Felsefe Dünyası, 2000/1, Sayı: 31

BİR DOĞRULUK FONKSİYONU MANTIKSAL DEĞİŞMEZİOLARAK BAĞDAŞMAZ-SEÇENEKLİLİK EKLEMİ

Zekiye KUTLUSOY«*)

Klasik/geleneksel mantık olarak da bilinen Aristoteles mantığında temel birim te-

rim/kavram iken, formel/matematiksel/modern/çağdaş mantık/lojistik olarak da adlandı-

rılan simgesel (sembolik) mantıkta temel birim önermedir. Bundan ötürü aslında bir

önermeler mantığı olan simgesel mantık, yalınç/çekirdek/basit/atomsal önermeler ile,

önerme eklemleri yardımıyla kurulmuş olan bileşik/molekülsel önermelerin mantığıdır.

Öte yandan, yalınç/bileşik önermelerden yeni önermeler kurmanın aracı olan eklemlerin

bir bölümü, değilleme, tümel-evetleme, koşul eklemleri gibi doğruluk fonksiyonu ekle-

miyken, bir bölümü ise, bilgisel (epistemik), kipsel (modal) veya ödevsel (deontik) yö-

neticiler gibi doğruluk fonksiyonu eklemi değildir. Ancak, bütün bu eklemler, eşitlik/öz-

deşlik ve niceleyiciler gibi, ait oldukları formel dilin/sistemin tüm yorumlarında aynı an-

lamı korudukları için mantıksal değişmeziz* olarak adlandırılırlar. Şimdi, önerme simge-

leri ve parantezleri de içeren bir simgesel önermenin (önerme kalıbının/şemasının) bel-

kemiği olan bu değişmezler, önerme simgeleri değişik şekillerde yorumlansa bile, kalı-

bın mantıksal iskeletini, formel yapısını sergileyip, aslında mantıksal biçimlere ilişkin

olan tutarlılık, geçerlilik gibi mantıksal niteliklerin araştırıldığı denetlemelerde, belirle-

yici temel yapısal öğeler olarak çok büyük önem kazanırlar. O halde, mantıksal değiş-

mezlerle ilgili kavramsal irdelemelerin ne denli gerekli mantıksal çalışmalar olduğu or-

tadadır. İşte bu yazı, bu amaca yönelik çabanın bir örnekle somutlaştrnlmasıdır.

Temel simgesel mantık, aslında, doğruluk fonksiyonu mantığını içeren, genel an-

lamda bir niceleme/yüklemler mantığıdır. Şimdi, doğruluk fonksiyonu mantığı, mantık-

sal değişmezlerden yalnızca doğruluk fonksiyonu eklemlerini kapsadığı için, bir doğru-

luk fonksiyonu eklemleri mantığı olarak görülebilir. Bu mantık, eklemlerini, doğru-

luk(fonksiyonu) tablosu aracılığıyla tanımlar. Verilen bu tanımlara göre de, bu eklemle-

rin yardımıyla önerme(ler)den kurulmuş olan yeni önermelerin doğruluk değeri, kurul-

muş oldukları bileşen(ler)inin doğruluk değerine bağımlı olarak belirlenir. İşte, bu yazı-

nın konusu olan bağdaşmaz-seçeneklilik eklemi de bunlar arasında yer alan 2-li önerme

(*) Yard. Doç. Dr. Gazi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi

33

Felsefe Dünyası

eklemlerindendir. Şimdi, literatürde tek tuk de olsa rastlanan bazı mantıkçıların, tikel-

evetleme yani bağdaşır-seçeneklilik ("ayrıklık", "mantıksal toplam" [5], s. 130) ile bağ-

daşmaz-seçeneklilik ("tekil-evetleme" [5], s. 127) eklemlerini birbirinden ayırt ederek

ele almalarına karşın, genel olarak formel mantıkçılar çalışmalarında bu ayrımı yapmak-

sızın, mantıktaki seçeneklilik durumunu yalnızca tikel-evetleme kavramı ile karşılama

yoluna gitmekteler. Oysa, sıkı seçeneklilik durumunu dile getiren bağdaşmaz-seçenekli-

lik, bu özelliğinden ötürü kavramsal çerçevede tikel-evetlemeden daha temel bir nokta-

da durmaktadır. Bundan ötürü bu yazı, tikel-evetleme ile bağdaşrnaz-seçeneklüik arasın-

daki ayrımın yapılmasının gereğini vurgulamak ve bağdaşmaz-seçenekliliğin ayrı bir

mantıksal değişmez, farklı bir önerme eklemi olarak simgesel mantıkta yer almasının

önemine işaret etmek amacını taşımaktadır. Ayrıca, bağdaşmaz-seçenekliliğin göz önü-

ne alınmasıyla, DeMorgan ve ikillik (dualité) bağıntılannm dile getirildiği çerçeveler de

zenginleştirilerek genişletilebümektedir. Onun için bu yazıda öncelikle, DeMorgan Ku-

ralları ve ikillik kavramı çerçevelerinde ilişkide olduğu eklemlerle olan bağıntılarında

konumlandırılacak olan bağdaşmaz-seçeneklilik, temel özellikleri açısından tikel-evetle-

me ile karşılaştırmalı olarak tanıtılacak, daha sonra, bu iki seçeneklililk durumu arasın-

daki aynm netleştirilerek vurgulanacak, son olarak da, bağdaşmaz-seçenekliliğin olası-

hk kuramı ve kümeler kuramı ile de ilişki içindeki lojistiğe yapabileceği katkılar sergi-

lenecektir.

Genleşmiş DeMorgan Kuralları. Simgesel mantıkta DeMorgan Kuralları ile, de-

ğilleme ekleminin dağılma özelliği temelinde iki mantıksal değişmez arasındaki iki te-

mel bağıntı sergilenir. Daha açık olarak, bu kurallar/bağıntılar, değillenmiş tümel-evet-

leme ve tikel-evetleme önermelerindeki parantez önü değilinin, parantezlerin içinde da-

ğı(tı)lmasım dile getirmektedirler. Bu dağı(tı)lma işlemi sırasında, parantezler arasında-

ki her bir simgesel öğe teker teker değişime uğrar; yani, önerme simgeleri değillenirken,

ikili doğruluk fonksiyonu eklemlerinden olan tümel-evetleme ve tikel-evetleme eklemle-

ri de birbirine dönüş(türül)ürler. Bu anlamda bu kurallar, bu iki eklem arasındaki karşı-

lıklı bağıntının bir ifadesidir ([8], s. 20-21):

~(p&q)s~pV~q ~(pVq) = ~p&~q

Burada tümel-evetleme eklemi ile oluşturulmuş olan bileşik simgesel tümel-evetle-

me önermesi "p & q", atomsal bileşen simgeleri olan 'p' ve 'q'nun günlük dil önermeleri

ile içeriklendirilmesi sonucu, günlük dilde "p ve q." ("Hem p hem (de) q.") olarak söyle-

nirken, simgesel tikel-evetleme önermesi "p V q" ise "p veya q." olarak dile getirilir.

Şimdi, tümel-evetleme ile tikel-evetleme eklemleri arasında DeMorgan tarafından

formüle edilen bağıntı, ikili doğruluk fonksiyonu mantıksal değişmezleri arasındaki bir

34

Felsefe Dünyası

diğer eklem çifti, karşılıklı-koşul ve bağdaşmaz-seçenekhlik eklemleri, tarafından da ser-

gilenmektedir:

~(P *-> q ) 3 ~p <-1 -* ~q ~(p *~ I -* q) s ~p <-* ~q

Burada simgesel karşıüklı-koşui önermesi "p «-» q", günlük dilde yalınç önermele-

rinin anlamlandırılması ile "Ancak ve ancak p ise q." olarak ifade edilirken, simgesel

bağdaşmaz-seçeneklilik önermesi "p «-1 -» q" ise, "Ya p ya (da) q." olarak dile getiri-

lir.

Karşılıklı-koşul ve bağdaşmaz-seçeneklilik eklemleri arasında da DeMorgan ba-

ğıntılarıma ortaya çıkmasını sağlayan durum, aslında, aşağıda da açıkça görülebileceği

gibi, bu eklemler arasındaki birtakım mantıksal eşdeğerlik/denklik bağıntılarıdır:

p <-» q s ~p <-» ~q p « _ | _ » q S ~ p < - | - » ~ q

Bunların yardımı ile de yukarıdaki DeMorgan bağıntıları aşağıdakilere dönüştürü-

lebilir:

Şimdi, karşılıklı-koşul ile bağdaşmaz-seçeneklilik arasındaki tüm bu mantıksal eş-

değerlik bağıntıları, doğruluk tablosunun yardımıyla da gösterilebilir:

p q p <~» q p •—| —* q ~(p <-» q) ~p «-1 -> ~q ~(p <-1 -» q) ~p <-> ~qD D D Y Y Y D D

DY Y D D D Y Y

YD Y D D D Y Y

YY D Y Y Y D D

O halde, karşılıklı-koşul ve bağdaşmaz-seçeneklilik eklemleri arasındaki değille-

me ilişkilerinin de, DeMorgan Kurallan'nin (eklenmiş) ikinci kısmı olarak alınmasıyla

kuralların kapsamını genişletmek, böylece de Genleşmiş DeMorgan Kurallarını belirle-

mek olanaklıdır:

~(p & q) s ~p V ~q ~(p V q) s ~p & ~q~(p «-» q) s ~p I- | -» ~q ~(p <— I ~» q) s ~p <-> ~q

Hatta böylece, tüm DeMorgan bağıntıları ile birlikte çifte-değilleme yasasının(—p = p) da göz önüne alınmasıyla, doğruluk fonksiyonu mantığında 'k' önerme kalıbı-nın değillenmesi için genel bir değîlleme yasası ([3], s. 59) olarak verilen Shannon Ya-

35

Felsefe Dünyası

sası'ran daha da genelleştirilmesi söz konusu olacaktır. Burada 'i.' simgesi mantıksalyanlışlığı dile getiren çelişki -tutarsız önerme- kalıbım simgelerken, T simgesi de man-tıkça doğruluğu ifade eden totoloji -geçerli önerme, kanıtsav- kalıbını simgelemektedir:

~ k (Pı>...,pn, 1, T, ~, &, V, <-», <-1 -») = k <~Pı,..., ~pn, T, _L, V, &, <r-1 -•, <-»

Genleşmiş İkillik (Dualité) Bağlamı. Dikkat edilirse DeMorgan bağıntıları, önermedeğillemeleri dışında, '&' ile 'V ve '<->' ile V-1 ->' eklemleri ve bunlarla oluşturulmuşolan simgesel önermeler arasındaki ikillik bağıntılarını da çağrıştırmaktadır. Şimdi, '&'ve 'V eklemlerinin birbirinin ikil eklemi olmasının yanı sıra ([5], s. 74), aşağıdaki ko-şulları yerine getiren '<-»' ve '«— I —>' eklemleri de birbirinin ikil eklemi durumundadır:

p <-** q = p < - | - » q p <-1 -** q s p O q

'<->' ekleminin doğruluk çizelgesindeki tüm 'D' ve 'Y'lerin değiş tokuşu sonucunda'«— I —»' ekleminin doğruluk çizelgesinin ele geçirilmesiyle, '«— | —»'nin Wnin ikil ekle-mi olduğu gösterilir ('f-»'nin de '<— | ->'nin ikili olduğu aynı şekilde görülebilir):

YDDY

Şimdi, p* = p, yani, 'p'nin asal ikillisi kendisi olduğuna göre, simgesel tümel-evet-leme ve tikel-evetleme önermelerinin iMi önerme kalıplan sırasıyla:

( p & q ) * s p * & * q * a p V q (p Vq)* s p * V* q* = p & q

Burada sergilenen ikillik bağıntılarının, aslında, karşılıklı-koşul ve bağdaşmaz-se-çeneklilik önermeleri arasında da ortaya çıktığı açıktır. Bundan ötürü, bu iki eklemi dı-şarıda bırakan bir önerme kalıbının asal ikillisi tanımının ([3], s. 61-62), onlan da kap-sayacak şekilde genişletilmesi(genelleştirilmesi) pekala olanaklıdır:

[ k (p,,...,pn, ±, T, ~, &, V, <->, <- ! -*) ] * = m k (p,,..,pn, T, 1, ~, V, &, <r-!->, f^)

O halde, simgesel karşılıklı-koşul ve bağdaşmaz-seçeneklilik önermeleri birbirininikil önerme kalıbı (ami ikillisi) durumundadır ve böylece, genieşmiş DeMorgan çerçe-

36

pqDDDYYDYY

p *-* qD

YYD

PY

YDD

qY

DYD

Felsefe Dünyası

vesine paralel olarak genleştirilmiş ikillik çerçevesini oluşturan bağıntılar şunlar olmak-tadır:

( p & q ) * s p V q ( p V q ) * s p & q

(p<-> q)* s p «-i~>q ( p < - | - > q ) » = p H q

Ayrıca, ilginç bir nokta olarak, (genleşmiş) DeMorgan Kurallan'nın ikil eklem içe-ren denklik bağıntısı çiftlerinden, birinin birbirine denk önerme kalıplarındaki tüm öğe-lerin yerine ikillerinin geçirilmesiyle, yani asal ikil kalıplan ile, diğer kural/bağıntı elegeçirilebilmektedir:

~*(p* &* q*) = ~*p* V* ~*q*: ~(p V q) s ~p & ~q

~*(p* <-»* q*) s ~*p* «-, \ -»* ~*q* : ~(p <-1 ~* q) = ~p <-> ~q

Bağdaşmaz-Seçeneklilik ile Tikel-Evetleme İlişkisi ve Ayrımı. Hem DeMorgan/de-ğilleme hem de ikillik çerçevelerindeki '&' ile 'V ve '«->' ile V-1 ->' arasındaki yatay e%-değerlik ilişkilerinin yanı sıra, çerçevelerin orijinal kısmı ile eklenen ikinci kısmı arasın-daki bazı dikey ilişkileri, yani, çerçevelerin sol tarafındaki "V" ile '<— | —>' ve de sağ tara-fındaki '&' ile '<-»' arasındaki ilişkileri d© görmek olanaklıdır. Bunlar, çerçevelerin sol ta-rafındaki sözü geçen eklemler arasında aşağıdan yukarıya, sağ tarafındaki sözü geçeneklemler arasında ise yukarıdan aşağıya doğru olan, temel, sıkı gerektirme bağıntılarıdır.Böylece söz konusu olan bu dört eklem arasında, değiUeme ve ikillik bağlamlanndakıeşdeğerliklerin yanı sıra, sıkı gerektir(il)me bağıntıları da gösterilmiş olmaktadır:

p < - | - * q i - p V q p&q{-p<->q

Burada, bağdaşmaz-seçeneklilik önermesinin tikel-evetleme önermesini, tümel-

eveüeme önermesinin de karşılıklı-koşul önermesini sıkı bir biçimde gerektirdiği dile

getirilmektedir. Bu durumda, tikel-evetleme bağdaşmaz-seçeneklilik tarafından, karşı-

lıklı-koşul da tümel-evetleme tarafından, sıkı bir biçimde gerektirilmektedir. Ayrıca, ara-

larında sıkı gerektir(il)me bağıntıları bulunan bu önermelerin değillemelerinin ve ikille-

rinin alınması durumunda da, söz konusu bağmülann yönü şöyle değişmektedir:

~(P v q ) | -~(p <-|->q) ~{p<-*q) I - K p & q )

( p V q ) * t — CP <— I —> Q>* (P^q)* l-(p&q)*

37

Felsefe Dünyası

Şimdi, doğruluk fonksiyonu eklemlerinden olmayan kipsellmodal zorunluluk yö-neticisi 'Q ' yardımıyla tanımlandığı için, sıkı gerektirme eklemi ' | —', bir doğruluk fonk-siyonu eklemi olmayıp iki önermeden yeni bir önerme oluşturan ikili bir kipsel yöneti-cidir. Yalınç veya bileşik önermeler arasında dile getirdiği sıkı gerektirme bağıntısı, ör-neğin, 'A' gibi bir önermenin 'B' gibi bir önermeyi sıkı gerektirmesi, 'B'nin mantıksal ola-rak 'A'dan türetilebilir olmasının, yani yönü öncül 'A'dan sonuç 'B'ye doğru olan çıkarı-mın mantıkça geçerli olmasının, kısaca, 'A'nın doğru olması durumunda 'B'nin yanlışolamamasının zorunluluğunu ifade eder ([2], s. 519; [6], s. 6,23-24; [5], s. 88,116):

A İ - B = t n Q ( A - ^ B )

O halde, tikel-evetleme bağdaşmaz-seçeneklilikten, daha açıkçası, mantıktaki se-çeneklilik durumlarından bağdaşvftik bağdaşmazlıktan, mantıksal olarak türetilmekte;bağdaşmaz-seçenekliliğin doğru olması durumunda bağdaşır-seçeneklilik de zorunluolarak doğru olmaktadır. Bu da, kavramsal çerçevede bağdaşmaz-seçenekliliğin tikel-evetlemeyi nasıl öncelediğini net olarak açıklamaktadır. Buradaki bağdaşmaz-seçenekli-lik önermesinden tikel-evetleme önermesine doğru ilerleyen çıkarımın, yani "p <— | —* q.•. p V q"nun, mantıkça geçerliliği herhangi bir denetleme tekniğiyle kolayca gösterile-bilir.

Böylece, sıkı gerektir(il)me bağıntılanyla bağdaşmaz-seçenekülik ile tikel-evetle-me (önermeleri) arasındaki ilişki ortaya çıkarken, aralarındaki ayrım da belirginleşmek-tedir. Şimdi, bağdaşmaz-seçenekiilikte, seçeneklerden birinin gerçekleşmesi diğeriningerçekleşmemesini gerektirirken, birinin gerçekleşmemesi ise öteki seçeneğin gerçek-leşmesini gerektirir. Buna göre bağdaşmaz-seçeneklilik, sıkı seçeneklilik durumunun biranlatımı olarak, yalnızca bileşenlerinin farklı doğruluk değerleri aldığı (birinin doğru di-ğerinin yanlış olduğu) zaman doğru olurken, tikel-evetleme ise tersine, seçeneklerin bir-likte olabilirliğini de dışlamayarak dile getirmekte, yani, bileşenlerinin aynı anda doğruolması durumunda da doğru olmaktadır. Burada vurgulanması amaçlanan söz konusueklemler arasındaki bu ayrım, bu iki eklemin totolojik bir önerme kalıbı ile herhangi 'p'gibi bir olumsal önermeden bileşik bir önerme oluşturması sırasında (aslında bu eklem-lere ilişkin yalınlaştırma kuralları bağlamında) da, kendini gösterir. Bağdaşmaz-seçe-neklilik durumunda 'p'nin önemli, belirleyici bir işlevsel rolü varken, tikel-evetleme du-rumunda 'p'nin hiçbir belirleyiciliği yoktur. Sonuçta birinci durum 'p'ye ilişkin somut birbilgi verirken, ikinci durum ise, 'p'yi devre dışı bırakan boş/içeriksiz totoloji kalıbı ile'p'ye ilişkin hiçbir şey söyleyememektedir:

T * - | - » p s ~p ama TVp = T

38

Felsefe Dünyası

Öte yandan, bazı dönüştürme yasalarıyla dile getirilen kimi özelliklere sahip olanbağdaşmaz-seçeneklilik, tikel-evetleme eklemi gibi hem yer-değiştirici (komütatif:p <— I —̂ q s q <— j —>p) hem de ortaklaştıncı (asosiyatif: p<—I—>(q<—|-*r)s(p<—1—>q) «— | —» r) bir eklemdir ([1], s. 135-138). Ancak, hem tikel-evetleme hem de bağdaş-maz-seçeneklilik ekleminin ortaklaştıncı olmasına karşın, bu iki eklem bir noktada fark-lılık gösterirler:

Denkgüçlülük (idempotentlik) özelliği söz konusu olduğunda ise, bağdaşmaz-seçe-neklilik açık bir şekilde tikel-evetlemeden farkhlaşır. Tikel-evetlemenin denkgüçlü(idempotent) bir eklem olmasına karşın (p V p s p), bağdaşmaz-seçeneklilik, ikili olankarşılıklı-koşul eklemi gibi, denkgüçlülük özelliği taşımaz: p <-1 —> p * p. Bu durumuşöyle de yorumlamak olanaklıdır: Bileşenleri olarak 'p' gibi yalınç bir önermeyle oluştu-rulan tikel-evetleme önermesindeki bileşen yinelemesinin gereksizliği, aynı şekilde eldeedilen bağdaşmaz-seçeneklilik önermesinde ortadan kalkmakta, böylece, bağdaşmaz-se-çenekliliğin tikel-evetlemeden farklı, kendine özgü anlamı daha da belirginleşmektedir:

p < - J - » p = ± ama p V p s p

Şimdi, seçeneklerin birbiriyle bağdaştığı böyle durumların tersine, aynı bileşenler-le oluşturulmuş olan bağdaşmaz-seçeneklilik ile tikel-evetleme önermelerinhfeşdeğerolduğu durumlar ise, yalnızca, bileşenlerinin birlikte olamadıkları, yani, seçeneklerinbirbirini dışlayan, birbiriyle bağdaşamaz olduğu durumlardır. Dikkat edilirse, böyle du-rumları dile getiren yalınlaştırma kurallarının sergiledikleri şey de aslında, tikel-evetle-menin bağdaşmaz-seçenekliliğe indirgenmesinden başka bir şey değildir:

p « - | - ) ~ p s T s pV~p ve ± < - | - » p s p = ± V p

Öte yandan, seçenekliliğin iki durumunu da inceleyerek, bağdaşmazlığı göz ardı

etmeyen klasik mantıkçıların modus ponendo tollens olarak adlandırdığı mantıksal akıl

yürütme biçimlerinden seçenekli tasım kalıbı ([11], s. 82-84), birinci öncül olarak bağ-

daşmaz-seçeneklilik önermesi aldığında geçerli, tikel-evetleme önermesi aldığında ise,

geçersiz bir çıkarım formu olmaktadır ([10], s. 168-177):

p <r-1 -» q , p/q .-. ~q / ~p (geçerli)

p V q , p/q .'. ~q/~p (geçersiz)

39

Felsefe Dünyası

Bağdaşmaz-Seçeneklilik Ekleminin Mantık Alanına Katkıları. Şimdi, bağdaş-

maz-seçeneklilik kavramının günümüzün mantığına katkıları olacağı açıktır. Bağdaş-

maz-seçeneklilik, tikel-evetlemeye göre, formlara ilişkin mantıksal ve dilsel sezgileri-

mizle daha uyumlu olduğu için, sıkı seçeneklilik özelliği ile bazı mantıksal nosyonları

daha (kolay) anlaşılır kılmaktadır. Örneğin, günlük yaşamda sıkça karşılaştığımız birbi-

rini dışlayan (birlikte olmaları olanaksız) alternatif durumların bu birbirini dışlama du-

rumu, en iyi bu mantıksal bağlaç ile ifade edilebilmektedir. Böyle durumların da çok te-

mel işlevler üstlenmesiyle, bu eklemin önemi bir kez daha gözler önüne serilmektedir.

Şimdi, (iki değerli) doğruluk fonksiyonu mantığının denetleme işlemlerindeki doğruluk

değeri çözümlemeleri için kullanılan doğruluk tablolarının kurulma aşamasındaki tüm

farklı satırların oluşturulması, birbirini dışlayan 2 n tane durumla olmaktadır. Örneğin, 2 n

formülündeki 'n' değerinin 2 olduğu, 'p' ve 'q' gibi iki yalınç bileşenden oluşmuş olan

simgesel bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin çözümlenmesinde, 'p' ve 'q'nun bir-

likteyken alabilecekleri tüm farklı değerlerin dile getirildiği, tüketilmesi, dışarıda bıra-

kılmaması gereken tüm olanaklı durumlar, "hem p hem (de) q", "ya p ya (da) q", "ne p

ne (de) q" durumlarıdır. Dikkat edilirse görülecektir ki, birbirlerini dışlayan bu üç farklı

ifade, sırası ile, söylem evreninin bütününü dört temel, kesişmeyen bölgeye ayırmakta-

dır:

p & q , p <— I —> q, p 4 q : p & q , p & ~q, ~p & q, ~p & ~q

Buradaki simgesel birlikte değilleme önermesi "p -i q", bileşenlerinin yüklendiği

anlamlarla birlikte günlük dilde "Ne p ne (de) q." olarak dile getirilirken, "~p & ~q" ola-

rak da simgeleştirilebilir. Şimdi, bu birbirleriyle bağdaşmaz dört olanaklı durumun en te-

mel düzeyde ilişkilendirilroesiyle, söylem evreninin tümünün tarandığı/tüketildiği göz-

lemlenmektedir. Bunun yanı sıra, bu dört durumu dile getirmede rol üstlenen '~' ve '&'

eklemleriyle birlikte, bu durumların birbirleri arasındaki ilişkiyi dile getiren '<-1 -»' ek-

leminin de, önemli ve temel niteliği iyice netleşir:

Şimdi, birbirini dışlayan bu gibi durumların bağdaşmaz-seçeneklilik eklemiyle ifa-

de edilebilmesi, bağdaşmaz-seçeneklilik ve tikel-evetleme eklemlerinin bağdaşmaz-se-

çeneklilik yardımıyla tanımlanabilmesinin, bu da, aslında bu yazının vurgulamayı amaç-

ladığı bağdaşmaz-seçeneklilik ile tikel-evetleme eklemleri arasındaki yukarıda da açık-

lanan ayrımın yine bu eklem aracılığı ile gösterilebilmesinin yolunu açar ki, böylece

bağdaşmaz-seçenekliliğin tikel-evetlemeden daha temel bir statüye sahip olduğu bir kez

daha vurgulanmış olur:

40

Felsefe Dünyası

p (r-1 -> q s (p & ~q) <r-1 -» (~p & q)

p V q s (p <- i -> q> <- i -^ (p & q)

Şimdi, doğruluk değeri çözümlemelerine temel olan tüm olanaklı, birbiriyle bağ-daşmaz durumların bağdaşmaz-seçeneklilik eklemiyie ilişkilendirildiği yukarıdaki sim-gesel ifade yalınlaştınlacak olursa, böylelikle, iki-değerli mantığın önemli kalıplanndantotolojinin biçimsel yapısının, daha da iyi tanımlanabilmesi olanaklı olacaktır:

p«- |-»~p s T

Buradaki "p <-1 -» ~p" ifadesinin, dönüştürme yasalarından mantığın üç temel il-kesi olarak bilinen, özdeşlik, çelişmezlik ve üçüncü durumun olanaksızlığı ilkelerinden,üçüncü durumun olanaksızlığının (tertium non daturun) tam bir anlatımı olduğu açıktır.

Benzer şekilde, bu ekleme ilişkin bir yalınlaşürma kuralı aracılığıyla, çelişki kalı-bının da daha anlaşılır bir tanımı verilebilecektir:

Ayrıca, herhangi 'p' gibi bir önermenin o/umtenmasi/evetlenmesi de çelişki kalıbı-

nın yardımıyla, yadsınması/tzd edilmesi de totoloji kalıbının yardımıyla, bu çerçevede

daha iyi bir anlatım bulacaktır.

p < - | - » ± s p p < - | - » T s ~p

Bunlara ek olarak, bağdaşmaz-seçeneklilik, aşağıdaki çıkarım formlanndaki rolü

ile {ki bu rol, üstteki çıkarım formu çiftinde totolojik bir öncül dile getirdiği için her ne

kadar göz ardı edilebilir olup, alttaki çiftte de totolojik bir sonuç dile getirerek çıkarımın

geçerliliğini önemsizleştirse de), ikili doğruluk fonksiyonu eklemlerinden olan koşul/ge-

rektirme eldeminin anlamının daha kolay kavranmasına da hizmet edecektir:

~p, q <— i —» ~q .*. p —» q q, p <— I —» ~p /• p —» q

~p, p -» q /. q <r-1 -* ~q q, p -4 q .-. p «-1 -4 ~p

Önermelerin statüsü, önerme kümelerinin tutarlılığı, çıkanmlann geçerliliği gibimantıktaki denetleme işlemlerinin arasında önemli bir yeri de, önermelerin eşdeğer\vg\denetlemeleri tutar. Bağdaşmaz-seçenekîilik ise, mantığın en önemli nosyonlarından bi-ri olan eşdeğerliğin kavranmasında, kipsel olanaksızlık yöneticisi *~0' ile birlikte, tanım-

41

Felsefe Dünyası

layıcı işlevsel bir rol üstlenir. Buna göre, ancak ve ancak 'A' ve 'B' gibi iki simgesel öner-

me eşdeğer ise, "A <-1 -» B" önerme kalıbı bir çelişkidir, yani herhangi bir durumda

doğru olması olanaksızdır. Konusu kipsel mantık dizgeleri olan kipler mantığının kip de-

ğillemesi kurallarına göre, doğruluk fonksiyonu eklemi olmayıp, herhangi bir önerme-

den yeni bir önerme oluşturan birli kipsel eklemler zorunluluk ve olanaklılık yöneticile-

ri arasında şu eşdeğerlik bağıntıları da ortaya çıkmaktadır: Q p = ~0~p ve Op s ~Q~p

([6], s. 22-26; [5], s. 87,99-100, 154). Öyle ise:

t n

Bunlardan başka, günlük/doğal dil söylemlerimizde 'veya' sözcüğünü kullanarak

bir seçeneklilik durumunu dile getirmiş olsak bile, genellikle sıkı seçeneklilik, yani se-

çenekler arasında bir bağdaşmazlık durumu belirtmek isteriz. Örneğin, "Bu gece 'Aşık

Shakespeare'! veya 'Er Ryan'ı Kurtarmak'ı görmek istiyoruz." dediğimizde, bu gece bu

filmlerden yalnızca birini, ya 'Aşık Shakespeare! ya da 'Er Ryan'ı Kurtarmak'ı görmek

istediğimizi anlatmak isteriz. O halde, günlük dil önermelerini, önerme kümelerini, çı-

karımları, ilgili oldukları statü, eşdeğerlik, tutarlılık, geçerlilik açısından denetleyebil-

mek için, günlük dilden biçimsel (formel) mantık diline geçişte, önerme eklemleri ara-

sında bağdaşmaz-seçeneklilik eklemine ayrıca yer veren herhangi bir simgesel doğruluk

fonksiyonu mantık dizgesi, günlük dilin daha doğru bir biçimde simgeleştirilebilmesinin

yolunu açacaktır.

Dahası, bağdaşmaz-seçeneklilik eklemine sahip bir mantık dizgesi, önermeler-

olaylar-kümeler arasındaki karşılıklılık ilişkileri bağlamında, hem ilksavlı/belitli (aksi-

yomatik) olasılık kuramı hem de temel (Boole) kümeler kuramı ile daha uyumlu bir ya-

pıya kavuşacaktır. Olasılık kuramında, bir rastlantı deneyi sonunda birbiriyle bağdaşmaz

olup, birlikte (aynı zamanda) gerçekleşmeleri olanaksız olan ayrık olaylar (P ve Q ayrık

olaylar ise, P o Q = 0 ve bu kesişimin olasılık değeri O1(P n Q) = 0; [7], s. 7) deneyin

beklenen tüm sonuçlarını içeren örneklem uzayının altkümeleri olarak alındığında (yani

kümeler kuramının olasılık kuramına uygulanması sonucunda), ayrıca P & 0 ve Q * 0

olduğunda, aralarındaki ayrıklık ilişkisini kümeler kuramının bakışık-aynm (P ve Q kü-

melerinin bakışık-ayrımı -P ve Q'nun ortak olmayan öğelerinin oluşturduğu küme: P +•

Q = ( P u Q ) - ( P n Q ) ; [9], s. 24-25) işlem/küme simgesiyle göstermek olanaklı olacak-

tır. Şimdi, yalın olaylar olan P ve Q'yu yalınç önermeler ile dile getirdiğimiz önermeler

kalkülündeki (işlem çizelgesindeki/biçimsel dizgesindeki) önermelerden yeni bileşik

önermeler oluşturan eklemler ile, kümeler kuramındaki kümelerden yeni kümeler oluş-

turan işlemler, kısaca önerme eklemleri ile küme işlemleri, arasında bir karşılıklılık iliş-

kisi kurulduğunda, bağdaşmaz-seçeneklilik eklemi bakışık-ayrım işleminin, tikel-evetle-

42

Felsefe Dünyası

me eklemi ise birleşim işleminin karşılığını oluştururken, söz konusu önerme eklemle-

riyle kurulmuş önermeler de, sırası ile, söz konusu küme işlemleriyle kurulmuş kümele-

rin karşılığı olur. Şimdi burada, bu eklemler ile işlemler ve önermeler ile kümeler ara-

sındaki karşılıklılık durumlarına uyumlu olarak, önermelerarası bağıntılar ile kümelera-

rası bağıntılar arasındaki karşılıklılıklardan da söz edilebilir. Bu durumda, önermeler

mantığının bağdaşmaz-seçenekliiik ile tikel-evetleme önermeleri arasındaki sıkı gerek-

t i r i m e bağıntısı, kümeler kuramında, bakışik-aynm ve birleşim kümeleri arasındaki

küme-kuramsal bir bağıntı olan altküme/üstküme bağıntısına karşılık gelir. Daha açık

olarak, P ve Q kümelerinin baJaşık-aynrm aynı kümelerin birleşiminin özaltkümesi iken,

birleşimleri de bakışık-aynmlanran özûstkümesi olmaktadır. Sıkı bir altküme/üstküme

bağıntısının gerçekleştiği bu durumda, P ve Q'nun kesişimlerini içermeyen bakışık-ay-

rımlan ile, kesişimlerini içeren birleşimlerinin birbirine eşit olamayacağı açıktır ([4], s.

191-197, 202-204):

P u Q •=> P + Q

Şimdi buraya kadar yapılan, doğruluk fonksiyonu mantıksal değişmezlerini doğru-

luk tabloları aracılığıyla yorumlayan/anlamlandıran sezgisel bir doğruluk fonksiyonu

mantığı kapsamında, bağdaşmaz-seçenekliiik ekleminin incelenerek, önemli mantıksal

özellikleri ile birlikte, tikel-evetleme eklemine göre sahip olduğu daha temel statünün

yanı sıra işlevsel katkılarının da aydınlatılmasıdır; Bu çerçeveyi oluşturan sezgisel man-

tık da, aslında doğruluk tablolarıyla yorumlanmış bir sistem olduğu için, bu tablolara da-

yanan bir mantık kuramıdır ve formelleştirilerek yorumundan arındırıldığında, formel

bir dile, yani sentaktik bir sisteme, dönüşür. Böylece de, biçimsel dilinin sentaksı belir-

ginleştirilmiş olur. Şimdi, bu formel sistem, ilkel simgeler, kurma kurallan ve çıka-

nm/dedüksiyon/dönüştürme kurallanndan oluşmuştur. Bu çerçevede, keyfe bağlı olarak

seçilmiş ilkel simgeler cinsinden yeni simgeler tanımlanır, tüm bu simgelerden de kur-

ma kurallan ile önerme kalıplan oluşturulur. Öte yandan, dolaysız kanıtlanan, daha çok

keyfi olarak seçilmiş ilkel önermelerden/aksiyomlardan/postulatlardan, çıkanm kuralla-

n ile sistemdeki önerme kalıplarından hangilerinin geçerli, türetilmiş teorem, yani man-

tıkça doğru, olduklan araştmlır. İşte bu araştırmayı yapmak, bir mantık kuramının var-

lık nedenidir. Yorumlanmamış biçimsel bir dil ise, daha sonra semantik kurallar aracılı-

ğıyla yorumlanarak semantik bir sisteme, yani bir doğruluk fonksiyonu mantığına/man-

tık kuramına dönüştürülür. İşte, 'doğruluk1, 'yanlışlık1, 'totoloji', 'çelişki', 'olumsallık', 'eş-

değerlik', 'tutarlılık1, 'geçerlilik' gibi mantıksal kavramlar, ancak yorumlanmış böyle ku-

ramlarda/mantıklarda söz konusudur. Şimdi, son aşamada biçimsel sistemin yorumlan-

masıyla ele geçtiği için semantik sistem olan bir doğruluk fonksiyonu mantığı, baştaki

43

Felsefe Dünyası

sezgisel olarak yorumlanmış doğruluk fonksiyonu mantığının tersine, hem biçimsel di-

linin tüm öğelerini ve sentaktik kurallarını, hem de bu dili yorumlamaya yarayan, sezgi-

sel mantığın doğruluk tablolarına karşılık gelen, semantik kuralları içerir. Böylece, ilkel

ve tanımlanmış simgeler ile ilkel ve türetilmiş önerme kalıplan ayrımı yapmayan, se-

mantik kuralları açık bir şekilde belli olmayan sezgisel mantıktan aynlır ([1], s. 268-271,

288-293). O halde, sezgisel bir mantıktan bir doğruluk fonksiyonu mantığına varabilmek

için, öncelikle, bu dedüktif mantık kuramını, mantıksal yapısını görebilmek amacıyla,

formelleştirerek, ele geçen sistemin/yapay dilin ilkel simgelerini uzlaşımsal olarak belir-

lemek gerekmektedir.

Şimdi, sezgisel olarak yorumlanmış doğruluk fonksiyonu mantığını çeşitli şekiller-

de formelleştirmek olanaklıdır. Bu girişimlerden birinde Hubert ve Ackermann, formel

sistemlerinin ilkel simgeleri olarak sonsuz sayıda yalınç-önerme simgesini, ön ve art pa-

rantezleri, ilkel eklemler olarak da '-' ile 'V eklemlerini seçerler. Böylece, bu sistemde

diğer tüm doğruluk fonksiyonu eklemleri bunlar cinsinden tanımlanır; örneğin, '&' ekle-

minin tanımı DeMorgan bağıntıları yardımıyla verilir. Tüm önerme kalıplan da, yalnız-

ca bu iki eklemi içeren kalıplara indirgenerek ifade edilebilir. Kurma kuralları, tüm düz-

gün önerme kalıplarını bu iki eklem cinsinden belirlerken, çıkarım kuralları da bu eklem-

ler cinsinden verilmektedir ([1], s. 275-279). Şimdi, doğruluk fonksiyonu mantığının bu

formelleştirilmesinde tikel-evetleme eklemi öne çıkmaktadır. Oysa, yukarıda gösterildi-

ği gibi, bağdaşmaz-seçeneklilik, bu eklemle arasında ortaya çıkan mantıksal anlamda sı-1

ki gerektirme bağıntısı ile ona göre daha temel, daha öncelikli bir konumda olduğunu

sergilemektedir. Ayrıca, doğruluk tablosunun yapısının incelenmesinden de anlaşıldığı

gibi, değilleme, tümel-evetleme ve bağdaşmaz-seçeneklilik eklemleri, tablonun yorum-

lanmasında temel roller üstlenmektedirler. Ancak bağdaşmaz-seçenekliliğin tümel-evet-

leme ve değilleme eklemleri aracılığıyla tanımlariabilmesinden ötürü, formel sistemin il-

kel eklemleri olarak, değillemenin ve sıkı gerektirme bağıntısında (karşıhkh-koşula gö-

re) daha öncelikli bir durumda olan tümel-evetlemenin seçilmesinin daha uygun olacağı

açıktır. Bu durumda, diğer eklemler, kurma ve çıkarım kuralları, '~' ve '&' ile ifade edi-

len formlara dönüştürülerek, formel sistemin sentaksını oluştururlar. Böylece,

formelleştirilmiş / yorumsuzlaştmlmış doğruluk fonksiyonu mantığının dildışı-nesneler

ve dili-kullanan ile hiçbir şekilde ilişkisi olmayan sözdizimsel yapısının oluşturulmasın-

da, bağdaşmaz-seçeneklilik ekleminin belirleyiciliği de netleştirilmiş olur.

KAYNAKÇA[1) Batuhan, H., Grünberg, T. 1984. Modern Mantık, 3. Basım, O. D. T. 0. Fen-Edebiyat Fakültesi Yayım, Ya-

yın No: 17, Ankara.|2] Ceniza, C. R. 1988. "Material Implication and Entaitment", Notre Dame Journal of Formal Logic, Cilt 29,

Sayı 4, s. 510-519[3] Grünberg, T. 1972. Symbolic Logic, 1. Cilt, 2. Basım, O. D. T. Ü. Yayını, Doğuş Matbaacılık, Ankara.

44

Felsefe Dünyası

[4] 1970. Symbolic Logic, 2. Cilt, O. D. T. 0. Yayını, Güzel İstanbul Matbaası, Ankara.(5) Griinberg, T., Onart, A. 1976. Mantık Terimleri Sözlüğü, Türk Dil Kurumu Yayınlan, Ankara Üniversite-

si Basımevi, Ankara.[6] Hughes, G. E., Cresswell, M. J. 1974. An Introduction to Modal Logic, Meihuen and Co. Ltd., Londra.[7] İnal, C. ve diğerleri. 1983. İstatistik Terimleri Sözlüğü, Türk Dil Kurumu Yayınları, Sevinç Basımevi, An-

kara.[8J Jeffrey, R. C. 1967. Formal Logic: Its Scope and Limits, McGraw-Hill Book Company, New York.[9] Lemmon, E. J. 1968. Introduction to Axiomatic Set Theory, Routledge & Kegan Paul Ltd., Londra.i 101 Özlem, D. 1994. Mantık, 2. Basım, Anahtar Kitaplar Yayınevi, İstanbul.[11] Yıldırım, C. 1999. Mantık-Doğru Düşünme Yöntemi, 3. Basım, Bilgi Yayınevi, Ankara.

45