1100101001

1100101001111100

101001

Matematičari i filozofi: Gottfried Wilhelm Leibnitz - algebarizaciji Aristotelove logike. De Morgan i Hamilton

Engleski matematičar i filozof George Boole - osnivač suvremene matematičke logike.

Teorijske postavke algebre logike G. Boole je uveo 1847. godine, a objavljene su u njegovoj knjizi 1854. godine.

Prema Boole struktura našeg logičkog mišljenja je dvoznačna (binarna, odnosno bivalentna).

Svaki naš sud o nekoj pojavi može poprimiti samo jednu od dvije moguće vrijednosti: «točno» ili «netočno», «istinito» ili «lažno», «da» ili «ne», «dobro» ili «loše».

Povijesni razvitak

Sudovi1100101001

1100101001111100

101001

Istinitost nekog suda se označava «1», a neistinitost «0».

Sud predstavlja iskaz koji ima smisla i za njega vrijede princip kontradikcije i princip isključenja trećeg.

Prema principu kontradikcije svaki sud ima najviše jednu osobinu istinitosti ili neistinitosti. To znači da ne postoji sud koji je istovremeno istinit i neistinit.

Princip isključenja trećeg govori o tome kako svaki sud ima jednu od osobina istinitosti ili neistinitosti tj. nema suda koji nije ni istinit ni neistinit.

Prva primjena Booleove algebre1100101001

1100101001111100

101001

1938. godine je Claude Shanon iskoristio postavke Booleove algebre u teoriji komunikacija.

Shanon je pokazao kako se Booleova algebra može korisno primijeniti u analizi mreža sastavljenih od prekidača.

C.Shanon, V.I. Šestakov i A. Nakašima postavili su i razvili matematički aparat za analizu relejno kontaktnih mreža i istraživanje ovisnosti između binarnih veličina karakterističnih za rad digitalnih sustava.

1100101001

1100101001111100

101001

Algebra logike

Algebra logike ili prekidačka algebra (eng. Swithing algebra, njem. Schaltungsalgebra) koristi se za matematičko prikazivanje digitalnih sustava kod kojih se preko odgovarajućih komponenti regulira tijek informacija (npr. uspostavljanje ili prekidanje strujnih krugova).

Kao mediji za prijenos informacija najčešće se koriste el.struja, stlačeni zrak, svjetlost itd.

Booleova algebra u osnovi predstavlja veoma pogodan matematički aparat kojim se veoma jednostavno može izvršiti analitičko predstavljanje automatskih sustava upravljanja izrađenih od logičkih elemenata.

Algebra logike definirana je na dvočlanom skupu {0,1}.

1100101001

1100101001111100

101001

Operacije logičke algebre

U logičkoj algebri se koriste tri osnovne i dvije izvedene matematičke operacije.

Osnovne matematičke operacije su:logičko množenje-konjukcija (operacija I);

logičko sabiranje – disjunkcija (operacija ILI) i

negacija (operacija NE).

Izvedene matematičke operacije su:•Inverzno logičko množenje (operacija NI);

•Inverzno logičko sabiranje (operacija NILI).

1100101001

1100101001111100

101001

Logičko množenje(I-AND)

Simbolički znak za logičko množenje je: «» ili «», a čita se «i» ili “et” npr. AB (A i B).Ova točka može se i izostaviti AB AB.Na sl. je prikazan električki sustav koji predstavlja logičko množenje(dva prekidača).

Konjunkcija – logičko I – (AND)Rezultat je 1 samo ako su vrijednosti varijabla =1

X1 X2 X1 X2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Y=A B= AB AB

Y

AB

Y&

1100101001

1100101001111100

101001

Logičko sabiranje(ILI-OR)

Oznaka za logičko sabiranje je «» ili «+», a čita se «ili», npr.

A+B (A ili B).

Dva prekidača paralelno spojena predstavljaju operaciju logičkog množenja.

X1 X2 X1 X2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Rezultat je jedan ako je samo jedna od varijabli jednaka 1

Z=X+Y

XZ

Y1

XZ

Y

1100101001

1100101001111100

101001

Negacija (NE-NOT)

Negacija ili inverzija se označava crtom iznad oznake varijable npr.

A

čita se «inverzno A» ili «invertirano A» ili «ne A» ili «komplementarno A»

0 1

1 0

X Y

X Y&

1100101001

1100101001111100

101001

Postulati logičke algebre

Postulati logičke algebre definiraju obavljanje operacija logičke algebre sa “1” i “0”, tj. sa logičkim varijablama.Četiri postulata definiraju logičko množenje, četiri logičko sabiranje i dva negaciju.

Booleova algebra se temelji

–na dvočlanom skupu S; S = {0, 1}

–Binarnim operacijama { + , • } ili (; )

+ ili je disjunkcija (logičko ILI) OR

• ili je konjukcija (logičko I) AND

– - je negacija (Logičko NE) NOT

Postulati

Osnovni postulati logičke algebre su:Skup S se sastoji od dva elementa a, b, za koje vrijedi a b1. Zatvorenost –disjunkcija i konjukcija su zatvorene u skupu S=0,1.

x1 x2 S; x1,x2 S

x1 x2 S; x1,x2 S

2. Neutralni elementx10= x1 S; x1,0 S - “0” je neutralni element za disjunkciju;

x11= x1 S; x1,0 S - “1” je neutralni element za konjukciju.

3. Komutativnost – konjukcija i disjunkcija su komutativne.x1 x2= x2 x1 ; x1,x2 S

x1 x2= x2 x1; x1,x2 S

4. Distributivnostx1 (x2 x3)=(x1x2) (x1x3); x1,x2, x3 S

x1 (x2x3)=(x1x2) (x1x3); x1,x2,x3 S

1100101001

1100101001111100

101001

4. Utjecaj komplementa – negiranje

-disjunkcija nenegirane i negirane funkcije je 1

-konjukcija nenegirane i negirane funkcije je 0.

5. Asocijativnostx1 (x2 x3)=(x1x2) x3; x1,x2, x3 S

x1 (x2 x3)=(x1x2) x3; x1,x2,x3 S

Na ovim osnovnim postulatima se baziraju ostali postulati.

1100101001

1100101001111100

101001

Postulati-1

111

xx

011

xx

Princip dualnosti-uz svaki logički iskaz može se dati njemu pripadajući dualni iskaz i to putem slijedećih koraka:

1) Međusobnom zamjenom znakova i ili + i ·2) Međusobnom zamjenom znamenki 0 i 13) Svaku promjenjivu zamijeniti njenom negiranom vrijednosti

Stav o tautologiji – idepotentnost operacija I i ILI

-disjunkcija

-konjukcija

Utjecaj 1 i 0x1 1=1 - apsorbcija za disjunkciju

x1 0=0 - apsorbcija za konjukciju

1100101001

1100101001111100

101001

Postulati-1-1

111 xxx

111 xxx

Apsorbcijax1 (x1 x2) =x1 Dokaz: x1 (x1 x2) =x1 (1 x2) =x1

x1 (x1 x2) =x1 Dokaz: x1(x1 x2) =x1 x1 x1 x2 =x1 (x1 x2) =x1

1100101001

1100101001111100

101001

Postulati -2

11

Dvostruka negacija-involutivnostNegacija negirane promjenjive jednaka je originalnoj promjenjivoj tj.

11 xx

00

De Morganovi zakoni

2121 xxxx

2121 xxxx

Teorem za konjukciju

Teorem za disjunkciju

1100101001

1100101001111100

101001

Dokazi De Morganovih zakona

21 xx 21 xx

1x

2xx1 x2 x1x2

0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

De Morganovi zakoni se mogu dokazati tablicom istine

2121 xxxx

Vrijednost kolone 4 jednaka vrijednosti kolone 7 tj. vrijedi

1100101001

1100101001111100

101001

Dokazi De Morganovih zakona-1

21 xx 21 xx

1x

2xx1 x2

0 0 1 1 1 0 1

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0

De Morganovi zakoni se mogu dokazati tablicom istine

Vrijednost kolone 5 jednaka vrijednosti kolone 7 tj. vrijedi

x1x2

2121 xxxx

Logičke funkcije1100101001

1100101001111100

101001

Neka su x1, x2 … xn, neovisno promjenjive veličine, Booleove funkcije

(logičke funkcije) predstavljaju ovisnost između njih.Logičke funkcije su binarno promjenjive i mogu poprimiti samo dvije vrijednosti 0 i 1. One su ovisno promjenjive i njihove vrijednosti ovise o vrijednostima neovisno promjenjivih koje se slobodno biraju.Za neki skup Booleovih varijabli X=x1, x2 … xn, Pn(x) je nadskup skupa x i sadrži sve kodne riječi

varijabli x1, x2 … xn.

Logička funkcija y=f(x1, x2 … xn) predstavlja preslikavanje nadskupa

Pn(x) u skup S=0,1.

Pn(x)x1, x2 … xn.

S0,1

y=f(x1, x2 … xn)

1100101001

1100101001111100

101001

Logičke funkcije-1

Svaka logička funkcija vrši neku prostu ili složenu operaciju nad neovisno promjenjivim xi. U upravljačkim sustavima one predstavljaju signale na izlaznim kanalima y1 y2… yn .Uređeni skup x1, x2 … xn se naziva slog. Broj različitih slogova iznosi

2n .Funkcija određena sa svih 2n slogova i koja na tim slogovima ima vrijednost 0 ili 1 se naziva logička funkcija. Logička funkcija se naziva potpunom ako je određena za sve moguće različite slogove vrijednosti neovisno promjenjivih xi.Ukoliko funkcija nije određena bar na jednom slogu naziva se nepotpunom.Nepotpuno specificirana funkcija ima smisla ako pretpostavimo da se neke kompleksije ulaznih varijabli neće nikada pojaviti u praksi.

1100101001

1100101001111100

101001

Zapis Logičkih funkcija

Prema broju neovisno promjenjivih logičke funkcije se dijele na funkcije jedne, dvije ili više promjenjivih, a mogu se prikazati tablicama, analitičko-algebarskim izrazima, te u obliku tekstualnog algoritma.

Tablica istine služi da se na pregledan način predstavi kakve će vrijednosti imati logička funkcija za sve moguće kombinacije neovisno promjenjivih veličina.

i x1 x2 … xn yi

0          1          2          …          2n-1          

U tablicu istine se upisuju vrijednosti varijabli i vrijednosti logičkih funkcija.

Kada je logička funkcija definirana njena vrijednost je 0 ili 1, a ako nije definirana upisuje se oznaka redundantne kodne riječi.“R” ili “r”.

Tablica istine za logičku funkciju koja ima n varijabli ima (n+1) kolonu i 2n redova, npr. za dvije varijable tablica istine ima 3 kolone i 4 reda.

1100101001

1100101001111100

101001

Tablica istine

i x1

0

x2

0

yi

00      1 0

110

002      

3 1 1 1

yi =x1x2

iliyi =x1 x2

Retci se označavaju rednim brojem “i” koji u stvari predstavlja decimalnu vrijednost kodne riječi retka (binarni broj).

Algebarski zapis logičke funkcije predstavlja uvođenje operatorske veze između ulaznih varijabli. Na temelju algebarskog zapisa moguće je nacrtati logički dijagram i shemu nekog logičkog sklopa.

1100101001

1100101001111100

101001

Algebarski zapis logičke funkcije

x1 x2 x3 y1

0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 0

1 0 1 11 1 0 11 1 1 1

321 xxx

321 xxx

321 xxx

321 xxx 321 xxx

Primjenom pravila algebre logike svaka logička funkcija može se napisati u jedan od dva standardna oblika:

Zbroj proizvoda ili

Proizvod zbrojeva.

Zbroj proizvoda se sastoji od više članova koji se zovu mintermi i koji se međusobno zbrajaju. Svaki minterm predstavlja proizvod svih neovisno promjenjivih veličina funkcije, pri čemu neke neovisno promjenjive mogu biti date u komplementarnom obliku.

Proizvod zbrojeva se sastoji iz više članova koji se zovu makstermi i koji se međusobno množe. Svaki maksterm predstavlja zbir svih neovisno promjenjivih veličina funkcije, pri čemu neke neovisno promjenjive mogu biti date u komplementarnom obliku.

1100101001

1100101001111100

101001

Algebarski zapis logičke funkcije-1

Potpuni normalni algebarski oblici predstavljaju algebarski zapis logičkih funkcija dobiven jednoznačno iz tablice istine.

Normalni algebarski oblici su najvažniji algebarski oblici neke funkcije jer omogućavaju:

•ispis neposredno iz tablice istine (potpuni normalni oblik)

• optimalnu realizaciju sklopa (minimalni normalni oblik)

•minimalno i jednoliko kašnjenje (dvije razine logičkih vrata)

• mogućnost minimizacije egzaktnim postupcima

•garantiran prijelaz na NI i NILI vrata bez gubitka gornjih svojstava

potpuni normalnim oblici mogu biti: disjunktivni i

konjunktivni.

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni normalni algebarski oblici

Potpuni disjunktivni normalni oblik (PDNO) funkcije je disjunkcija onih minterma mi, za čiji je redak "i" u tablici istine vrijednost funkcije Ti jednaka jedinici.

Opći oblik PDNO je:

 

Neka su x1,x2,…xn promjenjive u Booleovoj algebri. Minterm i-tog retka tablice istine mi je konjunkcija svih varijabli funkcije uzetih tako,

da su one koje u kodnoj riječi imaju vrijednost 0 negirane, a one koje imaju vrijednost 1 nenegirane.

Ako npr. imamo dvije promjenjive x1,x2 , a logička funkcija y=f( x1 x2) je dana tablicom istine

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni disjunktivni normalni oblik

iii

Tmn 12

0n21 )x,x,f(x

1100101001

1100101001111100

101001

Minterm

21

xx

21 xx

21

xx

i x1 x2 mi(x1,x2)

0 0 0

1 0 1

2 1 0

3 1 1 21 xx

m0 = 00 =0

m1= 01 =1

m2= 10 =2

m3= 11 =3

Kako u svakom mintermu imamo umnožak promjenjivih zovemo ih još potpunom konjukcijom

Svojstvo je minterma mi, da za pripadnu kodnu riječ i-tog retka ima

vrijednost l, a za bilo koju drugu kodnu riječ ima vrijednost 0 Dakle, u nekom algebarskom izrazu, minterm će vrijednošću 1 prepoznati pripadnu kodnu riječ varijabli funkcije.

Kodna riječ

Pretpostavimo da na ulaz funkcije dođe kodna riječ "4", za koju vrijednost funkcije treba biti T4 =1. Zbog toga, u PDNO će postojati m4.

Uvrstimo li kodnu riječ u PDNO, m4 će biti jednak 1, a svi ostali

mintermi mj <>4 će biti jednaki 0. Cjelokupni izraz će biti jednak l, jer će

po teoremu apsorpcije za disjunkciju m4=1 prevladati.

PDNO-potpuni disjunktivni normalni oblik ispisan neposredno iz tablice istine stvarno predstavlja funkciju zadanu tom tablicom.

1100101001

1100101001111100

101001

Minterm-1

iii

Tmn 12

0n21 )x,x,f(x

Neka je zadana funkcija sa tri promjenjive x1,x2,x3. Tablica istine i mintermi su:

1100101001

1100101001111100

101001

Minterm-primjer

i x1 x2 x3 y1

0 0 0 0 11 0 0 1 02 0 1 0 03 0 1 1 04 1 0 0 15 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1

Funkcija yl sadrži minterme

m0 ,m4 ,m5 ,m6 i m7

pa možemo pisati:

yl = mo v m4 v m5 v m6 v m7

ili skraćeno:

y1 = v(0,4,5,6,7)

1100101001

1100101001111100

101001

Minterm primjer-2

A B C F F'0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 0 F' = A'B'C' + A'BC' + AB'C'

F = 001 011 101 110 111

+ A'BC + AB'C + ABC' + ABCA'B'C

Iz tablice istine odrediti PDNO-minterme i inverznu vrijednost funkcije F!

Potpuni konjunktivni normalni oblik (PKNO) funkcije je konjunkcija onih maksterma Mi, za čiji je redak "i" u tablici istine vrijednost

funkcije Ti jednaka nuli. Opći oblik PKNO je:

Maksterm i-tog retka tablice istine Mi je disjunkcija svih varijabli

funkcije uzetih tako, da su one koje u kodnoj riječi imaju vrijednost 0 nenegirane, a one koje imaju vrijednost 1 negirane. Npr. maksterm trećeg retka za n=3 je:

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni konjuktivni normalni oblik

321011

3213 ),,(

xxxxxxM

)()x,x,f(x12

0n21 ii

iTM

n

Svojstvo je maksterma Mi, da za pripadnu kodnu riječ i-tog retka ima

vrijednost 0, a za bilo koju drugu kodnu riječ ima vrijednost 1.

Znači, u nekom algebarskom izrazu, maksterm će vrijednošću 0 prepoznati pripadnu kodnu riječ varijabli funkcije.

Pretpostavimo da na ulaz funkcije dođe kodna riječ "3", za koju vrijednost funkcije treba biti T3=0. Zbog toga, u PKNO će postojati M3.

Uvrstimo li kodnu riječ u PKNO,

M3 će biti jednak 0, a svi ostali makstermi Mj<>3 će biti jednaki 1.

Međutim, cjelokupni izraz će biti jednak 0, jer će po teoremu apsorpcije za konjunkciju M3=0 prevladati. Vrijednost izraza 0 smo upravo i

željeli, jer M3 i postoji zbog prethodno definirane vrijednosti funkcije

T3=0.

1100101001

1100101001111100

101001

Maksterm

)()x,x,f(x12

0n21 ii

iTM

n

Neka je zadana funkcija sa tri promjenjive x1,x2,x3. Tablica istine i makstermi su:

1100101001

1100101001111100

101001

Maksterm-primjer

i x1 x2 x3 y1

0 0 0 0 11 0 0 1 02 0 1 0 03 0 1 1 04 1 0 0 15 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1

Funkcija yl sadrži minterme

m1 ,m2 ,m3

pa možemo pisati:

yl = m1 & m2 & m2

ili skraćeno:

y1 = &(1,2,3)

1100101001

1100101001111100

101001

Maksterm-primjer-1

A B C F F'0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 0

(A + B + C)(A + B' + C)(A' + B + C)

F' = (A + B + C') (A + B' + C') (A' + B + C') (A' + B' + C) (A' + B' + C')

F = 000 010 100F =

Iz tablice istine odrediti PKNO-maksterme i inverznu vrijednost funkcije F!

Na osnovu analogije logičkih operatora s operatorima nad skupovima, Booleove funkcije možemo prikazati grafički. Točkama smo pridružili svojstva xl, x2 itd., te na osnovu kombinacija tih svojstava (0 ili 1)

pridružili površine pojedinim kodnim riječima varijabli x. Sada možemo točkama pojedine površine dati novo, zajedničko svojstvo y koje ovisi u kombinaciji svojstava x, a to je zapravo vrijednost Booleove funkcije.

1100101001

1100101001111100

101001

Grafički prikaz logičkih funkcija-Vennovi dijagrami

Vrijednost Vennovih dijagrama je u tome, što se na svakoj granici područja mijenja smo jedna varijabla. susjedna područja odgovaraju susjednim kodnim riječima koje se razlikuju samo u vrijednosti jedne varijable.

Mana je Vennovih dijagrama u nepreglednosti, zbog čega su neupotrebljivi kada je broj nezavisnih varijabli veći od 3. Stilizirani Vennovi dijagrami, tzv. Veitchevi dijagrami, upotrebljivi su do n = 6 varijabli, pa se masovno koriste u prikazu i minimizaciji Booleovih funkcija.

Veitchev dijagram je standardizirani oblik grafičkog prikaza svih kodnih riječi nekih varijabli, nastao stiliziranim crtanjem Vennovih dijagrama

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami

Univerzalni skup je i dalje kvadratnog oblika, a dijelimo ga na polovine u vertikalnom i horizontalnom smjeru.

Oznaku područja u kojem je neko svojstvo istinito pišemo s vanjske strane kao svojevrsnu koordinatu, istovremeno oslobađajući površinu dijagrama za upisivanje sadržaja.

Kombiniranjem svih podjela, Veitchev dijagram se dijeli na kvadrate, od kojih svaki odgovara jednoj kodnoj riječi, analogno područjima Vennovih dijagrama. Upisivanjem sadržaja u kvadrat, možemo definirati bilo kakvo preslikavanje, pa i Booleovu funkciju. U standardnom obliku, redoslijed varijabli je suprotan kretanju kazaljke na satu.

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami-1

Između tablice istine i Veitchevog dijagrama postoji čvrsta veza kroz redoslijed varijabli.

Kako su kod tablice istine kodne riječi poslagane prirodnim binarnim nizom na osnovu odabranog redoslijeda varijabli, tako su u Veitchevom dijagramu kodne riječi poslagane po elementarnim kvadratima na osnovu istog redoslijeda varijabli, pisanog u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu.

Standardni oblik Veitchevog dijagrama ima ovaj raspored fiksiran, što olakšava njegovu primjenu.

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami-2

x1

0 1 n=1311

101

210

000

x1

x2 n=2

Za n = 1 do 4, elementarni kvadrati Veitchevog dijagrama koji imaju zajedničke stranice (granice) odgovaraju susjednim kodnim riječima. Pri tome susjednost vrijedi i za vanjske granice, kao da je dijagram zakrivljen u valjak. Pri tome gornja granica odgovara donjoj, a lijeva desnoj.

Za n=5 unutarnja granica među dijelovima n=4 nije granica susjednosti, pa je označena dvostrukom crtom. Susjedni su kvadrati istog relativnog položaja, npr. oni koji odgovaraju kodnim riječima redaka 8 i 9 tablice istine

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami-3

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami-4

n=3

x1 _

x2

n=4

6110

7111

3011

2010

4100

5101

1001

0000

x3

121100

141110

60110

40100

131101

151111

70111

50101

91001

111011

30011

10001

81000

101010

20010

00000

x1 _

x2

x3

x4

311

101

210

000

x1

x2

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami-5

n=5

25 29 13 9

27 31 15 11

19 23 7 3

17 21 5 1

x1

x2

x3

x4

Za n = 5 i 6 pribjegavamo posebnom načinu crtanja Veitchevog dijagrama. Dijagram gradimo od dijelova za n=4, ali ove granice više nisu granice susjednosti. Susjednost postoji obzirom na cijelu površinu, kao da su dva dijagrama prevučeni jedan preko drugog u trećoj dimenziji, tako da su susjedni kvadrati s istim položajem unutar pojedinog dijela.

24 28 12 8

26 30 14 10

18 22 6 2

16 20 4 0

x3

x1 _

x5 susjednost

1100101001

1100101001111100

101001

Veitchevi dijagrami-6

U kvadrate Veitchevih dijagrama se u praktičnoj primjeni ne upisuju redni brojevi odgovarajućeg retka tablice istine nego vrijednost funkcije.

Na osnovu vanjskih oznaka područja varijabli, lako je očitati pripadnu kodnu riječ, kao i ispisati pripadni minterm ili maksterm.

x2

1 1 0 0

1 1 0 1

x1

x3

y1

1100101001

1100101001111100

101001

Karnaugove mape K-tablice

Karnaughovi dijagrami ili K-tablice je još jedna grafička metoda predstavljanja logičkih funkcija. U K-tablicama se upisuju samo vrijednosti funkcije y dok se vrijednosti varijabli podrazumijevaju.K tablice su dvodimenzionalni tablični zapis funkcije slično kao Veitchev dijagram, ali s izmijenjenim standardnim rasporedom kodnih riječi po kvadratima. Za n=3 K-tablica će imati 2n kvadrata tj.8.

000 010

001 011

110 100

111 101CB

A

A

BC

000

111

101

100

001

010

011

110

1100101001

1100101001111100

101001

K-tablice

Za n=1 K-tablica će imati 2n kvadrata tj.2 vrha.

X

0 1 n=2

X

Y

11

00

01

10

n=3

A

BC

000

111

101

100

001

010

011

110

W

X

YZ

0000

1111

1000

0111

n=4

1100101001

1100101001111100

101001

K-tablice-1

Za n=4 K-tablica će imati 2n kvadrata tj.16.

0 4

1 5

12 8

13 9

3 7

2 6

15 11

14 10

W

X

YZ

0000

1111

1000

011100 01 11 10

10

11

01

00

x1, x2

x3, x4

Mana K tablica je u otežanom očitavanju pripadne kodne riječi. Iako na prvi pogled izgleda da je očitavanje lako, jer imamo dijelove kodnih riječi već ispisane na obodu, problemi nastaju kod očitavanja za objedinjene kvadrate, kada treba promisliti koja je od varijabli eliminirana.

1100101001

1100101001111100

101001

K-tablice-primjer

Za danu tablicu istine izvedite izraz za funkciju uporabom K-tabliceZa n=3 K-tablica će imati 2n kvadrata tj.8.

mintermi

1100101001

1100101001111100

101001

K-tablice-2

Raspored varijabli može u K-tablici biti i drugačiji, a time je drugačiji i raspored vrijednosti kompleksija unutar same tablice

10 14

11 15

6 2

7 3

9 13

8 12

5 1

4 0

00011110

10

11

0100

x1, x2

x3, x4

0 4

1 5

12 8

13 9

3 7

2 6

15 11

14 10

00 01 11 10

10

11

01

00

x1, x2

x3, x4

K-tablice se uglavnom koriste za prikazivanje funkcija za n=4. Mogu se koristiti i za veći broj funkcija ali postupak postaje složen

1100101001

1100101001111100

101001

K-tablice-3

Za n=5 K-tablica će imati 2n kvadrata tj.32.

0 4

1 5

12 8

13 9

3 7

2 6

15 11

14 10

000 001 011 010

10

11

01

00

x1, x2x3

x4, x5

24 28

25 29

20 16

21 17

27 31

26 30

23 19

22 18

101 100110 111

1100101001

1100101001111100

101001

Logički dijagram

Na osnovi nekog od zapisa funkcije može se nacrtati logički dijagram.Logički dijagram je grafički oblik zapisa, koji predstavlja blok shemu funkcije: varijable i međurezultati su prikazani linijama, a operatori blokovima.Za logičku funkciju

Z = A' • B' • (C + D)

Logički dijagram je

Z=f(A,B,C,D)

A B C D

-

-

V

&

&

1100101001

1100101001111100

101001

Shema sklopa

Logički dijagram je korak do sheme sklopa. Obzirom da raspolažemo elementarnim sklopovima koji obavljaju konjunkciju, disjunkciju i negaciju, a varijable funkcije predstavljamo električkim signalima, možemo konstruirati sklop po strukturi sličan logičkom dijagramu, a koji u stvarnosti realizira zadanu funkciju.

A

B

CD

T2

T1

Z

Za predhodni primjer tj. logičku funkcijuZ = A' • B' • (C + D)Shema sklopa je:

Operatorski moduli su sada elementarni logički sklopovi, a linije su vodiči kojima se prostiru električni signali. Oznake A,B, itd. se više ne odnose na Booleove varijable, već su to oznake električnih signala u koje je utisnuta informacija o vrijednosti istoimenih varijabli.

1100101001

1100101001111100

101001

Svojstva normalnih algebarskih oblika

Disjunkcija svih minterma jednaka je jedinici

Konjunkcija svih maksterma jednaka je nuli

Negirani minterm jednak je makstermu istog retka

Disjunkcija minterma i maksterma istog retka je uvijek jednaka jedinici, a njihova je konjunkcija jednaka nuli

Konjunkcija različitih minterma je uvijek jednaka nuli, a disjunkcija različitih maksterma jedinici

Negirana funkcija je funkcija, koja ima vrijednost 1 tamo gdje originalna ima vrijednost 0, a 0 tamo gdje originalna ima vrijednost 1. Ukoliko je originalna funkcija nepotpuno specificirana, negirana je nepotpuno specificirana za iste retke tablice istine.

1100101001

1100101001111100

101001

Preostale funkcije i varijable

Originalna funkcija se može rastaviti na parcijalne ili preostale funkcije. Funkciju od n varijabli možemo rastavljanjem na preostale funkcije izraziti kao funkciju od m (prvih) varijabli

)x,x,(xf)x,x,(x

)x,x,(x)x,x,f(x

n2m1mjm21

12

0

n21

12

0n21

ji

iii

m

Tm

n

n

s preostalim funkcijama od n-m varijabli

m

2n1m

12

0n1mj 0...2j;)x,(x)x,(xf

kjkk

mn

mn

Tm

1100101001

1100101001111100

101001

Preostale funkcije i varijable-1

Originalna funkcija se može rastaviti na parcijalne ili preostale funkcije i tablicom istine i Vetchevim dijagramom.

1100101001

1100101001111100

101001

Preostale funkcije i varijable-2

Pogodna metoda izračunavanja preostalih funkcija je metoda Veitchevog dijagrama. Veitchev dijagram se, kao i tablica istine, raspada na dijelove izdvajanjem m varijabli. Međutim, zbog svojevrsne simetričnosti dijagrama (u dvije dimenzije), ti dijelovi su više-manje suvisli bez obzira kojih m varijabli izdvojili. Stoga je lako očitati preostale funkcije. Za jednu izdvojenu varijablu, raspadanje Veitchevog dijagrama (n=3) prikazano je na slici

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni skupovi funkcija algebre logike

Operatori disjunkcije, konjunkcije i negacije nisu ništa drugo nego Booleove funkcije, unarna negacija (jedan operand) i binarne konjunkcija i disjunkcija (dva operanda). Operatore ćemo birati među Booleovim funkcijama jedne i dvije varijable. Takve funkcije nazivamo elementarnim funkcijama.

Tablica istine za n varijabli ima 2n redaka. Funkciju definiramo stupcem, koji možemo smatrati kodnom riječi od

N=2n bita, koje možemo pojedinačno proizvoljno odrediti. Takvih kodnih riječi ima

2N =22n

pa imamo upravo toliko funkcija n varijabli.

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni skupovi funkcija algebre logike-1

Za n=1 imamo 22=4. fo (x1)=0 konstanta 0

f1 (x1)= negacija

f2 (x1)=x1 identitet

f3 (xl )=1 konstanta 1

Za n=2 imamo 24=16

1

x

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni skupovi funkcija algebre logike-2

Među ovim funkcijama prepoznajemo funkcije jedne varijable: fo =0 konstanta 0

f3 = negacija

f5 = negacija

f10 =x2 identitet

f12 =x1 identitet

f15 =1 Konstanta 1

U drugu grupu funkcija spadaju konjukcija, disjunkcija i njihove negacije.

1

x

2

x

I(AND)konjukcija

ILI(OR) disjunkcija

NILI(NOR,Pierce)

NI(NANDShaeffer)

1100101001

1100101001111100

101001

Potpuni skupovi funkcija algebre logike-3

U trećoj grupi su funkcije koje predstavljaju sumu po modulu i njenu negaciju i ekvivalenciju.

EX-ILI (suma po modulu)

Ekvivalencija (negacija sume po modulu

U zadnju grupu spadaju funkcije koje predstavljuju implikacije i nemaju neko praktično značenje. To su funkcije f2,f4,f11,f13

Potpuni skup funkcija algebre logike je takav skup operatora, pomoću kojega se konačnim algebarskim izrazom može zapisati proizvoljna Booleova funkcija. Skup konjunkcije, disjunkcije i negacije je potpuni skup funkcija algebre logike. Potpunost bilo kojeg drugog skupa dokazujemo tako, da pokušamo izraziti konjunkciju, disjunkciju i negaciju. Za skup operatora kojim uspijemo izraziti konjunkciju, disjunkciju i negaciju zaključujemo da je potpun.