BÀI TẬP TOÁN 10. HK2. 2016 - longgle.netlonggle.net/wp-content/uploads/2016/01/bai-tap-tooan-10.pdf · BÀI TẬP TOÁN 10. HK2. 2016 L T H 2016 IN WINTER ATMUI. 158 Nguyễn

BÀI TẬP TOÁN 10. HK2. 2016

L

T

H

2016

IN WINTER ATMUI. 158 Nguyễn Thái Bình

HỒNGỌCHƯNG.0164.982.60.70 [TÀILIỆUTOÁN1OCBHK2]

TLH 1

CHƯƠNGIV.BẤTĐẲNGTHỨC-BẤTPHƯƠNGTRÌNH

-----oOo-----§1.BẤTĐẲNGTHỨC

I-ÔNTẬPVỀBẤTĐẲNGTHỨC1.Kháiniệmbấtđẳngthức:2.Bấtđẳngthứchệquảvàbấtđẳngthứctươngđương:3.Tínhchấtcủabấtđẳngthức:

TínhchấtĐiềukiện

Nộidung

a<b

a+c<b+cc>0 a<b ac<bcc<0 a<b ac>bc

a b

c d

a+c<b+d

a>0c>0

a b

c d

ac<bd

nnguyêndương

a<b a2n+1<b2n+1

0<a<ba2n<b2n

a>0a<b

a < b

a<b

3 a < 3 b

TLH1. Chứngminhrằngvớimọia,btacóa2+b2ab.II-BẤTĐẲNGTHỨCGIỮATRUNGBÌNHCỘNGVÀTRUNGBÌNHNHÂN(CAUCHY)1.BấtđẳngthứcCauChy(Cô-si): Địnhlí:Trungbìnhcộngcủahaisốkhôngâmlớnhơnhoặcbằngtrungbìnhnhâncủachúng.

a,b0,2

a bab Đẳngthức

2

a bab khivàchỉkhia=b

TLH2. Chứngminhrằngvớimọisốdươnga,btacó: 2 a b

b a.

2.Cáchệquả:


TLH 2

Hệquả1:Tổngcủamộtsốdươngvớinghịchđảocủanólớnhơnhoặcbằng2.

12 a

a,a>0

Hệquả2:Nếuhaisốx,ycùngdươngvàcótổngkhôngđổithìxylớnnhấtk.v.c.kx=y.Nếuhaisốx,ycùngdươngvàcótíchkhôngđổithìx+ynhỏnhấtk.v.c.kx=y. Ýnghĩahìnhhọc: Trongtấtcảcáchìnhchữnhậtcócùngchuvi,hìnhvuôngcódiệntíchlớnnhất. Trongtấtcảcáchìnhchữnhậtcócùngdiệntích,hìnhvuôngcóchuvinhỏnhất.III-BẤTĐẲNGTHỨCCHỨADẤUGIÁTRỊTUYỆTĐỐI:

Điềukiện Nộidung x0,xx,x-x

a>0xa -axa

xa x-ahoặcxa a-ba+ba+b

TLH3. Chox[-2;0].Chứngminhrằngx+11.TLH4. Chứngminhrằng:

a)1 1

4 ( )( )a ba b

,a,b>0; b)a2+b2+c2ab+bc+cavôùia,b,c

R.TLH5. Choa,b,clàđộdàibacạnhcủamộttamgiác.

a)Chứngminh(b-c)2<a2; b)Từđósuyraa2+b2+c22(ab+bc+ca).

TLH6. Chứngminhrằngx3+y3x2y+xy2,x0,y0.

TLH7. Chox>2.Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcf(x)=x+3

2x.

TLH8. Tìmgiátrịlớnnhất,giátrịnhỏnhấtcủahàmsốy= 3 6 x x .

TLH9. Chứngminhrằngx4- 5 1 0 x x x ,x0.TLH10. TrongmặtphẳngtọađộOxy,trêncáctiaOxvàOylầnlượtlấycáđiểmA

vàBthayđổisaochođườngthẳngABluôntiếpxúcvớiđườngtròntâmObánkính1.XácđịnhtọađộcủaAvàBđểđoạnABcóđộdàinhỏnhất.


TLH 3

TRANGNÀYĐỂBẤMBÀITẬPTHÊM


TLH 4

§2.BẤTPHƯƠNGTRÌNHVÀHỆBẤTPHƯƠNGTRÌNHMỘTẨNI-KHÁINIỆMBẤTPHƯƠNGTRÌNHMỘTẨN1.Bấtphươngtrìnhmộtẩn:2.Điềukiệncủamộtbấtphươngtrình: Điềukiệncủaẩnsốxđểf(x)vàg(x)cónghĩalàđiềukiệnxácđịnh(haygọitắtlàđiềukiện)củabấtphươngtrình.3.Bấtphươngtrìnhchứathamsố: Giảivàbiệnluậnbấtphươngtrìnhchứathamsốlàxétxemvớicácgiátrịnàocủathamsốbấtphươngtrìnhvônghiệm,bấtphươngtrìnhcónghiệmvàtìmcácnghiệmđó.

TLH1. Hãychỉraẩnsốvàthamsốtrongcácbấtphươngtrìnhsau: a)(2m-1)x+3<0; b)x2-nx+10. II-HỆBẤTPHƯƠNGTRÌNHMỘTẨNHệbấtphươngtrìnhẩnagồmmộtsốbấtphươngtrìnhẩnxmàtaphảitìmcácnghiệmchungcủachúng.Mỗigiátrịcủaxđồngthờilànghiệmcủatấtcảcácbấtphươngtrìnhcủahệđượcgọilàmộtnghiệmcủahệbấtphươngtrìnhđãcho.Giảihệbấtphươngtrìnhlàtìmtậpnghiệmcủanó.Đểgiảimộthệbấtphươngtrìnhtagiải từngbấtphươngtrìnhrồi lấygiaocủacáctậpnghiệm.

TLH2. Giảihệbấtphươngtrình3 0

1 0

x

x.

III-MỘTSỐPHÉPBIẾNĐỔIBẤTPHƯƠNGTRÌNH1.Bấtphươngtrìnhtươngđương: Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phươngtrìnhtươngđươngvàdùngkíhiệu" "đểchỉsựtươngđươngcủahaibấtphươngtrìnhđó. Khihaihệbấtphươngtrìnhcócùngmộttậpnghiệmtacũngnóichúngtươngđươngvớinhauvàdùngkíhiệu" "đểchỉsựtươngđươngđó.2.Phépbiếnđổitươngđương: Đểgiảimộtbấtphươngtrình(hệbấtphươngtrình)taliêntiếpbiếnđổinóthành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khiđượcbấtphươngtrình(hệbấtphươngtrình)đơngiảnnấtmàtacóthểviếtngaytậpnghiệm.Cácphépbiếnđổinhưvậyđượcgọilàcácphépbiếnđổitươngđương.3.Cộng(trừ):

P(x)<Q(x) P(x)+f(x)<Q(x)+f(x)

TLH3. Giảibấtphươngtrình(x+2)(2x-1)x2+(x-1)(x+3).

P(x)<Q(x)+f(x) P(x)-f(x)<Q(x)

(Chuyểnvếvàđổidấucáchạngtửcủaf(x)tađượcbấtphươngtrìnhtươngđương)*Chúý:Trướckhigiảibấtphươngtrìnhtaphảitìmđiềukiệncủabấtphươngtrìnhđó.


TLH 5

TLH4. Giảibấtphươngtrình5 2 3 4 3 3

14 4 6

x x x x.

4.Nhân(chia):

P(x)<Q(x) P(x).f(x)<Q(x).f(x)nếuf(x)>0,xP(x)<Q(x) P(x).f(x)>Q(x).f(x)nếuf(x)<0,x

TLH5. Giảibấtphươngtrình2 2

2 2

1

2 1

x x x x

x x

*Chúý: Khinhânhaivếbấtphươngtrìnhchof(x),nếubiểuthứcf(x)nhậncảhaigiátrịdươnglẫnâmthìtaphảixétlầnlượthaitrườnghợpf(x)<0vàf(x)>0.

TLH6. Giảibấtphươngtrình1

11

x.

5.Bìnhphương:

0<P(x)<Q(x) [P(x)]2<[Q(x)]2

TLH7. Giảibấtphươngtrình 2 22 2 2 3 x x x x .* Chú ý: Khi bình phương hai vế bất phương trình ta phải lần lượt xét haitrườnghợp: P(x),Q(x)cùngcógiátrịkhôngâm,tabìnhphươnghaivếbấtphươngtrình. P(x),Q(x)cùnggiátrịâm,tabiếnđốiP(x)<Q(x) -P(x)>-Q(x)rồibìnhphương.

TLH8. Giảibấtphươngtrình 2 17 1

4 2 x x .

TLH9. Nêuđiềukiệncónghĩacủacácbấtphươngtrìnhsau:

a)1 1

11

x x

; b)2 2

1 2

4 4 3

x

x x x;

c)2x-1+ 3 21

1

xx

x; d)

12 1 3

4

x x

x.

TLH10. Chứngminhcácbấtphươngtrìnhsauvônghiệm:

a)x2+ 8 3 x ;b) 2 2 31 2 3 5 4

2 ( )x x x ;c) 2 21 7 1 x x .

TLH11. Giảicácbấtphươngtrìnhsau:

a)3 1 2 1 2

2 3 4

x x x; b)(2x-1)(x+3)-3x+1(x-1)(x+3)+x2-5.

TLH12. Giảihệbấtphươngtrình:

a)

56 4 7

7

8 32 5

2

x x

xx

; b)

115 2 2

3

3 142 4

2

( )

x x

xx

.


TLH 6



TLH 7

§3.DẤUCỦANHỊTHỨCBẬCNHẤT

I-ĐỊNHLÍVỀDẤUCỦANHỊTHỨCBẬCNHẤT1.Nhịthứcbậcnhất: Nhịthứcbậcnhấtđốivớixlàbiểuthứcdạngf(x)=ax+bvớia,b,clàhaisốđãcho,a≠0.

Nghiệmcủanhịthức:f(x)=ax+blàx0=b

a(nghiệmcủaphươngtrìnhax

+b=0)

2.Dấucủanhịthứcbậcnhất:

Địnhlí:Nhịthứcf(x)=ax+bcógiátrịcùngdấuvớihệsốakhixlấycácgiátrị

trongkhoảng(b

a;+)vàtráidấuvớihệsốakhixlấycácgiátrịtrongkhoảng(-

;b

a).

x- -

b

a

+ax+

btráidấua0cùngdấua

Nghiệmx0=b

acủanhịthứcchiatrụcsốthànhhaikhoảng:

beân phaûi soá x0

x0

beân traùi soá x0

+-f(x) traùi daáu a

f(x) cuøng daáu a

TLH1. Xétdấucácnhịthứcsau: a)f(x)=3x+2; b)g(x)=-2x+5.

II-ỨNGDỤNG

1.Xétdấutích,thươngcácnhịthứcbậcnhất:

TLH2. Xétdấucácbiểuthứcsau:

a)f(x)=(2x-1)(3-x); b)g(x)=2

4 2

( )x x

x.

2.Giảibấtphươngtrìnhtích,bấtphươngtrìnhchứaẩnởmẫu:

TLH3. Giảicácbấtphươngtrình: a)x3-4x<0; b)1

11

x

.

3.Bấtphươngtrìnhchứaẩntrongdấugiátrịtuyệtđối: TLH4. Giảibấtphươngtrình-2x+1+x-3<5

*Chúý:Vớia>0,tacó:f(x)a -af(x)a f(x)a f(x)-ahoặcf(x)a

TLH5. Xétdấucácbiểuthức:a)f(x)=(2x-1)(x+3); b)f(x)=(-3x-3)(x+2)(x+3);

Bảng xét dấu


TLH 8

c)f(x)=4 3

3 1 2

x x; d)f(x)=4x2-1.

TLH6. Giảicácbấtphươngtrìnhsau:a)(x-1)(4-2x)(5x-3)0; b)(3x-1)2<9;

b)3 1 3

04 17

( )( )x x

x; c)

2 3

1 2 1

x x.


a)2

1 1

1 1

( )x x; b)

2

2

3 11

1

x x

x;

c)2

2

10 90

5 6

x x

x x; d)

1 2 3

4 3

x x x.


a)5x-46; b)x-2x; c)5 10

2 1

x x.

TLH9. Giảicáchệbấtphươngtrìnhsau:

a)2 7 0

5 1 0

x

x; b)

2 3 1 0

7 5 0

( )( )x x

x.


TLH 9



TLH 10

§4.BẤTPHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTHAIẨNI-BẤTPHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTHAIẨNBấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩnx,ycódạngtổngquátlàax+byc(1)

(ax+by<c,ax+byc,ax+by>c)II-BIỂUDIỄNTẬPNGHIỆMCỦABẤTPHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTTrongmặtphẳngtọađộOxy,tậphợpcácđiểmcótọađộlànghiệmbấtphươngtrình(1)đượcgọilàmiềnnghiệmcủanó.Quytắcbiểudiễnhìnhhọctậpnghiệm(haymiềnnghiệm)củabấtphươngtrìnhax+byc(1): Bước1:TrênmặtphẳngtọađộOxy,vẽđườngthẳng:ax+by=c. Bước2:XétmộtđiểmM(x0;y0)khôngnằmtrên(thườnglấyO(0;0)nếuO). Bước3:Thayx0vàyovàobiểuthứcax+by. Bước4:Kếtluận: Nếuax0+by0 clàmệnhđềđúngthìnửamặtphẳng(kểcảbờ)chứađiểmMlàmiềnnghiệmcủabấtphươngtrìnhax+by+c0. Nếuax0+by0 c làmệnhđềsaithìnửamặtphẳng(kểcảbờ)khôngchứađiểmMlàmiềnnghiệmcủabấtphươngtrìnhax+by+c0.*Lưuý:Miềnnghiệmcủabấtphươngtrìnhax+bycbỏđiđườngthẳngax+by=clàmiềnnghiệmcủabấtphươngtrìnhax+by<c.

TLH1. Biểudiễnhìnhhọctậpnghiệmcủacácbấtphươngtrìnhsau: a)2x+y3; b)-3x+2y>0.III-HỆBẤTPHƯƠNGTRÌNHBẬCNHẤTHAIẨNHệbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩngồmmộtsốbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩnx,ymàtaphảitìmcácnghiệmchungcủachúng.Mỗinghiệmchungđóđượcgọilàmộtnghiệmcủahệbấtphươngtrìnhđãcho.Tacóthểbiểudiễnhìnhhọctậpnghiệmcủahệbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn.

TLH2. Biểudiễnhìnhhọctậpnghiệmcủahệbấtphươngtrìnhsau:

a)2 3

2 5 12 8

x y

x y x; b)

3 6

4

0

0

x y

x y

x

y

.

IV-ÁPDỤNGVÀBÀITOÁNKINHTẾTLH3. : Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản

phẩmkíhiệulàIvàII.MộttấnsảnphẩmloạiIlãi2triệuđồng,mộttấnsảnphẩmloại II lãi1,6triệuđồng.Muốnsảnxuấtmộttấnsảnphẩmloại IphảidùngmáyM1trong3giờvàmáymáyM2trong1giờ.Muốnsảnxuấtmộttấnsảnphẩm loại IIphảidùngmáyM1 trong1giờvàmáyM2 trong1giờ.Mộtmáykhôngthểdùngđểsảnxuấtđồngthờihailoạisảnphẩm.MáyM1làmviệckhôngquá6giờtrongmộtngày,máyM2mộtngàychỉlàmviệckhôngquá4giờ.Hãyđặtkếhoạchsảnxuấtsaochotổngsốtiềnlãicaonhất.


TLH 11

TLH4. Biểudiễnhìnhhọctậpnghiệmcủacácbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩnsau:

a)-x+2+2(y-2)<2(1-x); b)3(x-1)+4(y-2)<5x-3.TLH5. Biểudiễnhìnhhọctậpnghiệmcủacáchệbấtphươngtrìnhbậcnhấthai

ẩnsau:

a)

2 0

3 2

3

x y

x y

y x

; b)

1 03 2

1 32

2 2

0

x y

yx y

x

.

TLH6. CóbanhómmáyA,B,CdùngđểsảnxuấtrahailoạisảnphẩmIvàII.Đểsảnxuấtmộtđơnvịsảnphẩmmỗiloạiphảilầnlượtdùngcácmáythuộccácnhómkhácnhau.Sốmáytrongmộtnhómvàsốmáycủatừngnhómcầnthiếtđểsảnxuấtramộtđơnvịsảnphẩmmỗiloạiđượcchotrongbảngsau:

NhómSốmáytrong

mỗinhóm

Sốmáytrongtừngnhómđểsảnxuấtramộtđơnvịsảnphẩm

LoạiI LoạiIIABC

104

12

202

224

MộtđơnvịsảnphẩmIlãi3nghìnđồng,mộtđơnvịsảnphẩmIIlãi5nghìnđồng.Hãylậpphươngánsảnxuấthailoạisảnphẩmtrênsaochocólãicaonhất.


TLH 12



TLH 13

§5.DẤUCỦATAMTHỨCBẬCHAII-ĐỊNHLÍVỀDẤUCỦATAMTHỨCBẬCHAI1.Tamthứcbậchai: Tamthứcbậchaiđốivớixlàbiểuthứccódạngf(x)=ax2+bx+c,trongđóa,b,clànhữngsốthựcchotrướcgọilàcáchệsốvớia≠0. Nghiệmcủatamthứcbậchailànghiệmphươngtrìnhax2+bx+c=0.

TLH7. Lậpbảngxétdấucủacácbiểuthức:f(x)=(x-1)(x+2);g(x)=(x+1)(3-x),h(x)=-(x-2)2;r(x)=(x-4)2+1.

Cónhậnxétgìvềdấucủatamthứcsovớihệsốacủatamthứcđó.

2.Dấucủatamthứcbậchai: Chof(x)=ax2+bx+c(a≠0),=b2-4ac Nếu<0thìf(x)cùngdấuvớihệsốa,vớimọixR.

Nếu=0thìf(x)cùngdấuvớihệsốa,trừkhix=-b

a.

Nếu>0thìf(x)cóhainghiệm 1x và 2x (x1<x2).Khiđóf(x)tráidấuvới

hếsốavớimọixnằmtrongkhoảng(x1;x2)vàf(x)cùngdấuvớihếsốavớimọixnằmngoàiđoạn[x1;x2]. *Chúý:Khihệsốbchẵntacóthểthaybằng'=b'2-ac. Cácbướclậpbảngxétdấutamthứcbậchai:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

Tính=b2-4ac Nếu<0thìf(x)vônghiệmvà

x -+ax2+bx

+ccùngdấuvớia

Nếu=0thìf(x)cónghiệmképx=-b

avà

x- -

b

a

+ax2+bx

+ccùngdấuvớia0cùngdấuvớia

Nếu>0thìf(x)có2nghiệmx1,x2(vớix1<x2)vàx - x1 x2

+ax2+bx

+ccùngdấuvớia0tráidấuvớia0cùngdấuvớia

TLH8. Xétdấucáctamthứcsau:

a)f(x)=-2x2+6x-10; b)f(x)=2x2-5x+2; c)f(x)=x2+4x+4.

II-ÁPDỤNGGIẢIBẤTPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAI


TLH 14

1.Bấtphươngtrìnhbậchai:

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0

0a

(hoặcax2+bx+c0hoặcax2+bx+c>0,ax2+bx+c0),

TLH9. Lậpbảngxétdấucủacáctamthứcvàtrảlờicâuhỏitươngứnga)f(x)=-2x2+3x+5,vớigiátrịnàocủaxthìf(x)0;b)g(x)=-3x2+7x-4,vớigiátrịnàocủaxthìg(x)<0.

2.Giảibấtphươngtrìnhbậchai: Giảibấtphươngtrìnhbậchailàtìmcácgiátrịxđểax2+bx+câm(dương,khôngâm,khôngdương)tươngứngvới<0(>0,0,0)củabấtphươngtrình.

TLH10. Giảicácbấtphươngtrìnhsau: a)3x2+2x+5>0; b)-2x2+3x+5>0; c)-3x2+7x-4<0; d)9x2-24x+160.

TLH11. Tìmcácgiátrịcủamđểphươngtrình2x2-(m2-m+1)x+2m2-3m-5=0cóhainghiệmtráidấu.

TLH12. Xetdấucáctamthứcbậchai:a)5x2-3x+1; b)-2x2+3x+5;

c)x2+12x+36; d)(2x-3)(x+5).TLH13. Lậpbảngxétdấucácbiểuthứcsau:

a)f(x)=(3x2-10x+3)(4x-5); b)f(x)=(3x2-4x)(2x2-x-1);

c)f(x)=(4x2-1)(-8x2+x-3)(2x+9); d)f(x)=2 2

2

3 3

4 3

( )( )x x x

x x.

TLH14. Giảicácbấtphươngtrìnhsau:a)4x2-x+1<0; b)-3x2+x+40;

c)2 2

1 3

4 3 4

x x x; d)x2-x-60.

TLH15. Tìmcácgiátrịcủathamsốmđểcácphươngtrìnhsauvônghiệma)(m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6=0; b)(3-m)x2-2(m+3)x+m+2=0.

TLH16. Vớigiátrịnàocủamthìhàmsốy= 2 2 x mx m luônxácđịnh?


TLH 15



TLH 16

*ÔNTẬPCHƯƠNGIV*TLH1. Trêncùngmộtmặtphẳngtọađộ,hãyvẽđồthịhaihàmsốy=f(x)=x

+1vày=g(x)=3-xvàchỉracácgiátrịnàocủaxthỏamãn:a)f(x)=g(x); b)f(x)>g(x); c)f(x)<g(x).

Hãykiểmtralạikếtquảbằngcáchgiảiphươngtrình,bấtphươngtrình.

TLH2. Choa,b,clàcácsốdương.Chứngminhrằng 6

a b b c c a

c a b.

TLH3. Choa>0,b>0.Chứngminhrằng: a b

a bb a

.

TLH4. Bằngcáchsửdụnghằngđẳngthứca2-b2=(a-b)(a+b)hãyxétdấu

f(x)=x4-x2+6x-9=0vàg(x)=x2-2x-2

4

2x x.

TLH5. Tìmnghiệmnguyêncủabấtphươngtrìnhx(x3-x+6)>9.TLH6. Choa,b,clàđộdàibacạnhcủamộttamgiác.Sửdụngđịnhlívềdấucủa

tamthứcbậchai,chứngminhrằng:b2x2-(b2+c2-a2)x+c2>0.x.TLH7. Biểudiễnhìnhhọctậpnghiệmcủahệbấtphươngtrìnhbậcnhấthaiẩn

3 9

3

3 8

6

x y

x y

y x

y

.


TLH 17



TLH 18

CHƯƠNGV.THỐNGKÊ

§1.BẢNGPHÂNBỐTẦNSỐVÀTẦNSUẤT

I-ÔNTẬP1.Sốliệuthốngkê: Vídụ:Khiđiềutra“Năngsuấtlúahèthunăm1998”của31tỉnh,ngườitathuthậpđượccácsốliệughitrongbảngdướiđây:

Năngsuấtlúahèthu(tạ/ha)năm1998của31tỉnh302535

304535

253030

253040

353040

454040

403035

402535

354535

454535

35Bảng1

Tập hợpcácđơnvịđiều tra là tậphợp31tỉnh,mỗimột tỉnh làmộtđơn vịđiềutra.Dấuhiệuđiềutralànăngsuấtlúahèthunăm1998ởmỗitỉnh.Cácsốliệutrongbảng1gọilàcácsốliệuthốngkê,còngọilàcácgiátrịcủadấuhiệuvàsốcácsốliệuthốngkêlà35.2.Tầnsố: Tầnsốlàsốlầnxuấthiệncủamộtsốliệutrongbảngthốngkê.

TLH1. Hãyxácđịnhtầnsốcủacácgtrịkhácnhaucủacácsốliệutrongbảng1. II-TẦNSUẤT

TLH2. Hãytínhtầnsuấtcủacácgiátrịkhácnhaucótrongbảng1.Dựavàocáckếtquảthuđược,talậpbảngsau:

Năngsuấtlúa(tạ/ha)

TầnsốTầnsuất

(%)

25 ......................... ...........................

30 ......................... ...........................

35 ......................... ...........................

40 ......................... ...........................

45 ......................... ...........................Cộng 31 100(%)

Bảng2III-BẢNGPHÂNBỐTẦNSỐVÀTẦNSUẤTGHÉPLỚP

TLH3. Đểchuẩnbịmayđồngphụcchohsinh,ngườitađochiềucaocủa36họcsinhtrongmộtlớphọcvàthuđượccácsốliệuthốngkêghitrongbảngsau:

Chiềucaocủa36họcsinh(đơnvị:cm)158150164

152167159

156165163

158163155

168158163

160162165

170169154

166159161

161163164

160164151

172161164

173160152

Hãytínhtầnsốvàtầnsuấtcủacáclớptươngứngvàđiềnvàobảngsau.

Bảng phân bố tần số và tần

suất.


TLH 19

Chiềucaocủa36họcsinhLớpsốđochiềucao

(cm)Tầnsố

Tầnsuất(%)

[150;156) .................. .....................

[156;162) .................. .....................

[162;168) .................. .....................

[168;174] .................. .....................Cộng 36 100(%)

Baûng3

TLH4. ChocácsốliệuthốngkêtrongbảngsauTiềnlãicủamỗingàytrong30ngàyđượckhảosátởmộtquầybánbáo

8151

3744

7452

6592

3193

6353

5885

8277

6747

7742

6357

4657

3085

5355

7364

Hãylậpbảngphânbốtầnsuấtghéplớpvớicáclớpnhưsau:[29,5;40,5),[40,5;51,5),[51,5;62,5),[62,5;73,5),[73,5;84,5),[84,5;95,5].TLH5. Chocácsốliệuthốngkêghitrongbảngsau:

Tuổithọcủa30bóngđènđiệnđượcthắpthử(đơnvị:giờ)1180 1150 1190 1170 1180 11701160 1170 1160 1150 1190 11801170 1170 1170 1190 1170 11701170 1180 1170 1160 1160 11601170 1160 1180 1180 1150 1170

a)Lậpbảngphânbốtầnsốvàbảngphânbốtầnsuất.b)Dựavàokquảcâua),hãynhậnxétvềtuổithọcủacácbóngđènnóitrên.

TLH6. ChobảngphânbốtầsốghéplớpsauĐộdàicủa60ládươngxỉtrưởngthành

Lớpcủađộdài

Tầnsố

[10;20)[20;30)[30;40)[40;50]

8182410

Cộng 60a)Lậpbảngphânbốtầnsuấtghéplớp.b)Dựavàokếtquảcủacâua),hãynêurõtrong60ládươngxỉđượckhảosát: Sốlácóđộdàidưới30cmchiếmbaonhiêuphầntrăm? Sốlácóđộdàitừ30cmđến50cmchiếmbaonhiêuphầntrăm?

TLH7. Chocácsốliệuthốngkêghitrongbảngsau:Khốilượngcủa30củkhoaitâythuhoạchđượcởnôngtrườngT(đơnvị:g).

9081

7394

8896

9993

10095

10282

11190

96106

79103

93116

Bảng phân bố tần số và tần

suất ghép lớp.


TLH 20

109 108 112 87 74 91 84 97 85 92Lậpbảngphânbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớp,vớicáclớpsau:

[70;80);[80;90);[90;100);[100;110);[110;120].TLH8. Chocácsốliệuthốngkêghitrongbảngsau:

Chiềucaocủa35câybạchđàn(đơnvị:m)6,67,28,08,0

7,57,57,77,6

8,28,37,87,9

8,27,48,37,3

7,88,78,68,5

7,97,78,18,4

9,07,08,18,0

8,99,49,48,8

8,28,76,9

a)Lậpbảngphânbốtầnsuấtghéplớp,vớicáclớpsau:[6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0);[9,0;9,5].

b)Dựavàokếtquảcủacâua),hãynêunhậnxétvềchiềucaocủa35câybạchđànnóitrên.


TLH 21



TLH 22

§2.BIỂUĐỒ

I-BIỂUĐỒTẦNSUẤTHÌNHCỘTVÀĐƯỜNGGẤPKHÚCTẦNSUẤT1.Biểuđồtầnsuấthìnhcột: Đểmôtảbảngphânbốtầnsuấtghéplớpvàtrìnhbàycácsốliệuthốngkê:

Chiềucaocủa36họcsinhLớpsốđochiềucao

(cm)Tầnsố Tầnsuất

(%)[150;156)[156;162)[162;168)[168;174]

612135

16,733,336,113,9

Cộng 36 100(%) Tacóthểvẽbiểuđồtầnsuấthìnhcột

2.Đườnggấpkhúctầnsuất:Chobảngphânbốtầnsuấtghéplớpsau:

Nhiệtđộtrungbìnhcủatháng12tạithànhphốVinhtừ1961đến1990(30năm)

Lớpnhiệtđộ( 0 C) Tầnsuất(%)

[15;17)[17;19)[19;21)[21;23]

16,743,336,73,3

Cộng 100(%)Hãymôtảbảngtrênbằngcáchvẽbiểuđồtầnsuấthìnhcộtvàđườnggấpkhúctầnsuất.

3.Chúý:Tacũngcóthểmôtảbảngphânbốtầnsốghéplớpbằngbiểuđồtầnsốhìnhcộthoặcđườnggấpkhúctầnsố.II-BIỂUĐỒHÌNHQUẠT

Cơcấugiátrịsảnxuấtcôngnghiệptrongnướcnăm1997,Các thành phần kinh tế Số phần trăm

(1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước (2) Khu vực ngoài quốc doanh (3) Khu vực đầu tư nước ngoài

23,7 47,3 29,0

Cộng 100 (%)

TLH9. Chobảngphânbốtầnsuấtghéplớpsau:Nhiệtđộtrungbìnhcủatháng12tạithànhphốVinhtừ1961đến1990(30năm)

Lớpnhiệtđộ(0C) Tầnsuất(%)[15;17)[17;19)[19;21)[21;23]

16,743,336,73,3

Cộng 100(%)


TLH 23

Hãymôtảbảngtrênbằngcáchvẽbiểuđồtầnsuấthìnhcộtvàđườnggấpkhúctầnsuất.

TLH10. Dựa vào biểu đồ hình quạt sau, lập bảng cơ cấu giá trị sản xuất côngnghiệptrướcnăm1999

22%

39.90%

38.10%

Cô cÛgï gãÛù trx sÛûn xïÛgt cohng nghãeäê trong n| ôùc nÛêm 1999

Khï v| ïc doÛnh nghãeäê nhÛø n| ôùc

Khï v| ïc ngoÛøã qïogc doÛnh

Khï v| ïc ñÛàï t| n| ôùc ngoÛøã

Độdàicủa60ládươngxỉtrưởngthành

Lớpcủađộdài Tầnsố[10;20)[20;30)[30;40)[40;50]

8182410

Cộng 60TLH11. Hãymôtảbảngphânbốtầnsuấtghéplớpcủabảngtrênbằngcáchvẽ

biểuđồtầnsuấthìnhcộtvàđườnggấpkhúctầnsuất.TLH12. Xétbảngphânbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớpcủabảngsốliệusau:

Khốilượngcủa30củkhoaitâythuhoạchđượcởnôngtrườngT(đơnvị:g).9081

109

7394

108

8896

112

999387

1009574

1028291

1119084

9610697

7910385

9311692

Theocáclớp:[70;80);[80;90);[90;100);[100;110);[110;120]. a)Hãyvẽbiểuđồtầnsuấthìnhcột,đườnggấpkhúctầnsuất. b)Hãyvẽbiểuđồtầnsốhìnhcột,đườnggấpkhúctầnsố. c)Dựavàobiểuđồtầnsuấthìnhcộtđãvẽởcâua),hãynêunhậnxétvềkhốilượngcủa30củkhoaitâyđượckhảosát.

TLH13. Dựavàobđồhìnhquạtdướiđây,hãylậpbảngcơcấu"Cơcấugiátrịsảnxuấtcôngnghiệptrongnướcnăm2000,phântheothànhphầnkinhtế(%)".

23.5%

44.30%

32.20%

Cô cÛgï gãÛù trx sÛûn xïÛgt cohng nghãeäê trong n| ôùc nÛêm 2000

Khï v| ïc doÛnh nghãeäê nhÛø n| ôùc

Khï v| ïc ngoÛøã qïogc doÛnh

Khï v| ïc ñÛàï t| n| ôùc ngoÛøã


TLH 24



TLH 25

§3.SỐTRUNGBÌNHCỘNG.SỐTRUNGVỊ.MỐT

I-SỐTRUNGBÌNHCỘNG(HAYSỐTRUNGBÌNH)Trườnghợpbảngphânbốtầnsố,tầnsuất

1 1 2 21 1

1 1 1

( ... )k k

k k i i i ii i

x n x n x n x n x f xn n n

Trườnghợpbảngphânbốtầnsố,tầnsuấtghéplớp1 1

1

k k

i i i ii i

x n c f cn

TLH1. Đểchuẩnbịmayđồngphụcchohọcsinh,ngườitađochiềucaocủa36họcsinhtrongmột lớphọcvàthuđượccácsốliệuthốngkêghitrongbảngsau:

Chiềucaocủa36họcsinh(đơnvị:cm)158150164

152167159

156165163

158163155

168158163

160162165

170169154

166159161

161163164

160164151

172161164

173160152

a)Hãytínhchiềucaotrungbìnhcủa36họcsinhtrên.b)Sửdụngbảngphânbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớp,hãytínhchiềucaotrungbình của 36 học sinh trên, với các lớp [150; 156), [156; 162), [162; 168), [168;174].

TLH2. Cho2bảngphânbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớpsau

a)Hãytínhsốtrungbìnhcộngcủa2bảngtrên.b)Từkếtquảđãtínhđượcởcâua),cónhậnxétgìvềnhiệtđộởthànhphốVìnhtrongtháng2vàtháng12(của30nămđượckhảosát).II-SỐTRUNGVỊSắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Sốtrungvị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu sốphầntửlàlẻvàlàtrungbìnhcộngcủahaisốđứnggiữadãynếusốphầntửlàchẵn.

TLH3. ĐiểmthiToáncủabốnhọcsinhlớp6đượcxếpthànhdãykhônggiảmlà:1;2,5;8;9,5.Hãytìmsốtrungvịcủadãytrên.

TLH4. Hãytìmsốtrungvịcủacácsốliệuthốngkêchoởbảngsau.Sốáobánđượctrongmộtquýởmộtcửahàngbánáosơminam

Cỡáo 36 37 38 39 40 41 42 Cộng

Tầnsố 13 45 126 110 126 40 5 465

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh Từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Lớp nhiệt độ (0C) Tần số Tần suất (%) [12 ; 14) [14 ; 16) [16 ; 18) [18 ; 20) [20 ; 22]

1 3 12 9 5

3,33 10,00 40,00 30,00 16,67

Cộng 30 100 (%)

Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm)

Lớp nhiệt độ (0C) Tần suất (%) [15 ; 17) [17 ; 19) [19 ; 21) [21 ; 23]

16,7 43,3 36,7 3,3

Cộng 100 (%)


TLH 26

.III-MỐT

TLH5. Nếutrongbảngphânbốtầnsốcóhaigiátrịcótầnsốbằngnhauvàlớnhơntầnsốcủagiátrịkhácthìchọnmốtlàgiátrịnào?Hãytìmmốtcủabảngsốliệutrên.

TLH6. Tínhsốtbcộngcủacácbảngphânbốđượclậptừhaibảngsốliệusau:

TLH7. TrongmộttrườngTHPT,đểtìmhiểutìnhhìnhhọcmônToáncủahailớp10Avà10B,ngườitachohailớpthiToántheocùngmộtđềthivàlậpđượchaibảngphânbốtầnsốghéplớpsauđây:

Tínhcácsốtrungbìnhcộngcủahaibảngphânbốởtrênvànêunhậnxétvềkếtquảlàmbàithicủahailớp.

TLH8. Điềutratiềnlươnghàngthángcủa30côngnhânmộtxưởngmay,tacóbảngphânbốtầnsố:Tiềnlươngcủa30côngnhânxưởngmay

Tiềnlương(đồng)

300 500 700 800 900 1000 Cộng

Tầnsố 3 5 6 5 6 5 30Tìmmốtcủabảngphânbốtrên.Nêuýnghĩacủakếtquảđãtìmđược.

TLH9. Tiềnlươnghàngthángcủa7nhânviêntrongmộtcôngtidulịchlà:650,840,690,720,2500,670,3000(đơnvị:nghìnđồng).Tìmsốtrungvịcủacácsốliệuthốngkêđãcho.Nêuýnghĩacủakếtquảđãtìmđược.

TLH10. Chobiếttìnhhìnhthuhoạchlúavụmùanăm1980củabahợptácxãHợptácxã Năngsuấtlúa

(tạ/ha)Dtíchtrồnglúa(ha)

ABC

403836

150130120

Hãytínhnăngsuấtlúatrungbìnhcủavụmùanăm1980trongtoànbộbahợptácxãkểtrên.

Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị: giờ)

1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170

Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài (cm) Tần số

[10 ; 20) [20 ; 30) [30 ; 40) [40 ; 50]

8 18 24 10

Cộng 60

Điểm thi Toán của lớp 10A Lớp điểm thi Tần số

[0 ; 2) [2 ; 4) [4 ; 6) [6 ; 8) [8 ; 10]

2 4 12 28 4

Cộng 50

Điểm thi Toán của lớp 10B Lớp điểm thi Tần số

[0 ; 2) [2 ; 4) [4 ; 6) [6 ; 8) [8 ; 10]

4 10 18 14 5

Cộng 51


TLH 27



TLH 28

§4.PHƯƠNGSAIVÀĐỘLỆCHCHUẨN

I-PHƯƠNGSAI

TLH1. Chobiếtgiátrịthànhphẩmquyratiền(nghìnđồng)trongmộttuầnlaođộngcủa7côngnhânởhaitổlà:

Tổ1:180,190,190,200,210,210,220(1);Tổ2:150,170,170,200,230,230,250(2).Hãytínhgiátrịtrungbình x , y củahaidãysốliệutrênvànhậnxétxemdãysố

liệunàocócácsốliệugầnvớigiátrịtrungbìnhhơn?

1.Địnhnghĩa: Phươngsaicủamộtdãysố liệu là trungbìnhcộngcủabìnhphươngcácđộlệchgiữacácsốliệuthốngkêvàsốtrungbìnhcủadãyđó.2.Côngthứctính:

Cóthểtínhphươngsaitheomộttrongbacáchsau: Đốivớibảngphânbốtầnsố,tầnsuất:

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2

1 1 2 2

1

[ ( ) ( ) ... ( ) ]

( ) ( ) ... ( )

x k k

k k

s n x x n x x n x xn

f x x f x x f x x

Đốivớibảngphânbốtầnsố,tầnsuấtghéplớp:

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2

1 1 2 2

1

[ ( ) ( ) ... ( ) ]

( ) ( ) ... ( )

x k k

k k

s n c x n c x n c xn

f c x f c x f c x

Hoặc: 2

2 2 x

s x x

Đốivớibảngphânbốtầnsố,tầnsuất:

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 ( ... ) ...

k k k kx n x n x n x f x f x f x

n

Đốivớibảngphânbốtầnsố,tầnsuấtghéplớp:

với 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 ( ... ) ...

k k k kx n c n c n c f c f c f c

n

3.Ýnghĩavàcáchsửdụngphươngsai:Phươngsaiđượcsửdụngđểđánhgiámứcđộphântáncủacácsốliệuthống

kêTínhphươngsaicủabảngsốliệusauđây:Chiềucaocủa36họcsinh

Lớpsốđochiềucao Tầnsố Tầnsuất(%)[150;156)[156;162)[162;168)[168;174]

612135

16,733,336,113,9

Cộng 36 100(%)


TLH 29

II-ĐỘLỆCHCHUẨN

Độlệchchuẩnsxlàcănbậchaicủaphươngsai 2

xs : 2

x xs s .

Phươngsai 2

xs vàđộlệchchuẩnsxđềuđượcdùngđểđánhgiámứcđộphântán

củacácsốliệuthốngkê(sovớisốtrungbìnhcộng).Nhưngkhicầnchúýđếnđơnvịđothìtadùngsx,vìsxcócùngđơnvịđovớidấuhiệuđượcnghiêncứu.

TLH2. Tínhphươngsaivàđộlệchchuẩncủabảngphânbốtầnsốvàbảngphânbốtầnsốghéplớpđượclậptừcácbảngsốliệusau:

Tuổithọcủa30bóngđènđiệnđượcthắpthử(đơnvị:giờ)1180 1150 1190 1170 1180 11701160 1170 1160 1150 1190 11801170 1170 1170 1190 1170 11701170 1180 1170 1160 1160 11601170 1160 1180 1180 1150 1170

Độdàicủa60ládươngxỉtrưởngthànhLớpcủađộdài Tầnsố

[10;20)[20;30)[30;40)[40;50]

8182410

Cộng 60TLH3. Hai lớp10C,10Dcủamột trườngTrunghọcphổ thông đồng thời làm

bàithimônNgữvăntheocùngmộtđềthi.Kếtquảthiđượctrìnhbàyởhaibảngphânbốtầnsốsauđây:

ĐiểmthiNgữvăncủalớp10CĐiểmthi 5 6 7 8 9 10 CộngTầnsố 3 7 12 14 3 1 40

ĐiểmthiNgữvăncủalớp10DĐiểmthi 6 7 8 9 CộngTầnsố 8 18 10 4 40

a)Tínhcácsốtbcộng,psai,độlệchchuẩncủacácbảngphânbốtầnsốđãcho.b)XétxemkếtquảlàmbàithicủamônNgữvănởlớpnàolàđồngđềuhơn?

TLH4. ChohaibảngphânbốtầnsốghéplớpKhốilượngcủanhómcámèthứI

Lớpkhốilượng [0,6;0,8) [0,8;1,0) [1,0;1,2) [1,2;1,4] CộngTầnsố 4 6 6 4 20

KhốilượngcủanhómcámèthứIILớpkhốilượng [0,5;0,7) [0,7;0,9) [0,9;1,1) [1,1;1,3) [1,3;1,5] Cộng

Tầnsố 3 4 6 4 3 20a)Tínhcácsốtrungbìnhcộngcủacácbảngphânbốtầnsốghéplớpđãcho.b)Tínhphươngsaicủacácbảngphânbốtầnsốghéplớpđãcho.c)Xétxemnhómcánàocókhốilượngđồngđềuhơn?


TLH 30



TLH 31

*ÔNTẬPCHƯƠNGV*TLH1. Kếtquảđiềutra59hộgiađìnhởmộtvùngdâncưvềsốcon:

31202

23211

10432

12320

12234

12212

01443

23331

42201

02422

33120

0331

a)Lậpbảngphânbốtầnsốvàtầnsuất;b)Nêunhậnxétvềsốconcủa59giađìnhđãđiềutra;c)Tínhsốtrungbìnhcộng,sốtrungvị,mốtcủacácsốliệuthốngkêđãcho.

TLH2. ChocácsốliệuthốngkêđượcghitronghaibảngsauđâyKhốilượng(tínhtheogam)củanhómcáthứI

645650645

650650650

645650645

644643642

650650652

635630635

650647647

654650652

Khốilượng(tínhtheogam)củanhómcáthứII640640640

650650645

645645650

650650650

643641644

645650650

650650650

650649645

642645640

a)LậpbảngpbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớptheonhómcáthứIvớicáclớplà:[630;635);[635;640);[640;645);[645;650);[650;655];

b)LậpbảngpbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớptheonhómcáthứIIvớicáclớplà:[638;642);[642;646);[646;650);[650;654];

c)Môtảbảngphânbốtầnsuấtghéplớpđãđượclậpởcâua)bằngcáchvẽbiểuđồtầnsuấthìnhcộtvàđườnggấpkhúctầnsuất;d)Môtảbảngphânbốtầnsốghéplớpđãđượclậpởcâub),bằngcáchvẽbiểuđồtầnsốhìnhcộtvàđườnggấpkhúctầnsố;e)Tínhsốtbcộng,phươngsaivàđộlệchchuẩncủacácbảngphânbốtầnsốvàtầnsuấtghéplớpđãlậpđược.Từđó,xétxemnhómnàocókh.lượngđồngđềuhơn.

TLH3. ChocácsốliệuthốngkêđượcghitrongbảngsauMứclươnghàngnămcủacáccánbộvànhânviêntrongmộtcôngti

209102141020350

760002011021130

203502141020960

2006021360

125000Tìmmứclươngbìnhquâncủacáccánbộvànhânviêntrongcôngti,sốtrungvịcủacácsốliệuthốngkêđãcho.Nêuýnghĩacủasốtrungvị.

TLH4. Ngườitađãtiếnhànhthămdòýkiếncủakháchhàngvềcácmẫu1,2,3,4,5củamột loạisảnphẩmmớiđượcsảnxuấtởmột nhàmáy.Dướiđây làbảngphânbốtầnsốtheosốphiếutínnhiệmdànhchocácmẫukểtrên.

Mẫu 1 2 3 4 5 CộngTầnsố 2100 1860 1950 2000 2090 10000

a)Tìmmốtcủabảngphânbốtầnsốđãcho.b)Trongsảnxuất,nhàmáynênưutiênchomẫunào?


TLH 32



TLH 33

CHƯƠNGVI.CUNGVÀGÓCLƯỢNGGIÁC-CÔNGTHỨCLƯỢNGGIÁC-----oOo-----

CHUẨNBỊKIẾNTHỨC:1.Tia,góchìnhhọcvàcunghìnhhọc:

x

O TialàhìnhgồmđiểmOvàmộtphầnđườngthẳngbịchiarabởiđiểmOđượcgọilàtiagốcO.

O

y

x

HaitiaOx,OytạothànhmộtgócoOyĐơnvịđogóclà"độ".

O A

B

HaiđiểmA,BnằmtrênđườngtròntâmOtạothànhhaicunghìnhhọc:cunglớnABvàcungnhỏAB.Đơnvịđocungcũnglà"độ"Cungbằngnửađườngtròncósốđolà1800.

2.Giátrịlượnggiáccủamộtgócbấtkìtừ00đến1800:Vớimỗigóc (00 1800)taxácđịnhmộtđiểmMtrênnửađườngtrònđơnvịsaochogócxOMbằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta địnhnghĩa:sincủagóc làx0,kíhiệusin =y0;côsincủagóc làx0,kíhiệucos =x0;

tangcủagóc là 0

0

y

x(x0≠0),kíhiệutan = 0

0

y

x;

côtangcủagóc là 0

0

x

y(y0≠0),kíhiệucot = 0

0

x

y.

x0

y0M

1-1

1

R = 1

O

y

x


TLH 34

§1.CUNGVÀGÓCLƯỢNGGIÁCI-KHÁINIỆMCUNGVÀGÓCLƯỢNGGIÁC1.Đườngtrònđịnhhướngvàcunglượnggiác:Đườngtrònđịnhhướng

-

+

A

2.Góclượnggiác:Kíhiệugóclượnggiác(OC,OD). D

O M

C

3.Đườngtrònlượnggiác:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đườngtrònđịnhhướngtâmObánkínhR=1.Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tạibốn điểm A(1 ; 0), A’(-1 ; 0), B(0 ; 1),B’(0 ; -1). Ta lấy A(1 ; 0) làm điểm gốccủađườngtrònđó.Đường tròn được xác định như trênđược gọi là đường tròn lượng giác (gốcA).

y

x

+

B'(0; -1)

A'(-1; 0)

B(0; 1)

A(1; 0)

O

II-SỐĐOCỦACUNGVÀGÓCLƯỢNGGIÁC1.Độvàrađian: a)Đơnvịrađian: b)Quanhệgiữađộvàrađian:

01180

rad và

1801

rad


TLH 35

Với 3 14 , thì 01 0 01745 , và 01 57 17 45 ' "rad .

*Chúý:Khiviếtsốđocủamộtgóc (haycung) theođơnvị rađian, ta thường

khôngviếtchữradsausốđođó.Chẳnghạncung2

đượchiểulàcung

2

rad.

Bảngchuyểnđổithôngdụng:Độ 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

Rađian6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

TLH5. Đổisốđocácgócsauđâyrarađian: a)1050; b)57030'.

TLH6. Đổisốđocácgócsauđâyrađộ,phút,giây: a)15

; b)

7

.

c)Độdàicủamộtcungtròn:

Cungcósốđo radcủađườngtrònbánkínhRcóđộdài: l=R

TLH7. Mộtđườngtrònbánkính10cm.Tìmđộdàicáccungtrênđườngtròncó

sốđo:a)18

; b)450.

2.Sốđocủamộtcunglượnggiác:*Chúý: Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu vàđiểmcuốisaikhácnhaumộtbộicủa2. KhiMtrùngAtacó:sđAA=k2,kZ;khik=0thìsđAA=0. Nếuviếtsốđobằngđộtacó:

SđAM= 0 0360 ,a k k Z

O A

M

3.Sốđocủamộtgóclượnggiác:

TLH8. TrênhaiđườngtrònlượnggiácsaulấyđiểmPtrêncungABsaocho

AP=1

3AB,điểmElàtrungđiểmcungA'B'.XácđịnhsốđocungADvàsốđo

cácgóclượnggiác(OA,OE),(OA,OP)?.3.Biểudiễncunglượnggiáctrênđườngtrònlượnggiác:

TLH9. Biểudiễntrênđườngtrònlượnggiáccáccunglượnggiáccóđolầnlượt

là: a)25

4

; b)-7650.

TLH10. Khibiểudiễncáccunglượnggiáccósốđokhácnhautrênđườngtrònlượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhaukhông?Khinàotrườnghợpnàyxảyra?

TLH11. Đổisốđocácgócsauđâyrarađian:a)180; b)57030’; c)-250 ; d)-127045’;e)1050; f)1080; g)57030'.


TLH 36

TLH12. Đổisốđocácgócsauđâyrađộ,phút,giây:

a)18

; b)

3

16

; c)-2; d)

3

4;

e)15

; f)

3

4; g)

7

.

TLH13. Mộtđtrònbánkính20cm.Tìmđộdàicáccungtrênđườngtròncósốđo

a)15

;b)1,5; c)370; d)

18

; e)450.

TLH14. Trênđườngtrònlượnggiáchãybiểudiễncáccungcósốđo

a)5

4

; b)1350; c)

10

3

; d)-2250; e)300;

f)-1200; g)6300; h)7

6

; i)

4

3

.

TLH15. TrêânđườngtrònlượnggiácgốcA,xácđịnhcácđiểmMkhácnhau,biếtrằngcungAMcósốđotươngứnglà(trongđóklàsốnguyêntùyý)

a)k; b)k2

; c)k

3

.

TLH16. TrênđtrònlượnggiácchođiểmMxácđịnhbởisđAM= 02

( ).

GọiM1,M2,M3lầnlượtlàđiểmđốixứngcủaMquatrụcOx,trụcOyvàgốctọađộ.TìmsốđocủacáccungAM1,AM2,AM3.


TLH 37



TLH 38

§2.GIÁTRỊLƯỢNGGIÁCCỦAMỘTCUNG

I-GIÁTRỊLƯỢNGGIÁCCỦACUNG 1.Địnhnghĩa:

Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho cung AM coù sñAM =

y

x

O

B'

B

AA'

M

H

K

Tungđộy=OK củađiểmMgọilàsincủa

vàkíhiệulàsin .sin =OK

Hoànhđộx= OH củađiểmMgọi làcôsin

của vàkíhiệulàcos .sin =OH

Nếucos ≠0thìtỉsố

sãn

cosgọilàtangcủa

vàkíhiệulàtan .tan =

sãn

cos

Nếusin ≠0thì tỉsố

cos

sãngọi làcôtang

của vàkíhiệulàcot .cot =

cos

sãn

Cácgiátrịsin ,cos ,tan ,cot đượcgọilàcácgiátrịlượnggiáccủacung .Trụctungcònđượcgọilàtrụcsin,trụchoànhcònđượcgọilàtrụccôsin.

TLH1. Tínhsin25

4

,cos(-240),tan(-4050).

2.Hệquả:

sinvàcosluônxácđịnhR,vàsin( +k2)=sin cos( +k2)=cos

Vì-1OK 1,-1OH 1nêntacó:-1sin1(sin 1). -1cos1(cos 1).VớimọimRmà-1m1đềutồntại vàsaochosin =mvàcos=m.

tanxácđịnhkhi2

k ;cotxácđịnhkhik.

Dấucủacácgtrịlượnggiáccủagóc phụthuộcvàovịtríđiểmcuốicủacungAM.

3.Giátrịlượnggiáccủacáccungđặcbiệt:

Phần tư Giá trị lượng giác

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

cot + - + -

+

-

--

--

- - - - -+++

++

-

+

++

O

x

y

A'

B'

B

A

MK

H

IVIII

II I


TLH 39

0(00)6

(300)

4

(450)

3

(600)

2

(900)

sin 01

2

2

2

3

2 1

cos 13

2

2

2

1

2 0

tan 01

3 1 3 kxđ

cot kxđ 3 11

3 0

II- ÓÙ NGHÓA HÌNH HOUC CUÛA TANG VAØ COHTANG

i

1

M

t'

t

x

y

T

H

K

B'

B

A' O

A

tÛn = AT

tÛn ñ| ôïc bãeåï dãeãn bôûã ñoä dÛøã ñÛïã

sog cïûÛ vectô AT trehn trïïc t'At.

Trïïc t'At ñ| ôïc goïã lÛø truïc tang.

S

M

s' s

x

y

T

H

K

B'

B

A' O

A

cot = BS

cot ñ| ôïc bãeåï dãeãn bôûã ñoä dÛøã ñÛïã

sog cïûÛ vectô BS trehn trïïc s'As.

Trïïc s'As ñ| ôïc goïã lÛø truïc coâtang.

*Chúý:

tan tan 2k k k Z cot cot 2k k k Z

III-QUANHỆGIỮACÁCGIÁTRỊLƯỢNGGIÁC1.Côngthứclượnggiáccơbản:

sin2+cos2=1 2

2

11

tÛn

cos(

2

k ,kZ).

2

2

11

cot

sãn(k,kZ). tan.cot=1(

2

k ,kZ).

TLH1. Chosin =3

5,với

2

< <.Tínhcácgiátrịlượnggiáccủagóc .

TLH2. Chotan =4

5 ,với

3

2

< <2.Tínhsin vàcos .


TLH 40

TLH3. Choa≠2

+k,kZ.Chứngminhrằng

3 2

31

cos sãntÛn tÛn tÛn

cos

a aa a a

a.

2.Giátrịlượnggiáccủacáccungcóliênquanđặcbiệt: a)Cungđốinhau:-và:Tacó:MvàM'đốixứngquatrụcx'Oxvà:

sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot

b)Cungbù(-và):Tacó:MvàM'đốixứngquatrụcy'Oy,và:

sin(-)=sincos(-)=-costan(-)=-tancot(-)=-cot

c)Cunghơnkém(+và):Tacó:MvàM'đốixứngnhauquagốcO,và:

sin(+)=-sincos(+)=-costan(+)=tancot(+)=cot

d)Cungphụnhau(900-và):Tacó:MvàM'đốixứngnhauquađườngphângiácy=x,và:

sin(2

-)=cos

cos(2

-)=sin

tan(2

-)=cot

cot(2

-)=tan

TLH1. Cócung nàomàsin nhậncácgiátrịtươngứngsauđâykhông?

a)-0,7; b)4

3; c)- 2 ; d)

5

2.

TLH2. Cácđẳngthứcsauđâycóthểxảyrađồngthờikhông?


TLH 41

a)sin =2

3vàcos =

3

3; b)sin =

4

5 vàcos =

3

5 ;

c)sin =0,7vàcos =0,3.

TLH3. Cho0< <2

.Xácđịnhdấucủacácgiátrịlượnggiác

a)sin( -); b)cos(3

2

- ); c)tan( +); d)cot( +

2

).

TLH4. Dùngđịnhnghĩa,xácđịnhgiátrịlượnggiáccủagóc:1800;7

6

;

4

3

.

TLH5. Tìmcácgiátrịtan4200,sin8700,cos(-2400).TLH6.

a)Chosina=3

5 ,<a<

3

2

.Tínhcosa,tana,cota.

b)Chotana=1

2 ,

2

<a<.Tínhsina,cosa.

TLH7. Tínhcácgiátrịlượnggiáccủagóc ,nếu

a)cos =4

13và0< <

2

; b)sin =-0,7và< <

3

2

;

c)tan =15

7 và

2

< <; d)cot =-3và

3

2

< <2.

TLH8. Chứngminhrằng(vớixlàgiátrịđểcácbiểuthứccónghĩa),tacó:a)(cotx+tanx)2-(cotx-tanx)2=4; b)cos4x-sin4x=1-2sin2x.

TLH9. ChứngminhrằngtrongtamgiácABCtacó:

a)sin(A+B)=sinC; b)tan2

A C=cot

2

B.

TLH10. Tính ,biếta)cos =1; b)cos =-1; c)cos =0;d)sin =1; e)sin =-1; f)sin =0.


TLH 42



TLH 43

§3.CÔNGTHỨCLƯỢNGGIÁCI-CÔNGTHỨCCỘNGVớimọisốthựca,bvàcácbiểuthứcđềucónghĩa,tacó:

cos(a-b)=cosacosb+sinasinbcos(a+b)=cosacosb-sinasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

1

tÛn tÛntÛn( )

tÛn tÛn

a ba b

a b

1

tÛn tÛntÛn( )

tÛn tÛn

a ba b

a b

TLH11. Tínhtan12

.

TLH12. Chứngminhrằng

sãn( ) tÛn tÛn

sãn( ) tÛn tÛn

a b a b

a b a b.

II-CÔNGTHỨCNHÂNĐÔIVớimọisốthựca,tacó:

sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a

=2cos2a-1=1-2sin2a

2 2

2tÛnÛtÛn

1 tÛn Ûa

Côngthứchạbậc:

2 1 2

2

coscos

aa

2 1 2

2

cossãn

aa

2 1 2

1 2

costÛn

cos

aa

a

TLH1. Biếtsina+cosa=1

2.Tínhsin2a.

TLH2. Tínhcos8

.


TLH 44

III-CÔNGTHỨCBIẾNĐỔITÍCHTHÀNHTỔNG,TỔNGTHÀNHTÍCH1.Côngthứcbiếnđổitíchthànhtổng:

cosacosb=1

2[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinasinb=-1

2[cos(a+b)-cos(a-b)]

sinacosb=1

2[sin(a+b)+sin(a-b)]

TLH3. TínhgiátrịbiểuthứcA=3

8 8

sãn cos ,B=

13 5

24 24

sãn sãn .

2.Côngthứcbiếnđổitổngthànhtích:

cosu+cosv=2cos2

u vcos

2

u v

cosu-cosv=-2sin2

u vsin

2

u v

sinu+sinv=2sin2

u vcos

2

u v

sinu-sinu=2cos2

u vsin

2

u v

TLH4. TínhA=5 7

9 9 9

cos cos cos .

TLH5. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: sinA + sinB + sinC =

42 2 2

cos cos cosA B C

.

TLH6. Tínha)cos2250,sin2400,cot(-150),tan750,cos1050,tan150;

b)sin7

12

,cos(

12

),tan

13

12

.

TLH7. Tính

a)cos( +3

),biếtsin =

1

3và0< <

2

;

b)tan( -4

),biếtcos =

1

3 và

2

< <;

c)cos(a+b),sin(a-b),biếtsina=4

5,00<a<900vàsinb=

2

3,900<b<

1800.


TLH 45

TLH8. Rútgọncácbiểuthức:

a)sin(a+b)+sin(2

-a)sin(-b); b)cos(

4

+a)cos(

4

-a)+

1

2sin2a;

c)cos(2

-a)sin(

2

-b)-sin(a-b).

TLH9. Chứngminhcácđẳngthức:

a)1

1

cos( ) cot cot

cos( ) cot cot

a b a b

a b a b;

b)sin(a+b)sin(a-b)=sin2a-sin2b=cos2b-cos2a. c)cos(a+b)cos(a-b)=cos2a-sin2b=cos2b-sin2a.

TLH10. Chứngminhrằng:

a)sin4x+cos4x=1-1

2sin22x; b)cos4x-sin4x=cos2x.

TLH11. Tínhsin2a,cos2a,tan2a,biết

a)sina=-0,6và<a<3

2

; b)cosa=-

5

13và

2

<a<;

c)sina+cosa=1

2và

3

4

<a<; d)sina-cosa=

1

5.

TLH12. Chosin2a=5

9 và

2

<a<.Tínhsinavàcosa.

TLH13. Biếnđổithànhtíchcácbiểuthứcsau:a)1-sinx; b)1+sinx; c)1+2cosx; d)1-2sinx.

TLH14. RútgọnbiểuthứcA=3 5

3 5

sãn sãn sãn

cos cos cos

x x x

x x x.


TLH 46



TLH 47

*ÔNTẬPCHƯƠNGVI*TLH1. Tính

a) sãn ,nếu2

3 cos và

2

;b) cos ,nếu 2 2 tÛn và

3

2

;

c) tÛn ,nếu2

3 sãn và

32

2

;d) cot ,nếu

1

4 cos và

2

.

TLH2. Rútgọncácbiểuthức:

a)2 2 4

2 2 4

sãn sãn

sãn sãn; b)

21

costÛn sãn

sãn;

c)4 4

4 4

sãn cos

sãn cos

; d)5 3

2 4

sãn sãn

cos.

TLH17. Khôngsửdụngmáytính,hãytính

a)22

3

cos ; b)

23

4

sãn ;

c)25 10

3 3

sãn tÛn ; d) 2 2

8 8

cos sãn .

TLH18. Khôngsửdụngmáytính,hãychứngminh

a) 0 0 675 75

2 sãn cos ; b) 0 0267 93 0 tÛn tÛn

c) 0 0 065 55 3 5 sãn sãn cos ; d) 0 0 012 48 18 cos cos sãn .TLH19. Chứngminhcácđồngnhấtthức

a)1 2

2

cos coscot

sãn sãn

x xx

x x; b)

1

21

2

sãn sãntÛn

cos cos

xxx

xx

;

c) 22 2 4

2 2 4 4

cos sãntÛn

cos sãn

x xx

x x; d)

sãn( )tÛn tÛn

cos cos

x yx y

x y.

TLH20. Chứngcácbiểuthứcsaukhôngphụthuộcvàox

a)4 4

sãn cosA x x ; b)

6 3

cos sãnB x x ;

c) 2

3 3

sãn cos cosC x x x ; d)

1 2 2

1 2 2

cos sãn.cot

cos sãn

x xD x

x x.


TLH 48



TLH 49

*ÔNTẬPCUỐINĂM*

TLH1. Chohàmsố 2 23 4 8 15 ( ) .f x x x x x

a)TìmtậpxácđịnhAcủahàmsốf(x);

b)Giảsử 4 5 | .B x R x HãyxácđịnhcáctậpA\BvàR\(A\B).

TLH2. Chophươngtrình:mx2–2x–4m–1=0.a)Chứngminhrằngvớimọigiátrịm≠0,phươngtrìnhđãchocóhainghiệmphânbiệt.b)Tìmgiátrịcủamđể-1làmộtnghiệmcủaphươngtrình.Sauđótìmnghiệmcònlại.

TLH3. Chophươngtrình:x2–4mx+9(m-1)2=0.a)Xétxemvớigiátrịnàocủam,phươngtrìnhtrêncónghiệm.b)Giảsửx1,x2làhainghiệmcủaphươngtrìnhđãcho,hãytínhtổngvàtíchcủachúng.Tìmmộthệthứcgiữax1,x2khôngphụthuộcvàom.c)Xácđịnhmđểhiệucácnghiệmcủaphươngtrìnhbằng4.

TLH4. Chứngminhcácbấtđẳngthứcsaua)5(x-1)<x5–1<5x4(x-1),nếux–1>0;b)x5+y5–x4y–xy4 0,biếtx+y 0 ;

c) 4 1 4 1 4 1 5 a b c ,biếtrằnga,b,c>1

4 vàa+b+c=1.

TLH5. Giải hệ phương trình

3 2 1

3 5 9

5 2 3 3

x y z

x y z

x y z

bằng cách đưa về hệ phương

trìnhdạngtamgiác.TLH6.

a)Xétdấubiểuthức:f(x)=2x(x+2)–(x+2)(x+1).b)LậpbảngbiếnthiênvàvẽtrongcùngmộthệtrụctọađộOxyđồthịcủacáchàmsốsau: y=2x(x+2)(C1)

y=(x+2)(x+1)(C2) TínhtọađộcácgiaođiểmAvàBcủa(C1)và(C2).c)Tínhcáchệsốa,b,cđểhàmsốy=ax2+bx+ccógiátrịlớnnhấtbằng8vàđồthịcủanóđiquaAvàB.

TLH7. Chứngminhcáchệthứcsau

a)21 2 1

1 2 1

sãn tÛn

sãn tÛn

a a

a a; b)

3 53

3 5

sãn sãn sãntÛn

cos cos cos

a a aa

a a a;

c)4 4 2

2

2 1 2

sãn cos coscos

( cos )

a a a a

a; d)

22

2

tÛn tÛnsãn

tÛn tÛn

x xx

x x.

TLH8. Rútgọncácbiểuthứcsau

a)1 4 4

1 4 4

sãn cos

cos sãn

a a

a a; b) 2 21

1 2

costÛn cos

cos

a aa

a c)

2 4 6

2 4 6

cos sãn cos

cos sãn cos

x x x

x x x.


TLH 50

TLH9. Tính a)4(cos240+cos480–cos840–cos120);

b)96 348 48 24 12 6

sãn cos cos cos cos ;

c) 0 0 0 09 63 81 27 tÛn tÛn tÛn tÛn .TLH10. Rútgọn

a)2 4 8

5 5 5 5cos cos cos cos

x x x x; b)

3 52

7 7 7 sãn sãn sãn

x x x.

TLH11. ChứngminhrằngtrongmộttamgiácABCtacó:

a) tÛn tÛn tÛn tÛn tÛn tÛnA B C A B C (A,B,Ccùngkhác2

);

b) 2 2 2 4 sãn sãn sãn sãn sãn sãn .A B C A B C TLH12. Không sử dụng máy tính, hãy tính

0

0 0 0

0 0 0 0

6 3 3 1540 45 50

40 45 50 3 3 15

tÛnsãn sãn sãn.

cos cos cos tÛn


TLH 51



TLH 52

§1.GIÁTRỊLƯỢNGGIÁCCỦAMỘTGÓCBẤTKÌTỪ00ĐẾN18001.Địnhnghĩa:*Chúý:Nếu làgóctùthìsin 0;cos 0; tan 0;cot 0

tan chỉxácđịnhkhi≠900,cot chỉxácđịnhkhi ≠00và ≠1800.2.Tínhchất:

0sin 180 sin

0cos 180 cos

0tan 180 tan

0cot 180 cot

N

-x0

My0

x0Ox

y

3.Giátrịlượnggiáccủacácgócđặcbiệt:

Giátrịlượnggiác

00 300 450 600 900

sin 0

1

2

2

2

3

2 1

cos 1

3

2

2

2

1

2 0

tan 0

1

3 1 3

cot 3 1

1

3 0

4.Gócgiữahaivectơ:

b

ab

a

O

A

B

TLH1. Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 500. Tính các góc

(

,BA BC ),(

,AB BC ),(

,CA CB ),(

,AC BC ),(

,AC CB ),(

,AC BA ).5.Sửdụngmáytínhbỏtúiđểtínhgiátrịlượnggiáccủamộtgóc:Tínhcácgiátrịlượnggiáccủagóc :

TLH2. Tínhsincủagóc =63052'41''tathựchiện: *Chúý:10=60',1'=60''. Xácđịnhđộlớncủagóckhibiếtgiátrịlượnggiáccủagócđó:

TLH3. Tìmgócxbiếtsinx=0.35026.Côngthứcsin2 +cos2 :


TLH 53

Vớimọigóc bấtkìtacó: 2 2sin cos 1

*Chúý: 2

sin đượckíhiệu 2sin .

TLH4. sin2(2a)+cos2(2a)=.............................

sin2

2

x+cos2

2

x=.............................

TLH5. Chogóctùxbiếtsinx=0,2.Hãytínhcácgiátrịlượnggiáccủagócx.TLH6. Chứngminhrằng:

a)sin1050=sin750; b)cos1700=-cos100; c) cos1220 = -cos580.

TLH7. Tính3sin1350+cos600+4sin1500.TLH8. ChứngminhrằngtrongtamgiácABCtacó:

a) sin sinA B C b)cosA=-cos(B+C).

TLH9. Chogócx,vớicosx=1

3.TínhgiátrịcủabiểuthứcP=3sin2x+cos2x.

TLH10. ChoAOBlàtamgiáccântạiOcóOA=avàcócácđườngcaoOHvàAK.GiảsửgócAOHbằng .TínhAKvàOKtheoavà .

TLH11. ChohìnhvuôngABCD.Tính:

cos( , )AC BA ,

sãn( , )AC BD ,

cos( , )AB CD .


TLH 54



TLH 55

§2.TÍCHVÔHƯỚNGCỦAHAIVECTƠ

1.Địnhnghĩa:

. cos( , )a b a b a b

*Chúý:Nếua =0

hoặcb =0

taquyước

.a b =0.

Vớia và

b khácvectơ0

tacó 0

.a b a b .

Khi

a b tíchvôhướng .a a = 00

. .cosa a đượckíhiệulà 2a và

sốnàyđượcgọilàbìnhphươngvôhướngcủavectơa .

Ta có:22

a a (bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình

phươngđộdàicủanó)ChotamgiácđềuABCcócạnhbằngavàcóchiềucaoAH.Tínhcáctíchvôhướng

.AB AC ,

.AC CB ,

.AH BC .2.Cáctínhchấtcủatíchvôhướng:

Vớibavectơ

, ,a b c bấtkìvàmọisốktacó:

. .a b b a (tínhchấtgiaohoán)

.( ) . .a b c a b a c (tínhchấtphânphối)

( ). ( . ) .( )ka b k a b a kb

2 20 0 0

,a a a .Từcáctínhchấtcủatíchvôhướng,tacó:

2 2 22

( ) .a b a a b b 2 2 22

( ) .a b a a b b

2 2

( )( )a b a b a b

3.Biểuthứctọađộcủatíchvôhướng:

Trênmặtphẳngtọađộ

( , , )O i j ,chohaivectơ1 2

( ; )a a a ,1 2

( ; )b b b .Khiđó:

1 1 2 2

.a b a b a b

*Nhậnxét:Chohaivectơ1 2

( ; )a a a ,1 2

( ; )b b b đềukhácvectơ0

.Tacó:

0

.a b a b TLH1. TrênmặtphẳngtọađộOxychobađiểmA(2;4),B(1;2),C(6;2).Chứng

minhrằng AB AC .

TLH2. TrênmặtphẳngtọađộOxychobađiểmM(-3;4),N(1;-3).TìmđiểmPtrêntrụcOxsaochotamgiácMNPvuôngtạiP.

4.Ứngdụng:

a)Độdàicủavectơ:Độdàicủavectơ1 2

( ;a a a )đượctínhtheocôngthức:

2 2

1 2 a a a

b)Gócgiữahaivectơ:Chohaivectơ1 2

( ; )a a a ,1 2

( ; )b b b đềukhác0

thìtacó:

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

.cos( , )

.

a b a ba ba b

a b a a b b


TLH 56

TLH3. Tínhgócgiữahaivectơ 2 1

( ; )OM và 3 1

( ; )ON .

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB)

đượctính: 2 2

( ) ( )B A B A

AB AB x x y y

TLH4. TínhkhoảngcáchgiữahaiđiểmM(-2;2),N(1;1).

TLH5. Cho tam giác ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng

.AB AC , .AC CB .

TLH6. ChotamgiácđềuABCcạnha,cótrọngtâmG.

a)Tínhcáctíchvôhướng:

.AB CA ,

.GA GB theoa.

b)Tính

sãn( , )GA GB ,

cos( , )AB CG ,

tÛn( , )GA BG ,

cot( , )AB BC .

TLH7. TrongmặtphẳngOxyhãytínhgócgiữahaivectơ

,a b trongcáctrườnghợpsau:

a) 2 3 6 4

( ; ), ( ; )a b ; b) 3 2 5 1

( ; ), ( ; )a b ;

c) 2 2 3 3 3

( ; ), ( ; )a b .

TLH8. TrênmặtphẳngtọađộOxychobốnđiểmA(7;-3),B(8;4),C(1;5),D(0;-2).ChứngminhtứgiácABCDlàhìnhvuông.

TLH9. Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng vớiđiểmAquagốctọađộO.TìmtọađộcủađiểmCcótungđộbằng2saochotamgiácABCvuôngởC.

TLH10. TrênmặtphẳngOxy,chohaiđiểmA(1;3),B(4;2).a)TìmtọađộđiểmDnằmtrêntrụcOxsaochoDA=DB;b)TínhchuvitamgiácOAB;c)ChứngtỏOAvuônggócvớiABvàtừđótínhdiệntíchtamgiácOAB.

TLH11. TrongmặtphẳngtọađộOxychobađiểmA(2;1),B(8;9),C(5;-3).a)ChứngminhA,B,Ckhôngthẳnghàng.b)Tính:chuvitamgiácABC,sốđogócAcủaABC,tọađộtrựctâmHcủaABC.

TLH12. ChoIlàtrungđiểmcủađoạnthẳngAB.VớiđiểmMtùyý,tính

.MA MB theoABvàMI.

TLH13. Choba điểmO,A,B thẳnghàngvàbiếtOA=a, OB=b.Tính tíchvô

hướng

.OA OB tronghaitrườnghợp:a)ĐiểmOnằmngoàiđoạnAB; b)ĐiểmOnằmtrongđoạnAB.

TLH14. ChonửađườngtròntâmOcóđườngkínhAB=2R.GọiMvàNlàhaiđiểmthuộcnửađườngtrònsaochohaidâycungAMvàBNcắtnhautạiI.

a)Chứngminh

. .AI AM AI AB và

. .BI BN BI BA .

b)Hãydùngkếtquảcâua)đểtính

.AI AM +

.BI BN theoR.


TLH 57



TLH 58

§3.CÁCHỆTHỨCLƯỢNGTRONGTAMGIÁCVÀGIẢITAMGIÁC1.Địnhlícôsin:a) Định lí: Trong tam giác ABC bất kìvớiBC=a,CA=b,AB=ctacó:a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

c b

aB

A

C

b)Hệquả:

2 2 2

2

cos

b c aA

bc

2 2 2

2

cos

a c bB

ac

2 2 2

2

cos

a b cC

ab

TLH1. TamgiácABCcóBC=8,AB=3,AC=7.LấyđiểmDtrêncạnhBCsaochoBD=5.TínhđộdàiđoạnAD.

c)Côngthứctínhđộdàiđườngtrungtuyến: ChotamgiácABCcócáccạnhBC=a,CA=b,AB=c.Gọima,mb,mclàđộdàicácđườngtrungtuyếnlầnlượtvẽtừcácđỉnhA,BvàC.Tacó:

2 2 22

2 4

a

b c am

2 2 22

2 4

b

a c bm

2 2 2

2

2 4

c

a b cm

TLH2. ChotamgiácABCcóa=7cm,b=8cm,c=6cm.Hãytínhđộdàicác

đườngtrungtuyếncủatamgiácABCđãcho.2.Địnhlísin:TrongtamgiácABCbấtkìvớiBC=a,CA=b,AB=cvàR làbánkínhđườngtròn ngoại tiếp ABC, ta có:

2 sãn sãn sãn

a b cR

A B C

c b

a

RO

CB

A

TLH3. ChotamgiácABCcób=7cm,c=5cmvàcosA=3

5.Tínha,sinAvàbán

kínhđườngtrònngoạitiếpABC.3.Côngthứctínhdiệntíchtamgiác:

mcmb

mac b

a MB

A

C


TLH 59

ChotamgiácABCcócáccạnhBC=a,CA=b,AB=c.GọiRvàrlầnlượtlàbán

kínhđườngtrònngoạitiếpvàđườngtrònnộitiếpABC.Gọip=2

a b clànửa

chuviABC.Kíhiệuha,hb,hclàchiềucaocủaABCứngvớicácđỉnhA,B,CvàSlàdiệntíchABC.Tacó:

S=1 1 1

2 2 2

a b cah bh ch

S=1 1 1

2 2 2 sãn sãn sãnab C bc A ac B

S=4

abc

R

S=pr

S= ( )( )( )p p a p b p c (côngthứcHê-rông)

ha

r

cb

a

R

O

CB

A

TLH4. ChotamgiácABCcócáccạnha=13m,b=14mvàc=15m. a)TínhdiệntíchtamgiácABC; b)TínhbánkínhđườngtrònnộitiếpvàngoạitiếptamgiácABC.

TLH5. TamgiácABCcócạnha= 2 3 ,cạnhb=2vàgócC=300.Tínhcạnhc,gócAvàdiệntíchtamgiácABC.

4.Giảitamgiácvàứngdụngvàoviệcđođạc:a)Giảitamgiác:Giảitamgiáclàtìmmộtsốyếutốcủatamgiáckhichobiếtcácyêutốkhác.

TLH6. :ChotamgiácABCbiếtcạnha=17,4m,gócB=44030'vàgócC=640.TínhgócAvàcáccạnhb,c.

TLH7. ChotamgiácABCcócạnha=49,4cm,b=26,4cmvàgócC=47020'.Tínhcạnhc,gócAvàgócB.

b)Ứngdụngvàoviệcđođạc:

TLH8. Đểđochiềucaocủamộtcâytrongsân(khôngleolêncây)talàmnhưthếnào?

TLH9. Muốnbiếtconsôngrộngbaonhiêutalàmsao?(khôngcóphươngtiện

quasông)

nửa tích số hai cạnh nhân sin góc xen giữa

một phần hai cạnh đáy nhân chiều cao


TLH 60

TLH1. ChotamgiácABCcóa= 6 ,b=2,c= 3 +1.TínhcácgócA,B,bánkínhRcủađườngtrònngoạitiếp,trungtuyếnmacủatamgiácABC.

TLH2. ChotamgiácABCvuôngtạiA,gócB=580vàcạnha=72cm.TínhgócC,cạnhb,cạnhcvàđườngcaoha.

TLH3. Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm và c = 54cm.TínhcácgócA,BvàC.

TLH4. ChotamgiácABCcógócA=1200,cạnhb=8cmvàc=5cm.TínhcạnhavàcácgócB,Ccủatamgiácđó.

TLH5. TínhdiệntíchScủatamgiáccósốđocáccạnhlầnlượtlà7,9và12.TLH6. TamgiácABCcógócA=1200.TínhcạnhBCchobiếtcạnhAC=mvà

AB=n.TLH7. ChotamgiácABCcócáccạnha=8cm,b=10cmvàc=13cm.

a)Tamgiácđócógóctùkhông? b)TínhđộdàiđườngtrungtuyếnMAcủatamgiácABCđó.

TLH8. TínhcácgóclớnnhấtcủatamgiácABCbiếta)Cáccạnha=3cm,b=4cmvàc=6cm; b)Cáccạnha=40cm,b=13cmvàc=37cm.

TLH9. ChotamgiácABCbiếtcạnha=137,5cm,gócB=830vàgócC=570.TínhgócA,bánkínhRcủađườngtrònngoạitiếp,cạnhbvàccủatamgiác.

TLH10. ChứngminhrằngtrongtamgiácABCtacó:a)a=bcosC+ccosB; b)sinA=sinBcosC+sinCcosB.

TLH11. ChứngminhrằngtrongtamgiácABCtacó:cotA=2 2 2

4

b c a

S.

TLH12. ChohìnhbìnhhànhABCDcóAB=a,BC=b,BD=mvàAC=n.Chứngminhtacóđẳngthứcsau:m2+n2=2(a2+b2).


TLH 61



TLH 62

*ÔNTẬPCHƯƠNGII*

TLH1. TrongmặtphẳngOxychovectơ 3 1

( ; )a vàvectơ 2 2

( ; )b ,hãytính

tíchvôhướng

.a b .TLH2. ChotamgiácABCcógócA=600, BC=6.Tínhbánkính đường tròn

ngoạitiếptamgiácđó.TLH3. ChotamgiácABCcóa=12,b=16,c=20.TínhdiệntíchScủatam

giác,chiềucaoha,cácbánkínhR,rcủacácđườngtrònngoạitiếp,nộitiếptamgiácvàđườngtrungtuyếnmacủatamgiác.

TLH4. ChotamgiácABC.Chứngminhrằng:a)GócAnhọnkhivàchỉkhia2<b2+c2;b)GócAtùkhivàchỉkhia2>b2+c2;c)GócAvuôngkhivàchỉkhia2=b2+c2.


TLH 63



TLH 64

CHƯƠNGIII.PHƯƠNGPHÁPTỌAĐỘTRONGMẶTPHẲNG-----oOo-----

§1.PHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG

1.Vectơchỉphươngcủađườngthẳng:

TLH1. TrongmặtphẳngOxychođườngthẳng làđồthịcủahàmsố1

2y x .

a)TìmtungđộcủahaiđiểmM0vàMnằmtrên ,cóhoànhđộlầnlượtlà2và6.

b)Chovectơ 2 1

;u .Hãychứngtỏ0

M M cùngphươngvới

u .

Vectơu đượcgọilàvectơchỉphươngcủađường

thẳngnếu 0

u vàgiácủau songsonghoặctrùng

với.Nhậnxét: Nếu

u là một vectơ chỉ phương của

đườngthẳngthì

ku (k≠0)cũnglàmộtvectơchỉphương của . Do đó một đường thẳng có vô sốvectơchỉphương. Mộtđườngthẳnghoàntoànđượcxácđịnh nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phươngcủađườngthẳngđó.

Ox

yVectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng

u

v

2.Phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳng:a)Địnhnghĩa:

TrongmặtphẳngOxy,đườngthẳngđiquađiểmM0(x0;y0)vànhận

vectơ1 2

( ; )u u u làmvectơchỉphươngcóphươngtrìnhthamsốlà: 0 1

0 2

x x u t

y y u t,

trongđótRlàthamsố.

TLH2. Hãy tìm ít nhất ba điểm trên đường thẳng:5 6

2 8

x t

y t và hai vectơ

chỉphươngcủanó.

b)Liênhệgiữavectơchỉphươngvàhệsốgóccủađườngthẳng:

Nếuđthẳngcóvectơchỉphương1 2

( ; )u u u vớiu1≠0thì cóhệsốgóc 2

1

u

ku

.

TLH3. ViếtphươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngdđiquahaiđiểmA(2;3)vàB(3;1).Tínhhệsốgóccủad.

3.Vectơpháptuyếncủađườngthẳng:


TLH 65

TLH4. Chođườngthẳng:5 2

4 3

x t

y tvàvectơ 3 2

;n .Hãychứngtỏ

n

vuônggócvớivectơchỉphươngcủa.

Vectơn được gọi là vectơ pháp tuyến của

đườngthẳngnếu 0 n và

n vuônggócvới

vectơchỉphươngcủa .Nhậnxét: O

x

y

Vectô phaùp tuyeán cuûa ñöôøng thaúng

n

u

4.Phươngtrìnhtổngquátcủađườngthẳng:a)Địnhnghĩa:

TrongmặtphẳngOxy,đườngthẳngđiquađiểmM0(x0;y0)vànhận

;n a b làm

vectơpháptuyếncóphươngtrìnhtổngquátlà:a(x-x0)+b(y-y0)=0hayax+by+c=0vớic=ax0+by0.Nhậnxét:Nếuđườngthẳngcóphươngtrìnhtổngquátax+by+c=0thìcómộtvectơpháptuyếnlà

n =(a;b)vàcómộtvectơchỉphươnglà

u =(-b;a).

TLH5. LậpptrìnhtổngquátcủađthẳngđiquahaiđiểmA(2;2)vàB(4;3).b)Cáctrườnghợpđặcbiệt:

Chođườngthẳngcóphươngtrìnhtổngquátax+by+c=0(1)

by+c=0hay c

yb

.

KhiđóvuônggócvớitrụcOytạiđiểm(0;c

b).

y

x

O

-c

b

ax+c=0hayx=c

a.

KhiđóvuônggócvớitrụcOxtạiđiểm( 0 ;c

a).

y

x

O

-c

a

ac+by=0.Khiđóđườngthẳng điquagốctọađộO.

y

xO


TLH 66

Nếua,b,cđềukhác0tacóthểđưa(1)vềdạng

0 0

1 x y

a b với

0 0 ,

c ca b

a b. Đây là phương trình

đườngthẳngtheođoạnchắncủa .ĐtnàycắtOxvàOylầnlượttạiM(a0;O)vàN(0;b0).

-c

b

-c

a

y

xO

5.Vịtrítươngđốicủahaiđườngthẳng:Xéthaiđườngthẳng1và2cóphươngtrìnhtổngquátlầnlượtlà:

a1x+b1y+c1=0vàa2x+b2y+c2=0

Tọađộgiaođiểmcủa1

và2

lànghiệmcủahệ: 1 1 1

2 2 2

0

0

(I)

a x b y c

a x b y c

Tacócáctrườnghợpsau:

a)Hệ(I)cómộtnghiệm(x0;y0) cắt2

tạiđiểm 0 0 0;M x y .

b)Hệ(I)cóvôsốnghiệm1

trùng2

.

c)Hệ(I)vônghiệm1

songsong2

.

TLH6. Chođườngthẳngdcóptrìnhx-y+1=0,xétvịtrítươngđốicủadvớimỗiđườngthẳngsau:1:2x+y-4=0,2:x-y-1=0,3:2x-2y+2=0.

6.Gócgiữahaiđườngthẳng:

TLH7. ChohìnhchữnhậtABCDcótâmI

vàcáccạnhAB=1,AD= 3 .Tínhsốđo

cácgócAID vàDIC .

I

C

A D

B Cho1:a1x+b1y+c1=0,2:a2x+b2y+c2=0.Gócgiữahaiđthẳng1,2đượckíhiệulà(1,2).Đặt=(1,2),khiđótacó:

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos .a a b b

a b a b

n2

n1

2

1

TLH8. Tínhgócgiữahaiđthẳng1:3x-y+9=0và2:2x-4y+19=0.

*Chúý:1 2 1 2 n n a1a2+b1b2=0.

Nếu1:y=k1x+m1và2:y=k2x+m2thì1 2 k1.k2=-1.7.Côngthứctínhkhoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtđườngthẳng:

TrongmặtphẳngOxychođườngthẳng cóphươngtrìnhax+by+c=0vàđiểmM0(x0;y0).KhoảngcáchtừđiểmM0đếnđườngthẳng,kíhiệu làd(M0,),

đượctínhbởicôngthức: 0 0

0 2 2

,

ax by cd M

a b.

TLH9. Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 1) và O đến đường thẳng cóphươngtrình3x-2y-1=0.


TLH 67

TLH10. Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợpsau:

a)dđiquađiểmM(2;1)vàcóvectơchỉphươngu =(3;4).

b)dđiquađiểmM(-2;3)vàcóvectơpháptuyếnlàn =(5;1).

TLH11. Lậpptrìnhtổngquátcủađườngthẳngtrongmỗitrườnghợpsau:a)điquaM(-5;-8)vàcóhệsốgóck=-3; b)điquahaiđiểmA(2;1)vàB(-4;5).

TLH12. Viếtphươngtrìnhtổngquát,phươngtrìnhthamsốcủađườngthẳngtrongmỗitrườnghợpsau:

a)điquađiểmA(1;-2)vàsongsongđườngthẳngd:2x-3y-3=0.a)điquahaiđiểmM(1;-1)vàN(3;2).a)điquađiểmP(2;1)vàvuônggócđườngthẳngd:x-y+5=0.

TLH13. ChotamgiácABC,biếtA(1;4),B(3;-1)vàC(6;2).a)LậpphươngtrìnhtổngquátcủacácđườngthẳngAB,BCvàCA;b)LậpphươngtrìnhtổngquátcủađườngcaoAHvàtrungtuyếnAM.

TLH14. ChotamgiácABC,biếtA(-4;1),B(2;4)vàC(2;-2).a)TínhcosA; b)TínhkhoảngcáchtừđiểmCđếnđườngthẳngAB.

TLH15. Xétvịtrítươngđốicủacáccặpđườngthẳng1

d và2

d sauđây:

a)1

4 10 1 0 :d x y và2

2 0 :d x y ;

b)1

12 6 10 0 :d x y và2

5

3 2

:

x td

y t;

c)1

8 10 12 0 :d x y và2

6 5

3

:

x td

y t;

d)1

1 5

2 4

:

x td

y tvà

2

6 5

2 4

':

'

x td

y t.

TLH16. Chođườngthẳngdcóphươngtrìnhthamsố2 2

3

x t

y t.TìmđiểmM

thuộcdvàcáchđiểmA(0;1)mộtkhoảngbằng5.TLH17. Tìmsốđocủagócgiữad1:4x-2y+6=0vàd2:x-3y+1=0.TLH18. Tìmkhoảngcáchtừmộtđiểmđếnđườngthẳngtrongcáctrườnghợp

sau: a)A(3;5),:4x+3y+1=0; b)B(1;-2),d:3x-4y-26=0; c)C(1;2),m:3x+4y-11=0.

TLH19. TìmbánkínhcủađườngtròntâmC(-2;-2)tiếpxúcvớiđườngthẳng:5x+12y-10=0.


TLH 68



TLH 69

§2.PHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTRÒN1.Phươngtrìnhđườngtròncótâmvàbánkínhchotrước:Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R cóphươngtrìnhlà:(x-a)2+(y-b)2=R2.*Chúý:Phương trìnhđường tròncó tâm làgốctọađộOvàcóbánkínhRlà:x2+y2=R2.

R

b

a

M(x; y)

I(a; b)

Ox

y

TLH1. Lậpphươngtrìnhđườngtròn(C)trongcáctrườnghợpsau:

a)(C)cótâmI(1;-2)vàđiquađiểmA(3;5). b)(C)nhậnABlàmđườngkínhvớiA(3;-4)vàB(-3;4). c)(C)cótâmI(1;-2)vàtiếpxúcvớiđườngthẳngx+y=1. d)(C)điqua3điểmM(1;2),N(5;2)vàP(1;-3).2.Nhậnxét:Phươngtrìnhx2+y2-2ax-2by+c=0làphươngtrìnhcủađườngtròn(C)khi

vàchỉkhia2+b2-c>0.Khiđó(C)cóbánkìnhlàR= 2 2 a b c .TLH2. Tìmtọađộtâmvàđộdàibánkínhcủađườngtròn(C)x2+y2-2x+4y

-5=0.

TLH3. Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây làphươngtrìnhđườngtròn:

2x2+y2-8x+2y-1=0; x2+y2+2x-4y-4=0;x2+y2-2x-6y+20=0; x2+y2+6x+2y+10=0.3.Phươngtrìnhtiếptuyếncủađườngtròn:

Chođườngtròn(C)tâmI(a;b),bánkínhR.Tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) nằm trên đườngtròn(C)cóphươngtrình:

(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0

M0

I

M

TLH4. ViếtphươngtrìnhtiếptuyếntạiđiểmM(3;4)thuộcđườngtròn(C):(x

-1)2+(y-2)2=8.TLH5. Tìmtâmvàbánkínhcủacácđườngtrònsau:

a)x2+y2-2x-2y-2=0;b)16x2+16y2+16x-8y-11=0;c)x2+y2-4x+6y-3=0.

TLH6. Lậpphươngtrìnhđườngtròn(C)trongcáctrườnghợpsau:a)(C)cótâmI(-2;3)vàđiquaM(2;-3);b)(C)cótâmI(-1;2)vàtiếpxúcvớiđườngthẳngx-2y+7=0;c)(C)cóđườngkínhABvớiA(1;1)vàB(7;5).

TLH7. Lậpphươngtrìnhđườngtrònđiquabađiểm:a)A(1;2),B(5;2),C(1;-3).


TLH 70

b)M(-2;3),N(5;5),P(6;-2).TLH8. LậpphươngtrìnhđườngtròntiếpxúcvớihaitrụctọađộOx,Oyvàđi

quađiểmM(2;1).TLH9. Chođườngtròncóphươngtrìnhx2+y2-4x+8y-5=0.

a)ViếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađườngtròntạiđiểmA(-1;0);b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết rằng nó vuông góc vớiđườngthẳngx+2y=0.

TLH10. Lậpphươngtrìnhcủađườngtròntiếpxúcvớicáctrụctọađộvàcótâmởtrênđườngthẳngcóphươngtrình4x-2y-8=0.

TLH11. Chođườngtròn(C)cóphươngtrìnhx2+y2-4x+8y-5=0.a)Tìmtọađộtâmvàbánkínhcủa(C);b)Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)điquađiểmA(-1;0);c)Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvới(C)vuônggócvớiđườngthẳng3x-4y+5=0.


TLH 71



TLH 72

§3.PHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGELIP1.Địnhnghĩađườngelip:

Chohaiđiểmcốđịnh1 2,F F vàmộtđộdàikhôngđổi2alớnhơn

1 2FF .Eliplàtập

hợpcácđiểmMtrongmặtphẳngsaocho:1 2

2 .FM F M a

Cácđiểm1

F và2

F gọilàcáctiêuđiểmcủaelip.Độdài1 2

2FF c gọilàtiêucự

củaelip.2.Phươngtrìnhchínhtắccủaelip:Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Chọn hệtrục tọa độ Oxy sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0). Khi đóphươngtrìnhchínhtắccủaelip(E)códạng:

2 2

2 21

x y

a b vớib2=a2-c2

M(x; y)

xO

B2

B1

A2A1

F2F1

3.Hìnhdạngcủaelip:(E)cócáctrụcđốixứnglàOx,OyvàcótâmđốixứnglàgốcO.(E)cắttrụcOxtạihaiđiểmA1(-a;0),A2(a;0)vàcắt(E)cắttrụcOytạihaiđiểmB1(0;-b),B2(0;b).CácđiểmA1,A2,B1,B2gọilàcácđỉnhcủaelip.ĐoạnthẳngA1A2gọilàtrụclớn,đoạnthẳngB1B2gọilàtrụcnhỏcủaelip.

Tỉsốc

a=eđượcgọilàtâmsaicủaelip.

B2

A2

aF2(c; 0)F1(-c; 0)

A1

-a

B1

-b

b

O x

TLH1. Cho elip E :2 2

19 1

x y. Hãy xác định các đỉnh, tiêu điểm và độ dài

cáctrụccủaelip E .

TLH2. Viếtphươngtrìnhchínhtắccủaelip(E)biết:

a)(E)cóđộdàitrụclớnbằng10vàtiêucựbằng6;

b)(E)cóđộdàitrụclớnbằng8,tămsaie=3

2.

TLH3. Xácđịnhđộdàicáctrục,tọađộcáctiêuđiểm,tọađộcácđỉnhcủacácelipcóphươngtrìnhsau:

a)2 2

125 9

x y

; b)4x2+9y2=1; c)4x2+9y2=36.

TLH4. Lậpphươngtrìnhchínhtắccủaelip(E),biết:a)(E)cóđộdàitrụclớn,trụcnhỏlầnlượtlà8và6;


TLH 73

b)(E)điquahaiđiểmM(0;3),N(3;12

5 );

c)ElipcómộttiêuđiểmlàF1( 3 ;0)vàđiểmM(1;3

2)nằmtrên(E).

TLH5. Đểcắtmộtbảnghiệuquảngcáohìnhelipcótrụclớnlà80cmvàtrụcnhỏlà40cmtừmộttấmvánéphìnhchữnhậtcókíchthước80cmx40cm,ngườitavẽhìnhelipđólêntấmvánépnhưhình3.19.Hỏiphảighimhaicáiđinhcáchcácméptấmvánépbaonhiêuvàlấyvòngdâycóđộdàilàbaonhiêu?


TLH 74


TLH 75

*ÔNTẬPCHƯƠNGIII*

TLH1. ChohìnhchữnhậtABCD.BiếtcácđỉnhA(5;1),C(0;6)vàphươngtrìnhCD:x+2y-12=0.Tìmphươngtrìnhcácđườngthẳngchứacáccạnhcònlại.

TLH2. ChobađiểmA(4;3),B(2;7)vàC(-3;-8)..a)TìmtọađộcủatrọngtâmGvàtrựctâmHcủatamgiácABC;b)GọiTlàtâmcủađườngtrònngoạitiếptamgiácABC.ChứngminhT,GvàHthẳnghàng;c)ViếtphươngtrìnhđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.

TLH3. Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi đườngthẳng:3 4 12 0 x y vàđườngthẳngd:12 5 7 0 x y .

TLH4. Tìmgócgiữahaiđườngthẳng1

và2

trongcáctrườnghợpsau:

a)1

2 4 0 : x y và2

5 2 3 0 : x y ;

b)1

2 4 : y x và2

1 3

2 2 : y x .

TLH5. Choelip(E):2 2

116 9

x y

.Tìmtọađộcácđỉnh,cáctiêuđiểmvàvẽelipđó.

TLH6. Chođườngthẳng:x-y+2=0vàhaiđiểmO,A(2;0).a)TìmđiểmđốixứngcủaOqua ;b)TìmđiểmMtrênsaochođộdàiđườnggấpkhúcOMAngắnnhất.

TLH7. Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính bằng 3. Chứng minhrằngtậphợpcácđiểmMmàtừđótavẽđượchaitiếptuyếnvới(C)tạovớinhaumộtgóc600làmộtđườngtròn.Hãyviếtphươngtrìnhđườngtrònđó.

TLH8. Cho A(1; 2), B(-3; 1) và C(4; -2). Tìm tập hợp các điểm M sao cho2 2 2 MA MB MC .

TLH9. Tìmtậphợpcácđiểmcáchđềuhaiđườngthẳng1:5x+3y-3=0và2:5x+3y+7=0.

TLH10. TabiếtrằngMặtTrăngchuyểnđộngquanhTráiĐấttheomộtquỹđạolàmộtelipmàTráiĐấtlàmộttiêuđiểm.Elipđócóchiềudàitrụclớnvàtrụcnhỏlần lượt là769266kmvà769106km.TínhkhoảngcáchngắnnhấtvàkhoảngcáchdàinhấttừTráiĐấtđếnMặtTrăng,biếtrằngcáckhoảngcáchđóđạtđượckhiTráiĐấtvàMặtTrăngnằmtrêntrụclớncủaelip.


TLH 76


TLH 77

*ÔNTẬPCUỐINĂM*

TLH1. Chohaivectơa và

b có

a =3,

b =5,

( , )a b =1200.Vớigiá trịnào

củamthìhaivectơ

a mb và

a mb vuônggócvớinhau?

TLH2. ChotamgiácABCvàhaiđiểmM,Nsaocho AM AB ,

AM AC .

a)HãyvẽM,Nkhi =2

3,=

2

3 ;

b)Hãytìmmốiliênhệgiữa vàđểMNsongsongvớiBC.TLH3. ChotamgiácđềuABCcạnha.

a)ChoMlàmộtđiểmtrênđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Tính2 2 2 MA MB MC theoa;

b)Chođườngthẳngdtùyý,tìmđiểmNtrênđườngthẳngdsaocho2 2 2 NA NB NC nhỏnhất.

TLH4. ChotamgiácđềuABCcócạnhbằng6cm.MộtđiểmMnằmtrêncạnhBCsaochoBM=2cm.

a)TínhđộdàicủađoạnthẳngAMvàtínhcôsincủagócBAM;b)TínhbánkínhđườngtrònngoạitiếptamgiácABM;c)TínhđộdàiđườngtrungtuyếnvẽtừđỉnhCcủatamgiácACM;d)TínhdiệntíchtamgiácABM.

TLH5. ChứngminhrằngtrongmọitamgiácABCđềucó:a)a=bcosC+ccosB; b)sinA=sinBcosC+sinCcosB; c)ha=2RsinBsinC.

TLH6. ChocácđiểmA(2;3),B(9;4),M(5;y)vàP(x;2).a)TìmyđểtamgiácAMBvuôngtạiM;b)TìmxđểbađiểmA,PvàBthẳnghàng.

TLH7. Cho tam giác ABC với H là trực tâm. Biết phương trình của đườngthẳngAB,BHvàAHlầnlượtlà4x+y-12=0,5x-4y-15=0và2x+2y-9=0.Hãyviếtphươngtrìnhhaiđườngthẳngchứahaicạnhcònlạivàđườngcaothứba.

TLH8. Lậpphươngtrìnhđườngtròncótâmnằmtrênđườngthẳng:4x+3y-2=0vàtiếpxúcvớihaiđườngthẳngd1:x+y+4=0vàd2:7x-y+4=0.

TLH9. Choelip(E):

2 2

1100 36

.x y

a)Hãyxácđịnhtọađộcủađỉnh,cáctiêuđiểmcủaelip(E)vàvẽelipđó;b)QuatiêuđiểmcủaelipdựngđườngthẳngsongsongvớiOyvàcắteliptạihaiđiểmMvàN.TínhđộdàiđoạnMN.


TLH 78

Documents

BÀI TẬP TOÁN 10. HK2. 2016 - longgle.netlonggle.net/wp-content/uploads/2016/01/bai-tap-tooan-10.pdf · BÀI TẬP TOÁN 10. HK2. 2016 L T H 2016 IN WINTER ATMUI. 158 Nguyễn