Sığa’nın Tanımı

Sığa ve Dielektrik

http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/

Bölüm 26

Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı

Sığa’nın Hesaplanması

Kondansatörlerin Bağlanması

Yüklü Kondansatörlerde Depolanan Enerji

Dielektrikli Kondansatörler

1/26

2/26

Bir kapasitörde depolanan enerjiyi hesaplamak

Amaçlar

Kapasitörleri anlamak ve kapasitansı hesaplamak

Kondansatör ağlarını analiz etmek

Dielektrikleri ve kapasitansı nasıl etkilediklerini incelemek

𝑄 ~ ∆𝑉 → 𝐶 =𝑄

∆𝑉

SI birim sisteminde sığa, Michael Faraday’ın onuruna sığanın birimi farad (F) dır.

Farad çok büyük bir sığa birimidir. F (mikrofarad) 10-6 F pF (pikofarad) 10-12 F

𝐶 =𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝐶

𝑉𝑜𝑙𝑡 𝑉= 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 (𝐹)

Sığa’nın Tanımı (Capacitance) Kondansatörler (capacitors), yük depo eden aygıtlardır. Çeşitli elektrik devrelerinde yaygın olarak kullanılırlar. Örneğin, radyo alıcılarının ses tonunu ayarlamada, güç kaynaklarında filtre olarak, otomobil ateşleme sisteminde kıvılcımı elimine etmede, ve elektronik flaş birimlerinde enerji depolama aygıtı olarak kullanılırlar.

Bir kondansatör temel olarak bir yalıtkan ile ayrılmış iki iletkenden oluşur. Bir kondansatörün sığası onun geometrisine ve arasına konan dielekrik diye bilinen malzemeye bağlıdır.

Şekildeki gibi eşit ve zıt elektrikle yüklü iki iletkenin oluşturduğu siteme kondansatör denir.

İletkenler arasındaki potansiyel fark 𝑽 kondansatör üzerindeki yükün büyüklüğü ile orantılıdır. Bir kondansatörün sığası 𝑪, iletkenlerden biri üzerindeki yükün iletkenler arasındaki potansiyel farkın büyüklüğüne oranı olarak tanımlanır:

3/26

A yüzey alanlarına sahip iki eşit ve zıt yüklü iletken plaka, şekildeki gibi aralarında d uzaklığı bulunacak şekilde yerleştirilsin.

∆V = V+ − V− = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 +

−

= 𝐸𝑑

𝐶 =𝑄

∆V Sığa;

𝐶 = 𝜖𝑜𝐴

𝑑

Paralel plakalı kondansatörün sığası, plakanın birinin yüzey alanı ile doğru orantılı, levhalar arasındaki uzaklıkla ters orantılıdır.

Paralel Plakalı Kondansatörün Sığası

Plakalar arasındaki elektrik alan

𝐸 =𝜎

𝜖𝑜=𝑄

𝜖𝑜𝐴

Plakalar arasındaki potansiyel fark: ∆𝑉 = 𝐸𝑑 =𝑄𝑑

𝜖𝑜𝐴

𝐶 =𝑄

𝑄𝑑 𝜖𝑜𝐴 ⟶ Sığa:

4/26

𝑨 = 𝟐. 𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒𝒎𝟐 yüzeye sahip bir paralel plakalı kondansatörün plakaları arasındaki uzaklık 𝒅 = 𝟏. 𝟎𝟎 𝒎𝒎′dir. a) Bu kondansatörün sığasını bulunuz.

Örnek 26.1 Paralel Plakalı Kondansatör

𝐶 = 𝜖𝑜𝐴

𝑑= 8.85 × 10−12 𝐶2 𝑁 ∙ 𝑚2

2.00 × 10−4𝑚2

3.00 × 10−3= 0.590 𝑝𝐹

𝐶 = 𝜖𝑜𝐴

𝑑= 8.85 × 10−12 𝐶2 𝑁 ∙ 𝑚2

2.00 × 10−4𝑚2

1.00 × 10−3= 1.77 𝑝𝐹

b) plakaları arasındaki uzaklık 𝒅 = 𝟑. 𝟎𝟎 𝒎𝒎′ye çıkarılırsa sığa nasıl değişir.

5/26

𝐶 =𝑄

∆V ⟶ 𝐶 =

𝑎𝑏

𝑘𝑒 𝑏 − 𝑎

Yalıtılmış İletken Bir Kürenin Sığası Yarıçapı a ve yükü Q olan yalıtılmış bir küresel iletkenin sığasını hesaplayalım.

𝐸 = 𝑘𝑒𝑄

𝑟2𝑟

Potansiyel farkı

∆V = V𝑎 − V𝑏 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 𝑎

𝑏

∆V = V𝑎 − V𝑏 = − 𝑘𝑒𝑄

𝑟2𝑟 ⋅ 𝑑𝑙

𝑑𝑙 cos 𝜃=𝑑𝑟

𝑎

𝑏

= 𝑘𝑒𝑄 1

𝑟 𝑏

𝑎

= 𝑘𝑒𝑄𝑏 − 𝑎

𝑎𝑏

Dış kürenin yarıçapı b sonsuza giderse (ikinci iletken, aynı merkezli sonsuz yarıçaplı içi boş bir küre

olarak alınırsa) sığa :

𝐶 = lim

𝑏⟶∞

𝑎𝑏

𝑘𝑒 𝑏 − 𝑎=

𝑎𝑏

𝑘𝑒 𝑏=𝑎

𝑘𝑒= 4𝜋𝜖0𝑎

6/26

𝐶 =𝑄

∆V=

𝑄

2𝑘𝑒𝑄 ℓ ln 𝑏 𝑎 ⟶ 𝐶 =

ℓ

2𝑘𝑒 ln 𝑏 − ln 𝑎

Silindirik Kondansatör Yarıçapı 𝒂 ve yükü +𝑸 olan içi dolu silindirik bir iletken, aynı merkezli yarıçapı b ve yükü –Q olan büyük bir silindirik kabukla çevrelenmiştir. Uzunluğu l olan bu kondansatörün sığasını bulunuz.

𝐸 =2𝑘𝑒𝜆

𝑟𝑟

Potansiyel farkı

∆V = V𝑎 − V𝑏 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 𝑎

𝑏

∆V = V𝑎 − V𝑏 = − 2𝑘𝑒𝜆

𝑟𝑟 ⋅ 𝑑𝑙

𝑑𝑙 cos 𝜃=𝑑𝑟

𝑎

𝑏

= −2𝑘𝑒𝜆 ln𝑎

𝑏

7/26

𝒉 = 𝟓𝟎. 𝟎 𝒎 uzunluğundaki koaksiyel kablonun içindeki iletkenin çapı 𝟐. 𝟓𝟖 𝒎𝒎 ve üzerindeki yük 𝒒 = 𝟖. 𝟏𝟎 𝝁𝑪 dur. Bunu saran iletkenin iç çapı 𝟕. 𝟐𝟕 𝒎𝒎 ve üzerindeki yük 𝒒’ = −𝟖. 𝟏𝟎 𝝁𝑪 dur. (Not: iletkenler arasının boş olduğunu varsayınız.) a) Bu kablonun sığası ne kadardır?

Örnek 26.2 Silindirik Kondansatör

𝐶 =ℓ

2𝑘𝑒 ln 𝑏 − ln 𝑎=

50.0 𝑚

2 ⋅ 8.99 × 109 ln 7.27 2.58

= 2.68 𝑛𝐹

b) İki iletken arasındaki potansiyel fark nedir?

∆𝑉 =𝑞

𝐶=8.10 × 10−6

2.68 × 10−9= 3.20 × 103𝑉

8/26

Seri Bağlı Sığaçlar

Kondansatörler elektrik ve elektronik devrelerde şekildeki gibi gösterilir.

𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎𝑐 + 𝑉𝑐𝑏

𝐶1 =𝑞

𝑉𝑎𝑐

𝐶2 =𝑞

𝑉𝑐𝑏

𝐶𝑒ş =𝑞

𝑉𝑎𝑏

𝑞

𝐶𝑒ş=𝑞

𝐶1+𝑞

𝐶2

1

𝐶𝑒ş=1

𝐶1+1

𝐶2+⋯+

1

𝐶𝑛

Ticari Kondansatörler

1

𝐶𝑒ş=1

𝐶1+1

𝐶2

Genel :

Kondansatörlerin Bağlanması

9/26

𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2

𝐶1 =𝑞1𝑉

𝐶𝑒ş =𝑞

𝑉

𝐶𝑒ş𝑉 = 𝐶1𝑉+ 𝐶2𝑉 𝐶𝑒ş = 𝐶1 + 𝐶1 +⋯+ 𝐶𝑛 Genel :

𝐶2 =𝑞2𝑉

𝐶𝑒ş = 𝐶1+ 𝐶2

Paralel Bağlı Kondansatörler

Seri bağlı kondansatörlerde toplam potansiyelleri, Paralel bağlı kondansatörlerde ise toplam yükü yazıyoruz. Çünkü seri ve paralel

kondansatörlerde değişkenler sırası ile, potansiyel ve yüktür.

10/26

Şekilde görüldüğü gibi a ve b noktaları arasına 6 kondansatör bağlanmıştır. ab noktaları arasındaki eşdeğer sığayı bulunuz.

Örnek 26.3 Kondansatörlerin Bağlanması

11/26

∆𝐕 =𝒒

𝑪

W = 𝑞

𝐶𝑑𝑞

Q

0

=Q2

2𝐶

Kondansatörü yüklerken yapılan iş, sistemde potansiyel enerji olarak alınabilir.

U =Q2

2𝐶=1

2CV2 =

1

2QV

Yüklü Bir Kondansatörde Depolanan Enerji Plakalar arası potansiyel farkı ∆𝑽 = 𝒒/𝑪 olan bir kondansatörde 𝒅𝒒 yükünü transfer etmek için yapılan iş 𝒅𝑾:

dW = ∆V𝑑𝑞 =𝑞

𝐶𝑑𝑞

Levhaları Q yükü ile yüklemek için yapılan toplam iş

12/26

Bir kondansatörü Q yükü ile yüklenmek için bir iş yapılacak ve bu süreç içinde levhalar arasındaki uzayda bir elektrik alan oluşacaktır. Yapılan bu iş kondansatörde depolanan potansiyel enerji olduğu söylenebileceği gibi elektrik alanda depolanan enerji olarak ta ifade edilebilir.

U =1

2CV2 =

1

2𝜖o𝐴

𝑑𝐸𝑑 2 =

1

2𝜖o 𝐴𝑑 𝐸

2

u =𝑈

𝐴𝑑=1

2𝜖o𝐸

2

u birim hacimde depolanan elektrik alan enerjisi olarak tanımlanır ve enerji yoğunluğu denir.

Elektrik Alan Enerjisi

13/26

Örnek 26.4 Kapasitörler arasında yük ve enerji transferi

Şekildeki 𝑪𝟏 = 𝟖. 𝟎𝟎 𝝁𝑭 kondansatör 𝟏𝟐𝟎 𝑽 bir güç kaynağı ile dolduruluyor, sonra kaynak devreden çıkarılıyor. S anahtarı açıkken, 𝑪𝟏’deki 𝑸𝒐 yükü ne olur? 𝑪𝟏’de depo edilen enerji ne olur? 𝑪𝟐 = 𝟒. 𝟎𝟎 𝝁𝑭 kondansatörü başlangıçta yüksüzdür. S anahtarını kapatıldığında, her bir kondansatördeki potansiyel fark ve yük ne olur? Sistemin son enerjisi ne olur?

𝑄0 = 𝐶1𝑉0 = 8.00 𝜇𝐹 120 𝑉 = 960 𝜇𝐶

𝑈 =1

2𝑄0𝑉0 =

1

2960 × 10−6 𝐶 120 𝑉 = 0.0580 J

𝑉 =𝑄0

𝐶1 + 𝐶2=

960 𝜇𝐶

8.00 𝜇𝐹 + 4.00 𝜇𝐹= 80.0 𝑉

𝑄1 = 640 𝜇𝐶 𝑄2 = 320 𝜇𝐶

𝑈𝑠𝑜𝑛 =1

2𝑄1𝑉 +

1

2𝑄2𝑉 =

1

2𝑄0𝑉 =

1

2960 × 10−6 𝐶 80.0 𝑉 = 0.0380 J

𝐶1 =𝑄1𝑉

𝐶2 =𝑄2𝑉

𝑄0 = 𝑄1 + 𝑄2

14/26

𝑪𝟏 = 𝟐𝟓. 𝟎 𝝁𝑭 ve 𝑪𝟐 = 𝟓. 𝟎𝟎 𝝁𝑭 lık iki kondansatör paralel bağlanarak 100 V luk güç kaynağında yüklenmiştir.

a) Devre grafiğini çiziniz ve bu iki kondansatörde depolanan toplam enerjiyi hesaplayınız?

b) Bu iki kondansatör seri bağlanması durumunda sistemde (a) şıkkındaki kadar enerji depolanması için güç kaynağının uçları arasındaki potansiyel farkı ne olmalıdır?

V 270 V

1U 1.50 10 J

Örnek 26.5

15/26

Enerjinin korunumu dikkate alırsak bu durumu nasıl açıklarız?

Paralel plakalı bir kondansatör bir bataryada yüklendikten sonra bataryadan ayrılıyor. Plakaları arasındaki açıklık iki katına çıkarılırsa depolanan enerjide bir değişim olur mu?

Örnek 26.6

16/26

Şekilde verilen sistemde a) A noktası ile B noktası arasındaki eşdeğer sığayı bulunuz? b) Sistemde ve her bir kondansatörde depolanan enerjiyi bulunuz?

EşC 7.00 F

2

SistemU 2.24 10 J

Örnek 26.7

17/26

Dielektrik malzemelere örnek olarak lastik, cam veya mumlu kağıt vb. verilebilir.

Çoğu sığaçta (kondansatörde) iletken levhalar arasına dielektrik denen bir yalıtkan katman bulunur.

İletkenlerin temas etmesini önler.

Kondansatörde dielektrik malzeme kullanmanın nedenleri:

Kondansatörün dayanabileceği plakalar arasındaki maksimum potansiyel fark artar.

Kondansatörün depolayacağı enerji artar.

Dielektrikli Kondansatörler

18/26

Paralel plakalı bir kondansatörün levhalarını Q ile yükledikten sonra güç kaynağından ayırıp levhalar arasına dielektrik bir malzeme yerleştirdiğimizde plakalar arasındaki potansiyel farkın düştüğü görülür.

İletken plakalar arasındaki hacim tamamen dielektrik ile dolu ise, 𝑪/𝑪𝒐 yada eşdeğer olarak ∆𝐕𝐨/∆𝐕 oranına malzemenin dielektrik katsayısı denir ve 𝛋 ile gösterilir.

∆V =𝑄

𝐶 ∆Vo=

𝑄

𝐶o

𝑪 > 𝑪𝒐

∆𝐕𝐨 > ∆𝐕

𝜿 =∆𝐕𝐨∆𝐕

=𝑪

𝑪𝐨 > 1 ∆𝐕𝐨= 𝛋 ∆𝐕 𝑪 = 𝛋 𝑪𝐨

Dielektrikli Kondansatörler

19/26

Elektrik alan Ei kadar azaldığından ΔV de azalır.

E = Eo − E𝑖

∆V = − E ∙ 𝑑𝑙 = − Eo − E𝑖 ∙ 𝑑𝑙

E < Eo → ∆V < ∆V𝑜

Dielektrikli Kondansatörler

20/26

𝜖o𝜿 çarpımına dielektriğin elektriksel geçirgenliği olarak tanımlanır.

Bir kondansatörün levhaları arasındaki potansiyel farkı artırdığımızı varsayalım. Potansiyel farkın belli bir değeri aşması durumunda levhalar arasındaki dielektrik iyonize olur ve kondansatörde biriken yük boşalır.

Madde

Hava (kuru)

Bakalit

Kağıt

Porselen

Dielektrik Sabit (𝜅)

1.00059

4.9

3.7

6.0

Dielektrik Sertlik (V/m)

3.00x106

24.0x106

16.0x106

12.0x106

Dielektrik maddenin iyonize olması için gerekli minimum gerilime dielektrik sertlik denir.

∆𝑉 =∆𝑉𝑜𝜅

𝐸 =𝐸𝑜𝜅

𝐸 =𝜎

𝜖𝑜𝜅=𝜎

𝜖

Dielektrikli Kondansatörler

Dielektrik malzemeler yalıtkan malzemelerdir, fakat her yalıtkan dielektrik değildir. Sadece iç yükleri dış alanla indüklenebilen malzemeler dielektrik özellik gösterirler.

21/26

Bir paralel plakalı kondansatörün plakaları arasındaki uzaklık 𝒅, bir plakanın alanı 𝑨’dır. Kalınlığı 𝒂 olan yüksüz bir metal dilim, levhalar arasındaki orta yere konuyor. a) Bu sistemin sığasını bulunuz?

Örnek 26.8 Bir matal dilimin etkisi

b) 𝒂 sonsuz küçük bir değer olması durumunda sığasını bulunuz?

c) Yüksüz metal dilimin yerinin öneminin olmadığını gösteriniz?

Kondansatör kısa devredir yük depolanmaz.

İki levha arasına ince bir metal levha koymak kondansatörün sığasını değiştirmez. 𝑎 → 0 ⇒ 𝐶 = 𝜖0

𝐴

𝑑

𝑎 → 𝑑 ⇒ 𝐶 → ∞

=1𝜖0𝐴𝑑−𝑎 2

+1𝜖0𝐴𝑑−𝑎 2

1

𝐶=1

𝐶1+1

𝐶2

𝐶 =𝜖0𝐴

𝑑 − 𝑎

Metal dilimin üst plaka ile olan uzaklığı b ise, metalin alt dilim ile olan uzaklığı d-b-a olur.

1

𝐶=1

𝐶1+1

𝐶2=

1

𝜖0𝐴 𝑏 +

1

𝜖0𝐴 𝑑 − 𝑏 − 𝑎 𝐶 =

𝜖0𝐴

𝑑 − 𝑎

=𝑏

𝜖0𝐴+𝑑 − 𝑏 − 𝑎

𝜖0𝐴=𝑑 − 𝑎

𝜖0𝐴

Eşdeğer Sığa değeri değişmez!.

22/26

Bir paralel plakalı kondansatörün plakaları arası 𝒂 kalınlıklı dielektrik bir malzemeyle kısmen doldurulmuş ise oluşan kondansatör sisteminin sığası ne olur?

Örnek 26.9 Kısmen dolu bir kondansatör.

𝐶1 =𝜅𝜖0𝐴

𝑓𝑑

𝐶2 =𝜖0𝐴

1 − 𝑓 𝑑

1

𝐶=1

𝐶1+1

𝐶2=𝑓𝑑

𝜅𝜖0𝐴+1 − 𝑓 𝑑

𝜖0𝐴 → 𝐶 =

𝜅

𝑓 + 𝜅 1 − 𝑓

𝜖0𝐴

𝑑 → 𝐶 =

𝜅

𝑓 + 𝜅 1 − 𝑓𝐶0

𝑓 → 0 ⇒ 𝐶 = 𝐶0 𝑓 → 1 ⇒ 𝐶 = 𝜅𝐶0

𝑓 =1

3⇒ 𝐶 =

𝜅

13+ 𝜅 1 −

13

𝐶0 =3𝜅

1 + 2𝜅𝐶0

23/26

𝟐. 𝟎𝟎 𝒄𝒎 × 𝟑. 𝟎𝟎 𝒄𝒎 alanlı ve plakaları arasında 𝟏. 𝟎𝟎 𝒎𝒎 aralık bulunan bir paralel-plakalı kondansatörün içi kağıtla doldurulmuştur.

Örnek 26.10 Kağıtla Doldurulmuş Kondansatör

(a) Bu aygıtın sığası ne olur ?

(b) Kondansatöre yerleşebilecek maksimum yük ne olur ?

𝐶 = 𝜅𝜖0𝐴

𝑑

= 3.78.85 × 10−12 𝐶2 𝑁 ⋅ 𝑚2 6.00 × 10−4𝑚2

1.00 × 10−3 𝑚

= 20.0 × 10−12 𝐹 = 20.0 𝑝𝐹

Kağıdın dielektrik yıkılma sabiti: 16 × 106 𝑉/𝑚

∆𝑉𝑚𝑎𝑘. = 𝐸𝑚𝑎𝑘.𝑑 = 16.0 × 106 𝑉 𝑚 1.00 × 10−3 𝑚

= 16.0 × 103 𝑉

𝑄𝑚𝑎𝑘. = 𝐶∆𝑉𝑚𝑎𝑘. = 20.0 × 10−12 𝐹 16.0 × 103 𝑉

= 0.320𝜇𝐶

24/26

Bir paralel-plakalı kondansatör şekilde görüldüğü gibi üç farklı dielektrik malzeme durulmasıyla oluşturulmuştur. 𝑙 ≫ 𝑑 olduğunu varsayarak a) Oluşan sistemin sığasını 𝐴, 𝑑, 𝜅1, 𝜅2 ve 𝜅3 cinsinden bulunuz. b) 𝐴 = 1.00 𝑐𝑚2, 𝑑 = 2.00 𝑐𝑚, 𝜅1 = 4,9, 𝜅1 = 5.6, 𝜅1 = 2.1 alarak konasatörün sığasını bulunuz.

Örnek 26.11

25/26

Şekilde görüldüğü gibi, plakalar arası iki farklı dielektrik malzeme ile doldurulmuş olan bir kondansatörün sığasını 𝑳,𝑾,𝒅, 𝜿𝟏 𝒗𝒆 𝜿𝟐 cinsinden bulunuz.

Örnek 26.12

26/26