BILANGAN REALonline.sonysugemacollege.com/Matematika-Bil-Real.pdf · 2020. 7. 28. · Bilangan Prima: bilangan yang mempunyai 2 faktor/pembagi saja, yakni bilangan 1 dan bilangan

Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni

10future education, today

SONY SUGEMA COLLEGE

TKA - SaintekMatematika


BILANGAN REAL 3. I BILANGAN

Bil. Asli 0 1, 2, 3, …

B. Cacah B. – 0, 1, 2, … -1, -2, -3, …

B. Bulat B. Pecahan

B. Rasional B. Irrasional

p & q bil. bulat qp ( q 0 ) 3, e , dll

B. Real B. Imajiner 1- = i

B. Kompleks : z = a + bi Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan : dengan p dan q merupakan bilangan bulat, q 0 Bilangan rasional bila dituliskan dalam bentuk pecahan desimal mempunyai bentuk yang berulang. Contoh :

1. Bilangan 4 = 14 = 4,000000……

2. Bilangan 32 = 0,666666……

3. Bilangan 0,444444 …… adalah bilangan rasional dan bila dinyatakan dalam bentuk pecahan sebagai berikut : misal p = 0,444444 …… maka 10 p = 4,444444 …… = 4 + 0,444 444…… 10 p = 4 + p didapat 9p = 4 hingga p = 4/9

4. Bilangan 0,232323…… = 23/99

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk pecahan : dengan p atau q merupakan bukan bilangan bulat. Bilangan irrasional bila dituliskan dalam bentuk pecahan desimal mempunyai bentuk yang tidak berulang. Contoh :

1. Bilangan 3 = 1,732050807568…… 2. Nilai dari sin 3o = 0,052335956242….. 3. Nilai dari log 3 = 0,477121254719662….

Bilangan imajiner/khayal dituliskan : 1- = i. Untuk i2 = -1 dan i3 = -i dan i4 = 1. Bilangan kompleks : bilangan yang memuat bilangan real dan imajiner yang dinyatakan dengan z = a + bi dengan a menyatakan bagian real dan bi menyatakan bagian imajiner. Contoh : Bilangan : z1 = 2 + 3I

qp

qp

Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII Step By Step “SIAP UTBK” | kelas XII dan Alumni


SONY SUGEMA COLLEGE


Bilangan Prima : bilangan yang mempunyai 2 faktor/pembagi saja, yakni bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, dll. Bilangan Komposit adalah bilangan asli yang bukan bilangan prima. Contoh : 1, 4, 6, dll

3.2 SIFAT OPERASI dalam BILANGAN REAL

Bila a, b, c merupakan bil. Real, maka berlaku sifat : 1. Tertutup : (a + b) bil. Real (ab) bil. Real 2. Komutatif : a + b = b + a a b = b a 3. Assosiatif : a + (b + c) = (a + b)+ c a (b c) = (a b) c 4. Distributif : a (b c) = a b a c 5. Adanya unsur identitas : I

a + 0 = 0 + a = a , I + = 0 a . 1 = 1 . a = a , I X = 1

6. Adanya elemen invers : a-1 a + (-a) = (-a) + a = 0, -a = invers

a . a1 =

a1 . a = 1,

a1 = invers

Bentuk identitas dan invers dijumpai pada bab fungsi dan matriks, dengan sifat yang sama. 3.3 BEBERAPA SIFAT KHUSUS

1. a2 0

2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 (a + b)4 = ….

3. a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) a4 + b4 = ….

4. a2 – b2 = (a – b)(a + b) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a4 – b4 = …

Contoh : 1. Diketahui bilangan a dan b dengan a ≥ b. Kedua bilangan memenuhi a2 + b2 = 40

dan a + b = 6. Nilai ab adalah …. (SNMPTN 2009)

Penyelesaian : (a + b)2 = (6)2 a2 + b2 + 2ab = 36 40 + 2ab = 36 dan didapat ab = 2

2. Jika sin x + cos x = 21 , maka cos3x + sin3x = ……. (SNMPTN 2008)

Penyelesaian : (sin x + cos x)2 = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x

41 = 1 + 2 sin x cos x, diperoleh sin x cos x = 8

3 Bentuk : cos3x + sin3x = (cos x + sin x)3–3 sin x cos x (sin x + cos x) cos3x + sin3x = ( 2

1 )3 – 3( 83 ) ( 2

1 ) = 1611

BILANGAN REAL 3. I BILANGAN

Bil. Asli 0 1, 2, 3, …

B. Cacah B. – 0, 1, 2, … -1, -2, -3, …

B. Bulat B. Pecahan

B. Rasional B. Irrasional

p & q bil. bulat qp ( q 0 ) 3, e , dll

B. Real B. Imajiner 1- = i

B. Kompleks : z = a + bi Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan : dengan p dan q merupakan bilangan bulat, q 0 Bilangan rasional bila dituliskan dalam bentuk pecahan desimal mempunyai bentuk yang berulang. Contoh :

1. Bilangan 4 = 14 = 4,000000……

2. Bilangan 32 = 0,666666……

3. Bilangan 0,444444 …… adalah bilangan rasional dan bila dinyatakan dalam bentuk pecahan sebagai berikut : misal p = 0,444444 …… maka 10 p = 4,444444 …… = 4 + 0,444 444…… 10 p = 4 + p didapat 9p = 4 hingga p = 4/9

4. Bilangan 0,232323…… = 23/99

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk pecahan : dengan p atau q merupakan bukan bilangan bulat. Bilangan irrasional bila dituliskan dalam bentuk pecahan desimal mempunyai bentuk yang tidak berulang. Contoh :

1. Bilangan 3 = 1,732050807568…… 2. Nilai dari sin 3o = 0,052335956242….. 3. Nilai dari log 3 = 0,477121254719662….

Bilangan imajiner/khayal dituliskan : 1- = i. Untuk i2 = -1 dan i3 = -i dan i4 = 1. Bilangan kompleks : bilangan yang memuat bilangan real dan imajiner yang dinyatakan dengan z = a + bi dengan a menyatakan bagian real dan bi menyatakan bagian imajiner. Contoh : Bilangan : z1 = 2 + 3I

qp

qp



SONY SUGEMA COLLEGE



3. Titik (a, b) adalah titik maksimum grafik fungsi f(x) =4)1(

12 x

.

Nilai dari a+b = …. (SNMPTN 2009)

Penyelesaian : Bentuk (x+1)2 mempunyai nilai minimum 0 pada saat x = -1, karena (x+1)2 0. Untuk x = -1 maka fungsi f(x) mempunyai nilai maksimum pada f(-1) = 40

1 = 4

1 dan titik maksimum

(-1, 41 ).

Jadi nilai a + b = (-1) + ( 41 ) = - 4

3

3.4 BENTUK AKAR “ “

1. a = real +/0 dengan syarat : a 0 2. a b = ab dengan a 0 dan b 0

ba =

ba

3. ( a – b )( a + b ) = a – b

4. ( a b )2 = a + b 2 ab atau a b = abba 2)( Contoh : 1. Bentuk )18232(32243

dapat disederhanakan menjadi …. A. 6 B. 26 C. 46 D. 66 E. 96

(UNAS 2008) Penyelesaian :

)62(3 + 32 24( - )26 = )62(3 + 32 )22( = )66( - )64( = 62

2. Bentuk lain dari 3535

adalah…

Penyelesaian :

3535

.

3535

=

21528 = 4 – 15

3. Bentuk sederhana dari : 8410 + 124 adalah ……

Penyelesaian :

21.410 + 3.44 = 21210 + 324 = )37( + )13( = 17

3.5 HARGA MUTLAK 1. Definisi : + x , bila x 0

|x| = – x , bila x < 0

2x = |x|

2. Sifat : a. |x| |y| = |xy|

b. xyyx

c. |x + y| |x| + |y| d. d. |x – y| |x|– |y|



SONY SUGEMA COLLEGE


Contoh : 1. Grafik y = 2|x| - 4 memotong sumbu x di titik A(p,0) dan B(q, 0) dengan p > q.

Nilai dari p – 2q = …

Penyelesaian : Memotong sumbu x, maka y = 0, didapat 2|x| - 4 = 0 untuk |x| = + x didapat 2x – 4 = 0 dan x = 2 |x| = - x didapat -2x – 4 = 0 dan x = 2 Jadi titik A(2, 0) dan B(-2, 0).

Nilai p = 2 dan q = -2. Jadi p – 2q = 6

2. Nilai dari 57 = ……

Penyelesaian : Karena 57 bernilai negatif maka bentuk 57 = ( 57 ) = 5 – 7

3. Tentukan nilai x yang memenuhi x2cos1 = sin x untuk 0 x 2.

Penyelesaian :

x2cos1 = x2sin = x sin Bentuk x sin = + sin x , bila sin x 0 Sedangkan sin x 0 berlaku untuk 0 x .

3.6 KETAKSAMAAN

1. Bila a & b bilangan real maka berlaku a > b, a = b atau a < b.

2. Bila a > b dan b > c maka a > c

3. Bila a > b maka a c > b c

4. Bila a > b dan c > 0 maka a c > b c , a/c > b/c

5. Bila a > b dan c < 0 maka a c < b c , a/c < b/c (dibalik)

6. Bila a > 0 , b > 0 dan a > b maka berlaku a2 > b2 , a3 > b3

Contoh : 1. Apabila a, b, c bilangan real dan a > b serta b > c, maka akan berlaku ….

1. a + b > a + c 2. a + c – 2b > 0 3. a > c 4. a + c – 2b < 0

Penyelesaian : Bila a > b dan b > c maka a > c. Pernyataan (3) benar. Untuk b > c maka a + b > a + c. Pernyataan (1) benar. Untuk a > b maka a – b > 0 dan b > c maka c – b < 0 didapat (a – b) + (c – b) tidak bisa ditentukan nilainya dengan pasti. Karena bentuk (a – b) bernilai positif dan (c – b) bernilai negatif. Jawaban : B

2. Diketahui a > b dengan a dan b bilangan real, untuk setiap bilangan real c (c 0) selalu berlaku .....

(1) a + c > b + c (2) ac > bc (3) ac2 > bc2 (4) ac3 > bc3

3. Titik (a, b) adalah titik maksimum grafik fungsi f(x) =4)1(

12 x

.

Nilai dari a+b = …. (SNMPTN 2009)

Penyelesaian : Bentuk (x+1)2 mempunyai nilai minimum 0 pada saat x = -1, karena (x+1)2 0. Untuk x = -1 maka fungsi f(x) mempunyai nilai maksimum pada f(-1) = 40

1 = 4

1 dan titik maksimum

(-1, 41 ).

Jadi nilai a + b = (-1) + ( 41 ) = - 4

3

3.4 BENTUK AKAR “ “

1. a = real +/0 dengan syarat : a 0 2. a b = ab dengan a 0 dan b 0

ba =

ba

3. ( a – b )( a + b ) = a – b

4. ( a b )2 = a + b 2 ab atau a b = abba 2)( Contoh : 1. Bentuk )18232(32243

dapat disederhanakan menjadi …. A. 6 B. 26 C. 46 D. 66 E. 96

(UNAS 2008) Penyelesaian :

)62(3 + 32 24( - )26 = )62(3 + 32 )22( = )66( - )64( = 62

2. Bentuk lain dari 3535

adalah…

Penyelesaian :

3535

.

3535

=

21528 = 4 – 15

3. Bentuk sederhana dari : 8410 + 124 adalah ……

Penyelesaian :

21.410 + 3.44 = 21210 + 324 = )37( + )13( = 17

3.5 HARGA MUTLAK 1. Definisi : + x , bila x 0

|x| = – x , bila x < 0

2x = |x|

2. Sifat : a. |x| |y| = |xy|

b. xyyx

c. |x + y| |x| + |y| d. d. |x – y| |x|– |y|



SONY SUGEMA COLLEGE



KAJI LATIH STANDAR

1. a dan b adalah dua buah bilangan real, dengan

a b positif. Jika 1 1 0a b

, Pernyataan yang benar

adalah… (1) a b (2) 2 2a b (3) 3 3a b (4) 4 4a b

2. Nilai 0,44444 ... (A) 0,1111… (B) 0,2222… (C) 0,3333… (D) 0,5555… (E) 0,6666…

3. Jika a0,2222...b

Sedangkan 5a b 2 maka b a ... (A) 7 (B) 10 (C) 14 (D) 18 (E) 21

4. Diketahui x 5 5 5 ... dan

y 12 12 12 ... , maka x y ... (A) 9 (B) 8 (C) 4 (D) 2 (E) 1

5. 482 ...4822 ...

(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 14

6. 19 4 5

...

(A) 5 2 (B) 5 2 (C) 5 2 (D) 5 2 (E) 5 2

7. 2 5 3 5 ...

(A) 5 2 5 (B) 1 + 2 5 (C) 2 5 1 (D) 1 (E) 5

8. 2 ...a (A) a (B) 2( )a (C) | |a (D) a (E) a

9. Untuk 0a , maka berlaku | | ...a (A) a (B) a (C) a (D) a atau a (E) 0


11. Untuk 1x , maka | 3 | ...x

(A) ( 3)x (B) (3 )x (C) ( 1)x (D) 3 x (E) 3x



SONY SUGEMA COLLEGE


12. Untuk 0x , maka | 1 | ...x (A) 1x (B) ( 1)x (C) 1x (D) x (E) x

13. Untuk 3 x 7 , maka 2 2x 6x 9 x 14x 49 ... (A) 10 (B) 4 (C) 2x + 4 (D) 2x 10 (E) 2x 4

14. Diketahui 4a x dan 2 y b . Jika 9 7x y , c x y d dan e xy f , maka

a b c d e f …. (A) 15 (B) 3 (C) 11 (D) 15 (E) 24

15. Jika bac 32 dan cb , maka ...

(A) ba (B) ca (C) ac (D) ba2 (E) ca2

KAJI LATIH STANDAR

1. a dan b adalah dua buah bilangan real, dengan

a b positif. Jika 1 1 0a b

, Pernyataan yang benar

adalah… (1) a b (2) 2 2a b (3) 3 3a b (4) 4 4a b

2. Nilai 0,44444 ... (A) 0,1111… (B) 0,2222… (C) 0,3333… (D) 0,5555… (E) 0,6666…

3. Jika a0,2222...b

Sedangkan 5a b 2 maka b a ... (A) 7 (B) 10 (C) 14 (D) 18 (E) 21

4. Diketahui x 5 5 5 ... dan

y 12 12 12 ... , maka x y ... (A) 9 (B) 8 (C) 4 (D) 2 (E) 1

5. 482 ...4822 ...

(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 14

6. 19 4 5

...

(A) 5 2 (B) 5 2 (C) 5 2 (D) 5 2 (E) 5 2

7. 2 5 3 5 ...

(A) 5 2 5 (B) 1 + 2 5 (C) 2 5 1 (D) 1 (E) 5

8. 2 ...a (A) a (B) 2( )a (C) | |a (D) a (E) a



11. Untuk 1x , maka | 3 | ...x

(A) ( 3)x (B) (3 )x (C) ( 1)x (D) 3 x (E) 3x

Documents

BILANGAN REALonline.sonysugemacollege.com/Matematika-Bil-Real.pdf · 2020. 7. 28. · Bilangan Prima: bilangan yang mempunyai 2 faktor/pembagi saja, yakni bilangan 1 dan bilangan