Biomatematika 1Többváltozós függvények, parciális deriváltak 1

Dr. Bugyi Beáta2019

Egyváltozós függvények - derivált

-

fix )= x'

8

m=8dfl × )

= flex ) = 2x1 dx

# MEREDEKSEG-

# f ( x ) VAUD 2h51 SEBESS 'EGEm=4 4

1 X VA'

LTOZIK

-

HOGYVALTOZIK fcx )

f' (21--212)=4

f'

(41--214)=8

Többváltozós függvények - parciális derivált

Egyszerűsítsük a problémát!Hogyan változik f(x,y), ha csak az egyik független változó változik, míg a másik konstans (állandó)?

1.

X VAILTOZIK y = ALLAN Db80

20 y =

TO20 -10=2

1060 f ( x

, y ) =

201-2×+40

> 2

At LTALAINOSAN

X VAILTOZIK y = At LLANDO'

f ( x, g) = 20 t 2X thy

→ riOflag ) d(20t2xt4y )

= = 2ox

Oxy Y

PARCIALIS DERNA 'LT ( d )

802. y

VAILTOZIK X = At LLANDO'

X

-1040 f ( x

, g) = 20

t20t4ys 4

40

To' 4 At LTALAINOSAN

1040

Y VAILTOZIK X = At LLANDO'

f ( x, g) = 20 t 2X thy

go

go,

4

Jfk, y ) d(20t2xt4y )= = 4dy

xOY

x

PARCIA 'Ll 's DERNA 'LT ( d )

Parciális derivált - szemléltetése, hőmérséklet eloszlás egy szobábanT ( x

, y ) = 20+2×+4 y

> x

2

YA 'LL AND -0

4 21-4=6

vX - At LLANDO

'

Ydfcxiy )

=

d

(201-2×1-49)=2oxOx

y Y

I fcxiy )=

d(20t2xt4y )= ydy

x OY x

Teljes differenciál

T ( x, y ) = 20+2×+4 y

i. dfcxiy )y = ALLAN Db X VAILTOZIK fix , y ) VA 'LT02A 's A = 2

oxy

DX df ( x, y )=2dX

2. dfcxiy )X = At LLANDO

'

yVAILTOZIK fcxiy ) VA 'LT02A 's A = 4OY x

dy dfcx , y ) = 4 dy

X VAILTOZIK ( dx ) yVAILTOZIK ( dy )

fcx , y ) VA 'LT02A 's A = dfcx , y ) = Zdxt 4dg TEWES DIFFERENCE 1dL

dfcxiy )=df(" Y ) d×+dfC4Y) dyox

y OY x

PARC IA 'Ll S DERNA'

LT

yMELYIK Fit GGVENYT

dfcxiy )

d X ly ← MELYIK VA'

LTO 2b ( K ) At LLANDO'

DERNA 'LJAK I

may ,µ v ALTO 2b SZERINT

TELTES DIFFERENCE IA 't

f- ( x , y ) VALTOZDISA

| fCSAK X VA

'

LTOZA 'S A MIAIT

. dfcxiy )=df(" Y )dx +

OfHis ) dyd x OY x

f- CxiylVALTOZAISA Y

X ES Y VA'

LTOZA 's A MIAIT I [CSAKYVA 'LT02A 's A MIAIT

f ( x , y ) VALTOZDISA

Ideális gáz

pv =n RT n=1 mob R= 8.31it

mock

PCV ,T ) -

MRT

V

1

T = 273k V=1m3

8.31 - 273= 2268.63P ( V

,T ) =

1 -

^

NO"

tHA T VALTOZA 's A 0.07 Es V=A 'LL AND 'D

T =273.001KV=1m3 v p VA 'LT02A 's A0.008311- 8.31.273.001p ( V

,T ) =-2268.63831a

^

T )

,

= YR off ( T . 273 ,V=t)=t '

f.

31=8.3170

T )

,

= YR 817/1=273 ,V=t)=t '

f.31=8.31

PARCIAILIS DERNA"

LT

T VA 'LT02A 's A AEGYSEG p VALTOZA 's A 8.31 EGYSEG

: 1000£0.001EGYSEG 8.31 . 0.001=0.00831= 0.00831

DT EGYSEG 8.31 IT

2

T = 273k V=1m3

8.31 - 273= 2268.63P ( V

,T ) =

1 -

^CS O KKENHAVVALTOZA 's A 0.01

'EST = At LLANDO'

T = 273KV =1.01ms-

p VA 'LT02A'SA -

2.266361- 8. 31.273

p ( V,

T ) = =2266.36<1.001DPCYT)= - MRT

1

§P ( 1=273 ,V=t)= - 1.8.31 . 273 42 =

d V V2 vT

= -

2268.6350MRT f = NRT ft fa )

DP ( YT )= - MRT

1gdp ( 1=273 ,V=t)= - 1.8.31 . 273 for = - 2268.63

d V V2 vT

PARCIAILIS DERNA'

LT

V VA 'LT02A 's A AEGYSEG p VALTOZA 's A

-2268.63EGYSEIG

: 1000 f 0.001EGYSEG

- 2268.63 .0.001=-2.26863~ - 2.26636

DV EGYSEG - 2268.63 DV

Teljes differenciál

dfcxiy )=df(" Y ) d×+dfC4Y) dyox

y OY x

dpc YT ) Opt YT )dpc Vit ) =

TDT t DV

d orV T

=MR

dttf- MRT11 DV✓ v 2

A PELDAIBAN

dpc VIT ) =

t

;8.31DT t ( - 1.8.31 . 273 ta )dV

dp( V,

T ) = 8.31DTtf - 2268.63 )dV

A belső energia, mint teljes differenciálParciális deriváltak, mint fizikai mennyiségek

ENTRO'

PIA

1 FETE TEL .OU = OQ - OW

TETSZBLEGESENKISVALtoza.gr A O , ddS= IF → dQ=TdS

MUNK A

du = da - dw dW=pdV

# du = Tds -

p DV

U VALTOZA 's A ~ S,

V VALTOZAISA : U ( s,

V )

# U MINT TELTES DIFFERENCE IA 't

du = off yds tOU

DVOV

s

du = T DS - p DV*

au . on ÷ :c:

Mutassuk meg, hogy ha p = állandó, akkor dH = dQ.

🙂

ENTALPIA

HE Utpv

dH=d( Utpv ) ( ftg ) '=f' t g'

= dutdcpv ) ( f- g)'

= f' gtfg'

= dutdpvtpdv du - DQ - pdv

=dQ - pdvtdpvtpdv p - ALLANDO'

dp=0=D

dH=dQ

TETS LEGES OX Gf( x )=f( x tox ) - f( x )Ofk ) A' TLAGOS aox

Ofcx ) dfcx )OX > O lion = PILLANATNYI d

ox→O OX DX

Ofcxiy )=

dfcxiy )ox > O him

0×-0 OX Ox ly -_ a u.

t y-_ A 'Ll

.

PARCIA 'Ll 's @

Oy> O himOff " 't )

=

dfcxiy )

Oy - oOydy/x=au .X=A'Ll

.

dfcx ,y)=df%H1ydXtdff×y't)/×dy TELJESDIFFERENCIA 't