B¶l¼m 6 Tahmin

  • View
    37

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

OLASILIK ( 6B MHMAU102). Bölüm 6 Tahmin. Güven Aralığı. Bu bölümün içeriği : Pop ü la sy on (Ana Kütle) Ortalaması , μ için Güven Aralıkları Pop ü la sy on Var y an sı σ 2 bilindiğinde Pop ü la sy on Var y an sı σ 2 bilinmediğinde - PowerPoint PPT Presentation

Text of B¶l¼m 6 Tahmin

Statistics for Business and Economics, 7/e

OLASILIK (6BMHMAU102)Blm 6

TahminYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-1Gven AralBu blmn ierii:Poplasyon (Ana Ktle) Ortalamas, iin Gven AralklarPoplasyon Varyans 2 bilindiindePoplasyon Varyans 2 bilinmediindePoplasyon (Ana Ktle) orants, iin Gven Aralklar (byk rnekler)Bir normal poplasyonun varyans iin Gven Aral Tahminleri

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-2TanmlarBir ana ktle parametresinin tahmin edicisirneklem bilgilerine dayanan rassal bir deikendir. bu bilinmeyen parametreye bir yaklak deer salamaktadr

Bu rassal deikenin spesifik bir deeri tahmin olarak anlmaktadr

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-3Nokta ve Aralk TahminleriBir nokta tahmini tek bir saydr, bir gven aral deikenlik hakknda ilave bilgi vermektedirNokta TahminiAlt Gven Snrst Gven SnrGven Aral geniliiYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-4Nokta TahminleriBir Ana ktle (poplasyon) Parametresini

Bir rneklem statistii ile tahmin ederiz(bir Nokta Tahmini)OrtalamaOrantP x

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-5SapmaszlkEer rneklem dalmnn beklenen deeri veya ortalamas ise parametresinin bir sapmasz tahmin edicisi olarak tanmlanmaktadr,

rnekler: rneklem ortalamas nn bir sapmasz tahmin edicisidirrneklem varyans s2 2 bir sapmasz tahmin edicisidirrneklem orants Pnin bir sapmasz tahmin edicisidir

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-6

Sapmaszlk sapmasz bir tahmin edicidir, sapmaldr:

(devam)Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-7Sapma nn bir tahmin edicisi olmak zere

da sapma onun ortalamas ve arasndaki fark olarak tanmlanmaktadr ve aadaki gibi ifade edilir

Sapmasz bir tahmin edicinin sapmas 0dr

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-8En Etkin Tahmin Edicinn birka sapmasz tahmin edicilerinin olduunu varsaynz. nn en etkin tahmin edicisi veya minimum varyans sapmasz tahmin edicisi en kk varyansl tahmin edicisidir ve nn ayn gzlem saysna dayanan iki sapmasz tahmin edicisi olmak zere, bu durumda Eer ise in ye gre daha etkin olduu sylenmektedir

in ye gre greli etkinlii, onlarn varyanslarnn orandr:

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-9Gven AralklarBir ana ktle parametresinin nokta tahmini ile ne kadarlk bir belirsizlik ilikilidir?

Bir aralk tahmini bir nokta tahminine gre bir ana ktle karakteristii hakknda daha fazla bilgi temin etmektedir

Byle aralk tahminleri gven aralklar olarak anlmaktadrYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-10Gven Aral TahminiBir aralk bir deerler dizisi vermektedir:rneklem istatistiindeki rneklemden rnekleme varyasyonunu dikkate almaktadr1 rneklemden olan gzleme dayanmaktadrBilinmeyen ana ktle parametrelerine yakn olma hakknda bilgi vermektedirGven seviyesi olarak ifade edilirasla %100 gvenli olamazYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-11Gven Aral ve Gven SeviyesiEer P(a < < b) = 1 - ise o halde aralk adan bye nn %100(1 - ) gven aral olarak anlmaktadr.

(1 - ) de araln gven seviyesi olarak anlmaktadr ( 0 ve 1 arasndadr)

Ana ktlenin tekrarlanan rneklemlerinde, parametresinin gerek deeri yolla hesaplanan aralnda %100(1 - )i iinde yer alabilmektedir. Bu yolla hesaplanm olan gven %100(1 - ) ile a < < b olarak yazlmaktadr Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-12Tahmin Sreci(ortalama, , bilinmiyor)Ana ktleRastgele rneklemOrtalama X = 50rneklemnn 40 & 60 arasnda olduundan %95 eminim.Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-13Gven Seviyesi, (1-)Gven Seviyesi = 95% olarak varsaynz (1 - ) = 0,95 olarak da yazlabilirBir greli frekans yorumu:Tekrarlayan rneklerden oluturulacak tm gven aralklarnn %95i bilinmeyen gerek parametreyi ierecektirBir spesifik aralk gerek parametreyi ierebilir veya iermeyebilirSpesifik bir arala hibir olaslk dahil deildir(devam)Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-14Genel FormlTm gven aralklar iin genel forml:

Gvenilirlik faktrnn deeri arzu edilen gven seviyesine baldrNokta Tahmini (Gvenilirlik Faktr)(Standart Hata)Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-15Gven AralklarAna ktleOrtalamas 2 bilinmiyorGven AralklarAna ktleOrants 2 biliniyorYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-16Ana ktle Varyans iin Gven Aral(2 Biliniyor) VarsaymlarAna ktle varyans 2 biliniyorAna ktle normal dalmEer ana ktle normal deilse, byk rnekler kullannzGven Aral tahmini:

(burada z/2 her bir kuyruktaki /2 olasl iin normal dalmdr)

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-17Hata PayGven aral

olarak da yazlabilirburada HP hata pay olarak anlmaktadr

Aralk genilii, w, hata paynn iki katdr

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-18Hata Paynn AzaltlasHata Paynn azaltlmas iin

Ana ktle standart sapmas azaltlabilir ()

rnek bykl artrlr (n)

Gven seviyesi azaltlr, (1 )

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-19Gvenilirlik Faktr z/2nin Bulunmas%95lik bir Gven Araln ele alalm:z = -1,96z = 1,96

Nokta TahminiAlt Gven Snrst Gven SnrZ birimler:X birimler:0z0,025 = 1,96i standart normal dalm tablosundan bulunuzYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-20Yaygn Gven SeviyeleriYaygn olarak kullanlan gven seviyeleri %90, %95, ve %99dur. Gven SeviyesiGven Katsays, Z/2 deeri1,281,6451,962,332,583,083,270,800,900,950,980,990,9980,999%80%90%95%98%99%99.8%99.9

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-21Aralklar ve Gven Seviyesi

Gven AralklarAralklar

den

e uzanmaktadr

Oluturulan %100(1-)lk aralklar y iermektedir; %100() ise iermez.Ortalamann rneklem Dalm

xx1x2

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-22rnekByk bir ana ktleden seilen 11 devre 2,20 ohmluk bir ortalama dirence sahiptir. Gemiteki bilgilerden ana ktlenin standart sapmasnn 0,35 ohm olduu bilinmektedir.

Ana ktlenin gerek ortalamasn %95lik bir gven aralnda belirleyiniz.

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-23rnekByk bir ana ktleden seilen 11 devre 2,20 ohmluk bir ortalama dirence sahiptir. Gemiteki bilgilerden ana ktlenin standart sapmasnn 0,35 ohm olduu bilinmektedir. zm:

(devam)

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-24YorumGerek ortalama direncin 1,9932 ile 2,4068 ohm arasnda olduundan %95 eminizGerek ortalamann bu aralkta olmamasnn da mmkn olmasna ramen bu ekilde oluturulmu olan %95lik aralklar gerek ortalamay ierecektir

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-25Gven AralklarAna Ktle Ortalamas 2 bilinmiyorGven AralklarAna KtleOrants 2 biliniyorYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-26Ana KtleVaryansStudent t Dalmn gzlemlik bir rassal rneklemi ele alalmortalamas x ve standart sapmas s olsun ortalamas olan bir normal dalmdan seilmi olsun

O halde deiken

Serbestlik derecesi (n 1) olan Student t dalmn takip

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-27 iin Gven Aral(2 Bilinmiyor) Eer ana ktle standart sapmas biliniyorsa, rneklem standart sapmas, si yerine koyabiliriz. Bu durum yeni bir belirsizlik ortaya koyar, nk s rnekten rnee deikenlik gstermektedirBu yzden normal dalm yerine t dalmn kullanmaktayzYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-28 iin Gven Aral(2 Bilinmiyor) VarsaymlarAna ktle varyans 2 bilinmiyorAna ktle normal dalmEer ana ktle normal deilse, byk rnekler kullannzStudent t Dalmn kullannzGven Aral Tahmini

burada tn-1,/2 n 1 serbestlik derecesine ve her bir kuyrukta /2 alana sahip olan t dalmnn kritik deeri olarak anlmaktadr:

(devam)

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-29Hata PayGven Aral,

olarak da yazlabilmektedir

burada HP Hata Pay olarak da anlmaktadr:

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-30

Student t Dalmt bir dalmlar ailesidirt deeri serbestlik derecesine (s.d.) baldr.rneklem ortalamasndan sonra deime serbestisi olan gzlem says aadaki hesaplanmaktadrs.d. = n - 1Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-31Student t Dalmt0t (sd = 5) t (sd = 13)t-dalmlar an erisi sergilerler ve simetriktirler, fakat daha geni kuyruklara sahiptirStandart Normal(sd= olan t)Dikkat ediniz: t Z (n arttka)Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-32Student t Tablosust Kuyruk Alansd.10.025.05112.706233.182t02,920Tablo ierii t deerlerini ierir olaslk deerlerini iermezrnek: n = 3 sd = n - 1 = 2 = 0,10 /2 =0,05/2 = 0,053.0781.8861.6386.3142.9202.3534.303Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-33t dalm deerleriZ deeri ile karlatrldnda Gven t t t Z Seviyesi (10 s.d.) (20 s.d.) (30 s.d.) ____

0,80 1,372 1,325 1,310 1,282 0,90 1,812 1,725 1,697 1,645 0,95 2,228 2,086 2,042 1,960 0,99 3,169 2,845 2,750 2,576Dikkat: t Z (n arttka)Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-34rnek n = 25 olan bir rastgele rnek x = 50 ve s = 8 deerlerine sahiptir. iin %95lik bir gven aral oluturunuz

s.d.= n 1 = 24, bu yzden

Gven Aral

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-35Gven AralklarAna ktleOrtalama 2 BilinmiyorGven AralklarAna ktleOrants 2 BiliniyorYrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-36Ana ktleVaryans

Ana ktle Orants iin Gven AralAna ktle orants (P) iin bir aralk tahmini rneklem orants ( )nin belirsizlii iin bir tolerans pay ekleyerek hesaplanabilmektedir.

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-37Ana ktle Orants P iin Gven AralEer rneklem bykl yeterince bykse rneklem orantsnn aadaki standart sapma ile yaklak olarak normal olduunu hatrlaynz

Bunu bu rneklem verileri ile tahmin edeceiz:(devam)

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-38Gven Aral U NoktalarPoplasyon orants iin st ve alt gven snrlar aadaki forml ile hesaplanmaktadr

burada z/2 ; istenilen gven seviyesi iin standart normal deeridir ; rneklem orantsn; rneklem byklnP(1P) > 5

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-39rnek100 kiilik rastgele bir rneklem 25inin solak olduunu gstermektedir. Solaklarn gerek orants iin %95lik bir gven aral oluturunuz.

Yrd. Do. Dr. mran GKERBlm-6-40rnek100 kiilik rastgele bir rneklem 25inin solak olduunu gstermektedir. Solaklarn gerek orants iin %95lik bir gven aral oluturunuz.

(devam)

Y