3.1.1. Khi nim Trong bi ging trc ta lm quen vi cc bin c ngu nhin. Bin c ngu nhin th hin mt hin tng no m ta quan tm, c th xy ra hoc khng xy ra khi thc hin mt php th. Vi bin c ngu nhin ta phi dng ngn ng thng thng m t, chng hn cc bin c: gieo hai ng xu th c hai mt sp, c mt mt sp, c hai mt nga. Trong hu ht cc trng hp ngi ta nhn thy c th m t cc bin c ngu nhin bng cch dng con s m t cc i tng c th lng ha trong bin c . Chng hn vi bin c khi gieo hai ng xu, c th xt n i lng l s mt sp xut hin v t tn n l mt i lng k hiu l X, khi bin c c hai mt sp tr thnh bin c X bng 2, bin c c mt mt sp tr thnh bin c X bng 1, bin c c hai mt nga tr thnh bin c X bng 0. i lng X t nh vy n gin ha bin c v c th nh gi c gi tr khi so snh. Cch t nh vy cho ta khi nim v bin ngu nhin. nh ngha 3.1 Bin ngu nhin: Bin ngu nhin l mt bin s m trong kt qu ca php th n s nhn mt v ch mt trong cc gi tr c th c ca n ty thuc vo s tc ng ca cc nhn t ngu nhin. nh ngha trn cho thy trc ht bin ngu nhin phi nhn gi tr bng s, hoc l bn cht n l s, hoc l ta s chuyn n thnh con s. Khi ta thc hin php th, tng ng vi bin c no xy ra, th gi tr ca bin ngu nhin s l mt con s. Thng thng, bin ngu nhin c t bng nhng ch ci in hoa cui bng ch ci nh X, Y, Z. Trong mt s trng hp khc c th t theo ngha ca bin. V d 3.1. Vi cc bin c v s mt sp khi gieo hai ng xu, t X l s chm xut hin khi gieo hai ng xu th: X l bin s, c th nhn cc gi tr l 0; 1; 2. Sau khi gieo hai ng xu th X nhn ng mt trong ba gi tr trn. Do X l bin ngu nhin, c th vit l X = {0; 1; 2} V d 3.2. t Y l s chm xut hin khi gieo mt con xc sc th: Y l bin s, c th nhn cc gi tr l 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sau khi gieo con xc sc th Y nhn ng 1 trong 6 gi tr trn. Vy Y l 1 bin ngu nhin, c th vit l Y = {1; 2; 3; 4; 5; 6} V d 3.3. Khi lm vic ti doanh nghip kinh doanh, ngi lao ng nu hon thnh ht cng vic th nhn lng thng l 20 triu ng, nu khng th ch c lng 5 triu ng. t Z l tin lng nhn c. Z l bin s, c th nhn cc gi tr 5, 20 (triu ng). Sau khi thc hin php th (lm sau mt thng) th Z nhn ng mt gi tr trong

hai gi tr trn. Vy Z l bin ngu nhin, c th vit l Z = {5; 20} (triu ng).


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 43

V d 3.4. Ti mt bn xe but c 15 pht li c mt chuyn xe. Mt hnh khch ti bn vo mt thi im ngu nhin. t T l thi gian hnh khch phi ch xe but, n v l pht, th: T l bin s, c th nhn cc gi tr bt k thuc na on [0;15). Vi mi hnh khch trong mt ln i xe but th thi gian ch xe T nhn ng

mt gi tr trong khong trn. Vy T l bin ngu nhin, c th vit l T [0;15).

3.1.2. Phn loi bin ngu nhin Qua cc v d trn c th thy trong v d 3.1, v d 3.2, v d 3.3 cc bin ngu nhin c th lit k c gi tr v s lng gi tr ch l mt s gi tr hu hn, cch ri nhau. Trong v d 3.4 gi tr ca bin ngu nhin l lp y mt khong, khng th lit k ht c v cc gi tr lin vo nhau. T c th phn lm hai loi bin ngu nhin l ri rc v lin tc. Bin ngu nhin ri rc: l bin ngu nhin m gi tr c th c ca n lp thnh mt tp hp hu hn hoc m c cc gi tr. Ni cch khc, ta c th lit k tt c cc gi tr ca bin ngu nhin . Bin ngu nhin trong v d 3.1 n 3.3 thuc loi ri rc. Bin ngu nhin lin tc: l bin ngu nhin m tp cc gi tr c th c ca n nhn lp y mt khong trn trc s. Bin ngu nhin trong v d 3.4 thuc loi lin tc. Trong bi ging ny ta ch xt bin ngu nhin ri rc, bin ngu nhin lin tc s c xt trong bi ging s 4. Vi bin ngu nhin ri rc, ta c th lit k c cc gi tr c th c ca bin ngu nhin. Nu bin ngu nhin ri rc X, nu c n gi tr c th c, cc gi tr c th c c vit bng ch thng, chng hn l 1 2, ,..., nx x x , khi c th vit

1 2{ , ,..., } nX x x x .

Lu : s gi tr c th c ca bin ngu nhin ri rc c th ln n v hn, chng hn nh X l s vin n phi dng cho n khi bn trng hng tm ca mt ci bia rt xa, khi X = {1; 2; 3;} c th ko n v hn. Tuy nhin trng hp ny s khng xt n trong bi ging. Ngi hc quan tm c th tham kho trong gio trnh.

3.1.3. Bin ngu nhin v bin c Nh trn trnh by, gia bin ngu nhin v bin c c mi lin h cht ch. Vic bin ngu nhin nhn mt gi tr c th hoc mt khong gi tr c th tng ng vi mt bin c. Vi bin ngu nhin ri rc 1 2{ , ,..., } nX x x x th vic bin ngu nhin X nhn gi tr bng x l mt bin c, k hiu l ( )X x . Tng qut, ( ) iX x vi i t 1 n n l cc bin c. Tng t, vic bin ngu nhin X nhn gi tr nh hn con s x l mt bin c, k hiu l ( )X x , vic X nh hn hoc bng con s x l bin c k hiu l (X x). Cc quan h ca X v con s u to thnh bin c.


44 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

V d 3.5. Bin ngu nhin X l s chm xut hin khi gieo con xc sc, X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Bin c (X = 2) l bin c c mt c 2 chm. Bin c (X = 2,5) l bin c khng th c. Bin c (X > 0) l bin c chc chn. Bin c (X < 2) bng vi bin c (X = 1) v cng l c mt c mt chm. Bin c (X 2) bng tng hai bin c (X = 1) + (X = 2). Bin c (X < 1,5) bng vi bin c (X = 1) v bng vi bin c (X 1,5). Qua v d trn nhn thy rng vi bin ngu nhin ri rc vic xt du bt ng thc < hay c th khc nhau v cng c th ging nhau, ty thuc vo con s so snh c nm trong s cc gi tr c th c hay khng. Trong v d trn, bin c (X < 2) khc vi bin c (X 2) v con s 2 nm trong s cc gi tr c th c v (X = 2) c th xy ra; trong khi bin c (X < 1,5) bng vi bin c (X 1,5) v con s 1,5 khng nm trong s cc gi tr c th xy ra.

3.2. Bng phn phi xc sut Vi mt php th ta c cc bin c, vi mi bin c c xc sut tng ng. Bi ging trc xt xc sut xy ra cc bin c, vi bi ging ny ta xt bin ngu nhin ri rc v xc sut tng ng. Nu lit k tt c cc gi tr c th c ca bin ngu nhin ri rc X di dng 1 2{ , ,..., } nX x x x th cng c th lit k cc xc sut tng ng vi cc gi tr c th c . Cch lit k nh vy cho ta mt cch nh gi v xc sut c phn phi nh th no cho cc gi tr ca bin ngu nhin

3.2.1. Lp bng phn phi xc sut Vi bin ngu nhin ri rc 1 2{ , ,..., } nX x x x th ( ) iX x l bin c ngu nhin, do c xc sut tng ng. K hiu: ( ) i ip P X x th vi mi gi tr ix c mt xc sut ip , c th lp thnh mt bng tng ng, vi ix dng trn v ip dng di, gi l bng phn phi xc sut. Bng phn phi xc sut ca bin ngu nhin X xc nh nh sau:

x x1 x2 xn

p p1 p2

pn

Vic lit k cc gi tr v c c xc sut tng ng phi da vo vic tnh cc xc sut ca bin c hc trong bi trc. Cng vi bng phn phi xc sut, c th v th cc xc sut nhn thy r hn xc sut c phn phi nh th no.

3.2.2. Tnh cht ca bng phn phi xc sut V pi l xc sut ca mt bin c nn gi tr ca pi phi thuc on t 0 n 1. Cc gi tr c th c xi l ri rc tch ri nhau, nn 1( )X x , 2( )X x ,, ( ) nX x l xung khc nhau v to thnh nhm y cc bin c, do tng cc xc sut tng ng bng 1. T ta c hai tnh cht ca bng phn phi xc sut: Tnh cht 1: 0 1 ip


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 45

Tnh cht 2: 1 21

... 1

n

i ni

p p p p

Cc bng phn phi xc sut u phi tha mn hai tnh cht ny, nu khng tha mn th khng phi l bng phn phi xc sut. V d 3.7. t X l s chm xut hin khi tung mt con xc sc cn i ng cht trn mt phng cng 1 ln, ta c X = {1; 2; 3; 4; 5; 6} v xc sut tng ng u bng 1/6. Ta c bng phn phi xc sut ca X:

x 1 2 3 4 5 6

p 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

V d 3.6. Hp c 10 sn phm gm 8 chnh phm v 2 ph phm. Ly ng thi hai sn phm t hp. t Y l s chnh phm ly c. Do ly hai sn phm t hp c 8 chnh phm v 2 ph phm nn Y c th nhn cc gi tr l {0; 1; 2}. Do php th l ly ng thi 2 sn phm t hp c 10 sn phm nn ta dng cng thc xc sut c in tnh cc xc sut nh sau:

222

10

1( 0) 0,02245

CP YC

1 12 8

210

16( 1) 0,35645

C CP YC

282

10

28( 2) 0,62245

CP YC

Ta c 1 16 28 145 45 45

. T suy ra bng phn phi xc sut ca bin ngu nhin Y

nh sau:

Y 0 1 2

P 1

45

1645

2845

Minh ha phn phi xc sut ca hai v d 3.6 v 3.7 trn th, ta c hnh 3.1. V d 3.6. V d 3.7

Hnh 3.1. Phn phi xc sut ca bin ngu nhin trong v d 3.6 v 3.7

654321

1/6

0

x

P

6543210

1/45 y

P

16/45

28/45


46 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Trong hnh 3.1, th pha trn c 6 ct nm ti v tr cc gi tr ca bin ngu nhin X, chiu cao cc ct ng bng xc sut tng ng vi cc gi tr ; th pha di c 3 ct nm ti v tr cc gi tr ca bin ngu nhin Y, chiu cao cc ct cng bng xc sut tng ng vi cc gi tr . Qua th c th nhn thy vi bin X, xc sut c phn phi bng nhau trn cc con s t 1 n 6, hay c th ni xc sut c ri u. Vi bin Y, xc sut ch c ba con s v phn phi khng u, xc sut tp trung nhiu nht vo gi tr bng 2, tip l gi tr bng 1, v ch rt t ti gi tr bng 0. Vic nhn vo bng phn phi hoc th s cho bit xc sut phn b th no vo cc gi tr ca bin ngu nhin. Trong mt s trng hp khc, gi nh xc sut c tnh t cc phng php khc (t thng k, nh gi kin chuyn gia), ta cng c th c c bng phn phi xc sut.

3.3. Cc tham s c trng Nghin cu cc bin ngu nhin ri rc, nu ch nh gi thng qua bng phn phi xc sut, ta ch c th nhn bit cc gi tr c th c v xc sut tng ng, m khng d dng nh gi so snh cc bin ngu nhin vi nhau. Do nh gi so snh cc bin ngu nhin v mt c tnh, cn tnh ton mt s con s, gi l cc tham s c trng. V d 3.8. C hai d n kinh doanh A v B, li nhun ca mi d n l bin ngu nhin ri rc, n v u l t ng. Li nhun d n A k hiu l XA, li nhun d n B k hiu l XB v c bng phn phi xc sut nh sau:

XA 2 3 10 XB 1 4 9

P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2

Gi tr m cho thy li nhun m, d n b l. th phn phi xc sut hai bin XA, XB trong hnh 3.2.

Hnh 3.2. So snh hai bin ngu nhin

Trong hnh 3.2, ct mu ng vi phn phi xc sut ca li nhun d n A, ct mu xanh ng vi phn phi xc sut ca li nhun d n B. Nu nhn trn th vic nh gi so snh khng d dng. D n A c li nhun nh nht l m, km hn d n B, nhng li nhun ln nht li l 10 tri hn d n B. Ta cn phi tnh ton mt s con s so snh c. nh gi v bin ngu nhin, cn quan tm hai i lng chnh l i lng th hin xu th trung tm ca bin ngu nhin, v i lng th hin s phn tn ca bin ngu nhin. i lng th hin xu th trung tm c xt trong chng trnh l

1094 3 1 0 2

P

x


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 47

k vng, i lng th hin s phn tn l phng sai v lch chun. Tt c u c tnh theo xc sut. Cc tham s c trng khc nh trung v, mt, h s bin thin, gi tr ti hn ngi hc quan tm c th t c gio trnh.

3.3.1. K vng ton Xt bin ngu nhin li nhun d n kinh doanh A l XA trong v d 3.9 c ba gi tr c th c l 2; 3; 10. Tuy nhin ba gi tr ny li khng c kh nng xy ra nh nhau, do khi tnh i lng mang tnh cht bnh qun th khng th ly trng s bng nhau. Trng s m ta ly y chnh l kh nng xy ra tng ng vi ba gi tr , hay chnh l ba xc sut. Con s bnh qun tnh theo trng s chnh l xc sut c gi l k vng ton, hay gi tt l k vng, v cn c gi l trung bnh. nh ngha 3.2 K vng ton: Bin ngu nhin ri rc X nhn mt trong cc gi tr c th c 1 2, ,..., nx x x vi xc sut tng ng 1 2, ,..., np p p th k vng ton ca X, k hiu l E(X) c tnh theo cng thc:

1 1 2 21

( ) ...

n

n n i ii

E X x p x p x p x p

Nh vy k vng ton l tng ca cc tch gi tr c th c ca bin ngu nhin v xc sut tng ng vi gi tr . Lu : n v ca E(X) trng vi n v ca X. V d 3.9 (Tip v d 3.8). Li nhun (t ng) hai d n A v B, k hiu XA v XB c bng phn phi xc sut nh sau, hy tnh v so snh hai k vng ton ca li nhun hai d n.

XA 2 3 10 XB 1 4 9

P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2

Gii: Theo cng thc tnh k vng ton ta c:

E(XA) = 2 0,2 + 3 0,6 + 10 0,2 = 3,4 (t ng)

E(XB) = 1 0,4 + 4 0,4 + 9 0,2 = 3,3 (t ng)

Nh vy v k vng, li nhun d n A ln hn li nhun d n B. ngha v ng dng ca k vng ton K vng l gi tr trung bnh theo xc sut ca cc gi tr m bin ngu nhin X nhn. N phn nh gi tr trung tm ca cc gi tr ca bin ngu nhin. Trong kinh t, k vng ton c trng cho nng sut trung bnh ca mt phng n sn sut, li nhun trung bnh ca mt danh mc u t, trng lng trung bnh ca mt loi sn phm, tui th trung bnh ca mt chi tit my Do trong kinh t, k vng ton l mt tiu chun ra quyt nh khi c nhiu phng n la chn khc nhau. Tnh cht ca k vng ton T nh ngha ca k vng, ta c th chng minh c cc tnh cht sau, vi c l hng s, X v Y l cc bin ngu nhin.


48 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Tnh cht 1. K vng ca hng s bng chnh n: E(c) = c

Tnh cht 2. Tnh k vng ca tch hng s v bin ngu nhin th c th a hng s ra ngoi:

E(cX) = cE(X) Tnh cht 3. K vng ca tng cc bin ngu nhin bng tng cc k vng ca mi bin ngu nhin thnh phn:

E(X + Y) = E(X) + E(Y) Tnh cht 4. K vng ca tch hai bin ngu nhin c lp bng tch cc k vng ca chng:

E(XY) = E(X) E(Y). Hai bin ngu nhin X, Y c lp c hiu l bin c (X = x) v (Y = y) l c lp, vi x l gi tr c th c bt k ca X, v y l gi tr c th c bt k ca Y. T tnh cht 1 v 3 d dng suy ra: E(c + X) = c + E(X) T tnh cht 2 v 3 d dng suy ra: E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y). V d lin quan n cc tnh cht ny s c xt cng vi cc tnh cht trong phn sau.

3.3.2. Phng sai v lch chun Trong v d 3.9, ta thy hai bin ngu nhin XA v XB c k vng tng ng l 3,4 v 3,4 t ng, do nu nh gi trn k vng th d n A tt hn d n B. Tuy nhin khng phi ai cng ng rng d n A tt hn, v xt thy d n A c s chnh lch gia cc gi tr li nhun l nhiu hn d n B, c trng hp d n A b l, trong khi d n B khng bao gi l. V vy s dng k vng nh gi so snh l cha , cn cn nh gi thm mc phn tn ca cc gi tr ca bin ngu nhin. Chng hn vi d n A, nh gi mc phn tn, ta xt s sai lch gia gi tr c th c ca bin ngu nhin v chnh k vng ca n xem n thay i th no. Khi vi gi tr c th c l 10 th sai lch l 10 3,4 = 6,6 v iu ny xy ra vi xc sut l 0,2; vi gi tr c th c l 3 th sai lch l 3 3,4 = 0,4 v iu ny xy ra vi xc sut 0,6; vi gi tr c th c l 2 th sai lch l 2 3,4 = 5,4 v iu ny xy ra vi xc sut 0,2. Vic xt cc sai lch mang c du m v dng cng lc gy nhiu phc tp, v vy ngi ta bnh phng ln trit tiu du. Sau khi bnh phng ln, tnh k vng ca i lng bnh phng sai lch , c gi tr gi l phng sai, vi ngha l bnh phng sai lch. nh ngha 3.3 Phng sai: Phng sai ca bin ngu nhin X, k hiu l V(X), l k vng ton ca bnh phng sai lch ca bin ngu nhin so vi k vng ton ca n:

V(X) = E[X E(X)]2 p dng tnh cht ca k vng, chng minh c:

V(X) = E(X2) [E(X)]2

Trong 2( )E X l k vng ca bin X bnh phng, vi X ri rc th:

2 2

1( )

n

i ii

E X x p


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 49

Thng thng tnh phng sai ta dng theo cch tnh E(X2) trc ri ly E(X2) tr i bnh phng ca E(X). ngha ca phng sai: Phng sai c trng cho phn tn cc gi tr ca bin ngu nhin xung quanh E(X). Nu V(X) ln chng t s bin ng ca X ln, nu V(X) nh th cc gi tr ca X bin ng t, tng i n nh. Trong kinh t, phng sai c trng cho ri ro ca cc quyt nh. Ty tng bi ton, c th cng dng nhiu danh t khc ch phn tn cc gi tr ca i lng ngu nhin tng ng nh: dao ng, bin ng, bp bnh, phn tn, n nh, ng u, chnh xc Do trong kinh t phng sai l mt tiu chun ra quyt nh trong trng hp c nhiu phng n la chn khc nhau. Lu : Phng sai cng ln th ta ni bin cng bin ng, cng dao ng, cng phn tn. Phng sai cng nh th ta ni bin cng n nh, cng tp trung, cng ng u. n v ca phng sai l bnh phng n v ca bin ngu nhin. Nu X c n

v l USD th V(X) n v l USD2; nu X n v l mt th V(X) c n v l mt2. V phng sai lin quan n php tnh bnh phng, n v ca phng sai bin tr thnh bnh phng n v ca bin, nn khng th so snh phng sai vi k vng hay vi gi tr ca bin. dng cho cc phn tch tip theo, ngi ta tnh mt i lng l cn bc hai ca phng sai, gi l lch chun. nh ngha 3.4 lch chun: lch chun ca bin ngu nhin X, k hiu l x hoc (X), l cn bc hai ca phng sai ca X:

2 2

1( )

n

i ii

E X x p ; ( ) x V X

Nh vy tnh c lch chun buc phi tnh phng sai trc. ngha ca lch chun tng t ngha ca phng sai, ch c iu khc bit ln nht l lch chun c n v l n v ca X, v nh vy c th so snh lch chun vi gi tr c th c ca X, so snh vi k vng ca X. V d 3.10 (tip v d 3.8). Li nhun (t ng) hai d n A v B, k hiu XA v XB c bng phn phi xc sut nh sau, hy tnh v so snh hai phng sai, lch chun ca li nhun hai d n.

XA 2 3 10 XB 1 4 9

P 0,2 0,6 0,2 P 0,4 0,4 0,2

Gii: Theo kt qu tnh t v d 3.9 ta c: E(XA) = 3,4 v E(XB) = 3,4 (t ng) tnh phng sai ca XA l V(XA), ta cn tnh 2( )AE X

2 2 2 2( ) ( 2) 0,2 3 0,6 10 0,2 26,2 AE X Suy ra: 2 2 2( ) ( ) [ ( )] 26,2 3,4 14,64 A A AV X E X E X

V: ( ) 14,64 3,83

AX AV X


50 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Vy li nhun d n A c phng sai l 14,64 (t ng)2 v lch chun l 3,83 (t ng). Tng t vi d n B ta c:

2 2 2 2( ) 1 0,4 4 0,4 9 0,2 16,5 BE X V(XB) = 16,5 3,32 = 5,61

5,61 2,37 BX

Li nhun d n B c phng sai l 5,61 (t ng)2 v lch chun l 2,37 (t ng). Nu nh gi trn phng sai th ta thy V(XA) ln hn V(XB), c th ni li nhun ca d n A l phn tn hn, dao ng nhiu hn, bin ng nhiu hn; li nhun d n B l n nh hn, ng u hn. Trong kinh t phng sai ln hn cn c gi l ri ro nhiu hn, nn d n A c ri ro nhiu hn. Kt hp k vng v phng sai, c th thy li nhun d n A c k vng ln hn nhng phng sai cng ln hn, bt n ln hn; li nhun d n B tuy nh hn nhng phng sai cng nh hn, n nh hn. Vic la chn d n no l quyt nh ca nh u t, mn hc ny ch cung cp thng tin nh gi so snh. Tnh cht ca phng sai Cc tnh cht ca phng sai gip cho vic tnh ton mt s i lng ngu nhin d dng hn, khi i lng l tng hp t cc bin ngu nhin. Vi c l hng s, X v Y l cc bin ngu nhin. Tnh cht 1. Phng sai hng s bng khng:

V(c) = 0 Tnh cht 2. Phng sai ca tch bin ngu nhin vi hng s bng bnh phng hng s nhn vi phng sai ca bin ngu nhin:

V(cX) = c2V(X) Tnh cht 3. Phng sai ca tng, hiu cc bin ngu nhin c lp u bng tng cc phng sai ca hai bin ngu nhin :

V(X Y) = V(X) + V(Y) T tnh cht 1 v 3 d dng suy ra: V(c + X) = V(X), hay khi cng thm mt hng s vo bin ngu nhin th phng sai khng i, bin X n thun ch chuyn v tr, cn s dao ng ca n vn nh c. Ta c th so snh tnh cht ca k vng v phng sai qua bng sau, vi c l hng s:

K vng Phng sai

E(c) = c V(c) = 0

E(c + X) = c + E(X) V(c + X) = V(X)

E(cX) = cE(X) V(cX) = c2V(X)

E(X Y) = E(X) E(Y) V(X Y) = V(X) + V(Y)

V d 3.11. (v d tnh hung dn nhp) Mt ngi i lm c hai la chn: La chn th nht: lm vn phng vi lng thng c nh l 6 triu ng.


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 51

La chn th hai: lm kinh doanh v lng tnh theo s hp ng k c, mi hp ng c nhn 5 triu ng. Bit rng s hp ng k c trong 1 thng c bng phn phi xc sut nh sau:

S hp ng 0 1 2 3 Xc sut 0,1 0,3 0,4 0,2

Hy nh gi hai la chn qua vic so snh k vng, phng sai, lch chun ca lng thng. Gii: Ta thy vi la chn th nht th lng thng l mt hng s: c = 6, do k vng bng chnh s v phng sai l bng 0:

E(c) = c = 6 (triu ng) V(c) = 0; c = 0

Vy la chn th nht khng c ri ro. Vi la chn th hai, lng thng bng mt hng s nhn vi s hp ng k c, m s hp ng k c l bin ngu nhin. t X l s hp ng k c, ta c Lng = 5X. Theo tnh cht ca k vng v phng sai, ta c:

E(Lng) = E(5X) = 5E(X) V(Lng) = V(5X) = 52V(X) = 25V(X)

tnh c k vng, phng sai ca lng, ta tnh k vng v phng sai ca X, vi bng phn phi xc sut ca X chnh l bng phn phi xc sut ca s hp ng.

E(X) = 0 0,1 + 1 0,3 + 2 0,4 + 3 0,2 = 1,7 (hp ng) E(X2) = 02 0,1 + 12 0,3 + 22 0,4 + 32 0,2 = 3,7 V(X) = 3,7 1,72 = 0,81 (hp ng)2

0,81 0,9 X (hp ng)

T suy ra: E(Lng) = 5 1,7 = 8,5 (triu ng) V(Lng) = 25 0,81 = 20,25 (triu ng)2 Lng = 4,5 (triu ng)

So snh k vng, phng sai, lch chun ca lng thng ta thy la chn lm trong kinh doanh c k vng cao hn, tuy nhin c phng sai cng cao hn, hay bin ng nhiu hn; lm vn phng k vng thp hn nhng khng c ri ro. Vic la chn phng n no do c nhn ngi i lm quyt nh ty thuc vo tm l, s thch, c tnh ca ngi . Lu : Ngoi vic p dng tnh cht trong vic tnh k vng v phng sai ca lng thng ca trng hp la chn th hai, cng c th t lng thng l Y (n v: triu ng) v c bng phn phi xc sut nh sau:

Y 0 5 = 0 1 5 = 5 2 5 = 10 3 5 = 15

P 0,1 0,3 0,4 0,2


52 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

E(Y) = 0 0,1 + 5 0,3 + 10 0,4 + 15 0,2 = 8,5 (triu ng)

E(Y2) = 02 0,1 + 52 0,3 + 102 0,4 + 152 0,2 = 28,8 V(Y) = 28,8 8,52 = 20,25 (triu ng)2

20, 25 4,5 Y (triu ng)

Bn c c th ty chn cch lm no thun tin cho mnh. V d 3.12. Mt doanh nghip sn xut i cho hng hai ni, c lp nhau. Xc sut mi ni t hng cho doanh nghip ny ln lt l 0,6 v 0,7. (a) Lp bng phn phi xc sut v tnh k vng, phng sai, lch chun s n

hng m doanh nghip ny nhn c. (b) Nu chi ph c nh l 10 triu ng, chi ph sn xut cho mi n hng l 60 triu

ng, hy tnh k vng, phng sai, lch chun ca tng chi ph ca doanh nghip. (c) Nu doanh thu ca mi n hng l 80 triu ng, tm k vng, phng sai,

lch chun ca li nhun doanh nghip. Gii: (a) t X l s n hng m doanh nghip nhn c, d thy X c th bng 0 (khng

ni no t hng), bng 1 (ch c 1 ni t hng) hoc bng 2 (c hai ni t hng). Nh vy X = {0; 1; 2}. Xc sut X = 0 l xc sut c hai ni u t chi, do :

P(X = 0) = (1 0,6) (1 0,7) = 0,3 0,4 = 0,12

Xc sut X = 1 l xc sut ca hai trng hp: ni th nht t hng ng thi ni th hai t chi, hoc ni th nht t chi ng thi ni th hai t hng, do :

P(X = 1) = 0,6 (1 0,7) + (1 0,6) 0,7 = 0,18 + 0,28 = 0,46

Xc sut X = 2 l xc sut c hai ni u t hng, do :

P(X = 2) = 0,6 0,7 = 0,42.

Kim tra li tnh cht, ta thy: P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 0,12 + 0,26 + 0,42 = 1

Nh vy kt qu tha mn iu kin ca bng phn phi xc sut. Bng phn phi xc sut ca s n hng doanh nghip nhn c l:

X (S n hng) 0 1 2

P 0,12 0,46 0,42

T tnh k vng, phng sai, lch chun

E(X) = 0 0,12 + 1 0,46 + 2 0,42 = 1,3 (n hng)

E(X2) = 02 0,12 + 12 0,46 + 22 0,42 = 2,14

V(X) = 2,14 1,32 = 0,45 (n hng)2

0, 45 0,67 X (n hng)


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 53

Nhn xt thy rng k vng ca s n hng chnh l tng hai xc sut: E(X) = 1,3 = 0,6 + 0,7. Tnh cht ny c th c thy r hn qua cc phn sau.

(b) Ta thy tng chi ph bng chi ph c nh cng vi tch ca chi ph cho mi n hng nhn vi s n hng doanh nghip c c. t Y l tng chi ph ca doanh nghip, n v l triu ng, ta thy: Y = 10 + 60X Theo tnh cht ca k vng v phng sai, ta c: E(Y) = E(10 + 60X) = 10 + E(60X) = 10 + 60E(X) = 10 + 60 1,3 = 88 (triu ng) V(Y) = V(10 + 60X) = V(60X) = 602V(X) = 3600 0,45 = 1620 (triu ng)2

1620 40, 23 X (triu ng).

Ta cng c th gii cu (b) bng cch lp bng phn phi xc sut ca Y, vi Y nhn cc gi tr 10 (khng c n hng no), 70 (c mt n hng), 130 (c hai n hng) vi xc sut tng ng l 0,12; 0,46; 0,42. Vic lm c th bn c c th t thc hin, kt qu tnh ton s ging nh trn tnh.

(c) Vi cu ny, li nhun bng tng doanh thu tr tng chi ph. Ta phi lp bng phn phi xc sut ca li nhun. t Z l li nhun, n v l triu ng, c cc trng hp sau: Khng c n hng no: li nhun bng m 10 do doanh thu bng 0 v chi ph

bng 10. Xc sut xy ra l 0,12 C mt n hng: li nhun bng 10 do doanh thu bng 80 v chi ph bng

10 + 60 = 70. Xc sut xy ra l 0,46 C hai n hng: li nhun bng 30 do doanh thu bng 2 80 = 160 v chi ph

bng 10 + 2 60 = 130. Xc sut xy ra l 0,42 Bng phn phi xc sut ca li nhun nh sau:

Z (Li nhun) 10 10 30

P 0,12 0,46 0,42

T tnh k vng, phng sai, lch chun E(Z) = 10 0,12 + 10 0,46 + 30 0,42 = 16 (triu ng) E(Z2) = ( 10)2 0,12 + 102 0,46 + 302 0,42 = 436 V(Z) = 436 162 = 180 (triu ng)2

180 13, 42 Z (triu ng)

3.4. Bin ngu nhin phn phi Khng Mt Trong cc loi bin ngu nhin, bin n gin nht l loi ch nhn hai gi tr 0 v 1, gi l bin Khng Mt.

3.4.1. nh ngha nh ngha 3.5: Bin ngu nhin Khng Mt: Bin ngu nhin X ch nhn mt trong hai gi tr c th c l 0 v 1 vi xc sut nhn gi tr bng 1 l bng p, gi l bin ngu nhin phn phi Khng Mt vi tham s p, k hiu l X ~ A(p). Nh vy X = {0; 1} v P(X = 1) = p, suy ra P(X = 0) = 1 p.


54 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Bng phn phi xc sut ca X c dng:

X 0 1

P 1 p p

Bin ngu nhin phn phi Khng Mt gi tt l bin phn phi Khng Mt. Tt nhin 0 p 1. Ngi ta c th nh ngha bin phn phi Khng Mt qua cng thc nh sau: nh ngha 2: Bin ngu nhin X c gi l phn phi Khng Mt nu c cng thc tnh xc sut nh sau:

1( ) (1 ) , 0;1 x xP X x p p x

D chng minh hai nh ngha l tng ng, v theo nh ngha th hai, X ch c th l 0 v 1, v:

P(X = 0) = p0(1 p)1 0 = 1 p

P(X = 1) = p1(1 p)1 1 = p

3.4.2. Tham s c trng Theo bng phn phi xc sut ca X, ta c K vng ton: E(X) = 0 (1 p) + 1 p = p

E(X2) = 02 (1 p) + 12 p = p

Phng sai: V(X) = p p2 = p(1 p)

lch chun: (1 ) X p p

V d 3.13. Vi mt loi sn phm, doanh nghip S chim 70% th phn. Kim tra ngu nhin mt sn phm trn th trng, t X l s sn phm ca doanh nghip S m ta c. Khi X l bin ngu nhin nhn mt trong hai gi tr l 0 v 1; X nhn gi tr 0 khi sn phm khng phi ca doanh nghip S, v X nhn gi tr 1 khi sn phm l ca doanh nghip S. Xc sut tng ng nh sau:

P(X = 1) = 0,7 v P(X = 0) = 0,3

C th ni X l bin ngu nhin phn phi Khng Mt vi tham s p = 0,7; k hiu ~ (0,7)X A .

T E(X) = p = 0,7 v V(X) = p(1 p) = 0,3 0,7 = 0,21. K vng bng 0,7 ngha l khi kim tra ngu nhin mt sn phm, ta s k vng l c c 0,7 sn phm ca doanh nghip S. iu ny nghe c v l lng, tuy nhin trong kinh t x hi, gi tr k vng hon ton c th l s l, thp phn. V d 3.14. Mt ngi i cho hng ba ni c lp nhau, xc sut mi ni t hng ln lt l 0,6; 0,7; 0,8. Tm k vng v phng sai tng s n hng ngi c c. Gii: t Y l tng s n hng ngi c c, nh vy Y = {0; 1; 2; 3}


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 55

Cch 1. Bi ny c th gii theo phng php thng thng, lp bng phn phi xc sut ca Y: P(Y = 0) = (1 0,6) (1 0,7) (1 0,8) = 0,024 P(Y = 1) = (0,6) (1 0,7) (1 0,8) + (1 0,6) (0,7) (1 0,8) + (1 0,6)

(1 0,7) (0,8) = 0,188 P(Y = 2) = (0,6) (0,7) (1 0,8) + (1 0,6) (0,7) (0,8) + (0,6) (1 0,7) (0,8)

= 0,452 P(Y = 3) = (0,6) (0,7) (0,8) = 0,336 Bng phn phi xc sut ca Y:

Y 0 1 2 3

P 0,024 0,188 0,452 0,336

T tnh c: E(Y) = 2,1 (n hng); V(Y) = 0,61 (n hng)2; Y = 0,78 (n hng). Cch 2. p dng bin phn phi Khng Mt. Xt ring tng ni m ngi n cho hng. t Xi l s n hng ngi c c ti ni th i, i = 1, 2, 3. Khi tng s n hng l: Y = X1 + X2 + X3 Suy ra: E(Y)= E(X1) + E(X2) + E(X3) v V(Y)= V(X1) + V(X2) + V(X3) D thy Xi ch c th nhn gi tr l 0 (khng cho c, khng c n hng) v 1 (cho c, c n hng) v cc Xi c lp nhau. X1 nhn gi tr bng 1 vi xc sut 0,6 do X1 ~ A(0,6), suy ra E(X1) = 0,6 v

1( ) 0,6 0,4 0,24 V X

Tng t ta c: X2 ~ A(0,7) E(X2) = 0,7 v V(X2) = 0,7 0,3 = 0,21 X3 ~ A(0,8) E(X3) = 0,8 v V(X3) = 0,8 0,2 = 0,16 Vy E(Y) = 0,6 + 0,7 + 0,8 = 2,1

V(Y) = 0,24 + 0,21 + 0,16 = 0,61 Cch tnh th hai trong v d ny khng ngn hn so vi cch th nht. Tuy nhin nu ngi i cho hng khng phi 3 ni m 4 ni, 5 ni th cch th nht rt di v kh, trong khi cch th hai khng kh hn, ch tip tc thm vo cc ni m ta c xc sut. Do bin phn phi Khng Mt c ng dng khi ta xt ring tng trng hp, trong mi trng hp mt bin c c th xy ra hoc khng xy ra. Bin Khng Mt thng c trng cho cc trng hp nghin cu c dng yu t nh tnh ch c hai trng hp lun phin: C v Khng c mt tnh cht no , chng hn nh gii tnh Nam N, Hon thnh Khng hon thnh.

3.5. Bin ngu nhin phn phi Nh thc Xt v d 3.14 v ngi i bn hng ba ni, theo cch gii th hai ta thy khi xt k vng, phng tng s n hng, c th xt ring tng trng hp, mi trng hp l bin ngu nhin phn phi Khng Mt. Trong v d , xc sut bn c hng


56 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

mi ni l khc nhau, ln lt bng 0,6; 0,7 v 0,8 th k vng ca tng s n hng l tng ca ba xc sut , v phng sai l tng ca ba phng sai thnh phn. Nu nh xc sut bn c hng mi ni u bng nhau v bng 0,6 th d thy k vng ca tng s n hng l 3 0,6 v phng sai ca tng s n hng l 3 0,6 0,4. Tng qut hn, nu c n ni v xc sut mi ni t hng u bng p th ta d dng suy ra k vng v phng sai ca tng s n hng. Nu ngi i bn hng n ni c lp nhau, xc sut mi ni t hng u bng p, th ta c trng hp lc Bernoulli xt trong bi s 2. T ta cng c khi nim v bin ngu nhin phn phi Nh thc.

3.5.1. nh ngha nh ngha 3.6 Bin phn phi Nh thc: Bin ngu nhin ri rc X gi l c phn phi theo quy lut Nh thc vi tham s p, k hiu l X ~ B(n, p), nu X nhn mt trong cc gi tr: 0, 1, 2,, n vi xc sut tng ng cho bi cng thc Bernoulli:

( ) (1 ) , 0,1,2,..., x x n xnP X x C p p x n

Nu bi ton tha mn lc Bernoulli, ngha l ch ra c: C n php th c lp. Trong mi php th, xc sut xut hin bin c A khng i l P(A) = p. X l s ln xut hin bin c A trong n php th th X phn phi theo quy lut

Nh thc.

3.5.2. Tham s c trng T v d trn c th thy nu X l bin ngu nhin phn phi Nh thc B(n; p) th X chnh l tng ca n trng hp ring c lp nhau, mi trng hp ring u phn phi theo quy lut Khng Mt A(p) vi cng tham s p, do k vng ca X s bng tng cc k vng thnh phn v phng sai ca X s bng tng cc phng sai thnh phn, m k vng v phng sai thnh phn u bng nhau.

X ~ B(n; p) th 1

n

ii

X X

Trong Xi c lp, Xi ~ A(p), i = 1, 2,, n.

K vng: 1 1

( ) ( )

n n

i ii i

E X E X E X np

Phng sai: 1 1

( ) ( ) (1 )

n n

i ii i

V X V X V X np p

V d 3.15. Mt ngi i cho hng 5 ni c lp nhau, xc sut mi ni t hng u bng nhau v bng 0,6. Phn phi xc sut ca tng s n hng, k vng v phng sai ca s n hng nh th no?


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 57

Gii: t X l tng s n hng, X = {0; 1; 2; 3; 4; 5} V c 5 ni c lp, xc sut t hng u bng nhau, nn X c hnh thnh t lc Bernoulli, X c phn phi Nh thc vi hai tham s: n = 5 v p = 0,6. Vy X ~ B(n = 5; p = 0,6). Tham s c trng l: E(X) = np = 5 0,6 = 3 (n hng) V(X) = np(1 - p) = 5 0,6 (1 - 0,6) = 1,2 (n hng)2 Ch cn vit X ~ B(n = 5; p = 0,6) l thng tin, tuy nhin ta c th tnh chi tit phn phi xc sut thy r hn, gi tr xc sut ny c th ly t bng ph lc. P(X = 0 | n = 5, p = 0,6) = 0,0102 P(X = 1 | n = 5, p = 0,6) = 0,0768 P(X = 2 | n = 5, p = 0,6) = 0,2304 P(X = 3 | n = 5, p = 0,6) = 0,3456 P(X = 4 | n = 5, p = 0,6) = 0,2592 P(X = 5 | n = 5, p = 0,6) = 0,0778 Cch tnh ny tnh theo phng php xc sut bin c i lp.

Hnh 3.3. Phn phi xc sut V d 3.16

Qua gi tr xc sut v th c th thy s phn b ca xc sut vo cc gi tr ca bin ngu nhin nh th no.

3.6. Bin ngu nhin hai chiu ri rc Trong phn trc ta cp cc bin ngu nhin c xt mt cch ring bit, vi mi bin ngu nhin c cc gi tr ri rc, c phn phi xc sut, cc tham s c trng. Trong thc t cc bin ngu nhin khng hon ton ring bit m c th kt hp vi nhau, v ta phi xt cng lc nhiu bin ngu nhin. Chng hn khi nh gi v kt qu hc mt mn hc ca sinh vin KTQD, khng ch xt trn mt bin ring bit nh im thi ht hc phn, m cn xt trn nhiu im thnh phn: im chuyn cn, im kim tra, im ht hc phn. Khi nh gi so snh v hai doanh nghip, khng ch nh gi trn mt bin duy nht, m cn xt ng thi nhiu bin: li nhun, quy m, th phn. Khi so snh nh gi v nhn khu mt h gia nh, c th xt ng thi s ngi i lm c thu nhp v s ngi n theo, s ngi ln v s tr em. Rt nhiu hin tng kinh t x hi phi c nhn nhn vi nhiu kha cnh cng lc, do cn n tp hp nhiu bin ngu nhin cng lc. Trong phm vi mn hc ny, ta s xt trng hp ch c hai bin ngu nhin c xt cng mt lc, gi l bin ngu nhin hai chiu, v cc bin u ri rc nn gi l bin ngu nhin hai chiu ri rc.

3.6.1. Khi nim Khi xt hai bin ngu nhin X v Y cng mt lc trn mt i tng, ta c h hai bin ngu nhin, v gi h l bin ngu nhin hai chiu, k hiu l (X,Y).

0

x

P

1 2 5 4 3


58 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Vi bin ngu nhin hai chiu (X, Y), hai bin X, Y gi l hai thnh phn. V d 3.16. Xt nhn khu trong mt h gia nh, khng ch quan tm n tng s ngi, m cn cn xem xt s ngi ln (t 18 tui tr ln) ng thi vi s tr em (di 18 tui), khi k hiu s ngi ln l X, s tr em l Y, ta c mt h hai bin ngu nhin (X, Y), l mt bin ngu nhin hai chiu. n gin, gi s vi thnh phn X, c X = {1; 2; 3}, ngha l s ngi ln ti thiu phi bng 1, c t nht mt ngi ln mi l mt gia nh, v s ngi ln ti a bng 3. Gi s thnh phn Y c Y = {0; 1; 2} ngha l c th khng c tr em, v ti a c 2 tr em. Khi bin ngu nhin hai chiu (X, Y) l cc cp gi tr, t (1;0), (1;1),, n (3;2), tng cng c 9 trng hp. Lu : Bin hai chiu phi c th t. Trong v d trn, nu vit (1;2) s khc vi (2;1) v

(1;2) l h c 1 ngi ln v 2 tr em cn (2;1) l h c 2 ngi ln v 1 tr em. Phn bit bin hai chiu vi tng hai bin thnh phn. Vi hai trng hp (1;2) v

(2;1) th tng s ngi u bng 3, nhng hai trng hp l khc nhau v cu trc thnh phn h gia nh.

Tng qut: Nu thnh phn X c n gi tr c th c: 1 2{ , ,..., } nX x x x

V thnh phn Y c m gi tr c th c: Th bin ngu nhin hai chiu s l nm cp gi tr c th c:

( , ) ( , ), 1, 2,..., ; 1, 2,..., i jX Y x y i n j m

3.6.2. Bng phn phi xc sut hai chiu Nu bin ngu nhin ri rc thng thng c bng phn phi xc sut l bng dng hng th vi bin ngu nhin hai chiu c phn phi xc sut di dng bng hai chiu, mt thnh phn l dng v mt thnh phn l ct. Trong mi ca bng l xc sut tng ng, v theo iu kin ca bng phn phi xc sut th tng cc xc sut trong lng bng phi bng 1. V d 3.17. Xt bng phn phi xc sut ca s ngi ln (X) v s tr em (Y) trong mt h gia nh, n gin mi bin ch c ba gi tr c th c:

Y X

0 1 2

1 0,05 0,1 0,05

2 0,1 0,2 0,15

3 0,05 0,2 0,1

Vi bng ny c th gii thch nh sau: Vi dng X = 1, ct Y = 0 c vi gi tr 0,01 ngha l xc sut mt h gia nh c 1 ngi ln v khng c tr em l 0,05, hay P(X = 1; Y = 0) = 0,05. Tng t, ng vi dng X = 2 v ct Y = 1 bng 0,2 cho bit P(X = 2; Y = 1) = 0,2. Nu tnh tng s 9 con s xc sut trong lng bng, tng xc sut s bng 1. Nu khng bng 1 th khng phi l bng phn phi xc sut.


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 59

Tng qut: Nu X c n gi tr: 1 2{ , ,..., } nX x x x , Y c m gi tr: 1 2{ , ,..., } mY y y y th bng phn phi xc sut hai chiu s c n dng v m ct, trong mi s l:

( ; ) ij i jp P X x Y y vi i = 1,2,, n; j = 1,2,, m. iu kin ca bng l:

0 pij 1

1 1

1

n m

iji j

p

3.6.3. Bng phn phi xc sut bin T bng phn phi xc sut hai chiu, c th tnh c bng phn phi xc sut ca tng thnh phn bng cch tnh tng xc sut theo dng hoc theo ct. Cc bng phn phi xc sut ca tng thnh phn v c cng ra ngoi bng chnh nn c gi l bng phn phi xc sut bin. Vi cc bng phn phi xc sut bin, ta c th tnh c cc tham s c trng ca tng thnh phn nh vi cc bin ngu nhin thng thng. V d 3.17 (tip). T bng phn phi xc sut hai chiu ca X v Y c th cng ngang theo dng v cng dc theo ct, c bng sau:

Y X

0 1 2 Tng

PX 1 0,05 0,1 0,05 0,2

2 0,1 0,2 0,15 0,45

3 0,05 0,2 0,1 0,35

Tng: PY 0,2 0,5 0,3 Tng = 1

Ta thy tng ca dng th nht c 0,2 chnh l tng cc xc sut ng vi X = 1, bt k Y th no. Nh vy P(X = 1) = 0,2. Tng t c P(X = 2) = 0,45 v P(X = 3) = 0,35. Tng ct th nht c 0,2 chnh l tng cc xc sut ng vi Y = 0 bt k X th no, hay P(Y = 0) = 0,2; tng t P(Y = 1) = 0,5 v P(Y = 2) = 0,3. T ta c hai bng phn phi xc sut bin ca X v ca Y. Bng phn phi xc sut bin ca X:

X 1 2 3 PX 0,2 0,45 0,35

Do tnh c: E(X) = 1 0,3 + 2 0,45 + 3 0,35 = 2,15 V(X) = 12 0,3 + 22 0,45 + 32 0,35 2,152 = 0,5275

0,5275 0,73 Y

Nh vy s ngi ln c k vng l 2,15 (ngi), phng sai l 0,5275 (ngi)2, lch chun l 0,73 (ngi). Bng phn phi xc sut bin ca Y:

Y 0 1 2 PY 0,2 0,5 0,3


60 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Do tnh c: E(Y) = 0 0,2 + 1 0,5 + 2 0,3 = 1,1 V(Y) = 02 0,2 + 12 0,5 + 22 0,3 1,12 = 0,49

0, 49 0,7 Y

Nh vy s tr em c k vng l 1,1 (ngi), phng sai l 0,49 (ngi)2, lch chun l 0,7 (ngi).

3.6.4. H s tng quan Khi xt hai bin ngu nhin cng mt lc thnh bin ngu nhin hai chiu, mt ngha quan trng c th phn tch l s quan h qua li gia hai thnh phn. nh gi hai thnh phn ca bin ngu nhin hai chiu lin quan vi nhau c cht ch hay khng, ngi ta tnh mt tham s gi l h s tng quan. Tuy nhin tnh c h s tng quan, cn tnh mt tham s l hip phng sai ca hai bin ngu nhin thnh phn. Nu nh phng sai l o phn tn, dao ng ca tng bin ngu nhin thnh phn, th hip phng sai dng o phn tn, dao ng khi kt hp hai bin ngu nhin vi nhau. nh ngha 3.7 Hip phng sai: Hip phng sai ca hai bin ngu nhin X v Y, k hiu l Cov(X,Y), c tnh theo cng thc sau:

( , ) ( ) ( ) Cov X Y E X E X Y E Y Chng minh c: ( , ) ( ) ( ) ( ) Cov X Y E XY E X E Y

Vi bin ri rc th: 1 1

( )

n m

i j iji j

E XY x y p

Chi tit ngha ca hip phng sai bn c c th xem trong gio trnh. Ti y ta tp trung vic tnh h s tng quan. nh ngha 3.8 H s tng quan: H s tng quan ca hai bin ngu nhin X v Y, k hiu l XY c tnh theo cng thc:

( , )

XY X Y

Cov X Y

(Ch c l r trong ting Vit, rho trong ting Anh). Chng minh c h s tng quan lun nm trong on 0 n 1: 0 XY 1.

H s XY c gi l h s o mc tng quan gia hai bin ngu nhin. Tng quan y c hiu l c lin quan qua li vi nhau theo xu th thng. V vy c cc trng hp sau: XY = 1: X v Y c tng quan cng chiu cht ch nht, dng ng thng dc ln. 0 < XY < 1: X v Y c tng cng chiu, cng gn 1 cng cht ch, cng gn 0

cng yu. XY = 0: X v Y khng c tng quan. 1 < XY < 0: X v Y c tng quan ngc chiu, cng gn 1 cng cht ch,

cng gn 0 cng yu. XY = 1: X v Y c tng quan ngc chiu cht ch nht, dng ng thng

dc xung.


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 61

V d 3.17 (tip). Tnh h s tng quan ca s ngi ln v s tr em. Ta s tnh ln lt tng i lng.

1 1( )

n m

i j iji j

E XY x y p

Gi tr i j ijx y p tc l con s u hng nhn vi con s u ct nhn vi xc sut ct tng ng vi hng v ct . Do vi v d ny: E(XY) = 1 0 0,05 + 1 1 0,1 + 1 2 0,05 + 2 0 0,1 + 2 1 0,2 + 2 2 0,15 + 3 0 0,05 + 3 1 0,2 + 3 2 0,1 = 2,4 Suy ra hip phng sai: Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y) = 2,4 2,15 1,1 = 0,035

H s tng quan: ( , ) 0,035 0,070,73 0,7

XY X Y

Cov X Y

Nh vy s ngi ln v s tr em c tng quan cng chiu, nhng rt yu. V d 3.18. T kt qu phn tch cc s liu thng k trong thng v doanh s bn hng (D) v chi ph cho qung co (Q) (n v triu ng) ca mt cng ty, thu c bng phn phi xc sut ng thi nh sau:

D Q

100 200 300

1 0,15 0,1 0,04

1,5 0,05 0,2 0,15

2 0,01 0,05 0,25

(a) Tnh gi tr trung bnh v phng sai ca doanh s bn hng. (b) Tnh gi tr trung bnh v phng sai ca chi ph cho qung co. Gii: T bng phn phi xc sut ng thi ta c bng phn phi xc sut ca doanh s bn hng v chi ph cho qung co nh sau:

D 100 200 300

P 0,21 0,35 0,44

Q 1 1,5 2

P 0,29 0,4 0,31

T ta c: (a) Gi tr trung bnh v phng sai ca doanh s bn hng l:

E(D) = 100 0,21 + 200 0,35 + 300 0,44 = 223 E(D2) = 1002 0,21 + 2002 0,35 + 3002 0,44 = 55700 V(D) = E(D2) [E(D)]2 = 5971

(b) Gi tr trung bnh v phng sai ca chi ph cho qung co l: E(Q) = 1 0,29 + 1,5 0,4 + 2 0,31 = 1,51 E(Q2) = 12 0,29 + 1,52 0,4 + 22 0,31 = 2,43 V(Q) = E(Q2) [E(Q)]2 = 0,1499


62 TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216

Tm lc cui bi Bin ngu nhin phn phi Khng mt l bin ngu nhin ch nhn mt trong hai gi tr c

th c l 0 v 1 vi xc sut nhn gi tr bng 1 l bng p, gi l bin ngu nhin phn phi Khng mt vi tham s p, k hiu l X ~ A(p).

Bin ngu nhin ri rc X gi l c phn phi theo quy lut nh thc vi tham s p, k hiu l X ~ B(n, p), nu X nhn mt trong cc gi tr: 0, 1, 2,, n vi xc sut tng ng cho bi cng thc Bernoulli:

( ) (1 ) , 0,1,2,..., x x n xnP X x C p p x n

Khi xt hai bin ngu nhin X v Y cng mt lc trn mt i tng, ta c h hai bin ngu nhin, v gi h l bin ngu nhin hai chiu, k hiu l (X,Y). Vi X, Y l cc bin ngu nhin ri rc th (X,Y) l bin ngu nhin hai chiu ri rc. Xc sut ca bin ngu nhin hai chiu ri rc phn phi di dng bng phn phi xc sut ng thi. T bng ny c th tnh c k vng, phng sai ca cc thnh phn, hip phng sai v h s tng quan ca hai thnh phn.

H s tng quan o mc tng quan gia hai bin ngu nhin. Tng quan y c hiu l c lin quan qua li vi nhau theo xu th thng.


TXTOKT02_Bai3_v1.0014106216 63

Cu hi n tp 1. Bin ngu nhin l g? C my loi bin ngu nhin?

2. Bng phn phi xc sut l g? Tnh cht ca n th no?

3. K vng ca bin ngu nhin ri rc tnh nh th no? N cho bit iu g?

4. Phng sai ca bin ngu nhin ri rc tnh nh th no? ngha ca phng sai?

5. lch chun tnh nh th no? Ti sao phi tnh lch chun?

6. Th no l bin ngu nhin phn phi Khng Mt, cc tham s ca n tnh th no?

7. Th no l bin ngu nhin phn phi Nh thc, cc tham s tnh th no, xc sut tnh nh th no?

8. Th no l bin ngu nhin hai chiu?

9. Tnh cht ca bng phn phi xc sut hai chiu v bng phn phi bin th no?

10. H s tng quan tnh nh th no v cho bit iu g?

Documents

BÀI 3 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠCeldata2.neu.topica.vn/TXTOKT02/Giao trinh/04_NEU_TXTOKT02_Bai3_v… · thực hiện một phép thử. ... thể mô tả các biến cố