BLOC 1 - McGraw-Hill Education · 2017-11-21 · MECÀNICA 01 31 j 1.3 Vector velocitat Recordem ara les expressions de la velocitat que vàrem introduir a primer de batxillerat:

MECÀNICA

01

En aquesta imatge podem veure un pèndol de Foucault que està oscil.lant. Sabeu com és el moviment d’un pèndol simple i com el podem caracteritzar?

Aquesta unitat és un resum dels conceptes estudiats el curs passat de cinemàtica i dinà-mica, és a dir, de les ciències que estudien el moviment.

BLOC 1

8448170028_ud_01.indd 27 22/1/09 10:32:35

28 BLOC 1. MECÀNICA I CAMPS01

j 1.1 Sistema de referència inercial

Anomenem partícula lliure qualsevol cos prou petit per considerar el seu volum negligible i que es troba prou allunyat de qualsevol altre cos i lliure de qualsevol tipus d’influència que alteri el seu estat de moviment, és a dir, que es troba aïllat.

Si prenem una partícula lliure com a sistema de referència, el moviment de qualsevol altra partícula lliure es descriu de la manera més senzilla possible, ja que cap d’aquestes partícu-les no es troba sota la influència d’un altre cos, i observem que la segona partícula es mou segons un moviment rectilini uniforme, MRU, d’acord amb allò que estableix el principi d’inèrcia.

S’anomena sistema de referència el conjunt de cossos que convencionalment es consideren immòbils i respecte dels quals s’analitza el moviment dels altres cossos.

Per aquest motiu, el sistema de referència lligat a una partícula lliure s’ano-mena sistema inercial, i el definim com aquell sistema de referència respecte del qual el moviment de qualsevol partícula lliure és rectilini i uniforme, és a dir, amb velocitat constant, en mòdul i en direcció. En tot sistema inercial es verifica el principi d’inèrcia.

En aquesta unitat utilitzem el sistema de referència inercial relacionat amb els eixos de co-ordenades XY, per estudiar els moviments en el pla. Una vegada escollides les coordenades cartesianes com a sistema de referència, ja podem definir les magnituds cinemàtiques.

j 1.2 Vector de posició. Trajectòria

Definim vector de posició, fr, d’una partícula, aquell vector fix que té l’origen en l’origen de coordenades, i l’extrem en el punt on es troba la partícula. La unitat en el SI és el metre (m).

fr 5 fr (t)

També l’anomenem equació del moviment. Les seves coordenades cartesianes són:

fr 5 (x , y) 5 xfi 1 y

fj

que coincideixen amb les coordenades del punt on està situada la partícula (fig. 1.1).

� �

�

�

�

�

�

Fig. 1.1. Les coordenades del vector de posició tenen valors reals.

L’elecció d’un sistema de referència és arbitrari, ja que es poden triar infinits sistemes de referència. El moviment d’un cos o, en general, l’estudi de qualsevol fenomen físic serà diferent en funció del siste-ma de referència escollit. Per tant, és lògic triar aquells sistemes de referència respecte dels quals els fenòmens físics s’expliquin de la manera més senzilla possible.

L’elecció d’un sistema de referèn-cia inercial també és arbitrari. És recomanable estudiar els diferents fenòmens físics prenent sempre sistemes de referència inercials, ja que en tots aquests sistemes les lleis físiques es formulen de la mateixa manera, mentre que en cada sistema no inercial, o accele-rat, les lleis físiques tindran una expressió diferent.

8448170028_ud_01.indd 28 22/1/09 10:32:38

29MECÀNICA 01

EXEMPLE 1

El vector de posició d’un mòbil està determinat per l’expressió següent, en unitats del SI:fr 5 (3 t 2 10)

fi 1 (4 t 1 10)

fj

Trobeu el vector de posició per a t 5 0 s i t 5 6 s i representeu-los en un gràfic XY.

Resolució

Per trobar el vector de posició en aquests instants de temps, substituïm el valor del temps en l’expressió anterior.

Per a t 5 0 s:fr1 5 (3 ? 0 2 10)

fi 1 (4 ? 0 1 10)

fj 5 210

fi 1 10

fj 5 (210 , 10) m

Per a t 5 6 s:fr2 5 (3 ? 6 2 10)

fi 1 (4 ? 6 1 10)

fj 5 8

fi 1 34

fj 5 (8 , 34) m

Si representem els quatre punts en un gràfic XY, i els unim amb l’origen de coordena-des, obtenim els vectors de posició per a aquests instants de temps (fig. 1.2).

Y

X

40

30

20

10210 20

(8 , 34)

(210 , 10)fr1

fr2

Fig. 1.2

��

�

�

��

��

Fig. 1.3. Les coordenades del vector de posición tenen valors reals.

Anomenem trajectòria el conjunt de totes les posicions o punts pels quals passa una partícula en moviment (fig. 1.3).

Per obtenir l’equació de la trajectòria hem de trobar la funció y (x) que la representa; això es pot fer combinant les equacions x (t) i y (t), de manera que el paràmetre temps no quedi reflectit en aquesta equació.

EXEMPLE 2

El vector de posició d’un mòbil està determinat per la funció: fr (t) 5 (4 t 1 2 , t 2 2 2 2 t), en què les magnituds estan expressades en unitats del SI. Trobeu l’equació de la trajectòria descrita pel mòbil.

Resolució

Els components x (t) i y (t) del vector de posició són:

x (t) 5 4 t 1 2; y (t) 5 t2 2 2 t

x 2 2x 5 4 t 1 2 f t 5 ———

4

x 2 2 x 2 2 x 2 2 4 x 1 4 2 x 2 4y 5 t 2 2 2 t f y 5 1————2

2

2 2 ———— 5 ——————— 2 ———— 5 4 4 16 4

x 2 2 4 x 1 4 2 8 x 1 16 x 2 2 12 x 1 205 ————————————— 5 ————————

16 16

1 3 5y 5 —— x 2 2 —— x 1 ——

16 4 4

Aquesta funció correspon a l’equació d’una paràbola.

8448170028_ud_01.indd 29 22/1/09 10:32:39


Donada una trajectòria determinada, podem definir la longitud d’arc, Ds, entre dos punts de la trajectòria, com la longitud recorreguda pel mòbil entre aquests dos punts (fig. 1.4).

Definim el vector desplaçament, D fr , entre dos instants de temps t1 i t2 com aquell vector que té el seu origen en la posició inicial de la partícula, fr1 5 fr (t1), i el seu extrem en la posició final, fr2 5 fr (t2) (fig. 1.4). La seva unitat de mesura en el SI és el metre (m).

Dfr 5 fr2 2 fr1

��

�

�

��

��

� ��

� ��

��

� ��

� ��

��

Fig. 1.5. Si considerem un interval de temps molt petit, dt, podem veure que el vector desplaçament dfr tendeix a coincidir amb la longitud d’arc, ja que aquesta també és molt petita i s’aproxima a un segment.

�

�

��

��

� �

��

��

� �

Fig. 1.4. La longitud d’arc Ds és més gran que la longitud del vector desplaçament.

La longitud d’arc només coincideix amb el mòdul del vector desplaçament en els moviments rec-tilinis, però sí que tendeixen a ser iguals quan l’interval de temps tendeix a zero (fig. 1.5).

En el moviment circular definim a més el desplaçament angular, Dw, entre dos punts de la trajectòria com l’angle descrit pel mòbil entre aquests dos punts (fig. 1.6).

D w 5 w 2 w0

En el moviment circular no se sol considerar el vector desplaçament Dfr, ja que aquest no està directament relacionat amb l’angle descrit, a diferència de Ds, que sí que ho està, d’acord amb la definició de radiant:

s 5 w r

Per tant, el desplaçament angular Dw i el desplaçament lineal Ds es relacionen amb el radi r de la circumferència d’acord amb l’expressió:

Ds 5 Dw r

X

Y

0

s

P

w

r

r0

D r

D s

P0

s0w0

ff

f

Fig. 1.6. Observem que per passar d’una posició a l’altra, la partícula ha descrit un angle Dw 5 w 2 w0, que anomenem desplaçament angular. També ha recorregut una longitud d’arc D s 5 s 2 s0, que anomenem desplaçament lineal.

8448170028_ud_01.indd 30 22/1/09 10:32:41

31MECÀNICA 01

j 1.3 Vector velocitatRecordem ara les expressions de la velocitat que vàrem introduir a primer de batxillerat:

Taula 1.1

Concepte Definició Expressió matemàtica Unitats SI

Velocitat mitjana

Velocitat instantània

La velocitat mitjana, fvm, es defineix com el desplaçament que fa una partícula per unitat de temps (fig. 1.7).

La velocitat instantània, fv, es defineix com el límit de la velocitat mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero, és un vector tangent a la trajectòria que correspon a la derivada del vector de posició (fig. 1.8).

Dfr fr2 2 fr1fvm 5 —— 5 —————

D t t2 2 t1

fv 5 fvi 5 D t D tlim

f 0 fvm 5

Dfr dfr

5 D tlim

f 0—— 5 ——

D t dt

m/s

m/s

Els components cartesians del vector velocitat es representen per vx i vy, i, així, la velocitat és:fv 5 vx

fi 1 vy

fj

El mòdul del vector velocitat s’anomena celeritat, i val:

v 5 Îããv x2 1ããv y

2ãSi tenim en compte el vector de posició, podem expressar la velocitat mitjana com:

Dfr D (x

fi 1 y

fj ) (x2 2 x1)

fi 1 (y2 2 y1)

fjfvm 5 —— 5 ——————— 5 ————————————— 5 vmx

fi 1 vmy

fj

Dt Dt t2 2 t1

i la velocitat instantània com:

dx dyfv 5 vx

fi 1 vy

fj 5 ——

fi 1 ——

fj

dt dt

que correspon a la derivada del vector de posició, com ja hem dit.

��

�

�

� �

��

� ��

� ��

Fig. 1.7. El vector velocitat mitjana té la mateixa direcció i el mateix sentit que el vector desplaçament.

��

��

��

��

� ��

��

� ��

� ��

� ��

� ��

�

��

��

��

�

�

�

Fig. 1.8. Si disminuïm l’interval de temps considerat, la direcció del vector velocitat mit jana es va acostant cada ve gada més a la recta tangent a la trajectòria. En el límit, ob tenim la velocitat instantània, qué es un vector tangent a la trajectòria i correspon a la derivada del vector de posició.

8448170028_ud_01.indd 31 22/1/09 10:32:43


EXEMPLE 3

A. Relació entre la velocitat angular i la lineal en el moviment circular

En el cas del moviment circular, a més de la velocitat definida anteriorment o velocitat lineal, definim les velocitats següents:

Taula 1.2


Velocitat angular mitjana

Velocitat angular instantània

La velocitat angular mitjana, vm, és la relació entre el desplaçament angular descrit, Dw, en passar la partícula del punt P0 al punt P i l’interval de temps considerat (fig. 1.6).

La velocitat angular instantània, v, és el límit de la velocitat angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a 0, que correspon a la derivada del desplaçament angular.

Dw w 2 w0vm 5 —— 5 ———— D t t 2 t0

v 5 vi 5 D tlim

f 0 vm 5

Dw dw5

D tlim

f 0 —— 5 ——

D t dt

rad/s

rad/s

L’equació del moviment d’un mòbil puntual és fr (t) 5 (4 t2 2 1 , 2 t), els components estan expressats en m i el temps en s. Calculeu, entre els instants t 5 1 s i t 5 4 s:

a) El desplaçament i la velocitat mitjana.

b) La velocitat instantània en els instants t 5 1 s i t 5 4 s.

Resolució

a) Calculem inicialment els vectors de posició en els ins-tants t 5 1 s i t 5 4 s. fr (1) 5 (4 ?12 2 1, 2 ?1) 5 (3, 2) m fr (4) 5 (4 ? 42 2 1, 2 ? 4) 5 (63, 8) m

Per tant, el desplaçament és:

Dfr 5 fr (4) 2 fr (1) 5 (63, 8) 2 (3, 2) 5

5 (63 2 3, 8 2 2) 5 (60, 6) m

Calculem la velocitat mitjana:

Dfr (60, 6) 60 6fvm 5 —— 5 ——— 5 1——, —2 5 (20, 2) m/s

D t 4 2 1 3 3

b) Per determinar la velocitat instantània, apliquem la seva definició.

d fr dfv 5 —— 5 —— (4 t2 2 1, 2 t) 5 dt dt

d d5 1—— (4 t2 2 1), —— (2 t)2 5 dt dt

5 (8 t , 2) m/s

Per a t 5 1 s: v (1) 5 (8, 2) m/s

Per a t 5 4 s: v (4) 5 (32, 2) m/s

La velocitat angular i la velocitat lineal tenen caràcter vectorial. La velocitat angular és un dtvector, de mòdul v 5 ——, la direcció del qual coincideix amb la recta perpendicular al pla dtde gir; el seu sentit és l’avanç d’un tirabuixó que gira en el mateix sentit que ho fa la partícula (fig. 1.9). Aquest tipus de vectors s’anomenen vectors axials.

8448170028_ud_01.indd 32 22/1/09 10:32:43

33MECÀNICA 01

Per altra banda, el vector velocitat lineal és un vector tangent a la trajectòria, com hem deduït anteriorment (fig. 1.9).

Els mòduls de la velocitat angular i la velocitat lineal estan relacionats per l’expressió:

v 5 v r

Així, el mòdul de la velocitat lineal mitjana es defineix com la relació entre l’increment de la longitud d’arc recorreguda, Ds, en passar la partícula del punt P0 al punt P, i l’interval de temps considerat (fig. 1.6).

Ds s 2 s0v 5 —— 5 ———— D t t 2 t0

De la mateixa manera, el mòdul de la velocitat lineal instantània és el límit del mòdul de la velocitat lineal mitjana quan l’interval de temps tendeix a 0.

D s dsv 5 vi 5

D tlim

f 0 vm 5

D tlim

f 0 —— 5 ——

D t dt

�

�

�

Fig. 1.9. Vector velocitat angular, fv, i vector velocitat lineal, fv. En la regla de la mà dreta el polze indica el sentit de la velocitat angular i la resta dels dits indiquen el sentit del gir.

j 1.4 Vector acceleracióRecordem les definicions d’acceleració lineal en general i d’acceleració angular en el movi-ment circular.

Taula 1.3


Acceleració mitjana

Acceleració instantània

Acceleració angular mitjana

Acceleració angular instantània

L’acceleració mitjana, fam, es defineix com la variació de la velocitat instantània per unitat de temps (fig. 1.10).

L’acceleració instantània, fa, es defineix com el límit de l’acceleració mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero, que correspon a la derivada del vector velocitat.

L’acceleració angular mitjana, am, és la relació entre l’increment de la velocitat angular instantània i l’interval de temps considerat (fig. 1.11).

L’acceleració angular instantània, a, és el límit de l’acceleració angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a 0, que correspon a la derivada de la velocitat angular.

Dfv fv2 2 fv1fam 5 —— 5 ————

D t t2 2 t1

fa 5 fai 5 D tlim

f 0 fam 5

Dv v 2 v0am 5 —— 5 ———— D t t 2 t0

a 5 ai 5 D tlim

f 0 am 5

Dv dv5

D tlim

f 0 —— 5 ——

D t dt

Dfv d fv d 2 fr

5 D tlim

f 0 —— 5 —— 5 ——

D t dt dt 2

m/s2

m/s2

rad/s2

rad/s2

�

�

Fig. 1.11. L’acceleració angular, a, és un vector axial, ja que està relacionat amb la rotació al llarg de l’eix perpendicular.

�

�

��

��

��

��

��

� �

��

��

��

Fig. 1.10

8448170028_ud_01.indd 33 22/1/09 10:32:45


EXEMPLE 4

Y

X

r

x

y

a

v

ax

ay

vx

vy

P

f

f

f

Fig. 1.12. Representació de les magnituds cinemàtiques fr, fv i fa , en l’instant de temps t; també s’hi representen els components d’aquests vectors (x , y), (vx , vy), (ax , ay) en la posició P, on la partícula es mou seguint una trajectòria corba en el pla XY.

Els components cartesians del vector acceleració es representen mitjançant ax i ay, i, així, l’acceleració és (fig. 1.12):

fa 5 ax

fi 1 ay

fj

El mòdul del vector acceleració val:

a 5 Îããax2 1ããay

2ã

Tenint en compte el vector velocitat, podem expressar l’acceleració mitjana com:

Dfv D (vx

fi 1 vy

fj) (vx2

2 vx1)

fi 1 (vy2

2 vy1)

fjfam 5 —— 5 ———————— 5 —————————————— 5 amx

fi 1 amy

fj

D t D t t2 2 t1

i l’acceleració instantània com:

dvx dvy d2x d 2yfa 5 ax

fi 1 ay

fj 5 ———

fi 1 ———

fj 5 ———

fi 1 ———

fj

dt dt dt2 dt2

L’equació del moviment d’un mòbil puntual ésfr (t) 5 2 t2 f

i 1 (2 t 2 6)fj

els components expressats en m, i el temps, en s. Calculeu:

a) El desplaçament entre els instants t 5 0 s i t 5 3 s.

b) La velocitat mitjana entre aquests dos instants.

c) La velocitat instantània per a t 5 1 s.

d) L’acceleració mitjana entre t 5 0 s i t 5 3 s.

e) L’acceleració instantània per a t 5 1 s.

Resolució

a) Primer calculem els vectors de posició en els instants t 5 0 s i t 5 3 s.

fr (0) 5 2 ? 02 fi 1 (2 ? 0 2 6)

fj 5 26

fj m

fr (3) 5 2 ? 32 fi 1 (2 ? 3 2 6)

fj 5 18

fi m

Per tant, el desplaçament és:

Dfr 5 fr (3) 2 fr (0) 5 18

fi 2 (26)

fj 5 (18

fi 1 6

fj ) m

b) Calculem la velocitat mitjana:

Dfr 18

fi 1 6

fjfvm 5 —— 5 ————— 5 (6

fi 1 2

fj ) m/s

D t 3 2 0

d frc) Amb l’expressió fv 5 ——, calculem la velocitat instan-

dttània: d fr dfv 5 —— 5 —— (2 t 2 f

i 1 (2 t 2 6)fj ) 5

dt dt5 (4 t

fi 1 2

fj ) m/s

que per a t 5 1 s, val: fv (1) 5 (4fi 1 2

fj ) m/s.

d) La velocitat instantània en els dos instants t 5 0 s i t 5 3 s és: fv (0) 5 4 ? 0

fi 1 2

fj 5 2

fj m/s

fv (3) 5 4 ? 3fi 1 2

fj 5 (12

fi 1 2

fj ) m/s

Per tant, l’increment de la velocitat val:

Dfv 5 fv (3) 2 fv (0) 5 12

fi 1 2

fj 2 2

fj 5 12

fi m/s

Ara ja podem calcular l’acceleració mitjana:

Dfv fv (3) 2 fv (0) 12fam 5 —— 5 ——————— 5 ——

fi 5 4

fi m/s2

D t t2 2 t1 3

e) Calculem l’acceleració instantània:

d fv d2 fr dfa 5 —— 5 —— 5 —— (4 tfi 1 2

fj ) 5 4

fi m/s2

dt dt2 dt

que, per a t 5 1 s, val:fa 5 4

fi m/s2

8448170028_ud_01.indd 34 22/1/09 10:32:46

35MECÀNICA 01

EXEMPLE 5

Fins ara hem considerat coneguda l’equació del moviment i, derivant, hem obtingut la resta de magnituds cinemàtiques. Però també podem operar en sentit contrari, és a dir, si coneixem l’acceleració en funció del temps i apliquem el concepte matemàtic d’integració, podem obte-nir la velocitat en funció del temps:

d fvfa 5 —— f d fv 5 fa dt f Ed fv 5 Efa dt f fv 5 Efa dt dt

Si integrem un altre cop, obtenim el vector de posició en funció del temps:

d frfv 5 —— f d fr 5 fv dt f Ed fr 5 Efv dt f fr 5 Efv dt dt

Ara bé, si integrem, hem de posar els límits d’integració. Aquests límits estan determinats per les condicions inicials t0,

fr0, fv0, i les condicions generals t, fr, fv, d’un punt qualsevol de la trajectòria.

derivant derivantfr (t) fv (t) fa (t)

integrant integrant

Un mòbil puntual es mou segons l’eix X amb acceleració constant de 2 m/s2. Si inicialment el mòbil es troba a 5 m de l’origen i es mou amb velocitat de 4 m/s, determineu:

a) La velocitat en funció del temps.

b) La posició en funció del temps.

Resolució

Observem que el moviment del mòbil té lloc en una única direcció i, per tant, podem considerar un únic component.

a) Si apliquem la definició d’acceleració, obtenim la velocitat.

dva 5 —— f dv 5 a dt

dt

Si substituïm el valor de l’acceleració i les condicions inicials, on v0 5 4 m/s i t0 5 0, i integrem, obtenim:

E v

4 dv 5 E t

0 2 dt f [v]

4

v 5 [2 t]0

t

v 2 4 5 2 t f v 5 4 1 2 t

b) Si apliquem la definició de la velocitat instantània, tro-bem la posició en funció del temps.

d xv 5 —— f dx 5 v dt

dt

Si substituïm el valor de la velocitat i les condicions ini-cials, on x 0 5 5 m i t0 5 0, i integrem, trobem que:

E x

5 dx 5 E t

0 (4 1 2 t) dt

[x]5

x 5 [4 t 1 t 2]0

t f x 2 5 5 4 t 1 t2

x 5 t 2 1 4 t 1 5

A. Components intrínsecs de l’acceleració

L’acceleració té dos components intrínsecs com a conseqüència de ser un vector amb la mateixa direcció del vector Dv i, per tant, està condicionada a la variació del mòdul de la velo-citat, de la direcció de la velocitat o de les dues alhora. Analitzem cada cas:

j Si només varia el mòdul de la velocitat, l’acceleració val en mòdul:

dv a 5 ——

dt

Aquesta acceleració té associat un vector amb igual direcció que el vector velocitat. Sa-bem que la velocitat és tangent a la trajectòria; per tant, també ho és el vector accelera-ció. Per això s’anomena acceleració tangencial, fat.

8448170028_ud_01.indd 35 22/1/09 10:32:47


j Si només varia la direcció de la velocitat, l’acceleració val: v 2

a 5 —— R

On v és la celeritat del cos i R el radi de la circumferència que descriu. És un vector per-pendicular o normal a la trajectòria i el seu sentit va dirigit cap al centre de la circumfe-rència que descriu (fig. 1.13). Per això s’anomena acceleració normal o centrípeta, fan.

j Si la velocitat varia en mòdul i en direc-ció, l’acceleració es pot expressar com la resul-tant de dos vectors, un en la direcció del vec-

tor velocitat i un altre perpendicular a aquest; el primer és el vector acceleració tangencial i l’altre, el vector acceleració normal (fig. 1.14).

dv at 5 —— dtfa 5 fat 1 fan f v 2

an 5 —— R

Com qualsevol altre vector, l’acceleració tangencial i l’acceleració normal es poden expressar com a produc-te del seu mòdul per un vector unitari en la direcció del vector. Per tant, definim dos nous vectors unitaris, un en la direcció de l’acceleració tangencial fut i l’altre en la direcció de l’acceleració normal fun (fig. 1.15).

Així, en funció d’aquests vectors unitaris, podem ex-pressar el vector acceleració com:

fa 5 at fut 1 an

fun

on at és el mòdul de l’acceleració tangencial i an, el mòdul de l’acceleració normal; o també el podem ex-pressar com:

dv v2fa 5 at

fut 1 an

fun 5 ——

fut 1 ——

fun dt R

on R és el radi de curvatura.

En el cas del moviment circular, R és el radi de la circumferència, i en el cas de qualsevol altre moviment, R és el radi d’aquella circumferència que coincideix amb la trajectòria en el punt

considerat (fig. 1.16). Finalment, en el cas del moviment rectili-ni, el radi de curvatura és infinit, ja que an ha de ser nul perquè no existeix canvi en la direcció de la velocitat.

Tenint en compte que aquests components són perpendiculars (fig. 1.14), el mòdul del vector acceleració val:

a 5 Îããat2 ã1 ããa

n2ã

En els moviments rectilinis, l’acceleració només té component tangencial, com ja hem dit.

En altres moviments, és nul el component tangencial de l’ac-celeració, i només tenim el component normal; és el cas del moviment circular uniforme, com vàrem veure a primer de bat-xillerat. En la resta de moviments, els dos components de l’ac-celeració són no nuls.

�

�

��

��

�

�

Fig. 1.14

�

�

��

��

Fig. 1.15

��

��

�

�

�

�

��

�

��

��

Fig. 1.16

�

��

�

�

��

�

��

��

��

��

� �

Fig. 1.13

Anomenem components intrín-secs de l’acceleració els vectors acceleració tangencial i accele-ració normal, i els definim com aquells components de l’accele-ració la direcció i el sentit dels quals no depenen del sistema de referència escollit, sinó del punt de la trajectòria que es consideri.

j S’anomena component tan-gencial de l’acceleració el component del vector accele-ració en la direcció del vector velocitat.

j S’anomena component nor-mal de l’acceleració el compo-nent del vector acceleració en la direcció perpendicular a la velocitat.

ru uwu uq

8448170028_ud_01.indd 36 22/1/09 10:32:48

37MECÀNICA 01

B. Relació entre l’acceleració angular i la tangencial en el moviment circular

L’acceleració angular està relacionada amb l’acceleració tangencial per l’expressió:

at 5 a r

Per similitud amb les magnituds lineals, podem observar que hi ha un paral.lelisme entre la posició i l’angle descrit, entre la velocitat lineal i la velocitat angular, i entre l’acceleració tangencial i l’acceleració angular, i totes les magnituds estan relacionades entre si.

s 5 w r v 5 v r at 5 a r

També podem considerar que el que hem fet per a les magnituds lineals es pot fer per a les magnituds angulars. derivant derivant

w (t) v (t) a (t) integrant integrant

EXEMPLE 6

L’equació del moviment d’un mòbil és fr (t) 5 (t3 1 1, t3 2 2t) expressat en unitats del SI. Calculeu en l’instant de temps t 5 1 s:

a) El mòdul del vector acceleració.

b) Els components tangencial i normal de l’acceleració.

Resolució

a) Prèviament, calculem el vector acceleració:

d fr dfv 5 —— 5 —— (t3 1 1, t 3 2 2 t) 5 dt dt

5 (3 t2, 3 t 2 2 2)

d fv dfa 5 —— 5 —— (3 t 2, 3 t 2 2 2) 5 dt dt

5 (6 t, 6 t)

El mòdul de l’acceleració val:

a 5 Îãã(6 t)2ããã1ãã(6ãt)2ã 5 8,49 t

Per a t 5 1 s:

a 5 8,49 m/s2

b) Per calcular el component tangencial, hem de trobar pri-mer el mòdul del vector velocitat.

fv 5 (3 t 2, 3 t 2 2 2)

v 5 Îãã(3 t 2ã)2ãã1ãã(3 t 2ãã2ãã2)2ã 5 Îãã18 t 4ãã2ãã12ãt 2ãã1 4ã

Si apliquem l’expressió de l’acceleració tangencial, veiem que:

dv dat 5 —— 5 —— Îãã18 t 4ããã2 ããã12 t 2ããã1 4ã 5

dt dt

72 t 3 2 24 t5 —————————————

2 Îãã18 t 4ããã2 ãã12 t 2ããã1 4ã

Per a t 5 1 s:

72 ?13 2 24 ?1at 5 ————————————— 5 7,59 m/s2

2 Îãã18 ?ãã14 2ããã12?ãã12 ãã1 4ãSi coneixem el mòdul del vector acceleració i l’accelera-ció tangencial, podem trobar l’acceleració normal amb l’expressió:

a 5 Îããat2 1ãããa

n2ã f

f an 5 Îããa2 2ãããat2ã

que, per a t 5 1 s, és:

an 5 Îãã8,49ã2ããã2 7ãã,592ã 5 3,80 m/s2

8448170028_ud_01.indd 37 22/1/09 10:32:49


j 1.5 Dinàmica. Les lleis de NewtonLa dinàmica estudia la relació existent entre el moviment dels cossos i les causes que l’ori-ginen. Així, consisteix bàsicament en l’anàlisi de la relació entre les forces i els canvis en l’estat de moviment dels cossos. Les lleis formulades per Isaac Newton (1642-1727) relacio-nen les forces i el moviment i formen una teoria cièntífica que constitueix una de les eines d’investigació de la natura més poderoses i que van revolucionar més el món de la ciència a partir del segle xviii (taula 1.4).

Definim la quantitat de moviment, fp, d’un cos com el producte de la massa m per la velo-citat fv que porta.

fp 5 m fv

A. Impuls mecànic. Teorema de l’impuls

Quan apliquem una força neta fF sobre un cos entre els instants de temps t0 i t, diem que el cos

rep un impuls mecànic fI, que es defineix com:

fI 5 E t

t0

fF dt

Si tenim en compte la segona llei de Newton, trobem que:

d fpfF 5 —— f d fp 5

fF dt f Efp

fp0

d fp 5 E t

t0

fF dt f fp 2 fp0 5 D fp 5 E t

t0

fF dt 5

fI

dt

Dfp 5

fI

Aquesta expressió descriu el teorema de l’impuls mecànic, que ens indica que l’impuls mecà-nic,

fI, que actua sobre un cos durant un interval de temps D t és igual a la variació de la seva

quantitat de moviment D fp. Aquest teorema proporciona una altra manera d’estudiar situa cions de la mecànica.

Taula 1.4

Llei Enunciat Desenvolupament matemàtic

1a llei de Newton

2a llei de Newton

3a llei de Newton

Si sobre un cos no actua cap força o la resultant de les forces que actuen és nul.la, el cos està en repòs o es mou amb moviment rectilini i uniforme, és a dir, tot cos que no interaccioni amb cap altre cos conserva la seva quantitat de moviment

Un cos experimenta una acceleració quan actua sobre ell una força resultant no nul.la; per tant, les forces originen variacions en la quantitat de moviment.

Quan un cos exerceix una força fF sobre un altre

cos, aquest efectua sobre el primer una força fF9 que té el mateix mòdul, la mateixa direcció i sentit contrari. Anomenem una de les forces acció, i l’altra reacció (fig. 1.17).

fv 5 constant f fp 5 constant

o fF 5 m fa

d fv d o

fF 5 m —— 5 —— (m fv ) f

dt dt

d fpo

fF 5 ——

dt

Fig. 1.17. Els parells de forces d’acció i reacció són sempre vectors oposats i actuen sobre cossos diferents; per tant, els seus efectes mai no es contraresten entre ells.

� ��

��

��

� ��

��

��

� ��

��

��

f

8448170028_ud_01.indd 38 22/1/09 10:32:50

39MECÀNICA 01

EXEMPLE 7

Un cos de 5 kg de massa es mou segons l’equació de moviment fr 5 4 t3fi 1 (2 t 2 21)

fj

en unitats del SI. Determineu:

a) La força instantània.

b) La força mitjana que actua sobre el cos entre els instants t 5 1 s i t 5 4 s.

Resolució

a) Per trobar la força instantània, apliquem la 2a llei de Newton:

dfpfF 5 ——

dt

Prèviament, n’hem de calcular la velocitat:

dfr dfv 5 —— 5 —— (4 t 3 fi 1 (2 t 2 21)

fj ) 5 12 t 2 f

i 1 4 tfj

dt dt

La quantitat de moviment del cos és: fp 5 m fv f

f fp 5 5 (12 t 2 fi 1 4 t

fj ) f

f fp 5 60 t 2 fi 1 20 t

fj

Per tant, la força que rep el cos és:

dfp dfF 5 —— 5 —— (60 t 2 f

i 1 20 tfj ) 5 120 t

fi 1 20

fj

dt dt

b) Per calcular la força mitjana entre els instants t 5 1 s i t 5 4 s apliquem la 2a llei de Newton en forma incremental:

Dfpf

F 5 —— D t

Per calcular Dfp substituïm els temps anteriors en l’equació fp (t) obtinguda en

l’apartat a): fp (1) 5 60 ?12 f

i 1 20 ?1fj 5 60

fi 1 20

fj

fp (4) 5 60 ? 42 fi 1 20 ? 4

fj 5 960

fi 1 80

fj

i calculem la variació de la quantitat de moviment:fp 5 fp (4) 2 fp (1) 5 (960

fi 1 80

fj ) 2 (60

fi 1 20

fj ) 5 900

fi 1 60

fj

La força mitjana que rep el cos és:

Dfpf

F 5 —— 5 D t

900fi 1 60

fj 900 60f

F 5 ——————— 5 —— fi 1 ——

fj 5 (300

fi 1 20

fj ) N

4 2 1 3 3

8448170028_ud_01.indd 39 22/1/09 10:32:51


EXEMPLE 8

Una pilota és impulsada amb una força donada per la funció: fF (t) 5 (1,6 ?107 t 2 4 ?109t 2)

fi N.

Suposant que la força actua entre els instants t0 5 0 s i t 5 4 ms:

a) Calculeu l’impuls mecànic.

b) Calculeu la força mitjana rebuda per la pilota.

c) Representeu gràficament la força fF (t) i la força mitjana.

Resolució

a) Calculem l’impuls mecànic amb l’expressió anterior, subs tituint-hi valors i in-tegrant:

fI 5 E t

t0

fF dt f

fI 5 E

0

4?1023

(1,6 ?107 t 2 4 ?109t2)fi dt 5

1,6 ?107 t 2 4 ?109 t 3

5 3————— fi 2 ————— fi 40

4 ?1023

5 2 3

4 ?109? (4 ?1023)3

5 8 ?106? (4 ?1023)2 fi 2 ———————————

fi 5

35 42,67

fi N?s

L’impuls, per tant, té la mateixa direcció i el mateix sentit de la força.

b) La força mitjana rebuda per la pilota es pot calcular amb l’expressió següent: fI 5

fFmD t

fI 42,67f

Fm 5 —— f fI 5 ———— fi 5 1,07 ?104 f

i N D t 4 ?1023

c) Fem una taula de valors de la funció (taula 1.5)fF (t) 5 (1,6 ?107 t 2 4 ?109t 2)

fi

i representem en una gràfica fF (t) i

fFm (fig. 1.18).

t (ms) 0 1 2 3 4fF (N) 0 1,2 ? 104 1,6 ? 104 1,2 ? 104 0

Taula 1.5

La força mitjana representa la for-ça constant que produeix el mateix impuls que la força

fF (t) entre els ins-

tants de temps considerats (fig. 1.18). D’acord amb la definició d’inte-gral, això vol dir que l’àrea del rec-tangle que defineix

fFm entre t 5 0 i

t 5 4 ms és igual a l’àrea definida per

fF (t). Fig. 1.18

��

��

� � �

��

��

�

�

��

� ��

� ��

8448170028_ud_01.indd 40 22/1/09 10:32:51

41MECÀNICA 01

j 1.6 Exemples d’aplicació de les lleis de Newton

(Segueix)Taula 1.6

Exemple Enunciat Observacions

Pes

Força normal

Tensió

El pes, f

la Terra sobre els cossos (fig. 1.19).

La força normal, fN, és la força de reacció que

efectua una superfície sobre qualsevol cos que hi sigui al damunt o en contacte (fig. 1.20).

La tensió, fT,és la força que apareix quan un

cos fa una força sobre un altre cos mitjançant un lligam (fig. 1.21).

fp 5 m fg

És perpendicular a la superfície sobre la qual actua.

��

�

Fig. 1.19

Fig. 1.20. La força normal és perpendicular a la superfície sobre la qual actua.

m

m

N 5 2p 5 2m gf f f

a) b)

N 5 2pf f

fp

N 5 py 5 m g cos a

pxf

pyf

pf

m

Nf

m

N 5 2p 5 2m gf f f

a) b)

fp

N 5 py 5 m g cos a

pxf

pyf

pf

a

a

(1)

m1

m2

p1f

p2f

Tf

Tf

5T9f

p1f

p2f

Tf

5 2T9f

Tf

Ff

N1

f5 2p1

f

N2

f5 2p2

f

Y

X

N1

f5 2p1

f

p2f

p1f

m1

m2

T1

f

T2

f5 2T1

f

Fig. 1.21

8448170028_ud_01.indd 41 22/1/09 10:32:54

P , és la força de la gravetat que exerceix


Exemple Enunciat Observacions

Força de fregament

Força elàstica

La força de fregament, fFf, és la resistència que

presenten dos cossos en contacte a moure’s l’un respecte de l’altre (fig. 1.22). Aquesta força és causada pel fet que les superfícies dels cossos no són perfectament llises.

Es compleix que: Ffd , Ffe f md , me

Quan deformem un cos elàstic, per exemple una molla, aquest tendeix a recuperar la seva forma original. Les forces que s’originen sobre el cos s’anomenen forces elàstiques i compleixen la llei de Hooke, que diu que la força elàstica

fF

originada en la molla és directament proporcional a la deformació que pateix (D fx).

Cos en repòs Força de fregament estàtic, (fig. 1.22 a) Ffe: s’oposa a qualsevol tendèn-

cia al moviment del cos.

Ffe ø me N

On me és el coeficient de frega-ment estàtic.

Cos en moviment Força de fregament dinàmic, (fig. 1.22 b) Ffd: s’oposa al moviment.

Ffd 5 md N

On md és el coeficient de frega-ment dinàmic.

fF 5 2k D x

fi

en què k és la constant elàstica de la molla (fig. 1.23).fF 5 2k x

fi

si considerem x0 5 0.

Fig. 1.22 a.

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

��

�

�

�

��

��

�

�

�

��

��

��

Fig. 1.22

�

�

� ��

��

��

�

��

�

��

Fig. 1.23. a) Deformació produïda i força elàstica quan la molla està estirada. b) Deformació produïda i força elàstica quan la molla està comprimida.

Taula 1.6. (Continuació)

8448170028_ud_01.indd 42 22/1/09 10:32:56

43MECÀNICA 01

j 1.7 Treball, potència i energia

A. Treball

El curs passat es va definit el treball que realitza una força constant que actua sobre un cos que es mou al llarg d’una trajectòria rectilínia com: W 5 Fx Dx on D x és el desplaçament descrit sobre la trajectòria i Fx el component tangencial de la força respecte de la trajectòria.

Però no sempre la força és constant ni la trajectòria rectilínia.

En aquest cas definim el treball com el producte escalar de la força pel vector desplaçament. Recordem que en el SI la seva unitat és el joule, J. El treball rea-litzat per la força

fF entre les posicions A i B és (fig. 1.24):

W 5 EfrA

frB

fF • d fr

�

�

�

��

��

�

� �

� �

Fig. 1.24

B. Potència

Recordem també les definicions de: dWj Potència instantània: és el treball desenvolupat per unitat de temps: P 5 —— dt DWj Potència mitjana entre dos instants de temps: Pm 5 —— Dt

Recordem que en el SI la unitat de potència és el watt, W.

C. Energia

Recordem que l’any passat varem definir l’energia d’un cos com la capacitat que té per efec-tuar un treball i, tenint en compte que aquesta capacitat pot ser deguda a diferents causes, podem parlar de diverses formes d’energies. Però qualsevol forma d’energia sempre es pot reduir a dos tipus bàsics: l’energia cinètica i l’energia potencial, la suma de les quals és l’energia mecànica. En el SI, la unitat de qualsevol forma d’energia és el joule.

Taula 1.7

Concepte Definició Expressió matemàtica

Energia cinètica

Energia potencial gravitatòria

Energia potencial elàstica

Energia mecànica

És l’energia que té un cos a causa del seu moviment.

És l’energia que té un cos a causa de la posició que ocupa dins d’una zona de l’espai on actuen forces gravitatòries.

És l’energia que té un cos elàstic en virtut del seu estat de deformació.

És la suma de totes les formes d’energia.

1Ec 5 — m v 2

2

Ep 5 m g h

1Ep 5 — k x 2

2

E 5 Ec 1 Ep

Teorema del treball i de l’ener-gia cinètica: el treball realitzat sobre un cos és igual a la variació d’energia cinètica que experi-menta.

W 5 D Ec

8448170028_ud_01.indd 43 22/1/09 10:32:57


Finalment recordem un principi fonamental de la fí-sica: el principi de conservació de l’energia me-cànica. En el cas en què sobre un cos només actuen forces conservatives, aquest principi diu que l’ener-gia mecànica es conserva al llarg del temps o, el que és el mateix, que l’energia mecànica del cos es manté constant (fig. 1.25).

D E 5 0 f E 5 Ec 1 Ep 5 constant

En canvi, si sobre el cos també actuen forces no con-servatives, el treball fet per aquestes forces és igual a la variació d’energia mecànica del cos:

D E 5 Wfnc

� �

�

��

� �

��

Fig. 1.25. S’anomenen forces conservatives les forces el treball de les quals només depèn de la posició inicial i final del cos i és independent del camí que segueix aquest cos. El treball realitzat per forces conservatives en un cicle és 0.

WAB(c) 5 WAB(c9) 5 WAB(c0) 5 WAB(c-) f Wcicle 5 0

Són exemples de forces conser-vatives la força de la gravetat, la força elàstica i les forces elec-trostàtiques. En canvi, la força muscular, la força de fregament i d’altres són forces no conser-vatives, ja que el treball fet per aquestes forces al llarg d’una trajectòria depèn del camí.

EXEMPLE 9

Un bloc amb una massa de 4 kg avança amb una velocitat d’1 m/s sobre una superfície horitzontal. Quan ha recorre-gut 0,5 m es troba una molla amb una constant elàstica de 40 N/m. Calculeu la compressió màxima de la molla:

a) Si entre el cos i la superfície no hi ha fregament.

b) Si entre el cos i la superfície el coeficient de fregament és de 0,1.

Resolució

Representem les forces que actuen sobre el cos (fig. 1.26):

a) L’energia mecànica inicial només té el terme de l’energia cinètica:

1 Ec 5 — m v 2

2

Ep 5 0

L’energia mecànica final només té el terme d’energia po-tencial elàstica:

Ec 5 0 1 Ep 5 — k x 2

2

Ara apliquem el principi de conservació de l’energia. Substituïm els termes anteriors en l’expressió correspo-nent, tot simplificant-la i substituint-hi valors:

1 1D E 5 0 f Ef 2 Ei 5 0 f — k x 2 2 — m v 2 5 0

2 2

40 x 2 2 4 ?12 5 0 f x 5 0,32 m

b) Representem les forces que actuen sobre el cos (fig. 1.27). Com que la força de fregament és una força no conserva-tiva, calculem el treball efectuat per aquesta força substi-tuint valors:

Wfnc 5 Ff Dx cos 180° 5 m N Dx cos 180° 55 m m g Dx cos 180°

Wfnc 5 20,1 ? 4 ?9,8 ? (x 1 0,5) 5 23,92 ? (x 1 0,5)

Apliquem el principi de conservació de l’energia, substituint valors en l’expressió corresponent i simplificant-la:

1 1DE 5 Wfnc f Ef 2 Ei 5 Wfnc f — k x 2 2 — m v 2 5

2 2

1 15 Wfnc f — ? 40 x 2 2 — ? 4 ?12 5 23,92 ? (x 1 0,5)

2 2

20 x2 1 3,92 x 2 0,04 5 0 f x 5 0,0097 m 5 9,7 mm

��

�

�

�

Fig. 1.26

��

�

�

�

� ��

��

Fig. 1.27

1f Ei 5 — m v 2

2ruwuq

1f Ef 5 — k x 2

2ruwuq

8448170028_ud_01.indd 44 22/1/09 10:32:58

45MECÀNICA 01

EXEMPLE 10

Un cos es deixa caure des de la part superior d’una es-fera de radi R que no presenta fregament (fig. 1.28 a). Trobeu:

a) La força que fa l’esfera sobre el cos en un punt A.

b) El punt en què el cos deixa de fer contacte amb l’esfera.

fp

Y

R 2 h

XR

aah

B pnf

Nf

A

ptf

0fp

Y

R 2 h

XR

aah

B pnf

Nf

A

ptf

0

a) b)

Fig. 1.28

Resolució

Representem en l’esfera les forces que actuen en el punt A (fig. 1.28 b).

a) Apliquem la 2a llei de Newton, tenint en compte que el moviment del cos és un moviment circular, i descompo-nem el pes en el component tangencial i el component normal:

pn 2 N 5 m anofF 5 m fa f

fN 1 fp 5 m fa f

pt 5 m at

L’expressió del component normal és:

pn 5 m g cos a

i del triangle OAB (fig. 1.28 b), trobem que:

hcos a 5 —

R

Aïllant N en l’expressió anterior, tenim la força que fa la superfície esfèrica sobre el cos quan es troba a una altura h respecte de l’eix horitzontal que passa pel centre (fig. 1.28 b):

N 5 pn 2 m an

v 2 h v 2

N 5 m g cos a 2 m —— f N 5 m g — 2 m —— R R R

Considerem el centre de l’esfera com a referència d’ener-gia potencial Ep 5 0, i calculem les energies cinètica i potencial en el punt més alt i en el punt A.

j En el punt més alt, només hi ha el terme d’energia potencial; l’energia mecà nica és:

Ep 5 m g R f Ei 5 m g R Ec 5 0

j En el punt A, tenim els dos tipus d’energia; l’energia mecànica és:

Ep 5 m g h

1 Ec 5 — m v 2

2

Ara apliquem el principi de conservació de l’energia me-cànica i trobem la velocitat del cos en funció de l’altura h:

DE 5 0 f Ef 2 Ei 5 0

1 1mgh 1 — mv2 2 mgR 5 0 f gh 1 — v2 2 gR 5 0 2 2

v 5 Îããããããã2 g (R 2 h)

Substituint la velocitat en l’expressió de la normal, ob-servem que:

m g h m [2 g (R 2 h)]N 5 ——— 2 ————————— 5

R R

m g m g5 —— (h 2 2 R 1 2 h) f N 5 —— (3 h 2 2 R)

R R

b) Quan el cos deixa de fer contacte amb l’esfera, el valor de N s’anul.la. Amb l’expressió anterior, veiem que:

m gN 5 —— (3 h 2 2 R) 5 0 f 3 h 2 2 R 5 0 f

R 2

f h 5 — R 3

Observem que el cos deixa de fer contacte amb l’esfera 2quan ha baixat fins a una altura de — R. 3

rwq

rwq

1f Ef 5 m g h 1 — m v 2

2ruwuq

8448170028_ud_01.indd 45 22/1/09 10:32:59


Física quotidiana

La conquesta de l’espai

Una de les fites a què s’enfrontarà l’ésser humà en aquest segle és sens dubte l’exploració i la colonització de l’espai. L’estació espacial internacional (sigla ISS, en anglès) cons-titueix la primera experiència d’assentament humà perma-nent a l’espai (fig. 1.29). Actualment i després de successi-ves ampliacions, la ISS és un dels objectes més lluminosos del firmament, visible a simple vista.

L’any 2010 és previst que la ISS assoleixi les característi-ques següents:

Amplada 108 m

Longitud 80 m

Massa 454 000 kg

Tripulació . 6 persones

Laboratoris 6

Perigeu 352,8 km

Apogeu 354,2 km

Període orbital 91,61 min

Inclinació 51,64°

Òrbites per dia 15,72

A l’estació espacial es realitzen experiments de recerca i desenvolupament en absència de gravetat que no són possi-bles a la Terra. La ingravidesa és, però, un inconvenient per

a l’establiment de l’ésser humà durant llargs períodes pels riscos que comporta per a la salut dels astronautes. És possi-ble crear gravetat artificial mitjançant el disseny d’estacions espacials en forma de roda (una o més acoblades) dotant-les de rotació respecte de l’eix. L’acceleració centrífuga gene-rada pel moviment rotatori permet als astronautes caminar sobre les parets més ex teriors (fig. 1.30).

Com a científics col.laboradors en el projecte de construcció d’una futura estació espacial en forma de roda, us han encar-regat el disseny físic del sistema de gravetat arti ficial.

Qüestions

1> On col.locaríeu el punt d’atracament de les naus espa-cials que visitin l’estació?

2> Atès que l’acceleració centrífuga depèn del radi, cal-culeu el radi mínim que ha de tenir l’estació per tal que un astronauta de 2 metres d’alçada no noti més de l’1 % de diferència entre l’acceleració del seu cap i la dels seus peus.

3> Amb el radi obtingut a la qüestió anterior, quines ve-locitats angular i lineal haurà de tenir l’estació per obtenir una gravetat artificial igual a la ter restre?

4> Per dotar l’estació del moviment de rotació heu de-cidit utilitzar propulsors. Raoneu quin nombre de pro-pulsors posaríeu i la ubicació.

5> Si un astronauta deixa caure un objecte de les mans, caurà als peus? Raoneu la resposta.

Fig. 1.29. Estació espacial internacional.Fig. 1.30. Model circular d’estació espacial. Fotograma de la pel.lí cula de Stanley Kubrick 2001: una odissea a l’espai.

8448170028_ud_01.indd 46 22/1/09 10:33:01

47MECÀNICA 01

Activitats finals

1> Raoneu si és certa aquesta afirmació: quan un cos es mou amb velocitat constant, el seu moviment és rectilini.

2> Per què un moviment uniforme no es pot iniciar a par-tir del repòs? Raoneu la resposta.

3> Com es pot representar vectorialment el moviment de la minutera d’un rellotge? Quin tipus de vector és?

4> L’equació del moviment d’un mòbil ésfr (t) 5 (2 t2 1 1)

fi 1 (2 t3 1 5 t)

fj

Si mesurem el desplaçament en m i el temps en s, calculeu:

El desplaçament entre els instants t 5 0 i t 5 2 s.

R: 8fi 1 26

fj m

5> Una partícula descriu la trajectòria donada per l’equa-ció del moviment

fr 5 (4 t2 1 2, t2 1 1)

expressada en unitats del SI. Calculeu el vector de posició per als instants de temps t 5 0 i t 5 3 s, el vector desplaçament entre aquests dos instants i l’equació de la trajectòria.

R: fr (0) 5 (2, 1); fr (3) 5 (38, 10); Dfr 5 (36, 9);

x 1 y 5 — 1 — 4 2

6> Una partícula descriu el moviment donat per l’equa-ció fr 5 (t2 2 5 t, t2 2 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mòdul del vector de posició per a t 5 2 s.

R: 6 m

7> Trobeu l’equació de la trajectòria d’un mòbil el vector de posició del qual està determinat per la funció fr 5 (2 t 1 1)

fi 1 (3 t 2 3)

fj en unitats del SI.

3 9R: y 5 —x 2 — 2 2

8> Trobeu l’equació de la trajectòria del mòbil el vec-tor de posició del qual està determinat per la funció fr 5 (2 t 1 2, 2 t 1 4 t2) en unitats del SI.

R: y 5 x 2 2 3 x 1 2

9> [Curs 01-02] Una partícula segueix una trajectòria cir-cular de 3 m de radi. Si l’angle descrit està determinat per l’equació: w 5 t2 2 1, en què w està expressat en rad i t en s, quina és la longitud de l’arc recorregut entre els instants t 5 1 s i t 5 3 s?

R: 24 m

10> [Curs 03-04] La Lluna descriu una òrbita al voltant de la Terra que correspon pràcticament a un movi-ment circular i uniforme, de període T 5 27,4 dies. La llum procedent de la Lluna triga 1,28 s a arribar a la Terra. Calculeu la velocitat angular i l’acceleració de la Lluna.

Dada: c 5 3 ? 108 m/s.

R: v 5 2,65 ? 1026 rad/s a 5 2,7 ? 1023 rad/s2

11> L’equació del moviment d’un mòbil ésfr (t) 5 (3 t2 2 6 t)

fi 1 (t3 2 4 t2 1 2)

fj

Si mesurem el desplaçament en m i el temps en s, cal-culeu:

a) El desplaçament entre els instants t 5 0 i t 5 2 s.

b) La velocitat mitjana entre aquests dos instants.

c) La velocitat instantània per a t 5 1 s.

R: a) 28fj m; b) 24

fj m/s; c) 25

fj m/s

12> Una partícula descriu el moviment determinat per l’equa ció fr 5 (4 t2 1 2 , t2 1 1), expressada en unitats del SI. Calculeu el vector velocitat per a l’instant de temps t 5 3 s.

R: (24, 6) m/s

13> Una partícula es mou d’acord amb l’equació del movi-ment següent: fr 5 (t2 2 5 t, t2 2 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mòdul de la velocitat per a t 5 2 s.

R: 4,12 m/s

14> L’equació del moviment d’un mòbil ésfr (t) 5 (2 t 2 1 1)

fi 1 (2 t 3 1 5 t)

fj

Si mesurem el desplaçament en m i el temps en s, cal-culeu:

a) L’acceleració mitjana entre t 5 0 i t 5 2 s.

b) L’acceleració instantània per a t 5 1 s.

c) Es tracta d’un moviment uniformement accelerat? Raoneu-ho.

R: a) 4fi 1 12

fj m/s2; b) 4

fi 1 12

fj m/s2

8448170028_ud_01.indd 47 22/1/09 10:33:02


15> Una partícula descriu el moviment determinat per l’equació fr 5 (4 t 2 1 2 , t2 1 1), expressada en unitats del SI. Calculeu el vector acceleració per a l’instant de temps t 5 3 s. Es tracta d’un moviment amb accelera-ció constant? Raoneu-ho.

R: (8, 2) m/s2

16> L’abscissa d’un mòbil que es desplaça sobre l’eix OX és t 3

x 5 — m. Si el temps, t, està determinat en s, calculeu: 2a) La posició i l’acceleració en l’instant en què la seva

velocitat és de 6 m/s.

b) La velocitat i l’acceleració mitjanes entre l’instant t 5 0 i l’instant de temps calculat en l’apartat an-terior.

R: a) 4 m, 6 m/s2; b) 2 m/s, 3 m/s2

17> La velocitat d’una partícula està determinada per la funció fv 5 (2 t 2 2 1, 2t) en unitats del SI. Si en l’instant inicial la partícula es troba en la posició (10, 0) m, calculeu:

a) El vector de posició.

b) L’acceleració. 2 1R: a) 1— t3 2 t 1 10, 2 — t 22 m 3 2

b) (4 t , 21) m/s2

18> L’equació de moviment d’un mòbil és fr (t) 5 (3 t2 2 6 t)

fi 1 (t3 2 4 t2 1 2)

fj

Si mesurem el desplaçament en m i el temps en s, calculeu:

a) L’acceleració mitjana entre t 5 0 i t 5 2 s.

b) L’acceleració instantània per a t 5 1 s.

R: a) 6fi 2 2

fj m/s2; b) 6

fi 2 2

fj m/s2

19> [Curs 98-99] La posició d’un mòbil està determinada per l’equació fr 5 3 t2

fi 2 5 t

fj (en unitats del SI).

Determineu-ne la velocitat i l’acceleració en l’instant t 5 2 s.

R: 12fi 2 5

fj m/s; 6

fi m/s2

20> Una partícula es mou d’acord amb l’equació del movi-ment següent: fr 5 (t2 2 5 t , t2 2 4), expressada en unitats del SI. Calculeu el mòdul de l’acceleració per a t 5 2 s i raoneu si l’acceleració és constant o variable.

R: 2,83 m/s2

21> En un cert instant, la velocitat d’un mòbil és fv 5

5 5fi 2 12

fj, i l’acceleració fa 5 3

fi 2 2

fj en unitats

del SI. Calculeu els components tangencial i normal de l’acceleració en aquest instant.

R: at 5 3 m/s2; an 5 2 m/s2

22> La velocitat d’un mòbil és fv 5 (2 t 2 21, t 2), expressa-da en unitats del SI. Calculeu el mòdul de l’acceleració i els seus components intrínsecs en l’instant de temps t 5 2 s.

R: a 5 8,94 m/s2; at 5 8,93 m/s2; an 5 0,41 m/s2

23> Una partícula descriu una trajectòria determinada pel vector de posició fr 5 (t2, 2 t) en unitats del SI. Quan la partícula passa per la posició (4, 4), determineu:

a) La velocitat.

b) L’acceleració.

c) Els components intrínsecs de l’acceleració.

d) El radi de curvatura.

R: a) (4, 2) m/s; b) (2, 0) m/s2; c) at 5 1,79 m/s2, an 5 0,89 m/s2; d) 22,36 m

24> L’equació del moviment d’un mòbil ésfr (t) 5 (2 t3 1 3, 3 t3 2 2)

expressat en unitats del SI. Calculeu en l’instant de temps t 5 1 s:

a) El mòdul del vector acceleració.

b) El component tangencial de l’acceleració.

c) El component normal de l’acceleració.

R: a) 21,63 m/s2; b) 21,63 m/s2; c) 0

25> Tres ciclistes, A, B i C, descriuen una corba circular de 20 m de radi. Calculeu l’acceleració total de cada ciclis-ta en un instant en què el mòdul de la seva velocitat és de 10 m/s, si sabem que:

a) El ciclista A conserva una velocitat de mòdul cons-tant.

b) El ciclista B accelera uniformement i la seva veloci-tat passa de 9,5 m/s a 10,5 m/s en 0,5 s.

c) El ciclista C frena uniformement d’11 m/s a 9 m/s en un temps de 0,5 s.

R: a) 5 fun m/s2; b) 5 fun 1 2 fut m/s2; c) 5 fun 2 4 fut m/s2

8448170028_ud_01.indd 48 22/1/09 10:33:02

49MECÀNICA 01

26> [Curs 03-04] En un moviment circular de radi r 5 6,5 m la velocitat angular està determinada per v 5 2 1 3 t (en unitats del SI).

a) Es tracta d’un moviment circular uniformement ac-celerat? Per què?

b) Calculeu l’acceleració tangencial i l’acceleració nor-mal del punt mòbil en l’instant t 5 3 s.

c) Determineu la longitud de l’arc recorregut en els dos primers segons del moviment i la velocitat angular al final de la primera volta.

R: b) 19,5 m/s2, 786,5 m/s2; c) 65 m, 6,5 rad/s

27> [Curs 01-02] El mòdul de la velocitat d’un punt mate-rial que descriu una trajectòria circular està determi-nat per l’equació (en unitats del SI) v 5 6 1 10 t. Si el radi de la trajectòria és de 100 m, quina serà l’ac-celeració normal en l’instant t 5 8 s? I l’acceleració tangencial?

R: 0,86 m/s2; 10 m/s2

28> [Curs 98-99] Un mòbil descriu un moviment circular de radi r 5 2 m. L’angle descrit pel mòbil en funció del temps està determinat per l’equació w 5 t3 1 5 t 2 4 (en unitats del SI). Calculeu la velocitat angular i l’ac-celeració tangencial en l’instant t 5 1 s.

R: 8 rad/s; 6 rad/s2

29> Expliqueu les situacions següents tenint en compte les lleis de Newton:

a) Un observador està dins d’un vehicle en marxa a velocitat constant. De sobte, el vehicle frena.

b) Un observador es troba en repòs dins d’un vagó d’una muntanya russa al punt més alt del seu re-corregut. En un moment donat, el vagó inicia el descens sobre els raïls.

c) L’observador anterior està en repòs dins d’un vagó en el punt més baix de la muntanya russa. A conti-nuació, el vagó inicia l’ascens.

30> Sobre una massa m actua una força fF que produeix

una acceleració fa. Si sobre la mateixa massa actuen dues forces perpendiculars de mòduls iguals al mò-dul de

fF, que produeixen una acceleració fa9, quina rela-

ció tenen els mòduls de les acceleracions?

31> Determineu les forces que actuen sobre cada objecte (fig. 1.31) i discutiu la descomposició d’aquestes res-pecte d’algun sistema de coordenades adequat.

�

Fig. 1.31. a) Tir parabòlic. b) Pla inclinat. c) Cos que gira en un pla vertical. d) Pèndol. e) Bola que gira en un con. f) Pla inclinat en què la massa de la corda i la politja són negli gibles.

b)

c) d)

e) f )

a)

32> Tenint en compte el principi d’inèrcia, expliqueu què passa quan circulem amb un automòbil que descriu una corba.

33> En el moment que un pèndol simple passa per la posició més baixa, la tensió i el pes coincideixen? Raoneu-ho.

34> La variació de la quantitat de moviment d’un cos està determinat per: Dfp 5 (Dpx, 30) en unitats del SI. Si el mòdul d’aquest increment val 50 kg ?m/s i el com-ponent segons l’eix X de la corresponent variació de velocitat és 24 m/s, trobeu:

a) El valor del component segons l’eix X de la varia ció de la quantitat de moviment del cos.

b) La massa del cos.

c) El valor mitjà de la força que ha provocat aquesta variació en la quantitat de moviment del cos si ha actuat durant 1 ms.

d) L’impuls mecànic que s’ha aplicat sobre el cos.

R: a) 240 kg ?m/s b) 10 kg c) (24 ? 104

fi 1 3 ? 104

fj ) N

d) (240 fi 1 30

fj ) N ?s

35> Per què en l’expressió més general de les lleis de New-ton s’utilitza la magnitud quantitat de moviment en comptes de l’acceleració?

8448170028_ud_01.indd 49 22/1/09 10:33:03


36> Un cos de 5 kg de massa es mou sobre una trajectòria determinada per l’equació de moviment

fr 5 (t2 2 t)fi 1 (3 t3 1 2)

fj

en què fr i t s’expressen en unitats del SI. Determineu:

a) La força mitjana que actua damunt del cos entre els instants t 5 0 s i t 5 5 s.

b) La força instantània en funció del temps.

R: a) (10 fi 1 225

fj ) N; b) (10

fi 1 90 t

fj ) N

37> Sobre un cos de 2 kg, que es troba sobre un pla in-clinat de 30°, actua una força

fF en una direcció horit-

zontal (fig. 1.32). Si el coeficient de fregament entre el cos i el pla és negligible:

a) Representeu totes les forces que actuen sobre el cos.

b) Calculeu el valor de la força fF perquè el cos es mogui

cap a la part superior del pla amb velocitat cons-tant.

c) Si el coeficient de fregament entre el cos i el pla és de 0,3, com canviarien els apartats anteriors?

��

�

Fig. 1.32

R: b) 11,3 N; c) 20,8 N

38> Observeu el sistema representat a la figura 1.33. Cal-culeu la tensió i l’acceleració amb què es mou el sistema, si el mòdul de la força

fF val 200 N, la massa de

cada bloc és de 20 kg i el coeficient de fregament és de 0,2 per a tots dos cossos.

��

��

�

Fig. 1.33

R: T 5 142,97 N; a 5 0,55 m/s2

39> En el sistema de la figura 1.34 les masses són mA 5 1 kg, mB 5 3 kg i mC 5 6 kg, mentre que el coe-ficient de fregament entre el cos A i B i el terra és de 0,1. Calculeu les tensions i l’acceleració del sistema.

� �

�

Fig. 1.34

R: a 5 5,49 m/s2; T1 5 25,86 N; T2 5 6,47 N

40> Una molla de constant recuperadora 100 N/m i longitud natural 1 m està lligada al sostre d’un ascensor. Si pen-gem de l’extrem lliure de la molla un cos de massa m 5 5 2 kg, quina és la longitud de la molla quan:

a) L’ascensor puja amb una acceleració igual a 1 m/s2 en el sentit del moviment?

b) L’ascensor puja a una velocitat constant?

R: a) 1,22 m; b) 1,20 m

41> En el sistema representat a la figura 1.35 cada cos té una massa de 3 kg. Negligim la massa de la politja, la massa de les cordes i el fregament. Trobeu:

a) L’acceleració del sistema.

b) La tensió de les cordes que uneixen els blocs.

Fig. 1.35

R: a) 3,27 m/s2; b) 19,6 N; 39,2 N

8448170028_ud_01.indd 50 22/1/09 10:33:05

51MECÀNICA 01

42> Un extrem d’un fil que passa per la gorja d’una petita politja fixa està unit a un cos de massa 4 kg que llisca per damunt d’un pla inclinat de 30°, amb un coeficient de fregament cinètic de 0,2. De l’altre extrem del fil penja una massa d’1 kg. Calculeu:

a) Cap a on es mouran els cossos?

b) Quina és l’acceleració dels cossos i la tensió de la corda?

R: b) 0,6 m/s2; 10,4 N

43> [Curs 00-01] Una massa M1 5 10 kg és a l’interior d’una caixa de massa M2 5 30 kg. El conjunt està lligat a un cos de massa M3 5 100 kg mitjançant una corda i una politja de masses negligibles, tal com es veu a la figu-ra 1.36. Es deixa anar el sistema, que inicialment està en repòs, i observem que s’ha desplaçat 10 m durant els primers 4 s. Calculeu:

a) L’acceleració del sistema i el coeficient de fricció dinàmic m entre M3 i la superfície horitzontal.

b) La tensió de la corda.

c) La força normal que la superfície inferior (terra) de M2 fa sobre M1.

��

�

��

��

Fig. 1.36

R: a) 1,25 m/s2, 0,22; b) 342 N; c) 85,5 N

44> [Curs 02-03] Tres cossos iguals de massa M 5 20 kg cadascun estan en contacte sobre una superfície ho-ritzontal, tal com es veu a la figura. El sistema es mou per acció d’una força horitzontal de mòdul F.

� � � �

Fig. 1.37

a) Suposeu que el fregament entre els cossos i la su-perfície és negligible, i que la força de contacte en-tre el cos B i el cos C val 60 N. Calculeu l’acceleració del sistema.

b) En les condicions de l’apartat anterior, calculeu el valor de F i el valor de la força de contacte entre els cossos A i B.

c) Suposeu que el coeficient de fricció entre els cos sos i la superfície horitzontal és m 5 0,2. Cal culeu el valor de F perquè el sistema tingui una acceleració de 2 m/s2.

Considereu g 5 10 m/s2.

R: a) 3 m/s2; b) 180 N, 120 N; c) 240 N

45> En el sistema de la figura 1.38 les masses A i B valen 10 kg i 8 kg, respectivament, mentre que el coefi cient de fregament estàtic entre la massa A i el pla inclinat és de 0,2. Determineu la massa mínima que ha de tenir C perquè el sistema no es mogui, considerant que entre el cos C i el cos A hi ha un fregament molt gran.

��

�

�

�

Fig. 1.38

R: 1,88 kg

46> [Curs 00-01] En el sistema de la figura la massa de la cabina (A) val MA 5 200 kg i la de la cabina (B) val MB 5 300 kg. Dins de cadascuna hi ha una massa M 5 5 50 kg. Suposant negligibles les masses del cable i de les politges i els efectes del fregament, calculeu:

a) L’acceleració amb què es mou el sistema.

b) La tensió del cable.

c) La força de contacte entre cada una de les masses M de 50 kg i la cabina respectiva

Fig. 1.39

� ��

��

R: a) 1,63 m/s2; b) 2 858 N; c) 409 N

47> [Curs 02-03] El sistema de la figura 1.40, inicialment en repòs, es posa en moviment sota l’acció de la força F, de mòdul 1 370 N. A l’interior de la cabina, de massa m2 5 100 kg, hi ha una maleta de massa m3 5 10 kg. El coeficient de fregament entre la massa m1 i el terra ho-

8448170028_ud_01.indd 51 22/1/09 10:33:07


ritzontal és m 5 0,2. La massa m1 5 30 kg. Les masses de la politja i de la corda són negligibles.

Calculeu:

a) L’acceleració del sistema i la tensió de la corda.

b) La força de contacte entre la massa m3 i el terra de la cabina.


��

�

�

�

��

��

��

Fig. 1.40

R: a) 1,5 m/s2, 1 265 N; b) 115 N

48> Les forces que actuen sobre un cos quan descriu un moviment circular uniforme, efectuen cap treball? Rao- neu-ho.

49> [Curs 05-06] Una partícula descriu un moviment para-bòlic en les proximitats de la superfície de la Terra.

Es conserva:a) L’energia cinètica de la partícula.b) La quantitat de moviment de la partícula.c) L’energia mecànica de la partícula.

En el punt més alt de la trajectòria de la partícula, es compleix que:a) L’acceleració normal de la partícula és nul.la.b) L’acceleració tangencial de la partícula és nul.la.c) La velocitat de la partícula és nul.la.

50> Una partícula descriu un moviment circular de radi 50 cm de manera que l’angle girat varia amb el temps segons l’equació w 5 4 t 2 t3, en unitats del SI.A. L’acceleració tangencial de la partícula en t 5 1 s

val:a) 23 m/s2

b) 0 m/s2

c) 3 m/s2

B. L’acceleració normal de la partícula en t 5 1 s val:a) –0,5 m/s2

b) 0 m/s2

c) 0,5 m/s2

C. L’energia cinètica de la partícula:

a) Es manté constant.

b) Augmenta amb el temps.

c) Primer disminueix i després augmenta amb el temps.

51> Una partícula de massa m lligada a l’extrem d’una corda de longitud l gira en un cercle vertical sense que hi ac-tuï cap força de fricció, tal com es veu a la figura 1.41.

�

�

Fig. 1.41Escolliu l’afirmació correcta:

a) La velocitat en el punt A és la ma-teixa que en el punt B.

b) La tensió en el punt més baix és igual a mg.

c) La tensió en el punt A excedeix en 6 mg la tensió en el punt B.

d) El treball realitzat pel pes quan el cos es desplaça de A a B val 2 mgl.

52> Un cos de 3 kg de massa es mou al llarg d’una trajectò-ria determinada per l’equació de moviment:

fr 5 (3 t2 fi 2 2 t

fj ) m

Calculeu la velocitat, la quantitat de moviment i el treball efectuat per la força que actua sobre aquest cos entre els instants de temps t 5 1 s i t 5 2 s.

R: fv 5 6 t fi 2 2

fj ; fp 5 18 t

fi 2 6

fj ; W 5 162 J

53> Un cos es mou per l’acció de la força fF 5 x

fi 1 x

fj .

Calculeu el treball exercit per la força en traslladar el cos des del punt A (0, 4) fins al punt B (5, 8), si el desplaçament té lloc:

a) Pel camí 1 (fig. 1.42).

b) Pel camí 2 (fig. 1.42).

Raoneu si la força fF és conservativa.

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Fig. 1.42

R: a) 22,5 J; b) 32,5 J

8448170028_ud_01.indd 52 22/1/09 10:33:09

A.

B.

53MECÀNICA 01

54> La força que actua sobre un projectil de 2 g de mas-sa i 50 cm de longitud, mentre aquest és al canó, ladóna l’expressió

fF 5 180 2 360 x. Determineu la ve-

locitat i l’energia cinètica a la sortida del canó.

R: 212,13 m/s; 45 J

55> La força amb què els gasos procedents de l’explosió de la càrrega de combustió actuen en l’interior d’un fusell sobre un projectil de 5 g de massa la dóna l’ex pressió F 5 400 2 400 x. Si el projectil surt del fusell amb una velocitat de 200 m/s, calculeu l’energia cinètica en l’instant de sortir del fusell i la longitud del fusell.

R: 100 J; 0,3 m; 1,7 m

56> Un cos de 50 g lligat a l’extrem d’un fil de 2 m descriu una trajectòria circular vertical. La velocitat al punt més alt de la trajectòria és de 10 m/s.

a) Dibuixeu totes les forces i calculeu la tensió del fil en el punt més alt.

b) Calculeu la velocitat del cos i la tensió del fil en el punt més baix.

c) Calculeu el treball fet per la tensió del fil durant una volta.

R: a) 2,01 N; b) 13,4 m/s; 4,95 N; c) 0

57> Es fa girar en un pla vertical un cos que està enganxat a un fil d’1 m de longitud. Calculeu quina ha de ser la velocitat horitzontal que s’ha de comunicar a la corda en la posició més alta perquè la tensió de la corda en la posició més baixa sigui 10 vegades més gran que el pes.

R: 7 m/s

58> Una molla de constant elàstica 125 N/m que és so-bre un pla horitzontal es comprimeix 50 cm amb un cos de 200 g de massa, de manera que dispara aquest cos (fig. 1.43). Calculeu l’al tura a què arriba el cos en el pla inclinat, si entre el cos i la superfície no hi actua el fregament.

Fig. 1.43

R: 7,97 m

59> [Curs 04-05] Un gronxador està format per una cadira d’1,5 kg de massa i una cadena d’1,80 m de longitud i massa negligible. Una nena de 20 kg s’hi gronxa. En el punt més alt de l’oscil.lació, la cadena forma un angle de 40° amb la vertical. Determineu:

a) L’acceleració del gronxador i la tensió de la cadena en el punt més alt de l’oscil.lació.

b) La velocitat del gronxador en el punt més baix de l’oscil.lació.

c) La tensió màxima de la cadena.

R: a) a 5 6,3 m/s2; T 5 162 N; b) 2,9 m/s; c) 310 N

60> [Curs 98-99] Una bola de 500 g que es deixa caure des d’una altura de 3 m sobre una superfície de sorra penetra 15 cm en la sorra abans d’aturar-se. Determi-neu la força, suposada constant, de la sorra sobre la bola.

R: 2102,9 N

61> Un cos llisca per un pla inclinat que forma un angle de 30° amb l’horitzontal i continua movent-se per un pla horitzontal fins a aturar-se. Determineu el coeficient de fregament dels plans, si la distància que ha recor-regut el cos pel pla inclinat és la mateixa que pel pla horitzontal.

R: 0,27

62> [Curs 99-00] Volem fer pujar amb velocitat constant un cos de massa 10 kg per un pla inclinat i per fer-ho li apliquem una força F. El coeficient de fregament dinàmic entre el cos i el pla inclinat és m 5 0,3.

��

�

�

Fig. 1.44

a) Quant ha de valer el mòdul de F si la seva direcció és paral.lela al pla inclinat (a 5 0)?

b) En aquest cas, quant varien l’energia cinètica i l’energia potencial gravitatòria del cos si el cos es desplaça una distància de 5 m pel pla inclinat? Quin treball fan F i la força de fregament en aquest tra-jecte?

c) En el cas que a fos com es representa a la figura, raoneu si la força de fregament seria més gran o més petita que per a a 5 0.

R: a) 74,5 N; b) DEc 5 0; DEp 5 245 J; WF 5 372,5 J; WFf

5 2127,3 J

8448170028_ud_01.indd 53 22/1/09 10:33:10


63> [Curs 00-01] Un objecte puntual baixa sense fricció per la rampa representada a la figura 1.45. En arribar al punt A té una velocitat horitzontal v 5 5 m/s i després vola fins a terra.a) Quant val h?b) A quina distància d de la paret vertical arriba l’ob-

jecte?c) Determineu el mòdul de la velocitat de l’objecte

quan és a 1 m de terra. Quin angle forma aquesta velocitat amb la vertical?

��

�

�

�

Fig. 1.45

R: a) 1,28 m; b) 3,7 m; c) m/s; 310,7°

64> Un cos llisca sense fregament des d’una altura de 60 m i efectua un ris de 20 m de radi (fig. 1.46). Cal-culeu la força que fa la superfície sobre el cos en els punts A, B i C.

�

��

�

��

��

Fig. 1.46

R: A: 7 mg; B: mg; C: 4 mg

65> [Curs 98-99] Un esquiador de 80 kg que surt des de A arriba a B amb una velocitat de 30 m/s, i quan passa per C la seva velocitat és de 23 m/s. La distància entre B i C és de 30 m.

��

�

�

��

�

Fig. 1.47

a) Quant han variat les energies cinètica i potencial de l’esquiador en anar des de B fins a C?

b) Quanta energia s’ha perdut per fregament en el tram recte BC? Quant val la força de fregament, suposada constant, en aquest tram?

c) Si la pista s’acaba a C i l’esquiador fa un salt para-bòlic, quina és la màxima altura h que assolirà, me-surada sobre el nivell de C (vegeu la figura 1.47)? Suposeu negligibles els efectes del fregament amb l’aire.

R: a) DEc 5 214 840 J; D Ep 5 11 760 J;

b) DE 5 23 080 J; Ff 5 2102,67 N;

c) 11,48 m

66> [Curs 98-99] Un esquiador de 70 kg de massa llisca per un trampolí de 200 m de longitud. Durant aquest trajecte, l’esquiador perd 90 m d’altura i sobre ell actua una força de fregament amb la neu que supo-sem constant i de valor 100 N. La velocitat de l’es-quiador just quan perd el contacte amb el trampolí i comença el vol forma un angle de 20° respecte de l’horitzontal. L’esquiador aconsegueix fer un salt de 120 m de longitud. Suposant negligible el fregament entre l’esquiador i l’aire, calculeu:

�

��

��

��

��

�

Fig. 1.48

a) L’energia que perd per fregament l’esquiador en el recorregut pel trampolí.

b) El mòdul i els components del vector velocitat fv.c) El desnivell y0 que hi ha entre el punt A, on l’es-

quiador ha començat el vol, i la pista a què arriba.

R: a) 220 000 J

b) 34,53 m/s; (32,45 fi 1 11,81

fj ) m/s;

c) 23,4 m

67> Per dos plans inclinats d’igual alçada però de diferents angles d’inclinació llisquen sense fregament dos cossos que parteixen del repòs des de la part superior. Calcu-leu les velocitats respectives quan arriben a la base del pla inclinat:a) Aplicant les lleis de Newton.b) Aplicant el principi de conservació de l’energia.

8448170028_ud_01.indd 54 22/1/09 10:33:12

7,66

55MECÀNICA 01

68> Deixem anar un pèndol simple des de la posició horitzontal (fig. 1.49). Demostreu que la ten sió del fil, en passar per la posició vertical, és tres vegades el pes del cos.

Fig. 1.49

69> Un avió de massa M fa un ris (loop) de manera que segueix una trajec-tòria circular i vertical de radi R. Quin treball fa la força pes quan l’avió va del punt més alt B al punt més baix A de la trajectòria? Quin treball fa aquesta força en fer una volta completa de A a A?

�

�

Fig. 1.50

70> [Curs 99-00] Un jugador de futbol, que està parat amb la pilota als peus, passa la pilota a un company que es troba 15 m davant seu i que s’està allunyant amb velocitat constant en la direcció de la recta que uneix els dos jugadors. La pilota té una massa de 400 g i surt dels peus del primer jugador amb una velocitat de 20 m/s, formant un angle de 20° respecte del terra. Calculeu:

a) La màxima altura assolida per la pilota en la seva trajectòria.

b) La velocitat que ha de dur el segon jugador perquè la pilota caigui als seus peus just quan aquesta arri-bi al terra.

c) Els components horitzontal i vertical de l’impuls mecànic que ha comunicat a la pilota el primer ju-gador.

R: a) 2,35 m; b) 8,1 m/s; c) (7,52, 2,72) Ns

71> [Curs 01-02] Un cotxe de massa 1 500 kg arrossega un remolc de 500 kg. Inicialment el cotxe està aturat en un se màfor i arrenca amb una acceleració constant de 2 m/s2. La carretera sobre la qual circula és ascendent i té una inclinació constant de 10°. Suposant que les forces de fricció sobre el cotxe i sobre el remolc són negligibles:

a) Feu un esquema amb totes les forces que actuen sobre el remolc. Per a cadascuna d’aquestes, indi-queu sobre quin cos s’aplicarà la força de reacció corresponent.

b) Calculeu la força de tracció que fa el motor del cotxe i la força amb què el cotxe estira el remolc.

c) Quina haurà estat la variació de l’energia mecànica del cotxe en un recorregut de 25 m a partir del punt d’arrencada?

R: b) 7 403,5 N; 1 851 N; c) 1,85 ? 105 J

72> Un cos de 3 kg de massa cau des d’una certa altura amb una velocitat inicial de 2 m/s dirigida verticalment cap avall. Calculeu el treball fet durant 10 s contra les forces de resistència que suposem constants, si se sap que al final d’aquest temps la velocitat del cos és de 50 m/s.

R: 3 900 J

73> [Curs 99-00] Un cos de 200 g lligat a un cor-dill de massa negligible i 60 cm de llargada gira en un pla vertical. En el punt més alt de la seva trajectòria (A) el cos té una velocitat de 3 m/s:

a) Feu un esquema de les forces degudes a la corda i al pes que actuen sobre el cos quan la

corda està horitzontal i quan està vertical (quan el cos passa per A, per B, per C i per D).

b) Calculeu la tensió de la corda quan el cos passa per A.c) Quina és la velocitat del cos quan passa pel punt

més baix (C)?

R: b) 1,04 N; c) 5,7 m/s

74> Un bloc de 5 kg és llançat cap amunt per un pla incli-nat de 30° amb una velocitat de 10 m/s. Si recorre una distància de 6 m sobre la superfície inclinada del pla i després llisca cap avall fins al punt de partida, calculeu la força de fregament que actua sobre el bloc i la velo-citat amb què el bloc torna a la posició inicial.

R: 17,17 N; 4,19 m/s

75> Deixem caure un cos de 50 g sobre una molla que té una constant elàstica de 200 N/m. Si la distància entre el cos i la molla és de 10 m (fig. 1.52), calculeu la deformació de la molla.

��

��

Fig. 1.52

R: 0,22 m

�

�

��

Fig. 1.51

8448170028_ud_01.indd 55 22/1/09 10:33:13


76> [Curs 99-00] Sobre una massa M 5 5 kg, que es troba en repòs a la base del pla inclinat de la figura 1.53, s’aplica una força horitzontal F de mòdul 50 N. En arri-bar a l’extrem superior E, situat a una altura H 5 10 m respecte del terra horitzontal, la força F deixa d’ac tuar. Si el coeficient de fricció durant el moviment entre la massa i el pla inclinat val m 5 0,2 i l’angle del pla amb l’horitzontal b 5 30°, calculeu:

a) La força normal i la força de fregament entre la massa i el pla inclinat.

b) La velocitat de la massa en arribar a l’extrem supe-rior E.

c) L’energia cinètica amb què la massa arribarà al ter-ra. Quin tipus de trajectòria seguirà la massa des-prés de passar per E?

��

�

�

�

Fig. 1.53

R: a) N 5 67,4 N; Ff 5 13,5 N; b) 6,51 m/s; c) 596 J

77> [Curs 03-04] Una vagoneta que pesa 500 N es tro-ba inicialment en repòs al capdamunt d’una rampa de 20 m de llargada, 30° d’inclinació amb l’horit-zontal i coeficient de fricció m 5 0,2. La vagoneta es deixa lliure i al final de la rampa continua el seu moviment sobre un pla horitzontal sense fricció, on topa amb una molla de constant recuperadora k 5 7 ? 104 N/m. Calculeu:

a) La velocitat amb què la vagoneta arriba al final de la rampa.

b) El temps que la vagoneta triga a arribar al final de la rampa.

c) La deformació màxima que es produeix en la mo-lla, si no s’ha perdut energia mecànica en la col.lisió.


��

��

��

Fig. 1.54

R: a) 11,43 m/s; b) 3,5 s; c) 0,3 m

78> [Curs 00-01] Una massa de 500 g penja d’un fil de 2 m de longitud. Es deixa anar la massa quan el fil forma un angle a amb la vertical, i quan passa pel punt més baix la seva velocitat és de 3 m/s. En aquest instant es trenca la corda i la massa m continua movent-se sobre el pla horitzontal fins a topar amb una molla. La com-pressió màxima de la molla deguda al xoc amb la massa m és de 40 cm. Es demana:

�

�

�

�� Fig. 1.55

a) La tensió de la corda just abans de trencar-se.

b) El valor de l’angle a.

c) La constant recuperadora (k) de la molla.

Considereu negligible el fregament entre la massa i el pla.

R: a) 7,15 N; b) 39,6°; c) 28,1 N/m

79> [Curs 04-05] Deixem caure una massa puntual de 2 kg des de l’extrem A de la guia representada a la figu-ra 1.56, situat a 3 m de terra. L’altre extrem de la guia descriu un cercle de radi 1 m, en un pla vertical.

Suposeu que no hi ha fregament a la guia, i deter-mineu:

a) La velocitat de la partícula en el punt B.

b) La força que la guia fa sobre la partícula en el punt B.

c) El mòdul de l’acceleració total de la partícula en el punt B.

��

��

�

Fig. 1.56

R: a) 6,3 m/s; b) 78 N; c) 39,7 m/s2

8448170028_ud_01.indd 56 22/1/09 10:33:15

57MECÀNICA 01

80> Una anella de radi R està fixada verticalment en el ter-ra. De la part de dalt llisca sense fregament un cos. A quina distància del punt fixat amb el terra cau el cos?

R: 1,46 R

81> [Curs 00-01] Un canó de 5 000 kg dispara un pro-jectil de 40 kg amb una velocitat inicial horitzontal de 300 m/s des d’un penya-segat a una altura de 60 m sobre el nivell del mar. El canó està inicialment en repòs sobre una plataforma amb m 5 0,2. Calculeu:

a) La velocitat del canó immediatament després que surti el projectil.

b) L’espai recorregut pel canó sobre la plataforma com a conseqüència del tret.

c) L’energia cinètica amb què arriba el projectil a l’ai-gua.

Fig. 1.57

R: a) 22,4 m/s; b) 1,47 m; c) 1,82 ? 106 J

82> [Curs 03-04] Una partícula de massa 0,1 kg, lligada a l’extrem d’un fil, descriu un moviment circular en un pla vertical. Quan el fil es troba en posició horitzontal, la seva tensió és 10 N. Calculeu per a aquesta posició:

a) L’acceleració centrípeta de la partícula.

b) L’acceleració tangencial de la partícula.

R: a) 100 m/s2; b) 10 m/s2

83> [Curs 04-05] La figura representa una guia circular en un pla vertical. La bola m1, inicialment en repòs en

el punt A, llisca per la guia i xoca elàsticament amb la bola m2, ini cialment en repòs en el punt B. Com a conseqüència del xoc, la bola m1 retrocedeix fins a la posició C. El fregament és negligible.

�

��

��

�

Fig. 1.58

La massa de la bola m2 :

a) És igual que la de la bola m1.

b) És més petita.

c) És més gran.

La quantitat de moviment de la bola m1 després del xoc:

a) És la mateixa que abans del xoc.

b) És diferent que abans del xoc.

c) Es manté constant.

La quantitat de moviment del sistema constituït per les dues boles:

a) És la mateixa en tot moment des que m1 ha sor-tit de A.

b) Varia per efecte del xoc.

c) No varia per efecte del xoc.

. En tot el procés es manté constant:

a) L’energia cinètica del sistema.

b) L’energia mecànica del sistema.

c) L’energia mecànica de m1.

84> [Curs 02-03] Considereu el sistema de la figura. La massa m1 5 1,5 kg es troba inicialment en repòs, en contacte amb l’extrem d’una molla ideal de constant re-cuperadora k 5 500 N/m, comprimida 30 cm. La massa m2 5 1,5 kg també es troba inicialment en repòs, a una distància de 2 m de m1, a la part inferior d’una pista se-micircular de radi R 5 0,25 m. Al tram horitzontal que separa m1 de m2, el coeficient de fregament és m 5 0,2, mentre que a la pista semicircular el fregament és ne-gligible.

��

��

�

��

Fig. 1.59

Quan la molla es deixa anar, es descomprimeix i im-pulsa la massa m1, que se separa de la molla i xoca elàsticament amb m2. Calculeu:

a) La velocitat de m1 un instant abans d’entrar en contacte amb m2.

b) Les velocitats de les dues masses un instant des-prés d’entrar en contacte.

c) L’acceleració centrípeta de m2 quan arriba a la part més alta de la pista circular (punt B).

R: a) 4,7 m/s; b) 0 m/s i 4,7 m/s; c) 49,12 m/s2

8448170028_ud_01.indd 57 22/1/09 10:33:17

A.

B.

C.

D


Pràctica

Estudi de la força de fregament

Objectiu

Comprovar que la força de fregament depèn de la naturalesa de les superfícies en contacte i que és independent de l’àrea.

Material

– Tauló

– Regle

– Un objecte en forma de prisma rectangular

– Objectes amb la mateixa massa de diferents materials (fusta, vidre, alumini, cartró i ceràmica)

Procediment

Relació entre la força de fregament i l’àrea de les superfícies de contacte

1. Col.loqueu el prisma rectangular damunt del tauló per una de les cares.

2. Inclineu el tauló fins que l’objecte comenci a lliscar-hi (fig. 1.60).

3. Anoteu l’altura en què l’objecte comença a lliscar (tau-la 1.8).

4. Repetiu tots els passos quatre vegades.

5. Col.loqueu el prisma per una segona cara i repetiu tot el procés des del punt 1 fins al punt 4.

6. Col.loqueu el prisma per una tercera cara i repetiu tot el procés des del punt 1 fins al punt 4.

7. Completeu la taula 1.8.

Relació entre la força de fregament i la naturalesa de la superfície

1. Col.loqueu l’objecte d’alumini damunt del tauló i aixequeu el tauló fins que l’objecte comenci a lliscar.

2. Anoteu l’altura a la qual l’objecte comença a lliscar (tau-la 1.9).

3. Repetiu tots els passos quatre vegades.

4. Repetiu els passos de l’1 al 3 amb l’objecte de fusta.

5. Repetiu els passos de l’1 al 3 amb l’objecte de vidre.

6. Repetiu els passos de l’1 al 3 amb l’objecte de cartró.

7. Repetiu els passos de l’1 al 3 amb l’objecte de ceràmica.

8. Completeu la taula 1.9.

Anàlisi de resultats

1. Tenint en compte que m 5 tg a, calculeu el coeficient de fregament estàtic dels diferents objectes. Anoteu-los a la taula.

2. El coeficient de fregament depèn de la massa del cos? Raoneu-ho.

3. La força de fregament depèn de la massa del cos? Raoneu-ho.

4. El coeficient de fregament depèn de les superfícies de contacte? Raoneu-ho.

5. El coeficient de fregament depèn de la naturalesa de les superfícies en contacte? Raoneu-ho.

6. Quina és la superfície més rugosa? I la superfície més llisa?

Altura des d’on comença a lliscar

h1 h2 h3 h4 hmitjana

Cara 1

Cara 2

Cara 3

Taula 1.8

Altura des d’on comença a lliscar Coeficient de

fregamenth1 h2 h3 h4 hmitjana

Alumini

Fusta

Vidre

Cartró

Ceràmica

Taula 1.9

�

��

��

�

��

�

�

�

�

��

��

�

��

�

�

�

Fig. 1.60

8448170028_ud_01.indd 58 22/1/09 10:33:19

Documents

BLOC 1 - McGraw-Hill Education · 2017-11-21 · MECÀNICA 01 31 j 1.3 Vector velocitat Recordem ara les expressions de la velocitat que vàrem introduir a primer de batxillerat: