Borador final final tesis JARS

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

SUBRUTINA DE ANÁLISIS DE PROGRESIÓN DE DAÑOS POR FATIGA A AMPLITUD CONSTANTE EN ASPAS DE AEROGENERADOR

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DE MANUFACTURA

POR JUAN ANDRÉS RIVERA SANTANA

MONTERREY, N. L. DICIEMBRE DE 2014

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY DIVISIÓN DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

Los miembros de este Comité de Tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Juan Andrés Rivera Santana sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de:

Maestro en Ciencias en Sistemas de Manufactura Especialidad en Materiales Avanzados

Comité de tesis

Dr. Oliver Matthias Probst Oleszewski Asesor

Dr. Diego Ernesto Cárdenas Fuentes Coasesor

Dr. Nicolás Jorge Hendrichs Troeglen Sinodal

M. C. Abiud Flores Valentín Sinodal

____________________________ Dr. Hugo Ramón Elizalde Siller

Sinodal

___________________________

Dr. Héctor Rafael Siller Carrillo Director del programa de Maestría en Sistemas de Manufactura

Diciembre de 2014

Declaración de Copyright

Yo, por medio de este mensaje, declaro que todo lo escrito en esta disertación es parte de mi trabajo de investigación original. Cada contribución proveniente de colegas, profesores, investigadores, empresarios, especialistas, técnicos, practicantes y alumnos de posgrado está referencia de manera adecuada.

__________________________ Juan Andrés Rivera Santana

Tabla de Contenido

Lista de figuras

Lista de tablas

Simbología

Modelo TWB

Alabeo

FEM

Teorías de falla

Modelos de degradación

Modelo de ciclos de vida

Sistema de unidades utilizado

NOTA: Esta no es la versión definitiva de la tesis, falta agregar agradecimiento, dedicatoria y resumen.

1

____________________________________________________

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN______________________________________ Resumen. En el presente capítulo se introducen de forma resumida los conceptos y las bases que sostendrán al resto de este trabajo. Para ello, primero se hará un enfoque a los avances inminentes en el área de la energía eólica, enfatizando el incremento en su uso durante los últimos años. También se discuten las cargas mecánicas típicas que se presentan en un aspa de aerogenerador, en donde se enfatiza la carga por fatiga. Finalmente, con esta información, será posible establecer una serie de objetivos que regirán la estructura general del trabajo.

______________________________________________________________________

1.1. Introducción a la energía eólica

La utilización de la energía eólica se ha disparado en los últimos años. De acuerdo con Abassi [1] en su informe más reciente relacionado con el estado del arte, esto se debe a la doble ventaja de ser relativamente noble al medio ambiente así como ser la más redituable de las energías limpias, con tasas de generación de energía comparables a las formas de energía denominadas como “convencionales” tales como los combustibles fósiles o la energía nuclear.

Este incremento en su uso se refleja directamente en las estadísticas. En la Figura 1, se puede notar una tendencia a la alza en el uso de la energía eólica a través del incremento en la capacidad instalada por los cinco principales productores mundiales [2].

Figura 1. Incremento en capacidad instalada de los cinco principales países productores [Adaptado de 2].

Análisis de progresión de daños progresivos por fatiga en aspas de aerogenerador

2

Sin embargo, esta tendencia no solamente se hace notar en estos cinco países sino también alrededor del mundo. En la Figura 2 se muestra el incremento exponencial de la capacidad instalada a lo largo de los últimos años alrededor del mundo [1].

Figura 2. Capacidad mundial instalada de energía eólica [Adaptado de 1].

Como ya se comentó, el impacto ambiental por parte de los aerogeneradores es mínimo si se le compara con fuentes de energía tales como los combustibles fósiles y la energía nuclear; sin embargo, hay algunos aspectos que se deben tomar en cuenta. En la Figura 3 se puede ver que el tamaño de las aspas, y por ende de los equipos, ha venido presentando un crecimiento estable durante los últimos años [3]. También existen problemas en cuanto al ruido, ya que las intensidades registradas a partir de estos aparatos rondan entre los 98 y 104 dB, si se toma una velocidad de viento de 8 m/s [1]. Las causas de este ruido son mecánicas (movimiento de partes electromecánicas) y aerodinámicas (rotaciones y turbulencias), principalmente [4]. Por último, existe una preocupación medioambiental respecto al impacto de los aerogeneradores sobre las aves y murciélagos que pudieran pasar a proximidad [5-7].

Capítulo 1: Introducción

3

Figura 3. Crecimiento progresivo del tamaño de los aerogeneradores a lo largo de los años [Adaptado de 3].

Esto ha ocasionado que se forme una opinión encontrada entre los proponentes de la energía eólica, quienes obviamente están a favor de su implementación sin embargo desean que las torres eólicas se construyan lo más apartado posible de las zonas habitacionales tales como ciudades y comunidades rurales [8]. Sin embargo, existen diversas soluciones y contraargumentos a la problemática presentada en el párrafo anterior.

Primeramente, el problema del ruido se puede minimizar de sobremanera sin tener que alejarse mucho del aerogenerador. De acuerdo con [1], se puede lograr reducir el ruido a un nivel de entre 33 y 40 dB si se vive a 500 m de la torre eólica. Evidentemente el problema disminuye conforme uno se sitúa más lejos. Para el caso de las vidas animales perdidas a causa de los aerogeneradores, [9] argumenta que este número de muertes es mucho menor al ocasionado por los depredadores. Sin embargo este no es argumento para minimizar las cifras propuestas en estudios como [5-7] y por ende este debate se encuentra lejos de resolverse.

Finalmente, el problema de la estética en cuanto al tamaño es una subjetividad que escapa al estudio de esta tesis; sin embargo el tamaño sigue importando. Al incrementar el radio de las aspas, también se corre el riesgo de trabajar con momentos flectores más grandes y por ende experimentar mayores errores estructurales [10]. Tal y como se comenta en la sección 1.2, esta problemática puede resolverse e incluso prevenirse con ayuda del diseño asistido por computadora (CAD) y la ingeniería asistida por computadora (CAE).


4

1.2. Cargas mecánicas en un aspa de aerogenerador

El diseño de un aerogenerador incluye diversos factores tales como costo, aerodinámica, sistema eléctrico, ruido, distribución de los parques y en definitiva, su integridad estructural. Como este último aspecto presenta una problemática más pronunciada hacia la fatiga debido a los relativamente largos períodos de operación (de alrededor de 20 años, con un equivalente de 108 a 109 ciclos [11]), este fenómeno será el centro de estudio de este trabajo.

El problema de analizar y predecir el historial estructural de las aspas de aerogenerador es uno relativamente complejo. A partir de la Figura 4 se puede concluir que un aspa de aerogenerador presenta cargas por fatiga de amplitud y frecuencia variable, las cuales son aplicadas a un material compuesto (anisotrópico) cuya sección transversal es un perfil aerodinámico geométricamente irregular.

Figura 4. Naturaleza de las cargas aplicadas a diversos productos ingenieriles, incluyendo los aerogeneradores [adaptado de 10].

Las cargas aplicadas sobre un aspa de aerogenerador son de origen y naturaleza diversa. Existen cargas determinísticas debidas a la flexión ocasionadas por el peso del aspa. Estas cargas suelen ser edgewise (ver Figura 5) y su naturaleza cíclica se justifica por el cambio de posición del aspa mientras está girando. Por su parte, las cargas aerodinámicas suelen ser variables y de naturaleza estocástica, debido a la siempre


5

variante velocidad del viento. Cabe destacar que éstas tienen dirección flapwise (ver Figura 5).

Figura 5. Naturaleza de las cargas y materiales en una sección transversal de aspa de aerogenerador. Flapwise y edgewise, se refieren a los ejes de rotación de los momentos flectores.

1.3. El problema de la fatiga y el programa de Análisis de Progresión de Fallas

La fatiga se encuentra en diversas aplicaciones de ingeniería tales como medios de transporte (aviones, automóviles, bicicletas), partes de máquinas (flechas, engranes) y generación de energía (pallets de generación de energía hidráulica, aspas de aerogenerador). De hecho, de acuerdo con Sachs [12], la fatiga representa el 57 % de las fallas registradas en ingeniería (Tabla 1).

Tabla 1. Comparativo de frecuencia de fallas en ingeniería [adaptado de 12].

Típico de falla física registrada Frecuencia Corrosión 18 % Fatiga 44 % Desgaste 11 % Fatiga corrosiva 13 % Sobrecarga 15 %

Como se mencionó en la sección 1.2, debido a la naturaleza de las cargas y los largos de operación para los cuales son diseñados los aerogeneradores, especialmente sus aspas, es conveniente evaluar la fatiga y poder predecir parámetros tales como el número de ciclos de vida y la degradación de las propiedades del material.


6

En vista de la problemática presentada, resulta necesario valerse de algunos modelos que ayuden a predecir tales parámetros. Debido a su simpleza matemática, se escogió el modelo de degradación de resistencia de Whitworth [13] sobre otros que se exponen con mayor detalle en el capítulo 3.

Finalmente, es importante mencionar que el modelo de fatiga se acoplará al programa de Análisis de Progresión de Fallas (PFA, por sus siglas en inglés) implementado por Cárdenas en su tesis doctoral [14]. El PFA se vale de elementos finitos unidimensionales del tipo TWB, los cuales de acuerdo con sus siglas en inglés suponen una viga de pared delgada.

Las ventajas que supone utilizar el modelo TWB son la inclusión de la anisotropía del material, la admisión de laminados arbitrarios, la representación de la deformación al cortante y la capacidad de reproducir el comportamiento estructural de cortezas tridimensionales y sólidos con una precisión razonable [14].

La teoría TWB expuesta por Librescu, et al. [15-18], la discretización en elementos finitos realizada por Vo y Lee [19-21], así como su aplicación a un aspa de turbina eólica por parte de Cárdenas [22], se explican con mayor detalle en el capítulo 2.

1.4. Justificación

Se considera importante implementar un modelo que diseñe la durabilidad de las aspas de aerogenerador. Un enfoque muy práctico es el de contabilizar los daños debido a la fatiga, ya que este fenómeno mecánico se trata de un proceso gradual. Sin embargo, la existencia de un programa computacional que pueda tratar la complejidad de manejar cargas fluctuantes y sus efectos mecánicos en aspas de aerogenerador, las cuales están conformadas por materiales compuestos anisotrópicos, describiendo una geometría irregular de sección transversal aerodinámica. Por esta razón, se desea programar la predicción de estos daños, utilizando el mínimo de recursos computacionales posibles.

1.5. Objetivos

El principal objetivo de este trabajo es programar una subrutina capaz de predecir el daño por fatiga en espacio y tiempo en aspas de aerogenerador utilizando el modelo de degradación de resistencia y rigidez de Shokrieh [46, 47], acoplándolo a la rutina de análisis de esfuerzos mediante el modelo de viga de pared delgada (TWB) con el elemento finito como método numérico base. A partir de esta codificación se buscan obtener resultados tales como:


7

El historial de degradación de resistencia y rigidez del material en cada uno de los segmentos del aspa.

El número de ciclos necesarios para hacer fallar cada segmento del aspa. La causa del daño de cada uno de los segmentos del aspa ya sea a tensión,

compresión o cortante. Progresión del daño en el aspa a través del número de ciclos.

1.6. Organización del contenido

Los temas tratados en esta obra se resumen en el siguiente esquemático:

Capítulo 2. El modelo de Viga de Pared Delgada (TWB por sus siglas en inglés) para elemento finito. Se explican los fundamentos de los materiales compuestos así como un breve estado del arte respecto a los modelos analíticos y computacionales para predecir su comportamiento mecánico. Posteriormente se hace un enfoque al modelo TWB propuesto por Librescu y se expone el elemento 1D de elemento finito diseñado por Cárdenas.

Capítulo 3: Modelos de degradación por fatiga. Se definen los conceptos básicos de fatiga aplicados a materiales isotrópicos y posteriormente se hace su adaptación a los materiales compuestos introduciendo los conceptos de degradación de materiales propuestos por el estado del arte existente, especialmente el trabajo de Shokrieh.

Capítulo 4: Subrutina de daños progresivos por fatiga. Se define una subrutina

para ir degradando y dañando progresivamente un aspa de aerogenerador de material anisotrópico, utilizando los modelos de fatiga y los elementos finitos tratados en los dos capítulos anteriores, basándose en la rutina TWB-PFA para carga estática propuesta por Cárdenas.

Capítulos 5 y 6: Simulación y análisis de casos base y de estudio. Se definen

los casos de carga que se simularán y se discuten gráfica y analíticamente los resultados obtenidos tras la aplicación del programa desarrollado en el capítulo 4.

Capítulo 7: Conclusiones y recomendaciones finales. En este capítulo se

sintetizan los resultados obtenidos en los capítulos anteriores y se discuten las implicaciones reales de los mismos. Por último, se enlistan una serie de recomendaciones finales que servirán como directrices para trabajos futuros.

8

____________________________________________________

CAPÍTULO 2

EL MODELO DE VIGA DE PARED DELGADA PARA ELEMENTO FINITO____________________________________ Resumen. En este capítulo se tratará la teoría básica sobre la mecánica de los materiales que usualmente componen las aspas de aerogenerador: los materiales compuestos fibra de vidrio-polímero. Como este tipo de materiales no es monolítico, sus propiedades varían de acuerdo a cada uno de sus componentes, así como en las direcciones en que se acomodan las diferentes capas (anisotropía). Asimismo, estas aspas poseen una sección de perfil aerodinámica, la cual es geométricamente irregular. Dichas complicaciones requieren la aplicación de un método computacional por lo que el modelo TWB aquí presentado resulta ideal por su relativa sencillez en implementación, flexibilidad y precisión.

______________________________________________________________________

2.1. Terminología básica

Por definición, un material compuesto es todo aquél que se forma a partir de la unión de dos materiales para conseguir la combinación de propiedades que no es posible obtener de los materiales originales [23]. En la actualidad, estos materiales son los de elección para la manufactura de las aspas de turbinas eólicas haciendo una especial preferencia hacia los polímeros reforzados por fibras [10]. Los materiales compuestos reforzados por fibras consisten en fibras de alta resistencia y alto módulo embebidas en una matriz polimérica. Estos elementos se encuentran separados por una interfaz, impidiendo alguna reacción química entre ambos.

Como consecuencia, ambos elementos combinan sus propiedades mecánicas, sin perder su integridad química. Así pues, las fibras se encargan de resistir la carga mecánica aplicada sobre el material, mientras que la matriz mantiene a las fibras en su lugar. Además, la matriz protege a las fibras de condiciones ambientales extremas tales como la humedad y las temperaturas elevadas [24]. Las fibras más utilizadas en la industria son la de vidrio y de carbono, mientras que los materiales más recurridos para la matriz son el epóxico y el poliéster, siendo más popular el primero debido a que es menos tóxico y por ende más fácil de manejar [10].

Para darse una idea de la complejidad de los materiales usados en un aspa de aerogenerador se puede revisar el diagrama de distribución de materiales para la manufactura de un aspa de turbina eólica por parte de la empresa suiza Gurit [25,26].

Capítulo 2: El modelo de viga de pared delgada para elemento finito

9

Estructuralmente, uno se puede imaginar un aspa de aerogenerador como una delgada cobija recubriendo una superficie aerodinámica. Por lo tanto, un programa computacional adecuado para esta problemática no solamente debe estar capacitado para analizar datos de orientaciones y capas, sino también de laminados. En este trabajo se definirá un laminado como una combinación única de capas apiladas de distinto material y orientación que se extienden a lo largo del perímetro de la sección transversal. Más adelante se definirá la dirección perimetral junto con los sistemas coordenados utilizados para delimitar la geometría y la discretización del aspa.

Evidentemente, el espesor de estas celdas es mucho menor a las dimensiones de cuerda y radio por lo que un enfoque de pared delgada es conveniente. Inspirándose en el método clásico propuesto por la mecánica de materiales [27], Librescu [15-18] desarrolla la teoría TWB, la cual se explica con mayor detalle en la sección 2.3.

Finalmente, para que el programa computacional se pueda implementar con facilidad, conviene adoptar algún método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales. El método del elemento finito continúa siendo el más popular debido a su flexibilidad y relativa facilidad de implementación [28], [29]. Por ello, Vo y Lee [19-21] se dieron a la tarea de aterrizar varios casos de la mecánica clásica, utilizando este tipo de elementos. En la sección 2.5 se habla con mayor detalle de estos avances.

En resumen es necesario desarrollar un programa que considere los siguientes aspectos:

Dividir el aspa en diferentes elementos finitos unidimensionales, adaptables a la teoría TWB de Librescu.

Los distintos laminados que pueden presentarse a lo largo de la dirección transversal (tangencial) del elemento.

Las diferentes capas distribuidas a lo largo del espesor de la sección transversal, así como sus propiedades mecánicas básicas y la orientación de sus fibras.

2.2. Estado del arte en la mecánica de materiales compuestos

Por diseño, los aerogeneradores se han vuelto cada vez mayores en tamaño. En consecuencia, resulta imprescindible desarrollar un programa computacional que atienda las complejidades mencionadas en la sección anterior. Por fortuna, ya existe una base científica y bibliográfica que si bien no siempre puede modelar todas las complejidades, si puede atacar al menos cada una de ellas por separado [22].

Para entender mejor la complejidad del modelo estructural de aspa, habrá que imaginárselo como un sistema dinámico con elementos bi o tridimensionales, lo cual naturalmente involucrará miles de grados de libertad. Un grado de libertad (DOF) hace referencia a los movimientos posibles que presenta un cuerpo. Un elemento


10

bidimensional tiene tres grados de libertad (dos de traslación y uno de rotación), mientras que uno tridimensional posee hasta seis grados de libertad (tres de rotación y tres de traslación) [30-32].

A esos grados de libertad habrá que agregarles el hecho de que el material es anisotrópico, es decir sus propiedades mecánicas difieren dependiendo de la dirección del mismo. Finalmente, la irregularidad de la sección transversal así como las relaciones constitutivas no lineales hacen de la labor de cómputo un verdadero reto, incluso para la computación moderna [33].

Por ello se propone reducir el problema a elementos unidimensionales, los cuales conllevan menos grados de libertad y reducen la complejidad de las operaciones matemáticas y por ende, el tiempo de cómputo. Los trabajos de Carrera [34] y, Carrera y Petrolo [35] introducen una formulación unidimensional, que sin embargo no deja de ser lineal.

Otro modelo que representa una simplificación al problema tridimensional es el Variational Asymptotic Beam Section (VABS) [36], el cual va tomando elementos finitos bidimensionales del modelo y los aplica en un análisis de viga unidimensional no lineal. Obviamente la precisión obtenida respecto al modelo tridimensional es excelente, sin embargo no resulta tan redituable como el modelo TWB.

El modelo TWB (Thin-walled beam) [15-18] fue desarrollado por Librescu y su equipo. Existen varias ventajas de utilizar esta teoría. Primero, el TWB hace formulaciones analíticas para las matrices de rigidez, las cuales pueden ser evaluadas directamente. Por lo tanto, el cálculo de las propiedades de sección transversal se realiza en una sola operación (offline), sin perjudicar mayormente la precisión de los resultados. Esta teoría se puede utilizar en conjunto con las discretizaciones en FEM-1D propuestas por Vo y Lee [19-21], para desarrollar un programa que sirva como base para la implementación posterior de una subrutina de propagación daños efectuados por fatiga.

Finalmente, Cárdenas, et al. [22] compara los resultados provistos por el modelo FEM-TWB en cargas estáticas y dinámicas, con software comercial tal como ANSYS [37]. Los resultados arrojados concluyen que el modelo FEM-TWB para aspas de aerogenerador resulta conveniente para su utilización en la fase de diseño debido a que se obtienen resultados relativamente precisos utilizando pocos recursos computacionales.

2.3. El modelo de viga de pared delgada (TWB)


11

Mucho se ha comentado del modelo TWB hasta ahora, sin embargo es necesario profundizar más en su funcionamiento. Para empezar, será necesario comprender la Figura 6, en la cual se muestra una relación entre las variables fundamentales de la teoría TWB.

Figura 6. Una viga genérica en cantiléver representando un álabe de turbina [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

En dicha figura se muestra una porción de álabe de turbina modelada como viga en cantiléver, de tal manera que está empotrada al rotor. Justo en el centroide de esta sección de empotramiento, se coloca el origen del espacio cartesiano natural. Definiremos este plano con las coordenadas (x, y, z), las cuales corren a lo largo de la cuerda, la altura y la longitud del aspa. Asociadas a este espacio cartesiano están las

desplazamientos extensionales (U, V, W), rotacionales (x, y, ) y por alabeo ( ). También se puede distinguir un alma que divide la sección transversal en dos celdas.

Figura 7. Comparación entre el sistema de coordenadas natural (x,y,z) y el normal‐tangencial a la superficie del aspa (n‐s‐z) [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Sin embargo, para discretizar la superficie curva del aspa resulta mucho más sencillo trabajar con el sistema normal-tangencial mostrado en la Figura 7. Para poder entender


12

mejor este sistema de coordenadas, situémonos en el polo p. El polo p es el origen del sistema coordenado natural, por lo que es necesario girar un ángulo y trasladarse con una distancia transversal q y una distancia radial r, perpendiculares entre sí, para localizar el punto de tangencia. Es a partir de este último punto, del cual se proyectan la componente normal (n) que lleva la dirección radial r así como la de las capas y la componente tangencial o perimetral (s) que tiene el mismo sentido que los laminados.

Para establecer una relación entre las variables mencionadas, es importante tomar en cuenta cuatro suposiciones básicas:

i. Deformaciones pequeñas, por lo que el problema es mecánico lineal. ii. Las secciones transversales permanecen rígidas, es decir no se deforman

en su propio plano. iii. Las deformaciones cortantes transversales permanecen uniformes a lo

largo de la sección transversal de la vida. iv. Se cumplen las hipótesis de Kirchhoff-Love, por lo que la teoría de placas

aplica a la superficie media y el esfuerzo plano es bidimensional. Las hipótesis de Kirchhoff-Love estipulan que una placa delgada no presenta esfuerzo significativo en la dirección perpendicular a la superficie de la misma. Además, las fibras perpendiculares a la superficie neutra permanecen perpendiculares a ésta, rectas y con la misma longitud [49].

A partir de estas suposiciones, se establecen las relaciones básicas de cinemática para la teoría TWB, sin olvidar que aplican a la superficie media.

sin cos . 1

cos sin . 2

.3

Donde , y corresponden a los desplazamientos tangencial, normal y axial de un punto ubicado en la superficie media del cascarón, en este caso la superficie curva del álabe. Además es la función de alabeo, la cual se explica con mayor detalle en la sección 2.4.

Tomando en cuenta las deformaciones en una viga, se pueden notar las siguientes deformaciones (Figura 8).

. 4

. 5


13

. 6

Donde la prima (´) indica una derivada respecto a z. Ahora, si se considera que no hay deformación al cortante (suposición de Euler), las Ecs. (1)-(3) quedan:

sin cos . 1

cos sin . 2

.7

Figura 8. Relación de desplazamientos y deformaciones en una viga [reproducido con permiso de D. Cárdenas 14].

De acuerdo con la teoría básica de placas [39,43] y las suposiciones de Kirchhoff, las componentes de desplazamiento u, v, w obtenidos a partir de la superficie media del cascarón son:

, , , .8

, , ,,

.9

, , ,,

.10

Aplicando las definiciones de elasticidad básica provistas por [40]:

.11


14

.12

2

2 .13

Las ecuaciones se pueden rescribir como:

. 14

.15

. 16

Donde

, .17 , 17

, , 2 .18 , 18 , 18

′ . 19

La segunda parte de la ecuación (19) se explica en la sección 2.4. Además, aplicando la suposición (ii) se pueden ignorar los valores de y . Sustituyendo la ecuación (7) en (17b) y la ecuación (1) en (18b) y en (18c):

.20

sin cos . 21

Por Kirchoff-Love

.22

Donde cada deformación unitaria y curvatura queda igualada por

. 23

′′ . 23

′′ . 23


15

′′ . 23

2 ′ . 23

Rescribiendo en la ecuación (15), queda la expresión para deformación normal en z y distorsión cortante en el plano sz.

sin cos . 24

2 . 25

También puede expresarse la ecuación (25b), si las ecuaciones (4), (5) y (6) se sustituyen en (3), (1) y (3) se introducen en la ecuación (10), las ecuaciones (1) y (2) se introducen en la ecuación (9), y finalmente lo obtenido en las ecuaciones (9) y (10) se sustituye en la ecuación (13).

cos sin2

2

. 25

Esta formulación toma en cuenta la deformación por cortantes transversales, y es mejor conocida por el nombre de Timoshenko. Aquí, Ft (s) es la función primaria incompleta de alabeo, la cual se explica más detalladamente en la sección 2.4.

2.4. Teoría de alabeo (warping) 2.4.1. Conceptos fundamentales

Mucho se ha venido mencionando acerca del alabeo (warping, en inglés) a lo largo de este capítulo, pero se ha guardado la explicación hasta esta sección por cuestiones de continuidad en la explicación.

En la tesis de Aguirre [38], se define al alabeo como el desplazamiento fuera del plano de la sección transversal a la cual se le está aplicando torsión. Cabe mencionar que no todas las geometrías sufren este fenómeno, tal como la sección transversal circular [18], hecho que queda demostrado numéricamente en [38]. Cuando el desplazamiento por alabeo se restringe, aparecen dos componentes de par de alabeo, una axial (Mω) y otra cortante (T). Estas se describen a continuación [38]:

Esfuerzos de alabeo por cortante (Figura 9), actuando tangencial a la sección transversal, siendo constante a lo largo del espesor y variando a lo largo del contorno.

Esfuerzos de alabeo normales (Figura 10), los cuales aparecen como resultado de restringir los desplazamientos axiales de tensión/compresión debido a la torsión del elemento. Varían a lo largo del contorno de la sección transversal.


16

Figura 9. Esfuerzos de alabeo por cortante en algunas secciones abiertas [Cortesía de Aguirre, 38].

Figura 10. Esfuerzos de alabeo normal en algunas secciones abiertas [Cortesía de Aguirre, 38].

Estos esfuerzos deben agregarse a ya existentes en la sección transversal, aplicando el principio de superposición. Los esfuerzos por alabeo pueden ignorarse para secciones cerradas, sin embargo pueden ser significantes en secciones abiertas [38].

Los desplazamientos por alabeo pueden clasificarse en primarios y secundarios (ver Figura 11). Los primarios se asocian al promedio del movimiento de la superficie media (vía Kirchoff-Love), mientras que los secundarios representan la contribución de los puntos exteriores a la superficie media [18, 84-87].


17

Figura 11. Comportamiento del desplazamiento por alabeo [Cortesía de Aguirre, 38].

Para comenzar con la deducción del modelo de alabeo, es necesario remontarse a su causa que es el esfuerzo torsional. Supongamos que una sección en el plano transversal está sometida a un par torsional constante To y a su vez genera un flujo de cortante qs, el cual proyecta un área triangular respecto a un polo O a una distancia perpendicular r (ver Figura 12, cf. Figura 7).

El área contenida por la capa media se barre a lo largo de la trayectoria cerrada descrita por el perímetro de la sección transversal, por lo tanto a través de la fórmula de superficie de un triángulo, se plantea [40]:

Figura 12. Deducción del esfuerzo cortante torsional en seccional transversales de pared delgada [Adaptado de 40].

12

. 26


18

De la misma Figura se puede observar que el flujo de cortante qs genera un diferencial de fuerza dF = qs ds, el cual multiplicado por la distancia perpendicular r, genera a su vez un diferencial de par torsional dTo = r qs ds, por lo que integrando se obtiene

. 27

De acuerdo con Megson [40], si la viga está sometida no presenta restricciones de alabeo, el flujo qs es constante, además aplicando (26) en (27a), se llega a

2 . 27

Finalmente, aplicando la definición para flujo cortante constante qs = t [42], donde t es el espesor de la pared

2 . 27

Ahora habrá que encontrar la rotación causada por el por el torque To. Hibbler [42] ofrece un enfoque energético basado en la ley de conservación. Para ello, se plantea la energía interna de deformación, la cual se calcula por medio de la siguiente integral

2 . 28

Introduciendo la ecuación (47c) en (48) y definiendo al diferencial de volumen como , se llega a

8 . 29

A su vez, el par torsional genera energía mecánica al exterior [42]

12

. 30

Finalmente, aplicando el principio de conservación de energía (Ui + Ue = 0) y despejando

para

4 . 31

2.4.2. Alabeo primario


19

La formulación de Librescu para vigas compuestas de pared delgada [18], supone que el desplazamiento por alabeo a torsión pura se formula de la siguiente manera

, , , ´ . 32

Donde F(n,s) es la función total de alabeo para secciones abiertas y cerradas, y ´ es la razón de giro del elemento de viga con respecto a la coordenada axial (en este caso, z) de la viga. Esta función de alabeo F puede dividirse en primaria ( ) y secundaria ( ))

, . 33

Por su parte, si se suponen rotaciones pequeñas

´ ~4

. 34

El desplazamiento primario por alabeo queda definido en Megson [40] por medio de

2´ .35

Donde:

A es el área sectorial total y se define por la ecuación (26). AOs es el área sectorial parcial definida desde un origen arbitario O hasta un punto

de interés s localizado sobre el perímetro, su ecuación es

12

. 35

∮ 35 .

35 .

Despejando para en la ecuación (35a) y aplicando además (34) y (35c)

2 2 . 36

Aplicando las definiciones (26) y (35b-d)

∮

. 36

Arupando todo dentro de una sola integral, se obtiene la función primaria de alabeo.


20

∮

∮

∮ . 36

También vale la pena introducir el concepto de flujo de corte de St. Venant λ, el cual Cárdenas define en su artículo [14] por medio de la ecuación (37)

∮ . 37

Esta formulación resulta muy útil para el análisis de viga en el caso de Euler, ya que si se aplica la definición de elasticidad (primera parte de 19) y tras unas cuantas sustituciones con (2) y (7)

. 38

Introduciendo (36) en (38) y luego aplicando (37) se verifica inmediatamente la segunda parte de (19).

2.4.3. Alabeo secundario

Para deducir la función de alabeo secundario primero recurriremos a la ecuación de Prandtl, la cual es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, en dos variables.

Φ Φ2 ´ .39

Donde Φ , es una función que debe proponerse para resolver la ecuación diferencial, lo cual se oye matemáticamente desafiante. Por fortuna de acuerdo con Megson [40], en

franjas rectangulares 0 ya que por analogía de la membrana solamente se registra

variación a lo largo del eje x de la franja es decir, su espesor. Por lo tanto la ecuación (39a) se convierte en ordinaria

Φ2 .39

Y se puede resolver fácilmente por doble integración. Si se toman como condiciones de

frontera Φ 0 en , la solución completa se expresa como

Φ 2

.40


21

Ahora, pueden aprovecharse las relaciones de esfuerzos que propone el mismo Prandtl para así poder aterrizar la ecuación (40) en una relación más práctica.

Φ . 41

Φ . 42

Resultando en

2 . 41

0 . 42

Ahora se harán suposiciones de sección transversal rígida, validando el supuesto de los pequeños desplazamientos, reflejándose esto en la Figura 13. Por trigonometría

sin .43

cos .44

Figura 13. Suposición de desplazamientos pequeños en la sección transversal de una viga a torsión

De la elasticidad básica


22

.45

.46

Despejando (45a) y (46a),

. 45

.46

Ahora, se derivan parcialmente las ecuaciones. (43 y 44) con respecto a z.

´ .47

´ .48

Sustituyendo (42b) y (47) en (45b) nos arroja la ecuación

´ . 49

Integrando por separación de variables

´ . 50

Finalmente, por analogía de la membrana las condiciones de frontera para el alabeo son w = 0 en x = y = 0. Por lo tanto, f (y) = 0 y la ecuación (50a) se reduce a

´ .50

Convirtiendo a coordenadas perimetrales

´ .51

Por lo tanto, sustituyendo (36c) y (51) en (32) se obtiene el desplazamiento por alabeo completo.


23

, , ´∮

. 52

La constante de rigidez al corte G para materiales compuestos utilizada en todos los modelos de esta sección, corresponde a [14]

. 53

Donde A66 se obtiene de la matriz ABD, explicada en la sección 2.4. Para concluir esta sección solamente cabe recalcar que es conveniente escoger un origen de contorno 0 y una posición polar P de tal manera que se satisfaga la condición [14, 40]

, 0 . 54

Lo que implica que el desplazamiento por alabeo , , es continuo a lo largo del perímetro de la sección transversal. Para completar la función de alabeo es necesario restarle una constante C definida como

∮ ,

∮ . 55

2.5. Discretización en elementos finitos

Ahora es necesario discretizar el modelo TWB para que se pueda implementar en computadora. Existen varias razones por las cuales escoger el método del elemento finito [28], entre las cuales se incluyen:

Modelar geometrías irregulares con relativa facilidad. Manejar condiciones generales de carga sin dificultad. Modelar cuerpos compuestos por materiales tan diversos debido a que

las ecuaciones de cada elemento se evalúan individualmente. Manejar un número ilimitado y una diversidad de condiciones de frontera. Variar el tamaño de elementos de tal manera que sea posible utilizar

elementos pequeños donde sea necesario. Alterar el modelo de una forma rápida y eficaz. Incluir efectos dinámicos. Manejar comportamiento no lineal en caso de existir deformaciones

grandes y materiales no lineales.


24

Dentro de las ventajas también se puede incluir a la diversidad de problemas que se pueden resolver, tal y como se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2. Resumen sinóptico de los problemas que pueden ser modelados y resueltos por FEM [41].

Tipo de problema Equilibrio (constantes en el tiempo)

Eingenvalores (frecuencias características)

Propagación (variantes en el tiempo)

Estructuras de ingeniería civil

Armaduras, marcos, placas, cascarones, puentes y arcos.

Frecuencias naturales de estructuras, estabilidad y análisis modal.

Propagación de las ondas de esfuerzo.

Estructuras aeroespaciales Análisis estático de alas, fuselajes, alerones, cohetes y naves espaciales.

Frecuencias naturales, flutter, estabilidad de aeronaves, cohetes y naves espaciales.

Respuesta a cargas aleatorias.

Conducción de calor Distribución de temperaturas en estado estable.

Problemas en estado transitorio de toberas, motores de combustión interna, álabes de turbinas y edificios.

Hidráulica Flujos potenciales, viscosos, transónicos,y análisis aerodinámico.

Periodos naturales de presas, lagos y otros cuerpos de agua.

Flujos transitorios.

Ingeniería biomédica Análisis de esfuerzos de globos oculares, huesos y dientes; mecánica de las válvulas del corazón; capacidad de carga de implantes.

Análisis de impactos en el cráneo, dinámica de estructuras anatómicas.

Diseño mecánico Concentración de esfuerzos, recipientes a presión, pistones, materiales compuestos, eslabonamientos y engranes.

Frecuencias naturales, mecanismos, estabilidad de engranes y máquinas herramienta.

Problemas de agrietamiento y fractura de elementos sometidos a cargas dinámicas.

Generación de energía Análisis de sistemas solares, eólicos y de combustibles fósiles. Estado transitorio de máquinas sincrónicas y de inducción. Magnetostática.

Comportamiento transitorio de dispositivos electromecánicos tales como motores y actuadores. Magnetodinámica.

Una capa de lámina es delgada en comparación con todo el laminado. Por lo tanto puede considerarse que ésta se encuentra en un estado de esfuerzo plano, es decir todos los esfuerzos relacionados con el espesor son iguales a cero. La relación constitutiva en la dirección de la fibra de la k-ésima capa puede escribirse como

00

0 0 . 56


25

Donde

1,

1,

1 1, . 57

La relación entre el sistema coordenado natural del aspa y el de las fibras se muestra en la Figura 14.

Figura 14. Relación entre los ejes coordenados normal‐tangencial y local de fibra [Adaptado de 43].

Como el modelo TWB está expresado en el sistema coordenado normal-tangencial, es necesario convertir los esfuerzos usando una matriz de transformación T donde m = sin n, n = cos n. Por su parte, n es el ángulo entre ambos sistemas coordenados.

22

.58

Después se obtiene la matriz de coeficientes reducidos [ ], aplicando la matriz de transformación a [Q].

. 59

La cual, por facilidad de cómputo, se desarrolla de la siguiente forma

cos 2 2 sin cos sin . 60


26

sin cos 4 sin cos . 60

sin 2 2 sin cos cos . 60

2 sin 2 sin cos . 60

2 sin cos 2 sin . 60

2 2 sin cos sin cos . 60

Así, la relación entre esfuerzos y deformaciones en el sistema normal-tangencial queda definida de la siguiente manera

. 61

La ecuación (61) puede reducirse aún más, si se toma en cuenta que la deformación εs

= 0 por rigidez de la sección transversal, por lo que habrá que modificar la matriz a ∗ , con las siguientes ecuaciones

∗ . 62

∗ . 62

∗ . 62

Quedando la ecuación constitutiva reducida a

∗ ∗

∗ ∗ . 63

Apoyándose en las ecuaciones (24) y (25b), es posible calcular las cargas internas de la viga.

. 64


27

sin . 64

cos . 64

. 64

cos . 64

sin . 64

2 . 64

2 . 64

Quedando formuladas las cargas axial (Nz), por flexión (My, Mx), par de alabeo en la dirección axial (Mω), cortante transversal (Vx, Vy), par torsional (Mt) y la torsión por alabeo actuando en sentido tangencial de la sección transversal.

Por lo que sustituyendo la ecuación (63) en cada una de las ecuaciones (64), se llega a una serie de integrales que debe evaluarse con ayuda de las matrices ABD. Las integrales que constituyen la matriz E que se muestra en la ecuación (65), se desarrollan en el Apéndice A.1.

. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . .

. 65

Donde,

; ; ; . 65


28

Para calcular la matriz [Eij], la cual representa la rigidez de una sección transversal dada, es necesario utilizar los coeficientes proporcionados por las matrices ABD, conocidas formalmente como matriz de rigidez a la extensión, rigidez a los efectos combinados de extensión y flexión, y rigidez a la flexión, respectivamente [43]. Estas matrices combinan las rigideces de todas las capas presentes en un solo laminado. El cálculo numérico procede por integración aproximada.

. 66

12

. 66

13

. 66

El método del elemento finito tiene sus bases en los métodos energéticos desarrollados por Bernoulli en el siglo XVII [42]. El principio de la energía potencial total del sistema se calcula mediante la suma de la energía de deformación y el trabajo realizado por las fuerzas externas [29].

Π . 67

Donde

12

. 68

Sustituyendo en la última expresión, las ecuaciones (24 y 25b)

12

sin cos

cos sin2

2

. 69

Para simplificar la ecuación (69), se retoman las definiciones de las cargas internas establecidas por (65b) y (66)


29

12

. 70

Incluyendo los términos de fuerzas superficiales de tracción y fuerzas internas de cuerpo, se complementa la ecuación de energía [29].

d . 71

Entonces,

Π12

′0

′ ′ ′ d

. 72

Sustituyendo las cargas de la ecuación (65a) en (72), la energía de deformación se expresa ahora como una función de los desplazamientos y la matriz [E]. Usando el principio variacional de energía potencial cero en [19-21], se obtiene la forma débil de las ecuaciones las cuales se resuelven suponiendo desplazamientos unidimensionales basados en la formulación de elemento finito. Los desplazamientos generalizados se expresan mediante una combinación lineal de funciones de interpolación de Lagrange unidimensionales Υ , donde j es el subíndice nodal [14]:

Υ . 73

Υ . 73

Υ . 73

Υ . 73


30

Υ . 73

Υ . 73

Υ . 73

Donde:

Υ 1 . 74

Υ . 74

Donde ze es igual a 0 en el nodo número 1 y es igual a le (longitud del elemento) en el nodo número 2. Las ecuaciones discretas de movimiento para un elemento genérico de viga pueden expresarse por medio de [44]

M C u K u f . 75

De tal manera que [Me], [Ke] son las matrices de masa y rigidez lineales locales, tal y como se definen en [19-21], [Ce] es la matriz de amortiguamiento histerético, {f} es el vector de cargas nodales, y u , u , son los desplazamientos, velocidades y aceleraciones nodales, respectivamente.

Para calcular [Ke] a partir de [E], existen formulaciones cerradas que permiten hacer el cálculo [20], sin embargo hace falta algún implemento numérico para que pueda programarse en la computadora. En su programa, Cárdenas [22] se vale del desarrollo se muestra en el Apéndice A.2.

Este trabajo se enfoca en una modelación cuasiestática, por lo que se cancelan los términos de masa-aceleración nodal y amortiguamiento-velocidad nodal, quedándonos con la ecuación reducida (76)

K u f . 76


31

… ,

⋮ ⋱ ⋮, … ,

. 76

. 76

. 76

La matriz de rigidez del elemento es de tamaño 14 x 14 ya que incluye los 7 grados de libertad (W, U, V, , y, x, ) por cada uno de los dos nodos que limitan al elemento. Este elemento puede apreciarse en la Figura 15.

Figura 15. Vista del elemento lineal de viga bajo el cual se basa el programa [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 14].

Por último se suman las contribuciones de cada elemento en una matriz de rigidez global [K] y se despeja la ecuación [K]{u}={f} (globales de 707 x 707) para obtener los desplazamientos que se utilizarán más adelante. El esquemático que resume toda esta sección, se muestra en la Figura 16.


32

Figura 16. Representación gráfica de la subrutina para el ensamble de la matriz de rigidez [K].

2.6. Análisis de esfuerzos

Para el cálculo de esfuerzos se utiliza la formulación de Timoshenko con los siete desplazamientos nodales obtenidos del análisis de elemento finito (sección 2.5). Una vez que este campo de desplazamientos ha sido calculado, se recupera el siguiente campo de deformaciones

sin cos . 24

cos sin2

2

. 25

El estado de esfuerzos de cada segmento se obtiene por medio de

∗ ∗

∗ ∗ . 77

Finalmente, se utiliza una matriz de transformación para pasar del sistema coordenado s-n-z al de fibra/matriz [14].

. 78


33

Donde,

. 78

Nótese que Cárdenas denomina en su programa a σ11 como σx, a σ22 como σy y a a σ12

como xy.

2.7. Aplicaciones en energía eólica

Como ya se comentó, Cárdenas [14] en su tesis codificó una programa que predecía la progresión de daños (PFA) por carga estática. En este capítulo se discutirá la introducción de los datos respecto al análisis de elemento finito.

2.7.1. Preprocesamiento

La introducción de todos los datos necesarios para correr el programa, se realiza a través de una interfaz de Excel. Existen cuatro datos de geometría que deben ser introducidos. Primero, es importante especificar la variación de la longitud de la cuerda a lo largo del radio del aspa. Por esta variación, el aspa puede dividirse en tres regiones:

La raíz cilíndrica y por ende de longitud constante. La zona de transición, cuya variación está dada por un polinomio. El cuerpo del aspa, que presenta una variación tapered o lineal.

En la Figura 17, se ilustra el ejemplo de modelación tratado en el artículo de Cárdenas, et al en su artículo. Cabe mencionar que estas variaciones se realizan respeto a z, incluso si en la figura se usa x. Todos los datos geométricos comentados en esta subsección se tomaron del prototipo NS-100, implementado por Sandia National Laboratories (SNL) y publicado por Locke y Valencia [45].


34

Figura 17. Modelo de variación de la longitud de la cuerda respecto a su posición radial [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

En el artículo también se menciona que es necesario indicarle al programa en cuáles porciones de la cuerda se ubican ciertos laminados, tanto en la superficie superior como inferior. En la Figura 18 se muestra una división de la sección transversal del aspa a través de su cuerpo, con un perfil S821, en cinco segmentos. Nótese cómo esta regla aplica a toda la cuerda, ya que las longitudes de los segmentos se proveen en porcentajes.

Figura 18. División de un perfil S821, en cinco diferentes segmentos [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Los perfiles de la zona de transición también se dividen en segmentos, sin embargo ésta es más irregular y por eso se dejan para el Anexo B.1.


35

El tercer aspecto geométrico que hay que tomar en cuenta, según el artículo, es la rotación del perfil respecto al eje horizontal de la cuerda. Nótese cómo el perfil se va haciendo más horizontal conforme uno se acerca a la punta. El polinomio de variación del ángulo en radianes se muestra en la Figura 19.

Figura 19. Variación del ángulo de rotación respecto a la horizontal de la cuerda, dependiendo de su posición radial [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Finalmente, también existe la opción de especificar al programa un alma (web) que pase por en medio de la sección transversal. Por default, la cuerda se ubica en el punto medio del segmento III de cada perfil por lo que solamente habrá de especificar las coordenadas de inicio y fin radial (Figura 20). Para el caso de estudio del trabajo de Cárdenas, se incluyó un alma que se entendía de R = 1 m a R = 8.2 m. Sin embargo, para esta tesis, la sección transversal no contará con este aspecto.

Figura 20. Aspa utilizada en el artículo de Cárdenas, con corte en R = 3.2m, donde se muestra el alma del perfil [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].


36

Quedando la geometría completa, habrá de especificar los atributos de material. Como se trata de una fibra de vidrio, el material no es homogéneo ni isotrópico. En la Tabla 3, se enlistan los cinco materiales básicos requeridos para modelar el aspa.

Tabla 3. Materiales básicos usados para la modelación del aspa [22].

Código material

Nombre del material

Densidad (kg/m3)

E11 (GPa) E22 (GPa) v12 G12 (GPa)

A C520 1874 48.2 11.7 0.30 6.48 B C260 1874 43 8.9 0.27 4.5 C Petatillo ¾ 1670 7.58 7.58 0.30 6.48 D Capa de gel 1230 3.44 3.44 0.30 1.32 E Madera

balsa 144 2.07 - 0.22 -

Los materiales se apilan en capas, dentro de una serie de laminados. Existen quince diferentes tipos de laminados, los cuales se distribuyen en el aspa tal y como se muestra en la Tabla 4 y la Figura 21. Información más específica respecto a los laminados, se desglosa en el Anexo B.2.

Tabla 4. Distribución de los laminados a lo largo del aspa [22]. Confróntese con la Figura 16 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Figura 21. Distribución de los laminados a lo largo del aspa. Confróntese con la Tabla 4 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Para las condiciones de frontera, se empotró la raíz del aspa y se utilizaron cuatro casos de carga, los cuales se ilustran en la Figura 22.


37

Figura 22. Diversos casos de carga aplicados al aspa.

En la sección 4.3 se detallan los pormenores del preprocesamiento en el archivo MS Excel.

2.7.2. Procesamiento

Para fines de corroboración, el modelo codificado por Cárdenas fue contrastado contra resultados provistos por un programa comercial, así como resultados experimentales. En este caso, ANSYS fue el software de elección, específicamente usando el modelo 3D-SHELL 99 con elementos cuadráticos de 8 nodos. Éste será tomado como el Modelo 1; este modelo se discretizó en 3 352 elementos y 9 956 nodos, equivalente a 55 356 grados de libertad. Por su parte, el Modelo 2 es el que codificó Cárdenas para su tesis [14, 22]. Finalmente, el Modelo 3 se tomó de los resultados provistos por SNL, sin embargo éstos se consideran incompletos debido a que no se tienen datos de la raíz del aspa.

2.7.3. Posprocesamiento y análisis de resultados


38

Después de correrse los modelos, se analizan las curvas deflexión obtenidas, donde se comprueba que los resultados obtenidos por el programa de Cárdenas son muy cercanos a los obtenidos por el programa comercial (ANSYS), con la ventaja adicional del primero ser mucho más eficiente computacionalmente (30 elementos, 31 nodos y 217 grados de libertad). Ver Figuras (23‐25).

Figura 23. Comparativo de curvas de deflexión para casos 1 y 2, mostrados en la Figura 22 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].


39

Figura 24. Desplazamiento angular para el caso 3 de la Figura 22 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

Figura 25. Comparativo de deflexión para el caso 4 [reproducido con permiso de D. Cárdenas, 22].

40

____________________________________________________

CAPÍTULO 3

MODELO DE ANÁLISIS DE FALLAS PROGRESIVAS POR FATIGA______________________________________________ Resumen. El propósito de este capítulo será seleccionar y desarrollar el modelo de daños progresivos por fatiga. Para ello, primero se hará una breve introducción al tema de fatiga, familiarizando al lector con los conceptos normalmente utilizados en la materia. Después, se hará una revisión bibliográfica de todos aquellos modelos de degradación por fatiga que partan de experimentos hechos en materiales compuestos. Paso seguido, el trabajo se enfocará al estado del arte especializado en aspas de aerogenerador. Por último, se mencionará y desarrollará el modelo escogido para el programa de análisis de fallas progresivos (PFA por sus siglas en inglés) por fatiga, sin olvidar enlistar sus tres componentes: el análisis de esfuerzo, el cálculo del número teórico de ciclos a falla y la degradación de propiedades.

______________________________________________________________________

3.1. Conceptualización de la fatiga

3.1.1. Generalidades

Como ya se describió en el Capítulo 1, la fatiga es el fenómeno más frecuente de fallas en aspas de aerogenerador sin embargo, no es sencillo de modelar. Por esta razón es importante que se desarrolle un programa que prediga la vida del aspa y la evolución del daño en la misma, representando esta rutina una herramienta esencial para todo diseñador.

Antes de adentrarnos al tema, es importante definir el concepto de fatiga. De acuerdo al manual de Shigley [50], la falla por fatiga es aquélla generada por la acción de cargas repetidas o fluctuantes. Cabe mencionar que estas cargas fluctuantes pueden ser de amplitud constante o variable. Para propósitos de simplificación, el programa codificado para obtener los resultados de simulación del Capítulo 5, simula un aspa sometida a esfuerzos de amplitud constante. En la Figura 26, se esquematiza una serie de ciclos a amplitud variable (inciso a) y amplitud constante (inciso b).

Como ya lo habrá notado el lector, la vida de la fatiga se medirse en ciclos. En mecánica elemental [51], un ciclo se define mide el número de repeticiones de un objeto sometido a movimiento oscilatorio a lo largo de cierto período de tiempo. Por lo tanto, extrapolando esta definición, los ciclos de esfuerzo en fatiga corresponden a una operación de carga

Capítulo 3: Modelo de análisis de fallas progresivas por fatiga

41

y descarga en ambas direcciones. Por extensión, el número de ciclos de vida o de falla por fatiga (Nf), corresponde a cuántas veces se puede realizar esta repetición antes de que falle el componente sometido a este régimen de cargas.

Figura 26. Representación gráfica de ciclos de amplitud a) variable b) constante.

3.1.2. Fatiga a amplitud constante

Ya hecha la delimitación del problema al caso de amplitud constante, es necesario conocer todos los conceptos relacionados a las curvas de amplitud constante (Figura 26b). El esfuerzo máximo (σmax), es el mayor valor que puede tomar la carga cíclica y el esfuerzo mínimo (σmin) es el menor valor. A partir de estos dos conceptos, surgen el esfuerzo promedio (σm) y la amplitud de esfuerzo (σa), definiéndose matemáticamente por medio de las ecuaciones (79) y (80).

2 . 79

2 . 80

Finalmente, se debe introducir el concepto de razón de esfuerzo (R), el cual es simplemente la división del esfuerzo mínimo entre el esfuerzo máximo.


42

. 81

En fatiga no solamente importa conocer el estado de esfuerzos, sino también cómo se van degradando las propiedades del material (S) tras una serie de ciclos (N), las cuales pueden graficarse usando un diagrama S-N (Figura 27). Visto de forma simplista, esto no es más que la gráfica de las funciones de degradación de propiedad de material (usualmente alguna resistencia S), sin embargo a partir de ésta pueden notarse otras cuestiones relacionadas con la curva de esfuerzos a amplitud constante y la resistencia a la fatiga (Se). Existen ejemplos de curvas S-N para metales, tales como las propuestas 8por Wöhler (Ec. 87) y Basquin (Ec. 88). Un desarrollo completo para materiales compuestos se presenta de la sección 3.2.5 en adelante.

Figura 27. Esquematización del diagrama S‐N así como su relación con el diagrama de esfuerzo a amplitud constante (CA) [adaptado de 10].

Cabe mencionar que los diagramas S-N, son obtenidos experimentalmente a partir de un valor exclusivo para R, por lo tanto este valor siempre debe ser especificado [10].

Así como los diagramas S-N son útiles para determinar la vida del material, existen los diagramas vida constante (CLD, por sus siglas en inglés), que ayudan a determinar geometrías y esfuerzos máximos a partir de un nivel determinado de vida del material (Nf). Estos diagramas incluyen varios elementos tales como el Diagrama de Goodman,


43

las coordenadas de esfuerzo cíclico y estático, así como las envolventes de los diversos criterios de falla. A continuación solamente se mencionan los usados para materiales dúctiles isotrópicos, ya que la sección 3.4 está específicamente diseñada para incluir los criterios de falla en materiales compuestos.

El uso más importante que se le da a un diagrama CLD es la aplicación de criterios de falla. Para metales, la industria utiliza tres criterios. El primero fue propuesto por el alemán Gerber en 1874, quien trazó una parábola basada en la resistencia a la fatiga (Se) y la resistencia última a la tensión (Sut). La expresión se muestra en la ecuación (82) y en la Figura 28, todo punto que quede bajo la curva se encuentra en el área segura (punto negro). Goodman (1899), propuso un criterio similar al anterior con la diferencia que la envolvente estaba limitada por una línea recta (Ec. 83). Un tercer criterio, fue propuesto por el norteamericano Soderberg, quien adaptó la ecuación de Goodman sustituyendo la resistencia última por la resistencia a la cedencia (Syp), ecuación (84) [53]. Haciendo comparaciones, el criterio de Goodman contempla la falla por fluencia, sin embargo es bastante restrictivo y conservador en comparación a los primeros dos.

1 . 82

1 . 83

1 . 84

Figura 28. Diagrama CLD utilizado para criterios de falla. El punto negro (P1) está en el área seguro, mientras que el rojo (P2) no lo está [adaptado de 53].


44

Otro uso que se le da al diagrama CLD es la reconstrucción de curvas S-N para otros valores de R, dada la curva original [10]. Por ejemplo, esto es muy útil cuando se desea saber la curva S-N de un material para R=0.1, cuando se tiene la de R = -1. En la Figura 29, se pueden observar las rectas representativas para cada R. Como todas estas rectas pasan por el origen, solamente es necesario calcular su pendiente para trazarlas (Ec. 85). Nótese que para R = -1, su pendiente es infinita y por ende la recta es vertical.

11

. 85

Ahora, para relacionar la coordenada del diagrama S-N con el diagrama CLD, es necesario transformar a , aplicando la siguiente ecuación.

1

2 . 86

Figura 29. Ejemplo de cálculo de diagrama S‐N, a partir de un diagrama CLD. Adaptado de [53].

3.2. Estado del arte de la fatiga en materiales

3.2.1. Primeros desarrollos de la fatiga en metales

Una curiosidad que se conoce desde la antigüedad y es interesante mencionar sobre las fallas por fatiga, es la relacionada a las magnitudes de esfuerzo de falla relativamente menores si se le comparan con aquéllas ocasionados por carga estática. Por esta razón, las deflexiones de ésta última también son mayores y más notorias que las ocasionadas


45

por fatiga. De hecho, existe un aura de misterio en el origen de la palabra fatiga, acuñado por el ingeniero francés Jean-Victor Poncelet [52], quien la usó para englobar todas aquellas fallas que se originaron por un “cansancio” debido a la acción repetitiva de las cargas y que en determinado momento, fallaron.

Esta imprecisión temporal en la definición de Poncelet también se debe a la aparición de grietas que a simple vista resultan difíciles de detectar [53]. Sin embargo, conocer la naturaleza de éstas permite conocer el comportamiento general en fatiga. Existen tres fases importantes en el desarrollo de una falla por fatiga. Inicialmente se da un proceso de nucleación a partir de concentradores de esfuerzos que originan la grieta, continuando con una propagación lenta de grieta (Zona 1, Figura 30). En esta primera zona es posible a veces distinguir la propagación de la grieta ciclo a ciclo. Conforme uno se acerca a la zona 2, las marcas de playa de la zona 1 se distinguen con mayor facilidad. Esta zona 2 es considerada la de propagación rápida de grieta y refleja el carácter exponencial con el que se da la falla por fatiga durante todo el proceso. Finalmente, la grieta termina por hacer fallar el componente, tal y como se ve en la zona 3.

Figura 30. Generación y progresión de una grieta por fatiga en una flecha. Nótese cómo la grieta comienza en el chavetero [adaptado de 53].

Sin embargo, a pesar lo antiguo del conocimiento sobre los fundamentos de la fatiga, su estudio no se formalizó hasta la tercera década del siglo XIX, cuando se popularizó el uso del ferrocarril. La aparición de fallas causadas por fatiga no se hizo esperar: diversos componentes mecánicos giratorios, mayor durabilidad y fuentes de concentración de


46

esfuerzos fueron las causas que hicieron que la Ingeniería Mecánica prestara más atención al fenómeno cíclico. Los primeros estudios sistemáticos [53] de fatiga fueron realizados hacia 1837 por W. A. J. Albert en Alemania respecto a cadenas de arrastre en instalaciones mineras. En 1842, el escocés Rankine analizó y comentó las posibles causas de las roturas que con preocupante frecuencia se presentaban en los ejes de las ruedas del ferrocarril y demostró que la reducción de las concentraciones de esfuerzo aumenta la duración de los ejes y citó el fenómeno de “envejecimiento” del material debido a la aplicación de tensiones variables.

3.2.2. Desarrollo de la ecuación de fatiga en metales

Sin embargo, el uso del vocablo “fatiga” como tal se origina a mediados de siglo XIX con la ya mencionada analogía de Poncelet. También se hace mención a Baithwaite como el inventor de la palabra, sin embargo a partir de la bibliografía se puede confirmar que el solamente tradujo el concepto acuñado por Poncelet. En 1860, el alemán Wöhler fue el primero en realizar pruebas de laboratorio especializadas en fatiga de metales, a partir de probetas y piezas de ferrocarriles, y fue el primero en proponer una ley exponencial para predecir matemáticamente el comportamiento mecánico en fatiga [10].

log ∙ . 87

Donde:

N es el número de ciclos aplicado σ es la amplitud del esfuerzo c, d son las constante resultantes del ajuste exponencial y dependen del material.

Como notar del autor, esta formulación se obtuvo a partir de experimentos de fatiga con ciclos a amplitud constante [10]. Entre otras aportaciones importantes hechas por Wöhler al campo de fatiga se encuentran la invención de la máquina rotatoria para hacer los ensayos, así como la resistencia a la fatiga Se, que es nivel máximo de esfuerzo en el cual no se produce rotura por elevado que sea el tiempo de aplicación de las cargas cíclicas [53].

En 1910, el norteamericano Basquin se dio a la tarea de plantear una ecuación logarítmica de tipo S-N.

log log . 88


47

Donde:

N es el número de ciclos aplicado σ es la amplitud del esfuerzo a, b son las constante resultantes del ajuste exponencial y dependen del material.

Como ésta se trata de una adaptación log-log de la ecuación de Wöhler, está también parte del supuesto que el material es metálico y se somete a cargas de amplitud constante [10].

3.2.3. Caracterización fenomenológica de la fatiga en metales

En 1903, Ewings y Humphries observaron que con tensiones de fatiga, el aspecto de la superficie de las probetas vistas al microscopio era similar a las que superaban el límite de proporcionalidad o la resistencia a la cedencia estática (Syp, ver Figura 31), al presentarse deslizamientos parecidos en algunos planos del material. Estas líneas de deslizamiento surgen para un valor de esfuerzo máximo en fatiga mucho menor que Syp. Además, si se continúa aplicando la carga cíclica, crece la anchura de estas líneas hasta que se produce la rotura de algunos cristales que componen al material [53]. Sin embargo, Ewings y Humphries no pudieron explicar fenomenológicamente el concepto de la resistencia a la fatiga Se, registrado en las curvas de Wöhler.

Figura 31. Típico diagrama esfuerzo‐deformación obtenido tras un ensayo de tensión en una probeta metálica. Nótese la ubicación del límite proporcional (Syp) y la resistencia última a la tensión (Sut) [adaptado de 53].


48

Por ello, a mediados de la década de 1920, Hanson y Gough explicaron este fenómeno con una hipótesis que apuntaba al endurecimiento por deformación, de tal manera que ésta es capaz de frenar la propagación de las microgrietas originadas por el deslizamiento cristalino. Por desgracia, esta explicación no ha podido ser caracterizada cuantitativamente. Otros trabajos que intentan explicar σe son las teorías de endurecimiento de inclusiones (Orowan, 1939) y las ecuaciones de fractura por fatiga de Paris (1960). Sin embargo, todavía no existe una interpretación cuantitativa contundente que permita explicar dicho fenómeno aun así existe una metodología utilizada en la práctica para aproximar el valor de Se en base a factores de diseño, para más información consúltense [50] y [53].

3.2.4. Otros desarrollos de fatiga en metales

Por último, se presenta una tabla con las aportaciones de importancia hechas al estudio de la fatiga. La razón por la cual se hace este sintético, es para no extender más el tema y perder el hilo del trabajo.

Tabla 5. Sintético de aportaciones al estudio de fatiga [adaptado de 53].

Año Autor Desarrollo

1886 Bauschinger Efecto Bauschinger: variación de la resistencia a la cedencia debido a la aplicación repetida de tensiones.

1874 Geber Propuso la primera teoría de falla para fatiga: la línea de Gerber. 1899 Goodman Propuso la línea de Goodman como criterio de falla lineal basado en

la resistencia última del material. 1918 Moore Máquina de prueba rotatoria. 1920 Griffith Mecánica de la fractura. 1924 Palmgren Regla de daño acumulativo. 1924 Gough Sensibilidad a las muescas. 1930 Thum Estudios sobre la concentración de esfuerzos. 1939 Weibull Aspectos estadísticos de la fatiga. 1945 Miner Autor de otra regla de daño acumulativo. 1953 Peterson Manual completo de factores de concentración de esfuerzos. Soderberg Propuso la línea de Soderberg como criterio de falla lineal basado

en la resistencia a la cedencia.


49

3.2.5. Desarrollo actual de fatiga en materiales compuestos

El estado del arte indica que los primeros estudios de fatiga en materiales compuestos tuvieron lugar en la década de los setenta. La necesidad es estudios radica en la ventaja ya mencionada de los compuestos, los cuales combinan alta resistencia con bajo peso.

Aunque en esta sección se incluyen ejemplos aterrizados tales como el de Noback a aspas de helicóptero y el de Mandell a aspas de aerogenerador, el propósito de esta sección es limitar el estudio de esta sección a modelos de degradación y las técnicas de obtención experimental. Por su parte, aspectos externos más enfocados con aspas tales como cargas a las que usualmente están sometidas se revisan en la sección 3.3.

Como ya se mencionó, el estudio estructurado de los materiales compuestos se dio inicio en la década setenta. Sendeckjy fue de los primeros en incursionar en el tema y en su trabajo [54] describe un modelo de degradación a partir de un ajuste de curvas usando la distribución de Weibull. Este ajuste de curvas se aplicó a una serie de puntos obtenidos experimentalmente (número de ciclos de falla contra esfuerzo a amplitud constante) de un prueba con máquina universal (frecuencia de 3 Hz, R = 0.1) a un material compuesto unidireccional de ocho capas con fibras de vidrio en orientación a 0° reforzando una matriz de epóxico. La relación obtenida es

1 .89

Donde:

Sr es la resistencia residual. Seq es la resistencia equivalente, que es una corrección de la resistencia inicial. σmax es el esfuerzo cíclico máximo. n es el número de ciclos normalizado. C, S son constantes de ajuste para esta ecuación.

Poco después, Noback [55] aplicó un modelo estadístico similar para aspas de helicóptero. Esta publicación no específica los métodos experimentales utilizados, sin embargo la peculiaridad que vale la pena rescatar es la utilización del límite o resistencia de fatiga (Se) en su modelo. Como ya se mencionó, las curvas S-N tienden asintóticamente a un valor conocido como Se, es decir lim

→. La ecuación obtenida

tras el ajuste es:

. 90


50

Con N siendo el número de ciclos. Lo problemático de este modelo es que cuenta con tres parámetros de ajuste (b, B, ), uno más que el modelo propuesto por Sendeckjy.

En búsqueda de simplificar los modelos y reducir el número de parámetros de ajuste, Mandell [56] empieza una serie de experimentos para determinar curvas de fatiga en materiales compuestos en aspas de aerogenerador. Para este caso, Mandell utilizó probetas de poliéster y viniléster reforzadas fibra de vidrio triaxiales [0°/±45°] y uniaxiales [0°], sometidas a una prueba de 50 kip a 15 Hz con una máquina universal MTS 880, a temperatura ambiente.

Después de realizar un ajuste de curvas, se llegó a:

. 91

Lográndose simplificar el modelo de degradación a una sola variable. Debido a que este modelo ha sido respaldado por posteriores experimentos de Mandell (Sección 3.3.), algunos autores [79] lo han incorporado en sus predicciones de propagación de daños por fatiga.

Sin embargo, es muy importante tener en mente que extrapolar una curva de degradación general a partir de datos experimentales específicos conlleva cierto margen de error. Para solucionar este problema, Noback [55] propuso un factor de reducción, haciendo que el análisis con curvas S-N se vuelva más conservador. Sin embargo este modelo puede considerarse primitivo, ya que este factor proviene de una distribución normal, argumento que en la actualidad está desacreditado ya que la práctica ha mostrado que la distribución de Weibull es más apropiado para el análisis [57].

Función de cumulativa (cdf):

exp .92

Función cumulativa (pdf)

exp .93

Donde:

V0 es el valor límite. V es cierto valor puntual.


51

C es el valor de escala. k es el valor de forma.

En las ecuaciones, V y V0 son las variables que se están distribuyendo y por ende pueden cambiar dependiendo de la aplicación. También existe la aplicación de criterios de falla probabilísticos, los cuales se proponen en la tesis de Arellano Escárpita [48].

Ronold y Echtemeyer [58] han escrito bastante [73 y 74] en cuanto a desarrollos estadísticos relacionados con la confiabilidad de los resultados obtenidos de pruebas experimentales. También introduce el concepto de frontera de tolerancia, el cual indica qué tan sesgados se encuentran los valores respecto a la media.

Mao y Mahadevan [59] proponen un modelo triparamétrico, el cual puede considerarse completo ya que muestra las tres fases del proceso de degradación por fatiga (sección 3.2.1), el cual suma dos términos ambos semejantes al modelo propuesto por [56]. Estos laminados 810 O, se cargaron en una máquina universal a 75 y 80 % de Sut, f = 10 Hz y R = 0.1.

1 . 94

Donde:

Er es la rigidez residual. E0 es la rigidez inicial. Ef es la rigidez final. n/N es el número de ciclos normalizado. q, m1, m2 son constantes de ajuste para esta ecuación.

Más cercano al tema de esta disertación, se encuentra el trabajo de Tserpes [60], quien implementó un modelo computacional para determinar la progresión de daños por fatiga en una probeta de plástico reforzada con fibra de carbono. En este caso se realizó un análisis de elemento finito para obtener el estado de esfuerzos, el cual a su vez se usó en un criterio cuadrático de Hashin 3-D (explicado en sección 3.4) para verificar si hubo falla. En caso de haberla, se aplica degradación súbita (sudden) sino hay se utilizan las fórmulas de degradación gradual. En resumen, la metodología seguida por este trabajo es similar a [46-47], la cual se explicará con mayor detalle en (3.3 y 3.4).

Entre otros modelos desarrollados para fatiga se encuentran la relación de la fatiga con el número de grietas [61], la determinación de la vida de un material compuesto a partir de constantes físicas [62] y el caso de la fatiga multiaxial [63].


52

3.3. Estado del arte de la fatiga en aspas de aerogenerador

De acuerdo con [53] existen dos categorías de pruebas de fatiga claramente diferenciadas: ensayos en probetas y sobre prototipos. Como se verá, los ensayos sobre prototipos no son tan comunes, sin embargo ofrecen una óptica más realista sobre el comportamiento estructural del aspa. A continuación se mencionarán ambos casos de experimentación.

Como se venía discutiendo en la sección anterior, existen diversas caracterizaciones experimentales para materiales compuestos, sin embargo este campo de estudio es mucho más reducido si se sitúa en aspas para aerogenerador. El primer estudio registrado en la base de datos de OPTIMAT [64] es el realizado por Bach en 1992 [65], quien adapta los resultados obtenidos de probetas a la evaluación de fatiga en aspas. El autor obtiene diferentes modelos de degradación para epóxico reforzado con fibra de carbono y fibra de vidrio, tanto para R=0.1 y R=-1. Asimismo, se puede notar claramente de las gráficas que la evolución del daño por fatiga se compone de las tres fases mencionadas en la sección 3.2.1. Por último, cabe mencionar que el modelo de degradación extrapolado es relativamente completo y se basa en la resistencia última a tensión (Sut) así como en la razón de esfuerzos (R), pero no toma en cuenta otros aspectos tales como modos de falla y orientación de las fibras.

Otra contribución hecha a las bases de datos de fatiga [71] son los estudios de Mandell, investigadores de la Universidad Estatal de Montana (MSU, por sus siglas en inglés). En conjunto con Wahl y Samborsky, este autor ha logrado caracterizar experimentalmente una gama más amplia de materiales que en la contribución hecha por Bach [66-70]. Los experimentos son también peculiares; en vez de usar una máquina universal, [72] realiza las experimentaciones con una bocina de 300 Hz. Finalmente, en algunos trabajos manejan amplitud variable, la cual se basa en trabajos estadísticos de Ronold y Echtemeyer, cuyas aportaciones se explican más adelante. No obstante, estos estudios no logran consolidar una ecuación universal, sino más bien tratan el comportamiento de cada material como un caso distinto.

Aunque el caso de esfuerzos variables escapa al campo delimitado por esta tesis, es importante mencionar que se han logrado desarrollar diversos estudios estadísticos que permiten manejar la información provista por valores estocásticos tales como la carga del viento. Trabajos tales como el de Mandell o el de Neijssen [10] se refieren a los estudios estadísticos hechos por los noruegos Ronold y Echtemeyer [73 y 74], quienes obtiene curvas S-N (específicamente ε-N) a partir de un análisis estadístico basado en la


53

distribución de Weibull. Un caso más práctico es presentado por el australiano Eparachchi [75], quien desarrolla un espectro de carga por fatiga, también basado en la distribución de Weibull, en aspas de 600 W, 5 kW y 20 kW. Cabe destacar que en este trabajo se maneja la técnica de conteo rainflow, siendo éste un método de conteo para extraer las secuencias de tensiones [53]. Primero se procede a un filtrado (peak-valley sequencing), en el cual se dejan solamente los valores máximos y mínimos (ver Figura 32a) [53].

Después, se comparan consecutivamente valores de esfuerzo en un instante, el anterior y el siguiente; si el valor analizado es un mínimo relativo en valor absoluto como sucede en el punto 3 de la Figura 32b, se obtiene el ciclo correspondiente con sus respectivos valores medio y de amplitud, y : de igual modo se procede a continuación con los puntos 7, 10, 13 y 15. Los puntos correspondientes a esos ciclos se eliminan. Las Figuras 32c y 32d, repiten el procedimiento. El resultado obtenido será una serie de valores de tensiones medias y variables a cada una de las cuales le corresponda un único ciclo (ocho en este caso) [53].

Figura 32. Metodología rainfall [adaptado de 53].


54

Un trabajo reciente que muestra cómo se va realizando la metodología es el de Pratumnopharat [76], quien la va aplicando en una serie de tiempo de esfuerzos aplicados a un aspa de eje horizontal con una capacidad de 65 kW.

Uno de los primeros intentos que hubo para simular computacionalmente la fatiga por medio de la técnica rainflow es el descrito por Noda y Flay [77]. En este trabajo se toman datos experimentales obtenidos a partir de una turbina de viento de 225 kW sometido a un estado de cargas de viento en dirección flapwise para una estación localizada en Nueva Zelanda. Sin embargo, el modelo solamente está limitado a este tipo de cargas, además el modelo de un solo grado de libertad para toda el aspa es demasiado simplista, también se supone que el aspa es de un mismo material y en el trabajo no se mencionan efectos por anisotropía. Por último, los daños por fatiga se evalúan por Regla de Miner, desconociéndose el modo de daño del aspa.

El trabajo computacional realizado por Nijssen [10] representa una actualización al anterior, ya que también simula con la técnica rainflow pero toma en cuenta complejidades no mencionadas en [77]. Por ejemplo, utiliza el método basado en resistencia (strength based method) para cuantificar el daño por fatiga, obteniéndose información sobre las propiedades del material (en este caso, resistencia). Además, las propiedades se obtienen a partir de pruebas experimentales, usando cargas de bloque, alternando diferentes regímenes de amplitud constante.

Uno de los pioneros en análisis computacional de la fatiga es Shokrieh [46], quien maneja un modelo de degradación de las propiedades del aspa por fatiga utilizando tres componentes: análisis de esfuerzos, reglas de degradación y criterios de falla. El análisis de esfuerzos por elemento finito arroja un estado de esfuerzos que degrada las propiedades de resistencia (S) y rigidez (E) del aspa. Las reglas de degradación, así como las propiedades se obtienen por medio de experimentaciones con probetas ASTM en una máquina universal MTS 810. Existen reglas de degradación para cada uno de los seis modos de falla: tensión y compresión en la fibra, tensión y compresión en la matriz, cortante in-plane y cortante out-plane. Después, se descuenta el material si no cumple con el criterio de falla cuadrático de Hashin. Finalmente, se arma la nueva matriz de rigidez a partir de las propiedades degradadas y se vuelve hacer el análisis de esfuerzos.

Shokrieh, en su trabajo de investigación publicado posteriormente [47] se puede notar que ha extendido el modelo a diferentes tipos de cargas: aerodinámica, peso, ráfagas anuales, cambios en la dirección del viento, fuerzas centrífugas y giroscópicas, fuerzas de arranque y frenado, efectos térmicos; además de incorporar cargas variables.


55

Además de métodos computacionales, existen modelos paramétricos que permiten evaluar de forma rápida y explícita la extensión de los daño por fatiga. Por ejemplo, Kong [78] evalúa manualmente un estado de fatiga dada cierta distribución de cargas, así como su serie de tiempo. A partir de un breve análisis estadístico, se obtienen las amplitudes de momento flexionante flapwise y edgewise, y subsecuentemente los momentos máximos. Después, aplica un método para recalcular la curva S-N de R=0.1 a R=0.37. Por último corrobora los resultados introduciendo el modelo reducido a un análisis estático de elemento finito. Los factores de seguridad obtenidos indican que el diseño al tiempo especificado es seguro.

Una formulación muy similar es ofrecida por Wu y Lai [79], quienes se dieron a la tarea de calcular la amplitud de las cargas axial y flexionantes (edgewise y flapwise) a partir del modelo simplificado ofrecido por el estándar IEC 61400-2, del cual luego calcularon el valor correspondiente de los esfuerzos, para finalmente combinarlos en un estado único de esfuerzos en fatiga. Después se utiliza una curva S-N [56] para R=0.1, sin embargo como R0.33 fue necesario utilizar un CLD para recalcular los valores de la curva. Por último, se hacen correcciones al número de ciclos obtenido, usando la velocidad angular del aspa y los factores de seguridad.

Por último, cabe concluir que muchos de los modelos aquí presentados [75, 76, 46,47, 78] son para una vida estimada de 20 años.

3.4. Desarrollo del modelo seleccionado

A continuación se describirá el modelo a implementar en la subrutina de daños progresivos por fatiga, el cual fue el que describió Shokrieh [46] en sus tesis. Las razones por las cuales se escogió este modelo fueron las siguientes:

Provee un modelo completo de degradación para resistencia y rigidez. Es capaz de calcular el número de ciclos a la falla (Nf). Se acopla bien con cualquier software de análisis de esfuerzos. Es perfectamente adaptable a la discretización por segmentos propuesta por

Cárdenas [14, 22]. Se proveen resultados experimentales para todas las propiedades del material

incluidas en el modelo, así como las constantes de ajuste.

3.4.1. Estructura general del modelo de degradación

El modelo de degradación propuesto por Shokrieh [46] consiste en tres partes conectadas entre sí. Primero, el programa realiza un análisis de esfuerzos, usualmente por medio de algún programa o código de elemento finito, a partir de las cargas, la geometría, las propiedades del material y las condiciones de frontera consideradas.


56

Después, se aplica un criterio de falla para determinar cuáles partes del aspa, en este caso los segmentos, han fallado. Hay que recordar que un segmento es una celda formada por el cruce entre un elemento axial, una capa y una partición perimetral (ver sección 2.3). Si se identifica la falla, se degradan súbitamente las propiedades del material, haciéndose igual a cero las propiedades relacionadas al modo de falla identificado.

Paso seguido, se aplica la degradación gradual a todas las propiedades de resistencia y rigidez de todos aquellos segmentos que todavía no han fallado. Estas reglas de degradación gradual son leyes logarítmicas parecidas a las que se presentaron en la sección 3.2.5 y son las que rigen el comportamiento del material a fatiga.

Una vez degradadas las propiedades de rigidez, se ensambla de nuevo la matriz [K]. Debido a este cambio, es necesario volver a calcular el estado de esfuerzo tal y como se hizo al principio de este proceso. Finalmente, cabe mencionar que este procedimiento se repite hasta haber llegado algún límite de daño ya sea en volumen de segmentos dañados o bien, por número de iteraciones.

A continuación se describen a detalle los conceptos relacionados a las teorías de falla utilizadas así como las reglas de degradación aplicadas al material. Para el caso del análisis de esfuerzos, éste ya quedó explicado en el capítulo 2. Finalmente, en la Figura 33 se muestra un sintético de la estructura del modelo de degradación por fatiga de Shokrieh.

Figura 33. Resumen esquemático del modelo de degradación por fatiga de Shokrieh [46].

•Formulación clásica de elemento finito con un elemento viga unidimensional con siete grados de libertad por nodo.

Análisis de elemento finito

•Esfuerzo cortante máximo.

•Hashin 3D.

Teoría de falla

•Súbitos.

•Graduales.

Modelos de degradación


57

3.4.2. Teorías de falla

Las teorías de falla son útiles en el diseño de componentes mecánicos y estructurales debido a que indican por medio de una formulación matemática si un material puede resistir las cargas externas. Debido a que se trata de un material anisotrópico, Shokrieh [46] utiliza una teoría de falla que se encargue de monitorear los siguientes modos de falla:

Tensión de fibras. Compresión de fibras. Cortante en interfaz fibra matriz in-plane. Tensión de matriz. Compresión de matriz. Tensión normal. Compresión normal.

Además, en la tesis [46] se considera una relación constitutiva no lineal entre el esfuerzo y la deformación:

. 95

Donde es una constante de proporcionalidad cúbica entre la deformación y el esfuerzo. Esta constante es un recurso que se vuelve más relevante conforme se excede el límite de cedencia del material. Aunque el modelo TWB no toma en cuenta deformaciones no lineales, la implementación de un criterio de falla más completo resulta en una simulación sobreestimada y por ende del lado más seguro. De cualquier forma, se recomiendo flexibilizar el programa para que acepte cualquier valor de esta constante, incluyendo cero (caso de linearidad). Aunque Shokrieh utilice los subíndices x-y-z para el sistema fibra/matriz, por cuestiones de consistencia en esta tesis se respetará la convención establecida en el capítulo 2, donde se determina el eje 1 para la dirección de la fibra, el eje 2 para la dirección de la matriz y el eje 3 para la dirección normal.

A continuación se muestra la Tabla 6 con un resumen de todas las teorías de falla consideradas por Shokrieh. En ella se mencionan las ventajas y desventajas de cada uno.

Tabla 6. Resumen de ventajas y desventajas de teorías de falla.

Teoría de falla Ventajas Desventajas

Tsai-Wu Puede predecir cuál capa falla primero.

No distingue modos de falla y tampoco predice de forma adecuada la


58

degradación del material en zonas dañadas.

Máximo esfuerzo o máxima deformación

Pueden determinar los modos de falla.

Aplicable a TWB.

Carecen de los términos de interacción con esfuerzos cortantes.

Hashin Envolvente polinomial, combina precisión y capacidad para distinguir entre modos de falla.

Aplicable a TWB.

Requiere de conocer el valor .

Ejecución de operaciones aritméticas adicionales.

Como se puede ver, el criterio de falla de Hashin es bastante completo, sin embargo requiere el conocimiento de la constante de proporcionalidad cúbica así como la relización de las operaciones adicionales de suma y elevar al cubo para cada propiedad de cada segmento. El criterio de Hashin suma las contribuciones de los tres esfuerzos correspondientes a la dirección analizada, normalizados a la resistencia correspondiente. La envolvente es un polinomio cuadrático, usualmente un elipsoide tridimensional.

∗

∗

. 96

Donde ε* denota la deformación última, para el segundo término al cortante in-plane y para el último término al cortante out-plane. La inclusión de la ecuación (95) en (95) así como su subsecuente integración, convierte a esta última expresión en una más manejable.

234

234

234

234

. 97

Los demás criterios, excepto el de compresión que no incluye términos cortantes debido a que este modo no está completamente entendido [46], se obtienen de manera análoga. Revísese la Tabla 7 para un resumen de la teoría cuadrática de Hashin tridimensional.


59

Tabla 7. Teoría cuadrática de Hashin tridimensional.

Criterio de falla Formulación Notas (Falla si e>1)

Tensión fibra

Para casos lineales, de lo contrario usar la ecuación (97).

Compresión fibra No completamente entendido.

Interacción por cortante fibra-matriz in-plane

Para 0.

234

234

,

234

234

Tensión matriz

Matriz isotrópica y lineal.

Matriz isotrópica y lineal (cont). Compresión matriz

Compresión normal

Tensión normal

Como el programa original de Cárdenas [14] toma en cuenta las suposiciones de Kirchhoff-Love y de sección transversal rígida, el estado de esfuerzo resultante es plano y por lo tanto conviene adoptar una versión bidimensional de Hashin (Tabla 8).


60

Tabla 8. Adaptación del criterio de Hashin al estado plano de esfuerzos obtenido en la tesis de Cárdenas [14] así como en esta disertación.

Criterio Formulación Tensión fibra

234

234

Compresión fibra

Interacción por cortante fibra-matriz in-plane 2

34

234

Tensión matriz 2

34

234

Compresión matriz 2

34

234

Como nota final, cabe mencionar que los criterios de falla a fatiga son idénticos a los mostrados en la Tabla 8, con la diferencia de que las propiedades del material se van degradando y varían respecto a los ciclos, al estado de esfuerzo y al valor R. Un repertorio más completo de teorías de falla se desarrolla en la tesis de Cárdenas [14] y de Shokireh [46].

3.4.3. Reglas de degradación

En la tesis de Shokrieh [46] se utilizan dos de reglas de degradación, aplicándose cada una de ellas dependiendo de si ya falló el material. En caso de haber ocurrido esto, se recurre a las reglas de degradación súbita, las cuales dejan en ceros a las propiedades del material relevantes. En la Tabla 9 se muestra un resumen de éstas.


61

Tabla 9. Resumen de degradación súbita.

Modo de falla Regla de degradación Notas

Tensión fibra , ,, , , , 0

Falla catastrófica, Compresión fibra Falla catastrófica.

Cortante in-plane , , 0 Falla no catastrófica. El resto de las propiedades no se alteran.

Tensión matriz , , 0 Compresión matriz , , 0

Para todos los demás casos, se emplea una regla de degradación que es básicamente la ecuación de las curvas S-N para la resistencia y la rigidez. Para ello partimos de la ecuación general de degradación [46]

d . 98

Para después resolverla por separación de variables

d . 99

Simplificando

. 100

Para este caso S(n) es el valor de la resistencia después de n ciclos, es el esfuerzo cíclico máximo y m es una constante de ajuste obtenida por métodos experimentales. Para determinar este valor, se aplica la condición final, la cual estipula que R(n) = σmax cuando n = Nf. Es decir, la dalla ocurre cuando la resistencia del material alcance al nivel máximo de esfuerzos. Por lo tanto, al resolver este problema se llega a la ecuación (98).

1 . 101

Después de hacer un repaso bibliográfico, [46] se decanta por el modelo biparamétrico de Harris ya que ofrece una normalización del número de ciclos a fatiga, en este caso 0.5, el cual [46] sustituye por 0.25. Según Harris [80-81], dos ventajas que tienen los parámetros de ajuste α, β de la ecuación (102) es la de adaptarse a cualquier modo de falla y poder reproducir fielmente las diferentes fases del proceso de fatiga.


62

,1

log log 0.25log log 0.25

.102

Donde:

, es la resistencia residual tras un estado de esfuerzos σ y un número de ciclos n.

es el esfuerzo máximo del ciclo de fatiga.

es la resistencia inicial.

es el número de ciclos a la falla.

, son parámetros de ajuste obtenidos de manera experimental.

Como ya se mencionó, [46] no solamente degrada la resistencia sino también la rigidez del material a través de sus módulos de Young y rigidez al corte. Esto trae como consecuencia una actualización de la matriz de rigidez en cada iteración, haciendo que los resultados obtenidos por la simulación sean más integrados y realistas. Para ello, el autor propone una ley exponencial con base análoga a la propuesta por Harris.

,1

log log 0.25log log 0.25

.103

El valor de εf es una constante obtenida a través de experimentos y representa la deformación promedio a la falla. Una ventaja de usar este parámetro es que no varía a lo largo de los ciclos, considerándose independiente del estado de esfuerzos σ, razón de esfuerzos R y por supuesto, n. Los parámetros γ, λ se obtienen experimentalmente.

Para calcular el valor de Nf según la tesis de [46], es necesario tomar en cuenta la suposición de amplitud constante. Debido a que el valor del esfuerzo va variado respecto a n porque la rigidez del aspa se va degradando, sin embargo es posible aplicar la suposición de Shokrieh instantáneamente. Gathercole [82-83] propone un método analítico de acuerdo con la variación de la amplitud promedio normalizado con (a) con el promedio del esfuerzo normalizado (q), por lo que un diagrama de vida constante (CLD) es bastante conveniente para esta metodología (Figura 34).


63

La gráfica en forma de campana corresponde al modelo de la ecuación (104).

1 . 104

Donde:

f = 1.06 [82-83], u, v son parámetros de ajuste experimentales para la curva.

, 0

| | , 0, es el esfuerzo alternante normalizado.

, 0

| | , 0, es el esfuerzo promedio normalizado.

,es la razón de la magnitud de la resistencia a tensión contra la resistencia

a compresión.

Nótese que se manejó una simbología genérica para las resistencias últimas a tensión y compresión dentro de la ecuación (104) ya que existen tales propiedades tanto para la

Figura 34. Gráfica que muestra la relación del cálculo de número de ciclos de vida respecto al estado de esfuerzos y el valor de R.


64

fibra como la matriz. Existen diferentes curvas típicas como la mostrada en Figura 34 para diferentes valores de Nf. Nótese que estás curvas tienen forma de campana, la cual es controlada a través de los parámetros u, v. Estos parámetros determinan el tamaño de la cola izquierda y derecha, respectivamente. Sin embargo, la diferencia entre los valores registrados por los experimentos en [83] muestran que en la práctica se puede tomar

, por lo tanto

1 . 105

También en [82] y [83] se pudo comprobar sin la necesidad de ejecutar muchos experimentos, que la relación entre u y Nf es líneal. El valor de u se puede calcular fácilmente por medio del despeje de la ecuación (105), ya que éste solamente depende del estado de esfuerzos y las propiedades del material.

log . 106

Por lo tanto de (105) y (106) se deduce la ecuación para calcular el número teórico de ciclos a falla.

1 . 107

3.4.4. Procedimientos y resultados experimentales

Para determinar las propiedades del material y los parámetros de ajuste para la formulación de cada modo de falla, es necesario experimentaciones con máquina universal y con probetas diseñadas para cada modo según el estándar ASTM (American Society for Testing Materials). Estos especímenes son de epóxico reforzado por grafito (AS4/3501-6) y se midieron propiedades a tensión y compresión tanto de la fibra como la matriz, así como las propiedades al cortante tanto dentro (in-plane) como fuera (out-plane) del plano.

Los montajes experimentales se hicieron sobre una máquina universal MTS 810 equipado con pinzas hidráulicas [46], utilizándose unas galgas para medición, las cuales a su vez se conectaron a una computadora utilizando un puente de Wheatstone. Para evitar los efectos debidos a la temperatura, los cuales degradan las propiedades del material, se realizaron pruebas de fatiga a un ciclaje menor a 10 Hz.

Los especímenes utilizados para los ensayos siguieron los estándares sugeridos por la ASTM. Una síntesis se esquematiza en la Tabla 10.


65

Tabla 10. Probetas utilizadas sugeridas por los estándares de la ASTM.

Tipo de prueba Probeta (ver planos en Anexo ) Estándares Tensión en fibras D 3039-76

D 3470-76

Compresión en fibras Inventado. No existe estándar para fatiga.

Tensión en matriz D 3039-76 D 3479-76

Compresión en matriz D 3410-87

Cortante in-plane D 4255-83

Cortante out-plane D 2733-70 D 2344-84

Se aplicaron dos tipos de prueba: de carga estática y de fatiga. Las pruebas estáticas se utilizaron para obtener resistencias estáticas y rigideces. Las pruebas de fatiga se utilizaron para obtener los coeficientes de las curvas de degradación y de vida. Estas últimas se llevaron a cabo utilizando amplitud constante con esfuerzos máximos aplicados a fracciones porcentuales (50 %, 60 %, etc.) del esfuerzo estático. Para determinar las propiedades residuales, se detuvieron las pruebas de fatiga a un nivel


66

bajo (debajo de los 1000 ciclos) y alto de ciclos (sobre los 1000 ciclos), y posteriormente se aplica prueba estática para determinar los valores de S y E residuales.

Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 11. Los pormenores estadísticos de las pruebas pueden revisarse en [46].

Tabla 11. Resumen de propiedades obtenidas de la experimentación [46].

Modo E (GPa) S (MPa) λ εf γ α β f A B 11T 146.78 2004.4 14.57 0 .0136 0.3024 10.03 0.473

1.06

1.3689 0.1097 11C 108.5 1197.4 49.0 0.025 22T 8.87 52.6 14.77 0.0068 0.1155 9.6287 0.1255 0.999 0.096 22C 10.1 203.69 67.36 0.0011 12 5.0 136.8 0.7 0.101 11 0.16 9.11 0.099 0.186 13 3.1 42 4.533 2.087E-3 0.0354 0.2 12 Constante proporcionalidad cúbica de corte (MPa-3) 1.015E-8

67

____________________________________________________

CAPÍTULO 4

CODIFICACIÓN DE SUBRUTINA DE ANÁLISIS PROGRESIVO DE DAÑOS POR FATIGA_______________________________ Resumen. En el presente capítulo se propondrá la lógica utilizada para desarrollar una subrutina en MATLAB que calcule la progresión del daño causada por fatiga en un aspa de aerogenerador. El programa consta de tres fases: preprocesamiento, procesamiento y posprocesamiento. Para explicar el preprocesamiento, se mencionará paso a paso la introducción de los datos de geometría, material y condiciones de frontera en una hoja de cálculo MS Excel. Después, para la fase de procesamiento se utilizará la teoría TWB de Librescu discretizada en FEM por Vo (capítulo 2), incorporándose este análisis de esfuerzos al modelo de fatiga de Shokrieh (capítulo 3). También se introducirá el concepto de segmento, el cual es una entidad formada por la intersección de un sector perimetral, un elemento y una capa. Cada uno de estos segmentos tendrá propiedades materiales individuales, por lo que la aplicación de la degradación deberá realizarse en la totalidad de éstos. Finalmente, durante el posprocesamiento se explicarán los módulos utilizados para obtener resultados, y la utilidad de éstos mismos. ______________________________________________________________________

4.1. Objetivo

El objetivo de este proyecto es codificar un código que permita predecir la progresión del daño causado por fatiga en aspas de aerogenerador. Para lograrlo, será necesario integrar los módulos de degradación de rigidez y resistencia propuestos por Shokrieh [46], con el de análisis de esfuerzos FEM discretizado por Vo [19-21] basado en la teoría TWB desarrollada por Librescu [18] y adaptado por Cárdenas [14] para aspas de aerogenerador.

Conjuntando estos modelos, se pretende obtener como producto final un programa ágil que provea información completa sobre el estado de degradación del aspa, incluyendo las propiedades del material de cada segmento (ver secciones 4.2 y 4.3), la evolución temporal-espacial del daño y la predicción de la vida del aspa.


68

4.2. Preprocesamiento: introducción de datos

Debido a la naturaleza del programa, será necesario introducir primero los datos relacionados con la geometría y el material (resistencias, rigideces y propiedades de fatiga) de la estructura así como las condiciones de frontera (cargas y restricciones) y los parámetros de ciclaje para la fatiga. A modo de breve tutorial, se ilustra paso a paso cómo deben introducirse dichos datos en cada una de las pestañas que componen a la hoja cálculo de Excel Datos_Aspa.xlsx.

4.2.1. Pestaña de Perfiles

En esta pestaña se definen los perfiles que compondrán la geometría perimetral del aspa. Cada renglón de esta hoja de cálculo corresponde a una coordenada normalizada respecto a la longitud de cuerda (chord). El orden de introducción de estas coordenadas parte del leading edge (0,0) y se va rotando contrario a las manecillas del reloj. En la Figura 35 se muestra un pantallazo de la pestaña y en la Figura 36, un ejemplo de perfil aerodinámico junto con el orden de introducción de coordenadas.

Capítulo 4: Subrutina de análisis de daños progresivos por fatiga

69

Figura 35. Pestaña de la hoja de cálculo Datos_Aspa.xlsx donde se introducen las coordenas de cada uno de los perfiles.

Figura 36. Ejemplo de introducción de perfil en la hoja de cálculo mostrada en la Figura 36.


70

4.2.2. Pestaña de Geometría

En esta pestaña se definen las propiedades geométricas de cada elemento, así como la discretización de la estructura. En la columna de Perfil se especifica la sección transversal del elemento según el número asignado en la pestaña de Perfiles. En las dos columnas siguientes se especifica la posición normalizada respecto a la longitud total del aspa (R) tanto del nodo inicial como del nodo final del elemento correspondiente (la longitud no normalizada del elemento se calcula en la columna r). Después se introduce el laminado (ver sección 4.3.4) que tiene el elemento. Por último hay que especificar dos parámetros de la sección transversal: el twist que es el ángulo de rotación en grados de la sección de cada elemento respecto al eje horizontal (ver sección 2.7.1) y en cuerda la longitud del chord (ver Figura 36).

Figura 37.Definición de las propiedades geométricas de cada elemento, dentro de la pestaña Geometría.


71

La segunda parte de interés de esta pestaña es la referente a la distribución perimetral de los laminados sobre el perfil de cada elemento. Como se puede ver en la Figura 38, este programa tiene capacidad para hasta cinco laminados en la mitad inferior y otros cinco en la parte superior. Cada renglón representa un elemento y cada columna contiene un número normalizado respecto al perímetro, el cual indica el final del laminado. El principio del primer laminado es cero y para el resto es simplemente el final del anterior. En consecuencia, si el perfil del elemento solamente contiene un laminado perimetral simplemente se pone un 1 bajo la columna SECCIÓN1.

Figura 38. Distribución de laminados en cada elemento.

Por último, en la tabla de discretización se especifican los números de segmentos perimetrales (sN), capas (nN) y elementos (zN) en los cuales se dividirá la estructura (Figura 39). Esta implementación resulta de gran utilidad ya que en vez de utilizar arreglos relativamente grandes de un número fijo de segmentos, el programa se ajusta a un tamaño determinado por el usuario. Esto trae como consecuencia un ahorro en tiempo computacional, especialmente para los casos más sencillos.

Figura 39. Tabla donde se indica la discretización del aspa en segmentos perimetrales, capas y elementos.


72

4.2.3. Pestaña de Materiales

En esta pestaña se introduce un compendio de materiales, que posteriormente será utilizado por la pestaña de Laminados. A cada material individual se le asigna un número (útil para la computadora) y un nombre (útil para el usuario), así como propiedades generales (renglones E11 a SL12S, Figura 40a) y de fatiga (renglones lambda_x hasta delta, Figura 40b).

Una guía con el significado de cada variable se presenta en la Tabla 12.

a)


73

b)

Figura 40. a) Propiedades materiales generales y b) propiedades materiales especializadas para fatiga.

Tabla 12. Descripción de las propiedades presentadas en la pestaña de Materiales.

Propiedad Significado

E11 (Mpa) Módulo de Young de la fibra (tensión). E22 (Mpa) Módulo de Young de la matriz (compresión). G12 (Mpa) Módulo al cortante in-plane. V12 Módulo de Poisson.

ro(g/cm3) Densidad (no usada en esta tesis). SL11T (Mpa)

Resistencia de la fibra a tensión.

SL11C (Mpa) Resistencia de la fibra a compresión.

SL22T (Mpa)

Resistencia de la matriz a tension.

SL22C (Mpa) Resistencia de la matriz a compresión.

SL12S (Mpa) Resistencia al cortante in-plane.


74

lambda_x Constante lambda usada para la degradación del módulo E11 (ver 3.4.3). lambda_y Constante lambda usada para la degradación del módulo E22 (ver 3.4.3). lambda_xy Constante lambda usada para la degradación del módulo G12 (ver 3.4.3). gamma_x Constante gamma usada para la degradación del módulo E11 (ver 3.4.3). gamma_y Constante gamma usada para la degradación del módulo E22 (ver 3.4.3). gamma_xy Constante gamma usada para la degradación del módulo G12 (ver 3.4.3). epsilon_f_x Deformación promedio a la falla, usada en la degradación del módulo E11 (ver 3.4.3). epsilon_f_y Deformación promedio a la falla, usada en la degradación del módulo E22 (ver 3.4.3). epsilon_f_xy Deformación promedio a la falla, usada en la degradación del módulo G12 (ver 3.4.3).

alfa_xT Constante alfa usada para la degradación de la resistencia SL11T (ver 3.4.3).

alfa_xC Constante alfa usada para la degradación de la resistencia SL11C (ver 3.4.3).

alfa_yT Constante alfa usada para la degradación de la resistencia SL22T (ver 3.4.3).

alfa_yC Constante alfa usada para la degradación de la resistencia SL22C (ver 3.4.3).

alfa_xy Constante alfa usada para la degradación de la resistencia SL12S (ver 3.4.3).

beta_xT Constante beta usada para la degradación de la resistencia SL11T (ver 3.4.3).

beta_xC Constante beta usada para la degradación de la resistencia SL11C (ver 3.4.3).

beta_yT Constante beta usada para la degradación de la resistencia SL22T (ver 3.4.3).

beta_yC Constante beta usada para la degradación de la resistencia SL22C (ver 3.4.3).

beta_xy Constante beta usada para la degradación de la resistencia SL12S (ver 3.4.3).

f Constante experimental de Gathercole [83], parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf, ver 3.4.3).

A_x Constante lineal A, parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf) para los modos de la fibra (ver 3.4.3).

A_y Constante lineal A, parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf) para los modos de la matriz (ver 3.4.3).

A_xy Constante lineal A, parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf) para los modos de cortante in-plane(ver 3.4.3).

B_x Constante lineal B, parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf) para los modos de la fibra (ver 3.4.3).

B_y Constante lineal B, parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf) para los modos de la matriz (ver 3.4.3).

B_xy Constante lineal B, parte del modelo para la determinación de la vida a la fatiga (Nf) para los modos de cortante in-plane (ver 3.4.3).

G13 (Mpa) Módulo de rigidez al cortante out-plane (no utilizado). SL13S (Mpa) Resistencia al cortante out-plane (no utilizado).

E11C Módulo de Young de la fibra (compresión).

E22T Módulo de Young de la matriz (tensión).

lambda_xz Constante lambda usada para la degradación del módulo G13 (ver 3.4.3, no utilizado). epsilon_f_xz Deformación promedio a la falla, usada en la degradación del módulo G13 (ver 3.4.3,

no utilizado). gamma_xz Constante gamma usada para la degradación del módulo G13 (ver 3.4.3).


75

delta Constante de proporcionalidad cúbica usada la ecuación constitutiva σ-ε utilizada para aproximar el comportamiento no lineal del material (ver 3.4.2).

E

4.2.4. Pestaña de Laminados

En esta pestaña se estructuran los laminados que conforman las secciones de cada elemento, por lo que esta tabla debe de concordar con la información introducida en la Figura 38. Es decir, el número de secciones debe corresponder en ambas tablas. En la Figura 41 se muestra un pantallazo de un laminado.

Figura 41. Prototipo de tablas que se encuentran bajo la pestañan Laminados, en donde se indica la estructura los laminados tanto en la capa inferior (encabezado amarillo) como en la capa superior (encabezado cyan).


76

Bajo el encabezado de Laminado se encuentra un número, el cual debe especificarse bajo el encabezado del mismo nombre en la pestaña Geometría, para cada elemento (ver Figura 37 y sección 4.3.2). Después, se introducen los apilamientos yéndonos de la capa externa a la interna [88]. A cada capa se le asigna un número de material (ver 4.3.3), un espesor y una orientación de fibra en grados. Por último, es importante recalcar que las secciones deben coincidir con las establecidas en la geometría.

4.2.5. Pestañas de Condiciones_Frontera y Condiciones_Frontera_2

Estas pestañas definen los dos estados de condiciones de frontera a las que estará sometida el aspa, en reducidas cuentas los estados máximo y mínimo del ciclo de esfuerzos de fatiga. Cabe mencionar que resulta indistinto cual estado se introduzca en cada pestaña, ya que más adelante el método sigma_m_a haráa tal distinción. También, como estas pestañas son idénticas solamente será necesario describir una de ellas.

Como su nombre lo indica, estas pestañas sirven para introducir las condiciones de frontera a las que estará sometida el aspa, definiendo tanto fuerzas externas como restricciones. Siendo fieles a la discretización explicada en la sección 2.5, las columnas representan las cargas externas (Faxial, Fflap-wise, Fedge-wise, Mz, My, To, Mω) y los respectivos desplazamientos (W, U, V, , y, x, ) a los que está sometido cada uno de los 101 nodos que componen la discretización de la estructura (Figura 43).

Como nota final, hay que tener cuidado en no confundir una celda en cero y una celda en blanco ya que el progama toma a las primeras como un valor conocida y a las segundas como incógnitas. Para el caso ilustrado en la Figura 42 se puede ver que las fuerzas externas se desconocen en el nodo 1 y se toman como reacciones, a su vez los desplazamientos nodales son desconocidos para los nodos 2-101. Finalmente, cabe mencionar que en el extremo libre (nodo 101) hay una carga en dirección edge-wise positiva de 400 N. El caso de la viga en cantiléver recién descrito se muestra en la Figura 43.


77

Figura 42. Condiciones de frontera tal y como se están aplicando en la Figura 44.


78

Figura 43. Introducción de las condiciones de frontera en el aspa.

4.2.6. Pestaña PFA

En esta pestaña se definen los parámetros que controlarán los límites y la periodicidad del ciclo de fatiga, con los límites carga ya introducidos en 4.3.5. De particular interés resultan los campos Número de Iteraciones Máximas, % de segmentos permitidos a daño y delta_n (Figura 44).

Figura 44. Paráametros introducidos para controlar el ciclaje de fatiga en la pestaña PFA.


79

En el campo Número de Iteraciones Máximas se delimita el número máximo de iteraciones que correrá el programa. Cada una de estas iteraciones representará un incremento de ciclos delta_n, que repercutirá directamente en los modelos de degradación presentados en la sección 3.4.3.

Una manera alternativa para controlar el ciclaje de la simulación es a través del campo % de segmentos permitidos a daño, el cual simplemente establecerá cuál es el porcentaje máximo de daño tolerable. Físicamente se trata de un factor de seguridad establecido por diseño el cual indica cuándo el aspa ha perdido su integridad estructural.

4.3. Algoritmo de solución: procesamiento y posprocesamiento

En la Figura 45, se presenta un diagrama de flujo el cual recoge la lógica utilizada para el procedimiento de propagación de daños por fatiga. Los códigos desarrollados se despliegan en el Apéndice A.3.


80

a)


81

Figura 45. Diagrama de flujo que muestra el procedimiento para el módulo de propagación de daños por fatiga. Los letreros precedidos por el símbolo § indican específicamente el capítulo o sección del marco teórico que explica respectiva parte.

El programa inicia con la introducción de datos referentes a la geometría, el material (resistencia, rigidez y fatiga), las condiciones de frontera y las características del algoritmo de fatiga (número máximo de iteraciones, porcentaje máximo de daño y tamaño de salto en ciclos).

Una vez recabada esta información, el programa calcula la matriz de rigidez [K] por primera vez con Rigidez_Masa. Nótese que al lado de la representación de esta subrutina en la Figura 45, se muestran §2.3 y §2.4, que son los capítulos sobre los cuales descansa teóricamente este procedimiento.

Después se procede a inicializar todas las variables que se irán utilizando a lo largo del ciclo de degradación, las cuales incluyen las banderas de máximo número de iteraciones alcanzado (b_iter), máximo número de segmentos daños alcanzado (b_fallados),

el número de iteraciones (iter), determinación de las dimensiones de las matrices que

contienen las propiedades a degradar (Inicializacion_de_variables_fatiga) y

la adjudicación de las propiedades iniciales a éstas últimas (S_E_iniciales). Por último cabe mencionar que también se inicializan las variables relacionadas al alma

b)


82

(web) de la sección transversal del aspa. Sin embargo, como ninguno de los casos analizados en esta tesis toma en cuenta este elemento estructural, sus implicaciones se ignoran en esta obra. Ya realizados los procedimientos preliminares, se entra al ciclo de degradación de fatiga por primera vez. Cabe mencionar que la condición para no salir del ciclo es que no se haya excedido ni el número de segmentos dañados máximo ni el número de iteraciones máximo. Después se verifica si es la primera iteración, en caso de ser así, se recurre directamente a la solución lineal especificada en el capítulo 2.4. En caso contrario, se tiene que calcular de nuevo la matriz [K] con las propiedades ya degradadas para después proceder a la solución lineal usual. Cabe mencionar que esta solución lineal se lleva a cabo dos veces, una para cada estado de carga (F1 y F2), las cuales arrojaran dos estados de esfuerzos con esfuerzos_PFA.

Después, con sigma_m_a, se determina cuál estado es mínimo y cuál máximo. Ya teniendo el estado de esfuerzos máximos, se aplican las teorías de falla explicadas en la sección 3.4.2 con el método falla_fatiga, aplicándose los criterios cuadráticos de Hashin para estado plano, en cada uno de los segmentos en los cuales se discretiza el sistema para cada uno de los cinco modos de falla. El tipo de degradación que hace este método se conoce como súbita. Cabe mencionar que un segmento es la intersección de un tramo perimetral (coordenada s), una capa de material (coordenada n) y un elemento (coordenada z), el cual posee propiedades materiales individuales. Después, se procede a una serie de cálculos que van descartando los segmentos ya fallados, contándose los unos registrados en las matrices de falla para después verificar si el número de segmentos ha excedido el máximo establecido. En caso de ser así, se activa la bandera b_fallados. Finalmente, se restan los segmentos contados al total original y se recalcula el número máximo de segmentos que pueden fallar en la siguiente iteración. En caso de haber segmentos no fallados, se procede a la aplicación de los métodos de degradación gradual (degradacion_fatiga, sección 3.4). Primero habrá que calcular el número de ciclos a la falla (Nf) para cada uno de los cinco modos de daño (sección 3.3), para después aplicar los modelos de degradación para cada una de las propiedades (rigidez y resistencia) de cada segmento que compone la estructura.


83

Ahora se verifica la permanencia en el ciclo de fatiga. En caso de que alguna de las dos banderas (b_fallados, b_iter) se encuentre activada con un uno, el programa se sale del ciclo y procede con el posprocesamiento, en casi contrario avanza a la siguiente iteración. Por último, ya salido del ciclo, el programa procede con la fase de posprocesamiento, mostrando una imagen del estado del daño en el aspa durante la última iteración (posproc_PFA_fatiga), así como un video que monitorea la evolución del mismo daño (monitor_fatiga). El código completo de la rutina principal en MATLAB, se muestra en el Apéndice A.3 (pfafatiga.m).

84

____________________________________________________

CAPÍTULO 5

SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DEL CASO BASE________________ Resumen. En este capítulo se recogen los primeros resultados del modelo planteado a lo largo de lo capítulo 2 a 4, con el objetivo principal de validarlo. Para ello se recurre a un caso sencillo de una viga con sección transversal tubular hueca, la cual resulta fácil de analizar a mano y por ende verificar la plausibilidad del modelo sin necesidad de un programa de cómputo de elemento finito comercial.

Las pruebas realizadas al programa durante esta fase fueron variadas, con el objetivo de verificar y comprender la relación entre cada una de las variables explicadas en el marco teórico: análisis estático lineal de esfuerzos, relación de la progresión del daño con los esfuerzos registrados en cada iteración, análisis de los desplazamientos, relación de la razón de esfuerzos R con la progresión de daño, así como el ángulo de la fibra (θn) y la resolución de la degradación (delta_n).

____________________________________________________

5.1. Definición del caso base

5.1.1. Datos básicos

Parte de la implementación del código recae en su necesidad de ser validado, por esta razón es necesario probarlo con un caso que sea sencillo de comprobar a mano. Este procedimiento no solamente dictaminará si el programa funciona o no sino también permitirá entender la relación entre cada una de las variables.

Para cumplir con esta tarea se planteará un caso sencillo que involucra una viga prismática de sección transversal tubular hueca con diámetro externo de 304.8 mm (12 in), un espesor de t = 0.762 mm y una longitud L = 5080 mm, de tal manera que asemejara lo más posible a una capa del aspa utilizada en [88].

El material utilizado es un compuesto de grafito y epóxico AS4/3501-6 cuyas propiedades se enlistan en la Tabla 11. De todas las propiedades a la falla, la más sensible es la resistencia a la tensión de la fibra, por esta razón las pruebas de carga estática se realizan con una orientación de 90°, excepto en algunos casos donde se indique lo contrario.

Capítulo 5: Simulación y análisis de caso base

85

Las condiciones de frontera definen un empotramiento restringiendo los siete grados de libertad en el nodo 1 y una carga edgewise hacia abajo (dirección y) en el extremo libre (nodo 101), la cual va variando de 50 a 500 N. Finalmente, para la computación de la fatiga de las propiedades de cada uno de los segmentos se utilizaron 10 iteraciones de 25 ciclos cada una. En las pruebas de convergencia de la sección 5.8, estos valores se variarán.

En la Figura 46 se muestra un resumen gráfico del planteamiento general del problema.

Figura 46. Ilustración del caso base.

5.1.2. Resumen de suposiciones

En base a la teoría planteada, el programa supondrá lo siguiente:

Fatiga con carga a amplitud constante.

Sección transversal constante.

Laminados con capas del mismo material, pero diferente orientación.

Análisis cuasiestático (no se incluyen términos de amortiguamiento ni masa).

No entrarán dentro del análisis secciones transversales con alma (web).

Estas suposiciones se mantendrán para los análisis del capítulo 6.

5.1.3. Notas sobre acotaciones


86

Debido a que los resultados se obtienen directamente del programa, el cual presenta algunas discrepancias de notación con respecto a la utilizada en los capítulos 2 y 3, es importante hacer notar la relación entre los nombres de cada variable respecto a la nomenclatura utilizada en el programa (ver Tabla 13).

Tabla 13. Relación entre la nomenclatura de la teoria y el código.

Notación de código Notación de teoría Significado de la variablesigma_x Esfuerzo normal en la fibra.

sigma_y Esfuerzo normal en la matriz (perpendicular a la fibra).

tao_xy Esfuerzo cortante in-plane.

SL11T Resistencia a tensión de la fibra.

SL11C Resistencia a compresión de la fibra.

SL22T Resistencia a tensión de la matriz.

SL22C Resistencia a compresión de la matriz.

SL12S Resistencia al cortante in-plane.

G12 Rigidez al cortante in-plane.

theta Orientación de la fibra respecto al eje axial z del aspa.

Para los demás casos, el código mantiene la notación utilizada en la teoría.

5.2. Pruebas estáticas lineales preliminares

Para empezar, se comprobará que el módulo de esfuerzos esté funcionando correctamente. Para ello se realizarán una corridas para verificar el estado de esfuerzos obtenido a partir del caso planteado en §5.1.1 utilizando la carga máxima absoluta de 500 N (NOTA: Fmax,abs = Fmin = -500 N). Es importante recalcar que la orientación de las fibras para estos casos es de 90° respecto al eje axial z.

5.2.1. Estado de esfuerzos en la fibra (sigma_x)

Debido a la orientación que presentan las fibras, éstas no entran en contacto directo con el esfuerzo y por ende éste se registra como prácticamente nulo en esta dirección (Figura 47). La diferencia en coloración, la cual es mínima, se debe básicamente a la influencia del cortante (cf. Figura 49).


87

Figura 47. Distribución de los esfuerzos por flexión a lo largo de la viga, en la dirección de la fibra (MPa).

5.2.2. Estado de esfuerzos en la matriz (sigma_y)

A diferencia de las fibras, la matriz queda completamente expuesta a los esfuerzos causados por la carga, quedando como resultado un patrón reminiscente a los esfuerzos de flexión con un incremento monotónico conforme se aleja uno del extremo libre, incrementando linealmente el brazo de palanca y por ende el momento. De la misma manera, se registra un incremento en los puntos más lejanos al eje neutro, presentándose una distribución simétrica de la tensión (capa superior, Figura 48) y la compresión (capa inferior, ídem).

Figura 48. Distribución de los esfuerzos por flexión a lo largo de la viga, en la dirección de la matriz (MPa).

Capa 1 superior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Capa 1 inferior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x 10-16

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x 10-16

X: 1 Y: 25Index: 45.11RGB: 0.5, 0, 0

Capa 1 inferior. Iteracion 1

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

450

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0


88

El esfuerzo máximo se valida rápidamente por medio de la fórmula de flexión [42].

. Ec. 108

Donde el momento de inercia de área se calcula por medio de

48.41 10 . 109

Para facilitar las figuras que se estarán mostrando en este capítulo y el siguiente, se muestra la Figura 49 donde puede fácilmente observarse que las coordenadas horizontales del rectángulo representan los elementos longitudinales de la viga, mientras que las coordenadas verticales se asocian a los segmentos perimetrales de la estructura. Finalmente, cada rectángulo representa una capa del laminado.

Figura 49. Guía para la interpretación geométrica de los resultados obtenidos de las simulaciones.


89

5.2.3. Estado de esfuerzos por cortante (tao_xy)

En la orientación de 90° también es posible detectar esfuerzos en la dirección 12, debido al fenómeno de interacción por cortante. En la Figura 50 se muestra una distribución típica de esfuerzos por cortante transversal en una viga, donde se puede ver que es máximo en el eje neutro y va disminuyendo conforme uno se aleja de éste hasta llegar a cero.

La diferencia de signos experimentada se debe al fenómeno de flujo por cortante, el cual determina la dirección de mismo [42], (Figura 51). En el caso de la viga tubular, el cortante parte donde su valor es cero, es decir el punto más alejado del eje neutro y va fluyendo hasta encontrarse con su valor máximo en el eje neutro. Una vez ocurrido esto, el valor del cortante vuelve a disminir hasta llegar al otro punto donde vuelve a ser nulo.

Figura 50. Distribución de los esfuerzos por cortante a lo largo de la viga (MPa).

Figura 51. Conceptulización gráfica del flujo de cortante en una viga cilíndrica hueca.

X: 1 Y: 48Index: 4.371RGB: 0.5, 0, 0


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


90

Finalmente, se comprueba el esfuerzo máximo por cortante con la fórmula que se expone en [42]

500 70438.75

8.41 10 0.762. . 110

Una vez más, si se toma como sección crítica la que se encuentra en el empotramiento, por estática básica se encuentra que el cortante transversal interno V es igual a 500 N. El momento de inercia de área I es el mismo que el utilizado en los cálculos de flexión y el espesor de pared es t = 0.762 mm.

Para el cálculo del primer momento de área parcial Q, se barre toda el área desde la fibra exterior (vg. superficie superior) hasta el eje neutro (Figura 52). Se usa la Tabla 14 para realizar los cálculos de este valor. Finalmente se sustituye todo en la ecuación (110) y se comprueba que el valor máximo de cortante en la viga corresponde con los cálculos.

Figura 52. Relación del cortante transversal con las propiedades geométricas de la figura.

Tabla 14. Procedimiento para el cálculo del primer momento parcial de área Q.

Figura ′ ′ ′ ′ I 152.4 4 152.4

3

4 719 474.43 mm3

II 151.64 4 151.643

4 649 035.69 mm3

ΣΑ 725.93 mm2 ′ ′ 70 438.75 mm3


91

5.3. Relación de la progresión del daño con los esfuerzos

Al validarse el módulo de esfuerzos, es momento de también revisar la conexión de éste con los módulos de degradación y propagación de daños por fatiga. Para ello se retomará el caso planteado en la sección 5.1 y se mostrarán los estados de esfuerzos que ocurren en cada iteración así como su efecto directo sobre la degradación de las propiedades del material. Asimismo, se analizará la manera en cómo afectan estas degradaciones sobre el estado de daño en la viga.

5.3.1. Primera iteración

En la primera iteración se puede notar que el estado de esfuerzos no supera a la resistencia del material, por esta razón no se registra daño alguno (56). Los estados de esfuerzos son los mismos que los mostrados en las figuras (47), (48) y (50) y la resistencia inicial es uniforme a lo largo de toda la viga (Figuras 53, 54 y 55).

Figura 53. Resistencias iniciales de la fibra.


92

Figura 54. Resistenciales iniciales de la matriz.

Figura 55. Resistencias iniciales al cortante.

Capa 1 superior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Capa 1 inferior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

136

136.2

136.4

136.6

136.8

137

137.2

137.4

137.6

137.8

138

136

136.2

136.4

136.6

136.8

137

137.2

137.4

137.6

137.8

138


93

Figura 56. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la primera iteración.

5.3.2. Segunda iteración

Aunque no hubo daño detectado tras la primera iteración, sí se registró degradación de resistencia en las direcciones de la matriz y el cortante (Figuras 57 y 58) a través del

módulo degradacion_fatiga (para más información, ver sección 4.3). En cuanto a la dirección de las fibras los efectos fueron y serán insignificantes a lo largo de toda la simulación, y por lo tanto para evitar redudancias ya no se discutirán.

Figura 57. Distribución de resistencias de la matriz en MPa al iniciar la iteración 2. SL22T a la izquierda y SL22C a la derecha.

Como se puede ver en la Figura 57, los esfuerzos por tensión degradan la resistencia a tensión de la matriz y los esfuerzos por compresión dañan la resistencia a compresión de la misma matriz. También se puede notar que las distribuciones de estas resistencias presentan una variación análoga a los esfuerzos representados en la Figura 48. Algo muy

Capa 1 superior. Iteracion 1

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


94

similar ocurre con los esfuerzos y resistencia al cortante, pero de manera menos pronunciada (cf. Figuras 50 y 58).

Figura 58. Distribución de resistencias al cortante al iniciar la iteración 2. Nótese la similitud del patrón respecto a la Figura 50, pero con una variación mucho menor.

La Figura 59 muestra los esfuerzos calculados para esta segunda iteración en sigma_y. Debido a la desaparición de material en la capa superior del cilindro, el esfuerzo se redistribuye en las zonas aledañas. Además surge una zona de esfuerzos tensionantes en la capa inferior, debido al desplazamiento del eje neutro. En cuanto al esfuerzo cortante, la degradación de las propiedades de rigidez aún no es suficiente para causar variación considerable en el estado de esfuerzos (Figura 60) respecto a la iteración anterior.

Figura 59. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la segunda iteración.

Capa 1 superior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Capa 1 inferior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137


95

Figura 60. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la segunda iteración.

Los daños presentes en esta segunda iteración corresponden a las celdas con modo de falla SL22TF, las cuales se descartaron en degradacion_fatiga por criterio de número de ciclos ∗ _ . Aunque las propiedades de resistencia han

disminuido, la subrutina falla_fatiga todavía no detecta daño alguno en la zona de compresión (Figura 61).

Figura 61. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la segunda iteración.

5.3.3. Tercera iteración

En la Figura 62, se puede notar que la resistencia a tensión de la matriz es cero en algunos segmentos, incluso en algunos que no habían fallado si se hace una confrontación con la Figura 61. Esta aparente discrepancia se debe a que los mapas de daño mostardos en Figuras tales como 56 y 61, se graficaron inmediatamente después de dejar la subrutina falla_fatiga. Sin embargo, la resistencia se graficó después de ejecutar la subrutina

degradacion_fatiga, demostrando su función secundaria la cual es dañar súbitamente los segmentos de tal manera que ∗ _ .


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


96


De la Figura 62 también se puede ver una conexión aparente en las zonas aledañas, lo que da entender que el programa puede simular la fusión de dos zonas de daño originadas independientemente. Otro efecto que es importante notar es la aparición de esfuerzos de tensión en la capa inferior, reflejándose con una degradación rápida en la Figura 62 y con un incremento rápido en los esfuerzos de tensión en la zona (Figura 63). Finalmente, cabe mencionar que la zona material que resta entre las dos regiones de daño de la capa superior, presenta un predecible incremento en el nivel de esfuerzos(Figura 63).

Figura 63. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la tercera iteración.

Tras la iteración anterior, no hubo degradación considerable en las resistencias cortantes (Figura 64). Sin embargo, el efecto de degradación y propagación registrados en los esfuerzos normales de la matriz se extienden en al esfuerzo cortante, registrándose un


97

ligero incremento (de 5 a 8 MPa) especialmente en las zonas aledañas al eje neutro (Figura 65).

Figura 64. Distribución de resistencias al cortante en MPa al iniciar la iteración 3.

Figura 65. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la tercera iteración.

Tras evaluar los esfuerzos respecto a los valores de resistencia, se obtiene el mapa de daño mostrado en la Figura 66, donde se manifiestan únicamente fallas por tensión en la matriz de la capa superior.

Capa 1 superior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Capa 1 inferior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8


98

Figura 66. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la tercera iteración.

5.3.4. Cuarta iteración

Tras terminar la tercera iteración, la subrutina degradacion_fatiga ha dañado también los segmentos aledaños donde se redistribuyó el esfuerzo. También ha aparecido daño en las regiones laterales de la capa inferior, causadas por la redistribución del eje neutro (Figura 67). El repentino incremento de esfuerzos de tensión en las regiones cercanas al eje neutro de la capa inferior, han ocasionado una aceleración en la degradación de SL22T. Por su parte, los daños de la resistencia a la compresión de la matriz (SL22C) hacen presencia por primera vez.


Estos daños se reflejan directamente en el cálculo de esfuerzos, ya que el programa integra la degradación de las resistencias y los módulos de Young, teniendo estos últimos


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


99

un gran impacto en degradación la matriz de rigidez [K]. Como consecuencia, los esfuerzos continúan redistribuyendo a las zonas próximas al daño (Figura 68).

Figura 68. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la cuarta iteración.

En cuanto al estado de la resistencia al cortante, la degradación es incipiente (Figura 69). Sin embargo la degradación de la matriz [K] en conjunto con la redistribución de los esfuerzos normales en la matriz del material, los cuales son cada vez más cercanos a la zona donde ocurre mayor esfuerzo cortante, son factores que se reflejan en un incremento cada vez más acelerado de este último esfuerzo (de 8 MPa a casi 80 MPa, Figura 70).


Capa 1 superior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Capa 1 inferior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137

137


100

Figura 70. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la cuarta iteración.

Como es de esperarse, en la Figura 71 se muestra que el daño por SL11T en la capa superior sigue creciendo, integrando las diferentes zonas aledañas que se fueron originando independientemente. En la capa inferior hacen su aparición una falla por tensión cercana al eje neutro debido al súbito incremento de los esfuerzos tensionantes y a la influencia por cortante. Por su parte, la falla por compresión SL22C, lahace su aparición en el extremo inferior de la viga.

Figura 71. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la cuarta iteración.


101

5.3.5. Quinta iteración

Tras terminar el proceso de degradación en la iteración anterior, se pueden notar dos fenómenos nuevos. Primero un debilitamiento rápido de la resistencia a tensión de la matriz (SL22T) en la capa inferior así como el crecimiento de la zona de daño por compresión (SL22C) en esta misma capa. En cuanto a la capa superior, el debilitamiento del material se ha ralentizado (Figura 72).


En cuanto al mapa de esfuerzos, se puede que continúa el incremento del nivel de esfuerzos, especialmente en la capa inferior (Figura 73), donde se puede notar particularmente el inicio de una conexión entre las zonas de falla por tensión y compresión.

Figura 73. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la quinta iteración.

La resistencia al cortante inicia la quinta iteración con un decremento mínimo en la resistencia de los segmentos del aspa (Figura 74), sin embargo la influencia de los esfuerzos normales en la matriz ya comentada en la sección anterior significa que continúa la


102

aceleración en el incremento del esfuerzo cortante máximo en las regiones cercanas al eje neutro (Figura 75).


Figura 75. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la quinta iteración.

Por lo tanto, tras esta quinta iteración, se puede notar un incremento de las zonas de daño, especialmente las de tensión en matriz y compresión en matriz localizadas en la capa inferior. En cuanto a la capa superior, se puede notar que la región de daño en SL22T se está estabilizando, en parte porque el esfuerzo ya no tiene a donde irse y también porque muchas de las celdas más cercanas al extremo libre tendrán esfuerzos que nunca o muy difícilmente superarán el límite de fatiga (Figura 76). Finalmente, los esfuerzos por cortante han superado a los valores de resistencia, por lo que esta zona


103

de falla (SL12S) hace su aparición, la cual ayuda a que las zonas de daño por tensión y compresión en la matriz se conecten.

Figura 76. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la quinta iteración.

5.3.6. Sexta iteración

Al iniciar la sexta iteración, ya no aparecen nuevas zonas de daño, sin embargo el incremento rápido de la zona de falla por SL22T prosigue en la capa inferior. Por su parte, la zona de daño por compresión (SL22C) no crece tan rápidamente debido a que el valor inicial de esta propiedad es mucho más alto, lo cual trae como consecuencia un inicio relativamente lento en su degradación en comparación con SL22T (Figura 77).



104

Después de una disminución del material, el mapa de esfuerzos muestra que el daño por SL22T en la capa superior continúa su estabilización (Figura 78). Por su parte, las zonas de daño en la matriz por esfuerzos de tensión y compresión han terminado por fusionarse. Cabe mencionar, que el programa deja de calcular esfuerzos ante la ausencia de material.

Figura 78. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la sexta iteración.

En cuanto al estado de la resistencia por cortante, se puede notar al fin un decremento significativo en la zona crítica (Figura 79), la cual se debe a la aparición de la primera zona de falla en la Figura 76). En la Figura 80 se puede notar una redistribución extensiva de lo esfuerzos tras la aparición de esta zona.



105

Figura 80. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la sexta iteración.

En base a los estados de esfuerzo y resistencias obtenidos en esta iteración es posible percatarse de las novedades que la Figura 81 presenta, en la cual se puede apreciar la aparición de la otra zona de falla por cortante (SL12S) y su contribución en la conexión de las zonas de daño en la matriz por tensión y compresión, que estaban aisladas en la iteración anterior (Figura 76). Finalmente, es importante comentar que no existe una zona de intersección entre ambos modos de daño de la matriz, ya que cualquiera anula al modulo de Youing utilizado, dejando sin oportunidad de que el otro modo de falla ocurra.

Figura 81. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la sexta iteración.


106

5.3.7. Séptima iteración

Esta iteración comienza con un estado de resistencia a lo largo de la viga muy similar a la anterior, solamente se nota un sutil incremento de la región de daño por compresión en la capa inferior (Figura 82). Además en la capa inferior continúa el deterioro de la resistencia a la tensión en la matriz, debido a los altos esfuerzos normales y así como la influencia del cortante.


En la Figura 83, se puede notar que el estado de esfuerzos sigma_y está empezando a quedar restringido en las zonas saludables cercanas al empotramiento de la viga.

Figura 83. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la séptima iteración.

A partir de esta iteración los daños por cortante empiezan a tomar mayor relevancia conforme se estabiliza la zona de daño de la matriz por esfuerzos normales. Se puede


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200


107

notar en la Figura 84, que la falla por SL12S ha crecido considerablemente respecto a la iteración anterior (Figura 79).


Por lo tanto el estado de esfuerzos correspondiete es bastante predecible (Figura 85), ya que éstos se concentran en las zonas que rodean al daño. La redistribución de esfuerzos sigue siendo extensiva.

Figura 85. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la séptima iteración.

Por último, el mapa de daño refleja el crecimiento extensivo de la zona de SL12S que ya se venía comentando (Figura 86). Como el algoritmo se base en un valor aproximado de cero (1e-12) son de esperarse algunos pequeños detalles relacionados con el algoritmo (cuadros rojos en la capa inferior y agujeros azules en ambas capas).

Capa 1 superior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Capa 1 inferior

20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

20

40

60

80

100

120

20

40

60

80

100

120


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45-300

-200

-100

0

100

200

300

-300

-200

-100

0

100

200

300


108

Figura 86. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la séptima iteración.

5.3.8. Octava iteración

A partir de los mapas de distribución de resistencia mostrados en la Figura 87, se puede apreciar que las zonas de daño tanto de SL22T como SL22C en ambas capas continúan creciendo pero cada vez con mayor lentitud. Inclusive la zona de daño SL22T de la capa inferior, la cual crecía rápidamente debido a la influencia del cortante también se ha estabilizado.



20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


109

Una vez más, los esfuerzos sigma_y significativos quedan delimitados a los segmentos cercanos a la zona de daño (Figura 88).

Figura 88. Distribución de los esfuerzos en la matriz en MPa en la octava iteración.

La estabilización de la progresión del daño en la matriz se empieza a reflejar también en la resistencia a cortantes. De acuerdo con la Figura 89, la degradación de la resistencia a cortante se ha ralentizado y esto se puede verificar con la magra área de material deteriorado que rodea a la zona de daño.



110

El estado de esfuerzos cortante obtenido tampoco ha cambiado mucho respecto a la iteración anterior (cf. Figura 90 con Figura 85), sin embargo la zona de redistribución de esfuerzos sigue siendo relaticamente grande.

Figura 90. Distribución del esfuerzo cortante en MPa en la octava iteración.

Lo cual se refleja en un aumento de la zona de daño causada por cortante in-plane, tal y como se ve en la Figura 91.

Figura 91. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la octava iteración.


111

5.3.9. Novena y décima iteraciones

A partir de estas iteraciones ya no hay muchos cambios respecto a lasanteriores, ya que solamente se registra un incremento cada vez más lento y estable de la zona de daño por razones que ya se explicaron en la sección 5.3.7, quedando ilustrado en la Figura 92. En esta figura (para este caso, solamente la gráfica azul) se pueden notar tres fases de progresión de volumen de daño: un inicio lento, progresión intermedia rápida y estabilización final, la cual presenta un incremento más bien lineal.

Figura 92. Evolución del porcentaje de volumen de daño a través del número de ciclos.

Por lo tanto, los mapas de daño para las últimas iteraciones son muy similares entre sí (Figuras 93 y 94).

Figura 93. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la novena iteración.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

5

10

15

20

25

30

Numero de ciclos n

Por

cent

aje

de d

ano

(%)

Evolucion del porcentaje de dano a lo largo de 20 iteraciones de 25 ciclos c/u


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


112

Figura 94. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la décima y última iteración.

Si la dirección de la carga establecida en la definición de la sección 5.1 se invierte (de 50 N a 500 N hacia arriba), se llega el mismo patrón mostardo en la Figura 94, pero con las capas invertidas, demostrando relativa estabilidad y congruencia del programa (Figura 92), las cuales solamente se ven afectadas por los pequeños cuadros rojos ya comentados.

Figura 95. Suma de modos de falla a lo largo de la viga tras la décima y última iteración, carga invertida.

Como se pudo ver en esta sección, la degradación de las propiedades de resistencia de la matriz de ocasionó un incremento en los esfuerzos a lo largo de esta dirección, lo cual se tradujo en un progresivo crecimiento de la zona de falla, lo cual aunado con la degradación de la rigidez en los segmentos de la viga condujo a una degradación en la matriz [K] traduciéndose en un incremento de todos los esfuerzos, incluyendo el cortante.


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


113

En las iteraciones intermedias (iter = 3, 4 y 5), se pudo ver cómo el esfuerzo cortante se fue incrementando a medida que se perdía material en la matriz. Estos incrementos rápidos en los niveles de esfuerzos se reflejan en la parte intermedia de la gráfica en la Figura 92, donde el porcentaje de volumen de daño en la viga también se dispara a la par de las propiedades que van degradando al mismo ritmo. El esfuerzo cortante, sobre todo en los costados del eje neutro, influye mucho para que se dispare la falla por otros modos (vg. la matriz) en esta región.

Sin embargo a partir de la iteración 7, el algoritmo empieza a arrojar resultados de estabilización, debido a que ya no queda más material por degradar más que las celdas intermedias y las al extremo libre, las cuales están sometidas a un nivel de esfuerzos tan bajo, que no superan el límite de fatiga.

Por lo tanto, se puede concluir de esta sección que el módulo programado funciona de forma integrada. En la Figura 96, se observa que si no se degrada la matriz [K] se obtienen solamente las fallas producto de los esfuerzos perdiéndose el modelo integrado de resistencia-rigidez que se deseó obtener desde un principio (ver capítulo 1).

Figura 96. Estado de daño final (a diez iteraciones) de la viga, si no se degradara [K].


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


114

5.4. Análisis de la deflexión Parte de la verificación del modelo integrado que se empezó a realizar a partir de las secciones 5.2 y 5.3, consiste en verificar la degradación de la rigidez, específicamente la matriz [K], la manera más intutiva de realizar esto es mostrar la evolución de la deflexión máxima (vg. el extremo libre) de la viga a lo largo de cierto número de ciclos. Para este caso se tomará el mismo problema definido en 5.1, sin embargo para cuestiones de comparacón con la Figura 90, la simulación se realizará a 20 iteraciones (Figura 94).

Figura 97. Evolución de la deflexión máxima en y (en mm).

Si se comparan las Figuras 92 y 97, se pueden notar que la evolución de ambas cantidades a lo largo de los ciclos es muy similar, lo que da a entender que las resistencias y las rigideces trabajan a la par, sugiriendo un modelo integrado, lo cual se sospecha con mayor certeza si se observa la Figura 98.


115

Figura 98. Comparativo entre las deflexiones finales de una viga que degrada y no degrada [K] a iter=10.

Esta gráfica demuestra que es precisamente la degradación de [K] lo que ocasiona que la viga cada vez se desplace más. Por último para comprobar que el programa calcula de manera correcta las deflexiones, se comparan los resultados de la Figura 99 y la ecuación (111) [42].

Figura 99. Elástica de una viga mostrando los desplazamientos en y, durante la primera iteración.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Posicion longitudinal de la viga (mm)

Def

lexi

on v

ertic

al (

mm

)

Degradando [K]

Sin degradar [K]

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

X: 5080Y: -254.3

Posicion longitudinal de la viga (mm)

Def

lexi

on v

ertic

al (

mm

)


116

3500 5.08

3 10.1 9 8.41 10 0. 257 . . 111

Como todo el esfuerzo lo está cargando la matriz, se utilizó E = E22 = 10.1 GPa de la Tabla 11. El momento de inercia es el mismo que se utilizó para calcular los esfuerzos. Por lo tanto hay una variación del 1.16 % entre la teoría y el programa.

5.5. Variaciones de la razón de esfuerzos (R) y la carga máxima (Fmax)

Hasta ahora se ha validado el modelo integrado para el caso presentado en la sección 5.1. Para cersiorarnos que este modelo además de ser integrado, sea flexible es menester analizar la variación de la progresión del daño respecto a ciertas variables clave, tales como la razón de esfuerzos R, la carga máxima Fmax, así como el ángulo de orientación de la fibra respecto al eje axial z ( ). En esta sección se revisarán las primeras dos variaciones, dejando la última para la sección 5.6.

En la Figura 100 se presenta una gráfica que muestra la variación del daño para varios valores de R, los cuales van de -1 a 1, dejando el valor de la carga máxima del ciclo como un valor constante. Cabe mencionar que con estas razones R quedan cubiertos todos los casos para la viga, ya que mientras una mitad está sufriendo ciclos de tensión, la otra experimenta compresión.

Figura 100. Gráfica que muestra la variación de daño respecto a R, manteniendo el valor de la fuerza máxima como constante.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Razon de esfuerzos R

Por

cent

aje

de v

olum

en d

e da

no

Variacion del volumen de dano respecto de R (Fmax = 500 N, const)


117

En la gráfica anterior se pueden notar tres regiones. La primera que va de R = [-1,0], la cual involucra todos los ciclos de tensión-compresión, los cuales resultan ser particularmente violentos (que ocasionan un gran porcentaje volumen de daño). La segunda región, la cual va de R = [0,0.5], presenta una variación mayor e involucra los ciclos de tensión-tensión (compresión-compresión en la otra mitad). El decremento monotónico en esta parte de la gráfica es muy pronunciado, lo cual pemite entender que en esta región empiezan los ciclos más suaves. Finalmente de R=0.5 en adelante tenemos ciclos que no comprometen en lo mínimo la integridad estructural del aspa.

Este decremento montónico puede expresarse por medio de la Figura 34 (sección 3.4.3), la cual superpone un diagrama de Goodman a las funciones que representan al modelo de vida normalizado a la fatiga. Este modelo demuestra que en un rango de R = [-1,1], el valor de Nf se incrementa monotónicamente lo que significa que un segmento sometido a un ciclo R = -1 tendrá una vida proyectada Nf mucho menor y por ende tenderá más a fallar que un segmento sometido a un ciclo, por ejemplo con R = 0.1.

Ahora es momento de estudiar la variación del daño respecto a la carga máxima. Para esto, se partirá del mismo caso base pero ahora se dejará R = 0.1 como constante. En la Figura 101 se muestra una curva con variación que recuerda a la parábola de las curvas de vida normalizadas (sección 3.4.3), denotando la variación cuadrática de Nf respecto esfuerzo promedio del ciclo de fatiga (σm), el cual a su vez varía directamente respecto a Fmax.

Figura 101. Gráfica que muestra la variación del volumen de daño respecto a la carga máxima del ciclo, con R = 0.1 constante.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

10

20

30

40

50

60

70

Carga maxima Fmax (N)

Por

cent

aje

de v

olum

en d

e da

no

Variacion del volumen de dano respecto de Fmax (R = 0.1, const)


118

Finalmente, para cerrar esta sección es importante mencionar la peculiaridad de los ciclos R = -1 para estructuras del mismo material y geometría simétrica. Si se traza una gráfica de amplitud constante con esta razón de ciclaje se podrá uno dar cuenta que la variación es simétrica y que el esfuerzo promedio es igual a cero. En la Figura 102 se muestra un mapa de daño para un caso similar al base pero con Fmax = 70 N, comprobándose un daño idéntica en las capas superior e inferior.

Figura 102. Daño final para una viga de caso base con ciclaje Fmax = 70 N y R = ‐1.

La razón por la cual se escogió una carga de magnitud pequeña para el caso anterior fue debido a la misma agresividad del ciclo. Si se hubiese tomado el Fmax = 500 N que corresponde al enunciado completo del caso base se llega a una región exageradamente grande de falla, fenómeno que puede explicarse a través de una matriz singular. Estas matrices, de acuerdo con Burden y Faires [89], arrojan determinantes iguales a cero, lo que imposibilita la solución adecuada de la ecuación matricial [K]{u}={f}. La matriz [K] usualmente está poblada en su diagonal, sin embargo cuando el material presenta muchas fallas, especialmente si es en la fibra (ver Figura 103), ésta se llena de ceros trayendo como consecuencia el error de matriz singular.


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


119

Figura 103. Daño final para una viga de caso base con ciclaje Fmax = 500 N y R = ‐1.

Por lo tanto la interpretación física de 101 es que en la raíz no hay material y por ende la estructura deja de ser mecánicamente funcional. Para evitar casos de este tipo, se puede delimitar el volumen de daño con la casilla % de segmentos permitidos a daño localizada en la pestaña de PFA dentro del archivo MS Excel Datos_Aspa.xlsx (sección 4.2.6).

5.6. Variación del ángulo de la fibra ( )

Una cuestión que puede variar entre capas es el ángulo de la fibra respecto al eje axial z (ver Figura 14 en sección 2.5). Como ya se ha venido discutiendo en secciones y capítulos anteriores, la orientación de 0º expone completamente a la fibra y la de 90º, a la matriz. Si se varía este ángulo (denominado con theta en el código y en los resultados), usando el resto de los datos del caso base (sección 5.1) se llega a la gráfica mostrada en la Figura 104.


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


120

Figura 104. Variación del volumen de daño SL22T respecto a la orientación de las fibras.

De esta Figura se extrapola una conclusión evidente: la matriz se daña más a tensión si está completamente expuesta (a 90º), presentando un incremento monotónico desde 65º.

Verificando la integridad del modelo, se desactivó la degradación de la matriz de rigidez [K]. Los resultados muestran que la rutina de fatiga solamente detecta un 5 % de volumen de daño, lo que representa un decremento de alrededor de 15 % respecto al caso de la Figura 104. Por lo tanto se recomienda que se tome en cuenta este efecto al momento de predecir el daño ya que los resultados podrían ser demasiado optimistas.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2

4

6

8

10

12

14

16PORCENTAJE DE VOLUMEN DE DANO FINAL RESPECTO A THETA

Orientacion de las fibras (theta)

Por

cent

aje

de v

olum

en d

e da

no e

n S

L22T

(%

)


121

Figura 105. Mismo caso que en la Figura 102, pero sin degradación de [K]

Si para el mismo caso, se monitorea la variación de falla por cortante (SL12S) vemos que hay un ascenso monotónico muy próximo a una línea recta (Figura 106) a partir de 70º con un porcentaje de volumen de daño máximo de 18 % en 90º. Esto parece contradecir un precepto fundamental de la mecánica de materiales, el cual menciona que el esfuerzo y el daño máximo por cortante ocurren a 45º [42]. Sin embargo, hay que tomar en cuenta que la propagación de cortante depende de lo que ocurre con las fallas por tensión y compresión en la matriz, tal y como se observó en §5.3.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5



Por

cent

aje

de v

olum

en d

e da

no e

n S

L22T

(%

)


122

Figura 106. Variación del volumen de daño SL12S respecto a la orientación de las fibras.

Esto se puede explicar con mayor detalle con ayuda de la Figura 107, la cual muestra un estado inicial de esfuerzos por cortante mucho mayor (22 MPa) que el caso mostrado en la Figura 50 (4.3 MPa). Sin embargo, el estado inicial de esfuerzos en la matriz (15 MPa) es mucho menor al mostrado en el caso de 90º (52 MPa). Por lo tanto, el caso de 90º al tener un esfuerzo inicial σ22 (iter = 1) mucho más próximo más próximo a SL22T que el de 45º, ocasiona que esta propiedad de resistencia así como el módulo de Young correspondiente se degraden más rápido afectando posteriormente al esfuerzo cortante, incrementándolo. En el caso de 45º se tiene un esfuerzo cortante inicial mayor, pero como σ22 (iter = 1) es mucho menor, la degradación de las propiedades de tensión no llega a afectar al estado de cortante.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2

4

6

8

10

12

14

16

18



Por

cent

aje

de v

olum

en d

e da

no e

n S

L12S

(%

)


123

Figura 107. A pesar de iniciar con un esfuerzo cortante mucho mayor que el caso de 90º, el valor inferior del esfuerzo de tensión en matriz inicial hace que el caso de 45º resulte en un daño final nulo.

Por lo que naturalmente lleva a pensar que si se incrementa la magnitud de la carga máxima (ahora en este caso Fmax = 1300 N), se incrementará el esfuerzo inicial σ22 y por ende se registrará algún daño. De acuerdo con la Figura 108, esto es correcto, sin embargo el daño registrado ocurre solamente por SL22T. De hecho, si se compara el estado inicial de esfuerzos cortantes con el final, la diferencia es menospreciable incluso si hubo un incremento en el esfuerzo de tensión de matriz. Esto se puede explicar mediante el concepto de velocidad de progresión de daño, propuesto por el autor. Ésta es una razón del incremento del volumen de daño respecto al número de ciclos. La representación gráfica de este concepto es la pendiente de las curvas mostradas en la Figura 109. Si se observan ambas gráficas se puede ver que para el caso de 90º hay una velocidad de progresión de daño mayor (pendiente más empinada) que en el de 45º. Comprender este fenómeno es muy importante, especialmente durante las etapas iniciales del proceso ya que debido al efecto de estancamiento de la degradación de rigidez (ver Figura 97, sección 5.4), la propagación del daño se vuelve más lenta en etapas posteriores por lo que la aparición de la falla por cortante en 45º se vuelve improbable.


124

Figura 108. A pesar del incremento del esfuerzo de tensión en la fibra, el efecto en el esfuerzo cortnate en mínimo, cuestión que se explica con la Figura 107.

Figura 109. Grafico comparativo de la evolución del porcentaje de volumen de daño para el caso de 45º (con Fmax = 1300 N) y el de 90º (con Fmax = 500 N).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

5

10

15

20

25

30

n ciclos

Por

cent

aje

de d

ano

(%)

Evolucion de dano

45 grados

90 grados


125

Finalmente, no fue posible revisar la variación del porcentaje de volumen de daño final para el modo de falla SL11T ya que requería cargas de alrededor de 6000 N para hacer fallar la viga en este modo, por lo que con el mínimo movimiento de se originaba una región muy grande de daño en la dirección de la matriz y a la larga conllevaba a matrices de singularidad que echaban a perder el experimento. Sin embargo, sí fue posible realizar experimentos medianamente satisfatorios (debido a que también aparecen las matrices de singularidad) para la orientación de 0º. Si se tomaba el caso base con Fmax = 6000 N y R = 0.1 así como la orientación recién mencionada, se obtenían mapas de daño que denotaban una falla catastrófica en 5 modos (Figura 110).

Figura 110. Viga fallada en sus cinco modos, denotando falla catastrófica. Nótese cómo el perímetro está dañado.

En la Figura anterior se puede ver cómo al no haber material alrededor del perímetro del empotramiento, MATLAB arroja un error de matriz singular en la octava iteración. Si la razón de esfuerzos se cambia a R = -1, la región de daño crece y MATLAB arroja un error de matriz singular desde la quinta iteración (Figura 111). Como en todos los casos de carga reversible, el cilindro presenta un patrón de daño simétrico.


126

Figura 111. Viga fallada en sus cinco modos como en la Figura 108, pero con R = ‐1.


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45


20 40 60 80 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


127

5.7. Revisión de la interacción del cortante

Ya verificadas todas las variables involucradas en el modelo de propagación de daños por fatiga en una viga se puede resumir el procedimiento por medio del ciclo mostrado en la Figura 112.

Figura 112. Esquemático cíclico que muestra el comportanto de la propagación de daños.

Como se vio en las secciones anteriores, la resistencia de la matriz (SL22T) usualmente es el más vulnerable, si esta falla lo suficientemente rápido y de forma extensiva, no solamente puede anular las propiedades de rigidez y resistencia asocidadas a la matriz sino también afectar de forma considerable en el debilitamiento de la matriz de rigidez [K]. Este debilitamiento se traduce en un aumento del estado de esfuerzos, tanto en sigma_y (σ22) como en tao_xy (12). Si este último esfuerzo llega a incrementarse mucho no solamente generará fallas por cortante sino también influirá en los criterios de falla de los demás modos. Si esto ocurre, más segmentos fallarán en la matriz, repitiendo el ciclo hasta que éste se estabilice por falta de material vulnerable.

Esfuerzo sigma_y>SL22T

Anulación de propiedades de rigidez E22 y resistencia SL22T

Debilitamiento de [K]

Aumento de esfuerzos (sigma_y, tao_xy)

Mayor influencia de corte en otros esfuerzos


128

Por lo tanto, queda demostrado que el módulo de fatiga propuesto en el capítulo 4 es integral y flexible.

5.8. Pruebas de convergencia

Un último paso antes de darle confianza plena al módulo propuesto en el capítulo 4 es verificar si diferentes productos de ∗ 500 suponen un mismo número final de daños. A esta prueba se le conoce como convergencia y en caso de pasarse asegura la estabilidad del modelo. El modo de falla más confiable para esta prueba es SL22T ya que se registra de forma rápida sin generar matrices singulares. Si se verifica el caso base con diferente número de iteraciones, se llega a la Figura 113, la cual muestra que utilizar pocas iteraciones conlleva a resultados incompletos, los cuales se deben a que los saltos son tan grandes que se ignoran algunos segmentos. Pero conforme se refina el algoritmo se puede notar que el valor se estabiliza alrededor de 3000 segmentos dañados. Cabe mencionar que no es necesario utilizar un número exagerado de iteraciones ya que el costo tiempo/precisión no lo vale.

Figura 113. Prueba de convergencia en el caso base para el modo SL22T.

0 20 40 60 80 100 120 1400

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500SEGMENTOS FALLADOS EN COMPARACION A SALTO DE CICLOS

Numero de iteraciones

Seg

men

tos

falla

dos


129

Aplicar la prueba para SL11T resultó de forma similar, convirgiendo en 1300 segmentos, aproximadamente.

Figura 114. Prueba de convergencia en el caso base para el modo SL11T con R = 0.1 y Fmax = 6750 N.

Las pruebas de convergencia muestran que los resultados obtenidos se estabilizan alrededor de un mismo valor, haciendo del proceso iterativo uno confiable.

0 20 40 60 80 100 120 1400

200

400

600

800

1000

1200

1400SEGMENTOS FALLADOS EN COMPARACION A SALTO DE CICLOS

Numero de iteraciones

Seg

men

tos

falla

dos

130

____________________________________________________

CAPÍTULO 6

SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DEL CASO DE ESTUDIO_________ Resumen. En el presente capítulo se desarrollan los resultados para el caso de estudio, el cual es una versión más realista del caso base ya que incluye un perfil aerodinámico y un material de varias capas. Por ello, la forma más sencilla de validación que considera el autor es comparar los patrones de propagación de daño arrojados por el programa de fatiga con resultados similares ya establecidos por Cárdenas en su trabajo [88] utilizando el caso propuesto por Pawar [90].

Esto permitirá analizar tres perspectivas. Primero, será posible comentar semejanzas y diferencias entre las zonas de daño generadas tanto por el programa de fatiga como el de carga estática de Cárdenas. A partir de esta comparacón, se podrán generalizar los patrones de propagación por fatiga a un caso de perfil con geometría más irregular y con más capas de material. Finalmente, resulta de interés estudiar la influencia causada por daño en otras capas.

Con estas perspectivas de análisis se desea, no solamente validar el modelo PFA de fatiga propuesto en el Capítulo 4, sino también extender y resaltar la naturaleza integrada del módulo de fatiga en materiales con varias capas.

____________________________________________________

6.1. Planteamiento del problema

El propósito de esta sección, es estudiar la propagación del daño por fatiga en un aspa de aerogenerador, la cual usualmente posee una sección transversal aerodinámica y apilamientos de varias capas de material compuesto, las cuales pueden diferir en propiedades y en orientación. Sin embargo, las tres limitaciones que se seguirán tomando en cuenta son:

Sección transversal constante, es decir el aspa será prismática. El aspa estará hecha de un solo laminado. La carga de fatiga será de amplitud constante.

Además las propiedades que se utilizarán, corresponden a las que propone Shokrieh en su tesis [46] debido a que Pawar no especifica propiedades de fatiga en su artículo. Tomando en cuenta todas estas simplificaciones, el aspa modelo será de material

Capítulo 6: Simulación y análisis de caso de estudio

131

AS4/3501-6 graphite/epoxy, cuyas propiedades individuales se enlistan en la Tabla 11. Este material se apilará en siete capas, tal y como se enlistan en la Tabla 16, partiendo de la más externa hacia la más interna, basándose en los datos provistos para el D-Spar en el trabajo de Cárdenas [88].

Tabla 15. Información del apilamiento de las capas del material, partiendo de la capa más externa hacia la más interna.

#Capa Espesor (mm) Orientación de la fibra (º) 1 0.762 0 2 0.508 45 3 0.508 -45 4 1.016 90 5 0.508 45 6 0.508 -45 7 0.762 0

En cuanto a la geometría, el aspa sigue un perfil aerodinámico, tal y como se muestra en la Figura 115. En esta Figura también se incluyen las coordenas del perfil, normalizadas con respecto a la longitud de la cuerda, c = 304.8 mm. Estas coordenadas se toman partiendo del leading edge, en sentido antihorario (ver Figura 36) y responden al perfil NACA0012, el cual puede obtenerse usando una base de datos tal como XFoil [91]. La longitud del aspa sigue siendo de L = 5080 mm, igual que en el caso base.

Figura 115. Coordenadas que component al perfil del caso de estudio.


132

Finalmente, hay que establecer las condiciones de carga. Para las pruebas de carga estática, usando el programa de Cárdenas, se empezará con una carga puntual de 1000 N hacia abajo aplicada en el extremo libre de una viga en cantiléver. De acuerdo con el artículo [88], esta carga se irá automáticamente incrementando hasta que se alcance un porcentaje de daño establecido o bien, un número de iteraciones permitido, en este caso iter = 32.

Para el caso de fatiga, se tuvo que encontrar un caso análogo, ya que las iteraciones no miden cantidades directamente relacionadas. En este caso, se varió una carga de 1350 N hacia abajo como magnitud máxima a una razón de carga de R = 0.1, con 20 iteraciones de 25 ciclos cada una. El resumen de ambos casos se muestra en la Figura 116.

Figura 116. Resumen de condiciones de carga para ambos casos de estudio, considerados en este capítulo.

6.2. Objetivos del estudio

En general, el propósito del estudio este capítulo es establecer un comparativo entre los resultados obtenidos a partir de los casos introducidos en el módulo estático de Cárdenas y el módulo de fatiga propuesto por esta tesis. Ambos evaluando la progresión de daños en un modelo integrado a un aspa de perfil irregular con un laminado de varias capas, distintas entre sí.

A partir de este objetivo, se desea comprender tres resultados en particular:

Semejanzas y diferencias entre los patrones de propagación en un aspa cargada estáticamente [88] y otra por fatiga.

Los patrones básicos de daño por fatiga encontrados en el capítulo anterior, a un sistema estructural más complicado.

La extensión de la influencia del daño a otras capas.


133

Entendiendo estos resultados, es posible extender el concepto de PFA fatiga a sistemas más complicados, incluyendo aquélos que posean materiales de varias capas y perfiles geométricos menos regulares.

6.3. Propagación del daño utilizando la rutina de carga estática de Cárdenas

6.3.1. Gráfica de evolución de daño

En esta sección se estudiarán los resultados obtenidos por el código propuesto por Cárdenas en [88], los cuales servirán como base de comparación a los resultados obtenidos por el módulo de fatiga propuesto. Una manera gráfica y sencilla de comprender la naturaleza iterativa del código de carga estática de Cárdenas, es a partir de la Figura 117.

Figura 117. Relación entre la evolución del daño y de la carga instantánea en el programa de Cárdenas [88].

Durante la primera fase, en la cual el daño crece de forma cuadrática pero lenta, se puede notar que la carga de incrementa de 1000 a 3246 N. El propósito de esto es llegar rápidamente a un valor que ocasione un daño extensivo. Sin embargo, el daño crece rápidamente en 3246 N, por esta razón el algoritmo se estanca en este valor.

Esta medida se tomó debido a que si seguía incrementando la carga como se venía haciendo, el daño se propagaría de forma más acelerada. Esto a su vez, traería como


134

consecuencia una refinación de peor calidad, complicando el posprocesamiento de los resultados.

Sin embargo, había un punto en el cual el programa ya no podía sostener la carga constante y por ende había de incrementarse hasta llegar a un nuevo valor de estancamiento. Este ciclo continuaba hasta que se alcanzaba el daño máximo o el número de iteraciones deseado. Como se puede apreciar, a partir del caso de estudio se puede ver que conforme más celdas de dañan, la propagación se acelera casi de forma exponencial. Por último, para darse una idea de la magnitud del daño causado se puede comparar contra el valor total de segmentos, el cual es igual a ∗ ∗ 39200.

6.3.2. Primera etapa de daño

Para revisar con más detalle la evolución de daño en espacio, vg el aspa, se revisarán cuatro estapas distintas: una primera a 18 iteraciones, una segunda a 20 iteraciones, una tercera a 30 iteraciones y una cuarta y última a 50 iteraciones. Después de compararán con cuatro estapas análogas de daño por fatiga.

Figura 118. Modos de daño finales a 18 iteraciones, capas 1 a 4.


135


Las Figuras 118 y 119, muestran la suma final de modos daño en todas las capas del aspa. La magnitud puntual de la fuerza final incrementó a 3094.4 N, justo antes del primer estancamiento. En las capas 1 y 7, las cuales tienen una orientación de 0º, presentan una zona inicial de daño por compresión comparable a los casos estudiados en el capítulo 5. De manera análoga, en la capa 4 (la cual está orientada a 90º) aparece una zona de daño por tensión en la capa superior. Finalmente, las capas 3 y 6 (a -45º) muestran una zona de daño cercana al eje neutro, la cual también se debe a la alta concentración de esfuerzos en el trailing edge y su geometría puntiaguda.

6.3.3. Segunda etapa de daño

En las Figuras 120 y 121 se pueden apreciar algunas características de segunda etapa de daño. Aquí la carga puntual aplicada en el extremo a incrementado a F = 3246.4 N (iter=20) por lo que nos encontramos en la primera región de estancamiento de la fuerza. En este momento, las zonas individuales de daño por compresión (capas 1 y 7) y tensión (capa 4) siguen creciendo. Asimismo, aparecen las zonas de daño en las capas 2 y 5. Finalmente, aparece el daño por tensión en las capas 3 y 6, adicional al de cortante, el cual sigue creciendo.


136



6.3.4. Tercera etapa de daño


137

Esta etapa correponde a un estado de 30 iteraciones y una carga puntual de 3712 N, justamente en el segunda estancamiento de la fuerza. Es aquí donde aparecen modos de falla debidos a otras capas. Por ejemplo, el eje neutro de las capas 1, 4 y 7 empieza a fallar así como las regiones superiores e inferiores de las capas 2, 3, 5 y 6; indicando una significante influencia entre los diferentes modos de falla de las capas. Sin embargo, la conexión entre zonas de falla es incipiente (Figuras 122 y 123).



6.3.5. Cuarta etapa de daño


138

En esta cuarta y última etapa escogida por el autor, se muestra no solamente una expansión del daño o influencia de otras capas, sino también una conexión entre las zonas de daño, fenómeno atribuido a la degradación de la rigidez según se explicó en el capítulo 5. Para llegar a este momento, se tuvieron que usar 50 iteraciones, llegando a una carga final de 4007.8 N, posterior al tercer estancamiento de la fuerza (Figuras 124 y 125).



6.4. Propagación del daño utilizando la turina de carga de fatiga propuesta


139

Al igual que en la sección anterior, se trazó una gráfica (Figura 126) de evolución de daño a través de las iteraciones. Cabe mencionar que las Figuras 117 y 126 no son directamente comparables ya que los valores del eje x de ambas gráficas difieren. Sin embargo se puede notar que mientras el programa de Cárdenas sigue expandiendo el daño rápidamente en las iteraciones posteriores, la fatiga tiende a converger. Esta convergencia ya se explicó en varias ocasiones en el capítulo 5 y se debe a la naturaleza exponencial del modelo el cual responde al concepto de límite de fatiga. Por último, cabe mencionar que el número máximo de segmentos es igual a 39200.

Figura 126. Relación entre la evolución del daño y la carga instantánea en el programa de fatiga propuesto.

A continuación se despliegan las Figuras 127 y 128, las cuales muestran el estado de daño final tras 20 iteraciones del módulo de fatiga. Si se comparan estas imágenes respecto a las Figuras 124 y 125, es posible darse cuenta que los patrones de daño en las siete capas resultan ser muy similares y respetan los principios básicos establecidos en el capítulo anterior, con diferencia de que el daño por carga estática es mucho más extensivo que el de fatiga lo cual se comprueba efectivamente con las gráficas respectivas 117 y 126, acelerándose en la primera y estabilizándose en la segunda.

La evolución del daño por fatiga se discutirá en la siguiente sección, donde también se aprovechará para comparar directamente la evolución del daño por carga estática [88] y carga por fatiga.


140

Figura 127. Estado final de falla tras 20 iteraciones de carga por fatiga según 6.1: capas 1 a 4.

Figura 128. Estado final de falla tras 20 iteraciones de carga por fatiga según 6.1: capas 5 a 7.


141

6.5. Comparativo entre resultados de carga estática y carga por fatiga

Por último, se presenta esta sección con el propósito de resumir lo que se fue desarrollando a lo largo de una forma más gráfica. En la Figura 129, se muestra la evolución de la extensión de la zona de daño en el aspa a través de las cuatro etapas de daño discutidas en la sección 6.3. Como se puede ver, se desarrolla primero en la capa 4 una zona de daño por tensión en forma de lengua, la cual corresponde con el patrón de esfuerzos normal típico de la orientación 90°. Sin embargo, también se puede ver la intervención de una zona de falla por cortante dedarrollada en la capa superior y normal de tensión desarrollada en la capa inferior. Estas zonas se conectan entre la tecera y la cuarta etapa de daño.

Figura 129. Evolución de la region de daño en la capa 4, con el caso de carga estática.

Si se comparan los resultados recién mostrados con la Figura 130, se pueden arrojar ciertas similitudes entre el caso de carga estática y de fatiga. Por ejemplo, ambos casos desarrollan inicialmente una región de daño central: tensión en la capa superior y compresión en la capa inferior. Una razón por la cual las regiones de daño iniciales por


142

fatiga son más pequeñas radica simplemente en la magnitud de la carga (3094.4 N en estática vs. 1350 N en fatiga).

Se puede ver también que la región de compresión es mayor que la de tensión, algo que comúnmente no ocurriría en una capa de 90° sin embargo hay que tomar la influencia debido a otras capas, ya que la falla por compresión de fibra en las capas 1 y 7 es de carácter catastrófico, a diferencia del caso estático, propagando la falla más rápidamente a otras capas (cf. Figura 132).

Al igual que en el caso estático, se desarrolla una región por cortante independiente en la capa superior, la cual se conecta alrededor de n = 300 ciclos. Sinb embargo, la zona de daño por fatiga se ve más “achatada” que la estática, ilustrando perfectamente la convergencia del daño por fatiga.

Figura 130. Evolución de la region de daño en la capa 4, con el caso de carga de fatiga.


143

Por su parte, la capa 7 representa un caso clásico de fibra orientada a 0 grados (Figura 131). Primero, se desarrolla una zona de daño por compresión en la parte inferior de la viga, la cual se va extendiendo rápidamente puesto que el valor de la resistencia de la fibra a compresión es menor que la de tensión.

La capa superior desarrolla un daño menor por tensión, e incluso se puede ver una zona de cortante mucho más desarrollada.

Figura 131. Evolución de la región de daño en la capa 7, con el caso de carga estática.

En la Figura 132, se visualizan los resultados análogos a fatiga. Se puede notar que la zona de daño en la capa inferior por compresión es parecida a la causada por carga estática, viéndose más achatada debido a la convergencia del algoritmo propuesto. Sin embargo, la falla por compresión en el módulo de fatiga e catastrófico [ver 46] y por ende tiene mayor influencia en el resto de las capas.

En cuanto a la capa superior, puede notarse una zona de daño por cortante que se desarrolla de forma similar al caso estático, sin embargo no se halla la zona superior de falla por tensión. Una vez más, hay que tomar en cuenta la magntud de las fuerzas


144

utilizadas (3712 N vs. 1350 N), siendo la carga de fatiga máxima utilizada insuficiente para alcanzar a degradar la resistencia a tensión en esta dirección.

Figura 132. Evolución de la región de daño en la capa 7, con el caso de carga de fatiga.

Como comentarios finales, se puede recalcar que el módulo integrado de fatiga se extiende a otras capas. Desde luego, una comparación directa entre iteración de fuerza (Cárdenas) y de ciclaje (fatiga), es complicado de realizarse. Sin embargo, la evolución de las zonas de daño resulta ser similar con diferencias en las extensiones finales de daño, las cuales se deben a cuestiones algorítmicas.

Esto conlleva a que la zona de daño arrojada por el programa estático sea de mayor extensión que la de fatiga. Sin embargo es importante tomar dos cuestiones en cuenta:

Primero, las zonas iniciales de daño por carga estática son mayores ya que las fuerzas que generan estas regiones son de mayor magnitud.

Sin embargo, es necesario llegar a los 3000 N para generar daño por carga estática. Por su parte, la fatiga puede causar daño con 1350 N, pero con un mayor número de ciclos.

Por lo tanto, se concluye que el poder destructivo de la fatiga no se debe tanto a la magnitud del ciclo sino al número de repeticiones de éste mismo.

145

____________________________________________________

CAPÍTULO 7

CONCLUSIONES______________________________________

7.1. Conclusiones y resumen de contribuciones

7.1.1. Tesis

El modelo presentado en esta disertación es capaz de predecir adecuadamente la progresión del daño ocasionado por fatiga a amplitud constante en un aspa de aerogenerador de material compuesto y sección transversal constante, cumpliendo con los objetivos propuestos en la introducción.

7.1.2. Repaso de los objetivos

En base a esta tesis se propuso codificar y validar un programa que fuera capaz de obtener:

• El historial de degradación de resistencia y rigidez del material en cada uno de los segmentos del aspa.

• El número de ciclos necesarios para hacer fallar cada segmento del aspa.

• La causa del daño de cada uno de los segmentos del aspa ya sea a tensión, compresión o cortante.

• Progresión del daño en el aspa a través del número de ciclos.

7.1.3. Producto de la tesis

Para defender la tesis se desarrolló una disertación que incluyó la implementación de un código integral de propagación de daños por fatiga a amplitud constante el cual predice la extensión del mismo a lo largo de un número delimitado de ciclos repartidos en iteraciones.


146

Este modelo integral calcula en tiempo real los esfuerzos normales y cortantes registrados en cada una de las capas del material por medio del módulo de Cárdenas [14] y a partir de estos resultados degrada la resistencia y la rigidez usando las teorías de falla y de degradación enunciadas en Shokrieh [46] ocasionando una extensión progresiva del daño a lo largo de este número limitado de iteraciones.

Por último, durante el posprocesamiento, el programa arroja el estado final en cada una de las capas y si así lo desea el usuario, una animación de la progresión del daño en cualquier capa que se seleccione.

7.1.4. Discusión final

El producto previamente discutido queda validado por los resultados obtenidos y analizados en los capítulo 5 y 6, los cuales demuestran que el modelo codificado está efectivamente integrado., haciéndolo ideal para el diseño de este tipo de estructuras con posibilidad de extenderse a aspas de helicóptero [90] y alas de avión [40].

En el capítulo 5 se trató un caso base en el que se demostró efectivamente que existe una interacción entre los fenómenos de degradación de resistencia y rigidez. La aparición de zonas individuales de daño, confirman la degradación de la resistencia y la conexión entre las mismas apuntan a una degradación de la rigidez. Adicionalmente, el cambio en la deflexión vertical en la punta evidencia aún más la existencia del último fenómeno.

Dentro del mismo capítulo también se comprobó que al refinar las iteraciones, el resultado convergía comprobando efectivamente la estabilidad del algoritmo. Se recomienda al usuario que experimente con la resolución del programa hasta obtener un resultado cercano al valor de convergencia.

En el capítulo 6 se demostró la influencia que tenían entre sí las zonas de daño de las diversas capas que componen al aspa. También se pudo visualizar la existencia de una zona de concentración de esfuerzos por cortante en el trailing edge debido a la geometría.

Finalmente, en este mismo capítulo se compararon las zonas de daño entre los programas codificados por Cárdenas [88] de caga estática, y el de carga por fatiga propuesto. Las zonas de daño entre ambos resultados fueron similares, con la diferencia de que la fatiga tiende a propagarse más lentamente especialmente en las etapas finales, debido al límite de fatiga presente en los modelos de propagación de daños por dicho fenómeno.

Capítulo 7: Conclusiones

147

En base a estos resultados, se concluye que se tiene un modelo estable e integrado que es capaz de predecir la propagación de daños por fatiga con relativa rapidez, especialmente por la complejidad de la estructura analizada, haciéndolo ideal para su utilización en aplicaciones energéticas y aeroespaciales.

7.2. Trabajo futuro y áreas de oportunidad

Sin embargo, hay que tomar en cuenta que este modelo presenta áreas de oportunidad tales como un mayor refinamiento de los resultados, especialmente en iteraciones muy posteriores donde aparecen zonas de daño discontinuo. También es necesario considerar otros modelos de fatiga, especialmente aquéllos que puedan probar ser más eficientes. Finalmente, se considera importante incluir los efectos dinámicos de la carga así como efectos de carga variable, ignorados en esta disertación.

Refinar y extender el código presente. Se propone como primer trabajo futuro refinar el código que sustenta esta investigación tomando en cuenta los mismos casos analizados en la tesis. Asimismo, se sugiere extender la temática a un aspa de sección transversal variable, especialmente del tipo tapered con raíz cilíndrica. Véase la sección 2.7 de esta tesis. Por último, también deben revisarse casos de material más complicado, involucrando diferentes laminados.

Fatiga a carga variable. Es importante tomar en cuenta que los casos más reales consisten en un espectro de carga variable, las cuales requieren de un tratamiento diferente al dado a carga constante. Para ello, es necesario revisar un caso relativamente sencillo tales como dos bloques de amplitudes diferentes entre sí, pero constantes cada uno [10]. Posteriormente, se puede extender a un caso más genérico que involucre series de tiempo, empleando tratamientos estadísticos tales como el rainflow.

Considerar efectos dinámicos. Los análisis de esfuerzos tratados en esta disertación fueron de carácter cuasiestático, ignorándose los efectos de la inercia y las aceleraciones. Cárdenas ha desarrollado un modelo dinámico aeroelástico en su tesis [14], sin embargo solamente lo implementa a carga estable y no a efectos de fatiga. Un modelo que es de gran utilidad para estructuras tales como alas de avión y aspas de helicóptero y de aerogenerador el modelo de acoplamiento aeroelástico que propone Patil [92], ya que no solamente toma en cuenta las cargas aerodinámicas sino también toma en cuenta aspectos mecánicos de inestabilidad tales como el flutter.

148

____________________________________________________

CAPÍTULO A

APÉNDICES__________________________________________ Apéndice A.1. Armado de la matriz E por el modelo TWB. Continuado de la sección 2.5 (pg. 27).

11 . . . . . . 18. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .

. . . . . . 88

0

0

0

0

sin ;

cos

cos ;

sin ;

2 sin sin ;

sin cos sin cos

sin sin

sin

sin cos ;

sin sin

sin

2 cos cos

Capítulo A: Apéndices

149

cos cos

cos

cos cos ;

cos sin

cos

2

cos ;

sin

48 16 1 16 2 2

cos cos sin

sin sin cos

58 66 2 66 2 55 2 2

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

78 66 sin 2 55 cos 2

88 66 2

2

55 22


150


151

Apéndice A.2. Desarrollo de la matriz de rigidez de elemento [Ke].

Primera columna.

Segunda columna.


152

Tercera columna.

Cuarta columna


153

Quinta columna.

Sexta columna.


154

Séptima columna.

Octava columna.


155

Novena columna.

Décima columna.


156

Undécima columna.

Duodécima columna.


157

Decimotercera columna.

Decimocuarta columna.

Apéndice A.3. Códigos utilizados para el programa de daños por fatiga


158

NOTA IMPORTANTE: Los códigos aquí presentados no necesariamente representan la versión final por lo que su principal objetivo es conceptualizar la codificación del algoritmo explicado en el capítulo 4. Para la versión más actualizada se recomienda revisar el código encontrado en el disco compacto anexo a esta tesis.

A.3.1. Codificación en MATLAB de la subrutina principal.

%pfafatiga.m %Autor: Juan Andres Rivera Santana %Fecha de inicio: 05/06/14 %Hora de inicio: 19:29 hrs. %Descripcion: %La siguiente subrutina calcula daños progresivos por fatiga en aspas de %aerogenerador, aplicando las reglas de degradacion de Shokrieh (1996, %2005). La documentacion se compone de los comentarios en verde, asi como la tesis (en proceso) tic %Se empieza a calcular el tiempo total de ejecucion desde aqui. %Armando la primera matriz de rigidez y segmentando el material. [Tipo_viga,K,~,Geo,X_Y,~,W,~,Ft,~,niveles_seg,~,Prop_Materiales,r,q,teta,ds,QQ_seg,~,QQ55_seg,~,angulo_seg,~,A_seg,B_seg,D_seg,A55_seg,~,~,~,~,~,~,material_seg,espesor_seg,~,~,sN,nN,zN]= Rigidez_Masa; %Introduccion de los datos constantes usados para el analisis de progresion %de fallas pos fatiga. %Recupero: delta_n, R, iteraciones maximas, dano maximo y todas las demas constantes de Shokrieh. Datos_entrada_PFA_Fatiga; %Inicializando bandera de fallados y de ciclos b_fallados = 0; %Se excedio el número de segmentos fallados maximo b_iter = 0; %Se excedio el número de iteraciones maximo seg_fallados=0; sfallados = 0; %Inicializando el numero de segmentos fallados %Inicializando contador de iteraciones iter=1; %Inicializacion de variables tales como resistencia y rigidez del material (degradables), celdas %danadas, numero de segmentos totales, numero de ciclos a falla por %segmentos. [SL11T,SL11C,SL22T,SL22C,SL12S,E11T,E22T,G12,SL11TF,SL11CF,SL22TF,SL22CF,SL12SF,falla_total,N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,seg_totales,N_fx_C,N_fy_C,SL13S,E11C,E22C,


159

G13,SL13SF,N_fxz, nu, b_subita]=Inicializacion_de_variables_fatiga(material_seg,Control_Value_PFA,sN,nN,zN); vfallados = zeros(Control_Value_PFA(1),1); %Iniciando contador de segmentos danados maximo seg_iniciales = seg_totales; no_seg_dano_max=seg_iniciales*Control_Value_PFA(2); % Variables relacionadas al alma del aspa X_Y_web=1; niveles_web_seg=1; material_seg_web=1; %Asignando valores iniciales de resistencia y rigidez [SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12 , SL13S,E11C,E22C,G13, nu]=S_E_iniciales(SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12, sN, nN, zN, material_seg, Prop_Materiales, SL13S,E11C,E22C,G13, Prop_Materiales_Fatiga, nu); %Inicio del ciclo de progresion de danos por fatiga while b_iter ~= 1 && b_fallados ~= 1 %Verificando que no se excedan los parametros maximos if iter==1 %Solucion del problema FEM estatico lineal [F,U,F_BC,U_BC]=Solucion_lineal(K); [F_2,U_2,F_BC_2,U_BC_2]=Solucion_lineal_2(K); else %Calculo de la nueva matriz de rigidez a partir del dano aplicado Matriz_K_Danada_fatiga; %Aplicacion de la solucion lineal [F(:,iter),U(:,iter)]=Solucion_lineal_PFA(K,F_BC,U_BC); [F_2(:,iter),U_2(:,iter)]=Solucion_lineal_PFA(K,F_BC_2,U_BC_2); end %Calculo de primer conjunto de esfuerzos [sigma_x,sigma_y,tao_xy]=esfuerzos_PFA(Tipo_viga,Geo,X_Y,X_Y_web,niveles_seg,niveles_web_seg,r,q,teta,U(:,iter),material_seg,W,Ft,QQ_seg,angulo_seg); %Calculo de segundo conjunto de esfuerzos [sigma_x2,sigma_y2,tao_xy2]=esfuerzos_PFA(Tipo_viga,Geo,X_Y,X_Y_web,niveles_seg,niveles_web_seg,r,q,teta,U_2(:,iter),material_seg,W,Ft,QQ_seg,angulo_seg); %Calculando los valores de esfuerzos maximos y minimos a partir de R y %el estado de esfuerzos obtenido [sigma_x_min, sigma_x_max, sigma_y_min, sigma_y_max, tao_xy_min, tao_xy_max]=sigma_m_a(sigma_x,sigma_y,tao_xy,sigma_x2,sigma_y2,tao_xy2 , sN, nN, zN);


160

%PROCEDIMIENTO PFA fatiga %El siguiente metodo verifica si el estado de esfuerzos excede las %propiedades del material y por ende, si se realiza la degradacion %subita. Finalmente, devuelve el numero de segmentos que han fallado %durante la iteracion. [SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12, E11C, E22C, b_subita]=falla_fatiga(sN,nN,zN, iter, sigma_x_min, sigma_x_max, sigma_y_min, sigma_y_max,tao_xy_max, SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12, Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga, E11C, E22C, b_subita); %Comparando si se excedio el numero maximo de segmentos danados falla_total(:,:,:,iter) = SL11TF(:,:,:,iter) + SL11CF(:,:,:,iter) + SL22TF(:,:,:,iter) + SL22CF(:,:,:,iter) + SL12SF(:,:,:,iter); %Calculando el estado total actual de segmentos danados. seg_fallados = size(find(falla_total(:,:,:,iter)>0),1); %Hallando los segmentos fallados DURANTE ESTA ITERACION %disp(seg_fallados); %Hallando el total de segmentos fallados a lo largo de TODAS las iteraciones. %Inicializiando variables de almacenamiento SL11T_tot = zeros(sN,nN,zN); SL11C_tot = zeros(sN,nN,zN); SL22T_tot = zeros(sN,nN,zN); SL22C_tot = zeros(sN,nN,zN); SL12S_tot = zeros(sN,nN,zN); %Sumando el dano por tension en la fibra for i=1:iter SL11T_tot = SL11T_tot + SL11TF(:,:,:,i); end %Dano por compresion en la fibra for i=1:iter SL11C_tot = SL11C_tot + SL11CF(:,:,:,i); end %Dano por tension en la matriz for i=1:iter SL22T_tot = SL22T_tot + SL22TF(:,:,:,i); end %Dano por compresion en la matriz for i=1:iter SL22C_tot = SL22C_tot + SL22CF(:,:,:,i); end


161

%Dano por cortante in plane for i=1:iter SL12S_tot = SL12S_tot + SL12SF(:,:,:,i); end %Sumando todos los modos de dano SLtot=SL11C_tot+SL22C_tot+SL11T_tot+SL22T_tot+SL12S_tot; %Hallando el numero total de segmentos danados sfallados=size(find( SLtot>0),1); %construye un historial de total de segmento vfallados (iter) = sfallados; if sfallados > no_seg_dano_max %Se excedio el numero de elementos danados? b_fallados = 1; %Activo la bandera que me indica que se ha excedido el dano por default. end %Se descartan los segmentos danados seg_totales = seg_totales - seg_fallados; no_seg_dano_max=seg_iniciales*Control_Value_PFA(2); %Calcular el Nf de cada segmento usando la formulacion de Shokrieh (1996) [N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,N_fx_C,N_fy_C]=calculo_Nf(N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,sN,nN,zN, sigma_x_max, sigma_x_min, sigma_y_max, sigma_y_min, tao_xy_max, tao_xy_min,iter, SL11T, SL11C, SL22T, SL22C,SL12S, Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga,N_fx_C,N_fy_C); %Aplicar reglas de degradacion gradual de Shokrieh (1996) [SL11T,SL11C,SL12S,SL22T,SL22C,E11T, E22T, G12, E11C, E22C, SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, b_subita]=degradacion_fatiga(iter,SL11T,SL11C,SL12S,SL22T,SL22C, E11T, E22T, G12,Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga, sN, nN, zN, N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,sigma_x_max, sigma_x_min, sigma_y_max, sigma_y_min, tao_xy_max, tao_xy_min,delta_n, N_fx_C,N_fy_C, E11C, E22C, SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, b_subita); %Verificando que no nos hayamos excedido en los ciclos if iter < Control_Value_PFA(1) && b_fallados ~= 1 iter = iter+1; %Aumentando el contador de iteraciones disp('Iteracion: '); disp(iter); %Imprime el numero de iteraciones else b_iter = 1; %Activo la bandera que me indica que se supero el numero de ciclos a simular. end end %while b_fallados ~= 1 && b_iter ~= 1 toc %Calcula el tiempo total de ejecucion del procesamiento % El ciclo termina cuando se haya cumplido al menos una de las condiciones de % terminacion % POSPROCESAMIENTO


162

% Mando a llamar el modulo de posprocesamiento, que incluye que muestra los mapas de dano en cada capa posproc_PFA_fatiga; %Video de monitoreo de danos monitor_fatiga;

A.3.2. Cálculo inicial de la matriz de rigidez (Cárdenas [14]).

function [Tipo_viga,K,M,Geo,X_Y,X_Y_web,W,W_web,Ft,Ft_web,niveles_seg,niveles_web_seg,Prop_Materiales,r,q,teta,ds,QQ_seg,QQ_seg_web,QQ55_seg,QQ55_seg_web,angulo_seg,angulo_seg_web,A_seg,B_seg,D_seg,A55_seg,A_seg_web,B_seg_web,D_seg_web,A55_seg_web,Q_seg,Q_seg_web,material_seg,espesor_seg,material_seg_web,espesor_seg_web,sN,nN,zN]= Rigidez_Masa Datos_entrada %Determinando automaticamente el numero de coordenadas perimetrales %cs = find(Perfil(:,1,1)==0)-1; %cS = cs(2); %vamos a crear las matrices de masa y rigidz del tamaño adecuado pero con %ceros en todos los elementos antes de empezar a llenarlas K(1:7*(1+zN),1:7*(1+zN))=0; M=K; c=1; A(1:2,1:2,1:10,1:zN)=0; B(1:2,1:2,1:10,1:zN)=0; D(1:2,1:2,1:10,1:zN)=0; A55(1:10,1:zN)=0; A_web(1:2,1:2,1:4,1:zN)=0; B_web(1:2,1:2,1:4,1:zN)=0; D_web(1:2,1:2,1:4,1:zN)=0; A55_web(1:4,1:zN)=0; Q_(1:3,1:3,1:30,1:10,1:zN)=0; QQ(1:2,1:2,1:30,1:10,1:zN)=0;


163

QQ55(1:30,1:10,1:zN)=0; Q_web(1:3,1:3,1:10,1:4,1:zN)=0; QQ_web(1:2,1:2,1:10,1:4,1:zN)=0; QQ55_web(1:10,1:4,1:zN)=0; Q_seg(1:2,1:2,1:99,1:30,1:zN)=0; QQ_seg(1:2,1:2,1:99,1:30,1:zN)=0; QQ55_seg(1:99,1:30,1:zN)=0; angulo_seg(1:99,1:30,1:zN)=0; material_seg(1:99,1:30,1:zN)=0; espesor_seg(1:99,1:30,1:zN)=0; A_seg(1:2,1:2,1:99,1:zN)=0; B_seg(1:2,1:2,1:99,1:zN)=0; D_seg(1:2,1:2,1:99,1:zN)=0; A55_seg(1:99,1:zN)=0; A_seg_web(1:2,1:2,1:19,1:4,1:zN)=0; B_seg_web(1:2,1:2,1:19,1:4,1:zN)=0; D_seg_web(1:2,1:2,1:19,1:4,1:zN)=0; A55_seg_web(1:19,1:4,1:zN)=0; Q_seg_web(1:2,1:2,1:19,1:10,1:4,1:zN)=0; QQ_seg_web(1:2,1:2,1:19,1:10,1:4,1:zN)=0; QQ55_seg_web(1:19,1:10,1:4,1:zN)=0; angulo_seg_web(1:19,1:10,1:4,1:zN)=0; material_seg_web(1:19,1:10,1:4,1:zN)=0; espesor_seg_web(1:19,1:10,1:4,1:zN)=0; niveles_seg(1:99,1:31,1:zN)=0; niveles_web_seg(1:19,1:11,1:4,1:zN)=0; for elemento=1:1:zN [Q_(:,:,:,:,elemento),Q_web(:,:,:,:,elemento),QQ(:,:,:,:,elemento),QQ55(:,:,elemento),QQ_web(:,:,:,:,elemento),QQ55_web(:,:,elemento)]= Matriz_QQ(elemento,Material_Capas_Laminado,Material_Capas_Laminado_web,Angulo_Capas_Laminado,Angulo_Capas_Laminado_web,Q,Q55); [A(:,:,:,elemento),A55(:,elemento),B(:,:,:,elemento),D(:,:,:,elemento), A_web(:,:,:,elemento),A55_web(:,elemento),B_web(:,:,:,elemento),D_web(:,:,:,elemento),I0,I1,I2,I0_web,I1_web,I2_web,espesor,espesor_web,niveles,niveles_web]= Matriz_ABD(elemento,Material_Capas_Laminado,Material_Capas_Laminado_web,Espesor_Capas_Laminado,Espesor_Capas_Laminado_web,Angulo_Capas_Laminado,Angulo_Capas_Laminado_web,Q,Q55,Prop_Materiales); L=Radio*1000*(Geo(elemento,3)-Geo(elemento,2));


164

%aqui se calcula la matriz E y la m de acuerdo al tipo de viga que se pide %se pide la matriz E para la viga Timo if Tipo_viga(1)==1 [E,m,indice,W(:,elemento),W_web(:,:,elemento),Ft(:,elemento),Ft_web(:,:,elemento)]= Matriz_E_Timo(A(:,:,:,elemento),A55(:,elemento),B(:,:,:,elemento),D(:,:,:,elemento),I0,I1,I2,espesor,A_web(:,:,:,elemento),A55_web(:,elemento),B_web(:,:,:,elemento),D_web(:,:,:,elemento),I0_web,I1_web,I2_web,espesor_web,elemento,Geo,X_Y,X_Y_web,ds,ds_web,r,r_web,q,q_web,teta,teta_web,Final_seccion_laminado_inf,Final_seccion_laminado_sup,Perfil,Pos_web); [K_e]=Matriz_Rigidez_Timo(L,E); [M_e]=Matriz_Masa_Timo(L,m,centroide,elemento,Geo); [K_e]=reacomodo_Timo(K_e); [M_e]=reacomodo_Timo(M_e); end % se pide la matriz E para la viga Euler if Tipo_viga(2)==1 [E,m,indice,W(:,elemento),W_web(:,:,elemento),Ft(:,elemento),Ft_web(:,:,elemento)]= Matriz_E_Euler(A(:,:,:,elemento),A55(:,elemento),B(:,:,:,elemento),D(:,:,:,elemento),I0,I1,I2,espesor,A_web(:,:,:,elemento),A55_web(:,elemento),B_web(:,:,:,elemento),D_web(:,:,:,elemento),I0_web,I1_web,I2_web,espesor_web,elemento,Geo,X_Y,X_Y_web,ds,ds_web,r,r_web,q,q_web,teta,teta_web,Final_seccion_laminado_inf,Final_seccion_laminado_sup,Perfil,Pos_web); [K_e]=Matriz_Rigidez_Euler(L,E); [M_e]=Matriz_Masa_Euler(L,m,centroide,elemento,Geo); [K_e]=reacomodo_Euler(K_e); [M_e]=reacomodo_Euler(M_e); end %esta parte es la que se encarga de acomodar las propiedades para cada %segmento


165

[Q_seg,Q_seg_web]= Q_segmentos(Q_,Q_web,elemento,indice,Q_seg,Q_seg_web); [QQ_seg,QQ_seg_web,QQ55_seg,QQ55_seg_web]= QQ_segmentos(QQ,QQ55,QQ_web,QQ55_web,elemento,indice,QQ_seg,QQ_seg_web,QQ55_seg,QQ55_seg_web); [A_seg,B_seg,D_seg,A55_seg,A_seg_web,B_seg_web,D_seg_web,A55_seg_web]=ABD_segmentos(A,B,D,A55,A_web,B_web,D_web,A55_web,elemento,indice,A_seg,B_seg,D_seg,A55_seg,A_seg_web,B_seg_web,D_seg_web,A55_seg_web); [angulo_seg,angulo_seg_web]=segmentos(elemento,indice,Angulo_Capas_Laminado,Angulo_Capas_Laminado_web,angulo_seg,angulo_seg_web); [material_seg,material_seg_web]=segmentos(elemento,indice,Material_Capas_Laminado,Material_Capas_Laminado_web,material_seg,material_seg_web); [espesor_seg,espesor_seg_web]=segmentos(elemento,indice,Espesor_Capas_Laminado,Espesor_Capas_Laminado_web,espesor_seg,espesor_seg_web); [niveles_seg,niveles_web_seg]= niveles_segmentos(elemento,indice,niveles,niveles_web,niveles_seg,niveles_web_seg); %///////////////////////////////////////// Tc= matriz_transformacion(Geo,elemento); K_e=Tc'*K_e*Tc; M_e=Tc'*M_e*Tc; K(c:c+13,c:c+13)=K(c:c+13,c:c+13)+ K_e; M(c:c+13,c:c+13)=M(c:c+13,c:c+13)+ M_e; c=c+7; elemento end esp=sum(espesor_seg,2); clear espesor_seg for i=1:1:zN espesor_seg(:,i)=esp(:,1,i); end A.3.3. Lectura de los datos para el algoritmo de fatiga.

%Datos_entrada_PFA_Fatiga.m %Este metodo recaba todos los datos necesarios para llevar a cabo la %degradacion por fatiga.


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%Autor: JARS %Fecha y hora de creacion: Jueves 26 de junio de 2014 a 15:13 hrs % % % %Se toman los datos de fatiga del Excel Prop_Materiales_Fatiga = xlsread('Datos_Aspa.xlsx','Materiales','C17:L50'); %Se inicializa la matriz que incluira estas propiedades por segmento. %Modificar luego, el numero de capas para que no se trabajen ceros %innecesarios. Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga = zeros(34,sN,nN,zN); %Se segmentan las propiedades [ Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga ] = segmentacion_props_fatiga( zN,sN, nN,Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga,material_seg,Prop_Materiales_Fatiga); %Numero maximo de iteraciones hechas por el programa Control_Value_PFA(1)=xlsread('Datos_Aspa.xlsx','PFA','N47'); %Porcentaje maximo de segmentos de dano Control_Value_PFA(2)=xlsread('Datos_Aspa.xlsx','PFA','N48'); %Se introduce la razon de esfuerzos %R=xlsread('Datos_Aspa.xlsx','PFA','N55'); %Se introduce el salto de ciclos delta_n=xlsread('Datos_Aspa.xlsx','PFA','N54'); A.3.4. Inicialización de variables de fatiga.

%Inicializacion_de_variables_fatiga.m %Autor: Juan Andres Rivera Santana %Fecha de inicio: 26/06/14 %Hora de inicio: 15:47 hrs. %Descripcion: %Inicializacion de variables tales como resistencia y rigidez del material (degradables), celdas %danadas, numero de segmentos totales, propiedad por la cual fallo el %segmento. function [SL11T,SL11C,SL22T,SL22C,SL12S,E11T,E22T,G12,SL11TF,SL11CF,SL22TF,SL22CF,SL12SF,falla_total,N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,seg_totales,N_fx_C,N_fy_C,SL13S,E11C,E22C,G13,SL13SF,N_fxz,nu, b_subita]=Inicializacion_de_variables_fatiga(material_seg,Control_Value_PFA,sN,nN,zN) %Se controlara tamano con sN, nN y zN previamente calculadas a partir de la %discretizacion %======================================================== %Se calcula el numero de segmentos totales %Esta variable nos dice donde hay material pos=find(material_seg~=0); %Aqui se calculan cuantos elementos se pueden danar seg_totales=size(pos,1);


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%======================================================== %Inicializo matrices de propiedades degradables. Guardan historial. %Numero maximo de iteraciones (variable para uso exclusivo en este metodo) iter_max = Control_Value_PFA(1); %RESISTENCIAS %Fibra SL11T(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; SL11C(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; %Matriz SL22T(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; SL22C(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; %Corte SL12S(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; SL13S(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; %MODULOS DE YOUNG Y DE CORTE %Fibra E11T(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; E11C(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; %Matriz E22T(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; E22C(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; %Corte G12(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; G13(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max+1)=0; %MODULO DE POISSON 12 nu(1:sN,1:nN,1:zN)=0; %======================================================== %Inicializo matrices de dano. No guardan historial, instantaneas. %RESISTENCIAS %Fibra SL11TF(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; SL11CF(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; %Matriz SL22TF(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; SL22CF(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; %Corte SL12SF(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; SL13SF(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; %Falla total falla_total(1:sN,1:nN,1:zN, iter_max)=0; %======================================================= %Inicializo matrices de numero de ciclos a la falla. No guardan historial, %instantaneas. %Fibra N_fx_T(1:sN,1:nN,1:zN)=0; N_fx_C(1:sN,1:nN,1:zN)=0; %Matriz


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N_fy_T(1:sN,1:nN,1:zN)=0; N_fy_C(1:sN,1:nN,1:zN)=0; %Corte N_fxy(1:sN,1:nN,1:zN)=0; N_fxz(1:sN,1:nN,1:zN)=0; %======================================================= %Inicializo mi indicador de falla subita b_subita(1:sN,1:nN,1:zN)=0; end

A.3.5. Asignación de valores iniciales para el material de cada segmento.

function [ SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12 , SL13S,E11C,E22C,G13,nu ] = S_E_iniciales( SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12, sN, nN, zN, material_seg, Prop_Materiales, SL13S,E11C,E22C,G13, Prop_Materiales_Fatiga,nu) %S_E_iniciales.m %Autor: Juan Andres Rivera Santana %Fecha de inicio: 26/06/14 %Hora de inicio: 19:33 hrs. %Descripcion: %Aplicaciones de las propiedades de material iniciales en cada uno de los %segmentos del aspa. for z=1:1: zN for s=1:1: sN for n=1:1: nN if material_seg(s,n,z)~=0 E11T(s,n,z,1)=Prop_Materiales(1,material_seg(s,n,z)); E11C(s,n,z,1)=Prop_Materiales_Fatiga (27,material_seg(s,n,z)); E22T(s,n,z,1)=Prop_Materiales(2,material_seg(s,n,z)); E22C(s,n,z,1)=Prop_Materiales_Fatiga (28,material_seg(s,n,z)); G12(s,n,z,1)=Prop_Materiales(3,material_seg(s,n,z)); G13(s,n,z,1)=Prop_Materiales_Fatiga(29,material_seg(s,n,z)); SL11T(s,n,z,1)= Prop_Materiales(6,material_seg(s,n,z)); SL11C(s,n,z,1) = Prop_Materiales(7,material_seg(s,n,z)); SL22T(s,n,z,1)= Prop_Materiales(8,material_seg(s,n,z)); SL22C(s,n,z,1) = Prop_Materiales(9,material_seg(s,n,z)); SL12S(s,n,z,1) = Prop_Materiales(10,material_seg(s,n,z)); SL13S(s,n,z,1) = Prop_Materiales_Fatiga (30,material_seg(s,n,z)); nu(s,n,z) = Prop_Materiales(4,material_seg(s,n,z)); else for mat=1:1:10 E11T(s,n,z,1) = 0; E11C(s,n,z,1) = 0; E22T(s,n,z,1)=0;


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E22C(s,n,z,1) = 0; G12(s,n,z,1)=0; G13(s,n,z,1)=0; SL11T(s,n,z,1)= 0; SL11C(s,n,z,1) = 0; SL22T(s,n,z,1)= 0; SL22C(s,n,z,1) = 0; SL12S(s,n,z,1) = 0; SL13S(s,n,z,1) = 0; nu(s,n,z,1)=0; end end end end end end A.3.6. Solución lineal FEM (Cárdenas [14]).

function [F,U,F_BC_PFA,U_BC_PFA]=Solucion_lineal(K) nodos=length(K(:,1))/7; [F_BC,U_BC,]=Condiciones_frontera(nodos); F_BC_PFA=F_BC; U_BC_PFA=U_BC; indice=isnan(U_BC); indice=find(indice==0); [K_BC,F_BC,U_BC]=reacomodo_BC(K,indice,F_BC,U_BC,1); pq=size(indice,1); ul=size(K,1); K_1_1=K_BC(1:pq,1:pq); K_1_2=K_BC(1:pq,pq+1:ul); K_2_1=K_BC(pq+1:ul,1:pq); K_2_2=K_BC(pq+1:ul,pq+1:ul); u=K_2_2^-1*(F_BC(pq+1:ul,1)-K_2_1*U_BC(1:pq,1)); U(pq+1:ul,1)=u;


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U(1:pq,1)=U_BC(1:pq,1); F(pq+1:ul,1)=F_BC(pq+1:ul,1); F(1:pq,1)=K_1_1*U_BC(1:pq,1)+K_1_2*u; [K_BC,F,U]=reacomodo_BC(K,indice,F,U,2);

A.3.7. Solución lineal FEM PFA (Cárdenas [14]).

function [F,U]=Solucion_lineal_PFA(K,F_BC,U_BC) indice=isnan(U_BC); indice=find(indice==0); [K_BC,F_BC,U_BC]=reacomodo_BC(K,indice,F_BC,U_BC,1); pq=size(indice,1); ul=size(K,1); K_1_1=K_BC(1:pq,1:pq); K_1_2=K_BC(1:pq,pq+1:ul); K_2_1=K_BC(pq+1:ul,1:pq); K_2_2=K_BC(pq+1:ul,pq+1:ul); u=K_2_2^-1*(F_BC(pq+1:ul,1)-K_2_1*U_BC(1:pq,1)); U(pq+1:ul,1)=u; U(1:pq,1)=U_BC(1:pq,1); F(pq+1:ul,1)=F_BC(pq+1:ul,1); F(1:pq,1)=K_1_1*U_BC(1:pq,1)+K_1_2*u; [K_BC,F,U]=reacomodo_BC(K,indice,F,U,2); A.3.8. Armado de la matriz de rigidez.

%Matriz_K_Danada_fatiga.m %Autor: Juan Andres Rivera Santana %Fecha inicio: 02/07/14 %Hora inicio: 16:00 hrs. %Descripcion: % El presente programa recalcula la matriz de rigidez K a partir de las % propiedades degradadas


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%Se recalculan las matrices Q y QQ [QQ_seg]=matriz_QQ_PFA_fatiga(sN,nN,zN,E11T,E22T,G12,iter,angulo_seg,QQ_seg,E11C,E22C,nu); %Se recalculan las matrices ABD [A_seg,B_seg,D_seg]= matriz_ABD_PFA_fatiga(sN,nN,zN,A_seg,B_seg,D_seg,QQ_seg,niveles_seg); %Ahora hay que calcular de nuevo la matriz K [K,W,Ft]=Rigidez_PFA(A_seg,B_seg,D_seg,A55_seg,Geo,X_Y,ds,r,q,teta,espesor_seg,Tipo_viga); A.3.9. Cálculo de esfuerzos (Cárdenas [14]).

function [sigma_x,sigma_y,tao_xy]=esfuerzos_PFA(Tipo_viga,Geo,X_Y,X_Y_web,niveles_seg,niveles_web_seg,r,q,teta,U,material_seg,W,Ft,QQ_seg,angulo_seg) X=U(1:7:length(U)); Z=U(2:7:length(U),:); Y=U(3:7:length(U),:); ang_z=U(4:7:length(U),:); ang_y=U(5:7:length(U),:); ang_x=U(6:7:length(U),:); ang_warp=U(7:7:length(U),:); [W_seg,Ft_seg,niveles_m_seg,x_seg,y_seg,r_seg,q_seg,teta_seg,e_zo_seg_1,e_zo_seg_2,kx_seg_1,kx_seg_2,ky_seg_1,ky_seg_2,kw_seg_1,kw_seg_2,ksz_seg_1,ksz_seg_2,gama_xz_seg_1,gama_xz_seg_2,gama_yz_seg_1,gama_yz_seg_2,gama_warp_seg_1,gama_warp_seg_2]=datos_segmentos(Tipo_viga,Geo,X_Y,X_Y_web,niveles_seg,niveles_web_seg,r,q,teta,Y,X,Z,ang_x,ang_warp,ang_y,ang_z,material_seg,W,Ft); [e_z_1,gama_sz_1,e_z_2,gama_sz_2]=deformaciones(W_seg,Ft_seg,niveles_m_seg,x_seg,y_seg,r_seg,q_seg,teta_seg,e_zo_seg_1,e_zo_seg_2,kx_seg_1,kx_seg_2,ky_seg_1,ky_seg_2,kw_seg_1,kw_seg_2,ksz_seg_1,ksz_seg_2,gama_xz_seg_1,gama_xz_seg_2,gama_yz_seg_1,gama_yz_seg_2,gama_warp_seg_1,gama_warp_seg_2); [ren,col,ele]=size(e_z_1); sigma_x(1:ren,1:col,1:ele)=0; sigma_y(1:ren,1:col,1:ele)=0; tao_xy(1:ren,1:col,1:ele)=0; for elemento=1:1:ele


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for seg=1:1:ren for n=1:1:col if(( material_seg(seg,n,elemento)==0) & ( material_seg(seg,n+1,elemento)==0)) break end QQ=QQ_seg(:,:,seg,n,elemento); angulo=-angulo_seg(seg,n,elemento); T=[cos(angulo*pi/180), -sin(angulo*pi/180); sin(angulo*pi/180), cos(angulo*pi/180)]; def_1=[e_z_1(seg,n,elemento),gama_sz_1(seg,n,elemento)]'; esf_1=QQ*def_1; def_2=[e_z_2(seg,n,elemento),gama_sz_2(seg,n,elemento)]'; esf_2=QQ*def_2; esf_elem = (esf_1 + esf_2)/2; esf_elem_mat=T* [esf_elem(1),esf_elem(2);esf_elem(2),0] *T'; sigma_x(seg,n,elemento)=esf_elem_mat(1,1); sigma_y(seg,n,elemento)=esf_elem_mat(2,2); tao_xy(seg,n,elemento)=esf_elem_mat(1,2); end end end A.3.10. Determinación de esfuerzos máximos y mínimos. function [sigma_x_min, sigma_x_max, sigma_y_min, sigma_y_max, tao_xy_min, tao_xy_max]=sigma_m_a(sigma_x,sigma_y,tao_xy,sigma_x2,sigma_y2,tao_xy2 , sN, nN, zN) %Programado por: Juan Andres Rivera Santana %Fecha: 26 de junio de 2014 %Hora: 18:47 hrs. %sigma_m_a.m Calcula los esfuerzos maximos, minimos, amplitud y promedio de %x, y, xy.


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%Inicializando variables sigma_x_min = zeros(sN,nN,zN); sigma_x_max = zeros(sN,nN,zN); sigma_y_min = zeros(sN,nN,zN); sigma_y_max = zeros(sN,nN,zN); tao_xy_min = zeros(sN,nN,zN); tao_xy_max = zeros(sN,nN,zN); %Asignando valores a cada segmento for i = 1:sN for j = 1:nN for k=1:zN %METODO NUEVO CON DOS VALORES DE FUERZA %sigma_x if sigma_x(i,j,k) > sigma_x2(i,j,k) sigma_x_max(i,j,k) = sigma_x(i,j,k) ; sigma_x_min(i,j,k) = sigma_x2(i,j,k); else sigma_x_min(i,j,k) = sigma_x(i,j,k) ; sigma_x_max(i,j,k) = sigma_x2(i,j,k); end if sigma_y(i,j,k) > sigma_y2(i,j,k) sigma_y_max(i,j,k) = sigma_y(i,j,k) ; sigma_y_min(i,j,k) = sigma_y2(i,j,k); else sigma_y_min(i,j,k) = sigma_y(i,j,k) ; sigma_y_max(i,j,k) = sigma_y2(i,j,k); end if tao_xy(i,j,k) > tao_xy2(i,j,k) tao_xy_max(i,j,k) = tao_xy(i,j,k); tao_xy_min(i,j,k) = tao_xy2(i,j,k); else tao_xy_min(i,j,k) = tao_xy(i,j,k); tao_xy_max(i,j,k) = tao_xy2(i,j,k); end end end end end A.3.11. Aplicación de los criterios de falla. function [SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12, E11C, E22C, b_subita]=falla_fatiga(sN,nN,zN, iter, sigma_x_min, sigma_x_max, sigma_y_min, sigma_y_max,tao_xy_max, SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, SL11T, SL11C, SL22T, SL22C, SL12S, E11T, E22T, G12, Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga, E11C, E22C,b_subita) %falla_fatiga.m % Autor: Juan Andres Rivera Santana % Fecha: 30/06/14 % Hora: 14:15 hrs. % El presente metodo se encarga de verificar si existe falla en alguno de


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% los segmentos aplicando la teoría del maximo esfuerzo. En caso de que % esto ocurre, se aplican las reglas de degradacion subita (sudden) % acorde al caso. % Aplicando falla catastrofica cuando no se cumple el criterio en las fibras for i=1:sN for j=1:nN for k=1:zN delta=Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(34,i,j,k); %Aplicando el criterio cuando se trata de tension en fibras if sigma_x_max(i,j,k)>0 e = sqrt((sigma_x_max(i,j,k)/SL11T(i,j,k,iter))^2+((tao_xy_max(i,j,k))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(tao_xy_max(i,j,k))^4)/((SL12S(i,j,k,iter))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(SL12S(i,j,k,iter))^4)); %Verificando que el segmento no haya fallado antes sum_fallas_11t = 0; sum_fallas_11c = 0; sum_fallas_22t = 0; sum_fallas_22c = 0; sum_fallas_12s = 0; for cont=1:iter sum_fallas_11t = sum_fallas_11t + SL11TF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_11c = sum_fallas_11c + SL11CF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_22t = sum_fallas_22t + SL22TF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_22c = sum_fallas_22c + SL22CF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_12s = sum_fallas_12s + SL12SF(i,j,k,cont); end if e>=1 %Como se trata de una falla catastrofica, las %propiedades %se dejan en ceros b_subita(i,j,k)=1; SL11T(i,j,k,iter)=1e-12; SL11C(i,j,k,iter)=1e-12; SL22T(i,j,k,iter)=1e-12; SL22C(i,j,k,iter)=1e-12; SL12S(i,j,k,iter)=1e-12; E11T(i,j,k,iter)=1e-12; E22T(i,j,k,iter)=1e-12; E11C(i,j,k,iter)=1e-12; E22C(i,j,k,iter)=1e-12; G12(i,j,k,iter)=1e-12; %Se da la falla: se registra que hubo falla en el


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%segmento y se procede a la degradacion subita %catastrofica. Si ya hubo con anterioridad, no se %registra. if sum_fallas_11t==0 SL11TF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_11c==0 SL11CF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_22t==0 SL22TF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_22c==0 SL22CF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_12s==0 SL12SF(i,j,k,iter)=1; end end end if sigma_x_min(i,j,k)<0 %Aplicando en caso de ser compresion en fibras e = abs(sigma_x_min(i,j,k))/SL11C(i,j,k,iter); %Verificando que el segmento no haya fallado antes sum_fallas_11t = 0; sum_fallas_11c = 0; sum_fallas_22t = 0; sum_fallas_22c = 0; sum_fallas_12s = 0; for cont=1:iter sum_fallas_11t = sum_fallas_11t + SL11TF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_11c = sum_fallas_11c + SL11CF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_22t = sum_fallas_22t + SL22TF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_22c = sum_fallas_22c + SL22CF(i,j,k,cont); end for cont=1:iter sum_fallas_12s = sum_fallas_12s + SL12SF(i,j,k,cont); end if e>=1 %Como se trata de una falla catastrofica, las %propiedades %se dejan en ceros b_subita(i,j,k)=1; SL11T(i,j,k,iter)=1e-12; SL11C(i,j,k,iter)=1e-12; SL22T(i,j,k,iter)=1e-12; SL22C(i,j,k,iter)=1e-12; SL12S(i,j,k,iter)=1e-12; E11T(i,j,k,iter)=1e-12; E22T(i,j,k,iter)=1e-12; E11C(i,j,k,iter)=1e-12;


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E22C(i,j,k,iter)=1e-12; G12(i,j,k,iter)=1e-12; %Se da la falla: se registra que hubo falla en el %segmento y se procede a la degradacion subita %catastrofica. Si ya hubo con anterioridad, no se %registra. if sum_fallas_11t==0 SL11TF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_11c==0 SL11CF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_22t==0 SL22TF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_22c==0 SL22CF(i,j,k,iter)=1; end if sum_fallas_12s==0 SL12SF(i,j,k,iter)=1; end end end %=========================================================== %Aplicando el criterio cuando se trata de tension en matriz if sigma_y_max(i,j,k)>0 && b_subita(i,j,k)~=1 e = sqrt((sigma_y_max(i,j,k)/SL22T(i,j,k,iter))^2+((tao_xy_max(i,j,k))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(tao_xy_max(i,j,k))^4)/((SL12S(i,j,k,iter))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(SL12S(i,j,k,iter))^4)); %Verificando que el segmento no haya fallado antes sum_fallas = 0; for cont=1:iter sum_fallas = sum_fallas + SL22TF(i,j,k,cont); end if e>=1 && sum_fallas == 0 %Se da la falla: se registra que hubo falla en el %segmento y se procede a la degradacion subita %no catastrofica SL22TF(i,j,k,iter)=1; %Falla no catastrofica. Propiedades correspondientes se %dejan en ceros SL22T(i,j,k,iter)=1e-12; E22T(i,j,k,iter)=1e-12; end end if sigma_y_min(i,j,k)<0 && b_subita(i,j,k)~=1 %Aplicando en caso de ser compresion en matriz e = sqrt((sigma_y_min(i,j,k)/SL22C(i,j,k,iter))^2+((tao_xy_max(i,j,k))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(tao_xy_max(i,j,k))^4)/((SL12S(i,j,k,iter))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(SL12S(i,j,k,iter))^4)); %Verificando que el segmento no haya fallado antes sum_fallas = 0;


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for cont=1:iter sum_fallas = sum_fallas + SL22CF(i,j,k,cont); end if e>=1 && sum_fallas == 0 %Se da la falla: se registra que hubo falla en el %segmento y se procede a la degradacion subita %no catastrofica SL22CF(i,j,k,iter)=1; %Falla no catastrofica. Propiedades correspondientes se %dejan en ceros. SL22C(i,j,k,iter)=1e-12; E22C(i,j,k,iter)=1e-12; end end %=========================================================== if b_subita(i,j,k)~=1 %Aplicando el criterio cortante in-plane interfaz fibra-matriz e = sqrt(((tao_xy_max(i,j,k))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(tao_xy_max(i,j,k))^4)/((SL12S(i,j,k,iter))^2/(2*G12(i,j,k,iter))+(3/4)*delta*(SL12S(i,j,k,iter))^4)); %Verificando que el segmento no haya fallado antes sum_fallas = 0; for cont=1:iter sum_fallas = sum_fallas + SL12SF(i,j,k,cont); end if e>=1 && sum_fallas == 0 %Se da la falla: se registra que hubo falla en el %segmento y se procede a la degradacion subita %no catastrofica SL12SF(i,j,k,iter)=1; %Falla no catastrofica. Propiedades correspondientes se %dejan en ceros. SL12S(i,j,k,iter)=1e-12; G12(i,j,k,iter)=1e-12; end end end end end end A.3.12. Cálculo del número de ciclos a la falla (Nf). function [N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,N_fx_C,N_fy_C]=calculo_Nf(N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,sN,nN,zN, sigma_x_max, sigma_x_min, sigma_y_max, sigma_y_min, tao_xy_max, tao_xy_min,iter, SL11T, SL11C, SL22T, SL22C,SL12S, Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga,N_fx_C,N_fy_C) %calculo_Nf.m % Autor: Juan Andres Rivera Santana % Fecha inicio: 30/06/14 % Hora de inicio: 16:14 hrs.


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% El presente metodo calcula el numero teorico de ciclos a falla dadas la % sas condiciones de carga y material previamente establecidas. for i=1:sN for j=1:nN for k=1:zN %Valores de esfuerzo promedio sigma_mx = (sigma_x_max(i,j,k) + sigma_x_min(i,j,k))/2; sigma_my = (sigma_y_max(i,j,k) + sigma_y_min(i,j,k))/2; tao_mxy = (tao_xy_max(i,j,k) + tao_xy_min(i,j,k))/2; %Valores de amplitud de esfuerzo sigma_ax = (sigma_x_max(i,j,k) - sigma_x_min(i,j,k))/2; sigma_ay = (sigma_y_max(i,j,k) - sigma_y_min(i,j,k))/2; tao_axy = (tao_xy_max(i,j,k) - tao_xy_min(i,j,k))/2; %Obtencion del valor de f f=Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(20,i,j,k); %FIBRAS %Modo de tension if SL11T(i,j,k,iter)~=0 if sigma_x_max(i,j,k)>1e-12 q_x_T = (sigma_mx)/SL11T(i,j,k,iter); a_x_T = (sigma_ax)/SL11T(i,j,k,iter); c_11 = SL11C(i,j,k,iter)/SL11T(i,j,k,iter); u_11_T = log(a_x_T/f)/log((1-q_x_T)*(c_11+q_x_T)); A_xx = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(21,i,j,k); B_xx = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(24,i,j,k); if u_11_T~=-Inf N_fx_T(i,j,k) = 10^((u_11_T-A_xx)/B_xx); else %Esto ocurre cuando el estado de esfuerzos es nulo N_fx_T(i,j,k) = Inf; end else N_fx_T(i,j,k) = Inf; end else N_fx_T(i,j,k) = 0; %El segmento ya esta danado en esta direccion end %Modo de compresion if SL11C(i,j,k,iter)~=0 if sigma_x_min(i,j,k)<-1e-12 q_x_C = (sigma_mx)/SL11C(i,j,k,iter); a_x_C = (sigma_ax)/SL11C(i,j,k,iter); c_11 = SL11C(i,j,k,iter)/SL11T(i,j,k,iter); u_11_C = log(a_x_C/f)/log((1-q_x_C)*(c_11+q_x_C)); A_xx = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(21,i,j,k); B_xx = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(24,i,j,k); if u_11_C~=-Inf N_fx_C(i,j,k) = 10^((u_11_C-A_xx)/B_xx); else %Esto ocurre cuando el estado de esfuerzos es nulo N_fx_C(i,j,k) = Inf; end


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else N_fx_C(i,j,k) = Inf; end else N_fx_C(i,j,k) = 0; %El segmento ya esta danado en esta direccion end %MATRIZ %Modo de tension if SL22T(i,j,k,iter)~=0 if sigma_y_max(i,j,k)>1e-12 q_y_T = (sigma_my)/SL22T(i,j,k,iter); a_y_T = (sigma_ay)/SL22T(i,j,k,iter); c_22 = SL22T(i,j,k,iter)/SL22C(i,j,k,iter); u_22_T = log(a_y_T/f)/log((1-q_y_T)*(c_22+q_y_T)); A_yy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(22,i,j,k); B_yy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(25,i,j,k); if u_22_T~=-Inf N_fy_T(i,j,k) = 10^((u_22_T-A_yy)/B_yy); else %Esto ocurre cuando el estado de esfuerzos es nulo N_fy_T(i,j,k) = Inf; end else N_fy_T(i,j,k) = Inf; %El esfuerzo no afecta en este ciclo end else N_fy_T(i,j,k) = 0; %El segmento ya esta danado en esta direccion end %Modo de compresion if SL22C(i,j,k,iter)~=0 if sigma_y_min(i,j,k)<-1e-12 q_y_C = (sigma_my)/SL22C(i,j,k,iter); a_y_C = (sigma_ay)/SL22C(i,j,k,iter); c_22 = SL22T(i,j,k,iter)/SL22C(i,j,k,iter); u_22_C = log(a_y_C/f)/log((1-q_y_C)*(c_22+q_y_C)); A_yy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(22,i,j,k); B_yy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(25,i,j,k); if u_22_C~=-Inf N_fy_C(i,j,k) = 10^((u_22_C-A_yy)/B_yy); if isreal(N_fy_C(i,j,k))==0 N_fy_C(i,j,k)=0; end else %Esto ocurre cuando el estado de esfuerzos es nulo N_fy_C(i,j,k) = Inf; end else N_fy_C(i,j,k) = Inf; %El esfuerzo no afecta en este ciclo end else N_fy_C(i,j,k) = 0; %El segmento ya esta danado en esta direccion end


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%CORTE %Obteniendo los valores de normalizados sigmas promedios (q). if SL12S(i,j,k,iter)~=0 if tao_mxy >= 0 q_xy = tao_mxy/SL12S(i,j,k,iter); else q_xy = abs(tao_mxy)/SL12S(i,j,k,iter); end %Obteniendo los valores de normalizados sigmas amplitudes (a). if tao_axy >= 0 a_xy = tao_axy/SL12S(i,j,k,iter); else a_xy = abs(tao_axy)/SL12S(i,j,k,iter); end %Relaciones compresion-tension (c). c_12 = 1; %Se calculan los valores teoricos de vida de cada segmento, en %cada una de sus direcciones (fibra, matriz, corte in-plane) u_12 = (log(a_xy/f)/log((1-q_xy)*(c_12+q_xy))); A_xy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(23,i,j,k); B_xy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(26,i,j,k); if u_12 ~= -Inf u_12 = log10(u_12); N_fxy(i,j,k) = 10^((u_12-A_xy)/B_xy); else %Esto ocurre cuando el estado de esfuerzos es nulo N_fxy(i,j,k) = Inf; end else N_fxy(i,j,k) = 0; %El segmento ya esta danado en esta direccion end end end end end A.3.13. Aplicación de las reglas de degradación gradual. function [SL11T,SL11C,SL12S,SL22T,SL22C,E11T, E22T, G12, E11C, E22C,SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF,b_subita]=degradacion_fatiga(iter,SL11T,SL11C,SL12S,SL22T,SL22C, E11T, E22T, G12,Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga, sN, nN, zN, N_fx_T,N_fy_T,N_fxy,sigma_x_max, sigma_x_min, sigma_y_max, sigma_y_min, tao_xy_max, tao_xy_min,delta_n, N_fx_C,N_fy_C, E11C, E22C,SL11TF, SL11CF, SL22TF, SL22CF, SL12SF, b_subita) %degradacion_fatiga.m %Autor: Juan Andres Rivera Santana %Fecha de inicio: 01/07/2014


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%Hora de inicio: 15:26 hrs. %Descripcion: % Esta rutina calcula la degradacion por fatiga de las propiedades materiales. %Aplicando degradaciones a cada segmento for i=1:sN for j=1:nN for k=1:zN %Importando las constantes de fatiga lambda_x = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(1,i,j,k); lambda_y = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(2,i,j,k); lambda_xy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(3,i,j,k); gamma_x = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(4,i,j,k); gamma_y = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(5,i,j,k); gamma_xy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(6,i,j,k); epsilon_f_x = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(7,i,j,k); epsilon_f_y = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(8,i,j,k); epsilon_f_xy = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(9,i,j,k); alfa_x_T = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(10,i,j,k); alfa_x_C = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(11,i,j,k); alfa_y_T = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(12,i,j,k); alfa_y_C = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(13,i,j,k); alfa_xy_S = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(14,i,j,k); beta_x_T = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(15,i,j,k); beta_x_C = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(16,i,j,k); beta_y_T = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(17,i,j,k); beta_y_C = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(18,i,j,k); beta_xy_S = Prop_Materiales_Segmentos_Fatiga(19,i,j,k); %Empiezan las degradaciones graduales %RESISTENCIA DE FIBRA % Modo de tension if N_fx_T(i,j,k)==Inf || SL11T(i,j,k,iter) == 1e-12 %Si hay numero de ciclos teorico a la fatiga que tiende a infinito... SL11T(i,j,k,iter+1) = SL11T(i,j,k,iter); %...No hay degradacion E11T(i,j,k,iter+1) = E11T(i,j,k,iter); %...No hay degradacion else if N_fx_T(i,j,k)<=delta_n*iter %Si es cero... b_subita(i,j,k)=1; SL11T(i,j,k,iter+1)=1e-12; %... ocurre falla E11T(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL11C(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL22T(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL22C(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL12S(i,j,k,iter+1)=1e-12; E22T(i,j,k,iter+1)=1e-12; E11C(i,j,k,iter+1)=1e-12; E22C(i,j,k,iter+1)=1e-12; G12(i,j,k,iter+1)=1e-12; %Verifico que no haya fallado antes if SL11T(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL11TF(i,j,k,iter+1)=1; end


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if SL11C(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL11CF(i,j,k,iter+1)=1; end if SL22T(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL22TF(i,j,k,iter+1)=1; end if SL22C(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL22CF(i,j,k,iter+1)=1; end if SL12S(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL12SF(i,j,k,iter+1)=1; end else %...si no hay degradacion SL11T(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fx_T(i,j,k))-log10(0.25)))^beta_x_T)^(1/alfa_x_T))*(SL11T(i,j,k,1)-sigma_x_max(i,j,k))+sigma_x_max(i,j,k); E11T(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fx_T(i,j,k))-log10(0.25)))^lambda_x)^(1/gamma_x))*(E11T(i,j,k,1)-sigma_x_max(i,j,k)/epsilon_f_x)+sigma_x_max(i,j,k)/epsilon_f_x; end end % Modo de compresion if N_fx_C(i,j,k)==Inf || SL11C(i,j,k,iter) == 1e-12 %Si hay numero de ciclos teorico a la fatiga que tiende a infinito... SL11C(i,j,k,iter+1) = SL11C(i,j,k,iter); %...No hay degradacion E11C(i,j,k,iter+1) = E11C(i,j,k,iter); %...No hay degradacion else if N_fx_C(i,j,k)<=delta_n*iter %Si es cero... b_subita(i,j,k)=1; SL11T(i,j,k,iter+1)=1e-12; %... ocurre falla E11T(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL11C(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL22T(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL22C(i,j,k,iter+1)=1e-12; SL12S(i,j,k,iter+1)=1e-12; E22T(i,j,k,iter+1)=1e-12; E11C(i,j,k,iter+1)=1e-12; E22C(i,j,k,iter+1)=1e-12; G12(i,j,k,iter+1)=1e-12; %Verifico que no haya fallado antes if SL11T(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL11TF(i,j,k,iter+1)=1; end if SL11C(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL11CF(i,j,k,iter+1)=1; end if SL22T(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL22TF(i,j,k,iter+1)=1; end


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if SL22C(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL22CF(i,j,k,iter+1)=1; end if SL12S(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL12SF(i,j,k,iter+1)=1; end else %...si no hay degradacion SL11C(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fx_C(i,j,k))-log10(0.25)))^beta_x_C)^(1/alfa_x_C))*(SL11C(i,j,k,1)-abs(sigma_x_min(i,j,k)))+abs(sigma_x_min(i,j,k)); E11C(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fx_C(i,j,k))-log10(0.25)))^lambda_x)^(1/gamma_x))*(E11C(i,j,k,1)-abs(sigma_x_min(i,j,k))/epsilon_f_x)+abs(sigma_x_min(i,j,k))/epsilon_f_x; end end %RESISTENCIA DE MATRIZ if b_subita(i,j,k)~=1 % Modo de tension if N_fy_T(i,j,k)==Inf %Si hay numero de ciclos teorico a la fatiga que tiende a infinito... SL22T(i,j,k,iter+1) = SL22T(i,j,k,iter); %...No hay degradacion E22T(i,j,k,iter+1) = E22T(i,j,k,iter); %...No hay degradacion else if N_fy_T(i,j,k)<=delta_n*iter %Si es cero... SL22T(i,j,k,iter+1) = 1e-12; %... significa que el material ya fallo E22T(i,j,k,iter+1) =1e-12; if SL22T(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL22TF(i,j,k,iter+1)=1; %Asegurandame que no este ya fallado end else %...si no hay degradacion SL22T(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fy_T(i,j,k))-log10(0.25)))^beta_y_T)^(1/alfa_y_T))*(SL22T(i,j,k,1)-sigma_y_max(i,j,k))+sigma_y_max(i,j,k); E22T(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fy_T(i,j,k))-log10(0.25)))^lambda_y)^(1/gamma_y))*(E22T(i,j,k,1)-sigma_y_max(i,j,k)/epsilon_f_y)+sigma_y_max(i,j,k)/epsilon_f_y; end end end % Modo de compresion if b_subita(i,j,k)~=1 if N_fy_C(i,j,k)==Inf || SL22C(i,j,k,iter) == 1e-12 %Si hay numero de ciclos teorico a la fatiga que tiende a infinito... SL22C(i,j,k,iter+1) = SL22C(i,j,k,iter); %...No hay degradacion


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E22C(i,j,k,iter+1) = E22C(i,j,k,iter); %...No hay degradacion else if N_fy_C(i,j,k)<=delta_n*iter %Si es cero... SL22C(i,j,k,iter+1) = 1e-12; %... significa que el material ya fallo E22C(i,j,k,iter+1) =1e-12; if SL22C(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL22CF(i,j,k,iter+1)=1; %Asegurandame que no este ya fallado end else %...si no hay degradacion SL22C(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fy_C(i,j,k))-log10(0.25)))^beta_y_C)^(1/alfa_y_C))*(SL22C(i,j,k,1)-abs(sigma_y_min(i,j,k)))+abs(sigma_y_min(i,j,k)); E22C(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fy_C(i,j,k))-log10(0.25)))^lambda_y)^(1/gamma_y))*(E22C(i,j,k,1)-abs(sigma_y_min(i,j,k))/epsilon_f_y)+abs(sigma_y_min(i,j,k))/epsilon_f_y; end end end %RESISTENCIA DE CORTANTE IN PLANE if b_subita(i,j,k)~=1 if N_fxy(i,j,k) == Inf || SL12S(i,j,k,iter) == 1e-12 %Si hay numero de ciclos teorico a la fatiga que tiende a infinito... SL12S(i,j,k,iter+1) = SL12S(i,j,k,iter); %...No hay degradacion G12(i,j,k,iter+1) = G12(i,j,k,iter); %...No hay degradacion else if N_fxy(i,j,k)<=delta_n*iter SL12S(i,j,k,iter+1) = 1e-12; %... significa que el material ya fallo G12(i,j,k,iter+1) =1e-12; %... significa que el material ya fallo if SL12S(i,j,k,iter) ~= 1e-12 SL12SF(i,j,k,iter+1)=1; %Asegurandame que no este ya fallado end else if abs(tao_xy_max(i,j,k)) >= abs(tao_xy_min(i,j,k)) %En los demas casos hay degradacion correspondiente SL12S(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fxy(i,j,k))-log10(0.25)))^beta_xy_S)^(1/alfa_xy_S))*(SL12S(i,j,k,1)- abs(tao_xy_max(i,j,k)))+ abs(tao_xy_max(i,j,k)); G12(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fxy(i,j,k))-log10(0.25)))^lambda_xy)^(1/gamma_xy))*(G12(i,j,k,1)-abs(tao_xy_max(i,j,k))/epsilon_f_xy)+abs(tao_xy_max(i,j,k))/epsilon_f_xy; else


185

SL12S(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fxy(i,j,k))-log10(0.25)))^beta_xy_S)^(1/alfa_xy_S))*(SL12S(i,j,k,1)- abs(tao_xy_min(i,j,k)))+ abs(tao_xy_min(i,j,k)); G12(i,j,k,iter+1) =((1-((log10(delta_n*iter)-log10(0.25))/(log10(N_fxy(i,j,k))-log10(0.25)))^lambda_xy)^(1/gamma_xy))*(G12(i,j,k,1)-abs(tao_xy_min(i,j,k))/epsilon_f_xy)+abs(tao_xy_min(i,j,k))/epsilon_f_xy; end end end end end end end end A.3.14. Posprocesamiento del daño final en cada una de las capas del aspa. %JARS %posproc_PFA_fatiga.m %Modulo para el calculo total de danos al final del ciclo. %Estableciendo el numero limite para la impresion de las capas if mod(sN,2) ==0 %si es par... lim = sN/2 + 1; else lim = (sN-1)/2 + 1; %si es impar... end %Dano por tension en la fibra %Inicializiando variables de almacenamiento SL11T_tot = zeros(sN,nN,zN); SL11C_tot = zeros(sN,nN,zN); SL22T_tot = zeros(sN,nN,zN); SL22C_tot = zeros(sN,nN,zN); SL12S_tot = zeros(sN,nN,zN); SL11T_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL11T_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL11C_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL11C_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL22T_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL22T_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL22C_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL22C_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL12S_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL12S_p_sup=zeros(lim,zN,nN); %Sumando el dano por tension en la fibra for i=1:iter SL11T_tot = SL11T_tot + SL11TF(:,:,:,i); end %Dano por compresion en la fibra


186

for i=1:iter SL11C_tot = SL11C_tot + SL11CF(:,:,:,i); end %Dano por tension en la matriz for i=1:iter SL22T_tot = SL22T_tot + SL22TF(:,:,:,i); end %Dano por compresion en la matriz for i=1:iter SL22C_tot = SL22C_tot + SL22CF(:,:,:,i); end %Dano por cortante in plane for i=1:iter SL12S_tot = SL12S_tot + SL12SF(:,:,:,i); end %Separa porcion superior e inferior del aspa [ SL11C_p_inf, SL11C_p_sup, SL11T_p_inf, SL11T_p_sup, SL22T_p_inf, SL22T_p_sup, SL22C_p_inf, SL22C_p_sup,SL12S_p_inf, SL12S_p_sup ] = separador_capas( SL11C_p_inf, SL11C_p_sup, SL11T_p_inf, SL11T_p_sup, SL22T_p_inf, SL22T_p_sup, SL22C_p_inf, SL22C_p_sup,SL12S_p_inf, SL12S_p_sup,SL11C_tot,SL11T_tot, SL22C_tot, SL22T_tot, SL12S_tot, lim, sN, nN, zN); %Suma todos los modos de dano SLtot_p_inf=SL11C_p_inf+SL22C_p_inf+SL11T_p_inf+SL22T_p_inf+SL12S_p_inf; SLtot_p_sup=SL11C_p_sup+SL22C_p_sup+SL11T_p_sup+SL22T_p_sup+SL12S_p_sup; %Se grafican mapas de dano para cada capa for capa=1:nN%7 figure(capa) subplot(1,2,1); imagesc(SLtot_p_sup(:,:,capa)); titulo = ['Capa ' num2str(capa) ' superior. Iteracion ' num2str(iter)]; title(titulo); subplot(1,2,2); imagesc(SLtot_p_inf(:,:,capa)); titulo = ['Capa ' num2str(capa) ' inferior. Iteracion ' num2str(iter)]; title(titulo); end


187

A.3.15. Posprocesamiento del video de progresión de daños en cada una de las iteración en una capa definida por el usuario. %JARS %Monitor de evolucion de dano %monitor.m %Inicializacion de variables SL11T_tot = zeros(sN,nN,zN); SL11C_tot = zeros(sN,nN,zN); SL22T_tot = zeros(sN,nN,zN); SL22C_tot = zeros(sN,nN,zN); SL12S_tot = zeros(sN,nN,zN); SL11T_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL11T_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL11C_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL11C_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL22T_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL22T_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL22C_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL22C_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SL12S_p_inf=zeros(lim,zN,nN); SL12S_p_sup=zeros(lim,zN,nN); SLtot_p_inf=0; SLtot_p_sup=0; %Inicializando variable de pelicula mov(1:iter) = struct('cdata', [],'colormap', []); %Preguntando al usuario el numero de capa que desea ver ver_capa = input('Introduzca la capa cuyo dano desea ver: '); %Ciclo iterativo principal for i=1:iter SL11T_tot = SL11T_tot + SL11TF(:,:,:,i); SL11C_tot = SL11C_tot + SL11CF(:,:,:,i); SL22T_tot = SL22T_tot + SL22TF(:,:,:,i); SL22C_tot = SL22C_tot + SL22CF(:,:,:,i); SL12S_tot = SL12S_tot + SL12SF(:,:,:,i); %Separa porcion superior e inferior del aspa [ SL11C_p_inf, SL11C_p_sup, SL11T_p_inf, SL11T_p_sup, SL22T_p_inf, SL22T_p_sup, SL22C_p_inf, SL22C_p_sup,SL12S_p_inf, SL12S_p_sup ] = separador_capas( SL11C_p_inf, SL11C_p_sup, SL11T_p_inf, SL11T_p_sup, SL22T_p_inf, SL22T_p_sup, SL22C_p_inf, SL22C_p_sup,SL12S_p_inf, SL12S_p_sup,SL11C_tot,SL11T_tot, SL22C_tot, SL22T_tot, SL12S_tot, lim, sN, nN, zN); %Suma todos los modos de dano SLtot_p_inf=SL11C_p_inf+SL22C_p_inf+SL11T_p_inf+SL22T_p_inf+SL12S_p_inf;


188

SLtot_p_sup=SL11C_p_sup+SL22C_p_sup+SL11T_p_sup+SL22T_p_sup+SL12S_p_sup; %Generando graficas que compondran la animacion figure subplot(1,2,1); imagesc(SLtot_p_sup(:,:,ver_capa)); titulo = ['Capa ' num2str(ver_capa) ' superior. Iteracion ' num2str(i)]; title(titulo); subplot(1,2,2); imagesc(SLtot_p_inf(:,:, ver_capa)); titulo = ['Capa ' num2str(ver_capa) ' inferior. Iteracion ' num2str(i)]; title(titulo); %Captura para generar pelicula mov(i) = getframe(i); end nombre = input('Introduzca el nombre con el que quiere guardar la pelicula: '); nombre_comp = [nombre '.avi']; movie2avi(mov, nombre_comp, 'compression', 'None'); %Guarda la pelicula en formato .avi

____________________________________________________

Capítulo B: Anexos

189

CAPÍTULO B

ANEXOS_____________________________________________ Anexo B.1. División en segmentos de los perfiles de la zona de transición.


190

Anexo B.2. Conformación de los laminados que componen el aspa.

Capítulo B: Anexos

191


192

Anexo B.3. Dimensiones de las probetas utilizadas por Shokrieh [46]. Estándares ASTM.

NOTA: Todas las medidas están en mm.

B.3.1. Tensión en fibras

B.3.2. Compresión en fibras

B.3.3. Tensión en matriz

Capítulo B: Anexos

193

B.3.4. Compresión en matriz

B.3.5. Cortante in-plane


194

NOTA: Espesor de 10 mm.

B.3.6. Cortante out-plane

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