Biographische N otiz zu Euler

Leonhard Euler (1707-1783) war einer der groBten Mathematiker und Univer­salgelehrten aller Zeiten. Seine Biographie kommt einer Geschichte der mathe­matischen Wissenschaften des 18. J ahrhunderts gleich.

Mit 13 Jahren bezog er die Universitiit Basel und wurde Schiiler von Jo­hann Bernoulli. Mit 20 J ahren berief ihn Katharina I. an die Akademie in St. Petersburg. Innerhalb weniger Jahre iibernahm er die Fiihrung unter den Mathematikern und Physikern seiner Zeit. Von 1741 bis 1766 leitete er die ma­thematische Klasse der Berliner Akademie Friedrichs des GroBen und kehrte dann nach St. Petersburg zuriick, wo er 1783 starb.

Eulers wissenschaftliches Werk erstreckt sich auf aIle Zweige der Mathe­matik, auf Physik, Astronomie, Schiffsbau, Ballistik, Musikwissenschaft und Philosophie. Seine gesammelten Werke ziihlen an die 70 Biinde; dazu kommt ein umfangreicher Briefwechsel mit den bedeutendsten Fachgenossen. Eulers Produktivitiit erstaunt urn so mehr, als er zu Beginn der zweiten Peters bur­ger Periode erblindete. Aus dieser Zeit stammt fast die Hiilfte seines Werkes. Nach GauB wird "das Studium der Eulerschen Arbeiten die beste, durch nichts anderes zu ersetzende Schule fiir die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben". Laplace nennt ihn "unser aller Meister".

Euler nahm engagiert an den geistigen Auseinandersetzungen seiner Zeit teil. Mit seiner christlichen Weltanschauung stand er im Gegensatz zu vielen Gelehrten am Hofe Friedrichs des GroBen in Berlin.

AnliiBlich seines 200. Todestages erschien ein 10-Franken-Schein .

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Literaturhinweise

Standardlehrbiicher:

Barner, M., u. Flohr, F.: Analysis I, II. De Gruyter 1974.

Blatter, Chr.: Analysis I - III. Springer, 3. Auff. 1980.

Courant, R.: Vorlesungen iiber Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 4. Auff. 1971.

Dieudonne, J.: Foundations of Modern Analysis. Academic Press 1960. Dtsch. Ubersetzung: Grundziige der modernen Analysis. Vieweg 1971.

Forster, 0.: Analysis 1 - 3. Vieweg 1976.

Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, 1, 2. Teubner 1980.

v. Mangoldt, H. u. Knopp, K.: Einfiihrung in die hohere Mathematik 1 - 3. S. Hirzel Verlag 1962.

Rudin, W.: Analysis. Physik Verlag Weinheim 1980.

Strubecker, K.: Einfiihrung in die hohere Mathematik I - IV. Oldenbourg Verlag 1966.

Walter, W.: Analysis I, II. Springer 1985.

Whittaker, E.T., and Watson, G.N.: A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1902.

Das Buch von Courant bringt viele Beispiele aus Geometrie und Physik. Das von Dieudonne behandelt die Analysis unter einem abstrakten Gesichtspunkt. 1m Buch von Walter werden ausfiihrlich historische Entwicklungen geschil­dert .. Das Buch von Whittaker-Watson ist vor aHem ein N achschlagewerk iiber klassische transzendente Funktionen.

Literaturhinweise 353

Ein Klassiker:

Euler, L.: Introductio in Analysin Infinitorum. Lausanne (1748). Reprint bei Springer 1983.

Dieses Buch ist eines der erst en und schonsten Lehrbucher der Analysis. Euler benutzt darin bereits systematisch komplexe Zahlen; er stellt dort insbeson­

dere die fundamentale Formel eix = cos x + i sin x auf.

Sonstiges:

Artin, E.: Einfiihrung in die Theorie der Gammafunktion. Teubner 1931.

Ebbinghaus H.-D. u.a.: Zahlen, Grundwissen Mathematik 1. Springer, 2. Aufl. 1988.

Jahnke-Emde-Losch: Tafeln Hoherer Funktionen, B.G. Teubner 1960.

Bezeichnungen

[a,b], (a, b), [a, b), (a,b] Intervalle 11,54 Bn Bernoulli-Zahlen 280 Bn(x) Bernoulli-Polynome 281 ~ Karper der komplexen Zahlen ~ - Menge der komplexen Zahlen ;/; 0 en (I) Raum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf I 133 eOO(I) Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf I 133 II flip p-Norm der Funktion f 213 IlfilA Supremums-Norm der Funktion f bez. der Menge A 85 flA Beschrankung der Abbildung f : X -+ Y auf A C X f(x-), f(x+) links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert 98 III Lange des Intervalls I 11 ft;(a) = {x E lR,: Ix - al < c:} inf A Infimum von A 14 Kda) = {z E ~ : Iz - al < c:} M( a, b) arithmetisch-geometrisches Mittel 56 IN Menge der naturlichen Zahlen 1,2,3, ... o Landau-Symbol 276 Q Karper der rationalen Zahlen R (I) Vektorraum der Regelfunktionen auf I 191 R (T) Vektorraum der 2rr-periodischen Regelfunktionen 308 lR, Karper der reellen Zahlen lR,+ Menge der reellen Zahlen > 0 lR,- Menge der reellen Zahlen ;/; 0 lR,=lR,U{-oo,oo}

sup A Supremum von A 14 Uda) gemeinsame Bezeichnung fur ft;(a) und Kc:(a) U-(a) punktierte Umgebung von a 96 [x] grafite ganze Zahl ~ x Ilxll euklidische Norm des Vektors x 149 Ilxllp p-Norm des Vektors x 149 (x, y) Standardskalarprodukt der Vektoren x, y 232 x X y Standardvektorprodukt der Vektoren x, y E lR,3 252 71. Menge der ganzen Zahlen "'" asymptotisch gleich 45, 96, 100

N amen- und Sachverzeichnis

Abel 70, 209, 295, 296 Abelscher Grenzwertsatz 297 Abelsches Konvergenzkriterium 297 Abelsche partielle Summation 295 Ableitung 125 ff absolut konvergente Reihen 64 absolut konvergentes Integral 214 Abstandsfunktion 39 abzahlbar 16 Additionstheorem der Binomial­

koeffizienten 34 der Exponentialfunktion 106 des Sinus und Cosinus 159 des Tangens 162

Ahnlichkeitsdifferentialgleichung 271 algebraische Zahl 40 alternierende Reihe 63 analytische Funktion 277 Anfangswerte 171, 259 ff Anomalie eines Planeten 288 Anordnungsaxiome 8 Apery 62 Approximationssatz 191 - von WeierstraB 303, 307 Archimedes 18, 189 archimedisches Axiom 8 Arcus-Funktionen 163 ff Area-Funktionen 124 Argand 20, 26, 92 Argument einer komplexen Zahl 167 arithmetisch-geometrisches Mittel

56,226 arithmetisches Mittel 18, 149 Artin 343 Astroide 256 asymptotisch gleich 45, 96, 100

Baire 294 Barrow 189 begleitendes Zweibein 238 Bernoulli, Johann, Jakob 62, 109,

229, 280, 306 Bernoulli-Polynome 281 Bernoulli-Zahlen 280 Bernoullische Ungleichung 9 - Differentialgleichung 261 Bernstein-Polynome 307 Beschranktheit von Folgen 46 - von Funktionen 85 - von Punktmengen 88 Bessel 319 Besselsche Ungleichung 321 bestimmt divergent 55 Betafunktion 349 Binomialentwicklung 4 Binomialkoeffizienten 3, 34 Binomialreihe 72, 117 Bogenlange 233 Bohr-Mollerup, Satz von 343 Bolzano 52, 80, 87, 153 Bolzano-WeierstraB, Satz von 50, 51 Brachystochronenproblem 229 Brechungsgesetz 139 Brennpunkt 250 Brent 166 Bruch, ,B-adischer 62

Cantor 11, 17, 40, 53, 306 Cantorsches Diskontinuum 90 Cantor-Funktion 104 Cantorreihen 104 Cardano 20 Carleson 315

356

Cauchy 52, 189 Cauchysches Konvergenzkriterium

52,97 Cauchy-Folge 53 Cauchy-Hadamardsche Formel 71 Cauchy-Produkt von Reihen 69 Cauchy-Schwarzsche U ngleichung

149,213 Cavalieri 189 charakteristisches Polynom 172 Cohen 17 Cosinus, cos 157, 158 Cosinus hyperbolicus, cosh 121 Cotangens 161 -, Partialbruchzerlegung 312

Dampfung 179 Dedekindscher Schnitt 19 Diagonalverfahren 19 Dido 329 Differentialgleichung 170, 259

Bernoullische 261 lineare 170, 259 Eulersche 188 Legendresche 155 mit getrennten Veranderlichen 263

Differentialoperator 174 Differentialquotient 125 differenzierbar 125 - linksseitig, rechtsseitig 151 Dirichlet 28, 80, 295, 306, 311, 314 Dirichlet-Kern 316 Dirichlet-Kriterium 295 Dirichletsches Lemma 316 Division mit Rest 32 Doppelreihensatz 69 Doppelpunkt 230 Doppelverhaltnis 30 Dreiecksungleichung 9, 319 Dualdarstellung 62 Du Bois-Reymond 311

e 108, 111 e:-Umgebung 42 Einheitswurzeln 25, 27, 167

N amen- und Sachverzeichnis

elliptische Integrale 207, 209, 226, 236

- Funktionen 209 Energiesatz 267 Erganzungsregel 221 Euler 20, 28, 62, 113, 124, 155, 157,

158, 167, 187, 188, 216, 218, 280, 299, 306, 312, 338, 351

Eulersche Formel 158 Formeln fur ((2n) 299 Konstante 218, 222 Summenformel 218, 221 Zahlen 287

Evolute einer Kurve 241 Exponentialfunktion 107 ff Exponentialreihe 72 Extremum 128, 135, 275

Fakultat 2 fast aile 42 fast u berall 315 Feinheit einer Zerlegung 211 Fejer-Summierung 336 Fermat 128 Fermatsches Prinzip 138 Fibonacci 56 Fibonacci-Zahlen 56, 77 Fluchtgeschwindigkeit 270 Folge 41 Foucaultsches Pendel 188 Fourier 80, 306, 311 Fourierkoeffizient 308 - poly nom 308 - reihe 308 Fresnelsche Integrale 223, 350 Fundamentalfolge 53 Fundamentalsatz der Algebra 26 Fundamentalsystem von Losungen

einer DG 173 Funktionalgleichung

der Exponentialfunktion 107 - der Gammafunktion 339

Gammafunktion, Definition 338 Erganzungssatz 340

- Integraldarstellung 344

N amen- und Sachverzeichnis

- Verdopplungsformel 345 - Produktdarstellung 340 GauB 1, 20, 26, 166, 226, 289, 338 GauBsche Multiplikationsformel 350 GauB-Klammer 28 gebrochen-lineare Transformation 30 geometrische Reihe 59 geschlossene Kurve 245 Geschwindigkeitsvektor 230 Gibbssches Phiinomen 324 gleichmiichtig 17 gleichmiiBig konvergent 291 gleichmiiBig stetig 94 glob ales Extremum 128 globale Lasung 264 Gadel 17 goldener Schnitt 10 Graph 28 GraBmann-Identitiit 252 Gregory 118, 164 Grenzwert

einer Folge 41 in JR, uneigentlicher 55 einer Funktion 95 linksseitiger, rechtsseitiger 98 uneigentlicher 102 bei 00 99

Grenzwertkriterium 216

Hamilton 20 Harmonice mundi 254 harmonische Reihe 59 harmonisches Mittel 18 Hiiufungspunkt einer Menge 94 Hiiufungswert einer Folge 50 Hauptteil 36 Hauptsatz der Differential- und Inte-

gralrechnung 197 Heine 93 Hilbert 258 Halder 149 Haldersche Ungleichung 149, 213 Hurwitz 329 Huygens 164, 229 hyperbolische Funktionen 121 hypergeometrische Reihe 77

Identitiitssatz fiir Polynome 33 - Potenzreihen 75 - Fourierreihen 311 Imaginiirteil 22 Infimum 14 Integral 193

absolut konvergentes 214 elliptisches 207, 209 unbestimmtes 198 uneigentliches 214

Integralkriterium 217

357

Integralsinus 324 Interpolationspolynom nach Newton

39 Intervalle 11 Intervallschachtelung 11 isoperimetrische U ngleichung 337

Jacobi 209, 269, 334 Jensen 144 Jordan 229

Kepler 254 Keplersche Gesetze 253, 254 Keplersche Gleichung 288 Kettenregel 130 Kettenlinie 130 Koeffizientenvergleich 34 kompakt 88 komplexe Zahlen 20 Komposition von Funktionen 29 konische Spirale 255 konkav 145 Kontinuumshypothese 17 konvergent 41, 58, 95

absolut 64 gleichmiiBig 291 normal 85 punktweise 84 uneigentlich 55

Konvergenz im quadratischen Mittel 326

Konvergenzkreis 71 Konvergenzradius 71 Konvergenzverbesserung 63 konvex 144

358

Konvexitatskriterium 146 Korperaxiome 7 kreistreu 40 Kronecker 1 Kriimmung einer Kurve 239, 257 Kriimmungskreis 241 Kurve 227

Lagrange 134 Lambert 167 Landensche Transformation 226 Landau-Symbol v 276 Laplace 26, 351 Laplace-Transformation 225 Lebesgue 189, 258, 306 Legendre 155, 208 Legendre-Polynome 155, 288, 337 Leibniz 62, 63, 125, 164, 189, 229,

243 Leibnizreihe fiir 7r / 4 163 Leibnizsches Konvergenzkriterium

63,295 Leitlinie 250 Lemniskate 256 l' Hospitalsche Regel 140 Limes 41 - inferior, superior 50 Lindemann 167 lineare Approximation 127 lineare Differentialgleichung 170, 259 linksseitig konvergent 98 Lipschitz-stetig 80 L2 -Norm 319 logarithmische Ableitung 130 logarithmische Spirale 257 logarithmisches Dekrement 180 logarithmisch-konvex 343 Logarithmus 112, 124 Logarithmusreihe 72, 117 logistische Gleichung 262 lokal-gleichmaBig konvergent 300

Machin 166 Machinsche Formel 166 Majorantenkriterium 60, 216 mathematisches Pendel 269

N amen- und Sachverzeichnis

Maximum, Minimum 128 Mercator 58, 117 Minkowski 150 Minkowskische Ungleichung 150 Minimaleigenschaft der Fourierpoly-

nome 321 Mittelwertsatz der Differentialrech-

nung 134, 139 - der Integralrechnung 196 Mollerup 343 Monotonie 29, 46, 194

natiirliche Zahlen 1 Neilsche Parabel 228, 241 Newton 39, 58, 109, 117, 118, 125,

189, 229, 283 N ewton-Verfahren 283 Niven 203 Norm, p-Norm, euklidische Norm

149 -, Supremums-Norm 85 Normalenvektor 238 normal konvergent 85 Nullfolge 41 Nullmenge 315 numerische Exzentrizitat 250

offene Uberdeckung 300 orientierter Flacheninhalt 242 orientierungstreu 237 orientierungsumkehrend 237 Orthogonalitatsrelationen 307

7r 160, 166 Parametertransformation 236 parametrisierte Kurve 227 Parsevalsche Gleichung 327, 329 Partialbruchzerlegung einer rationa-

len Funktion 37 - des Cotangens 312 Partialsummen 58 partielle Integration 199 partielle Summation 295 partikulare Losung 177, 260 Pascal 5 Pascalsches Dreieck 5

Namen- und Sachverzeichnis

Peanokurve 258 Periodizitat von exp, cos, sin 160 Plancksche Strahlungsfunktion 156 Polarkoordinaten komplexer Zahlen

167 Polarkoordinatendarstellung der Ke-

gelschnitte 250 Polynom 32 Potentiaitopf 267 Potenz 31, 114 Potenzreihe 70 Potenzsummen 6, 219 Produktdarstellung des Sinus 313 Produktregel 129 punktierte Umgebung 96 punktweise konvergent 84 Pythagoraer 10, 56

Quadratur des Kreises 167 Quadratwurzeln, rekursive Berech­

nung 48 Quotientenkriterium 65 Quotientenregel 129

rationale Funktion 35 Realteil 22 Regelfunktion 191 regulare Stelle einer Kurve 230 Reihe 58

absolut konvergente 64 alternierende 63 geometrische 59 harmonische 59

rektifizierbar 233 Restglied, Lagrangesches 274 - Cauchysches 287 Riemann 81, 189, 211, 306, 311 Riemannsches Lemma 317 Riemannsche Sum me 211 Riemannscher Umordnungssatz 68 Rolle, Satz von 134

Salamin 166 Sandwich-Theorem 45 Scheitel 257 Schnittwinkel 232

Schranke, obere, untere 13 Schrankensatz 136, 152 Schraubenlinie 229 Schwingungsdauer 268 Schwingungsgleichung 157 Schwingungsprobleme 179 schwingende Saite 335 Sektorformel von Leibniz 243 Sinus amplitudinis 223 Sinusprodukt 313 Skalarprodukt 232 Snellius 139 Spiegelung am Kreis 24 Spur einer Kurve 227 Stammfunktion 183 stetig 79 - differenzierbar 132 - gleichmaBig 93 Stetigkeitsmodul 103 Stifel 113 Stirling 121

359

Stirlingsche Formel 121, 224, 347 Stone 302 stiickweise stetig differenzierbar 245,

321 Substitutionsregel 200 Supremum 14 Supremumsnorm 85

Takagi 153, 229 Tangens 161 Tangentialvektor 230 Taylor 272 Taylorformel, qualitative 276 Taylorpolynom 272 Taylorreihe 276 Teilfolge 51 Thetafunktion 333 Torsion 257 Traktrix 271 transzendente Zahlen 40 Trapez-Regel 220 Treppenfunktion 189 trigonometrische Funktionen 159 trigonometrisches Polynom 306 Tschebyscheff-Polynom 169

360

Uberdeckungssatz von Heine-Borel 301

Ungleichung von Jensen 148 - zwischen arithmetischem und

geometrischem Mittel 148 Umgebung 42, 54, 81, 96 U mkehrfunktion 30 -, Ableitung der Umordnungssatz 67, 68 Umorientierung einer Kurve 238 unbedingt konvergente Reihen 68 unbestimmtes Integral 198 uneigentliches Integral 214 uneigentlich konvergent 55, 101

Variation der Konstanten 185 Vektorprodukt 252 Verdichtungskriterium 76 Verdopplungsformel der Gammafunk-

tion 345 Verzweigung 265 Vietasches Produkt 169

N amen- und Sachverzeichnis

Vivianische Kurve 255 vollstandiges elliptisches Integral

209, 210, 226 vollstandige Induktion 1 Vollstandigkeitsaxiom 12 Vollstandigkeitsrelation 327

Wallis 46 Wallissches Produkt 46, 202 Warmeleitungsgleichung 330 WeierstraB ll, 80, 90, 153, 208, 209,

294, 302, 340 Wendepunkt 147 Windungszahl 246 Wurzeln, Existenz 12 Wurzelkriterium 64

Zahlenebene, GauBsche 23 Zerlegung eines Intervalls 189 Zetafunktion 61, 143, 219 Zwischenwertsatz 87 Zykloide 228, 229, 244, 255

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