Binomial Multinomial Dan Hipergeometrik-1 Adit

7/23/2019 Binomial Multinomial Dan Hipergeometrik-1 Adit

http://slidepdf.com/reader/full/binomial-multinomial-dan-hipergeometrik-1-adit 1/16

A. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan

bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.

Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap

ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil

berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu

merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut

bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar

..!"onald #. $alpole%.

&yarat Distribusi Binomial'

(. )umlah percobaan merupakan bilangan bulat. *ontoh melambungkan koin +

kali, tidak mungkin + kali.

+. &etiap eksperimen mempunyai dua outcome !hasil%. *ontoh' sukses atau gagal,

laki-laki atau perempuan, sehat atau sakit.

. eluang sukses sama setiap ekperimen. *ontoh' )ika pada lambungan pertama

peluang keluar mata /sukses adalah , pada lambungan seterusnya 0uga .

)ika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan

peluang sukses adalah (/1, sedangkan peluang gagal adalah 5/1.Untuk itu

peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah !(-p% atau

biasa 0uga dilambangkan 2, di mana 2 3 (-p.

• Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristi4a yang memiliki ciri-ciri

percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut '

(. &etiap percobaan hanya mempunyai + !dua% kemungkinan hasil' sukses !hasil

yang dikehendaki% dan gagal !hasil yang tidak dikehendaki%.

+. &etiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.

. robabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p.

&edangkan probabilita gagal dinyatakan dengan 2, dan 0umlah p dan 2 harus

sama dengan satu.

. )umlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu 0umlahnya.



• Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu'

(. )umlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bah4a terkaan anda

benar dalam u0ian pilihan ganda.

+. )umlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

. )umlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

"umus Distribusi Binomial

6eteranagan'

7 3 8,(,+,,9,n

n 3 banyaknya ulangan

7 3 banyaknya keberhasilan dalam peubah acak 7

p 3 peluang berhasil dalam setiap ulangan2 3 peluang gagal,

dimana 2 3 (-p dalam setiap ulangan

• Contoh Soal Distribusi Binomial dan Cara Penyelesaiannya

(. Berdasarkan data biro per0alanan : Mandala $isata air, yang khusus menangani

per0alanan 4isata turis manca negara, +8; dari turis menyatakan sangat puas

berkun0ung ke <ndonesia, 8; menyatakan puas, +5; menyatakan biasa sa0a dan

sisanya menyatakan kurang puas. =pabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta

4isata turis manca negara yang pernah berkun0ung ke <ndonesia, berapakah

probabilitas '

a% aling banyak + di antaranya menyatakan sangat puas.

b% aling sedikit ( di antaranya menyatakan kurang puas

c% :epat + diantaranya menyatakan biasa sa0a

d% =da + sampai yang menyatakan puas.



)a4ab '

Diketahui n 3 5>

Ditanyatakan'

a% aling banyak + di antaranya menyatakan sangat puas !p!7% ? +%.

p38,+8>

b!7> n, p% 3 b!8> 5> 8,+8% @ b!(> 5> 8,+8% @ b!+> 5> 8,+8%

3 8.+A1 @ 8.8C18 @ 8.+88

3 8.C+8

Maka hasil p!7% ? + 3 8.C+8

&ebanyak paling banyak + dari 5 orang dengan 0umlah 8.C+8 atau C,+;

yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.



b% aling sedikit ( diantaranya menyatakan kurang puas !p!7% (%.

p38,(5>

0adi' p!7% ( 3 b!(> 5> 8,(5% @ b!+> 5> 8,(5% @ b!> 5> 8,(5% @ b!> 5> 8,(5% @ b!5> 5> 8,(5%

3 8,C(5 @ 8,(+ @ 8,8+ @ 8,88+ @8,888(3 8,551+

=tau





c% :epat + diantaranya menyatakan biasa sa0a !p!7%3+%.

p38,+5

5 2 5−2

d% =da + sampai yang menyatakan puas !7 ? + 7 ? %

38,8>

)adi !7 ? + 7 ? % 3 b!+> 5>8.8% @ b!> 5, 8.8% @ b!> 5, 8.8%

3 8.51 @ 8.+8 @ 8.8A1

3 8.15+

=nalisis masing E masing point '

a% &ebanyak paling banyak + dari 5 orang dengan 0umlah 8.C+8 atau C,+; yangmenyatakan sangat puas adalah sangat besar.

b% aling sedikit ( dari 5 orang !berarti semuanya% dengan 0umlah 8,551 atau

55,1; yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar !karena lebih

dari 58;%.

c% :epat + dari 5 orang yang menyatakan biasa sa0a dengan 0umlah 8,+1A atau

+1,A; adalah kecil !karena diba4ah 58;%.

d% =da + sampai yang menyatakan puas dengan 0umlah 8,15+; atau 15,+;

dapat dikatakan cukup besar.



=nalisis keseluruhan '

a. ersentase

)ika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan 0umlah F, maka persentase

terbesar ada di point pertama !a% yaitu C,+; yang menyatakan sangat puas. al

tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai <ndonesia.

b. Gilai 7

)ika dilihat dari 0umlah 7, maka perlu diperhatikan point kedua !b%. )umlah 7

adalah paling sedikit ( dari 5 orang !berarti 7H3(% yaitu 55,1; yang

menyatakan kurang puas.al tersebut berarti kelima !semua% turis manca negara

kurang puas terhadap kun0ungannya ke <ndonesia.

+. 6epala bagian produksi :. M<:I&<B= melaporkan bah4a rata-rata produksi

teleJisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar (5 ;. )ika dari total produksi

tersebut diambil secara acak sebanyak buah teleJisi, berapakah perhitungan

dengan nilai probabilitas + K

)a4aban'Diketahui ' p !rusak% 3 8,(5>

2 !baik% 3 8,5>

n 3

Ditanyakan' perhitungan dengan probabilitas + !p!7%3+% K

Jawab:

=nalisis'

Dengan 0umlah 8,8CA5 atau C,A5; dari sampel acak sebanyak buah teleJisi

dan rata E rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar (5;, dapat

dikatakan kecil. Gamun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara persentase kecil

!hanya C,A5;% yang namanya produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan

dihilangkan untuk mengurangi kerugian.



. &uatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat per0an0ian bah4a keterlambatan paket

akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi. )ika eluang

setiap kiriman akan terlambat adalah 8.+8 Bila terdapat 5 paket, hitunglah

probabilitas'

a% :idak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya

kompensasiK !p!7% 3 8%

b% Lebih dari + paket terlambatK !p!7% >+%

c% :idak Lebih dari paket yang terlambatK!7 ≤ %

)a4ab'

)adi'

p!7% H + 3 ( E 8,+A1 @ 8,8C1 @ 8,+8

3 ( E 8,C+8

3 8, 85AC+



c% p!7% ≤

p!7% ≤ 3 p!7% 3 8 @ p!7% 3( @ p!7% 3 +@p!7%3

p!7% 3 8

b!8> 5> 8,+8% 3 8,+A1

p!7% 3 (

b!(> 5> 8,+8% 3 8,8C1

p!7% 3 +

b!+> 5> 8,+8% 3 8,+8

p!7% 3

)adi

p!7% ≤ 3 8,+A1 @ 8,8C1 @ 8,+8 @ 8,85(+ 3 8,CC+.

B. Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial merupakan suatu peluang percobaan yang memberikan

lebih dari dua hasil yang dapat ter0adi. =tau dengan kata lain adalah sebuah distribusi

dimana percobaan akan menghasilkan beberapa ke0adian. ercobaan multinomial

ter0adi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari + hasil yangmungkin.)adi

pembagian hasil pabrik 0adi ringan, berat/masih dapat diterima, demikaian

0ugapercobaan kecelakaan disuatu simpang 0alan menurut hari dalam seminggu

merupakan percobaanmultinomial.

enarikan suatu kartu dari sekotak kartu brige dengan pengambilan 0uga

merupakanpercobaan multinomial bila yang men0adi perhatian keempat 4arna kartu.

Umumnya, bila suatu usaha dapat menghasilkan “k” hasil mungkin #(, #+, #,....#6

dengan peluang p(, p+,9, pk maka distribusi multinomial akan memberikan peluang

bah4a #(, ter0adisebanyak 7( kali, #+ 7+ kali,...,#k 7k kali dalam n usaha bebas

dengan ' 7( @ 7+ @.... @ 7k 3 n. Distribusi peluang gabungan seperti ini akan

dinyatakan dengan f!7(, 7+,..., 7k> p(, p+,p,...pk, n%. )elas bah4a p(, p+,...@ pk 3 (,

karena hasil tiap usaha haeuslah salah dari k hasil yangmungkin. Untuk menurunkan

rumus umum, cara pada khasus binomial akan ditempuh. 6arena tiapusaha saling

bebas, maka tiap urutan tertentu menghasilkan 7( hasil untuk #(, 7+ untuk

#+,...,7kuntuk #k akan ter0adi dengan peluang . hhhhhhhh .



)umlah urutan yang memberikan hasil samauntuk n usaha sama dengan

banyaknya cara memisahkan n benda men0adi k kelompok dengansebanyak 7( pada

kelompok pertama, 7+ pada kelompok kedua,..., 7k pada kelompok ke-k, ini

dapatdiker0akan dalam '

6arena tiap bagian saling terpisah dan ter0adi dengan peluang yang

sama, maka distribusimultinomial dapat diperoleh dengan mengalikan peluang

untuk taip urutan tertentu denganbanyaknya cara mengelompokkan n benda dalam

k kelompok.

• Ciri-ciri Distribusi Multinomial

Distribusi Multinomial Distribusi ini merupakan perluasan dari distribusi

binomial dengan ciri-cirinya sebagai berikut'

(. eristi4anya independent.

+. &etiap percobaan tunggal mempunyai hasil ke0adian lebih dari + !dua% dan

semuanya disebut sukses.

. eluang ter0adinya setiap “outcomes” disebut p(, p+,...pn,

. Biasanya dalam hal ini 0umlah percobaan tertentu.

"umus Distribusi Multinomial'

6eterangan '

p ' robabilitas

k '6e0adian yang mungkin

ada statistika terapan, pada umumnya, distribusi probabilitas multinomial

dipecahkan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas lain dan perhitungan pada

distribusi probabilitas multinomial cukup rumit.

• Contoh Soal Distribusi Multinomial dan Cara Penyelesaiannya



(. Dalam sebuah kotak, terdapat sebanyak (5; bola merah, 58; bola putih,

dan sisanya bola biru. &elan0utnya dari kotak tersebut diambil sampel

sebanyak (8 buah secara random. Berapakah probabilitasnya dari sampel

tersebut akan terdapat'

a. buah bola merah, (buah bola putih, dan sisanya bola biru.

b. &atu merah dan sisanya putih

)a4ab'

Diketahui ' p! merah% 3 8,(5

! putih% 3 8,58

!biru% 3 8,5 !sisanya%

+. robabilitas sis4a untuk memperoleh nilai * adalah 8,5, nilai B adalah 8,+5,

dan nilai = adalah 8,+5. Dari sis4a, perobabilitas untuk 5 sis4a

memperoleh nilai *, + sis4a nilai B, dan ( sis4a nilai = adalah K

)a4ab '

Diketahui '

Gilai * B =

robabilitas 8,5 8,+5 8,+5 F 5 + (

+51

+(

(

(

+

(

M(M+M5

MB

%

(,

(,

+

(,B>(,+,5!

%,,,>,,!

+5

+(+(

=

=

= f

p p p N X X X f



. &ebuah kotak berisi 5 bola merah, bola putih, dan bola biru. &ebuah bola

dipilih secara acak dari kotak, 4arnanya dicatat, dan kemudian bolanya

dimasukkan kembali. :entukan peluang bah4a dari 1 bola yang diambil

secara acak dengan cara ini, diantaranya ber4arna merah, + adalah putih,

dan ( biru.

)a4ab '

Diketahui '

!merah pada sembarang pengambilan% 3 5/(+

!putih pada sembarang pengambilan% 3 /(+

!biru pada sembarang pengambilan% 3 /(+

n 3 @ + @ ( 3 1 ! merah, + putih, ( biru% 3 f!, +, (> 5/(+. /(+, /(+, 1%

. &eorang dokter melakukan pengobatan sebanyak 1 kali terhadap penderita

infark 0antung dengan hasil sembuh sempurna, sembuh dengan ge0ala sisa,

dan meninggal. Berapa probabilitas dari 1 kali pengobatan tersebut untuk

menghasilkan + orang sembuh sempurna, + orang sembuh dengan ge0ala

sisa, dan + orang meninggal.

)a4ab '

Diketahui '

&embuh sempurna3 =

&embuh dengan ge0ala sisa3 B

Meninggal 3 *

Maka =3B3*3(/

n3 1

r (3r +3r 3 +

1+3 1/ + + + F !(/%+ !(/%+ !(/%+

3 8,(+.



5. &ebuah airport memiliki buah landas pacu !run4ay%, dan probabilitas

sebuah run4ay dipilih oleh pesa4at yg akan mendarat adalah'

run4ay -( ' +/C

run4ay -+ ' (/1

run4ay - ' ((/(

Berapakah probabilitas 1 pesa4at yg datang secara acak di distribusikan ke

dalam run4ay-run4ay tsb spt berikut'

run4ay -( ' + pesa4at

run4ay -+ ' ( pesa4at

run4ay - ' pesa4at

)a4ab 'emilihan run4ay acak dan independen, dengan p(3+/C, p+3(/1 dan

p3((/(. robabilitas untuk 7(3+, 7+3 ( dan 73 adalah

1. Dua buah dadu dilempar 1 kali, berapa probabilitas akan mendapatkan

0umlah A atau (( muncul dua kali, sepasang bilangan yang sama satu kali,

dan kombinasi lainnya kali K

)a4ab '

Diketahui '



C. Distribusi Hipergeometrik

&etiap percobaan statistik keluaran yang telah dihasilkan obyeknya selalu

dikembalikan, sehingga probabilitas setiap percobaan peluang seluruh obyek memiliki

probabilitas yang sama. Dalam pengu0ian kualitas suatu produksi, maka obyek yang

diu0i tidak akan diikutkan lagi dalam pengu0ian selan0utnya, dapat dikatakan obyek

tersebut tidak dikembalikan. robabilitas ke0adian suatu obyek dengan tanpa

dikembalikan disebut sebagai distribusi hipergeometrik. ercobaan hipergeometrik

memiliki sifat-sifat sebagai berikut'

sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa pengembalian dari G obyek

k dari G obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan G E k diklasifikasikan

sebagai gagal.

• Situasi

a% Mengambil sampel !random% berukuran n tanpa pengembalian dari suatu

populasi berukuran N

b% Ε lemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok,

masing masing berukuran k dan ! N E k %

• Persamaan/rumus

a% )umlah cara/hasil dari memilih nelemen dari N obyek adalah kombinasi

b% )umlah cara/hasil dari memilih/memperoleh xsukses dan !n E k % gagal dari

suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan ! N –k % gagal adalah

c% beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik

Mean !Gilai arapan%'

http://1.bp.blogspot.com/-9j3NZmPM1NA/T8UV9AAmVmI/AAAAAAAAACs/aHUeJhXe2iI/s1600/3.png

http://3.bp.blogspot.com/-uDTuyUKlxo0/T8UVqbqXbAI/AAAAAAAAACk/TsivbD90WJI/s1600/2.png

http://2.bp.blogspot.com/-VntACN33MAM/T8UU4UHkpNI/AAAAAAAAACc/QZJVAM1A4MY/s1600/1.png



Narians

6emencengan !ske4ness%

6eruncingan !kurtosis%

Dimana M 3 k

• Penerapan Distribusi Hipergeometrik

a) Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam

penarikan sampel penerimaan barang, pengu0ian elektronik, 0aminan mutu,

dsb.

b) Dalam banyak bidang ini, pengu0ian dilakukan terhadap barang yang diu0i

yang pada akhirnya barang u0i tersebut men0adi rusak, sehingga tidak dapat

dikembalikan. )adi, pengambilan sampel harus diker0akan tanpa

pengembalian.

• *ontoh &oal

(% :umpukan 8 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya

tidak lebih dari yang cacat. rosedur penarikan contoh tumpukan tersebut

adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila

ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bah4a tepat ( cacat ditemukan

dalam contoh itu bila ada cacat dalam keseluruhan tumpukan ituK

Penyelesaian

http://1.bp.blogspot.com/-vSw2llb4Gv0/T8UXVswhALI/AAAAAAAAADM/l311N5SkH1U/s1600/6.png

http://4.bp.blogspot.com/-zsmwApSNsLI/T8UWnyXoq_I/AAAAAAAAAC8/vmN5MSZx3fI/s1600/5.png

http://3.bp.blogspot.com/-U_LDyOCREqM/T8UWT2i25cI/AAAAAAAAAC0/7NU_Hdy_5r8/s1600/4.png



Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n 3 5, N 3 , k 3 dan x

3 ( kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat men0adi

+% &ebuah komisi dengan anggota 5 orang akan dipilih secara acak dari ahli

kimia dan 5 fisika4an. *arilah sebaran probabilitas untuk 0umlah ahli kimia

dalam komisi tersebut

Penyelesaian

Misalkan peubah acak X sebagai 0umlah ahli kimia dalam komisi tersebut.

6edua sifat percobaan hipergeometri tersebut terpenuhi. &ehingga

Dalam bentuk tabel sebaran hipergeometri X adalah sebagai berikut'

&ebaran probabilitas tersebut dinyatakan dengan rumus

http://4.bp.blogspot.com/-AwX4ReSCv4M/T8UZq_5ta4I/AAAAAAAAAD8/bl8zKkWYLO4/s1600/11.png

http://3.bp.blogspot.com/-yKqz8H0BDB0/T8UYtMjTsuI/AAAAAAAAADs/pvPJqGF1FtI/s1600/9.png

http://1.bp.blogspot.com/-6tqbd7_Y6m4/T8UYguKq__I/AAAAAAAAADk/Hyl9bioeEPc/s1600/8.png

http://4.bp.blogspot.com/-oTbmlu0SveU/T8UXf4crVOI/AAAAAAAAADU/V1515jnsDgA/s1600/7.png

Documents

Binomial Multinomial Dan Hipergeometrik-1 Adit