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Biostatistik, Sommer 2017Einfuhrung, Quadratische Gleichungen
Prof. Dr. Achim Klenke
http://www.aklenke.de
1. Vorlesung: 21.04.2017
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Inhalt1 Organisatorisches
ThemenLiteratur
2 Mathematik anwendenVorgehen (einfach)Vorgehen (anspruchsvoll)
3 Zahlen und RechenregelnZahlendarstellungPotenzen und WurzelnBruchrechnung
4 Quadratische GleichungenTheorieBeispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht
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Organisatorisches
Orte, Zeiten, Ubungen, Zulassungskriterien, . . .
http://www.aklenke.de
Ubungen: elektronisch via ilias, von Timo Schluterbetreut. Abgabe jeweils bis Freitag.Tutorien fur Fragen, Besprechung der Ubungsaufgaben,etc.Klausur (Modul 4-1): 24.07.2017, 10-12 Uhr.
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Organisatorisches
Tutoriumstermine und -raume
Es wird vier Tutorien geben. Voraussichtliche Termine:
1 Di 12–14, Raum 04-224 Lukas Metzdorf2 Mi 12–14, Raum 05-514 Lukas Metzdorf3 Do 14–16, Raum 04-516 Fabio Frommer4 Fr 12–14, Raum 04-224 Fabio Frommer
Raume im Institut fur Mathematik, Staudingerweg 9
Anmeldung elektronisch.
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Organisatorisches Themen
ThemenWiederholung Schulmathematik
Dreisatz, Zahlen, quadratische Gleichungen, FolgenExponential- und LogarithmusfunktionDifferential- und Integralrechnung
Beschreibende StatistikMittelwert, Median, Quantile, StandardfehlerLineare RegressionHistogramme etc.
Schließende StatistikGrundbegriffe der WahrscheinlichkeitstheorieSchatzerKonfidenzintervalleTests (t , χ2, Rangtests)
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Organisatorisches Literatur
Literaturhinweise (UB Lehrbuchsammlung)
1 Steland, Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung,Springer 2004
2 Bohl, Mathematik in der Biologie, Springer 20013 H. Vogt, Grundkurs Mathematik fur Biologen, 2. Aufl., Teubner,
1994.4 A. Riede, Mathematik fur Biologen, Vieweg, 1993.
5 F. Barlocher, Biostatistik, Thieme, 1999.6 W. Timischl, Biostatistik : eine Einfuhrung fur Biologen und
Mediziner, 2. Aufl., Springer, 2000.7 W. Kohler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik : eine Einfuhrung
fur Biologen und Agrarwissenschaftler, 4. Aufl., Springer, 2007.(Auch als E-Book vorhanden)
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Organisatorisches
Quellen
Diese Vorlesung basiert in Teilen auf Material vonBrooks Ferebee (Universitat Frankfurt)Gaby Schneider (Universitat Frankfurt)Anton Wakolbinger (Universitat Frankfurt)Martin Hutzenthaler und Dirk Metzler (LMU Munchen)Matthias Birkner (Uni Mainz)
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Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)
Was ist Mathematik?
Mathematik ist Sprache und Kalkul.
Drei Schritte:(1) konkretes Problem formalisieren(2) formales Problem losen(3) formale Losung im Kontext interpretieren
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Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)
Beispiel: Ansetzen einer chemischen Losung.
Es sollen 20ml einer 2% igen wassrigen Losung angesetztwerden. Im Regal finden Sie:
15% ige Losungreines Wasser
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Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)
(1) Formalisieren: Wir definieren Symbole x und y durch
x = Volumen der 15% igen Losung, die verwendet wirdy = Volumen des Wassers, das verwendet wird
Es ergeben sich zwei Gleichungen
15% · x20 ml
= 2%, x + y = 20 ml.
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Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)
15% · x20 ml
= 2%, x + y = 20 ml.
(2) Formale Losung:
15% · x20 ml
= 2% =⇒ 15% · x = 2% · 20 ml
=⇒ x =2%
15%· 20 ml =
83
ml ≈ 2.67 ml.
Aus der zweiten Gleichung (x + y = 20 ml) folgty = 20 ml− x = 52
3 ml ≈ 17.33 ml.
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Mathematik anwenden Vorgehen (einfach)
(3) InterpretationEs mussen 2.67 ml der 15% igen Losung in 17.33 ml Wasserpipettiert werden.
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
Anspruchsvollere Verwendung vonMathematik
Funf Schritte:(1) Modell bilden(2) Modell formalisieren(3) formales Modell mathematisch analysieren(4) formale Ergebnisse interpretieren(5) Vergleich mit der Natur bzw. Schatzen von
Modellparametern (hier kommt Statistik ins Spiel)
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
Beispiel: Verseuchung des Edersees.Durch einen Chemie-Unfall ist der Edersee mit PCB verseucht.Konzentration c = 1µg/l .Wie groß ist die Belastung nach einem Jahr?
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
(1) Modell bilden.
Konstanter Wasserzufluss.Jeden Tag durchmischt sich das zugeflossene Wasserkomplett mit dem Inhalt des Stausees und fließt dann ab.
Alternativen:Das zugeflossene Wasser fließt ab, ohne sich zudurchmischen.Das zugeflossene Wasser verdrangt das vorhandeneWasser....
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
(2) Modell formalisieren.
Volumen des Sees: V = 200Mio m3.
Zufluss eines Jahres: Z = 600Mio m3.
Konzentration am Tag n = 0,1, . . . ,365: cn.Speziell c0 = c = 1µg/l .
Modellannahme ”konstanter Zufluss“ liefertZufluss eines Tages:
ZT =Z
365.
Modellannahme ”taglich perfekte Vermischung“ liefert
cn+1 = cn ·V
V + ZT.
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
(3) Formales Modell analysieren.Wir haben c0 = 1 und
cn+1 = cn ·V
V + ZT= cn ·
200Mio
200Mio + 600Mio/365
= cn ·1
1 + 3/365.
Alsoc1 = c0 ·
11 + 3/365
c2 = c1 ·1
1 + 3/365= c0 ·
(1
1 + 3/365
)2
c3 = c2 ·1
1 + 3/365= c0 ·
(1
1 + 3/365
)2
· 11 + 3/365
= c0 ·(
11 + 3/365
)3
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
(3) Formales Modell analysieren.
Also fur jedes n:
cn = c0 ·(
11 + 3/365
)n
.
Speziell ist
c365 = c0 ·(
11 + 3/365
)365
= 0.0504 µg/l .
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
(4) Formales Ergebnis interpretieren.
Nach einem Jahr betragt die Konzentration PCB im Ederseenoch 0.0504 µg/l (falls das Modell realistisch ist).
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Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll)
(5) Vergleich mit der Realitat.
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Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung
Schreibweisen fur reelle Zahlen:√3, 1−
√2, π, e (das lieben Mathematiker)
1.73205 . . ., −0.41421 . . ., 3.14159 . . .(das versteht der Taschenrechner)5/3 = 1.6 = 1.66666 . . .1.67 · 105 = 167 000, denn 105 = 100 0002.3 · 10−4 = 0.00023, denn und 10−4 = 0.00011.67 E5 = 1.67 · 105
2.3 E − 4 = 2.3 · 10−4
(manche altere Messinstrumente)
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Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung
Zehnerpotenzen101 Zehn deka da
102 Hundert hekto h
103 Tausend kilo k
106 Million mega M
109 Milliarde giga G
1012 Billion tera T
1015 Billiarde peta P
1018 Trillion exa E
10−1 dezi d
10−2 zenti c
10−3 milli m
10−6 mikro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
10−15 femto f
10−18 atto a
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Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung
Zehnerpotenzen101 Zehn deka da
102 Hundert hekto h
103 Tausend kilo k
106 Million mega M
109 Milliarde giga G
1012 Billion tera T
1015 Billiarde peta P
1018 Trillion exa E
10−1 dezi d
10−2 zenti c
10−3 milli m
10−6 mikro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
10−15 femto f
10−18 atto a
Gelbes Licht, Wellenlange
440nm = 440 · 10−9 m = 4.4 · 10−7 m.
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Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung
Zehnerpotenzen101 Zehn deka da
102 Hundert hekto h
103 Tausend kilo k
106 Million mega M
109 Milliarde giga G
1012 Billion tera T
1015 Billiarde peta P
1018 Trillion exa E
10−1 dezi d
10−2 zenti c
10−3 milli m
10−6 mikro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
10−15 femto f
10−18 atto a
Stromerzeugung in Deutschland (2015):646TWh = 646 · 1012 Wh = 646 · 109 kWh.1Wh = 3600 J, also wurden erzeugt:
646 · 1012 · 3600 J = 2.32 · 1018 J = 2.32EJ.24/37
Zahlen und Rechenregeln Potenzen und Wurzeln
Fur n = 1,2,3, . . . und a ∈ R (reelle Zahl)
an = a · a · a · · · a (n Faktoren).
Regelnam · an = am+n.
(am)n = amn.
an · bn = (ab)n.
Wir setzena0 = 1
unda−m =
1am falls a 6= 0.
Wir definieren n√
a = a1/n durch
(a1/n)n = a falls a ≥ 0.
Rechenregeln gelten dann auch fur ax mit x ∈ R.25/37
Zahlen und Rechenregeln Bruchrechnung
Bruchrechnunga,b, c,d reelle Zahlen, b,d 6= 0. Rechenregeln
ab· c =
a cb
ab
cd
=a cb d
ab
d=
ab d
abcd
=a db c
, falls c 6= 0
ab
+cd
=ad + bc
b d.
Bruche Kurzen erfordert Geschick.26/37
Quadratische Gleichungen Theorie
Seien a,b, c reelle Zahlen, a 6= 0. Gesucht: Losungen von
0 = ax2 + bx + c.
Definiere Diskriminante ∆ = b2 − 4ac. QuadratischeErganzung liefert die Losungen
x1 =−b −
√∆
2a, x2 =
−b +√
∆
2a.
SatzEs tritt stets genau einer der drei Falle auf:
(i) ∆ = 0: x1 und x2 sind reell und x1 = x2.
(ii) ∆ > 0: x1 und x2 sind reell und x1 6= x2.
(iii) ∆ < 0: Dann sind x1 und x2 keine reellen Zahlen.
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Quadratische Gleichungen Theorie
Beispiel 1
0 = 2x2 − 4x + 2.
a = 2, b = −4, c = 2.
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 2 · 2 = 16− 16 = 0.
Nach dem Satz: Einzige Losung ist
x =−b −
√∆
2a=−(−4)− 0
2 · 2= 1.
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Quadratische Gleichungen Theorie
Beispiel 1
f (x) = 2x2 − 4x + 2.
−4 −2 0 2 4
−5
05
10
f(x)
●
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Quadratische Gleichungen Theorie
Beispiel 2
x2 − 3x + 2 = 0.
a = 1, b = −3, c = 2.
∆ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 · 1 · 2 = 9− 8 = 1 > 0.
Nach dem Satz: Die zwei Losungen sind
x1 =−b −
√∆
2a=−(−3)− 1
2= 1
x2 =−b +
√∆
2a=−(−3) + 1
2= 2.
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Quadratische Gleichungen Theorie
Beispiel 2
f (x) = x2 − 3x + 2.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−0.
50.
51.
52.
5
f(x)
● ●
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Quadratische Gleichungen Theorie
Beispiel 3
x2 + 2x + 2 = 0.
a = 1, b = 2, c = 2.
∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4 · 1 · 2 = 4− 8 = −4 < 0.
Nach dem Satz: Es gibt keine reellen Losungen.
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Quadratische Gleichungen Theorie
Beispiel 3
f (x) = x2 + 2x + 2.
−6 −4 −2 0 2 4
−5
515
25
f(x)
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Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht
Idealisierte Population: sehr groß, diploid, hermaphroditisch.Annahme:
”Neutralitat“(keine Selektion)rein zufallige PaarungenMendel’sche Segregationzwei Allele A und a
Genotypenhaufigkeiten heute:
Genotyp AA Aa aaAnteil xAA xAa xaa
(xAA + xAa + xaa = 1)
Allelhaufigkeiten heute
Allel A a
Anteil pA = xAA + 12xAa pa = 1
2xAa + xaa
Genotypenhaufigkeiten in der nachsten Generation?34/37
Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht
Heute:Genotyp AA Aa aa
Anteil xAA xAa xaa
Allel A a
Anteil pA = xAA + 12xAa pa = 1
2xAa + xaa
Nachste Generation:Genotyp AA Aa aa
Anteil x ′AA x ′Aa x ′aa
Allel A aAnteil p′A p′a
x ′AA = p2A p′A = pA
x ′Aa = 2 pApa p′a = pa.
x ′aa = p2a
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Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht
Hardy-Weinberg-GleichgewichtAllelhaufigkeiten sind konstant uber die Generationen.Unabhangig von den ursprunglichen Genotyphaufigkeitenstellt sich fur die Genotypen AA, Aa, aa nach einerGeneration das Verhaltnis
p2 : 2p(1− p) : (1− p)2
ein und andert sich dann nicht mehr.
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Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht
Hardy-Weinberg Gleichgewicht:HeterozygotenKann man pA berechnen, wenn man nur den Anteil derHeterozygoten (xAa) kennt?
xAa = 2pA(1− pA) = 2pA − 2p2A,
alsop2
A − pA +12
xAa = 0.
Auflosen nach pA (quadratische Erganzung) gibt
pA =1±√
1− 2xAa
2.
(Zusatzinformation erforderlich, um die Losung auswahlen, z.B.welches der beiden Allele haufiger ist.)
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