Bifurkationen und Ausnahmepunkte in dipolaren Bose ......Bifurkationen, die Tangenten- und die Heugabelbifurkation, vorgestellt. Darauf folgt eine kurze Einfuhrung der analytischen

Bifurkationen und Ausnahmepunkte indipolaren Bose-Einstein-Kondensaten

Diplomarbeit vonRobin Gutohrlein

10. Februar 2012

Hauptberichter: Prof. Dr. Jorg MainMitberichter: PD Dr. Johannes Roth

1. Institut fur Theoretische PhysikUniversitat Stuttgart

Pfaffenwaldring 57, 70550 Stuttgart

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 11.1. Bose-Einstein-Kondensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Bifurkationen und Ausnahmepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Ziele und Gliederung dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Bifurkationen und Ausnahmepunkte 52.1. Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Analytische Fortsetzung, Riemannflachen und Verzweigungspunkte . . . 82.3. Ausnahmepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Dipolare Bose-Einstein-Kondensate 133.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Zeitabhangiges Variationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Anwendung des TDVP auf einen Ansatz aus gekoppelten Gaußfunktionen 173.4. Losen der Bewegungsgleichungen fur eine Gaußfunktion . . . . . . . . . . 223.5. Losen der Bewegungsgleichungen fur mehrere Gaußfunktionen . . . . . . 233.6. Fallenfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7. Analytische Fortsetzung fur dipolare Bose-Einstein-Kondensate . . . . . 253.8. Der komplex erweiterte Datentyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Ergebnisse fur den Ansatz mit einer Gaußfunktion 314.1. Bifurkationen stationarer Zustande in einer zylindersymmetrischen Falle . 314.2. Symmetriebrechung der Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Ausnahmepunkt an der Tangentenbifurkation . . . . . . . . . . . . . . . 384.4. Ausnahmepunkt einer Heugabelbifurkation . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5. Ausnahmepunkte bei nicht zylindersymmetrischen Fallenparametern . . . 424.6. Komplexer Symmetrieparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Matrixmodell 495.1. 3x3 Matrix und charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2. Anpassen der Taylorpolynomkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3. Nullstellen des charakteristischen Polynoms . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4. Qualitat der Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5. Ursache fur die Aufspaltung der Ausnahmepunkte im Matrixmodell . . . 59

iii

Inhaltsverzeichnis

6. Ergebnisse fur den Ansatz mit gekoppelten Gaußfunktionen 636.1. Bifurkation des Grundzustands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Ausnahmepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7. Zusammenfassung und Ausblick 73

A. Matrix- und Vektorelemente des zeitabhangigen Variationsprinzips 75A.1. Verwendete Hilfsgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75A.2. Komponenten der Matrix M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.3. Komponenten des Vektors r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B. Implementierung und Rechenregeln des komplex erweiterten Datentyps 81B.1. Uberladen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Literaturverzeichnis 85

Danksagung 89

iv

1. Einleitung

1.1. Bose-Einstein-Kondensate

Auf dem Gebiet der Bose-Einstein-Kondensate gibt es zur Zeit viele neue Erkenntnisse.Experimentell werden immer neue Kondensate aus bosonischen Atomen, ohne und mitDipolmoment, oder seit neuestem sogar aus Molekulen [1] realisiert. Dabei handelt essich keinenfalls um ein neues Thema. Bereits 1924 und 1925 legten Albert Einstein[2, 3] und Satyendranath Bose [4] die theoretischen Grundlagen fur die Bose-Einstein-Kondensation.

Die erste experimentelle Realisierung lies jedoch lange auf sich warten. Da Bose-Einstein-Kondensate nur bei sehr niedrigen Temperaturen existieren, mussten die Gaswolken, wel-che als Ausgangspunkt fur Bose-Einstein-Kodensate dienen, von ihren Verdampfungs-temperaturen, die bei einigen hundert Kelvin liegen, in den Mikrokelvinbereich abgekuhltwerden. Erstmals gelang dies fur Gase aus Alkaliatomen mit Hilfe von Laser- und Ver-dampfungskuhlung [5–7]. Fur diese Leistung erhielten Wolfgang Ketterle, Eric A. Cornellund Carl E. Wieman im Jahr 2001 den Nobelpreis.

Bose-Einstein-Kondensate erlauben es, quantenmechanische Phanomene wie z.B. Koha-renz und Uberlagerungen an Systemen zu beobachten, deren Ausdehnung einige Mikro-meter betragt. So konnen Eigenschaften der Quantenmechanik direkt beobachtet wer-den.

Einige Jahre nach den ersten erfolgreichen Versuchen, in denen Bose-Einstein-Konden-sate hergestellt wurde, gelang es, Bose-Einstein-Kondensate aus Chromatomen herzu-stellen [8, 9]. Chromatome besitzen ein magnetisches Dipolmoment, d.h. zwischen deneinzelnen Atomen wirkt nun eine Dipol-Dipol-Wechselwirkung. Im Gegensatz zu bis-herigen Kondensaten, bei denen die Wechselwirkung zwischen den Atomen durch s-Wellenstreuung beschrieben werden kann, existiert nun zusatzlich eine langreichweitigeWechselwirkung, die mit 1/r3 abfallt.

1

Kapitel 1. Einleitung

Feshbachresonanzen [10] ermoglichen es, den Streulangenparameter, welcher die s-Wel-lenstreuung zwischen den Atomen eines Kondensates beschreibt, kontinuierlich zu jus-tieren. Es ist moglich Werte zu erreichen, bei denen die s-Wellenstreuung anziehendwirkt.

Bose-Einstein-Kondensate sind quantenmechanische Vielteilchensysteme, die durch dieVielteilchen-Schrodingergleichung beschrieben werden. Fuhrt man eine Meanfieldnahe-rung durch, erhalt man die nichtlineare Gross-Pitaevskii-Gleichung.

1.2. Bifurkationen und Ausnahmepunkte

Eine mathematische Definition fur Ausnahmepunkte (”exceptional points“) wurde von

Kato in [11] gegeben. Es handelt sich bei Ausnahmepunkten um Punkte in einem Pa-rameterraum, fur die die Eigenwerte einer lineare Abbildung, die von diesem Parameterabhangt, entarten.

Im Jahr 2001 wurde solch ein Ausnahmepunkt in einem physikalischen System (einemMikrowellenresonator) beobachtet [12]. Wird der Parameter fur den Ausnahmepunkt inder komplexen Ebene umschlossen, so zeigt sich ein charakteristisches Permutationsver-halten der Eigenwerte und Eigenvektoren des Systems. Solch ein Permutationsverhaltenkonnte in Mikrowellenresonatoren fur die Phasen elektrischer und magnetischer Felderbeobachtet werden.

In [13] wurden Spektren von Wasserstoffatomen untersucht, die sich in gekreuzten elek-trischen und magnetischen Feldern befinden und durch einen nicht hermitschen Hamil-tonoperator (

”complex rotation“) beschrieben werden. Dabei wurden Ausnahmepunkte

beobachtet.

Außerdem wurden in [13] auch Bose-Einstein-Kondensate, die mithilfe der nichtlinea-ren Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben werden, auf Ausnahmepunkte untersucht.Ein solcher Ausnahmepunkt konnte an einer Tangentenbifurkation bzgl. des Streulan-genparameters, in der der Grundzustand und ein angeregter instabiler Zustand entste-hen, nachgewiesen werden. Erstaunlich ist das Auftreten dieses Ausnahmepunktes, wennman sich die Eigenschaften der Schrodingergleichung vor Augen fuhrt, die ja der Gross-Pitaevskii-Gleichung zugrunde liegt. In der Schrodingergleichung haben die stationarenLosungen immer orthogonale Eigenvektoren (Wellenfunktionen). Die Gross-Pitaevskii-Gleichung ist jedoch eine nichtlineare Schrodingergleichung. Dadurch ist es moglich, wiein [13] zu sehen, dass auch die Wellenfunktionen von zwei Zustanden entarten.

2

1.3. Ziele und Gliederung dieser Arbeit

1.3. Ziele und Gliederung dieser Arbeit

In [14, 15] wurden fur stationare Zustande in dipolaren Bose-Einstein-Kondensaten,die durch ein zeitabhangiges Variationsprinzip beschrieben werden, Hinweise auf weitereBifurkationen gefunden. Ziel dieser Arbeit ist es, alle stationaren Zustande, die an diesenBifurkationen beteiligt sind, zu finden und zu untersuchen, ob es sich bei diesen Punktenum Ausnahmepunkte handelt.

In Kapitel 2 wird eine Definition zu den zuvor genannten Ausnahmepunkten gegeben.Um spater Gleichungen auf Ausnahmepunkte untersuchen zu konnen, ist es notwendigdiese analytisch fortzusetzen. Auch dazu ist in diesem Kapitel eine kurze Einfuhrunggegeben. Zudem werden Bifurkationstypen vorgestellt, die im weiteren Verlauf der Arbeitauftreten.

In Kapitel 3 wird gezeigt, wie man aus der Schrodingergleichung mithilfe einer Mean-fieldnaherung die Gross-Pitaevskii-Gleichung erhalt. Es wird ein Ansatz aus parame-trisierten gekoppelten Gaußfunktionen fur die Wellenfunktion vorgestellt. Dann werdenmithilfe eines zeitabhangigen Variationsprinzips Bewegungsgleichungen fur die Parame-ter der gekoppelten Gaußfunktionen hergeleitet. Sind die Bewegungsgleichungen fur dieParameter der Gaußfunktionen hergeleitet, wird beschrieben, wie man mithilfe einerNullstellensuche die stationaren Zustande der Gross-Pitaevskii-Gleichung findet. Zusatz-lich benotigt man nun noch die analytischen Fortsetzungen dieser Bewegungsgleichun-gen, um sie auf Ausnahmepunkte untersuchen zu konnen.

In Kapitel 4 werden die im vorangegangenen Kapitel hergeleiteten Bewegungslei-chungen auf Bifurkationen zwischen den stationaren Zustanden untersucht. Es wird einAnsatz aus einer Gaußfunktion verwendet. Dabei wird der Streulangenparameter vari-iert, der die s-Wellenstreuung zwischen den Atomen des Kondensates beschreibt. Es wirduntersucht, ob die gefundenen Bifurkationspunkte auch Ausnahmepunkte sind.

In Kapitel 5 werden die Ergebnisse aus Kapitel 4 auf ein Matrixmodell abgebildet,um die Definition von Ausnahmepunkten aus Kapitel 2 zu erfullen.

3

Kapitel 1. Einleitung

In Kapitel 6 werden die Bewegungsgleichungen aus Kapitel 3 fur einen Ansatz aus ge-koppelten Gaußfunktionen untersucht. Diese Zustande sind, im Gegensatz zu denen ausKapitel 4, bereits gegen die Ergebnisse numerischer Gitterrechnungen konvergiert [15].Die Gleichungen werden wieder auf Bifurkationen und Ausnahmepunkte untersucht.

Kapitel 7 fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen.

4

2. Bifurkationen und Ausnahmepunkte

Das Thema dieser Arbeit lautet”Bifurkationen und Ausnahmepunkte in dipolaren Bose-

Einstein-Kondensaten“. Bevor jedoch Bifurkationen und Ausnahmepunkte in den kom-plexen Gleichungen, welche die Bose-Einstein-Kondensate beschreiben, untersucht wer-den, sollen in diesem Kapitel an moglichst einfachen Modellen deren wichtigste Eigen-schaften aufgezeigt werden.

Im ersten Abschnitt werden die beiden am haufigsten beobachteten einparametrigenBifurkationen, die Tangenten- und die Heugabelbifurkation, vorgestellt.

Darauf folgt eine kurze Einfuhrung der analytischen Fortsetzung, welche notwendig ist,um Ausnahmepunkte in dipolaren Bose-Einstein Kondensaten untersuchen zu konnen.Im letzten Abschnitt des Kapitels wird die Definition fur Ausnahmepunkte gegebenund es werden deren Eigenschaften diskutiert. Dies ist fur die weitere Arbeit wichtig,denn es sind diese Eigenschaften, die es erlauben, die Ausnahmepunkte bei spaterenUntersuchungen nachzuweisen.

2.1. Bifurkationen

Fur eine Differentialgleichung

x = g(x, µ) (2.1)

ist die Losungsmenge L = {x|g(x, µ) = 0} der stationaren Losungen vom Parameter µabhangig.

Einen Punkt im Parameterraum, an dem sich die Losung qualitativ verandert, z.B. wennLosungen hinzukommen, nennt man Bifurkationspunkt. Tragt man die Punkte (x, µ)der stationaren Losungen in ein Schaubild ein, erhalt man ein Bifurkationsdiagramm.Im Folgenden werden zwei Beispieldifferentialgleichungen vorgestellt, die beide in derArbeit vorkommenden Bifurkationstypen beinhalten.

5

Kapitel 2. Bifurkationen und Ausnahmepunkte

-1

0

1

x

a) stabilinstabil

-1

0

1

x

b)

-1

0

1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x

µ

c)

Abbildung 2.1.: In a) ist das Bifurkationsdiagramm fur Gleichung (2.2) zu sehen. Beiµ = 0 durchlauft die stabile und instabile stationare Losung eine Tan-gentenbifurkation. Abbildung b) zeigt das Bifurkationsdiagramm furGleichung (2.7). Bei µ = 0 durchlaufen die stationaren Losungen eineHeugabelbifurkation. Das Bifurkationsdiagramm c) zeigt das Bifurkati-onsverhalten der stationaren Losungen von Gleichung (2.11) fur σ = 0.1.

6

2.1. Bifurkationen

Eine Tangentenbifurkation tritt in Gleichung

x = g1(x, µ) = µ− x2 (2.2)

auf. Suchen wir die stationaren Losungen in Abhangigkeit von µ, so finden wir

x1,2 = ±√µ . (2.3)

Fur reelle x existieren damit nur fur positive µ Losungen. Am Bifurkationspunkt µ = 0laufen die beiden Losungen zusammen und existieren fur negative µ nicht mehr. Abbil-dung 2.1 a) zeigt das dazugehorige Bifurkationsdiagramm.

Um die Stabilitat zu untersuchen, betrachten wir

∂x g1(x, µ) = −2x (2.4)

fur den Ast x1 ist dies

∂x g1(x1 =

√µ, µ) = −2

√µ < 0 ∀ µ > 0, (2.5)

d.h. die Losung ist stabil.

Fur x2 ist∂x g

1(x2 = −√µ, µ) = +2√µ > 0 ∀ µ > 0, (2.6)

d.h. die Losung ist instabil.

Eine Heugabelbifurkation findet sich in

x = g2(x, µ) = µx− x3. (2.7)

Ihre stationaren Losungen lauten

x1 = 0 und (2.8)

x2,3 = ±√µ , (2.9)

wobei die Losungen x2,3 nur fur µ > 0 existieren. Ihr Bifurkationsdiagramm ist in Ab-bildung 2.1 b) zu sehen. Die Losung x1 existiert fur alle µ ∈ R.

Um die Stabilitat beurteilen zu konnen, betrachten wir

∂x g2(x, µ) = µ− 3x2 =

−2µ fur x = x2

µ fur x = x1

−2µ fur x = x3

. (2.10)

Die Losungen x2 und x3 sind damit stabil. Die Losung x1 ist fur µ < 0 stabil, fur µ > 0instabil.

7


Eine zweiparametrige Cusp-Bifurkation tritt in Gleichung

x = h(x, µ, σ) = σ + µx− x3 (2.11)

auf. Fur einen Schnitt mit einem festen σ treten wieder einparametrige Bifurkationenauf. Wahlt man σ = 0 entspricht Gleichung (2.11) der Gleichung (2.7), d.h. bezuglich desParameters µ zeigt das Bifurkationsdiagramm eine Heugabelbifurkation. Betrachten wirdie Gleichung fur festes, aber von null verschiedenes σ, so zeigt das Bifurkationsdiagrammbzgl. des Parameters µ wieder das Verhalten einer Tangentenbifurkation (vgl. Abbildung2.1 c) ). Ein stationarer Zustand ist an der Bifurkation nicht beteiligt.

2.2. Analytische Fortsetzung, Riemannflachen undVerzweigungspunkte

Man kann eine reelle Funktion

f(x) mit x, f(x) ∈ R (2.12)

analytisch in die komplexe Ebene fortsetzen, indem man sie in eine Potenzreihe um einenPunkt x0 entwickelt. Die Werte fur komplexe x konnen nun mithilfe dieser Reihendar-stellung berechnet werden.

Dies ist jedoch nur innerhalb des Konvergenzradius R0 der Potenzreihe um x0 moglich.Um die Funktionswerte an einer anderen Stelle berechnen zu konnen, wahlen wir nuneinen Punkt x1, der innerhalb des Konvergenzradius liegt, und ermitteln eine neue Reihefur diesen Punkt x1 mit Konvergenzradius R1. Dies lasst sich iterativ fortsetzen.

Folgt man nun dem Funktionswert uber einen geschlossenen Parameterpfad, der durchmehrere dieser Konvergenzgebiete lauft, zuruck zum Startwert x0, so kann es bei man-chen Funktionen vorkommen, dass dieser Wert nicht mehr dem ursprunglichen Funkti-onswert an dieser Stelle entspricht. Funktionen, bei denen der Funktionswert vom Pfadabhangt, nennt man mehrwertige Funktionen. Die so erhaltenen Funktionswerteflachenheißen Riemannflachen. In Abbildung 2.2 sieht man die Riemannflachen der komplexenQuadratwurzelfunktion.

Schneiden sich zwei solche Flachen einer mehrwertigen Funktion in einem Punkt, nenntman diesen Punkt Verzweigungspunkt. Ein solcher Punkt befindet sich bei der Quadrat-wurzelfunktion aus Abbildung 2.2 bei z = 0.

8

2.3. Ausnahmepunkte

2.3. Ausnahmepunkte

Wir betrachten nun lineare Abbildungen

Lκ(x) : x→ Lκx (2.13)

wobei Lκ eine n × n-Matrix ist, die von dem Parameter κ ∈ C abhangt, und x einn-dimensionaler Vektor ist, der auf Lκx abgebildet wird.

Fur ein solches System lassen sich nun die Eigenwerte berechnen. Diese sind die Losungendes charakteristischen Polynoms

det(Lκ − λE) = 0 (2.14)

mit der n× n Identitatsmatrix E.

Eigenwerte konnen dabei mehrfach auftreten. Die Anzahl, mit der ein Eigenwert auftritt,nennt man algebraische Vielfachheit. Andert man nun den Parameter κ, so kann sich diealgebraische Vielfachheit des Eigenwerts andern. Handelt es sich bei den Eigenwertenum die verschiedenen Zweige einer analytisch erweiterten Funktion des Parameters, soschneiden sich die Eigenwerte an den Verzweigungspunkten und die algebraische Viel-fachheit des Eigenwerts sowie die Zahl verschiedener Eigenwerte der linearen Abbildungandern sich. Ein solcher Verzweigungspunkt heißt

”Ausnahmepunkt“ (bzw.

”exceptional

point“) [11].

Diese Ausnahmepunkte weisen eine Reihe von Eigenschaften [11, 13, 16] auf:

• Die Anzahl verschiedener Eigenwerte andert sich an einem Ausnahmepunkt.

• Wird der exceptional point auf einem Pfad im komplexen Parameterraum umkreist,so weisen die Eigenwerte nach einer kompletten Umkreisung eine Permutation auf.

• Die verschiedenen Eigenvektoren, die zu den am Ausnahmepunkt beteiligten Ei-genwerten gehoren, entarten am Ausnahmepunkt, da auch sie bei einer Umkreisungim Parameterraum eine Permutation durchlaufen.

In Abbildung 2.2 sind die beiden Aste der komplexen Quadratwurzelfunktion uber derkomplexen Parameterebene aufgetragen. Haben in einer linearen Abbildung zwei Eigen-werte einen Verzweigungspunkt, der Quadratwurzelverhalten zeigt, und umkreist mannun diesen Punkt auf einem Kreis in der komplexen Parameterebene, so kann man inder Abbildung dem Verlauf des Real- und Imaginarteils der Eigenwerte folgen. Man

9


beobachtet nach einer Umkreisung des Ausnahmepunkts eine Permutation der beidenEigenwerte.

Einen Ausnahmepunkt, der die Signatur einer Quadratwurzel hat, nennt man EP2. Nachzwei Umlaufen im Parameterraum haben die Eigenwerte wieder ihre Ausgangswerte er-reicht. Ausnahmepunkte, die das Verhalten einer kubischen Wurzel zeigen (d.h. manbenotigt drei Umlaufe um wieder die Ausgangssituation bzgl. der Eigenwerte herzustel-len), heißen EP3. Das Permutationsverhalten eines EP2 bzw. EP3 ist in Abbildung 2.3skizziert.

10

2.3. Ausnahmepunkte

Abbildung 2.2.: Die Losungen von ξ1,2 = ±√z der Gleichung ξ2 = z haben bei z = 0

einen Verzweigungspunkt. In der rechten Grafik sind die Realteile, inder linken die Imaginarteile der beiden Losungen aufgetragen. Folgt mandem parametrisierten Pfad z(φ) = eiφ, wobei φ von 0 bis 2π lauft, sovertauschen die beiden Losungen. Die schwarzen Linien zeigen dabei dieTangentenbifurkation uber der reellen Parameterachse.

Im κ

Re κ

a)

Ausnahmepunkt

Im Λ

Re Λ

b)Λ1Λ2

Im Λ

Re Λ

c)Λ1Λ2Λ3

Abbildung 2.3.: a) zeigt den Pfad, den der Kontrollparameter in der komplexen Ebe-ne um einen Ausnahmepunkt beschreibt. In Bild b) ist das typischePermutationsverhalten der Eigenwerte beim Umkreisen eines Ausnah-mepunkts mit Quadratwurzelverhalten (zwei Eigenwerte vertauschen,EP2) zu sehen. In c) vertauschen drei Eigenwerte. Dies ist die typischePermutationssignatur eines EP3, d.h. eines Ausnahmepunktes mit Ku-bikwurzelverhalten.

11

3. Dipolare Bose-Einstein-Kondensate

Da diese Arbeit von dipolaren Bose-Einstein-Kondensaten (BEC) handelt, sollen in die-sem Kapitel die Grundgleichungen, die im weiteren Teil der Arbeit verwendet werden,hergeleitet werden.

Bei Bose-Einstein-Kondensaten handelt es sich um verdunnte Gase aus bosonischen Teil-chen. Ausgehend von der Vielteilchen-Schrodingergleichung wird die Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) hergeleitet (weitere Herleitungen sind in [17, 18] zu finden). Bei dieserGleichung handelt es sich um eine nichtlineare Differentialgleichung, die die zeitlicheEntwicklung der Wellenfunktion eines BEC in einer Meanfieldnaherung beschreibt.

Ein Variationsansatz zur Losung der Gross-Pitaevskii-Gleichung wird vorgestellt. DieGPE ist auch z.B. auf einem numerischen Gitter losbar, doch ist der Rechenaufwandmit einem Variationsansatz aus gekoppelten Gaußfunktionen, wie er in [15, 18] vor-gestellt wurde, wesentlich geringer. Dieser liefert fur eine ausreichend hohe Zahl vonGaußfunktionen stationare Losungen, die gegen die Wellenfunktionen numerischer Git-terrechnungen konvergieren [15, 18].

3.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung

Bei einem dipolaren Bose-Einstein-Kondensat handelt es sich um ein Vielteilchensystem,die Vielteilchen-Schrodingergleichung lautet

N∑k=1

− ~2

2m∆k + Vext(rk) +

1

2

N∑l,k=1l 6=k

W (rk, rl)

︸︷︷︸

=:H

ψ(r1, . . . , rN) = Eψ(r1, . . . , rN) . (3.1)

Hierbei ist N die Teilchenzahl des Systems, m die Masse eines Teilchens, Vext(rK) be-schreibt ein externes Potential und W (rk, rl) beschreibt die Wechselwirkung zwischendem Teilchen k und dem Teilchen l.

13

Kapitel 3. Dipolare Bose-Einstein-Kondensate

Um diese Gleichung zu vereinfachen und umzuformen, werden folgende Annahmen ver-wendet:

• Da es sich um ein bosonisches System handelt, besitzen alle Teilchen am abso-luten Temperaturnullpunkt dieselbe Einteilchen-Wellenfunktion χ(r), sodass sichdie Gesamtwellenfunktion als Produkt der Einteilchenwellenfunktionen schreibenlasst,

ψ(r1, . . . , rN) =N∏k=1

χ(rk) . (3.2)

• Die Norm der Einteilchenwellenfunktion ist gleich eins∫R3

d3r |χ(r)|2 = 1 , (3.3)

d.h. die Norm der Gesamtwellenfunktion ist fur stationare Zustande erhalten.

• Um die Einteilchenwellenfunktion zu bestimmen, minimiert man die Meanfield-energie Emf = 〈ψ|H|ψ〉. Die Meanfieldenergie ist ein Funktional der Wellenfunkti-on und deren Ableitung. Beim Minimieren wird Gleichung 3.3 als Nebenbedingungmithilfe eines Langrangemultiplikators µN berucksichtigt.

• Bei µ handelt es sich fur stationare Zustande um das chemische Potential (vgl.[18]).

Um nun das Minimum der Meanfieldenergie zu bestimmen, wird χ∗(r) in φ(r) umbe-nannt. Durch das Ableiten von

Emf − µN(∫

R3

d3r |χ(r)|2 − 1

)(3.4)

nach φ erhalt man

−N ~2

2m∆χ(r) +NVext(r)χ(r)

+N(N − 1)

∫R3

d3r′[W (r, r′) |χ(r′)|2

]− µNχ(r) = 0 . (3.5)

Fur ein Minimum der Meanfieldenergie muss diese Gleichung null sein. Betrachtet manGase, die aus vielen Teilchen bestehen, gilt N ≈ N − 1. Wird die Gleichung durch Ngeteilt, verbleibt die zeitunabhangige Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE) fur das BEC[

− ~2m

∆ + Vext(r) +N

∫R3

d3r′W (r, r′) |χ(r′)|2]χ(r) = µχ(r) . (3.6)

14

3.1. Gross-Pitaevskii-Gleichung

Aus der zeitunabhangigen GPE erhalt man mit der Ersetzung µ→ i~ ∂∂t

die zeitabhangigeGross-Pitaevskii-Gleichung. Sie lautet[

− ~2m

∆ + Vext(r) +N

∫R3

d3r′W (r, r′) |χ(r′, t)|2]χ(r, t) = i~

∂

∂tχ(r, t) . (3.7)

Es mussen noch das externe Potential und die Wechselwirkungen zwischen den Teilchenbetrachtet werden. Fur diese gilt:

• Die Teilchen befinden sich in einem harmonischen externen Fallenpotential derForm

Vext(r) =m

2

(ωxr

2x + ωyr

2y + ωzr

2z

), (3.8)

wobei ωx,y,z die harmonische Fallenstarke in die x, y und z-Richtung beschreiben.

• Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen W (r, r′) setzt sich aus einem Streu-term, der mithilfe der s-Wellenstreuung der Streutheorie dargestellt wird, und derDipol-Dipol-Wechselwirkung zusammen. Der s-Wellenstreuterm lautet [19]

Wsc(r, r′) =

4πasc~2

mδ(r− r′) (3.9)

mit der Streulange asc, welche experimentell mithilfe von Feshbachresonanzen ver-andert werden kann [10]. Unter der Voraussetzung, dass alle Dipole entlang derz-Achse ausgerichtet sind, lautet der Term fur die Dipol-Dipol-Wechselwirkung[20]

Wdipol(r, r′) =

µ0µ2

4π

1− 3 cos2 θ

|r− r′|3, (3.10)

wobei θ der Winkel zwischen dem Verbindungsvektor r − r′ und der z-Achse ist.µ ist die Permeabilitat und µ0 ist die Vakuumpermeabilitat.

Setzt man die Gleichungen (3.8) bis (3.10) in die zeitabhangige Gross-Pitaevskii-Glei-chung (3.7) ein, so erhalt man[− ~2

2m∆ +

m

2

(ω2xr

2x + ω2

yr2y + ω2

zr2z

)+N

(4πasc~2

m|χ(r, t)|2 +

µ0µ2

4π

∫R3

d3r′1− 3 cos2 θ

|r− r′|3

)]χ(r, t)

= i~∂

∂tχ(r, t). (3.11)

15


Im Folgenden werden die Einheiten

Masse: md = 2m, Lange: ad =mµ0µ

2π~2, Frequenz: ωd =

Ed~,

Wirkung: ~, Energie: Ed =~2

2ma2d

und die bzgl. der Teilchenzahl skalierten Großen (vgl.[19])

rneu =r

N, ωneu = 2 ωneu = 2(N2ω), tneu =

t

N2,

χneu = N32χ, Eneu = NE, asc, neu =

ascad

verwendet1, wobei im Folgenden der Index”neu“ weggelassen wird. Mit den neuen Gro-

ßen erhalt man die folgende Form der Gross-Pitaevskii-Gleichung, die als Grundlage furdie weiteren Berechnungen dient[−∆ +

(ω2xr

2x + ω2

yr2y + ω2

zr2z

)+ 8πasc |χ(r, t)|2

+

∫R3


|r− r′|3|χ(r′, t)|2

]χ(r, t) = i

∂

∂tχ(r, t) . (3.12)

3.2. Zeitabhangiges Variationsprinzip

Um Bewegungsgleichungen fur parametrisierte Wellenfunktionen aufstellen zu konnen,wird das von McLachlan in [21] beschriebene Variationsprinzip (time-dependent varia-tional prinziple, TDVP) verwendet.

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (3.12) des vorherigen Abschnitts hat die Form

Hχ = i∂

∂tχ . (3.13)

Gesucht werden Losungen, die diese Gleichung moglichst gut erfullen, d.h. die Differenzzwischen den beiden Seiten der Gleichung

I =

∣∣∣∣∣∣∣∣Hχ− i∂

∂tχ

∣∣∣∣∣∣∣∣2 = 〈χ|χ〉+ i 〈χ|Hχ〉 − i 〈Hχ|χ〉+ 〈Hχ|Hχ〉 (3.14)

soll minimiert werden. Man halt χ(t) fur einen gegebenen Zeitpunkt t fest und sucht dieAnderungsrate χ(t) = ξ zu diesem Zeitpunkt. Soll ξ nun so gewahlt werden, dass I einMinimum annimmt, so darf sich I fur kleine Variationen δξ nicht andern, d.h. es gilt

0 = δI = 〈δξ|ξ〉+ 〈ξ|δξ〉+ i 〈δξ|Hχ〉 − i 〈Hχ|δξ〉 . (3.15)

1Die Große ωneu bezeichnet die doppelte Fallenfrequenz ωneu in den neuen Einheiten. In der Literaturwird sie oft mit γ bezeichnet.

16

3.3. Anwendung des TDVP auf einen Ansatz aus gekoppelten Gaußfunktionen

Die parametrisierte Wellenfunktion χ hangt nun aber von Variationsparametern z ab.Da χ festgelegt ist, mussen auch die z fest sein. Variationen von χ = ξ(z, z) mussensomit uber die Variation der Zeitableitungen der Parameter z erfolgen. Damit gilt

δξ = δ |χ(z, z)〉 =

∣∣∣∣∂χ∂z δz⟩

︸︷︷︸=0, da δz=0

+

∣∣∣∣∂χ∂z δz⟩

=

∣∣∣∣ ∂∂z(∂χ

∂zz

)δz

⟩. (3.16)

Setzen wir dies in Gleichung (3.15) ein, so erhalten wir

0 = 〈δξ|ξ + iHχ〉+ 〈ξ + iHχ|δξ〉 (3.17)

=

⟨∂χ

∂zδz

∣∣∣∣χ+ iHχ

⟩+

⟨χ+ iHχ

∣∣∣∣∂χ∂z δz⟩

. (3.18)

Diese Gleichung muss fur alle Variationen δz ∈ Cm erfullt sein, d.h. fur reelle undkomplexe Variationen δz gilt ⟨

∂χ

∂z

∣∣∣∣χ+ iHχ

⟩= 0 . (3.19)

3.3. Anwendung des TDVP auf einen Ansatz ausgekoppelten Gaußfunktionen

Nachdem im vorangegangenen Abschnitt das Variationsprinzip auf eine allgemeine Wel-lenfunktion χ(z(t)) angewandt wurde, sollen jetzt die Bewegungsgleichungen fur einenAnsatz aus N gekoppelten Gaußfunktionen

χ(A1,...,Nx,y,z , γ

1,...,N)

=N∑k=1

exp(i(Akxr

2x + Akyr

2y + Akzr

2z + γk

))︸︷︷︸=:gk

(3.20)

berechnet werden. Dabei sind die Akx,y,z ∈ C komplexe Breitenparameter, die die Ausdeh-nungen der Gaußfunktionen in x-, y- und z-Richtung beschreiben und die γk ∈ C sindkomplexe Amplituden und Phasenparameter. Der Vektor z setzt sich aus den Breiten-,Amplituden- und Phasenparametern zusammen

z =(A1x, . . . , A

Nx , A

1y, . . . , A

Ny , A

1z, . . . , A

Nz , γ

1, . . . , γN)∈ C4N . (3.21)

Um die Bewegungsgleichungen aufstellen zu konnen, werden zuerst einige Hilfsgroßenberechnet:

17


• Die Ableitungen der Wellenfunktion nach den Variationsparametern lauten

∂χ

∂Akσ= ir2σg

k mit σ = x, y, z und (3.22)

∂χ

∂γk= igk . (3.23)

• Die Ableitung nach den Raumkoordinaten sind

∂χ

∂rσ=

N∑k=1

2irσAkσg

k , (3.24)

∂2χ

∂r2σ=

N∑k=1

(−4r2σ(Akσ)2 + 2iAkσ

)gk und (3.25)

∆χ =N∑k=1

( ∑σ=x,y,z

−4r2σ(Akσ)2 + 2iAkσ

)gk. (3.26)

Mithilfe dieser Ableitungen lasst sich Gleichung (3.19) als folgendes Gleichungssystemschreiben (1 ≤ l ≤ N , ω = 0, x, y, z und r0 = 1)

0 =(i⟨gl∣∣ r2ω)

[N∑k=1

∑α=x,y,z

i2(Akαr

2α + γk

) ∣∣gk⟩+

N∑k=1

∑α=x,y,z

(−4r2α(Akα)2 + 2iAkα

) ∣∣gk⟩− N∑k=1

V∣∣gk⟩] , (3.27)

mit

V = Vsc + Vext + Vdipol, (3.28)

Vsc = 8πasc |χ(r)|2 , (3.29)

Vext =∑

σ=x,y,z

ω2σr

2σ, (3.30)

Vdipol =

∫R3


|r− r′|3|χ(r′)|2 . (3.31)

18


Weitere Umformungen fuhren zu

−N∑k=1

∑α=x,y,z

⟨gl∣∣r2ωr2α∣∣gk⟩ Akα − N∑

k=1

∑α=x,y,z

⟨gl∣∣r2ω∣∣gk⟩ γk

−N∑k=1

∑α=x,y,z

⟨gl∣∣r2ωr2α∣∣gk⟩ 4(Akα)2 +

N∑k=1

∑α=x,y,z

⟨gl∣∣r2ω∣∣gk⟩ 2iAkα =

N∑k=1

⟨gl∣∣r2ωV ∣∣gk⟩ .

(3.32)

Werden die einzelnen Terme entsprechend den Matrixelementen sortiert, erhalt man

N∑k=1

∑ω=x,y,z

⟨gl∣∣r2α∣∣gk⟩ (−γk + 2iAkω

)+

N∑k=1

∑ω=x,y,z

⟨gl∣∣r2αr2ω∣∣gk⟩ (−Akω − 4(Akω)2

)=

N∑k=1

⟨gl∣∣r2αV ∣∣gk⟩ . (3.33)

Die Gleichung lasst sich auch als Matrixgleichung

Mv = r (3.34)

schreiben mit der 4N × 4N -Matrix

M =

(1)k,l (x2)k,l (y2)k,l (z2)k,l(x2)l,k (x4)k,l (x2y2)k,l (x2z2)k,l(y2)l,k (x2y2)l,k (y4)k,l (y2z2)k,l(z2)l,k (x2z2)l,k (y2z2)l,k (z4)k,l

, (3.35)

welche aus den N ×N -Untermatrizen

(1)k,l =

⟨gl=1

∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣gk=N⟩ ,

(x2)k,l =

⟨gl=1

∣∣x2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣x2∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣x2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣x2∣∣gk=N⟩ ,

(y2)k,l =

⟨gl=1

∣∣y2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣y2∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣y2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣y2∣∣gk=N⟩ ,

(z2)k,l =

⟨gl=1

∣∣z2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣z2∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣z2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣z2∣∣gk=N⟩ ,

19


(x4)k,l =

⟨gl=1

∣∣x4∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣x4∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣x4∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣x4∣∣gk=N⟩ ,

(y4)k,l =

⟨gl=1

∣∣y4∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣y4∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣y4∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣y4∣∣gk=N⟩ ,

(z4)k,l =

⟨gl=1

∣∣z4∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣z4∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣z4∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣z4∣∣gk=N⟩ ,

(x2y2)k,l =

⟨gl=1

∣∣x2y2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣x2y2∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣x2y2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣x2y2∣∣gk=N⟩ ,

(x2z2)k,l =

⟨gl=1

∣∣x2z2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣x2z2∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣x2z2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣x2z2∣∣gk=N⟩ ,

(y2z2)k,l =

⟨gl=1

∣∣y2z2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=1

∣∣y2z2∣∣gk=N⟩...

...⟨gl=N

∣∣y2z2∣∣gk=1⟩· · ·

⟨gl=N

∣∣y2z2∣∣gk=N⟩

besteht und mit den Vektoren

v =

v0

vxvyvz

, r =

r0rxryrz

, (3.36)

die aus den Untervektoren

v0 =

−γ1 +

∑α=x,y,z 2iA1

α...

−γN +∑

α=x,y,z 2iANα

, vx =

−A1x − 4(A1

x)2

...

−ANx − 4(ANx )2

,

vy =

−A1y − 4(A1

y)2

...

−ANy − 4(ANy )2

, vz =

−A1z − 4(A1

z)2

...

−ANz − 4(ANz )2

,

20


r0 =N∑k=1

⟨g1∣∣V ∣∣gk⟩

...⟨gN∣∣V ∣∣gk⟩

, rx =N∑k=1

⟨gl=1

∣∣r2xV ∣∣gk⟩...⟨

gN∣∣r2xV ∣∣gk⟩

,

ry =N∑k=1

⟨g1∣∣r2yV ∣∣gk⟩

...⟨gN∣∣r2yV ∣∣gk⟩

, rz =N∑k=1

⟨g1∣∣r2zV ∣∣gk⟩

...⟨gN∣∣r2zV ∣∣gk⟩

bestehen.

Diese Matrixgleichung muss nun nach dem Vektor v aufgelost werden. Dazu werden dieeinzelnen Elemente der Matrix M und des Vektors r in Gleichung (3.34), wie in AnhangA aufgelistet, berechnet. In den Berechnungen der Komponenten des Vektors r tretenelliptische Integrale auf. Diese lassen sich numerisch mithilfe des Carlson-Algorithmusberechnen [22].

Der so berechnete Vektor v lasst sich nun nach den Zeitableitungen der Variationspara-meter auflosen

γl = 2i(Akx + Aky + Akz

)− (v0)l, (3.37)

Alx = −4(Alx)2 − (vx)l, (3.38)

Aly = −4(Aly)2 − (vy)l, (3.39)

Alz = −4(Alz)2 − (vz)l (3.40)

mit l = 1, . . . , N .

Das Energiefunktional Emf und das chemische Potential µ lassen sich wie folgt berechnen(siehe [18])

E[χ] = −〈χ|∆|χ〉+

⟨χ

∣∣∣∣Vext +1

2(Vsc + Vdipol)

∣∣∣∣χ⟩ (3.41)

µ[χ] = −〈χ|∆|χ〉+ 〈χ|Vext + Vsc + Vdipol|χ〉 . (3.42)

Die Potentiale Vext, Vsc und Vdipol sind in den Gleichungen (3.29) bis (3.31) gegeben. DieBerechnung der Matrixelemente ist in Anhang A beschrieben.

21


3.4. Losen der Bewegungsgleichungen fur eineGaußfunktion

Fur einen Wellenfunktionsansatz mit nur einer Gaußfunktion

χ(r) = ei(Axr2x+Ayr2y+Azr2z+γ) (3.43)

mit Ax,y,r = ARx,y,z + iAIx,y,z wobei AR,Ix,y,z ∈ R und γ ∈ C lasst sich das Gleichungssystem

(3.34) explizit nach den Zeitableitungen der Parameter auflosen (vgl. [14]). Man erhaltdie Bewegungsgleichungen

ARx,y = −4(AR

x,y)2 + 4(AI

x,y)2 − ω2

x,y

+4

3π

((6asc − 1)

√(AI

x,y)3AI

y,xAIz − 2(AI

z)5/2Rx,y(κ

2x, κ

2y, 1)

), (3.44)

ARz = −4(ARz )2 + 4(AI

z)2 − ω2

z

+4

3

√AIxA

Iy(A

Iz)

3

π

[6asc − 1 + 3κxκyRD(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κ3xκyRx(κ2x, κ

2y, 1) + 2κxκ

3yRy(κ

2x, κ

2y, 1)

]und (3.45)

AIx,y,z = −8AR

x,y,zAIx,y,z (3.46)

mit den elliptische Integralen

RD(x, y, z) =3

2

∫ ∞0

dt√(x+ t)(y + t)(z + t)3

(3.47)

und deren Ableitungen

Rx(x, y, z) =∂

∂xRD(x, y, z) , (3.48)

Ry(x, y, z) =∂

∂yRD(x, y, z) (3.49)

und

κx,y =

√AIz

AIx,y

. (3.50)

Der Amplitudenparameter

Im γ = −1

4ln

8AIxA

IyA

Iz

π3(3.51)

22

3.5. Losen der Bewegungsgleichungen fur mehrere Gaußfunktionen

ist so gewahlt, dass die Normierungsbedingung erfullt ist. Die Phase wird festgehalten

Re γ = 0. (3.52)

Daher ist fur Ax,y,r = 0 auch γ = 0.

Aus Gleichung (3.46) sieht man sofort, dass fur stationare Zustande, fur die

Ax = 0, Ay = 0, Az = 0 (3.53)

erfullt sein muss, entweder der Real- oder der Imaginarteil der Breitenparameter Ax,y,znull sein muss. Die Imaginarteile, welche die Ausdehnung der Wellenfunktion angeben,konnen nicht null sein (da die Wellenfunktion normierbar sein muss), daher sind dieRealteile der Breitenparameter dieses Ansatzes fur stationare Losungen null

ARx,y,z = 0. (3.54)

Es verbleiben nur noch die drei Gleichungen (3.44) und (3.45) mit den drei unbekanntenParametern AI

x,y,z, die uber eine Nullstellensuche zu bestimmen sind.

3.5. Losen der Bewegungsgleichungen fur mehrereGaußfunktionen

Es sollen die stationaren Zustande der Bewegungsgleichungen (3.37) bis (3.40) gesuchtwerden. Diese Zustande lassen sich mithilfe des Newton-Raphson Verfahrens bestimmen[23]. Die dabei auftretenden Ableitungen zur Berechnung der Jacobi-Matrix

Ji,j =∂ ˙zj∂zi

(3.55)

mit

z =(ReA1

x, ImA1x, . . .ReANx , ImANx ,ReA1

y, ImA1y, . . .ReANy , ImANy ,

ReA1z, ImA1

z, . . .ReANz , ImANz ,Re γ1, Im γ1, . . .Re γN , Im γN)∈ R8N (3.56)

werden als finite Differenzen berechnet.

Als Startwert fur das Newton-Raphson Verfahren kann die Wellenfunktion verwendetwerden, die mithilfe einer Imaginarzeitentwicklung in [14] oder [18] fur eine bestimmteStreulange ermittelt wurde. Sollen nun Zustande fur andere Streulangen oder Fallenpa-rameter gefunden werden, konnen diese Parameter in kleinen Schritten geandert werden.

23


Nach jeder Anderung wird dabei eine Nullstellensuche durchgefuhrt, wobei die vorherigenZustande als Startwerte verwendet werden.

Ist ein stationarer Zustand gefunden, lasst sich mit der Jacobi-Matrix J auch die lineareStabilitat des Zustands untersuchen. Durch eine Koordinatentransformation im Parame-terraum lasst sich die Matrix auf ihre Diagonalform bringen. An den Eigenwerten lasstsich dann die Stabilitat in Richtung der transformierten Basisvektoren ablesen. Habendie Eigenwerte einen nicht verschwindenden Realteil, sind die Zustande in dieser Rich-tung instabil, anderenfalls sind sie stabil. Ein Zustand ist stabil, wenn alle Eigenwertekeinen von null verschiedenen Realteil besitzen.

Im Vergleich zu einem Ansatz mit mehreren gekoppelten Gaußfunktionen ist der An-satz aus nur einer Gaußfunktion numerisch wesentlich einfacher und, was die Rechenzeitbetrifft, sehr viel schneller. In Ref. [15, 18] wird gezeigt, dass ein Ansatz aus einer Gauß-funktion schon qualitativ gute Ergebnisse liefert. Diese sind quantitativ noch nicht gegendie Ergebnisse numerischer Gitterrechnungen konvergiert und besitzen auch nicht alle Ei-genschaften, die mit Ansatzen aus mehreren Gaußfunktionen abgebildet werden konnen.Sie eignen sich jedoch aufgrund der schnellen Berechnung fur qualitative Anfangsuntersu-chungen. Daher werden in Kapitel 4 die Bifurkationen und Ausnahmepunkte zuerst mitdiesem Ansatz untersucht, bevor in Kapitel 6 ein Ansatz mit mehreren Gaußfunktionenverwendet wird.

3.6. Fallenfrequenzen

Im Folgenden werden die harmonischen Fallenstarken der externen Falle nicht mehrmit ωx,y,z angegeben, sondern es wird folgende Parametrisierung verwendet, die die zuuntersuchenden Fallengeometrien besser widerspiegelt:

ωx =γ(1 + s)1/2

λ1/3, (3.57)

ωy =γ

(1 + s)1/2λ1/3und (3.58)

ωz = γλ2/3 . (3.59)

Mit dieser Parametrisierung giltωxωy

= 1 + s. (3.60)

Fur eine zylindersymmetrische Falle gilt somit s = 0. Die Brechung der Fallensymmetriein der xy-Ebene lasst sich damit uber die Anderung eines einzelnen Parameters s aus-

24

3.7. Analytische Fortsetzung fur dipolare Bose-Einstein-Kondensate

drucken, anstatt uber zwei Parameter ωx und ωy. Der Parameter λ, der das Verhaltnisder Fallenstarke zwischen ωz und ωx,y angibt, und der Mittelwert γ werden dabei nichtverandert.

3.7. Analytische Fortsetzung fur dipolareBose-Einstein-Kondensate

In Kapitel 2 wurden Ausnahmepunkte eingefuhrt. Das Permutieren von Eigenwertenbeim Umkreisen des Ausnahmepunkts mit dem Kontrollparameter ist eine wichtige Ei-genschaft, die auch zu deren Nachweis verwendet werden kann.

Die dipolaren Bose-Einstein-Kondensate werden mit den Gleichungen (3.44) bis (3.45)fur einen Ansatz mit einer Gaußfunktion bzw. mit (3.37) bis (3.40) fur einen Ansatz mitmehreren Gaußfunktionen beschrieben. Der Kontrollparameter ist die reelle Streulangeasc ∈ R. Soll nun ein Punkt im komplexen Parameterraum umkreist werden, um ihn aufdas Permutationsverhalten der zugehorigen Energiewerte zu untersuchen, so mussen dieGleichungen analytisch fortgesetzt werden. Die Streulange asc ∈ C wird dann komplex.

Eine Herausforderung bei der analytischen Fortsetzung der Gleichungen besteht darin,dass die Gleichungen schon komplexe Werte enthalten. Um eine analytische Fortsetzungdurchfuhren zu konnen, mussen alle Gleichungen in Real- und Imaginarteil getrenntwerden. Gleiches gilt auch fur die Breitenparameter der Gaußfunktionen. So muss z.B.der Breitenparameter Ax ∈ C als Ax = ARx + iAIx mit ARx = ReAx, A

Ix = ImAx ∈ R

geschrieben werden.

Hat man die Gleichungen in dieser Art und Weise getrennt, so lassen sich die Gleichungenanalytisch forsetzen, indem nun neben dem Kontrollparameter asc auch der Losungsraum(die Wellenfunktionen) komplex erweitert wird. Das heißt die Real- und Imaginarteilteileder Variationsparameter werden nun selbst komplex

AR,ix,y,z ∈ R→ AR,ix,y,z ∈ C,AI,ix,y,z ∈ R→ AI,ix,y,z ∈ C,γR,i ∈ R→ γR,i ∈ C,γI,i ∈ R→ γI,i ∈ C.

25


3.7.1. Analytische Fortsetzung fur Wellenfunktionen, die aus einerGaußfunktion bestehen

Fuhrt man diese Erweiterung auf die in Gleichung (3.44) bis (3.45) vorgestellten Bewe-gungsgleichungen fur den Wellenfunktionsansatz mit einer Gaußfunktion (3.43) durch,so erhalt man

ARx,y = 4(AI

x,y)2 − ω2

x,y

+4

3π

((6asc − 1)

√(AI

x,y)3AI

y,xAIz − 2(AI

z)5/2Rx,y(κ

2x, κ

2y, 1)

), (3.61)

ARz = 4(AIz)

2 − ω2z +

4

3

√AIxA

Iy(A

Iz)

3

π

[6asc − 1 + 3κxκyRD(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κ3xκyRx(κ2x, κ

2y, 1) + 2κxκ

3yRy(κ

2x, κ

2y, 1)

](3.62)

mit

κx,y =

√AIz

AIx,y

. (3.63)

und asc, AI,Rx,y,z ∈ C. Wie schon oben angefuhrt (vgl. Gl. (3.54)) sind AIx,y,z = 0, γ = 0

und ARy,y,z = 0.

3.7.2. Analytische Fortsetzung fur Wellenfunktionen, die ausmehreren gekoppelten Gaußfunktionen bestehen

Verwendet man als Wellenfunktionsansatz gekoppelte Gaußfunktionen, so lassen sich dieRechnungen nicht mehr wie im vorherigen Abschnitt erweitern. Wir besitzen fur meh-rere gekoppelte Gaußfunktionen keine explizite Darstellung der Bewegungsgleichungen,sondern erhalten die Zeitableitungen der Parameter uber die Losung des linearen Glei-chungssystems aus Gleichung (3.34). Um nun die komplex erweiterten Zeitableitungender Parameter zu erhalten, muss dieses komplexe lineare Gleichungssystem in ein reelleslineares Gleichungssystem aus Real- und Imaginarteilen des ursprunglichen Systems

Mx = v (3.64)

zerlegt werden. Sei

M = MR + iM I , (3.65)

x = xR + ixI , (3.66)

v = vR + ivI (3.67)

26

3.8. Der komplex erweiterte Datentyp

mit MR,M I ∈ R4N×4N und xR,xI ,vR,vI ∈ R4N so erhalt man(MR −M I

M I MR

)(xR

xI

)=

(vR

vI

). (3.68)

Nun konnen die Eintrage dieses reellen LGS komplex erweitert werden. Dadurch wer-den die Eintrage des Losungsvektors komplex, womit auch die Real- und Imaginarteileder Zeitableitungen der Breitenparameter, die Teil des Losungsvektors sind, eindeutigberechenbar werden.

Um das lineare Gleichungssystem auflosen zu konnen, mussen auch die Matrix M undden Vektor v in Real- und Imaginarteil zerlegt werden. Dies konnen wir tun, indem wirdie Gleichungen fur die Matrix- und Vektorkomponenten aus Anhang A analytisch zerle-gen. Vor allem die Komponenten des Vektors v sind jedoch sehr komplex und beinhaltenunter anderem elliptische Integrale. Auch diese mussten in Real- und Imaginarteil auf-geteilt werden. Dies wurde das gesamte Verfahren sehr kompliziert machen und zudemdie effiziente numerische Berechnung der Integrale verhindern.

Als bessere Alternative kann ein komplex erweiterter Dateityp eingefuhrt werden, deruber Real- und Imaginarteil buchfuhrt. Die Vorgehensweise hierfur wird im folgendenAbschnitt erlautert.


Eine komplexe Zahl zc lasst sich als Tupel (x, y) aus zwei reellen Zahlen x und y darstellen

zc = x+ iy. (3.69)

Fur die komplex erweiterte Zahl ze werden nun der Real- und Imaginarteil von z selbstzu komplexen Zahlen. Die Darstellung erfolgt nun uber ein Tupel aus vier reellen Zahlen(xr, xi, yr, yi), dabei sind

ze = x+ iy, (3.70)

x = xr + ixi, (3.71)

y = yr + iyi (3.72)

mit xr, xi, yr, yi ∈ R.

27


3.8.1. Rechenregeln fur den komplex erweiterten Datentyp

In diesem Abschnitt werden die Rechenregeln fur die Standardoperatoren und Konver-tierungsregeln vorgestellt. Dabei wird das i-te Argument einer Operation immer mit zibezeichnet, wobei zi eine komplex erweiterte Zahl ist. Das Ergebnis einer Operation wirdmit ze bezeichnet.

Ein zuvor reeller Vorfaktor r wir in der komplex erweiterten Darstellung wie folgt repra-sentiert

ze = (r, 0, 0, 0).

Ein zuvor komplexer Parameter c wird zu

ze = (Re (c), 0, Im (c), 0).

Eine besondere Stellung nimmt die Streulange asc ein. Sie ist kein komplexer Parameter,sondern ein reeller Parameter, der komplex erweitert wurde. Daher lautet ihre komplexerweiterte Darstellung

asc = (Re (asc), Im (asc), 0, 0).

Im Folgenden ist zu beachten, dass fur die komplexen Zahlen xi, yi, die den Real- undImaginarteil reprasentieren, die ganz normalen Rechenregeln fur komplexe Zahlen gel-ten.

• Die Rechenregel fur die Addition zr = z1 + z2 lautet

xr = x1 + x2,

yr = y1 + y2.

• Die Rechenregel fur die Subtraktion zr = z1 − z2 lautet

xr = x1 − x2,yr = y1 − y2.

• Die Rechenregel fur die Multiplikation zr = z1z2 lautet

xr = x1x2 − y1y2,yr = y1x2 + y2x1.

28


• Die Rechenregel fur die Division zr = z1/z2 lautet

xr = (x1x2 + y1y2)/(x22 + y22),

yr = (y1x2 − y2x1)/(x22 + y22).

• Das konjugiert komplexe zr von z1 wird wie folgt berechnet

xr = x1

yr = −y1.

Wichtig ist, dass der Realteil x1 und der Imaginarteil y1 der komplex erweitertenZahl z1, die selbst auch komplexe Zahlen sind, nicht komplex konjugiert werden.

• Um ganzzahlige Exponenten zu berechnen, wird die Basis mit der oben definier-ten Multiplikation entsprechend oft mit sich selbst multipliziert. Nicht ganzzahligereelle Exponenten zr = (z1)

r werden wie folgt berechnet

zr = EXP(LOG(z1) ∗ r). (3.73)

Die verwendete Exponentialfunktion EXP sowie der Logarithmus LOG sind Funk-tionen, die als Argument komplex erweiterte Zahlen verwenden. Sie sind im nachs-ten Abschnitt definiert.

3.8.2. Wichtige uberladene Funktionen fur den komplex erweitertenDatentyp

In den Algorithmen mussen auch mehrere Standardfunktionen fur die komplex erwei-terten Datentypen definiert und uberladen werden, wobei der Realteil x und der Imagi-narteil y der komplex erweiterten Zahl z nun ebenfalls komplexe Zahlen sind. Die Re-chenregeln fur diese Funktionen finden sich in diesem Abschnitt. Die verwendeten exp,sin, cos, ln, arcsin und Wurzelfunktionen sind die bekannten Funktionen fur komplexeZahlen

• Der Betrag einer komplex erweiterten Zahl xr = |z| = |x+ iy| ist

xr =√x2 + y2.

D.h. der Betrag ist selbst eine komplexe Zahl.

29


• Die Wurzel einer komplex erweiterten Zahl ist

xr =

√1

2

(√x2 + y2 + x

),

yr =y√

2(√

x2 + y2 + x) .

• Die Exponentialfunktion einer komplex erweiterten Zahl ist

xr = exp(x) cos(y),

yr = exp(x) sin(y).

• Der naturliche Logarithmus einer komplex erweiterten Zahl ist

xr = ln(√x2 + y2),

yr = 2arcsin

(y

2√x2 + y2(

√x2 + y2 + x)

).

Das Verfahren, einen komplex erweiterten Datentyp einzufuhren, lasst sich in moder-nen Programmiersprachen wie Fortran 95 sehr elegant und mit wenig Aufwand durchUberladen von Funktionen und Operatoren in schon vorhandenen Programmcode einfu-gen. Sind die Grundrechnungen und verwendeten Funktionen uberladen, so mussen inden Algorithmen (die weiterverwendet werden konnen) fast ausschließlich die Datenty-pen vertauscht werden. Aus komplexen Variablen werden komplex erweiterte Variablen.Implementationsdetails sind in Anhang B zu finden.

30

4. Ergebnisse fur den Ansatz mit einerGaußfunktion

Da der Ansatz mit nur einer Gaußfunktion im Vergleich zu gekoppelten Gaußfunktionenwesentlich weniger numerische Probleme birgt, die Rechenzeit stark verkurzt ist und sichtrotzdem wichtige qualitative Eigenschaften von Bifurkationen und Ausnahmepunktenmit diesem Ansatz untersuchen lassen, wird in diesem Kapitel auf die Ergebnisse einesAnsatzes eingegangen, der aus nur einer Gaußfunktion besteht.

Die Ergebnisse fur Rechnungen, bei denen der Ansatz aus gekoppelten Gaußfunktionenbesteht, finden sich in Kapitel 6.

4.1. Bifurkationen stationarer Zustande in einerzylindersymmetrischen Falle

Zunachst soll die Struktur der stationaren Zustande in einer zylindersymmetrischen Falleuntersucht werden. Die Fallenparameter sind hierbei

γ = 3.4 · 104, (4.1)

λ = 6 und (4.2)

s = 0 (4.3)

bzw.

ωx = 18710.9, (4.4)

ωy = 18710.9 und (4.5)

ωz = 112265.5. (4.6)

Fur diese Fallenparameter wurden auch Rechnungen in [14] durchgefuhrt. Die Ergebnissefur Rechnungen mit diesen Parametern sind in Abbildung 4.1 zu sehen.

31

Kapitel 4. Ergebnisse fur den Ansatz mit einer Gaußfunktion

400000

600000

800000E

mf

a) Grundzustand Angeregter Zustand 1 Angeregter Zustand 2aAngeregter Zustand 2b

6 ⋅ 105

8 ⋅ 105

1 ⋅ 106

µ

b)

1000

10000

100000

Im A

x

c)

1000

10000

100000

Im A

y

d)

6000

10000

20000

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Im A

z

asc

e)

Abbildung 4.1.: In den Abbildungen sind einige Eigenschaften stationarer Zustande furein zylindersymmetrisches Fallenpotential (vgl. Gl. (4.1) bis (4.6)) zusehen. Bild a) zeigt die Werte der Meanfieldenergie Emf, Bild b) zeigtdas chemische Potential µ und Bilder c) bis e) zeigen den Imaginarteilder Breitenparameter ImAx,y,z der Gaußfunktionen, welche die Wellen-funktion der Zustande beschreibt.

32

4.1. Bifurkationen stationarer Zustande in einer zylindersymmetrischen Falle

Die Bilder a) und b) zeigen die Meanfieldenergie Emf und das chemische Potential µder Zustande. Die Bifurkationen, die bzgl. der Streulange auftreten, lassen sich aber inden Bildern c) bis e), welche den Imaginarteil der Breitenparameter der GaußfunktionAIx,y,z zeigen, besser erkennen. Die Realteile der Breitenparameter sind, wie in Kapitel 3gezeigt, null.

Die Abbildungen zeigen eine Tangentenbifurkation, in der bei einer Streulange vonasc = −0.019 zwei neue Zustande entstehen, der energetisch tieferliegende Grundzu-stand und ein angeregter Zustand (1), der weitere Bifurkationen mit steigender Streu-lange durchlauft. Beide Zustande besitzen eine Wellenfunktion, die wie auch die externeFalle Zylindersymmetrie besitzt.

Eine der Bifurkationen des angeregten Zustands (1) befindet sich bei einer Streulangevon asc = −0.0079. In dieser Heugabelbifurkation entstehen zwei neue Zustande, dienicht mehr die Zylindersymmetrie der Falle besitzen und die bzgl. der z-Achse um 90◦

gedreht sind (siehe Abb.4.1 c) und d) ). Die beiden neuen Zustande (2a) und (2b) sindin der Meanfieldenergie und im chemischen Potential entartet und lassen sich daher nurunterscheiden, wenn die Wellenfunktion betrachtet wird. Diese drei Zustande vereini-gen sich in einer inversen Heugabelbifurkation bei asc = 0.129 zu einem Zustand, derwieder zylindrisch ist. Hinweise auf diese Heugabelbifurkationen finden sich auch in denStabilitatsbetrachtungen von [14].

Es sollen nun die linearen Stabilitatseigenschaften dieser Zustande untersucht werden.Dazu werden die Eigenwerte der Jacobimatrix (vgl. Gleichung (3.55) ) berechnet. Sinddie Eigenwerte rein imaginar, so ist der Zustand stabil. Besitzt mindestens ein Eigenwerteinen reellen Anteil, so ist der Zustand instabil.

In Abbildung 4.2 sind die Eigenwerte der Jacobimatrix fur die Zustande aus Abbildung4.1 aufgetragen. Abbildung a) zeigt die Real- und Imaginarteile des Grundzustands unddes angeregten zylindrischen Zustands (1).

Die Eigenwerte des Grundzustands sind dabei immer rein imaginar. Dieser ist somit furalle Streulangen stabil, fur die er existiert.

Der angeregte zylindrische Zustand (1) besitzt immer mindestens einen Eigenwert, dereinen nicht verschwindenden Realteil besitzt. Dieser Zustand ist daher instabil.

In Abbildung a) ist zu sehen, dass der angeregte Zustand fur −0.0079 ≤ asc ≤ 0.129,d.h. zwischen den beiden Heugabelbifurkationen, zwei reelle Eigenwerte besitzt, sonst istnur ein Eigenwert reell. Somit gibt es bei den beiden Heugabelbifurkationen einen Sta-bilitatswechsel bzgl. einer Richtung (die Richtung des Eigenvektors, der zum Eigenwertgehort, in dem der Wechsel von imaginaren zu reellen Werten stattfindet).

33


0 ⋅ 100

1 ⋅ 105

2 ⋅ 105

3 ⋅ 105

4 ⋅ 105

5 ⋅ 105

6 ⋅ 105

7 ⋅ 105

0 0.04 0.08 0.12

Re

Λ, I

m Λ

asc

a)

Grundzustand (stabil)angeregt 1 (stabil)

(instabil)

0 ⋅ 100

1 ⋅ 105

2 ⋅ 105

3 ⋅ 105

4 ⋅ 105

5 ⋅ 105

6 ⋅ 105

7 ⋅ 105

0 0.04 0.08 0.12

Re

Λ, I

m Λ

asc

b)

angeregt 2a (stabil)(instabil)

angeregt 2b (stabil)(instabil)

Abbildung 4.2.: Eigenwerte Λ der Jacobimatrix der Zustande aus Abbildung 4.1. Re-elle Eigenwerte sind als instabil aufgetragen, imaginare als stabil. Dadie Eigenwerte immer als Paar aus dem Betrag nach gleichen positi-ven und negativen Werten auftreten, sind, zur besseren Ubersicht, nurdie positiven Werte eingetragen. Dabei sind in a) die Eigenwerte deszylindersymmetrischen Grundzustands und des zylindersymmetrischenangeregten Zustands (1) zu sehen. In b) sind die Eigenwerte der beidennicht zylindersymmetrischen Zustande (2a) und (2b) gezeigt.

Die Eigenwerte der abspaltenden Zustande der Heugabelbifurkationen sind in Abbil-dung 4.2 b) zu sehen. Beide Zustande besitzen einen reellen Eigenwert und sind daherinstabil.

In Abbildung 4.3 sind die Real- und Imaginarteile aller vier Zustande gemeinsam aufge-tragen. Bei den Heugabelbifurkationen sind hier die Wechsel von imaginaren zu reellenWerten asc = −0.0079 und umgekehrt bei asc = 0.129 gut zu erkennen.

Es gibt keinen physikalischen Grund, der verhindert, dass die Wellenfunktionen der Zu-stande (2a) und (2b) um beliebige Winkel um die z-Achse gedreht als stationare Zu-stande existieren, da die Geometrie des Systems aufgrund der Fallensymmetrie um diez-Achse zylindersymmetrisch ist. Die Einschrankung liegt im Ansatz der Wellenfunkti-on (Gleichung (3.20)) begrundet, der keine

”zigarrenformigen“ Wellenfunktionen zulasst,

die nicht entlang einer der Koordinatenachsen ausgerichtet sind.

Da alle Zustande der Bifurkationen jedoch instabil sind, lassen sich diese experimentell,falls dies uberhaupt moglich ist, nur sehr schwer beobachten. Eine Bifurkation in der dieZustande, die einen

”echten“ Stabilitatswechsel durchlaufen, findet sich in Kapitel 6, in

dem ein Ansatz aus mehreren gekoppelten Gaußfunktionen verwendet wird.

34

4.1. Bifurkationen stationarer Zustande in einer zylindersymmetrischen Falle

0 ⋅ 100

1 ⋅ 105

2 ⋅ 105

3 ⋅ 105

4 ⋅ 105

5 ⋅ 105

6 ⋅ 105

7 ⋅ 105

0 0.04 0.08 0.12

Re

Λ, I

m Λ

asc

Grundzustand (stabil)angeregt 1 (stabil)

(instabil)angeregt 2a (stabil)

(instabil)angeregt 2b (stabil)

(instabil)

Abbildung 4.3.: Es sind die positiven Real- und Imaginarteile der Eigenwerte aller Zu-stande aus Abbildung 4.2 a) und b) gemeinsam aufgetragen.

35


Viele Eigenschaften lassen sich jedoch numerisch an diesen Bifurkationen untersuchen,da sie, wie spater zu sehen ist, ein qualitativ gleiches Verhalten unter Symmetriebrechungwie die in Kapitel 6 zu sehende Bifurkation zeigen.

Außerdem sind diese instabilen angeregten Zustande und deren Bifurkationen fur ther-mische Zerfallsrechnungen wichtig. In [24] wird die

”tansition-state-theory“ (TST) auf

monopolare Kondensate angewandt. Die Anwendung der TST auf dipolare Kondensa-te, die auch die hier auftretenden Bifurkationen und Zustande berucksichtigen muss, istnoch in Arbeit.

4.2. Symmetriebrechung der Falle

Da die beiden neuen Zustande der Bifurkation keine Zylindersymmetrie besitzen, wirdjetzt das Bifurkationsdiagramm fur Fallenparameter mit gebrochener Zylindersymmetrieuntersucht. In Abbildung 4.4 ist das Bifurkationsdiagramm fur die Fallenparameter

γ = 3.4 · 104, (4.7)

λ = 6 und (4.8)

s = 0.001 (4.9)

bzw.

ωx = 18720.3, (4.10)

ωy = 18701.5 und (4.11)

ωz = 112265.5 (4.12)

zu sehen.

Aus den Heugabelbifurkationen sind Tangentenbifurkationen geworden, an denen einerder abzweigenden Zustande (hier (2b)) sowie der ursprunglich zylindersymmetrische Zu-stand (1) beteilgt sind.

Welcher der abzweigenden Zustande (2a) und (2b) des zylindrischen Systems an derBifurkation beteiligt ist, hangt von der Richtung der Symmetriebrechung ab (je nach-dem, ob die Falle in x- oder in y-Richtung starker ist). Der bei kleineren Streulangenursprunglich zylindersymmetrische Zustand (1) bricht auch jetzt die Symmetrie nur sehrschwach, bis er kurz vor der nun neuen Tangentenbifurkation in einen der neuen

”asym-

metrischen“ Zustande ubergeht (hier (2a)), der an der neuen Bifurkation nicht beteiligtist.

36

4.2. Symmetriebrechung der Falle

350000

400000

450000

Em

f

a)Grundzustand

Angeregter Zustand 1 Angeregter Zustand 2aAngeregter Zustand 2b

363280

363300

363320

−0.007175 −0.00715

a)

500000

550000

µ

b)

486900

487000

487100

−0.007175 −0.00715

b)

2000

5000

10000

Im A

x

c)

2000

5000

10000

Im A

y

d)

15000

20000

25000

−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

Im A

z

asc

e)

Abbildung 4.4.: Wie in Abbildung 4.1 sind a) die Meanfieldenergie Emf, b) das chemischePotential µ und c) bis e) die Imaginarteile der Breitenparameter AIx,y,zaufgetragen. Allerdings gehorgen diese Zustande zu einem asymmetri-schen Fallenpotential (vgl. Gleichung (4.7) bis (4.12) ).

37


Bei dem an den Bifurkationen unbeteiligten Zustand (2b) andert sich die Stabilitat nicht,wahrend die in der Tangentenbifurkation entstehenden Zustande zwar beide instabil sind,jedoch einer der Zustande bzgl. der verschiedenen Richtungen des Parameterraums nurin einer Richtung instabil ist, der andere aber in zweien.

4.3. Ausnahmepunkt an der Tangentenbifurkation

Um festzustellen, ob es sich beim Tangentenbifurkationspunkt bei asc = −0.019 in Ab-bildung 4.1 um einen Ausnahmepunkt (EP) handelt, untersuchen wir das Verhalten derMeanfieldenergie der an der Bifurkation beteiligten Zustande. Dafur werden die Bewe-gungsgleichungen (wie in Kapitel 3 beschrieben) analytisch fortgesetzt und der Punktder Bifurkation wird in der komplexen Streulangenparameterebene auf einem Kreis, dermit

asc(φ) = r0eiφ + a0 (4.13)

parametrisiert ist, umlaufen, wobei r0 = 0.001 und a0 = −0.019 sind. Der Pfad, den derStreulangenparameter beschreibt, ist in Abbildung 4.5 a) zu sehen.

Es wird mit einem Winkel φ0 = 0 gestartet und man endet bei φ1 = 2π, sodass die Streu-lange nach einem Vollkreis wieder ihren Anfangswert erreicht. Der Wert der Streulange,

−0.0015

−0.001

−0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

−0.02 −0.019 −0.018

Im a

sc

Re asc

tangent bif.

a)

−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

348000 349000 350000

Im E

mf

Re Emf

b)

Abbildung 4.5.: In a) ist der Pfad des Streulangenparameters asc in der komplexen Ebenezu sehen. In b) ist der Verlauf der Meanfieldenergien gezeigt, wenn dieStreulange den Pfad aus Bild a) beschreibt. Die Energiewerte der beidenZustande permutieren dabei und haben nach dem Durchlaufen einesVollkreises die Werte des anderen Zustands angenommen.

38

4.4. Ausnahmepunkt einer Heugabelbifurkation

bei dem die Tangentenbifurkation aus Abbildung 4.4 auftritt, liegt dabei im Zentrumdes Kreises.

Verfolgt man die Meanfieldenergiewerte, so durchlaufen diese dabei die in Abbildung 4.5b) gezeigten Bahnen. Sie enden nach einem durchlaufenen Vollkreis in der Parameter-ebene nicht auf ihren Ausgangswerten, sonderen haben ihre Werte vertauscht, d.h. diePermutation

[E1, E2]voller Umlauf→ [E2, E1] (4.14)

wurde beobachtet. Dieses Permutationverhalten ist typisch fur einen Ausnahmepunkt,genauer fur einen EP2 (vgl. Abbildung 2.3), d.h. einen Ausnahmepunkt, dem eine Qua-dratwurzel zu Grunde liegt. Um die Meanfieldenergien wieder auf ihre Ausgangswerteabzubilden, sind zwei Umlaufe im Parameterraum notwendig.

Die Eigenschaften des Tangtenbifurkationspunktes, insbesondere die Permutation derMeanfieldenergiewerte, wurden schon in [13] beobachtet.

Bei Brechung der Symmetrie der Fallenparameter bleiben die Tangentenbifurkation sowiedas Permutationsverhalten der Meanfieldenergie qualitativ unverandert.


Nachdem das Permutationsverhalten der Meanfieldenergiewerte an der Tangentenbifur-kation betrachtet wurde, werden jetzt die an der Heugabelbifurkation beteiligten Zu-stande untersucht. Auch hier durchlauft der Streulangenparameter einen Kreis in derkomplexen Ebene (vgl. Abbildung 4.6 a) ) mit der Parametrisierung wie in Gleichung(4.13), wobei a0 = −0.0079 und r0 = 0.001 sind. Im Zentrum des Kreises befindet sichnun der Heugabelbifurkationspunkt, der bei asc = −0.0079 liegt und in Abbildung 4.1zu sehen ist.

Das Verhalten der Energieeigenwerte in Abbildung 4.6 b) lasst nicht auf ein Permutati-onsverhalten schließen, da die Energiewerte der beiden Zustande (2a) und (2b) entartetsind. Betrachtet man jedoch an Stelle der Meanfieldenergie die Breitenparameter derWellenfunktion (Abbildung 4.6 c) ), so zeigt sich zwischen den beiden nicht zylinder-symmetrischen Zustanden (2a) und (2b) eine Permutation. Die Meanfieldenergie und dieBreitenparameter des zylindersymmetrischen Zustands (1) (und die des Grundzustands)sind nicht an der Permutation beteiligt. Das Permutationsverhalten der Breitenparame-ter ist, wie schon bei der Tangentenbifurkation, das eines EP2.

39


Die Entartung der Meanfieldenergie ist nicht verwunderlich, wenn man Gleichung (3.41)betrachtet, in der die Werte der Wellenfunktion in x- und y-Richtung fur zylindrischeFallenparameter symmetrisch auftreten.

40


−1.5 ⋅ 10−4

−1.0 ⋅ 10−4

−5.0 ⋅ 10−5

0

5.0 ⋅ 10−5

1.0 ⋅ 10−4

1.5 ⋅ 10−4

−0.008 −0.0079 −0.0078

Im a

sc

Re asc

Heugabelbif.

a)

−100

0

100

200

362200 362400Im

Em

fRe Emf

b)

angeregter Zustand 1 angeregter Zustand 2aangeregter Zustand 2b

−0.0001

0

0.0001

0.0053 0.0054 0.0055

Im A

yI

Re AxI

c)

Abbildung 4.6.: In a) ist der Pfad gezeigt, den der Streulangenparameter im komplexenParameterraum durchlauft. b) zeigt fur die zylindersymmetrische Fallen-geometrie (vgl. Gl. (4.7) bis (4.12) ) das Verhalten der Meanfieldenergie.Die Energiewerte liegen sehr dicht beieinander. Eine genauere Untersu-chung zeigt, dass die beiden unsymmetrischen Zustande (2a) und (2b)in der Energie entartet sind und exakt aufeinander liegen. Ein Permu-tationsverhalten lasst sich daher nicht beobachten. Jedoch zeigt der inc) zu sehende Imaginarteil des Breitenparameters AI

x fur den Parame-terpfad aus a) ein EP2 Vertauschungsverhalten. Die Wellenfunktionender Zustande (2a) und (2b) vertauschen.

41


4.5. Ausnahmepunkte bei nicht zylindersymmetrischenFallenparametern

Die in den Heugabelbifurkationen abspaltenden Zustande sind fur eine nicht zylinder-symmetrische Fallengeometrie nicht langer entartet, und so lasst sich nun das Permuta-tionverhalten eines Ausnahmepunkts auch wieder in den Meanfieldenergiewerten beob-achten.

Wenn der Streulangenparameter den Pfad 2 in Abbildung 4.7 durchlauft, der durchGleichung (4.13) mit a0 = −0.0071 und r0 = 0.0001 parametrisiert ist, so vertauschendie beiden Zustande (1) und (2a), die an der Tangentenbifurkation bei asc = −0.0071 inAbbildung 4.4 beteiligt sind. Die Permutation ist in Abbildung 4.7 b) und c) zu sehen.Auch dieser Ausnahmepunkt hat das Permutationsverhalten eines EP2.

Durchlauft der Streulangenparameter aber Pfad 1 in Abbildung 4.7 a) mit der Parame-trisierung

asc(φ) = a0 + rR cosφ+ irI sinφ (4.15)

mit a0 = −0.0078, rR = 0.002 und rI = 0.001, so zeigt sich das in Abbildung 4.7 d) unde) zu sehende Permutationsverhalten. Auch dieses Permutationsverhalten der Meanfiel-denergie ist das eines EP2. Jedoch sind nun an der Permutation die Energien andererZustande beteiligt. Es sind die Energien derselben Zustande (2a) und (2b), die schon ander Permutation im symmetrischen Fall beim Umkreisen der Heugabelbifurkation (vgl.Abbildung 4.6) beteiligt waren.

Geht man schrittweise von Pfad 1 zu Pfad 2 in Abbildung 4.6 a) uber, so wechselt dasPermutationsverhalten schlagartig. Umlauft man die Bifurkation auf weiteren Parame-terpfaden, die wie in Gleichung (4.15) parametrisiert sind, jedoch mit anderen Wertenfur rR und rI und zeichnet alle Pfade bei denen sich das Verhalten andert in die komplexeStreulangenebene ein, so schneiden sich diese Pfade in zwei Punkten. Dies lasst daraufschließen, dass es sich bei diesen Punkten um weitere Ausnahmepunkte handelt. Sinddiese Punkte vom Parameterpfad umschlossen, so andert sich das Permutationsverhal-ten.

Um dies genauer zu untersuchen betrachtet man die Energiedifferenzen zwischen denverschiendenen Zustanden. Eine Bedingung fur das Auftreten von Ausnahmepunktenist die Energieentartung zweier Zustande, da es sich um einen Verzweigungspunkt han-deln muss. In Abbildung 4.8 ist die minimale Energiedifferenz zwischen zwei Zustandenfur die gebrochene Fallensymmetrie zu sehen. Es sind drei Punkte zu erkennen, an de-nen die Energie zweier Zustande entartet. Der erste Punkt liegt auf der reellen Achse bei

42

4.5. Ausnahmepunkte bei nicht zylindersymmetrischen Fallenparametern

−0.001

0

0.001

−0.01 −0.009 −0.008 −0.007 −0.006

Im a

sc

Re asc

a)

Tangentenbif.

Pfad 1Pfad 2

−200

−100

0

100

200

363200 363400 363600

Im E

mf

Re Emf

b)

c)

−20

−10

0

10

20

363500 363520

Im E

mf

Re Emf

c)

−2000

0

2000

360000 365000

Im E

mf

Re Emf

d)

e)

−100

−50

0

50

100

365000 365100 365200

Im E

mf

Re Emf

e)

Abbildung 4.7.: a) zeigt die komplexe Parameterebene der Streulange. Es ist der Bifur-kationspunkt der Tangentenbifurkation aus Abbildung 4.4 fur den Sym-metrieparameterwert s = 0.001 zu sehen. b) und c) zeigen das Verhaltender Meanfieldenergie beim Umkreisen von asc = −0.0071 mit Pfad 2 ausa). d) und e) zeigen das Verhalten der Meanfieldenergie beim Umkreisenvon asc = −0.0078 mit Pfad 1 aus a).

43


Abbildung 4.8.: Es ist die minimale Energiedifferenz zwischen den Meanfieldenergienzweier Zustande fur den gegebenen komplexen Streulangenparameterin der Fallengeometrie zu sehen, die durch Gleichung (4.7) bis (4.12)gegeben ist.

asc = −0.0071. Es handelt sich bei ihm um den Tangentenbifurkationspunkt aus Abbil-dung 4.4. Die beiden anderen Entartungspunkte liegen bei asc = −0.0082± 0.00062i.

Im Folgenden soll nun das Permutationsverhalten dieser drei Entartungspunkte syste-matisch untersucht werden. Hierfur werden einer oder mehrere der drei Punkte voneinem Parameterpfad umschlossen und das Verhalten der Meanfieldenergiewerte wirdbetrachtet:

• Wie schon in Abbildung 4.7 gezeigt, handelt es sich beim Tangentenbifurkations-punkt bei asc = −0.0071 um einen Ausnahmepunkt mit EP2 Verhalten, an demdie an der Tangentenbifurkation beteiligten Zustande vertauschen.

• Abbildung 4.9 b) zeigt, dass auch der Entartungspunkt in der positiven komplexenHalbebene bei asc = −0.0082 + 0.00062i ein Ausnahmepunkt mit EP2 Verhaltenist.

• Auch der Punkt bei asc = −0.0082−0.00062i ist, wie in Abbildung 4.9 c) zu sehen,ein Ausnahmepunkt der EP2 Verhalten zeigt.

• Interessant ist das Permutationsverhalten, wenn zwei Punkte gemeinsam innerhalbeines Parameterpfads liegen. In Abbildung 4.10 a) sind solche Pfade eingetragen.Betrachtet man Abbildung 4.10 b) bis e), so zeigt sich ein EP3 Permutationsverhal-ten. Daraus kann man schließen, dass bei den einzelnen Ausnahmepunkten immer

44

4.5. Ausnahmepunkte bei nicht zylindersymmetrischen Fallenparametern

unterschiedliche Paare von Zustanden vertauschen, da sich sonst die Permutatio-nen zweier Ausnahmepunkte aufheben wurden.

• Das Permutationsverhalten der Meanfieldenergiewerte beim Umschließen aller dreiAusnahmepunkte zeigt (wie in Abbildung 4.7 c) zu sehen) wieder die Signatur einesEP2, dass heißt zwei Zustande permutieren.

750

800

850

362450 362500 362550

Im E

mf

Re Emf

b)

−850

−800

−750

362450 362500 362550

Im E

mf

Re Emf

c)

Abbildung 4.9.: In a) ist die minimale Energiedifferenz zweier Zustande aufgetragen, wiesie auch in Abbildung 4.8 zu sehen ist. Zusatzlich sind die beiden Pa-rameterpfade 3 und 4 eingetragen, die einzeln die beiden Punkte in denkomplexen Halbebenen umschließen. In b) sind die Meanfieldenergienbei Verwendung von Pfad 3 aufgetragen. Abbildung c) zeigt die Mean-fieldenergien, wenn Pfad 4 durchlaufen wird.

45


0

2000

362000 364000

Im E

mf

Re Emf

b)

300

400

500

364000 364100 364200

Im E

mf

Re Emf

c)

−500

−400

−300

364000 364100 364200

Im E

mf

Re Emf

d)

−10

−5

0

5

10

362380 362390 362400

Im E

mf

Re Emf

e)

Abbildung 4.10.: In a) ist die minimale Energiedifferenz zwischen den Zustanden auf-getragen, die auch in Abbildung 4.8 zu sehen ist. Es sind zudem dieParameterpfade 5, 6 und 7 eingezeichnet, die jeweils zwei Entartungs-punkte umschließen. Die Abbildungen b) und c) zeigen die Meanfield-energiewerte fur Pfad 5, Abb. d) die Werte fur Pfad 6 und Abb. e) dieEnergiewerte fur Pfad 7.

46

4.6. Komplexer Symmetrieparameter

4.6. Komplexer Symmetrieparameter

In den vorangegangenen Abschnitten wurde fur den Punkt der Heugabelbifurkation dietypische Signatur eines EP2 beobachtet. Am Bifurkationspunkt entarten jedoch dreiZustande, sodass man einen EP3 erwarten konnte.

In [25] wird gezeigt, dass es fur einen EP3 zwei verschiedene Reihenentwicklungen gibt,von denen die eine das typische Kubikwurzelverhalten eines EP3 zeigt [26]. Die andereEntwicklung zeigt jedoch die Signatur, die charakteristisch fur einen EP2 ist.

In Kapitel 3.7 wurden die Bewegungsgleichungen fur die Variationsparameter bzgl. derStreulange asc analytisch fortgesetzt. Man kann nun diese Gleichungen auch bzgl. desSymmetrieparameter s, der das Fallenverhaltnis zwischen der Falle in x- und der Fallein y-Richtung beschreibt (vgl. Gleichungen (3.57) bis (3.59)), analytisch fortsetzen. Furden Ansatz mit nur einer Gaußfunktion ist dies (wie auch fur asc in 3.7.1) einfach zuerreichen, indem in den Bewegungsgleichungen s nun ein komplexer Parameter ist (unddamit auch ωx,y,z ∈ C). Ebenso wird wieder der Losungsraum erweitert, d.h. die AI

x,y,z

werden ebenfalls zu komplexen Großen.

Es werden im Folgenden dieselben γ = 3.4 · 104 und λ = 6 fur die Fallenparameter wiezuvor verwendet. Statt aber nun den zuvor untersuchten Heugabelbifurkationspunkt furfestes s und variiertes asc zu untersuchen, wird nun asc = −0.00779 ≈ acrit festgehaltenund s folgt der Parametrisierung

s(φ) = r0eiφ (4.16)

mit r0 = 0.001 (vgl. Parameterpfad in Abbildung 4.11 a) ).

In Abbildung 4.11 b) ist das Permutationsverhalten der Meanfieldenergie fur den Para-meterpfad des Symmetrieparameters aus a) zu sehen. Es vertauschen alle drei Zustandemiteinander. Dies ist die Signatur eines EP3.

Das hier untersuchte System zeigt viele der Eigenschaften, die die beiden Reihenentwick-lungen aus [25] fur einen EP3 nahelegen. Wie genau dieser Ausnahmepunkt einzuordnenist, macht jedoch weitere Untersuchung eines Matrixmodells notwendig, das lokal dasVerhalten dieses Systems zeigt.

47


−0.001

0

0.001

−0.001 0 0.001

Im s

Re s

a)

−4

0

4

362450 362455 362460

Im E

mf

Re Emf

b)

Abbildung 4.11.: In a) ist der Parameterpfad fur den komplexen Symmetrieparameterzu sehen. In b) ist das Verhalten der Energiewerte diesen Pfad aufge-tragen. Alle drei Energiewerte permutieren.

48

5. Matrixmodell

Da Ausnahmepunkte laut Definition in Kapitel 2 Punkte sind, an denen sich die Ei-genwerte einer linearen Abbildung in einem Verzweigungspunkt treffen, soll nun fur dieMeanfieldenergien in der Umgebung der Ausnahmepunkte, welche in Kapitel 4 beobach-tet wurden, eine 3× 3 Matrix gefunden werden, deren Eigenwerte in Abhangigkeit vomStreulangenparameter asc lokal dieses Verhalten aufweisen.

5.1. 3x3 Matrix und charakteristisches Polynom

Da an der Heugabelbifurkation in Kapitel 4 drei Zustande beteiligt sind, benotigen wireine Matrix, die mindestens drei Eigenwerte besitzt, um das Verhalten abbilden zu kon-nen. Die Matrix

M(asc) =

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

(5.1)

hangt dabei von der Streulange asc ab. Ziel ist es, die Eintrage der Matrix bzw. stell-vertretend die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms durch einfache Funktionen(z.B. Taylorpolynome) in Abhangigkeit von asc darstellen zu konnen. Diese Funktionendurfen keine Besonderheiten wie z.B. Unstetigkeiten oder Singularitaten aufweisen.

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms derMatrix. Dieses hat bei einer 3× 3 Matrix die Form

χ(λ) = det (λE −M) = λ3 + aλ2 + bλ+ c , (5.2)

wobei E die 3× 3-Einheitsmatrix ist und fur die Nullstellensuche nur die Koeffizientena, b und c relevant sind. Diese lassen sich aus der zugrundeliegenden 3× 3 Matrix mit

a = −trM , (5.3)

b = (m11m22 −m12m21) + (m11m33 −m13m31) + (m22m33 −m23m32) , (5.4)

c = −detM , (5.5)

49

Kapitel 5. Matrixmodell

berechnen. Wenn die Eigenwerte λ1, λ2 und λ3 bekannt sind, lassen sich die Koeffizientenauch mit

a = −(λ1 + λ2 + λ3) , (5.6)

b = λ1λ2 + λ1λ3 + λ2λ3, (5.7)

c = −λ1λ2λ3 (5.8)

berechnen.

5.2. Anpassen der Taylorpolynomkoeffizienten

Im Folgenden suchen wir nun eine Taylorentwicklung fur die Koeffizienten des charak-teristischen Polynoms, das einer Matrix zugeordnet werden kann, deren Eigenwerte diein Kapitel 4 gezeigte Heugabelbifurkation abbilden. Die Koeffizienten des charakteristi-schen Polynoms, ausgedruckt als Taylorreihe, lauten

a(asc) =Na∑i=0

aiaisc , (5.9)

b(asc) =

Nb∑i=0

biaisc , (5.10)

c(asc) =Nc∑i=0

ciaisc . (5.11)

Die Koeffizienten ai, bi und ci hangen dabei von den Fallenparametern ab. Fur jedeFallengeometrie mussen die Koeffizienten des Taylorpolynoms in eine neue Taylorreiheentwickelt werden.

Um hohe Werte der Meanfieldenergien und der Koeffizienten (und der damit einherge-henden numerischen Probleme) zu vermeiden, wird der Energienullpunkt verschoben. DieEnergieeigenwerte des symmetrischen angeregten Zustands der zylindersymmetrischenFalle (γ = 3.4 · 104, λ = 6, s = 0), lassen sich durch ein Polynom p(asc) in asc appro-ximieren. Im Folgenden wird nun von allen Energiewerten dieses Polynom subtrahiert

Emf = Emf − p(asc), (5.12)

sodass diese in der Nahe der Bifurkation kleine Werte annehmen.

50

5.3. Nullstellen des charakteristischen Polynoms

−20 0

20 40 60 80

100 120 140

−0.009 −0.008 −0.007

a, b

, c

asc

a)

a exacta gefittet

b exactb gefittet

c exactc gefittet

−2⋅10−5

−1⋅10−5

0⋅100

1⋅10−5

2⋅10−5

3⋅10−5

−0.01 −0.008 −0.006−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

∆a

∆b, ∆

c

asc

b)

δaδbδc

Abbildung 5.1.: a) zeigt die an die Datenpunkte angefitteten Reihenentwicklungen derKoeffizienten des charakteristischen Polynoms fur γ = 3.4 · 104, λ = 6und s = 0.001. Abbildung b) zeigt die Differenz zwischen exakten undgefitteten Koeffizienten.

Die Koeffizienten der Taylorentwicklung ai, bi und ci konnen nun uber einen Least-Square-Fit bestimmt werden. Fur Na = Nb = 6 und Nc = 8 sind in Abbildung 5.1 dieKoeffizienten des charakteristischen Polynoms gezeigt. Sie wurden dabei sowohl durchdas Auswerten der Taylorpolynome als auch mithilfe der Energieeigenwerte des exaktenSystems (Gleichungen (5.6) bis (5.8) ) berechnet. Dabei ist zu sehen, dass mit der gewahl-ten Ordnung der Taylorpolynome eine gute Darstellung der Koeffizienten moglich ist.Die Koeffizienten des Taylorpolynoms sind dabei glatte Funktionen ohne Unstetigkeitenoder Singularitaten.

5.3. Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms (5.2) lassen sich mithilfe der cardani-schen Formeln bestimmen. Sie lauten

E1 = u+ v − a

3, (5.13)

E2 = ε1u+ ε2v −a

3, (5.14)

E3 = ε2u+ ε1v −a

3, (5.15)

51


wobei gilt

q = a2 + 3b , p =4a3

27+

2ab

3+ 2c , D = q2 + p3 ,

u =3

√−q +

√D , v =

3

√−q −

√D , ε1,2 = −1

2± i

√3

2.

5.4. Qualitat der Approximation

Um die Qualitat der Approximation der obigen Darstellung durch Taylorpolynome be-urteilen zu konnen, werden in Abbildung 5.2 der Real- und Imaginarteil der Energieei-genwerte im Bereich der Bifurkation fur nicht symmetrische Fallenparameter betrachtet.Die Realteile in Bild a) stimmen sehr gut uberein.

Die Imaginarteile in Bild b) zeigen kleine Abweichungen im Bereich der Tangentenbi-furkation. Insbesondere ist der Bifurkationspunkt bzgl. der Streulange asc leicht verscho-ben.

Da wir insbesondere die in Kapitel 4 gesehene Aufspaltung in drei Ausnahmepunkteuntersuchen wollen, betrachten wir, wie schon in den vorangegangenen Kapiteln, die mi-nimale Differenz zwischen je zwei Energieeigenwerten. Fur die gefittenten Koeffizientenist dies in Abbildung 5.3 zu sehen. Die drei Punkte, die fur das exakte System in Ab-bildung 4.8 zu sehen sind, sind verschwunden und an ihre Stelle sind jeweils drei neueEntartungspunkte getreten.

Es soll nun untersucht werden, um was fur Punkte es sich hierbei handelt und welchesPermutationsverhalten diese aufweisen. Dazu werden die Punkte einzeln und in Grup-pen von Parameterpfaden in der komplexen Streulangenebene umschlossen. Zusatzlichwird das Verhalten der Meanfieldenergien des Matrixmodells mit den Energien aus denexakten Rechnungen verglichen.

Zuerst soll hierbei eine der Dreiergruppen genauer untersucht werden:

• Abbildung 5.4 a) zeigt die drei Dreiergruppen. Im Folgenden soll die Dreiergruppe,welche auf der reellen Achse liegt, genauer betrachtet werden. Dafur ist in Abbil-dung 5.4 b) ein Ausschnitt von a) zu sehen, der diese Dreiergruppe und moglicheParameterpfade (Weg 0 bis 3) zeigt.

• Weg 0 aus b) fuhrt um das Zentrum der Dreiergruppe, umschließt jedoch keinender drei Punkte. Die Eigenwerte des Matrixmodells (Abb. c), Linien) zeigen fur

52


−10

0

Re

Em

f

a)

Energieeigenwert 2gefittet



−0.5

0

0.5

−0.0078 −0.0076 −0.0074 −0.0072 −0.007 −0.0068

Im E

mf

asc

b)

Abbildung 5.2.: Es sind in a) die Real- bzw. in b) die Imaginarteile der Energieeigenwertefur das exakte sowie fur das Matrixmodell zu sehen. Die Punkte zeigendabei die exakten numerischen Werte, die Linien die Werte, die aus demMatrixmodell gewonnen wurden. Die beiden Pfeile zeigen die Stellen andenen die Bifurkation im exakten System und im Matrixmodell auftritt.

53


Abbildung 5.3.: Die minimale Energiedifferenz zwischen je zwei Energieeigenwerten desMatrixmodellsystems.

diesen Pfad daher auch keine Permutation, sondern gehen nach einem Vollkreiswieder in sich selbst uber.

Die Werte des ursprunglichen Systems (Punkte) zeigen hier jedoch das Permu-tationsverhalten eines EP2, wie es schon in Abbildung 4.7 zu sehen war, da derPfad den Tangentenbifurkationspunkt aus Abbildung 4.7 umschließt. Dieser ist imMatrixmodell jedoch in eine Deiergruppe aufgespalten.

• In Abbildung d) sind die Eigenwerte der Matrix aus dem Matrixmodell zu sehen,wenn Weg 1 aus b) durchlaufen wird. Es zeigt sich ein EP2 Permutationsverhal-ten. Selbiges Verhalten zeigt sich auch, wenn die beiden anderen Punkte einzelnumkreist werden.

• In e) zeigt sich kein Permutationsverhalten. Fur diese Abbildung durchlauft derStreulangenparameter Weg 2 aus Abbildung b). Die Permutationen der beideneinzelnen Punkte heben sich auf. Daraus lasst sich schließen, dass an beiden Per-mutationen die selben Zustandspaare beteiligt sind und diese Permutationen sichgegenseitig aufheben.

• In Bild f) wird die Dreiergruppe als Ganzes umschlossen (Weg 3 aus b)). Sie zeigtwieder EP2 Verhalten. Die Werte aus dem Matrixmodell (Linen) und die Wertedes ursprunglichen Systems (Punkte) stimmen sehr gut uberein.

54


−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

1 1.1 1.2 1.3 1.4

Im E

mf

Re Emf

c)

−0.2

0

0.2

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Im E

mf

Re Emf

d)

−0.8

−0.4

0

0.4

0.4 0.8 1.2 1.6 2

Im E

mf

Re Emf

e)

−2

−1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Im E

mf

Re Emf

f)

Abbildung 5.4.: a) und b) zeigt die minimale Energiedifferenz zwischen verschiedenenEigenwerten (vgl. Abb. 5.3). In b) sind noch die Parameterwege 0 bis3 der komplexen Streulange asc eingetragen. c) bis f) zeigen die Mean-fieldenergien des ursprunglichen Systems (Punkte) und die Eigenwertedes Matrixmodells (Linien), wenn die Streulange c) Weg 0, d) Weg 1, e)Weg 2 und f) Weg 3 durchlauft.

55


=

=

=a)

b)

c)

Abbildung 5.5.: Die Grafik zeigt das Permutationsverhalten der Eigenwerte, wenn meh-rere Ausnahmepunkte einer Dreiergruppe kombiniert werden. a) zeigtdas Permutationsverhalten beim Umkreisen eines Punktes. b) zeigt dasVerhalten, wenn zwei Punkte innerhalb des Parameterpfads liegen. Bei-de Punkte vertauschen bei einzelner Umkreisung dasselbe Eigenwert-paar. Bei dieser Kombination ist keine Permutation beobachtbar. c)zeigt das Umkreisen der gesamten Gruppe. Das Permutationsverhaltenist wieder dasselbe wie bei der Umkreisung eines einzelnen Punktes.

Das qualitative Permutationsverhalten beim Umlaufen von einzelnen Punkten sowie vonKombinationen aus Punkten innerhalb einer Dreiergruppe des Matrixmodells kann, wiein Abbildung 5.5 gezeigt, illustriert werden.

An den einzelnen Ausnahmepunkten innerhalb einer Dreiergruppe ist immer dasselbeZustandspaar beteiligt. Auch die Dreiergruppen in den imaginaren Halbebenen habenqualitativ dasselbe Verhalten.

Nun wird das globale Verhalten untersucht, d.h. die einzelnen Untergruppen werdenals ein Objekt betrachtet. Parameterpfade umschließen diese Gruppen immer als Gan-zes. Auf diese Art und Weise soll untersucht werden, ob das kombinierte Verhalten derdrei Dreiergruppen dem Verhalten der drei Ausnahmepunkte im ursprunglichen Systementspricht:

• In Abbildung 5.6 a) sind die drei Ausnahmepunkte des ursprunglichen Systems zusehen. Die drei eingezeichneten Wege sind dabei so gewahlt, dass auch im Matrix-modell die Punktgruppen immer als Ganzes innerhalb oder außerhalb des Pfadesliegen.

• Weg 1 in a) umschließt einen einzelnen Punkt bzw. die komplette zugehorige Dreier-gruppe des Matrixmodells. In b) sind die Meanfieldenergiewerte des Matrixmodells(Linien) und des ursprunglichen Systems (Punkte) zu sehen. Beide stimmen sehr

56


−5

0

5

−15 −10 −5 0 5

Im E

mf

Re Emf

b)

gefittedexakt

−10

0

10

20

−30 −20 −10 0 10

Im E

mf

Re Emf

c)c)

−20

−10

0

10

20

−30 −20 −10 0 10

Im E

mf

Re Emf

d)d)

Abbildung 5.6.: a) zeigt die minimale Energiedifferenz zwischen zwei Zustanden des ur-sprunglichen Systems und die Parameterwege 1 bis 3. In b) (Weg 1), c)(Weg 2) und d) (Weg 3) sind die zu diesen Pfaden gehorenden Meanfield-energiewerte des ursprunglichen Systems (Punkte) und die Eigenwerteder Matrix des Matrixmodells (Linien) zu sehen.

57


=

=

=

a)

b)

c)

Abbildung 5.7.: Im Gegensatz zu Abbildung 5.5 werden immer ganze Punktgruppen um-kreist. Die einzelnen Gruppen vertauschen bei einzelner Umkreisung (a)zwei Zustande (EP2). In b) werden nun zwei Gruppen kombiniert. Dasdaraus resultierende Permutationsverhalten entspricht dem eines EP3,d.h. alle drei Zustande sind an der Permutation beteiligt. Werden dage-gen alle drei Gruppen gemeinsam umlaufen c), entspricht das Vertau-schungsverhalten wieder dem eines EP2.

gut uberein. Es ist wie in Abbildung 4.7 in Kapitel 4 ein EP2 Permutationsverhal-ten zu sehen.

• Weg 2 umschließt zwei Punkte. Auch hier stimmen sowohl die Werte als auch dasPermutationsverhalten von Matrixmodell und ursprunglichem System uberein. DieSignatur ist die eines EP3 Ausnahmepunkts.

• Auch bei Weg 3, bei dem alle drei Punkte umkreist werden, zeigt das Matrixmodelldie Permutationseigenschaften und die Werte des ursprunglichen Systems.

Betrachtet man im Matrixmodell immer ganze Punktgruppen, so zeigt sich wieder das-selbe Verhalten wie im ursprunglichen System. In Abbildung 5.7 ist das qualitative Per-mutationsverhalten von Kombinationen aus ganzen Gruppen illustriert. Es zeigen sichdie Unterschiede, die im Vergleich zu Abbildung 5.5 auftreten, bei der bei allen Ausnah-mepunkten immer die gleichen Zustandspaare beteiligt waren. Hier sind nun jeweils zweiverschiedene Zustandspaare an den Permutationen beteiligt. Bei Kombinationen zwei-er solcher Permutationen heben diese sich daher nicht langer gegenseitig auf, sondernzeigen die Signatur eines EP3 Ausnahmepunkts.

58

5.5. Ursache fur die Aufspaltung der Ausnahmepunkte im Matrixmodell

5.5. Ursache fur die Aufspaltung der Ausnahmepunkteim Matrixmodell

Wie im vorherigen Abschnitt zu sehen ist, stimmt das Permutationsverhalten der Rech-nung des exakten mit dem des gefitteten Systems uberein, wenn wir die Pfade im gefit-teten System immer so wahlen, dass alle Punkte einer Dreiergruppe komplett innerhalbbzw. außerhalb des vom Pfad umschlossenen Gebietes liegen.

Um zu untersuchen, ob die Aufspaltung der Ausnahmepunkte des ursprunglichen Sys-tems in Dreiergruppen numerische Grunde hat, suchen wir eine notwendige Bedingungfur die Entartung zweier Energieeigenwerte in Abhangigkeit der Koeffizienten des cha-rakteristischen Polynoms.

Wir setzen das Verhalten der Energiewerte in der Nahe einer Bifurkation an der Stelleasc = 0 mit

E1(asc) = α(asc) und (5.16)

E2,3(asc) = β(asc)± γ n√asck (5.17)

an, d.h. die Energiewerte E2 und E3 entarten im Verzweigungspunkt asc = 0 und sindZweige einer analytisch fortgesetzten Funktion. Die Potenz, mit der sich die beiden ander Bifurkation beteiligten Energien voneinander entfernen, ist k

n.

Berechnen wir mit Gleichungen (5.6) bis (5.8) die Koeffizienten des charakteristischenPolynoms (5.2), so erhalten wir

a(asc) = α(asc) + β(asc) , (5.18)

b(asc) = 2α(asc)β(asc) + β(asc)2 − (γ n

√aksc)

2 , (5.19)

c(asc) = α(asc)β(asc)2 − α(asc)(γ

n√aksc)

2 . (5.20)

Um nun eine Bedingung fur die Entartung zweier Nullstellen zu erhalten, betrachtenwir die Differenz zweier Nullstellen des charakteristischen Polynoms, welche wir aus dencardanischen Losungsformeln (5.14) und (5.15) erhalten. Diese Differenz

∆E2,3 = E3 − E2

= ε1u+ ε2v − ε2u− ε1v= (ε1 − ε2)(u− v)

= i√

3(u− v) (5.21)

(5.22)

59


−10

−5

0

5

10

−0.0001 0

D(a

sc)

asc − acrit

exactgefittet

Abbildung 5.8.: Die Abbildung zeigt die Werte der notwendigen Bedingung D(asc) ausGleichung (5.23) sowohl fur das exakte als auch fur das Matrixmodell(gefittet).

muss an der Entartungsstelle null sein. Daraus ergibt sich nach Einsetzen obiger Defini-tionen die Bedingung

D(asc) =a(asc)

2b(asc)2

108+b(asc)

3

27+a(asc)

3c(asc)

27− a(asc)b(asc)c(asc)

6+c(asc)

4(5.23)

mit D(asc = 0) = 0. In Abbildung 5.8 ist der Wert dieser notwendigen Bedingung uberder reellen Streulange im Bereich der Bifurkation aufgetragen.

Wie in der Abbildung zu sehen ist, hat die Funktion an der Nullstelle der exakten Rech-nung eine Steigung, die sehr klein ist. Dies fuhrt dazu, dass selbst kleinste numerischeAbweichungen, die die Kurve leicht nach oben oder unten verschieben, große Verschie-bungen der Nullstelle bewirken (wie die gefittenden Werte in der Ableitung zeigen).Wenn wir komplexe Funktionen, wie z.B. f(x) = x3 betrachten, und dieser einen kleinenVersatz a hinzufugen, spalten sich die Nullstellen in der komplexen Ebene auf.

60

5.5. Ursache fur die Aufspaltung der Ausnahmepunkte im Matrixmodell

Die Frage ist nun, ob dieses Verhalten an allen Punkten, an denen die Energie entartetist, auftritt. Dafur betrachten wir die Ableitung von Gleichung (5.23). Wir erhalten

∂

∂ascD(asc) = − 2k

27na

2kn−1

sc γ2[3a

4knsc γ

4 + α(asc)4 − 4α(asc)

3β(asc)− 4a2knsc γ

2β(asc)2 + β(asc)

4

+α(asc)2(−4a

2knsc γ

2 + 6β(asc)2)

+ α(asc)(

8a2knsc γβ(asc)− 4β(asc)

3)]

+4γ2

27a

2knsc (α(asc)− β(asc))(

γ2a2knsc − α(asc)

2 + 2α(asc)β(asc)− β(asc)2)

(α′(asc)− β′(asc)) . (5.24)

Fur n > 0 und k > n2

und unter der Annahme, dass α(asc = 0), β(asc = 0) undderen Ableitungen fur asc = 0 endliche Werte annehmen, ist die Ableitung ∂

∂ascD(asc)

fur asc = 0 null. In Abbildung 5.9 ist die Differenz zwischen den zwei an der Bifurkationbeteiligten Energien fur das Matrixmodell zu sehen. Der Fit zeigt, dass die Differenz inetwa n ≈ 2 > 0 und k ≈ 3 > n

2betragt.

-2

0

2

-0.0002 0 0.0002 0.0004

-2

0

2

Re

∆E, R

e f(

a sc)

Im ∆

E, I

m f(

a sc)

asc - acrit

Re ∆EFit: Re f(x)

Im ∆EFit: Im f(x)

Abbildung 5.9.: Energiedifferenz zwischen den an der Matrix beteiligten Energiewer-ten fur das Matrixmodell. Dabei hat die Funktion f(asc) die Formf(asc) = caqsc mit q ≈ 1.49128 ≈ 3

2.

Die Aufspaltung der Punkte ist somit ein rein numerisches Problem. Will man also dieAufspaltung der Ausnahmepunkte verhindern, so muss die Genauigkeit der Koeffizientenerhoht werden. Dies kann global durch hohere Polynomordnungen der Taylorpolynomegeschehen oder lokal, indem der Bereich, in dem die Stutzpunkte fur den Least-Square-Fit gewahlt werden, verkleinert wird.

61


Abbildung 5.10.: Die Abbildungen zeigen die minimalen Differenz zwischen zwei Energie-werten. Abbildung a) zeigt einen Ausschnitt aus Abbildung 4.8 des ex-akten Systems, wahrend in b) der gleiche Ausschnitt des Matrixmodellsmit dem Koeffizientenfit aus Abbildung 5.3 zu sehen ist. Abbildung c)zeigt das Ergebnis eines Least-Square-Fits, bei dem die Stutzpunktenaher am Bifurkationspunkt gewahlt wurden, um hier eine moglichstgenaue Approximation zu erreichen.

In Abbildung 5.10 a) ist der Ausnahmepunkt fur das exakte System zu sehen. In b) istdessen Aufspaltung fur den am Anfang dieses Kapitels durchgefuhrten Least-Square-Fitzu sehen. In c) wurde der Parameterbereich, aus dem die Punkte fur den Least-Square-Fitgewahlt wurden, verkleinert. Man sieht nun wieder nur einen Ausnahmepunkt anstattder aufgespalteten Dreiergruppe.

Die obige zusatzliche Aufspaltung hat rein numerische Grunde und kann durch einehohere Prazison vermieden werden.

In diesem Kapitel wurde gezeigt, dass es gerechtfertigt ist, die Bifurkationspunkte ausKapitel 4, die die Eigenschaften von Ausnahmepunkten aufweisen, auch als solche zubezeichnen, da sich das System lokal durch ein lineares Matrixmodell beschreiben lasstund somit die ursprungliche Definition erfullt ist, auch wenn dem System die nichtlineareGPE zugrunde liegt.

62

6. Ergebnisse fur den Ansatz mitgekoppelten Gaußfunktionen

In Kapitel 4 wurde als Ansatz fur die Wellenfunktion immer eine einzelne Gaußfunktionverwendet. In [18, Kapitel 3.2.5] wurde gezeigt, dass fur einen Ansatz aus gekoppeltenGaußfunktionen die Zustande gegen die Losungen von numerischen Gitterrechnungenkonvergieren. In [27] wurde zudem ein Stabilitatswechsel des Grundzustands gefunden,der auf eine Heugabelbifurkation hindeutet (vgl. Abbildung 6.1).

57500 58000 58500 59000 59500

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

Em

f

asc

II

I

(b)(c)

(a)

gcoupled

ucoupled

numerical

-6000-4000-2000

0 2000 4000 6000

-0.005 -0.0045 -0.004 -0.0035 -0.003 -0.0025 -0.002

λ

asc

(c)

Re λIm λ

Abbildung 6.1.: Die obere Abbildung (Quelle: [27, Figure 12a]) zeigt die Meanfieldener-gie des Grundzustandes sowie des angeregten Zustands eines dipolarenBose-Einstein-Kondensates, wobei als Ansatz fur die Wellenfunktion ge-koppelte Gaußfunktionen verwendet wurden. Bei asc ≈ −0.0036 findetdabei ein Stabilitatswechsel im Grundzustand statt. Die untere Abbil-dung (Quelle: [27, Figure 12c]) zeigt den fur den Stabilitatswechsel ver-antwortlichen Eigenwert der Jacobi-Matrix.

63

Kapitel 6. Ergebnisse fur den Ansatz mit gekoppelten Gaußfunktionen

6.1. Bifurkation des Grundzustands

Im Gegensatz zu den Heugabelbifurkationen aus Abbildung 4.1 in Kapitel 4 besitzt dieBifurkation in Abbildung 6.1 einen echten Stabilitatswechsel. Im Folgenden soll nun dieseBifurkation mit einem Ansatz aus sechs gekoppelten Gaußfunktionen genauer untersuchtwerden. Dabei wird die folgende Fallengeometrie verwendet:

• Fur die zylindersymmetrische Falle wird γ = 6887, λ = 7 und s = 0 gewahlt.

• Fur die nicht zylindersymmetrische Falle werden γ = 6887, λ = 7 und s = 0.001gesetzt.

Fur die in Abbildung 6.1 gezeigte Bifurkation fehlen noch die abspaltenden Zustande.Da wir mit sechs Gaußfunktionen rechnen, haben wir 23 komplexe Parameter (Breiten-parameter und Amplituden abzuglich der Normierung und einen Phasenparameter), diebestimmt werden mussen. Hierfur die stabilen abspaltenden Aste zu finden ist durch

”Ausprobieren“ von Startparametern fur das Newton-Raphson Verfahren schwierig.

Geht man davon aus, dass sich die Heugabelbifurkation unter Brechung der Zylinder-symmterie der Fallengeometrie qualtitativ wie die Bifurkation aus Kapitel 4 verhalt, soexistiert ein alternativer Weg, wie die abspaltenden Zustande ermittelt werden konnen:

• Wir starten mit dem Grundzustand bei einer Streulange, welche kleiner als die desBifurkationpunktes ist.

• Wir andern iterativ die Fallengeometrie, bis die Zylindersymmetrie ausreichendstark gebrochen ist. Nach jeder Anderung wird der vorherige Zustand als Startwertder Nullstellensuche verwendet.

• Nun wird die Streulange geandert, bis diese großer als die Streulange des Bifurka-tionpunkts ist. Auch hier wird wieder nach jeder Anderung eine Nullstellensuchemit dem vorherigen Zustand als Startwert durchgefuhrt.

• Nun kehrt man wieder zur zylindersymmetrischen Fallengeometrie zuruck. DerZustand, den man auf diesem Weg erhalt, ist einer der abspaltenden Aste derBifurkation.

Abbildung 6.2 illustriert dieses Verfahren. Hat man alle Schritte durchlaufen, landet manauf einem abspaltenden Ast der Bifurkation. Um den anderen Zweig der Bifurkationzu finden, kann man beim Brechen der Fallengeometrie die Fallenstarke in x- und y-Richtung vertauschen.

64

6.1. Bifurkation des Grundzustands

Abbildung 6.2.: Diese Abbildung zeigt schematisch den”Weg“, um die abspaltenden Zu-

stande der Heugabelbifurkation zu finden. Es wird zuerst die Zylinder-symmetrie der Falle gebrochen. Dann wird durch Anderung der Streu-lange dem Verlauf eines Astes gefolgt. Nachdem die Symmetriebrechungder Fallengeometrie wieder aufgehoben ist, befindet man sich auf einemder abspaltenden Aste.

65


58300

58400

58500

58600

−0.004 −0.003 −0.002

Em

f, isy

m

Streulänge

a)

symmetrisch 1nicht symmetrisch 2anicht symmetrisch 2b

−0.01

0

0.01

0.02

−0.0036 −0.0034

Em

f, isy

m −

Em

f, 1sy

m

Streulänge

b)

Abbildung 6.3.: Es sind die Meanfieldenergien der Zustande, die an der Heugabelbifur-kation beteiligt sind, zu sehen. Es handelt sich um eine symmetrischeFallengeometrie. In b) wurde dabei die Meanfieldenergie des Grundzu-stands von allen Energien subtrahiert, um die (im Vergleich zum abso-luten Energiewert) kleine Aufspaltung der Energien sichtbar zu machen.

Die Meanfieldenergie der Heugabelbifurkation bei asc ≈ −0.00355 ist fur eine symme-trische Falle in Abbildung 6.3 zu sehen. Der Grundzustand wird beim Durchlaufen derBifurkation stabil. Es spalten sich zwei in der Meanfieldenergie entartete Aste ab, derenWellenfunktionen um 90◦ gedreht sind und die die Zylindersymmetrie der Falle bre-chen.

Bei Symmetriebrechung tritt an Stelle der Heugabelbifurkation eine Tangentenbifurka-tion bei asc ≈ −0.0034, an der nur zwei Zustande beteiligt sind (vgl. Abbildung 6.4).

Das Verhalten dieser Bifurkation entspricht qualitativ dem der Heugabelbifurkation desvorangegangenen Kapitels mit dem Unterschied, dass es bei dieser Bifurkation zu einem

”echten“ Stabilitatswechsel kommt.

6.2. Ausnahmepunkte

Nachdem die Bifurkation das gleiche qualitative Verhalten wie in Kapitel 4 bezuglichder Symmetriebrechung der Fallengeometrie zeigt, wird nun uberpruft, ob dies auch aufdie Struktur der Ausnahmepunkte zutrifft.

66

6.2. Ausnahmepunkte

58300

58400

58500

58600

−0.004 −0.003 −0.002

Em

f, ius

ym

Streulänge

a)

12a2b

−0.01

0

0.01

0.02

−0.0036 −0.0034E

mf,

iusym

− E

mf,

1sym

Streulänge

b)

Abbildung 6.4.: Es sind die Meanfieldenergien der Zustande zu sehen, nachdem die Fal-lengeometrie gebochen wurde. In b) wurde dabei die Meanfieldenergiedes Grundzustands von allen Energien abgezogen, um die (im Vergleichzum absoluten Energiewert) kleine Aufspaltung der Energien sichtbarzu machen.

-0.00020

0.00000

0.00020

-0.0036 -0.0034 -0.0032

Re

a sc

Im asc

"map.txt" u 1:2:3"" u 1:(-$2):3

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

∆ E

mf

Abbildung 6.5.: Die Abbildung zeigt die minimalen Energiedifferenz zwischen den Mean-fieldenergien zweier Zustande. Es sind drei Punkte zu erkennen, an denendie Meanfieldenergie entartet. Die beiden

”Streifen’”, die von zwei der

drei Punkte zur y-Achse verlaufen, sind numerische Artefakte.

67


In Abbildung 6.5 ist hierfur die minimale Differenz zwischen den Energien zweier Zu-stande uber der komplexen Streulangenebene aufgetragen. Wie auch schon in Kapiel 4zeigt sich unter Symmetriebrechung ein Aufspalten des Heugabelbifurkationspunkts indrei Punkte, an denen die Energie zweier Zustande entartet ist.

Um zu uberprufen was fur ein Permutationsverhalten die einzelnen Entartungspunktebesitzen und ob alle Punkte auch Ausnahmepunkte sind, durchlauft die Streulange zuerstParameterpfade, die einen einzelnen Punkt umschließen. In Abbildung 6.6 a) ist derParameterpfad zu sehen, der den Punkt umschließt, der auf der reellen Achse liegt. Daschemische Potential µ (Abb. b) ), die Meanfieldenergie Emf (Abb. c) und d) ) sowie dieBreitenparameter (Abb. e) ) zeigen dabei eine Permutation zwischen zwei Zustanden. Diezwei vertauschenden Zustande sind dieselben, die in Abbildung 6.4 fur die gebrocheneFallengeometrie die Tangentenbifurkation bilden. Auch Umkreisungen der Punkte in denimaginaren Halbebenen zeigen ein solches EP2 Verhalten.

Werden zwei Punkte gemeinsam von einem Pfad des Streulangenparameters umschlossen(vgl. Abbildung 6.7), so zeigt sich, wie schon fur die Ausnahmepunkte in Kapitel 4, dieSignatur eines EP3, das heißt alle drei Zustande permutieren miteinander. Dies bedeutet,dass auch an allen drei einzelnen Ausnahmepunkten jeweils verschiedene Zustandspaarebeteiligt sind, da sich die Permutationen ansonsten aufheben wurden.

Werden alle drei Punkte vom Parameterpfad umschlossen (vgl. Abbildung 6.8), so ergibtsich wieder eine EP2 Vertauschung. Es werden nun die beiden in der Heugabelbifurkationfur symmetrische Fallengeometrie entstehenden Zustande vertauscht.

Somit ergibt sich fur diese Bifurkation bei Brechung der Fallengeometrie exakt dasselbequalitative Permutations- und Aufspaltungsverhalten der Ausnahmepunkte wie auchschon bei der Heugabelbifurkation in Kapitel 4.

68

6.2. Ausnahmepunkte

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

-0.0036 -0.0033

Im a

sc

Re asc

a)

-10-9-8-7-6-5-4

-8

-4

0

4

8

74260 74270 74280 74290 74300

Im µ

Re µ

b)

-8

-4

0

4

8

58380 58390 58400 58410

Im E

mf

Re Emf

c)

-2

-1

0

1

2

58407.8 58408 58408.2

Im E

mf

Re Emf

d)

-0.008

-0.004

0

0.004

0.008

-4.7 -4.69 -4.68 -4.67

Im A

x,re

1

Re Ax,re1

e)

Abbildung 6.6.: Die Grafiken zeigen das Vertauschungsverhalten, wenn einer der Punkteumkreist wird. Der Parameterpfad der Streulange ist in a), das chemi-sche Potential der Zustande in b) zu sehen. In c) ist die Meanfieldenergieaufgetragen. Da die Aufspaltung sehr klein ist, ist in d) ein Ausschnittaus c) vergroßert dargestellt. In e) ist das Verhalten eines der Breiten-parameter gezeigt. Sowohl in b), d) als auch in e) ist die Permutationzwischen zweien der Zustande zu sehen. Es handelt sich hierbei um dieZustande, die in Abbildung 6.4 die Tangentenbifurkation bilden.

69


-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

-0.0036 -0.0033

Im a

sc

Re asc

a)

-10-9-8-7-6-5-4

-25

0

25

50

74200 74240 74280 74320Im

µRe µ

b)

4

6

8

10

58407.8 58408 58408.2

Im E

mf

Re Emf

c)

-0.02

0

0.02

0.04

-4.74 -4.72 -4.7 -4.68 -4.66

Im A

x,re

1

Re Ax,re1

d)

Abbildung 6.7.: Die Grafiken zeigen das Vertauschungsverhalten, wenn zwei Punkte ge-meinsam umlaufen werden. Der Parameterpfad der Streulange ist in a)zu sehen. In b) ist die Meanfieldenergie aufgetragen. Da die Aufspaltungsehr klein ist, ist in c) ein Ausschnitt aus b) vergroßert dargestellt. Ind) ist das Verhalten eines der Breitenparameter gezeigt. Sowohl in c) alsauch in d) ist die Permutation zwischen allen drei Zustanden zu sehen.Es handelt sich hierbei um die Signatur eines EP3.

70

6.2. Ausnahmepunkte

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

-0.0036 -0.0033

Im a

sc

Re asc

a)

-10-9-8-7-6-5-4

-50

-25

0

25

50

74200 74240 74280 74320

Im µ

Re µ

b)

-4

-2

0

2

4

58407.8 58408 58408.2

Im E

mf

Re Emf

c)

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

-4.74 -4.72 -4.7 -4.68 -4.66

Im A

x,re

1

Re Ax,re1

d)

Abbildung 6.8.: Die Grafiken zeigen das Vertauschungsverhalten, wenn alle drei Punktegemeinsam umlaufen werden. Der Parameterpfad der Streulange ist in a)zu sehen. In b) ist die Meanfieldenergie aufgetragen. Da die Aufspaltungsehr klein ist, ist in c) ein Ausschnitt aus b) vergroßert dargestellt. Ind) ist das Verhalten eines der Breitenparameter gezeigt. Sowohl in c)als auch in d) ist die Permutation zwischen zwei der Zustande zu sehen.Es sind dieselben Zustande, die fur die ungebrochene Fallengeometrie inder Heugabelbifurkation entstehen.

71

7. Zusammenfassung und Ausblick

Das Ziel dieser Arbeit war es, Bifurkationen und die dazugehorenden Zustande in di-polaren Bose-Einstein Kondensaten zu finden und zu untersuchen, ob es sich bei diesenBifurkationspunkten um Ausnahmepunkte handelt.

In [14] war fur zylindrische Fallenparameter in einem angeregten Zustand ein Stabilitats-wechsel bzgl. eines der Eigenvektoren zu sehen. Fur diesen Wert der Streulange wurdein dieser Arbeit eine Heugabelbifurkation mit allen beteiligten Zustanden fur einen Wel-lenfunktionsansatz aus einer Gaußfunktion gefunden. Fur eine nicht zylindersymmetri-sche Falle wurde eine verschobene Tangentenbifurkation anstatt der Heugabelbifurkationbeobachtet. Fuhrt man einen Parameter ein, der die Fallensymmetrie in der xy-Ebenebeschreibt, so entspricht dieses Bifurkationsverhalten dem einer zweiparametrigen Cusp-Bifurkation.

Permutationsuntersuchungen der Meanfieldenergiewerte zeigten an den Bifurkations-punkten (sowohl der Heugabel- wie auch der Tangentenbifurkation) die Signaturen vonAusnahmepunkten. Rechnungen fur einen komplexen Streulangenparameter zeigten, dassder Heugabelbifurkationspunkt in drei Tangentenbifurkationspunkte aufspaltet. Nebendem Tangentenbifurkationspunkt auf der reellen Streulangenachse, wurden auch zwei Bi-furkationspunkte fur komplex konjugierte Werte der Streulange in der komplexen Ebenegefunden. Fur alle drei Punkte ist bei einer Umkreisung des Punktes in der komplexenStreulangenebene die Permutation von zwei Energiewerten zu sehen. Dies entspricht derSignatur eines EP2 Ausnahmepunktes. Bei Kombination von zwei Punkten wurde die Si-gnatur eines EP3 beobachtet. Bei Kombination aller drei Tangentenbifurkationspunktezeigte sich wieder das Permutationsverhalten der Heugabelbifurkation des symmetri-schen Falls (EP2 Permutationsverhalten).

Fur Zustande aus Rechnungen mit einem Ansatz aus gekoppelten Gaußfunktionen wur-de fur den Streulangenwert, fur den in [15] ein Stabilitatswechsel des Grundzustandesdes Kondensates beobachtet wurde, eine Heugabelbifurkation und die an ihr beteiligtenZustande gefunden. Die Bifurkation zeigt dabei das qualitativ gleiche Verhalten wie imzuvor besprochenen Fall mit dem Ansatz aus einer Gaußfunktion. Dies konnte man sichzu Nutze machen, um alle an der Bifurkation beteiligten Zustande zu ermitteln. Auchdas beobachtete Permutationsverhalten der Meanfieldenergiewerte dieser Bifurkationen

73

Kapitel 7. Zusammenfassung und Ausblick

(fur zylindersymmetrische und gebrochene Fallengeometrie) entsprach qualitativ demVerhalten des vorherigen Falls.

In Kapitel 5 wurde eine lineare Abbildung (eine 3× 3-Matrix) konstruiert, die lokal dasVerhalten der Meanfieldenergiewerte des Systems an der Heugabelbifurkation (Kapitel4) besitzt und die vom Streulangenparameter abhangig ist. Diese Abbildung erfullt alleEigenschaften der Definition eines Ausnahmepunktes. Damit wurde gezeigt, dass es sichbei diesem Bifurkationspunkt um einen Ausnahmepunkt handelt.

Statt fur den Streulangenparameter, wurde das Permutationsverhalten der Heugabel-bifurkation in Kapitel 4 auch bzgl. eines Symmetrieparameters, der das Verhaltnis derFallenstarken in x- und y-Richtung beschreibt, untersucht. Dabei zeigt der Bifurkati-onspunkt die Permutationssignatur eines EP3, statt der Signatur eines EP2, wie siefur die Untersuchung bzgl. der Streulange beobachtet wurde. In [25] werden fur einenEP3 Ausnahmepunkt zwei Reihenentwicklungen angegeben, die dieses unterschiedlichePermutationsverhalten bzgl. der zwei Parameter erklaren konnten. Hierfur ist es jedochnoch notig, eine Matrix zu konstruieren, die lokal das Verhalten des Systems zeigt unddie die Eigenschaften der Matrix aus [25] besitzt. Diese Matrix muss sowohl vom Streu-langenparameter als auch vom Symmetrieparameter abhangen.

74

A. Matrix- und Vektorelemente deszeitabhangigen Variationsprinzips

Im Folgenden werden die Matrix- und Vektorkomponenten aus Gleichung (3.34) ange-geben. Um die einzelnen Terme moglichst kurz und ubersichtlich schreiben zu konnen,werden wir zunachst einige Hilfsgroßen definieren. Weitere Informationen zur Berech-nung der einzelnen Komponenten finden sich in [14, 15, 18].

A.1. Verwendete Hilfsgroßen

Es werden im Folgenden die Abkurzungen

aklα = Akα − (Alα)∗, (A.1) γkl = γk − (γl)∗, (A.2)

aijklα = aijα + aklα , (A.3) γijkl = γij + γkl, (A.4)

κijklx =

√aklijx aijz aklz

aijx aklx aklijz

, (A.5) κijkly =

√√√√aklijy aijz aklz

aijy akly aklijz

(A.6)

verwendet. Außerdem treten elliptische Integrale der Form

RD = (x, y, z) =3

2

∫ ∞0

dt√(x+ t)(y + t)(z + t)3

(A.7)

und dessen Ableitungen

Rx(x, y, z) =∂

∂xRD(x, y, z) , (A.8)

Ry(x, y, z) =∂

∂yRD(x, y, z) (A.9)

auf. Die Integrale RD lassen sich mithilfe des Carlson Algorithmus berechnen [22]. Furfast alle Argumente lassen sich auch Rx und Ry so umformen [14], dass wieder elliptscheIntegrale der From RD in den Ausdrucken auftreten.

75

Anhang A. Matrix- und Vektorelemente des zeitabhangigen Variationsprinzips

A.2. Komponenten der Matrix M

In der Matrix M treten folgende Komponenten auf

⟨gl∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl√

−iaklx

√−iakly

√−iaklz

, (A.10)

⟨gl∣∣r2x∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl

2 (−iaklx )3/2√−iakly

√−iaklz

, (A.11)

⟨gl∣∣r2y∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl

2√−iaklx

(−iakly

)3/2√−iaklz, (A.12)

⟨gl∣∣r2z∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl

2√−iaklx

√−iakly (−iazxkl)

3/2, (A.13)

⟨gl∣∣r2xr2y∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl

4 (−iaklx )3/2(−iakly

)3/2√−iaklz, (A.14)

⟨gl∣∣r2xr2z∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl}

4 (−iaklx )3/2√−iakly (−iaklz )3/2

, (A.15)

⟨gl∣∣r2yr2z∣∣gk⟩ =

π3/2eiγkl}

4√−iaklx

(−iakly

)3/2(−iaklz )3/2

, (A.16)

⟨gl∣∣r2x∣∣gk⟩ =

3π3/2eiγkl

4 (−iaklx )5/2√−iakly

√−iaklz

, (A.17)

⟨gl∣∣r2y∣∣gk⟩ =

3π3/2eiγkl

4√−iaklx

(−iakly

)5/2√−iaklz, (A.18)

⟨gl∣∣r2z∣∣gk⟩ =

3π3/2eiγkl

4√−iaklx

√−iakly (−iazxkl)

5/2. (A.19)

76

A.3. Komponenten des Vektors r


In Gleichung (3.34) steht in den Elementen des Vektors r das Potential V . Dieses setztsich aus einem Streupotential Vsc, dem externen Fallenpotential Vext und der Dipol-DipolWechselwirkung Vdipol zusammen

V = Vsc + Vext + Vdipol . (A.20)

A.3.1. Streuterme

Das Streupotential lautetVsc = 8πasc |χ|2 . (A.21)

Damit erhalt man

⟨gl∣∣Vsc∣∣gk⟩ = 8ascπ

5/2

N∑i,j=1

eiγklij√

−iaklijx

√−iaklijy

√−iaklijz

, (A.22)

⟨gl∣∣r2xVsc∣∣gk⟩ = 4ascπ

5/2

N∑i,j=1

eiγklij√

−iaklijx

3√−iaklijy

√−iaklijz

, (A.23)

⟨gl∣∣r2yVsc∣∣gk⟩ = 4ascπ

5/2

N∑i,j=1

eiγklij√

−iaklijx

√−iaklijy

3√−iaklijz

, (A.24)

⟨gl∣∣r2zVsc∣∣gk⟩ = 4ascπ

5/2

N∑i,j=1

eiγklij√

−iaklijx

√−iaklijy

√−iaklijz

3. (A.25)

77


A.3.2. Fallenterme

Das Fallenpotential lautet

Vext = ω2xr

2x + ω2

yr2y + ω2

zr2z . (A.26)

Damit erhalt man

⟨gl∣∣Vext∣∣gk⟩ = −

π3/2eiγkl (ω2x

(akly a

klz

)+ ω2

y

(aklz a

klx

)+ ω2

z

(aklx a

kly

))2 (−iaklx )3/2

(−iakly

)3/2(−iaklz )3/2

, (A.27)

⟨gl∣∣r2xVext∣∣gk⟩ = −

π3/2eiγkl (

3ω2x

(akly a

klz

)+ ω2

y

(aklz a

klx

)+ ω2

z

(aklx a

kly

))4 (−iaklx )5/2

(−iakly

)3/2(−iaklz )3/2

, (A.28)

⟨gl∣∣r2yVext∣∣gk⟩ = −

π3/2eiγkl (ω2x

(akly a

klz

)+ 3ω2

y

(aklz a

klx

)+ ω2

z

(aklx a

kly

))4 (−iaklx )3/2

(−iakly

)5/2(−iaklz )3/2

, (A.29)

⟨gl∣∣r2zVext∣∣gk⟩ = −

π3/2eiγkl (ω2x

(akly a

klz

)+ ω2

y

(aklz a

klx

)+ 3ω2

z

(aklx a

kly

))4 (−iaklx )3/2

(−iakly

)3/2(−iaklz )5/2

. (A.30)

78


A.3.3. Dipolterme

Die Dipol-Dipol Wechselwirkung lautet

Vdipol =

∫d3r′

1− 3 cos2(θ)

|r− r′|3|χ(r′)|2 . (A.31)

Damit erhalt man

⟨gl∣∣Vdipol∣∣gk⟩ =

4π5/2

3

∑i,j=1

eiγklij√

iaklijx aklijy aklijz

[κxκyRD

(κ2x, κ

2y, 1)− 1], (A.32)

⟨gl∣∣r2xVdipol∣∣gk⟩ =

4π5/2

3

∑i,j=1

eiγklij√

iaklijx aklijy aklijz[− 1

2aklijx

(κxκyRD

(κ2x, κ

2y, 1)− 1)

+

((κyRD

(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κ2xκyRx

(κ2x, κ

2y, 1)) ∂κx∂Akx

+(κxRD

(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κxκ2yRy

(κ2x, κ

2y, 1)) ∂κy∂Akx

)], (A.33)

⟨gl∣∣r2yVdipol∣∣gk⟩ =

4π5/2

3

∑i,j=1

eiγklij√


2aklijy

(κxκyRD

(κ2x, κ

2y, 1)− 1)

+

((κyRD

(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κ2xκyRx

(κ2x, κ

2y, 1)) ∂κx∂Aky

+(κxRD

(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κxκ2yRy

(κ2x, κ

2y, 1)) ∂κy∂Aky

)], (A.34)

79


⟨gl∣∣r2zVdipol∣∣gk⟩ =

4π5/2

3

∑i,j=1

eiγklij√


2aklijz

(κxκyRD

(κ2x, κ

2y, 1)− 1)

+

((κyRD

(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κ2xκyRx

(κ2x, κ

2y, 1)) ∂κx∂Akz

+(κxRD

(κ2x, κ

2y, 1)

+ 2κxκ2yRy

(κ2x, κ

2y, 1)) ∂κy∂Akz

)](A.35)

mit κx und κy aus den Gleichungen (A.5) und (A.6).

80

B. Implementierung und Rechenregelndes komplex erweiterten Datentyps

B.1. Uberladen von Funktionen

Ein nutzliches Feature von Fortran ist die Moglichkeit, Funktionen und Operatoren uber-laden zu konnen (Vergleichbares funktioniert in vielen modernen Programmiersprachenwie z.B. C++). Uberladen von Funktionen bedeutet, dass die Identitat nicht nur vomNamen einer Funktion, sondern auch von deren Parametertypen abhangig ist. Es konnenalso mehrere Funktionen mit gleichem Namen, aber unterschiedlichen Parametertypenexistieren:

! in einem modulINTERFACE func

MODULE PROCEDURE f u n c iMODULE PROCEDURE func r

END INTERFACE

FUNCTION f u n c i ( i )INTEGER : : i

END FUNCTION

FUNCTION func r ( r )REAL : : r

END FUNCTION

. . .

! irgendwo anders , wo d i e Modulfunktionen b e n u t z t werdenINTEGER : : iREAL : : r

CALL func ( i ) ! h i e r wird d i e Funktion f u n c i a u f g e r u f e n

81

Anhang B. Implementierung und Rechenregeln des komplex erweiterten Datentyps

CALL func ( r ) ! und h i e r d i e Funktion f u n c r

Neben Funktionen lassen sich auch Operatoren uberladen. Damit ist es moglich, dass sichselbst erstellte Typen wie intrinsische Datentypen verhalten, bzw. diese ohne aufwandigeCodeanderungen ersetzt werden konnen. Im Folgenden soll dies nun fur den in Kapitel3 definierten komplex erweiterten Datentyp geschehen:

• Der komplex erweiterte Datentyp ist in Fortran als

TYPE ExpComplexCOMPLEX(DP) : : x , y

END TYPE ExpComplex

definiert. x reprasentiert dabei den komplex erweiterten Realteil, wahrend y denkomplex erweiterten Imaginarteil darstellt.

• Die gebrauchlichen Operationen wurden uberladen, so dass im Quelltext, welcherfur die Berechnung der Matrix M verantwortlich ist, nur der Datentyp von “COM-PLEX(DP)” mit “ExpComplex” ersetzt werden muss. Hier ein Ausschnitt aus derInterfacedefinition:

INTERFACE OPERATOR(+)MODULE PROCEDURE ECAddectoec. . .

END INTERFACE

INTERFACE OPERATOR(∗ )MODULE PROCEDURE ECMultiplyectoecMODULE PROCEDURE ECMultiplyrtoec. . .

END INTERFACE

. . .

• Im Folgenden wird eine Funktion, welche fur die Additionsoperation zweier kom-plex erweiterter Datentypen verantwortlich ist, vorgestellt.

ELEMENTAL FUNCTION ECAddectoec ( ec1 , ec2 ) RESULT( ec r )IMPLICIT NONE

TYPE( ExpComplex ) , INTENT(IN) : : ec1TYPE( ExpComplex ) , INTENT(IN) : : ec2

82

B.1. Uberladen von Funktionen

TYPE( ExpComplex ) : : e c r

e c r%x = ec1%x + ec2%xecr%y = ec1%y + ec2%y

END FUNCTION ECAddectoec

Bei der Addition werden, wie fur komplexe Werte ublich, der Real- und Imaginarteilgetrennt aufaddiert. Der Real- und Imaginarteil sind dabei selbst komplexe Zahlen.

• Fur die Multiplikation zweier komplexer Zahlen zi = xi + iyi, wobei zi ∈ C undxi, yi ∈ R sind, gilt:

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

Nachdem nun die Rechenregeln fur Real- und Imaginarteil getrennt vorliegen, kon-nen wir nun die einzelnen Komponenten komplex erweitern, d.h. xi, yi ∈ C unddiese Rechenregel als Fortrancode implementieren:

ELEMENTAL FUNCTION ECMultiplyectoec ( ec1 , ec2 ) RESULT( ec r )IMPLICIT NONE

TYPE( ExpComplex ) , INTENT(IN) : : ec1TYPE( ExpComplex ) , INTENT(IN) : : ec2TYPE( ExpComplex ) : : e c r

e c r%x = ec1%x ∗ ec2%x − ec1%y ∗ ec2%yec r%y = ec1%y ∗ ec2%x + ec2%y ∗ ec1%x

END FUNCTION ECMultiplyectoec

• Im Quelltext tritt aber auch oft die Multiplikation eines reellen Vorfaktors miteinem komplex erweiterten Typ auf. Hierfur ist folgende Funktion zustandig:

ELEMENTAL FUNCTION ECMultiplyrtoec ( r , ec2 ) RESULT( ec r )IMPLICIT NONE

REAL(DP) , INTENT(IN) : : rTYPE( ExpComplex ) , INTENT(IN) : : ec2TYPE( ExpComplex ) : : e c r

e c r%x = r ∗ ec2%x

83

Anhang B. Implementierung und Rechenregeln des komplex erweiterten Datentyps

ec r%y = ec2%y ∗ r

END FUNCTION ECMultiplyectoec

Der Fortran-Compiler erkennt anhand des Parametertyps automatisch, welche derMultiplikationsfunktionen er verwenden muss.

• Wie hier anhand einiger Beispiele dargestellt, lassen sich auch weitere Operato-ren fur die in Kapitel 3 eingefuhrten Rechenregeln fur den komplex erweitertenDatentyp definieren.

• Genauso lassen sich die in Kapitel 3 eingefuhrten Funktionen Cosinus, Sinus, Lo-garithmus, Wurzel, . . . implementieren.

Im Quelltext, der fur die nicht erweiterten Gleichungen vorhanden ist, muss nun nur derDatentyp ersetzen werden. Außer einigen Anpassungen bei Prozeduren, die die Dimensi-on von Vektoren oder Matrizen benotigen, kann so der schon vorhandene Quelltext fastunverandert ubernommen werden.

84

Literaturverzeichnis

[1] K.-K. Ni, S. Ospelkaus, D. J. Nesbitt, J. Ye und D. S. Jin. A dipolar gas of ultracoldmolecules. Phys. Chem. Chem. Phys. 11, 9626–9639 (2009).

[2] A. Einstein. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. Sitzungsberichte derPreußischen Akademie der Wissenschaften Seiten 261–267 (1924).

[3] A. Einstein. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases, II. Abhandlung. Sit-zungsberichte der preußischen Akademie der Wissenschaften (1925).

[4] S. Bose. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese. Zeitschrift fur Physik 26,178–181 (1924).

[5] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman und E. A. Cornell.Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor. Science 269,198–201 (1995).

[6] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett und R. G. Hulet. Evidence of Bose-Einstein Condensation in an Atomic Gas with Attractive interactions. Phys. Rev.Lett. 75, 1687–1690 (1995).

[7] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M.Kurn und W. Ketterle. Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms.Phys. Rev. Lett. 75, 3969–3973 (1995).

[8] Axel Griesmaier, Jorg Werner, Sven Hensler, Jurgen Stuhler und Tilman Pfau.Bose-Einstein Condensation of Chromium. Phys. Rev. Lett. 94, 160401 (2005).

[9] L. Santos, G. V. Shlyapnikov, P. Zoller und M. Lewenstein. Bose-Einstein Conden-sation in Trapped Dipolar Gases. Phys. Rev. Lett. 85, 1791–1794 (2000).

[10] S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn undW. Ketterle. Observation of Feshbach resonances in a Bose-Einstein condensate.Nature 392, 151–154 (1998).

85


[11] T. Kato. Perturbation theory for linear operators, Band 132 von Die Grundlehrender mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag New York (1966).

[12] C. Dembowski, H.-D. Graf, H. L. Harney, A. Heine, W. D. Heiss, H. Rehfeld undA. Richter. Experimental Observation of the Topological Structure of ExceptionalPoints. Phys. Rev. Lett. 86, 787–790 (2001).

[13] Holger Cartarius. Exceptional points in atomic spectra and Bose-Einstein conden-sates. Doktorarbeit, Universitat Stuttgart (2008).

[14] Rudiger Eichler. Variationsrechnungen zu anisotropen Solitonen in dipolaren Bose-Einstein-Kondensaten. Diplomarbeit, Universitat Stuttgart (2010).

[15] Stefan Rau, Jorg Main und Gunter Wunner. Variational methods with coupledGaussian functions for Bose-Einstein condensates with long-range interactions. I.General concept. Phys. Rev. A 82, 023610 (2010).

[16] W.D. Heiss. Phases of wave functions and level repulsion. Eur. Phys. J. D 7, 1–4(1999).

[17] Lev Pitaevskii und Sandro Stringari. Bose-Einstein Condensation. Oxford Univer-sity Press (2003).

[18] Stefan Rau. Variational methods with coupled Gaussian functions for Bose-Einstein condensates with long-range Interaction. Diplomarbeit, Universitat Stutt-gart (2010).

[19] Patrick Wagner. Bose-Einstein condensates with electromagnetically induced 1/r-potential. Diplomarbeit, Universitat Stuttgart (2007).

[20] Krzysztof Goral, Kazimierz Rzazewski und Tilman Pfau. Bose-Einstein condensa-tion with magnetic dipole-dipole forces. Phys. Rev. A 61, 051601 (2000).

[21] A. D. McLachlan. A variational solution of the time-dependent Schrodinger equa-tion. Mol. Phys. 8, 39–44 (1964).

[22] B. C. Carlson. Numerical computation of real or complex elliptic integrals. arXivmath/9409227v1 (1994).

[23] William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling und Brian P. Flanne-ry. Numerical Recipes 3rd Edition: The Art of Scientific Computing. CambridgeUniversity Press (2007).

86


[24] Andrej Junginger, Markus Dorwarth, Jorg Main und Gunter Wunner. Transitionstate theory for wave packet dynamics: II. Thermal decay of Bose–Einstein conden-sates with long-range interaction. Journal of Physics A: Mathematical and Theore-tical 45, 155202 (2012).

[25] Gilles Demange und Eva-Maria Graefe. Signatures of three coalescing eigenfuncti-ons. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45, 025303 (2012).

[26] W D Heiss. Chirality of wavefunctions for three coalescing levels. Journal of PhysicsA: Mathematical and Theoretical 41, 244010 (2008).

[27] Stefan Rau, Jorg Main, Holger Cartarius, Patrick Koberle und Gunter Wunner.Variational methods with coupled Gaussian functions for Bose-Einstein condensateswith long-range interactions. II. Applications. Phys. Rev. A 82, 023611 (2010).

87

Danksagung

Ich bedanke mich bei Prof. Jorg Main und Prof. Gunter Wunner fur die Moglichkeit,meine Diplomarbeit am 1. Institut fur Theoretische Physik der Universitat Stuttgartschreiben zu konnen. Besonders bedanke mich bei Jorg Main fur die Ubernahme desHauptberichts, die vielen Diskussionen, Gesprache und die gute Betreuung wahrenddes letzten Jahres. Mein Dank gilt auch Prof. Johannes Roth fur die Ubernahme desMitberichts.

Ich bedanke mich daruber hinaus bei allen Mitgliedern des Institutes fur die gute Arbeits-atmosphare und die vielen Anregungen. Mein Dank gilt auch Manuel Kreibich fur dasKorrekturlesen dieser Arbeit und den Computeradministratoren Dr. Holger Cartarius,Dr. Patrick Koberle und Christoph Schimeczek, die mir immer mit fachkundiger Hilfebei den kleinen und großen Computerproblemen beiseite standen.

Außerdem danke ich meinen Eltern fur ihre Unterstuzung wahrend meines gesamtenStudiums.

89

Ehrenwortliche Erklarung

Ich erklare, dass ich diese Arbeit selbstandig verfasst und keine anderen als die angege-benen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Stuttgart, den 10. Februar 2012

Robin Gutohrlein

Documents

Bifurkationen und Ausnahmepunkte in dipolaren Bose ......Bifurkationen, die Tangenten- und die Heugabelbifurkation, vorgestellt. Darauf folgt eine kurze Einfuhrung der analytischen